C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, Sbrie I, p. 477-482, 1998

SystPmes dynamiques/Dynamical Systems

(Topologie/Topo/ogy)

Configurations combinatoires des polyniimes fib&s de degrh 2

Olivier SESTER

R&urn& Nous nous intkressons ici aux polyn6mes fibrCs de deg.5 2 qui sont des applications ti structure de produits croisCs de la forme P, : 2Y x C + S x C, R.(.r. z) = (f(:r). z”) + (,(.I:)). oti X est un compact, , f une application continue donn6e de X dans lui-m&me et c une application continue de .j- dans C considkrke comme paramktre. Nous construisons dans un premier temps un espace de configurations compact et connexe qui fournit un modkle combinatoire d’une partie de I’espace des paramktres. Ensuite. nous expliquons dans quelle mesure une configuration abstraite peut &tre rkalide par un polykme tibrC de degre 2. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier. Paris.

Abridged English Version

Let X be a compact space, .I a continuous map from X to X and (’ a continuous complex-valued function on X. We consider the tibered polynomial over (X, ,f):

I-‘,. : x x c - s x c.

(2’. .z) w (

.I(:/:). P.,,.(2) = 2 + c(x) >

We introduce the filled-in Julia set of I:.:

K, = {(:I:,z) E X x C : such that sup IF’,!l,l.(a)l < +x8}. rrEN

Let K,.,,. denote the fiber of K,. over :I:. The first step is to extend the familiar notions of Green function

and BGttcher coordinate of the compact set K,.,,,..

Note prksentke par Adrien Dou.4~.

0764-4442/9X/03260477 0 AcadCmie des SciencesEIsevier. Paris 477

0. Sester

Next we proceed to a combinatorial description, in the spirit of A. Douady and J.H. Hubbard, of connected filled-in Julia sets and the parameters space. In the case of fibered polynomials which correspond to the real limb of the Mandelbrot set, this leads us to the construction of an abstract contiguration space X,. If T1 is the unit circle. we detine:

l Q(G) = 22 modulo 1:

0 R” = {l/3.2/3} and II’,, = CJP”( EC,). Under suitable assumptions on the parameter (’ we associate to each :I: E X an equivalence relation on R, that we denote by !I,,, (.I.). This relation is defined by looking how the external rays of argument in R,, are glued together. Then we denote by r,, the set of all equivalence relation obtained by this construction (when S, f. c, and .I: vary). The space r’,, is equipped with a topology making every /t,,, continuous.

Moreover, a continuous retraction i,, : I’,, - l?,, .r is canonically defined by forgetting the external rays of argument in I~,,\R,,-l. Next, we consider the projective limit:

I‘, = $Jl (l’,, i,, r,,-1).

The configuration space X, is defined as the set of closed points of Pm. It is naturally provided with a self-mapping F. We come now to the main result of this Note:

THEOKEM 1.1. - The set .S, is a H~~u.sdo~~ cwntpacr and wnnecfed space. If has the proper!\ that ,fiw all ,fihered polpomirrls c,orrrspontlin!: to thr rel:rl limb oj the Mandelhrot spt und ,for all .I’ E X, the closure in r’, of the sequence (IL,, ( :I:) ),rE~ intersrci.~ X, in LI unique point /I,(T) called thr conjigurtltion of :I:. The mup 11 is continuous and nukes the diq~ram:

commutative. Our last resuft is a partial converse to the previous theorem. It can also be viewed as a generalization

of Thurston’s theorem on the characterization of postcritically finite ramified coverings. We prove that an abstract configuration which is weakly recurrent (from a combinatorial point of view) can be realized in a unique way. To that purpose we first realize certain non-recurrent configurations. Then we obtain the required tibered polynomial as a uniform limtt of non-recurrent polynomials, each approximation being deduced from the previous by a surgical procedure.

1. Ensembles de Julia fib&

Soient X un compact. .f une application continue de X dans lui-m&me et I: un Clement de C(X. C) (I’ensemble des applications continues de ,Y darts C) ; on considere le polyncime quadratique fibre au-dessus de (-I’. j) :

I? : SxC-.Yr-C,

(2.. 2) H (,f(.t& P<.,,.(2) = z* + c*(:r)).

Notons pour tout :I’ E S et tout 11, E fV : I’c!:,c =- l’, ,I’~? I (.,,) o I’.,>)~ J(,~) o . o I’, .,(. L’ensemble de Julia rempli est constitue des points dont I’orbite sous F’,. est relativement compacte :

478

Configurations combinatoires des polyn6mes fibrCs de de@ 2

On note K,,, la fibre de K,. en :I: (z E K,.,,. si et seulement si (~1.. z) E K,.). II est trks facile de vkrifier yue Kc est un compact non vide invariant et que K, ,,r est un compact plein inclus dans le disque de centre 0 et de rayon s~p,,,,-~(l + Ic(.r)l). Si log+. est la fonction sur C h valeur rCel1e telle que log+(z) = lIlax(log IZI, O), on pose pour tout .I’ E .Y et tout z E C :

1 G,.(.r. a) = G, ‘,,, (z 1 = ,,liil, &lo::+. IP,‘;,,,(z,I.

Cette formule d&nit la fonction de Green du compact K,.,,. avec un p6le h l’infini. L’application G, est continue de ,Y x C dans iwt et satisfait l’kquation fonctionnelle :

G,.(P, (3.. 2)) = X,.(:r:,a). (1)

Le second outil essentiel pour I’Ctude des ensembles de Julia est la coordonnke de BBttcher de Pc,z. Supposons que pour tout :r: E ,Y. K,.,., soit connexe (ou, de faGon kquivalente, 0 E K,.,,,), alors d’aprks le thCor&me d’uniformisation de Riemann, pour tout :r: E X. il existe un unique isomorphisme holomorphe w~,,~ de C \ K,.,,. dans C \ D qui vkrifie : G,.(.r. z) = log I~~.,.r(.z)i et qui fait commuter le diagramme suivant :

C \ h-, ..,I. 5 C \ K,.,+)

9. ., I i” ‘I”

itvec q(z) = 2. c\D A+ c\D

2. Configurations combinatoires

On dksigne par ,kl(,Y. ,f) le lieu de connexitk pour les polyn6mes quadratiques fib& au-dessus de (X, ,f), c’est-g-dire l’ensemble des (’ E C(X. C) tels que pour tout .I‘ E X, K ,.,. II soit connexe.

Nous souhaitons a p&sent dkfinir et Ctudier du point de we combinatoire uti Cquivalent du membre r6el de l’ensemble de Mandelbrot (:2/r). Rappelons (\wir* par exemple [ I I) clue celui-ci est constituk des paramittres complexes (’ E &I tels que (1,. : ,3 c z2 + r’ posskde un point fixe rkpulsif auquel aboutissent les deux rayons externes d’argument l/3 et Z/3. Dans notre cadre, le point fixe rCpulsif deviendra une section invariante rkpulsive :

DEFINITION. - Une application continue CL : .Y + C est une sc~~iorz irz\ur-iante r~prlsi~~e pour F’. s’il existe des constantes A > 0 et X > 1 telles que pour tout .r’ de X :

P,.,.,.(w(.r,)) = cv(j(.r)). et pour tout rr. de N. I(F’,r~,l.)‘(o(.r.))~ 2 AA”.

Le rayon externe d’argument H E T’. not6 R.,.,H, est dktini, comme dans le cas constant ?I I’aide de la reprksentation conforme R.,.,fl = p,,f. ({ 0 cxp( 2i~H). 0 E ] 1: +r; [}) .

Supposons que I’, admet une section invariante rkpulsive (t, nous dirons que ‘R,.,..o dmrtit en o(.r) si ,,1’,1:1, p,,f( ,jcq)( 2i7rH)) = o(x).

On note .,ti1,2(dY. ./‘) I’ensemble des paramktres v E .ti(AY> .I’) tels que PC, posskde une section invariante rkpulsive B laquelle aboutissent les rayons externes d’argument l/3 et Z/3. L’espace ,W,,,(S, f) est un ouvert relatii non vide de ,Vf(S. .f’). Entin. on dCsigne par iV;,2(X, .f) le sous- espace de &f1,2(X> f) constitk des (’ E ,Vf ,,?(-Y. j’j tels que pour tout .r’ E .i-. c(x) appartient & I’adhCrence de la composante connexe de C \ (77 ,,., :,!I:! U R ,,., 7,,‘) qui ne contient pas 0. ,W;/,(S, ,f) est un fermC de C(.Y. C).

Nous construisons h prksent un espace topologique qui classifie et ordonne les diffkentes combinatoires possibles lorsque (: dCcrit #k4T,, (,‘i. J‘). Nous adoptons comme dans le modkle du disque pin& de A. Douady (voir [2]), le point de vue de << I’extCrieur )j du Julia. La description combinatoire se fera en

479

0. Sester

terme d’aboutissement des rayons externes d’argument & qui sont les pkimages des rayons l/3 et

2/3. On se place sur le cercle 8’ et on note :

l Q(z) = 22 modulo I ;

l Ro = {l/3,2/3} et R,, = Q-“(R(j).

Si c E M;,,(X. ,f), on associe 5 chaque :/: E X une relation d’kquivalence sur I?,,, notie /l,T1(:r.), de la fac;on suivante : si 7.1, 7’2 E II’,,, alors r1 et ‘~2 sont dans la m&me classe d’kquivalence de h,,(x) si et seulement si les rayons R,.,,., et R,.,,., aboutissent au m&me point. On dksigne par IY,, I’ensemble (fini) des relations d’kquivalence ainsi obtenues (lorsque X, .f, c E MT,, (X. S) et .r’ E S varient). On munit alors r,, de la topologie la plus tine rendant les applications II,, toujours continues ; To, K’l, I‘z sont rkduits h un point et I’espace I’,, ’ I I n est pas separe pour ‘11 >- :5.

Deux applications surjectives de I’,,+1 dans I‘,, sont canoniquement definies : une application c< d’oubli >) 6,,+1 et une application de (s doublement de I’angle )) CJ,,+l, Celles-ci font commuter les diagrammes suivants :

On dkmontre par rCcurrence h I’aide des applications i,, et Q,, que r,, satisfait les propriCtCs suivantes :

1. r,, est connexe ;

2. deux tlCments distincts de I’,, ne peuvent avoir la m&me adhkrence ;

3. soient Y,~+~,Y:,+~ E rr,+n. Supposons que les images de y.,!+z et Y:,+~ par %,,+I o %,,+.z soient d’adhkrences disjointes dans r,, . Alors, les plus petits ouverts de I’,,+2 contenant respectivement ~,,+2 et Y:,+~ sont disjoints.

On considkre encuite la limite projective des I’,, : rx = !im (r,, A r,,-l),

dont les Clkments sont les suites (T,,).,,~N telles que %,, (r,,) == -yn-l. On note p,, la projection de r,, dans r,,.

L’espace I’, est quasi-compact (de tout recouvrement par des ouverts on peut extraire un sous- recouvrement fini) mais n’est pas sCparC. Pour parer ii ce dCfaut de skparabilitt! on introduit ?i,, I’ensemble des points fermks de I‘, CquipC de la topologie induite et appelC espuce des conjigutwtions.

L’espace X, est muni d’une application continue +F dans lui-mEme obtenue B partir des C),, en posant pour “i = (Y~,L~GF*J E X, : F’(r) = (c?rL+I(%+l))irtN.

Les ksultats principaux concernant Y l 3L sont regroup& dans le thCor&me ci-dessous :

TH~OR~ME 2.1. - L’espuce *Y:-, e,st compact et connexe. 11 sutisjbit il 1~ propriltti suivunte : soient X un espacc compuct, ,f : zY --i X une uppliccrtion continue et c E M&,(X, ,f ). Pour tout 3: C: X, la suite (IL,, (I:)),,~N d@nit un point de l’, dent I ‘adhr’rence rencontre 2x-m en un unique point note’ /I(T) f’t uppelr’ configuration en :c. L’~y~plicutinn 11, est cwntirrue et le diagramme sui~unt wmmute :

Nous commenGons par 6tablir le lemme suivant :

480

Configurations combinatoires des polyn8mes fib& de de@ 2

LEMME 2.1. - Tout jkrmk non vide de I’, contient un ,fermt non vide minimcrl pour I’inclusion. En

outre, les fermt% minimaux de I‘, sent des points.

Dbmonstrution du lemme. - Soit E’ un fermC non vide de TK>> notons K(F) l’ensemble des fermCs non vides inclus dans F. De la quasi-compacitk de r,X on tire que K(F) est inductif. et l’existence d’un

fermC minimal dans F rCsulte alors de l’application du lemme de Zorn. Supposons 2 present qu’un fermC minimal G de I‘, contienne deux Clkments distincts y et 7’. II existe

un entier 7~0 > 0 tels que JI,~,~ (7) = y7,,, et ;orlCr (7’) = $,,, soient 2 ClCments distincts de lT,,o. D’aprhs

la propriCtC 2 ci-dessus on peut supposer, par exemple, que y,,(, # {r:,,,}; ainsi, C: = P;;,‘({T:,,,}) est un fermi non vide de G distinct de G. ce qui est absurde.

DGmonstrution du tht?ort?me 2.1. .- L’espace ,‘i x_ possede la propriM fondamentale que tout ouvert de rX contenant X, est en fait Cgal 5 rX. ceci en raison du lemme 2. I. On en dCduit que tout recouvrement de X, par des ouverts est Cgalement un recouvrement de rX, et en vertu de la quasi-compacitk de rXr on peut en extraire un sous-recouvrement fini.

Quant & la skparation de X,, soient :I: et :I,’ deux points fermks distincts de I‘,, alors

{.Iz} = n l,il(fll,l(z,~)~), {ilI’j = n p~1(j;1)71(TJ.~))). ,l Lo ,, 20

-__ Comme .I: # :I:‘, il existe un entier ‘~0 tel que { pllo (:K)} f> {p,,,, (:I:‘) 1 = ld. D’aprks la propriM 3 ci-dessus, les plus petits ouverts de 1’710+ 2 contenant pn,,+2(:r) et IJ~,,~~+~(:I:‘) sont disjoints, d’oti I’existence de deux ouverts disjoints de I’, contenant respectivement .I* et :I:‘.

La connexitk dkcoule de celle de I’,,. Enfin, si .I: E X, IL(T) est d&fini comme I’unique fermC minimal contenu dans l’adhkrence de

{(k (.l.)h?Eh}. L’ existence de ce ferm& minimal provient du lemme, I’unicitk rksulte de la skparation de -T,. La commutativitk du diagramme est alors immkdiate.

3. R6alisabilitC-rigidit de certaines configurations

Cette dernikre partie a trait au problkme de rCalisabilit&-rigidit attach6 h la propriM universelle ci-dessus et qui peut se formuler comme suit :

&ant don& une partie compacte A’ de X,, invariante par F, existe-t-il une application continue c. appartenant B MT:iz(X,jc~~~) telle que pour tout .I: de X, la configuration associke 5 K,.,,. soit exactement :I’ ? Si oui, c’ est-elle unique?

Dans cette formulation, le compact X joue A la fois le rBle de la base de l’espace tibr6 et celui d’ensemble de configurations de rkfkrence.

Nous allons apporter une rkponse positive B la question prCcCdente pour les configurations dites faiblement rkurrentes. Celles-ci sont caract&iskes B I’aide d’une extension au cadre fibrC des puzzles de Yoccoz (\wir [3]).

Fixons (’ E M* I,2(-y, .f). Rl/~,.,. et ‘RT/~,.~ aboutissent en G+(T), done Rljc;,,c et RGlti,,V aboutissent en -(V(X). L’ensemble { ,:: E C : G,.,,.( 2) 5 l} privk de I’adhkrence de ces quatre rayons est done constituk dc trois composantes connexes d’intkrieurs disjoints il I(:~:). .42(~;), ils(:f:). Les adhkrences de ces trois domaines forment le puzzle de profondeur 1, not6 PI (.r). On d&init alors par induction le puzzle de profondeur ‘u, P,, (.I:), constitd des prkimages de A par P,.,,. lorsque A parcourt P,,- L (,f(.~:)). On note .I,, (:I:) la pike critique (c’est-h-dire co_ntenant 0) de ‘P’,!(X).

D’autre part, si Al (:I.), Am et &(L) _sont les voisinages ouverts de AI(X), AI(Y) et AS(T) repr6sentCs sur la figure 1. on dksigne par ./,)(:I:) la composante connexe de (13c:T,c)-‘(A) qui contient

.],,(:I:). oh .;1 ̂est, parmi les ouverts .~;1^1 (f”(:r:)), zi‘,(f”(:/,)). &(f” (:I:)), celui qui contient PJl,r(.J,, (:I.)).

DEFINITIONS. - Soient 711 un entier positif et T un rCe1 positif.

481

0. Sester

l P, (ou simplement c) est dit ,~rb-nOn-r~cUrr~nt si pour tout .I’ de X et pour tout li: E N,

P&(O) $ Xn(fk(:~9).

l P,, (ou c) est dit ,fuiblenwzt rkurrent d’ordre T si pour tout .I’ de X, pour tout m > 0 et pour tout 0 < k: 5 ml?, on a I’<“,,.(0) $ V~N(~k(:r:)).

Figure I ~ Puzzle de profondeur I

On dksigne alors par I’:(T) le fermC de I’,, constituk des configurations associkes g des polyn6mes faiblement rkurrents d’ordre 7. En considkrant les points fermCs de la limite projective des I’::(T), on obtient une partie compacte Jifr(~) de X, invariante par 3.

TH~~OR~ME 3. I. - Si T est IISSC grand, ii existe me unique application continue c appurtenant h M* l/2 (A-f,.(r), 3) telle que pour tout .I: de Xf,.(r), itr corfiguration msocie’e 2 hi,..,, soit exactenrent :I:.

La demonstration compl&te de ce thkorkme se trouve dans [4], nous en prkentons ici les grandes lignes. L.‘idCe principale est d’obtenir (: comme limite uniforme d’applications non-rkcurrentes (c,,,),,,~N construites par rtkurrence.

Le premier pas rkside dans I’initialisation de la rkurrence. A partir d’un modkle topologique local, on construit pour tout :I’ E X un revCtement ramifik en 0 de degr6 2, not6 Pr, dont les configurations associkes sont :I-non-rkurrentes. Apt& rectification de (TV, (c’est-g-dire (P,.)*(~r,fc~.~) = m,,.),

la forme de Beltrami invariante par I-,, on conjugue (:r5 ;z) k-9 (f(z), Fs(z)) i un polyn6me quadratique fibrC

au-dessus de (X,,.(r), 3) qui rCalise les configurations 3-non-rkurrentes. En second lieu. on suppose que cl,, E My,2(XrY(7),3) .t es nr-non-rkcurrente. L’application c,,, + 1

est alors dkduite de czrrr par un procCdC de chirurgie. PrCcis&ment, il s’agit de modifier F,,,, ,,I’ sur le voisinage .X,,(X) de 0 pour obtenir un revCtement ramifik I;;,,,,,.,. holomorphe ?I I’ext&ieur de &(:r). Compte tenu-des hypothkes de faible rkurrence, on peut garantir que I’orbite de z E C, { Pc.,,r3j7, -1 c.~) 0 0 Pc,,,,.r(x). 71. E N} ne rencontre le domaine de non-conformit de ii,.,,, ,f,, (,,.) qu’au

plus m fbis et que par conskquent, (T., . la forme de Reltrami invariante par F<.,,, .,,‘, est exponentiellement petite en m. Ainsi, la rectification de (r,, permet de conjuguer r(.,,,.,,. & un polyn6me quadratique

I?,,,,+, ..I’, avec c,,,+l une application de M;,2(Xfr(7); 3) qui vkrifie : F’,.,,, +, est (m +- I)-non-r&n-rent

et 11c7,,+1 - c,,,II,,, 5 fake&” avec (1, et h des constantes positives.

La suite d’applications ( c,,,),,,~N converge alors uniformCment vers c E ,kf;,,(Xr,.(~). 3) qui satisfait les exigences du thkorkme 3.1.

Enfin. mentionnons que les ensembles de Julia associtts 5 des polynBmes non-rkcurrents sent holomorphiquement effaqables. ce qui implique I’unicitk de chaque approximation c:~,~, n, E N. Par

passage B la limite on en dCduit l’unicitk de I’application c dans le thkorkme 3. I.

RCfkences bibliographiques [I ] Carleson L.. Gamelin T.W.. Complex Dynamics. Springer-Verlag. 1992.

[2] Douady A., Description of compact sets in C. In: Topological methods in Modern Mathematics. Publish or Perish, 1993,

pp. 429-46.5.

[3] McMullen C.T.. Complex dynamics and Renormalization, Rnn. Math Studies 135. Princeton

[41 Sester 0.. l&de dynamique des polynhmes fib& these, UniversitC de PariGud, mai 1997.

University Press, 1994.

482