Embed Size (px)
Citation preview
Congrès Dédra-Math-isons 2009-2010
La Quatrième Dimension
Matteo Malacarne
Thomas Van Himbeeck
Frédéric Van Naemen
Hoang Son Nguyen
Table des matières
Une approche visuelle : la tesselation
Une approche géométriqueDe la deuxième à la troisième dimensionUne nouvelle dimension
Une approche analytiqueDes recherches, des calculs et des dessins …
Introduction : Escher et ses salamandres
Introduction : Escher et ses salamandres
Introduction : Escher et ses salamandres
Table des matièresIntroduction : Escher et ses salamandres
Une approche géométriqueDe la deuxième à la troisième dimensionUne nouvelle dimension
Une approche analytiqueDes recherches, des calculs et des dessins …
Une approche visuelle : la tessellation
Une approche visuelle : la tesselation
Point
Segment
Polygone
Polyèdre
Un hypercube : projection interne
Un hypercube : projection parallèle
Une approche visuelle : la tesselation
Polychore
Table des matièresIntroduction : Escher et ses salamandres
Une approche visuelle : la tesselation
De la deuxième à la troisième dimensionPavages de polygones : polyèdres réguliersLes solides de Platon
Une nouvelle dimensionPaver en trois dimensionsAngles diédrauxLes six polychores réguliers
Une approche analytique : la quatrième dimension interceptée par la nôtre ?Des recherches, des calculs et des dessins …
Une approche géométrique
Une approche géométriqueDe la deuxième à la troisième dimension:
Pavages de polygones : polyèdres réguliers
{6,3}
{4,4}
{3,6}
Une approche géométriqueDe la deuxième à la troisième dimension:
Pavages de polygones : polyèdres réguliers
Une approche géométriqueDe la deuxième à la troisième dimension:
L’angle interne
p
360
180
Une approche géométriqueDe la deuxième à la troisième dimension
Les solides de Platon
q. 360
q.(180 360
p) 360
1
21
p1
q
Nœud du pavage
Formule de l’angle interne
On isole p et q
Il n’existe alors que 5 combinaisons {p,q} possibles
Une approche géométriqueDe la deuxième à la troisième dimension:
Les solides de Platon
{3,3}
{3,4}
{3,5}
{4,3}
{5,3}
Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:
Paver en 3 dimensions
}4,3,4{
Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:
Angles diédraux
2arcsincos
180
p
sin180
q
Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:
Les six polychores réguliers
Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:
Les six polychores réguliers
r. 360
r.2arcsin
cos180
q
sin180
p
360
cos180
q
sin180
p
sin180
r
Par la formule des angles diédraux
Nœud du pavage
On isole p et q dans le même membre et r dans l’autre
Il n’existe alors que 6 combinaisons {p,q,r} possibles
Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:
Les six polychores réguliers
L’hypertétraèdre (ou pentachore) :- 5 cellules tétraédriques - 10 faces triangulaires (triangles équilatéraux)- 10 arêtes- 5 sommets
{3,3,3}
L’hyperoctaèdre (ou hexadécachore) : - 16 cellules tétraédriques- 32 faces triangulaires (triangles équilatéraux) - 24 arêtes - - 8 sommetss
{3,3,4}
Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:
Les six polychores réguliers
L’hypericosaèdre (ou hexacosichore) :- 600 cellules tétraédriques- 1200 faces triangulaires (triangles équilatéraux)- 720 arêtes- 120 sommets
{3,3,5}
Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:
Les six polychores réguliers
L’hypercube (ou tesseract) :- 8 cellules cubiques- 24 faces carrées- 32 arêtes- 16 sommets
{4,3,3}
Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:
Les six polychores réguliers
L’icositétrachore (pas d’analogue en 3 dimensions) :- 24 cellules octaédriques - 96 faces triangulaires (triangles équilatéraux)
- 96 arêtes- 24 sommets
{3,4,3}
Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:
Les six polychores réguliers
L’hyperdodécaèdre (ou hecatonicosachore) :- 120 cellules dodécaédriques - 720 faces pentagonales (pentagones réguliers)- 1200 arêtes- 600 sommets
{5,3,3}
Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:
Les six polychores réguliers
Une approche géométriqueUne nouvelle dimension:
Les six polychores réguliers
Table des matièresIntroduction : Escher et ses salamandres
Une approche visuelle : la tesselation
Une approche géométriqueDe la deuxième à la troisième dimension
Pavages de polygones : polyèdres réguliersLes solides de Platon
Une nouvelle dimensionPaver en trois dimensionsAngles diédrauxLes polychores réguliers
Des recherches, des calculs et des dessins …
Une approche analytique
Une approche analytiqueDes recherches …
Elements analytiques de l’hypercube
Une approche analytiqueDes recherches …
Intersections
Une approche analytiqueDes calculs et des dessins …
Intersections d’un hypercube avec un espace
