RENDICONTI DEL CIRCOLO MATEMATICO DI PALERMO Serie II, Tomo XLIV (1995), pp. 162-168

C O N N E X I T I ~ D E S S O U S - N I V E A U X

D E S F O N C T I O N N E L L E S I N T I ~ G R A L E S

JEAN SAINT RAYMOND

Let (T, i f , / z ) be a cr-finite atomless measure space, p ~ [1, ~ ) , E a real Banach space and f a measurable function: E x T---> JR. We

/ ,

denote by F the functional F:u ~-> J f(u(t), t)d/z(t) and by Dom(F) 1

its domain, it is the set {u ~ LP(T, E) :~(t) = f(u(t),t) ~ LI(T)}, and we prove that the sublevels S(X)= {u:F(u)< ~.} are all connected in the subspace Dom(F) of the Banach space LP(T, E).

On consid~re un espace mesur6 (T, 3 , / z ) , ob / z e s t une mesure

cr-finie sans a tome, E un espace de Banach r6el dont on note la

norme par x ~ Ix I, et f une fonc t ion de E x T dans ]R. On notera

la tribu bor61ienne de E et on suppose la fonct ion f mesurable

pour la tribu ~ | 3 . Alors, pour route fonct ion mesurable u de T

dans E , la fonc t ion t ~ ti(t) = f (u(t) , t) est mesurable de T dans

JR. On notera Dom(F) l ' ensemble des u telles que cet te derni~re

fonct ion soit int6grable sur T et F la fonct ionnel le d6finie sur C

Dom(F) qui tl u associe l ' int6grale F(u) = Jh(t)d/z( t) . Le but de T

Keywords: Connectedness, Caratheodory functions, superposition operators

1991 Mathematics Subject Classification: 54D05

CONNEXITI~ DES SOUS-NIVEAUX DES FONCTIONNELLES IN'~GRALES 163

cette note est de montrer qu'alors, pour tout r6el X, le sous-niveau

S(X) = {u ~ Dom(F) �9 F(u) < Z)

est connexe dans le sous-espace Dom(F) de l'espace de Banach LP(T ,E) . Cette 6tude provient de questions motiv6es par une approche originale de probl~mes de mini-max (cf. [1]) et pos6es par B. Ricceri h l'auteur, durant un s6jour de ce dernier en Italie.

Plus g6n6ralement, on peut remplacer l'hypoth~se de mesurabilit6 de f pour ~ | par l'hypoth~se que f est sup-mesurable (cf. [2]), c'est-~-dire que pour toute fonction fortement mesurable u : T --+ E, la fonction f i : t ~ f ( u ( t ) , t ) est mesurable de T dans R. On peut aussi prendre p 6]0, 1[ en remplaqant alors l 'espace de Banach LP(T, E) par l 'espace vectoriel LV(T, E) muni de la distance d6finie par:

d(u, v) = f lu(t) - v(t)l t' dlz(t). T

Le lemme suivant est bien connu.

LEMME 1. S i v est une mesure sans atome sur (T, g ) , et Z une partie intdgrable non v-ndgligeable, il existe Z' C Z tel que

1 v ( z ' ) =

On pourra en trouver une d6monstration dans l 'ouvrage de Halmos [3], p.174.

LEMME 2. II existe une fonction: 0 w-> Z(O) de [0,1] dans 3 vdrifiant

(i) 0 < O' =r Z(O) C Z(O')

(ii) Z(O) = ~ et Z(1) = T

V0 ~ [01] Z*(O) = ~-)(Z(O + e)\Z(O - e)) est I~-ndgligeable (iii) e>0

(iv) Vy ~ LI(T,I~) 0 ~ f y(t)dlz(t) est continue z(o)

164 JEAN SAINT RAYMOND

Puisque / z e s t cr-finie, il existe une fonction int6grable F0 valeurs dans (0,1]. La mesure v = Y0"# est alors une mesure finie

6quivalente g /x. On notera D e = " 0 < k < 2 p , pour p ~ N ,

et D = U Dp. p e n

On construit, par r6currence sur p, des ensembles (Zk.p)0<k<2, de sorte que:

(i) Z0,0 = 0 et Z1,0 = T

(ii) u Z2k,p+l = Zk,p

(iii) u Zk,p C Zk+l,p

k (iv) u V(Zk,p)= 2P v(T)

I1 suffit pour cela d'appliquer le lemme pr6c6dent pour construire Zzk+l,p+l = Zk,p U Z', o?a Z' est une partie de Z = Zk+l,p\Zk,p telle

1 que v(Z') = ~ v ( Z ) .

k Si on pose, pour d - 2p ~ D, Z(d) = Zk,p et, pour

0 e [0, 1], Z(O)= U Z(d), les conditions (i) et (ii) de l '6nonc6 dED, d<_O

sont 6videmment r6alis6es. Pour tout [0, 1], on a clairement v(Z(O)) = 0 �9 v(T) , donc v(Z(O + e)\Z(O - e)) < 2e . v(T) , ce qui

entraSne que Z*(O) est v-n6gligeable, c'est-~-dire :z-n6gligeable. Enfin, si y e L I ( T , # ) et si la suite (On) converge vers 0, on a

[Y �9 lz~o.)l < lyl et 7, �9 lz~o.) ---> Y �9 lz~o) en tout point n'appartenant pas ~ l 'ensemble #-n6gligeable Z*(O). On conclut avec le th6or~me

de Lebesgue que

fz(o.) Y (t)dlz(t) - fz Y (t)d/z (t)

= l f rY ' l z~o , )d / z ( t ) - f rY ' l z~o) d/z(t) ---> 0

ce qui ach~ve la demonstration du lemme.

CONNEXITI~ DES SOUSoNIVEAUX DES FONCTIONNELLES INTI~GRALES 165

THI~OP~ME 3. Soient f : E x T ~ l~ une fonction mesurable l *

et F la fonctionnelle: u ~-~ ] f ( u ( t ) , t ) d # ( t ) . Si, pour u dans t g

T

LP(T, E) on note s la fonction t w-> f ( u ( t ) , t ) et si on pose D o m ( F ) = {u ~ LP(T, E) : t~ 6 LI (T)} , les sous-niveaux de F sont connexes dans le sous-espace D o m ( F ) de l 'espace de Banach Le(T , E).

On va d6montrer en fait que si le sous-niveau S()O = {u ~ D o m ( F ) : F(u) < )~} n 'es t pas vide, il est connexe par arcs dans D o m ( F ) . Soient u et v dans S(~.). On pose

Z = {t E T : f i ( t ) < fi(t))

puis

j u ( t ) si t 6 z t 0 ( t ) / v(t) s i t ~ Z

On a I f ( w ( t ) , t ) l < max(] f (u ( t ) , t)J, ] f ( v ( t ) , t ) l ) , c 'es t -h-dire Itb(t)l < max(ltT(t)l, [~(t)[). Donc tb est dans LI (T ) si ti et fi y sont, c 'est-b-dire to ~ Dom(F) .

On a f ( w ( t ) , t) = m i n ( f ( u ( t ) , t), f ( v ( t ) , t)). Donc F(w) < F(u) < )~, et to 6 S(I.). On va construire deux arcs dans S(~.) jo ignant respec t ivement u et v ?a w, ce qui prouvera la connexit6 par arcs de S(~.).

Soit 0 ~ Z(O) une application de [0,1] dans 3" v6rifiant les condit ions du L e m m e 2, et definissons P ( 0 ) ~ LP(T, E) par

w( t ) si t E Z(O)

I'(o)(t) = u(t) si t ~ z(o)

On v6rifie c o m m e plus haut que I ' (0) est dans Le(T , E) , et il est clair que 1-'(0) = u et F (1) = w. De plus, puisque [F(0)( t ) [ _< max(lfi (t) l, Ifi(t)l), I'(0) appartient ~t D o m ( F ) pour toute

valeur 0 dans [0,1]. On a, pour tout 0 et tout t,

f (F(O)( t ) , t) < f ( u ( t ) , t)

166 JEAr~ s~am- ~'cMo~

ce qui prouve que F ( 0 ) ~ S(~.). Enfin, si (On) est une suite qui converge vers 0, on a

I I r ( 0 n ) - r ( 0 ) l l p =

1/p

fz( lu(t) - w(t)lPdlz(t) - [ lu(t) - w(t) Pdlz(t) --+ 0 f BI

on) z(o)

en vertu du lemme 2, puisque la fonction t ~-~ [ u ( t ) - w(t)[ p est intggrable, ce qui prouve la continuit6 de F : [ 0 , 1] ~ LP(T, E). On construit de m~me l'arc 1-" qui joint v h w dans S(~.) en 6changeant u et v dans la construction prgcgdente. Ceci ach~ve la dgmonstration du thgor6me.

COROLLAIRE 4. S'il existe un r~el a et une fonction ~ E L 1 (T) tels que pour tout x de E et tout t de T la fonction f vdrifie la condition [ f ( x , t ) [ <_ otlxP[ + ~(t), le domaine Dora(F) de F est ~gal D LP(T, E) et les sous-niveaux de F sont connexes dans LP(T, E).

Remarque 5. Si l 'int6grande f est supposEe born6e sur toute partie born6e de E • T, la fonctionnelle F est d6finie sur L~ E), et les sous-niveaux sont connexes pour la topologie faible cr(L~176 E), L I (T , E*)).

On construit comme plus haut les arcs F et F'. Pour vfrifier que ces arcs sont faiblement continus, il suffit de voir que si (0n) converge vers 0 et si y 6 L t(T, E*),

(r(0n) - F(O), y) = f (u(t) -- w(t) , y ( t ) } d l z ( t ) - z(on)

t *

- / (u(t) - w(t), "z( o)

tend vers 0 puisque la fonction t ~ (u(t) - w(t) , y( t ) ) est intggrable.

Remarque 6. Si l 'on remplace l 'espace de Banach L p par un espace W l,p, les sous-niveaux de la fonctionnelle F ne sont plus ngcessairement connexes.

CONNEXITE DES SOUS-NIVEAUX DES FONCTIONNELLES I ~ R A L E S 167

Prenons T = [0, 1], muni de sa tribu bor61ienne 9 et de la mesure de Lebesgue # . Soit f ( x , t ) = sin2x, c'est-h-dire fl F(u) = sinZu(t)dt. I1 est clair que F est d6finie pour tout u de

0

L 1, que F > 0 et que si F ( u ) = O, la fonction u dolt atre presque partout 6gale 5 un multiple entier de Jr. Alors puisque W I'p est

form6 de fonctions continues, le sous-niveau S(0) dans W I'p est

compos6 des fonctions constantes kTr pour k ~ Z, et cet ensemble est hom6omorphe ~ Z donc non connexe.

On peut enfin remarquer que la lin6arit6 de l 'op6rateur P

g ~ / g ( t ) d # ( t ) ne joue pas de r61e essentiel dans la d6monstration T

du th6or~me 3. Si J est une fonctionnelle croissante d6finie sur un sous-ensemble D de l 'espace L~ des (classes de) fonctions r6elles

mesurables sur T et g valeurs dans 1R, f une fonction sup-mesurable: E x T --~ IR et A une partie d6composable de Le(T, E) (c'est-g-dire que, si u et v sont dans A et si Z ~ 3 , la fonction w 6gale 5 u sur Z et ~ v hors de Z est aussi dans A), on peut consid6rer l 'op6rateur F d6fini par F ( u ) = J(f i) pourvu que ~ ~ D. On peut

par exemple prendre pour oe > 0

J(g) = f g(t)lg(t)l~-ldlz(t) avec D = L~(T) T

O H

J(g) ---- ess infg avec D = L~176

La m6thode de preuve du th6or~me 3 prouve alors

suivant.

l '6nonc6

THI~ORI~ME 7. Soient D C L~ J une fonction croissante de D dans R, A une partie ddcomposable de LV(T, E) ( 0 < p < oo) et f sup-mesurable de E x T dans R. Si pour tout u ~ A la fonction mesurable ~ : t ~ f (u( t ) , t) appartient gt D, la fonctionneUe F : u ~ J(f i) a des sous-niveaux connexes.

II suffit de remarquer que l'arc I" construit dans la ddmonstration du th#ordme 3 prend toutes-ses valeurs dans la partie d#composable A.

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REFERENCES

[1] Ricceri B., Some topological mini-max theorems via an alternative principle for multifunctions Arch. Math. 60 (1993), 367-377

[2] Appell J., The superposition operator in function spaces - A survey Expos. Math. 6 (1988), 209-270

[3] Halmos P.R., Measure theory. Van Nostrand

Pervenuto il 30 ottobre 1993,

in forma modificata il 3 febbraio 1994.

Universitd Pierre et Marie Curie (Paris VI) 4 place Jussieu

F - 75252 Paris CEDEX 05 FRANCE