Contribution a l'étude des amplificateurs a ondes progressives

CONTRIBUTION A L'I TUDE DES AMPLIFICATEURS

A ONDES PROGRESSIVES

par

Andr6 BLANC-LAPIERRE D o c t e u r 6s - sc i ences ~

Pierre LAPOSTOLLE I n g 6 n i e u r des P. T. T. ~

SOMMXIRE. - - On dtudie sur un module particulier l'interaction entre le champ dlectromagndtique pouvant se propager dans une ligne h retard et un /aisceau dlec- tronique dans lequel les dlectrons progressent approximativement h la vitesse de l'onde. On suppose que dans le /aisceau la vitesse et la densitg en un point varient peu autour de leur valeur moyenne.

Le module utillsd est un scMma qui pettt ~tre consi- dgrd comme repr~sentant une suite lindaire de cavitgs analogues h celles utilisdes dans les tubes d modulation de vitesse et convenablement coupldes pour constituer une ligne h retard. Sous certaines conditions on peut mettre en dvidence la possibilitd d'existence d'une onde se propageant h une ~,itesse tr~s ldg~rement in[drieure

ceUe du [aisceau et dont l'amplitude croft exponentiellement.

En considgrant un moddle de ligne d retard correspondant h u n trds grand hombre de cellules successives dont chacune a une /aible action, on parvient d un module sensiblement continu, qui peut ~tre dtudid avec plus de ggndralitg que le moddle prdcddent. On peut alors mettre en dvidence 4 types d'ondes pouvant se propager dans une telle ligne supposde inddfinie : a) deux ondes sont tr~s peu dif]drentes de l'onde aller et de l'onde retour dans la ligne en l'absence d'glectrons ; b) dettx autres ondes vont dans le m~me sens que le /aisceau et h des ~,itesses l~g~rement in/drieures h la vitesse dlec- tronique. Elles prgsentent l'une une croissance exponentielle, r autre une ddcroissance exponentielle.

Ces rdsultats permettent de donner un mdcanisme expliquant l'apparition d'une modulation de /aisceau croissante dans un amplificateur h ondes progressives.

INTRODUCTION

Il est bien connu que l'emploi de tubes usuels, de triodes par exemple, pour la production et l'amplification d'ondes correspondant h des fr6quences de plus en plus 61ev6es est limit6 par l'influence du temps de transit des dlectrons. Aux tr~s basses fr6- quences, les temps mis par les 61ectrons pour aller d'une 61ectrode h une autre sont absolument n6gli- geables vis-h-vis de la p6riode et tout se passe comme si les d6placements 61ectroniques 6talent instantan6s. Si la fr6quence est 61ev6e, les temps de transit peuvent ne plus gtre n6gligeables devant la p6riode des ph6nom~nes 61ectromagn6tiques et mgme gtre du m~me ordre de grandeur que cette derni~re. Cette circonstance provoque une r6duc- tion consid6rable de l'efiicacit6 des 6changes 6nerg6- tiques entre le champ 61ectromagn6tique et le fais-

* Ing6n ieu r s au C. N. E. T. (Sect ion l~lectronique).

ceau. Cela est presque 6vident : supposons, par exemple, qu'un .faisceau 61ectronique 6change de l'6nergie avec un champ 61ectromagn6tique dans une r6gion que les 61ectrons traversent en un temps voisin de la p6riode du champ. I1 est clair que, si dans la r6gion travers6e par le faisceau les ph6no- m~nes 61ectromagn6tiques sont en phase, l'61ectron gagnera dans la premiere moiti6 de son temps de parcours une 6nergie qui diff6rera tr~s peu de celle qu'il perdra durant la deuxi~me moiti6 ; au total l'6change d'6nergie aura 6t6 faible.

I1 r6sulte de ce qui pr6c6de que pour avoir des tubes susceptibles d'gtre utilis6s h des fr6quences tr~s 61ev6es, il a fallu imaginer des proc6d6s capables de r6duire les temps de transit, ou, si on ne les r6duit pas, de minimiser leur influence nuisible. Naturellement, les temps de transit sont proportionnels aux distances et inversement proportionnels aux vitesses 61ectroniques. On les r6duit en utilisant des tensions 61ev6es ou de faibles distances entre 61ectrodes. Cette derni6re tendance a conduit h la r6alisation de triodes darts lesquelles les distances grille-cathode et grille-plaque sont extrgmement faibles : ce sont les lampes phares, qui permettent de produire avec une puissance raison- nable des ondes dont les longueurs d'onde vont jusqu'h 10 cm environ.

Une autre 6tape de la lutte contre les effets per- turbateurs du temps de transit - - 6tape qui fur d'ailleurs franchie avant l'apparition des lampes phares - - fur marqu6e par la construction des tubes h modulation de vitesse. Le principe de ces tubes repose essentiellement sur une utilisation ing6nieuse des ph6nom~nes de temps de transit, qui jusqu'ici nous apparaissaient comme des ph6no- m~nes essentiellement nuisibles. Ainsi que cela apparalt sur la figure 1, le tube h modulation de vitesse se compose essentiellement de quatre parties :

a) Un espace d'accdldration Cgl, dans lequel les 61ectrons issus d'une cathode C sont acc616r6s jusqu'h atteindre en g l l a vitesse % correspondant h une certaine tension continue U 0.

b) Un espace de modulation, entre les grilles gl et g2, off s'exerce le champ alternatif existant dans le r6sonateur R dit r6sonateur de modulation. L'effet de la tension alternative U 1 existant entre gl et g2 est de moduler le faisceau en vitesse.

c) Un espace de glissement g2g'l, o~ ne r~gne

- - 283 - -

/ 2 0 A. BLANC-LAPIERRE

aucun champ continu. Le faisceau p6n6tre dans cet espace non modul6 en densit6, mais nmdul6 en vitesse. Les 61ectrons q u i p6n6trent dans l'espace de glissement pendant une demi-p6riode correspondant h une vitesse 61ectronique 61ev6e ont tendance

rattraper ceux qui ont p6n6tr6 darts cet espace pendant la demi-p6riode pr6c6dente et dont la vite~se est plus faible. Cela cr6e un groupement 61ectronique et, h la sortie g'x de l'espace de glisse- ineRt, le faisceau pr'6sente une modulation de densit6.

ET P. LAPOSTOLLE [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

Prenons, pour fixer les id6es, un amplificateur modulation de vitesse. Son fonctionnement normal correspond h des tensions U 0 et U 1 h peu pr6s fix6es ; pour l'utilisateur, ses caract6ristiques essen- tielles sort le gain en amplitude G e t la largeur de bande Av sur laquelle il op6re. Un tube sera d'autant plus int6ressant qu'il aura un gain 61ev6 et une bande plus large, ces deux exigences 6taRt d'ailleurs contradictoires, comme nous allons le voir. I1 est bon de rappeler ici que la r6alisation de cables

R R ~ J o n a l ~ u r o l g m o d u / a b o n l~e 'annag~ur d o e s b l ~ b o n

FtG. 1.

P

d) Un espace de captation g'l g'2, oh le faisceau modul6 excite le champ r6gnant dans le r6sonateur R', dit r6sonateur de captation. Nous appellerons U2 la tension alternative existant entre g'l et g'2.

Apr6s avoir travers6 l'espace de captation, le faisceau est recueilli par un collecteur P. Si l'on a en vue un tube oscillateur, il faut cr6er un couplagc entre R et R' ; si l'on pense ~ u n amplificateur t, modulation de vitesse, il faut pr6voir un dispositif d'entr6e E destin6 h introduire dans R l'6nergie incidente, et un dispositif de sortie S, pour extraire de R' l'6nergie amplifi6e.

Portons notre attention sur les ph6nom6nes de temps de transit dans ce tube ; on peut faire les remarques suivantes :

~o Les ph6nom6nes de temps de transit sont indis- pensables au fonctionnement, puisqu'ils jouent un rhle fondamental dans le groupcment 6lectronique.

2 ~ Les ph6nom6nes de temps de transit voient, par comparaison avec la triode, leur importance r6duite dans les r6gions oh s'effectue l'interaetion entre le champ et le faisceau 61ectronique, c'est-a- dire en gt g2 et g't g'2. Cela tient/~ ce que ces r6gions sont travers6es par des 61ectrons d6jh acc616r6s par la tension U 0. Unc des particularit6s du tube modulation de vite~se r6side dans la s6paration des fonctions : I1 y a une tension continue U 0 pour extraire les 6lectrons de la cathode et pour les acc6- 16rer et une tension alternative U 1, distincte de la premi6re, pour moduler le faisceau. Malgr6 tout,

l'int6rieur des domaines d'interaction entre le champ et le faiseeau, l'influence nuisible du temps de transit suhsiste : le temps de transit correspon- daRt h gx g2 ou h g'l g'2 dolt rester relativement faible devant la p6riode. Nous allons voir que cela introduit des limitations importantes.

hertziens h tr6s grand hombre de voles, ou la retrans- mission de programmes de t616vision h haute d6fi- nition, r6clament la possibilit6 d'utiliser de larges bandes de fr6quences, de t ' ou plusieurs dizaines de m6gacycles. Voyons donc comment se situent les probl6mes du gain et de la bande passante darts un amplificateur h modulation de vitesse, que nous supposons h bande relativement large. Admettons, pour simplifier, que les deux cavit6s R et R ' soRt identiques (Z 0 repr6sentera l'imp6dance shunt entre les deux grilles d'un r6sonateur et Q le coefficient de surtension). Les puissances d'entr6e et de sortie sORt :

U12 W E = Zo et Ws=F~Z010 ~,

oh F est un coefficient d6pendant du faisceau et I 0 l'intensit6 du faisceau.

O n a : G 2 _ FLZo~Io 2

D'autre part, on a une 6valuation de la largeur de bande par la relation :

(2) • _ ~0 1 Q - 2,ZoC'

o6 v 0 d6signe la fr6qtience centrale et C la capacit6, qui se r6duit en gros h la capacit6 du condensateur plan dont les armatures seraient constitu6es par les surfaces des grilles gi, g2- Si on raisonne sur un faisceau donn6 (F et I 0 constants) et h tension U 1 constante, on volt que le produit GAy est propor- tionnel h 1 ]C. Pour une capacit6 shunt C donn6e, et une fr6quence v0 impos6e, en amortissant plus ou moins les cavit6s, on peut avantager le gain au d6triment de la largeur de la bande, ou r6ciproque- ment, mais le produit des deux, dont on peut dire

- - 2 8 4 - -

t. 1, n ~ 12, 1946] L E S A M P L I F I C A T E U R S

qu'il caract6rise la qualit6 du tube, ne varie pas. Pour accroltre le produit GAy il faut r6duire C - - on est conduit h u n r6sultat analogue dans l'6tude des amplificateurs h, large bande utilisant les lampes conventionnelles - - , ce qui, routes choses 6gales d'ailleurs, conduit h 6carter les grilles gl, g2 (ou g'l, g'2) l'une de l'autre. Mais, ce faisant, on augmente le temps de transit et, en d6finitive, ce dernier cr6e une limitation h l'am61ioration du produit GAy. Lh encore, nous retrouvons un obstacle dfi h l'existence du temps de transit.

Se pla~ant hun autre point de rue et portant plus sp6cialement son attention sur le probl~me de la large bande, on peut dire aussi que, dans le tube modulation de vitesse, les 6changes d'6nergie entre le champ et le faisceau se font dans des espaces tr~s localis6s. Si l'on veut que ces 6changes soient impor- rants, il faudra n6cessairement que le champ 61ec- tromagn6tique existant dans ces r6gions soit intense. Parler de champ intense, c'est h peu pros obligatoire- ment, parler de cavit6 h coefficient de surtension 61ev6, donc h bande 6troite. Au lieu de vouloir pr6- lever du faisceau le plus d'6nergie possible d'un seul coup dans un espace tr~s limit6, ce qui conduit h la raise en oeuvre d'un champ intense, il vaut mieux, si l'on recherche une large bande, 0p6rer une s6rie de pr61~vements plus faibles dans des r6gions succes- sires o~ r~gne un champ peu 61ev6, ou m~me op6rer un pr61~vement continu portant sur une r6gion &endue. On retrouve la n6cessit6 d'avoir une r6gion &endue d'interaction, n6cessit6 h iaquelle nous 6tions d6jh parvenus lorsquenous avions 6t6 conduits h diminuer C. Mais, si les 6changes 6nerg6tiques portent sur des r6gions &endues, les ph6nom~nes de temps de transit r6apparaissent. On ne les 6vitera que si ondes et 61ectrons cheminent approximative- merit h la mgme vitesse. Cela va nous conduire h utiliser des ondes progressant h une vitesse notable- merit inf6rieure h la vitesse de propagation des ondes 61ectromagn6tiques plac6es dans le vide. En effet, pour des raisons de commodit6d'exploitation, oR dolt se homer h des faisceaux 61ectroniques correspondant h des tensions he d6passant pas quelques milliers de volts. Or, la vitesse % d'un 61ectron acc616r6 par une diff6rence de potentiel continue U 0 est donn6e par la relation :

Vo(cm/see) = 5,95.107 ~/Uo(vohs).

Pour U 0 ----- 2500 volts, on trouve % # 3.109 cm/sec., c'est-h-dire approximativement le dixi~me de la vitesse des ondes 61ectromagn&iques darts l'espace libre. Pour exploiter la tendance pr6c6dente, il sera donc n6cessaire de mettre en oeuvre un dispositif destin6 h ralentir la vitesse de propagation des ondes 61ectromagn6tiques. On est conduit, en d6fi- nitive, h chercher ~ r6aliser un tube constitu6 essentiellement d'une ligne h retard, dans laquelle une onde progressi~,e suffisamment ralentie recevrait de l'6nergie d'un faisceau 61ectronique progressant peu pros h la vitesse de l'onde. C'est le tube h ondes progressives. I1 y a lieu de remarquer que l'id6e de

A O N D E S P R O G R E S S I V E S 3/20 faire c6der de l'6nergie h une onde progressive par un faiseeau 61ectronique allant h peu pros h la mgme vitesse est aussi h la base du fonctionnement du magndtron; dans ce tube, on peut consid6rer le champ 61ectromagn6tique comme &ant la superpo- sition de deux ondes progressives tournant en sens inverses autour de la cathode ; la vitesse du nuage 61ectronique dans son mouvement de rotation est h peu pr6s 6gale h la vitesse de ces ondes, de sorte que les 61ectrons sont en quelque sorte ~c accroch6s )) sur l'une des ondes, h la mani~re du rotor d'un moteur synchrone monophas6 qui est accroch6 sur l'une des composantes tournantes du champ [1].

On peut rapprocher ce qui pr6c~de d'une remarque faite par GABOR dans un article paru en septembre 1944 dans le Journal o/ the Institute o/ Electrical Engineers [2].

Soit une onde progressive se propageant suivant un axe Ox vers les x croissants et pr6sentant une composante suivant Ox

e = Ecos m - - ~ ,

o/l ~ repr6sente la pulsation et ~' la vitesse de propagation. Supposons de plus l'existenee d'un champ eontinue r dirig6 vers les z d&roissants, e'est-~-dire dans la direction oppos6e ~ la propagation (e' < 0). A un instant t queleonque, le champ total

E = e + e '

a l'aspect repr6sent6 sur la figure 2. Si !e'[ < E, il existe des points tels que A e t B pour lesquels le

_ le rx

FIG. 2.

champ total est nul. Ces points sont entra~6s dans le mouvement de l'onde et se d6placent avec la vitesse v de cette derni~re. Imaginons qu'un 61ec- tron se trouve h l'instant ten Fun des points A ou B et poss~de la vitesse v ; il est 6vident qu'il se d6pla- cera exactement h la vitesse de l'onde. La vitesse de l'61ectron restant inchang6e, son 6nergie cin6- tique demeure constante et l'6nergie c6d6e par le champ continu qui s'oppose au d6placement de l'61ectron est int6gralement gagn6e par le champ ahernatif. Une &ude simple montre d'ailleurs que, par rapport h un rep~re entraln6 par l'onde, le point A correspond hun 6quilibre stable, tandis que B e s t une position d'6quilibre instable. Si donc l'61ectron plac6 en A h l'instant t n'avait pas exacte- merit la vitesse v, il ex6cuterait darts son mouve- merit par rapport h l'onde de petites oscillations autour de A et les r6sultats pr6c6dents seraient encore valables.

Au cours des derniers mois, l 'attention a 6t6

- - 2 8 5

T~L~COMMUNICATION8 2

/ 4 / 2 0 A. B L A N C ' L A P I E R R E

attir6e avec une intensit6 accrue sur les tubes ondes progressives par les r6sultats indiqu6s par R. K o M ~ n [3]enGrande-Bretagneet J. R. P~EnC~ [4] aux t~tats-Unis d'Am6rique. Les tubes qu'ils oat 6tu- di6s et sur lesquels d'ailleurs nous sommes encore loin de poss6der une documentation complete com- portent essentiellement d'une part un dispositif qui joue le rSle d'une !igne h retard, dans laquelle les ph6nom~nes 61ectromagn6tiques se propagent avec des vitesses relativement faibles, de l'ordre du dixi~me de la vitesse de la lumi~re dans l'espace libre, et d'autre part un canon destin6 h fournir un faisceau darts lequel les 61ectrons ont une vitesse tr~s voisine de celle des ondes dont il vient d'gtre question. Si on suit l'ensemble du faisceau et du champ dans leur propagation, le faisceau peut gtre progressivement modul6 en vitesse et en densit6 ; de plus les ph6nom~nes de groupement qui prennent ainsi naissance peuvent se prgter h un transfert permanent d'6nergie des 61ectrons vers le champ h

ET P. LAPOSTOLLE [ANNALE$ DES TI~LI~COMMUNIC&TION$

cycles (h 3 d6cibels). La puissance h la sortie aurait 6t6 de 200 milli~vatts. La fr6quence moyenne corres- pondrait h 4000 m6gacycles/see.

II y a lieu de remarquer que, er~ l'absence d'61ec- trons, l'att6nuation le long de l'h61ice s'61~verait

33 d6cibels. Les performances que nous venons d'indiquer

suffisent h montrer tout l'int6rgt du tube amplificateur h onde progressive. D'apr~s ce que nous avons dit, ce tube est essentiellement une ligne h retard dans laquelle une onde est susceptible de pr61ever de l'6nergie h un faisceau 61ectronique allant h la mgme vitesse que l'onde. L'objet de ce travail est de pr6ciser, sur un module simple, les propri6t6s de l'interaction 6nerg6tique entre une telle onde et un tel faisceau. Nous n'attachons qu'une importance secondaire aux particularit6s de la ligne h retard, l'essentiel 6tant d'avoir un module permettant d'envisager une interaction du type pr6c6dent. Aussi consid~rerons-nous un sch6ma de ligne h retard

k ^ ^ A , A A ~ , A A . ~ f ~

FIG. 3.

haute fr6quence. Ce dernier crolt donc en se propageant ; il revient au mgme de dire que le tube fonc- tionne en amplificateur. Le dispositif d6crit par R. KOMrF~ER est sch6matis6 sur la figure 3. L'h6- lice H sert h produire l'abaissement de la vitesse de propagation des ondes 61ectromagn6tiques. L'entr6e et la sortie de l'amplificateur sont repr6sent6es en E et S. Le faisceau 61ectronique est issu du canon C, acc616r6 et, en fin de compte, il suit l'axe de l'h61ice dans lequel ilprogresse fi tr~s peu pros h la vitesse de l'onde avant d'gtre capt6 par le collecteur. Pour fixer les ordres de grandeur, nous citons les carac- t6ristiques suivantes, toujours emprunt6es h l'article de KO~rFNER : l'h61ice avait 60cm de longueur ; elle 6tait r6alis6e en fil de cuivre de t,2 ram, le pas correspondant h 5 tours/cm ; le fil avait 6t6 bobin6 sur un mandrin de 8 mm de diam~tre. Le faisceau avait une intensit6 de 110 microampSres et la vltesse des 61ectrons correspondait fi I 830 volts. La longueur d'onde du signal 6tait de 9,1 cm. Le gain en puissance valait 6.

Un travail analogue h celui de KO~rFNER a 6t6 entrepris par 3. R. PIEnC~ et L. M. FIS~D aux Bell Telephone Laboratories. Les earact6ristiques de l'un des tubes obtenus seraient les suivantes : avcc une h61ice en fil de fer de 30 cm de longueur et un faisceau 61ectronique de 1 600 volts et 10 milliam- peres, on aurait obtenu une amplification en puissance de 200 sur une largeur de bande de 800 m6ga-

constitu6 de cellules successives conform6ment h la figure 4. Le faisceau 61ectronique ff' sera susceptible d'6changer de l'$nergie avec la ligne entre les plateaux des condensateurs ~. L'6tude de ce module discontinu nous permettra de mettre en 6vidence la possibilit6 d'un r6gime dans lequel le faisceau 61ec- tronique c~de progressivement de l'~nergie h la ligne, celle-ci 6tant alors le si6ge de ph6nom~nes 61ectromagn6tiques dont l'intensit6 crolt lorsqu'on parcourt la ligne dans le sens du faisceau. L'6tude du module discontinu pr6sente quelques diflicult6s. Pour avoir une rue d'ensemble sur les ph6nom~nes d'interaction qui nous int6ressent, nous introduirons un module continu qui se pr6sentera comme une approximation limite du module pr6c6dent lorsque chaque cellule devient suffisamment courte. Les 6quations math6matiques deviennent alors assez maniables pour qu'une discussion d'ensemble soit possible. Cette discussion conduit h mettre en 6vi- dence quatre types d'ondes ; trois allant dans le sens du faisceau et une allant en sens inverse. Deux ondes correspondent h celles qui se propageraient dans la tigne en l'absence d'61ectrons ; le faisceau 61ectronique a simplement pour effet de modifier les vitesses de propagation sans perturber sensiblement les att6nuations dues h la ligne. Deux autres ondes se propagent dans le sens du faisceau et h une vitesse inf6rieure h celle du faisceau ; l'une d'elles va en s'amplifiant et l'autre en s'amortissant. C'est

- - 286

t. 1, n ~ 12, 1946] L E S A M P L I F I C A T E U R S

l'onde qui s'amplifie qui permet de rendre compte du gain de l'amplificateur h ondes progressives.

Ce qui pr6c~de vaut pour des lignes ind6finies ; les propri6t6s des tubes r6els de longueur finie s'interpr~tent en faisant intervenir une combinaison lin6aire des quatre ondes pr6c6dentes de fa~on tenir compte des conditions aux limites.

Bemarque : Le module continu nous apparalt donc comme une approximation limite commode du module discontinu ; c'est pour cela que nousavons plac6 son 6tude apr6s celle du module discontinu. Cepen- dant, le lecteur qui voudra avoir rapidement les r6sultats d'ensemble peut aborder directement l'6tude du mod61e continu, qui se suffit h elle-mgme.

I. ' M o D ~ L E DISCONTINU.

A. Description du modhle utilisg. I1 d6coule de ce qui a 6t6 dit que le module d'6tude

dolt comporter une llgne h retard darts laquelle les ph6nom~nes 61ectromagn6tiques se propageront h des vitesses relativement faibles. P6ur donner prise facilement h une analyse math6matique, nous

od*

T Ii r i !

A O N D E S P R O G R E S S I V E S 5 / 2 0

centrale d'une cavit6 unique, seraient faits de fa~on fractionn6e, le champ op6rant sur le faiseeau des pr61~vements successifs d'6nergie. La structure que nous envisageons ainsi est une structure discontinue, qui est constitu6e par une s6rie de cavit6s ou, si on revient h la figure 4, par une s6rie de cellules. Si on fait tendre le hombre de ces cavit6s vers l'infini, les dimensions de chacune tendant vers z6ro, on arrive h un module continu, off les 6changes d'6nergie se font sur route la ligne.

Cette 6rude, qui introduira au lieu de sells et de capacit6s localis6es des constantes lin6iques, fera l 'objet de la 'deuxi~me pattie. En outre, nous ne consid6rerons que des vitesses axiales, r6servant h une 6tude ult6rieure la discussion plus pr6cise des trajectoires 61ectroniques.

Le faisceau 61ectronique est suppos6 constitu6, en l'absence de champ, d'61ectrons monocin6tiques de vitesse %. Nous admettons que tous ces 61ectrons se propagent suivant l'axe Ox. Nous d6signons par Po la charge par.unit6 de longueur transport6e par le faisceau. Nous appellerons plus pr6cis6ment Po la valeur absolue de cette charge et par analogie la

T ! ! ..... ...... ...... T !1, T I I t |

t . . . . . . . . . . . . . . . . I - - - 1 "1

FIG. fi.

consid6rerons une ligne ~ retard conforme h u n sch6ma classique, faisant intervenir des sells, capa- cit6s et r6sistances que nous supposerons pour l'instant localis6es (fig. 4). Chaque cellule corn- porte une self s une r6sistance r et deux capacit6s

et 6" Nous supposons que le faisceau 61ectronique circule en if' et traverse les plateaux des capacit6s pourvus de grilles. A l'int6rieur de ces capacit6 8 , il y a interaction entre le faisceau 61ectronique et le champ 61ectrique existant entre les armatures du condensateur. Naturellement, ce sch6ma h imp6- dances localis6es correspond ~ une simplification substantielle du probl6me. Cependant il peut, dans une certaine mesure, repr6senter les-propri6t6s du dispositif de la figure 5, plus proche des montages que l'on a l'habitude d'utiliser darts le domaine des ondes centim6triques. I1 s'agit d'un dispositif sym6trie de r6voluti0n dont la figure 5 repr6sente une coupe axiale. Les r6gions d'interaction entre le faisceau 61ectronique et le champ 61ectromagn6- tique sont les intervalles situ6s entre les grilles gig' 1, g~g'~, g3g'a .... Le dispositif se pr6sente comme un tube h modulation de vitesse darts lequel les 6changes d'6nergie, au lieu d'gtre effectu6s dans la pattie

T1~LI~COMMUNICATIONS

charge de l'61ectron sera repr6sent6e par - - e. Nous supposons que % et P0 ne varient sensiblement pas pendant la travers6e du tube. Dans le tube en fonctionnement, aux valeurs constantes % et ?o se superposent des valeursvariablcs v'(x,t) et p'(x, t). Naturellement, par analogie avec la convention ~aite pour P0, P' d6signera une densit6 de charge n6gative : un maximum de p' correspondra ~ une accumulation d'61ectrons.

Nous ferons l'hypoth~se fondamentale suivante : dans tout le tube (mgme au voisinage de la sortie oh nous aurons la puissance maximum) nous supposerons que l'on a :

~o << t et ~ << I [hypoth6se I]

I1 sera utile de se faire une id6e pr6cise sur l'importance des divers termes pouvant figurer dans les 6quations. Aussi allons-nous indiquer des valeurs num6riques. Elles serviront uniquement h fixer des ordres de grandeur. Nous les choisirons de fa~on h nous rapprocher, des tubes de KOMPFNER et de PIEaCE, da'ns la mesure oh cela est possible, 6tant donn6s les renseignements connus.

287 2 ~

6/20 A. B L A N C - L A P I E R R E E T P . L A P O S T O L L E [ANNALIIS DES TI~LI~COM~VNICATIONS

Nous prendrons r = 2 , 5 . i09cm/sec., ce qui I1 r e s t e h d6finir la longueur Ax = AD d'une correspond h des tensions de l'ordre de t 500 volts, cellule. I1 suffira de la prendre assez faible pour

Nous utiliserons des valeu'rs de P0 correspondant que la fr6quence qui nous int6resse soit inf6rieure h des courantsdei00microamp6res ( p ' 0 = l , 2 . 1 0 -4 h la fr6quence de coupure. On pourra prendre

. . . . . . . ~ , i . . . . . . . . t .:.t . . . . . . . . . " I ' - ' ~ "

F~G. 5.

U.E.S. pour la valeur de v o choisie)ou de 10 milli- amp6res (P"o = 1,2. 10 -~ U.E.S.).

Nous adopterons une fr6quence de 3 000 m6ga- cycles/seconde (longueur d'onde darts le vide = iO cm).

I1 reste ~ fixer des ordres de grandeur pour ~, C et ,~,, ce qui peut para~tre plus arbitraire. Nous avons en rue, dans la deuxi6me partie, l'6tude

It B

FIG.

d'un module continu correspondant h des cellules extrgmement petites. Nous choisissons ici ~, F et

de fa~on qu'ils donnent lieu, par passage h la limite, h des coefficients lin6iques C, L, u d6finis p a r :

C = C.Ax; L "~= L.Ax et y = ~ . A x :

satisfaisant aux conditions suivantes (voir page 293) : a) C = l c m / c m ; b) 7=0,2cm 2; c) L e s t tel que la vitesse de prbpagation dans la

ligne soit 6gale h 2,5. 109 cm/seconde.

Ax = 0,2 cm, les valeurs de G, F, ~ exprim6es en u. e. s. seront alors :

C = 0 , 2 , ~ = 3 , 5 . 1 0 - 2 0 , ~ = 1.

Nous d6signerons par U la tension aux bornes de la ligne et par I le courant qui la traverse. V repr6- sentera la tension aux bornes de la capacit6 ~ . Les fl6ches indiqu6es sur la figure 6 indiquent pour

12 C ....

"]- ,. D

• P

6.

les potentiels et les courants nos conventions de signes.

Nous consid6rerons donc pour l'instant notre syst6me comme un tube 06 l'6nergie du faisceau 61ectronique est capt6e, par pr616vements successifs. Cet apport progressif d'6nergie nous conduit envisager la possibilit6 de l'existence d'une onde se propageant sur la ligne avec une amplitude croissante. En particulier, un m6canisme d'interaction dans lequel l'6nergie capt6e par le champ 61ectro- magn6tique serait ~ chaque instant proportionnelle

l'6nergie transport6e par la ligne conduirait a une

288 - -

t . 1, n ~ 12, 1946]

croissance exponentielle. C'est effeetivement un m6eanisme de ee type que nous mettrons en 6vi- denee. D'autre part le passage des 61eetrons dans les cavit6s a un deuxi~me effet : le faiseeau peut gtre progressivement modul6 en vitesse. Dans certaines conditions il est ainsi possible d 'obtenir un fa[sceau dont la mo&alation h la fois en vitesse et densit6 erolt exponentiellement. Ceci sera surtout pr6cis6 dans la deuxi~me partie de l '6tude (modUle continu).

B. Mdthode de calcul.

Nous avons d6jh indiqu6 que nous supposions que Ir et IP'I demeuraient faibles. Cela nous permet t ra d'61iminer, dans nos relations, les termes du second ordre du type p'v'. Les 6quations que nous eonsid6rerons seront alors lin6aires et homog~nes en U, 1, V, p' et v'. Cette fagon de proe6der sera 6tudi6e avec plus de d6tails dans la deuxi~me pattie. Nous pouvons done ehercher des solutions eorrespondant h une fr6quenee pure, e'est-h-dire dans lesquelles le temps ne figurera que sous la forme d'un facteur muhiplieatif e |eat. Ce faeteur pourra toujours 6tre supprim6 et nous d6signerons d'une fagon pr6eise par U, I, V, p, v les amplitudes complexes eorrespondantes. La travers6e d'une eellule a pour effet de passer de (U1, 11, V1, Pa, Vl) h (U~, Is, V2, 03, v2). Nous voulons essentiellement montrer qu'on peut envisager une propagation avec amplification, e'est-h-dire que si l 'on consid~re une suite inddfinie de cellules identiques, on peut, dans certaines conditions, d6finir un nombre G sup6rieur h I en module, tel que la travers6e d'une cellule queleonque ait pour effet de multiplier par G l 'une quelconque des 5 grandeurs U,,I, V, p, v.

Le dispositif que nous 6tudions est en r6alit6 fondamentalement eonstitu6 par une ligne et un faiseeau. Nous allons chereher h dissocier son 6rude en deux parties. On l~eut dire que le faisceau pertur- be la ligne en faisant apparaltre un courant 61eetro- nique entre les armatures de ,~ et que la ligne per- turbe le faiseeau en soumet tant ses 61ectrons h u n potentiel aec616rateur V. Or h cause du earaet~re lin6aire et homog~ne des dquations le potentiel V e t le eourant 61ectronique sont proportionnels, de sorte que l 'on peut d6finir un eoe~icient constant F tel que l 'on ait :

i = FV.

P est l 'admit tance du faisceau entre les deux armatures de ~ . Nous allons done pouvoir :

1 o I~tudier la ligne, Faction du faisceau 6tant t radui te par l 'admit tance F, et calculer un gain G ~ par eellule.

2o ~tudier le faiseeau, la ligne intervenant par la diff6rence de potentiel V = i /F et calculer un gain G" par cellule.

Naturellement, il faudra raceorder les deux 6tudes par la condition

G ' = G",

qui en r6alit6 se d6compose ea deux conditions, G 6rant complexe.

LRS A M P L I F I C A T E U R S A O N D E S P R O G R E S S I V E S 7/20 C. t~tude de la ligne.

Pr6cisons tout d 'abord ce qui vient d'gtre dit relat ivement h l ' introduction de F. Nous d6signe- rons par ~x la distance entre les deux armatures de et nous supposerons que l'on peut n6gliger dans ~x les effets de temps de transit , c'est-h-dire que nous

VO 6) supposerons ~x << -- (hypoth~se II) avec v -- .

v 27z La capacit6 ~ est le si~ge d'un courant de d6pla-

cement de grandeur

j6)~. v et d 'un courant 61eetronique 6gal

(po + peJ,,")(% + ve~')

en valeur alg6brique (fig. 7).

FIG. 7,

En utilisant notre hypoth~se I sur l 'ordre de grandeur relatif de v et p par rapport h v 0 et P0 et en nous bornant h la composante de pulsation co, le terme pr6c6dent devient :

(poV -F pVo)O ~

Le courant total I s est alors la somme du courant 61ectronique et du courant de d6placement :

(l) 1, = j6 )~v + (P,'o + po,').

La constante F est d6finie par la relation de pro- portionnalit6 :

(2) poV + pro = FV,

de sorte que la relation pr6c6dentedevient :

(2 bis) Is = [J6)~ + r ] v .

A partir de maintenant , nous allons ignorer pro- visoirement l 'existence du faisceau et 6tudier la possibilit6 d'une amplification sur la ligne repr6- sent6e figure 6.

Nous poserons :

(3) ~ = 1 6 ) ~ + F et nous d6composerons l ' imp6dance correspon- dante en partie r6elle et partie imaginaire :

i (4) ~ = ~ + ix .

L'introduction de O~ et ~ conduit au sch6ma de la figure 8. Le signe ded~ est quelconque ; et on con~oit que l 'existence d 'une r6sistance n6gative peut entra~ner un gain dans la propagation d'une onde le long de la ligne.

Nous allons faire l '6tude de la propagation le long de la ligne repr6sent6e figure 8 en utilisant

- - 2 8 9 -

8/2o une m6thode graphique. On a tr~s ais6ment les trois relations :

U~ U~ (5) 1~ -- 1~"

(6) U, = U, + [r + 0~ + j(t~Z + SO)If2 (7) I ~ - 1~ = jo~eU.

h

]~IG. 8.

A. B L A N C - L A P I E R R E E T P. L A P O S T O L L E [ANNALE$ DES TI~-L~COM~UNICATIONS

Pr6eisons bien le sens de ces quatre relations. Nous partons de la ligne d6finie figures 6 ou 8. Les relations (9) et (10) introduisent des param~tres angulaires 0 et ? qui sont d6finis si laligne est con- nue (17compris) et en fonction desquels s 'exprime simplement le gain G.

_ k _ _ .

h

Les trois 6quations sont repr6sent6es vectorielle- merit figure 9.

Comme cela est indiqu6 sur la figure, nous posons :

U1 arg ~ = 20

U~

arg [~ ~- r + ](tos ~ + r)] = 2 + 2q~.

It

Fro. 9.

En supposant T assez petit, ce qui revient h supposer les r6sistances O~ et r assez faibles, on obtient ais6ment les relations suivantes :

4 sin~O _~ r + Xt

' '[UT-~]~I + 2qotg O. I ~ l l

(8) Introduisons I Y = t:" +

d6fini t ive:

~/ fyt C (9) sin 0 = 6 ) T ,

~ a + r (10) 2~ = t~e' '

(1~) ~ = l + 2 ~ t g O ,

U2 (12) arg ~ = - - 20.

Z , nOUS a v o n s e n

En particulier, [a relation (11) montre clairement qu'une r6sistance n6gative

~ - f - r < 0

introduit un gain sup6rieur h I en module, c'est-h- dire une amplification.

Dans les relations pr6c6dentes, P s ' introduit par I tntermedlalre de 2E et O~. I1 nous sera commode de faire intervenir son module et son argument :

(13) F----TIC+.

On d6duit de l '6quation (3) :

Nous v6rifierons par la suite, en faisant intervenir les ordres de grandeur num6rique choisis, que Irl << ~ (Cela signifie que, dans le condensateur ~ , le courant de d6placement est grand devant le courant 61ectronique). En tenant compte de ce fair et d'apr~s (l 3), on peut 6crire :

t ,~ ,..~lFf costF

(14) I

" - t.x) ,~.

Les relations (9), (10), (11), (12) s '6erivent maintenant :

(15) sin 0 = 7 • coz~ " C,

I [Irl cosV ] (16) 2q~ = - - t o z / L " ~ ' z ~ + r_l,

(17) ~ = l ~ t . ~ + r ~ q 4 ~ t~2e . r '

U2 20. (18) arg U1--

En particulier la relation (17) montre qu'il n 'y aura amplification que pour

cos W < O.

D. t~tude du [aisceau 6lectronique.

Consid6rons maintenant les modifications appor- t6es, non plus h la ligne, mais au faisceau 61eetro- nique par son passage entre les grilles du conden-

290 - -

t. 1, n ~ 12 , 1946]

sateur. DGsignons par Av et Ap les variations de v et t~ respectivement, ~ la traversGe de ~ . En supposant, eomme nous l 'avons dGjh dit, que les vitesses sont purement axiales, on a les relations suivantes :

(19) poAv + voAp = - - jcopSx, (20) mvoAv = eV - - rnjcov~x.

La premiere exprime la conservation de l'Glectri- cit6 dans le faisceau.

La deuxi~me t radui t la loi fondamentale de la dynamique.

Enfin nous deports reprendre la relation qui introduit P e t par l'intermGdiaire de laquelle apparalt Faction de la ligne :

(2) ~Vo + ~oV = FV.

Nous cherchons h faire apparaitre dans l 'onde en~ p,v une croissance 6gale h celle que nous pouvons envisager dans la ligne. Nous pouvons supposer que cette croissance est enti~rement localls6e sur l'espace 3x compris entre les armatures de ~ . Cela revient h n6gliger l'effet de groupement pouvant se produire dans l ' intervalle 6quipotentiel Ax - - ~x (fig. 10) s6parant deux cellules.

t t !

F I G . 1 0 .

L E S A M P L I F I C A T E U P ` S A O N D E S P P ' O G R E S S I V E S 9/20

Cette fa~on de voir est enti6rement justifi6e dans le cadre de nos hypotheses g6nfirales I e t des valeurs num6riques donn6es au d6but. I1 ne nous est pas encore possible de le montrer entigrement, pour tant n o u s pouvons dire que clans l ' intervalle A x - 8x les 6quations (19) et (20) sont applieables,

avec V = 0. On a alors, en supposant Ax <<-- M

(ce qui simplifiera nos calculs sans restreindre la g6n6ralit6 des conclusions obtenues) :

(19') roar' = - - j cov (Ax - - ~x),

Voh,O' = - - jco ~ - - E ~ ( h x - - ax). (20')

Si

(21) P~ p, ~o

les seconds membres correspondent simplement h une propagation h la vitesse v 0 sans modification d 'ampli tude. Nous vGrifierons plus loin que la relation (21) est bien correcte et nous pouvons par suite considGrer que c'est sur l'espace ~x que nous

devons avoir notre amplification. Nous devons 6vi- demment avoir :

A~. Av (22) - - = - - .

v

Les 4 ~quations 09), (20), (2) et (22) consid~r~es comme des 6quations e~ p, v, Ap et Av peuvent ~tre r6solues ; en particulier, si on 61imine p, Av, kp, on a la relation suivante qui va nous gtre utile :

(23) P eg 2 = jcopomv28x.

En rGalitG, ce que nous voulons calculer est le gain associ6 h ce qui correspond h une cellule dans le faisceau. Ce gain est :

G" = I 4- v~ - - v.___~1. 91

F 2 - - I., 1 Calculons done ~ . On le

(19'), et (20):

v ~ - - v l Av + A v ' _ (24)

d6duit de (19),

�9 coAx l

Oo

t /-~,p.~. V -T2 -

Or dans le dernier membre de l '~quation (24) nous trouvons deux termes. Le premier correspond h une propagation h la vitesse %. Le deuxi~me terme introduit h la lois une variation de vitesse et un gain (ou un affaiblissement),suivant la racine utilisGe

E. Condition d'adaptation de la ligne et du ]aisceau :

Comme nous l 'avons dit au dGbut de cette 6tude, il nous reste h exprimer que les gains G' et G" darts la ligne et dans le faisceau sont les mgmes et montrer que nous pouvons alors avoir une onde croissante. Rappelons les relations qui fournissent les expressions du gain dans une eellule :

a) ligne :

t . l

•/-'•- 1 ,

J2' V4 - - r 1 6 2

U, 20. (t8) arg U1 --

b) [aisceau:

Ax l J . coepo~x (25) V" = t - - ]co 77o + Yo--J Pm

Si nous dGsignons par Ax lalongueur gGomGtrique d'une cellule, il est commode de reprGsenter le .gain par une expression de la forme :

(26) G---= e(~+J~)Ax.

Dans la mesure off ehaque cellule apporte un faible gain aAx, on a :

t l cI=i+~A. (27) G = t -4- (~ -4- l~)Ax avec argG = ~hx

L'exprcssion du gain fournie par (26) n'est 6vi- demment valable qu'en moyenne, puisque les accroissements sont ici discontinus et localis6s, mais elle nous permettra un rapprochement plus ais6

291

I0/20 avec l '6tude qui suivra, off l 'on consid6rera une ligne

constantes r~parties. L'6galit6 des parties r6elles et imaginaires nous

donne les deux relations suivantes :

(28)

I , / i : partie r~elle ~o~/ Fm = 0tAx,

Ax (29) - 2 0 : - - r

I) o

+ partle imaginaire ~o~/ ~mm -- ~ax.

D'ofl l 'on tire :

ilr) :;y 3o) TI \

A. BLANC-LAPIERRE ET p. LAPOSTOLLE [ANNALE$ DES TI~Lf~COMMUNICATION$

rencontr6 en pratique, off r e s t n6gligeable devant IPl 'r

( 0 2 ~ 2 �9

On a alors, au lieu de (30) :

(3o91r1 e' , l + s i n W

et, en portant dans (28) :

s/(1 + sin ~t z) cos W (33) aAx = ~ / 2

1

) 2 r e s + r -- %2 m e [4 ~ (o*z"e]

I 4- sin tF 2 ~x,

(31) 20 t o A x . J /(Oepo~x (6 '~2) = ~ ~--- - - t / ,-7-ar--~, sin ~ �9

Vo VoW I~1 m

Les 6quations (28), (30) et (31)permet tent , si la ligne est comp]~tement d6finie, c'est-h-dire si on s'est impos6 ]es constantes 6Iectriques et g6om~- tmques, de eaIeuler iF, IP Ie t ~. On peut aussi inter- pr6ter ces relations de la fa~on suivaute. Si on s'est donn6 une cellule au point de rue 61ectrlque, c'est-h- dire si on connait r, ~', G, ~ et 8x suppos6 petit, on peut se proposer de choisir Ax de mani~re h obtenir une amplification maximum. On peut pour cela fixer h priori l 'argument tF de P dont on salt d6jh qu'on n'a d 'amplificatton que pour cos tF < 0.

La relation (30) donne alors les valeurs de [FI possibles. Cette 6quation du 3 me degr6 en [Pl a, quel que soit tie, au moins une racine positive qui, port6e duns (28), donne l'expression du gain sans ambiguit6; h condition qu'on utilise le premier membre de (28). Nous devrons prendre enfin pour ~eart entre deux condensateurs~suecessifs la distance que l 'on d6duit de la relation (31) et qui diff6rera peu (le terme en Po

20% 6tant faible) de - c'est-h-dire de v o r I1 re- r '

vient au m~me de dire que la vitesse de propagation le long de la ligue diff6rera peu de %. Pr6cisons ce point.

On peut 6crire (31) :

--20 = ~ o a - - d - s ~ A x t g ~ - - = - - 6 ) - - r r + Av0'

de.sorte que l 'on peut interpr6ter (31) comme correspondant h une propagat ion h une vitesse qui diff~re de v o par la quantit6 :

(32) Av, ~ !~ ~ ) = % t g - -

La vitesse des 61eetrons est sup~rieure h eelle de l 'onde. ~r a, en effet, le signe - - cos tF, ee qui entralne imm6diatement AVo < 0.

Si nous voulons obtenir des calculs faciles, nous pourrons nous placer dans le eas, pas n6cessairement

que nous 6crirons sous la forme :

a/(1 + sin tF) cos tF AAz. ax=-V 2

On a d 'autre part :

(32) Avo a (_~__~F~ Vo = v o E t g \ 4 2)"

Le gain maximum est alors obtenu lorsque

5~ (35) W =

quitte h ajuster Ax en cons6quence. On a alors :

~hx = 2 A Ax

A% vo A (36)

r - - o 3 2

A a x = r2 (o~ 2 (o 'e %2 s

d) Applications numdriques et conclusions : Pre- nons ~x = I mm, ce qui satisfait h l 'hypoth6se (2).

Avec Ies vateurs indiqu6es au dSbut de cette Stude on obtient :

Z ' = 3 , 2 . 10 -2o

et l 'on a : A' = 2,35.10 -2 pour t~'o -~- 1,2. t0 -4 u. e. s.

et A" -= 11. t0 -2 pour P"o :- t ,2.10 -2 u. e. s.

En adoptant, dans les deux cas, une longueur de 50 cm, on a des gains de 8,7 et 41 d6cibels. La diff6- rence des vitesses est de t,6. t 0 -3 et 7,7. i 0 - 3 dans Fun et l 'autre cas.

Si, dans le cas du 2 me tube, onint rodui t une r6sis- tance r donnant une at t6nuation totale de 30 db,- on trouve, en r6solvant l '6quation (29), un gain r6suhant de 32 db, au lieu de 41 db.

l] nous reste pour terminer fi justifier les approximations faites dans le cours du calcul, h savoir :

po - -v<<0 et F<<r V0

Pour cette deuxi6me condition, on a :

t ~ ~ 18,10'

2 9 2

t . 1 , n ~ 12, 19461 L E S A M P L I F I C A T E U R S A

et d'apr~s (30~), compte tenu de (35) :

F = 0,65,t09 pour P0 = 1,2.10 -4, F = 3.10 9 pour Po ---- t ,2.10 -2.

Quant h la quantit6 Pr ~ , o n a : r

~'~ 120 pour po = 1,2. t0-4, Po~' - -

P~o[~ 28 pour ~o = 1,2.10-~.

Nous verrons enfin, dans la deuxi~me partie, que l 'hypoth~se I (p << poet v << %) conduit h une l imitat ion de la puissance de sortie.

Remarque : En prenant ~F = ~ on trouverai t une

solution pour laquelle ~r serait n6gatif et prendrait exactement la mgme valeur absolue que pr6c6- demment.

Le r6sultat essentiel de ce qui pr6cbde est ]a raise en 6vidence d 'un r6gime possible correspondant une amplification. Les applications num6riques auxquelles nous avons 6t6 conduits donnent des valeurs acceptables. D'autre part les consid6rations pr6c6dentes mont ren t que dons le r@ime avec amplification les ondes r un peu plus lent~ment que les dlectrons.

II. MOD/~LE CONTINU.

A. Ddfinition du module.

Le module 6tudi6 jusqu'ici 6tait un module discontinu constitu6 par une succession de cavit6s ou, si on reprend la repr6sentation de la figure 4, cons- t i tu6 pa r u n e suite de cellules. Si le nombre de cellules devient tr~s grand, chaque cellule apportant une faible modification ~ l 'onde et au faisceau, on peut consid~rer la suite des cellules comme un dispositif continu dans lequel les 6changes d'6nergie entre le champ et ]e faisceau se font de fa~on continue. On est alors conduit h d6finir des coefficients lin6iques L, C, R et y. On a :

(37) Z = Ldx, C = Cdx, r = Rdx.

P o u r la capacit6 s6rie ~ il faut porter son atten- t ion sur le fait que ce qui compte est l ' imp6dance par unit6 de longueur, de sorte qu'on doit poser :

u (38) ~ = ~ .

Le coefficient y a u n e signification tr~s simple. Si on se reporte h la figure 11, qui repr6sente la partie centrale du dispositif, on a e n d6signant par S la surface de chacun des condensateurs s6rle :

S u ~ =4--~=a + b"

relation off a + b et a d6signent respectivement la longueur d'une cellule et l'espace suivant lequel le champ et le faisceau sont en interaction dans une cellule. Affirmer l 'existence du coefficient y.sat ls- faisant h la relation (38), c'est dire que, lorsqu'on

ONDES rROGRESSIVES t l / 2 0

fait tendre vers z6ro la longueur d 'une cellule, a

on garde constant le quotient a ~ " D'ailleurs: pour

a faciliter l'expos6, nous supposerons que ~ est tr~s

i t - i - ~

peu diff6rent de 1, de sorte que nous p0urrons dire que le faisceau est soumis sur toute sa longueur h u n champ E(x) d6fini par

(39) E(x)dx =- ~ Y.

Toutes les autres notations d6jh introduites seront conserv6es.

l / I l i a I I 1 1 / ~ I / I / / A I I / / . ' / u I / / I z / I V / I l I A

, ! ! i ~ i l i I I ! t I ' ' I i I i I , ' '

...... I ...... �9 ....... I ....... t .......... I .......... I ......... I 1 I I I I . . . . . . ! ' l I ~ I I I t " t ' I l " ~ . . . . t I l ~ . . . . . . t . . . . .

I | �9 . . . . . l _ . , I . I , I ! . . i i

o I I I t J I I I I I I

" / \ /

/ / \

/ b / a ~,, FIG. 11.

Nous avons ainsi d6fini un module continu ; il est moins g6n6ral que le module eomportant des eellules distinctes. I1 va cependant nous permettre une 6tude math6matique plus compl6te, qui aura l 'avantage de mettre en 6vidence des aspects plus g6n6raux de la solution du probl~me qui nous int6- resse.

Avant d 'entrer dans l%tude de ce module, rappelons que, pour les applications num6riques, nous utiliserons les ordres de grandeur suivants, qui correspondent h ceux d6jh pris en consid6ration dans ce'qui pr6c~de.

Nous prendrons : l

C = lcm/cm y = ~ c m X cm r ~--0.

La self par unit6 de longueur L sera choisie de fa~on h avoir dans la ligne, en l'absence d'dlectrons, une vitesse de propagation 6gale h 2,5.3.09 cm par seconde. Les 61ectrons seront suppos6s avoir, en rabsence de champ, cettc mgme vitesse. Nous conser- verons les ordres de grandeur d6jh utilis6s pour le faisceau 6lectronique et nous garderons unc fr6- quence de 3 000 m6gacycles/seconde.

B . , M i s e en dquations et mdthode de calcul.

Les grandeurs dont nous devons 6tudier la liaison sont (fig. 12) :

a) la diff6rence de potentiel U A - - U B : Ut(x, t) ; b) l 'intensit6 I'(x, t) ; c) le champ E'(x, t ) ; d) la pattie variable de la vitesse 61ectronlque,

soit v'(x, t), qui se superpose h la valeur continue v0 ; e) la pattie variable de la densit6 61ectronique,

soit p'(x, t), qui se superpose h la valeur continue Po. Il est bien entendu que les grandeurs que nous

d6finissons sont des fonctions de x et de t et ne sont pas attach6es h l'61ectron existant en x, t. En d'autres termes, nous utillsons des variables d'Euler au sens de l 'hydrodynamique. D'autre part, nous maintenons les hypotheses :

i~ << ~o, v << %.

- - 293

12/2o Cela pos6, entre les 5 grandeurs introduites il est

facile d '&ablir 5 relations, qui se r6partissent comme suit :

a) deux relations traduisant les propridtds des circuits :

(40) ~I' 3U' ~x - C --~-,

(41) ~U' [ J ~x L ~ + RI ' - - E'(x,t) ;

0

o- ~ C ax

A. B L A ~ C - L A P I E R R E E T P. L A P O S T O L L E [ANNALE$ DES TI~LI~COMMUNICATIONS

aux solutions eorrespondant ii une fr6quenee d6ter- min6e, de sorte que nous posons :

U'(x, t) = U(x)eJmt, l '(x, t) = I(x)e~t ,

(45) Z'(x, t) = E(x)eJ cot, v'(x, t) = ~(~)e~t, p'(x, t) = p(x)eJ ~t.

Les relations (40), (41), (42), (43), (44) deviennent alors des 6quations diff6rentielles homog~nes en

I ' ( x , ~ z , 0

Ra~ r_

e(=,r) FIG. 12.

D 0 - 4 - - - -

- I

b) une relation exprimant la conservation de lu clans le [aisceau :

(42) ~ I[Po + d(x,t)l [% + v'(x,t)]} + = o ;

c) deux relations exprimant l'interaction entre le champ et le [aisceau :

cr l 'une d'elles est lYquation [ondamentale de la dynamique

(43) m ~[v0 + v'(x, t ) ] ~ + - ~ t = - - eE'(x, t);

[~) l 'autre exprime que le courant total traver- sant le condensateur est la somme du courant 61ec- t ronique et du courant de d6placement :

~E'(x, t) (44) l '(x, t) = - - g ~t -4- /[vo + p'(x, t)]

[vo + v'(x, t)] - - ~0Vo}.

Les relations (40), (41) sont lin6aires par rapport aux inconnues. Par contre les relations (42), (43) et (44) ne sont pas lin6aires. Cependant, &ant donn6 que p' et v' sont suppos6s petits, nous pourrons n6gliger les termes du second ordre et les 6quations (42), (43), (44) deviendront alors lin6aires dans la mesure off cette hypoth~se sera justifi6e. D'une fa~on plus pr6cise, nous n6gligeons les termes suivants :

a) ~-~(p'v') dans le premier membre de (42),

b) my' ~ dans le premier membre de (43),

c) p'v' dans le deuxi6me membre de (44).

Nous v6rifierons d'ailleurs uh6rieurement que ces approximations sont 16gitimes. Cela pos6, dans le syst6me rendu ainsi lin6aire, nous nous int6ressons

U, I, E, v, p. Les solutions sont des combinaisons lin6aires de solutions du type :

U(x) = Uek=, I(x) = Ie k=,

(46) E(x) = Ee kx, ~(~) = , , e L , p(x) = pe kx,

off U, ], E, v e t p sont des nombres complexes et off k est aussi un nombre-complexe susceptible de prendre un hombre fini de valeurs.

Nous cherchons donc des solutions conformes h (45) et (46) ; pour de telles solutions on a :

b (47) ~ [ ] = j r ] et ~x [ ] = k [ ].

Les 6quations (33), (34), (35), (36), (37) deviennent :

(48) k l ~- jCcoU = O, (49) l[jtoL + R] - - E -4- kU = O, (50) k[pvo + poV] + jr = 0, (51) I + jytoE - - pro - - poV = 0, (52) m[kvvo 4- j o y ] = - - eE.

C'est lh un syst~me d'6quations lin6aires et homo- g~nes en V, I, E, v, p ; il admet des solutions non identiquement nulles seulement pour certaines valeurs de k qui correspondent aux ondes possibles.

C. Rdsolution des dquations.

On tire imm6diatement des relations (48), (49), (50), (52) les r6sultats suivants ;

Co) o2LC + k s - - jcoCR

i - I = - - i - ~ - u , E = k U,

(53) v = e I r + k 2 ~ jCwR U, i m k (kv0 + jto)

e r + k ~ ~ IC~R U. P = m Po (kvo + leo) ~

En portant ces valeurs dans l '6quation (51) q u i

- - 2 9 4 -

t. 1, n ~ 12, 1946]

n'a pas 6t6 utilis6e, on trouve la relation ~ laquelle k dolt satisfaire pour que le syst~me soit compatible :

m [kvo 4- i6)]2 (54) Polk 2 4- COsLC--ICCOB] 4- ye [ k S 4 - c o s L C _ j C c o R _ C] = O.

C'est une 6quation du 4e degr6 ; il y aura donc 4 types d'ondes possibles. Interpr6tons tout d 'abord

La .. RA)c

L E S A M P L I F I C A T E U R S A O N D E S P R O G R E S S I V E S 13/20 La relation $2-----0 s ' introduit si on 6tudie la

propagation en l 'absence d'dlectrons dans la ligne repr6sent6e par la figure 14. Tout ce que nous venons de dire h propos de $1 = 0 vaut pour $2 = 0 h condition de remplacer coL par

1 (59) coL' = c o L - - - - " y ~

La pr6sence de la capacit6 s6rie a pour effet de

R& c ,

- - C A X

.~ CZI~ T

F l a . 13 .

le sens des divers groupes de termes contenus dans la relation (M). Nous l'6crirons :

r6duire 16g~rement la valeur de la self lin6ique L. La vitesse qui s ' introduit alors est :

m (55) poS~ + Y e $3~ $2 = O,

en posant : $1 = k s 4- co2LC ~ jCcoR,

S,~ = k s 4- c o 2 L C - jCcoR ~ - (56) Y

C

1 (60) [u'[ --

~/L'C

Pour les applications num6riques, nous avons convenu de prendre [u'[ = 2,5.10%m/s. On a darts les mgmes conditions u = 2,39A0%m/s.

= k* + co2L 'C- - jCcoR, Enfin Sa = 0 repr6sente une onde se propageant $8 = kv0 4- jco. sans at t6nuation ni gain h la vitesse v0, soit :

La relation $1-= 0 s ' introduit si l 'on 6tudie la propagation en l'absenee d'dlectrons dans la ligne (61) e l ~ [ t - ~ ]"

. . . . T FIG. 1~.

repr6sent6e par la figure 13. On sait qu'il y a deux ondes possibles allant l 'une dans un sens, l 'autre en sens inverse, qui sont repr6sent6es, au moins si l 'amortissement est assez faible, par l 'une des deux exponentielles suivantes :

I e . e 2VL [' �9 e2r ejCO + x.

Chacune de ces ondes est amortie et se propage avec une vitesse dont la valeur absolue est donn6e par

t 5s) lul -

Nous supposerons dans notre 6tude que:la densit6 P0 est assez faible pour que les propri6t6s de la ligne soient peu affect6es par la pr6~ence du faisceau 61ec- tronique. Que se passe-t-il si Po tend vers 0 ? La relation (55) tend vers

(62) s3 s 82 = 0,

dont les racines sont :

CO a) k I -~ k S ~- - - j ~o (racine double), correspon-

dant h une propagation dans le sens du faisceau h la vitesse Vo ;

co R / C b) k 8 ~ - - - ] ~ - - - ~ L ! = - - J ~ l - - Ol ,

295 - -

1 4 / 2 0 x. BLANC-LAPIERRE

c0rrespondant h la propagation possible darts Je sens des x croissants pour la ligne de la figure 14 ;

i02 /

c) k4 R / C = u ~ - 4 - 2 U = J~l -4- %, qui corres-

pond h la propagat ion en sens inverse dans la m~me ligne.

Pour de petites valeurs de 90, l '6quation (54) aura deux racines voisines de la valeur kl, une racine voisine de la valetar k a et une racine voisine de k 4.

Nous ~,oulons dtudier les phdnom~nes d'interaction entre le champ et le [aisceau pour des vitesses glectro- niques ~oisines de la ~,itesse.de propagation des phd- nombnes dlectromagndtiques dans la ligne. Nous poserons donc :

(63) Vo = u' + ~ avec ~ << , ' .

Pour faciliter la discussion, nous n6gligerons l 'amort issement propre de la ligne, c'est-h-dire que nous ferons R = 0. La m6thode que nous indiquons pourrai t d'ailleurs s 'appliquer au cas R # 0 ; mais il faudrai t cons tamment �9 comparer l 'ordre de grandeur de l 'amort issement dfi h R h celui de l 'amort issement positif ou n6gatif dfi h l ' interact ion du champ et des 61ectrons, pour orienter les approximations. Nous supposons donc R : O et % # u' ; dans ces conditions : kl, k2, k a different peu de - - j 02/u' et nous devons nous a t tendre h t rouver I racine voisine de -4- j02/u' et 3 racines voisines de - - j02/u'.

~) J~tude de la racine ~,oisine de + j 02/u'. Posons

k J02 = u' + ~ =k~ + z.

La relat ion (54) s'6crit :

(64) po[(k--k~)(k--ka) + C/y] + y 7 r k + V~_l

[ k - - ka ] [k - - k~] = o o n

[ m E J02q (65)~o ~(k~--k~+~)+;~ +V~o~ k+%3 ~ [ M - - k~ + ~] = o

Pour r assez peti t , on a sensiblement :

- -J~0 C e % - - - - _ _ , ~

(66)" ~ = 8 y~m02a

Avec les valeurs num6rique s que nous avons choisies, on t rouve :

= 0,48po • 10 -3,

soit r = 0,58.10 -~ pour 90 = 1,2.10 -~ u.e.s ,

o n

r -4 pour p o = 1,2.10 -3 u.e.s.

L 'ordre de grandeur de r justifie l 'approximat ion qui a permis de passe~ de (65) ~ (66). En d6finitive, nous sommes en possession d 'une racine :

(67) k'4 J02 Po C e %' - . , J 8 y~/a 02~

I1 s 'agit d 'une propagation en sens inverse du faisceau 61ectronique. Cette propagation s'effectue

ET P. LAPOSTOLLE [ A N N A L E S DES T]~LI~COMMUNICATIONS

sans gain ni att6nuation, avec une vitesse trbs 16g~rement sup6rieure h u'. Si on avait tenu compte de l'amortissement de ]a ligne, on aurait trouv6, pour ces ondes, une att6nuation analogue h celle qui existe darts la ligne en l 'absence de faisceau 61ectronique.

~) l~tude des racines voisines de - - j02 /u'. Posons alors :

- - j02 k - - - - ~- ~ = k,~ + r

La relation (54) s'6crit main tenant :

(68) po r 1 6 2 + y m ( u ' + c p ) 9

[ J02]' k + u , T �9 - r k4 q- z] = O.

6tant bien plus pet i t que u', on peut poser .

j6~ J02F ~ ] J02~ (69) k + 7 - ~ - ~ + # k + - ~ 1 ~

Nous voulons 6tudier ce qui se passe pour ~ # 0 ; nous n6gligerons donc j to$/u '~ devant z (nous verrons plus loin dans quelle mesure cela est 16gi- time). De mgme, nous n6gligerons ~ devant u' ou % ; d 'autre part , r 6tant petit , nous n6gligerons elk a - k S + ~] d e v a n t C / y et c d e v a n t k a ~ k 4. On obtient alors facilement la relation suivante :

c , . , [ 2i02l o, p o ~ + ~ ' T u ~ e - - , , . j =

d'ofi - - j p o . C . e

~ 3 = . _ _

2 y2.m.u'02 3/ e C 1

(70) ~ = I/-- i A avee A = V p o . ~ . ~ , , - 0 2 ,

Fixons tou t de suite les ordres de grandeur :

_ 3 /e cu,021 - 0 , 5 2 ~ / ~ : (71) A = ~/Po. ~/~mm'y"

avec Po = 1,2.10 -3 , on trouve A = 0,12 etavec po= 1,2.10 -4 , ontrouve A = 0 , 0 2 6 ;

Les 3 racines possibles pour r sont dispos6es comme l ' indique la figure 15. On volt ais6ment que :

a) une partie r6elle positive correspond h une onde s 'amplifiant lorsqu'on se d6place dans le sens des.x croissants ; une partie r6elle n6gative correspond h une 0nde s 'a t t6nuant lorsqu'on se d6place dans le sens des x croissants ;

b) une partie imaginaire positive correspond une onde progressant h une vitesse sup6rieure ~ u', une pat t ie imaginaire n6gative correspond h une onde progressant h une vitesse inf6rieure h u'.

Nous mettons donc en 6vidence 3 valeurs de k :

k'l - - - - i02 J02 + A ~-~ 3 i&j JU ~i - - it./

(72) k'2 = . u---7- --

k ' a - - , , + za -- u' + j A

- - 296 - -

t. 1, n ~ 12, 1946] L E S A M P L I F I C A T E U R S A

Avant d'aller plus loin, il faut pr6ciser les conditions de validit6 du ealeul pr6c6dent ; r est bien n6gligeable devant k a - - k4 ; z(ks - - k4) est n6gli- geable devant C / y pour Po = t , 2 .104 ; par contre, l 'approximation est moins bonne pour Po = t , 2.10-2, ce terme 6tant en module de l 'ordre de 20 % de C/y. I1 reste surtout/~ voir dans quel domaine dolt rester

pour que le calcul pr6c6dent air un sens. On dolt avoir :

O N D E S P R O G R E S S I V E S 1 5 / 2 0

Tirons quelques cons6quences des r6sultats pr6- c6dents :

to Nous constatons l 'existence d'une onde O2 qui se propage dans le sens du faisceau 61ectro- nique avec une at t6nuation n6gative. L'amplification est donc possible.

20 I1 est facile de voir que la vitesse de propaga- t ion de cette onde est 16g~rement inf6rieure h la vitesse des 61ectrons.

Remarque : Les r6suhats que nous venons d'indiquer valent pour une vitesse 61ectronique tr6s voi-

�9 r r + i ~ TT' ?_ 5

qg

at nuation

:,oi amplif'ic,~tion

FIG. 15.

D'oh e C /$15

(73) << Vm p po ou << /

Avec les valeurs num6riques que nous avons adopt6es, cela donne :

/=-0,04.10 ' pour P0= t, 2.t0-2 ,

et / = 0,008.10 ~ pour P0 -- t,2.10-L

En r6sum6, sous des conditions que nous venons de pr6ciser, nous avons mis en 6vidence 4 ondes susceptibles d'exister et de se propager : nous r6sumons leurs propri6t6s dans le tableau suivant :

vi~r162 �9 it'

vi sse <

sine de u'. Si V 0 est le potentiel continu associ6 aux 61ectrons, on a :

t "~ mvo ~ = eVo.

D'ofi :

q~ 2 AVo

<< / signifie : AVo << 0,5 volt pour Po = t,2.10-' ; << / signifie : AVo << 2,5 volts pour ~o ---- t,2.10 -~.

On voit que les approximations pr6c6dentes ne sont valables que pour des valeurs de U o extrgme ment voisines de mu'Z/2e. S'il n'en est pas ainsi, il

N ~

01

0~

03

0~

EXPRESSION ANALYTIQUE

.Co A ~/3 e--~[g, + ~]x e J ~ t e - A y z

O--I[~--A]x oI tOl

l po e [u' 8 7' m

N t SE S DE PROPAGATION

<

VITESSE

Y

tt '

ATTENUATION

Att6nuation positive d6finie par

_A V-3z e -T

Amplification a6 fin-~o I

par o +A?x

Att6nuation nulle [ou de l'ordre de l'amortissement propre de la ligne]

Att6nuation nulle [ou! de l'ordre de l'amor. tissement propre de la ligne].

297

1 6 / 2 0

faut reprendre la discussion pr6c6dente, les termcs que nous avons consid6r6s comme petits ne pouvant plus gtre n6glig6s. D'une fa~on g6n6rale, reprenons l '6quation :

~oS1 -[- _~_t $3282 = O,

off nous supposons, pour simplifier, l 'amortissement n6gtigeable. Les vMeurs de v0 pour lesquelles des perturbations peuvent naltre darts cette 6quation sont li6es aux solutions de

S~ ---- 0 ou S~ = 0,

c'est-h-dire h

k ~ j ( o jco = ~ o . k = +~.

A. B L A N C - L A P I E R R E ET P. LAPOSTOLLE [ANNALES DES TI~LI~COMMtNICATION$

D'ailleurs, les solutions k sont voisines de • --7 et, u d 'autre part, nous supposons ~0 # u'. Les relations pr6c6dentes prennent alors la forme :

- - jCco C 1 -- k U E = ~--~ U

e C U (53 C) ~ = m yk k~' + jr

e C U P ----m~~ (ku' + i6)) ~

a) Ondes O~,Oz, Oa. - - O n dolt remplaeer k par

- - jco/u ' et ku ' + jco par u' ~k + = u'r I1 \

vlent donc :

Le calcul pr6c6dent suppose essentiellement que $3 s'annule tr~s approximativement pour k ----- ~ j 6)/u' (de sorte que $32S2 est un terme en r % restant assez 610ign6 de u pour que $I demeure fini.

Ei ,Ea ,Ea -Z ~ Us

Ig ; U3

1/

(53 D) e C U

rrt "~ (.o r

C tt I ~ U E = J y t o

e C U P = ~ Po~,,~,~

u, i , f : 'v" I' F~G. 16.

On pourrait employer des m&hodes analogues pour &udier ce qui se passe lorsque v o est tr6s voisin de u. Nous n'entrerons pas ici dans le d6tail de cette discussion et nous nous bornerons aux r6sultats d6jh 6tablis dans l 'hypoth~se ~ << [ notre but essentiel est de donner une id6e d 'un m6canisme de fonctionnement d 'un tube h onde progressive et en particulier de montrer comment peut prendre naissance la modulation du faisceau. Ce but peut &re at teint avec les r6sultats 6tablis pour ~ <</.

D. J~tude des ondes O1, 02, Oa, 04.

Nous allons main tenant pr6ciser avec plus de d6tail les propri6t6s des ondes O1, O~, O3, Oa, dcnt les caract6ristiques essentiellcs ont 6t6 donn6es dans le tableau du paragraphe C. Nous supposons toujours, pour simplifier, l 'amortissement propre de la ligne n6gligeable. Les relations (46) deviennent pour B ---- 0 :

o) ~ LC -4- k ~ - - j C o U E -- U I - - k k

e 1 6~2LC -]- k 2 (53 B) ~ -- m k k% + j6) U

e o~LC -4- k ~ P = m Po (k%+jto)2 U

Rappelons d'ailleurs que l 'on a :

+ - ~ ] ; r = 7~

r = Ae J5

; D'oh la consti tution des ondes O1, 02 , 03 . Les modules de I, E, 9, ~ sont les mgmes pour

les 3 ondes et s 'obtiennent en remplaCant r par A dans les relations (53 D). Les phases relatives sont indiqu6es sur la figure t6, oh on a suppos6 que, pour les 3 ondes, les vecteurs U 6talent en phase.

a) Attdnuation ou gain. - -Pour quele champ hyper- fr6quences re~oive de l'6nergie, il faut qu'en moyenne il joue le r61e de champ de freinage. E dolt donc avoir une composante en opposition de phase avec le courant 61ectronique - - [PoV -f-t~o]. Nous verrons d'ailleurs que, pour les ondes O1, 02, Oa, le vecteur pro est bien plus grand que po~'. On peut donc dire que E dolt &re positif lorsque pest maximum pour que le champ gagne de l'6nergie. I1 revient au m~me de dire que le d6phasage existant entre pet E n e dolt pas exc6der ::/2. C'est ce qui a lieu pour l 'onde O2; par contre l'onde O1, pour laquelle ce d6phasage vaut 7~ 7~

+ ~, est att6nur ; il n 'y a ni gain ni at t6nuation

pour Oa, pour laquelle p et E sont en quadrature.

- - 298

t 1, no 12, 1946] LES A M P L I F I C A T E U R S A O N D E S P R O G R E S S I V E S t7/20 b) Modulation croissante ou ddcroissante. - -Cons i -

d6rons (fig. 1 7) la courbe p = p(x, t) ~ l ' instant t. Les maxima correspondent aux points de concen- trat ion des 61ectrons ou, si l 'on veut employer une

Les vecteurs correspondants sont dispos6s comme l'indique la figure t9 ; on retrouve bien en utilisant les remarques pr6c6dentes qu'il s 'agit d'une onde n 'ayant ni gain ni att6nuation.

f(x,r) artxra /

v

FIG. 17.

expression r aux paquets 61ectroniques. Portons notre at tention sur ce qui se passe au voisinage de l'abscisse x de l 'un de ces maxima l ' instant t 1. La modulat ion aur'a tendance/~ eroltre si

vit , x -~ Ax] < v[t, x - Ax] ,

"U" correspondant ~iune modulation

d~ eroissan~

E. [letour sur les approximations el~ectudes.

I1 faut maintenant faire un retour sur les approximations qui nous ont permis de rendre lin6aire le syst~me des 6quations (40), (41), (42), (43), (44).

Dans l '~quation (42) on a n6glig6 un terme ~x (p'v'),

I ~ cornespondank

ce qui donne, en introduisant la vitesse propagation des ph6nom~nes :

~ [ t - - ~ , x ] < ~[, + ~ , x].

I1 faut donc, pour avoir une modulat ion croissante, que lorsque pes t maximum, v soit croissant. v dolt donc ~tre dispos6 par rapport h p comme l'indique la figure 18. En d'autres termes, la modulation sera croissante si l 'angle inf6rieur h r~ de v avee p, compt6 de v vers p , est positif ; elle sera d6croissante dans le cas contraire.

L 'examen de la figure 16 confirme bien le fait que la modulation s 'att6nue dans O1, s'amplifie

aune~ modulakion c roi~.~ anl-e

dans 02 et reste constante dans 0 a.

Onde 0 4.

I = - - U

(74) I e C 1

I I

FIG. 18.

u' de dont le module est de l 'ordre de 21kllpv [. Ce terme dolt ~tre petit devant chaeun des termes kp%,

I

[ FIG. 19.

. C u r E = ] U

yco e C I

kp0v , cop. Si on se rappelle que l 'on a tr~s approximat ivement co ~ Ikl%, on volt que cette approximation est bien 16gitime si :

(75) IPl << P. et Iv[ << %.

- - 2 9 9 -

t 8 / 2 0 A. B L A N C - L A P I E R R E ET P. LAPOSTOLLE

Darts l '6quation (43) on a n6glig~ my' ~ x ' dont le

module est de l 'ordre de ml,12lk!. Ce terme dolt gtre petit devant mvlkv 0 + ]co]. Mais en t i rant la valeur de k% + j~o de (50), on voit que l 'approxi- marion sera 16gitime h condition d'avoir :

mini Ikl p~ [~[ ml~ I IP'---]-- >> Ikl'

soit p<< Po.

Enfin darts l '6quation (44) on n6glige ~ devant P~'o + ~o~. Or on a :

Mais on tire de (50) :

[ ~vo k + ] = - - kpo~',

d ' o f l :

i'0

Cette relation donne

k + j - - Vo

~o k 'tO

approxi-

ma t ivement : % = 2 '--i, e t p o u r O1, O 2 o u O 3 : O0

: =

Dans tous les cas, on a :

[ k -4- l ~ . ] J ~ (77) r v p p

~ k D'ofi :

# po"

Notre approximation est 16gitime si :

c'est-h-dire si : << %.

En d6finitive, les 3 approximations faites se justifient darts la mesure off ~, et p restent respective- merit petits en module devant % et Po. 'Or, en patt i- culler, pour l 'onde O, qui va en s 'amplifiant, cette condition ne peut ~tre ind6finiment satisfaite ; il s 'ensuit une l imitat ion de la validit6 de nos calculs. Nous allons pr6ciser ce point.

Calculous par exemple avec les donn6es num6- riques adopt6es et en prenant la valeur P0 = 1,2.10 -z qui correspond h u n courant d'une dizaine de milli- amperes quelle est la puissance de sortie que nous pouvons admettre sur une onde Oz pour que le

rapport ~ h la sortie ne d6passe pas 1/5. On tire Po

P/?o de l 'une des formules (53 D) : [p e C ,U,

(7S) - - m y u '2 A z

[ANNALES DES TI~LI~COMMONICATIONS

D'ofi :

t 1 1 = g 1,77. t0, . 3.10 t0" g (2,5. t0,) 2 . 0,122,

U = 0,007 u.e .s , soit 2,t volts environ.

La puissance eorrespondante est :

U1 U ~ Coo U 2 -2 = 2 [-~ # 2 Cu',

(79) U1 ~ 25.10 -e • 2,5.109 -=- 62,t03 ergs/s soit 6,2 milliwatts.

On voit que l 'approximation faite n'est valable que tau t que la puissance de sortie reste faible : en particulier, la valeur de 200 milliwatts qui cor- respondrait /~ la puissance de sortie du tube de Pierce serait d~jh trop 61ev6e si les valeurs num6- riques adopt6es valaient pour ce tube.

F. Applications.

1o Ggndralitgs : D a n s les limites de validit6 des th6ories pr6c6dentes, l '6tude d 'un amplificateur /~ onde progressive se pr~sente de la fagon suivante : Supposons que l ' interaction entre le champ et le faisceau se produise entre x = 0 et x = L. Les ph6- nom~nes qui interviennent dans l 'amplificateur sont bien repr6sent6s par une combinaison lin6aire )`101 -3[- )`202 -[- )`303 -~- )`404 des ondes pr6c6dentes. Les param6tres )'1, )`2, )`3, )'4 seront choisis de fa~on h satisfaire aux conditions, a ux limites, qui pourront etre par exemple les suivantes :

a) en x = 0 on impose : = 0 v = 0 U = U l e l t ~ ;

U(L) b) en x ---- L on impose ~(ff) , c'est-h-dire l'imp6-

dance de sortie. Naturellement, on aura int~r~t h avolr des dispo-

sitifs de couplage qui, par les conditions auxlimites qu'ils imposent, favorisent l 'onde O2 qui correspond

une amplification.

2o Calcul du gain : Nous allons calculer la valeur du gain relatif h l 'onde 0 2 pour un tube de 50 cm de longueur et pour les valeurs num6riques adop- t6es. Le gain en amplitude G est donn6 par :

(80) G = e A ~ L.

La valeur en d6cibels du gain en puissance s'exprime par :

G' ---= 2.t0A ~ L X 0,43 = 7,4A.L ----- 370A db.

Pour po = 1,2. t0 -4 u. e. s. on a A -= 0,026 et G r --' 9,6 db ;

pour P0 = 1,2.10 -2 u .e . s , on a A = 0,i2 et G r = 44 db.

3 ~ Mdcanisme de modulation du [aisceau : Nous allons 6tudier le m6canisme de la modulat ion progressive du faisceau. Pour simplifier, nous pouvons supposer le tube ind6fini (L = cx3).

- - 300 - -

t. 1 , n o 12, 1946] LES A M P L I F I C A T E U R S A

Nous 6viterons ainsi l 'onde de retour 01 cr66e par la r6flexion sur le plan x = L. Nous supposons le faisceau 61ectronique non modul6 en a ~- 0 [p(0) = 0 et ~,(0) = 0] et nous appelons U la tension d'entr6e impos6e. D6signons par (U1, P1, vl),( U2, P2, % ) (U3,P3, Vs), les grandeurs associ6es h des ondes du type O1, 02, 03. Ces grandeurs 6rant d6finies h u n facteur pros, il est inutile de faire figurer explicite- ment les coefficients X et en d6finitive nous devons r6soudre le syst~me :

I U = U I + U ~ + U~ (81) 0 = ~'1 -J[- O2 -~- (~3

0 = Pl + P~ + P~

Si on se reporte aux 6quations (53 D) et si on pose 1

= - on peut 6crire :

U1-4- U2 ~- U3 "~-- U (82) U ~ + U~ , + U ~ = 0

Ui~q~ z + U ~ ~ + U~a ~ = 0 U

Ce syst6me admet la solution U1 = U~ ~ Ua = -3-"

Ce r6suitat cst 6vident si on remarque que ~1, ~z, ~a satisfont aux relations :

~ , + ~ + ~ 3 = 0 et ~ 2 + ~ + ~ a ~ = 0 .

Ainsi d0nc, h l'origine, les 3 vecteurs U1, Us, Ua sont 6gaux et en phase. Si on remarque que l'on a :

on en d6duit que les 3 vecteurs p ont mgme longueur et sont dispos6s conform6ment h la figure 16, la mgme conclusion valant pour les vecteurs v. La condition v = 0 ou ~ = 0 s 'obtient (lonc pour x = 0 grace h la nullit6 de la somme g6om6trique de

2~ 3 vecteurs 6gaux et h ~- les uns des autres. ]~tudions

la valeur de la r6sultante v pour les petites valeurs de x.

On a, h u n faeteur constant r6el et positif pr6s :

e+]~, x v(x) = e + l g . e [ - V ~ - ~ ] -

- ~ + e ~ ~ e ~ O~

Un d6veloppement en s6ric d e s exponentielles contenues dans la parenth~se et qui varient lentement en x donne imm6diatement ;

v(x) = - - jAxU~e

Ce calcul, bas6 sur les 6quations approch6es (53 D) et (70), ne donne pas une description rigou- reuse des ph6nom~nes pour x petit. Des 6quations aux d6riv6es partielles (42) et (43), on d6duit que

et ~ sont du premier ordre en x, la composante alternative du courant 61ectronique 6rant du second ordre.

I I I . COMPARAISON DES RESULTATS

CORllESPONDANT AUX DEUX ETUDES PRECEDErqTES.

I1 est int6ressant de raccorder les r6sultats que nous avons obtenus par les deux m6thodes pr6c6-

ONDES rROGRESSIVES 19 /20

dentes. Tout d'abord, si on n 'at tache pas une trop grande importance h la notion de continuit6, le premier module 6tudi6 est plus g6n6ral que le deuxi~me, en ce sens qu'il ne confondait pas n6ces- sairement Ax et ~x. La solution utilis6e pr6sente l 'avantage de se prgter h des repr6sentations g6o- m6triques simples et surtout de mettre en 6vidence l 'imp6dance du faisceau aux bornes du condensateur s6rie. Par contre, les m6thodes employ6es dans la premiere partie sont moins g6n6rales et se pr~tent h des discussions moins pr6cises que les proc6d6s utilis6s dans la deuxi~me partie. Le but essentiel poursuivi dans la premiere partie est de montrer la possibilit6 d'existence d'ondes allant en s'amplifiant. L'onde qui correspond au' gain maximum, c'est-h-dire h ~F = 57:/6, est analogue h l 'onde 02 de la deuxi~me partie. D'ailleurs, si on t ient compte

:o) d u f a i t quepv 0 + p 0 v d i f f b r e p e u d e 9 % , f~ >>

on volt que ~F = 5~/6 signifie :

57~ 7~ a r g u m e n t p = a r g u m e n t U + - ~ - - - - a r g u m e n t E - ~.

C'est bien ce qui a lieu (fig. t6). De m~me, l 'onde amortie dont nous avons signal6 l'existence (voir remarque page 293) est analogue h l'onde O 1. Nous avons en effet fait remarquer qu'on l 'obtenait pour

~ x / 6 ; on a, pour elle, en vertu de la m~me remarque quc pr6c6demment :

Argument p ~--- argument U + ~ 5r162 6 ---- argument E - - - ~

C'est bien ce que la figure 6 nous indiquc pour O v Enfin la relation (36) donnant la valeur de A A x

redonne, pour ~x = Ax, la m~me valeur pour le gain que celle qu'on d6duit de la formule (70) ; il suffit de faire tcndre ~, f f vers 0 et ~ vers l 'infini en respectant les valeurs des coefficients ]in61ques.

On peut cependant se demander pourquoila m6- thode de la premiere partie ne nous a fourni simplement que 2 ondes fondamentales, tandis que la deuxi~me en met 6 en 6vidence. Cela t ient hce que la m6thode du d6but est conduite de fa~on h mettre en 6vidcnce les ondes pr6sentant un gain sup6rieur h l en module ou une att6nuation, mais les calculs effec- tu6s 61iminent les ondes pour lesquelles le gain est 6gal h l 'unit6, c'est-h-dire O aet Oa. Pour r = 0, cela apparalt en particulier clairement sur (30'). Une onde h gain I correspond h cos ~F = 0 et par suite h sin ~F = • ].

Pour sin ~F ~-- + 1, l '6quation cst impossible et pour sin ~F = - ~, elle aboutit h une ind6termi- nation.

CONCLUSION

L'6tude qui pr6c~de nous a permis, sur un modhle particulier, d'obtenir un certain nombre de r6sultats qui nous paraissent susceptibles de pr6ciser le m6ca- nisme d' interaction entre une onde progressive e t

un faisceau 61ectronique de mgme vitesse.

- - 3 0 1 - -

2 0 / 2 0 A. BLANC-LAPIERRE

Nous avons consid6r6 une ligne dans laquelle la propagation s'effectuait normalement ~ la vitesse u' ; nous avons 6tudi6 l ' interaction entre les ph6nom~nes 61ectromagn6tiques dont cette ligne est le si~ge et un faisceau 61ectronique dans lequel les 61ectrons se propagent ~ la vitesse % # u' et Oll la densit6 lin6aire de charge est - - P0. En supposant les variations alternatives de vitesse et de densitd petites devant % et Po, nous avons m i s e n 6vidence l'existence de quatre ondes possibles dans le dispositif envisag6 suppos6 ind6fini ; trois de ces ondes vont darts le sens du faisceau, la quatri~me allant en sens inverse. Dans chacune de ces ondes, les grandeurs alternatives (champ 61ectrique, potentiel, intensit6, vitesse 61ec- tronique et densit6 de charge)sont du type Me jot +kx off M est une constante complexe d6pendant de la grandeur con,id6r6e et de l 'onde envisag6e, tandis que k est une constante de propagation complexe, la mgme pour routes les grandeurs dans une onde donn6e. Deux des quatre ondes pr6c6dentes d6- rivent de l 'onde d'aller et de l 'onde de retour dans la ligne en l'absence du faisceau. Elles n'en diff6rent que par leur vitesse, qui est sup6rieure ~ %, c'est-h- dire h u' ; les deux autres ondes dont l 'existence est fondamentalement li6e ~ celle du faisceau se propagent moins r i te que lui ; elles vont routes deux dans le mgme sens que les 61ectrons. Pour rune de ces ondes il y a trans/ert d'dnergie du /aisceau d l'onde et par suite amplification; pour l 'autre il y a au contraire at t6nuation. La valeur de la constante k li6e h l 'onde amplifi6e est :

k = - - j ~ + A +A~avec A =~/~ooV2~ny2u, co '

oh C et y sont li6es aux imp6dances lin6iques de la ligne. Pour cette onde, le gain par centim~tre est

e aqT/2. Des applications num6riques donnent pour le gain des valeurs qui concordent avec les r6sultats connus. A d6pend peu de la fr6quence ; il varie comme r ; il est d'ailleurs possible que cette forme de variat ion soit li6e aux lois de d6- pendance des imp6dances en fonction de co et, par suite, d6pende du module utilis6.

Pour l '6tude d 'un tube r6el, il faut tenir compte des conditions aux' limites h l'entr6e et h la sortie du tube. On peut, par exemple, s'imposer h l'entrde le potentiel et l '6tat de modulation du faisceau en

ET P. LAPOSTOLLE [ANNALES DES T~--LI~COMMUNICATIONS

vitesse et densit6 et, h la sortie, l 'imp6dance d'utilisation. On peut tenir compte de ces quatre conditions en utilisant une combinaison lin6aire conve- nable des quatre ondes fondamentales. L'6tude d 'un tube ind6fini du c6t6 des x croissants et atta- qu6 h son entr6e par un faisceau non modul6 en vitesse et non modul6 en densit6 conduit h faire intervenir seulement les trois ondes fondamentales allant dans le sens des 61ectrons. On se rend alors compte facilement du m6canisme qui donne naissance h la modulation du faisceau. La modulation du courant crolt d 'abord comme x 2, puis pour des

A V'3x valeurs plus grandes de x comme e ~- .

pour terminer, nous voulons encore faire remarquer que le m6canisme que nous avons 6tudi6, s'il dolt jeter quelque lumi~re sur le fonctionnement des amplificateurs fi ondes progressives, ne doit pas etre consid6r6 de fa~on exclusive. Comme dans le magn6tron, il est possible qu'on doive envisager divers modes de fonctionnement.

D'autre part, les termes que nous avons dfi sup- primer pour rendre les 6quations lin6aires prennent de l ' importance, ainsi qu'on l'a vu, d~s que la puissance de sortie acquiert une valeur notable. En d'autres refines, l '6tude que nous avons faite est une 6rude de petits signaux.

Ce travail ne peut donc ~tre consid6r6 que comme une approximation, destin6e h donner une id6e des ph6nom6nes. De toute fa~on, l'exp6rience est n6ces- saire pour parvenir h une meilleure repr6sentation.

Les auteurs remercient Mr GOUDET, Chef de la Division (< Tubes et Hyperfr6quences )) du Centre National d'l~tudes des T616communications, pour l'int6r~t a'ctif qu'il a constamment port6 h ce travail ; ils sont reconnaissants h MMrs VOGE et WALLAUS- CHEK pour les conversations int6ressantes qu'ils oat eues avec eux sur ce sujet.

Manuscrit re~u le 19 dgcembre 1946.

R~F~RENCES

[1] G GOUDET, L'Onde I~lectrique, f6vrier t946, p. 51. [2] GABon, Journal o/ the Institute o/ Electrical Engi-

neers, septembre 1944, p. t28. [3] KOMPFNER, Wireless World, novembre t944, p. 369. [4] PIERCE, I. R. E. Convention, mars 1946

- - 302 - -

Documents

Contribution a l'étude des amplificateurs a ondes progressives