Contribution à L'Étude des Systèmes de Choses Normées

Contribution àL'Étude des Systèmes de Choses NorméesAuthor(s): V. GlivenkoSource: American Journal of Mathematics, Vol. 59, No. 4 (Oct., 1937), pp. 941-956Published by: The Johns Hopkins University PressStable URL: http://www.jstor.org/stable/2371360 .

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CONTRIBUTION A L'ETUDE DES SYSTEMES DE CHOSES NORMEES.*

Par V. GLIVENKOI.

I. Position du probleme.

1. Dans un article recent,1 j'ai etudie les systemes de choses normees, c'est a dire les ensembles S d'elements a, by, satisfaisant aux axiomes suivants:

Axiomes des choses.

10. L'ensemble S contient des couples d'elements a, b lies entre eux par une relation a C b telle que a C b et b C a entralne a b et inversement, et que a C b et b 'C c entralne a C c.

20. A tout couple d'elements a, b de l'ensemble S correspond un 6116ment

ab, de S, tel que ab C a, ab C b et que x C a et x C b entralne x C ab. 30. A tout couple d'elements a, b de l'ensemble S correspond un 6lement

*a+b, de S, tel que aCa+b, bCa+b et que aCy et bCy entraine

a + b C y. 40. L'ensemble S contient un element 0 tel que, quel que soit l'el6ment z

de S, on a 0 C z. Axiome de la norme.

A tout element a de l'ensemble S correspond un nombre non negatif I a

-norme de cet 616ment, tel que a C b et a # b entraine I a < I b 1, qu'on a

I a + b + I ab = a + I b et qu'on a |0 =0.

Actuellement, nlous ne considerons qu'un cas particulier des dits systemes,

que nous appellerons systbmes de choses completement normees et qui satisfont,

par definition, aux axiomes supplementaires suivants:

Axiome supplementaire des choses.

50. L'ensemble S contient un element 1 tel que, quel que soit l'el6ment 2 de S, on a z C 1.

* Received January 15, 1937. 1 cc Geometrie des systemes de choses normees," American Journal of Mathematics,

vol. 58 (1936), pp. 799-828. 941



942 V. GLIVENKO.

Axiome supplementaire de la norme.

On a I I I 1. Nous appelons systemes distributifs les systbmes o'i', pour tous les trois

choses a, b, c a lieu la loi distributive dans la forme

ac + bc (a + b)c ou bien dans la forme

(a4+c)(b +4c) =ab+c

qui est equivalente a la precedente.

2. Dans I'article cite, j'ai introduit la notion d'espace metrique presque ordonne. C'est i'espace metrique D contenant un point que nous appelons origine et qui possede les proprietes suivantes (1' et 2'). Rappelons que, (a, b) designant la distance de point a et de point b, on dit qu'un point c se trouve entre deux points a et b si l'on a

(a, c) + (c, b) -(a, b).

Convenons de dire maintenant qu'un point a est plus prochain qu'un point b, ou bien que b est plus lointain que a, si a se trouve entre l'origine et b. Alors:

1'. Si les points a et b, de D, sont plus prochains qu'un point x, chaque point qui se trouve entre a et b est, lui-aussi, plus prochain que x; de meme, si les points a et b sont plus lointains que y, chaque point qui se trouve entre a et b est, lui-aussi, plus lointain que y.

2'. Parmi les points, de D, qui se trouvent entre les deux points donnes quelconques, il existe un qui est le plus prochain et il existe un autre qui est le plus lointain.

J'ai etabli que tout systeme S de choses normees est un espace metrique presque ordonne ou la distance de a et de b est egale a

|a+b - abf.

Nous appelons espaces transitifs les espaces metriques presque ordonnes oul a condition suivante est remplie:

T. Si un point c, de D, se trouve entre x et y et si tous les deux points x et y se trouvent entre a et b, le point c se trouve, lui-aussi, entre a et b.

Convenons de dire, pour abreger, que le systeme S est metrise, lorsqu'on a pris i'expression I a + b - I ab I pour la distance de a et de b. J'ai etabli que tout systWme metrise distributif S, de choses normees, est un espace metrique presque ordonn6etransitif.



L'ETUDE DES SYSTEMES DE CHOSES NORMEES. 943

Tous les deux resultats mentionnes, concernant les relations entre les systnemes de choses normenes et les espaces metriques, ont ete obtenus en prenant

toujours la chose 0 du systeme pour l'origine de l'espace correspondant. Or, il est naturel de poser le probleme s'il est possible, ou non, de prendre une autre

chose u # 0 pour l'origine, en sorte qu'il y restent intactes les conditions 1 et 2' (dans le cas general) et la condition T (dans le cas des systWmes distributifs).

La solution de ce problEme etant interessante grace a la simplicite des

enonces definitifs, je suis decide a la publier ici.

II. Condition de Dedekind.

3. Dans tout ce qui suit, il nous sera d'une grande importance un fait

qui a ete bien eelairei, entre autres, dans les travaux de M. Garrett Birkhoff.2

C'est que tout systeme S de choses normees satisfait a la condition de Dedelcind.

Cette derniere peut s'6noncer comme il suit:

(D,) Quelles que soient les trois choses a, b, c de S, ofu a C c, on a

(a+ b)c a+ bc.

On peut lui attribuer aussi une autre forme que voici: (D2) Quelles que soient les trois choses a, b, c de S, on a

(ac + b)c ac + bc.

On etablit sans peine l'eqquivalence de (D,) et de (D2) en remarquant que, pour qu'on ait a C c, il faaut et il suffit qu'on ait ac = a.

De&montrons maintenant que tout systeme S de choses normees satisfait a (D2). En premier lieu, on a toujours

ac + bc C (ac + b)c.

Pour s'en convainere, il suffit de remarquer qu'on a ac C ac + b et ae C c, par suite ac C (ac + b)c, et qu'on a bc C ac + b et bc C c, par suite 1fc C (ac + b) c. I1 nous reste done a etablir l'egalite

I ac + bc I I(ac + b)c 1.

On s'appuie ici sur un principe general. En effet, s'il 6tait quelque part x C y et x #F y, il serait necessairement I x I < Y. Done, de x C y et

| x ] ] y I il s'ensuit toujours x = y. Pour etablir l'egalite I ac + bc J = (ac + b) c 1, il suffit d'effectuer un

simple-calcul, a savoir:

2 cc On the combination of subalgebras " et "Applications of lattice algebra," Pro- ceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 23 (1933), pp. 441-469, et vol. 30 (1934), pp. 115-112 respectivement.



944 V. GLIVENKO.

I (ac + b)c I I Jc + b I + J c I --I ac + b + c atc f + f b I - I acb I + I c - I b + c

/ ac /- acbc I + I bc I =I ac + bc 1.

4. Dans I'article cite, j'ai demontre que, dans 1'espace forme par un systeme me'trise S, un point c se trouve entre deux points a et b si et seulement si l'on a, dans S, (El) ac +bc =c= = (a +[c)(b +fc).

Grace a la condition de Dedekind, cette condition (E1) peut se presenter aussi sous une forme distincte. En effet, en se servant de la condition de Dedekind, on obtient:

ac + bc = (ac + b)c et (a + c) (b + c)-c + (a + c)b.

Par consequent, les egalites (E1) peuvent s'ecrire

(ac + b)c c = c + (a + c)b,

ou, ce qui revient anu mreme,

(E2) (a+c)bCcCac+b.

C'est la forme en question.

III. La notion d'extremite6.

5. Appelons extremite d'un systeme S chaque chose i, de S, qui possede les deux proprietes suivantes:

1) A la chose u correspond une autre chose ul, de S, telle que

(1) ui --O,

(2) u + =1.

2) Quelles que soient les deux choses a et b, de S, on a

(3) (a + b)u= au + bu,

(4) (a+b)uf= af+bui.

I1 est evident que, ut etant une extremite, ui l'est aussi; nous dirons que u et u- sont les extre'mites opposees.

IRtablissons tout d'abord que, ut etant une extre6mite d'un systeme metrise S, de choses compl1etement normees, on a., quelles que soient les deux choses a et b, de S,




ab +?u= (a?+u)(b +u).

Puisqu'on a toujours ab + u C (a + u) (b + u), pour etablir 1'egalite qui vient d'etre eerite, il suffit de demontrer 1'egalite

I ab +u I I(a + u)(b + u).

A cet effet, remarquons qu'on a

I (a + u) (b + u) = a + u + b + u - a+ b + ut. Or,

I a + u + b + u j a I + I u | au I + I b | + I uj- bu

et, en tenant compte de (3),

I a+b +u =- Ia+b + iIt - (a+b)ui a + b I + I - au + bu j I a + b j+ u au - bu I + I abu

Donc, I(a+u)(b +u)I= a + lb a- a+b l+lul-labul.

Or, a + b - a + b = ab

et

I u | - j abu u i - J ab u- It J + ab + u j ab + u - ab

Done,

(a + u) (b + u)= Jab + u.

Remarque. Le fait que u est une extre6mite n'y joue, de fait, aucun role. Quelle que soit la chose determinee c, de S, 1'egalite

(5) (a + b)c ac + bc a pour consequence I'egalite

(6) ab + c= (a + c)(b + c).

Nous venons de voir que ceci a lieu dans les systemes S de choses normees. M. 0. Ore 3 a reussi a etablir une proposition plus generale, a savoir que l'egalite (6) est une consequence de (5) dans tous les systemes oiu la condition de Dedekind est remplie.

6. THEOREME I. La chose u e'tant une extremitM d'un systeme S de choses completement normees, son opposee u- ne peut etre definie que d'une maniere univoque.

3 " On the foundation of abstract algebra," I, Annals of Mathematics, vol. 36 (1935), p. 416.



946 V. GLIVENKO.

Demonstration. La chose u e'tant une extremite, on a, quelles que soient les deux choses a et b,

(a + b)u-=au + bu

et, comme nous I'avons vu tout a l'heure,

ab +?u (a?+u)(b +u).

Prenons maintenat les choses x et y qui possedent, tous les deux, les proprietes de 1'extremite u2, de sorte qu'on a, en particulier,

ux 0, uy O,

u+x= 1, u?+y= 1.

II en resulte qu'on a

(x + y)u = xu + yu = O, xy+u= (x+u)(y+u) =1.

On en obtient, en se servant de (D1),

xy xy+ (x+y)u= (xy+u)(x+y) =x-+y, d'ou x y.

THE]ORE]ME II. La chose u e6tant une extremite d'un syste'mne metrise S, de choses completement normees, la condition necessaire et suffisante pour que, dans l'espace forme par S, un point a se trouve entre u et un autre point b, est qu'on ait

ub C a C u + b.

Demonstration. D'apres (E2), a se trouve entre u et b si et seulement

si l'on a

(b + a)u C a C ba + u. Or, ceci equivaut a

bu+auCaC (b+u)(a+u),

ce qui equivaut, a son tour, a

ub C a C u + b.

THEIOREIME III. Les choses u et ut e'tant deux extremites opposees d'un systeme metrise S, dans l'espace forme par S chaque point z se trouve entre u et ft.

De'monstration. En vertu du theoreme II, pour que z se trouve entre u et ft, il suffit qu'on ait

uii C z C u + .

Or, ceci est toujours vrai, parce que uii = 0 et u + ii = 1.




THE'ORE'ME IV. Les choses u et ii etant deux extremites opposees d'un systeme metrise S, si, dans l'espace forme par S, un point a se trontve entre iu et b, alors b se trouve entre a et u et reciproqueement.

De6monstration. En vertu du theoreme II, si a se trouve entre u et b, on a

ub C a C u + b. Il s'ensuit que, d'une part,

uta C iu(u + b) =i2u + ub == ftb C b

et que, d'autre part,

b C + b= (ii + u) (i + b) ui + ub C t + a.

En somme, on a uta C b C ii + a,

ce qui suffit, d'apres le theoreme II, pour que b se trouve entre a et ft. La reciproque se demontre, naturellement, de memie.

IV. Theoreme fondamental.

7. Il serait tres commode d'avoir des symboles speciaux pour le plus

prochain et le plus lointain des points que se trouvent entre les deux points

donnes, a et b. Dans la suite, nous employerons les symboles a A b (pour le

point le plus prochain) et a V b (pour le point le plus lointain).

Ceci pose, le theoreme fondamental de cet article s'enoncera comme il suit:

THEOREIME V. Dans l'espace forme par mm systerne metrise S de choses completement normnees, un point u peut etre pris pour l'origine si et seulement si la chose ut est une extre6mite de S. Dans ce cas, on aura, en designant par it l'extremite opposee de u:

(7) aA b =ab+u(a+b) = ab + ua + ub - (a + b)(u + ab) (a + b) (u + a) (u + b),

(8) a V b = ab + ii(a + b) =ab +? 'a + ib = (a + b) (fi + ab) (a +b) (ft + a) (X2 + b).

De'monstration. Nous utiliserons partout le fait que, si un point c se

trouve entre deux points a et b, on a necessairement

ab C c C a + b

(ccci est immediat, car, si c se trouve entre a et b on a, d'apres (-7g1),

abC (a+c)(b+c) =-c==ac+bcC (a+b)



948 V. GLIVENKO.

et que, lorsque l'un des points a ou b est une extremite, la reciprm que esL vraie elle-aussi (ceci resulte du theoreme II).

Soit maintenant S un syst&me metrise, de choses completement normees, et soit u une extremite de ce systime. Essayons de prendre ut pour l'origine de l'espace forme par S. Alors, par definition, un point a sera plus prochain qu'un autre point b, ou bien, b sera plus lointain que a, si et seulement si a se

trouvera entre u et b. Nous allons voir que tous les deux conditions 1' et 2' y seront remplies et que les points a A b et a V b y seront toujours (7) et (8).

Ad 1'. Soit c un point qui se trouve entre deux points a et b et soit x un point qui est plus prochain que a et b. II est 'a montrer que x est aussi plus prochain que c. Autrement dit, soit

ab C c C a + b, uat C x C u + a, ub C x C it + b.

I1 est 'a montrer que uc C x C u + C.

Or, ceci resulte des relations:

ucCu(a+b) ==-ua+ubCxC (u+a)(u+b) ==u+ab Cu+c.

Ad 2'. Soit c un point qui se trouve entre deux points a et b et soit y un point qui est plus lointain que a et b. I1 est a montrer que y est aussi plus lointain que c. Autrement dit, soit

ab C c C a + b, uy C a C u + y, uy C b C u + y.

II est 'a montrer que uy C c C it + y.

Or, ceci resulte des relations:

uy C ab C c C a + b C u + y.

Ad a A b. Posons

x = ab + u(a + b) = ab + ua + ub.

Alors, on a, tout d'abord,

x = (a + b) (u + ab) = (a + b) (u + a) (u + b).

C'est une consequence immediate de (D1). Puis, x se trouve entre a et b. Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que c'est (E1) qui y est remplie, car on a, en tenant compte de (D1),



L',TUDE DES SYSTEMES DE CIIOSES NOEMEES. 949

ax + bx=-(ab + u(a + b)) + b (ab + u(a + b) ) ab + ua + ub x

et (a + x) (b + x) (a + (a + b) (u + ab) ) (b + (a + b) (t + ab))

(a + b) (u + a) (it + b) =x.

Soit enfin c un autre point qui se trouve entre a et b. II est 'a montrer que x

est plus prochain que c. Autrement clit, soit

ab C c C a + b. II est a montrer que

uc C x C ut + c.

Or, ceci resulte des relations

uc C u(ct + b)C ab + u(a + b)=-x-=(a + b) (ut + ab)C ut+ abC ut + c.

Ad a \/ b. Posonis

y = ab + i (a + b) =- ab + i7a + i7b.

Alors oil a, tout d'abord,

y - (a + b) (t + ab) = (a + b) (Il + a) ('ft + b).

Puis, y se trouve enitre a et b. Tout cela se demontre doe nimeme que les choses analogues pour x, ell rempla.alit x par y et it par ft. Soit enfill c ull autre point qui se trouve entre a et b. I1 est 'a montrer que y est plus lointain que c.

Ce dernier signifie que c se trouve elntre it et y. Or, c'est equivalent, en \ertu du theormelle IV, it ce que y se trouve entre c et u. Autremet (lit, soit

ab C c C a + b. Il est 'a montreo que

itc C y C u + c.

Celui-ci se demontre de mneme que la chose analogue pour xa, elo remnplagant

toujours x par y et u par ft. Nous avons demontre ainsi la suffisance de la colndition du theoreme. Soit maintenant S un systeme metrise, de choses completement normeres.

et soit u un point, de l'espace forme par S, qui peut etre pris pour l'origine

de cet espace. Nous allons voir que ut doit etre une extremite de S, c'est-a-dire qu'il doit posseder les proprietes 1) et 2) (n? 5).

Eln vertu de la propriete 2' de l'origine, le point u lne peut etre choisi pour l'origine que si, apres ce choix, parmi les points qui se trouvent entre les deux points arbitraires a et b, il existera un qui sera le plus prochain et il existera un autre qui sera le plus lointain. Or, tous les points de l'espace forme par S

16



950 V. GLIVENKO.

se trouvent entre les deux points determines, savoir entre 0 et 1, car on a, pour chaque chose z, de S,

Oz + lz =- z (O + z) (1 + z),

c'est 'a dire que (E1) y est remplie. Donc, on peut affirmer, en particulier, que, parmi tous les points de l'espace forme par S, il existera un qui sera le plus lointain. Soit v ce point. En particulier, le point v sera plus lointain que le point 0 lui-menme, c'est-'a-dire que 0 se trouvera entre u et v, ou bien que

uO+vO=-O- (u+O)(v+O), ou encore (9) Uv= =0.

De meme, le point v sera plus lointain que le point 1, c'est-a-dire que 1 se trouvera, lui-aussi, entre u et v, ou bien que

ul + v 1 = (u +1) (V + I)

ou encore (10) u + v 1.

Revenons aux poinlts quelconques a et b. Dire que, parmi les points c qui se trouvent entre a et b, il existera un qui est le plus prochain, c'est dire qu'il existera un point x tel que, premierement, x se trouve entre a et b et, deuxieme- nient, quel que soit le point c se trouvant entre a et b, x se trouve entre u et c. Alors, puisque les points ab et a + b se trouvent toujouirs enitre a et b, il existera, en particulier, Ul poilnt x qui se trouve, en meme temps, entre a et b, entre u

et ab et entre u et a + b, de sorte qu'on a

ab C x C a + b, uab C x C u + ab,

u(a+b) CxCu+ (a+b).

Nous allons voir, tout d'abord, que le seul poilit x pouvant satisfaire 'a ces trois

conditions est x- ab+u(a+b) = (a+b)(u+ab).

En effet, on doit y avoir

ab+u(a+b) CxC (a+b)(u+ab).

Par suite, dire qu'il existera un point qui se trouve entre a et b et qui satisfait a trois conditions en question, c'est dire, en particulier, que le point ab + u(a + b) se trouvera entre a et b. Or, dans I'article cite, j'ai etabli I que, lorsqu'on a

4Au cours de la de6monstration du theoreme VI, pp. 821-823.



L ETUDE DES SYSTEMES DE CHOSES NORMEES. 951

(a+ b)u=/=au+bu,

alors le point ab + u(a + b) ne se trouve pas entre a et b. Par suite, dire que le point ab + u(a + b) se trouvera entre a et b, c'est dire, eii particulier, qu'on aura (11) (a+b)u- au+bu.

Pareillement, dire que, parmi les poinits c qui se trouvent entre a et b, il existera un qui est le plus lointain, c'est-dire qu'il existera un point y tel que, premiierement, y se trouve entre a et b et, deuxiiemement, quelque soit le point c se trouvant entre a et b, c se trouve aussi entre u et y. Or, ce dernier revient au dire que y se trouve entre c et v. En effet le point v 6etant plus lointain que tout autre poilit, les points c et y se trouvent, tous les deux, entre u et v, de sorte qu'on a

(u, c) + (c, v) (u, v),

(up,y) + (y, v) (u, v). On en tire:

(it, C) + (C, V) = (u,py) + (y, V).

De plus, lorsque c se trouve entre u et y, on a

(u, c) + (c,y) (u, y).

En comparalnt, oin obtienit:

(c, y) + (y, v) (c, v).

Cela etabli, on peut affirmer qu'on aura:

(12) (a + b)v av + bv.

Onl la demontre de ineme que la chose allalogue pour x, en remplagant x par y et u par v.

En resunie, on voit qu'a la chose u doit correspondre une chose v, de sorte que u et v satisfassent aux egalites (9), (10), (11) et (12). Or, ces dernieres expriment preeisement les proprietes 1) et 2) caracterisant l'extremite' u et son opposee ft.

Nous avons demontre ainsi la necessite de la coindition du theoreme.

8. THEoREIME VI. Si, dans l'espace forme par unt syste'me me'trise S, de choses completernent norme'es, tout point de l'espace peut etre pi-s pour

l'origine, le systerme S est necessairement distributif.

C'est un simple corollaire du Theoreme V. En effet, lorsque tout point c, de l'espace forme par S, peut etre pris pour l'origine, alors, en vertu du



952 V. GLIVENKO.

th6eoreme V, toute chose c, de S, est une extre6mite de S. Dans ce cas, quelles que soient les choses a, b, c, de S, oin doit avoir

(a + b)c = ac + bc. C'est la loi distributive.

V. Cas desi systemes distributifs.

9. La condition T, ilecessaire et suffisante pour que 1'espace metrique presque ordonne soit forme par u11 systeme distributif, reste intacte quand on varie le choix de l'originle de cet espace. Eli e-ffet, la condition T ne contient aucune indication, soit explicite soit implicite, sur le choix de l'origine.

I1 en est autrement pour une autre condition, T bis, etablie dans Mon article cite. Pour biein comprendre tout ce qui suit, rappelons d'abord un theoreme auxiliare qui y etait etabli, a savoir:

Lor-sque, dans l'espace meitrique foxrme par un systemne de choses norrnees, on pi-end 0 pour l'origine, un point a est plus prochain qu'unt point b si et seulemnent si l'on a

a C b.

Apres avoir de'montre ce theorerne, j'ai commnence d'employer le symbole a C b, non pas seulement dans sonl sens primnitif, celui d'une relation entre les deux choses a et b d'ull systeme, mais aussi pour exprimer que le point a, de l'espace forme sur ce systeme, est plus prochain que le point b. Pareillement, il y etait etabli que, lorsqu'on prend 0 pour l'origine, on a a A b = ab et a V b =- a- + b. Apres ceci, j'ai commence d'employer les symboles ab et a + b pour designer les points a A b et a V b. C'est ce qu'on doit avoir en vue dans l'enonce du theoreme concernant la condition T bis, a savoir:

La cozditiotn necessair-e et suffisante pour qm'un espace me'trique presque ordoune D soit transitif est qm'tl possede la propiiete stivante:

T bis. Un point c, de D, se tr-ouve entre deux points a et b si et seulement si l'on a

ab C c C a + b.

On1 y suppose, comme je le faisais partout dans I'article cite, que c'est 0 qui y est pris pour l'originie. Donc, en tenant compte des remarques qui viennent d'etre faites, 1'expression ab C c C a + b qui figure dans 1'enonce de ce dernier theoreme peut s'interpreter de deux fagons differentes. Nous allons exprimer cela explicitement en forme de deux theorZemes, VII et VIII. Ce qui est interessant, c'est que ces, theoremes-ci restent valables avec le choix arbitraire de l'origine.




TIHEORE1ME VII. La condition necessaire et suffisante pour qu'un espace

metrique pr-esque ordonne D forme par un systeme S de choses normees, soit transitif est qu'il possede la proprie'U suivante:

T bis. Un point c, de D, se trouve entre deux poitnts a et b si et seulement si l'on a, pour- les choses a, b, c de S,

ab'C c C a + b.

La demonstration y est inutile, car c'est precisemment ce qui a ete demontre dans mon article cite.

TlHEloRmEE VIII. La condition n6cessaire et suffisante pour qu'un espace 'etrique pr-esque ordonne'D soit transitif est qu'il possede la propri't' suivante:

T ter. Un point c, de D, se trouve entr-e deux points a et b si et seulement si ce point c est plu,s lointaim que a A b et plus prochain que ca V b.

DMmonstration. Supposons d'abord que l'espace en question est transitif, c' est-a-dire que la condition T y est remplie, et soit c un point qui est plus lointain que a A b et plus prochain que a V b. Nous allons voir que c se trouve alors entre a A b et a V b. En effet, d'apres les suppositions faites, le point a A b se trouve entre l'origine u et le poinlt c, tandis que le point c se trouve entre l'origine u et le point a V b. Ce dernier peut s'exprimer aussi, en vertu du Theoreme IV, en disant que le point a V b se trouve entre le point c et le point iu qui est l'extremite opposee de u. On a donc, en vertu du Theoreme II,

ucCaC bCu+c,

ftcCaV bCut+c.

De plus, comme, en vertu du Theoreme III, tous les points se trouvent entre it et ft, on a, d'apr'es (E,),

uc + c == c== (u + c) (, + c).

On en deduit sans peine qu'on a

(aAb + c)(a V b)C(u+c)(+c)=c ==uc+ cC (a AAb)c+(aV b).

En tenant compte de (B2), ceci suffit pour affirmer que le point c se trouve entre les points a A b et a V b. Or, ces derniers points se trouvent entre a et b. Par suite, d'apres T, le point c se trouve, lui-aussi, enitre a et b. On voit ainsi que, si le point c est plus lointaiin que a A b et plus prochain que a V b,

ce point c se trouve entre a et b. La reciproque etant manifeste, cela signifie

que la condition T ter est remplie.



954 V. GLIVENKO.

Inversement, supposons que la condition T ter soit remplie, que c se trouve entre x et y et que x et y se trouvent entre a et b. Alors, nous savons qu'on a

xy C cC x + y,

ab C x C a + b, ab C y C a + b,

d'oiu ab C c C a + b.

Ceei pose, on peut demontrer que le point c est plus lointain que a A b et plus prochain que a V b, c'est a dire que

uc C a A b C u + c, iic C a V b C i +c,

ou bien que uc C ab + u(a + b) C u + c, ic C ab + ii(a + b) C ui+ c.

Pour s'en convainere, il suffit de remarquer que, lorsqu'on a ab C c, on a aussi

ab + u(a + b),C c + u(a + b) C c + u, ab+i(a+b) Cc+ i(a+b) Cc+i7,

et que, lorsqu'on a c C a + b, on a aussi

uccCu(a+ b) Cab +u(a + b), ftccCii(a+ b) Cab + ? (a+ b).

Ceei 'tabli, il en resulte, d'apres T ter, que c se trouve entre a et b. On voit ainsi que, si le point c se trouve entre x et y et que x et y se trouvent entre a et b, le point c se trouve, lui-aussi, entre a et b. C'est la condition T, de sorte que l'espace est transitif.

10. Dans le cas des systremes distributifs, l'enonce du fheoreme fondamental se simplifie comme il suit.

THE'OREME IX. Dans l'espace forne' par un syste'me mnet'hse distributif S, de choses comple'tement norme6es, un point u peut etre pris pour l'origine si et seulement si la chose u, de S, posse'de le covyple6ment, e'est a dire qu'Tl existe la chose i2 liee avec ut par les relations

uu= O0 u+u 12 1.

C'est une consequence immediate du Theoreme V. En effet, la propriete de u qui figure dans l'enonce du present theoreme n'est autre chose que la



L'ETUDE DES SYSTEMES DE CHOSES NORMEES. 9 5 5)

propriete 1) de l'extremite. Quant a la propriete 2) de l'extremite, elle est remplie, dans les systemes distributifs, de soi-meme.

11. Il est interessant de considerer encore le cas particulier des systemes ordonnes, c'est-a-dire des systemes oiu, pour chaque couple de choses a, b, oni a

necessairement, ou bien a C b ou bien b C a.

THE'OREuME X. Dams l'espace forme' par un systerme me6tr-ise ordonmm S,

de choses completement norme'es, les seuls points qui peuvemt etre pris pourw

l'origine sont les point 0 et 1.

En effet, l5origine devant etre, d'apres le theoreme V, une extremite de S,

soit u cette extremite et soit u2 son opposee. Alors, si l'on a u C u2, on a

u =uf O0. Si l'on a, au contraire, it C u, oln a u u + ut1.

VI. Un exemple.

12. Terminons par un exemple. Soit S l'ensemble dont les e'lements a, b, sont les fonctions mesurables (p), d'une variable reelle 4, d6flnies

dans l'intervalle 0 ? 4 ? 1 et telles que 0 ? ( (4) ? 1. Convenons d'ecrire a = b si les fonctions correspondantes ne diflerent l'une de l'autre que sur un

ensemble de mesure nulle, et posons a C b si, pour les fonctions correspondantes (p(4) et *f(e), on a presque partout (p(e) ? (e(). Enfin, a etant la fonction

(p(), posons

a =f (()de.

Cela pose, l'ensemble S est un systeme distributif de choses compltement

normees. Iei, on a, a et b etant respectivement les fonctions (4) et (4),

ab =min[c (e), q(4) ], a + b = max[O ($(4)y (4)]

Quant aux extremites opposees, u et ui, ce sont respectivement les fonctions

(4) et (4) de la forme suivante. Soient t et t2 deux ensembles mesurablesI de points 4, dont la partie commune est vide et dont la somme est l'intervalle O < ? ? 1, d'ailleurs arbitraires. Alors

(4) {t 0 sur W1, - () 1 Sur1 1, 1Sur

- I sur12

Dans l'espace forme par le systeme S metrise, la distance de point a et de

point b, qui sont respectivement les fonetions (p) et Vt'(e), est donnee par

la formule

(a, b) - fi (()-1(4)j de.



956 V. GLIVENNKO.

Ici, un point c, qui est la fonction x(a), se trouve entre deux points a et b, qui sont respectivement les fonctions '(t) et s(t), si et seulement si l'on a presque partout

min[() () X f) - max[()()]

Pour l'origine, on peut y prendre un point u qui est l'une des fonctions w(t) definies plus haut. Enfin, a et b etant respectivement les fonctions (t) et

on a

aA b- 5 mim [p(l),q,()] sur t, A max sur 2

aV b max [p(t),q'(4)] sur t

Appendice.

Je profite de l'occasion pour corriger une petite erreur admise dans mon article cite. On lit, p. 804: " Pour avoir un exemple d'espace metrique presque ordonne, prenons un ensemble arbitraire de nombres reels, o'u (a, b) | a - b 1. I1 est aise de voir que le role de l'origine peut etre joue par un nombre quel- conque appartenant a cet ensemble." Le Theoreme X du present article nous apprend que cet exemple est incorrect.

Cette meme erreur se rep 'te p. 818, ou l'on lit: " Pour avoir un exemple d'espace metrique presque ordonne transitif, il suffit de rappeler l'exemple dej'a cite d'un ensemble arbitraire de nombres reels, oft (X, y) = X- y I.

Moscou, U. S. S. R.



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Contribution à L'Étude des Systèmes de Choses Normées