Contribution à l'étude générale des dalles

Contribution l' tude g6n6rale des dalles

P. BORDERIE (~), E. ABSI (~), C. BONVALET (~)

Cette contribution concerne divers proc6d6s d'analyse des contraintes des dalles biaises. Ce sont :

- - d e s m6thodes analytiques : calcul par la rn6thode des Diff6rences Finies; calcul par la m6thode des Equivalences;

- - des m6thodes exp6rimentales : 6rude sur petits mod61es ~lastiques; rnesure sur ouvrages r6els.

Les diff6rentes rn6thodes sont expos6es et les r6sultats obtenus sur huit ouvrages biais sont cornpar6s. Parmi ces ouvrages, le plus biais possSde un angle aigu 6gal ~ environ 16 ~ Les concor- dances entre les r~sultats sont satisfaisantes, tant du point de rue moments fl6chissants et de torsion, que du point de rue r6actions d'appuis et fl6ches, et perrnettent d'assurer la validit6 des m6thodes de calcul pr6sent6es.

I. I N T R O D U C T I O N

L'ouvrage le plus couramment utilis6 pour franchir une por t6e inf6rieure ~ une quinzaine de m~tres est la dalle en b6ton arm6.

La d6terminat ion des efforts dans les dalles droites a fait l 'objet de divers t ravaux ent repr is tout d ' a b o r d par Navier, L6vy, P igeaud et enfin plus r6cemment par Guyon, Massonnet, Rowe... L 'extension des r6sul- tats obtenus ~ des dalles biaises devient d 'autant plus e r ron6e que l ' angle du biais est plus petit.

La difficult6 s e m b l e a v o i r 6t6 lev6e la p r e m i e r e fois pour les dalles appuy6es sur deux appuis tout au moins, par Jensen en 1941.

En repartant des 6quations de base de Lagrange, il a pu r6soudre ces 6quations par la methode des diff6rences finies, m6thode qui devait se r6v6Ier facilement p rog rammab le lors de I 'appari t ion des ordinateurs .

Plus tard la m6thode des r6flexions b iharmoniques (non publi6e) d6ve lopp6e par M. Leray a permis 6galement de r6soudre ce probl~me.

(1) Chef d'l~tudes ~ la S.N.C.F. (2) At tach6 ~ la D i rec t ion du C.E.B.T.P. (3) Chef de la Division de R6sistance des Mat6r iaux

Exp6r imenta le au ~.E.B.T.P.

Ces derni@res ann6es, la m6thode des @I6ments finis appor te 6galement une r6ponse au p r o b l 6 m e [14]. Enfin, tout r6cemment , la m6thode des 6quiva- lences pe rme t par assimilation avec un autre syst@me (un r6seau de poutres crois6es) de calculer des dalles biaises ou de forme quelconque.

Entre 1950 et 1960, avant que I 'usage des ordinateurs se r6pandt t dans les bu r e a ux d 'e tudes , la d6ter- mination des efforts, tout au moins des moments pr incipaux, se faisait & part i r d 'essais sur mod@les.

Cette m6thode permi t de construire que lques ouvrages par t icul i6rement biais avec une connaJssance re la t ivement exacte des efforts.

Actuellement, nous nous t rouvons en p r 6 s e n c e d ' un g rand n o m b r e d ' o u v r a g e s construits soit pa r une m6thode soit par une autre. I1 existe 6ga lement des mesures de fl6ches et de contraintes dans des ouvrages construits.

I1 est donc poss ib le au jourd 'hui de c o m p a r e r les r6sultats obtenus par ces d iverses m6thodes et mesures , et la concordance plus ou moins g r a n d e de ces compara isons peut r e n s e i g n e r l ' Ing6n ieur sur Ia pr6cis ion des calculs quJ sont ~ sa disposition.

Le but de cet article est jus tement de fixer l '6tat actuel des connaissances dans la construct ion de ce type d 'ouvrage .

339

V O L . 4 - - N" 24 - - 1971 - - 1 ' 4 A T F : R I A U X E T C O N S T R U C T I O N S

Nous t rouverons donc dans ces expos6s un d6ve lop- p e m e n t sur les m6thodes de calcul et de construction utilis6es pour cet te compara i son :

- - La m6thode des 6quivalences .

- - L a m6thode des diff6rences finies avec son extens ion aux dalles continues.

- - Les essais sur modules ex6cut6s depuis quel - ques ann6es pour le compte de ia S.N.C.F. avec notamment les essais r6cents pour deux o u v r a g e s tr~s biais.

En conclusion, nous t rouve rons une compara i son ent re les r e su l t a t s issus des m6thodes th6or iques pr6ci t6es , les essais sur mod~Ies et les m e s u r e s effectu6es sur les ouv rages construits.

II. RAPPEL G~.N'ERAL DES ~.QUATIONS FONDAMENTALES

Nous adoptons les d6finitions et Ies notations utilis6es pa r Timoshenko dans son o u v r a g e << Th6or ie des P laques et des Coques >>.

Y, D

Fig. 1.

}l

X

M r = - - K [ 82w S2w~ t~y~ + ~ /

8 2 w Mxr = (1 - - v) K 8xS--y

(3)

II.3, Express ions des efforts tranchants

T x = K ~x (Aw)

T r = K ~y (Aw)

(4)

II.4. R6action le long d'un appui continu

D6signons par t et n la tangente et la no rma le en un point P du contour de la dal le suppos6 sur appui s imple continu. La loi de variat ion de la r6action est donn6e par Ia relation :

[ '~3w ~3w 1 R = K L ~ + ( 2 - - v ) ~ ] (5)

Soit une dalle d ' 6pa i s seu r constante h et soumise une c h a r g e r6par t ie p (x, y) (fig. 1). On a :

II.1. l~.quation de Lagrange

P A A w = ~ ( 1 )

ofl w e s t la fl~che p r i se pa r ia dalle et K sa rigidit6 :

Eh a K 12 (l - - ~2) (2)

II,2, Express ions des m o m e n t s

{~2w ~2w] Mx = - -K t ~ + ~ YWI

11.5. Conditions sur le contour

En consid6rant le syst~me de r6f6rence (n, t) les conditions sur le contour s ' 6c r iven t :

- - Cas d 'un encas t rement parfait

8w w = 0 8--~ = 0 (6)

- - Cas d 'un appui s imple contJnu

8~w 82w w = 0

~s ~ ~n 2 - 0 (7)

- - Cas d 'un contour l ibre :

Saw 83w 8s 3 + ( 2 - - v) 8sSn 2 - 0

~2w 82w 8s ~ + v ~ = 0

(8)

III. INFLUENCE DU COEFFICIENT DE POISSON u

Cons id6rons d e u x dalles ident iques qui different en t re el les un iquemen t pa r leurs coefficients de Poisson v et ,/. On se p r o p o s e de voi r dans que l le m e s u r e il est poss ib le d ' ob t en i r la solution p o u r la d e u x i ~ m e dalle (A' B' C'...) A part~r de cel le ob tenue pour la p r e m i e r e (A B C...).

Si le contour des deux dalles est parfa i tement encas t r6 ou sur appui simple, l ' e x a m e n des 6quations (1) A (7) mont re qu ' on a :

K . w = K'. w '

M; = - K ' p,w' 1 L~-~ + T/2j p2w

= - - K L ~ + "' ~-Y~J

1 1 - - ,," M., (1 - - ,,,,') + M r ( ' / - - ',)

1 MS 1 - - r M r (1 - - ,,,/) + M~ ( , / - - ,,)

340

T'~ T'~.

~2 w' = K' (1 - - , , ' ) ~ g Q = (1 - - , , ' ) I ( - - - -

= Tx

= T y

~2w

8 x S y

- - ~ - - M . ~ y

P. B O R D E R I E -- E. A B S I - - C . B C ) N V A L E T

Dans le cas oil l ' on a un b o r d l ibre , les ~qua t ions (8) m o n t r e n t qu ' i l es t diffici!e, a pr ior i , d e s e p r o n o n c e r s u r l ' i n f luence du coeff ic ient d e Poisson .

D ' u n e m a n i e r e g~n~ra le , on p e u t d i r e q u ' u n e solut ion o b t e n u e p o u r une c e r t a i n e v a l e u r d e p e r m e t d ' a v o i r ce l l e r e l a t ive ~ un coef f ic ien t v' c h a q u e lois q u ' o n i m p o s e au con tou r d e s cond i t ions ne faisant pas i n t e r v e n i r Ie coef f ic ien t d e Poisson .

IV. R~.SOLUTION DE L'~.OUATION DE LAGRANGE PAR LK M~.THODE DES DIFF~.RENCES FINIES [i]

I Y . l . R a p p e l d e s nota t ions e m p l o y e e s

Sur la da l l e p r o p r e m e n t dite, a p p l i q u o n s un m a i l l a g e don t Ies l ignes sont pa ra l l~ l e s aux b o r d s I i b r e s et aux appu i s d e ce t t e dalIe.

L ' a x e d e s x es t pa ra l l~ l e ~ l ' a x e d e l ' o u v r a g e et l ' a x e d e s y est p e r p e n d i c u l a i r e ~ ce t axe .

Un a x e d e s u et un a x e d e s v sont def inis c o m m e il es t i nd iqu~ su r la f igure 2.

w~ es t la d ~ f o r m a t i o n d e la da l l e au po in t i c o m p t ~ e p o s i t i v e m e n t v e r s le bas.

h es t l ' ~ p a i s s e u r d e la dal le .

E es t i e m o d u l e d '~last ic i t~ du mat6r iau , en l ' o c c u r r e n c e du b~ton.

Fig. 2.

Les d i f f~ ren te s compa ra i so r t s a v e c les essa i s s u r m o d u l e s ont m o n t r ~ q u e Fort o b t e n a i t u n e v a l e u r c o r r e c t e d e s effor ts ( m o m e n t s et efforts t ranchants ) issus d e s d~format ions , si c e l l e s - c i ~ ta ient ca l cu l~es a v e c E = 200 000 bar , p o u r le b&ton.

v es t le coef f ic ien t d e Po i s son (4 = 0,15 p o u r du b~ton). Eh 3

K est la r ig id i t~ d e la da l l e K - 12 (i - - 42) .

X~ e t >,y son t d~finis su r la f i gu re 2 (k~, es t la h a u t e u r d e la mai l le et x x est sa I o n g u e u r ) .

EiIi H = - 2 - es t la r a i d e u r r e l a t i ve d e la b o r d u r e (si e l le exis te) , a es t la p o t t l e d e la daIIe.

j _ )'7 E i I i k~ kxN est un n o m b r e p r o p o r t i o n n e l ~ la r a i d e u r r e l a t i v e d e la b o r d u r e .

A = ~/x~. B = ,~/%.

C = .., - - AB.

D = ( I - - v ) (C + A B ) .

341

V O L . 4 - - N " 24 - - 1971 - - H A T E R I A U X E T C O N S T R U C T I O N S

p = c h a r g e au m 2 (compt6e pos i t ivement q u a n d el le p r o v o q u e une augmenta t ion d e w (x, y).

q = intensit6 de la c h a r g e p a r unit6 d e Iongueu r Ie long d e la b o r d u r e .

T~ et T r sont les efforts t ranchants (pa r unit6 d e l o n g u e u r de dalle) .

M;~ et M r sont les momen t s fl6chissants (pa r unit6 d e l o n g u e u r de dalle) .

M~r est le moment d e torsion.

U = A w est le lap lac ien d e la fonction w (x, y).

q~ = angle de biais.

8 = ang le en t re l ' axe d e s v e t celui des o rdonn6es .

IV.~.. P r i a r d e l a m 6 t h o d e

Nous avons vu p r 6 c 6 d e m m e n t d ' a p r ~ s l '6quat ion d e L a g r a n g e que :

p (x, y) = - - K AU avec U = A w 8 2 w 82w

U = a w = ~ + 8y ~

Les axes u et v 6tant d6finis p a r la f igure 2, nous pouvons 6cr i re que :

~.w ~ [ 8 , w ~""I ~[8,~,, 8.,, I ~'-'w . 8u~ 2 [8~- + ~ J - - J [7~x~ ~T J cos 2~ ~xSy sm 2,~

V.w 8'w I [8.w 8,w I 8,w 8v 2 - 2 [~x ~ + ~J--2 [~ ~y2j cos 2~ + 8xs~Sin 28

82W L'61imination d e ~ d e ces deux 6quat ions d o n n e :

82w sin 2(9 + 8 ) - - sin 2 8 - - sin 29 82w 8y ~ sin 2(~ + 8) + sin 28 + sin 2~" 8x ~

+ 2 sin 28 82w

+

sin 2(~ + 8) + sin 28 + sin 2~" 8u z

2 sin 2~ 8"w sin 2(r + 8) + sin 28 + sin 2~" 8v ~-

A pa r t i r d e la f igure 2, on d6mont re ra i t que :

sin 2(~ + 8) 2 k x . ) , y - z~. z~ [~-- ~]

2~Xy 2f~Xy sin 28 = ;~ s i n 2 ~ = X--~

-F [~ -- Xx

8 2 w En repo r t an t ces va l eu r s dans l ' e x p r e s s i o n d e ~y~, il vient

8 2 w

8y2 --

8~w 8%v 82w .~ 82w A w : 8x 2 + 8y~ 8x 2 -%2 8x 2

~ 82w ~x~ 82w ~x~ 82w }'7, 8x2 + -2 '- kx,<~, 8U 2 Xxk ~ ~V 2

~x~, 82w [~x~ ~2w ' x.~k~ 8u 2 ' X.~k~ 8v 2

: [l--x~J ~2 -! kA~Su 2 f~k~ 8~w

xxx [ 8v 2

Le calcul que nous venons d ' e f fec tue r p o u r d 6 t e r m i n e r Ie lap lac ien de la fonction w ( x , y ) est va lab le p o u r la fonction U.

82U 82U [ ~k~] ~2U ~k~ 8~U [3X~, 82U A U = 8 ~ + ~ : 1 - - ~x 2 ~ x . ~ u 2 x A?.Sv 2

En r emplagan t les diff6rent ie l les p a r des d i f f6rences finies, Ies e x p r e s s i o n s c i -dessus d e v i e n n e n t :

P" [1 ~ 1 U w - 2 U ~ + U " ~x~' U ' - - 2 U ~ + U ~ ')~' U " - - 2 U ~ + U ' - = - - o 4 - o 2 ' ~ . . . . . o - - - ; 5 . . . . K k T. 1 x k~ ),. ~'x t7 A-

342

/

P. B O R D E R I E - - E . A B S I - - C . B O N V A L E T

En remarquant que A - B . . . . . . . . . . . . 1. l ' introduction des valeurs A, B et C dans 1. x "x x

Ies express ions p r6c6dentes conduit a .

P~ ~.~ =A[U~--U.~I [ B[U,~ +Ut ] + C[U~ - U , ] - - 2 U 0 [ C ~- 1] K ~

Le calcul du laplacien fair avec la fonction U, peut 6galement 6tre effectu6 avec la fonction w.

1 U0 = ~ w = ~ [A(w. . - - w.~) § B ( % + %) + C(w~, + w ~ ) - - 2 w 0 ( C + 1)]

Comme nous avons calcul6 U 0 nous pouvons expr imer U~; U~... etc., et les por te r dans l ' express ion (9).

P0 Nous obtenons alors une relat ion l in6aire entre ~ et Ies d6formations autour du point 0.

P0).~ K 2w0(2 + A 2 + B ~ + 4 C + 3 C 2 ) - 2 ( w ~ + w,) (2A + 2 A C - - B C )

- -2(w,~ + w~) (2B + 2 B C - - A C ) - - 2(w, + ww) (2C + 2C2- -AB) + (Wa + wg)A -~

+ (w~ + w~)B ~ + (w o + wm)C ~ + 2(w~ + w~,)AB + 2 ( w , + w~)BC + 2 ( w ~ + w,)AC (11)

IV.3. G~n~ra l i sa t ion de la r ~ s o l u t i o n par l e s d i f f erences f in ies de l ' 6quat ion de L a g r a n g e . A p p l i c a t i o n aux d a l l e s c o n t i n u e s

IV. 3.1. Principe de la m~thode - CalcuI de fl~ches.

Sur chaque trav6e, est trac6 un r6seau comme il est indiqu6 sur la figure 3. On a doric un maillage diff6rent d ' une t rav6e ~ l 'autre (~,, ~ x~,,.,). Par centre, la hauteur de la maille reste la m6me ky,, = ).y,+,.

Si nous cons id6rens le point w~ et les points equivalents (d6finis par Ie r6seau pointill6), nous pouvons app l iquer les relations p r6c6den te s entre la charge P0 et les fl~ches aux lceuds du maillage; il suffit e n s u r e de rat tacher les points tels que w~ aux lceuds du mail lage existant wa w2 et w~, en 6crivant que ces quat re points sent sur une m6me courbe que l 'on admet t ra parabol ique.

_ \ / \ /

\ Fig. 3.

/

x •

VI3

I

rs x'~ x

X•

2- - - - - - -

Fig. 4.

,W1

X

Remarquons que la courbe des de fo rm6es ne peut pas p r6sen t e r de discontinuit6s, cas- sure ou autre anomalie de par la continuit6 phys ique de la dalle.

Nous pouvons donc 6cr ire tout le long des appuis in term6dia i res que les points de part et d 'aut re de l ' appui sont sur une parabole , dont nous pouvons d6 te rmine r les constantes (voir fig. 4).

w~ est li6, de ce fait, ~ w 1 w~ et ;:-~ pa r la relat ion :

w:[ = 2A.uw 1 + 2B21w. ~ + C21w3 avec :

1 - - 8 1 - - 8 2 k~, A"I = 2 ( 1 : + ~) B"I ' ~ - C"1 - 8(1 § 8) et 8 -- "

343

V O L . 4 - N" 2 4 - 1971 --HATI=RIAUX ET C O N S T R U C T I O N S

Remarque : Les points n. w, t et h sont des points su r appu i : les fl~ches sont nul les et il n ' es t pas n6cessa i r e d e les cons id6re r .

L ' e x p r e s s i o n (i 1) dev i en t donc p o u r un point sur appu i interm6diaire : ),y4

Po ] ~ - = 2Wo(2 + A2 + B2 + 4C § 3C 2 + A21C 2 ) - 2wp(2A + 2 A C - - B C ) - - 2 w s ( 2 A +

+ 2 A C - - B C - - 2 A 2 ~ B C ) - - 2 w q (2B + 2 B C - - A C ) - - 2 w , ( 2 C + 2 C 2 - - A B ) + w,A 2 §

J- w~(A ~ + 2A21B 2) + (w~ - C21wj)B 2 + (w~ + C21wm)C 2 + 2whAB §

+ 2(wd + C21wk)BC + 2wjAC

IV.3.2. Expression des moments.

L ' e x p r e s s i o n des moments en un point courant , en remplaqan t les d i f f6rent ie l les p a r d e s d i f f6rences finies, est :

- - K M~ - xy z [(D + vC) (w w - 2 w o + w D + v A ( w p - - 2 w o + w~) + ~B(w,~--2w o + wt) ]

- - K M~ - - [ ( C - - D) ( w , , - - 2Wo + wD + A ( w p - - 2w o + w,) + B ( w q - - 2w o + w,)] },y2

M~ -- K (i -- "~) 2Xx>,~ [ w q - - w t - w p - - w , + ( B - - A ) (w w - 2w o + wD]

Sur a p p u i in te rm6dia i re , en tenant compte des r e m a r q u e s p r 6 c 6 d e n t e s , l ' e x p r e s s i o n des moments dev ien t :

- - K [ ' 2x'z {)<x'Wr )'x'Ww t] M~ - ~(Bowq + B ~ w , ) - - ~(A~B~ + AoB~)itX~ ' + X~. + - ~ - - -

--K { 2'~Xr~ " (AtB~--A2B~) ~ X~ + s i ] M~ - B~w~ § B1W t § i kxt Xx, , Xy 2 , . . =

M~r = - - K ( 1 - - ~ ) 2x,(X;~, + x~,) ~ ' " 1

IV.3.3. Expression des efforts tranchants et r~actions.

- - En un point courant :

T. = K ( < o Y u q " \ " , k x /

K [ - - 4 ( A U s + BUt ) § 3U~ + AU, § BUj] Ty L 2xy ]

- - Sur un appu i I ibre :

T~ = K L 2x x ]

[4Ur - - Ue] T , = B K [ h ~

1 {At(w,,- w,) J- B,(w.- wk)}] ~xl J

p

Fig. 5

- - Sur un appui i n t e rm6d ia i r e :

T~ = K [ 4 U ' - 3 U ~ 2x~

{u -u 4 ( - 4 < + 3Uo + ,+B u..)]

- - Sur un appu i d ' ex t r6mi t6 :

Le momen t d e tors ion p a r r a p p o r t aux axes M e t P e s t (fig. 5) :

C0, = - - ( M y - - Mx) sin 9 cos ~ - - Mxy (cos ~ ~ - - sin 2 9)

~C0~ Cp - - Cs (C~ - - CO cos 9 8v 2 i v 2X r

R = T ~ c o s ~ + T y s i n ~ + (Cp - - C,) cos 2ky

Sur appu i i n t e rm6d ia i r e la r6act ion est Ia s o m m e a l g 6 b r i q u e des efforts t ranchants ~ g a u c h e et ~ dro i te d e l ' appui .

344

P. BORDERIE -- E. ABSI -- C. B O N V A L E T

V. TH~.ORIE DES P-QUIVKLENCES

V.1. Expos6 g6n4ral

Consid6rons un corps deformable soumis ~ un cha rgemen t d6rivant d ' un potentiel ~. Le potentiel total ~ du syst~me, suppos6 conservatif, s '6crit :

= U + ~ (12)

ot~ U est le potentiel de d6formation du corps consi- d6r6. En d6signant par U 0 le potentieI par unit6 de volume, l ' express ion p r6c6den te s '6crit :

r: = ~ fvU0 dV + (b (13)

La r6solution de ce p rob l~me revient $ r eche rche r un champ de d6formation compatible avec Ies liai- sons du corps et minJmisant la fonction rr.

Soit un deuxi~me corps occupant le m6me volume V que le p r e m i e r et soumis au m6me chargement . Supposons que l ' express ion de son potentiel U 0 pa r unit6 de volume soit 6gale ~ U o :

U~ = U 0 (14)

I1 en r6sulte que les express ions des potentiels et =' sont alors ident iques :

~' :T~: f U' v o dV + r (15)

et de ce fait les deux corps admettent le m6me champ de d6formation.

Ainsi, on peut r amene r l '6 tude d 'un corps charg6 celle d ' u n corps 6quivalent ayant des lois de com-

por t emen t diff6rentes ~ condit ion qu'il soit poss ib le d ' ident i f ier les express ions du potentiel total (~ = ,~').

Supposons qu' i l ne soit pas possible de t rouver une 6quiva lence ent re les express ions de U 0 et U~, et posons :

Uo = U0 + u0 (16)

Portons cette express ion dans l '6quat ion (13). On t rouve alors :

= .I UodV + fvUo dV + r (17) /

Or, si le t e rme ~ / v u~ dV est nul, Ia m6thode d '6qui-

va lence reste applicable.

On peut ajouter que, pou r un p rob l~me donn6, il est souvent possible de t rouver divers syst~mes 6quivalents.

o~ wes t la fl~che prise par la dalle et K est sa rigidite :

Eh ~ K - 12 (i - - ~) (19)

On se p ropose de t rouver un syst6me 6quivalent constitu6 par des poutres travaillant & la flexion et la to rsion. L' 6tude g6n 6 rale des 616ments t r iangulaires pe rme t d 'ob ten i r divers types d'616ments 6quiva- lents et qui sont int6ressants pou r les applications.

Soit un 616ment t r iangulaire (fig. 6) constitu6 par les trois poutres ij, jk, ki. L'6nerg ie de d6formation W u emmagas in4e par une de ces pout res ij s '6crit dans son syst6me de r6f6rence p r o p r e (X, Y) :

1 {8"w]' 1 { 8 ' w ] ' w u = ~. (EI1) u \~y~! + ~ (~K 1) u \ ~ ! (20)

of 1 EI et MK sont respec t ivement les rigidit6s ~ la flexion et & la torsion des ba r re s consid6r6es .

I

3C

Fig. 6.

On a 6v idemment des express ions similaires pou r Ies deux autres poutres jk et ki. On peut r6du i re toutes ces express ions par un changemen t de varia- b le au syst@me de r6f~rence g6n6ra l (x, y). En d6signant par A la surface du t r iangle A B C , l '6galit6 des potentiels s '6crit :

W u + Wjk + Wki = AU o (21)

Par identification, on t rouve tout calcuI fair :

cos ~ .K (22) (EI1)u = A (1 + v) sin = cos y

cos 2 9 (GKL)u = (EI1)u + 4 ~ A s i n 2 ~ s i n 2 y . K (23)

V.2. l~.tude des dalles

Consid6rons une dalle d '6pa i s seur var iable h (x, y) dont Ie feuillet m o y e n est contenu dans le p lan (x, y).

L'6nerg ie de d6formation emmagas in6e pa r unit6 de surface est donn6e pa r la relation :

1 ~{~2w ~2w]2 Uo = ~ K i ~ T~x"- -- % y--~'- !

--2(1--,~) [~-xi. Sy 2 \ ~ / J l (18)

Pour les autres poutres on obtient des express ions similaires.

Examinons les 616ments suivants :

1) El4ments en triangles isoc~Ies rectangles.

T~ T~ En posant ~ = ~ et q~ = y = -~, on t rouve :

(EI1)u = (EI1), k = (GK1)u = (GKI), k = (1 + v)AK (24)

(EI1)k j = 0 (GK1)R / = - - 4,;AK (25)

345

V O L . 4 - - N '~ 2 4 - - 1 9 7 1 - - M A T I ~ R I A U X E T C O N S T R U C T I O N S

2) Examen de l 'approximatioa de la thdorie des dalles.

La th6orie classique des dalles admet que Ie feuillet m o y e n est inextensible . I1 en r6sulte que la cou rbu re totale de la surface d6form6e qui en r6sulte apr~s flexion est cons id6r6e comme quasi nulle :

~ w ~Zw { ~ w \ ~ 8x z" 8y2 \~X-~! / /# 0 (26)

Compte tenu de cette approximation, les 6quations (22) et (23) dev i ennen t :

cos : . K (27) (EI1)u (GK1)u = A sin ~ cos y

3) Cas d'un grillage orthogonaI.

La m6thode de r6solution par assimilation de la dalle ~ un gri l lage de poutres or thogonales se d6duit d i rec tement de ce qui p r6c~de .

P renons un 616ment rec tangula i re A B C D de Ia dalle et de c6t6s a et b (fig. 7). L '6nerg ie de d6forma- tion emmagas in6e dans cet 616merit s'6crit, compte tenu des relations (18) et (26) :

2W = a . b . U o ~, a . b . K [\~/

_ { (28) \~-y2/ § 2 \ $x$y / ]

L'6nerg ie de d6formation emmagas in6e dans le gr i l lage (EF, GH) s'6crit, d ' apr~s la th6orie classique de la r6sistance des mat6riaux :

2W = a(EI)EF \ 8XZ] + b(EI)oH ~yy2]

+ [a(GK)EF + b(GK)oH] \ ~ ] (29)

En 6crivant que les deux express ions (28) et (29) sont 6quivalentes, on peut en d6du i re les caract6ris-

~r

A r- I

E l I I I I

C - - 5

B t 1 .o t i [ ' i tF I I I I D

Fig. 7.

t iques flctives ~ d o n n e r aux b a r r e s EF et GH. On t rouve tout calcul fait :

Eh 3 (EI)EF = bK = b 12 (1 - - r (30)

Eh 3 a(GK)EF § b(GK)GH = 2 abK = 2 ab 12 (1 - - 42)

On en d6duit aussi :

b h ~ a h 3 (I)EF -- 12 (1 - - v 2) (I)OH -- 12 (1 - - v 2) (31)

h 3 a(K)EF § b(K)aH = ab 3 (1 - - V~) (32)

On Voit qu' i l est poss ib le de d o n n e r ~ (K)EF et (K)OH des valeurs arb i t ra i res ~{ condition que la relat ion (32) soit v6rifi6e.

VI. PROC~.DF.S EXP~.RIMENTAUX UTILIS~.S DANS L'ANALYSE DES CONTRAINTES DE DALLES-BIAISES SOUS FORNIES DE MOD~.LES

VI.1. i%perqu g6n~ra l

L'6tude exp6r imenta le des dalles biaises sous formes de mod~Ies se rattache ~ I '6tude g6n6rale des plaques.

La majeure par t ie des 6tudes sur mod~les de dalles biaises a 6t6 r6alis6e ~ l 'a ide de mod~Ies <<elastiques >>

Quelques 6tudes du compor tement ~ la rup ture de ce type de s t ructures ont pour tant 6t6 men6es ~ b i en sur des modules construits ~ l 'a ide de mat6riaux similaires ou iden t iques ~ ceux des ouvrages r6els. En l 'occurrence , l 'utilisation des dalIes biaises en g6nie civil p r enan t souvent la forme de pcnts , ou quelquefois de p lanchers en b6ton, Ies mat6riaux utilis6s pour Ies modules ont 6t6 ies pl~tres, Ies micro- b6tons et les b6tons. Pour ces 6tudes les proc6d6s exp6r imentaux utilis6s sont les p roc6d6s classiques de l 'extensom6tr ie , c 'est-Mdire les exrensom~tres m6caniques (dilatom~tres), les extensom~tres acous- t iques (t6moins sonores) et les extensom~tres 6Iec- t r iques (extensom~tres ~ fiI ou ~ film r6sistant).

Quant aux mod&les << 61astiques >> qui limitent Ieur objet ~ la d6finition des contraintes et des d6forma-

tions dans le domaine 61astique du mat6riau, ils p e u v e n t 6tre conqus en mat6r iaux totalement diff6- rents du mat6riau de l ' ouv rage r6el ou prototype,

condi t ion que les caract6ris t iques m6can iques de ces mat6riaux respec ten t les condit ions de l'61asti- cit6, c 'est-~-dire l 'homog6n6it6, l ' i sotropie et l'61asti- cit6. Dans ces conditions, les possibili t6s exp6 r imentales s ' en trouvent, tout au moins en pr incipe , consi- d6 r a b l e me n t 61argies.

Ainsi, un certain n o m b r e d ' exp6r imen ta t eu r s ont tent6 d ' a p p l i q u e r ~ la r6solution de ces p rob i~mes , des m6thodes particuli~res, dans l ' e spoi r initial d ' ob t e n i r des informations r ense ignan t sur le compor - t ement global de la structure.

De ce point de vue, la photo6Iasticim6trie a pu s6du i re a priori. Le p rofesseur Favre a imagin6 le p roc6d6 bas6 sur la r6alisation de p laques b icouches coll6es et s6par6es ~ leur fronti~re commune, si tu6e i~ mi -6pa isseur de Ia plaque, pa r une surface o p a q u e et r6fl6chissante. Cette id6e in t6ressante a eu pou r but de s6pa re r la demi-6pa i sseur tendue, de la demi- 6pa isseur compr im6e et de les 6tudier s6par6ment , car l eur observa t ion globale pa r un faisceau polar is6

346

t r aversan t n o r m a l e m e n t Ia p laque , ne met en e v i d e n c e aucun r e t a r d op t ique ~ la sor t ie pu isque les effets photo61ast iques de Ia pa t t i e t endue annulent ceux de la pa r t i e compr im6e , tout au moins dans l ' hypo th~se d e soll icitations en flexion pure . I1 est poss ib l e d 'e f fec- tuer c o n v e n a b l e m e n t l ' ana lyse p a r ce p roc6d6 , mais il ob l ige ~ une exp6r imenta t ion longue et difficile, et n 'am61iorant pas la p r6c i s ion o rd ina i r e des m6tho- d e s c lass iques d e photo61asticim6trie qui pet i t 6tre dans ce cas insuffisante dans les zones s i tu6es ho r s des b o r d s l ibres . Ainsi, ma lg r6 l '616gance d e sa concept ion, ce p r o c 6 d 6 est d e m e u r 6 un e x e r c i c e d e l abora to i re .

M. Dantu [2] a 6t6 l ' in i t ia teur d ' un p r o c 6 d 6 op t ique des t in6 ~ l ' 6 tude d e la f lexion des p laques . Ce p r o c 6 d 6 consis te & p r e n d r e un mi ro i r d e v e r r e ou d e p lex i - glas et ~ p h o t o g r a p h i e r l ' image d ' un quad r i l l age dans ce mi ro i r avant et ap r~s mise en cha rge du miroi r . Si la d i s tance au mi ro i r est suffisante, le q u a d r i l l a g e accuse d e tr~s g r a n d e s d6formations, sans que le m i r o i r soit for tement d6form6. La m e s u r e des d6p la - cemen t s d e s points du quad r i l l age p e r m e t d ' o b t e n i r des va leurs e x p 6 r i m e n t a l e s l i6es aux d6r iv6es secon- des des fl6ches p a r r a p p o r t aux axes de r6f6rence ,

pa r t i r d e s q u e l l e s il est facile de calculer Ies moments fl6chissants et d e torsion.

M. L i g t e n b e r g [3] a mis au point un p r o c 6 d 6 bas6 sur le p r i n c i p e d6fini pa r Dantu en utilisant 6ga l emen t un effet d e moi r6 des images de deux r6seaux d e l ignes parall@Ies t rac6s sur la p laque. L ' in te r f6 rence des deux cl ich6s donne un moir6 dont les f r anges sont Ies I ignes d ' 6ga Ie pen te d e miroir .

Rappe lons que Ie p r inc ipe du mol t6 est d~i 6ga le - ment & M. Dantu qui l 'a surtout utilis6 p o u r l ' ana lyse des d6format ions des s t ructures p lanes soumises

de g r a n d e s d6format ions [4], [5].

L '6 tude du c o m p o r t e m e n t de p laques soumises ~{ d e s c h a r g e m e n t s agissant p e r p e n d i c u l a i r e m e n t l eu r plan, a r ecu d e n o m b r e u s e s appl ica t ions [6], [7], [8] dont les r6sultats sont tr@s satisfaisants.

C e p e n d a n t ces m6 thodes bas6es sur l 'effet de mol t6 n6cess i ten t un 6qu ipemen t par t icul ier , d e s e x p 6 r i m e n t a t e u r s aver t i s et entrMn6s et un d6poui l - l ement assez labor ieux .

L '6 tude e x p 6 r i m e n t a l e des d6format ions d e plaques , et d e da l l es -b ia i ses en par t icul ier , peu t 6tre m e n 6 e ~ b i en ~ l ' a ide d e m6thodes plus banales , d e raise en oeuvre p lus s imple , et d ' expIo i ta t ion plus r ap ide . Ce sont e l les que le Cent re Exp6r imenta l du B~timent et de s Travaux Publics utilise.

Elles sont ba s6es sur l 'ut i l isation soit de curvim@- tres, soit d e ] auges h fil r6sistant.

Les curvim@tres m e s u r e n t la c o u r b u r e de la p l aque , l ' a ide d ' un c a p t e u r d e d 6 p l a c e m e n t qui peu t 6tre

m6can ique ou 61ectrique (potent iom6tr ique, ~ t rans- fo rmateur diff6rentiel, etc...). A notre conna i s sance l 'ut i l isation d e cet outil ex t ensom6t r ique p o u r ce t ype d e p rob I6me , est due ~ M. Panchaud, P ro f e s seu r l']~cole Po ly technique de Lausanne.

Le C.E.B.T.P. a ex6cut6 un n o m b r e notable d ' e t u d e s d e dal les b ia ises , dont une g r a n d e pa t t i e p o u r le compte de la Division des Ouvrages d 'Ar t d e la S.N.C.F. ~ l ' a i de d e ce p r o c 6 d 6 [9]. La m 6 t h o d e a 6ga l emen t 6t6 l a r g e m e n t util is6e p a r d ' au t r e s labo- ra toi res , no tamment en A l l emagne [10], [11], [12]. Le r e p r o c h e qui peu t 6tre fait au p roc6d6 , c o n c e r n e la l o n g u e u r d e b a s e des appare i l s , qui est impor t an t e et ob l i ge ~{ chois i r une 6chel le du mod@le suffisam- ment g r a n d e p o u r p r 6 s e r v e r le caract@re ponc tue l des mesures .

P. B O R D E R I E - - E. A B S I - - C . B O N V A L E T

VI.1 . P r o c ~ d 6 u t i l i s 6 a c t u e l l e m e n t p a r l e C . E . B . T . P .

Actuel lement , l 'ut i l isation de j auges ~ fil r6sistant d e q u e l q u e s mil l im~tres de Iongueur d e b a s e o b v i e

cet invonv6nient . L ' e n r e g i s t r e m e n t au tomat ique des m e s u r e s et l eur d6pou i l l emen t sur o rd ina teur , p e r m e t I 'uti l isation d ' u n g r a n d n o m b r e d e j auges , de I ' o r d r e de 300 ~ 400 p a r essai.

La conna issance des moments d e f lexion et d e tors ion sur ta dat le est seu le r e c h e r c h 6 e , ca r les efforts de m e m b r a n e sont inexistants ou n6g l igeab le s . Ainsi I ' 6qu ipemen t en appa re i l s de m e s u r e d ' u n e seu le face de la dal le est-il suffisant.

La na ture de ce type de sollicitation offre la poss i - bilit6 d e chois i r d e u x 6chel les des l o n g u e u r s p o u r concevo i r le modu le : une 6chel le d e s g r a n d e s d imens ions ( longueur et l a rgeur ) b a s 6 e su r le h o m b r e et la ponctuali t6 des points d e m e s u r e et une 6chel le d e s 6pa i s seu r s b a s 6 e sur le choix des 6pa i s seu r s d e p l aques de p l ex ig la s p r o p o s ~ e s p a r Ie fournisseur .

En un point que lconque , la d i spos i t ion d e s j auges est d6finie sous forme d e << rose t tes >> c ' e s t -~ -d i re d ' un e n s e m b l e de trois d i rec t ions de m e s u r e , d e u x o r thogona le s et la t rois i~me suivant la b i s sec t r i ce des deux p r e m i e r e s . A par t i r d e cet e n s e m b l e , le calcul du ce rc l e de Mohr p e r m e t d ' o b t e n i r la va l eu r et la d i rec t ion des d6format ions p r inc ipa les , et la va l eu r des dis tors ions le long des d i rec t ions des d e u x j a u g e s or thogonales .

La conna issance des carac t6r i s t iques m6can iques du mat6r iau du mod&le, modu le d'61asticit6 et coefficient de Poisson, et l ' 6 tab l i s sement des re la t ions d e s imil i tude conduisen t ~ la d6 te rmina t ion des momen t s fl6chissants pr inc ipaux , de l eur d i rect ion, du moment d e torsion, maximal , et enfin des moments d e flexion et d e torsion le long des deux d i rec t ions o r thogona l e s d e la roset te . En g6n6ra l une de ces deux d i rec t ions est confondue avec l ' axe longi tudinal d e l ' ouv rage .

Fig. 8. ~ Mod6le du passage sup6rieur de St-Pol-sur-Ternoise. Vue d'ensemble.

347

VOL. 4 - N" 2 4 - - t971 - - M A T i ~ R I A U X ET C O N S T R U C T I O N S

Les chargements repartis, charge pe rmanen te ou surcharge uniform6ment r6part ie sont confi6s ~ des poids suspendus dont les efforts d ' acc rochage sont r6partis par des p laques m6tall iques r igides qui appu ien t sur l 'extrados du mod61e par I ' in term6diai re de feuilles de caoutchouc souple. La p r6sence du caoutchouc r6parti t la pression, et pe rmet la l ibre d6formation de la dalle. Les fils d ' acc rochage des poids aux p laques de r6parti t ion t raversent la dalle, grace ~ des trous de 1 mm ~ 1,5 mm de diam@tre, qui ne p e r t u r b e n t pas I ' inertie de la s t ructure (fig. 8).

Les charges concent r6es telles que celles dues aux convois, p rov i ennen t d ' une pouss6e de v6r in pneu- mat ique appl iquant sur la face sup6r i eu re du mod@ie un dispositif de r6parti t ion sous forme de p laques

p lus ieurs appuis, ou sous forme de pa lonnie rs jud ic ieusement r6partis.

Le choix de l '6chelle des forces n 'es t fix6 q u ' e n fonction de la va leur des d6formations obtenues . Ces d6formations doivent @tre suff isamment .grandes pour 6tre sens ib les et pr6cises, et elles ne doivent pas d6passe r un seuil au-dessus duqueI leur caract6re 61astique ne serai t plus assur6.

VI.3. Relations de simil itude

Ces relations sont donn6es sans d6monstrat ion. Leur 6 tabl issement est fond6 sur l 'applicat ion des lois de I 'analyse dimensiormelle [13].

Le bon sens et le respect des 6quations des d imen- sions conduisen t aux m6mes r6sultats, mais sans Fin- d i spensab le r ig ueu r math6matique.

Si l ' indice m est relatif au mod61e, et l ' indice p l ' ouvrage r6el ou << pro to type >>, les 6chelles de

g r a n d e u r s s ' ec r iven t '

1 _ L m pour les g r a n d e s dimensions , l ongueu r L Lp et l a rgeur

1 e m - - - pou r les 6paisseurs

e ep

1 F m F Fp pour les forces

1 _ Mm pour les moments unitaires de flexion et M Mp de torsion

1 _ d m pour les d6formations globales (fl@ches d d p en part iculier)

1 E m E - Ep pou r les modu les d'61asticit6

I1 est suppos6 que l '6chel le des coefficients de 1

Poisson - est 6gale ~ l 'unit6. v

i i i i Les rapports L' e' F' E sont des donn6es de l'ex-

p6rience. Les autres rapports s'obtiennent ~ l'aide des relations de simili tude suivantes '.

1 1 M F

1 1 ~=~xexE L'6chelle des r6actions d ' appu i est ev idemmen t

6gale ~ celle des forces.

VII. I~.TUDES EXPr.RIMENTALES ET COMPARATIVES

Les 6tudes exp6r imenta les ont port6 sur des mesures faites sur des mod@les et sur des ouvrages r6els.

Les r6sultats obtenus ont 6t6 compar6s avec ceux issus du calcul effectu6 soit pa r la m6thode des 6qui- valences, soit pa r Ia m6thode des diff@rences finies.

Ces 6tudes ont int6ress6 6 ouvrages ~ une ou plus ieurs t rav6es continues dont les biais s '6chelon- naient de 41 ~ env i ron ~ 16 ~ 37', les part ies droi tes 6tant de l ' o rd re de 8 ~ 11 m, ce qui r ep r6sen te une va leur courante p o u r une dalle en b6ton arm6.

Pour l ' ouv rage le plus biais qui est ~ trois t rav6es continues, la compara ison entre l '6tude sur mod@le et le calcul a 6t6 6 tendue ~ un ouvrage net tement plus large et ~ un autre net tement plus 6troit, pour analyser l ' inf luence de la l a rgeur de la dalle sur la d i rect ion et i ' intensit6 des moments pr inc ipaux dans Ie cas d ' ouv rages aussi biais.

Dans ce chapitre nous t rouverons :

1) Une note d6finissant sommai remen t les pr incipales caract6rist iques des ouvrages 6tudi6s.

2) La descr ip t ion d ' e x e m p l e s types de mod61es et de leur 6qu ipement extensom6tr ique .

3) Une s6rie de sch6mas repr6sen tan t les moments p r inc ipaux calcul6s ~ par t i r des essais sur mod61e et en vis-a-vis ~ part ir de la r6solut ion de I '6quat ion de Lagrange par ordinateur , par la m6thode des 6quiva lences ou par la m@thode des diff6rences finies.

4) Des courbes comparat ives de distr ibution des r6actions sur appuis ent re les mesu res faites et le calcul par l ' une ou l 'autre des m6thodes pr6ci t6es.

5) La compara ison ent re les fl6ches calcul6es et les fl@ches mesur@es sur les ouvrages r6els sous surcharge , en admettant le module d'61asticit6 c o m m u n 6 m e n t admis du be ton dans ce cas de 360 000 b a r e environ.

348


VII.1. Caract6ristiques s o m m a i r e s des ouvrages ~tudi~s

Nom de l 'ouvrage Largeur de la dalle Portee(s) droite(s) Portee(s) biaise (s)

PS de Venette (4 travees) . . . . . . . PS de St-Jean-de-Vigouroux (1 travee). PS de la Madeleine (1 travee) . . . . PS de Modane (4 travees) . . . . .

St-Pol-sur-Ternoise (3 travees) . . .

M6me modele (retr6ci) . . . . . . M4me mod61e (elargi) . . . . . . . PI d 'Hautepier re (2 travees) . . . . .

10,50 m 12,50 m 9,00 m

13,50 m

12,50 m

8,00 m 16,00 m 9,75 m

Angle du biais

33 o env. 4 trav. de 200 11,20 41o25 ' 8,30 20o30 ' 9,82

9,50 9,50 4,25

16o38 , 8,00 I0,00 8,00

24047 , 11,25 11,25

7,15 rn m

m

m m m m m m

m

m

m

1 3 m e n v . 35,70 m 12,23 m 28,04 m 27,12 m 27,12 m 17,85 m 27,95 m 34,94 m 27,95 m

26,84 m 26,34 m

VII.2. Description d 'exemples types de modbles et de leur &quipement extensom6trique

VII.2.1. Description des mod~Ies.

Les m o d ~ I e s d6c r i t s son t i s sus d e s o u v r a g e s d e St P o l - s u r - T e r n o i s e ( p a s s a g e s u p 6 r i e u r ~ 3 t r av 6 es ) et d e H a u t e p i e r r e ( p a s s a g e in f~ r i eu r ~ 2 t r av6es ) .

Les r e l a t i ons d e s imi l i tude , d o n t la d6f in i t ion es t d o n n 6 e au p a r a g r a p h e VI.3. c o n d u i s e n t aux 6 c h e l l e s s u i v a n t e s :

Echelle

1 s -

e

1 Force ~.

Moment flechissant unitaire

1 Deplacement ~/

1 Mu

L = 1 6 m

14,043.10 -2

3,054.10 -5

3,054.10 -~

2,039.10 -2

P.S.

L = 12,50 m

14,043.10 -3

3,0883.10 -s

3,0883.10 -~

2,062.10 -2

L = 8 m

14,043.I0 -3

3,0883.10 -5

3,0883.10 -5

2,062.10 -2

P.I.

10,933.10 -3

2,555.10 -5

2,555.10 -~

2,191.10 -2

P o u r les d e u x t y p e s d e m o d u l e s , p a s s a g e s s u p 6 r i e u r e t in f6 r i eur , l e s p l a q u e s d e p l e x i g l a s ayan t s e r v i l e u r f ab r i ca t i on ava i en t e n v i r o n 1 c m d ' 6 p a i s s e u r .

Les c a r a c t 6 r i s t i q u e s m 6 c a n i q u e s du p l e x i g l a s 6 ta len t :

- - M o d u l e d '61astici t6 : E = 32 000 ba r .

- - Coef f i c i en t d e P o i s s o n : ~ = 0,33.

C e s c a r a c t 6 r i s t i q u e s ont 6t6 d 6 t e r m i n 6 e s s u r 5 6 p r o u v e t t e s p a r p l a q u e d e p l e x i g a s . C e s 6 p r o u v e t t e s ont 6t6 s o u m i s e s ~ u n e so l l ic i ta t ion p u r e d e t r ac t ion a v e c m e s u r e d e s d 6 f o r m a t i o n s r e l a t i v e s ~ l ' a i d e d ' e x t e n s o m ~ t r e s du m 6 m e t y p e q u e ce lu i d e s e x t e n - s o m ~ t r e s d ' 6 q u i p e m e n t d e s m o d u l e s .

Appuis : Les a p p u i s , d o n t la r 6 p a r t i t i o n e s t d e c a r a c - t ~ r e con t inu s u r les o u v r a g e s r e e l s , ont 6t6 r e p r 6 s e n - t6s s u r les m o d u l e s s o u s f o r m e d e c o l o n n e s c y l i n d r i - q u e s e n p l e x i g a s ( v o l t fig. 9) d e 10 m m d e d i a m ~ t r e .

Le n o m b r e d ' a p p u i s p a r I igne a ~t6 cho i s i 6ga l ~ :

- - P a s s a g e s u p 6 r i e u r :

c a s 1 : L a r g e u r 16 m; 40 p o t e a u x cas 2 : L a r g e u r 12,50 m; 30 p o t e a u x cas 3 : L a r g e u r 8 m; 20 p o t e a u x .

- - P a s s a g e i n f 6 r i e u r : 15 p o t e a u x .

Les a p p u i s ou p o t e a u x ont e t6 r6a l i s6s i d e n t i q u e - m e n t p o u r l e s 4 m o d u l e s . P a r m i l es 160 p o t e a u x q u ' a n 6 c e s s i t 6 Ie cas 1 du p a s s a g e sup6rieur, 44 p o t e a u x

349

V O L . 4 -- N '~ 24 -- 1971 -- H A T I = R I A U X ET C O N S T R U C T I O N S

Fig. 9. ~ Mod/~le du passage sup6rieur de St-Pol-sur-Ternoise. D6tail d'une ligne d'appui.

Fig. 10. m Mod61e du passage inf6rieur d'Hautepierre. Vue d'ensemble.

ont 6t6 6quip6s ~{ l 'a ide de 4 extensom6tres ~ fil r6sistant pa r poteau, mont6s en pont.

Ces 44 poteaux ont jou6 le r61e de dynamom6tres , et ont 6t6 6talonn6s p r6a lab lement un ~ un. Chaque poteau actif (dynamom6tre) ou passif (non 6quip6) a 6t6 fix6 sur un appui r6glable en hauteur, afin d ' a s su re r le contact entre l ' intrados des dalles et la bille pr ise entre cet intrados et la t6te du poteau.

La mesu re des r6actions suppor tees par chacun des poteaux 616mentaires a conduit au respect de conditions exp6r imenta les assez d61icates. En effet, il est facilement concevable qu 'un 14ger d6faut de contact d ' u n poteau se t raduise par une per turbat ion, tout au moins locale, de la r6parti t ion des r6actions 61e- mentaires . Le dispositif de r6glage de la hauteur d ' u n po teau 6tait bas6 sur l 'utilisation d ' u n filetage

pas fin. Malgr6 routes les pr6caut ions prises, cer- ta~nes peti tes discontinuit6s dans la r6parti t ion des r6actions n 'on t pu 6tre 6vit6es. Mais leur influence a pu 6tre 61imin6e pa r la r6p6tition des mesures et le l issage des courbes obtenues.

VII.2.2. Description des 4quipements extensom6tri- ques.

La d6terminat ion des moments fl6chissants a 6t6 effectu6e ~ part ir de la connaissance des contraintes sur l ' ex t rados de la dalle. Ces contraintes ont 6t6 calcul6es sur la base des d6formations relatives mesur6es h i 'a ide d 'ex tensom~tres ~ fil r6sistant, mono- bi- et t r idirect ionnels . La limitation des mesures

l ' ex t rados est fond6e sur I ' inexis tence de contraintes de m e m b r a n e , due ~ la faiblesse des d6formations pa r r appor t ~ l '6pa isseur et ~ la p r 6 s e n c e de roule- merits sur bil les aux appuis.

t~tant donn6 la sym6trie par rappor t ~ l 'axe longi- tudinal des deux types d 'ouvrage ; l ' 6qu ipement de l 'ext rados des modules a 6t6 Iimit6 ~ la moiti6 de la surface des dalles. Dans le cas du passage sup6rieur , la m6me p laque a 6t6 utilis6e pour les trois cas de largeur .

Le n o m b r e total de voles de mesu re s 'est 61ev6 324 p o u r le passage sup6rieur , et ~ 179 pour le

passage inf~rieur.

Les mesu re s de fl~ches ont 6t6 effectu6es ~ l 'a ide 1

de compara teurs m6caniques a u l ~ ~ mm (vo~r fig.

11). Les points de mesu re 6talent au n o m b r e de 27 pou r Ie passage sup6r i eu r et de 18 pour le passage inf6rieur.

VII .3 . P r i n c i p a u x r 6 s u l t a t s o b t e n u s

Les figures 12 et 13 fournissent comme exemple type la pr6senta t ion sous forme de vecteurs des moments fl6chissants calcul6s ou mesur6s par les trois m6thodes dans Ie cas du Passage inf6r ieur de Hautepierre . La direct ion d o n n 6 e pour Ie moment pr incipal est la direct ion de l 'effort qui produi t ce moment. Cette convent ion s emble moins abstrai te que celle du v e c t e u r - m o m e n t

Dans le cadre de cette 6tude la pr6senta t ion sous cette forme des r6sultats relatifs ~ t o u s l e s ouvrages 6tudi6s, aurait a lourdi inut i lement I 'expos6. C'est pourquo i nous nous sommes limites, pour chaque cas, aux donn6es de que lques va leurs caract6rist iques des moments fl6chissants p r inc ipaux et de l ' ang le des direct ions pr incipales .

PS DE VENETTE

Nous ne donnons pas de va leurs comparat ives de moments pour cet ouvrage. En effet l '6 tude exp6r i - mentale peut se rv i r d ' e x e m p l e de r6alisation criti-

Fig. 11. - - Mod61e du passage sup6rieur de St-Pol-sur-Ternoise. Dispositifs de mesure des fl6ehes.

350

q u a b l e d ' u n m o d e l e . La n 6 c e s s i t 6 d ' o b t e n i r u n m o d u l e d e r e l a t i v e m e n t g r a n d e I o n g u e u r a c o n d u i t a u c o l l a g e d e d e u x p l a q u e s d e p l e x i g a s . M a l g r e l e s p r 6 c a u t i o n s p r i s e s , l ' i n t 6 g r i t 6 d e ia r i g i d i t 6 d e l ' o u v r a g e ~ la j o n c t i o n d e s p l a q u e s n ' a p a s e td e n t i ~ r e m e n t r e s p e c t e e et d e s d i f f 6 r e n c e s a s s e z s e n s i b l e s e n t r e I e s r e s u l t a t s a n a l y t i q u e s et e x p e r i m e n t a u x s o n t a p p a r u e s , s u r t o u t a u p l a n d e s f l~ches .

C e t e x e m p l e i l l u s t r e l e s d i f f icu l t6s r e n c o n t r ~ e s q u e l q u e f o i s , a u d e b u t d e la m i s e e n c e u v r e d ' u n p r o c 6 d 6 e x p 6 r i m e n t a l n o u v e a u .

PS DE ST-jEAN-DE-VIGOUROUX

Charge permanente

Poin t au c e n t r e d e la da l l e

- - M o d U l e : M; = 5 7 m T / m M~ = - - 8 m T / m

- - C a l c u I d i f f 6 r e n c e s f in ies : M z = 5 2 m T / m M~ = - - 9 m T / m

Poin t e x c e n t r 6 v e r s l ' a n g l e o b t u s

- - Mod&le : M~ = 4 4 m T / m M 2 = - - 3 5 m T / m

- - C a l c u l d i f f 6 r e n c e s f in ies : M~ = 4 5 m T / m M,, = - - 3 4 m T / m

= 650

= 610

= 500

= 520

Convois excentr6s

Poin t au c e n t r e d e la da l l e

- - M o d U l e : M 1 = 2 0 m T / m Mo = - - 7 m T / r n ~ = 650

- - C a l c u l d i f f 4 r e n c e s f in ies : M~ = 1 8 m T / m M 2 = - - 4 m T / m = = 61~

Poin t v e r s ia r i v e c h a r g d e

- - M o d U l e : M~ = 2 4 m T / m M~ = - - 1 0 m T / m ~ = 4 2 0

- - C a l c u l d i f f 6 r e n c e s f in ies : Mx = 21 m T / m M 2 = - - 6 , 5 m T / m = = 3 9 0

PS DE LA MADELEINE

Charge permanente

Poin t au c e n t r e d e la t r a v ~ e

- - M o d U l e : M 1 = 2 0 , 7 m T / m M 2 = 0 , 3 m T / m ~ = 400

- - Ca l cu I d i f f 6 r e n c e s f in i e s : M 1 = 1 9 , 8 m T / m M 2 = - l , 2 m T / m ~ = 360

Poin t v e r s la r i v e

- - M o d U l e : M 1 = 2 0 , 2 m T / m M 2 = - 4 , 3 m T / m ~ = 3 3 o

- - C a l c u l d i f f 6 r e n c e s f in ies : M~ = 2 0 , 3 m T / m M ~ = - - 4 , 1 m T / m ~ = 3 2 0

PS DE MODANE

Surcharge r6partie dans la trav6e 1

Poin t au c e n t r e d e la t r a v d e 1

- - M o d U l e : M 1 = 2 5 m T / m M 2 = 4 m T / m ~ = 700

- - C a l c u l d i f f 6 r e n c e s f in i e s : M 1 = 2 5 m T / m M~ = 3 m T / m ~ = 6 8 0


Poin t s u r l e l "r a p p u i i n t e r m ~ d i a i r e au c e n t r e

- - M o d U l e : M 1 = - - 1 6 m T / m M 2 = 0 m T / m ~ = 67"

- - C a l c u l d i f f 6 r e n c e s f in ies : M I = - - 1 4 m T / m Mo = 0 m T / m ~ -- 530

Surcharge r6pa'~'tie dans la trav6e 2

Poin t au c e n t r e d e la t r a v ~ e 2

- - M o d 6 1 e : M 1 = 2 1 m T / m M 2 - 8 m T / m ~ - 7 i ~

- - C a l c u l d i f f 6 r e n c e s f in i e s : M 1 = 2 1 m T / m M 2 = -~ 5 m T / m ~ - 640

Poin t au c e n t r e s u r l ' a p p u i i n t e r m 6 d i a i r e

- - M o d b l e : M: = - - 9 m T / m M 2 = 0 m T / m ~ = 700

- - C a l c u l d i f f 6 r e n c e s f in ies : M 1 = - - 1 0 m T / m M 2 = 0 m T / m ~ = 720

PS DE ST-POL-SUR-TERNOISE (largeur 12,50 m)

Charge permanente

Poin t d a n s la / r e t r a v ~ e ( v e r s l ' a n g l e a igu)

- - M o d U l e : M 1 = 3 3 m T / m M~ - - - 1 6 m T / m ~ = 31~

- - C a l c u I d i f f 6 r e n c e s f in ies : M1 = 2 6 m T / m M.~ = - - 1 4 m T / m ~ = 3 9 ~

Poin t au c e n t r e du l e r a p p u i

- - M o d U l e : M~ = - - 3 3 m T / m M 2 = - - 1 0 m T / m ~ = 720

- - C a l c u l d i f f 6 r e n c e s f in i e s : M 1 = - - 3 5 m T / m Mz = - - 4 m T / m ~ = 710

Poin t au c e n t r e d e Ia t r a v 6 e 2

- - M o d U l e : M 1 = 1 9 m T / m M 2 = - - 3 m T / m ~ = 51~

- - C a l c u l d i f f e r e n c e s f in ies : M 1 = 1 9 m T / m M 2 = - - 4 m T / m ~ = 670

Poin t en r i v e au d ro i t du I re a p p u i i n t e r m d d i a i r e

- - M o d ~ I e : M x = 46 m T / m

- - C a l c u l d i f f 6 r e n c e s f in i e s : M x = 36 m T / m

PS DE ST-POL-SUR-TERNOISE (largeur 8 m )

Charge permanente

Poin t d a n s la / r e t r a v d e

- - M o d U l e : M z = 3 3 m T / m M 2 = - - 1 8 m T / m ~ = 620

- - C a l c u l d i f f 6 r e n c e s f in i e s : M 1 = 3 4 m T / m M 2 = - - I 8 m T / m ~ = 600

M o m e n t au c e n t r e du l e t a p p u i i n t e r m 6 d i a i r e

- - M o d U l e : M 1 = - - 3 0 m T / m M 2 = 0 m T / m ~ = 480

- - C a l c u l d i f f 6 r e n c e s f in i e s : M 1 = - - 3 3 m T / m M 2 = 0 m T / m c~ = 530

351

V O L . 4 - N I' 24 - - 1971 - - M A T I ~ R I A U X ET C O N S T R U C T I O N S

Moment au centre de ia 2 ~ trav~e

- - Mod@le : M~ = 4 4 m T / m M~. = - - 1 6 m T / m ~ = 3 9 ~

- - C a l c u l d i f f e r e n c e s f in ies : M~ = 4 5 m T / m Mz = - - 1 8 m T / m ~ = 3 9 o

PI D'HAUTEPIERRE (fig. 12, 13, 14)

C h a r g e p e ~ a n e n t e

Moments au centre de la trav@e 1

- - Mod@le : M z = 6 5 m T / m M. = - - 2 8 m T / m = = 4 0 o

- - Ca lcu l d i f f@rences f in ies : M z = 6 5 m T / m M 2 = - - 4 2 m T / m = = 45 o

- - Ca lcu l m@ thode d e s 6 q u i v a l e n c e s : M z = 7 1 m T / m M~ = - - 3 8 m T / m ~ = 5 0 o

Point dans #angle obtus

- - Mod@le : M z = 6 7 r n T / m M~ = - - 2 8 m T / m = = 3 7 0

- - Ca lcu l d i f f e r e n c e s f in ies : M 1 = 6 1 m T / m M~ = - - 2 9 m T / m ~ = 40 o

- - Ca lcu l m 6 t h o d e d e s 6 q u i v a l e n c e s : M~ = 6 2 m T / m M2 = - - 3 5 m T / m ~ = 5 2 o

Point au centre de l 'appui interm@diaire

- - Mod@le : M~ = -- 54 m T / m M 2 = - - 8 m T / m ~ = 390

- - Ca lcu l d i f f e r e n c e s f in ies : M z = - - 5 0 m T / m M 2 : - - 5 m T / m = = 44 o

Remarque : Les r 6 s u l t a t s e x p 6 r i m e n t a u x o n t 6t6

o b t e n u s s u r d e s .mod@les e n p l e x i g l a s , d o n c a v e c i ' hypo th@se d ' u n coe f f i c i en t d e P o i s s o n 6 g a l ~ 0,35.

E n r e v a n c h e , l es r@sultats d e ca lcu l bas@s s u r l ' a p p l i c a t i o n , soi t d e ta rn@thode d e s Di f f@rences F in ies , so i t d e la m e t h o d e d e s l ~ q u i v a l e n c e s , s u p - p o s e n t u n coe f f i c i en t d e P o i s s o n 6 g a l ~ 0,15.

Afin d ' a p p r 6 c i e r l 'erreur c o m m i s e s u r l e s r 6 s u l t a t s e x p 6 r i m e n t a u x d u fait d e Ia v a l e u r p lu s 6 1 e v 6 e d u coe f f i c i en t d e P o i s s o n d u p l e x i g l a s p a r r a p p o r t

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.c .=

U~

�9 = u ,~ t -

~ m, U

o = 0

a~

I

....... col=~l (Equlvoi~ces)

m. ym - - - C oicui ~Difr~ . . . . . Fini,~

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o ; \ . J, #-

i ~,.

Fig. 13. - - P. I. Hautepierre. Charge permanente. Variation du moment principal maximal parall~lement ~ la bordure et ~, 1,30 m de celle-ci.

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352

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353

V O L . 4 - N" 2 4 - 1971 - - M A T I ~ R I A U X ET C O N S T R U C T I O N S

celle du coefficient de Poisson moyen du b6ton, un calcul, bas6 sur la m6thode des Diff6rences Finies, a 6t6 ex6cut6 sur le P.I. d 'Hautepier re , darts l 'hypo- th@se d ' u n coefficient de Poisson 6gal ~ 0,35. La compara ison de ces r6sultats avec les r6sultats de calcul figurant sur la figure 12 (v = 0,15), pe rme t cette appr6ciation. Elle ne modifie pas la validit6 d ' e n s e m b l e des r6sultats exp6r imentaux, mais elle fait appara i t re pour cer ts ins points, situ6s en parti- cul ier darts la zone de l ' angle aigu, des diff6rences qui, b i e n que faibles sur les direct ions, a t te ignent plus de 10 % sur les valeurs foibles et m o y e n n e s des moments . Les diff6rences relat ives sur les moments importants n'exc@dent pas que lques unit6s p o u r cent.

V I I , 4 . C o m p a r a i s o n d e s r ~ a c t i o n s s u r a p p u i s

Les courbes de dis tr ibut ion des r@actions sur l 'appui , ont 6t6 t rac6es pou r les ouvrages de St- Pol-sur-Ternoise et de Hautepierre . Les courbes sont issues, soit d ' u n calcul 61ectronique pa r l ' une ou l 'autre des m6thodes de calcuI, soit des essois sur mod@les (fig. 14 ~ 17).

7 I I , 5 . C o m p a r a i s o n d e s f l b c h e s c a l c u l 6 e s e t d e s f l b c h e s m e s u r ~ e s s u r l e s o u v r a g e s r 6 e l s

Les mesu res ont pu @tre faites sur l ' ouvrage de St-Jean-de-Vigouroux et de St-Pol-sur-Ternoise.

Les r6sultats suivants ont 6t6 ob tenus :

§ modele z R = 1 1 5 9 T T~ , i . . . . CQICUI (equtvalences) zR = 1 151T !

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. , ~ ~__~

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}/ LIGNF D' APPUI

Fig. 14. - - P. S. St-Poi-sur-Ternoise. Largeur 12,50 m. Charge permanente. R6actions des appuis intermSdiaires.

. - - - - , module zR:311T TO nnes, . . . . rmlr~,l (~l , ; , ,~ l~nr~r T P--OOZT

S T - J E A N - D E - V I G O U R O U X

La charge totale amen6e pa r les camions a 6t6 de 372 t contre 467 t pour la su rcharge A non pond6r6e .

Les fl@ches th6oriques ind iquees sont celles qui r6sul tent de la note de calcul 61ectronique, ob tenues par proport ionnal i t6 avec la su rcha rge et avec un module d'61asticJt6 du b6ton 6gal 5 360 000 bar.

Les fl6ches sont pr ises au mil ieu de la dalle et au milieu de chacun des bords l ibres.

LIG NE. D 'APPUI

Fig. 15. - - P. S. St-Pol-sur-Ternoise. Largeur 12,50 m. Charge permanente. RSactions des appuis extr@mes.

Cbte Agen . . . . . . . Milieu . . . . . . . . C6t6 Bordeaux . . . .

FI@ches th6o-

riques (ram)

11,4 3,5

10,7

Fleches relevees (ram)

10,8 3,1 8,0

Fl@ches r@si-

duelles (mm)

0,8 0,4 0,4

.~re trav@e charg@e

C6t6 Etaple . . . . . . . Centre . . . . . . . . . . C6t6 St Pol . . . . . . . .

Fl@ches theoriques

(mrn)

1,9 0,3 0,7

Fl@ches relevees

(ram)

1,40 0,25 0,85

ST-POL-SUR-TERNOISE

Les fl@ches ont 6t6 calcul6es comme dans l ' ouvrage p r6c6den t par proport ionnal i t6 avec la su rcha rge r6el le ~ part ir des fl@ches donn6es pa r la note de calcul 61ectronique, et avec un module d'61asticit6 du b6ton 6gat ~ 360 000 bar.

Les fl@ches sont relev@es sur les bo rds et au cen t re de la dalle dans la t rav6e cons id6r6e (trav6e charg6e).

2 e trav@e charg@e

C6t@ t~taple . . . . . . . . Centre . . . . . . . . . . C6t@ St Pol . . . . . . . .

Fl@ches th6oriques

2,33 1,04 2,33

F16ches relevees

2,35 1,25 1,85

354

TONNES 150

125

100

25

!! I

I J 2

. . . . . . CalCUl ( e c l u ; v Q I e n G e $ )

- - - - C;alCU (d l [Fe r ' e t1 r [ i n i e s ) / / -i -- / / I ~I' . / t

�9 1

�9 ~ - ~ - ~ - - r ~ --. , t i i \ . . ; / " f :...q... , / / /

L W L : _ ; : ' < Z / /

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

P. B O R D E R I E - - E. A B S I - - C . B O N V A L E T

Fig. 16. m p. I. Hautepierre. Charge permanente. R6ac. tions de rappui interm6diaire.

Fig. 17. ~ P. I. Hautepierre. Charge permanente. R~actions des appuis extremes.

TONNES

12.5

100

75

50

25

3

m o d u l e . . . . . . . c a l c u l ( $ q u i v a l e n c e s )

c a l c u l ( d i f f e r e n c e s F i n i e s )

> ~ _ ~ .... / . .... >.. �9 - - 7 :---: :~.~..~

4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 14 15

3 ~ t r a v d e c h a r g d e

C 6 t e I~taple . . . . . . .

Centre . . . . . . . . . .

C 6 t 6 St Pol . . . . . . . .

Fleches theoriques

0,7 0,3 1,9

Fleches relevees

0,90 0,25 1,65

C O N C L U S I O N

I1 est poss ib le depuis long temps de calculer des ponts dalles biais, tout au moins depuis que l 'on d ispose couramment d 'ord ina teurs .

Les essais sur modules ont permis 6ga lement depuis longtemps de d6 te rmine r les efforts dans ces m6mes ponts dalles. Mais cet article mon t r e que l 'on peut calculer soit pa r la m6thode des dJff6rences finies, soit pa r la m6thode des 6quivalences , des ouvrages continus de biais tr~s accentu6 (160 envi ron)

et que les r6sultats se r e c oupe n t toujours avec une approximat ion suffisante avec les essais sur mod61e. On constate no tamment que, m6me pour un biais aussi accentu6, et quel le que soit la l a rgeur de la dalle, les moments sont sens ib lemen t dir ig6s per- pend icu la i r emen t aux appuis.

Les essais effectu6s sur ces ouvrages ont permis de m e s u r e r des r6actions sur les appuis, et de con fir- me r exp6r imen ta lement la distr ibution de ces r6ac- tions le long des appuis donn6e par le calcuI 61ec- tronique.

En outre des me su r e s de fi6ches sans su rcharge effectu6es sur Ies ouvrages construits, ont b i en confirm6 les fl6ches th6or iques ob tenues par le calcul sur ordinateur . Enfin ces compara isons ayant port6 sur huit mod61es, il a 6t6 poss ib le de constater qu ' i l n'6tait pas n6cessai re , p o u r obten i r les efforts dans des dalIes avec une pr6cis ion correcte , de pr6voi r un r6seau de points tr~s resserr6 . Le calcul 61ectronique de l ' ouvrage se fait donc avec toutes les var iables en m6moi re centra le (pour Ia m6thode des diff6rences finies tout au moins) ce qui conduit

url temps de calcul r6dui t de 30 sec ~ 1 m n 30 sec env i ron suivant les ouvrages , et p e r m e t ainsi d 'ob te - nir une note de calcul d ' u n pr ix tr~s abordab le .

355

V O L . 4 - N ~ 2 4 - 1971 - - M A T I 6 R I A U X ET C O N S T R U C T I O N S

SUMMARY

Contribution to the General S tudy o f S l a b s . - The work mos t current ly used to cross a span o f less than fifteen m e t e r s is the re in forced concre te slab.

The determinat ion o f the forces straining s k e w s labs on the basis o f the m e t h o d s appl icable to straight s labs l e d to resul ts that w e r e the m o r e e r roneous the smal ler the s k e w angle. The difficulty s e e m s to have b e e n surmoun ted for the first t ime for single- bay slabs, s imp ly suppor ted , b y Jensen in 1941. Be tween 1950 and 1960 the determinat ion o f the principal m o m e n t s was made b y the use o f tests on models .

The p r e s e n t contribution concerns various p roce - dures for the analysis o f the s t r e s se s o f s k e w slabs, with s imple or mult iple bays , which a m o n g others are available to p lanners o f w o r k s o f this type. These p r o c e d u r e s are b a s e d on:

- - analytical m e t h o d s : Calculation b y the me thod o f Finite Di f ferences; Calculation b y the m e t h o d o f Equiva lences;

- - exper imen ta l me thods : S tudy on small elastic models," M e a s u r e m e n t on real works .

The theoretical bases o f the analytical m e thods are deve loped , after a r e v i e w o f the fundamental equa- tions which we o w e to Lagrange. A theoretical analysis of the in f luence o f the value o f Poisson's ratio is p re sen t ed .

A historical s u r v e y o f the exper imen ta l m e th ods applicable to the s tudy o f s labs is g iven, a n d ' t h e me thods most curren t ly used at the p r e s e n t t ime are de sc r ibed in the form of an application to a s tructure having a v e r y slight acute angle.

Finally, after hav ing de f ined the dimensional characterist ics o f e ight s k e w slabs, the sharpes t o f which has an angle o f approx im a te l y 16 ~ the theori- tical and exper imen ta l resul ts obtained from these s tructures are compared . The comparison o f the values o f the f l exure and torsion moments , o f the reactions o f suppor t and the sags, shows a satisfac- tory concordance b e t w e e n the two g roups o f resul ts and br ings out the value, f rom the points o f v i ew of prec is ion and economy , o f the p r o g r a m m e s o f calculation b y c o m p u t e r d e v e l o p e d for this t ype o f work.

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Documents

Contribution à l'étude générale des dalles