Acta Physica Academiae Scientiarum Hungaricae, Tomus 31 (4), pp. 389--393 (1972)

CONTRIBUTIONS A UN MODI~LE DE DYNAMIQUE PONCTUELLE

POUR LA M• ONDULATOIRE

Par

Zs. CSOMA INSTITUT DE PHYSIQUE DE L'UNIVERSIT• TECHNIQUE DE BUDAPEST, BUDAPEST

(Re~u 22. IV. 1971)

T. M�93 a publi› une in te rpr › de l ' › d ' › de la m› nique ondulatoire [1], dans laquelle ii ava i t l ' in tent ion d 'accorder la not ion du point mat› avec la description appliqu› par la m› ondulatoire . II est arriv› h ce �87 de dynamique ponctuelle(~ comme suit:

L ' › de Schriidinger d› du temps de la par t icule de masse # se par tage par la subst i tu t ion ~o --~ A exp iS /h oh A et S sont les fonc- t ions r› des coordonn› spatiales et du temps~ en deux › diff› rentielles r›

1 h z A A ~S - - grad2S + V + = 0 , (1) 2/~ 2/~ A ~t

3A ~ div (A 2 grad S/#) + - O. (2)

0t

M�93 y employan t la formule

f f = # ~ = g r a d S (3)

dª ~ DE BnOGLm, a d› la relat ion

d l n A A S + 2 # - - -- 0 .

dt

Pa r cela il › A et re~ut pour S une › integro diff› laquelie on peut consid› comme g›233 de m› ondulatoire de l ' › t ion classique d ' H a m i l t o n - - J a c o b i .

Examinons donc le cas s ta t ionnaire c'est-~-dire celui, lorsque dS/dt = - - E

est constant , alors S = c r - - E t et OA/Ot----0. Les › pr›233 deviennent :

1 h 2 AA --grad 2a - - d - V = E , (1") 2# 2~ A

div (A 2 grad ~) = 0. (2*)

Acta Physica /lcademiae Scientiarum Hungaricae 31, 1972

390 zs. CSOMA

P o u r le p r › b o r n o n s nous a ux forces cent ra les , c 'es t -~-dire V ne soit d › que du r a y o n v e c t e u r . Dans ce cas la so lu t ion usuelle de l ' ›

de Schr•dinger i n d › du t e m p s en c o o r d o n n › polaires [2] est :

~p(r, ~9, ~v) : : R(r) , T(O), e ira" ~

Alors m a i n t e n a n t A ~ R. T et a/P�91 = mlq~ = m i a r c t g y/x. La fo rmule (3) d› en d› est en ce cas:

Da _ hm --mY " ] DX X 2 ~ - Y 2 - - ~ ' X ,

i Da _ hm x -- q .~,, Dy x2 + yZ ]

dx y

~, ay x

(4)

(5)

- 0 = ~ . ~ x ~ + y ) = 0 . Dz

De eeux- lh z est cons t an t , ensu i te x 2 + y2 : R2 = r2sin20 est aussi e o n s t a n t .

A est c o n s t a n t au long de l ' o r b i t e eireulaire, ce qui sui t aussi de la s tab i l i t ›

de zg, et de r. Le sys t~me d ' › du eerele

x : B cos ~v, y :-- B sin ~v.

Nous a p p r e n o n s ]a d › de l ' ang le du t emps , si nous d › les ›

t ions (4) et (5) su i va n t le t e m p s :

~ ~ m y = _ / ~ ~ t ~ # R2 [ - ~ ) x , x : R c o s ( o n + x ) ,

~ _ hm . / ~ m / 2 x = - - y , = R" sin (~ot + ~),

Oh O~ : l � 9 1 2, i n d › du po ten t ie l V de la force cent ra le . L a g r a n -

deu r de l ' impu l s ion est p ----- #co R = hm/R et sa d i rec t ion est pe rpend icu la i r e sur le r a y o n vec teu r . La l o n g e u r d ' o n d e selon de Brogl ie a p p a r t e n a n t h p

est : ~ : h/p : 21{ Jt/m une pa r t i e du n o m b r e en t ie r de la e i rconf› du

cercle, e o m m e cela › ~ a t t e n d r e . La v a l e u r absolue du m o m e n t d ' i m pu l s ion qui se r a p p o r t e au cen t re de

force, c o m m e h l 'or ig ine est L : h m / R �9 r = hm/sin v ~. I d e n t i f i o n s cela avec la

v a l e u r - p r o p r e h Vl(l + 1) de l ' o p › du m o m e n t d ' i m p u l s i o n ; en r 6 d u i s a n t

l ' ›233 nous recevons , que m/sin t~ = Vl(l + 1), ce qui signifie, que l ' ang le t9 est quan t i f i › E n m~me t e m p s A A / A = m2 / r2s in2 t9 - l(l + 1)/r 2 est

Acta Physica Academiae Scientiarum Hungaricae 31, 1972

CONTRIBUTIONS A UN MODELE DE DYNAMIQUE PONCTUELLE 391

cause de l ' ›233 pr ›233 z› Alors, dans le cas du champ cent ra l l ' › t ion de Schr6dinger du mod~le soumis ~ l ' e x a m e n passe en › d ' › classique. Cependan t les solutions he sont que des orbi tes circulaires lesquels ne se t r o u v e n t pas dans le p lan xy: c 'es t que v~ = ~/2 s ' impose seu lement comme cas de l imite, si p. ex. l = m t end ~ l ' infini . La direction du vec teu r du m o m e n t d ' impuls ion n ' e s t pas f ixe t n ' e s t pas perpendicula i re sur le p lan de l 'orbi te . Cette cons ta t a t ion est en ha rmon ie avec cela, que - - h 2 / 2 # �9 A A / A

n o m m › �87 quantique(~, chez MXTRAI le m e m b r e compl› de l ' › cin› b ien qu' i l soit z› le long des orbi tes circulaires re~us, mais d› en out re non seu lement de r mais aussi de l 'angle 0. Ainsi h cause de cela >>la force quantique<~ n ' e s t pas centrale.

~r~ O

Fig. 1

Si nous employons les susdits sp › "~ l ' a t o m e H, alors # est la masse et - - e est la charge de l ' › et V = - - e 2 / r . D 'apr~s les pr › les va leurs possibles de l ' › an long des orbi tes circulaires permises sont:

h 2 / ( / + 1 ) e 2

2~ r 2 r

Iden t i f ions cela avec les va leurs -propres de l ' op › hami l ton ien E n - --e2/2ao n2 oh a o signifie le r a y o n de Bohr le plus pet i t . Ainsi de l ' ›

de second degr› re~ue pour la va leur absolue du r a y o n vec teur on ob t ien t :

~=a~ '~'+~~)n~ Si l = n - - 1 et n t end ~ l ' infini, alors r se r app roche a s y m p t o t i q u e m e n t

au r ayon de l 'o rb i te n-i~me de Bohr. Les t ra jec to i res discr~tes re~ues ne ressemblen t que fo rme l l emen t h la

not ion de l 'o rb i te circulaire dans le sens de Bohr , car selon [1] et [3] le poin t

8* Acta Physica Academiae Scientiarum Hungaricae 31, 1972

392 zs. csoMA

mat › est accompagn› pa r un c h a m p de vitesse › dans le cas s ta t ion- naire aussi. P a r cela nous avons alors qui t t › le cadre concept ionnel de la phys ique classique.

E x a m i n o n s comme deuxi~me exemple le cas de l 'osci l la teur spat ia l [2]. M a i n t e n a n t V = 2~~#v2r 2 et les va leurs -propres de l ' › (n + 3/2)hv. Alors m a i n t e n a n t h2l(l q- 1)/8~z2#r 2 -~ 2~2#r2r 2 = (n -f- 3/2)h v. De cela nous recevons pour r 2 une › du second degr› d 'oh :

r 2 = h 2 n + 3 • t / ( 2 n + 3 ) 2 41(/q-l) 8~2/~v

Comme on voit , la f r › de l 'osci l la teur he f igure que dans le d › teur . C 'es t pourquoi la v i tesse angulaire du m o u v e m e n t circulaire est pro- por t ionnel le ~ la fr› en effet

O ) m i

hm, hl(lq-1) l ( l + l ) . 4 ~ r . v

2~r/zr2 sin 2vq 2~r#r2ml mi [ 2 n q - 3 ~ V ~ ) 2 4/( / - f - l i ]

Si m a i n t e n a n t m = l = n - - 1, alors

O) = 4z~vn

2 n � 9 1 V1-6¡ q- 9

Si encore n t end h l ' infini , alors la l imite de co est 2~v. Pu isque la vi tesse angula i re est i nd › du potent iel , c 'es t pour -

quoi dans le cas d 'un assez g rand n =- 1 + i ii reste va lable , non seu lement pou r l 'osc i l la teur spat ia l mais aussi pour l ' a t o me H, que v = ( E , - En-1)/h, la f r › ~>›233171 s ' accorde a s y m p t o t i q u e m e n t avec la f r › du m o u v e - m e n t circulaire. (Le pr incipe de correspondance.)

Le mod~le examin› en cas s ta t ionnai re p r ›233 sur deux exemples des forces centra les he peu t pas ~tre dit d › dans le sens classique d ' acco rd avec les cons t a t a t ions publi› dans [1] ~ la page 328. C 'es t que, si # �9 r signifie l ' impuls ion de la part icule , alors la posi t ion et la vi tesse ini t iale he p e u v e n t ~tre donn› a rb i t r a i r emen t , car le r a y o n vec teur et les va leurs absolues de l ' impulse he p e u v e n t p rendre des g randeurs quelconques. La direc- t ion du r a y o n vec teu r est quant i f i › la direct ion de l ' impulse ne peu t ~tre que perpendicula i re sur la direct ion du r ayon vec t eu r et sa g randeur d › de r et de v~.

Les resuI ta ts requs pou r le c h a m p centra l p e u v e n t ~tre g›233233 L ' › de SchrSdinger i nd › du t e m p s a une solution diff› des fonct ions propres › en fo rme ~0n = Ah(x, y , z) �9 exp (i ~rn/h ), qu 'on p e u t n o m m › t r iv ia l : ~v = K �9 exp (is/h) ofi K est cons t an t et grad 2 s = 2#(E - - V).

Acta Physica ~4cademiae Scientiarum Hungaricae 31, 1972

CONTRIBUTIONS A UN MODELE DE DYNAMIQUE PO1NCTUELLE 393

Cette fonct ion d 'onde ne peu t pas ~tre no rm› ainsi que l 'onde p lane avec ampl i t ude cons tante . Cet te solution coincide avec les fonct ions propres ~n le long des t ra jec to i res , lesquelles se donnen t comme lignes de section des t roupes de surface A r , ( x , y , z ) = K avec la surface grad2an = 2 # ( E n - - V ) qui est › ~ LI .4 n = 0. Dans le cas des champs cen t r aux aussi un n o m b r e infini des t ra jec to i res est possible car la sym› au tou r de Z se r a p p o r t e ~ une axe de direct ion quelconque. Les lignes de section des surfaces de la sphbre du r a y o n r , t rac› du centre a t t r a c t i f pa r les p lans quelconques seront ces orbites.

Dans le cas du spectre d ' › con t inu les surfaces A ~4E--~ 0 ne cons t i tuen t pas un mul t ip le discret. Par ra l les t ra jec to i res obtenues on peu t t r o u v e r ~ chaque E de telles, lesquelles a p p a r t i e n n e n t ~ la va l eu r K = 0. C 'es t la m~me chose dans le cas du spectre discret. On peu t n o m m › ces t ra jec- toires, qui se donnen t c o m m e les lignes de sect ion des surfaces AE(x , y , z) = 0

et A A e -~ 0: ~>orbites interdites~~. On t r ouv e telles lignes chez la diff ract ion de l ' onde d ' › ou r a y o n ca todique pa r une fente ›

L I T T •

1. T. M�93 Acta Phys. Hung. , 28, 323, 1970. 2. P. GOMB�93 et D. KISDI: Bevezet› a hu l l •225 › alkalmaz• Akad›

Kiad£ 1967. 3. G. MARx, Acta Acad. Paedag. Sopianae. Ser. 6. p. 54. 1966.

Acta Physica Academiae Scientiarum Hungarieae 31, 1972