3ème 2008-2009

Contrôle : agrandissement et réduction (espace)Contrôle : agrandissement et réduction (espace)La présentation générale et la rédaction sont largement prises en compte dans la notation

Exercice 1 (5 points)

1/ Donne la définition d'un parallélépipède rectangle. Fais une figure à main levée. Comment calcule-t-on son volume ?

2/ A main levée, dessine un prisme dont la base est un triangle rectangle. Quelle formule permet de calculer son volume ?

3/ Dessine à main levée une pyramide à base rectangulaire. Quelle formule permet de calculer son volume ?

4/ Recopie puis complète : 4,5 dam=...cm ; 4,5 dm³=...m³ ; 300,8 mm²=...m² ; 3,8 L=...m³ .

Exercice 2 (3 points)

Le récipient représenté ci-contre a une forme conique et a pour dimensions OM=6 cm et SO=12 cm .1/ Calcule le volume de ce récipient. Donne la valeur exacte (en fonction de π ) 

puis la valeur arrondie au dixième.2/ On remplit d'eau le récipient jusqu'au point O' tel que SO'=4,5 cm . Le cône

formé par l'eau est une réduction du cône initial.Calcule le coefficient de réduction.

3/ Déduis-en une valeur approchée du volume d'eau. Quel est le pourcentage d'eau dans le récipient ?

Exercice 3 (8 points)

ABCDEFGH est un pavé droit dont les dimensions sont : AB=7,5 cm , BC=6 cm , AE=8 cm .1/ Calcule la longueur HA .2/ Quelle est la nature de ABGH ? (on ne justifiera pas sa réponse). Représente

ce quadrilatère en vraie grandeur.3/ Calcule la valeur exacte de HB . Déduis-en la mesure arrondie au degré de

l'angle AHB .4/ On considère la pyramide HABD de sommet H .

a. Quelle est la nature de sa base ? Calcule son aire.b. Calcule le volume de pyramide HABD .c. Soit I le point de [HD ] tel que HI=2 cm . Le plan parallèle à la base ABD et passant

par le point I coupe [HA] en J et [HB] en K . La pyramide HIJK est une réduction de la pyramide HABD (on pourra faire une figure à main levée).Détermine le rapport de cette réduction.

d. Déduis-en l'aire du triangle IJK et le volume de la pyramide HIJK .

Exercice 4 (3 points)

Sur la figure ci-contre, SABCD est une pyramide à base carrée de hauteur [SA ] telle que AB=9 cm et SA=12 cm . 1/ Soit M un point de [SA ] tel que SM=x cm , où x représente un nombre

positif. On appelle MNPR la section carrée de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base passant par M .Montrer que MN=0,75 x .

2/ Pour quelle valeur de x le périmètre de MNPR est égale au tiers du périmètre de ABCD  ?

A B

CD

G

F

H

E

S

MO

O'

C

BA

D

S

M NPR

3ème 2008-2009

CorrectionCorrection

Exercice 1

1/ Voir cours.2/ Voir cours.3/ Voir cours.4/ 4,5 dam=4500 cm ; 4,5 dm³=0,0045 m³ ; 300,8 mm²=0,0003008 m² ;

3,8 L=3,8 dm³=0,0038 m³ .

Exercice 2

1/ Le volume d'un cône est égal au tiers de l'aire de la base multipliée par la hauteur :

V=13×π×OM² ×OS

V=13×π×6²×12

V=144 π cm³La valeur approchée au dixième est 452,4 cm³ .

2/ SO' est la hauteur du cône formé par l'eau et SO est la hauteur du cône initial. D'où :

k=SO'SO

=4,512

=38=0,375 . Le coefficient de réduction k est bien un nombre compris entre 0

et 1 .3/ Lors d'une réduction de rapport k , les volumes sont multipliés par k³ . On en déduit alors que

V eau=k³×v=0,375³×144 π≈23,86 cm³ arrondi au centième Pour calculer le pourcentage d'eau dans le récipient, il faut ramener à 100 les volumes. Pour cela, on utilise la règle de trois :

Veau ?

V 100

V eau×100

V≈5,27 % arrondi au centième

Par ailleurs, on remarque que V eau×100

V=k³×100 .

Exercice 3

1/ Puisque les faces d'un pavé droit sont des rectangles, ADH est un triangle rectangle. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore : HA ²=DH²DA²

HA²=8²6²HA²=100HA=10 cm

A B

CD

G

F

H

E

S

MO

O'OM=6 cmOS=12 cmOS '=4,5 cm

AB=7,5 cm ; BC=6 cm ; AE=8 cm

3ème 2008-2009

2/ Puisque ABCDEFGH est un pavé droit, l'arête [AB ] est perpendiculaire à la face AEHD , et donc à [AH ] . On pourrait justifier ainsi que le quadrilatère ABGH possède quatre angles droits. Il semble donc que ABGH soit un rectangle. Sa longueur est 10 cm et sa largeur 7,5 cm .

3/ ABGH étant un rectangle, ABH est donc un triangle rectangle. On peut donc appliquer successivement le théorème de Pythagore et le cosinus :

HB²=AH²AB²HB²=10²7,5²HB=156,25HB=12,5 cm

cosAHB =AHHB

cosAHB =1012,5

AHB≈37° arrondi au degré près

4/a. Sa base est un triangle rectangle.

A ABD=AD×AB

2=6×7,5÷2=22,5 cm²

b. V HABD=13×A ABD×AE

V HABD=13×22,5×8

V HABD=60 cm³

.

c. k=HIHD

=28=0,25 ( k est bien compris entre 0 et 1 )

d. Puisque les aires sont multipliées par k² : A IJK=k²×A ADB=0,25²×22,5=1,40625 cm² .

Puisque les volumes sont multipliés par k³ :V HIJK=k³×V HABD=0,25³×60=0,9375 cm³

Exercice 4

ABCD est un carré, AB=9 cm et SA=12 cm . 1/ Puisque MNPR est la section carrée de la pyramide SABCD par le plan

parallèle à la base et passant par M , les droites MN et AB sont parallèles. En se plaçant dans le triangle SAB , on peut donc utiliser le théorème de Thalès :SMSA

=MNAB

=SNSB

x12

=MN9

MN=9 x12

MN=0,75 x cm

2/ Il faut résoudre l'équation suivante :

4×0,75 x=4×9

33 x=12x=4

Pour x=4 cm le périmètre de MNPR est égale au tiers du périmètre de ABCD .

C

BA

D

S

M NPR