Contrôle Optimal de Systèmes Gouvernés par des Problèmes aux Valeurs Propres

Contr61e Optimal de Syst6mes Gouvern6s par des Probl6mes aux Valeurs Propres

F. MIGNOT

U.E.R. Math6matiques Universit6 de Lille I

France

C. SAGUEZ, and J. P. VAN DE WIELE

I.R.I.A. Rocquencourt

France

Communicated by J. L. Lions

ABSTRACT

In this paper, we study the optimal control of systems governed by an eigenvalue problem. We prove the existence of an optimal control and we obtain first order optimality conditions. We present also two numerical examples and we give the complete solution of both problems, involving approximation by the finite element method and minimization by a gradient method. Finally numerical algorithms are detailed.

Introduction. Dans cet article, nous 6tudions les probl6mes de contr61e optimal de syst~mes dont l'6tat est la premiere fonction propre d 'un op6rateur elliptique. De tels syst6mes interviennent dans la mod61isation du fonctionne- ment des r6acteurs nucl6aires.

La premiere pattie est un expos6, sur un exemple type, de la m&hode de r6solution d 'un tel probl~me. Apr~s avoir montr6 l'existence d 'un contr61e optimal, on calcule, au moyen d'un 6tat ad.joint, le gradient de la fonctionnelle/ l minimiser. Ces r6sultats, qui s 'appliquent aussi aux probl~mes discrets associ6s, permettent une r6solution pratique.

Les deuxi~me et troisi6me parties sont constitu6es de deux applications num6riques darts lesquelles on met en oeuvre la m6thode des 616ments finis et la m6thode de la descente suivant la projection du gradient.

Enfin la derni~re partie est consacr6e ~ la pr6sentation des algorithmes utilis6s dans le calcul des valeurs et fonctions propres ainsi que dans la r6solution des syst~mes lin6aires singuliers.

APPLIED MATHEMATICS ~ OPTIMIZATION, VO]. 3, NO. 4 © 1977 by Springer-Verlag New York Inc.

291

292 F. MIGNOT, C. SAGUEZ, AND J. P. VAN DE WIELE

L Rbsultats thboriques; Exemple type

1) Hypotheses et notations. On d6signe par f~ un ouvert born6 de W e t par V un espace de Hilbert muni du produit scalaire a(., .) tel que V C L2(~2), l'injection &ant compacte et dense. Si V' d&igne le dual de Vet si L2([2) est identifi6 fi son dual, on a:

V c L 2 ( t l ) C V'

l'isomorphisme A entre V e t V' associ6 au produit scalaire a(.,.) (Vu, vE V, a(u, v)= (Au, v)) d6finit dans L2(~2) un op6rateur auto-adjoint, not6 encore A, non born6, d'inverse compact avec

D (A)= ( . lug V, Au

2) Position du probl/~me. Pour p E L ~ ( ~ ) , p(x)>/a >0, on d&igne par/tp la plus petite valeur propre du probl~me:

A u = lzpu. (1.1)

On note Ep le sous-espace propre associ6/t/~p et on suppose/~p simple, c'est/L dire que E, est de dimension 1.

L'ensemble des contr61es admissibles est le convexe C:

C---(plp~L~(~2);O<a(x)<p(x)< f l ( x ) < +oQ), (1.2)

a(x),fl (x) &ant donn6es dans L~(fl). Soient v ~ V' et a E R-{0}. On suppose que pour tout p de C, Ep n'est pas contenu dans le noyau de v. Alors l'6tat (up,/~p) du syst6me est solution du probl~me:

[ A up = ~ppup, (1.3) (t,,up)=a.

On d6finit la fonction cofit J(p) par:

j (p)= 1 ~(up(x) - ~o)2dx (1.4)

avec 1 / -

f r O - mes(f~) J Up(X)dx. (1.5)

On consid6re alors le probl6me de contr61e suivant:

Trouver P0 E C tel que:

J (Po) ---- I n f J (p). (1.6)

Remarque 1.1. Min de simplifier, on ne fait pas intervenir la valeur propre/zp dans la fonctionnelle J, mais les d6monstrations s'appliquent au cas de fonctionnelles du type:

1 fa(up(x) _ u~)2dx+f(/to) J1 (P)=

Contr61e Optimal de Syst~mes Gouvem~s 293

ou de type

1 f ~ ( u o ( x ) _ z a ) Z d x + f ( i x o ) J: (p) =

avec f fonction positive et z d fonction de L2(~).

3) Un r6sultat d'existence. On a le :

Thborbme 1.L Le problOme (1-6) admet un contr6le optimal Po.

C'est une cons6quence imm6diate du:

Lemme 1.1. L'application p---~(uo,l~o) est continue de C c L ~ ( ~ ) muni de la topologie faible ~toile clans V × R.

En effet, soit p, une suite de C convergeant vers p dans L°°(f~) faible 6toile, alors la suite p~ est born6e car d'aprbs le principe du minimax de Courant- Hilbert [3]:

a(u,u) /zo, = ~ = Min - -

u. - - - (up. = u.), est born~e dans V. Alors la formulation De m~me la suite, vn llUnllL~

variationnelle de Au=l~Ou montre qu'il existe une sous-suite de (/~.,v.) convergeant dans I!× V faible (11× L2(~) fort) vers (/~,v) solution de:

A v (1.7) Izpv,

f v 2 d x = 1. a

De plus le principe du minimax entraine q u e / z = / % Or u , = (V, Vn)Vn, comme

E o Z K e r v , ( v , v ) ~ 0 , la sous-suite de (/~,un) converge vers (l~p, Uo), l'6tat du syst6me associ6 au contr61e p. Comme il y a unicit6 de la limite, toute la suite (/t~, u,) converge vers ( #o, uo)"

La convergence forte de u~ vers up dans V r4sulte des in6galit6s suivantes obtenues/t partir des relations (1-3) valables pour (p~, u~) et (p, up):

a ( U p - Un, U p - Un) = ( ~ p u - - I£nPnUn , U - - Un)L2(~ )

Ilu-- U. II 2 < lU-- U.IL~" I ~ P U - - ~ .P .U~IL~

Remarque 1.2. L'ensemble des contr61es optimaux est un compact de L°°(~) faible 6toile.

Remarque 1.3. I1 n'y a pas en g6n6ral unicit6 car ~t deux fonctions p homoth6tiques correspond la m6me fonction propre.

294 F. MIGNOT, C. SAOUEZ, AND J. P. VAN DE WIELE

4) Conditions N6cessaires du premier ordre. Nous utiliserons les propri6t6s de diff6rentiabilit6 de l'application p-->(up, l~p) pour transformer la condition d'optimalit&

J'0o)(n-no)>O, vn>c. (1.8) On pose K = K e r v et on munit D ( A ) de la norme du graphe. On a le r6sultat suivant:

Th#orbme 1.2. L'application p--->(uo,t~o) de L oo(~2) dans (D(A)D v- l (a ) )X R est diff&entiable au sens de Frdchet en tout point de C. Sa diff&entielle au point Po, (Uoo = Uo, btpo =/~o): (P - no)-->( U, M ) est d~finie implicitement par:

A U-/-~ono U -/~o ] (n - no) Uo -

L f O-no)u odx

M = bto fnougdx

f(p-n0)ugdx • noUo = 0

n°u~dx (1.9)

D~monstration. L'application F d6finie par:

(u, bt, p)--->Au - I~pu = F(u,t~,p) (1.10)

de (D(A)f-lv-I(a))XRXLOO(~) dans L2(~) est C °°. Montrons que, si PoE C,

-~ ~ (Uo,/~o, Po) E I som((D (A) C1 K) x R, L 2(~-~)). 0 F En effet (Uo, tLo, Po ) est o t u, t~) O (u,~)

rapplication:

( U, M ) b-> (A U - IloPo U) - MPoU o,

(D (A) F) K) × R---> L2 (~2), (1.11)

ce qui s'6crit matriciellement (avec L2(~)=(RUo)]-~RUo) ( l d6signe l'ortho- gonalit6 dans L2(~)),

(Ruo)

= (A-~oPo) -PoUo+ fu2-~--~x Uo D ( A ) A K

fpou2dx o L eUo j (1.12)

Contr61e Optimal de Syst~mes Gouvern6s 295

Grfice fi (1.12), il suffit de prouver que (A-/~oOo) ~ Isom((D (A)fq K, (RUo)±), or d'une part d'apr6s l'alternative de Freedholm, (A-~oPo)(D(A))=(RUo) ±, car Ker(A -/toPo) = (RUo) et d'autre part u o ~ D (A) f) K. Donc A - I.toPo/D (A) A K est bien un isomorphisme.

Alors d'apr6s le th6or6me des fonctions implicites il existe un voisinage o-~ de u o dans D(A)N v-l(a), un voisinage ~1; de/*o dans R et un voisinage c~- de Po dans L~(~2) tel que l'ensemble des z6ros de F(u,#,p) appartenant ~t ~ × °21; × est le graphe d'une unique application qb,+C G°~(eV, ~ × 021;):

p'---> ((I) 1 (p), 1ff~12(p) ). (1.131

De plus (I)l(p)= Up et $2(p) =/zp. En effet, l'application p--.(uo,/~p) &ant continue dans V × R, il existe ~ c W tel que pour p E ~ , (up, ~p) ~ ~ / × 021; et v6rifie F(uo, tzo,p)=O. Donc, d 'apr& l'unicit6, up=dPl(p) et /~p=$2(P) VP Eel" Enfin la diff6rentielle de l'application p~(up, ~p) est d6finie implicitement par:

A U-popoU-Mpouo=~o(p-po)Uo (1.14)

ce qui par projection sur (RUo) et (RUo) ± donne (1.9). Soit Po un contr61e optimal de (1.6). Les 6quations aux variations (1.9) nous permettent de simplifier (1.8) qui s'&rit encore:

f ( U o - a o ) V a x > 0, V p ~ C . (1.15 /

On introduit l'6tat adjoint q solution de:

Aq-UoPoq=(u-ffo)-(f (uo-ffo)uodx)-~, q~K.

(1.161

(1.17)

(1.16)(1.17) admet une solution unique. En effet le second membre de (1.16) est orthogonal/l u o dans la dualit~ ( V, V') et (A -/~oPo) est un isomorphisme entre K et (Uo)~,= {v 'E V',(Uo, V')v,v,=O) car Uo(E K.

En utilisant q dans (1.15) on obtient:

u V,U) fa (Uo- ffo) Udx= ( Aq- ~oPoq+(Uo- ffo, o) a 1 u

= (q ,A U - IZoPo U) + a ( o - fro, Uo)( v, U)

= (q, Au - tXoPoU)

=l~ofqluo(P-Po)-

"~ L dx.

296 F. MIGNOT, C. SAGUEZ, AND J. P. VA~ DE WIELE

La condition d'optimalit6 (1.8) est donc 6quivalente 5. (/t o &ant positi0:

fquoooaX fa quo f OoU oa 4,0-0 ax O voec. (1.18)

On a alors le th6or6me:

Th~or~me 1.3. Si Oo est un contr6le optimal du problbme (1.6), (u o, iZo, Po, q) est solution du systbme (1.3)(1.16)(1.17)(1.18).

Remarque 1.4. La condition (1.17) peut 6tre remplac~e par qE(RUo) ±, on obtient un nouvel 6tat adjoint p solution de (1.16) et (1.17)': p~(Ru0) ±. La nouvelle condition d'optimalit6 s'obtient en remplaqant q par p dans (1.18).

Exemple. Soient ~2 un ouvert born6 de W, F = O ~2, o ~ L~(~2), o >/0. On prend V= H l(f~)

a(u ,v )= £ ( g r a d u gradv + uv)dx + frauvdF.

Pour p@L~(f]), p >1 O, soit /z o la plus petite valeur propre de l'op6rateur Au= I~opu et u o la solution de:

- Au + u = l%pU

Ou +ou=O

fr u ( x ) d F = 1.

d a n s ~2,

sur I',

Soit u 0 un contr61e optimal du probl6me:

£( 2 J (Oo) = Min J (p), avec J (O) = u o - fro) dx.

On introduit l'6tat adjoint q (Uoo = Uo,/~oo=/%):

- Aq + q -- I%Poq = Uo- Uo

+oq--- f (uo-uo)uodx

f rq (X )ax= I.

dans ~,

sur F,


Alors Po v6rifie l'in6quation:

Vp E C, f [qu 0 f quop o dx

f oouX x (o - Oo) dx >- O.

Remarque 1.5. Les d6monstrations pr6c6dentes s'appliquent aussi au cas d'une fonction propre simple quelconque. Le cas de fonctionnelles d'une ou plusieurs valeurs propres a 6t6 trait6 par Garabedian-Schiffer [5]. Le contr61e dans les coefficients de plus haut degr6 (coefficients de A) conduit aux m~mes difficult& que celles rencontr&s dans l'6tude des probl+mes elliptiques. Un contre-exemple est donn6 dans Murat [9]. L'&ude des variations de valeurs et fonctions propres en fonction du domaine ont &6 6tudi&s par de nombreux auteurs (probl6mes isop6rim6triques) Hadamard [6], Courant-Hilbert [3], Hersh-Payne Schiller [5].

Nous nous proposons maintenant d'&udier la r6solution num6rique de probl~mes de ce type. Deux exemples seront trait6s. Bien qu'ils ne soient pas exactement du mod61e pr6sent6 dans la premiere partie, les principes de r6solu- tion sont les m6mes.

II. Example I

1) Position du probl+me. On d6signe par: un ouvert born6 de R n,

V= H01(f~) muni du produit scalaire a(u,v)= f(gradu,gradv)dx, On a la suite d'injection:

vcL2(a ) c v' = / - / - ' (a).

Le convexe C, (a, fl ~ L~(a)):

c = {o,p ~ L~(a) ,o< ~(x) ,< 0(x) < ~(~),pp.) (2.1)

constitue l'ensemble des contr61es admissibles. L'&at du syst6me est le couple (up,/~o) solution unique (Courant-Hilbert [1])

de:

- Au o + pu o = Izouo (2.2)

u o ) 0 (2.3)

f u2o (x) dx = 1 (2.4)

298

On d6finit la fonction cofit suivante:

1 J (o) = f . . lu . (x ) - dx,

On a alors le probl~me de contr61e optimal:

Trouver P0 ~ C tel que,

J (Oo) = j n r j (o1.

F. MIGNOT, C. SAGUEZ, AND J. P. VAN DE WIELE

z d donn6 dans L2(~). (2.5)

(2.6)

2) Enonc6 des r6sultats.

Th~orbme 2.1. Sous les hypoth&es prOcbdentes, le problOme (2.6) admet une solution.

Ce th6orbme est la consequence du

Lemme ZI . L'application p ~-> (up,/_tp) est continue de L°~(~2) faible &oile dans VxR.

La preuve est analogue/t celle du lemme 1.1. En g6n6ral la solution de (2.6) n'est pas unique (deux contr61es diff6rant

d'une constante d6finissent la m6me fonction propre), mais dans le cas o~ z a >1 0 on a la propri&6 suivante:

Th~or~me ZZ On se place sous les hypothOses du thOorOme 2.1, avec za~>0. Soit i ~ l l et C , = ( # ~ C , / + p = / z ) . Alors il existe une unique solution Pl du probldme:

J ( p l ) pInfcJ(P), PIECe.

(2.7)

Preuve. i) Existence: l'application p---~l~o 6tant continue de L~(f2) faible 6toile dans R, C, est un compact de L~(~2) faible 6toile; donc d'apr+s le lemme 2.1 le probl6me (2.7) admet une solution.

ii) Unicitd: soient Pl et P2 deux solutions de (2.7), ul=uo, et u2=%2, supposons que PI~P2 donc Ul ~ u 2. Nous allons construire P0, Po E C, tel que J (P0) < J (P0 = J (P2). Soit:

PlUl +P2U2 po(X) = (2.8)

U 1 + U 2

Alors poEC~, en effet a < O o ( x ) < B , donc 0 o ~ C et u = ,/~ est [lUl+U21[

Contr61e Optimal de Syst~mes Gouvern~s 299

solution de (2.2)(2.3)(2.4) avec p = Po. L'6galit6 J (P0 = J (102) implique:

fJd(X)U1(x)dx= ffd(X)U2(x)dx. (2.9)

Done

2J (po)= Zd Ilul + U2I[ dx,

f(u+u ) 2 J (Oo) = 1 + z~ - 2 ax ,

2J (po)= 1+ faz~dx 4 fa2eu, dx" (2.10) Ilu,+u211

Or, u 1 et u 2 n'&ant pas colinhaires, []u I + R2]]L2 <2, done on obtient / t partir de (2.1o):

2J (Po) < 1 + f j 2 d x - 2 fJdul dx= 2J (01)

ce qui d6montre le th6or6me. Un raisonnement analogue conduit au r6sultat:

Corollaire ZI. II existe un unique P0 solution du probl~me:

J (po)= ]p J (p),

Po ~ C,

gpo = Inf/~p {p,,O E C;J(o)=J(po)}

(2.11)

(2.12)

3) Une m6thode de r~gularisation. Afin d'obtenir une borne convergence des algorithmes, nous rempla~ons le probl~me (2.12) par une suite de problSmes perturb6s (P~).

Soit e >0. Posons:

J~ (P) = J (O) + ego (2.13)

On d6montre comme dans le th6or6me 2.1, qu'il existe O~ solution du probl6me (P~) suivant:

(P~) I J (p~) + ego, = oeclnf (J~ (p)),

[ p~ G C. (2.14)

On a alors le:

3oo

Th~orbme 2.3. &oile.

Preuve. Posons/~p, = tt~ et/~po = ~o D'apr~s les d6finitions de Poet p~,

J (Po) < J (P,) < J (P+) + el++ < J (Po) + e#o.

Donc


La suite p~ converge vers Po solution de (2.12) dans L ~ faible

(2.15)

Donc J(p,) tend v e r s J(Po) quand e tend vers z6ro et la suite p, est une suite minimisante du probl6me (2.12).

D'autre part on d6duit de:

e ( ,tt~ --/Lo) ~< J (Po) - J (P~) ~< 0

que

/~< /~o.

Soit Po une valeur d'adh6rence dans L~(f~) faible 6toile de la suite p,. D'une part on a J (Po)= J(Po) et d'autre part l'application P~l~o &ant continue (lemme 2.1) il vient/t~ </~o. I1 en r6sulte, grfice au corollaire 2.1, que/~o =/% et Po = Po.

Conditions Nbcessaires du premier ordre. Un raisonnement semblable fi celui de la premi6re partie conduit au r~sultat suivant: (la sphere unit6 de L2(f~) est not6e S 1 et l'orthogonalit6 dans L2(~2), l ) .

Th~orbme 2.4. L'appfication p--->(uo,lzp) de L~(~2) dans (V fq S1)×ll est diffd- rentiable au sens de Frdehet en tout point p de L++(~). Sa diff~rentielle au point Po, (/% =/Zoo; Uo = uo o) est une application de L ++(~2) dans ( V (3 (RUo)) × I1:

(O - U, A),

dOfinie implicitement par:

A = f ( p - po)uZdx. (2.17)

Introduisons alors l'6tat adjoint q~, qui est l'unique solution de:

--Aq~ +p~q -lx~q = z a - ( f zau~dx)u ~ (2.18) \,,'f~ 1

faq u, dx = 0 (2.19)

0 < J (p~) - J (Po) < ~#o

Contr61e Optimal de Syst~mes Gouvern~s

La condition d'extr6malit6:

J/ (o0(#-o0>O, Vp~C,

qui, explicit6e, s'6crit:

vo c,

devient grace & (2.18) et (2.19):

l (o-o3u q dx+ f (o-o )u2dx>O Vp c.

301

(2.20)

(2.21)

(2.22)

Remarque 2.1. Dans le cas du probl6me (2.6), on d6finit un &at adjoint par le syst+me (2.18)(2.19) en rempla~ant &, ~, u~ par P0,/~0, u0. Ceci conduit & la condition d'optimalit&

f uoqo(P- Po) dx > O, Vp E C. (2.23)

Dans le cas off a(x) et fl(x) sont des constantes nous avons la:

Proposition 2.1. Si z d n'est pas vecteur propre d'un opOrateur (A - pI) (p ~ C), tout contr6le optimal de (2.6) est quasi bang-bang, c'est-~-dire:

Infessp(x) = a, supessp(x) = ft.

Preuve. Supposons par exemple que infessp0(x ) > a, il existe donc ~/, T/>0, tel que (O0-7/) soit int&ieur & C et (Po-7) est encore contr61e optimal de (2.6). La relation d'optimalit6 (2.23) implique:

Uo(X)'qo(x)=O,

comme Uo(X)>O pp. il en r6sulte que qo(x)=O p.p., donc Za=llZaUodXJu o ce

qui contredit l'hypoth~se faite sur z a.

4) Approximation du probl6me r6gularis& Dans les applications num6riques nous avons choisi pour £ un domaine rectangulaire de R 2 et utilis6 des ~16ments finis triangulaires.

4.1) Approximation de V e t L~(£). On approche V par un espace de dimension finie V h de fonctions continues lin6aires sur chaque triangle et nulles au bord de ~2.

Soit (wi)~= 1 une base de V h.


L°°(~) est approch6 par l'espace W h des fonctions constantes sur chaque triangle ou plus finement par l'espace des fonctions constantes sur chacun des domaines D i d6finis de la faqon suivante:

D i "entoure" le noeud interne M i et sa fronti6re est obtenue en joignant les milieux des c6t6s des triangles aff6rents /t M, aux centres de gravit6 correspondants:

Pour une 6tude d&aill6e de la m6thode des 616ments finis nous renvoyons/ t Raviart [ 1 ].

4.2) Le problbme approchd (P~h)" On consid6re le probl6me aux valeurs propres suivant: pour Oh ~ Wh, t rouver (yh,~.h)~ V h X[I tel que:

(2.24) 6quivaut au syst6me matriciel:

A h, B h sont des matrices sym6triques d6finies positives. Donc le probl6me aux valeurs propres g6n6ralis6 (2.25) admet une plus petite

valeur propre strictement positive kth:

. . . . j t~ h ,..iv

On peut choisir l'616ment fini de r6f6rence et la num6rotation des noeuds de la triangulation de fa~on fi ce que A h soit irr6ductible et ait tous ses 616ments non diagonaux n6gatifs ou nuls. Dans ce cas Ah - l e s t positive (Varga [16]). B h est toujours positive.

Par suite d'apr6s un th6or6me de Perron, la matrice positive A ~ 1B h admet un vecteur propre positif unique ~t une constante multiplicative pr+s; la valeur propre correspondante est la plus grande valeur propre, c'est-/t-dire #~ 1, et est simple:

? n

Soit ti h = (t~)i= 1 ...... l 'unique vecteur propre positif tel que u h = ~, ffhwi E V h i = l

ait une norme L2(f~) 6gale/t 1.

Contr61e Opt imal de Syst~mes Gouvern~s 303

Le couple (uh,/~h) E V h ×R est l'&at du systbme approch6 et ~7 hest solution du syst6me:

"z~h ~ R,',' Ah'FIh= tLhBh~h

IlUhl I= ~ ~h Wi = 1. i = 1 ' II L2(~)

L'ensemble des contr61es admissibles est:

(2.27)

C h = C • W h. (2.28)

La fonctionnelle cofit approch6 s'6crit:

1 = I(u, - d x +

F

~] l ph " J ~

On obtient alors le probl6me de contr61e (P~,h):

(2.29)

On obtient l'existence d'un contr61e optimal, comme au th6or~me 2.1. En g6n6ral il n 'y a pas unicit& On a le r6sultat de convergence suivant:

Th~orOme ZS. Soit P~,h une solution de (2.30). Lorsque h tend vers z&o, la suite (P~,h) converge vers une solution p~ du problOme (2.14) dans L~(f~) faible dtoile.

La d6monstration s'articule comme suit. Soient/~,h et u~, h la valeur propre et le vecteur propre correspondant/t P~,h.

On 6tablit des majorations a priori des (P~,h) (U~,h) et (/~,h)" Alors on peut extraire des sous-suites convergentes:

[ peh----->p* dans L °° (f~) faible 6toile

U~,h--->U* dans V faible e t L2(~) fort

/~,h~/~* dans R +.

Puis, en utilisant des r6sultats de densit6, on montre que:

u* = up, et/~* =/zo,

Trouver P~,h ~ Ch tel que:

Je h (P~,h) = Min Je, h (Oh)" ' P h C C h

(2.30)

3o4

On en d6duit:

Enfin la densit6 de l'espace


lim J~h (P~h) =J~ (P*). h-~0

~ W h dans L~(f~) implique: h

J~ (0") -- g in J ~ (P).

5) Caleul du Gradient de J,h" Comme pr6c6demment, _1_ d6signe l'ortho- gonalit6 dans L2(f~). On d6signe par (Uho,/~ho) l'6tat du systbme approch6 associ6 fi Pho" Par une m&hode analogoue au th6or6me 1.2, nous d6montrons le:

Thborbme 2.6. La fonctionnelle J~h dffinie de W h dans Rest diff&entiable et sa d&ivOe au point Pho est donnOe par:

J~'h(Pho)(P--pho)= ~Uhoqho(p--pho)dX * e~U~o(p--Pho)dX, (2.31)

oh qho, l'Ftat adjoint discret, est l'unique solution du systOme:

a(qho, Vh)+ ~PhoqhoVhdx--t~ho~qhoVhdx

=~z~,hoVhdX, VVh ~ Vh,

q oe n (RU o) ,

(2.32)

(2.33)

avec

(2.34)

Sous forme matricielle (2.32)-(2.33) s'bcrit:

m s

qh ° = i ~ 1 ~hoi W i I Uho = i~ l ~lh°i Wi (2.36)

off qho et uho sont les vecteurs des composantes de qho et Uho dans la base (Wi)im~l et Aho et Bho les matrices symOtriques d~finies positives introduites pr~c~demment.

ContrSle Optimal de Syst~mes Gouvem~s 305

6) R6sultats Num6riques. Pour le calcul num~rique effectif nous nous sommes limit6s au cas d 'un ouvert rectangulaire ]0,dl[×]0,d2[ et nous avons utilis6 des ~l~ments finis triangulaires de degr6 1.

Les triangulations sont du type de celle de la fig. 1 qui indique 6galement comment sont num6rot6s les noeuds. On note i le num6ro du noeud M i.

6.1) Exemple test. Supposons qu'il existe une fonction Pt de C telle que:

za=u(pt) et

Inf essPt(x)=a x~f~

Sup ess Ot(x)=fl. xE~

Alors il est facile de voir que Pt est la solution unique du probl+me (2.6). Pour

dl Pt = 13 = 10 sur ]0, ~- [ × ]0,d2[

d 1 p t : a = O s u r ] T , d , [ × ]0,d2[

d 1 = d 2 = 276

nous avons les r6sultats suivants:

Apr6s

contr61e initial: Po--0 sur f~ une it6- ration

cofit initial: Jo-- 0.32 de

gradient

Cofit final: JI = 2.10-10

Contr61e final: Oy

(cf. tableau T1)

Tableau TI

i Py Ot i Py Ot 1 6.80 10 11 10 10 2 10 10 12 10 10 3 10 10 13 10 10 4 10 10 14 10 10 5 0 10 15 10 10 6 0 0 16 0 0 7 0 0 17 0 0 8 0 0 18 0 0 9 0 0 19 0 0

10 0 0 20 0 0

Nous rappelons que i est le num6ro du noeud M i de la triangulation.


d~ 92 93 94 95 96 97 98 99 100 91

61 ~ " " J " " ~ ~ J J J J J 51~i / / / / / / i / 41 / / / / / / / / " 3 1 1 / / / / / / / / / / 2 1 [ . / / / / ~ / / / / / / 1 1 1 / / / / / / / / /

2 3 4 5 6 7 8 9 10

dl

Figure 1

6.2) "Aplatissement optimal". On prend pour z d la fonction constante y tel que:

d I -- d 2 = 2.76

a = 0 , B = 3 0

Contr61e initial: 00 = 0

CoOt initial: Jo = 0.38

Les variations du coot en fonction du nombre d'it6rations de gradient sont repr6sent6es dans le tableau suivant:

Tableau T2

Nombre d'it~rations Temps de calcul de gradient CoOt 10 070

1 0.24 2 0.22 5 0.17 8 0.166

10 0.165 12 0.163 3 heures

Apr6s 12 it6rations de gradient le contr61e Of a l'allure suivante:


463

375

331

265

199

133

89

/ / 4/ /

/ / 4 30 30 4

/ /

0

I I I I I

5 7 10 13 16

Figure 2

0

d~ , )

18 22

Les num6ros indiqu6s en abscisse et en ordonn6e sont les num6ros des noeuds de la triangulation.

Les figures 3 et 4 ci-dessous repr6sentent une section parall61e ~ l'axe des x et une section selon la diagonale secondaire de ~ des fonctions z a, uh(po ) et Uh(Py ).

Les valeurs propres correspondantes sont:

~h(PO) =2"67, ?~h(Pf)= 12.14.

Ces r6sultats ont 6t6 obtenus avec une triangulation comportant 400 noeuds int6rieurs.

IlL Deuxi~me Exemple---Application a un Probl~me de Contr~le Ponctuel

1) Position du probl~me. Soient ~2=]O,R[ un ouvert de It (R < + oo)

E un compact de ~2

b u n point de E


I I I I I I

I I

o o o d

0 c'q cq

c,4

010

c'q

cq

c,,I

ce~

cq

cq

0

0

0

t ~

t"-I

e'-I

~g e,,i

0 cq

cq 0 cq

0

"O

e~

0

t ~

e4

r-- ,,~ ~ . "2. ¢5 ¢5 o o

Contr61e Optimal de Syst~mes Gouvern6s 309

\

"0 ~ . ~

0

oo

e~

cq

0 O~

0o

I

o

oo

e~

c5

I I 1

o o o c~ o d

"O

0 o

0

N


On consid~re le syst6me suivant:

I - M2~x. + ~ - - . (b)8 (x - b) + u = ~,~(x) .

~ ( 0 ) = 0

u(R )=0, o~ ~(x) est une fonction positive,

continue par morceaux.

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Le point b joue le r61e de contr61e. L'6tat du syst6me sera alors la fonction propre associ6e ~ la plus petite valeur

propre positive # telle que:

u (0) = 1. (3.4)

On d6finit la fonctionnelle:

J ( b)= £ ( u - ff)Zxdx,

On consid6re le probl~me de contr61e:

Trouver/~E E tel que:

J(b)= MjnJ(b).

avec ff=RS1 £uxdx (3.5)

(3.6)

Remarque 3.1. Ce probl6me peut s'interpr+ter comme la recherche du positionnement optimal de barres absorbantes dans un r6acteur nucl6aire, u repr6sentant le flux de neutrons.

On d6montre que l'application qui a b associe u b, solution de (3.1)(3.2)(3.3)(3.4), est continue de E dans V = (q~]~ ~ H - 1(~2), ~(R) -- 0). On en d6duit la proposition:

Proposition 3.1. Le probl~me (3.6.) admet au moins une solution.

ORIENTATION Nous allons appliquer la th6orie pr6sent6e au I directement ~t un probl~me approch6. Notons que la m6thode du I ne s'applique pas au probl~me continu, car le terme u(b)8(x-b) ne possbde pas de bonnes propri6- t6s de diff6rentiabilit&

2) Le probl/~me approch6. Nous utilisons des 616ments finis d'ordre 1. Soit ( W i ) i = l . . . . . n la base d'616ments finis consid6r6s. Si on d6finit les matrices


suivantes:

Bij = f

le probl~me approch6 s'~crit:

Auh = IzBuh (3.7) /~h 6tant la plus petite valeur propre positive.

u h = ui, w iet u 1 = 1 (3.8) i=1

n 2

Jh (b)= f [ ~ u~vi(x ) I x d x (3.9) deL i=! J

avec vi(x)= wi(x)- - ~ fawi(x)xdx"

On note:

f vi(x)vj(x)xdx alors Jh (h) = tuhau h. aij =

On a alors le probl~me de contr61e approch6:

Trouver /~ ~ E tel que (3.10)

Jh(bh)=MinJh(b). bee

On d6montre les r6sultats suivants:

Proposition 3.2. Le problkme (3.10) admet une solution (bh,uh,~th). JEt quand h tend vers 0 on a les convergences suivantes:

bh-->b dans E I~h---~ ~ dans R +

uh-->u clans V= (O[~E H 1 (~2); gp( R )=O) faible

uh---~u dans L2(~2) fort

(b,l~,g) ~tant une solution du problbme (3.6) Schbma de la dbmonstration. L'existence de (b h, u h, #h) est imm6diate.

312 F. MIGNOT, e. SAGUEZ, AND J. P. VAN DE WIELE

Par utilisation du th6or~me du Min-Max, on a:

(Au, u)R. /~h = Min

On en d6duit que [/~h[ < K1

et Iluhll2< K2

(K 1 et K 2 6tant deux constantes ind6pendantes de h). On extrait alors des sous-suites b h, Yh, /~h telles que:

bh----~b dans E

/~h---~/.t dans R +

uh~u dans V faible.

En utilisant la formulation faible du problbme, on montre que (b,/t,u) v6rifient (3.1)... (3.4).

On en d6duit enfin que bes t un contr61e optimal. Comme dans le cadre de la th6orie d6velopp6e au paragraphe I, on d6finit

alors pour le probl6me approch6 un &at adjoint p solution de:

(A - / ~ B ) p = - Ay +

(p, Sy),.=0.

y(Ay,y) , .

(Y,Y)R- ' (3.11)

(3.12)

Remarque 3.2. On peut obtenir formellement cet 6tat adjoint en introduisant le Lagrangien suivant:

L(u,l~, b,p,X) =tuAu + (p, (A - ~B )u), , + • ~iui i

avec ?'i < 0.

Compte tenu de (3.11) et (3.12) la fonctionnelle b F--~Jh(b) a pour d6riv6e:

1( OA ) J ~ ( b ) = ~ p , - - ~ y ~. (3.13)

Pour r6soudre num6riquement ce probl~me nous avons utilis6 la m6thode du gradient. La m6thode de r6solution du syst6me adjoint est pr6sent6e au paragraphe IV.

Contrc31e Optimal de Syst~mes Gouvern~s 313

3) G~n~ralisation. Le probl6me li6 au positionnement de plusieurs barres conduit au syst~me:

- M 2 A u + ~ ~i2u(bi)~(x-bi)..t-u=l.t~(x)u (3.14) i

Ou ~ ( 0 ) = 0 (3.15)

u ( R ) = 0 (3.16)

On garde la m6me fonction coot qui d6pend donc des b i. Dans ce cas nous avons appliqu6 pour la r6solution num~rique une m6thode

de relaxation barre par barre, plus pr~cis6ment, on suppose qu'il y a p barres b;, et on note G i le gradient de J par rapport ~t bi. Indiquons l'organigramme du calcul.

1) Initialisations bi z, n = O. 2) n = n + l ; i=0 . 3) i = i + 1, on effectue un pas de gradient pour la barre b;

b i n + 1 = b~ - On G i n

On 6tant choisi tel que bi_ + 1 \e" b[' + 1 < bi+ 4) Si i = p on continue, sinon retour en (3). 5) Test final de convergence sur la variation relative du crit&e, si le test n'est

pas v6rifi6 retour en (2). Sinon fin. Nous pr6sentons les r6sultats num6riques dans le cas de 1-2-3 et 4 barres fi

positionner. La fonction q)(x) est prise constant par morceaux

¢~(x)=k i pour x E ]Ri_l,Ri[.

Dans les exemples trait6s R0=0; R~=0,80 m, R2=1,13 m; R3=1,38 m e t E=[RI,R2], k l = l ; k 2 - 1,2; k3= 1,2.

Pour illustrer la convergence de l'algorithme, nous donnons les r6sultats /t chaque it6ration dans le cas du positionnement de deux barres (dans les 2 premi+res colonnes sont indiqu6es les abscisses (en m6tres) des barres, la troisi6me colonne correspond au coot.

l~re barre 2 ~me barre J

0,8300 0,8300 0,8916 0,8916 0,9141 0,9143 0,9143 0,9155

1,100 1,047 1,047 1,066 1,050 1,050 1,057 1,057

5,2302 4,1968 1,6952 1,6892 1,2759 1,2747 1,2560 1,2487

314

flux de neutrons

, 15

-10

Donn6es ~=0,5 M 2 = 0,005 k l = l k 2 -- 1,2 k 3 = 1,2

F. MIGNOT, C. SAGUEZ, AND J. P. MAN DE WIELE

Positionnement d'une barre

Initialisations

b = 1,10 J = 13,315 # = 0,9316

b = 1,022 J - - 8,7014 /~ = 0,9397

-5

position finale position [init iale

0,80 1,13 1,38

zone admissible

x

IV. M$thodes Numkriques

Dans cette pa r t i e nous d6ve loppons les aspects p r o p r e m e n t num6riques de ce type de probl~me. On uti l ise un a lgo r i thme du g rad ien t avec projec t ion .

1) Algorithme du gradient avec projection.

ETAPE 1 : In i t ia l i sa t ions : n = 0 choix d ' un contr61e admiss ib le x 1

flux de \ neutrons

Contr~31e Optimal de Systbmes Gouvem6s

Positionnement de deux barres

Donn6es

2,--0,5 M 2 = 0,005 kl= 1 k2 = 1,2 k 3 = 1,2

315

-15

Initialisations -10 . , bl =0,83

/ b2-- 1,10 J--5,2302

~ S /~=0,9579

] I \ bl =0,9155 -5 / ! k J b 2 --1'057

/ i A ! ~ J = 1,2487

~ _ / " I I i \ \ * positions obtenues [I I II ~ × positions initiales

0,80 1,13 1,38

ETAPE 2:

ETAPE 3: ETAPE 4:

ETAPE 5:

ETAPE 6:

r&olution de l'~quation d'6tat pour le contr61e x I calcul de la fonction coot pour le contr61e xl n = n + l calcul de l'6tat adjoint (r6solution d'un syst+me singulier d'6quations lin~aires) calcul du gradient de la fonction coot soit G n. Xn+l=Xn-P. Gn (p. &ant choisi de faqon sous optimale) Projection du contr61e 2.+~ sur le convexe des contr61es admissibles, soit x n + r Calcul de l'&at du syst~me associ6 & x.+ 1 calcul de la fonction coot.

316

flux de neutrons

17. MIONOT, C. SAGUEZ, AND J. P. VAN DE WIELE

Positionnement de trois barres

Donn6es

~=0,5 M 2 = 0 , 0 0 5 k l = l k2= 1,2 k 3 = 1,2

15

l0

bl -- 0,8993 Initialisations b 2-- 0,9624 b I = 0,83 b 3 = 1,078 b 2 = 0,90 J=0,1125 ~ ha-- 1,10

la ~ 0,9864

positions initiales positions obtenues

I i l l I ! ~ % I I I I | !

0.80 1.13 f 0,89 0,96 1,07

ETae~ 7: Test final sur la variat ion relative du cofit si le test n 'est pas v6rifi6 retour en 2.

Remarque 4.1. I1 est facile de modifier l 'a lgori thme ci-dessus pour y inclure la r6gularisation introduite au paragraphe Il.

Remarque 4.2. On ne sait d6montrer aucune propri6t~ de convexitb pour les fonct ionnel les / t minimiser. On ne peut donc d6montrer que la convergence vers un min imum local.

flux de neutrons

Donn6es X=0,5 M 2 = 0,005 k l= l k z = 1,2 k 3 = 1,2

Contr61e Optimal de Syst~mes Gouvern~s

Posit ionnement de quatre barres

317

15

-10

-5

b~ =0,8101 / b2--0,8910 b 3 -- 0,9897 b 4-- 1,054 J = 0,04038 /~= 1,0068 ~

I I I 0.80 1 1.13

Initialisations b 1 = 0,83 b 2 = 0,90 b 3 = 1,00 b4= 1,10 J = 0,04765 /~-- 1,0069

>

Nous allons maintenant pr6ciser les m6thodes de r6solution du syst6me direct et du syst6me adjoint.

2) Calcul des plus petits 616ments propres du probl/~me gen6ralis6. A X = t~BX.

Dans ce paragraphe comme dans le suivant [['ll repr6sente la norme euclidienne dans Rm; (., .) est le produit scalaire associ6.

A et B sont des matrices, fi coefficients r6els sym6triques d6finies positives de dimensions (m × m). Soit S (A, B) le spectre g6n~ralis~ du couple (A, B); c'est-/t- dire l'ensemble des/x El; tels qu'il existe x ~ I~m: AX = I..tBX.

S (A,B) se compose de m 616ments r6els strictement positifs.

0</zl < /~2 < "'" "<< /~n"


On cherche ~t calculer/~1 et un vecteur p ropre associ6 x 1 (Dans le cas qui nous occupe/~1 est simple).

Nous nous conten tons d ' exposer les pr incipes essentiels de la m6thode suivie ici. Cette m6thode est expos6e dans Bathe [1].

Mkthode de la puissance inverse. Lorsqu 'on dispose d 'une bonne approx ima- tion/~0 de la valeur propre/~, un m o y e n pour calculer un vecteur p ropre associ6 est la m & h o d e de la puissance inverse avec shift.

U n vecteur initial normalis6 x 0 6tant choisi, on calcule ~1 solut ion de:

(A - Fo B )Yl = Bxo (4.1)

(le choix de x 0 est discut6 dans Wilkinson [17]). On pose:

x I - (4.2) II~lll

((A - t~oB ) x , x O ~t 1 =110"[- ( BXl ,Xl ) (4 .3 )

D'une faqon g6n6rale, connaissant x k on calcule £k+~ solution de:

( A - I.toB )xk + 1 = Bxk" (4.4)

Puis

Xk+l x k + j - - - (4.5)

liCk+ill

((A - -~oB)Xk+l ,Xk+l )

t~k+~ =~o + (Bxk+~,Xk+l) (4.6)

(la suite (/~k,Xk) converge vers ( t ~ , x ) off x est un vecteur p ropre normalis6 associ6 fi /z si l ' approx imat ion /~0 est plus proche de /~ que toute autre valeur propre.

D o n c ici il suffit de t rouver une approx imat ion de #1 plus peti te que bq. De plus c o m m e /~1 est simple, on convergera bien, au signe pr6s, vers l 'unique vecteur propre cherch6.

M~thode de la s~cante. Factorisation LDLt : C o m m e ]11 est le plus peti t z6ro du po lyn6me caract6ristique:

P ( # ) -- Det (A - #B ) (4.7)

l ' id6e est de calculer une approx ima t ion de /z 1 pa r la m6thode de la s~cante. On


calcule P (?0 en factorisant ( A - XB) sous la forme LDL t oil L e s t une matrice triangulaire inf6rieure avec des 1 sur la diagonale principale et D =(d~j) une matrice diagonale. On a alors:

P(t~) =DetD= ~ 4~ (4.8) i=l

Cette factorisation bien que cofiteuse est int6ressante d'un double point de vue .

i) Si on choisit efficacement les noeuds de la triangulation les matrices A e t B sont bandes. La matrice L poss6de alors exactement la m~me structure ce qui permet une grande ~conomie de place m6moire.

ii) On peut contr61er le processus de faqon /t ne jamais "d6passer" Fr E n effet le nombre d'616ments n6gatifs ou nuls sur D est exactement 6gal au nombre de valeurs propres compt6es avec leur ordre de multiplicit6, inf6rieure ou 6gale /.t.

3) R6solution num6rique d'un systeme creux et singulier d'6quations lin6aires Cy~zo

i) Systbmes lin~aires et problbmes aux moindres carrbs. Soit C une matrice r6elle sym6trique singuli6re de dimension (m × m). z e s t un m-vecteur r6el. On cherche/t r6soudre le syst+me:

Cy = z (4.9)

y E R m n I m ( C ) (4.10)

Im(C) est l'espace image de l'application lin6aire d6fini par C. Le syst6me (4.9)(4.10) admet au plus une solution. Toutefois il n 'admet

6videmment pas de solution si z n'est pas dans Im(C). Dans le cas qui nous occupe, cette condition, bien que th6oriquement vraie, n'est pas num6riquement assur6e. En effet z est orthogonal/t un vecteur x qui n'est qu'approximativement dans le noyau de C = A - F B , puisque F et x sont des approximations des premiers 616ments propres du couple (A,B). C'est pourquoi il est pr6f6rable d'un point de vue num6rique de d6finir y comme l'unique solution du probl6me aux moindres carr6s sans contraintes, th6oriquement 6quivalent au syst+me (4.9)(4.10):

[ICy'-zll = Min I[Ct-z][ (4.11) t CR m

y'ERmnIm(C), (4 .12)

ce qui est 6quivalent fi

yzR2" him(().

(4.13)

(4.14)

320 F. MIGNOT, C. SAGUEZ, AND J. P. VAN I)E WIELE

est une matrice symttrique, singuli~re de dimension (2m,2m) et (4.13)(4.14) admet toujours une solution.

Pour rtsoudre alors ce probl~me nous utilisons une mtthode ittrative du type gradient conjugut.

References

[1] K. J. BATHE, Solution Methods for large generalized eigenvalue Problems in structural engineering. UC SESM 71-2 Structural Engineering Laboratory, University of California, Berkeley, Nov. 71.

[2] M. CHICCO, Some properties of first eigenvalue and first eigenfunction of linear second elliptic partial differential equations in divergence forms, Bulletins U.M.I.t.5. 1972 pp. 245-254.

[3] COURANT-HILBERT, Methods of mathematicalphysics, Vol. 1 Interscience Publishers N.Y. 1953. [4] G. DANDEU, L'algorithme de Le Foil, Journ~es d~tudes sur les ~quations int~grales Lab. d'~tudes

Math. des signaux. Universite de Nice, France Dec. 1969. [5] PR. GARAaEDIAN, M. SHIFFER, Variational problems in the theory of elliptic partial differential

equations. J. of. Rat. Mach. and Analysis, 1953, 2 pp. 137-171. [6] J. HADA~mD, M~moire sur le probl~me d'analyse relatif ct l'~quilibre des plaques ~lastiques

encastr~es, Oeuvres compl&es Ed du C.N.R.S. Paris 1968 p. 12. [7] F. MIGNOT, Contrt31e de fonction propre, Note au CRAS Serie A. t. 280 1975 pp. 333-335. [8] F. MIGNOT, Contr~le dans les inequations elliptiques, Journal of functional Analysis, Vol. 22, No.

2, 1976 pp. 130-185. [9] F. MURAT, Contre-exemples pour divers probl~mes o~ le contr~le intervient dans les

coefficients, Annali di Matematica pura et applicata, Vol. 112, S~rie 4 pp. 49-68. [10] F. MURAT, J. SIMON, Sur le contr~le par un domaine g~ornetrique, Publication du Laboratoire

d'Analyse Num~rique Universit~ Paris VI-1976. [1 !] C. C. PAIGE, M. A. SAtn, JDERS, Solution of sparse indefinite systems of linear equations. Siam

Journal on numerical analysis 12, Sept. 1975 p. 617-629. [12] P. A. RAVIART, M&hode des ~l~ments finis, cours DEA Analyse num~rique Paris VI. [13] C. SAGUEZ, Controle ponctuel et controle en nombres entiers de syst~mes distribues th~se Docteur

Ing~nieur Paris VI - 1974. [14] G. W. STEWART, The numerical treatment of large eigenvalue problems, Proceedings of IFIP-

Congress 74, Information processing 74 Stockholm. Vol. 3, mathematical aspects of information processing p. 666-672.

[15] J. P. VAN DE WIELE, Resolution numerique d'un probleme de contr~le optimal de valeurs propres et vecteurs propres, Th~se 3 e cycle Paris VI 1974.

[16] R. S. VARGA, Matrix Iterative Analysis Prentice Hall New Jersey 1962. [17] J. H. WILKINSON, The algebraic eigenvalueproblem Clarendon Press - Oxford 1965.

(Received March 11, 1977)

Documents

Contrôle Optimal de Systèmes Gouvernés par des Problèmes aux Valeurs Propres