25
Contrôle optimal par réduction de modèle POD et méthode à région de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. Michel Bergmann Laurent Cordier & Jean-Pierre Brancher [email protected] Laboratoire d’ ´ Energ ´ etique et de M ´ ecanique Th ´ eorique et Appliqu ´ ee UMR 7563 (CNRS - INPL - UHP) ENSEM - 2, avenue de la For ˆ et de Haye BP 160 - 54504 Vandoeuvre Cedex, France Contr ˆ ole optimal par r ´ eduction de mod ` ele PODet m ´ ethode ` ar ´ egion de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.1/22

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Contrôle optimal par réduction de modèle PODet méthode à région de confiance du sillage laminaire d’un

cylindre circulaire.

Michel Bergmann

Laurent Cordier & Jean-Pierre Brancher

[email protected]

Laboratoire d’Energetique et de Mecanique Theorique et Appliquee

UMR 7563 (CNRS - INPL - UHP)

ENSEM - 2, avenue de la Foret de Haye

BP 160 - 54504 Vandoeuvre Cedex, France

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.1/22

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Introduction Configuration and numerical method

Two dimensional flow around a circular cylinder at Re = 200Viscous, incompressible and Newtonian fluidCylinder oscillation with a tangential sinusoidal velocity γ(t)

γ(t) =VT

U∞

= A sin(2πStf t)

θ

x

y

0

Γe

Γsup

Γs

Γinf

Γc

Ω

U∞

D

VT (t)

Find the control parameters c = (A, Stf )T such that the mean

drag coefficient is minimized

〈CD〉T =1

T

Z T

0

Z 2π

0

2 p nx R dθ dt −1

T

Z T

0

Z 2π

0

2

Re

∂u

∂xnx +

∂u

∂yny

R dθ dt,

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.2/22

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Introduction Parametric study

0.9929

6.9876

1.3928

1.3878

1.3928

1.38781.3905

1.1728

1.03203.6306

2.55161.0529

1.35261.2327

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

Am

plitu

de

StrouhalVariation of the mean drag coefficient with A and Stf .Numerical minimum

Amin, Stfmin

= (4.3, 0.74).

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.3/22

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Introduction Mean drag coefficient & steady unstable base flow

25 50 75 100 125 150 175 2000.75

1

1.25

1.5

1.75

2

2.25

2.5〈C

D〉 T

Re

〈CD〉T

CbaseD

C0D

Natural flowBase flow

Fig. : Variation with the Reynolds number of the mean drag coefficient. Contributions and

corresponding flow patterns of the base flow and unsteady flow.

Protas, B. et Wesfreid, J.E. (2002) : Drag force in the open-loop control of the cylinder wake in the laminarregime. Phys. Fluids, 14(2), pp. 810-826.

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.4/22

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Reduced Order Model (ROM) and optimization problems

x∆

Initialization

Optimization

Optimization on simplified model

a(x), grad a(x)

f(x), grad f(x)

Recourse to detailed model (TRPOD)High−fidelity model

Approximation model

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.5/22

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Reduced Order Model (ROM) Proper Orthogonal Decomposition (POD)

Introduced in turbulence by Lumley (1967).

Method of information compression

Look for a realization Φ(X) which is clo-ser, in an average sense, to realizations u(X).(X = (x, t) ∈ D = Ω × R

+)

Φ(X) solution of the problem :

maxΦ

〈|(u,Φ)|2〉 s.t. ‖Φ‖2 = 1.

Snapshots method, Sirovich (1987) :ZT

C(t, t′)a(n)(t′) dt′ = λ(n)a(n)(t).

Optimal convergence in L2 norm (energy)ofΦ(X)⇒ Dynamical order reduction is possible.

Coordinate axis

Coo

rdin

ate

axis

Φ1

Φ2

Original point cloud

Point cloud, mean shifted(centered around origin)

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.6/22

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ROM Parameter sampling in an optimization setting

General configuration. Ideal sampling.

Unsuitable sampling. Unsuitable sampling.

Discussion of parameter sampling in an optimization setting (from Gunzburger, 2004).−−−− path to optimizer using full system, initial values, optimal values, and •

parameter values used for snapshot generation.

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.7/22

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ROM A simple configuration, a rich dynamical behavior

Stf = 0, 1 CD = 4, 25. Stf = 0, 2 CD = 2, 24.

Stf = 0, 3 CD = 1, 57. Stf = 0, 4 CD = 1, 25.

Stf = 0, 5 CD = 1, 09. Stf = 0, 6 CD = 1, 02.

Stf = 0, 7 CD = 1, 03. Stf = 0, 8 CD = 1, 07.

Stf = 0, 9 CD = 1, 13. Stf = 1, 0 CD = 1, 18.

Fig. : Iso-values of the vorticity fields ωz for A = 3

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.8/22

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ROM Non-equilibrium modes (Noack et al. 2004)

Necessity for a given reference flow to introduce new modes : either newoperating conditions or shift-modes

Controlled space

Dynamics I

Dynamics IIφI

0

φI2

φII1

φII2

φI1

φII0

0

φI→IIneq

Fig. : Schematic representation of a dynamical transition with a non-equilibrium mode

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.9/22

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ROM A robust POD surrogate for the drag coefficient

POD approximations consistent with our approach :

U (x, t) = (u, v, p)T =

NX

i=0

ai(t) φi(x)| z Galerkin modes

+

N+MXi=N+1

ai(t) φi(x)| z non-equilibrium modes

+ γ(c, t) Uc(x)| z control function

Physical aspects Modes Dynamical aspects

actuation mode Uc predetermined dynamics

mean flow mode Um, i = 0 a0 = 1

Galerkin modesDynamics of the referenceflow I

i = 1

POD ROMTemporal dynamics of themodes (eventually, themode i = 0 is solved thena0 ≡ a0(t))

i = 2

· · ·

i = N

non-equilibrium modesInclusion of new operatingconditions II, III, IV, · · ·

i = N + 1

· · ·

i = N + M

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.10/22

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ROM Galerkin projection

Galerkin projection of NSE onto the POD basis :

φi,∂u

∂t+ ∇ · (u ⊗ u)

=

φi, −∇p +

1

Re∆u

.

Reduced order dynamical system where only (N + M + 1) (≪ NPOD)

modes are retained (state equations) :

d ai(t)

d t=

N+MXj=0

Bij aj(t) +

N+MXj=0

N+MXk=0

Cijk aj(t)ak(t)

+ Di

d γ

d t+

Ei +

N+MXj=0

Fij aj(t)

!γ(c, t) + Giγ

2(c, t),

ai(0) = (U (x, 0), φi(x)).

Bij , Cijk, Di, Ei, Fij and Gi depend on φi, U c and Re.

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.11/22

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Surrogate drag function and model objective functionGeneralities

Drag operator :

CD : R3 → R

u 7→ 2

Z 2π

0

u3nx −

1

Re

∂u1

∂xnx −

1

Re

∂u1

∂yny

R dθ,

(1)

Surrogate drag function :fCD(t) = a0(t)N0 +

N+MXi=N+1

ai(t)Ni| z evolution of the mean drag

+

NXi=1

ai(t)Ni| z fluctuations C′

D(t)

with Ni = CD(φi).

Model objective function :

m = 〈fCD(t)〉T =1

T

Z T

0

a0(t)N0 +

N+MXi=N+1

ai(t)Ni

!dt.

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.12/22

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Surrogate drag function Test case A = 2 and St = 0.5

Comparison of real drag coefficient CD (symbols) and model function fCD

(lines) at the design parameters.

0 5 10 151.045

1.05

1.055

1.06

1.065

1.07

1.075

1.08

1.085

1.09

1.095

1.1

t

CD

&

f C D

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.13/22

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Robustness of the model objective functionTest case A = 2 and St = 0.5

0.4 0.5 0.61.5

2

2.51.293

1.275

1.257

1.239

1.221

1.203

1.185

1.167

1.149

1.131

1.113

1.095

1.077

1.059

1.041

A

St(a) Real objective function J

0.4 0.5 0.61.5

2

2.51.221

1.209

1.197

1.185

1.173

1.161

1.149

1.137

1.125

1.113

1.101

1.089

1.077

1.065

1.053

A

St(b) Model objective function m

Fig. : Comparison of the real and the model objective functions associated to the mean drag coefficient.

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.14/22

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Trust-Region Proper Orthogonal DecompositionGeneralities

Range of validity of the POD ROM restricted to a vicinity of the design parameters

Objective : Use ROMs to solve large-scale optimization problems with assu-rance of :

1. Automatic restriction of therange of validity

2. Global convergence

Solution

Embed the POD technique into the concept of trust-region methods :Trust-Region Proper Orthogonal Decomposition (Fahl, 2000)

Conn, A.R., Gould, N.I.M. et Toint, P.L. (2000) : Trust-region methods. SIAM, Philadelphia.

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Trust-Region Proper Orthogonal Decomposition (TRPOD)Algorithm

Initialization : c0, Navier-Stokes resolution, J0. k = 0.

∆0

Construction of the POD ROMand evaluation of the model

objective function mk

Solve the optimality systembased on the POD ROMunder the constraints ∆k

ck+1 and mk+1

Solve theNavier-Stokes equations andestimate a new POD basis

Jk+1Evaluation of the performance

(Jk+1 − Jk)/(mk+1 − mk)

poor medium good

∆k+1 < ∆k

∆k+1 . ∆k

∆k+1 > ∆k

k = k + 1

k = k + 1

c0

ck ck+1ck+1

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.16/22

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TRPOD Numerical results

Initial control parameters : A = 1.0 et St = 0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

A

St0 5 10 15

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Jk

Iteration number k

Optimal control parameters : A = 4.25 et St = 0.74

Mean drag coefficient : J = 0.993

8 resolutions of the Navier-Stokes equations

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.17/22

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TRPOD Numerical results

Initial control parameters : A = 6.0 et St = 0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

A

St0 5 10 15

0.5

1

1.5

2

2.5

Jk

Iteration number k

Optimal control parameters : A = 4.25 and St = 0.74

Mean drag coefficient : J = 0.993

6 resolutions of the Navier-Stokes equations

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.17/22

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TRPOD Numerical results

Initial control parameters : A = 1.0 et St = 1.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

A

St0 5 10 15

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

Jk

Iteration number k

Optimal control parameters : A = 4.25 and St = 0.74

Mean drag coefficient : J = 0.993

5 resolutions of the Navier-Stokes equations

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.17/22

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TRPOD Numerical results

Initial control parameters : A = 6.0 et St = 1.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

A

St0 5 10 15

0.975

1

1.025

1.05

Jk

Iteration number k

Optimal control parameters : A = 4.25 and St = 0.74

Mean drag coefficient : J = 0.993

4 resolutions of the Navier-Stokes equations

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.17/22

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TRPOD Drag coefficient

Optimal control law : γopt(t) = A sin(2πSt t) avec A = 4.25 et St = 0.74

0 25 50 75 1000.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

γ = 0

γ(t) = γopt(t)

Base flow

CD

Time units

Relative drag reduction of 30% (J0 = 1, 4 ⇒ Jopt = 0, 99)

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TRPOD Vorticity contour plots

Uncontrolled flow, γ = 0.

Controlled flow, γ = γopt.

Fig. : Iso-values of vorticity ωz.

Controlled flow : near wake strongly unsteady, far wake (after 5 diameters) steadyand symmetric → steady unstable base flow

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Numerical costsDiscussion

Optimal control of NSE by He et al. (2000) :⇒ 30% drag reduction for A = 3 and St = 0.75.

Optimal control POD ROM by Bergmann et al. (2005) with no reactualizationof the POD ROM :

⇒ 25% drag reduction for A = 2.2 and St = 0.53.Reduction costs compared to NSE :

CPU time : 100Memory storage : 600

but no mathematical proof concerning the Navier-Stokes optimality.

TRPOD (this study) :⇒ More than 30% of drag reduction for A = 4.25 and St = 0.738.

Reduction costs compared to NSE :CPU time : 4Memory storage : 400

but global convergence.

→ "Optimal" control of 3D flows becomes possible !

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Conclusions and perspectives

Conclusions on TRPODImportant relative drag reduction : more than 30% of relative dragreduction

Global convergence : mathematical assurance that the solution isidentical to the one of the high-fidelity model

TRPOD compared to NSE ⇒ important reduction of numerical costs :→ Reduction factor of the CPU time : 4→ Reduction factor of the memory storage : 400

"OPTIMAL" CONTROL OF 3D FLOWS POSSIBLE BY POD ROM

PerspectivesOptimal control of the channel flow at Reτ = 180Test other reduced basis method than classical POD

Centroidal Voronoi Tessellations (Gunzburguer, 2004) : "intelligent"sampling in the control parameter spaceBalanced POD (Rowley, 2004)Model-based POD (Willcox, CDC-ECC 2005) : modify the definitions ofthe POD modes

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Reverse von Karman flow

Contrôle partiel (3 paramètres de contrôle)

⇒ Effet propulsif, signe écoulement moyen inversé

Fig. : Contrôle sur la partie amont : −120˚ ≤ θ ≤ 120˚

Controle optimal par reduction de modele PODet methode a region de confiance du sillage laminaire d’un cylindre circulaire. – p.22/22