C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Skrie I, p. 1231-1236, 1999

Analyse numPriquelNumerica/ Analysis

Convergence d’un modhle 2 vitesses disc&es pour l’kquation de Boltzmann-BGK

Luc MIEUSSENS

MathCmatiques appliquies de Bordeaux, UPRESA 5466, Universitb Bordeaux I, 351, tours de la Libiration,

33405 Talence, France

Courriel : mieussen@math.u-bordeaux.fr

CEA-CESTA, DEV/SIS, B.P. 2, 33114 Le Barp, France

(ReCu le 12 mars 1999, accept6 le 12 avril 1999)

R&urn& Nous Ctudions un mod&le B vitesses disc&es conservatif et entropique de 1’Cquation de Bathnagar-Gross-Krook (BGK). Dans ce modkle, l’approximation de la Maxwellienne est basCe sur un principe de minimisation d’entropie discrbte. Tout d’abord, nous donnons un rksultat de consistance pour cette approximation. Ensuite, nous montrons l’existence et 1’unicitC d’une solution du modsle discret. Enfin, en rkrivant le modble sous forme d’une 6quation continue, nous prouvons la convergence en vitesse de cette solution vers une solution de I’Cquation BGK. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris

Convergence of a discrete-velocity model

for the Boltzmann-BGK equation

Abstract. We consider a conservative and entropic discrete-velocity model for the Bathnagar- Gross-Krook (BGK) equation. In this model, the approximation of the Maxwellian is based on a discrete entropy minimization principle. First, we prove a consistency result for this approximation. Then, we demonstrate that the discrete-velocity model possesses a unique solution. Finally, the model is written in a continuous equation form, and we prove the convergence of its solution toward a solution of the BGK equation. 0 AcadCmie des ScienceslElsevier, Paris

A bridged English Version

We consider here BGK equation (1). Set j’ = (p, pi, J!?)~ the vector of moments of f defined by (2). The Maxwellian M[f] can be written kf[p’] = exp(6. &L(w)), where Y&(U) = (l,w, ~(uI”)’ and d is defined by (3). We study a velocity discretization of Equation (l), first proposed in [l]. Let Vn = {v; = kav, ; k E ZD, lkl 5 &} be a discrete velocity set. The discrete velocity approximation of (1) on V” is the model (4). In this model, the Maxwellian is approximated by EE

Note prCsentCe par Philippe G. CIARLET.

0764~4442/99/03281231 0 Acadtmie des Sciences/Elsevier, Paris 1231

1. Mieussens

by means of discrete entropy minimization problem (5). A result proved in 111 shows that if the vector of discrete approximated moments 6’ = (pn i pn’uU,, ~ EIL)T is realizable by a discrete distribution function 9 > 0 (we say strictly realizable), then &l = exp(&J,, . ,S( v;)). Note that &; is therefore similar to A/l[p’].

In this Note, we assume that AU,, -+ 0 and B,, + +~XS as n + $00. The first result that we prove is the convergence of the approximation EE of hl[p’] as i;ll + jY. The difficulty is that E; is an implicit function of &, but we prove the discrete entropy minimization problem to be uniformly coercive. This yields the

THEOREM 1. - Let {&,}nto be a sequence of RD+*, strictly realizuble on V’“. Let p’ E RD+2 be such that /I: 0 > 0 (dejined by (2)). Then, if p’,{ ----+ p7 we have d,, + 6.

PL130 n ‘cc

Assume that the initial condition f” of (1) satisfies estimate (9). From [6], we know that Equation (1) has a solution in C”(R+;L1(R2”)) . Th en, by a fixed point method, we prove a similar result for the discrete model.

THEOREM 2. - Under assumption (9), problem (4) has a unique solution fc in L”(]O, t,,,,x[ x R,“)“,?, for all t,,,, > 0. Moreover, properties (10) of conservation and entropy hold in a distribution sense, and estimates (1 l)-(12) are satisfied.

Finally, in order to prove the convergence of (4), we use the technique of Mischler [4]. We introduce a continuous formulation (16) of (4); then, following the stability proof of Perthame [6] for continuous BGK, we prove the announced result:

THEOREM 3. - Under assumption (9), the sequence { fn}71zo, (dejned by (15)), is weakly convergent in L1 (10, t,,,,[ x R5) x iwf ), Y t,,,, > 0, up to the extraction of a subsequence, to a distribution solution of BGK equation (1).

Details of the proofs and numerical applications can be found in [3] and [2].

1. Introduction

L’equation BGK est un modkle simplifiC de I’Cquation de Boltzmann pour les gaz rarCfi&, qui dCcrit I’Cvolution de la densitC f(t, Z, II) des molt%ules de position x et de vitesse u E RD :

(3.~ + ‘U . O:rf = jq.f] - f, f(O,3:, 7)) = f”(u:. II). (1)

Les collisions sont mod&Ii&es ici par la relaxation de f vers la distribution d’kquilibre maxwellienne M[f] ($ [7]). Cette distribution dCpend uniquement de u et des quantitCs fluides, p, U, B qui sont dCfinies par les D + 2 premiers moments de f :

P = (f), P7J = (uf): E = ($pf) = ;plul* + $ps, (2)

oti I’on a nott? par (g) = J’9(71) tlv 1’intCgrale de toute fonction 9 vectorielle ou scalaire. Par ailleurs,

notons 7371) = (1,~; $/~,l”)~ 1 e vecteur des quantitCs microscopiques masse, quantitC de mouvement et Cnergie cinCtique. En notant de faGon similaire ji = (p, p’u, E)’ le vecteur des D + 2 premiers moments de f, les relations de (2) s’Ccrivent alors simplement p’= (&j). On sait aussi que n/r[f] peut s’&rire :

M[p’] = exp (6. ,6(u)): avec iu’= (10~(~~~~~~,~) - g!i,-f)‘. (3)

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Convergence d’un modhle ?I vitesses discrtites pour I’kquation de Boltzmann-BCK

Enfin, il faut noter que comme l’equation de Boltzmann, l’equation BGK possede les proprietes de conservation des moments et de decroissance d’entropie.

Decrivons succinctement le modele discret pour (1) propose dans [l] et developpe dans [2]. Soit V” = {IJ~ = kAu, ; k E XT’} une grille bornee de N,, vitesses, de pas AuT,, oti Ic” est un ensemble de multi-indices k E ZD, 11;] < B,. Notons At la cellule rectangulaire de c&C Av, centree en IJ;. La condition initiale de (1) est approchee sur V’” par f,“““(x;) =

min (T &Q J4; (f"(x,u)+ +=P( - 1x1' - l~12))dv). On considere alors une approximation de

la solution f de (1) par la fonction de distribution discrete fk(t, 2:) = (f;(t, x))~~~~, solution du systeme d’equations cinetiques disc&es :

a& + 71; . O,fZ = Et - g, .f;(o,z) = f,“.“(z), k: E PC’“. (4)

Pour l’approximation Eg = (82) IcEIZ” de &I[@‘] don&e dans ]I], on utilise la version discrete du principe de minimisation d’entropie :

H”(Ez) = m~n{H”(g) = (9logy),,}, avec XZ,~ = (9 > 0 E BBNn, (sg),, = Gn}: (5) Pn

oil l’on note (g)n = ClcEICn gkAv,D et jin = (&fz)lL = (pFL, pIL~~,L? &)r. Cette definition permet d’avoir un modele conservatif et entropique, ce qui est tres utile pour le developpement de schemas numeriques performants (cjI [2]).

On sait que sous une hypothese convenable sur f ‘, l’equation BGK (1) admet une solution (cfi [6]). Le but de cette Note est de prouver que, sous cette hypothese, le modele discret (4) est une approximation consistante de l’equation BGK. Nous supposons done que AU, -t 0 et B,, + Sx quand n + +co. Dans la section 2, nous resolvons la principale difficultt qui est la consistance de l’approximation de AJ[p’] par Ez. Dans la section 3, nous montrons un resultat d’existence et d’unicite pour le modele (4) a l’aide d’un theoreme de point fixe. Contrairement aux modeles discrets de l’equation de Boltzmann pour lesquels un tel resultat n’est pas connu, il s’obtient ici grace a la structure particulihe de BGK. Enfin, nous montrons dans la section 4 que la solution discrete converge vers une solution de l’equation BGK. Nous nous inspirons pour cela du travail de Mischler [4] en Ccrivant le modele discret sous une forme continue, ainsi que de la preuve de stabilite des solutions de BGK montrte par Perthame [6].

2. Consistance de l’approximation de la Maxwellienne

Rappelons que si 2~~ # 0, alors d’apres [l], le probleme (5) a une solution unique E; qui peut s’ecrire sous une forme analogue a celle de n/ir[i;] : il existe un unique &, E [wD+2 tel que :

&;i” = exp(Z, . r$($)) VkEK”; (6)

si, et seulement si, &, est strictement rkalisable sur V”, i.e., 3 9 > 0 E XC~. Cette approximation est alors consistante au sens suivant :

TH~ORBME 1. - Soit {$,L}n>~ une suite de RD+2 strictement rt!alisable sur V7’ pour tout n. Soit P’E RDf2 tel que p, H > 0. Si & + 5 alors G’,, converge vers 6 d@ni par (3).

n-Co Dkmonstration. - D’apres [l], 6, et ri sont les solutions uniques des problemes de minimisation

suivants :

A(&) = $Kl{J&?) = (exp(/hi))T,-g.p’,,}, J(G) =$n{J(/7) = (rxp(/Y.?%))-@.jT},

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L. Mieussens

oh a = @‘+2 n {p’ ; p(D+l) < o}, et $(D+l) est la dernibre composante de 6. Nous utilisons la proposition suivante (prouvke dans [3]) :

PROPOSITION 1 (PI) Jn est strictement convexe et coercive duns WD+2. (Pz) J est strictement convexe et coercive duns 2). (Ps) J, est localement uniformkment convergente vers J duns V. (Pa) S = sup, Jn(&) < +co.

L’idCe de la dkmonstration du thCor2me est alors de montrer que Jn est en fait uniformCment coercive en n. Ainsi, (Pd) assure que &, est bornC, et (Pz) implique que & -+ Z.

Soit S’ 2 max( J(d), S), oti S est dkfinie par (PJ. La coercivitk de J implique I’existence d’un

compact K c D, tel que J(B) > S’ + 1, kf j” E V- 2, et nous pouvons supposer que d EI? (qui dksigne l’intkrieur de K). La propri&C (P3) implique l’existence de no(K) tel que 1 Jn(B) - J(,& 5 i,

Y p’ E K, V n > no(K). Les deux relations prCcCdentes impliquent

J,(B) 2 S’+; ‘v’/? E dK, V’n > no(K). (7)

De plus, la definition de S’ et le fait que d ok impliquent

Jn(G) 5 J(5) + IJn(G) - J(G)1 5 S’+ ; < S’+ ; Vn 2 no(K). (8)

Nous utilisons g prksent le lemme (prouvk dans [3])

LEMME 1. - Soit K une fonction convexe sur l’ouvert convexe R de RD. S’il existe un compact K 0

convexe inclus duns R et une constante c telle que K(X) > c duns dK, et s’il existe x0 EK tel que K(XO) < c, alors K(X) > c duns R - K.

Les relations (8) et (7) montrent que J, satisfait les conditions du lemme 1 pour tout n > no(K),

done Jn(@) 2 S’ + i, V n > no(K), VP E 2) - K. Les fonctionnelles J, sont done coercives uniformkment par rapport B n, ce qui termine la preuve. 0

3. Existence et unicith pour le modhle discret

D’aprks Perthame [6], I’Cquation BGK (1) admet une solution dans C’(R+; L1(WzD)) sous l’hypothkse

J ((1 -t- [xl2 + 1~1~ + 1 logf”l)fo) dx = ro < foe. (9)

RD

On dCduit de cette estimation que f$” vh-ifie sup, JRD ((I+ [xl2 + (~1~ + IIo~~~~I)~~~)~ dx < rl.

On obtient aussi 7; cp(x) 5 f,“,“(z) < n p.p. dans RF, VF E K”, avec 17: = i & 14, exp(-lv12) dv

et p(z) = exp(-1212). 0 n a alors le rksultat suivant :

THBORI~ME 2. - Sous I’hypothZse ci-dessus, le probltme (4) a une unique solution fz = (fz) IcEIC”

duns L” (10, t,,,[ x RF) Nn, pour tout t,,, > 0. De plus, elle ve’rije les propriMs de conservation et d’entropie, au sens des distributions

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Convergence d’un mod&le A vitesses disc&es pour I’Cquation de Boltzmann-BGK

et elle sat&-fait les estimations

sup sup s

((1 -t- 14* + lvl* + I kf;l).f&d~ 5 r2(hnax), (11) n [O,t”,,Xl RD

7;;. cp(z - twt) eCt 5 fz(t, x) 5 n eNnt p.p. t, 5. (12)

D&monstration. - Considerons l’ensemble

On montre que 3 est invariant par l’application @, definie par le probleme non lineaire

F ‘zf a(G) - d,Fk + II; . V,Fk + Fk = I;[&], Fk(O,X) = f,“yr), (13)

oti 5~ = (&G), et EE[p’c] est le minimum d’entropie sur A’,,: (c$ (5)). La definition de E&TG] avec G E 3 implique

E,"[p'c(s,~)l I ~&Z~[p',(s,y)] = xGv(s,y) 5 NnneNn”. k’ k’

(14)

Cette estimation et la representation integrale de F = Q(G) donne la borne superieure de 3, et la borne inferieure est obtenue aisement en integrant (13) sur les caracteristiques.

En utilisant la forme exponentielle (6) de Ez, on peut en outre prouver que l’operateur G H Ez [p’c] est lipschitzien sur l’ensemble 3 [3]. Une methode classique de point fixe permet alors d’obtenir l’existence et l’unicite de f:.

Les lois de conservation de (10) s’obtiennent aisement en multipliant l’equation (4) par &(vz) et en sommant sur k. Pour l’inegalite d’entropie de (lo), une technique due a Perthame [6] permet d’obtenir l’equation &(f; log f;)n + V, . (uf; log fz)n = ((f; - .fz) log fz)n. Le second membre est major6 par 0 a l’aide d’une inegalite de convexite et de la definition de f:.

4. Convergence du modhle discret vers le modtile continu

Suivant Mischler, nous introduisons

kEK”

et Z”(t, 5, n) = C E,“(t, X)$(V), kcK”

(15)

oii x; est la fonction indicatrice de A;. On relie (4) a (1) par l’tquation

&f” + cyw) . v, f” = E” - f”, f”(O,x, II) = fO”“( z,v) = c f:‘“(4x;bJL (16)

TH~ORBME 3. - Sous l’hypothdse (9), la suite {fn} +Q est faiblement convergente dans L1 (IO, t,,,[

xq x q>, ~GTI,, > 0, h l’extraction d’une sow-suite prds, vers une solution distribution de l’e’quation BGK (1).

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1. Mieussens

DLmonstrution. - dupe 1 : Convergence faible de f” et (&fn). D’apres (1 l), f” verifie l’estimation

sup sup s

((1 + b12 + 1~1~ + I log fnl)fn) dz 5 ~3(hnax) 11 PALl,xl RD

(17)

pour tout t,,, > 0. Nous deduisons classiquement l’existence d’une fonction f telle que f” - f faiblement dans L1([O, t,,,] x R;p,” x Rf), pour tout t,,, > 0. On obtient done la convergence du terme de transport de (16) vers atS + w . V,f dans ;D’(]O, +oo[xRE x Wf). On deduit aussi de (17) la convergence faible de ((l,~)~f”) vers ((l,~)~f). Pour le demier moment ($ ]?~]~f~), le manque d’estimation sur les grandes vitesses necessite l’utilisation du lemme d’estimation du moment d’ordre 3 de Perthame [6], qui s’adapte saris difficult6 au cadre discret. On con&t done que (&fn) - p’= (&if) f at ‘bl ement dans Lr( [0, t,,,] x K) pour tout compact K de IF!? et t,,, > 0.

&ape 2 : Convergence faible de f”. En utilisant la definition de .?$, on peut montrer que E” verifie une estimation semblable a (17). Ceci prouve l’existence d’une fonction M telle que E” - M faiblement dans L1 ([0, t,,,] x IRc x R,“). On en deduit que la limite faible de f” satisfait l’equation 6’,f + w . 0, f = M - f dans 23’. Les &apes suivantes servent a montrer que M = kf[p’].

&tape 3 : Convergence forte de p’,. La generalisation au cadre discret, obtenue par Mischler [4], des lemmes de moyenne, implique grace aux &apes 1 et 2 que (fifn) --f fifortement dans L1 ([0, t,,,] x K) pour tout compact K. Or on voit facilement que j& et (Gf”) sont asymptotiquement equivalents, done on a aussi ST1 -+ p’ fortement.

Aape 4 : Passage a la limite. On voit qu’a une sous-suite p&s, &(t, X) converge presque partout vers p’((t, IT). Done le theoreme 1 implique &(t, z) --+ Z(t, X) presque partout dans fi = {(t, X) ; p(t, z) et e(t, z) > 0}, et par consequent, E” --f AJ[p’] p.p. dans R x Wf. Dans “0, on a pm(t, z) + 0, done I” -+ 0 = IM[p’] p.p. Ceci prouve que E” converge presque partout vers M[p’] = M. Done le terme source converge vers (Af[p’] - f) f at ‘bl ement dam L1, et l’on conclut finalement que f est solution de l’equation BGK (1).

Remarque 1. - La suite f” converge en fait fortement vers f, car on peut montrer que log( 1 + f’“) converge faiblement vers log(l + f). En outre, si l’on rajoute les hypotheses de Mischler [5] sur f”, alors l’equation BGK admet une unique solution, ce qui implique que toute la suite f’” converge.

RCfkences bibliograpbiques

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