[ Correction Amérique du Nord juin 2011 \

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ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12 points

Exercice 1

1. a. Calcul de Leslie : 11× (2×9) = 11×18 = 198 et Calcul de Jonathan : 102 +2= 100+2 = 102 .

b. Trois entiers consécutifs : n1, n2 et n3. Calcul de Leslie : n3 × (2×n1). Donc n1 = 9 et n3 = 11 . Calcul de Jonathan : n22 +2

donc n2 = 10 .

2. a. Calcul de Leslie : 7× (2×5) = 70. Calcul de Jonathan : 62 +2 = 38. Donc 6 n’est pas le deuxième nombre .

b. Calcul de Leslie : −6× (2× (−8)) = 96. Calcul de Jonathan : (−7)2 +2 = 51. Donc −7 n’est pas le deuxième nombre .

c. En prenant n2 = 4 on a : n1 = 1, n2 = 2 et n3 = 3 ou n1 =−3, n2 =−2 et n3 =−1. Calcul de Leslie : 3× (2× (1)) = 6 et Calcul de

Jonathan : 22 +2 = 6. Donc 2 est le deuxième nombre .

Calcul de Leslie : −1× (2× (−3)) = 6 et Calcul de Jonathan : (−2)2 +2 = 6. Donc −2 est le deuxième nombre . Ainsi Arthur abien raison.

Explication : il résout en fait l’équation donnée par les deux calculs de Leslie et Jonathan :

(n+1)× (2× (n−1)) = n2 +2 ⇐⇒ 2× (n

2 −1) = n2 +2

⇐⇒ 2n2 −2−n

2 −2 = 0

⇐⇒ n2 = 4

Exercice 2

La vitesse de la lumière est 300 000 km/s.

1. La lumière met1

75de seconde pour aller d’un satellite à la Terre donc la distance séparant le satellite de la Terre vaut :

dSat→T =

1

75×300000

1=

300000

75= 4 000 km .

2. La lumière met environ 8 minutes et 30 secondes pour nous parvenir du soleil donc la distance nous séparant du Soleil vaut :

dT→Sol =510×300000

1= 153000000 km. (8 minutes 30 secondes = 510 secondes). Soit en écriture scientifique :

dT→Sol = 1,53 108 km .

Exercice 3

Réponse A Réponse B Réponse C

1.Quelle est la forme factori-sée de (x +1)2 −9 ?

(x −2)(x +4) x2 +2x −8 (x −8)(x +10)

2. Que vaut 5n ×5m ? 5nm 5n+m 25n+m

3.

À quelle autre expression

le nombre7

3−

4

3÷

5

2est-il

égal ?

3

3÷

5

2

7

3−

3

4×

2

5

27

15

4.Quels sont les nombrespremiers entre eux ?

774 et 338 63 et 44 1 035 et 774

5.Quel nombre est en écri-ture scientifique ?

17,3×10−3 0,97×107 1,52×103

Justifications (non obligatoires) :

1. (x+1)2−9 est de la forme a2−b

2 avec a = (x+1) et b = 3 et se factorise en (a+b)(a−b) d’après les identités remarquables ! Donc(x +1)2 −9 = (x +1+3)(x +1−3) = (x −2)(x +4) .

2. Immédiat. Attention 5nm = (5n )m 6= 5n ×5m !

3.7

3−

4

3÷

5

2=

7×5

3×5−

4

3×

2

5=

35

15−

8

15=

27

15.

4. PGCD(63 ; 44) = 1. On peut très bien utiliser la calculatrice car aucune justification n’est demandée.

5. L’ écriture d’un nombre est toujours de la forme 1,...10n ! Il est impératif que le chiffre 1 soit à cette place.

Brevet juin 2011 Sujet

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 12 points

Exercice 1

vue de derrière

plan de derrière

1. Voir ci-dessus.

2. Il ya 6 cubes (6×4cm3 = 240cm

3) et 1 prisme

(4×4

2×

4

2= 160cm

3)

donc le volume total du solide vaut : V = 400cm3 .

3. a. La base d’un prisme est un triangle et comme celui-ci est droit, le triangle est alors rectangle en B

b. D’après le théorème de Pythagore, on AB2+BC2 = AC2. Or AB = BC = 2 cm, on a AC =p

42 +42 =p

16×2 = 4p

2 cm .

c. On a AC = DF donc l’aire de la face ACFD vaut A = 2×4p

2 = 8p

2 cm2. Soit en mm2 : A ≈ 11,31cm

2 .

Exercice 2

1. D’après le théorème de Pythagore, AC2 = BC2 + AC2 ⇐⇒ BC =p

302 −252 = 5p

11 cm .

2. tan �C AD =CD

AC⇐⇒ CD = AC × tan �C AD = 25× tan 49° ≈ 288 mm. Ainsi BD = 5

p11+288 ≈ 454 mm .

Exercice 3

1. Q : Calculer la distance SA. R : SA = 6,84−3,8 = 3,04 cm.

2. Q : À l’aide théorème de Thalès, calculer la longueur OK. R : D’après le théorème de Thalès onOR

R A=

OK

S Aet

donc OK =5×6,84

3,04= 11,25 cm.

3. Q : Calculer le périmètre du triangle ORK. R : P = 7,2+6,84+11,25 = 25,29 cm.

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Brevet juin 2011 Sujet

PROBLÈME 12 points

Partie 1

1. Tableau 1

Réduction en ( Prix de la place en ( Nombre de spectateurs Recette du spectacle0 20 500 20×500 = 10000

1 19 550 19×550 = 10450

2 18 600 18×600 = 10800

4 16 700 16×700 = 11200

2. Tableau 2

Réduction en ( Prix de la place en ( Nombre de spectateurs Recette du spectacle

x 20− x 500+ x (20− x)(500+50x)

3. (20− x)(500+50x) = 10000+1000x −500x −50x2 = −50x

2 +500x +10000 .

Partie 2

On a R(x) =−50x2 +500x +10000.

500100015002000250030003500400045005000550060006500700075008000850090009500

1000010500110001150012000

−500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22−1

Montant de la réduction (en ()

Recette R(x) en (

1. La recette pour une réduction de 2 ( est de 10 800 ( (on peut vérifier avec le tableau 1).

2. Le montant de la réduction pour une recette de 4050 ( est de 17 ( . Le prix d’une place est alors de 20−17 = 3 (.

3. R(8) =−50×82+500×8+10000 = 10 800 ( . On remarque que deux valeurs de x différentes (2 et 8) vont donner la même recette(10 800 () .

4. La recette maximale est celle de 11 250 (. Cela correspond à une valeur de x = 5 ( soit une réduction de 5 (. Le prix de la placeest donc à 15 ( .

Partie 3

L’aire d’un trapèze vaut : A =(13+7)×10

2= 100 m2. Donc l’aire des deux trapèzes vaut : A = 200 m2.

On peut considérer ensuite que les deux quarts de disque forment un demi disque de diamètre 16 m. L’aire d’un tel disque vaut :

A =π×132 = 169π m2. Ainsi l’aire du demi disque vaut A =169π

2m2.

Donc l’aire totale de la zone des sièges vaut A =169π

2+200 ≈ 465,5 m2.

Sachant qu’il y a en moyenne 1,8 sièges par m2, on déduit qu’on peut mettre 837 sièges dans la zone des sièges (465,5×1,8 ≈ 837,8) .

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