Corrélations Entre Les Propriétés Du Sol

7182019 Correacutelations Entre Les Proprieacuteteacutes Du Sol

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Correacutelations entre les proprieacuteteacutesdes sols

par Jean-Pierre MAGNANIngeacutenieur en Chef des Ponts et Chausseacutees Docteur egraves Sciences Directeur technique au Laboratoire Central des Ponts et Chausseacutees Professeur-adjoint agrave lrsquoEacutecole Nationale des Ponts et Chausseacutees

es paramegravetres utiliseacutes pour deacutecrire les proprieacuteteacutes physiques et meacutecaniques des sols sont de nature tregraves varieacutee

mdash paramegravetres drsquo identification et drsquo eacutetat (porositeacute indice des vides densiteacutedensiteacute relative limites drsquoAtterberg etc)

mdash paramegravetres de deacuteformabiliteacute (indices de compression et de gonflementmodule œdomeacutetrique module pressiomeacutetrique etc)

mdash paramegravetres de reacutesistance (coheacutesion et angle de frottement interne pression limite pressiomeacutetrique reacutesistance de cocircne statique ou dynamique etc)

mdash paramegravetres de permeacuteabiliteacute Il est tregraves rare que sur un mecircme site tous ces paramegravetres soient mesureacutes en

un nombre de points suffisant pour que lrsquoon puisse juger bien connu lrsquoensemble du massif de sol Habituellement la reconnaissance geacuteotechnique est limiteacutee au strict minimum et lrsquoon dispose des valeurs de certains paramegravetres en certains points et drsquoautres paramegravetres en drsquoautres points Lrsquoingeacutenieur geacuteotechnicien doit tirer le meilleur parti possible de ces informations eacuteparses et eacutetablir une coupe geacuteotechnique repreacutesentative du site eacutetudieacute

Crsquoest dans ce cadre geacuteneacuteral que lrsquoutilisation de correacutelations entre les proprieacuteteacutes physiques et meacutecaniques des sols peut contribuer efficacement au travail de synthegravese du geacuteotechnicien

1 Relations et correacutelations dans les sols geacuteneacuteraliteacutes C 219 - 211 Origine des relations et correacutelations dans les sols mdash 2

12 Domaines drsquoutilisation des correacutelations mdash 22 Principales techniques drsquoeacutetude des correacutelations mdash 221 Deacutefinitions et caracteacuteristiques des variables aleacuteatoires mdash 222 Relations entre variables aleacuteatoires Reacutegression lineacuteaire mdash 323 Analyse factorielle mdash 424 Variabiliteacute spatiale mdash 4

3 Exemples de correacutelations mdash 531 Relation entre la compressibiliteacute et la teneur en eau des tourbes mdash 532 Relation entre la permeacuteabiliteacute et lrsquoindice des vides des argiles mdash 533 Relation entre la limite de liquiditeacute et lrsquoindice de compression

des vases mdash 534 Relation entre la pression limite pressiomeacutetrique et la reacutesistance

de cocircne au peacuteneacutetromegravetre statique mdash 535 Relation entre les reacutesistances de cocircne statique et dynamique mdash 8

4 Domaines de validiteacute des correacutelations mdash 9Reacutefeacuterences bibliographiques mdash 10



CORREacuteLATIONS ENTRE LES PROPRIEacuteTEacuteS DES SOLS ___________________________________________________________________________________________

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1 Relations et correacutelationsdans les sols geacuteneacuteraliteacutes

11 Origine des relations et correacutelations

dans les sols

Srsquoil est difficile voire impossible de donner une justification theacuteo-rique quantitative de lrsquoexistence de relations entre les proprieacuteteacutes drsquounmassif de sol naturel il est facile drsquoadmettre que les diffeacuterents para-megravetres drsquoun sol donneacute doivent avoir des relations la deacuteformabiliteacutecomme la reacutesistance au cisaillement ou la permeacuteabiliteacute deacutependentagrave lrsquoeacutevidence de la forme et de la nature des particules de la densiteacutede leur empilement de la quantiteacute drsquoeau preacutesente dans les poresDe plus agrave lrsquointeacuterieur drsquoune mecircme cateacutegorie de paramegravetres parexemple les paramegravetres de reacutesistance il existe agrave lrsquoeacutevidence des rela-tions entre les paramegravetres mesureacutes dans les diffeacuterents types drsquoessaisen place ou en laboratoire mecircme si lrsquoon ne peut pas les exprimerde faccedilon explicite Et si les paramegravetres de reacutesistance deacutependent desmecircmes proprieacuteteacutes physiques que les paramegravetres de deacuteformabiliteacuteil doit eacutegalement exister des relations entre ces deux cateacutegories de

paramegravetres Cette reacuteflexion purement qualitative est confirmeacutee parlrsquoexpeacuterience il existe effectivement dans chaque deacutepocirct de sols desrelations entre les paramegravetres geacuteotechniques ainsi que des relationsplus geacuteneacuterales valables pour un type de sol ou mecircme pour plusieurstypes de sols

Si lrsquoon poursuit lrsquoanalyse des relations qui peuvent exister entreles proprieacuteteacutes geacuteotechniques drsquoun sol on est conduit agrave distinguertrois types de relations

mdash les relations matheacutematiques exactes qui existent parexemple entre les paramegravetres deacutecrivant lrsquoeacutetat du sol On peut illustrerce type de relations par toutes les formules matheacutematiques reliant

bull lrsquoindice des vides e et la porositeacute n

e = n (1 ndash n )

bull la teneur en eau w le poids volumique du sol γ et le poidsvolumique du sol sec γ d

γ = γ d (1 + w )

bull la teneur en eau w lrsquoindice des vides e le degreacute de saturationS r et les poids volumiques de lrsquoeau γ w et des grains γ s

w = e γ w S r γ s

bull les poids volumiques γ γ d γ s et γ w drsquoun sol satureacute

γ = (γ s γ w + γ s γ d ndash γ d γ w ) γ s

bull etc mdash les lois drsquoeacutevolution en fonction de la profondeur dues

agrave lrsquoeffet de la pesanteur et dont lrsquoorigine est lieacutee agrave lrsquoaugmentationdes contraintes quand on srsquoenfonce dans le sol Par exemple dansles deacutepocircts homogegravenes de sols fins dont lrsquoeacutetat srsquoest stabiliseacute lescontraintes effectives pressions de preacuteconsolidation modules etreacutesistances augmentent avec la profondeur

mdash les relations empiriques (ou correacutelations) entre proprieacuteteacutesdrsquoun mecircme volume eacuteleacutementaire de sol par exemple la porositeacute etle coefficient de permeacuteabiliteacute lrsquoindice de densiteacute drsquoun sable et sonangle de frottement interne la pression de preacuteconsolidation et lacoheacutesion non draineacutee drsquoune argile etc Ces relations qursquoil nrsquoestpossible de caracteacuteriser que de faccedilon statistique srsquoexpliquent parla raison deacutejagrave citeacutee que toutes les proprieacuteteacutes drsquoun mecircme empilementde particules eacutevoluent de faccedilon coordonneacutee et traduisent lrsquoexistencedrsquoune loi de comportement geacuteneacuterale pour chaque grande classe desol

12 Domaines drsquoutilisationdes correacutelations

Dans la pratique de la meacutecanique des sols les correacutelations entreparamegravetres sont utiliseacutees comme moyen de controcircle des reacutesultats

des essais en place et en laboratoire et comme moyen de fabricationde valeurs compleacutementaires de certains paramegravetres en fonction desautres

Par exemple sur un site donneacute on peut analyser la relation entredeux paramegravetres mesureacutes sur une mecircme carotte de sol (indice desvides e et indice de compression C c etc) ou mesureacutes en place dansle mecircme essai (module pressiomeacutetrique E M et pression limite pres-siomeacutetrique etc) et deacutetecter les variations de la nature ou delrsquohistoire des sols drsquoapregraves les modifications de leurs relations Dansun tel cas les correacutelations servent drsquooutil de controcircle de lrsquohomo-geacuteneacuteiteacute des sols (ou de la qualiteacute des essais si lrsquoon sait de faccediloncertaine que le sol est le mecircme que celui qui a servi agrave eacutetablir lacorreacutelation)

On utilise aussi les correacutelations pour estimer certaines proprieacuteteacutesdes sols (souvent des proprieacuteteacutes meacutecaniques) en fonction des carac-teacuteristiques qui ont eacuteteacute mesureacutees (souvent des proprieacuteteacutes physiques

comme la densiteacute ou la teneur en eau) On peut ainsi lors des eacutetudespreacuteliminaires et dans certaines situations de projets disposer devaleurs des paramegravetres neacutecessaires au dimensionnement desouvrages sans les avoir deacutetermineacutees par des essais

Les conditions drsquoutilisation de correacutelations dans les eacutetudesgeacuteotechniques deacutependent de la fiabiliteacute des correacutelations utiliseacuteesCertains paramegravetres sont lieacutes agrave lrsquointeacuterieur drsquoune couche de sol drsquounsite deacutetermineacute par des relations proches drsquoune relation matheacute-matique exacte Par contre si lrsquoon analyse simultaneacutement desdonneacutees provenant de deux sites pour des sols de mecircme natureon trouve en geacuteneacuteral que les valeurs des paramegravetres sont plus dis-perseacutees et cette dispersion augmente quand le nombre de sitessrsquoaccroicirct et quand on regroupe des donneacutees relatives agrave diffeacuterentstypes de sols Les erreurs expeacuterimentales lors de la deacuteterminationdes paramegravetres qui servent agrave eacutetablir les correacutelations exercenteacutegalement une influence deacutefavorable sur la qualiteacute des correacutelationsobtenues Il est pour cette raison indispensable de connaicirctrelrsquoorigine des correacutelations que lrsquoon envisage drsquoutiliser dans le cadredrsquoune eacutetude geacuteotechnique et drsquoecirctre conscient de la variabiliteacute pos-sible des paramegravetres autour de leur relation moyenne afficheacuteenotamment quand les correacutelations ont eacuteteacute eacutetablies entre des fonc-tions logarithmiques des paramegravetres

2 Principales techniquesdrsquoeacutetude des correacutelations

Lrsquoeacutetude des relations existant entre les proprieacuteteacutes des sols srsquoeffec-tue au moyen des outils classiques de la statistique pour lrsquoanalysedes donneacutees Les meacutethodes classiques de lrsquoanalyse statistique onteacuteteacute exposeacutees dans de nombreux ouvrages [2] [5] [6] [7] auxquelsle lecteur pourra se reporter pour une description deacutetailleacutee de cesmeacutethodes Dans le preacutesent paragraphe seront rappeleacutes seulementles deacutefinitions essentielles et les principes des meacutethodes couram-ment utiliseacutees pour les eacutetudes de correacutelations en meacutecanique des sols

21 Deacutefinitions et caracteacuteristiquesdes variables aleacuteatoires

Nota on se reportera aux articles Probabiliteacutes [A 165] et Statistiques [A 166] du traiteacuteSciences fondamentales

Pour lrsquoapplication des techniques de lrsquoanalyse statistique chaqueparamegravetre geacuteotechnique du sol doit ecirctre consideacutereacute comme unevariable aleacuteatoire crsquoest-agrave-dire comme une grandeur non deacutetermineacutee

p



__________________________________________________________________________________________ CORREacuteLATIONS ENTRE LES PROPRIEacuteTEacuteS DES SOLS


a priori dont on sait qursquoelle peut prendre telle ou telle valeur dansun ensemble de valeurs possibles avec une certaine probabiliteacuteCette assimilation des proprieacuteteacutes du sol agrave des variables aleacuteatoiresnrsquoimplique pas qursquoen un point donneacute les proprieacuteteacutes du sol ne soientpas parfaitement deacutetermineacutees Elle repreacutesente seulement lrsquoigno-rance de lrsquoingeacutenieur vis-agrave-vis des valeurs exactes de chaque proprieacuteteacute

en chaque pointToute variable aleacuteatoire X peut ecirctre caracteacuteriseacutee par une densiteacute

de probabiliteacute g (x ) qui repreacutesente la probabiliteacute de chaque valeurpossible x de la variable ou de faccedilon parfaitement eacutequivalente parune fonction de reacutepartition G (x ) variant de 0 agrave 1 et eacutegale agrave laprobabiliteacute que X soit infeacuterieur agrave x

Connaissant la fonction g (x ) ou G (x ) on peut calculer lesmoments de la variable aleacuteatoire qui sont drsquoune part les momentsdrsquoordre r

et drsquoautre part les moments centreacutes drsquoordre r

Le moment drsquoordre 1 est appeleacute espeacuterance matheacutematique oumoyenne et noteacute E [X ] ou m Le moment centreacute drsquoordre 1 est nulLe moment centreacute drsquoordre 2 est appeleacute variance et noteacute Var [X ] ouσ 2 Sa racine carreacutee positive est appeleacutee eacutecart type et noteacutee σ Lerapport de lrsquoeacutecart type agrave la moyenne est appeleacute coefficient devariation et noteacute CV [X ] ou C x

Les notions preacuteceacutedentes sont deacutefinies pour des fonctions matheacute-matiques appeleacutees variables aleacuteatoires Dans la pratique quand onanalyse un ensemble de donneacutees on ne connaicirct geacuteneacuteralement pasles lois de probabiliteacute des proprieacuteteacutes eacutetudieacutees On raisonne alors surdes valeurs estimeacutees des paramegravetres statistiques (estimeacutees drsquoapregraveslrsquoensemble des donneacutees dont on dispose) Diffeacuterents ensembles dedonneacutees (diffeacuterents laquo eacutechantillons raquo dans le vocabulaire des statis-tiques) conduisent agrave des estimations diffeacuterentes de ces paramegravetressi bien que ces paramegravetres estimeacutes peuvent eux-mecircmes ecirctre traiteacutes

comme des variables aleacuteatoires

22 Relations entre variables aleacuteatoiresReacutegression lineacuteaire

Pour analyser simultaneacutement les valeurs de plusieurs proprieacuteteacutesdrsquoun mecircme sol on fait en geacuteneacuteral lrsquohypothegravese que les relationschercheacutees sont lineacuteaires Cette hypothegravese nrsquoexclut pas lrsquoexistence derelations de type non lineacuteaire entre les proprieacuteteacutes du sol lesvariables aleacuteatoires lieacutees par des relations lineacuteaires peuvent ecirctre desfonctions non lineacuteaires des proprieacuteteacutes du sol (logarithmes fonctionspuissances exponentielles etc) ce qui donne une grande souplesseagrave ce type drsquoanalyse lineacuteaire

Pour deacutecrire la simultaneacuteiteacute des variations de deux variables aleacutea-toires X et Y on utilise une fonction voisine de la variance appeleacuteecovariance noteacutee Cov [X Y ] ou σ XY et deacutefinie comme suit

ougrave g (x y ) est la densiteacute de probabiliteacute de (X Y ) La variance de X est eacutegale agrave Cov [X X ]

Le coefficient de correacutelation lineacuteaire ρ XY repreacutesente sous formeadimensionnelle cette mecircme variabiliteacute

en notant σ X et σ Y respectivement les eacutecarts types de X et Y Dans le cas de deux variables aleacuteatoires X et Y la proceacutedure de

recherche de la meilleure relation lineacuteaire entre ces variablescommence par le choix de la variable explicative qui sera noteacuteeX et de la variable expliqueacutee qui sera noteacutee Y

Y = aX + b

Ce choix preacuteliminaire ineacutevitable introduit une dissymeacutetrie entreX et Y et lrsquoon nrsquoobtient pas le mecircme reacutesultat en eacutecrivant Y = aX + b et X = cY + d bien que le coefficient de correacutelation soit le mecircme dansles deux cas Cette diffeacuterence vient de la proceacutedure utiliseacutee pourestimer les valeurs des coefficients a et b (respectivement c et d )

Si lrsquoon dispose drsquoun ensemble (eacutechantillon) de n couples de valeurs(x i y i )i = 1 n de X et Y pour deacuteterminer la relation entre ces deuxvariables on recherche ensuite les valeurs estimeacutees dea et b noteacutees

ici qui minimisent lrsquoeacutecart quadratique moyen entre les y i

et les expressions calculeacutees [meacutethode des moindrescarreacutes] crsquoest-agrave-dire

Tous calculs faits on obtient

Ces expressions peuvent srsquoeacutecrire sous la forme matriciellesuivante

avec

qui se geacuteneacuteralise facilement au cas de (k + 1) variables (Y X 1 X n )parmi lesquelles lrsquoune sera la variable expliqueacutee Y et les k autresles variables explicatives X j

mr infin ndash

+ infin

x

r

g x

( )

d

x

=

micro r infin ndash

+ infin

x m

ndash

( )

r

g x

( )

d

x

=

Cov X Y [ ] σ XY E X E X [ ] ndash ( ) Y E Y [ ] ndash ( ) = =

infin ndash

+ infin infin ndash

+ infin

x m

x

ndash

( )

y m

y

ndash

( )

g x

y

( )

d

x

d

y

=

ρ XY

σ XY

σ X σ Y -----------------=

a et b

a x i b +( )

δ 2 y i a x i b +( ) ndash [ ]2

i 1=

n

sum=

b

x i y i nmx ndash my i 1=

n

sum

x i 2

nmx 2

ndash

i 1=

n

sum

--------------------------------------------------

σ XY

σ x 2

------------= =

a my b mx ndash =

α [ ]a

b

1

Σx i 2

nmx 2

ndash

-------------------------------= =

1 mx

mx Σx i 2

( ) n

Σx i y i nmy

X [ ]t

X [ ]( )1 ndash

X [ ]t

Y [ ]=

Y [ ]

y 1hellip

y n

= X [ ]

x 1 1

hellip hellip

x n 1

= X [ ]t x 1 hellip x n

1 hellip 1=

X

[ ]

t

X

[ ]Σ

x

i

2

Σ

x

i

Σ

x

i

n

=

X

[ ]

t

X

[ ]( )

1

ndash

1

n Σ x i 2

n Σ x i n ( ) 2

ndash [ ]

---------------------------------------------------------

n

Σ

x

i

Σ x i Σx i 2

=

dprimeougrave

Y a 0 a j X j j 1=

k

sum+=





En posant

on obtient toujours par la meacutethode des moindres carreacutes la mecircmeeacutequation matricielle que preacuteceacutedemment

[α ] = (t [X ][X ])ndash1 t [X ][Y ]

avec t [X ] = matrice transposeacutee de [X ]

Le coefficient de correacutelation multiple qui a pour expression

avec [V XX ] = [Cov (X i X j )] =t [X i ndash E (X i )][X j ndash E (X j )] n

[V XY ] = [Cov (X j Y )] = t [X j ndash E (X j )][Y ndash E (Y )] n

σ Y = eacutecart type de Y

traduit lrsquoeacutecart relatif moyen entre les y i et les de

lrsquoensemble des donneacutees (y i x 1i x ki ) disponibles

Le coefficient de correacutelation peut varier entre ndash 1 et + 1 Lesvaleurs proches de zeacutero indiquent une forte dispersion des valeursde Y par rapport agrave la relation lineacuteaire estimeacutee donc une mauvaiserepreacutesentativiteacute de lrsquoeacutequation

Neacuteanmoins cela nrsquoexclut pas lrsquoexistence drsquoune meilleure relationnon lineacuteaire entre les variables [On cite souvent lrsquoexemple de points(x i y i ) reacutepartis sur un cercle et dont le coefficient de correacutelation (parrapport agrave une relation lineacuteaire) est nul] Il est pour cette raisontoujours recommandeacute de repreacutesenter dans la mesure du possibleles donneacutees agrave analyser

Dans le cas de deux variables X et Y le coefficient de correacutelationa comme indiqueacute preacuteceacutedemment pour expression

Une fois eacutetablie la relation entre la variable expliqueacutee Y et lesvariables explicatives X j on peut

mdash deacuteterminer lrsquoerreur moyenne sur lrsquoeacutequation obtenue caracteacute-

riseacutee par la variance de la reacutegression

mdash tester la repreacutesentativiteacute des valeurs estimeacutees des coefficients pour deacutecider srsquoils sont significativement diffeacuterents de zeacutero

Pour ce type drsquoanalyse le lecteur pourra se reporter agrave lrsquoun desouvrages citeacutes en reacutefeacuterences bibliographiques

mdash estimer la valeur de Y correspondant agrave une valeur deacutetermineacuteex 0 de X ainsi que la variance correspondante Ces deux valeurssont donneacutees par les formules suivantes

On observe sur la figure 1 lrsquoeffet du second terme de lrsquoexpressionde la variance lrsquoincertitude (lrsquoeacutecart type) sur la valeur estimeacutee deY (x 0) est minimale lorsque x 0 est eacutegal agrave la valeur moyenne mx desx i de lrsquoensemble des donneacutees ayant servi agrave estimer les paramegravetres

de la reacutegression lineacuteaire Elle augmente progressivement

selon une loi parabolique lorsque x 0 srsquoeacuteloigne de cette valeurmoyenne m x Ce reacutesultat est important pour les applicationspratiques ougrave lrsquoon ne peut donc estimer avec une eacutegale fiabiliteacute lesvaleurs de Y correspondant aux diffeacuterentes valeurs possibles de X

23 Analyse factorielle

En pratique on srsquointeacuteresse souvent aux relations qui peuventexister agrave lrsquointeacuterieur drsquoun groupe de m variables et lrsquoutilisation destechniques de reacutegression lineacuteaire conduit agrave reacutepeacuteter lrsquoanalyse deacutecriteau paragraphe preacuteceacutedent en donnant tour agrave tour agrave chacune desvariables le rocircle de variable expliqueacutee et en eacutetudiant lrsquoensemble desrelations qui la lient aux autres prises isoleacutement puis par deux partrois etc Pour limiter le nombre des opeacuterations neacutecessaires diffeacute-rentes proceacutedures ont eacuteteacute deacuteveloppeacutees Par exemple la meacutethode dereacutegression laquo pas agrave pas raquo ne teste qursquoune partie des combinaisonspossibles des variables en recherchant la variable X j la mieuxcorreacuteleacutee avec Y soit X a puis la variable qui maximise le coefficientde correacutelation multiple de Y avec X a et une seconde variable X j etcMais cette meacutethode ne garantit pas que lrsquoon nrsquooublie pas unecombinaison eacuteventuellement plus favorable mais dont aucune

variable nrsquoest la plus correacuteleacutee avec Y Lrsquoanalyse factorielle qui recherche les laquo facteurs raquo (combinaisonslineacuteaires des variables) repreacutesentant le mieux les variations desdonneacutees analyseacutees constitue une alternative efficace aux meacutethodespreacuteceacutedentes Cette meacutethode drsquoanalyse a eacuteteacute deacutecrite en [4] [5] Sonprincipe est de construire un ensemble de nouvelles variables indeacute-pendantes en proceacutedant pas agrave pas et en retenant agrave chaque eacutetapeparmi les facteurs possibles celui qui fait diminuer le plus la variancereacutesiduelle Les applications de lrsquoanalyse factorielle en geacuteotechniquesont encore assez rares et ce thegraveme ne sera pas deacuteveloppeacute dans lepreacutesent article mais lrsquoanalyse factorielle offre des possibiliteacutes inteacute-ressantes pour guider les eacutetudes sur le comportement des sols etdes roches

24 Variabiliteacute spatiale

Il est bien eacutetabli que les couches de sols naturels sont rarementhomogegravenes et que leurs proprieacuteteacutes physiques et meacutecaniquesfluctuent avec des amplitudes variables selon les proprieacuteteacutesconsideacutereacutees la nature et lrsquoorigine des sols Le coefficient de variationdonne une mesure utile de cette variabiliteacute Ainsi la teneur en eaua souvent un coefficient de variation de lrsquoordre de 20 le poids volu-mique de 5 les paramegravetres de reacutesistance au cisaillement de30 avec des valeurs plus fortes pour la coheacutesion non draineacutee(souvent 50 ) [6] Dans certains sols les variations sont tregraves rapideset lrsquoon peut consideacuterer par exemple qursquoagrave 50 cm de distance les pro-prieacuteteacutes du sol nrsquoont pas de lien Dans drsquoautres cas les valeurs drsquounemecircme proprieacuteteacute restent voisines sur quelques megravetres voire quel-ques dizaines de megravetres

Y [ ]

y 1hellip

y i hellip

y n

= X [ ]

x 11 x j 1 x k 1 1

x 1i x ji x ki 1

x 1n x jn x kn 1

= α [ ]

a 1hellip

a j hellip

a k

hellip

a 0

=

ρ V XY [ ]t

V XX [ ] 1 ndash V XY [ ]σ Y =

a 0

a j

x j sum+( )

Y a 0

a j

X j

j 1=

k

sum+=

ρ Cov X Y [ ]

σ X σ Y ------------------------------ b

σ

X σ Y

--------= =

σ ε 2

σ ε 2 Var Y a X b +( ) ndash [ ]

1n 2 ndash

-------------- y i a x i b +( ) ndash [ ]2

i 1=

n

sum= =

a et b

σ E Y x 0( )[ ]2 σ ε

2

n ---------1 x 0 mx ndash ( )2

σ X 2

------------------------------+ =

E Y x 0( )[ ] a b x 0+=

a et b




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C 219

minus 5

Ces variations spatiales des proprieacuteteacutes des sols exercent uneinfluence sur les reacutesultats des eacutetudes de correacutelations Cette influencese traduit par

mdash la plus faible correacutelation des proprieacuteteacutes mesureacutees en des pointseacuteloigneacutes qursquoen des points voisins (beaucoup de correacutelations sontmalheureusement eacutetablies avec des donneacutees provenant desondages ou essais assez distants les uns des autres de telle sorteqursquoelles incluent non seulement la correacutelation reacuteelle des paramegravetresen un mecircme point mais aussi une certaine partie de leur variabiliteacutespatiale La seule solution pour eacuteviter ce pheacutenomegravene est de faire descampagnes drsquoessais speacuteciales comportant des essais ou sondagestregraves voisins)

mdash la diminution de la variabiliteacute des paramegravetres du sol lorsquele volume du sol concerneacute par lrsquoessai augmente Ce pheacutenomegravene peutinfluencer les correacutelations eacutetablies par exemple entre des proprieacuteteacutesmesureacutees sur de tregraves petits volumes de sol (teneur en eau coefficient

de permeacuteabiliteacute drsquoeacuteprouvettes de laboratoire compressibiliteacute oureacutesistance au cisaillement mesureacutee en laboratoire etc) et des pro-prieacuteteacutes mesureacutees sur de plus grands volumes de sols (pression limiteou module pressiomeacutetrique permeacuteabiliteacutes mesureacutees en placeessais de plaque etc)

3 Exemples de correacutelations

De tregraves nombreuses correacutelations ont eacuteteacute publieacutees pour lesproprieacuteteacutes des sols Beaucoup drsquoentre elles nrsquoexistent que sous laforme drsquoune relation entre paramegravetres sans accegraves possible auxdonneacutees eacutetudieacutees ni mecircme drsquoindication du coefficient de correacutelationcorrespondant et il convient drsquoecirctre prudent quand on les utiliseNous nous limiterons ici agrave quelques exemples de correacutelations entre

les paramegravetres des sols deacutetermineacutes en place et en laboratoire pourlesquels les donneacutees expeacuterimentales seront preacutesenteacutees en mecircmetemps que les fonctions de reacutegression entre les paramegravetres

31 Relation entre la compressibiliteacuteet la teneur en eau des tourbes

La dureacutee importante des essais œdomeacutetriques conduit agrave utiliserchaque fois que crsquoest possible des correacutelations avec des paramegravetres

de deacutetermination plus rapide comme la teneur en eau pourcompleacuteter la caracteacuterisation des sols compressibles sur les sites deprojets de grande ampleur Il existe pour cette raison denombreuses correacutelations entre ces paramegravetres Lrsquoexemple preacutesenteacutesur la figure 2

concerne diffeacuterentes tourbes de Normandie [9] Lesfigures 2

a

et b

montrent les relations observeacutees sur deux sites rela-tions assez marqueacutees et pratiquement lineacuteaires mais nettement dif-feacuterencieacutees drsquoun site agrave lrsquoautre Les figures 2

c

et d

rassemblent tousles points disponibles sur les sites de tourbes de la reacutegion onobserve que les relations lineacuteaires preacutevalant sur chaque site dispa-raissent au profit drsquoun nuage de points dont la meilleure approxi-mation nrsquoest pas lineacuteaire (figure 2

c

) mais exponentielle (figure 2

d

)avec une correacutelation nettement moins forte En pratique lrsquoutilisationde correacutelations est donc tregraves recommandable au niveau drsquoun sitemais lrsquoest moins si lrsquoon passe drsquoun site agrave un autre

32 Relation entre la permeacuteabiliteacuteet lrsquoindice des vides des argiles

Il est geacuteneacuteralement admis que le coefficient de permeacuteabiliteacute k

des argiles est lieacute agrave lrsquoindice des vides e

par une relation de la forme

∆

e

= C

k

∆

(lg

k

)

Le coefficient C

k

de cette relation est lui-mecircme lieacute agrave lrsquoindice desvides initial du sol e

0

comme on le voit sur les figures 3

a

b

et c

On observe dans ce cas que les diffeacuterences entre les droites dereacutegression lineacuteaire sont peu importantes avec des coefficients decorreacutelation eacuteleveacutes dans chaque cas Une telle correacutelation peut doncagrave la diffeacuterence des preacuteceacutedentes ecirctre utiliseacutee sur des sites autres queceux ougrave elle a eacuteteacute eacutetablie

33 Relation entre la limite de liquiditeacuteet lrsquoindice de compression des vases

La figure 4

preacutesente les droites de reacutegression obtenues parVidalie [10] entre la limite de liquiditeacute w

L

et lrsquoindice de compression

C

c

de sols fins organiques (vases) drsquoorigines varieacutees La droitedrsquoeacutequation C

c

= 0009 (

w

L

ndash 10) est celle donneacutee par Terzaghi pourrepreacutesenter le comportement moyen des argiles Cette fois aussile coefficient de correacutelation est eacuteleveacute et la relation obtenue peut ecirctreconsideacutereacutee comme assez fiable

34 Relation entre la pression limitepressiomeacutetrique et la reacutesistance

de cocircne au peacuteneacutetromegravetre statique

Les figures 5

et 6

montrent les relations existant entre la pressionlimite nette pressiomeacutetrique et la reacutesistance de cocircne deacuteter-mineacutee au peacuteneacutetromegravetre statique q

c

pour deux ensembles dedonneacutees publieacutes par Cassan [3] Pour les sables de Dunkerque(figure 5

) la relation entre les deux paramegravetres bien que diffeacuterentesuivant le sens dans lequel on la recherche est associeacutee agrave un coef-ficient de correacutelation assez eacuteleveacute Pour les argiles (figure 6

) deprovenances diverses les points sont beaucoup plus disperseacutes dansle graphique et la qualiteacute de la correacutelation est plus faible

Figure 1 ndash Estimation de la valeur la plus probable de y

pour une valeur donneacutee de x

sur la base de lrsquoanalyse de reacutegression

de X

et Y

p

p 0 ndash ( )




Toute reproduction sans autorisation du Centre franccedilais drsquoexploitation du droit de copie est strictement interdite

C 219

minus

6

copy Techniques de lrsquoIngeacutenieur traiteacute Construction

Figure 2 ndash Relations entre la teneur en eauw et le coefficient de compressibiliteacute C c (1 + e 0 ) pour les tourbes de Normandie [9]





C 219

minus 7

Figure 3 ndash Relations entre le taux de variation de la permeacuteabiliteacuteC

k

et lrsquoindice des vides initial e

0

des argiles du Canada [8]

Figure 4 ndash Relations entre la limite de liquiditeacutew

L

et lrsquoindice de compression C

c

[10]

Figure 5 ndash Relations entre la pression limite nette pressiomeacutetrique

et la reacutesistance de cocircne statique q c

pour les sables de Dunkerque [3]

p p 0 ndash





35 Relation entre les reacutesistancesde cocircne statique et dynamique

Cassan [3] a publieacute des reacutesultats drsquoessais comparatifs sur les reacutesis-tances de pointe deacutetermineacutees au peacuteneacutetromegravetre statique (q c ) et aupeacuteneacutetromegravetre dynamique (q d ) dans des sables argileux agraveChacirclon-sur-Saocircne au-dessus du niveau de la nappe Les droites dereacutegression obtenues sur ces donneacutees (figure 7a ) correspondent agraveune forte valeur du coefficient de correacutelation sur ce site

Toutefois les valeurs mesureacutees au-dessous du toit de la nappeagrave des profondeurs ougrave le sol est satureacute (figure 7b ) correspondentagrave une relation diffeacuterente entre les deux paramegravetres ce qui illustreles limites du domaine de validiteacute des correacutelations dans ce cas


et la reacutesistance de cocircne statique q c pour des argiles

de provenances diverses [3]p p 0 ndash

Figure 7 ndash Relation entre les reacutesistances de cocircne statique q c et dynamique q d pour des sables argileux [3]





4 Domaines de validiteacutedes correacutelations

Les correacutelations que lrsquoon peut eacutetablir entre les paramegravetres phy-siques et meacutecaniques des sols sont plus ou moins geacuteneacuterales suivantles paramegravetres concerneacutes Habituellement la validiteacute drsquoune correacute-lation est limiteacutee agrave la nature du sol eacutetudieacute les proprieacuteteacutes des sablesdes tourbes ou des argiles nrsquoobeacuteissent pas aux mecircmes lois ellessont drsquoailleurs souvent deacutecrites par des paramegravetres speacutecifiques etil nrsquoest pas eacutetonnant que les correacutelations eacutetablies pour un type desol ne soient pas valables pour les mecircmes proprieacuteteacutes drsquoun autre typede sol Les figures 5 et 6 illustrent ce fait dans le cas des paramegravetresmesureacutes au pressiomegravetre et au peacuteneacutetromegravetre statique

Certaines correacutelations eacutetablies sur un site et parfaites pour ce site(par exemple les correacutelations des figures 2a etb ) peuvent aussi ecirctretotalement inadapteacutees sur un autre site mecircme constitueacute drsquoun solde mecircme nature Cette divergence traduit habituellement lrsquoinfluencedrsquoautres paramegravetres que ceux qui sont analyseacutes par exemple

lrsquoinfluence de lrsquoeacutetat du sol en plus de sa nature Si la relation obtenuepar reacutegression lineacuteaire entre deux paramegravetres deacutepend drsquoautres fac-teurs elle peut varier non seulement drsquoun site agrave lrsquoautre mais aussiagrave lrsquointeacuterieur drsquoun mecircme site Les figures 8a b et c illustrent une tellevariation dans le cas du site expeacuterimental de Cubzac-les-Ponts ougraveles correacutelations ont eacuteteacute eacutetudieacutees dans plusieurs sous-ensembles du

site noteacutes laquo remblais A agrave C raquo et laquo hors remblai HR raquo sur les figuresSi un tel pheacutenomegravene est observeacute sur le site drsquoun grand projet il estindispensable de poursuivre lrsquoanalyse geacuteotechnique du site afindrsquoeacuteviter des erreurs drsquoanalyse statistique des donneacutees

Sous reacuteserve drsquoune certaine prudence quant agrave la geacuteneacuteralisationdes correacutelations eacutetablies sur un site au reste du site ou agrave drsquoautressites lrsquoutilisation de correacutelations constitue une technique tregraves utilepour le progregraves des eacutetudes geacuteotechniques de terrain et son usagepeut ecirctre recommandeacute tant pour compleacuteter des donneacutees que pourcontrocircler la vraisemblance des reacutesultats des essais reacutealiseacutes en placecomme en laboratoire les donneacutees conformes aux correacutelations tantgeacuteneacuterales qursquoeacutetablies sur le site sont en effet plus plausibles quecelles qui en sont trop eacuteloigneacutees et pour lesquelles des veacuterificationscompleacutementaires sont toujours souhaitables

Figure 8 ndash Limitations des correacutelations variabiliteacute agrave lrsquointeacuterieur drsquoun site

[donneacutees du site expeacuterimental des Laboratoires des Ponts et Chausseacutees agrave Cubzac-les-Ponts (drsquoapregraves [7])]





Reacutefeacuterences bibliographiques

[1] BAGHERY (S) et MAGNAN (J-P) ndash Analyse probabiliste de la stabiliteacute et des tassements des remblais du site expeacuterimental de Cubzac-les-Ponts Laboratoire central desPonts de Chausseacutees Paris Rapport derecherche LPC no 122 69 p (1983)

[2] BENJAMIN (JR) et CORNELL (CA) ndashProbability statistics and decision for civil engineers Mac Graw-Hill New York 684 p(1970)

[3] CASSAN (M) ndashLes essais in situ en meacutecanique des sols 1 - Reacutealisation et interpreacutetation ChapXII Les correacutelations entre essais in situEyrolles Paris 2e eacutedition p 509-573 (1988)

[4] FAVRE (JL) ndash Milieu continu et discontinuMesure statistique indirecte des paramegravetres

rheacuteologiques et approche probabiliste de la seacutecuriteacute Thegravese de doctorat egraves sciencesUniversiteacute Pierre et Marie Curie (Paris VI)(1980)

[5] LEBART (L) MORINEAU (A) et FEacuteNELON(JP) ndash Traitement des donneacutees statistiquesDunod (1979)

[6] MAGNAN (J-P) ndashLes meacutethodes statistiques et probabilistes en meacutecanique des sols Pressesde lrsquoEacutecole Nationale des Ponts et ChausseacuteesParis 203 p (1982)

[7] MAGNAN (J-P) et BAGHERY (S) ndashStatistiques et probabiliteacutes en meacutecanique des sols Eacutetat des connaissances Laboratoirecentral des Ponts et Chausseacutees Paris Rapportde recherche LPC no 109 187 p (1982)

[8] TAVENAS (F) JEAN (P) LEBLOND (P) etLEROUEIL (S) ndash The permeability of natural clays Part II Permeability characteristicsRevue Canadienne de Geacuteotechnique CanadianGeotechnical Journal vol 20 no 4 p 645-660(1983)

[9] VAUTRAIN (J) ndash Reacuteflexions sur la compressibiliteacute des tourbes en NormandieBulletin de liaison des Laboratoires des Pontset Chausseacutees Paris no 84 p 101-111 (1976)

[10] VIDALIE (JF) ndash Relations entre les proprieacuteteacutes physico-chimiques et les caracteacuteristiques meacutecaniques des sols compressibles Labo-ratoire central des Ponts et Chausseacutees ParisRapport de recherche LPC no 65 90 p (1977)





1 Relations et correacutelationsdans les sols geacuteneacuteraliteacutes

11 Origine des relations et correacutelations

dans les sols

Srsquoil est difficile voire impossible de donner une justification theacuteo-rique quantitative de lrsquoexistence de relations entre les proprieacuteteacutes drsquounmassif de sol naturel il est facile drsquoadmettre que les diffeacuterents para-megravetres drsquoun sol donneacute doivent avoir des relations la deacuteformabiliteacutecomme la reacutesistance au cisaillement ou la permeacuteabiliteacute deacutependentagrave lrsquoeacutevidence de la forme et de la nature des particules de la densiteacutede leur empilement de la quantiteacute drsquoeau preacutesente dans les poresDe plus agrave lrsquointeacuterieur drsquoune mecircme cateacutegorie de paramegravetres parexemple les paramegravetres de reacutesistance il existe agrave lrsquoeacutevidence des rela-tions entre les paramegravetres mesureacutes dans les diffeacuterents types drsquoessaisen place ou en laboratoire mecircme si lrsquoon ne peut pas les exprimerde faccedilon explicite Et si les paramegravetres de reacutesistance deacutependent desmecircmes proprieacuteteacutes physiques que les paramegravetres de deacuteformabiliteacuteil doit eacutegalement exister des relations entre ces deux cateacutegories de

paramegravetres Cette reacuteflexion purement qualitative est confirmeacutee parlrsquoexpeacuterience il existe effectivement dans chaque deacutepocirct de sols desrelations entre les paramegravetres geacuteotechniques ainsi que des relationsplus geacuteneacuterales valables pour un type de sol ou mecircme pour plusieurstypes de sols

Si lrsquoon poursuit lrsquoanalyse des relations qui peuvent exister entreles proprieacuteteacutes geacuteotechniques drsquoun sol on est conduit agrave distinguertrois types de relations

mdash les relations matheacutematiques exactes qui existent parexemple entre les paramegravetres deacutecrivant lrsquoeacutetat du sol On peut illustrerce type de relations par toutes les formules matheacutematiques reliant

bull lrsquoindice des vides e et la porositeacute n

e = n (1 ndash n )

bull la teneur en eau w le poids volumique du sol γ et le poidsvolumique du sol sec γ d

γ = γ d (1 + w )

bull la teneur en eau w lrsquoindice des vides e le degreacute de saturationS r et les poids volumiques de lrsquoeau γ w et des grains γ s

w = e γ w S r γ s

bull les poids volumiques γ γ d γ s et γ w drsquoun sol satureacute

γ = (γ s γ w + γ s γ d ndash γ d γ w ) γ s

bull etc mdash les lois drsquoeacutevolution en fonction de la profondeur dues

agrave lrsquoeffet de la pesanteur et dont lrsquoorigine est lieacutee agrave lrsquoaugmentationdes contraintes quand on srsquoenfonce dans le sol Par exemple dansles deacutepocircts homogegravenes de sols fins dont lrsquoeacutetat srsquoest stabiliseacute lescontraintes effectives pressions de preacuteconsolidation modules etreacutesistances augmentent avec la profondeur

mdash les relations empiriques (ou correacutelations) entre proprieacuteteacutesdrsquoun mecircme volume eacuteleacutementaire de sol par exemple la porositeacute etle coefficient de permeacuteabiliteacute lrsquoindice de densiteacute drsquoun sable et sonangle de frottement interne la pression de preacuteconsolidation et lacoheacutesion non draineacutee drsquoune argile etc Ces relations qursquoil nrsquoestpossible de caracteacuteriser que de faccedilon statistique srsquoexpliquent parla raison deacutejagrave citeacutee que toutes les proprieacuteteacutes drsquoun mecircme empilementde particules eacutevoluent de faccedilon coordonneacutee et traduisent lrsquoexistencedrsquoune loi de comportement geacuteneacuterale pour chaque grande classe desol

12 Domaines drsquoutilisationdes correacutelations

Dans la pratique de la meacutecanique des sols les correacutelations entreparamegravetres sont utiliseacutees comme moyen de controcircle des reacutesultats

des essais en place et en laboratoire et comme moyen de fabricationde valeurs compleacutementaires de certains paramegravetres en fonction desautres

Par exemple sur un site donneacute on peut analyser la relation entredeux paramegravetres mesureacutes sur une mecircme carotte de sol (indice desvides e et indice de compression C c etc) ou mesureacutes en place dansle mecircme essai (module pressiomeacutetrique E M et pression limite pres-siomeacutetrique etc) et deacutetecter les variations de la nature ou delrsquohistoire des sols drsquoapregraves les modifications de leurs relations Dansun tel cas les correacutelations servent drsquooutil de controcircle de lrsquohomo-geacuteneacuteiteacute des sols (ou de la qualiteacute des essais si lrsquoon sait de faccediloncertaine que le sol est le mecircme que celui qui a servi agrave eacutetablir lacorreacutelation)

On utilise aussi les correacutelations pour estimer certaines proprieacuteteacutesdes sols (souvent des proprieacuteteacutes meacutecaniques) en fonction des carac-teacuteristiques qui ont eacuteteacute mesureacutees (souvent des proprieacuteteacutes physiques

comme la densiteacute ou la teneur en eau) On peut ainsi lors des eacutetudespreacuteliminaires et dans certaines situations de projets disposer devaleurs des paramegravetres neacutecessaires au dimensionnement desouvrages sans les avoir deacutetermineacutees par des essais

Les conditions drsquoutilisation de correacutelations dans les eacutetudesgeacuteotechniques deacutependent de la fiabiliteacute des correacutelations utiliseacuteesCertains paramegravetres sont lieacutes agrave lrsquointeacuterieur drsquoune couche de sol drsquounsite deacutetermineacute par des relations proches drsquoune relation matheacute-matique exacte Par contre si lrsquoon analyse simultaneacutement desdonneacutees provenant de deux sites pour des sols de mecircme natureon trouve en geacuteneacuteral que les valeurs des paramegravetres sont plus dis-perseacutees et cette dispersion augmente quand le nombre de sitessrsquoaccroicirct et quand on regroupe des donneacutees relatives agrave diffeacuterentstypes de sols Les erreurs expeacuterimentales lors de la deacuteterminationdes paramegravetres qui servent agrave eacutetablir les correacutelations exercenteacutegalement une influence deacutefavorable sur la qualiteacute des correacutelationsobtenues Il est pour cette raison indispensable de connaicirctrelrsquoorigine des correacutelations que lrsquoon envisage drsquoutiliser dans le cadredrsquoune eacutetude geacuteotechnique et drsquoecirctre conscient de la variabiliteacute pos-sible des paramegravetres autour de leur relation moyenne afficheacuteenotamment quand les correacutelations ont eacuteteacute eacutetablies entre des fonc-tions logarithmiques des paramegravetres

2 Principales techniquesdrsquoeacutetude des correacutelations

Lrsquoeacutetude des relations existant entre les proprieacuteteacutes des sols srsquoeffec-tue au moyen des outils classiques de la statistique pour lrsquoanalysedes donneacutees Les meacutethodes classiques de lrsquoanalyse statistique onteacuteteacute exposeacutees dans de nombreux ouvrages [2] [5] [6] [7] auxquelsle lecteur pourra se reporter pour une description deacutetailleacutee de cesmeacutethodes Dans le preacutesent paragraphe seront rappeleacutes seulementles deacutefinitions essentielles et les principes des meacutethodes couram-ment utiliseacutees pour les eacutetudes de correacutelations en meacutecanique des sols

21 Deacutefinitions et caracteacuteristiquesdes variables aleacuteatoires

Nota on se reportera aux articles Probabiliteacutes [A 165] et Statistiques [A 166] du traiteacuteSciences fondamentales

Pour lrsquoapplication des techniques de lrsquoanalyse statistique chaqueparamegravetre geacuteotechnique du sol doit ecirctre consideacutereacute comme unevariable aleacuteatoire crsquoest-agrave-dire comme une grandeur non deacutetermineacutee

p




















Y = aX + b







avec


mr infin ndash

+ infin

x

r

g x

( )

d

x

=

micro r infin ndash

+ infin

x m

ndash

( )

r

g x

( )

d

x

=


infin ndash

+ infin infin ndash

+ infin

x m

x

ndash

( )

y m

y

ndash

( )

g x

y

( )

d

x

d

y

=

ρ XY

σ XY

σ X σ Y -----------------=

a et b

a x i b +( )

δ 2 y i a x i b +( ) ndash [ ]2

i 1=

n

sum=

b


n

sum

x i 2

nmx 2

ndash

i 1=

n

sum

--------------------------------------------------

σ XY

σ x 2

------------= =

a my b mx ndash =

α [ ]a

b

1

Σx i 2

nmx 2

ndash

-------------------------------= =

1 mx

mx Σx i 2

( ) n

Σx i y i nmy

X [ ]t

X [ ]( )1 ndash

X [ ]t

Y [ ]=

Y [ ]

y 1hellip

y n

= X [ ]

x 1 1

hellip hellip

x n 1


1 hellip 1=

X

[ ]

t

X

[ ]Σ

x

i

2

Σ

x

i

Σ

x

i

n

=

X

[ ]

t

X

[ ]( )

1

ndash

1

n Σ x i 2

n Σ x i n ( ) 2

ndash [ ]

---------------------------------------------------------

n

Σ

x

i

Σ x i Σx i 2

=

dprimeougrave

Y a 0 a j X j j 1=

k

sum+=





En posant


[α ] = (t [X ][X ])ndash1 t [X ][Y ]

























Y [ ]

y 1hellip

y i hellip

y n

= X [ ]

x 11 x j 1 x k 1 1

x 1i x ji x ki 1

x 1n x jn x kn 1

= α [ ]

a 1hellip

a j hellip

a k

hellip

a 0

=

ρ V XY [ ]t


a 0

a j

x j sum+( )

Y a 0

a j

X j

j 1=

k

sum+=

ρ Cov X Y [ ]

σ X σ Y ------------------------------ b

σ

X σ Y

--------= =

σ ε 2


1n 2 ndash

-------------- y i a x i b +( ) ndash [ ]2

i 1=

n

sum= =

a et b

σ E Y x 0( )[ ]2 σ ε

2

n ---------1 x 0 mx ndash ( )2

σ X 2

------------------------------+ =

E Y x 0( )[ ] a b x 0+=

a et b





C 219

minus 5












a

et b


c

et d


c


d






∆

e

= C

k

∆

(lg

k

)

Le coefficient C

k


0


a

b

et c



La figure 4


L


C

c


c

= 0009 (

w

L




Les figures 5

et 6


c







de X

et Y

p

p 0 ndash ( )





C 219

minus

6







C 219

minus 7


k


0



L


c

[10]




p p 0 ndash



























































Y = aX + b







avec


mr infin ndash

+ infin

x

r

g x

( )

d

x

=

micro r infin ndash

+ infin

x m

ndash

( )

r

g x

( )

d

x

=


infin ndash

+ infin infin ndash

+ infin

x m

x

ndash

( )

y m

y

ndash

( )

g x

y

( )

d

x

d

y

=

ρ XY

σ XY

σ X σ Y -----------------=

a et b

a x i b +( )

δ 2 y i a x i b +( ) ndash [ ]2

i 1=

n

sum=

b


n

sum

x i 2

nmx 2

ndash

i 1=

n

sum

--------------------------------------------------

σ XY

σ x 2

------------= =

a my b mx ndash =

α [ ]a

b

1

Σx i 2

nmx 2

ndash

-------------------------------= =

1 mx

mx Σx i 2

( ) n

Σx i y i nmy

X [ ]t

X [ ]( )1 ndash

X [ ]t

Y [ ]=

Y [ ]

y 1hellip

y n

= X [ ]

x 1 1

hellip hellip

x n 1


1 hellip 1=

X

[ ]

t

X

[ ]Σ

x

i

2

Σ

x

i

Σ

x

i

n

=

X

[ ]

t

X

[ ]( )

1

ndash

1

n Σ x i 2

n Σ x i n ( ) 2

ndash [ ]

---------------------------------------------------------

n

Σ

x

i

Σ x i Σx i 2

=

dprimeougrave

Y a 0 a j X j j 1=

k

sum+=





En posant


[α ] = (t [X ][X ])ndash1 t [X ][Y ]

























Y [ ]

y 1hellip

y i hellip

y n

= X [ ]

x 11 x j 1 x k 1 1

x 1i x ji x ki 1

x 1n x jn x kn 1

= α [ ]

a 1hellip

a j hellip

a k

hellip

a 0

=

ρ V XY [ ]t


a 0

a j

x j sum+( )

Y a 0

a j

X j

j 1=

k

sum+=

ρ Cov X Y [ ]

σ X σ Y ------------------------------ b

σ

X σ Y

--------= =

σ ε 2


1n 2 ndash

-------------- y i a x i b +( ) ndash [ ]2

i 1=

n

sum= =

a et b

σ E Y x 0( )[ ]2 σ ε

2

n ---------1 x 0 mx ndash ( )2

σ X 2

------------------------------+ =

E Y x 0( )[ ] a b x 0+=

a et b





C 219

minus 5












a

et b


c

et d


c


d






∆

e

= C

k

∆

(lg

k

)

Le coefficient C

k


0


a

b

et c



La figure 4


L


C

c


c

= 0009 (

w

L




Les figures 5

et 6


c







de X

et Y

p

p 0 ndash ( )





C 219

minus

6







C 219

minus 7


k


0



L


c

[10]




p p 0 ndash












































En posant


[α ] = (t [X ][X ])ndash1 t [X ][Y ]

























Y [ ]

y 1hellip

y i hellip

y n

= X [ ]

x 11 x j 1 x k 1 1

x 1i x ji x ki 1

x 1n x jn x kn 1

= α [ ]

a 1hellip

a j hellip

a k

hellip

a 0

=

ρ V XY [ ]t


a 0

a j

x j sum+( )

Y a 0

a j

X j

j 1=

k

sum+=

ρ Cov X Y [ ]

σ X σ Y ------------------------------ b

σ

X σ Y

--------= =

σ ε 2


1n 2 ndash

-------------- y i a x i b +( ) ndash [ ]2

i 1=

n

sum= =

a et b

σ E Y x 0( )[ ]2 σ ε

2

n ---------1 x 0 mx ndash ( )2

σ X 2

------------------------------+ =

E Y x 0( )[ ] a b x 0+=

a et b





C 219

minus 5












a

et b


c

et d


c


d






∆

e

= C

k

∆

(lg

k

)

Le coefficient C

k


0


a

b

et c



La figure 4


L


C

c


c

= 0009 (

w

L




Les figures 5

et 6


c







de X

et Y

p

p 0 ndash ( )





C 219

minus

6







C 219

minus 7


k


0



L


c

[10]




p p 0 ndash












































C 219

minus 5












a

et b


c

et d


c


d






∆

e

= C

k

∆

(lg

k

)

Le coefficient C

k


0


a

b

et c



La figure 4


L


C

c


c

= 0009 (

w

L




Les figures 5

et 6


c







de X

et Y

p

p 0 ndash ( )





C 219

minus

6







C 219

minus 7


k


0



L


c

[10]




p p 0 ndash












































C 219

minus

6







C 219

minus 7


k


0



L


c

[10]




p p 0 ndash












































C 219

minus 7


k


0



L


c

[10]




p p 0 ndash



























































































































Documents

Corrélations Entre Les Propriétés Du Sol