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Corrigé Exercice 1 : SYSTÈME DE DISTRIBUTION

D’UN MOTEUR 4 TEMPS.

Première chose à effectuer : LA FIGURE PLANE de changement de bases.

1/0 .z

Étude géométrique

Question 1 : Déterminer les trajectoires 1/0 2/0I IT et T .

Le mouvement de 1/0 est une rotation d’axe ( , )O z .

Par conséquent, la trajectoire du point 1/0IT est un arc de cercle d’axe ( , )O z , de centre O et de rayon [OI].

Le mouvement de 2/0 est une translation rectiligne de direction 0y .

Par conséquent, la trajectoire 2/0IT est un segment de droite porté par 0( , )I y .

Question 2 : Déterminer la trajectoire de I (point géométrique de contact) :

- dans 2 2 2 2( , , , )R A x y z : 2 0.cos .O I AI e x (NB : B2=B0 car 2/0 est un mouvement de translation)

La trajectoire du point I dans le repère R2 est le segment [QR] avec 2

( ;0)Q e et 2

( ;0)R e .

- dans 1 1 1 1( , , , )R O x y z : 1 1 0 1 1 1. . . .cos . .sin .O I OI e x R y e x R y R x

La trajectoire du point I dans le repère R1 est le cercle de centre 1

( ;0)C e et de rayon R.

- dans 0 0 0 0( , , , )R O x y z : 0 1 0 0 0 0. . .cos . .sin . .O I OI e x R y e x e y R y

La trajectoire du point I dans le repère R0 est le cercle de centre 0

(0; )D R et de rayon e.

1y

1x

z

0x

0y

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Étude cinématique graphique

Question 3 : Donner la désignation du vecteur vitesse de glissement de cet exercice. Avec quelle méthode graphique, pourrions-nous déterminer ce vecteur ?

2/1IV : Il se détermine graphiquement par la composition des vecteurs vitesse en I : 2/1 2/0 0/1I I IV V V

Étude cinématique analytique

Question 4 : Calculer ce vecteur vitesse de glissement selon les 2 méthodes du cours.

1

ère méthode :

2/1 /1 /2I I IV V V

1 0 01/1 0/1 0 0 0

11 1 1

( . . ) .. . . . . .I

d e x R y d ydO I dOIV R R y R z y R x

dt dt dt dt

02/2 0

22 2

( .cos . ). .sin .I

d e xdO I dAIV e x

dt dt dt

Donc 2/1 0 0. . . .sin .IV R x e x

2

ème méthode :

Ne jamais déterminer une vitesse de glissement par :

- la dérivation vectorielle 2/1 /1 " 2"I IV V I car on ne sait pas traduire " 2"I ,

- le relation du champ des vecteurs vitesses 2/1 ? 2/1 2/1?IV V I car on ne connaît pas la vitesse d'un autre

point de 2/1.

2/1 2/0 1/0I I IV V V

0 02/0 2/0 /0 /0 0

00 0

[ . ]" 2" .I A A A

dO A d ydOAV V V A V y

dt dt dt

1/0 1/0 1/0 0 1 0 1( . . ) . . . . .I OV V IO R y e x z R x e y

Donc 2/1 0 0 1. . . . .IV y R x e y

(ce qui paraît étonnant car la vitesse de glissement doit être dans le plan tangent, donc suivant 0x !!!!)

Mais si on remplace sine R (relation issue de la géométrie du mécanisme), on obtient :

cose

Et si on projette 1y dans la base 0 : 1 0 0cos . sin .y y x

2/1 0 0 1. . . . .IV y R x e y

2/1 0 0 0 0. .cos . . . . .(cos . sin . )IV e y R x e y x

2/1 0 0. . . .sin .IV R x e x

Question 5 : Préciser les composantes de roulement et de pivotement en I.

2/1 2/0 0/1 .z

La composante de pivotement en I est : 2/1 0Ip

La composante de roulement en I est : 2/1 .Ir z

De même, ne pas déterminer la vitesse de translation par

2/0 /0 " 2"I IV V I car là aussi on ne sait pas traduire " 2"I .

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Corrigé Exercice 2 : GUIDAGE LINAIRE DE SYSTÈMES MÉDICAUX.

Question 1 : Traduire les conditions de non glissement. En déduire quelques axes instantanés de rotation.

Il est dit que les billes ne glissent pas, donc les vitesses de glissement sont nulles :

2/0 2/0 2/1 2/1 3/1 3/1 3/0 0A B C D E F GV V V V V V V

Ainsi (AB), (CD) et (EF) sont les axes instantanés de rotation, respectifs de 2/0, de 2/1 et de 3/1.

NB: Par définition 2/0 a même direction que l’axe instantané de rotation de 2/0…

Question 2 : Déterminer 2/0CV en fonction de v, puis 3/0EV en fonction de v.

Déterminer 2/0CV en fonction de 20 , puis 3/0EV en fonction de 30 .

En déduire une relation entre 20 et v, puis une relation entre 30 et v.

2/0 2/1 1/0 1/0 .C C C CV V V V v x

3/0 3/1 1/0 1/0 .E E E EV V V V v x

2/02/0 2/0 2/0 2 2 2/0 2/0

( 2 3).2 3( ) . (?. . ?. . ) . .

2 2 2C A

RR RV V CA CO O A y y z y z y x

3/0 3/0 3/0 3 3 3/0 3/0 3/0( ) . (?. .sin . . ) . .(sin 1). .E GV V EG EO O G y y r z r z y r x

Ainsi 2/03/0

( 2 3)..(sin 1).

2

Rv r

Question 3 : En déduire les torseurs cinématiques des mouvements de S2/S0 et S3/S0 en fonction de v et des caractéristiques géométriques.

Donc 2/02.

.( 2 3)

v

R

et 3/0

.(sin 1)

v

r

2/0

2..

.( 2 3)

0A

vy

R

V 3/0

..(sin 1)

0G

vy

r

V

Question 4 : Préciser les composantes de roulement et de pivotement en G et B.

3/0 ..(sin 1)

vy

r

donc la composante de pivotement en G est : 3/0 0Gp

la composante de roulement en G est : 3/0 ..(sin 1)

G vr y

r

2/02.

..( 2 3)

vy

R

donc la composante de pivotement en B est : 2/02.

.cos60.( 2 3) .( 2 3)

B v vp

R R

la composante de roulement en B est : 2/02. . 3

.sin60.( 2 3) .( 2 3)

B v vr

R R

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Question 5 : Déterminer les vecteurs vitessess des centres des billes dans leur mouvement par rapport au

bâti S0 : 2 2/0OV et 3 3/0OV .

2/02 2/0 2/0 2 2/0 2/0

. 3.3 . 3( ?. . ) . . .

2 2 2 3O A

RR vV V O A y z y x x

3 3/0 3/0 3 3/0 3/0 3/0. . . . .sin 1

O Gv

V V O G r z y r x x

Question 6 : Déterminer pour que ces vecteurs vitesses soient identiques.

. 3

sin 12 3

v v

2 3sin 1

3

2sin

3 54,7

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Corrigé Exercice 3 : BANC DE TESTS DE PNEUMATIQUES.

Première chose à effectuer : LES FIGURES PLANES de changement de bases.

1y

1x

1z z w

x

y

v

2u x

2z

2y

2u x

v

1w z z

1/0 .z 3/0 .z 2/3 .u

Question 1 : Quelle condition le vecteur 2/1IV doit-il satisfaire pour assurer le maintien du contact entre

les solides 2 et 1 au point I.

Pour maintenir le contact entre 2 et 1 au point I, 2/1IV doit appartenir au plan tangent au contact, donc 2/1 0IV z

Question 2 : Déterminer 2/1HV .

2/1 2/3 3/1 0H H HV V V

car le mouvement de 2/3 est une rotation d’axe (HC) et le mouvement de 3/1 une rotation d’axe (OH).

Question 3 : Déterminer le vecteur vitesse de glissement au point I selon 2 méthodes différentes.

Pour calculer une vitesse de glissement, 2 possibilités :

2/1 /1 /2I I IV V V : décomposition, puis calcul de /1IV et /2IV par la dérivation vectorielle ;

2/1 2/3 3/0 0/1I I I IV V V V : composition des vitesses (car les mvts de 2/3, 3/0 et 1/0 sont définis), suivie de

la relation du champ des vecteurs vitesses des points appartenant à un solide.

1

ère méthode :

2/1 /1 /2I I IV V V

/1 3/1 3/0 0/1

1 1

( . ). .( ) .( . . ) ( ).I

dOI d d uV d u d u d z z u d d v

dt dt

/2 3/2

2 2

( . ). .( . ) .I

dCI d r zV r z r u z r v

dt dt

Donc 2/1 /1 /2 ( ).I I IV V V d d r v

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2ème

méthode :

2/1 2/3 3/0 0/1I I I IV V V V : 2/3 2/3 2/3I CV V IC

2/3 2/3 2/3I CV V IC

2/3 0 . .IV r z u

2/3 .IV r v

3/0 3/0 3/0I OV V IO

3/0 0 . .IV d u z

3/0 .IV d v

1/0 1/0 1/0I OV V IO

1/0 0 . .IV d u z

1/0 .IV d v

Donc 2/1 2/3 3/0 0/1 ( ).I I I IV V V V r d d v

Question 4 : En déduire la relation entre , , (vitesses de rotation des 3 actionneurs) et les

dimensions du système, afin que le pneumatique roule sans glisser.

2/1 0 ( ). 0IV d d r v d d r

Question 5 : En déduire dans ce cas, l’axe instantané de rotation de 2/1.

Les deux points I et H sont tels que : 2/1 0IV et 2/1 0HV .

Par conséquent, l’axe instantané de rotation du mouvement de 2 par rapport à 1 est la droite (IH).

NB: Par définition 2/1 a même direction que l’axe instantané de rotation ( ).

Question 6 : Préciser les composantes de roulement et de pivotement en I.

2/1 2/3 3/0 0/1 . ( ).u z

La composante de pivotement en I est : 2/1 ( ).Ip z

La composante de roulement en I est : 2/1 .Ir u

Corrigé Exercice 4 : VITESSE D’UN VÉHICULE.

Question 1 : Déterminer la relation entre /C Sv et /R C répondant aux hypothèses.

/ / / / / / / / /. . ( . ) . .C S I C S I C R I R S I C R A C R C R R C R Cv x V V V V V IA r y z r x

/ /.C S R Cv r Mouvement de translation

Roulement sans glissement