http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 1/10 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT– ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ´ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D’ADMISSION 2009 PHYSIQUE I — MP À ÀÀ À PROPOS DE HEINRICH OLBERS Corrigé de Mohamed Elabdallaoui Professeur agrégé CPGE Marrakech Maroc I. — La comète l3P/Olbers I.A. — Mouvements cométaires 1— ( ) , OM = 0 O r r dL dU F O F re e dt dt ℜ = Μ = ∧ ∧− = O L mOM v Cste = ∧ = donc L O t OM ∀ ⊥ et la trajectoire est plane. Plus précisément dans le plan ⊥à L O et passant par O. 2— on a r OM re = , r v re r e ϕ ϕ = + ɺ ɺ donc 2 L O z mr e ϕ = ɺ et 2 C rϕ = ɺ 2 2 2 1 1 2 2 E mr mr mU ϕ = + + ɺ ɺ ⇒ ( ) 2 2 2 1 1 2 2 C r U r r ε = + + ɺ 3— on a ( ) - mM Ep r r = ⊙ G. G. G. G. donc ( ) - M U r r = ⊙ G GG G et K M ⊙ = G = G = G = G 4— ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 C C K r U r r r r r ε = + + = + − ɺ ɺ ⇒ 2 2 2 1 1 2 2 eff C K r U r r ε ε = − − = − ɺ ( ) 2 2 1 2 eff C K U r r r = − on a ( ) 2 3 2 ' 0 eff C K U r r r = − + = pour 2 0 C r K = et 2 1 2 1 2 K U C = − http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 2/10 Si 2 2 1 0 2 K C ε − < < le mouvement vérifie min max r r r ≤ ≤ < ∞et min max r r ≠ 5— min max K r r ε = − + et 2 K a ε = − ( ) min min min min min max 2 2 . . L K C r v r r m m r r r | | = = = − | + \ ¹ (cf cours) min max min max 2 . r r C K r r = + C Kp = 6— la trajectoire est une ellipse a Demi grand axe p Paramètre de l’ellipse e Excentricité 7— min 0 , à t r r = = donc à 0 t > r ne peut qu’augmenter 0 r > ɺ . On a 2 2 2 2 2 C K r r r ε = − + ɺ et 2 C pK = donc 2 2 2 a rdr dt K a r C ra K = − − + Or 2 (1 ) p a e = − http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 3/10 ( ) 2 2 2 a rdr dt K a e r a = − − ⇒ ( ) min ( ) 2 2 2 r r a rdr K a e r a ϕ τ = − − ∫ 8— on a ( ) 1 cos r a e ξ = − et sin dr ae d ξ ξ = ( ) ( ) min ( ) 2 2 2 1 cos sin r r a rdr K a e r a a e ae a K ϕ τ ξ ξ = − − − = ∫ ( ) ( ) 2 2 2 1 cos d a e a e a ξ ξ − − − ( ) 0 0 1 cos a a e d K ξ ξ ξ ξ = − ∫ ∫ ( ) 3 sin a e K τ ξ ξ = − La troisième loi de Kepler 2 2 3 4 T a K π = ( ) sin 2 T e τ ξ ξ π = − 2 2 2 0 3 3 0 4 T T a K a π = = ⇒ ( ) 3 2 min 0 0 1 r T T a e | | = | | − \ ¹ AN 69, 2 T année = 9— La comète reviendra à la date 69, 2 T an = ( ) 1 cos r a e ξ = − ⇒ ( ) 1 min 1 1 arccos 1 r e e r ξ | | − = − | \ ¹ ⇒ 1 125, 7 2, 2rad ξ = ° = ( ) ( ) 1 min min 1 1 arccos 1 sin arccos 1 2 r e r e T e r r τ π | | | | | | | | − − = − − − | | | | | | \ ¹ \ ¹ \ ¹ \ ¹ 1 15, 9année τ = I.B, —La queue de la comète 10— du coté S1 force répulsive 11— 1 2 3 C C C → → http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 4/10 30 tan 400 ve va φ = = 4, 29 φ = ° II. — Le paradoxe d'Olbers II.A. — Équilibre thermique et rayonnement 12— .G gradP ρ = donne dP mP G dz kT = − 13— dU G dz = donne . . dP mP dU P dE dz kT dz kT dz = − = − après intégration 0 exp E P P kT | | = − | \ ¹ Or N PNa n V RT = = d’où 0 exp E n n kT | | = − | \ ¹ 14— 3 : . . v u J m s − 1 A s − 1 3 2 . . B J m s − − 1 3 2 . . C J m s − − 15— On a 1 1 10 exp E n n kT | | = − | \ ¹ et 2 2 20 exp E n n kT | | = − | \ ¹ or 1 2 20 10 0 lim lim T T n n n n n →∞ →∞ = = = = A l’équilibre 2 2 1 1 exp exp v v n Bu E E h n A Cu kT kT ν − | | = = − = − | + \ ¹ donc 1 exp v A h C u B kT B ν − = − ( ) A F B υ = et ( ) C H B υ = http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 5/10 II.B. - Loi de Ptanck 16— 1 C B = 3 3 8 A h B c π υ = 17— 3 2 0 0 2 1 exp 1 h j j d d h c kT υ π υ υ υ υ ∞ ∞ = = − ∫ ∫ on pose h x kT υ = donc [ ] 4 4 3 4 4 2 3 2 3 0 0 2 2 . exp 1 k T x k j j d dx I T c h x c h υ π π υ ∞ ∞ = = = − ∫ ∫ Ψ 4 = 4 2 3 2 k I c h π σ = 18— ( ) 1 3 0 1 3 0 3 0 0 1 3 0 0 e 1 e 1 e exp exp x x x x nx n x n n I x dx x dx x e dx x dx ∞ − ∞ − − − ∞ ∞ − − = ∞ ∞ − + = = − = − = = ∫ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ On pose (1 ) x n t + = ( ) ( ) ( ) 3 3 3 4 4 4 0 0 1 0 0 0 1 1 1 exp . exp . exp 1 1 t t t n I t dt t dt t dt n n n ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − − − = = = = + + ∑ ∑ ∑ ∫ ∫ ∫ en fin ( ) ( ) 4 . 4 I ζ = Γ ( ) 4 4 90 π ζ = et ( ) 4 3*2*1 6 Γ = = donc 4 4 6 90 15 I π π = = 5 4 2 3 2 15 k c h π σ = AN 8 2 4 5, 67.10 Wm K σ − − − = II.C. — Le ciel est clair, le jour. .. 19— Le Bilan Radiatif La puissance émise est égale à la puissance reçue, le bilan radiatif d'une planète un schéma très simplifié du bilan énergétique d'une planète sans atmosphère en considérant que l'équilibre radiatif est atteint (i.e. que l’énergie rayonnée est égale à l’énergie reçue). http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 6/10 la puissance totale émise par le Soleil. 4 2 26 .4 4,18.10 418 T R W YottaWatts σ π = = ⊙ ⊙ Cette puissance étant émise à la surface d'une sphère, elle va se propager sous forme de sphère de plus en plus grande. A la distance Terre-Soleil d, cette puissance totale sera donc distribuée sur une sphère de rayon d. La valeur de cette puissance pour chaque mètre carré de la surface de cette sphère de rayon d sera donc : la puissance par unité de surface (donc en W.m-2) reçue 4 2 2 2 .4 1477, 62 4 T R P Wm d σ π π − = = ⊙ ⊙ Or on a supposé que La terre présente toujours la même face donc la puissance absorbée e par unité de surface par cette face est 2 1477, 62 P Wm − = (NB :on ne divise pas par 4 comme dans le cours) Le Bilan Radiatif La puissance émise est égale à la puissance reçue, le bilan radiatif d'une planète 4 1477, 62 e P T σ = = donc 401, 79 e T K = La température de la face non éclairée 0 ne T = !! 20— le bilan radiatif local 2 4 2 2 sin i cos 2 s n p p P R d T R d π θ θ σ π θ θ θ = donc ( ) ( ) 1 4 cos R T T d θ θ = ⊙ ⊙ http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 7/10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 4 2 2 0 / 2 1 4 1 4 0 / 2 / 2 5 4 0 1 1 cos 2 sin 4 1 1 cos sin cos sin 2 2 4 cos 5 p p T T dS S R T R d R d R R T d T d d d R T d π π π π π θ θ π θ θ π θ θ θ θ θ θ θ = = = + − = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ 4 5 R T T d = ⊙ ⊙ 322, 44 T K = 21— la tempéraure moyenne à la surface de la terre est 15°C=288K T >288 ce qui est normal vue qu’on négligé l’effet de l’absorption de l’énergie par l’atmosphère, le transfert latéral au niveau des faces de la terre, la rotation de la terre,…… ! 22— loi de FOURIER j gradT λ = − principe ‘’Cause à effet’’ On applique le premier principe de la thermodynamique ' W Q H + = ∆ On a alors ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ + ⋅ − = + ⋅ − = Σ Σ τ τ pd S d j pd S d j dt dH Q H (où p est la puissance volumique de W’ ) Expression locale : ∫∫∫ = v hd dt d dt dH τ ∫∫∫ ∂ ∂ = v d t h τ où h est l’enthalpie par unité de volume Donc Q p h j P t ∂ +∇⋅ = ∂ Or h T c t t ρ ∂ ∂ = ∂ ∂ en fin p P c T T t ρ λ λ ∂ ∆ + = ∂ Le bilan thermique donne n régime permanent 0 p P c T T t ρ λ λ ∂ ∆ + = = ∂ 2 1 sin sin p T T R θ θ θ ∂ ∂ | | ∆ = | ∂ ∂ \ ¹ p P L’énergie produite au sein de la planète 2 4 4 2 cos p R dS P T T d dV σ θ σ | | = − | \ ¹ ⊙ ⊙ http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 8/10 avec 2 2 sin p dS R d π θ θ = et ( ) 3 3 2 sin 3 p dV R e d π θ θ = − donc 2 2 4 4 2 2 sin cos p p R d R P T T d π θ θ σ θ σ | | = − | \ ¹ ⊙ ⊙ ( ) 3 3 2 sin 3 p R e d π θ θ − ( ) 4 2 4 4 2 3 3 3 1 sin cos sin p p R R T T T d R e σ θ θ θ θ λ | | ∂ ∂ | | + − | | ∂ ∂ − \ ¹ \ ¹ ⊙ ⊙ ( ) 4 3 3 3 3 p p p R R R e σ σ α λ λ = ≈ − 1 4 ( ) cos R Z T d θ θ = ⊙ ⊙ 23— 2 .4 dN n r dr π = ⊙ 4 2 4 2 2 2 2 2 2 4 4 . . .4 2 2 4 4 4 4 p p T R T R dN n r dr d R R r r σ π σ π π π π π π = = ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ P PP P 2 4 2 2 8 . p T R R n dr π σ = ⊙ ⊙ ⊙ P PP P et ( ) 0 2 4 2 2 2 4 2 2 0 8 . 8 R p p r P T R R n dr T R R n R r π σ π σ ∞ ∞ = = − ∫ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ 2 4 2 2 8 . p T R R n R R π σ κ ∞ ∞ = = ⊙ ⊙ ⊙ P PP P avec 2 4 2 2 8 p T R R n κ π σ = ⊙ ⊙ ⊙ 24— Instabilité gravitationnelle ‘’forces attractives’’ 25— ( ) 3 2 2 1 , exp 1 h j T h c kT υ π υ υ υ = − ⇒ ( ) 3 2 1 , exp 1 hc j T hc kT λ π λ λ λ = − ( ) 2 4 3 2 , 1 6 2 exp 1 exp 1 hc j T kT hc hc hc hc kT kT λ λ λ π λ π λ λ λ λ − − ∂ = − + ∂ − − ⇒ ( ) 2 4 3 2 exp , 1 6 2 exp 1 exp 1 hc hc j T kT kT hc hc hc hc kT kT λ λ λ λ π λ π λ λ λ λ − − ∂ = − + ∂ − − http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 9/10 ( ) 4 3 2 2 2 6 exp 1 2 exp , exp 1 3 3exp exp exp 1 hc hc hc hc hc j T kT kT kT hc kT hc hc hc kT kT kT hc kT λ π λ π λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − + ∂ = ∂ − | | − + + − | \ ¹ = − On pose hc x kTλ = et ( ) , 0 j T λ λ λ ∂ = ∂ ⇒ ( ) 3 3 x x e − − = m * hc x kTλ = ⇒ m * hc kx T λ = et * hc kx µ = loi de déplacement de Wien 3 2, 9.10 Km µ − = 26— 0 . 1 1 m a V H r T c c µ λ λ λ | | | | = = + = + | | \ ¹ \ ¹ ⊙ ⊙ donc 0 . 1 a T H r c µ λ = | | + | \ ¹ ⊙ AN 0 3206, 5 . 1 a T T k H r c = = | | + | \ ¹ ⊙ Les étoiles de classe G sont les mieux connues, pour la seule raison que notre Soleil est de cette classe, (la température de surface de 5 000 à 6 000 K) alpha Centauri A est une étoile G. Classe K Les étoiles de classe K sont des étoiles de couleur orange, légèrement moins chaudes que le Soleil (température de surface : 4 000 K) C’est le cas de l’étoile étudiée dans cette question. 27— On a 3 31 4, 2.10 1 n R − = ⊙ ⊙ ≪ 4 a j T σ = ⊙ ⇒ 364, 4 a T K = 0 364, 4 . 1 a T T k H r c = = | | + | \ ¹ ⊙ donne 0 1 188 364, 4 T c r H | | = − = | \ ¹ ⊙ milliards d’années lumières. Donc ces étoiles sont trop loin et la lumière émise ne nous est pas encore parvenue, ainsi le paradoxe d’Olbers est ainsi levé. 28— Si les étoiles n'existent que depuis un temps fini 13,7 milliards d’années,alors une étoile n'éclaire à un moment donné qu'un volume fini (une boule dont le rayon th R correspond au produit de l'âge 0 1 e A H = de l'étoile par la vitesse de la lumière) On a 0 . V H r c = < donc 0 c r H < et 26 0 . 12.10 th e c R c A m H = = = Dans la formulation du paradoxe d’Olbers , on fait implicitement l'hypothèse que les étoiles pouvaient briller indéfiniment. Donc ce paradoxe ne tient plus ! http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 10/10 29— 1, 07 a a mm T µ λ = = La longueur d’onde des Micro ondes En 1965 Sa découverte, a été l'œuvre de deux ingénieurs américains, Arno Allan Penzias et Robert Woodrow Wilson!! Heinrich Olbers, médecin, physicien et astronome . FIN
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G. donc ( ) - M U r r = ⊙ G GG G et K M ⊙ = G = G = G = G 4— ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 C C K r U r r r r r ε = + + = + − ɺ ɺ ⇒ 2 2 2 1 1 2 2 eff C K r U r r ε ε = − − = − ɺ ( ) 2 2 1 2 eff C K U r r r = − on a ( ) 2 3 2 ' 0 eff C K U r r r = − + = pour 2 0 C r K = et 2 1 2 1 2 K U C = − http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 2/10 Si 2 2 1 0 2 K C ε − < < le mouvement vérifie min max r r r ≤ ≤ < ∞et min max r r ≠ 5— min max K r r ε = − + et 2 K a ε = − ( ) min min min min min max 2 2 . . L K C r v r r m m r r r | | = = = − | + \ ¹ (cf cours) min max min max 2 . r r C K r r = + C Kp = 6— la trajectoire est une ellipse a Demi grand axe p Paramètre de l’ellipse e Excentricité 7— min 0 , à t r r = = donc à 0 t > r ne peut qu’augmenter 0 r > ɺ . On a 2 2 2 2 2 C K r r r ε = − + ɺ et 2 C pK = donc 2 2 2 a rdr dt K a r C ra K = − − + Or 2 (1 ) p a e = − http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 3/10 ( ) 2 2 2 a rdr dt K a e r a = − − ⇒ ( ) min ( ) 2 2 2 r r a rdr K a e r a ϕ τ = − − ∫ 8— on a ( ) 1 cos r a e ξ = − et sin dr ae d ξ ξ = ( ) ( ) min ( ) 2 2 2 1 cos sin r r a rdr K a e r a a e ae a K ϕ τ ξ ξ = − − − = ∫ ( ) ( ) 2 2 2 1 cos d a e a e a ξ ξ − − − ( ) 0 0 1 cos a a e d K ξ ξ ξ ξ = − ∫ ∫ ( ) 3 sin a e K τ ξ ξ = − La troisième loi de Kepler 2 2 3 4 T a K π = ( ) sin 2 T e τ ξ ξ π = − 2 2 2 0 3 3 0 4 T T a K a π = = ⇒ ( ) 3 2 min 0 0 1 r T T a e | | = | | − \ ¹ AN 69, 2 T année = 9— La comète reviendra à la date 69, 2 T an = ( ) 1 cos r a e ξ = − ⇒ ( ) 1 min 1 1 arccos 1 r e e r ξ | | − = − | \ ¹ ⇒ 1 125, 7 2, 2rad ξ = ° = ( ) ( ) 1 min min 1 1 arccos 1 sin arccos 1 2 r e r e T e r r τ π | | | | | | | | − − = − − − | | | | | | \ ¹ \ ¹ \ ¹ \ ¹ 1 15, 9année τ = I.B, —La queue de la comète 10— du coté S1 force répulsive 11— 1 2 3 C C C → → http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 4/10 30 tan 400 ve va φ = = 4, 29 φ = ° II. — Le paradoxe d'Olbers II.A. — Équilibre thermique et rayonnement 12— .G gradP ρ = donne dP mP G dz kT = − 13— dU G dz = donne . . dP mP dU P dE dz kT dz kT dz = − = − après intégration 0 exp E P P kT | | = − | \ ¹ Or N PNa n V RT = = d’où 0 exp E n n kT | | = − | \ ¹ 14— 3 : . . v u J m s − 1 A s − 1 3 2 . . B J m s − − 1 3 2 . . C J m s − − 15— On a 1 1 10 exp E n n kT | | = − | \ ¹ et 2 2 20 exp E n n kT | | = − | \ ¹ or 1 2 20 10 0 lim lim T T n n n n n →∞ →∞ = = = = A l’équilibre 2 2 1 1 exp exp v v n Bu E E h n A Cu kT kT ν − | | = = − = − | + \ ¹ donc 1 exp v A h C u B kT B ν − = − ( ) A F B υ = et ( ) C H B υ = http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 5/10 II.B. - Loi de Ptanck 16— 1 C B = 3 3 8 A h B c π υ = 17— 3 2 0 0 2 1 exp 1 h j j d d h c kT υ π υ υ υ υ ∞ ∞ = = − ∫ ∫ on pose h x kT υ = donc [ ] 4 4 3 4 4 2 3 2 3 0 0 2 2 . exp 1 k T x k j j d dx I T c h x c h υ π π υ ∞ ∞ = = = − ∫ ∫ Ψ 4 = 4 2 3 2 k I c h π σ = 18— ( ) 1 3 0 1 3 0 3 0 0 1 3 0 0 e 1 e 1 e exp exp x x x x nx n x n n I x dx x dx x e dx x dx ∞ − ∞ − − − ∞ ∞ − − = ∞ ∞ − + = = − = − = = ∫ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ On pose (1 ) x n t + = ( ) ( ) ( ) 3 3 3 4 4 4 0 0 1 0 0 0 1 1 1 exp . exp . exp 1 1 t t t n I t dt t dt t dt n n n ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − − − = = = = + + ∑ ∑ ∑ ∫ ∫ ∫ en fin ( ) ( ) 4 . 4 I ζ = Γ ( ) 4 4 90 π ζ = et ( ) 4 3*2*1 6 Γ = = donc 4 4 6 90 15 I π π = = 5 4 2 3 2 15 k c h π σ = AN 8 2 4 5, 67.10 Wm K σ − − − = II.C. — Le ciel est clair, le jour. .. 19— Le Bilan Radiatif La puissance émise est égale à la puissance reçue, le bilan radiatif d'une planète un schéma très simplifié du bilan énergétique d'une planète sans atmosphère en considérant que l'équilibre radiatif est atteint (i.e. que l’énergie rayonnée est égale à l’énergie reçue). http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 6/10 la puissance totale émise par le Soleil. 4 2 26 .4 4,18.10 418 T R W YottaWatts σ π = = ⊙ ⊙ Cette puissance étant émise à la surface d'une sphère, elle va se propager sous forme de sphère de plus en plus grande. A la distance Terre-Soleil d, cette puissance totale sera donc distribuée sur une sphère de rayon d. La valeur de cette puissance pour chaque mètre carré de la surface de cette sphère de rayon d sera donc : la puissance par unité de surface (donc en W.m-2) reçue 4 2 2 2 .4 1477, 62 4 T R P Wm d σ π π − = = ⊙ ⊙ Or on a supposé que La terre présente toujours la même face donc la puissance absorbée e par unité de surface par cette face est 2 1477, 62 P Wm − = (NB :on ne divise pas par 4 comme dans le cours) Le Bilan Radiatif La puissance émise est égale à la puissance reçue, le bilan radiatif d'une planète 4 1477, 62 e P T σ = = donc 401, 79 e T K = La température de la face non éclairée 0 ne T = !! 20— le bilan radiatif local 2 4 2 2 sin i cos 2 s n p p P R d T R d π θ θ σ π θ θ θ = donc ( ) ( ) 1 4 cos R T T d θ θ = ⊙ ⊙ http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 7/10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 4 2 2 0 / 2 1 4 1 4 0 / 2 / 2 5 4 0 1 1 cos 2 sin 4 1 1 cos sin cos sin 2 2 4 cos 5 p p T T dS S R T R d R d R R T d T d d d R T d π π π π π θ θ π θ θ π θ θ θ θ θ θ θ = = = + − = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ 4 5 R T T d = ⊙ ⊙ 322, 44 T K = 21— la tempéraure moyenne à la surface de la terre est 15°C=288K T >288 ce qui est normal vue qu’on négligé l’effet de l’absorption de l’énergie par l’atmosphère, le transfert latéral au niveau des faces de la terre, la rotation de la terre,…… ! 22— loi de FOURIER j gradT λ = − principe ‘’Cause à effet’’ On applique le premier principe de la thermodynamique ' W Q H + = ∆ On a alors ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ + ⋅ − = + ⋅ − = Σ Σ τ τ pd S d j pd S d j dt dH Q H (où p est la puissance volumique de W’ ) Expression locale : ∫∫∫ = v hd dt d dt dH τ ∫∫∫ ∂ ∂ = v d t h τ où h est l’enthalpie par unité de volume Donc Q p h j P t ∂ +∇⋅ = ∂ Or h T c t t ρ ∂ ∂ = ∂ ∂ en fin p P c T T t ρ λ λ ∂ ∆ + = ∂ Le bilan thermique donne n régime permanent 0 p P c T T t ρ λ λ ∂ ∆ + = = ∂ 2 1 sin sin p T T R θ θ θ ∂ ∂ | | ∆ = | ∂ ∂ \ ¹ p P L’énergie produite au sein de la planète 2 4 4 2 cos p R dS P T T d dV σ θ σ | | = − | \ ¹ ⊙ ⊙ http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 8/10 avec 2 2 sin p dS R d π θ θ = et ( ) 3 3 2 sin 3 p dV R e d π θ θ = − donc 2 2 4 4 2 2 sin cos p p R d R P T T d π θ θ σ θ σ | | = − | \ ¹ ⊙ ⊙ ( ) 3 3 2 sin 3 p R e d π θ θ − ( ) 4 2 4 4 2 3 3 3 1 sin cos sin p p R R T T T d R e σ θ θ θ θ λ | | ∂ ∂ | | + − | | ∂ ∂ − \ ¹ \ ¹ ⊙ ⊙ ( ) 4 3 3 3 3 p p p R R R e σ σ α λ λ = ≈ − 1 4 ( ) cos R Z T d θ θ = ⊙ ⊙ 23— 2 .4 dN n r dr π = ⊙ 4 2 4 2 2 2 2 2 2 4 4 . . .4 2 2 4 4 4 4 p p T R T R dN n r dr d R R r r σ π σ π π π π π π = = ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ P PP P 2 4 2 2 8 . p T R R n dr π σ = ⊙ ⊙ ⊙ P PP P et ( ) 0 2 4 2 2 2 4 2 2 0 8 . 8 R p p r P T R R n dr T R R n R r π σ π σ ∞ ∞ = = − ∫ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ 2 4 2 2 8 . p T R R n R R π σ κ ∞ ∞ = = ⊙ ⊙ ⊙ P PP P avec 2 4 2 2 8 p T R R n κ π σ = ⊙ ⊙ ⊙ 24— Instabilité gravitationnelle ‘’forces attractives’’ 25— ( ) 3 2 2 1 , exp 1 h j T h c kT υ π υ υ υ = − ⇒ ( ) 3 2 1 , exp 1 hc j T hc kT λ π λ λ λ = − ( ) 2 4 3 2 , 1 6 2 exp 1 exp 1 hc j T kT hc hc hc hc kT kT λ λ λ π λ π λ λ λ λ − − ∂ = − + ∂ − − ⇒ ( ) 2 4 3 2 exp , 1 6 2 exp 1 exp 1 hc hc j T kT kT hc hc hc hc kT kT λ λ λ λ π λ π λ λ λ λ − − ∂ = − + ∂ − − http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 9/10 ( ) 4 3 2 2 2 6 exp 1 2 exp , exp 1 3 3exp exp exp 1 hc hc hc hc hc j T kT kT kT hc kT hc hc hc kT kT kT hc kT λ π λ π λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − + ∂ = ∂ − | | − + + − | \ ¹ = − On pose hc x kTλ = et ( ) , 0 j T λ λ λ ∂ = ∂ ⇒ ( ) 3 3 x x e − − = m * hc x kTλ = ⇒ m * hc kx T λ = et * hc kx µ = loi de déplacement de Wien 3 2, 9.10 Km µ − = 26— 0 . 1 1 m a V H r T c c µ λ λ λ | | | | = = + = + | | \ ¹ \ ¹ ⊙ ⊙ donc 0 . 1 a T H r c µ λ = | | + | \ ¹ ⊙ AN 0 3206, 5 . 1 a T T k H r c = = | | + | \ ¹ ⊙ Les étoiles de classe G sont les mieux connues, pour la seule raison que notre Soleil est de cette classe, (la température de surface de 5 000 à 6 000 K) alpha Centauri A est une étoile G. Classe K Les étoiles de classe K sont des étoiles de couleur orange, légèrement moins chaudes que le Soleil (température de surface : 4 000 K) C’est le cas de l’étoile étudiée dans cette question. 27— On a 3 31 4, 2.10 1 n R − = ⊙ ⊙ ≪ 4 a j T σ = ⊙ ⇒ 364, 4 a T K = 0 364, 4 . 1 a T T k H r c = = | | + | \ ¹ ⊙ donne 0 1 188 364, 4 T c r H | | = − = | \ ¹ ⊙ milliards d’années lumières. Donc ces étoiles sont trop loin et la lumière émise ne nous est pas encore parvenue, ainsi le paradoxe d’Olbers est ainsi levé. 28— Si les étoiles n'existent que depuis un temps fini 13,7 milliards d’années,alors une étoile n'éclaire à un moment donné qu'un volume fini (une boule dont le rayon th R correspond au produit de l'âge 0 1 e A H = de l'étoile par la vitesse de la lumière) On a 0 . V H r c = < donc 0 c r H < et 26 0 . 12.10 th e c R c A m H = = = Dans la formulation du paradoxe d’Olbers , on fait implicitement l'hypothèse que les étoiles pouvaient briller indéfiniment. Donc ce paradoxe ne tient plus ! http://cpge-casablanca.hautetfort.com/ M-ELABDALLAOUI 10/10 29— 1, 07 a a mm T µ λ = = La longueur d’onde des Micro ondes En 1965 Sa découverte, a été l'œuvre de deux ingénieurs américains, Arno Allan Penzias et Robert Woodrow Wilson!! Heinrich Olbers, médecin, physicien et astronome . FIN
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