Mécanique Quantique Tome I. Histoires, bases et anciennes théories

I. Introduction II. Histoire III. Bases physiques IV. La théorie de Bohr V. L'expérience de Young VI. Principes de base

Tome II. L'équation de Schrödinger I. Hamiltonien II. Equation de Schrödinger III. Applications IV. Etats liés V. Théorie des collisions VI. Formulation matricielle Annexes

Tome III. Symétries et spin I. Théorie des groupes II. Symétries III. Spin IV. Particules identiques et spin V. Physique statistique VI. Formulation matricielle Annexes

Tome IV. L'atome d'hydrogène, les atomes et la matière I. Atomes et molécules II. Rayonnement III. Structure hyperfine IV. Maser et Laser V. Matière VI. Le magnétisme VII. Supraconductivité

Tome V. Mécanique quantique relativiste I. Vers une équation d'onde relativiste II. Equation de Dirac III. Solutions IV. Hydrogénoïdes V. Théorie des trous

VI. Propagation et diffusion Tome VI. Théories à variables cachées, théorèmes et décohérence

I. L'intrication quantique II. Contextualité III. Autres théorèmes IV. Logique quantique V. Applications VI. Décohérence VII. Théorie de Bohm

Tome VII. Interprétation de la mécanique quantique et classicalité I. Introduction II. Position du problème III. Interprétations IV. Expériences V. Du quantique au classique VI. Références

Tome II. L'équation de Schrödinger I. Hamiltonien

I.1. Dépendances des amplitudes en fonction du temps I.1.1. Atomes au repos, états stationnaires I.1.2. Mouvement uniforme I.1.3. Energie potentielle, conservation de l'énergie I.1.4. Forces, la limite classique

I.2. Matrice hamiltonienne I.2.1. Amplitudes et vecteurs I.2.2. Décomposition des vecteurs d'états I.2.3. Quels sont les états de base du monde ? I.2.4. Comment les états évoluent dans le temps I.2.5. La matrice hamiltonienne I.2.6. La molécule d'ammoniac

I.3. Le méson K de charge nulle I.4. Généralisation aux systèmes à N états

II. Equation de Schrödinger II.1. Développement de l'équation

II.1.1. Propagation dans un réseau cristallin II.1.1.1. Etats d'un électron dans un réseau à une dimension II.1.1.2. Etats d'énergie définie II.1.1.3. Etats qui varient dans le temps II.1.1.4 Un électron dans un réseau à trois dimensions II.1.1.5. Autres états dans un réseau II.1.1.6. Diffusion par les imperfections dans un cristal II.1.1.7. Capture par une imperfection d'un réseau II.1.1.8. Amplitudes de diffusion et états liés

II.1.2. Variation des amplitudes avec la position II.1.2.1. Les amplitudes le long d'une droite II.1.2.2. La fonction d'onde II.1.2.3. Les états de moment défini II.1.2.4. Normalisation des états en x

II.1.3. L'équation de Schrödinger II.2. Interprétation de la fonction d'onde II.3. Les niveaux d'énergie quantifiés II.4. Fonctions propres et valeurs propres II.5. Postulats d'interprétation et fonctions propres de l'énergie

II.6. Fonctions propres de l'impulsion III. Applications

III.1. Puits de potentiel carré à une dimension III.2. Mouvement d'un paquet d'ondes libre à une dimension

IV. Etats liés IV.1. Oscillateur harmonique linéaire IV.2. Potentiels à symétrie sphérique à trois dimensions IV.3. Puits de potentiel carré à trois dimensions

V. Théorie des collisions V.1. Barrière de potentiel carrée à une dimension V.2. Collisions à trois dimensions V.3. Diffusion par des potentiels à symétrie sphérique V.4. Diffusion par des potentiels complexes V.5. Diffusion par un champ coulombien

VI. Formulation matricielle VI.1. Algèbre matricielle VI.2. Théorie des transformations VI.3. Equations du mouvement VI.4. Théorie matricielle de l'oscillateur harmonique

Annexes A.1. Tableau des particules élémentaires

Tome II L'équation de Schrödinger Ce Tome II s'attaque à l'équation de Schrödinger si emblématique de la mécanique quantique. Non contente d'être au cœur de la théorie et des cours sur la mécanique quantique, elle a aussi une importance historique considérable puisque ce fut la première équation formulée dans ce nouveau cadre théorique. Lorsque Schrödinger la présenta la première fois, il fallut d'ailleurs un certain temps pour qu'il explique le cheminement qui l'avait conduit à cette équation qui semblait tomber du ciel. Depuis, bien entendu, elle est nettement mieux maîtrisée et sa déduction peut se faire de diverses manières. Ici nous effectuerons une approche de son élaboration en utilisant ce que nous avons vu, les amplitudes et leurs propriétés. Nous commencerons par revenir un peu sur le formalisme et par introduire la matrice hamiltonienne qui permet de décrire l'évolution des états au cours du temps. Puis, nous en viendrons à la déduction de l'équation de Schrödinger et quelques applications simples. Nous serons alors bien armés pour décrire les deux grands volets des systèmes quantiques : les états liés, comme l'atome, et les états non liés plus communément appelés collisions. Enfin, nous ferons le lien entre le formalisme de la fonction d'onde et un formalisme général, plus proche de celui des amplitudes que nous avons utilisé jusqu'ici et appelé formulation matricielle.

I. Hamiltonien La matrice hamiltonienne est la matrice qui permet d'étudier l'évolution des états quantiques au cours du temps. Le lien avec la formulation hamiltonienne de la mécanique analytique est d'ailleurs immédiat. Nous commencerons par étudier comment les amplitudes varient dans le temps. Puis, après être revenu quelque peu sur le formalisme, nous introduirons la matrice hamiltonienne. Enfin, armé de ce nouvel outil, nous pourrons étudier quelques systèmes simples à deux états.

I.1. Dépendances des amplitudes en fonction du temp s

I.1.1. Atomes au repos, états stationnaires Nous voudrions maintenant discuter un peu le comportement des amplitudes de probabilité en fonction du temps. Nous disons "un peu" parce que le comportement réel dans le temps implique nécessairement le comportement dans l'espace. On se trouve alors immédiatement entraîné dans la situation la plus compliquée qui soit, dès qu'on veut la décrire correctement et en détail. Nous retrouvons toujours cette difficulté : nous pouvons traiter quelconque chose soit de façon logiquement rigoureuse mais tout à fait abstraite, soit de façon pas rigoureuse du tout mais qui nous donne quelque idée de la situation réelle et en remettant à plus tard un traitement plus soigneux. En ce qui concerne la dépendance en énergie, nous prendrons la deuxième méthode. Nous ferons un grand nombre de pures affirmations. Nous n'essayerons pas d'être rigoureux, nous vous dirons juste les choses telles qu'on a trouvé qu'elles étaient, pour vous donner quelque idée du comportement des amplitudes en fonction du temps. Au cours de l'exposé, la description deviendra de plus en plus précise. Ne vous énervez donc pas si nous avons l'air de sortir les choses d'un chapeau. Bien sûr, ce chapeau contient tout : l'expérience et l'imagination des gens. Mais comme cela nous prendrait trop de temps de suivre le développement historique, nous devons faire un plongeon quelque part. Nous pourrions plonger dans l'abstrait et en déduire tout, ce que vous ne comprendriez pas, ou bien, nous pourrions discuter un grand nombre d'expériences pour justifier chaque affirmation. Nous avons choisi de faire quelque chose qui soit entre les deux. Un électron tout seul dans le vide peut, dans certaines circonstances, avoir une énergie bien définie. Par exemple, s'il est au repos (c'est-à-dire s'il n'a pas de mouvement de translation, pas d'impulsion ni d'énergie cinétique), il a son "énergie de repos". Un objet plus compliqué comme un atome peut aussi avoir une énergie définie quand il est arrêté, mais il peut aussi être excité et être dans l'un de ses niveaux d'énergie (nous décrirons plus tard la machinerie qui est derrière tout cela, il suffit juste de savoir pour le moment que les expériences de spectroscopie confirment cela). Nous considérerons souvent un atome dans un état excité comme ayant une énergie définie mais, en réalité, cela n'est qu'approximatif. Un atome ne reste pas excité éternellement car il peut se décharger de son énergie grâce à son interaction avec le champ électromagnétique. Il y a donc une certaine amplitude pour qu'un nouvel état soit créé, l'atome étant dans un état d'excitation plus bas

et le champ électromagnétique dans un état supérieur (émission d'un photon). L'énergie totale du système est la même avant et après mais l'énergie totale de l'atome est réduite. Si bien qu'il est inexact de dire qu'un atome excité a une énergie bien définie. Mais c'est souvent commode et ce n'est pas trop faux. Incidemment, pourquoi cela se passe-t-il toujours dans le même sens ? Pourquoi un atome rayonne-t-il de la lumière ? La réponse a quelque chose à voir avec l'entropie. Lorsque l'énergie est dans le champ électromagnétique, elle peut y être de tant de façons différentes, elle a tellement de places où elle peut aller, que si nous cherchons les conditions d'équilibre, nous trouvons que, dans la situation la plus probable; le champ est excité, c'est un photon, et l'atome est désexcité. Il faut au photon beaucoup de temps pour revenir à la même place et trouver qu'il peut cogner l'atome à nouveau. C'est tout à fait analogue au problème classique : pourquoi une charge accélérée rayonne-t-elle (elle pourrait très bien changer de direction sous l'impact d'un photon) ? Ce n'est pas parce qu'elle "veut" perdre de l'énergie, car, en fait, lorsqu'elle rayonne, l'énergie du monde est la même qu'avant. Radiation ou absorption vont toujours dans le sens de l'entropie croissante. La situation est d'ailleurs différente lorsque l'atome est placé dans un bain de photons. Le champ électromagnétique est alors hautement excité et l'atome a nettement plus de chance d'absorber un photon. Nous reviendrons plus tard sur ce problème dit de la "flèche du temps" d'une manière beaucoup plus générale. Les noyaux peuvent aussi exister dans différents niveaux d'énergie et, à l'approximation où l'on néglige tous les effets électromagnétiques, nous pouvons dire qu'un noyau dans un état excité y reste. Bien que nous sachions qu'il n'y reste pas toujours, il est souvent utile de commencer avec une approximation quelque peu idéalisée et plus facile à résoudre. De plus, c'est aussi une approximation légitime dans certaines circonstances. Un exemple typique est l'introduction de la loi de la chute des corps où l'on néglige d'abord la friction et pourtant il n'y a presque aucun cas où il n'y ait une certaine friction. Il y a ensuite les "particules étranges", subnucléaires, et qui ont des masses variées. Mais les plus lourdes se désintègrent spontanément en donnant les plus légères, si bien qu'à nouveau il n'est pas correct de dire qu'elles ont une énergie définie avec précision. Ceci ne serait vrai que si elles vivaient éternellement. Si bien que lorsque nous faisons l'approximation qu'elles ont une énergie

définie, nous oublions le fait qu'elles doivent exploser. Pour le moment, nous oublierons donc, intentionnellement de tels processus et nous apprendrons plus tard comment les prendre en compte. Supposons que nous ayons un atome ou un électron ou n'importe quelle particule qui a au repos une énergie bien définie 0E . Ce que nous voulons dire par l'énergie 0E est la masse de l'objet tout

entier multipliée par 2c . Cette masse comprend toute énergie interne, si bien qu'un atome excité a une masse différente de la masse du même atome dans son état fondamental (l'état fondamental est l'état de plus basse énergie). Nous appellerons 0E "l'énergie au repos".

Pour un atome au repos, l'amplitude quantique pour trouver l'atome en un certain endroit est la même partout. Elle ne dépend pas de la position. Cela signifie, bien entendu, que la probabilité de trouver l'atome est partout la même. Mais cela veut dire plus. La probabilité pourrait être indépendante de la position, la phase de l'amplitude, elle, changeant de point en point. Mais, pour une particule au repos, l'amplitude complète est partout la même. Elle dépend cependant du temps. Pour une particule dans état d'énergie défini 0E , l'amplitude pour trouver la particule en (x, y, z) au

temps t est (1) ( )tEi

aeh/0−

où a est une certaine constante. L'amplitude pour être en un point quelconque de l'espace est la même pour tous les points, mais elle dépend du temps suivant (1). Nous supposerons simplement que cette règle est vraie. Notons toutefois que cela correspond à une onde stationnaire de longueur d'onde nulle, ce qui est évident si l'on se souvient de la règle de de Broglie liant vitesse et longueur d'onde et sa fréquence est simplement donnée par la règle liant énergie et fréquence. Bien entendu, nous pourrions aussi écrire (1) comme (2) tiae ω− avec (3) 2

0 mcEh === νωh

où m est la masse au repos de l'état atomique ou de la particule. Il a trois façons différentes de spécifier l'énergie : par la fréquence d'une amplitude, par l'énergie au sens classique ou par l'inertie. Elles sont toutes équivalentes. Ce sont seulement des façons différentes de dire la même chose.

Vous pensez peut-être qu'il est étrange de penser d'une "particule" qu'elle a la même amplitude pour être trouvée partout dans l'espace. Après tout, nous imaginons d'habitude comme un petit objet situé "quelque part". Mais n'oubliez pas le principe d'indétermination. Si une particule a une énergie définie, elle a aussi une impulsion définie. Si l'incertitude sur l'impulsion est zéro, la relation d'indétermination, h≥∆∆ xp , nous dit que l'incertitude sur la position doit être infinie et c'est exactement ce que nous disons quand nous disons qu'il y a la même amplitude pour trouver la particule en tout point de l'espace. Ce caractère ubiquiste est également lié au fait que la particule a aussi des caractéristiques ondulatoires, bien sûr. Si les différentes parties d'un atome sont dans des états différents avec différentes énergies totales, alors, la variation de l'amplitude dans le temps est différente. Si vous ne savez pas dans quel état se trouve l'atome, il y aura une certaine amplitude pour qu'il soit dans un état et une certaine amplitude pour qu'il soit dans un autre et chacune de ces amplitudes aura une fréquence différente. Il y aura une interférence, comme dans un battement, entre ces différentes composantes et elle pourra apparaître comme une probabilité variant dans le temps. Quelque chose "se passera" dans l'atome, même si celui-ci est "au repos", c'est-à-dire si son centre de gravité ne se déplace pas. Par contre, si l'atome a une énergie bien définie et si vous cherchez n'importe quelle probabilité le concernant, la réponse est indépendante du temps. Quoique les amplitudes dépendent du temps, si l'énergie est définie, elles changent comme l'exponentielle d'un nombre imaginaire pur et leur module ne change pas. C'est pourquoi nous disons souvent qu'un atome dans un état d'énergie définie est dans un état stationnaire. Quelles que soient les mesures que vous faites de ce qui est à l'intérieur, vous trouverez que rien ne change avec le temps (pour les probabilités). Pour que les probabilités changent dans le temps, il faut avoir une interférence de deux amplitudes ayant des fréquences différentes et cela veut dire que nous ne pouvons pas savoir quelle est l'énergie. L'objet considéré aura une amplitude pour être dans un des états d'énergie et une autre amplitude pour être dans l'autre état d'énergie. C'est là la description quantique des choses dont le comportement dépend du temps.

Si nous avons des conditions telles qu'il y ait un mélange de deux états différents avec des énergies différentes, alors l'amplitude de chacun des deux états change avec le temps suivant l'équation (2), comme, par exemple

(4) ( )tEi

eh/1− et

( )tRie

h/2−

Et si nous avons une certaine combinaison des deux, nous aurons une interférence. Mais remarquez que rien ne changerait si nous ajoutions une constante aux deux énergies. Si quelqu'un d'autre utilisait une échelle d'énergie différente, dans laquelle toutes les énergies seraient augmentées (ou diminuées) d'une quantité donnée, disons A, les amplitudes des deux états seraient alors, du point de vue de ce quelqu'un

(5) ( ) h/1 tAEi

e+−

et ( ) h/2 tAEi

e+−

Toutes ces amplitudes seraient multipliées par le même facteur ( )tAie h/− et toutes les combinaisons linéaires ou les interférences auraient le même facteur. Lorsque nous prenons le carré du module pour trouver les probabilités, tous les résultats sont identiques. Le choix d'une origine pour notre échelle d'énergie ne change rien. Nous pouvons mesurer l'énergie à partir de n'importe quel zéro. Des considérations relativistes montrent qu'il est plus élégant de mesurer les énergies de telle façon que la masse au repos y soit comprise, mais, pour beaucoup de discussions non relativistes, il est souvent agréable de soustraire une certaine quantité standard de toutes les énergies considérées. Par exemple, dans le cas d'un atome, il est commode, d'habitude, de soustraire l'énergie 2cms où sm est

la masse de l'ensemble des morceaux, le noyau et les électrons, lorsqu'ils sont séparés, ce qui, bien entendu, est différent de la masse de l'atome tout entier dans son état fondamental. L'énergie qui apparaît alors est juste l'énergie d'excitation de l'atome. Par conséquent, nous déplacerons parfois notre zéro d'énergie d'une constante très grande mais cela ne changera rien à condition que nous déplacions d'une même constante toutes les énergies apparaissant dans un calcul donné. Voilà pour ce qui concerne une particule au repos.

I.1.2. Mouvement uniforme Si nous admettons que la théorie de la relativité est juste, une particule au repos dans un système d'inertie peut être en mouvement uniforme dans un autre système d'inertie. Dans le système de la particule au repos, l'amplitude de probabilité est la même pour tous les x, y, z mais elle change avec t. La grandeur de l'amplitude est la même pour tout t mais la phase dépend de t. Nous pouvons faire une image du comportement de l'amplitude en traçant les lignes d'égales phases, disons les lignes de phase zéro, en fonction de x et de t. Pour une particule au repos, ces lignes d'égale phase sont parallèles à l'axe x et sont également espacées le long de la coordonnée t, comme le montrent les lignes en pointillés de la figure ci-dessous.

Dans un autre système de coordonnées ( )tzyx ′′′′ ,,, , en mouvement par rapport à la particule, disons dans la direction x, les coordonnées x′ et t ′ de tout point de l'espace sont reliées à x et à t par les transformations de Lorentz. Cette transformation peut être représentée graphiquement en traçant les axes x′ et t ′ comme on l'a fait ci-dessus. Vous pouvez voir que dans le système x′ , t ′ les points d'égale phase ont un espacement différent le long de l'axe t ′ si bien que la fréquence de

la variation dans le temps est différente (nous supposerons que la phase doit avoir la même valeur pour des points correspondant des deux systèmes). C'est là un point subtil puisque la phase d'une amplitude quantique est pour une grande part arbitraire puisque l'on mesure uniquement des probabilités. Une justification complète de cette hypothèse demande une discussion plus détaillée qui tienne compte des interférences de deux ou d'un plus grand nombre d'amplitudes. Mais on en devine aisément le contenu puisque deux phases s'annulant par interférence donnent une amplitude nulle et donc une probabilité et la non survenance d'un événement doit être indépendante du référentiel choisi. Seule une phase constante arbitraire pourrait être ajoutée aux amplitudes et on peut la choisir nulle. Il y a aussi une variation de la phase avec x′ si bien que l'amplitude de probabilité doit être une fonction de x′ . Dans une transformation de Lorentz de vélocité v, dans la direction des x négatifs par exemple, le temps t est relié au temps t ′ par

(1) 22

2

/1

/

cv

cvxtt

−

′−′=

si bien que notre amplitude varie maintenant comme

(2) ( ) ( )

−′−−′−− =2/212/2/21/0/

0/ 0 cvcxvEcvtEitEi

eeh

h

Dans le système primé, elle varie dans l'espace aussi bien que dans le temps. Si nous écrivons l'amplitude comme

(3) ( )

′′−′′− xpt

pEi

eh/

nous voyons que 220 /1/ cvEE p −=′ est l'énergie calculée classiquement pour une particule

d'énergie au repos 0E voyageant avec la vitesse v et 2/ cvEp p′=′ est l'impulsion correspondante.

Vous savez que ( )zyxtx ,,,=µ et ( )

syx pppEp ,,,=µ sont des quadrivecteurs et que

xp ⋅−= Etxp µµ est un scalaire invariant. Dans le système de la particule au repos, µµ xp est

exactement Et. Donc, si nous passons dans un autre système, Et sera remplacé par (4) xp ′⋅′−′′tE

L'amplitude de probabilité d'une particule d'impulsion p sera alors proportionnelle à

(5) ( )

⋅−− xpt

pEi

eh/

où pE est l'énergie d'une particule d'impulsion p, c'est-à-dire

(6) ( ) 20

2EpcE p +=

où, comme auparavant, 0E est l'énergie au repos. Pour les problèmes non relativistes, nous

pouvons écrire (7) psp WcmE += 2

où pW est l'énergie que l'atome a, en plus de l'énergie au repos 2cms de ses constituants. En

général, pW inclut à la fois l'énergie cinétique de l'atome et son énergie de liaison ou son énergie

d'excitation, que nous pouvons appeler "l'énergie interne". Nous écrirons alors

(8) m

pWWp 2

2

int +=

et l'amplitude serait

(9) ( )

⋅−− xpt

pWi

eh/

Comme nous ferons en général des calculs non relativistes, nous utiliserons cette expression pour les amplitudes de probabilité. Remarquons que notre transformation relativiste nous a donné la variation de l'amplitude d'un atome qui se déplace dans l'espace, sans aucune hypothèse supplémentaire. Le nombre d'ondes, pour la variation dans l'espace est, d'après (9),

(10) h

pk =

si bien que la longueur d'onde est

(11) p

h

k== πλ 2

C'est la même longueur d'onde que nous avons employée auparavant pour des particules d'impulsion p. Cette formule fut tout d'abord obtenue par de Broglie, exactement de cette façon. Pour une particule en mouvement, la fréquence des variations d'amplitude est encore donnée par (12) pW=ωh

Le carré du module de (9) est exactement 1 et, par conséquent, pour une particule en mouvement, ayant une énergie bien définie, la probabilité de la trouver est la même partout et ne change pas avec le temps (il est important de remarquer que l'amplitude est une onde complexe. Si nous utilisions une onde sinusoïdale réelle, son carré changerait de point en point, ce qui ne peut être correct). Nous savons, bien entendu, qu'il y a des situations où les particules vont d'une place à une autre si bien que leur probabilité dépend de la position et change avec le temps. Comment décrivons-nous de telles situations ? Nous pouvons le faire en considérant des amplitudes qui sont des superpositions de deux amplitudes (ou plus), chacune correspondant à un état d'énergie définie. Le calcul est semblable à celui de l'optique et la somme de deux amplitudes ayant des nombres d'onde k (c'est-à-dire des impulsions) et des fréquences ω (c'est-à-dire des énergies) différentes donnent des bosses d'interférence, ou des battements, si bien que le carré de l'amplitude varie dans l'espace et dans le temps. Ces battements se déplacent avec une "vitesse de groupe" donnée par

(13) k

vg ∆∆= ω

où k∆ et ω∆ sont les différences entre les nombres d'ondes et les fréquences des deux ondes. Pour des ondes plus compliquées, constituées de la somme de plusieurs amplitudes, toutes proche d'une même fréquence, la vitesse de groupe est

(14) dk

dvg

ω=

En prenant h/pE=ω et h/pk = , nous voyons que

(15) dp

dEv

p

g =

En utilisant l'équation (6), nous avons

(16) p

p

E

pc

dp

dE2=

Mais 2mcE p = , si bien que

(17) m

p

dp

dE p =

ce qui est précisément la vitesse classique. De même, si nous utilisons l'expression non relativiste, nous avons

(18) h

pW=ω et

h

pk =

et

(19) m

p

m

p

dp

d

dp

dW

dk

d =

==

2

2ω

qui est à nouveau la vitesse classique. Notre résultat est alors le suivant : si nous avons plusieurs amplitudes pour des états purs d'énergie ayant presque la même énergie, leur interférence donne des "bosses" dont la probabilité et celles-ci se déplacent dans l'espace avec la vitesse d'une particule classique ayant cette énergie. Nous devons remarquer, cependant, que lorsque nous disons que nous pouvons ajouter deux amplitudes ayant des nombres d'ondes différents, pour obtenir un battement correspondant à une particule en mouvement, nous avons introduit quelque chose de nouveau, quelque chose que nous ne pouvons pas déduire de la théorie de la relativité. Nous avons décrit ce qu'était l'amplitude d'une particule à l'arrêt et nous avons déduit ensuite ce qu'elle deviendrait si la particule était en mouvement. Mais nous ne pouvons pas déduire de ces arguments ce qui se passerait s'il y avait deux ondes se déplaçant avec des vitesses différentes. Si nous arrêtons l'une, nous ne pouvons pas arrêter l'autre. Nous avons donc ajouté tacitement l'hypothèse supplémentaire que non seulement (9) est une solution possible mais encore qu'il peut y avoir de telles solutions avec différentes valeurs de p pour ce même référentiel et que les différents termes interfèrent.

I.1.3. Energie potentielle, conservation de l'énerg ie Nous voudrions discuter maintenant ce qui se passe lorsque l'énergie de la particule peut changer. Nous commençons en imaginant une particule qui se déplace dans un champ de forces décrit par un potentiel. Nous discutons tout d'abord l'effet d'un potentiel constant. Supposons que nous ayons une grande boite en métal, que nous avons chargée à un potentiel électrostatique φ comme ci-dessous.

S'il y a des objets chargés à l'intérieur de la boite, leur énergie potentielle est φq , ce que nous appellerons V, et elle est absolument indépendante de la position. La physique ne peut donc pas changer à l'intérieur car un potentiel constant n'introduit aucune différence en ce qui concerne ce qui se passe à l'intérieur de la boite. Nous n'avons maintenant aucun moyen de déduire la réponse si bien que nous devons la deviner. La façon de deviner qui marche est plus ou moins ce que vous attendiez : pour l'énergie, nous devons employer la somme de l'énergie potentielle V et de l'énergie

pE qui est elle-même la somme des énergies internes et cinétiques. L'amplitude est proportionnelle

à

(1) ( )

⋅−

+− xptV

pEi

eh/

Le principe général est que le coefficient de t, que nous pouvons appeler ω , est toujours donné par l'énergie totale du système : énergie interne (ou "masse"), plus énergie cinétique, plus énergie potentielle : (2) VE p +=ωh

Ou, dans les situations non relativistes,

(3) Vm

pW ++=

2

2

intωh

Que peut-on dire maintenant des phénomènes physiques à l'intérieur de la boite ? Qu'obtiendrons-nous s'il y a différents états d'énergie ? L'amplitude de chaque état a le même facteur supplémentaire (4) ( )Vtie h/− par rapport à ce qu'elle serait pour V = 0. C'est exactement comme un changement du zéro de l'échelle d'énergie. Cela produit un même changement de phase pour toutes les amplitudes mais, comme nous l'avons vu auparavant, cela ne change aucune des probabilités. Tous les phénomènes physiques sont les mêmes (nous avons supposé que nous parlions de différents états d'un même objet chargé, si bien que φq est le même pour tous les états. Si un objet pouvait modifier sa charge en passant d'un état dans un autre nous obtiendrions un résultat tout à fait différent. La conservation de la charge évite cela). Jusqu'ici, notre hypothèse est en accord avec ce que nous attendions d'un changement de niveau de référence pour l'énergie. Mais, si elle est vraiment exacte elle devrait également être vraie pour une énergie potentielle qui n'est pas une simple constante. En général, V peut changer de façon arbitraire, à la fois dans le temps et dans l'espace, et le résultat complet pour l'amplitude doit être exprimé par une équation différentielle. Nous n'avons pas l'intention de nous occuper du cas général dès maintenant et nous voulons seulement avoir quelque idée de la façon dont les choses se passent, si bien que nous ne considérerons qu'un potentiel constant dans le temps et variant lentement dans l'espace. Nous pourrons alors faire la comparaison entre les idées classiques et quantiques.

Supposez que nous considérions la situation ci-dessus où l'on a deux boites maintenues à des potentiels constants 1φ et 2φ et une région intermédiaire où nous supposerons que le potentiel varie doucement d'une boite à l'autre. Nous imaginons qu'une certaine particule a une amplitude pour être trouvée dans l'une de ces régions. Nous supposons aussi que l'impulsion est suffisament grande pour que le potentiel soit presque constant dans n'importe quelle petite région contenant plusieurs longueurs d'onde. On peut alors penser que l'amplitude doit avoir la forme (1) dans toute région de l'espace avec le V correspondant à cette région.

Considérons le cas spécial dans lequel 01 =φ , si bien que l'énergie potentielle est zéro à gauche et

où de plus 2φq est négatif, si bien que, classiquement, la particule aurait plus d'énergie dans la deuxième boite. Classiquement, elle irait plus vite dans la deuxième boite, elle aurait plus d'énergie et, par conséquent, plus d'impulsion. Voyons maintenant comment tout cela peut sortir de la mécanique quantique. Avec notre hypothèse, l'amplitude dans la première boite serait proportionnelle à

(5) ( )

⋅−

++− xp112/21int/ tVmpWi

eh

et l'amplitude dans la seconde boite serait proportionnelle à

(6) ( ) ( )[ ]xp ⋅−++− 2222int 2// tVmpWi

eh

(nous admettons que l'énergie interne ne change pas et reste la même dans les deux régions). La question est alors : comment les deux amplitudes se raccordent-elles dans la région entre les deux boites ? Nous allons supposer que les potentiels sont tous constants dans le temps, si bien que rien ne change dans les conditions du problème. Nous supposerons alors que les variations de l'amplitude (c'est-à-dire de la phase) ont la même fréquence partout, car, pour ainsi dire, il n'y a rien dans le "milieu" qui change avec le temps. Si rien ne change dans l'espace, nous pouvons considérer que l'onde d'une région "engendre" des ondes secondaires dans tout l'espace, oscillant toutes à la même fréquence, exactement comme des ondes lumineuses passant à travers des objets au repos sans changer de fréquence. Si les fréquences de (5) et (6) sont les mêmes, il faut que nous ayons

(7) 2

22

int1

21

int 22V

m

pWV

m

pW ++=++

Les deux membres de cette équation ne sont rien d'autre que des énergies totales classiques, si bien que (7) est un énoncé de la conservation de l'énergie. En d'autres termes, l'énoncé classique de la conservation de l'énergie est équivalent à l'énoncé quantique, selon lequel la fréquence d'une particule est la même partout si les conditions ne changent pas avec le temps. Tout cela est en accord avec l'idée que E=ωh . C'est aussi une justification d cette règle quantique.

Dans le cas particulier où 01 =V et 2V est négatif, l'équation (7) montre que 2p est plus grand que

1p et, par conséquent, que la longueur d'onde des ondes est plus petite dans la région 2. Les surfaces d'égale phase sont indiquées par les lignes en tirets dans la figure. Nous avons fait aussi un dessin de la partie réelle de l'amplitude qui montre à nouveau comment la longueur d'onde décroît en passant de la région 1 à la région 2. La vitesse de groupe des ondes, qui est mp / , augmente également de la façon prévue d'après la conservation classique de l'énergie puisque celle-ci n'est rien d'autre que l'équation (7). Il y a un cas particulier intéressant où 2V devient si grand que 12 VV − devient plus grand que

mp 2/21 . Alors 2

2p , qui est donné par

(10)

+−= 12

212

2 22 VV

m

pmp

est négatif. Cela veut dire que 2p est un nombre imaginaire, disons pi ′ . Classiquement, nous dirions que la particule n'entre jamais dans la région 2, elle n'a pas assez d'énergie pour escalader la barrière de potentiel. Cependant, quantiquement, l'amplitude est encore donnée par (6). Sa variation dans l'espace est encore comme (11) ( ) xp ⋅2/hi

e Mais si 2p est imaginaire, la variation dans l'espace devient celle d'une exponentielle réelle. Admettons que la particule va initialement dans la direction +x. L'amplitude varie alors comme (12) h/xpe

′− L'amplitude décroît rapidement avec les x croissants

Imaginez que les deux régions avec des potentiels différents soient très proches l'une de l'autre, si bien que l'énergie potentielle change brusquement de 1V à 2V comme le montre la figure (a) ci-dessus. Si nous dessinons la partie réelle de l'amplitude de probabilité, nous obtenons la dépendance indiquée sur la partie (b) de la figure. L'onde de la première région correspond à une particule essayant d'aller dans la seconde région, mais là, l'amplitude décroît très vite. Il y a une certaine chance pour qu'elle soit observée dans la seconde région, là où elle ne pourrait jamais aller classiquement, mais l'amplitude est très petite sauf au voisinage de la frontière. La situation est très semblable avec la réflexion interne de la lumière. Normalement la lumière ne sort pas, mais nous

pouvons l'observer si nous plaçons quelque chose à moins d'une ou deux longueurs d'onde de la surface (ondes évanescentes). De même, si l'on place une seconde surface près de celle où la lumière se réfléchit complètement, on peut obtenir un peu de lumière transmise dans le deuxième milieu. Il se passe quelque chose de semblable pour les particules en mécanique quantique.

S'il y a, dans une petite région, un potentiel V, assez grand pour que l'énergie cinétique classique soit négative, une particule classique ne peut jamais passer au travers. Mais quantiquement, l'amplitude, qui décroît exponentiellement, peut passer à travers cette région et donner une petite probabilité pour que la particule soit trouvée de l'autre coté, là où l'énergie cinétique est à nouveau positive. La situation est illustrée ci-dessus. Cet effet est appelé "pénétration d'une barrière de potentiel" ou "effet tunnel".

La pénétration d'une barrière par une amplitude quantique donne l'explication, ou la description, de la désintégration α du noyau d'uranium. L'énergie potentielle d'une particule α, comme fonction de la distance au centre est indiquée dans la figure (a) ci-dessus. Si on essayait de tirer une particule α d'énergie E dans le noyau, elle subirait une répulsion électrostatique de la part de la charge nucléaire Z et, classiquement, elle ne viendrait pas à une distance du noyau plus petite que 1r , là où son énergie totale est égale à l'énergie potentielle V. Pourtant, plus près, l'énergie potentielle est beaucoup plus basse à cause de la forte attraction due aux forces nucléaires à courte portée. Comment se fait-il alors que, dans une désintégration radioactive, nous trouvions des particules α

qui sont parties de l'intérieur du noyau et en sortent avec l'énergie E ? C'est parce qu'elles partent de l'intérieur du noyau avec l'énergie E et "s'infiltrent" à travers la barrière de potentiel. L'amplitude de probabilité est à peu près comme on l'a esquissée dans la partie (b) ci-dessus, quoique la décroissance exponentielle soit en fait beaucoup plus rapide que celle qui est indiquée. Il est en fait tout à fait remarquable que la vie moyenne d'une particule α dans le noyau d'uranium soit aussi grande que 4 milliards et demi d'années, alors que les oscillations naturelles à l'intérieur du noyau sont aussi rapides, de l'ordre de 2210 par secondes ! Comment peut-on obtenir un nombre comme

910 années à partir de 2210− seconde ? La solution vient de ce que l'exponentielle donne un facteur terriblement petit de l'ordre de 45−e , ce qui donne une probabilité de fuite très petite, quoique définie. Une fois qu'une particule α est dans le noyau, il n'y a presque pas d'amplitude pour la trouver au dehors. Cependant, si vous prenez assez de noyaux et si vous attendez assez longtemps, vous pouvez avoir de la chance et en trouver une qui est sortie.

I.1.4. Forces, la limite classique Supposez que nous ayons une particule en mouvement, passant à travers une région où il y a un potentiel qui varie à angle droit avec le mouvement. Classiquement nous décririons la situation comme on l'a esquissée ci-dessous.

Si la particule se déplace le long de x et entre dans une région où il y a un potentiel qui varie avec y, la particule subit une accélération transverse due à la force yVF ∂−∂= / . Si la force n'est présente que dans une région bien limitée de largeur w, la force n'agit que le temps w/v. La particule reçoit une impulsion transverse

(1) v

wFp y =

L'angle de déflexion δθ est alors

(2) pv

Fw

p

p y ==δθ

où p est l'impulsion initiale. En employant yV ∂∂− / pour F, nous obtenons

(3) y

V

pv

w

∂∂−=δθ

A nous maintenant de voir si notre idée que les ondes se comportent comme dans la section précédente permet d'expliquer ce même résultat. Nous considérons le même problème quantiquement, en admettant que tout est très grand en comparaison de la longueur d'onde de nos amplitudes de probabilité. Dans n'importe quelle petite région, nous pouvons dire que l'amplitude varie comme

(4) ( ) ( )[ ]xp⋅−++− tVmpWie 2// 2h

Pouvons-nous montrer que ceci donne une déflexion de la particule lorsque V a un gradient transversal ? Sur la figure ci-dessus nous avons esquissé ce à quoi ressembleront les ondes d'amplitudes de probabilité. Nous avons dessiné un ensemble de "nœuds" de ces ondes, que vous imaginez comme des surfaces où la phase de l'amplitude est zéro. Dans n'importe quelle petite région, la longueur d'onde, la distance entre deux nœuds successifs, est

(5) p

h=λ

où p est relié à V par

(6) .2

2

constVm

pW =++

Dans la région où V est grand, p est plus petit et la longueur d'onde est plus grande. Si bien que l'angle des plans nodaux change comme le montre la figure. Pour trouver la façon dont l'angle entre les plans nodaux change, nous remarquons qu'il y a une différence de potentiel ( )DyVV ∂∂=∆ / entre les deux chemins a et b de la figure, si bien qu'il y a une différence p∆ entre les impulsions des deux chemins qui peut être obtenue à partir de (6) :

(7) Vpm

p

m

p ∆−=∆=

∆

2

2

Le nombre d'ondes h/p est par conséquent différent le long des deux chemins, ce qui signifie que les phases évoluent de façons différentes. La différence entre les accroissements de phase est

h/pk ∆=∆ , si bien que la différence de phase accumulée sur la distance totale w est

(8) ( ) wVp

mw

pwkphase ⋅∆−=⋅∆=⋅∆=∆

hh

Ceci donne la quantité dont la phase du chemin b est "en avance" sur la phase du chemin a, lorsque les ondes sortent du potentiel. En dehors du potentiel une telle avance de phase correspond à une avance du plan nodal de

(9) ( ) ( )phasep

phasex ∆=∆=∆ h

πλ2

ou

(10) wVp

mx ⋅∆−=∆

2

En nous rapportant à la figure, nous voyons que les nouveaux fronts d'onde font un angle δθ donné par (11) δθDx =∆ si bien que nous avons

(12) wVp

mD ⋅∆−=

2δθ

Ceci est identique à l'équation (3) si nous remplaçons mp / par v et DV /∆ par yV ∂∂ / . Le résultat que nous venons d'obtenir n'est correct que si les variations du potentiel sont lentes et sans discontinuités, ce que nous appelons la limite classique. Nous avons montré que dans ces conditions nous obtenons, pour une particule, le même mouvement que celui que nous avions obtenu à partir de maF = , à la condition que nous supposions que le potentiel change la phase de l'amplitude de probabilité d'une quantité égale à h/Vt . A la limite classique, la mécanique quantique est en accord avec la mécanique newtonienne.

I.2. Matrice hamiltonienne

I.2.1. Amplitudes et vecteurs Avant d'introduire la notion de matrice hamiltonienne, revenons sur le formalisme mathématique de la mécanique quantique que nous avons déjà présenté et que nous allons approfondir un peu au risque de quelques répétitions. La première idée est la grande ressemblance mathématique entre les équations de la mécanique quantique et le produit scalaire de deux vecteurs. Vous vous rappelez que si χ et φ sont deux états, l'amplitude pour partir de φ et finir en χ peut être écrite comme la somme, su un ensemble complet d'états de base, des amplitudes pour aller de φ jusqu'à l'un des états de base et ensuite de cet état de base jusqu'en χ :

(1) ∑=itout

ii φχφχ

Nous voulons comparer l'équation (1) avec la formule du produit scalaire de deux vecteurs B et A. Si B et A sont des vecteurs ordinaires à trois dimensions, nous pouvons écrire le produit scalaire de cette façon : (2) ( )( )∑ ⋅⋅

itout

ii AeeB

avec la convention que le symbole ie indique les trois vecteurs unité selon les directions x, y et z.

1eB ⋅ est alors ce que nous appelons d'habitude xB , 2eB ⋅ est ce que nous appelons d'habitude yB

et ainsi de suite. L'équation (2) est donc équivalente à (3) zzyyxx ABABAB ++

qui est le produit scalaire AB ⋅ . En comparant les équations (1) et (2), nous pouvons voir l'analogie suivante : les états φ et χ correspondent aux deux vecteurs A et B. Les états de base i correspondent aux vecteurs particuliers

ie , par rapport auxquels nous rapportons tous les autres vecteurs. Tout vecteur peut être représenté

comme une combinaison linéaire de trois "vecteurs de base" ie . De plus, si vous connaissez les

coefficients de chaque vecteur de base dans cette combinaison, c'est-à-dire les trois composantes, vous connaissez tout sur ce vecteur. De façon semblable, tout état quantique peut être écrit complètement par les amplitudes φi pour aller dans les états de base et si vous connaissez ces

coefficients, vous savez tout ce qu'il y a à savoir sur cet état. Du fait de cette grande analogie, on appelle souvent "vecteur d'état" ce que nous avons appelé un "état". Comme les vecteurs de base sont tous à angles droits, nous avons la relation (4) ijji δ=⋅ee

Cela correspond au caractère exclusif des états de base (états intermédiaires) entre les états de base i, (5) ijji δ=

qui justifie l'affirmation que les états de base i sont tous "orthogonaux". Il y a une différence mineure entre l'équation (1) et le produit scalaire. Nous savons que

(6) ∗= φχχφ

Mais en algèbre vectorielle, (7) ABBA ⋅=⋅ Avec les nombres complexes de la mécanique, il nous faut conserver l'ordre des termes alors que pour le produit scalaire habituel, cela n'a pas d'importance. Considérons maintenant l'équation vectorielle suivante : (8) ( )∑ ⋅⋅=

i

ii AeeA

Elle est un peu inhabituelle, mais correcte. Elle signifie la même chose que

(9) zzyyxx

i

ii AAAA eeeeA ++==∑

Remarquez cependant que l'équation (8) contient une quantité qui est différente d'un produit scalaire. Un produit scalaire est seulement un nombre alors que l'équation (8) est une équation vectorielle. L'une des grandes astuces de l'analyse vectorielle fut d'abstraire de ces équations l'idée de "vecteur". On pourrait, de façon semblable, être tenté d'abstraire de la formule quantique (1) quelque chose d'analogue à un "vecteur" et, bien entendu, on peut le faire. Nous ôtons les χ des

deux côtés de l'équation (1) et nous écrivons l'équation suivante : (10) ∑=

i

ii φφ

On considère le crochet φχ comme fait de deux morceaux. Le deuxième morceau φ est

souvent appelé un ket, comme nous l'avions déjà signalé, et le premier morceau χ est souvent

appelé un bra. Les demi-symboles χ et φ sont souvent aussi appelés vecteurs d'état. De toute

façon, ce ne sont pas des nombres, or, en général, nous voulons que les résultats de nos calculs soient des nombres. Si bien que ces quantités "brutes" ne sont que des étapes dans nos calculs. Il se trouve que nous avons écrit la plus part de nos résultats avec des nombres (les amplitudes). Comment nous sommes-nous arrangés pour éviter les vecteurs ? Il est amusant de remarquer que même en algèbre vectorielle ordinaire, nous pourrions faire que toutes les équations ne contiennent que des nombres. Par exemple, au lieu d'une équation vectorielle comme (11) aF m= nous pourrions toujours écrire (12) ( )aCFC m⋅=⋅ Nous avons alors une équation entre produits scalaires qui est vraie pour tout vecteur C. Mais si elle est vraie pour tout C, cela ne fait guère de sens de continuer à écrire le C ! Et si nous choisissons pour C un vecteur de base, l'équation (12) devient une relation entre composantes,

c'est-à-dire aussi une équation (ou plutôt des équations, pour chaques composantes) entre nombre. C'est exactement ce que nous avons fait avec les amplitudes d'être dans tel ou tel état de base i. Regardez maintenant l'équation (1). C'est une équation qui est vraie pour tout χ . Pour alléger l'écriture nous aurions pu laisser le χ de côté et écrire à la place l'équation (10). Elle contient la même information; à condition que nous admettions qu'elle doive toujours être "achevée" en la "multipliant à gauche par", ce qui veut simplement dire en remettant à leur place, un certain χ

des deux côtés. L'équation (10) signifie donc exactement la même chose que l'équation (1), ni plus, ni moins. Lorsque vous voulez des nombres, vous y mettez le χ que vous voulez.

Vous vous êtes peut-être déjà posé des questions sur le φ de l'équation (10). Comme l'équation est vraie pour tout φ , pourquoi gardons-nous ce φ ? Et de fait, Dirac suggéra que le φ pouvait tout aussi bien être supprimé, si bien que nous n'avons plus que (13) ∑=

i

ii|

Et ceci est la grande loi de la mécanique quantique (il n'y a pas d'analogue en analyse vectorielle) ! Cette équation dit que si vous mettez n'importe quelle paire d'états χ et φ à gauche et à droite, vous revenez à l'équation (1). Ce n'est pas vraiment utile, mais c'est une façon commode de se rappeler que l'équation (1) est vraie pour toute paire d'états.

I.2.2. Décomposition des vecteurs d'états Continuons notre approfondissement du formalisme avec la décomposition des vecteurs d'états ce qui va nous permettre d'introduire les opérateurs. Revenons à l'équation (10) de la section précédente. Nous pouvons la considérer de la façon suivante. Tout vecteur d'état peut être représenté comme une combinaison linéaire, avec des coefficients appropriés, d'un ensemble de "vecteurs" de base ou, si vous préférez, comme une superposition de "vecteurs unités" en proportions convenables. Pour bien montrer que les coefficients φi ne sont que des nombres ordinaires (complexes), supposez que nous écrivions

(1) iCi =φ

L'équation de la section précédente est alors identique à (2) ∑=

i

iCiφ

Nous pouvons écrire une équation semblable pour tout autre vecteur d'état, disons χ , avec bien

entendu des coefficients différents, disons iD , nous avons alors

(3) ∑=i

iDiχ

Les iD ne sont rien d'autre que les amplitudes χi .

Supposez que nous ayons commencé en ôtant le φ dans l'équation (1) de la section précédente. Nous aurions eut (4) ∑=

i

iiχχ

En vous rappelant que ∗= χχ ii , nous pouvons écrire ceci comme

(5) ∑ ∗=i

i iDχ

Maintenant, le fait intéressant est qu'il nous suffit de multiplier l'une part l'autre les équations (5) et (2) pour obtenir φχ . Lorsque nous faisons cela, nous devons faire attention à la sommation des

indices car ils sont tout à fait différents dans les deux équations. Commençons par récrire l'équation (5) comme (6) ∑ ∗=

j

j jDχ

ce qui ne change rien puisque nous avons juste renommé un indice muet. En la combinant avec l'équation (2), nous avons (7) ∑ ∗=

ij

ij CijDφχ

Mais rappelez-vous que ijij δ= , si bien que seuls nous restent les termes de la somme tels que j

= i. Nous obtenons (8) ∑ •=

i

ii CDφχ

où, bien entendu, iiDi χχ == ∗∗ et φiCi = . Nous voyons à nouveau la grande analogie

avec le produit scalaire (9) ∑=⋅

i

iiBABA

La seule différence est dans la conjugaison complexe de iD . L'équation (8) dit donc que si les

vecteurs d'états χ et φ sont exprimés en fonction des vecteurs de base i ou i , l'amplitude

pour aller de φ à χ est donnée par un genre de produit scalaire comme dans l'équation (8). Cette équation n'est autre, bien sûr, que la première équation de la section précédente écrite avec des symboles différents. Nous n'avons donc fait que tourner en rond, pour nous habituer aux nouveaux symboles.

Nous devrions peut-être insister à nouveau sur le fait que les vecteurs de l'espace à trois dimensions sont écrits à partir de trois vecteurs orthogonaux, par contre, les vecteurs de base i de la

mécanique quantique doivent former l'ensemble complet correspondant à un problème particulier. Selon la situation, deux, trois, cinq ou un nombre infini de vecteurs de base peuvent être nécessaires. Considérons maintenant le cas où des particules passent à travers un certain appareil, modifiant les amplitudes. Si nous partons avec ces particules dans un certain état φ et si nous les envoyons ensuite à travers un appareil, si enfin nous faisons une mesure pour voir si elles sont dans un état χ , le résultat est donné par une amplitude qui peut être écrite comme

(10) φχ A

où A exprime la modification apportée à l'amplitude par l'appareil. Un tel symbole n'a pas d'analogue direct en algèbre vectorielle (il est en fait plus proche de l'algèbre tensorielle, mais l'analogie n'est pas particulièrement utile, nous aurons des outils plus appropriés avec les opérateurs et les matrices). En considérant les états intermédiaires possibles (les états de base) à l'entrée et à la sortie de l'appareil, on peut automatiquement écrire (10) comme

(11) ∑=ij

jjAiiA φχφχ

Ceci est un exemple de la règle fondamentale ∑= ii| appliquée deux fois.

De même, si nous mettons un autre appareil B en série avec A, on peut écrire l'ensemble comme BA (vu comme une simple concaténation des deux symboles ou comme un produit qui reste à définir). On peut alors écrire

(12) ∑=ijk

kkAjjBiiBA φχφχ

De nouveau, ceci provient directement de la méthode de Dirac avec la règle fondamentale. Rappelez-vous que nous pouvons toujours mette une barre | à la place du facteur i entre B et A.

Incidemment, nous pouvons considérer l'équation (11) d'une autre façon. Supposez que nous considérions une particule entrant dans l'appareil A dans l'état φ et sortant dans l'appareil A dans l'état ψ . En d'autres termes, nous pourrions nous demander : "pouvons-nous trouver un ψ tel que

l'amplitude pour aller de ψ à χ soit toujours et partout identique à l'amplitude φχ A ?" La

réponse est oui. Nous voulons que l'équation (11) soit remplacée par (13) ∑=

j

ii ψχψχ

Clairement, nous pouvons le faire si

(14) φφψ AijjAiij

==∑

ce qui détermine ψ . "Mais non, cela ne détermine pas ψ ", direz-vous, "cela ne détermine que

ψi ". Et pourtant ψi détermine bien ψ , car si vous avez tous les coefficients qui relient ψ

aux états de base i, ψ est alors défini de manière unique. En fait, nous pouvons jouer avec notre notation et écrire le dernier terme de (14) comme

(15) ∑=j

Ajjii φψ

Alors, comme cette équation est vraie pour tout i, nous pouvons écrire simplement

(16) ∑=j

Ajj φψ

Nous pouvons dire alors : "l'état ψ est ce que nous obtenons si nous partons avec φ et passons à travers l'appareil A". Un dernier exemple des trucs du métier. Nous partons encore avec l'équation (11). Comme elle est vraie pour tout χ et pour tout φ , nous pouvons les laisser tous les deux de coté ! Nous obtenions alors

(17) ∑=ij

jjAiiA

En toute rigueur on devrait écrire |A| au lieu de A mais cela ressemblerait au symbole pour "valeur absolue de A", si bien qu'on supprime généralement les barres. De façon générale, la barre | se comporte comme le facteur un. Parfois, pour distinguer A d'un nombre ou d'une matrice, on l'écrit comme Â, nous le ferons parfois, mais le contexte permet toujours de savoir la nature de l'objet mathématique présent. Qu'est-ce que cela signifie ? Cela ne signifie ni plus, ni moins que ce que vous obtenez si vous remettez le φ et le χ à leurs places. Telle qu'elle est, c'est une équation "ouverte" et incomplète. Si

nous la multiplions "à gauche" par φ , elle devient

(18) ∑=ij

jjAiiA φφ

ce qui est exactement (16), une fois de plus. En fait, nous pourrions simplement laisser les j de coté et écrire cette équation (19) φψ A=

Le symbole A n'est ni une amplitude, ni un vecteur. C'est une nouvelle sorte d'objet mathématique appelé un "opérateur". C'est quelque chose qui "agit" (opère) sur un état pour produire un nouvel état. L'équation (19) dit que ψ est ce qui résulte de l'action de A sur φ . A nouveau, c'est une

équation ouverte jusqu'à ce qu'elle soit complétée par un bra donné comme χ pour donner

(20) φχψχ A=

Bien entendu, l'opérateur A est complètement déterminé si nous donnons la matrice des amplitudes

jAi , que l'on écrit aussi ijA , en fonction d'un ensemble quelconque de vecteurs de base.

Notez aussi que les facteurs intervenant dans (12) ne sont rien d'autre qu'un produit matriciel de A et de B.

Nous n'avons réellement rien ajouté de nouveau avec cette nouvelle notation mathématique. Une des raisons pour l'introduire est de vous montrer comment on écrit des morceaux d'équations car vous trouverez dans de nombreux livres les équations écrites sous leur forme incomplète et il n'y a aucune raison que vous soyez paralysés lorsque vous les rencontrerez. Si vous le préférez, nous pouvons toujours ajouter les morceaux qui manquent pour avoir une équation entre des nombres qui ressemble à quelque chose de plus familier. Par ailleurs, comme vous le verrez, la notation avec les bra et les ket est très commode. D'une part nous pouvons dès maintenant identifier un état en donnant son vecteur d'état. Quand nous voulons désigner un état d'impulsion définie p, nous pouvons dire "l'état p ". Nous pouvons aussi parler

d'un état arbitraire ψ . Pour être cohérent nous utiliserons toujours le ket et nous écririons ψ

pour désigner un état (c'est évidemment un choix arbitraire et nous aurions tout aussi bien pu choisir d'employer le bra ψ ).

I.2.3. Quels sont les états de base du monde ? Nous avons découvert que n'importe quel état du monde peut être représenté comme une superposition, une combinaison linéaire avec des coefficients convenables, d'états de base. Vous pouvez vous demander tout d'abord, quels états de base ? Et bien, il y a de nombreuses possibilités différentes. Vous pouvez, par exemple, projeter un spin sur la direction z ou sur une autre direction. Il y a beaucoup, beaucoup de représentations différentes, qui sont les analogues des différents systèmes de coordonnées que l'on peut employer pour représenter des vecteurs ordinaires. Comme nous l'avions déjà signalé, un espace vectoriel a une infinité de bases. Ensuite, quels coefficients ? Et bien, ceci dépend des conditions physiques. Des ensembles de coefficients différents correspondent à des conditions physiques différentes. La chose importante à connaître est "l'espace" dans lequel vous travaillez. En d'autres termes, quelle est la signification physique des états de base ? La première chose qu'il faut donc savoir est, en général, à quoi ressemblent les états de base ? Vous pouvez alors comprendre comment décrire une situation donnée en fonction de ces états de base. Nous voudrions anticiper un peu et parler un petit peu de ce que va être la description quantique générale de la nature, en termes d'idées courantes dans la physique d'aujourd'hui. Tout d'abord, on choisit une représentation particulière pour les états de base, différentes représentations sont toujours possibles. Par exemple, pour une particule de spin un demi, nous pouvons utiliser les états "plus" ou "moins" par rapport à l'axe z. Mais l'axe z n'a rien de spécial, vous pouvez toujours prendre n'importe quel autre axe si vous le préférez. Cependant, par souci de cohérence, nous prendrons toujours l'axe z. Supposons que nous commencions avec une situation à un électron. En plus des deux possibilités pour le spin ("en haut" et "en bas" le long de l'axe z), il y a aussi différentes possibilités pour l'impulsion de l'électron. Nous choisissons un ensemble d'états de base, chacun correspondant à une valeur de l'impulsion. Mais que faire si l'électron n'a pas d'impulsion définie ? Cela va encore. Nous ne faisons que dire ce que sont les états de base. Si l'électron n'a pas une impulsion définie il a une certaine amplitude pour avoir une impulsion donnée et une autre amplitude pour avoir une autre impulsion, et ainsi de suite. Et s'il n'est pas nécessairement en train de tourner spin en haut, il a une certaine amplitude pour être spin en haut avec une impulsion donnée et une autre amplitude pour être spin en bas avec la même impulsion, etc. La description complète d'un électron, pour autant que nous le sachions, ne requiert que l'impulsion et le spin pour

décrire les états de base. Un ensemble d'états de base i acceptable pour un seul électron est donc

décrit par les différentes valeurs de l'impulsion et les positions en haut ou en bas du spin. Différents mélanges d'amplitudes, c'est-à-dire des combinaisons des C décrivent différentes situations. On décrit ce que fait un électron particulier en disant ce qu'est son amplitude pour être spin en haut ou spin en bas et pour avoir une impulsion ou une autre, et ceci pour toutes les impulsions possibles. Vous voyez ainsi ce qui intervient dans une description quantique complète d'un seul électron. Que dire des systèmes à plus d'un électron ? Les états de base deviennent alors plus compliqués. Supposons que nous ayons deux électrons. Tout d'abord, nous avons quatre états de spin possibles : les deux électrons spin en haut, le premier en bas et le deuxième en haut, le premier en haut et le deuxième en bas, les deux en bas. Nous avons aussi à préciser que le premier électron a l'impulsion

1p et le deuxième électron l'impulsion 2p . Les états de base pour les deux électrons requièrent que l'on spécifie deux électrons et deux spins. Avec sept électrons, nous avons à spécifier sept de chaque. Si nous avons un proton et un électron, il nous faut spécifier la direction du spin du proton et son impulsion, la direction du spin de l'électron et son impulsion. Du moins, ceci est approximativement vrai. Nous ne savons pas réellement ce qu'est la représentation correcte du monde. C'est très bien de commencer en supposant que si vous spécifiez le spin d'un électron et son impulsion et de même pour un proton, vous avez tous les états de base. Mais alors, et les "entrailles" du proton ? Prenons la chose de la façon suivante. Dans un atome d'hydrogène qui a un proton et un électron, nous avons beaucoup d'états de base différents à décrire, les spins du proton et de l'électron en haut ou en bas et les différentes valeurs possibles des impulsions du proton et de l'électron. Il y a donc différentes combinaisons des amplitudes iC qui, toutes ensembles, décrivent

les caractéristiques de l'atome d'hydrogène tout entier comme une "particule". Si nous ne savions pas que l'atome d'hydrogène est fait d'un proton et d'un électron, nous aurions pu commencer en disant "oh !, mais je sais quels sont les états de base, ils correspondent à des impulsions particulières de l'atome d'hydrogène". Non, car l'atome d'hydrogène a des constituants internes. Il peut, par conséquent, avoir différents états d'énergie interne et il faut plus de détails pour décrire sa vraie nature.

La question se pose alors : le proton a-t-il des constituants internes ? La réponse est oui. Devons-nous décrire un proton en donnant tous les états possibles des quarks, gluons, mésons et autres particules étranges ? En principe oui. Et quoique nous supposions que l'électron soit simple, si bien que nous n'ayons à donner que son impulsion et son spin, peut-être allons nous découvrir demain que l'électron a aussi toute une mécanique interne. Cela voudrait dire que notre représentation est incomplète ou fausse ou approximative, de la même façon qu'une représentation de l'atome d'hydrogène qui le décrit seulement par son impulsion est incomplète puisqu'elle ne tient pas compte du fait que l'atome d'hydrogène peut avoir été excité. Si l'électron pouvait être excité et être changé en quelque chose d'autre, en muon par exemple (une espèce d'électron lourd observé en particulier dans les accélérateurs de particules), il serait alors décrit non seulement en donnant les états de la nouvelle particule, mais probablement aussi l'état de quelque mécanique interne compliquée. Aujourd'hui, le problème essentiel dans l'étude des particules fondamentales est de découvrir quelles sont les représentations correctes pour la description de la nature. Actuellement, nous nous contentons de deviner que pour l'électron il suffit de spécifier l'impulsion et le spin. Nous pensons aussi qu'il y a un proton idéal avec une structure interne et entouré de mésons pi, de mésons k, etc., qui doivent tous être décrits. Plusieurs douzaines de particules, c'est de la folie ! La question de savoir ce qui est une particule fondamentale et ce qui n'est pas une particule fondamentale, un sujet dont on entend souvent parler, revient à se demander à quoi ressemblera la représentation finale dans l'ultime description quantique du monde. Les impulsions des électrons seront-elles encore les bonnes quantités pour décrire la nature ? La question elle-même a-t-elle un sens ? On doit toujours se poser cette question dans toute investigation scientifique. Quoi qu'il en soit, il y a là un problème. Comment trouver une représentation ? Nous ne savons pas la réponse ! Nous ne savons même pas si c'est là le "bon" problème. Mais, si c'est le bon, nous devons d'abord essayer de trouver si une particule donnée est fondamentale ou non. En mécanique quantique non relativiste, si les énergies ne sont pas trop élevées de façon que nous ne dérangiez pas le jeu interne des particules, étranges et autres, vous pouvez faire du très bon travail sans vous soucier de ces détails. Vous pouvez décider de ne spécifier que les impulsions et les spins des électrons et des noyaux. Tout se passera très bien. Dans la plupart des réactions chimiques et dans les autres phénomènes à basse énergie, rien ne se passe dans les noyaux. Ils ne sont pas excités. De plus, si un atome d'hydrogène se déplace lentement et qu'il se cogne doucement contre d'autres atomes d'hydrogène, sans jamais passer dans un état excité et sans

rayonner, ni rien faire de compliqué comme cela, mais en restant toujours dans l'état fondamental de son énergie interne, vous pouvez utiliser l'approximation selon laquelle vous parlez de l'atome d'hydrogène comme d'un objet, une particule, et vous pouvez ne pas vous soucier du fait qu'il peut se passer quelque chose à l'intérieur. Cela sera une bonne approximation tant que l'énergie cinétique, dans n'importe quelle collision est bien au-dessous de 10 électrons volts, l'énergie requise pour exciter l'atome d'hydrogène dans un état interne différent. Bien sûr, la mécanique quantique étant probabiliste on pourrait dire qu'il y a toujours une certaine probabilité pour que l'atome se retrouve dans un état excité. Cela est vrai mais on peut alors dire que l'approximation est acceptable si les amplitudes impliquant des changements de l'état interne sont extrêmement petites, négligeables en pratique, devant les amplitudes utilisées pour décrire l'objet comme une particule sans structure interne. Nous ferons souvent l'approximation selon laquelle nous ne tenons pas compte de la possibilité d'un mouvement interne, diminuant ainsi le nombre de détails que nous devons inclure dans nos états de base. Bien entendu, nous oublions alors certains phénomènes qui apparaîtraient (en général) à des énergies plus élevées, mais, en faisant de telles approximations nous pouvons simplifier énormément l'analyse des problèmes. Par exemple, nous pouvons discuter la collision de deux atomes d'hydrogène à basse énergie, ou n'importe quelle réaction chimique, sans nous inquiéter du fait que les noyaux atomiques pourraient être excités. En résumé, quand nous pouvons négliger les effets des états excités d'une particule, nous pouvons choisir un ensemble d'états de base constitué des états dont l'impulsion et la composante z du moment angulaire sont définis. Une telle attitude pourrait être critiquée. Mais elle se justifie parfaitement pour deux raisons et se modère pour une troisième raison : Nous n'avons pas la connaissance infuse de tout ce qui permet de décrire le monde. Nous

sommes bien obliger d'admettre notre méconnaissance de certains détails, de certaines lois physiques, des états de base complets du monde. Mais cela ne doit pas nous paralyser. Nous n'avons aucune chance de découvrir dans un éclair de génie l'infinie complexité du monde. Nous décrivons donc ce que nous connaissons et nous progressons en le confrontant à l'expérience et en améliorant nos théories. C'est d'ailleurs dans l'esprit de la méthode scientifique : c'est l'expérience qui nous guide, qui fixe les limites et qui tranche.

La physique a aussi des buts pratiques. Elle n'est pas conçue uniquement comme une élégante description du monde devant laquelle on serait en extase en soupirant du bonheur du travail

accomplit. La physique est aussi construite pour comprendre les phénomènes physiques les plus divers, prédire leurs comportements, les maîtriser et les utiliser dans toutes sortes d'applications : lasers, transistors, télévisions, etc. Si l'on veut arriver à un tel résultat, il faut pouvoir mener les calculs et obtenir des résultats quantitatifs, des résultats numériques (des tensions, des positions, des intensités, des durées, etc.) Inutile de s'extasier devant des équations si elles ne servent pas ou si l'on est incapable de les résoudre. Or les équations peuvent vite devenir inextricables et impossibles à résoudre. Surtout si le système est un tant soit peut complexe et réaliste. Même des calculs numériques menés sur ordinateur trouvent vite leurs limites. Il faut donc bien, à un moment donné, faire des choix, des approximations. Dans ce cas, pourquoi s'encombrer de détails qui n'ont aucun impact sur les résultats (de préférence, quand même, après l'avoir vérifié) à cause de leur faiblesse (énergie infime par rapport à l'énergie totale, probabilité tellement faible qu'on n'a aucune chance de voir un résultat donné dans la vie d'un homme même pour un très grands nombres de systèmes) ? C'est certainement les premières approximations à effectuer !

Renoncer, dans une situation donnée, pour des raisons pratiques, pédagogiques ou autres, à décrire certains détails n'est pas un aveu d'échec. On sait que certains détails ont été négligés (en tout cas, maintenant, vous le savez). Et ces détails peuvent être étudiés plus tard, séparément ou dans une étude plus complète. Lorsque nous décrivons le fonctionnement d'une horloge en décrivant tous ses engrenages, il n'y a pas de honte à ignorer les cours de la bourse au Japon ou les couleurs du drapeau argentin dans la description de cette horloge. Il en est de même ici. Décrivons chaque chose posément, en fonction des besoins, des possibilités, des désirs,… Complétons progressivement nos descriptions, améliorons petit à petit notre connaissance du monde, c'est inévitable… et c'est aussi plus digeste pour le lecteur ! Rome ne s'est pas construite en un jour.

Notre problème, alors, pour décrire la nature est de trouver une représentation adéquate des états de base. Cela n'est que le commencement. Nous voulons de plus être capable de dire ce qui "arrive". Si nous connaissons l'état du monde à un moment donné, nous voulons connaître son état un peu plus tard. Nous avons donc aussi à trouver les lois qui déterminent comment les choses changent dans le temps. Nous abordons maintenant cette deuxième partie de la mécanique quantique, comment les états changent dans le temps.

I.2.4. Comment les états évoluent dans le temps Nous avons déjà discuté la façon de représenter une situation dans laquelle nous plaçons quelque chose dans un appareil. Maintenant, un "appareil" commode, d'un emploi délectable, consiste à attendre simplement quelques minutes, autrement dit : vous préparez un état φ et, avant de l'analyser, vous le laissez tel qu'il est. Peut-être l'abandonnez-vous dans un champ électrique ou magnétique particulier, cela dépend des circonstances. De toute façon, quelles que soient les conditions, vous laissez l'objet tranquille du temps 1t au temps 2t . Supposez que vous le laissiez

sortir du premier appareil à 1t et dans l'état φ et qu'il aille ensuite dans un "appareil", "l'appareil"

consistant simplement à attendre jusqu'à 2t . Pendant ce temps là, il peut se passer diverses choses, on peut appliquer des forces extérieures ou pratiquer d'autres manœuvres de ce genre, si bien que quelque chose se passe. Après avoir attendu, l'amplitude pour trouver l'objet dans un état χ donné n'est pas exactement la même que si on n'avait pas attendu. Comme "attendre" n'est qu'un cas spécial "d'appareil", nous pouvons décrire ce qui se passe en donnant l'amplitude sous la même forme. Comme l'opération "d'attendre" est particulièrement importante, nous l'appellerons U au lieu de A et nous écririons ( )12 , ttU pour spécifier le temps de départ et d'arrivée 1t et 2t . L'amplitude que nous voulons est

(1) ( )φχ 12 , ttU

Comme toute autre amplitude, elle peut être représentée dans un système de base quelconque en écrivant

(2) ( )∑ij

jjttUii φχ 12 ,

U est alors complètement décrit en donnant l'ensemble complet des amplitudes, la matrice

(3) ( ) jttUi 12 ,

Incidemment, nous pouvons remarquer que la matrice ( ) jttUi 12 , donne beaucoup plus de détails

que ce dont nous avons besoin. Le physicien théoricien de grande classe, qui travaille en physique des hautes énergies, considère des problèmes du type général suivant (c'est de cette façon que les

expériences sont généralement faites). Il part avec une paire de particules, comme deux protons, venant l'un vers l'autre de l'infini (dans le laboratoire, en général, une des particules est à l'arrêt et l'autre vient d'un accélérateur qui est pratiquement à l'infini à l'échelle atomique). La collision se produit et il en sort, disons, deux mésons k, six mésons pi et deux neutrons, chacun dans une certaine direction et avec une certaine impulsion. Quelle est l'amplitude pour que cela se produise ? La mathématique ressemble à ceci : l'état φ spécifie les spins et les impulsions des particules incidentes. χ correspond à la question sur ce qui sort. Comme, par exemple, avec quelle amplitude obtenez-vous six mésons sortant dans telle et telle direction et les neutrons dans telles directions avec leurs spins de telle façon ? Autrement dit, χ serait défini en donnant toutes les impulsions et les spins, etc. pour toutes les particules finales. Le travail du théoricien est alors de calculer l'amplitude (1). Cependant, il ne s'intéresse réellement qu'au cas particulier où 1t vaut ∞− et 2t vaut ∞+ (il n'y a pas d'information expérimentale sur les détails de la réaction mais seulement sur ce qui entre et sur ce qui sort). La limite de ( )12 , ttU lorsque −∞→1t et +∞→2t est appelé S et ce que le théoricien veut est

(4) φχ S

Il pourrait encore, en utilisant la formule (2), calculer la matrice

(5) jSi

qui est appelée la matrice S. Ainsi, si vous voyez un théoricien faisant les cent pas et disant "tout ce que j'ai à faire est de calculer la matrice S", vous saurez de quoi il s'agit. Comment analyser, comment définir les lois de la matrice S est une intéressante question. En mécanique quantique relativiste, aux hautes énergies, on fait cela d'une certaine façon et, dans la mécanique quantique non relativiste, on le fait d'une autre façon qui est très commode (cette autre façon peut aussi être employée dans le cas relativiste, mais elle n'est plus alors aussi commode). Il s'agit de calculer la matrice U pour un petit intervalle de temps, c'est-à-dire pour 2t et 1t proches l'un de l'autre. Si nous pouvons trouver une suite de tels U pour des intervalles de temps successifs, nous pouvons étudier comment les choses évoluent en fonction du temps. Vous pouvez vous rendre compte immédiatement que cette façon de faire n'est pas tellement bonne en relativité parce que nous n'avons pas envie de décrire l'aspect des choses, partout, "simultanément". Mais nous n'allons

pas nous inquiéter de cela pour le moment, nous allons seulement nous occuper de mécanique quantique non relativiste. Supposez que nous considérions la matrice U pour un intervalle de temps de 1t à 3t qui est plus

grand que 2t . Autrement dit, nous prenons trois temps consécutifs : 1t plus petit que 2t plus petit

que 3t . Nous prétendons alors que la matrice qui fait passer de 1t à c est le produit de ce qui se

passe lorsque vous attendez de 1t à 2t et ensuite de 2t à 3t . C'est exactement comme dans la

situation où nous avions deux appareils A et B en série. Nous pouvons alors écrire (6) ( ) ( ) ( )122313 ,,, ttUttUttU =

Autrement dit, nous pouvons analyser tout intervalle de temps si nous pouvons analyser une séquence de petits intervalles de temps. Nous n'avons qu'à faire le produit de tous les morceaux. C'est de cette façon que l'on analyse la mécanique quantique dans le cas non relativiste. Notre problème est alors de comprendre la matrice ( )12 , ttU pour un intervalle de temps

infinitésimal, c'est-à-dire pour ttt ∆+= 12 . Nous nous posons la question suivante : si nous avons un état, à quoi ressemble-t-il après un intervalle de temps infinitésimal t∆ ? Voyons comment nous pouvons écrire cela. Appelons l'état au temps t, ( )tψ (nous étudions la dépendance dans le temps

de ψ pour ce que nous entendons par état au temps t soit parfaitement clair). Nous demandons maintenant : quel état avons-nous après le petit intervalle de temps t∆ ? La réponse est (7) ( ) ( )ttttUtt ψψ ,( ∆+=∆+

Ceci signifie la même chose que l'équation avec opérateur, c'est-à-dire que l'amplitude pour trouver χ au temps tt ∆+ est

(8) ( ) ( ) ( )ttttUtt ψχψχ ,∆+=∆+

Comme nous ne sommes pas encore très forts dans ces raisonnements abstraits, projetons nos amplitudes dans une représentation bien définie. Si nous multiplions les deux cotés de l'équation (7) par i , nous obtenons

(9) ( ) ( ) ( )ttttUitti ψψ ,∆+=∆+

Nous pouvons aussi décomposer ( )tψ sur les états de base et écrire

(10) ( ) ( ) ( )∑ ∆+=∆+j

tjjtttUitti ψψ ,

Nous pouvons comprendre l'équation (10) de la façon suivante. Si nous appelons ( ) ( )titCi ψ=

l'amplitude pour être dans l'état de base i au temps t, nous pouvons étudier la variation de cette amplitude (qui, souvenez-vous en, n'est qu'un nombre !) au cours du temps. Chaque iC devient une

fonction de t. Nous avons aussi de l'information sur la façon dont les amplitudes iC varient avec le

temps. A tt ∆+ , chaque amplitude est proportionnelle à toutes les autres amplitudes en t, multipliées par un ensemble de coefficients. Appelons ijU la matrice U, ce par quoi nous entendons

(11) jUiU ij =

Nous pouvons alors écrire l'équation (10) comme (12) ( ) ( ) ( )∑ ∆+=∆+

j

jiji tCtttUttC ,

Ceci nous donne une idée de ce que va être la dynamique de la mécanique quantique. Jusqu'ici nous ne savons pas grand chose sur les ijU sauf ceci : nous savons que si t∆ tend vers 0,

il ne se passe rien, nous devons obtenir exactement l'état original. Donc iiU tend vers 1 et 0→ijU

si ji ≠ . En d'autres termes, ijijU δ→ pour 0→∆t . Nous pouvons aussi supposer que, pour de

petits t∆ , chacun des coefficients ijU doit différer de ijδ par une quantité proportionnelle à t∆

(développement au premier ordre pour des quantités infinitésimales). Nous écrivons donc (13) tKU ijijij ∆+= δ

Cependant, on a l'habitude de sortir des coefficients ijK un facteur ( )h/i− , pour des raisons

historiques entre autres. Nous avons un petit ennui ici avec nos notations. Dans le facteur ( )h/i− , le i signifie l'unité imaginaire et non pas l'indice i qui désigne le ième état de base ! Nous espérons que vous ne trouverez pas cela trop déroutant. Il n'y a que 26 lettres de l'alphabet, rajoutez les lettres grecques, les majuscules et divers ornements (comme un accent circonflexe) et vous avez pas mal de possibilités mais encore bien limitées face à l'infinie variété des grandeurs physiques. Des symboles utilisés avec plusieurs significations sont malheureusement inévitables. Le problème est amplifié par des usages historiques provenant de communautés de physiciens parfois fort différentes. Ainsi R est utilisé pour désigner la constante des gaz parfaits ou pour l'aimantation réduite ou la matrice de rotation ou parfois pour bien d'autres choses. Le contexte permet toujours de savoir de quoi on parle. Mais un minimum d'attention est requit. On préfère donc écrire

(14) ( ) ( ) ttHi

tttU ijijij ∆−=∆+h

δ,

C'est bien entendu la même équation que (13) et, si vous voulez, elle ne fait que définir les coefficients ( )tH ij . Les termes ijH sont simplement les dérivées par rapport à 2t des coefficients

( )12 , ttU ij évalués à ttt == 12 .

En employant cette forme pour U dans l'équation (12), nous avons

(15) ( ) ( ) ( )tCttHi

ttC j

j

ijiji ∑

∆−=∆+h

δ

En prenant la somme sur le terme ijδ , nous obtenons juste ( )tCi que nous pouvons faire passer

dans l'autre membre de l'équation. En divisant alors par t∆ nous reconnaissons une dérivée

(16) ( ) ( ) ( ) ( )∑−=

∆−∆+

j

jji

ii tCtHi

t

tCttC

h

ou

(17) ( ) ( ) ( )∑=

j

jij

i tCtHdt

tdCih

Vous vous rappelez que ( )tCi est l'amplitude ψi pour trouver l'état ψ dans l'un des états de

base i (au temps t). L'équation (17) nous dit donc comment chacun des coefficients ψi varie

dans le temps. Mais c'est la même chose que de dire que l'équation (17) nous donne la façon dont l'état ψ varie dans le temps puisque nous décrivons ψ en fonction des amplitudes ψi . La

variation de ψ dans le temps est décrite en fonction de la matrice ijH , qui doit évidemment inclure

tout ce que nous faisons au système pour le faire changer. Si nous connaissons les ijH , qui

contiennent la physique du problème et peuvent, en général, dépendre du temps, nous avons une description complète du comportement du système dans le temps. L'équation (17) est alors la loi quantique de la dynamique du monde. Nous devons ajouter que nous prendrons toujours un ensemble d'états de base qui sont fixes et qui ne varient pas dans le temps. Il y a des gens qui utilisent des états de base qui varient aussi. Mais c'est la même chose que d'utiliser un système de coordonnées tournant et nous ne voulons pas entrer dans de telles complications.

I.2.5. La matrice hamiltonienne L'idée, alors, est que pour décrire le monde quantique, il nous faut choisir un ensemble d'états de base i et écrire les lois de la physique en donnant les coefficients de la matrice ijH . Nous avons

alors tout ce qu'il nous faut, nous pouvons répondre à n'importe quelle question sur ce qui va se passer. Nous devons donc apprendre quelles sont les règles pour trouver les ijH qui correspondent

à une situation physique donnée, à un champ magnétique, ou à un champ électrique, etc. Et c'est là le plus difficile. Par exemple, pour les nouvelles particules étranges, nous n'avons aucune idée du

ijH qu'il faut employer. Autrement dit, personne ne connaît le ijH complet pour le monde entier.

Une partie de la difficulté vient de ce que l'on peut difficilement espérer découvrir le ijH quand on

ne sait même pas quels sont les états de base. Nous avons d'excellentes approximations pour les phénomènes non relativistes et pour quelques autres cas spéciaux. En particulier, nous connaissons les formes dont on a besoin pour décrire les mouvements des électrons dans les atomes, c'est-à-dire pour décrire la chimie. Mais nous ne connaissons pas le vrai ijH complet pour l'univers tout entier.

Les coefficients ijH sont appelés "la matrice hamiltonienne" ou, en bref, l'hamiltonien (comment

Hamilton, qui travaillait en l'année 1830, a pu donner son nom à une matrice de la mécanique quantique est toute une histoire. Mais on devine le lien, ne fut ce que par l'équation décrivant l'évolution des états dans le temps en fonction de l'hamiltonien, le lien avec l'hamiltonien de la mécanique analytique). Il serait mieux de l'appeler la matrice d'énergie, pour des raisons qui deviendront apparentes au fut et à mesure que nous l'emploierons. Le problème est donc : trouvez votre hamiltonien ! Le hamiltonien a une propriété qui peut être déduite immédiatement, à savoir (1) jiij HH =∗

(matrice hermitique) Ceci vient de la condition que la probabilité totale pour qu'un système soit dans un état quelconque ne change pas. Si vous commencez avec une particule, un objet ou le monde entier, vous l'avez

encore après tout intervalle de temps. Et même dans le cas de particules instables, pouvant se désintégrer, les états de base doivent en tenir compte (on doit avoir un état sans la particule), on a encore une situation ou l'on a toujours ou bien la particule ou pas. On ne peut mieux comme lapalissade. La probabilité totale de trouver le système dans un état quelconque est

(2) ( )∑i

i tC2

qui ne doit pas changer au cours du temps. Pour que ceci soit vrai, en l'appliquant à l'équation décrivant l'évolution dans le temps de ces coefficients, quel que soit l'état de départ φ , il faut que l'équation (1) soit vraie. Comme premier exemple, considérons la situation dans laquelle les conditions physiques ne changent pas avec le temps. Nous voulons dire les conditions physiques extérieures, de sorte que H est indépendant du temps. Il n'y a personne qui branche ou débranche des électro-aimants. Nous choisissons aussi un système qui peut être décrit avec un seul état de base. C'est une approximation que nous pourrions faire pour un atome d'hydrogène au repos ou pour quelque chose de semblable. L'équation d'évolution dans le temps dit alors que

(3) 1111 CH

dt

dCi =h

Une seule équation et c'est tout ! Et si H est constant, cette équation différentielle se résout facilement pour donner

(4) ( ) ( ) tHieC 11/

1 consth−=

Ceci donne la dépendance dans le temps d'un état d'énergie définie 11HE = . Vous voyez pourquoi

ijH devrait être appelé la matrice d'énergie. C'est une généralisation de l'énergie pour des situations

complexes. Ensuite, pour comprendre un peu mieux ce que signifie l'équation, nous considérons un système qui a deux états de base. L'équation d'évolution se lit alors

(5)

2221212

2121111

CHCHdt

dCi

CHCHdt

dCi

+=

+=

h

h

De nouveau, si les H sont indépendants du temps, vous pouvez facilement résoudre ces équations. Nous vous laissons essayer de le faire pour vous amuser, nous y reviendrons et nous le résoudrons plus tard. Oui, vous pouvez résoudre les problèmes de mécanique quantique sans connaître les H, tant qu'ils sont indépendants du temps.

I.2.6. La molécule d'ammoniac Nous voulons vous montrer maintenant comment on peut utiliser l'équation dynamique de la mécanique quantique pour décrire des conditions physiques particulières. Nous avons choisi un exemple simple et intéressant dans lequel, en essayant de deviner raisonnablement l'hamiltonien, nous pouvons calculer quelques résultats importants et ayant même une valeur pratique. Nous allons prendre une situation que l'on peut décrire par deux états : la molécule d'ammoniac.

La molécule d'ammoniac a un atome d'azote et trois atomes d'hydrogène disposés dans un plan sous l'azote, si bien que la molécule a la forme d'une pyramide, comme ci-dessus. Cette molécule, comme tout autre, a un nombre infini d'états. Elle peut tourner autour de n'importe quel axe, elle peut se déplacer dans n'importe quelle direction, elle peut vibrer, etc. etc. Par conséquente, ce n'est pas du tout un système à deux états. Mais nous allons faire l'approximation que tous les autres états

restent fixes, car ils n'interviennent pas dans ce qui nous intéresse pour l'instant. Nous considérons que la molécule est juste en train de tourner autour de son axe de symétrie (comme le montre la figure), qu'elle a une impulsion nulle et qu'elle vibre aussi peu que possible (par exemple à très basse température et dans le référentiel de la molécule). Cela définit toutes ses caractéristiques sauf une : il y a encore les deux positions possibles de l'atome d'azote, l'azote peut être d'un coté ou de l'autre du plan des atomes d'hydrogène, comme le montrent les figures (a) et (b). Nous allons donc discuter cette molécule comme si c'était un système à deux états. Cela signifie qu'il n'y a que deux états dont nous allons nous soucier, tout le reste sera supposé ne pas changer. Vous voyez, même si nous savons que la molécule tourne avec un certain moment cinétique autour de l'axe et si nous savons qu'elle se déplace avec une certaine impulsion et qu'elle vibre d'une certaine façon, il y a encore deux états possibles. Nous dirons que la molécule est dans l'état 1 lorsque l'azote est en

haut, comme dans la figure (a), et qu'elle est dans l'état 2 quand l'azote est en bas comme dans

(b). Les états 1 et 2 seront pris comme états de base pour notre analyse du comportement de la

molécule d'ammoniac. A tout instant, l'état réel ψ de la molécule peut être représenté en donnant

ψ11 =C , l'amplitude pour être dans l'état 1 et ψ22 =C , l'amplitude pour être dans l'état 2 .

Alors, nous pouvons écrire le vecteur d'état ψ comme

(1) ψψψ 2211 +=

ou (2) 21 21 CC +=ψ

Maintenant, le fait intéressant est que si la molécule est dans un certain état à un certain moment donné, elle n'est pas dans le même état un instant plus tard. Les deux coefficients C changeront avec le temps suivant l'équation d'évolution que nous venons de voir, valable pour tout système à deux états. Supposez par exemple, que vous ayez fait une observation ou que vous ayez fait une certaine sélection des molécules et que vous sachiez que la molécule était initialement dans l'état 1 . Un instant plus tard, il y a une certaine chance pour qu'on la trouve dans l'état 2 . Pour trouver

ce qu'est cette chance nous devons résoudre l'équation différentielle qui nous dit comment les amplitudes changent avec le temps.

Le seul ennui est que nous ne savons pas quoi prendre pour les coefficients H dans l'équation. Il y a cependant certaines choses que nous pouvons affirmer. Supposez qu'il n'y ait aucune chance pour que la molécule puisse jamais aller dans l'état 2 , une fois qu'elle est dans l'état 1 , et

réciproquement. Alors 12H et 21H seraient tous les deux zéro et l'équation serait

(3) 1111 CH

dt

dCi =h , 222

2 CHdt

dCi =h

Nous pouvons résoudre ces deux équations facilement. Nous obtenons

(4) ( ) ( ) tHieC 11/

1 consth−= , ( ) ( ) tHi

eC 22/

2 consth−=

Ce sont là les amplitudes pour les états stationnaires d'énergie 111 HE = et 222 HE = . Nous

remarquons cependant que pour la molécule d'ammoniac, les deux états 1 et 2 ont une certaine

symétrie. Si la nature est un tant soit peu raisonnable, les deux éléments de matrice 11H et 22H

doivent être égaux. Nous les appellerons tous les deux 0E car ils correspondent à l'énergie

qu'auraient les états si 12H et 21H étaient zéro. Mais les équations (4) ne nous disent pas ce que fait en réalité l'atome ammoniac. Il se trouve que l'azote peut passer à travers les trois hydrogènes et basculer de l'autre coté. C'est très difficile. Il faut beaucoup d'énergie pour franchir la première moitié du chemin. Comment l'azote peut-il faire s'il n'a pas assez d'énergie ? Il y a une certaine amplitude pour qu'il pénètre la barrière de potentiel. Il est possible, en mécanique quantique, de se faufiler rapidement à travers une région illégale du point de vue de l'énergie. C'est l'effet tunnel dont nous avons déjà parlé. Par conséquent, il y a une certaine amplitude, petite, pour qu'une molécule qui part en 1 passe dans l'état 2 . Les coefficients 12H et 21H ne sont pas vraiment

zéro. A nouveau, par symétrie, ils doivent être tous les deux égaux, au moins en module. En fait, nous savons déjà que de façon générale jiH doit être égal au complexe conjugué de ijH , si bien

qu'ils ne peuvent différer que d'une phase. Il se trouve, comme vous le verrez, que nous pouvons les prendre égaux sans perdre de généralité. Il sera commode, plus tard, de les avoir prix égaux à un

nombre négatif. Nous prenons AHH −== 2112 , sans perte de généralité. Nous avons alors la paire d'équations suivante :

(5) 2101 ACCE

dt

dCi −=h

(6) 1202 ACCE

dt

dCi −=h

Ces équations sont très simples et peuvent être résolues de plusieurs façons différentes. Une façon commode est la suivante. En prenant la somme des deux, nous obtenons

(7) ( ) ( )( )21021 CCAECCdt

di +−=+h

dont la solution est

(8) ( )( )tAEi

aeCC−−=+ 0/

21

h

Ensuite, en prenant la différente de (5) et (6), nous trouvons que

(9) ( ) ( )( )21021 CCAECCdt

di −+=−h

ce qui donne

(10) ( )( )tAEi

beCC+−=− 0/

21

h

Nous avons appelé a et b les deux constantes d'intégration. Bien entendu, il faut les choisir de façon à obtenir les conditions initiales de chaque problème particulier. Maintenant, en ajoutant et en soustrayant (8) et (10), nous obtenons 1C et 2C :

(11) ( ) ( )( ) ( )( )tAEitAEie

be

atC

+−−− += 00 //1 22

hh

(12) ( ) ( )( ) ( )( )tAEitAEie

be

atC

+−−− −= 00 //2 22

hh

Ce sont des équations similaires sauf pour le signe du second terme.

Nous avons les solutions. Mais que veulent-elles dire ? La difficulté avec la mécanique quantique n'est pas seulement de résoudre les équations mais de comprendre ce que leurs solutions signifient ! D'abord, remarquez que si b = 0, les deux termes ont la même fréquence ( ) h/0 AE −=ω . Si tout

varie avec la même fréquence, cela veut dire que le système est dans un état d'énergie bien définie, ici l'énergie est AE −0 . Il y a donc un état stationnaire d'énergie pour lequel les deux amplitudes

1C et 2C sont égales. Nous trouvons que la molécule d'ammoniac a une énergie définie AE −0 si

les amplitudes pour que l'atome d'azote soit "en haut" ou "en bas" sont égales. Il y a un autre état stationnaire possible si a = 0. Les deux amplitudes ont alors la fréquence ( ) h/0 AE + . Il y a donc un autre état d'énergie définie AE +0 si les deux amplitudes sont égales

mais de signes opposés : 12 CC −= . Ce sont les seuls états d'énergie définie. Nous concluons que, du fait qu'il y a une certaine chance pour que l'atome d'azote passe d'une position à l'autre, l'énergie de la molécule n'est pas exactement 0E , comme nous aurions pu

l'attendre, mais il y a deux niveaux d'énergie AE +0 et AE −0 . Chacun des états possibles de la

molécule, quelle que soit son énergie, est divisé en deux niveaux. Nous disons chacun des états car, vous vous souvenez, nous avons choisi un état particulier de rotation, d'énergie interne, etc. Pour chaque état possible de ce genre il y a un doublet de niveaux d'énergie dû au "flip-flop" de la molécule. Posons-nous maintenant la question suivante sur la molécule d'ammoniac. Supposez qu'à t = 0, nous sachions que la molécule se trouve dans l'état 1 ou, en d'autres termes, que ( ) 101 =C et

( ) 002 =C . Quelle est la probabilité pour que l'on trouve la molécule dans l'état 2 au temps t ?

Notre état initial nous donne ce que valent a et b dans les équations (11) et (12). En faisant t = 0, nous avons

(13) ( ) 12

01 =+= baC , ( ) 0

202 =−= ba

C

Clairement, a = b = 1. En mettant ces valeurs dans les formules pour ( )tC1 et ( )tC2 et en réarrangeant les termes, nous avons

(14) ( ) ( )( ) ( )

+=−

−

2

///

10

AtiAtitEi ee

etChh

h

(15) ( ) ( )( ) ( )

−=−

−

2

///

20

AtiAtitEi ee

etChh

h

Nous pouvons les récrire comme

(16) ( ) ( )h

h AtetC

tEi cos0/1

−=

(17) ( ) ( )h

h AtietC

tEi sin0/2

−=

Les deux amplitudes ont une grandeur qui varie harmoniquement dans le temps. La probabilité pour que la molécule soit trouvée dans l'état 2 au temps t est le carré du module de

( )tC2 :

(18) ( )h

AttC 22

2 sin=

La probabilité part de zéro (comme il se doit), monte jusqu'à un et oscille ensuite entre zéro et un, comme le montre la courbe 2P de la figure ci-dessous. La probabilité pour être dans l'état 1 ne

reste évidemment pas l'unité. Elle "se vide" dans le deuxième état jusqu'à ce que la probabilité de trouver la molécule dans le premier état soit zéro, comme le montre la courbe 1P . La probabilité va et vient entre les deux.

Lorsque vous avez étudié le pendule, vous avez probablement vu ce qui se passe lorsque l'on a deux pendules identiques faiblement couplés. Si nous déplaçons l'un d'eux et si nous le laissons partir, il se balance et progressivement l'autre commence à se balancer. Très vite, le deuxième pendule prend toute l'énergie. Alors le processus se renverse et le pendule numéro un prend toute l'énergie. C'est exactement le même genre de chose. La vitesse à laquelle l'énergie est échangée de l'un à l'autre dépend du couplage entre les deux pendules, c'est-à-dire du taux de fuite "d'oscillations" de l'un vers l'autre. Egalement, il y a deux types de mouvements particuliers de deux pendules, chacun ayant une fréquence définie, que l'on appelle les modes fondamentaux. Si nous déplaçons les deux pendules à la fois, ils se balancent ensemble à la même fréquence. Par ailleurs, si nous déplaçons l'un d'une façon et l'autre d'une autre façon, il y a un autre mode stationnaire également avec une fréquence définie. Eh bien, nous avons ici une situation similaire. L'ammoniac est mathématiquement semblable à une paire de pendules. Les deux fréquences, quand ils oscillent ensemble ou quand ils oscillent en opposition sont ( ) h/0 AE + et ( ) h/0 AE − .

L'analogie avec des pendules n'est pas beaucoup plus profonde que le fait que deux équations identiques ont des solutions identiques. Les équations linéaires donnant les amplitudes sont tout à fait semblables aux équations linéaires d'oscillateurs harmoniques (en fait, c'est là la raison qui explique le succès de la théorie classique de l'indice de réfraction dans laquelle on remplace l'atome

quantique par un oscillateur harmonique alors que, classiquement, ce n'est pas une vue raisonnable du mouvement des électrons autour du noyau). Si vous tirez l'azote d'un coté, vous obtenez une superposition de ces deux fréquences et vous obtenez une sorte de battement parce que le système n'est pas dans l'un des états de fréquence définie. La séparation des niveaux d'énergie de la molécule d'ammoniac est cependant un effet strictement quantique. La séparation des niveaux d'énergie de la molécule d'ammoniac a d'importantes applications pratiques que nous décrirons plus tard. Enfin, nous avons un exemple de problème de physique pratique que vous pouvez comprendre avec la mécanique quantique !

I.3. Le méson K de charge nulle Nous allons maintenant décrire un système à deux états qui appartient au monde des particules étranges, un système pour lequel la mécanique quantique donne une prédiction des plus remarquables. Le décrire complètement nous entraînerait dans tout un tas de considérations sur les particules étranges, nous serons donc obligés malheureusement de prendre quelques raccourcis. Nous ne pouvons que vous décrire dans les grandes lignes la façon dont certaines découvertes ont été faites, afin de vous montrer le type de raisonnement qui a été utilisé. Cela commence par la découverte par Gell-Mann et Nishijima du concept d'étrangeté et d'une nouvelle loi, la conservation de l'étrangeté. C'est en analysant les conséquences de ces nouvelles idées que Gell-Mann et Pais en arrivèrent à la prédiction d'un phénomène extrêmement remarquable que nous allons décrire. Néanmoins, nous allons d'abord vous parler un peu de "l'étrangeté". Il nous faut commencer par ce qu'on appelle les interactions fortes des particules nucléaires. Ce sont les interactions responsables des forces nucléaires fortes. Elles se distinguent en particulier des interactions électromagnétiques, relativement plus faibles. Ces interactions sont "fortes" en ce sens que si deux particules s'approchent suffisament pour enfin interagir, elles interagissent de façon intense et produisent facilement d'autres particules. Les particules nucléaires ont aussi ce qu'on appelle une "interaction faible" par laquelle certaines choses peuvent se produire, telle que la désintégration bêta, mais toujours très lentement du moins à l'échelle du temps nucléaire. Les interactions faibles sont de beaucoup, beaucoup d'ordres de grandeur plus faibles que les interactions fortes et même beaucoup plus faibles que les interactions électromagnétiques. C'est d'ailleurs une des raisons pour laquelle ces interactions faibles sont souvent associées au neutrino, particule légère, non chargée électriquement et insensible aux interactions fortes. Lorsque l'on s'est mis à étudier les interactions fortes à l'aide des grands accélérateurs, ont fut surpris de trouver que certaines choses qui "auraient dû" se produire, et auxquelles ont s'attendait, ne se réalisaient pas. Par exemple, dans certaines interactions, une particule d'un certain type ne se manifestait pas quand on l'attendait. Gell-Mann et Nishijima se sont aperçus que beaucoup de ces observations surprenantes pouvaient s'expliquer immédiatement par l'invention d'une nouvelle loi de conservation : la conservation de l'étrangeté. Ils suggérèrent l'existence d'un attribut d'une nouvelle sorte associé à chaque particule, dénommé par eux nombre "d'étrangeté", tout comme peut

l'être, par exemple, la charge électrique, et la conservation de la "quantité d'étrangeté" dans toute interaction forte. Supposez, par exemple, qu'un méson négatif de grande énergie, disons une énergie de plusieurs milliards d'eV, percute un proton. De l'interaction, peuvent provenir beaucoup d'autres particules : mésons pi, mésons K, particules lambda, particules sigma, n'importe lequel des mésons et baryons répertoriés dans les expériences de physique des particules (voir en annexe). On observe cependant que certaines combinaisons seulement apparaissent et d'autres jamais. On connaissait déjà certaines lois de conservation. Tout d'abord, l'énergie et l'impulsion sont toujours conservées. L'énergie et l'impulsion totales après l'événement doivent être les mêmes qu'avant. Il y a en second lieu la conservation de la charge électrique qui exige que la charge totale des particules sortantes soit égale à la charge totale apportée par les particules initiales. Dans notre exemple d'un méson K et d'un proton qui se rencontrent ont réellement lieu : (1) 0πππ ++++→+ −+−− KppK ou +−− +Σ→+ πpK Et nous n'obtiendrons jamais (2) +−− ++→+ πKppK ou +− +Λ→+ π0pK

à cause de la conservation de la charge. On savait aussi que le nombre de baryons est conservé. Le nombre de baryons sortants doit être égal au nombre de baryons entants. D'après cette loi, l'antiparticule d'un baryon est comptée moins un baryon. Cela signifie que nous pouvons observer et de fait nous l'observons (3) 00 π+Λ→+− pK ou ppKppK +++→+ −− (ou p est l'antiproton, lequel transporte une charge négative). Mais nous ne voyons jamais

(4) 0ππ ++→+ +−− KpK ou nKppK ++→+ −− (même lorsqu'il y a beaucoup d'énergie disponible), parce que les baryons ne seraient pas conservés. Néanmoins, ces lois n'expliquent pas l'étrange absence des réactions suivantes, qui ne semblent pas à première vue particulièrement différentes de certaines autres dans (1) et (3) : (5) 0KKppK ++→+ −− ou −− +→+ πppK ou 00 KpK +Λ→+−

De toute évidence cela est lié au méson K auquel on peut attribuer une quantité appelée étrangeté et qui serait conservée. On a donc un nombre associé à chaque particule, son étrangeté S, et une loi qui existe selon laquelle l'étrangeté totale sortante, pour toute interaction forte, doit être égale à l'étrangeté totale entrante. Le proton et l'antiproton (p, p ), le neutron et l'antineutron (n, n ) et les

mésons ( +π , 0π , −π ) ont tous zéro pour nombre d'étrangeté, les mésons +K et 0K ont l'étrangeté +1, le −K et le 0K (l'anti 0K ou K zéro bar) ont l'étrangeté -1. On a aussi découvert une particule d'étrangeté -2, la particule Ξ ("ksi" majuscule) et d'autres peut-être non encore connues. Mettons ces étrangetés dans un tableau S

-2 -1 0 +1 +Σ p

0Ξ 0Λ , 0Σ n

Baryons

−Ξ −Σ +π +K 0K 0π 0K

Mésons

−K −π

Voyons comment fonctionne la conservation de l'étrangeté pour certaines des réactions que nous avons écrites. Si nous avons au départ un −K et un proton, l'étrangeté totale est de -1 + 0 = -1. La conservation de l'étrangeté nous dit que l'étrangeté des produits après réaction doit aussi avoir -1 comme somme. Vous voyez qu'il en est ainsi pour les réactions (1) et (3). Mais dans les réactions (5), l'étrangeté du terme de droite est zéro dans chaque cas. De telles réactions ne conservent pas l'étrangeté et ne se produisent pas. Pourquoi ? Cela est lié à la composition en quarks de ces particules, la charge étrange étant portée par le quark étrange, et par les propriétés de l'interaction forte qui remanie les quarks mais ne les transforme pas. Mais nous n'aurons pas besoin de nous plonger dans la structure en quarks de ces particules pour comprendre la suite. Donc, à ce stade on peut juste considérer que la conservation de l'étrangeté est un constat. Voyons maintenant la réaction suivante : un −π heurte un proton. Vous pourriez obtenir, par exemple, une particule 0Λ plus un méson K neutre, deux particules neutres. Mais quel K neutre

obtenez-vous ? Du fait que la particule Λ a l'étrangeté -1 et le π et le +p une étrangeté zéro et puisqu'il s'agit d'une réaction de production rapide, l'étrangeté ne doit pas changer. La particule K doit avoir l'étrangeté +1. Il faut donc que ce soit le 0K . La réaction est (6) 00 Kp +Λ→+−π avec S = 0 + 0 = -1 + +1 (conservé) Si c'était le 0K au lieu du 0K , l'étrangeté sur la droite serait -1, ce que la nature ne permet pas puisque l'étrangeté sur la gauche est zéro. Par contre, on peut produire un 0K dans d'autres réactions telles que (7) ++++→+ KKpnnn 0 S = 0 + 0 = 0 + 0 + +1 + -1 Ou (8) 0KnpK +→+− S = -1 + 0 = 0 + -1 Peut-être vous dites-vous : "tout cela, c'est du vent, car comme savez-vous s'il s'agit d'un 0K ou d'un 0K ? Ils se ressemblent tout à fait. Ils sont antiparticules l'un de l'autre, ils ont donc exactement la même masse et tous deux ont une charge électrique zéro. Le K pourrait être sa propre antiparticule comme le photon. Comment les distinguez-vous ?" Par les réactions qu'ils produisent. Par exemple, un 0K peut interagir avec la matière pour produire une particule Λ , comme ceci : (9) ++Λ→+ π00 pK

un 0K ne le peut pas. Par aucun moyen un 0K ne pourra produire une particule Λ lorsqu'il interagit avec la matière ordinaire (des protons et des neutrons). Sauf, bien sûr, s'il produit aussi deux +K ou d'autres particules d'étrangeté totale +1. Il suffit d'imaginer qu'il s'agit ici de réactions où l'énergie est insuffisante pour produire ces particules supplémentaires étranges. Et, quoi qu'il en soit, ces différents cas sont expérimentalement faciles à distinguer en regardant les particules produites. Les 0K produits par certaines réactions produisent eux-mêmes certaines réactions et les

0K produits par d'autres réactions produisent certaines réactions différentes. Il y a clairement deux

particules différentes. Ainsi, une distinction expérimentale possible entre le 0K et le 0K serait que l'un d'eux produise ensuite des Λ et l'autre pas. L'une des prédictions de la théorie de l'étrangeté consiste donc en ceci : si, au cours d'une expérience avec des pions de haute énergie, une particule Λ est produite en même temps qu'un méson K neutre, ce méson K neutre rencontrant à nouveau la matière ne produira jamais un Λ . L'expérience pourrait se faire à peu près de cette façon : vous envoyez un faisceau de méson −π dans une grande chambre à bulles à hydrogène (qui ne laisse la trace que des particules chargées électriquement). La trace d'un −π disparaît, mais quelque part ailleurs une paire de trace apparaît (un proton et un −π ) montrant qu'une particule Λ s'est désintégrée. Vous savez alors qu'il existe quelque part un 0K que vous ne pouvez pas voir.

Vous pouvez quand même savoir par où il est parti en utilisant la conservation de l'impulsion et de l'énergie (il pourrait se manifester plus tard en se désintégrant en deux particules chargées, comme indiqué dans la figure (a)). Tandis qu'il continue son chemin, le 0K peut rencontrer l'un des noyaux d'hydrogène (un proton) et produire peut-être d'autres particules. La théorie de l'étrangeté prédit qu'il ne produira jamais une particule Λ , du moins au moyen d'une réaction simple telle que (9) ++Λ→+ π00 pK

alors qu'un 0K peut très bien le faire. Autrement dit, dans une chambre à bulles, un 0K pourrait produire l'événement schématisé dans la figure (b), dans lequel un 0Λ est vu grâce à sa

désintégration, un 0K par contre ne peut pas le produire. C'est la première partie de notre histoire : la conservation de l'étrangeté. Notons que les trajectoires dans les chambres à bulles représentées droites sont en réalité courbées par la présence d'un champ magnétique qui permet ainsi, par la mesure du rayon de courbure, de mesurer l'impulsion de chaque particule chargée laissant une trace. La conservation de l'étrangeté n'est pas absolument stricte. Il existe des désintégrations très lentes de particules étranges, elles prennent beaucoup de temps, typiquement de l'ordre de sec10 10− , dans lesquelles l'étrangeté n'est pas conservée (un temps caractéristique, pour les interactions fortes, est plutôt de l'ordre de sec10 23− ). Ainsi la particule Λ à l'état libre se désintègre lentement, par le biais d'une interaction faible. Les produits de désintégration sont ou bien un p et un −π ou bien un n et un 0π . Le temps de vie est de sec102,2 10−× . De même, le 0K se désintègre en deux mésons pi (+

et -) avec une durée de vide de sec10 10− . C'est d'ailleurs grâce à ces désintégrations que les particules K furent d'abord observées. Notez que la réaction de désintégration (10) −+ +→ ππ0K ne conserve pas l'étrangeté et ne peut donc pas avoir lieu "rapidement" par interaction forte. Elle ne peut procéder que d'une interaction faible. Le 0K se désintègre lui aussi de cette manière, en deux mésons pi, et aussi avec la même durée de vie (11) −+ +→ ππ0K A nouveau, nous avons une désintégration faible puisque l'étrangeté n'est pas conservée. Il existe un principe selon lequel à toute réaction correspond une autre réaction, où "matière" est remplacé par "antimatière" et vice versa. L'antimatière étant ce qui est obtenu après renversement du signe de toutes les charges, y compris les charges des particules internes dans le cas où la particule possède une structure interne (ce qui est le cas des mésons qui contiennent deux quarks). C'est une simple opération de symétrie. Le 0K étant l'antiparticule du 0K , il devrait se désintégrer en donnant les antiparticules du +π et su −π , mais l'antiparticule d'un +π c'est le −π (ou vice versa, si vous préférez. Dans le cas des mésons pi, il se trouve que peu importe lequel on appelle "matière"). Du

fait des désintégrations faibles, le 0K et le 0K peuvent transiter vers les mêmes produits finaux. Quand ils sont "vus" par leur désintégration, comme dans une chambre à bulles, ils semblent être la même particule. Seules les interactions fortes sont différentes. Enfin, nous voilà prêts à décrire le travail de Gell-Mann et de Pais. Ils ont d'abord noté que le 0K et le 0K peuvent l'un et l'autre se transformer en des états formés de deux mésons pi, il doit exister une certaine amplitude pour que le 0K puisse devenir un 0K et aussi pour que le 0K puisse devenir un 0K . En écrivant les réactions comme on le fait en chimie, nous aurions (12) 00 KK ↔+↔ +− ππ Ces réactions impliquent qu'il existe une certaine amplitude par unité de temps, disons h/i− que

multiplie 00 KWK , pour qu'un 0K se transforme en 0K par le biais de l'interaction faible

responsable de la désintégration en deux mésons pi. Il existe aussi l'amplitude correspondante 00 KWK pour le processus inverse. Du fait que matière et antimatière se comportent exactement

de la même manière, ces deux amplitudes sont égales numériquement. Nous les désignons l'une et l'autre par A :

(13) AKWKKWK == 0000

C'est là, on dit Gell-Mann et Pais, une situation très intéressante. Là où les gens ont vu jusqu'à présent deux états distincts du monde, le 0K et le 0K , il n'y aurait lieu de voir en fait qu'un seul système à deux états puisqu'il existe une amplitude pour passer de l'un à l'autre état. Pour une analyse complète, il faudrait bien sûr s'occuper de beaucoup plus que deux états, car il y a aussi les états de pi et autres. Mais étant surtout intéressés par la relation entre le 0K et le 0K , ils n'ont pas eut à trop compliquer les choses et ils ont pu faire l'approximation d'un système à deux états. Il fut tenu compte des autres états dans la mesure où leur effet contribuait implicitement aux amplitudes de l'équation (13). En conséquence, Gell-Mann et Pais ont analysé la particule neutre comme un système à deux états.

Ils commencèrent par choisir, pour les deux états de base, les états 0K et 0K (à partir de là,

l'histoire se déroule de manière très similaire à celle de la molécule d'ammoniac). Tout état ψ de

la particule K neutre pouvait alors être défini en précisant les amplitudes pour qu'il soit dans l'un et l'autre des états de base. Nous désignerons ainsi ces amplitudes

(14) ψ0KC =+ , ψ0KC =−

L'étape suivante fut d'écrire les équations hamiltoniennes pour ce système à deux états. S'il n'y avait pas de couplage entre le 0K et le 0K , les équations seraient simplement

(15)

−−

++

=

=

CEdt

dCi

CEdt

dCi

0

0

h

h

Mais puisqu'il existe une amplitude 00 KWK pour que le 0K se transforme en 0K , om faut

inclure le terme additionnel

(16) −− = ACCKWK 00

ajouté à droite de la première équation. Il faut de même insérer le terme +AC dans l'équation

concernant le taux de variation de −C . Mais ce n'est pas tout. Lorsqu'on tient compte de l'effet des deux pions, il faut additionner l'amplitude pour que le 0K se transforme en lui-même par le processus (17) 00 KK →+→ +− ππ

L'amplitude additionnelle que nous pourrions écrire 00 KWK est égale exactement à

00 KWK puisque les amplitudes pour passer du système de deux pions ou pour en revenir sont

les mêmes, qu'il s'agisse d'un 0K ou d'un 0K . Si vous le désirez, la démonstration détaillée peut se faire ainsi :

(18) 0000 22 KWWKKWK ππ=

et

(19) 0000 22 KWWKKWK ππ=

Nous faisons ici une simplification car le système de deux pions peut avoir beaucoup d'états correspondant aux diverses impulsions des mésons pi. Nous devrions écrire le coté droit de cette équation sous la forme d'une somme portant sur les divers états de base des pi. Mais le traitement complet conduirait aux même conclusions avec juste des notations beaucoup plus lourdes. Du fait de la symétrie entre matière et antimatière, on a

(20) 00 22 KWKW ππ =

et aussi

(21) ππ 22 00 WKWK =

Il s'ensuit que 0000 KWKKWK = et aussi que 0000 KWKKWK = , ainsi que nous

l'avions dit plus haut. De toute manière, il y a les deux amplitudes 00 KWK et 00 KWK , l'une

et l'autre égale à A, qu'il faut insérer dans les équations hamiltoniennes. La première donne un terme +AC dans le coté droit de l'équation concernant dtdC /+ et la seconde un terme −AC dans

l'équation concernant dtdC /− . En raisonnant de cette façon, Gell-Mann et Pais conclurent que les équations hamiltoniennes pour le système de mésons K neutres devaient être

(22)

−+−−

+−++

++=

++=

ACACCEdt

dCi

ACACCEdt

dCi

0

0

h

h

Il nous faut rectifier quelque chose que nous avons dit au cours des sections précédentes : à savoir

que deux amplitudes concernant deux processus inverses, comme 00 KWK et 00 KWK sont

toujours des complexes conjugués. C'était vrai tant qu'il s'agissait de particules qui ne se désintégraient pas. Mais si les particules peuvent se désintégrer, et donc "se perdre", les deux

amplitudes ne sont plus nécessairement des complexes conjugués. Le raisonnement permettant de montrer que les amplitudes étaient conjuguées utilisait le fait que le passage d'un état A vers B, si on le renversait dans le temps, donnait le passage de l'état B vers A. Mais ici il existe un autre état : un état avec deux pions s'échappant, définitivement. Il existe donc une "perte" et il n'est pas toujours possible de revenir à la situation initiale. Ainsi le méson 0K peut se transformer en 0K mais le retour n'est pas toujours possible si, avant, les deux mésons pi s'échappent. La description en deux états n'est qu'approximative, comme nous l'avions signalé plus haut, et le détail est caché dans l'amplitude A. L'égalité (13) ne signifie donc pas que les amplitudes sont des nombres réels. Elles sont en fait complexes. Par conséquent le coefficient A est complexe et nous ne pouvons pas simplement l'incorporer dans l'énergie 0E .

Ayant souvent été confronté à des systèmes à deux états comme celui de l'ammoniac ou le spin de l'électron, nos héros savaient que les équations hamiltoniennes signifiaient qu'il existait une autre paire d'états de base que l'on pourrait utiliser aussi pour représenter le système de la particule K et qui auraient des comportements particulièrement simples. Tout comme nous avons vu dans le cas de l'ammoniac que des combinaisons des états de base donnaient des états stationnaires. Ils se dirent "prenons la somme et la différence de ces deux équations. D'autre part, mesurons toutes nos énergies en prenant 0E pour origine et prenons des unités d'énergie et de temps pour lesquelles

1=h " (c'est ce que font toujours les théoriciens modernes de la physique. Cela ne change rien à la physique mais les équations prennent une forme plus simple et réintroduire la ou les constantes manquantes à la fin peut se faire par simple analyse dimensionnelle, ce qui revient à revenir à des unités plus conventionnelles). Voici leur résultat :

(23) ( ) ( )−+−+ +=+ CCACCdt

di 2 , ( ) 0=− −+ CC

dt

di

On voit immédiatement que les combinaisons d'amplitudes ( )−+ +CC et ( )−+ −CC agissent indépendamment l'une de l'autre (elles correspondent bien sûr aux états stationnaires que nous avons étudiés antérieurement). Ils pensèrent donc que l'utilisation d'une représentation différente pour la particule K serait plus pratique. Ils définirent les deux états

(24) ( )001

2

1KKK += , ( )00

22

1KKK −=

Les facteurs racine carrée de deux sont là pour normaliser les amplitudes. C'est-à-dire pour veiller à

ce que la probabilité de trouver la particule dans l'état 0K ou 0K est la même que la probabilité

de trouver la particule dans l'état 1K ou 2K ce que vous pouvez facilement vérifier.

Ils dirent qu'au lieu de penser aux mésons 0K et 0K , on peut tout aussi bien penser en termes de deux particules (ou "états") 1K et 2K . Cela n'a rien d'extraordinaire puisque nous avons vu que ces deux mésons sont en fait deux états d'un même système, d'une même particule pouvant prendre plusieurs états. Mais Gell-Mann et Pais ne firent pas tout cela dans le seul but de donner de nouveaux noms aux particules. Il y a aussi dans tout cela une certaine physique étrange et nouvelle. Supposez que 1C et

2C sont les amplitudes pour qu'un certain état ψ soit un méson 1K ou 2K :

(25) ψ11 KC = , ψ22 KC =

Des équations (24), on peut tirer

(26) ( )−+ += CCC2

11 , ( )−+ −= CCC

2

12

L'équation (23) devient alors

(27) 11 2AC

dt

dCi = , 02 =

dt

dCi

Les solutions en sont (28) ( ) ( ) AtieCtC 2

11 0 −= , ( ) ( )022 CtC =

où, bien sûr, ( )01C et ( )02C sont les amplitudes à t = 0.

Ces équations nous disent que si une particule K neutre commence, à t = 0, dans l'état 1K

( ( ) 101 =C et ( ) 002 =C ), les amplitudes au temps t seront

(29) ( ) AtietC 21

−= , ( ) 02 =tC Si l'on se souvient que A est un nombre complexe, il est commode de poser βα iA −= (nous écrivons moins βi parce que la partie imaginaire de 2A se trouve être négative). Après cette

substitution, ( )tC1 devient

(30) ( ) ( ) riteeCtC αβ −−= 011 La probabilité de trouver une particule 1K à l'instant t est le carré du module de cette amplitude,

soit te β2− . Et, du fait des équations (28), la probabilité de trouver l'état 2K est nulle à tout moment.

Cela signifie que si vous mettez une particule K dans un état 1K , la probabilité de la retrouver

dans le même état décroît exponentiellement avec le temps, mais vous ne la retrouverez jamais dans l'état 2K . Où va-t-elle ? Elle se désintègre en deux mésons pi avec la vie moyenne βτ 2/1=

laquelle est, expérimentalement, sec10 10− . Nous tenions compte de cela lorsque nous disions que A était complexe. D'autre part, les équations (28) nous disent que si nous mettons une particule K entièrement dans l'état 2K , elle y restera pour toujours. Eh bien, ce n'est pas tout à fait vrai. Expérimentalement, on observe qu'il se désintègre en trois mésons pi, mais 600 fois plus lentement que la désintégration en deux pions que nous avons décrite. Mais, tant que l'on considère seulement la désintégration en deux pions, le 2K a une durée "éternelle". Maintenant, terminons l'histoire de Gell-Mann et Pais. Ils en vinrent à considérer ce qui se passe lorsque la particule K est produite en même temps qu'une particule 0Λ dans une interaction forte. Puisqu'elle doit dans ce cas avoir l'étrangeté +1, elle doit être produite dans l'état 0K . Ainsi, à t = 0, ce n'est ni un 1K ni un 2K mais un mélange. Les conditions initiales sont

(31) ( ) 10 =+C , ( ) 00 =−C

Mais, d'après (25), cela signifie que

(32) ( )2

101 =C , ( )

2

102 =C

et encore, d'après (27),

(33) ( ) titeetC αβ −−=2

11 , ( )

2

12 =tC

Maintenant, souvenez-vous que 1K et 2K sont l'un et l'autre des combinaisons linéaires de 0K et

0K . Dans les équations (33), les amplitudes ont été choisies de sorte qu'à t = 0, les contributions de 0K s'annulent l'une l'autre par interférence, laissant seul l'état 0K . Mais l'état 1K varie avec le

temps alors que l'état 2K ne varie pas. Au-delà de t = 0, l'interférence entre 1C et 2C donnera des

amplitudes finies pour 0K et 0K . Que signifie tout cela ? Revenons-en à l'expérience que nous avions schématisée dans la figure plus haut. Un méson −π produit une particule 0Λ et un méson 0K qui se ballade à travers l'hydrogène de la chambre. Tandis qu'il progresse, il a une certaine chance, faible mais constante, de percuter un noyau d'hydrogène. Au début, nous pensions que la conservation de l'étrangeté empêcherait la particule K de fabriquer un 0Λ dans une telle interaction. Nous voyons maintenant que ceci n'est pas vrai. Car, bien que notre particule K soit, lors de sa création, un 0K , lequel ne peut pas fabriquer de 0Λ , elle ne reste pas dans cet état. Bientôt, il y aura une certaine amplitude pour qu'elle ait basculé dans l'état 0K . On doit donc s'attendre à observer parfois un 0Λ produit sur le parcours de la particule K. Les chances que cela arrive sont données par l'amplitude −C que nous pouvons

relier à 1C et 2C (en utilisant à rebours les équations (26)). Cette relation s'écrit

(34) ( ) ( )12

1

2

121 −=−= −−

−titeeCCC αβ

Tandis que notre particule K continue son chemin, la probabilité pour qu'elle "agisse comme" un 0K est égale à

2

−C , c'est-à-dire

(35) ( )teeC tt αββ cos214

1 22 −−− −+=

Un résultat étrange et compliqué ! Voilà donc la remarquable prédiction de Gell-Mann et Pais. Quand un 0K est produit, les chances pour qu'il se transforme en 0K , fait que pourra mettre en évidence la production d'un 0Λ , varient avec le temps selon l'équation (35). Cette prédiction provient seulement de la logique pure et des principes de base de la mécanique quantique, sans qu'il soit nécessaire de rien savoir du fonctionnement interne de la particule K. Etant donné que personne ne savait rien à l'époque sur les rouages internes, Gell-Mann et Pais ne pouvaient pas aller au-delà. Ils ne pouvaient pas donner des valeurs théoriques à α et β . Et personne n'a su le faire depuis même si les rouages internes ont été décryptés (la structure en quark et l'interaction faible dont la violation de la symétrie dite CP, que nous verrons plus tard. Mais l'importance de cette violation reste un paramètre libre, non calculé). Ils ont pu donner pour β une valeur déduite du taux expérimental de désintégration en deux pi

( sec102 10=β ), mais, quant à α , ils ne purent rien en dire.

Nous avons fait le graphique des fonctions (35) ci-dessus pour deux valeurs de α . Vous voyez que la forme dépend très fortement du rapport entre α et β . Au départ, la probabilité 0K est nulle. Elle croît ensuite. Si α est grand, la probabilité aura de fortes oscillations. Si α est petit, il y aura peu ou pas d'oscillations, la probabilité aura simplement une croissance régulière jusqu'à 1/4. Dans une situation expérimentale typique, la particule K, dotée d'une très grande énergie, se déplace à une vitesse constante proche de la vitesse de la lumière. Les courbes ci-dessus représentent donc aussi la probabilité d'observer un 0K en fonction de la longueur parcourue, avec des distances qui sont typiquement de quelques centimètre. Vous pouvez voir ce que cette prédiction a d'étonnant. Vous produisez une seule particule et au lieu de se désintégrer simplement, elle fait quelque chose d'autre. Parfois elle se désintègre et parfois, elle se transforme en une particule d'un type différent. Sa probabilité caractéristique de produire un effet varie d'étrange manière le long de son parcours. Il n'y a rien de tout à fait semblable dans la nature. Et cette prédiction des plus remarquables a été déduite de spéculations portant seulement sur les interférences entre amplitudes. S'il existe un endroit où l'on a des chances de vérifier de la manière la plus pure les principes essentiels de la mécanique quantique, la superposition des amplitudes se produit-elle ou pas ?, c'est bien là. Depuis, de nombreuses expériences conçues dans le but d'étudier finement ce mécanisme ont été menées confirmant les prédictions de Gell-Mann et Pais. Notons que cet effet manifeste aussi quelque chose d'extraordinaire. En effet, on part d'une particule de matière, le 0K , et on aboutit à une particule d'antimatière, le 0K . Il y a donc une légère asymétrie dans la matière - antimatière. C'est la seule manifestation connue de cette asymétrie car cette symétrie, fortement reliée à la symétrie CP, est parfaitement respectée par les interactions électromagnétiques et fortes. Il est possible que cette petite différence puisse être à l'origine de l'abondance de matière dans l'univers et de la rareté de l'antimatière. L'analyse que nous venons de décrire est très caractéristique de la façon dont on utilise aujourd'hui la mécanique quantique pour la recherche d'une compréhension des particules étranges. Toutes les théories compliquées dont vous pouvez entendre parler à ce sujet ne sont ni plus ni moins que de simples tours de passe-passe de ce genre là, utilisant le principe de superposition et autres principes

de mécanique quantique de cet acabit. Certains prétendent avoir des théories qui leur permettent de calculer α et β , ou au moins α , connaissant β , mais ces théories n'ont aucun intérêt. Par exemple, la théorie qui prédit la valeur de α connaissant β , nous dit que cette valeur de α devrait être infinie. L'ensemble des équations dont ils partent concerne deux mésons pi qui transitent vers un 0K et ainsi de suite. Après manipulation, on aboutit en effet à deux équations similaires à celles que nous avons ici. Mais comme il y a un nombre infini d'états à deux pions, selon leurs impulsions, l'intégration sur toutes les possibilités donne un α infini. Pourtant l'α de la nature n'est pas infini. Les théories dynamiques sont donc fausses. Il est vraiment remarquable que les seules prédictions que l'on puisse faire dans le monde des particules étranges aient pour origine les principes de mécanique quantique du niveau de ce cours.

I.4. Généralisation aux systèmes à N états Nous en avons terminé avec les systèmes à deux états dont nous voulions parler. Nous reviendrons à des systèmes de ce genre lorsque nous aborderons le spin. Dans la suite, nous en viendrons à l'étude des systèmes à d'avantages d'états. L'extension aux systèmes à N états des idées que nous avons développées pour les systèmes à deux états est assez directe. Cela se fait ainsi. Si un système à N états distincts, nous pouvons représenter chaque état ( )tψ comme une

combinaison linéaire d'un ensemble quelconque d'états de base i , où i = 1, 2, 3,… N.

(1) ( ) ( )∑=itout

i tCitψ

Les coefficients ( )tCi sont les amplitudes ( )ti ψ . Le comportement des amplitudes iC en

fonction du temps est déterminé par les équations

(2) ∑=j

jij

i CHdt

dCih

où la matrice ijH décrit la physique du phénomène. Cela ressemble au cas de deux états.

Seulement, cette fois, i et j doivent chacun avoir pour domaine l'ensemble des N états de base et la matrice énergie ijH , ou si vous préférez, l'hamiltonien, est une matrice N par N avec 2N éléments.

Comme avant, jiij HH =∗ , pour autant que les particules soient conservées (contrairement au cas

des mésons K, par exemple) et les éléments diagonaux de ijH sont des nombres réels.

Nous avons déjà trouvé les solutions pour les C d'un système à deux états lorsque la matrice énergie est constante (indépendante de t). Il n'est pas non plus difficile de résoudre l'équation (2) pour un système à N états quand H ne dépend pas du temps. A nouveau, commençons par chercher une solution possible pour laquelle les amplitudes ont toutes la même dépendance en temps. Nous essayons (3) ( )Eti

ii eaC h/−=

Quand on substitue ces iC dans (2), les dérivées dtdCi / deviennent simplement ( ) iECi h/− . En

supprimant le facteur commun à tous les termes, on obtient : (4) ∑=

j

jiji aHEa

C'est un ensemble de N équations algébriques linéaires pour N inconnues 1a , 2a , …, Na et il n'y a

de solution que si vous avez de la chance, uniquement si le déterminant des coefficients de tous les a est nul. Mais il n'y a pas lieu d'être aussi compliqué. Vous pouvez simplement commencer à résoudre les équations de la manière que vous voudrez et vous trouverez qu'on ne peut les résoudre que pour certaines valeurs de E (rappelez-vous que E est la seule chose ajustable que nous ayons dans ces équations). Si néanmoins vous voulez être formalistes, vous pouvez écrire (4) sous la forme (5) ( ) 0=−∑

j

jijij aEH δ

Vous pouvez ensuite utiliser la règle, si vous la connaissez, selon laquelle ces équations n'ont une solution que pour les valeurs de E qui satisfont à (6) ( ) 0det =− EH ijij δ

Chaque terme du déterminant est simplement ijH sauf que E est soustrait de chaque élément

diagonal. Ainsi, l'équation (6) signifie simplement

(7) 0det333231

232221

131211

=

−−

−

LLLL

L

L

L

EHHH

HEHH

HHEH

Ce n'est là, bien sûr, qu'une forme particulière d'équation algébrique pour la variable E. C'est la somme d'un tas de produits portant sur tous les termes pris dans un certain ordre. Ces produits donneront toutes les puissances de E jusqu'à NE . Nous avons donc un polynôme du Nième ordre égal à zéro. Il y a en général N racines (nous devons nous souvenir que certaines d'entre elles peuvent être des racines multiples, autrement dit, plusieurs racines peuvent être égales). Désignons ces N racines par (8) IE , IIE , IIIE , …, nE , …, NE

(nous utiliserons n pour représenter le nième chiffre romain. n prend donc toutes les valeurs I, II, …, N). Il se peut que certaines de ces énergies soient égales, disons IIIII EE = , mais nous préférons leur conserver des noms différents. Les équations (4) ou (5) ont une seule solution pour chaque valeur de E. Si nous portons l'une quelconque des valeurs de E, disons nE , dans (4) et si nous cherchons les solutions pour les ia ,

nous obtenons un ensemble de valeurs associées à l'énergie nE . Nous désignons ces solutions par

( )nia .

En portant ces ( )nia dans (3), nous obtenons les amplitudes ( )niC , amplitudes pour qu'un état

d'énergie définie soit dans l'état de base i . En désignant par n le vecteur d'état représentant à t =

0 l'état d'énergie définie, nous pouvons écrire

(9) ( ) ( ) tEi

i eiC nnnh/=

avec (10) ( )nn iai =

L'état d'énergie définie complet ( )tnψ peut alors s'écrire

(11) ( ) ( ) ( )∑

−=i

tEi

i eait nn n

h/ψ

ou

(12) ( ) ( ) tEiet n

n nh/=ψ

Les vecteurs d'état n décrivent la configuration des états d'énergie définie, mais le facteur de

dépendance au temps est omis. Ils constituent ainsi des vecteurs constants que l'on peut utiliser comme nouvelle base si on le désire. Chacun des états n a la propriété suivante, que vous pouvez

facilement établir, sous l'action de l'opérateur hamiltonien H , il redonne simplement le même état que multiplie nE .

(13) nn nEH =ˆ

L'énergie nE apparaît ainsi comme un nombre caractéristique de l'opérateur hamiltonien H . Comme nous l'avons vu, un hamiltonien aura en général plusieurs énergies caractéristiques. Dans le monde des mathématiciens, on les appelle "valeurs propres" de la matrice ijH . Les physiciens leur

donnent habituellement également ce nom ou celui de "eigen" de H ("eigen" est le mot allemand pour "caractéristique" ou "propre"). A chaque valeur de "eigen" de H, autrement dit, à chaque énergie, correspond un état d'énergie définie, état que nous avons désigné par "stationnaire". On désigne le plus souvent ces états n comme "états propres" ou "eigen" ou "vecteurs propres" de

H . A chaque état propre correspond une valeur propre particulière nE . De manière générale, les états n , qui sont au nombre de N, peuvent définir une base. Pour que ce

soit vrai, il faut que tous les états soient orthogonaux, ce qui signifie que pour deux quelconques d'entre eux, disons n et m ,

(14) 0=mn

Ceci sera automatiquement vrai si toutes les énergies sont différentes. On peut d'autre part multiplier tous les ( )nia par un facteur approprié pour que tous états soient normalisés, par là nous

entendons que,

(15) 1=nn

pour tout n .

Quand il arrive par accident que l'équation (7) a deux racines (ou plus) à la même énergie, il y a encore quelques complications mineures. Tout d'abord, il y a bien encore deux séries différentes de coefficients ia même pour des valeurs égales de l'énergie, mais les états qu'ils définissent peuvent

ne pas être orthogonaux. Supposez qu'ayant procédé de façon normale, vous trouviez deux états stationnaires avec des énergies égales, désignons les par µ et ν . Il se peut qu'ils ne soient pas

orthogonaux, si vous êtes malchanceux, vous aurez (16) 0≠νµ

Mais il vous sera chaque fois possible de mijoter deux nouveaux états que nous désignerons par µ ′ et ν ′ qui, tout en ayant la même énergie, sont aussi orthogonaux. On aura donc

(17) 0=′′ νµ

Vous pouvez aboutir à cela en construisant µ ′ et ν ′ comme des combinaisons linéaires de µ

et ν dont les coefficients sont choisis de manière à satisfaire (17). Nous supposerons en général

que ceci a été fait et, par conséquent, que tous nos états d'énergie propre sont orthogonaux. Nous aimerions, pour le plaisir, prouver que deux états stationnaires d'énergies différentes sont toujours orthogonaux. Pour l'état n d'énergie nE , on a

(18) nn nEH =ˆ

Cette équation d'opérateur implique en fait une équation entre nombres. D'ailleurs, après que nous ayons remis les parties manquantes, elle s'écrit

(19) nn iEjjHi n

j

=∑ ˆ

Si nous prenons le complexe conjugué de cette équation, nous obtenons

(20) ∗∗∗∗

=∑ nn n iEjjHij

ˆ

Souvenez-vous maintenant que le complexe conjugué d'une amplitude est l'amplitude du processus inverse. Ainsi, (20) peut se récrire sous la forme

(21) iEiHjjj

nn n

∗=∑ ˆ

Cette équation étant vraie quel que soit i, elle a pour "forme condensée"

(22) nn n

∗= EH

C'est ce qu'on appelle la relation "adjointe" de (18). On peut maintenant prouver sans difficulté que nE est un nombre réel. Nous multiplions (18) par

n pour obtenir

(23) nnn EH =ˆ

puisque 1=nn . Nous multiplions ensuite (22) sur la gauche par n et nous obtenons

(24) ∗= nnn EH

En comparant (23) et (24), on voit immédiatement que (25) ∗= nn EE

ce qui signifie que nE est réel. Nous pouvons effacer l'étoile de nE dans l'équation (22).

Nous voilà enfin en mesure de prouver que les états d'énergies différentes sont orthogonaux. Prenons n et m , deux quelconques des états de base d'énergie définie. En appliquant à l'état m

l'équation (22) et en multipliant ensuite par n , nous obtenons

(26) nmnm mEH =ˆ

Si, d'autre part, nous multiplions (18) par m , nous obtenons

(27) nmnm nEH =ˆ

Les termes de gauche de ces deux équations étant égaux, les termes de droite le sont aussi, d'où : (28) nmnm nm EE =

Si nm EE = , l'équation ne nous apprend rien. Mais si les énergies des deux états m et n sont

différentes ( nm EE ≠ ), l'équation (28) nous dit que nm doit être nul. C'est ce que nous voulions

montrer. Les deux états sont nécessairement orthogonaux, pour autant que nE et mE sont numériquement différents.

II. Equation de Schrödinger

II.1. Développement de l'équation Nous en arrivons maintenant au développement de l'équation de Schrödinger. En nous servant de ce que nous avons vu avec les solutions des équations quantiques dans le cas à N états, nous allons étudier comment peut se comporter un électron lorsqu'il se propage dans un cristal. A partir de là, par analogie et un passage à la limite, nous pourrons en déduire l'équation de Schrödinger pour une particule libre ou plongée dans un potentiel.

II.1.1. Propagation dans un réseau cristallin

II.1.1.1. Etats d'un électron dans un réseau à une dimension Nous pourrions penser, à première vue, qu'un électron de basse énergie aurait beaucoup de difficultés à passer au travers d'un bloc de cristal. Les atomes sont tassés, leurs centres n'étant distants que de quelques angströms et le diamètre effectif de l'atome pour diffuser un électron est lui aussi de l'ordre de l'angström. Autrement dit, les atomes sont grands par rapport à leur espacement et vous vous attendriez à ce que le parcours moyen entre collisions soit de l'ordre de quelques angströms, ce qui n'est pratiquement rien. Vous vous attendriez à ce que l'électron se heurte presque immédiatement à quelqu'atome. Néanmoins, si le réseau est parfait, les électrons peuvent voyager avec aisance au travers du cristal, pratiquement comme s'ils étaient dans le vide. C'est un phénomène d'ubiquité de la nature. C'est ce fait étrange qui permet aux métaux de conduite l'électricité si facilement. Il a aussi permis le développement de nombreux systèmes d'intérêt pratiques. C'est lui, par exemple, qui permet à un transistor d'imiter la lampe radio. Dans une lampe radio, les électrons se déplacent librement à travers le vide, tandis que dans le transistor ils se déplacent librement à travers un réseau cristallin. Les mécanismes qui expliquent le comportement des transistors seront décrits dans ce qui suit mais nous verrons plus tard les applications de ces principes dans divers dispositifs d'intérêt pratique. La conduction des électrons dans un cristal est un exemple parmi d'autres d'un phénomène très général. Il n'y a pas que les électrons à pouvoir voyager à travers des cristaux, d'autres "choses" aussi, telles que les excitations atomiques peuvent se comporter de manière semblable. Ainsi, le phénomène dont nous voulons discuter apparaît de multiples façons dans l'étude de la physique à l'état solide. Nous avons déjà discuté d'exemples de systèmes à deux états. Imaginons maintenant un électron qui puisse se trouver dans l'une des deux positions, l'environnement restant du même type dans l'un et l'autre cas. Supposons aussi qu'il existe une certaine amplitude pour qu'il passe d'une position à l'autre et bien sûr la même amplitude pour le passage inverse. Les lois de la mécanique quantique donnent alors les résultats suivants. Il existe deux états d'énergie définie possible pour l'électron. Tout état peut être décrit en donnant les amplitudes pour que l'électron soit dans chacune des deux

positions de base. Pour l'un et l'autre état d'énergie définie, les grandeurs de ces amplitudes sont constantes dans le temps et les phases varient en fonction du temps avec une même fréquence. Par ailleurs, si l'électron est au départ dans une position, il passera plus tard à l'autre et plus tard encore il sera de retour à la première position. L'amplitude est analogue au mouvement de deux pendules couplés. Considérez maintenant un réseau cristallin parfait et imaginez qu'un électron puisse y être situé dans une sorte de "trou", près d'un certain atome et qu'il ait une certaine énergie. Supposez en outre que cet électron a une certaine amplitude de se déplacer dans un trou différent, près de l'un des atomes voisins. C'est un peu comme le système à deux états, mais avec une complication supplémentaire. Une fois l'électron arrivé à l'atome voisin, il peut repartir vers une nouvelle destination ou bien revenir au point de départ. Nous avons maintenant une situation analogue non pas à deux pendules couplés mais à une infinité de pendules tous couplés les uns avec les autres. Cela peut vous rappeler l'une de ces machines, faite d'une longue série de barres montées sur un fil de torsion, et que l'on utilise en première année de physique pour démontrer la propagation des ondes. Si vous avez un oscillateur harmonique couplé à un autre oscillateur harmonique, celui-ci étant couplé à un autre et ainsi de suite… et si vous provoquez une irrégularité en un endroit, cette irrégularité se propagera comme une onde le long de la ligne. La même situation existe si vous placez un électron près de l'un des atomes d'une longue chaîne d'atomes. Habituellement, la manière la plus simple d'analyser le problème mécanique n'est pas de penser à ce qui se passe si une impulsion est donnée en un point précis mais plutôt de considérer les solutions d'ondes stationnaires. Il existe certains modes de perturbation qui se propagent au travers du cristal comme une onde de fréquence constante et unique. La même chose se produit avec l'électron et pour les mêmes raisons car il est décrit, en mécanique quantique, par le même type d'équations. Cependant vous devez bien comprendre ceci : l'amplitude pour que l'électron soit en un lieu est une amplitude et non une probabilité. Si l'électron ne faisait que s'écouler d'un endroit vers l'autre, comme l'eau à travers un trou, le comportement serait complètement différent. Par exemple, si nous

avions deux réservoirs réunis par un tuyau permettant un certain écoulement de l'un vers l'autre, les niveaux tendraient exponentiellement à s'égaliser. Mais ce qui se passe pour l'électron, c'est un écoulement d'amplitude et non pas un banal écoulement de probabilité. Et c'est une caractéristique du terme imaginaire, le i dans les équations différentielles de mécanique quantique, qui change la solution exponentielle en une solution oscillatoire. Ce qui se passe alors est tout à fait différent de l'écoulement entre deux réservoirs reliés entre eux.

Nous voulons maintenant analyser de façon quantitative la situation quantique. Imaginez un système à une dimension, constitué d'une longue ligne d'atomes comme indiqué sur la figure ci-dessus (un cristal, bien sûr, a trois dimensions, mais la physique est pratiquement la même. Une fois que vous aurez compris le cas à une dimension, vous pouvez comprendre ce qui se passe à trois dimensions). Nous voulons voir ensuite ce qui se passe si nous mettons un électron et un seul sur

cette ligne d'atomes. Bien sûr, dans un cristal réel, il y a déjà des milliers d'électrons. Mais la plus part (presque tous dans un cristal isolant) prennent place dans un mouvement d'un certain type, chacun autour de son atome, et tout est pratiquement stationnaire. Mais ce que nous voulons savoir c'est ce qui se passe si nous introduisons un électron supplémentaire. Nous ne nous occuperons pas de ce que font les autres car nous supposons qu'il faudrait, pour changer leur mouvement, énormément d'énergie d'excitation. Nous allons ajouter un électron comme s'il s'agissait de produire un ion négatif faiblement lié. En observant ce que fait cet unique électron supplémentaire, nous faisons une approximation, nous négligeons le mécanisme interne des atomes. L'expérience montre que cette approximation est généralement bien justifiée. Bien sûr, l'électron peut ensuite passer à un autre atome, transférant ailleurs l'ion négatif. Nous supposerons que cet électron peut sauter d'un atome à l'atome voisin de droite ou de gauche avec une certaine amplitude. Comment décririons-nous un tel système ? Quels seront les états de base raisonnables ? Vous pouvez aisément deviner comment cela va se passer. Supposez que, dans notre rangée d'atomes, tous les espaces sont égaux (c'est un cristal) et nous donnons à chaque atome un numéro d'ordre, comme indiqué sur la figure (a). L'un des états de base correspond à l'électron situé sur l'atome numéro 6, pour un autre état de base, l'électron est à l'atome numéro 7, ou à l'atome numéro 8 et ainsi de suite. Nous pouvons décrire le nième état de base en disant que l'électron est à l'atome numéro n. Disons que c'est l'état de base n . La figure ci-dessus montre ce que nous entendons par

les trois états 1−n , n et 1+n .

A partir de ces états de base, nous pouvons décrire tout état φ de notre cristal à une dimension en

donnant l'amplitude φn pour que l'état φ soit dans l'un des états de base, autrement dit

l'amplitude pour que l'électron soit localisé à un atome particulier. Nous pouvons ensuite écrire l'état φ comme une superposition des états de base

(1) ∑=n

nn φφ

Puis, nous supposerons que l'électron, situé à l'un des atomes, a une certaine amplitude pour passer à l'atome voisin de droite ou de gauche. Et pour prendre le cas le plus simple, nous supposerons qu'il ne peut passer qu'aux atomes immédiatement voisins pour atteindre le plus proche parmi les autres, il lui faut donc procéder en deux étapes. Nous poserons que les amplitudes pour le saut d'un atome au suivant sont h/iA (par unité de temps). Pour le moment nous représenterons par nC l'amplitude φn pour que l'électron soit au nième

atome. Alors l'équation (1) devient (2) ∑=

n

nCnφ

Si nous connaissions chacune des amplitudes nC à un instant donné, nous pourrions prendre le

carré de leurs modules et obtenir la probabilité que vous trouviez l'électron, si vous le cherchiez à l'atome n à cet instant. Quelle sera la situation un peu plus tard ? Par analogie avec les systèmes à deux états que nous avons étudiés, nous pouvons supposer que les équations hamiltoniennes pour ce système doivent être de ce type :

(3) ( ) ( ) ( )tACtACE

dt

tdCi nn

n110 −+ −−=h

Le premier coefficient sur la droite, 0E , est, physiquement, l'énergie qu'aurait l'électron s'il ne

pouvait pas passer d'un atome à l'autre (ce que nous représentons par 0E importe peu. 0E ne

représente en effet, comme nous l'avons déjà vu, rien d'autre que notre convention de niveau zéro d'énergie). Le terme suivant représente l'amplitude par unité de temps pour que l'électron passe dans le nième trou venant du (n+1)ième et le dernier terme est l'amplitude pour qu'il y vienne à partir du (n-1)ième. Comme d'habitude nous supposerons que A est une constante (indépendante du temps).

La description intégrale du comportement de tout état φ demanderait que nous ayons une équation

telle que (3) pour chacune des amplitudes nC . Comme le cristal que nous considérons a un très

grand nombre d'atomes, nous supposerons qu'il y a un nombre infiniment grand d'états et que la chaîne d'atomes s'étend à l'infini dans les deux directions (pour traiter le cas fini, il nous faudra faire particulièrement attention à ce qui se passe aux extrémités). Si le nombre N de nos états de base est infiniment grand, nos équations hamiltoniennes sont aussi en nombre infini ! Nous n'en écrirons qu'un échantillon :

(4)

MM

h

h

h

MM

2101

110

2101

+++

+−

−−−

−−=

−−=

−−=

nnn

n

nnnn

nnn

n

ACACCEdt

dCi

ACACCEdt

dCi

ACACCEdt

dCi

II.1.1.2. Etats d'énergie définie Il y a beaucoup de choses que l'on pourrait étudier concernant un électron dans un réseau, mais essayons d'abord de trouver les états d'énergie définie. Autrement dit, comme nous l'avons vu précédemment, il nous faut trouver une situation telle que les amplitudes varient toutes avec la même fréquence, si, du moins elles varient avec le temps. Nous cherchons des solutions de la forme (1) h/iEt

nn eaC −=

Le nombre complexe na nous renseigne sur la partie, invariante avec le temps, de l'amplitude pour

que l'on trouve l'électron au nième atome. Si nous essayons cette solution dans notre système d'équations pour voir ce qui en résulte, nous obtenons ceci : (2) 110 −+ −−= nnnn AaAaaEEa

Nous avons un nombre infini d'équations de ce type, concernant un nombre infini d'inconnues na ,

ce qui est assez effrayant. Tout ce que nous avons à faire, c'est de prendre le déterminant… mais attendez ! Des déterminants pour 2, 3 ou 4 équations, cela va bien. Mais s'il y a un grand nombre d'équations ou un nombre infini, les déterminants ne sont plus très pratiques. Nous ferions mieux d'essayer de résoudre les équations directement. Désignons d'abord les atomes par leurs positions. Nous dirons que l'atome n est à nx et l'atome (n+1) à 1+nx . Si l'espacement des atomes est b, nous aurons bxx nn +=+1 . En

choisissant notre origine à l'atome 0, nous avons simplement nbxn = . Nous pouvons récrire ainsi

l'équation (1) (3) ( ) h/iEt

nn exaC −=

et l'équation (2) devient alors (4) ( ) ( ) ( ) ( )110 −+ −−= nnnn xAaxAaxaExEa

Ou encore, en utilisant le fait que bxx nn +=+1

(5) ( ) ( ) ( ) ( )bxAabxAaxaExEa nnnn −−+−= 0

Cette équation est un peu semblable à une équation différentielle. Elle nous dit qu'une certaine quantité ( )xa en un point nx est reliée à la même quantité en certains points voisins, bxn ± (une

équation différentielle relie la valeur d'une fonction en un point à ses valeurs en des points infiniment proches). Les méthodes que nous utilisons habituellement pour résoudre les équations différentielles pourraient peut-être marcher ici, essayons. Les équations différentielles linéaires avec coefficients constants peuvent toujours se résoudre en termes de fonctions exponentielles. Nous pouvons essayer la même chose ici. Essayons la solution

(6) ( ) nikx

n exa =

L'équation (4) devient alors (7) ( ) ( )bxikbxikikxikx nnnn AeAeeEEe

−+ −−= 0

Nous pouvons diviser par le facteur commun nikx

e . On obtient (8) ikbikb AAeEE −−−= 0

Les deux derniers termes sont simplement kbAcos2 , ainsi (9) kbAEE cos20 −=

Nous avons trouvé que, pour n'importe quelle constante k, il y a une solution dont l'énergie est donnée par cette équation. Il y a différentes énergies possibles qui dépendent de k et à chaque valeur de k correspond une solution différente. Il y a un nombre infini de solutions, ce qui n'est pas surprenant puisque nous sommes partis d'un nombre infini d'états de base. Voyons ce que signifient ces solutions. Pour chaque k, les a sont donnés par (6). Les amplitudes nC

sont alors données par

(10) ( )Etinikx

n eeC h/−=

où l'énergie E, il ne vous faut pas l'oublier, dépend aussi de k selon l'équation (9). La dépendance d'espace de ces amplitudes est nikx

e . Les amplitudes oscillent quand nous nous déplaçons d'atome en atome.

Ce que nous disons, c'est que, dans l'espace, l'amplitude se comporte comme une oscillation complexe, la grandeur est la même en chaque atome, mais la phase à un instant donné augmente (ikb) d'un atome à l'autre. Nous pouvons nous représenter ce qui se passe en dessinant une ligne verticale qui, à chaque atome, représente uniquement la partie réelle. Ce que nous avons fait dans la figure ci-dessus. L'enveloppe de ces lignes verticales (indiquée par le trait discontinu) est, bien entendu, une sinusoïde. La partie imaginaire de nC est aussi une fonction oscillante mais dont la

phase est décalée de 90°, de sorte que le carré du module (qui est la somme des carrés des parties réelles et imaginaires) est le même pour tous les C. Ainsi, ayant choisi un k, nous avons un état stationnaire d'énergie particulière E. Et pour tout état de ce type, on a une chance égale de trouver l'électron à chacun des atomes, il n'y a pas de préférence pour un atome ou pour un autre. La phase seule est différente pour différents atomes. De plus, lorsque le temps passe, les phrases varient. D'après l'équation (10), les parties réelles et imaginaires de propagent le long du cristal comme des ondes, précisément comme les parties réelles et imaginaires de

(11) ( )[ ]tE

nkxi

eh/−

L'onde peut voyager vers les x positifs ou négatifs selon le signe que nous avons choisi pour k. Notez que nous avons supposé réel le nombre k placé dans notre solution d'essai (6). Nous pouvons voir maintenant pourquoi il doit en être ainsi, lorsque nous avons une ligne infinie d'atomes.

Supposez que nous ayons k imaginaire, disons ki ′ . Les amplitudes na varieraient comme nxk

e′,

l'amplitude deviendrait donc de plus en plus grande lorsque nous irions vers les grand x, vers les x négatifs si k ′ est négatif. Ce type de solution pourrait marcher si nous avions affaire à une ligne d'atomes qui ait une fin, mais ne peut pas être une solution physique pour une chaîne infinie d'atomes. Il en résulterait des amplitudes non bornées et donc des probabilités non bornées, quel que soit le facteur de normalisation qui serait choisi, ce qui ne peut représenter une situation réelle. Plus loin nous verrons un exemple dans lequel un k imaginaire aurait un sens.

La relation entre l'énergie E et le nombre d'ondes k donnée par l'équation (9) est représentée ci-dessus. Comme vous pouvez le voir sur la figure, l'énergie peut aller de AE 20 − pour k = 0 à

AE 20 + pour bk /π±= . Le dessin est fait pour A positif. Si A était négatif, la courbe serait

simplement renversée, mais le "domaine" serait le même. Le résultat significatif est que toute

énergie est possible à l'intérieur d'un certain domaine, d'une certaine "bande" d'énergies, mais pas à l'extérieur. Dans le cadre de nos hypothèses, si un électron dans un cristal est dans un état stationnaire, il ne peut avoir d'énergie dont la valeur ne soit dans cette bande. Selon (6), les plus petits k correspondent aux états de basse énergie, AEE 20 −≈ . Si k augmente

en valeur absolue (vers des valeurs positives ou négatives) l'énergie commence par croître, mais elle atteint un maximum à bk /π±= , comme indiqué sur la figure. Pour des k plus grand que

b/π , l'énergie recommencerait à décroître. Mais il n'y a pas lieu de considérer de telles valeurs de k car elles ne donnent pas de nouveaux états, elles ne font que répéter les états que nous avons déjà pour k plus petit. Nous pouvons voir cela de la manière suivante. Considérez l'état d'énergie minimum, pour lequel k = 0. Le coefficient ( )nxa est le même pour tout nx . Nous aurions la même

énergie pour bk /2π= . Mais alors (6) nous donne

(12) ( ) ( )nxbi

n exa/2π=

Si nous prenons 0x comme origine, nous pouvons poser nbxn = et ( )nxa devient

(13) ( ) 12 == ni

n exa π

L'état décrit par ces ( )nxa est physiquement le même que celui que nous avons obtenu pour k = 0.

Il ne représente pas une autre solution.

Pour prendre un autre exemple, supposez que k soit égal à b4/π . La partie réelle de ( )nxa

varierait comme indiqué par la courbe 1 ci-dessus. Si k était sept fois plus grand ( 4/7π=k ), la partie réelle de ( )nxa varierait comme indiqué par la courbe 2 (les sinusoïdes complètes n'ont bien

entendu aucune signification en soit. Tout ce qui importe ce sont les valeurs aux points nx . Les

courbes ne sont là que pour vous aider à voir ce qui se passe). Vous voyez que les deux valeurs de k donnent les mêmes amplitudes pour tous les nx .

En conséquence, pour avoir toutes les solutions possibles de notre problème, il nous suffit de prendre les k dans un certain domaine fini. Nous choisirons le domaine allant de b/π− à b/π+ , celui de la figure plus haut. Dans ce domaine, l'énergie des états stationnaires croît uniformément lorsque k croît en valeur absolue. Une remarque en passant à propos d'une liberté que vous avez. Supposez que l'électron puisse non seulement sauter d'un atome à son voisin le plus proche avec l'amplitude h/iA , mais qu'il ait aussi la possibilité de passer d'un seul bon jusqu'à l'atome suivant avec quelqu'autre amplitude h/iB .

Vous verrez que la solution peut à nouveau s'écrire sous la forme nikx

n ea = , ce type de solution est

universel. Vous trouverez également que les états stationnaires de nombre d'onde k ont une énergie égale à kbBkbAE 2cos2cos20 −− . Ceci montre que la forme de la courbe de E en fonction de k

n'est pas universelle mais dépend des hypothèses particulières au problème. Ce n'est pas toujours une forme sinusoïdale et, même, il n'y a pas toujours une symétrie par rapport à une quelconque ligne horizontale. Ce qui reste vrai, c'est que la courbe se répète à l'extérieur de l'intervalle allant de

b/π− à b/π+ . Il n'y a donc jamais lieu de s'occuper des autres valeurs de k. Regardons d'un peu plus près ce qui se passe pour les petites valeurs de k, c'est-à-dire lorsque les variations des amplitudes d'un nx au suivant sont très lentes. Choisissons le zéro d'énergie de sorte

que AE 20 = . Le minimum de la courbe est alors à l'énergie zéro. Pour k suffisament petit, nous

pouvons écrire (14) 2/1cos 22bkkb −≈ et l'énergie de l'équation (9) devient (15) 22bAkE = Nous obtenons pour ces états une énergie proportionnelle au carré du nombre d'ondes qui décrit les variations spatiales des amplitudes nC .

II.1.1.3. Etats qui varient dans le temps A présent, nous voudrions discuter, de façon plus détaillée, le comportement des états dans un réseau à une dimension. Si l'amplitude pour qu'un électron soit en nx est nC , la probabilité de le

trouver là est 2

nC . Pour les états stationnaires décrits plus haut, cette probabilité est la même pour

tous les nx et ne change pas avec le temps. Comment représenter une situation que nous pourrions

décrire grossièrement en disant qu'un électron d'une certaine énergie est localisé en une certaine région, de sorte que l'on a plus de chance de le trouver en un endroit plutôt qu'un autre ? Cela peut se faire par la superposition de plusieurs solutions stationnaires dont les valeurs de k diffèrent légèrement, et donc aussi les énergies. Alors, au moins à t = 0, l'amplitude variera avec la position du fait de l'interférence entre les divers termes, tout comme l'on obtient des battements lorsqu'on a un mélange d'ondes de différentes longueurs d'onde. Nous pouvons ainsi fabriquer un "paquet d'ondes" ayant un nombre d'ondes dominant 0k mais contenant d'autres nombres d'ondes voisins de

0k (à condition de ne pas chercher à faire un paquet trop étroit).

Dans notre superposition d'états stationnaires, les amplitudes avec différents k représenteront des états d'énergie un peu différente et donc de fréquences un peu différentes. Par suite, pour le nC

total, la figure d'interférence variera aussi avec le temps, elle présentera des battements. Les

maximums des battements (les maximums de 2

nC ) se déplacent le long de x lorsque le temps

passe. Ils se déplacent avec une vitesse appelée "vitesse de groupe". Cette vitesse de groupe est reliée à la variation de k en fonction de la fréquence

(1) dk

dvgroupe

ω=

Un électron dont l'état serait un "bouquet" d'états de base, le nC variant dans l'espace comme le

paquet d'ondes ci-dessus, se déplacerait le long du "cristal" à une dimension à une vitesse v égale à dkd /ω où h/E=ω . En utilisant pour E l'équation obtenue précédemment, nous obtenons

(2) kAb

vh

22=

Autrement dit, l'électron se déplace avec une vitesse proportionnelle à la valeur centrale de k. L'équation vue précédemment nous dit alors que son énergie est proportionnelle au carré de sa vitesse, il se comporte comme une particule classique. Tant que nous regardons les choses d'assez loin pour ne pas voir la structure fine, notre description quantique commence à donner des résultats semblables à ceux que donne la physique classique. De fait, en substituant dans la dernière équation de la section précédente le k déduit de (2), on obtient (3) 2

21 vmE eff=

où effm est une constante. Le complément "d'énergie de mouvement" dans un paquet d'ondes a la

même dépendance en vitesse qu'une particule classique. La constante effm , appelée "masse

effective", est donnée par

(4) 2

2

2Abmeff

h=

Notez que nous pouvons aussi écrire (5) kvmeff h=

Si nous désignons par convention vmeff comme "impulsion", celle-ci est alors reliée au nombre

d'ondes k de la même façon que pour une particule libre. N'oubliez pas que effm n'a rien à voir avec la masse réelle d'un électron. Il peut y avoir une très

grande différence, mais en général dans les cristaux, l'ordre de grandeur reste voisin, environ deux à vingt fois la masse de l'électron libre. Nous avons pu expliquer ce grand mystère, comment un électron dans un cristal (comme par exemple un électron ajouté à un cristal de germanium) peut-il le traverser et s'y déplacer librement, bien qu'il doive se heurter à tous les atomes ? Il peut le faire parce que ses amplitudes font bip-bip-bip d'un atome à l'autre, lui frayant ainsi son trajet. C'est pour cette raison qu'un solide peut conduire l'électricité.

II.1.1.4. Un électron dans un réseau à trois dimens ions Voyons un peu comment on pourrait appliquer les mêmes idées pour voir ce qui arrive à un électron dans l'espace à trois dimensions. On aboutit à des résultats très similaires. Supposez que nous ayons un réseau rectangulaire d'atomes d'espacements a, b, c, suivant les trois directions (si vous voulez un réseau cubique, prenez a, b, et c tous égaux). Supposez que les amplitudes pour un bond jusqu'à l'atome voisin dans l'alignement x, y ou z soient respectivement h/xiA , h/yiA ,

h/ziA . Et maintenant, comment devons nous décrire les états de base ? Comme dans le cas à une dimension, un état de base est constitué pat l'électron situé près de l'atome de coordonnées x, y, z, où (x, y, z) est un des points du réseau. Si nous prenons l'un des atomes pour origine, les positions des points sont toutes données par (1) anx x= , bny y= et cnz z=

où xn , yn et zn sont trois entiers quelconques. Mais il nous suffira de dire x, y et z en sous-

entendant qu'il s'agit de l'un des points du réseau. On peut alors représenter l'état de base par le symbole zyx ,,enélectron et l'amplitude pour qu'un électron dans un état ψ soit dans cet état

de base est donnée par ( ) ψzyxzyxC ,,enélectron,, = .

Comme précédemment, les amplitudes ( )zyxC ,, peuvent varier avec le temps. Avec nos hypothèses, les équations hamiltoniennes devraient être comme ceci :

(2)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )czyxCAczyxCA

zbyxCAzbyxCA

zyaxCAzyaxCAzyxCEdt

zyxdCi

zz

yy

xx

−−+−

−−+−

−−+−=

,,,,

,,,,

,,,,),,,,

0h

C'est un peu long, mais on voit bien l'origine de chaque terme. Nous allons essayer de trouver un état stationnaire pour lequel tous les C varient de la même manière avec le temps. A nouveau, la solution est une exponentielle :

(3) ( )

++−=

zz

kyy

kxx

kiiEt eezyxC h/,,

Si vous portez ceci dans (2), vous voyez que ça marche, pourvu que l'énergie E soit reliée à xk , yk

et zk de la manière suivante

(4) ckAbkAakAEE zzyyxx cos2cos2cos20 −−−=

L'énergie dépend maintenant de trois nombres d'ondes xk , yk et zk , lesquels sont, incidemment,

les composantes d'un vecteur à trois dimensions k. De fait, nous pouvons écrire (3) en notation vectorielle (5) ( ) rk⋅−−= iiEt eezyxC h/,, L'amplitude varie comme une onde plane complexe à trois dimensions, se déplaçant dans la

direction de k et dont le nombre d'ondes est ( ) 2/1222zyx kkkk ++= .

L'énergie associée à ces états stationnaires dépend des trois composantes de k de la manière compliquée donnée par l'équation (4). Le mode de variation de E en fonction de k dépend des signes et grandeurs relatifs de xA , yA et zA . Si ces trois nombres sont tous positifs et si nous nous

intéressons aux petites valeurs de k, la dépendance est relativement simple. En développant les cosinus comme nous l'avions fait plus haut, nous obtenons cette fois (6) 222222

min zzyyxx kcAkbAkaAEE +++=

Pour un simple réseau cubique d'espace a, nous attendons que xA , yA et zA soient tous égaux,

mettons à A, et l'on doit avoir simplement (7) ( )2222

min zyx kkkAaEE +++=

ou (8) 22

min kAaEE +=

Ce que nous avions déjà pour le cristal à une dimension. Si nous suivons les raisonnements utilisés, nous devons en conclure que le paquet d'ondes à trois dimensions représentant un électron (formé de la superposition de nombreux états d'énergies très voisines) se déplace lui aussi comme une particule classique avec une certaine masse effective. Dans un cristal de moindre symétrie qu'un cube (ou même dans un cristal cubique dans le cas où l'état de l'électron à chaque atome n'est pas symétrique, les trois coefficients xA , yA et zA sont

différents. Alors la "masse effective" d'un électron localisé dans une petite région dépend de la direction de son mouvement. Par exemple, il pourrait avoir une inertie différente selon x et selon y (pour décrire avec exactitude cet état de chose, on fait parfois appel au "tenseur de masse effective").

II.1.1.5. Autres états dans un réseau Selon l'équation de l'énergie dans un réseau, les états d'électron dont il a été question ont leurs énergies confinées dans une certaine "bande" qui s'étend depuis le niveau minimum (1) ( )

zyx AAAE ++− 20

jusqu'au niveau maximum (2) ( )

zyx AAAE +++ 20

D'autres énergies sont possibles, mais elles concernent des états d'électron d'un type différent. Jusqu'à présent, nous avons imaginé des états de base constitués d'un électron situé à l'un des atomes d'un cristal où il occupe un certain état, mettons l'état d'énergie minimum. Si, à un atome libre dans l'espace, vous ajoutez un électron pour former un ion, l'ion peut se former de diverses façons. L'électron peut s'arranger pour former l'état d'énergie minimum, il peut aussi former l'un ou l'autre des nombreux "états excités" de cet ion dont chacun a une énergie définie au-dessus de l'énergie minimum. La même chose peut se passer dans un cristal. Supposons que l'énergie 0E que nous avons choisie

ci-dessus corresponde aux états de base pour lesquels les ions ont l'énergie la plus faible possible. Nous pourrions aussi imaginer un nouvel ensemble d'états de base pour lesquels l'électron est agencé de manière différente avec son atome, dans l'un des états excités de l'ion, de sorte que l'énergie 0E se trouve alors notablement plus grande. Comme précédemment, il y a une certaine

amplitude A (pas la même) pour que l'électron saute de son état excité vers un même état excité dans un atome voisin. Toute l'analyse se déroule comme précédemment et nous trouvons une bande d'énergies possibles centrées à un niveau plus élevé. En général, il y aura de nombreuses bandes, chacune correspondant à un niveau d'excitation différent. Il y a encore d'autres possibilités. Il peut y avoir une certaine amplitude pour que l'électron passe d'un état excité dans un atome vers un état non excité dans un autre atome voisin (cela s'appelle une interaction entre bandes). La théorie mathématique devient de plus en plus compliquée, lorsque vous considérez un nombre de bandes de plus en plus grand et que vous ajoutez de plus en plus de

coefficients de fuite entre les états possibles. Mais il n'y a là aucune idée nouvelle. Les équations se posent comme nous l'avons fait dans notre exemple simple. Il nous faudrait aussi noter qu'il n'y a pas grand chose à ajouter sur les divers coefficients qui, telle l'amplitude A, apparaissent dans la théorie. Ils sont en général très difficiles à calculer. Par suite, dans les cas d'intérêt pratique, la théorie ne nous apprend pas grand chose sur ces paramètres et tout ce que nous pouvons faire, c'est utiliser les valeurs déterminées expérimentalement. Il y a d'autres situations dont la physique et la mathématique sont presque exactement les mêmes que ce que nous avons trouvé dans le cas d'un électron qui se déplace dans un cristal mais dans lesquelles "l'objet" en mouvement est tout autre. Par exemple, supposez que notre cristal de départ, ou plutôt notre réseau linéaire, soit constitué d'une rangée d'atomes neutres, ayant chacun un électron extérieur faiblement lié. Puis imaginez que nous retirons un électron. Lequel des atomes a perdu son électron ? Désignons par nC l'amplitude pour que l'électron manquant provienne de

l'atome n. Il y aura en général une certaine amplitude h/iA pour que l'électron d'un atome voisin, mettons le (n-1)ième atome, saute au nième, laissant le (n-1)ième sans son électron. Il revient au même de dire qu'il y a une amplitude A pour que l'électron manquant saute du nième atome au (n-1)ième. Comme vous pouvez le voir, les équations sont exactement les même mais, bien sûr, la valeur de A peut ne pas être la même. Nous aurons à nouveau les mêmes formules pour les niveaux d'énergies, pour les "ondes" de probabilités qui se déplacent à travers le cristal avec une vitesse de groupe, une certaine masse effective, etc. Mais, cette fois, les ondes décrivent le comportement d'un électron manquant, d'un "trou" comme on l'appelle. Un "trou" agit donc tout à fait comme une particule ayant une certaine masse effective effm . Cette particule vous paraîtra avoir une charge

positive. Nous reparlerons de ces trous en étudiant les semi-conducteurs. Un autre exemple encore : imaginez une rangée d'atomes neutre tous identiques, mais dont l'un a été mis dans un état excité, il a donc une énergie supérieure au niveau minimum. Soit nC

l'amplitude pour que le nième atome ait cette excitation. Il peut interagir avec l'atome voisin en lui passant son excès d'énergie et en retournant lui-même à l'état minimum. Soit h/iA l'amplitude correspondante. Vous voyez que c'est encore et toujours la même mathématique. L'objet en mouvement s'appelle maintenant un exciton. Il se comporte comme une "particule" neutre qui, se

déplaçant à travers le cristal, transporte l'énergie d'excitation. Un mouvement de ce type est impliqué dans certains processus biologiques, tels que la vision ou les photosynthèses. On a supposé que l'absorption de la lumière dans la rétine produit un "exciton" qui se déplace à travers une certaine structure périodique et que ces excitons s'accumulent en un point particulier où l'énergie est utilisée pour induire une réaction chimique. Ces excitons se propage à travers des molécules telles que la rhodopsine ou la chlorophylle.

II.1.1.6. Diffusion par les imperfections dans un c ristal Considérons maintenant le cas d'un électron unique dans un cristal qui ne soit pas parfait. Notre étude précédente nous a montré que les cristaux parfaits ont une conductivité parfaite, les électrons peuvent glisser sans frottement à travers le cristal, comme dans le vide. Parmi les choses susceptibles d'arrêter ce mouvement perpétuel de l'électron, l'une des plus importantes consiste en une imperfection ou irrégularité dans le cristal. A titre d'exemple, supposez qu'il y ait un atome manquant quelque part dans le cristal ou bien supposez que quelqu'un ait mis un mauvais atome en l'un des emplacements de sorte que la situation n'y soit pas la même qu'aux autres emplacements. Admettons que l'énergie 0E ou bien l'amplitude A y diffèrent. Comment pourrions-nous décrire ce

qui se passe dans ce cas ? Pour préciser les choses, revenons au cas à une dimension et supposons que l'atome "zéro" est un atome "d'impureté" pour lequel 0E n'a pas la même valeur que pour les autres atomes. Désignons

cette énergie par FE +0 . Que va-t-il se passer ? Quand l'électron arrive à l'atome "zéro", il y a une

certaine probabilité pour que l'électron soit diffusé vers l'arrière. Si un paquet d'ondes se propage et s'il atteint un endroit où les choses sont un peu différentes, une partie du paquet va continuer sa route et l'autre partie va rebondir vers l'arrière. Il est très difficile d'analyser une situation de ce genre à l'aide des paquets d'ondes parce qu'alors tout change avec le temps. Il est bien plus facile de travailler sur les solutions stationnaires. C'est ce que nous ferons donc et nous verrons que ces états stationnaires peuvent se représenter en termes d'ondes continues ayant des parties transmises et des parties réfléchies. En trois dimensions, nous aurions une onde diffusée au lieu d'une onde réfléchie car elle serait alors éparpillée dans diverses directions. Nous partons d'une série d'équations qui sont exactement les mêmes que celles que nous avions vues à l'exception de l'équation pour n = 0 qui diffère des autres .Les cinq équations pour n = -2, -1, 0, +1 et +1 sont comme ceci :

(1) ( )

MM

MM

13202

02101

11000

20101

31202

AaAaaEEa

AaAaaEEa

AaAaaFEEa

AaAaaEEa

AaAaaEEa

−−=−−=

−−+=−−=−−=

−

−−−

−−−−

Bien sûr, il y a en plus toutes les autres équations pour n plus grand que 2. Elles seront exactement

semblables aux équations que nous avions vues. Pour nous placer dans le cas le plus général, il nous faudrait prendre une valeur de A différente, suivant qu'il s'agit de l'amplitude pour que l'électron saute de ou vers l'atome "zéro". Mais l'exemple simplifié pour lequel tous les A sont égaux suffit à dégager les grandes lignes.

La solution exponentielle complexe nikx

e que nous avions vue continuerait à être une solution pour toutes les équations à l'exception de l'équation à l'atome "zéro", cela ne marche pas à cause de cette seule équation. Il nous faut une solution différente que nous pouvons mijoter de la manière suivante. Cette solution représente une onde se déplaçant dans la direction des x positifs. Une onde se déplaçant dans la direction des x négatifs aurait été une solution tout aussi bonne. Elle s'écrirait

(2) ( ) nikx

n exa−=

La solution la plus générale serait une combinaison linéaire d'une onde vers l'avant et d'une onde vers l'arrière, à savoir

(3) nikx

nikx

n eea−+= βα

Cette solution représente une onde complexe d'amplitude α se déplaçant dans la direction +x et une onde d'amplitude β se déplaçant dans la direction -x.

Regardez maintenant les équations de notre nouveau problème, l'équation (1) et les équations pour tous les autres atomes. Les équations concernant les na tels que 1≤n sont toutes satisfaites par

l'équation (3) à la condition que k soit relié à E et au pas du réseau b par (4) kbAEE cos20 −=

Cela représente physiquement une onde "incidente" d'amplitude α s'approchant de l'atome "zéro" (le "diffuseur") en venant de la gauche et une onde "diffusée" ou "réfléchie" d'amplitude β repartant vers la gauche. Nous ne perdons rien de la généralité si nous imposons à l'amplitude α de l'onde incidente la valeur 1. En général l'amplitude β est alors un nombre complexe. Nous pouvons dire exactement la même chose à propos des solutions de na pour 1≥n . Comme les

coefficients peuvent être différents, nous écrivons

(5) nikx

nikx

n eea−+= δγ

Ici γ est l'amplitude d'une onde allant vers la droite et δ celle d'une onde venant de la droite. Considérons la situation physique dans laquelle, initialement, il n'y a qu'une onde venant de la gauche et, au-delà du diffuseur, ou atome d'impureté, il n'y a qu'une onde "transmise". Nous allons essayer une solution pour laquelle 0=δ . Nous pouvons certainement satisfaire toutes les équations pour les na à l'exception des trois du milieu de l'équation (1), par les solutions d'essai suivantes

(6) ( )( ) n

ikx

n

nikx

nikx

n

ena

eena

γ

β

=>

+=< −

0pour

0pour

La situation dont nous parlons est illustrée ci-dessous

Si nous utilisons les formules de l'équation (6) pour 1−a et 1+a , les trois équations centrales de (1)

nous permettront de calculer 0a et les coefficients β et γ . Nous aurons ainsi trouvé une solution complète. Si nous posons nbxn = , les trois équations qu'il faut résoudre sont

(7)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02

0

00

2200

aeAeEE

eeeAaFEE

eeaAeeEE

bikikb

bikbikikb

bikbikbikbik

+−=−

++−=−−

++−=+−−−−

−−−−−−

γγβγ

ββ

Rappelez-vous que E est donné en fonction de k par (4). En portant cette valeur de E dans les équations et en vous souvenant que ( )ixix eex −+= 2

1cos , vous tirez de la première équation

(8) β+= Aa0

et de la troisième (9) γ=0a

Ces deux équations sont compatibles à condition que (10) βγ += 1 Cette équation nous dit que l'onde transmise (γ ) est exactement l'onde initiale incidente (1) avec une onde supplémentaire égale à l'onde réfléchie. Ce n'est pas toujours vrai mais c'est ainsi pour une diffusion par un atome seulement. S'il y avait un amas d'atomes d'impureté, la quantité ajoutée à l'onde se propageant vers l'avant ne serait pas nécessairement égale à l'onde réfléchie.

Nous pouvons obtenir l'amplitude β de l'onde réfléchie à l'aide de l'équation centrale de (7). Nous trouvons

(11) kbiAF

F

sin2−−=β

Nous avons la solution complète pour le réseau avec un unique atome anormal. Vous vous demandez peut-être comment l'onde transmise peut-être "plus" que l'onde incidente, comme il apparaît dans l'équation (10). Mais souvenez-vous que β et γ sont des nombres complexes et que le nombre de particules dans une onde (ou plutôt la probabilité d'y trouver une particule) est proportionnel au carré du module de l'amplitude. De fait, il n'y aura "conservation des électrons" que si

(12) 122 =+ γβ

Vous pouvez montrer que ceci est vrai pour notre solution.

II.1.1.7. Capture par une imperfection d'un réseau Il existe un cas d'un intérêt particulier, qui peut se produire si F est un nombre négatif. Si l'énergie de l'électron à l'endroit de l'atome d'impureté (à n = 0) est plus faible qu'ailleurs, il peut y être capturé. En d'autres termes, si FE +0 est en-dessous de la limite inférieure AE 20 − de la bande

d'énergie permise, l'électron peut alors se trouver "piégé" dans un état tel que AEE 20 −< . Une

telle solution ne peut ressortir de ce que nous avons fait jusqu'à présent. Nous l'obtiendrons, par contre, en accordant au nombre k la possibilité d'être imaginaire dans la solution d'essai précédente. Posons κik = . Cette fois encore, nous pourrons avoir des solutions différentes pour n < 0 et pour n > 0. Une solution possible pour n < 0 serait

(1) ( ) nx

n cenaκ+=< 0pour

Nous devons prendre le signe plus pour l'exposant, autrement l'amplitude augmenterait indéfiniment pour les valeurs négatives élevées de n. De même, une solution possible pour n > 0 serait (2) ( ) nx

n ecnaκ−′=> 0pour

Si nous portons ces solutions d'essai dans les équations, toutes, à part les trois du milieu, sont satisfaites à condition que (3) ( )bb eeAEE κκ −+−= 0

La somme des deux termes exponentiels étant toujours plus grande que deux, cette énergie est en dessous de la bande régulière et c'est ce que nous cherchons. Les trois équations restantes sont satisfaites si cc ′= et si κ est choisi de telle sorte que (4) ( ) FeeA bb −=− −κκ En combinant cette équation avec (3), nous obtenons l'énergie de l'électron piégé :

(5) 220 4 FAEE +−=

L'électron piégé a une énergie unique, quelque peu en-dessous de la bande de conduction.

Notez que nos amplitudes (1) et (2) ne disent pas que l'électron piégé se trouve exactement là où se trouve l'atome d'impureté. La probabilité de trouver l'électron au niveau des atomes voisins est donnée par le carré de ces amplitudes. Pour un choix particulier des paramètres, elle pourrait varier comme indiqué par les barres verticales ci-dessus. C'est à l'endroit de l'atome d'impureté que la probabilité de trouver l'électron est la plus grande. Pour les atomes voisins, la probabilité tombe exponentiellement avec la distance depuis l'atome d'impureté. C'est un autre exemple de "barrière de pénétration". D'un point de vue de la physique classique, l'électron n'a pas assez d'énergie pour s'échapper du "puits" d'énergie, mais, en mécanique quantique, il peut prendre un peu de large.

II.1.1.8. Amplitudes de diffusion et états liés Enfin, notre exemple peut servir à illustrer un point très utile actuellement en physique des particules de hautes énergies. Ce point concerne la relation entre les amplitudes de diffusion et les états liés. Supposez que nous ayons découvert, par l'expérience ou par l'analyse théorique, comment les pions diffusent sur les protons. Puis une nouvelle particule est découverte et quelqu'un se demande si ce ne pourrait pas être tout simplement une combinaison d'un pion et d'un proton maintenus ensemble dans un certain état lié (tout comme un électron est lié à un proton pour faire un atome d'hydrogène). Par état lié, nous entendons une association ayant une énergie inférieure à celle des deux particules libres. Il y a une théorie générale qui affirme ceci : il existera un état lié à l'énergie pour laquelle l'amplitude de diffusion, que l'on obtient par extrapolation algébrique (en mathématique on parle de "prolongement analytique") dans les domaines d'énergie en dehors de la bande permise, deviendra infinie. La signification physique est la suivante. Un état lié constitue une situation où il n'y a que des ondes attachées à un point, sans qu'aucune onde vienne de l'extérieur pour mettre en route ce système qui fonctionne tout seul. Le rapport entre ce que l'on appelle l'onde "diffusée" ou l'onde créée, d'une part, et l'onde "incidente" d'autre part, est infinie. Nous pouvons essayer cette idée dans notre exemple. Ecrivons notre expression pour l'amplitude diffusée, directement en termes de l'énergie E de la particule diffusée (au lieu que ce soit en termes de k). Nous pouvons récrire ainsi l'équation

(1) ( )2024sin2 EEAkbA −−=

et l'amplitude diffusée devient

(2) ( )20

24 EEAiF

F

−−−

−=β

De la façon dont nous avons établi dette équation, nous ne devions l'utiliser que pour des états réels, ceux dont l'énergie est dans la bande permise, AEE 20 ±= . Mais supposez qu'ayant oublié ce fait,

nous étendions la formule dans le domaine 'non physique" où AEE 20 >− . Pour ce domaine non

physique, nous pouvons écrire

(3) ( ) ( ) 220

20

2 44 AEEiEEA −−=−−

(la question du signe à choisir est un détail technique. Il dépend du signe permis pour κ . Nous laissons de coté cette discussion). "L'amplitude de diffusion", quoi qu'elle signifie, peut s'écrire

(4) ( ) 22

0 4AEEF

F

−−+

−=β

La question est maintenant : y a-t-il une énergie E pour laquelle β devienne infini (c'est-à-dire pour laquelle l'expression pour β a un "pôle") ? Oui, si du moins F est négatif, le dénominateur de (4) deviendra nul lorsque

(5) ( ) 2220 4 FAEE =−−

ou lorsque

(6) 220 4 FAEE +±=

Le signe moins nous donne exactement la valeur que nous avions trouvée plus haut pour l'énergie de capture. Et le signe plus ? Il donne une énergie au-dessus de la bande permise. Et de fait, il y a là un autre état lié et nous sommes passés à coté lorsque nous avons résolu les équations. A vous de trouver l'énergie et les amplitudes na pour cet état lié.

La relation entre la diffusion et les états liés est l'un des fils directeurs les plus utiles dans les recherches actuelles pour une compréhension des observations expérimentales sur les nouvelles particules étranges.

II.1.2. Variation des amplitudes avec la position Nous allons maintenant regarder comment varient dans l'espace les amplitudes de probabilité de la mécanique quantique. Dans ce qui a précédé, vous avez pu avoir cette impression désagréable que certaines choses étaient laissées de coté. Par exemple, quand nous avons parlé de la molécule d'ammoniac, nous avons pris l'option de la décrire en termes de deux états de base. Pour l'un de ces états de base, nous avons pris la situation pour laquelle l'atome d'azote se trouve "au-dessus" du plan des trois atomes d'hydrogène et, pour l'autre, celle où il est "en-dessous". Pourquoi avons-nous pris uniquement ces deux états ? Pourquoi ne serait-il pas possible que l'atome d'azote soit à 2 angströms au-dessus du plan des trois atomes d'hydrogène, ou bien à 3 angströms ou à 4 ? Très certainement, l'atome d'azote pourrait occuper beaucoup de positions diverses. Il est évident que nous avons laissé beaucoup de détails de coté. Nous avons sciemment éludé ces détails. Nous avons dit que seuls certains aspects du problème nous intéressaient et, par suite, nous avons supposé que l'atome d'azote placé au-dessus du plan des atomes d'hydrogènes se mettrait dans une certaine condition assez bien définie. Alors, la probabilité de trouver l'azote aurait eut une certaine distribution assez bien définie au-dessus du plan des atomes d'hydrogènes, mais les détails ne nous importaient pas. On peut aussi voir les choses d'une autre manière. Dans notre discussion sur la molécule d'ammoniac, nous avions choisi une description approchée, lorsque nous parlions en termes de deux états de base. En réalité, il y a une foule d'états. Par exemple, pour l'électron se propageant dans un cristal, l'électron peut se mettre dans la situation de l'état le plus bas, mais il y a aussi de nombreux états excités. Nous l'avions déjà suggéré. Pour chaque état excité, la distribution de l'électron au voisinage de l'atome est différente. Nous avons ignoré ces détails en déclarant que seul nous importait la présence de l'électron au voisinage de l'atome. Nous avons ignoré le détail des états excités. Mais ce sont justement ces états excités qui donnent lieu à des distributions diverses de l'électron autour de l'atome. Si nous voulons décrire en détail les atomes, nous devons prendre aussi en considération ces autres états de base possibles. Nous pourrions le faire de diverses manières dont l'une consisterait à considérer de plus près des états pour lesquels la position de l'électron dans l'espace est plus explicitement décrite.

Nous sommes maintenant en mesure d'envisager une procédure plus élaborée qui nous permettra de parler de manière précise de la position de l'électron, ceci en donnant une amplitude probabilité pour trouver l'électron en quelque endroit que ce soit. Cette théorie plus complète fournira les soubassements des approximations que nous avons faites dans nos discussions antérieures. Les équations que nous avions alors peuvent apparaître comme une sorte d'approximation d'une théorie plus complète. Mais pourquoi n'avons nous pas commencé par la théorie plus complète, en faisant des approximations au fur et à mesure ? Nous avons pensé qu'il vous serait plus facile de saisir les rouages de la mécanique quantique en commençant par les approximations à deux états pour tendre progressivement vers la théorie plus complète, plutôt qu'en abordant le sujet en sens inverse. Notre façon d'aborder le sujet se trouve ainsi être l'ordre inverse de celui que vous trouverez dans beaucoup de livres. Quand nous entrerons dans le vif du sujet, vous remarquerez l'abandon d'une règle que nous avons toujours suivie jusqu'à présent. Chaque fois que nous avons abordé un sujet, nous avons essayé de donner une description plus ou moins complète de la physique, cherchant, si possible, à vous montrer où conduisaient les idées énoncées. Tout en décrivant certains détails particuliers, nous nous sommes efforcés de vous montrer les conséquences générales d'une théorie, de sorte que vous puissiez voir où elle pouvait conduire. Nous allons abandonner cette règle. Nous allons voir comment on peut parler des amplitudes de probabilité dans l'espace et vous montrer les équations différentielles qui les gouvernent. Nous n'aurons pas la possibilité de traiter toutes les implications qui découlent directement de cette théorie. De fait, nous ne pourrons pas même aller jusqu'à relier cette théorie à certaines des formules approchées que nous avons utilisées précédemment, en ce qui concerne par exemple la molécule d'ammoniac. Nous pourrons toutefois montrer de nombreux prolongements et développements de la théorie et il sera toujours possible au lecteur d'approfondir certains domaines ou applications à travers la littérature spécialisée. Après tout, il nous faut bien laisser quelque chose pour l'avenir.

II.1.2.1. Les amplitudes le long d'une droite Comment un électron peut-il se déplacer le long d'une ligne d'atomes ? Revoyons une fois encore ce que nous avons appris à ce sujet. Quand un électron a une certaine amplitude pour sauter d'un atome à l'atome voisin, il existe alors des états d'énergie définie, pour lesquels l'amplitude de probabilité pour trouver l'électron est distribuée le long du réseau sous la forme d'une onde progressive. Pour de grandes longueurs d'onde, c'est-à-dire pour les faibles valeurs du nombre d'ondes k, l'énergie de l'état est proportionnelle au nombre d'ondes. Pour un réseau cristallin de pas b, dans lequel l'amplitude par unité de temps pour le saut de l'électron d'un atome à l'autre est

h/iA , l'énergie de l'état est reliée à k (pour kb petit) par (1) 22bAkE = Nous avons vu aussi qu'un groupe d'ondes de ce type avec des énergies voisines pouvait constituer un paquet d'ondes ayant le comportement d'une particule classique de masse effective effm donnée

par :

(2) 2

2

2Abmeff

h=

Du fait que les ondes d'amplitude de probabilité se comportent dans un cristal comme une particule, on pourrait bien s'attendre à ce que la description quantique d'une particule présente le même type de comportement ondulatoire. Imaginez un réseau linéaire et supposez que nous rendions le pas b de plus en plus petit. A la limite, nous pourrions trouver l'électron n'importe où le long de la ligne. Ce serait une manière de décrire le mouvement d'un électron dans le vide. En d'autres termes, si nous imaginons l'espace comme une infinité de points tous très proches les uns des autres et si nous savons établir les équations qui relient les amplitudes en un point aux amplitudes aux points voisins, nous aurons les lois quantiques du mouvement d'un électron dans l'espace. Il peut sembler quelque peu audacieux de remplacer une ligne d'atomes par une simple ligne de points. Après tout, les atomes sont pour le moins différents des points de l'espace ! Mais ce qui a servi à élaborer les équations (1) et (2) n'est pas tant le fait que ces atomes soient particuliers avec une certaine structure plus ou moins complexe que le fait que l'électron était localisé au voisinage

de l'atome. En outre, si un électron est localisé autour d'une petite zone de l'espace, qu'elle soit occupée par un atome ou pas, l'électron a une certaine amplitude pour se déplacer autour d'une autre petite zone de l'espace. La comparaison est donc plus qu'une analogie et les équations utilisées peuvent s'appliquer telles qu'elles. En outre, les équations (1) et (2) ont été obtenues avec l'approximation de kb petit et pour l'espace, où b tend vers zéro (les points sont contigus), cette approximation est évidemment valide. Nous ne rencontrerons évidemment pas ici des situations telles qu'un atome dans un état excité étant entendu qu'un point de l'espace est immatériel et pourrait difficilement être dans un état excité. Commençons par rappeler certains des principes généraux de la mécanique quantique. Supposez que nous ayons dans un système quantique une particule qui peut se trouver dans diverses conditions. Nous appelons "état" toute condition particulière dans laquelle un électron peut se trouver et nous la représentons par un vecteur d'état, disons φ . Une autre condition peut être

représentée par un autre vecteur d'état, disons ψ . Nous introduisons ensuite l'idée d'états de base.

Nous disons qu'il y a un ensemble d'états de base 1 , 2 , 3 , 4 , etc. ayant les propriétés

suivantes. D'abord, tous ces états sont tout à fait distincts, nous disons qu'ils sont orthogonaux. Par là, nous voulons dire que pour deux états de base quelconques i et j , l'amplitude ji pour

qu'un électron que l'on sait être dans l'état j soit aussi dans l'état i est égale à zéro, à moins bien sûr que i et j représentent le même état. Symboliquement, nous écrivons

(3) ijji δ=

Vous vous souviendrez que le symbole de Kronecker 0=ijδ si i et j sont différents et que 1=ijδ si

i et j sont un même nombre. Ensuite, les états de base i doivent constituer un ensemble complet, de sorte que n'importe quel

état puisse être représenté en termes de ces états de base. C'est-à-dire que n'importe quel état φ

doit pouvoir être décrit complètement par la donnée des amplitudes φi pour qu'une particule

dans l'état φ se trouve aussi dans l'état i . En fait, le vecteur d'état φ est égal à la somme de

tous les états de base, chacun étant multiplié par un coefficient qui est l'amplitude pour que l'état φ soit aussi dans l'état i :

(4) ∑=i

ii φφ

Finalement, si nous considérons deux états quelconques φ et ψ , l'amplitude pour que l'état ψ

soit aussi dans l'état φ sera déterminée en faisant d'abord la projection de l'état ψ sur les états

de base et en projetant à nouveau à partir de ces états de base sur l'état φ . Nous écrivons cela de la

manière suivante : (5) ∑=

i

ii ψφψφ

La somme s'étend bien sûr à tout l'ensemble des états de base i .

Quand nous considérions un électron sur une ligne d'atomes, nous avions pris pour états de base l'ensemble des états pour lesquels l'électron est localisé en l'un des atomes. L'état de base n

représentait la condition pour laquelle l'électron est localisé à l'atome numéro "n" (que nous appelions nos états de base n au lieu de i n'a bien sûr aucune signification particulière). Un peu

plus tard, nous avons préféré désigner les états de base par la coordonnée nx de l'atome plutôt que

par son numéro d'ordre. L'état nx est le même que l'état n , seule l'écriture a changé. Ensuite,

selon les règles générales, n'importe quel état, disons ψ , est déterminé une fois les amplitudes

données pour qu'un électron dans l'état ψ soit aussi dans les divers états nx . Pour des raisons

pratiques, nous avons utilisé le symbole nC pour ces amplitudes

(6) ψnn xC =

Du fait que les états de base sont associés à des positions sur la ligne, nous pouvons concevoir l'amplitude nC comme une fonction de la coordonnée x et écrire ( )nxC . De façon générale, les

amplitudes ( )nxC vont varier avec le temps et sont donc aussi des fonctions de t. Mais, sauf

exception, nous ne nous soucierons pas d'écrire explicitement cette dépendance. Nous avons ensuite conjecturé que la variation des amplitudes ( )nxC avec le temps devait être

dictée par l'équation hamiltonienne. Dans notre nouvelle notation, cette équation s'écrit

(7) ( ) ( ) ( ) ( )bxACbxACxCEt

xCi nnn

n −−+−=∂

∂0h

Les deux derniers termes sur la droite représentent le processus par lequel un électron venant de l'atome n + 1 ou de l'atome n - 1 vient se placer en n. Nous avons trouvé que l'équation (7) a des solutions qui correspondent à des états d'énergie définie, que nous avons écrit ainsi

(8) ( ) nikxiEt

n eexC h/=

Pour les états de faible énergie, les longueurs d'onde sont grandes (k est faible) et l'énergie est reliée à k par (9) ( ) 22

0 2 bAkAEE +−=

elle est aussi donnée par l'équation (1) si nous choisissons notre zéro d'énergie de façon à ce que 020 =− AE .

Voyons ce qui se passerait si nous faisions tendre le pas b vers zéro, tout en conservant le nombre d'ondes k inchangé. Si seul b changeait, le dernier terme de (9) tendrait tout simplement vers zéro et il n'y aurait plus de physique. Mais supposez que A et b varient ensemble de sorte que le produit

2Ab reste constant quand b tend vers zéro. Cela se justifie intuitivement puisque si le point voisin est beaucoup plus proche, on imagine facilement que l'électron a plus facile pour s'y rendre et donc que l'amplitude augmente. En faisant appel à l'équation (2), nous remplaçons 2Ab par la constante

effm2/2h . Dans ces conditions, l'équation (9) resterait la même, mais que deviendrait alors

l'équation différentielle (7) ? Nous allons d'abord écrire (7) sous la forme

(10) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]bxCbxCxCAxCAEt

xCi nnnn

n −−+−+−=∂

∂220h

Avec notre choix pour 0E , le premier terme disparaît. Nous pouvons ensuite penser à une fonction

continue ( )xC qui passe par les valeurs propres ( )nxC en chaque nx . Quand le pas b tend vers

zéro, les points nx se rapprochent de plus en plus et la quantité entre crochets (si nous maintenons

une variation de ( )xC suffisament régulière) devient tout simplement proportionnelle à la dérivée

seconde de ( )xC . Nous pouvons écrire, comme vous pourrez vous en convaincre en faisant le développement de Taylor de chaque terme ou en passant directement par la définition de la dérivée, l'égalité

(11) ( ) ( ) ( ) ( )2

222

x

xCbbxCbxCxC

∂∂−≈−−+−

A la limite de b nul, en maintenant 2Ab égal à K, l'équation (7) devient

(12) ( ) ( )

2

22

2 x

xC

mt

xCi

eff ∂∂−=

∂∂ h

h

Nous avons une équation qui nous dit que le taux de variation de ( )xC , l'amplitude pour trouver l'électron en x, en fonction du temps, dépend de l'amplitude pour trouver l'électron en des points voisins et ceci de manière proportionnelle à la seconde dérivée de l'amplitude par rapport à la position. L'équation quantique correcte pour le mouvement d'un électron dans l'espace libre fut découverte en premier par Schrödinger. Pour un mouvement le long d'une droite, elle a exactement la forme de

l'équation (12) après que l'on ait remplacé la masse effective effm par la masse m de l'électron dans

l'espace libre. Pour un mouvement le long d'une droite dans l'espace libre, l'équation s'écrit

(13) ( ) ( )

2

22

2 x

xC

mt

xCi

∂∂−=

∂∂ h

h

Nous ne voulons pas vous faire croire que nous avons établi l'équation de Schrödinger, mais seulement vous montrer une manière de voir les choses. Quand Schrödinger a écrit cette équation pour la première fois, il en a donné une sorte de démonstration fondée sur des raisonnements heuristiques et sur quelques brillantes suppositions intuitives. Certains des raisonnements qu'il a utilisés étaient même faux, mais cela n'a pas d'importance. Ce qui importe c'est qu'en fin de compte l'équation donne une description correcte de la nature. Le but de notre discussion était simplement de vous montrer que l'équation fondamentale de la mécanique quantique (13) a la même forme que celle que vous obtenez pour le cas limite d'un électron se déplaçant sur une ligne d'atomes. On peut donc penser à l'équation différentielle (13) comme la description de la diffusion d'une amplitude de probabilité d'un point à l'autre le long d'une ligne. Autrement dit, si l'électron a une certaine amplitude pour être en un point, il aura, un instant plus tard, une certaine amplitude pour être en des points voisins. De fait, l'équation ressemble un peu aux équations de diffusion. Mais il y a une différence essentielle : le coefficient imaginaire devant la dérivée par rapport au temps donne un comportement complètement différent de celui que vous obtiendriez pour la diffusion ordinaire, par exemple pour un gaz se répandant autour d'un tube fin. La diffusion ordinaire donne lieu à des solutions exponentielles réelles, tandis que les solutions de (13) sont des ondes complexes.

II.1.2.2. La fonction d'onde Maintenant que vous avez une certaine idée sur la façon dont les choses vont se présenter, nous voulons revenir au point de départ et étudier la description du mouvement d'un électron le long d'une droite sans avoir à considérer des états associés à des atomes dans un réseau. Nous voulons retourner au point de départ et voir quelles idées nous devons utiliser si nous voulons décrire le mouvement d'une particule libre dans l'espace. Etant donné que nous nous intéressons au comportement d'une particule libre dans un milieu continu, nous aurons affaire à un nombre infini d'états possibles et, comme vous le verrez, les idées que nous avons élaborées pour traiter d'un nombre fini d'états devront subir quelques modifications techniques. Tout d'abord, nous maintenons le vecteur d'état x comme représentation d'un état pour lequel une

particule est exactement localisée à la coordonnée x. A toute valeur de x le long de la ligne, par exemple 1.73, 9.67 ou 10, correspond un état. Nous prendrons ces états x comme états de base et, si nous incluons tous les points de la droite, nous aurons un ensemble complet pour un mouvement à une dimension. Supposez que nous ayons maintenant un type différent d'état, disons ψ , pour

lequel un électron est distribué d'une certaine manière le long de la droite. Une façon de décrire cet état est de donner toutes les amplitudes pour que l'électron se trouve aussi dans chacun des états de base x . Nous devons donner un ensemble infini d'amplitudes, une pour chaque x. Nous écrirons

ces amplitudes sous la forme ψx . Chacune de ces amplitudes est un nombre complexe et

puisqu'il y a un nombre complexe de ce type pour chaque valeur de x, l'amplitude x est tout

simplement une fonction de x. Nous pouvons aussi l'écrire sous la forme ( )xC ,

(1) ( ) ψxxC ≡

Nous avons déjà eut affaire à des amplitudes qui varient d'une manière continue en fonction des coordonnées lorsque nous avons parlé des variations de l'amplitude avec le temps. Nous avons montré par exemple que l'amplitude pour une particule d'impulsion définie doit avoir une variation particulière dans l'espace. Si une particule a une impulsion définie p et une énergie correspondante E, l'amplitude pour qu'elle se trouve en une position x quelconque doit avoir l'aspect suivant

(2) ( ) h/ipxexCx +∝=ψ

Cette équation exprime un principe général important de la mécanique quantique qui relie les états de base correspondant aux diverses positions dans l'espace à un autre système d'états de base, à savoir : tous les états d'impulsion définie. Les états d'impulsion définie sont souvent plus pratique que les états en x pour certains types de problèmes. L'un et l'autre ensemble d'états de base sont bien sur tout aussi acceptables pour la description d'une situation de mécanique quantique. Nous reviendrons plus tard sur la question de leur relation réciproque. Pour le moment, nous voulons nous en tenir à notre discussion sur une description en termes des états x .

Avant de continuer, nous voulons faire un petit changement de notation qui, nous l'espérons, n'introduira pas trop de confusion. La fonction ( )xC définie dans (1) aura une forme qui dépendra

bien entendu de l'état ψ considéré. Il nous faudrait l'indiquer d'une manière ou d'une autre. Par

exemple, nous pourrions spécifier de quelle fonction ( )xC il s'agit par un indice, disons ( )xCψ .

Ceci serait une notation parfaitement satisfaisante, mais elle est un peu compliquée et ce n'est pas celle que vous trouverez dans la plupart des livres. Presque tout le monde laisse tomber la lettre C et utilise le symbole ψ pour définir la fonction

(3) ( ) ( ) ψψ ψ xxCx =≡

Cette notation étant la plus utilisée dans le monde entier, il vaut mieux vous y habituer pour ne pas être déroutés quand vous la rencontrerez quelque part. C'est d'ailleurs avec cette notation que nous avons présentée brièvement la fonction d'onde au début. Gardez cependant à l'esprit que nous allons maintenant utiliser ψ de deux manières différentes. Dans l'équation (1), ψ est une désignation que nous avons donnée à un état physique particulier de l'électron. Par contre, dans (3), le symbole ψ est utilisé pour définir une fonction mathématique de x laquelle est égale à l'amplitude pour être localisé en chaque point x de la ligne. Nous espérons que ce ne sera pas trop déroutant une fois que vous vous serez fait à cette idée. Rappelons à ce propos que la fonction ( )xψ est habituellement appelée la "fonction d'onde" car c'est le plus souvent une fonction complexe des variables, qui représente une onde.

Ayant défini ( )xψ comme l'amplitude pour qu'un électron dans l'état ψ se trouve à la position x, nous serions tenté d'interpréter le module carré de ψ comme probabilité de trouver un électron à la position x. Malheureusement, la probabilité de trouver une particule exactement en un point est généralement nulle. En général, l'électron sera étalé sur une certaine région de la droite et comme il y a sur tout un segment même petit un nombre infini de points, la probabilité que l'électron soit en l'un de ces points ne peut pas être un nombre non nul (la somme sur l'infinité de points donnerait forcément une probabilité supérieure à un, ce qui est une absurdité). On ne peut décrire la probabilité de trouver un électron qu'au moyen d'une distribution de probabilité (ou densité de probabilité) qui fixe la probabilité relative de trouver l'électron en diverses positions approximatives le long de la droite. Soit ( )xxprob ∆, la chance de trouver l'électron dans un petit intervalle x∆ au voisinage de x. Pour toute situation physique, si nous nous plaçons à une échelle suffisament petite, la probabilité variera d'une manière régulière d'un endroit à l'autre et, pour tout segment x∆ , petit mais non nul, elle sera proportionnelle à x∆ . Nous pouvons modifier nos définitions de manière à tenir compte de cela. On peut concevoir l'amplitude ψx comme représentant une sorte de "densité d'amplitude" pour

tous les états de base x dans une petite région. Puisque la probabilité de trouver un électron dans

un petit intervalle x∆ doit être proportionnelle à cet intervalle, nous modifions notre définition de ψx de façon qu'elle réponde à la relation suivante :

(4) ( ) xxxxprob ∆=∆2

, ψ

L'amplitude ψx est donc proportionnelle à l'amplitude pour qu'un électron dans l'état ψ se

trouve dans l'état de base x et la constante de proportionnalité est choisie de manière à ce que le module carré de l'amplitude ψx donne la densité de probabilité pour trouver l'électron dans une

petite région quelconque. On peut récrire l'équation ci-dessus sous la forme

(5) ( ) ( ) xxxxprob ∆=∆ 2, ψ

Notons que toutes ces modifications ne sont pas arbitraires. Elles sont conformes au passage à la limite que nous avons fait en passant d'un nombre fini d'états à un nombre infini, ainsi qu'au passage à la limite en théorie des probabilités lorsque l'on passe de probabilités discrètes à une densité de probabilités. Il nous faut maintenant modifier certaines de nos équations précédentes pour les rendre compatibles avec cette nouvelle définition d'une amplitude de probabilité. Supposez que nous ayons un électron dans l'état ψ et que nous voulions connaître l'amplitude pour le trouver dans un état différent φ ,

lequel peut correspondre à un autre type d'étalement de l'électron. S'il s'agissait d'un ensemble fini d'états discrets, nous aurions utilisé la relation habituelle. Avant la modification de notre définition des amplitudes, nous aurions écrit (6) ∑=

xtout

xx ψφψφ

Si l'une et l'autre de ces amplitudes sont normalisées de façon que nous avons décrite ci-dessus, une somme sur tous les états d'une petite région x donnerait la même chose qu'une multiplication par x et la somme sur toutes les valeurs de x devient alors tout simplement une intégrale. Avec nos définitions modifiées, la forme correcte devient

(7) ∫=xtout

dxxx ψφψφ

L'amplitude ψx est ce que nous appelons maintenant ( )xψ et de façon similaire, nous décidons

que l'amplitude sera représentée par ( )xφ . Nous souvenant que xφ est le conjugué complexe de

( )xψ , nous pouvons récrire (6)

(8) ( ) ( )∫∗= dxxxψφψφ

Avec nos nouvelles définitions, toutes les formules que nous avions précédemment s'appliquent à condition de remplacer tout signe de sommation par une intégrale sur x.

Il nous faut ajouter une précision à ce que nous venons de dire. Tout ensemble satisfaisant d'états de base doit être complet pour que son utilisation donne une description correcte de ce qui se passe. Pour un électron dans une dimension, ne spécifier que les états de base x ne suffit pas car, pour

chacun de ces états, l'électron peut avoir son spin ou bien en haut, ou bien en bas. Une façon d'obtenir un ensemble complet consiste à prendre deux ensembles d'états suivant x, l'un pour le spin vers le haut et l'autre pour le spin vers le bas. Mais nous ne nous soucierons pas de ces complications pour l'instant.

II.1.2.3. Les états de moment défini Supposez que nous ayons un électron dans un état ψ décrit par l'amplitude de probabilité

( )xx ψψ = . Nous savons que ceci représente un état pour lequel l'électron est étalé le long de la

ligne suivant une certaine distribution, de sorte que la probabilité de trouver l'électron dans un petit intervalle dx à l'emplacement x est simplement

(1) ( ) ( ) dxxdxxprob2

, ψ=

Que pouvons-nous dire sur l'impulsion de l'électron ? Nous pourrions nous demander quelle est la probabilité pour que cet électron ait l'impulsion p ? Calculons d'abord l'amplitude pour que l'état ψ soit dans un autre état pmom , que nous définissons comme un état d'impulsion définie p.

Nous pouvons trouver cette amplitude en utilisant la dernière équation de la section précédente, qui est la clef pour le calcul des amplitudes. En termes de l'état pmom

(2) ∫+∞

−∞==

xdxxxpmompmom ψψ

Et la probabilité pour que l'on trouve l'électron avec l'impulsion p devrait être donnée par le module carré de cette amplitude. Nous avons cependant, cette fois encore, une petite difficulté au sujet des normalisations. De manière générale, nous pouvons nous interroger seulement sur la probabilité de trouver un électron avec une impulsion à l'intérieur d'un petit domaine dp au voisinage de p. La probabilité pour que l'impulsion ait exactement une certaine valeur p doit être nulle (à moins que l'état se trouve être un état d'impulsion définie). Si nous demandons la probabilité de trouver l'impulsion à l'intérieur d'un petit domaine dp alors nous obtiendrons une probabilité finie. Il y a diverses manières d'ajuster les normalisations. Nous choisirons celle que nous considérons être la plus pratique, bien que cet aspect puisse vous échapper pour l'instant. Nous définissons les normalisations de manière à ce que la probabilité soit reliée à l'amplitude par

(3) ( )hπ

ψ2

,2 dp

pmomdppprob =

Avec cette définition, la normalisation de l'amplitude ψpmom est déterminée. L'amplitude

ψpmom est bien sûr le conjugué complexe de l'amplitude pmomx , cette dernière étant celle

que nous avons donné au début de la section précédente. Avec la normalisation que nous avons choisie, il se trouve que la constante de proportionnalité placée devant l'exponentielle est tout simplement égale à 1. Plus précisément

(4) h/ipxepmomxxpmom −∗ ==

L'équation (3) devient alors

(5) ∫+∞

∞−

−= dxxepmom ipx ψψ h/

L'ensemble de cette équation et de l'équation (3) nous permet de déterminer la distribution d'impulsion pour tout état ψ .

Prenons un cas particulier, par exemple celui d'un électron localisé dans une certaine région au voisinage de x = 0. Prenons une fonction d'onde ayant la forme suivante :

(6) ( ) 24/2 σψ xKex −= La distribution de probabilité en x pour cette fonction d'onde en est le module carré, c'est-à-dire

(7) ( ) ( ) dxeKdxxPdxxprob x 22/22, σ−==

La fonction densité de probabilité est une courbe gaussienne représentée ci-dessus. La plus grande partie de la probabilité est concentrée entre σ+=x et σ−=x . Nous disons que la "demi-largeur" de la courbe est σ (plus précisément, pour quelque chose de réparti suivant cette distribution, σ est égal à la racine carrée de la moyenne des carrés de la coordonnée x, c'est l'écart type). Il nous faudrait choisir la constante K de façon à ce que la densité de probabilité ( )xP ne soit pas simplement proportionnelle à la probabilité par unité de longueur de trouver l'électron mais une échelle telle que ( ) xxP ∆ soit égal à la probabilité de trouver l'électron dans l'intervalle x∆ au voisinage de x. Nous obtenons la constante K qui correspond à cela, en imposant que

( ) 1=∫+∞

∞−dxxP , puisqu'il doit y avoir une probabilité unité pour que l'électron soit trouvé quelque

part, c'est-à-dire sur un intervalle couvrant toute la droite. Dans le cas présent, après le calcul de

l'intégrale, nous obtenons ( ) 4/122−= πσK .

Pour calculer cette intégrale il suffit d'utiliser le résultat mathématique classique π=∫+∞

∞−

− dte t2 .

Cherchons maintenant la distribution en impulsion. Soit ( )pφ l'amplitude pour trouver l'électron avec l'impulsion p, (8) ( ) ψφ pmomp ≡

En portant (6) dans (5) nous obtenons

(9) ( ) ∫+∞

∞−

−− ⋅= dxKeep xipx 24/2/ σφ h

L'intégrale peut être récrite sous la forme

(10) ∫∞+

∞−

+

−− dxeKe

ipxp

2/2224/12/22 h

hσσσ

Nous pouvons maintenant faire la substitution h/2 2σipxu += et l'intégrale devient

(11) πσσ 222 4/ =∫

+∞

∞−

− due u

Les mathématiciens ne seraient sans doute pas tout à fait d'accord avec notre manière de procéder, néanmoins le résultat est correct.

(12) ( ) ( ) 222 /4/128 hσπσφ pep −= D'où le résultat intéressant que la fonction d'amplitude en p a précisément la même forme mathématique que la fonction d'amplitude en x. Seule la largeur de la gaussienne est différente. Nous pouvons aussi écrire

(13) ( ) ( ) 22 4/4/122 ηπηφ pep −−= où la demi-largeur η de la distribution de p est reliée à la demi-largeur de la distribution de x par

(14) σ

η2

h=

Notre résultat dit ceci : si nous donnons à x une distribution très étroite, en faisant σ très petit, η devient très grand et la distribution en p est très étalée. Ou, à l'inverse, si nous avons une distribution étroite en p, il doit y correspondre une distribution étalée en x. Nous pouvons considérer σ et η comme une certaine mesure de l'incertitude sur la détermination de l'impulsion et de la position de l'électron dans l'état que nous étudions. Si nous les appelons respectivement p∆ et x∆ , l'équation (14) devient

(15) 2

h=∆∆ xp

On peut prouver, c'est assez étonnant, que pour aucune autre forme de distribution en x ou en p, le produit xp∆∆ ne peut être plus petit que celui que nous avons trouvé ici. La distribution gaussienne donne la plus petite valeur possible pour le produit des moyennes quadratiques. De manière générale, nous pouvons dire que

(16) 2

h≥∆∆ xp

C'est là une expression quantitative du principe d'indétermination de Heisenberg dont nous avons déjà discuté de façon qualitative. Généralement, nous disions, de façon approximative, que la valeur minimum du produit xp∆∆ est du même ordre que h .

II.1.2.4. Normalisation des états en x Revenons à la discussion sur les modifications qu'il nous faut introduire dans les équations générales lorsque nous avons affaire à un continuum d'états de base. Lorsque nous avons un nombre fini d'états discrets, une condition fondamentale à laquelle doit répondre l'ensemble des états de base est (1) ijji δ=

Si une particule est dans un état de base, l'amplitude pour qu'elle soit dans un autre état de base est nulle. En choisissant une normalisation appropriée, nous avons fait en sorte que ii soit 1. Ces

deux choses sont inclues dans (1). Nous voulons voir maintenant comment on peut modifier cette relation lorsque l'on utilise les états de base x d'une particule sur une droite. Si l'on sait que la

particule est dans l'un des états de base x , quelle est l'amplitude pour qu'elle soit dans un autre

état de base x′ ? Si x et x' sont deux emplacements différents le long de la droite, l'amplitude

xx ′ est certainement nulle, ce qui est en accord avec l'équation (1). Mais si x et x' sont égaux,

l'amplitude xx ′ ne sera pas 1, à cause de ce bon vieux problème de normalisation. Pour voir comment nous pouvons arranger les choses, retournons à l'équation donnant les amplitudes entre états en fonction des états de base que nous appliquons au cas particulier où l'état φ est

précisément l'état de base x′ . Nous obtenons ainsi

(2) ∫ ′=′ dxxxxx ψψ

L'amplitude ψx est tout simplement ce que nous avons appelé la fonction ( )xψ . De même,

l'amplitude ψx′ , qui se réfère au même état ψ , est la même fonction de la variable x', à savoir

( )x′ψ . Nous pouvons donc écrire l'équation (2) sous la forme

(3) ( ) ( )∫ ′=′ dxxxxx ψψ

Cette équation doit être vraie pour tout état ψ et donc pour toute fonction arbitraire ( )xψ . Cette

exigence devrait déterminer complètement la nature de l'amplitude xx ′ , c'est bien sûr une fonction qui dépend de x et x'. Nous sommes ramenés au problème qui consiste à trouver une fonction ( )xxf ′, qui multipliée par

( )xψ et intégrée sur tous les x donne simplement la quantité ( )x′ψ . Or, il n'existe pas de fonction mathématique qui puisse faire cela ! Du moins, rien qui ressemble à ce que nous appelons normalement une "fonction". Prenons pour x' le nombre particulier 0 et définissons l'amplitude x0 comme une certaine

fonction de x, disons ( )xf . L'équation (1) devient alors ceci :

(4) ( ) ( ) ( )∫= dxxxf ψψ 0

Quelle sorte de fonction ( )xf pourrait bien satisfaire à cette équation ? Puisque l'intégrale ne peut

pas dépendre des valeurs que prend ( )xψ sauf pour x nulle, il faut que ( )xf soit 0 pour tout x autre

que 0. Mais si ( )xf est 0 partout, l'intégrale sera zéro elle aussi et l'équation (4) ne sera pas satisfaire. Nous avons donc une situation impossible : nous voulons une fonction qui soit nulle partout, sauf en un point, et qui cependant donne une intégrale finie. Comme nous ne pouvons pas trouver de fonction qui remplisse ces conditions, une échappatoire consiste à dire que la fonction

( )xf est définie par l'équation (2). C'est-à-dire que ( )xf est la fonction qui rend (4) correcte. Cette

fonction, inventée par Dirac, porte son nom. On l'écrit ( )xδ . Plus exactement, c'est ce qu'on appelle une distribution ou une fonction généralisée et les mathématiciens ont donné un support mathématique rigoureux à cette approche intuitive à travers la théorie des distributions. Ainsi, en remplaçant ( )xf par cette fonction dans (4), l'intégrale sélectionne la valeur de ( )xψ

pour x = 0. Tout ce que nous avons à dire de la fonction ( )xδ est qu'elle possède cette étrange

propriété. Et puisque l'intégrale ne doit pas dépendre des valeurs de ( )xψ pour tout x différent de

zéro, la fonction ( )xδ doit être nulle partout sauf en x = 0. En résumé, nous pouvons écrire

(5) ( )xx δ=0

où ( )xδ est définie par

(6) ( ) ( ) ( )∫= dxxxψδψ 0

Remarquez ce qui se passe lorsque l'on prend pour ψ la fonction particulière "1". L'équation (6) devient alors

(7) ( )∫= dxxδ1

Autrement dit, la fonction ( )xδ qui a la propriété d'être nulle partout sauf en x = 0 a cependant une intégrale finie de valeur 1. Il nous faut donc imaginer un infini fantastique en un point pour que la surface totale sous ( )xδ soit égale à 1.

Une façon de concevoir ce qu'est la fonction δ de Dirac, consiste à imaginer une série de rectangles ou, à votre choix, toute autre fonction qui ait la forme d'un pic (voir plus bas), qui soient de plus en plus étroits et de plus en plus hauts en gardant toujours une surface unité, comme dans la figure ci-dessus. L'intégrale de cette fonction de ∞− à ∞+ est toujours 1. Si vous la multipliez par une fonction ( )xψ quelconque et si vous intégrez le produit, vous obtenez quelque chose qui est approximativement la valeur de la fonction en x = 0 (moyennée sur la largeur du rectangle), l'approximation devenant meilleure au fur et à mesure que le rectangle devient plus étroit. Vous pouvez donc imaginer la fonction ( )xδ comme la limite de ce processus. Mais la seule chose importante est que la fonction est définie de sorte que l'équation (6) soit vraie pour toute fonction

( )xψ . Cela définit de manière unique la fonction δ . Ses propriétés sont alors telles que nous les avons décrites. Si nous changeons l'argument x de la fonction δ en x - x', les relations correspondantes sont

(8) ( )

( ) ( ) ( )xdxxxx

xxxx

′=′−

≠′=′−

∫ ψψδ

δ 0

Si nous prenons pour l'amplitude xx ′ l'expression ( )xx ′−δ , l'équation (3) est alors satisfaite.

Ainsi, la condition correspondant à (1) pour nos états de base en x est (9) ( )xxxx ′−=′ δ

Nous en avons ainsi terminé avec les modifications des équations fondamentales, modifications qu'il nous fallait faire pour traiter du continuum des états de base qui correspondent aux points le long d'une droite. L'extension à trois dimensions est assez immédiate. Nous remplaçons d'abord la coordonnée x par le vecteur r. Les intégrales sur x sont alors remplacées par des intégrales sur x, y et z. Elles deviennent des intégrales de volumes. Et enfin, Il faut remplacer la fonction δ à une dimension tout simplement par le produit de trois fonctions δ , l'une en x, une autre en y et la troisième en z, ( ) ( ) ( )zzyyxx ′−′−′− δδδ . En rassemblant toutes ces choses, nous obtenons l'ensemble suivant d'équations sur les amplitudes pour une particule à trois dimensions :

(10) ∫= dVψφψφ rr

(11) ( )rr ψψ =

(12) ( )rr φφ =

(13) ( ) ( )∫∗= dVrr ψφψφ

(14) ( ) ( ) ( )zzyyxx ′−′−′−=′ δδδrr

Que se passe-t-il lorsqu'il y a plus d'une particule ? Nous allons vous dire comment l'on traite le cas de deux particules et vous verrez aisément ce qu'il faut faire si vous voulez vous occuper d'un

nombre plus grand. Supposez que deux particules que nous appelons particule N° 1 et particule N° 2. Qu'allons nous prendre pour états de base ? Si nous décrivons un état en disant que la particule 1 est en 1x et la particule 2 est en 2x , nous aurons un ensemble tout à fait correct, que nous écrirons

21 , xx . Notez que la donnée de la position de l'une des deux particules ne définit pas un état de

base. Chaque état de base doit décrire le système entier. Vous ne devez pas penser que chaque particule se déplace indépendamment comme une onde à trois dimensions. Tout état physique peut se définir en donnant toutes les amplitudes 21 , xx pour trouver les deux particules en 1x et 2x .

L'amplitude généralisée est donc une fonction de deux ensembles de coordonnées 1x et 2x . Vous voyez qu'une telle fonction n'est pas une onde, au sens d'une oscillation qui se déplace dans les trois dimensions. De façon générale, ce n'est pas non plus le simple produit de deux ondes individuelles, une pour chaque particule, mais une sorte d'onde selon les six dimensions définies par 1x et 2x . S'il y a dans la nature deux particules qui interagissent entre elles, il n'y a pas moyen de décrire ce qui arrive à l'une des deux particules en cherchant à écrire une fonction d'onde pour elle uniquement. Ce caractère non séparable des particules est une des particularités les plus étonnantes (mais qui complique aussi singulièrement les calculs). Elle conduit à des situations parfois difficiles à saisir et que nous aurons l'occasion d'examiner. Certaines de ces situations semblent paradoxales et ont donné beaucoup de difficultés aux gens qui, à tort, essayaient de penser à la fonction d'onde pour une particule toute seule et non à la fonction d'onde correcte qui dépend des coordonnées des deux particules. La description complète ne peut se faire de façon correcte qu'en utilisant des fonctions des coordonnées des deux particules.

Une représentation de la fonction de Dirac Donnons une autre représentation de la fonction de Dirac qui a parfois son utilité dans les calculs lorsque l'on utilise un processus de passage à la limite comme avec les rectangles ci-dessus. Une représentation particulière qui est assez utile implique ( ) xgx π/sin comme une fonction de x où g est un nombre positif. Son avantage par rapport aux rectangles est d'être une fonction infiniment dérivable. Elle a la valeur π/g en x = 0 et oscille avec une amplitude décroissante et

avec la période g/2π lorsque x croit. Elle a également une intégrale unité pour x variant de ∞−

à ∞+ , indépendamment de la valeur de g. Donc, la limite de ces fonctions lorsque ∞→g a toutes

les propriétés de la fonction δ . Elle devient infiniment grande en x = 0, elle a une intégrale unité et les oscillations infiniment rapides lorsque x croît signifie que la contribution entière de l'intégrale

contenant cette fonction vient du voisinage infinitésimal de x = 0. Nous pouvons donc poser

(15) ( )x

gxx

g πδ sin

lim∞→

=

Quelques propriétés de la fonction de Dirac Il est important de noter que, à cause de son caractère singulier, la fonction δ ne peut pas être le résultat final d'un calcul et n'a de signification que si une intégration subséquente sur son argument est effectuée. Avec cela en tête, nous pouvons écrire quelques relations entre fonctions δ .

(16)

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )axafaxxf

badxbxxa

aaxaxaax

axaax

xxx

xx

xx

xx

−=−

−=−−

>++−=−

>=

−=′=

−′−=′−=

∫

−

−

δδ

δδδ

δδδδδ

δδδ

δδδδ

02

0

0

122

1

Ici l'apostrophe indique la dérivée par rapport à l'argument. Chacune des six premières équations peut être établie en multipliant les deux cotés par une fonction différentiable continue ( )xf et en intégrant sur x. Par exemple, la quatrième équation donne

(17) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫ −=′+−=−=′ dxxxfdxxfxxfxdxxxfdx

dxdxxxxf δδδδ

où le terme de conditions aux limites résultant de l'intégration par partie s'annule. Donc, ( )xxδ ′ a le

même effet lorsqu'il est un facteur dans l'intégrand que ( )xδ− . De même, la septième équation

signifie que les deux cotés donnent le même résultat quand ils sont multipliés par ( )af ou ( )bf et intégrés sur a et b. La dernière équation est vérifiée en intégrant les deux cotés sur x ou a.

II.1.3. L'équation de Schrödinger Jusqu'à présent, nous nous sommes uniquement souciés de décrire des états susceptibles de représenter un électron situé en n'importe quel point de l'espace. Il nous faut maintenant voir comment insérer dans notre description la physique de ce qui peut se produire dans diverses circonstances. Comme précédemment, il nous faut voir comment les états peuvent varier dans le temps. Si nous avons un état ψ qui se transforme un peu plus tard dans un autre état ψ ′ , nous pouvons décrire la situation à tout instant en faisant de la fonction d'onde, qui n'est rien d'autre que l'amplitude ψr , une fonction du temps aussi bien que des coordonnées. On peut alors décrire

une particule dans une situation donnée par une fonction d'onde dépendant du temps ( ) ( )tzyxt ,,,, ψψ =r . Cette fonction d'onde, qui varie avec le temps, décrit l'évolution des états

successifs qui se produisent au cours du temps. Cette "représentation d'espace", qui donne des projections de l'état ψ sur les états de base r peut ne pas être toujours la plus pratique, mais

c'est elle que nous allons considérer d'abord. Plus tôt, nous avons décrit la variation des états en fonction du temps en terme de l'hamiltonien

ijH . La variation des diverses amplitudes en fonction du temps était donnée par l'équation

matricielle

(1) ∑=j

jij

i CHdt

dCih

Cette équation nous dit que la variation de chaque amplitude iC en fonction du temps est

proportionnelle à toutes les autres amplitudes jC , avec les coefficients de proportionnalité ijH .

Quel aspect peut bien prendre l'équation (1) lorsqu'on utilise un continuum d'états de base x ?

Souvenons-nous d'abord que l'équation (1) peut aussi s'écrire

(2) ∑=j

jjHiidt

di ψψ ˆh

Ce que nous avons à faire est maintenant très clair. Pour la représentation x nous pouvons écrire

(3) ∫ ′′′= xdxxHxxdt

di ψψ ˆh

La somme sur tous les états de base j se trouve remplacée par une intégrale sur x'. Puisque xHx ′ˆ

doit être une certaine fonction de x et de x', nous pouvons l'écrire sous la forme ( )xxH ′, , ce qui

correspond au ijH de l'équation (1). L'équation (3) est donc identique à

(4) ( ) ( ) ( )∫ ′′′= xdxxxHxdt

di ψψ ,h

avec

(5) ( ) xHxxxH ′≡′ ˆ,

D'après l'équation (4), le taux de changement de ψ au point x doit dépendre de la valeur de ψ en

tous les autres points x'. Le facteur ( )xxH ′, est l'amplitude par unité de temps pour que l'électron saute de x' à x. Cependant, il se trouve que dans la nature cette amplitude est nulle sauf pour des points x' très proches de x. C'est une manifestation de la localité que l'on retrouve explicitement en relativité : les phénomènes physiques se propagent de proche en proche. Cela implique, comme nous l'avons vu dans l'exemple de la chaîne d'atomes, que le terme de droite de (4) peut être exprimé en terme de ψ et des dérivées de ψ par rapport à x, toutes évaluées au point x. Pour une particule se déplaçant librement dans l'espace, sans qu'il y ait de force ni de perturbation, la loi correcte de la physique est

(6) ( ) ( ) ( )xdx

d

mxdxxxH ψψ

2

22

2,

h−=′′′∫

Où avons-nous trouvé cette forme ? Nulle part. Il n'est pas possible de la déduire de quoi que ce soit que vous connaissiez. Elle est sortie de l'esprit de Schrödinger, lorsqu'il luttait pour trouver une compréhension des observations expérimentales du monde réel. Pourquoi doit-elle être ainsi, vous

pouvez en avoir une certaine intuition en pensant à la façon dont nous avons établi la version pour une particule libre à partir de la considération de la propagation d'un électron dans un cristal. La naissance originale de cette équation est d'ailleurs représentative. Au départ, Schrödinger présenta son équation sans explication sur la manière de l'obtenir. Mais les physiciens n'aiment pas trop voir quelque chose tiré comme d'un chapeau de magicien sans avoir ne fut ce qu'une idée de la manière dont on a pu l'obtenir, même si cette équation marche admirablement bien ce qui, a posteriori, en constitue la seule validation expérimentale valable. Ce n'est que sur l'insistance de ses pairs que Schrödinger donna le cheminent de sa pensée ayant abouti à ce résultat. Nous donnerons ci-dessous une autre "déduction" intuitive plus proche de cette approche traditionnelle. Les particules libres ne sont pas, à vrai dire, très excitantes. Que se passe-t-il si nous faisons agir des forces sur la particule . Eh bien, si la force sur la particule peut être dérivée d'un potentiel scalaire, nous pensons à des forces électriques, non magnétiques, et si nous nous en tenons à des énergies faibles, de sorte que nous pouvons ignorer les complications dues aux mouvements relativistes, l'hamiltonien qui s'adapte au monde réel donne alors ceci

(7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxVxdx

d

mxdxxxH ψψψ +−=′′′∫ 2

22

2,

h

A nouveau, vous pouvez vous faire une certaine idée de l'origine de cette équation si vous revenez au mouvement de l'électron dans un cristal et si vous regardez comment il faudrait modifier les équations pour tenir compte d'une lente variation de l'énergie de l'électron d'un emplacement atomique à l'autre, ce serait le cas s'il y avait un champ électrique à travers le cristal. Le terme 0E

varierait alors lentement avec la position et correspondrait au nouveau terme que nous avons ajouté dans (7). Vous vous demandez sans doute pourquoi nous sommes allés directement de l'équation (6) à l'équation (7) au lieu de vous donner tout simplement l'expression correcte pour l'amplitude

( ) xHxxxH ′=′ ˆ, . La raison en est que ( )xxH ′, ne peut s'exprimer qu'au moyen de fonctions

algébriques étranges, bien que toute l'intégrale à droite de l'équation (6) puisse s'écrire avec des choses qui vous sont maintenant familières. Si vous êtes vraiment curieux, ( )xxH ′, peut s'écrire de la manière suivante :

(8) ( ) ( ) ( ) ( )xxxVxxm

xxH ′−+′−′′−=′ δδ2

,2

h

où δ ′′ représente la dérivée seconde de la fonction de Dirac. Cette fonction assez étrange peut être remplacée par un opérateur algébrique différentiel qui lui est totalement équivalent

(9) ( ) ( ) ( )xxxVdx

d

mxxH ′−

+−=′ δ2

22

2,

h

Nous n'utiliserons pas ces expressions et nous travaillerons directement avec la forme (7). Si nous portons l'expression (7) dans l'intégrale en (3), nous obtenons pour ( ) ψψ xx = l'équation

différentielle suivante :

(10) ( ) ( ) ( )xxVxxmt

i ψψψ +∂∂−=

∂∂

2

22

2

hh

Si nous nous intéressons à un mouvement à trois dimensions, nous voyons clairement comment modifier l'équation (10). Il suffit de remplacer 22 / dxd par

(11) 2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

et ( )xV par ( )zyxV ,, . L'amplitude ( )zyx ,,ψ pour un électron qui se place dans un potentiel

( )zyxV ,, obéit à l'équation différentielle

(12) ψψψV

mti +∇−=

∂∂ 2

2

2

hh

C'est ce qu'on appelle l'équation de Schrödinger et ce fut la première équation de mécanique quantique jamais écrite. Elle a été écrite par Schrödinger avant qu'aucune des équations quantiques décrites jusqu'ici n'ait été découverte. Bien que nous ayons abordé le sujet selon une voie complètement différente, le grand moment historique de la naissance de la description quantique de la matière s'est produit lorsque

Schrödinger en 1926 a écrit pour la première fois son équation. Pendant de longues années, la structure atomique interne de la matière était restée un grand mystère. Personne n'avait été capable de comprendre ce qui maintient la matière ensemble, pourquoi il y a des forces de liaisons chimiques et surtout comment il peut se faire que des atomes puissent être stables. Si Bohr avait su donner une description du mouvement interne d'un électron dans un atome d'hydrogène, description qui paraissait expliquer le spectre de la lumière émise par cet atome, la raison pour laquelle les électrons se déplacent de cette manière restait un mystère. La découverte par Schrödinger des équations propres du mouvement des électrons à l'échelle atomique a fourni une théorie à partir de laquelle on peut calculer des phénomènes atomiques de façon quantitative, précise et détaillée. En principe, l'équation de Schrödinger permet d'expliquer tous les phénomènes atomiques sauf ceux qui font intervenir le magnétisme et la relativité. Elle permet d'expliquer les niveaux d'énergie d'un atome ainsi que tous les faits qui concernent les liaisons chimiques. Cependant, ceci n'est vrai qu'en principe, pour résoudre exactement n'importe quel problème sauf les plus simples, les calculs deviennent rapidement trop compliqués. Seuls les atomes d'hydrogène et d'hélium ont pu être calculés avec une grande précision. Cependant, à l'aide de diverses approximations, dont certaines sont assez vaseuses, de nombreux faits concernant des atomes plus compliqués et concernant les liaisons chimiques de molécules ont pu être compris. Nous vous avons montré certaines de ces approximations dans ce qui a précédé. Depuis, avec l'usage de calculateurs de plus en plus puissant et le développement du calcul numérique massif, des calculs précis de situations un peu plus compliquées que l'atome d'hélium ont pu être abordés avec succès. Mais les méthodes d'approximations restent indispensables pour des situations plus complexes. Cette limite à la capacité du calcul peut sembler un défaut de la théorie. Le fait que l'équation soit difficile à résoudre dans les cas compliqués n'enlève rien au fait que l'équation est correcte et on ne peut évidemment simplifier cette équation, dans le simple but d'avoir des calculs plus simples, sans obtenir un résultat qui ne correspond en rien à la réalité. La nature n'existe pas telle qu'elle est dans le but de nous rendre la vie facile. En outre, ce genre de situation ne devrait pas tellement surprendre. Déjà, avec la théorie de la gravitation de Newton, dont les équations sont particulièrement simples, les équations générales pour trois corps ne peuvent être résolues exactement et, pire encore, les solutions manifestent un comportement chaotique dans de nombreux régimes, ce qui rend l'analyse des solutions, même numériques, très difficile. Enfin, il va de soit qu'il est plus facile de décrire le plan d'une maison en donnant les dimensions des murs qu'en

donnant la position de chaque brique. Plus on rentre dans le détail et plus le travail devient considérable. L'équation de Schrödinger permet de descendre dans l'infiniment petit et de comprendre les comportements des atomes mais reconstruire le monde qui nous entoure avec toute sa complexité et ses milliards de milliards d'atomes ne peut évidemment se faire sans difficulté. L'équation de Schrödinger, telle que nous l'avons écrite, ne tient compte d'aucun effet magnétique. Il est possible de tenir compte de ces effets d'une manière approchée en ajoutant quelques termes de plus à l'équation. Cependant, le magnétisme est essentiellement un effet relativiste. Une description correcte du mouvement d'un électron dans un champ électromagnétique arbitraire ne peut donc se faire que par une équation relativiste. L'équation relativiste correcte pour le mouvement d'un électron a été découverte par Dirac une année après que Schrödinger ait proposé son équation. Elle se présente sous une forme très différente. Avant de regarder certaines conséquences de l'équation de Schrödinger, nous voudrions vous montrer comment elle se présente pour un système avec un grand nombre de particules. Nous voulons vous la montrer pour que vous puissiez bien voir que la fonction d'onde n'est pas simplement une onde ordinaire dans l'espace mais qu'elle est une fonction de beaucoup de variables. S'il y a beaucoup de particules, l'équation devient

(13) ( ) ( )ψψψψψ

KhK

h ,,,2

,,,3212

2

2

2

2

22321 rrrrrr

Vzyxmt

ii iiii

+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

− ∑

La fonction de potentiel V est l'équivalent classique de l'énergie potentielle totale de toutes les particules. Si aucune force extérieure n'agit sur les particules, la fonction V est simplement l'énergie électrostatique d'interaction de toutes les particules. Autrement dit, si la ième particule porte la charge eiqZ , la fonction V est alors simplement (avec la convention selon laquelle 0

22 4/ πεeqe = )

(14) ( ) ∑= 2321 ,,, e

r

ZZV

ij

jiKrrr

Développement de l'équation Nous allons maintenant présenter une autre approche pour déduire l'équation de Schrödinger par la recherche d'une équation d'onde généralisant les propriétés ondulatoires des particules quantiques. Cette déduction a l'avantage de la rapidité mais elle n'offre pas la profondeur de compréhension physique qui a été apportée par la déduction précédente. Toutefois, cette déduction à l'avantage de bien mettre en avant le coté ondulatoire des particules quantiques en même temps que le fait que ce ne sont pas tout à fait des ondes classiques.

Ondes harmoniques progressives La première tâche est de développer d'une manière plus quantitative les propriétés de la fonction d'onde à une dimension ( )tx,ψ dont les propriétés ondulatoires ont été discutées qualitativement au début de ce cours. Nous avons vu que pour une onde harmonique progressive continue, la longueur d'onde et le moment sont reliés ainsi que l'énergie et la fréquence. Récrivons ces relations : (15) kp h= (16) ωh=E Une fonction d'onde ( )tx,ψ qui représente une particule de position totalement indéterminée voyageant dans la direction de x positif avec un moment connu avec précision p et une énergie cinétique E devrait avoir une des formes

(17)

( )( )

( )

( )( )tkxi

tkxi

e

e

tkx

tkx

ω

ω

ωω

−−

−

−−

sin

cos

ou une combinaison linéaire de ces solutions. Cela suit directement des expériences de diffractions et d'interférences et de l'exigence qu'un paquet d'ondes d'approximativement le nombre d'ondes k et la pulsation ω a une vitesse de groupe égale à celle d'une particule libre classique de moment p et d'énergie E.

A la recherche d'une équation d'ondes Afin d'aller au-delà du problème très simple d'une onde harmonique continue, il est désirable d'avoir une équation dont les ondes harmoniques et les ondes plus compliquées sont solution. Un exemple d'un domaine plus familier de la physique devrait aider à clarifier ce point. Dans le cas des ondes sonores à trois dimensions dans un gaz, il est possible d'obtenir une solution du problème de la diffusion du son par une sphère rigide en superposant des ondes harmoniques progressives voyageant dans différentes directions. Mais il est beaucoup plus simple de résoudre l'équation différentielle pour les ondes sonores directement en coordonnées sphériques. Si la température du gaz change de point en point, aucun progrès ne peut être fait dans le cas général sans une telle équation différentielle. L'équation correcte pour les ondes sonores peut être trouvée directement à partir de considérations sur les propriétés mécaniques du gaz. Bien que ce ne soit pas le cas avec l'équation dont les fonctions d'onde sont solutions, il n'est pas moins impératif de trouver la forme de l'équation. La nécessité devient encore plus évidente quand la fonction d'onde d'écrit le mouvement d'une particule sous l'influence de forces externes. Cette situation s'avère être l'analogue de la propagation des ondes sonores dans un gaz non homogène. Nous allons donc trouver une telle équation pour ψ puis nous la regarderons comme un attribut plus fondamental de la fonction d'onde que les formes harmoniques (17). L'équation doit avoir deux propriétés de base. Tout d'abord elle doit être linéaire, afin que les solutions puissent obéir au principe de superposition, produire des effets d'interférences (dans le cas à trois dimensions).et permettre la construction de paquets d'ondes. Et, ensuite, les coefficients de l'équation doivent seulement impliquer des constantes telles que h et la masse et la charge de la particule, et non les paramètres d'un type particulier de mouvement de la particule (impulsion, énergie, nombre d'ondes et fréquence). La raison de cette exigence est que nous désirons laisser ouvert la possibilité de superposer des solutions qui possèdent différentes valeurs de ces paramètres. Cela signifie qu'une telle fonction d'onde plus générale ne peut pas être solution d'une équation qui implique ces paramètres dans sa structure. Puisque les équations différentielles sont les plus faciles à manipuler, il est intéressant d'essayer de type d'équation d'abord et il s'avère que les exigences peuvent être satisfaites par une équation différentielle.

Avec toutes ces considérations à l'esprit, nous regardons d'abord l'équation d'onde à une dimension la plus familière qui décrit le mouvement d'une onde transverse sur une corde ou une onde sonore plane dans un gaz :

(18) 2

2

2

2

xt ∂∂=

∂∂ ψγψ

où γ est le carré de la vitesse de l'onde. La substitution des formes (17) dans l'équation (18) montre que chacune des quatre solutions harmoniques et donc leurs combinaisons linéaires satisfont l'équation différentielle si et seulement si nous posons

(19) 2

2

2

2

2

2

4m

p

p

E

k=== ωγ

où m est la masse de la particule décrite par l'équation (18). A cause de la structure (19), il est évident que le coefficient γ qui apparaît dans (18) implique les paramètres du mouvement (E ou p). Nous écartons donc cette équation différentielle.

L'équation d'onde à une dimension Pour trouver une équation appropriée, il est utile de noter que la différentiation par rapport à x des fonctions d'onde comme celles (17) a l'effet général de multiplier la fonction par k (et quelque fois aussi d'échanger sinus et cosinus) tandis que la différentiation par rapport à t a l'effet général de multiplier par ω . Alors, la relation mpE 2/2= , qui est équivalente à la relation mk 2/2

h=ω , suggère que l'équation différentielle que nous recherchons contient une dérivée première par rapport à t et une dérivée seconde par rapport à x.

(20) 2

2

xt ∂∂=

∂∂ ψγψ

La substitution montre que les deux premières fonctions d'onde (17) ne sont pas solutions de (20) mais que les deux dernières le sont (mais pas les deux en une fois) si la constante γ est choisir de manière appropriée. En particulier, si nous choisissons

(21) m

i

p

Ei

k

i

222

hh === ωγ

alors la troisième fonction d'onde (17) satisfait (20). De plus, la valeur de γ donnée dans (21) implique seulement les constantes h et m. Nous sommes donc conduit à la forme à une dimension de l'équation d'onde de Schrödinger pour une particule libre de masse qui, à partir de (20) et (21), peut être écrite

(22) 2

22

2 xmti

ψψ ∂−=∂

∂ hh

La forme particulière sous laquelle (22) est écrite est significative pour la solution harmonique, la troisième fonction d'onde (17), car elle transforme le coté gauche en ψE et le coté droit en

( )ψmp 2/2 .

Equation à trois dimensions Le traitement à une dimension précédent est facilement étendu à trois dimensions. Il est naturel de récrire (16) comme (23) kkp == kh

où k est appelé le vecteur d'onde. De même, la troisième des fonctions d'onde (17) devient (24) ( )ti ω−⋅ tkexp où r est le vecteur position de la particule. Alors, par une extension évidente de l'argument qui nous a conduit à (22), on voit que l'équation de Schrödinger à trois dimensions pour une particule qui est représentée par la fonction d'onde ( )t,rψ est

(25) ψψ 22

2∇−=

∂∂

mti

hh

Une comparaison des équations (23) et (25) et l'équation classique de l'énergie

(26) m

E2

2p=

suggère que, au moins pour une particule libre, l'énergie et le moment peuvent être représentés par des opérateurs différentiels qui agissent sur la fonction d'onde ψ .

(27) ∇→∂∂→ hh it

iE p

Les développements ultérieurs montreront que ce sont aussi des représentations valides quand la particule n'est pas libre.

Inclusion des forces Le prochain problème est d'étendre l'équation de la particule libre (25) pour inclure les effets de forces extérieures qui peuvent agir sur la particule. Nous supposerons pour le moment que ces forces sont d'une nature (électrostatique, gravitationnelle, peut-être nucléaire) telle qu'elles peuvent être combinées en une seule force F qui est dérivable d'une énergie potentielle réelle V. (28) ( ) ( )tVt ,, rrF −∇= Tout comme la relation classique entre l'énergie et le moment est utilisée ci-dessus pour en déduire la structure de l'équation (25), il est maintenant désirable de partir de la relation classique correspondante qui inclut les forces extérieures. Cela est simplement exprimé en terme de l'énergie potentielle

(29) ( )tVm

E ,2

2

rp +=

où E est maintenant l'énergie totale et le premier et le second termes sur la droite sont respectivement les énergies cinétiques et potentielles de la particule. Puisque V ne dépend pas de p ni de E, les équations (29) et (27) suggèrent que l'équation (25) se généralise en

(30) ( )ψψψtV

mti ,

22

2

r+∇−=∂

∂ hh

C'est l'équation d'onde que nous recherchions. Cette déduction comme la précédente ne donnent qu'un caractère plausible à l'équation de Schrödinger. Cela ne peut en aucun cas constituer une démonstration de cette équation. Mais c'est

bien sûr l'accord des solutions de (30) avec l'expérience dans des cas particuliers qui démontrer la validité et l'utilité de cette équation.

II.2. Interprétation de la fonction d'onde Nous allons maintenant approfondir l'interprétation de la fonction d'onde que nous avions effleurée dans la section II.1.2.2. La fonction d'onde ( )t,rψ qui est solution de l'équation de Schrödinger est maintenant supposée fournir une description complète en mécanique quantique du comportement d'une particule de masse m avec l'énergie potentielle ( )tV ,r et est donc l'analogue de la trajectoire classique ( )tr . La signification de la fonction d'onde doit toutefois être agrémentée de détails concernant son interprétation qui nous permet d'extraire de ψ le maximum d'information permis par la nature. Tout comme la validité de l'équation de Schrödinger, l'interprétation de la fonction d'onde doit être jugée par sa consistance logique et sont adéquation aux résultats expérimentaux.

Interprétation statistique Revenons sur le fait que la fonction d'onde est en fait une amplitude et fournit donc les probabilités de trouver la particule à un endroit déterminé. Cela signifie qu'en pratique, on doit interpréter ψ en termes statistiques. Nous pouvons imaginer un nombre très grand de régions de l'espace identiques, indépendantes et sans parties communes, suffisament grandes pour contenir toutes les propriétés intéressantes du mouvement et dans chacune le comportement d'une particule avec l'énergie potentielle ( )tV ,r est

décrit par la même fonction d'onde ( )t,rψ . Dans chaque cas, r se rapporte à une origine dans la région concernée. Ou bien, nous pouvons imaginer un très grand nombre de répétitions du même mouvement dans la même région de l'espace avec, à chaque fois, t se rapportant à une origine particulière du temps. Le lien entre amplitude et probabilité découle d'une hypothèse, due à Born, que le résultat numérique de la mesure à un moment particulier t (pour autant que le moment où la mesure est faite puisse être spécifié) de toute quantité physique significative, tel que position moment ou énergie, ne sera en général pas le même dans chaque région mais sera plutôt une distribution de valeurs qui peut être décrit par une fonction de probabilité.

Il est naturel de relier cette probabilité à la fonction ψ mais celle-ci est en général un nombre complexe. L'hypothèse de Born est de supposer que le produite de ψ avec son complexe conjugué

∗ψ donne la densité de probabilité de la position. Comme nous l'avions vu.

(1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2,,,, ttttP rrrr ψψψ == ∗

Cela signifie que ( )dxdydztP ,r est la probabilité de trouver une particule dans son élément de volume dx dy dz autour du point r à l'instant t, quand un grand nombre de mesures précises de la position sont effectuées sur des particules indépendantes, chacune décrite par la fonction d'onde à une particule ( )t,rψ .

Normalisation de ψ

La probabilité de trouver la particule quelque part dans la région doit être l'unité. L'équation (1) implique donc que la fonction d'onde est normalisée :

(2) ( ) 1, 32 =∫ rdtrψ

où l'intégrale s'étend sur la région entière. Ici rd 3 est l'élément de volume à trois dimensions dx dy dz. Si ψ est un paquet d'onde, l'intégrale (2) converge et le coefficient numérique de ψ peut être ajusté pour que l'intégrale soit égale à l'unité. Une telle normalisation ne change pas le fait que ψ est une solution de l'équation de Schrödinger car celle-ci est homogène en ψ . Il y a cependant des solutions, comme une onde plane, telles que l'intégrale (2) ne converge pas sur un volume infini. De telles fonctions nécessitent des considérations particulières sur lesquelles nous reviendrons. Pour le moment, nous pouvons imaginer que la fonction d'onde est définie dans une région de l'espace éventuellement très grande mais finie. Dans ce cas, l'intégrale (2) est faites sur un volume fini et elle converge, permettant la normalisation. Le coefficient de ψ qui normalise doit être indépendant du temps afin que ψ satisfasse l'équation

de Schrödinger. Donc, si (2) est satisfait, l'interprétation de 2ψ comme densité de probabilité

nécessite que l'intégrale de normalisation soit indépendante du temps. C'est en fait le cas et cela

peut être vérifié en calculant la dérivée par rapport au temps de l'intégrale de P sur tout volume fixé Ω :

(3)

( )

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]∫

∫

∫

∫∫

∇∇−∇=

∇∇−∇⋅∇=

∇−∇=

∂∂+

∂∂=

∂∂

∗∗

Ω

∗∗

Ω

∗∗

Ω

∗∗

Ω

An dA

m

i

rdm

i

rdm

i

rdtt

rdtPt

ψψψψ

ψψψψ

ψψψψ

ψψψψ

2

2

2

,

2

322

33

h

h

h

r

où on a remplacé t∂∂ /ψ en utilisant l'équation de Schrödinger et son conjugué complexe. La dernière intégrale est obtenue par intégration partielle (théorème de Green) où A est la surface frontière de la région d'intégration et l'indice n indique la composante du vecteur entre crochet dans la direction normale vers l'extérieure à l'élément de surface dA. Nous définissons le vecteur ( )t,rS ,

(4) ( ) ( )[ ]ψψψψ ∗∗ ∇−∇=im

t2

,h

rS

Ce qui nous donne

(5) ( ) ∫∫∫ −=⋅∇−=∂∂

ΩΩ AndASrdrdtP

t

33, Sr

Dans le cas d'un paquet d'ondes pour lequel ψ s'annule à grande distance et l'intégrale de normalisation converge, l'intégrale de surface est évidemment zéro quand Ω est l'espace entier. Pour une fonction d'onde de type onde plane, ψ peut être définie dans une région finie Ω telle qu'elle s'annule ou a une structure périodique le long de la frontière, comme nous verrons. Dans

tous ces cas, on vérifie sans difficulté que l'intégrale de surface dans (6) est nulle, tel que l'intégrale de normalisation dans (1) est constante dans le temps.

Densité de courant de probabilité La dérivation de (5) montre aussi que la relation différentielle

(6) ( ) ( ) 0,, =⋅∇+

∂∂

tt

tPrS

r

est valide. Elle a la forme familière associée à la conservation du flux d'un fluide de densité P et de densité de courant S dans laquelle il n'y a ni source ni fuite. Il est donc raisonnable d'interpréter

( )t,rS donnée par l'équation (4) comme une densité de courant de probabilité. Cette interprétation rend plus plausible l'identification de ∇− hi avec l'impulsion même quand une force est présente. Alors ( )∇im/h est l'opérateur vitesse et il est évident que

(7) ( )

∇= ∗ ψψim

Reth

,rS

Bien que cette interprétation de S soit suggestive, on doit bien comprendre que S n'est pas susceptible d'une mesure directe dans le sens où P l'est. Il serait trompeur, par exemple, de dire que

( )t,rS est la moyenne du flux de particule mesuré au point r et au moment t car une mesure du flux local moyen implique des mesures simultanées de haute précision de la position et de la vitesse (qui est équivalente à l'impulsion) et est donc inconsistante avec la relation d'indétermination. Néanmoins, il est quelque fois utile de voir S comme un vecteur de flux, en particulier quand il dépend seulement légèrement ou pas du tout de r tel qu'une détermination précise de la vitesse peut être faite sans altérer l'utilité du concept de flux.

Valeur moyenne

L'existence de la densité de probabilité de position ( )tP ,r rend possible le calcul de ce que nous appelons la valeur moyenne du vecteur position d'une particule, qui est définie comme le vecteur dont les composantes sont les moyennes pondérées des composantes correspondantes de la position de la particule. La valeur moyenne est la moyenne mathématique (dans le sens de la théorie des probabilités) pour le résultat d'une seule mesure ou est la moyenne des résultats d'un grand nombre

de mesures sur des systèmes indépendant du type discuté au début de cette section. Nous écrivons la valeur moyenne de r comme

(8) ( ) ( ) ( )∫∫∗== rdttrdtP 33 ,,, rrrrrr ψψ

qui est équivalente aux trois équations

(9) ∫∫∫∗∗∗ === rdzzrdyyrdxx 333 ψψψψψψ

où ψ est normalisé. Attention de ne pas confondre la notation < > pour une moyenne avec la notation des crochets de Dirac pour les amplitudes. Il arrive parfois que certaines notations se trouvent avoir plusieurs usages, ce dont nous sommes désolés, mais il est préférable de suivre les notations conventionnelles pour ne pas que vous soyez déroutés en lisant des articles spécialisés dans le domaine. La valeur moyenne est une fonction de seulement le temps puisque ψ et P dépendent de t et que les coordonnées spatiales ont été intégrées. Les valeurs moyennes de toute autre quantité physiquement significative peut être obtenue d'une manière similaire si elles sont uniquement fonctions de la coordonnée de la particule r. Donc, la valeur moyenne de l'énergie potentielle est

(10) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∗== rdttVtrdtPtVV 33 ,,,,, rrrrr ψψ

Une quantité telle que l'impulsion ou l'énergie doivent, cependant, être exprimées en fonction de r et de t avant qu'un calcul de ce type puisse être fait. Nous supposons qu'il est possible d'utiliser les représentations sous forme d'opérateurs différentiels que nous avons vues. Nous reviendrons sur ce point. La question qui est cependant immédiatement soulevée est comment de tels opérateurs différentiels doivent être combinés avec la densité de probabilité P. On peut répondre à la question en imposante l'exigence raisonnable suivante aux valeurs moyennes :

(11) Vm

E +=2

2p

en analogie avec l'équation classique de l'énergie. Cette exigence est raisonnable car on s'attend à ce qu'en moyenne, les particules quantiques obéissent aux équations classiques. En termes d'opérateurs différentiels, (11) peut être écrit

(12) Vmt

i +∇−=∂∂ 2

2

2

hh

Il est visible que l'équation (12) est consistante avec l'équation de Schrödinger seulement si la valeur moyenne est définie dans le cas général avec l'opérateur agissant sur ψ et multiplié à gauche

par ∗ψ . Nous obtenons donc, par exemple,

(13) ( )∫∫ ∇−=∂

∂= ∗∗ rdirdt

iE 33 ψψψψ hh p

Comme dans l'équation (8), la deuxième équation (13) est équivalente aux équations sur les composantes

(14)

∫

∫

∫

∂∂−=

∂∂−=

∂∂−=

∗

∗

∗

rdz

ip

rdy

ip

rdx

ip

z

y

x

3

3

3

ψψ

ψψ

ψψ

h

h

h

Théorème d'Ehrenfest Il est assez raisonnable de s'attendre à ce que le mouvement d'un paquet d'ondes soit en accord avec le mouvement d'une particule classique quant l'énergie potentielle change de manière négligeable sur les dimensions du paquet. Ce que nous avons déjà constaté pour la propagation d'un électron dans un cristal ou la limite classique des forces. Si nous entendons par vecteurs "position" et "impulsion" du paquet les moyennes pondérées ou valeurs moyennes de ces quantités, nous

pouvons montrer que les équations classiques et quantiques sont toujours en accord. Une composante de la "vitesse" du paquet sera le taux de changement dans le temps de la valeur moyenne de cette composante de la position car x dépend seulement du temps et la variable x

dans l'intégrand de (9) est une variable d'intégration, c'est-à-dire

(15) ∫∫∫ ∂∂+

∂∂==

∗∗∗ rdx

trd

txrdx

dt

dx

dt

d 333 ψψψψψψ

On peut simplifier cette expression en substituant, aux dérivées du temps de la fonction d'onde et de son complexe conjugué, la partie droite de l'équation de Schrödinger et en annulant les termes V où nous continuons à supposer pour le moment que V est réel :

(16)

( ) ( )[ ]∫

∫∫

∗∗

∗∗∗

∇−∇=

+∇−−

+∇−−=

rdxxm

i

rdxVm

rdVm

xi

xdt

d

322

322

322

2

22

ψψψψ

ψψψψψψ

h

hh

h

La deuxième intégrale peut être intégrée par partie :

(17) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∗∗∗ ∇+∇⋅∇−=∇

AndAxrdrdx ψψψψψψ 332

où l'intégrale de la composante normale de ∗∇ψψx sur la frontière A à l'infini s'annule car un paquet d'ondes ψ s'annule à grande distance. Une deuxième intégration par partie, dans laquelle l'intégrale de surface s'annule à nouveau, donne

(18) ( ) ( )∫∫ ∇=∇ ∗∗ rdxrdx 3232 ψψψψ

Donc

(19) ( )[ ]

xpm

rdxm

i

rdxxm

ix

dt

d

12

3

322

=∂∂−=

∇−∇=

∫

∫∗

∗

ψψ

ψψψ

h

h

Puisque x est toujours un nombre réel à cause de la forme de (10), l'équation (19) montre que l'on

a également xp réel. On peut aussi le montrer sur la deuxième équation (13) lorsque ψ

représente un paquet d'ondes en utilisant une intégration par partie. De même, nous pouvons calculer le taux de changement dans le temps d'une composante de "l'impulsion" de la particule comme

(20)

( )

x

V

rdx

V

rdx

VVxx

rdx

Vm

rdVmx

rdxt

rdtx

i

rdxdt

dip

dt

dx

∂∂−=

∂∂−=

∂∂−

∂∂−=

∂∂

+∇−+

+∇−

∂∂−=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂−=

∂∂−=

∫

∫

∫∫

∫∫

∫

∗

∗

∗∗∗

∗∗

∗

3

3

322

322

33

3

22

ψψ

ψψ

ψψψψψψ

ψψψψ

ψψ

hh

h

h

à nouveau en utilisant l'équation de Schrödinger et en intégrant deux fois par parties. Les équations (19) et (20) ainsi que pour les autres composantes constituent le théorème d'Ehrenfest. Elles sont les analogues des équations classiques du mouvement :

(21) Vdt

d

mdt

d −∇== ppr

Le théorème d'Ehrenfest fournit un exemple du principe de correspondance introduit par Bohr et qui affirme que les équations quantiques et classiques correspondent lorsque l'on peut négliger les "fluctuations" statistiques quantiques ou lorsque l'on pose 0=h . En effet, ce théorème montre

qu'un paquet d'ondes se comporte comme une particule classique lorsque les valeurs moyennes donnent une bonne représentation de la variable classique correspondante. C'est habituellement la limite macroscopique où la taille finie et la structure interne du paquet peut être ignorée.

II.3. Les niveaux d'énergie quantifiés La fonction d'onde de Schrödinger admet une simplification considérable lorsque l'énergie potentielle ( )rV ne dépend pas du temps. Il est alors possible d'exprimer sa solution générale comme une somme de produits de fonctions de r et de t séparément.

Séparation de la fonction d'onde Considérons une solution particulière de l'équation de Schrödinger qui peut être écrite comme un produit : ( ) ( ) ( )tfut rr =,ψ . Une solution générale peut alors être écrite comme une somme de telles solutions séparées. Si nous introduisons cette expression dans l'équation de Schrödinger et que nous divisons par ce produit, nous obtenons

(1) ( )

+∇−= uVu

mudt

df

f

ir

22

2

1 hh

Puisque le coté gauche de (1) ne dépend que de t et le coté droit que de r, les deux cotés doivent être égaux à la même constante de séparation que nous appellerons E (le lecteur ne doit pas s'inquiéter d'un risque de confusion avec l'énergie car ce choix n'est pas innocent comme nous allons le voir). Alors, l'équation pour f est facilement intégrée pour donner (2) ( ) h/iEtCetf −= où C est une constante arbitraire et l'équation pour u devient

(3) ( ) ( ) ( )rrr EuuVm

=

+∇− 2

2

2

h

Puisque l'équation (3) est homogène en u, la constante C peut être choisie pour normaliser u. Alors une solution particulière de l'équation de Schrödinger est (4) ( ) ( ) h/, iEteut −= rrψ

Signification de la constante de séparation E L'opérateur dérivée du temps donnée comme une représentation de l'énergie peut être appliqué à ψ de l'équation (4) pour donner

(5) ψψE

ti =

∂∂

h

Une équation de ce type est appelée une équation aux valeurs propres. Une fonction ψ solution de cette équation est appelée une fonction propre ou un état propre de l'opérateur qui apparaît à gauche et la constante multiplicative E qui apparaît à droite est appelée valeur propre. Une fonction propre, comme la fonction ψ donnée par (4), est appelée un état stationnaire de la

particule puisque 2ψ est constant dans le temps. Nous avions déjà vu auparavant de telles

solutions stationnaires d'énergie bien définie dans certains cas particuliers, comme les particules libres. L'équation (3) est aussi une équation aux valeurs propres. Elle dit que u (et donc aussi ψ ) est une

fonction propre de l'opérateur ( ) ( )rVm +∇− 22 2/h avec la même valeur propre E. On s'attend bien sûr à ce que ψ soit une fonction propre de cet opérateur si c'est une fonction propre de l'opérateur dérivée dans le temps puisque selon l'équation de Schrödinger les deux opérateurs sont équivalents non seulement pour des fonctions séparées de la forme (4) mais aussi pour des solutions plus générales. Nous allons anticiper un peu sur la discussion de la signification physique des fonctions propres et des valeurs propres que nous verrons bientôt et nous allons supposer que les valeurs propres E sont les seuls résultats possibles de mesures précises de l'énergie totale d'une particule. Il est alors intéressant de se demander si oui ou non des solutions physiques intéressantes ( )ru de l'équation (3) existent pour toute valeur réelle de E. Une réponse ne peut pas être obtenue sans avoir précisé la signification de "physiquement intéressantes" en fonction des conditions aux limites imposées à

( )ru . Cette spécification et le caractère général des valeurs propres de l'énergie qui sont associées

avec différents types de fonctions d'énergies potentielles ( )rV seront alors considérées.

Conditions aux limites à grande distance Nous avons jusqu'ici rencontré essentiellement deux types de fonctions d'onde : les paquets d'ondes

qui sont bien localisés et pour lesquels l'intégrale de normalisation ∫ rd 32ψ converge et les ondes

harmoniques qui se propagent qui ont une grandeur constante à grande distance tel que l'intégrale de normalisation prise sur un volume infini diverge. La première classe peut être interprétée comme représentant des particules qui sont initialement bien localisées ou qui sont restreintes à une région particulière de l'espace par des forces extérieures dérivées d'une énergie potentielle ( )rV . La deuxième classe représente des particules qui ne sont ni localisées ni restreintes mais qui se propagent à travers la région considérée sur de grandes distances. De telles fonctions d'onde seront utiles pour décrire la diffusion de particules par un champ de force. Dans les deux cas, les fonctions d'onde sont bornées à grande distance dans toutes les directions. Une autre classe possible consiste en fonctions d'onde qui deviennent infinies à grande distance. Cependant, elles ne sont pas physiquement intéressantes puisque nous n'avons aucune raison d'être concerné par des particules dont la densité de probabilité de position devient arbitrairement grande dans les régions éloignées de l'espace. Normaliser une telle fonction nécessiterait de diviser la densité de probabilité par une grandeur infinie, puisque même pour une région de taille finie la fonction d'onde n'est pas bornée à grande distance, ce qui conduirait au résultat absurde que dans toute région on a une probabilité nulle de trouver la particule !

Conditions de continuité L'équation de Schrödinger indépendante du temps (3) est une équation différentielle linéaire du second ordre en r. Donc, tant que ( )rV est fini, qu'il soit ou non continu, une connaissance de la fonction d'onde et de son gradient le long d'une surface rend possible l'intégration de l'équation pour obtenir la fonction d'onde en tout point. Il est donc raisonnable d'exiger que la fonction d'onde et son gradient soit continu, fini et avec une seule valeur en tout point de l'espace afin qu'une situation physique définie puisse être représentée de manière unique par une fonction d'onde. Ces

exigences ont aussi la conséquence que la densité de probabilité de position ( )rP et la densité de

courant de probabilité ( )rS soient finis et continus partout.

Conditions aux limites pour une énergie potentielle infinie Si ( )rV est infini quelque part, la condition aux limites appropriée peut être établie par un processus limite qui par de V fini et des conditions de continuité précédentes. Supposons, par exemple, qu'il y a une discontinuité infinie dans V à travers une surface continue, tel que l'énergie potentielle est finie d'un coté et ∞+ de l'autre, et nous voulons déterminer la condition aux limites sur ( )ru et u∇ à cette surface. Les propriétés essentielles du problème sont gardées si nous remplaçons la surface continue par le plan qui est tangent au point considéré et l'énergie potentielle changeant de manière continue d'un coté de la surface par un potentiel constant qui peut, sans perte de généralité, est choisi égal à zéro puisque tout changement constant dans V est équivalent à un changement identique dans E. Nous choisissons l'origine des coordonnées au point considéré et l'axe des x perpendiculaires au plan tangent. L'équation (3) se sépare alors dans les coordonnées spatiales et la dépendance de u en y et z n'est pas affectée par la discontinuité de V au plan x = 0. Nous voulons donc résoudre l'équation à une dimension

(6) ( ) EuuxVdx

ud

m=+−

2

22

2

h

où ( ) 0=xV pour x < 0, ( ) 0VxV = pour x > 0 et nous passerons ensuite à la limite +∞→0V . Si

nous supposons que 00 VE <≤ , les solutions générales de (6) sont

(7)

( )

( ) ( ) 2

1

20

2

1

2

20

20cossin

−+=>+=

+=<+=

−

h

h

EVmxDeCexu

mExxBxAxu

xx β

ααα

ββ

La condition aux limites que u est borné à grande distance nécessite que nous posions D = 0. Ensuite, la continuité de u en x = 0 donne la relation B = C et la continuité de dxdu / donne la relation CA βα −= . Puisque β devient infini quand 0V devient infini et que la solution pour x < 0

doit être finie, la deuxième relation montre que C tend vers zéro lorsque +∞→0V donnant donc

aussi une valeur zéro pour B. A n'est pas déterminée à partir de ces relations mais peut être fixé par normalisation. Donc, la condition aux limites sur une surface où il y a un saut infini de potentiel est que la fonction d'onde y vaut zéro et la composante du gradient de la fonction d'onde normale à la surface n'est pas déterminée. L'hypothèse ci-dessus que 0VE < n'est évidemment pas une restriction puisque 0V

tend vers l'infini. Pour E < 0, le sinus et le cosinus dans la solution pour x < 0 sont remplacés par des sinus et cosinus hyperboliques (ce qui est autorisé puisque la solution a seulement besoin d'être valide près de x = 0) sans changement sur le résultat final. On notera qu'à la fois P et xS s'annulent

lorsque 0→x pour les valeurs négatives de x et sont donc continues en x = 0 même si dxdu / ne l'est pas. Une frontière de ce type représente un mur impénétrable et parfaitement rigide puisque dans la situation classique analogue, une particule de toute énergie fini aurait sa composante x de l'impulsion instantanément renversée au contact de la surface.

Valeurs propres de l'énergie à une dimension Les fonctions propres de l'énergie qui représentent des particules qui sont restreintes à une région particulière de l'espace par l'énergie potentielle (première classe) sont toujours caractérisées par des valeurs propres discrètes tandis que les fonctions propres qui ne s'annulent pas à grande distance (deuxième classe) possèdent un domaine continu de valeurs propres. Il peut sembler très surprenant qu'une équation différentielle n'impliquant que des fonctions continues aboutisse au final à des solutions discrètes. Cela peut être constaté qualitativement en considérant la nature des solutions de l'équation à une dimension (6).

Nous supposerons d'abord que ( )xV devient égal à une certaine valeur constante qui peut être posée égale à zéro pour des valeurs négatives et positives de x suffisament grandes et que E < 0. Une particule classique avec cette énergie totale E ne peut pas s'évader à l'infini et ne peut en effet exister dans la région que si E est plus grand ou égal à la plus petite valeur minV de ( )xV . La forme

permise de la fonction d'onde pour x suffisament grand pour que V = 0 est évidemment xe

β− où

( )212/2 hmE−+=β . Ces deux solutions pour de grand x positifs et négatifs peuvent être prolongées jusqu'à un certain point intermédiaire, disons x = 0, en utilisant l'équation de Schrödinger et les conditions de continuité. A ce point, u peut toujours être rendu continu en choisissant les constantes multiplicatives arbitraires pour les solutions approchées de x positif et négatif. Alors un peu de réflexion montre que, pour une valeur arbitraire de E, elles ne se rencontreront pas avec la même valeur de dxdu / . Il peut, cependant, y avoir des valeurs particulières de E pour lesquelles à la fois u et dxdu / sont continues en x = 0. Les conditions pour cela peuvent être vues de la manière suivante.

Dans les régions où ( )xVE < , ( ) udxud // 22 est positif et ainsi u est convexe vers l'axe des x. Donc, les deux solutions qui sont prolongées depuis ∞± ont des signes opposés pour leur rapport de pente à la valeur, ( ) udxdu // , aussi longtemps qu'elles sont dans les régions où E est inférieur à V. Cela est illustré dans la figure (b) ci-dessus pour le potentiel (a). Les deux choix de signe pour u sont montrés pour x < 0. Les points où ( )xVE = sont des points d'inflexion (PE) ou "points de demi-tour" pour le mouvement classique puisqu'ils sont les limites du mouvement d'une particule classique d'énergie E où la particule fait demi-tour et renverse son mouvement. En ces points

0/ 22 =dxud et u a une courbure nulle. Clairement, ce qui est nécessaire pour que les deux solutions se rejoignent doucement est une région dans laquelle ( )xVE > , afin que ( ) udxud // 22 soit négatif et que u soit concave vers l'axe des x. Cela permet au rapport des pentes aux valeurs de devenir égales. La figure (c) montre les deux solutions prolongées jusqu'à ce qu'elles se rencontrent, mais pour une valeur assez petite de E et lorsque les u sont identiques au même endroit x = 0, les pentes ne sont pas égales (courbes pleines) ou quand les pentes sont identiques en x = 0 les u ne sont pas égaux (courbe en tiret à gauche et pleine à droite). La figure (d) montre une valeur de E un peu plus grande et la figure E une valeur encore plus grande. Les valeurs de E et de minV sont indiquées sur l'axe des u et les points d'inflexion sont indiqués sur l'axe des x, dans les trois derniers cas.

Niveaux d'énergie discrets Nous voyons qu'une fonction propre qui satisfait les conditions aux limites et les conditions de continuité et qui représente une particule liée par l'énergie potentielle ( )xV peut exister pour la valeur particulière de E illustrée dans la figure (d). En analogie avec la situation classique, une condition nécessaire pour qu'une telle fonction propre existe est que 0min <V , auquel cas E est entre

minV et 0. Comme dans le cas classique, cette condition est aussi suffisante à une dimension bien que ce ne soit pas le cas à trois dimensions.

Si le puits de potentiel illustré dans la figure (a) précédente est suffisament large ou profond, il peut exister une autre fonction propre correspondant à une valeur propre de l'énergie encore négative. Les figures (a), (b) et (c) ci-dessus montrent une série de fonctions d'onde analogues à celles montrées dans les figures (c), (d) et (e) précédentes pour des valeurs de E successivement croissantes (successivement moins négatives). Les deux signes de u sont montrés pour x < 0. Donc la figure (d) précédente et (b) ci-dessus montrent les fonctions propres pour les deux valeurs propres de l'énergie les plus basses ou niveaux d'énergie d'une particule liée par le potentiel ( )xV . Il est facile de voir par un prolongement des arguments qualitatifs précédents que s'il y a des niveaux

d'énergie discrets plus élevés, chaque fonction d'onde a un nœud de plus que celle correspondant à la valeur propre plus basse suivante. Donc, pour une énergie potentielle qui approche une valeur constante finie lorsque ±∞→x , il peut y avoir un nombre fini de niveaux d'énergie discrets ou, dans certains cas, un nombre infini (si

( )xV diminue suffisament lentement pour de grands x ), selon ( )xV et la masse de la particule.

Cependant, si ( ) +∞→xV lorsque ±∞→x , un argument comme celui donné ci-dessus montre qu'il y aura toujours un nombre infini de niveaux d'énergie discrets. En dehors de constantes multiplicatives arbitraires, il y aura une seule fonction propre ( )xu pour chaque niveau.

Valeurs propres continues de l'énergie Il est possible de trouver des fonctions propres qui obéissent aux conditions aux limites et de continuité pour toutes les valeurs propres de l'énergie qui excède le plus petit des deux nombres

( )∞+V et ( )∞−V . Si, par exemple, l'énergie potentielle a la forme illustrée plus haut, alors des solutions de l'équation de Schrödinger peuvent être trouvées pour toute valeur positive de E. Cela est dû aux solutions pour de grands x qui ont la forme

(8) 2

1

2

2cossin

+=+h

mExBxA ααα

et il n'y a aucune raison pour ne pas garder les deux termes. Donc il est toujours possible d'ajuster la phase de chacune des fonctions d'onde pour de grands x (ce qui est équivalent à ajuster le

rapport A / B pour les solutions pour les grands x positifs et négatifs) de manière à ce qu'elles se rejoignent doucement quand elles sont prolongées en x = 0. Un exemple de ce type que nous avons déjà vu est l'électron diffusé par une impureté dans un cristal. Les termes classiques périodiques (ou avec périodicité multiple) et apériodique sont parfois utilisés pour désigner les mouvements des particules associés avec respectivement les valeurs propres discrètes et continues de l'énergie.

Valeurs propres discrètes et continues à trois dime nsions Nous supposerons sans plus approfondir que tous les résultats précédents peuvent se généraliser naturellement à l'équation de Schrödinger à trois dimensions. Nous pouvons nous attendre à ce que, si ( ) +∞→rV lorsque ∞→r dans toutes les directions, alors il y aura un ensemble infini de

niveaux d'énergie discrets s'étendant jusqu'à ∞+ . Si ( )rV est borné lorsque ∞→r dans une certaine direction, il y aura un nombre fini ou infini de niveaux d'énergie, selon la forme de V. Dans ce cas, les niveaux d'énergie ne peuvent pas excéder la plus petite valeur de ( )∞V dans toute

direction. Pour des valeurs de E plus grandes que ce plus petit ( )∞V , les valeurs propres de l'énergie couvrent un domaine continu s'étendant jusque ∞+ .

II.4. Fonctions propres et valeurs propres L'interprétation physique de la fonction d'onde a été discutée précédemment. Elle se rattache essentiellement au calcul de valeurs moyennes des opérateurs qui représentent différentes quantités physiques. En plus, une densité de probabilité de position a été introduite. Nous sommes donc dans la position de calculer à partir de la fonction d'onde toute propriété qui dépend de la distribution spatiale d'une particule (par exemple, l'écart type de sa position par rapport à la moyenne) mais nous ne pouvons calculer que des valeurs moyennes pour les opérateurs autres que la position. Clairement, ce dont nous avons besoin pour boucler notre interprétation de la fonction d'onde est une méthode de calcul des fonctions de probabilité pour les opérateurs en général. Cela nous permettrait en plus d'obtenir des expressions pour les valeurs moyennes sans hypothèse séparée. Nous allons maintenant poser trois postulats physiques à partir desquels l'interprétation complète de la fonction d'onde peut être dérivée. L'interprétation présentée précédemment peut être vue comme un cas particulier du traitement plus général que nous allons voir.

II.5. Postulats d'interprétation et fonctions propr es de l'énergie Nous partons de la fonction d'onde ( )t,rψ solution de l'équation de Schrödinger qui décrit le

mouvement d'une particule de masse m avec une énergie potentielle ( )rV . A partir de cette fonction d'onde, nous voulons obtenir une description aussi complète que possible des propriétés du mouvement de la particule qui soit consistante avec la relation d'indétermination dont nous avons discuté.

Variables dynamiques comme opérateurs Nous postulons d'abord que chaque variable dynamique qui se rapporte au mouvement de la particule peut être représentée par un opérateur linéaire. Un opérateur Ω est linéaire s'il satisfait l'équation ( ) 22112211 ψψψψ Ω+Ω=+Ω aaaa pour des

nombres complexes ia et des fonctions iψ arbitraires.

L'opérateur peut être simplement un opérateur multiplication tel que r pour la position ou il peut être un opérateur différentiel tel que ∇− hi pour l'impulsion. A chaque opérateur peut être associé une équation linéaire aux valeurs propres. Donc, à l'opérateur Ω on peut associer l'équation (1) µµµ ω vv =Ω

où µv est la fonction propre de Ω correspondant à la valeur propre µω .

Notre deuxième postulat est que les valeurs propres µω sont les seuls résultats possibles d'une

mesure précise de la variable dynamique représentée par Ω . Cela implique que les valeurs propres de tout opérateur qui représente une quantité physique mesurable sont des nombres réels. L'ensemble des valeurs propres est aussi appelé le spectre de l'opérateur.

Développement en fonctions propres Nous supposons que toutes les fonctions propres de toute variable dynamique constitue un ensemble complet de fonctions dans le sens qu'une fonction continue arbitraire peut être développée en fonction de ces fonctions propres. C'est une hypothèse mathématique et non physique que nous analyserons plus loin en relation avec les fonctions propres de l'énergie et de l'impulsion. Supposons maintenant qu'une fonction d'onde particulière ψ est développée en terme des fonctions

propres µv de l'opérateur Ω . Nous adoptons l'interprétation statistique de ψ que nous avons vue

selon laquelle il y a un grand nombre de régions identiques indépendantes de l'espace ou des intervalles de temps dans lesquels une particule est décrite par ψ . Nous faisons alors des mesures de la variable dynamique représentée par Ω sur chacune de ces particules. Notre troisième postulat physique est que le nombre de mesures qui donnent la valeur propre µω est proportionnel au carré

de la grandeur du coefficient de µv dans le développement de ψ . Ce postulat dû à Born nous

permet d'associer une fonction de probabilité à chaque variable dynamique. Un corollaire est que nous sommes certains de mesurer une valeur propre particulière µω seulement quand la fonction

d'onde qui décrit la particule est la fonction propre correspondante µv .

Plutôt que de développer les conséquences de ces postulats pour un opérateur arbitraire Ω , nous allons considérer ici l'énergie totale de la particule et l'impulsion. La plus part des résultats obtenus sont facilement généralisables aux autres opérateurs physiques.

Liens entre postulats et amplitudes Mais avant, revenons à notre approche à travers les amplitudes pour faire le lien avec les postulats qui viennent d'être posés. Il est facile de voir que ces postulats sont une conséquence des résultats que nous avions obtenus. Soit une particule passant à travers un processus physique déterminé Ω . L'amplitude pour passer

d'un état à un autre en passant par ce processus est ψφ Ω . Nous avions alors identifié un

ensemble d'états de base qui sont associés à ce processus (éventuellement un processus de mesure). Par exemple, le passage de la particule à travers des fentes ou la position de la particule autour d'un atome dans un cristal. Cet ensemble d'états de base peut être développé sur la base position et cela nous fournit immédiatement un ensemble complet de fonctions d'ondes associées aux états du processus. Par construction, les seuls états propres qui peuvent être mesurés sont ceux associés à ces états ou fonctions propres particulières. De plus, en développant un état ψ arbitraire sur cet ensemble d'états de base et avec l'interprétation probabiliste nous avons immédiatement le troisième postulat. Le lien entre valeurs propres et valeurs mesurées est moins immédiat. Nous avions déjà vu ce lien avec l'énergie et l'opérateur hamiltonien. Le premier postulat est simplement une généralisation à tout opérateur. C'est aussi une manière de définir les opérateurs associés aux quantités physiques.

L'opérateur énergie totale Selon la relation d'indétermination, une mesure précise de l'énergie totale ne peut pas être faite en une durée finie. Donc, si l'énergie totale a une valeur définie, il est essentiel que l'énergie potentielle ( )rV soit indépendante du temps. Alors l'opérateur ( ) ( )rVm +∇− 22 2/h est équivalent a

l'opérateur énergie totale ( )ti ∂∂ /h . Il a les fonctions propres ( )ru qui n'ont pas besoin d'impliquer le temps. L'équation aux valeurs propre de l'énergie est

(2) ( ) ( ) ( )rrr EE EuuVm

=

+∇− 2

2

2

h

où la fonction propre ( )rEu correspond à la valeur propre E et obéit aux conditions aux limites et de continuité. Comme nous l'avons vu, les fonctions propres de l'énergie peuvent être divisées en deux classes : celles qui sont bien localisées et qui sont associées avec des valeurs propres discrètes et celles qui restent finies à grande distance et qui possèdent un domaine continu de valeurs propres.

Normalisation dans une boite Il est souvent souhaitable de traiter ces deux classes sur la même base. Cela peut être obtenu en enfermant la particule analysée dans une boite de volume arbitrairement grand mais fini. La situation physique la plus simple à laquelle cette approche est applicable est une où les murs de la boîte sont parfaitement rigides tel que la fonction d'onde s'y annule. Les discussions précédentes montrent alors que toutes les valeurs propres sont discrètes. Si la boite est grande par rapport aux dimensions physiques caractéristiques du problème, les valeurs propres qui étaient discrètes en l'absence de la boite sont pratiquement inaffectées puisque avant que les murs ne soient introduits, la fonction d'onde était extrêmement petite à cet endroit. De même, les valeurs propres qui étaient continues en l'absence de la boîte sont très peu espacées. Nous le verrons explicitement pour une particule libre. Il est plus pratique de supposer que la fonction d'onde obéit à des conditions aux limites périodiques sur les murs de la boite plutôt que de les annuler puisqu'il est alors possible d'avoir une description plus simple des fonctions propres du moment, comme nous le verrons. Nous choisissons la région finie comme un cube avec des cotés de longueur L centré sur l'origine et nous demandons que chaque fonction d'onde ait la même valeur pour les points correspondants sur les faces opposées du cube et la même dérivée normale au mur. Ces conditions aux limites rendent discrètes les valeurs propres continues puisque la phase de la fonction propre à grande distance n'est plus arbitraire. Comme avec la boite rigide, la présence des murs a un effet négligeable en dehors de légèrement discrétiser les valeurs propres continues et de fournir un volume fini dans lequel ces fonctions d'onde peuvent être normalisées. Nous continuerons à utiliser le mot "continu" pour décrire ces fonctions même quand la boite de normalisation est utilisée.

Orthonormalité des fonctions propres de l'énergie

L'intégrale ( )∫ rduE

32r qui converge dans tous les cas pour les fonctions propres de l'ensemble

discret convergent pour toutes les fonctions propres quand elles sont normalisées dans la boite de volume fini 3L . Le coefficient de Eu peut être choisi pour que cette intégrale soit égale à l'unité et

les ( )rEu sont normalisés.

Nous allons maintenant montrer que les fonctions propres de deux valeurs propres différentes E et E' sont orthogonales, c'est-à-dire que l'intégrale du produit de l'une par le complexe conjugué de l'autre sur le domaine commun est zéro. Nous avions déjà eut l'occasion de voir cela sous la forme des amplitudes pour les états de l'hamiltonien. A partir de (2) nous avons que ( )r∗

′Eu satisfait l'équation (où V est à nouveau supposé réel)

(3) ( ) ( ) ( )rrr∗

′∗

′ ′=

+∇− EE uEuV

m

22

2

h

En accord avec notre interprétation physique, nous avons supposé que E' est réel. Cela sera vérifié ci-dessous. Nous multiplions (2) par ∗

′Eu et (3) par Eu et nous intégrons sur le volume 3L puis nous prenons la différence entre les deux équations résultantes. Les termes en V s'annulent et il reste

(4) ( ) ( )∫∫∗

′∗

′∗

′ ′−=∇−∇− rduuEErduuuum

EEEEEE

33222

2

h

L'intégrale du coté gauche de (4) peut être transformée par le théorème de Green en une intégrale de surface sur la surface A du cube :

(5) ( ) ( )

( )∫

∫∫∗

′∗

′

∗′

∗′

∗′

∗′

∇−∇=

∇−∇⋅∇=∇−∇

A nEEEE

EEEEEEEE

dAuuuu

rduuuurduuuu 3322

où l'indice n désigne la composante du vecteur dans la direction sortante normale à l'élément de surface dA. Puisque l'imposition des conditions aux limites périodiques donne à chaque fonction d'onde et sa dérivée normale les mêmes valeurs aux points correspondants des faces opposées du cube, la dérivée normale sortante a des signes opposés sur des faces opposées et l'intégrale de surface (5) s'annule. Alors, l'équation (4) nous dit que, si EE ′≠ , Eu et Eu ′ sont orthogonaux. Il est évident que cette démonstration d'orthogonalité peut être appliquée à un ensemble discret de fonctions propres même si la boite n'est pas introduite puisque les u s'annulent rapidement à grande distance et l'intégrale de surface, qui est alors une sphère de rayon infini, est zéro. L'ensemble continu de fonctions propres de l'énergie peut aussi être traité sans utiliser la normalisation dans une boite.

Une valeur propre de l'énergie E est dite dégénérée quand deux ou plusieurs fonctions propres linéairement indépendantes 1u , 2u , … lui correspondent. Des combinaisons linéaires orthogonales de fonctions propres dégénérées peuvent être trouvées de plusieurs manières, comme nous l'avions déjà vu avec les états. Par exemple, 2211 uauaua += peut être rendu orthogonale à 1u en

choisissant les coefficients constants 1a et 2a tels que

(6) ∫∫

∗

−=rdu

rduu

a

a

32

1

321

2

1

Ce choix n'interfère pas avec la normalisation de au et au est encore une fonction propre de

l'énergie avec la valeur propre E. Evidemment, le choix des combinaisons linéaires orthogonales n'est pas unique. En continuant cette procédure, toutes les fonctions propres de l'énergie peuvent être rendues orthogonales les unes aux autres même si certaines valeurs propres sont dégénérées. Un tel ensemble de fonctions propres, toutes normalisées et orthogonales les unes aux autres, est appelé un ensemble orthonormal de fonctions. Nous spécifions un ensemble orthonormal de fonctions propres de l'énergie non dégénérées par la relation

(7) ( ) ( ) EEEE rduu ′∗

′ =∫ δ3rr

où EE ′δ est le symbole δ symétrique de Kronecker qui est égal à l'unité si EE ′= et zéro autrement. S'il y a dégénérescence, (7) doit être remplacé par

(8) ( ) ( ) ssEEEssE rduu ′′∗

′′ =∫ δδ3rr

où l'indice s distingue les fonctions propres dégénérées orthogonales. Il est souvent pratique d'omettre explicitement la mention de s et d'utiliser (7) également pour les situations dégénérées, auquel cas l'indice s est implicite.

Réalité des valeurs propres de l'énergie Nous pouvons maintenant voir directement que E est un nombre réel, comme cela a été supposé. Multiplions (2) par ( )r∗

′Eu et intégrons sur le volume 3L de la boite. Si Eu est normalisé, le résultat est

(9) ( )∫∫ +∇−= ∗ rduVrduum

E EEE

32322

2r

h

qui peut être exprimé en fonction des valeurs moyennes comme ( ) Vm +22/1 p .

Le deuxième terme V est réel puisque son intégrand est réel. Le premier terme peut être montré

explicitement comme étant réel en utilisant une intégration par partie :

(10) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ∇−∇⋅∇=∇− ∗∗∗

A nEEEEEE dAuurduurduu 332

L'intégrale de volume à droite est manifestement réelle et l'intégrale de surface, comme dans (5), s'annule à cause des conditions aux limites périodiques sur les murs de la boite. Il est intéressant de

noter que 2p ne peut pas être négatif.

Développement en fonctions propres de l'énergie Comme mentionné au début de cette section, nous faisons l'hypothèse mathématique que l'ensemble des fonctions propres ( )rEu de l'opérateur énergie totale constitue un ensemble complet de fonctions dans le sens qu'une fonction continue arbitraire peut être développée en terme de ces fonctions. Alors, si nous avons une fonction d'onde quelconque ( )rψ à un instant particulier du

temps, normalisée dans la boite 3L et qui obéit aux conditions aux limites périodiques sur les mures, l'existence supposée du développement (11) ( ) ( )∑=

E

EEuA rrψ

rend possible de trouver des coefficients uniques EA qui ne dépendent pas de r.

Les coefficients dans le développement (11) peuvent être déterminés en multipliant les deux cotés par ∗

′Eu et en intégrant sur la boite. Nous supposons que l'ordre de la sommation et de l'intégrale peut être renversé. La propriété de permutation de l'ordre des sommations et des intégrales doit être en principe analysé séparément dans chaque cas. Les considérations mathématiques impliquées vont au-delà du but cherché ici et nous supposerons toujours qu'une telle permutation est autorisée dans les situations physiquement intéressantes. Nous obtenons alors

(12) ( ) ( ) ( ) ( ) E

E

EEE

E

EEEE AArduuArdu ′′∗

′∗

′ === ∑∑ ∫∫ δψ 33rrrr

où l'on a utilisé (7) ou (8).

La propriété de fermeture La substitution de l'expression (12) pour EA dans (11) donne

(13) ( ) ( ) ( )[ ] ( )∑ ∫ ′′′= ∗

E

EE urdu rrrr3ψψ

que nous réarrangeons pour donner

(14) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∑ ′

′′= ∗ rduuE

EE

3rrrr ψψ

Puisque ( )rψ est une fonction continue arbitraire de r, l'équation (14) implique que la partie entre crochet de l'intégrand s'annule sauf si r' = r puisque autrement la valeur de ψ au point r donnée par (14) changerait quand les valeurs de ψ en d'autres points rr ≠′ seraient modifiées et cela serait contraire à l'hypothèse que ψ peut avoir une forme arbitraire. De plus, l'intégrale du terme entre crochet doit être l'unité quand le volume d'intégration inclut le point r' = r. Nous en concluons donc que

(15)

( ) ( )

( ) ( ) 1

0

3 =

≠′=′

∫∑

∑∗

∗

E

EE

E

EE

rduu

uu

rr

rrrr

si le volume d'intégration inclut le point r' = r. L'équation (15) décrit la propriété de fermeture de l'ensemble orthonormal de fonctions ( )rEu et dérivent directement de leur complétude exprimée par (11), que ce soit des fonctions propres de l'énergie ou pas.

Fonction de probabilité et valeur moyenne Les deuxièmes et troisièmes postulats présentés au début de cette section disent que les valeurs propres de l'énergie sont les seuls résultats possibles de mesures précises de l'énergie totale et que la probabilité de trouver une valeur E particulière quand la particule est décrite par la fonction

d'onde ( )rψ est proportionnelle à 2

EA . Il est facile de voir que le facteur de proportionnalité est

l'unité car si nous posons la fonction de probabilité de l'énergie

(16) ( ) 2

EAEp =

nous voyons que la somme des ( )EP donne l'unité

(17)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 132

33

33

==

′

′′′=

′′′=

∫

∫∫ ∑

∑ ∫∫∑

∗

∗∗

rd

rrdduu

rdurduEP

E

EE

E

EE

E

r

rrrr

rrrr

ψ

ψψ

ψψ

puisque ψ est normalisé. Nous avons utilisé ici les équations (15). Nous pouvons aussi calculer la valeur moyenne de l'énergie à partir de la fonction de probabilité :

(18) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫∫∑ ′′′== ∗∗

E

EE

E

rdurdEuEEPE 33rrrr ψψ

Si nous remplaçons ( )r∗EEu par (2), la première intégrale de (18) peut être intégrée deux fois par

partie comme suit :

(19)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∫

∫∫

+∇−=

+∇−=

∗

∗∗

rdVm

u

rduVm

rdEu

E

EE

322

322

3

2

2

rrr

rrrrr

ψ

ψψ

h

h

Les deux intégrales de surface qui résultent des intégrations par partie s'annulent à cause des conditions aux limites périodiques sur Eu et ψ . Donc, avec l'aide de (15), l'équation (18) devient

(20)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∫

∫∫ ∑

∑ ∫∫

+∇−=

′

′

+∇−′=

′′

+∇−=

∗

∗∗

∗∗

rdVm

rrdduuVm

rdurdVm

uE

E

EE

E

EE

322

3322

3322

2

2

2

rrr

rrrrr

rrrrr

ψψ

ψψ

ψψ

h

h

h

Le résultat obtenu dans (20) confirme l'hypothèse faites plus tôt que la valeur moyenne d'un opérateur doit être calculée en insérant l'opérateur entre ( )r∗ψ et ( )rψ pour qu'il opère seulement sur ce dernier et ensuite en intégrant sur r.

Solution générale de l'équation de Schrödinger Si l'énergie potentielle ( )rV est indépendante de t et que nous connaissons la solution de l'équation de Schrödinger à un instant particulier, nous pouvons écrire une expression formelle pour la solution à tout instant. Nous développons ( )t,rψ en fonctions propres de l'énergie au temps t, auquel cas les coefficients de développement dépendent du temps

(21) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∑ ∗== rdtutAutAt EE

E

EE

3,, rrrr ψψ

En substituant l'équation (21) dans l'équation de Schrödinger, on a

(22) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ =E

EE

E

EE EutAtAdt

dui rrh

A cause de l'orthonormalité des Eu , l'équation (22) est équivalente à

(23) ( ) ( )tEAtAdt

di EE =h

qui peut directement être intégré pour donner

(24) ( ) ( ) ( ) h/00

ttiE

EE etAtA−−=

Notons que ( ) ( ) ( ) 2

0

2: tAtAEP EE= est constant dans le temps.

Donc, si ( )t,rψ est connu au temps 0tt = , la solution à tout instant t est donnée par (21) et (24) :

(25) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∫

∑

′′′=

=

∗

−−

rdtutA

uetAt

EE

E

E

ttiE

E

300

/00

,

,

rr

rr

ψ

ψ h

ou

(26) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∑ ′′

′= −−∗ rdteuutE

ttiE

EE

30

/0 ,, rrrr ψψ h

La solution (25) est une combinaison linéaire des fonctions propres de l'énergie.

II.6. Fonctions propres de l'impulsion Les fonctions propres de l'opérateur impulsion linéaire ∇− hi fournissent un deuxième exemple instructif de l'application des idées générales développées au début de la section précédente. Elles sont aussi d'une utilité considérable pour résoudre des problèmes physiquement intéressant. Ce sera aussi un approfondissement de l'analyse des fonctions propres de l'impulsion que nous avions déjà vue dans la section II.1.2.3.

Forme des fonctions propres Les fonctions propres de l'impulsion sont solutions des trois équations aux valeurs propres (1) ( ) ( )rpr pp uui =∇− h

ou

(2)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )rr

rr

rr

pp

pp

pp

upuz

i

upuy

i

upux

i

z

y

x

=∂∂−

=∂∂−

=∂∂−

h

h

h

Elles ont la forme

(3) ( ) ( )h

rprp

⋅= iCu exp

où C est une constante de normalisation. Il est utile de passer du vecteur impulsion p au vecteur de propagation h/pk = et de réécrire les fonctions propres de l'impulsion (4) ( ) ( )rkrk ⋅= iCu exp Ce sont des fonctions propres de l'opérateur impulsion avec les valeurs propres kh .

Normalisation dans une boîte Comme avec les fonctions propres de l'énergie, nous pouvons restreindre le domaine des ( )rku à

une boîte cubique arbitrairement grande mais finie de volume 3L centrée à l'origine et sur les murs de laquelle les fonctions obéissent à des conditions aux limites périodiques. Alors ku est normalisé

si 2

3−

= LC . De plus, k n'est plus un vecteur réel arbitraire. Ses composantes sont restreintes aux valeurs

(5) L

nk

L

nk

L

nk z

z

y

yx

x

πππ 222===

où xn , yn et zn sont des entiers positifs, négatifs ou nuls. L'espacement des vecteurs k voisins et

de leurs valeurs propres m2/22kh peut être rendu aussi petit que souhaité en prenant L

suffisament grand. Il est toujours supposé que la limite ∞→L est prise à la fin des calculs. Il est intéressant de noter que les fonctions propres de l'impulsion (4) ne peuvent pas exister dans une boîte qui a des murs parfaitement rigides car ces fonctions propres ne s'annulent nul part. C'est analogue à la situation classique où l'impulsion d'une particule qui est reflété par un mur rigide n'est pas conservée. D'un autre coté, la boîte cubique avec des conditions aux limites périodiques est équivalente à une situation dans laquelle l'espace entier est divisé en cubes adjacents et toutes les fonctions d'onde sont périodiques à travers tout l'espace avec la période L le long des trois axes. Si la périodicité de l'espace est transposée à la situation classique analogue, une particule passant à travers un mur serait équivalente à une qui frappe ce mur et apparaît au point correspondant du mur opposé avec son vecteur impulsion inchangé. L'orthonormalité des fonctions propres de l'impulsion

(6) ( ) ( )rkrk ⋅=−

iLu exp2

3

est facilement établie. En intégrant sur le volume 3L

(7)

( ) ( )( ) ( ) ( )

kl

kl rr

δδδδ ≡=

=

∫∫∫

∫

−

−

−

−

−

−

∗

zzyyxx

zzyyxx

lklklk

L

L

zlkiL

L

ylkiL

L

xlkidzedyedxe

L

rduu

2

1

2

12

1

2

12

1

2

13

3

1

où nous avons utilisé (5). L'orthogonalité pourrait aussi être montrée par la méthode plus générale utilisé pour les fonctions propres de l'énergie.

Normalisation avec la fonction de Dirac On a dit dans la section précédente que les ensembles continus de fonctions propres peuvent être manipulés sans introduire la boîte avec les conditions aux limites périodiques (ce qui a l'effet de rendre l'ensemble discret avec un espacement des valeurs propres arbitrairement petit). En utilisant la fonction de Dirac, on a par exemple pour la fermeture des fonctions propres de l'énergie : (8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rrrr ′−≡′−′−′−=′∑ ∗ 3δδδδ zzyyxxuu

E

EE

La comparaison avec l'orthonormalité montre que la propriété de fermeture est une sorte d'orthonormalité des fonctions propres par rapport à la sommation sur les valeurs propres. On peut aussi l'appliquer à la normalisation (7) où nous n'imposons maintenant pas de boîte de normalisation et nous permettons aux fonctions propres de l'impulsion d'avoir la forme (4) sur tout

l'espace avec tout vecteur réel k. L'intégrale ( ) ( )∫∗ rduu 3rr kl est le produit de trois intégrales qui

peuvent être exprimées avec l'aide de la fonction de Dirac. En utilisant la représentation de cette fonction à l'aide d'un sinus, on a :

(9)

( ) ( )

( )

( )xx

xx

xx

g

g

g

xxl

xki

g

xxl

xki

lk

lk

lkg

dxedxe

−=−

−=

=

∞→

−

−

∞→

∞

∞−

−

∫∫

πδ2

sin2lim

lim

Donc, les fonctions propres du moment dans un espace infini peuvent être écrites

(10) ( ) ( ) ( )rkrk ⋅= −iu exp8 2

13π

et la relation d'orthonormalité devient

(11) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lkrr kj −≡−−−=∫∗ 33 δδδδ zzyyxx lklklkrduu

Nous aurons l'occasion de voir que dans un problème typique, la normalisation des fonctions propres de l'impulsion par une boîte ou par fonction Delta donne le même résultat final.

Fermeture La propriété de fermeture des fonctions propres de l'impulsion, avec la normalisation dans une boîte ou avec les fonctions Delta, peut être établie sans l'aide de l'hypothèse de complétude qui a été faites dans la section précédente pour les fonctions propre de l'énergie. Avec la normalisation dans une boîte, l'expression analogue, l'expression analogue au coté gauche de (8) est

(12) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∑

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

′−+′−+′−−∗ =′

xn

yn

zn

Lzzz

nyyy

nxxx

nu

eLuu/23 π

k

kk rr

On l'évalue facilement à la limite des grands L auquel cas le contenu de la sommation change d'une quantité négligeable lorsque chaque n change d'une unité. Nous pouvons alors voir xn comme une

variable continue et remplacer ∑∞

−∞=xn

par ( )∫∫∞

∞−

∞

∞−= xx dkLdn π2/ . Nous obtenons alors

(13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )rr

rrk

kk

′−=′−′−′−=

→′ ∫ ∫ ∫∑∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

′−+′−+′−−

∞→

∗

3

138

δδδδ

π

zzyyxx

dkdkdkeuu zyx

zzkyykxxki

L

zyx

où nous avons utilisé (9). Un calcul similaire peut être effectué, en utilisant la normalisation par la fonction de Dirac, auquel cas nous obtenons de (10) et (9)

(14) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rrrrrr kkkk′−=′=′ ∫∫∫∫

∗∗ 33 δzyx dkdkdkuukduu

La relation de fermeture (13) ou (14) montre que les fonctions propres de l'impulsion sont orthonormales par rapport à la sommation ou l'intégration sur les valeurs propres k aussi bien que par rapport à l'intégration sur le vecteur position r.

Développement en fonctions propres de l'impulsion Une fonction continue arbitraire ( )rψ peut être écrite en utilisant la fonction Delta comme

(15) ( ) ( ) ( )∫ ′′−′= rd 33 rrrr δψψ

Si nous substituons le coté gauche de (13) à la place de la fonction Delta dans (16), nous obtenons

(16) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∫

∑∫ ∑

′′′=

=′′′=

∗

∗

rduA

uArduu

3

3

rr

rrrrr

kk

k

kk

k

kk

ψ

ψψ

De même, si nous substituons à la fonction Delta l'expression (14), nous obtenons

(17) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ =′′= ∗ kduArkdduu 333 rrrrr kkkkψψ

avec la même expression pour kA . Les équations (16) et (17) montrent qu'il est possible de développer une fonction arbitraire en fonctions propres du moment qu'elles soient normalisées dans une boîte ou au moyen de la fonction de Dirac.

Notons que ces résultats, bien qu'établis ici avec assez peu de rigueur, sont équivalents aux théorèmes mathématiques de développement des fonctions en séries de Fourier et en intégrales de Fourier.

Fonction de probabilité et valeur moyenne La fonction de probabilité impulsion associée avec une fonction d'onde normalisée ( )rψ est

proportionnelle à 2

kA . Le facteur de proportionnalité est l'unité car si nous posons

(18) ( ) 2

kk AP =

il est facile de montrer en analogie avec le cas de l'énergie que

(19) ( ) 1=∑k

kP et ( ) 13 =∫ kdP k

pour, respectivement, la normalisation dans une boîte et avec la fonction de Dirac. La valeur moyenne de l'impulsion quand une normalisation dans une boîte est utilisée est

(20) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫∫∑ ′′′== ∗∗

k

kk

k

rrrrkkkp rdurduP 33 ψψhh

A partir du conjugué complexe de (4), nous pouvons remplacer ( )rk k

∗u par ( )rk

∗∇ui . Alors, la première intégrale dans (20) peut être intégrée par partie et l'intégrale de surface s'annule à cause des conditions aux limites périodiques sur ψ et ∗

ku . Donc, avec l'aide de (13), l'équation (20) devient

(21)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )∫

∫∫

∑ ∫∫

∇−=

′′−∇′−=

′′′∇−=

∗

∗

∗∗

rdi

rrddi

rdurdui

3

333

33

rr

rrrr

rrrrpk

kk

ψψ

δψψ

ψψ

h

h

h

Ceci est en accord avec ce que nous avions déjà postulé.

Quand la normalisation par fonction Delta est utilisée, les détails du calcul sont très similaires à ceux donnés ci-dessus excepté que l'intégrale de surface qui résulte de l'intégration partielle est sur une sphère de rayon infini. Elle est nulle car ψ devient infiniment petit à grand distance. Ceci est

consistant avec l'hypothèse que ψ est normalisé, autrement, ni ( )∫ kdP 3k ni p n'auraient de

signification physique. Le résultat du calcul dans ce cas est le même que l'équation (21).

III. Applications

III.1. Puits de potentiel carré à une dimension Après toute cette théorie, passons maintenant à quelques exemples. Comme exemple explicite simple du calcul des niveaux d'énergie discret d'une particule en mécanique quantique, considérons le mouvement à une dimension d'une particule qui est restreinte par des murs réflecteurs qui terminent une région d'énergie potentielle constante. Deux types simples d'énergie potentielle sont considérés.

La figure (a) ci-dessus montre une situation où ( ) 0=xV pour axa <<− et ( ) +∞=xV pour

ax > , correspondant à des murs parfaitement rigides, impénétrables aux points ax ±= . Dans la

figure (b) l'accroissement de l'énergie potentiel aux murs est abrupt mais fini, tel que ( ) 0VxV =

pour ax > . A cause de son apparence, il est souvent appelé un puits carré de potentiel. Le

mouvement d'une particule classique avec une énergie totale E inférieure à 0V est le même pour ces

deux potentiels mais, comme nous le verrons, le comportement quantique est différent. En général, un accroissement abrupt mais fini d'énergie potentielle aux limites d'une région force une particule vers l'intérieur de la région. Un tel potentiel peut être vu comme un cas limite d'un potentiel plus réaliste comme celui étudié dans la discrétisation des niveaux d'énergie et où la force dxdV /− est toujours dirigée vers x = 0. La force associée à un puits de potentiel carré est nulle excepté aux frontières, ainsi la particule ne subit aucune force excepté une soudaine impulsion dirigée vers l'origine lorsqu'elle passe les points ax ±= .

Murs parfaitement rigides Nous avons vu que la fonction d'onde doit s'annuler aux points ax ±= , quand l'énergie potentielle a la forme montrée dans (a). L'équation de Schrödinger pour ax < est simplement

(1) Eudx

ud

m=−

2

22

2

h

qui a les solutions générales

(2) ( ) 2

1

2

2cossin

+=+=h

mExBxAxu ααα

L'application des conditions aux limites en ax ±= donne

(3) 0cossin

0cossin

=+−=+aBaA

aBaA

αααα

d'où nous obtenons (4) 0cos0sin == aBaA αα Nous ne voulons pas que A et B soient tous les deux zéros car cela donnerait la solution physiquement sans intérêt u = 0 partout. De même, nous ne pouvons pas avoir à la fois aαsin et

aαcos égaux à zéro pour une valeur donnée de α ou E. Il y a donc deux classes possibles de solutions. Pour la première classe

(5) 0=A et 0cos =aα et pour la deuxième classe (6) 0=B et 0sin =aα Donc, 2/πα na = , où n est un entier impair pour la première classe et un entier pair pour la deuxième classe. Les deux classes de solutions et leurs valeurs propres de l'énergie sont alors

(7) ( )a

xnBxu

2cos

π= n impair

(8) ( )a

xnAxu

2sin

π= n pair

(9) 2

222

8ma

nE

hπ= dans les deux cas

Il est évident que n = 0 donne le résultat physiquement sans intérêt u = 0 et que les solutions pour des valeurs négatives de n ne sont pas linéairement indépendantes de celles pour n positif. Les constantes A et B peuvent être facilement choisies dans chaque cas pour que les fonctions propres

( )xu soient normalisées. Il y a donc une séquence infinie d'énergies discrètes qui correspondent à toutes les valeurs entières positives du nombre quantique n. Il y a juste une fonction propre pour chaque niveau et le nombre de nœuds de la nième fonction qui est dans le puits de potentiel est n - 1. Ces résultats sont en accord avec la discussion que nous avons eut sur les solutions générales. Il est intéressant de noter que l'ordre de grandeur du niveau d'énergie le plus bas ou état de base est en accord avec le principe d'indétermination. L'incertitude de la position de l'ordre de a implique une incertitude sur le moment au moins de l'ordre de a/h qui, en retour, implique une énergie cinétique minimale de l'ordre de 22 /mah .

Echelon de potentiel fini Quand l'énergie potentielle a la forme (b), il est nécessaire de compléter la solution générale (2), qui est encore valide pour ax < puisque l'équation (1) est inchangée, par une solution pour ax > .

L'équation de Schrödinger dans cette région est

(10) EuuVdx

ud

m=+− 02

22

2

h

qui a la solution générale pour 0VE < (états liés)

(11) ( ) ( ) 2

1

202

−+=+= −

h

EVmDeCexu xx βββ

Les conditions aux limites en ±∞=x nécessitent que nous posions D = 0 si (11) représente la solution pour x > a et C = 0 si c'est la solution pour x < -a. Nous imposons maintenant sur les solutions (2) et (11) les exigences que u et dxdu / soient continus en ax ±= .

(12)

a

a

a

a

DeaBaA

DeaBaA

CeaBaA

CeaBaA

β

β

β

β

βαααααα

βαααααα

−

−

−

−

=+

=+−−=−

=+

sincos

cossin

sincos

cossin

d'où nous tirons (13) ( ) ( ) aa eDCaAeDCaA ββ βααα −− −−=−= cos2sin2

(14) ( ) ( ) aa eDCaBeDCaB ββ βααα −− +=+= sin2cos2 A moins que A = 0 et C = D, les équations (13) ont comme conséquence (15) βαα −=acot De même, à moins que B = 0 et C = -D, les équations (14) donnent

(16) βαα =atan Il est impossible pour les équations (15) et (16) d'être valides en même temps puisqu'en éliminant β il faudrait que 1tan 2 −=aα ce qui donnerait un α imaginaire et un β négatif, contrairement à (11). De même, nous ne souhaitons pas que A, B, C et D s'annulent tous. Donc, les solutions peuvent nouveau être divisées en deux classes. Pour la première classe (17) βαα === aDCA tan0 et pour la deuxième classe (18) βαα −=−== aDCB cot0

Niveaux d'énergie Les niveaux d'énergie sont trouvés par une solution numérique ou graphique des équations (15) et (16) avec les définitions de α et β donnés par (2) et (11). Une simple méthode graphique pour trouver ces solutions est décrite ici, puisqu'elle montre assez clairement la manière avec laquelle le nombre de niveaux discrets dépend de 0V et a. Nous posons aαξ = et aβη = . Donc, l'équation

(16) devient ηξξ =tan avec

(19) 2

2022 2

h

amV=+ηξ

Puisque ξ et η sont restreint à des valeurs positives, les niveaux d'énergie peuvent être trouvés dans ce cas à partir des intersections dans le premier quadrant de la courbe ξξ tan avec le cercle de

rayon connu ( )21220 /2 hamV . La construction est tracée ci-dessus pour trois valeurs de 2

0aV . Pour

chacune des deux plus petites de ces valeurs il y a une solution à l'équation (16) et pour la plus grande, il y en a deux.

La figure ci-dessus est une construction similaire pour la solution de (15) dans laquelle les niveaux d'énergie sont obtenus à partir des intersections des même cercles avec la courbe ξξ cot− dans le

premier quadrant. La plus petite valeur de 20aV ne donne aucune solution et les deux plus grandes

en donnent une. Donc les trois valeurs croissantes de 20aV donnent respectivement une, deux et

trois niveaux d'énergie. Il est clair à partir de ces figures que pour une particule de masse donnée, les niveaux d'énergie dépendent du paramètre de l'énergie potentielle à travers la combinaison 2

0aV . Pour 20aV entre

zéro et m8/22hπ , il y a seulement un niveau d'énergie de la première classe. Pour 2

0aV entre

m8/22hπ et quatre fois cette valeur, il y a un niveau d'énergie de chaque classe. Lorsque 2

0aV

croit, des niveaux d'énergie apparaissent successivement dans les premières et deuxièmes classes. Il

n'est pas difficile de voir à partir de (11) que lorsqu'elles sont ordonnées avec des valeurs propres croissantes, la nième fonction propre a n - 1 nœuds.

Parité Il suit de la discussion précédente que les fonctions propres de la première classe sont paires par rapport au changement de signe de x ( ( ) ( )xuxu =− ) tandis que les fonctions propres de la

deuxième classe sont impaires ( ( ) ( )xuxu −=− ). Cette division des fonctions propres en types pairs et impairs n'est pas accidentelle et nous allons montrer maintenant que c'est une conséquence directe du fait que la fonction énergie potentielle ( )xV est symétrique par rapport à x = 0. Si nous changeons le signe de x dans l'équation de Schrödinger :

(20) ( ) ( ) ( )xEuxuxVdx

ud

m=+−

2

22

2

h

et si ( ) ( )xVxV =− , nous obtenons

(21) ( ) ( ) ( ) ( )xEuxuxV

dx

xud

m−=−+−−

2

22

2

h

Donc, ( )xu et ( )xu − sont solutions de la même équation avec la même valeur propre R. Supposons d'abord qu'il y a seulement une fonction propre linéairement indépendante qui correspond à ce niveau d'énergie. Alors ( )xu et ( )xu − peuvent différer seulement par une constante multiplicative :

(22) ( ) ( )xuxu ε=− Changer le signe de x dans (22) donne ( ) ( )xuxu −= ε . A partir de ces deux équations, il s'ensuit que (23) 12 =ε ou 1±=ε Donc, de telles fonctions propres d'un potentiel symétrique sont ou paires ou impaires par rapport au changement de signe de x. De telles fonctions sont dites avoir une parité paire ou impaire.

Si une valeur propre a plus d'une fonction propre linéairement indépendante, l'argument précédent échoue et ces fonctions propres n'ont pas nécessairement une parité définie. Elles n'ont pas besoin d'être paires ou impaires. Cependant, nous pouvons facilement voir que des combinaisons linéaires de telles fonctions propres peuvent être trouvées de telles manières que chacune a une parité paire ou impaire. Supposons qu'une fonction propre ( )xu n'a pas de parité définie. On peut toujours écrire (24) ( ) ( ) ( )xuxuxu ip +=

où ( ) ( ) ( )[ ]xuxuxu p −+= 21 est pair, ( ) ( ) ( )[ ]xuxuxui −−= 2

1 est impair et pu et iu sont linéairement

dépendant. Alors, si l'équation (20) est symétrique, nous pouvons l'écrire comme

(25) ( ) ( ) 022 2

22

2

22

=−+−−+− i

i

p

puEV

dx

ud

muEV

dx

ud

m

hh

En changeant le signe de x dans (25), on obtient

(26) ( ) ( ) 022 2

22

2

22

=−−+−+− i

i

p

puEV

dx

ud

muEV

dx

ud

m

hh

L'addition et la soustraction de (25) et (26) montre que pu et iu sont séparément des solutions de

l'équation de Schrödinger avec la même valeur propre E.

Une solution simplifiée Savoir que les solutions possèdent une parité définie simplifie quelque fois la détermination des niveaux d'énergie puisque nous avons alors seulement besoin de trouver la solution pour x positif. Les solutions paires ont une pente nulle et les solutions impaires ont une valeur zéro en x = 0. Si, par exemple, nous voulons trouver les solutions paires, les équations (2) et (11) peuvent être remplacées par

(27) ( )( ) axCexu

axxBxu

x >=

<<=−β

α 0cos

Au lieu de rendre u et dxdu / continus en x = a, il est suffisant de rendre le rapport ( )( )dxduu //1 continu en x = a puisque les constantes de normalisation B et C sont ainsi éliminées. Cela donne directement l'équation (16). De même, les solutions impaires sont

(28) ( )( ) axCexu

axxAxu

x >=

<<=−β

α 0sin

Alors, la continuité ( )( )dxduu //1 en x = a donne immédiatement (15).

III.2. Mouvement d'un paquet d'ondes libre à une di mension Le mouvement d'une particule libre (sans force externe) à une dimension est décrit par l'équation de Schrödinger sans potentiel. L'étude de ce mouvement fournit une application intéressante des techniques de développement développées précédemment. En premier lieu, nous allons trouver la valeur minimale du produit des incertitudes et les formes possibles du paquet d'ondes à une dimension qui lui correspond à un moment définit du temps. La structure de ce paquet minimal est le même que la particule soit libre ou pas puisque sa forme peut être vue simplement comme une condition initiale à la solution de l'équation de Schrödinger pour tout potentiel. Cependant, le travail analytique nécessaire pour trouver ψ à d'autres instants est particulièrement simple dans le cas libre.

Le produit d'incertitude minimale Afin de trouver la valeur minimale de produit des incertitudes px ∆⋅∆ , nous devons d'abord définir la signification de x∆ et p∆ . Bien que plusieurs expressions soient possibles, la plus simple à manipuler analytiquement est l'écart type à la moyenne.

(1) ( ) ( )( ) ( ) 2222

222222 2

ppppp

xxxxxxxxx

−=−=∆

−=+−=−=∆

Ces égalités suivent directement de la définition générale des valeurs moyennes que nous avons vues. Notez que x∆ et p∆ sont chacune calculées séparément à partir de ψ . Nous ne considérons pas l'existence possible d'une "distribution de probabilité conjointe" pour x et p. Si nous posons maintenant

(2)

−−=−≡−≡dx

d

dx

dippxx hβα

alors

(3) ( ) ( )

( )( ) ( )( )∫∫

∫∫∞

∞−

∗∗∞

∞−

∗∗

∞

∞−

∗∞

∞−

∗

=

=∆∆

dxdx

dxdxpx

βψψβαψψα

ψβψψαψ 2222

La transformation de l'intégrale α dans (3) est évidente. La transformation similaire de l'intégrale β suit d'une intégration par partie en se souvenant que ψ est un paquet d'onde normalisé qui s'annule en ±∞=x . L'inégalité

(4) 0

2

2≥−∫

∫∫

∗

dxdxg

dxfggf

où toutes les intégrales sont prises de −∞=x à ∞+ , est évidemment vraie et l'égalité est applicable seulement si gf γ= où γ est une constante. A partir de cette inégalité, nous obtenons directement

(5) 222

∫∫∫∗≥ gdxfdxgdxf

Si nous remplaçons maintenant f par αψ et g par βψ , avec l'aide de (5), l'équation (3) devient

(6) ( ) ( ) ( )( ) 2222

∫∫∗∗∗ =≥∆∆ dxdxpx αβψψβψψα

Le dernier terme dans (6) peut être écrit

(7) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 2

41

2

41

2

21

21 ∫∫∫ ++−=++− ∗∗∗ dxdxdx ψβααβψψβααβψψβααββααβψ

Le terme croisé dans le produit est omit sur le coté droit de (7) car il s'annule. On peut le voir en utilisant la relation

(8) ( ) ( )( ) ∫∫∫∫∗∗∗∗∗∗∗∗ === dxdxdxdx βαψψαψψβψβψααβψψ

qui est obtenue en utilisant une intégration par partie et en se souvenant que α est réel.

Maintenant, à partir de (2)

(9) ( ) ( ) ψψψψβααβ hh ixdx

d

dx

dxi =

−−=−

Nous obtenons donc à partir des équations (6) à (9)

(10) ( ) ( ) 24122h≥∆∆ px ou h2

1≥∆⋅∆ px

où l'égalité est seulement obtenue si le deuxième terme sur le coté droit de (7) est zéro. C'est l'expression précise de la relation d'indétermination de Heisenberg quand les incertitudes x∆ et p∆ sont définies comme dans (1).

Forme du paquet minimum Il suit de la dérivation précédente que le produit d'incertitude minimum est obtenu seulement quand deux conditions sont satisfaites : (11) γβψαψ =

(12) ( ) 0=+∫∗ dxψβααβψ

Les équations (11) et (2) nous donnent une équation différentielle pour ψ

(13) ( ) ψγ

ψ

+−=

hh

pixx

i

dx

d

qui est facilement intégrée pour donner

(14) ( ) ( )

+−=

hh

xpixx

iNx

2

2exp

γψ

où N est une constante arbitraire. L'équation (12) avec l'aide de (11) devient

(15) 011 2 =

+ ∫

∗∗ dxψαψ

γγ

qui nécessite évidemment que γ soit purement imaginaire. Alors, puisque nous désirons que (14) représente un paquet d'ondes pour lequel l'intégrale de

2ψ converge, γ doit être un imaginaire négatif. La grandeur de la constante N peut maintenant être fixée en normalisant ψ .

(16) 12 =∫ dxψ

De même, γ peut être déterminé en exigeant que (17) ( ) ( )222

xdxxx ∆=−∫ ψ

Les intégrales sont facilement évaluées et cela conduit au paquet d'ondes minimal normalisé

(18) ( ) ( )[ ] ( )( )

+

∆−

−∆=−

h

xpi

x

xxxx

2

2

4

12

4exp2πψ

Coefficients du développement en impulsion Les fonctions propres de l'impulsion à une dimension sont

(19) ( ) ikx

k eLxu 2

1−=

pour la normalisation dans une "boîte" à une dimension de longueur L et

(20) ( ) ( ) ikx

k exu 2

1

2 −= π

pour la normalisation par fonction de Dirac. Puisque pour une particule libre, l'équation de Schrödinger a la forme simple

(21) 2

22

2 xmti

∂∂−=

∂∂ ψψ h

h

les fonctions propres de l'impulsion sont aussi des fonctions propres de l'énergie. L'inverse n'est pas nécessairement vrai puisqu'il y a deux solutions à (23) ci-dessous pour k (positif et négatif) pour chaque valeur de kE . Donc, toute solution de l'équation d'onde peut être écrite comme

(22) ( ) ( )xueAtx k

tiE

k

k

k h/dkou, −

= ∫∑ψ

où mes kA sont indépendant de x et de t. La dépendance au temps est contenue entièrement dans le

facteur exponentiel. On vérifie facilement que (22) est une solution de (21) par substitution, pourvu que

(23) m

kEk 2

22h=

Le problème de trouver le mouvement d'un paquet d'ondes est donc résolu en trouvant les coefficients de développement kA à un certain moment particulier, disons t = 0, et en utilisant (22)

et (23) pour trouver ( )tx,ψ à d'autres moments. En t = 0, les facteurs exponentiels dans (22) sont

l'unité et nous pouvons utiliser l'expression que nous connaissons pour trouver les kA .

(24) ( ) ( )∫∗= dxxxuA kk 0,ψ

Les limites de l'intégrale sont Lx 2

1±= ou ±∞=x selon qu'on a utilisé la normalisation dans une

boîte ou par fonction de Dirac. La fonction de probabilité de l'impulsion ( ) 22/k

tiE

k AeAkP k == − h

est indépendante du temps et ainsi p et p∆ , par exemple, sont des constantes.

Changement dans le temps d'un paquet minimum

Comme exemple, prenons l'équation (18) pour ( )0,xψ avec 0== px . Ainsi, le paquet d'onde

est initialement centré à l'origine et a une impulsion moyenne nulle. Alors, en utilisant la normalisation dans une boite, (24) donne

(25)

( )[ ]( )

( ) ( )224

1

2

2

2

1

2

1 2

2

4

122

8

4exp2

xk

L

Lk

eL

x

dxikxx

xxLA

∆−

−

−

∆=

−

∆−∆= ∫

π

π

où L est supposé être suffisament grand pour que la contribution de l'intégrale pour Lx 21> puisse

être négligée. La substitution dans (22) donne la fonction d'onde pour des valeurs quelconques de t :

(26) ( ) ( )∑ −=k

k

mtki

k xueAtx 2/2

, hψ

où Lnk /2π= et n prennent toutes les valeurs entières positives, négatives ou zéro. L peut être pris arbitrairement grand pour que n puisse être vu comme une variable continue et la sommation est

remplacée par ∫ dn qui en retour est le même que ( )∫ dkL π2/ . Donc

(27)

( ) ( ) ( )

( )( ) mtix

x

xm

tix

dkikxm

tkixk

xtx

/24exp

22

2exp

2,

2

22

1

4

1

222

4

1

3

2

h

h

h

+∆−

∆+∆=

+−∆−

∆=

−−

∞

∞−∫

π

πψ

La densité de probabilité de position est alors

(28) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]22222

22

1

22

2222

4/2exp

42,

xmtx

x

xm

txtx

∆+∆−

∆+∆=

−

h

hπψ

L'équation (28) est de la même forme que ( ) 20,xψ , excepté que ( )2x∆ est remplacé par

( ) ( )22222 4/ xmtx ∆+∆ h , qui est égal à ( ) ( ) 2222 /mtpx ∆+∆ . Donc, le centre du paquet reste en x = 0 tandis que la largeur du paquet s'accroît lorsque t s'écarte de 0 dans les directions passées et futures. Plus petites est l'incertitude initiale sur la position, plus grande est l'incertitude sur l'impulsion et plus rapidement le paquet se disperse. La partie dépendant du temps de l'expression ci-dessus, mpt /∆ est simplement la distance parcourue par une particule classique d'impulsion p∆ pendant le temps t.

L'utilisation de la normalisation par fonction de Dirac ne modifie pas les résultats du calcul

précédent. L'expression de kA donnée par (25) doit être multipliée par ( )21

2/ πL . Dans l'équation

(26) la sommation doit être replacée directement par ∫ dk éliminant un facteur π2/L . Enfin, ku

dans (26) doit être multiplié par ( )21

2/ πL . Ces trois facteurs s'annulent et ainsi (27) et (28) sont inaffectés par le choix de la normalisation des fonctions propres de l'impulsion.

Limite classique Nous avons vu qu'un paquet d'ondes se déplace toujours comme une particule classique tant que cela concerne les valeurs moyennes de sa position et de l'impulsion. Cependant, la dynamique classique est utile comme une description du mouvement seulement si la dispersion du paquet d'ondes peut être négligée pendant la durée d'un problème particulier. Comme exemple simple du type de paramètre qui indique quand la limite classique est atteinte, considérons un paquet d'ondes qui correspond à une particule classique se déplaçant sur une orbite circulaire de rayons a et une période T. Nous supposerons que ce paquet est suffisament bien localisé de manière à ce que l'énergie potentielle ne varie pas de manière appréciable sur ses dimensions. Alors, la théorie classique peut fournir une description utile du mouvement seulement si un paquet d'onde tel que celui discuté ci-dessus se disperse d'une quantité qui est petite en comparaison de a durant un temps qui est grand en comparaison de T. La plus petite dispersion du paquet durant un intervalle de temps de grandeur t est atteinte quand x∆ est choisi de l'ordre de

( )21

/mth . Nous exigeons que ( ) amt <<2

1

/h quand Tt >> . Cette condition peut être exprimée en

disant que le moment angulaire Tma /2 2π de la particule doit être très grand par rapport à h . Donc, pour la plus part des systèmes atomiques, où le moment angulaire est de l'ordre de h , un paquet d'ondes correspondant à une particule bien localisée se disperse tellement en une seule période que ce type de description du mouvement n'est pas physiquement intéressant.

IV. Etats liés Le formalisme qui a été développé et formalisé précédemment va maintenant être appliqué au calcul explicite de niveaux d'énergie discrets et les fonctions propres correspondantes. Nous sommes donc concernés ici par les états liés dans lesquels la particule est restreinte par des forces externes (énergie potentielle) à une région particulière de l'espace. Le nombre relativement faible de fonctions énergie potentielle ( )rV pour lesquelles une solution analytique de la fonction d'onde est possible sont important au-delà de leur intérêt pour ces problèmes puisqu'elles servent souvent de base pour des calculs approchés sur des systèmes plus complexes.

IV.1. Oscillateur harmonique linéaire Le mouvement à une dimension d'une masse ponctuelle attirée par un centre fixe par une force qui est proportionnelle au déplacement par rapport à ce centre fournit un des problèmes fondamentaux de la dynamique classique. Son étude est importante non seulement en elle-même mais aussi parce que des systèmes plus compliqués peuvent toujours être analysés en termes de modes normaux du mouvement quand les forces inter-particules sont des fonctions linéaires des déplacements relatifs et ces modes normaux sont formellement équivalents aux oscillateurs harmoniques. Cette linéarité des équations newtoniennes du mouvement signifie que l'énergie potentielle du système est une fonction bilinéaire des coordonnées. Puisque cet aspect se transpose en mécanique quantique, les modes normaux harmoniques peuvent également y être trouvés. Donc, l'oscillateur harmonique à une dimension est très important pour le traitement en mécanique quantique de problèmes tels que les vibrations d'atomes individuels dans des molécules et des cristaux. Il fournit aussi la clef de la théorie quantique du champ électromagnétique. Les vibrations du champ électromagnétique dans une cavité peuvent être analysées en modes normaux harmoniques, chacun ayant les niveaux d'énergie de l'oscillateur type. L'excitation d'un mode particulier de fréquence angulaire ω au nième état excité signifie que l'énergie du système est augmentée de ωhn et correspond physiquement à l'addition de n photons de cette fréquence au système. Nous n'aborderons pas ici la théorie quantique des champs mais cette étude des oscillateurs harmoniques est donc un passage obligé avant d'attaquer un cours sur la quantification des champs. Nous allons maintenant résoudre le problème de l'oscillateur en partant de l'équation de Schrödinger. Cependant, il peut aussi être résolu par des méthodes algébriques en partant de la théorie matricielle que nous aborderons plus tard. L'importance de l'oscillateur harmonique est si grand que nous donnerons aussi la solution matricielle.

Comportement asymptotique

La force KxF −= peut être représentée par l'énergie potentielle ( ) 221 KxxV = et l'équation de

Schrödinger devient

(1) EuuKxdx

ud

m=+− 2

2

22

2

1

2

h

Il est utile pour travailler avec une équation de ce type de la récrire sous forme sans dimension. A cette fin, nous introduisons une variable indépendante sans dimension xαξ = et une valeur propre sans dimension λ et nous tentons de mettre (1) sous la forme

(2) ( ) 02

2

2

=−+ ud

ud ξλξ

La comparaison des équations (1) et (2) montre que cela est possible si et seulement si

(3) c

E

K

mEmK

ωλα

hhh

22 2

1

2

4 =

==

La solution de (2) est facilitée en examinant d'abord le comportement dominant de u dans la région

asymptotique ±∞→ξ . Pour ξ suffisament grand, il est évident que ( )2

2

1ξξξ

±= eu n satisfait (2) si

on ne considère que les termes dominant (qui sont de l'ordre de u2ξ ), quand n a toute valeur finie. Les conditions aux limites nous permettent de garder seulement le signe moins de l'exponentielle. Cela suggère qu'il est peut-être possible de trouver une solution exacte à (2) de la forme

(4) ( ) ( )2

2

1ξξξ

−= eHu

où ( )ξH est un polynôme d'ordre fini en ξ . La substitution de (4) dans (2) donne l'équation pour

( )ξH

(5) ( ) 012 =−+′−′′ HHH λξ où l'apostrophe indique la dérivée par rapport à ξ .

Niveaux d'énergie Nous allons trouver une solution pour H de la forme (6) ( ) ( ) 000

2210 ≥≠+++= saaaaH s

Lξξξξ

Elle est nécessairement finie pour 0=ξ . L'équation (5) est valide pour toute valeur de ξ et donc, quand (6) est substitué dedans, le coefficient de chaque puissance de ξ peut être égalisé à zéro.

(7)

( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) 012212

03223

01212

01

01

2

13

02

1

0

=−++−++++

=−+−++=−+−++

=+=−

+ νν λννν

λλ

asass

asass

asass

sas

ass

L

où ν est un entier. Puisque 0a ne peut pas être nul, la première équation de (7) nous dit que s = 0

ou s = 1. La deuxième équation nous dit que s = 0 ou 01 =a ou les deux. La troisième équation

nous donne alors 2a en fonction de 0a . La quatrième nous donne 3a en fonction de 1a . Et

l'équation générale nous donne 2+νa en fonction de νa .

La discussion sur la parité a montré que ( )ξu et donc aussi ( )ξH peuvent être choisi ou pair ou

impair en ξ . Il suit alors de (6) que 1a et tous les autres coefficients d'indice impair sont zéros. La fonction d'onde est alors paire ou impaire selon que s = 0 ou s = 1. Il suit de (7) que la présence dans la série (6) d'un nombre fini ou infini de termes dépend du choix de s et de la valeur propre λ . Si la série ne se termine pas, son comportement asymptotique dominant peut être inféré des coefficients de ses termes les plus grands :

(8) νν

ν

ν 22

∞→

+ →a

a

Ce rapport est le même que celui des séries pour 2ξξ en pour toute valeur finie de n. L'équation (4)

montre que ce comportement de H viole les conditions aux limites sur u pour ξ grand.

Donc, la série (6) doit se terminer. Cela signifie que (9) 122 ++= νλ s ν doit être un entier pair puisque 00 ≠a et autrement les termes d'indice pair formeraient une série

infinie. L'indice s peut encore être 0 ou 1 et, correspondant à ces deux valeurs, λ est égal à 12 +ν ou 32 +ν où ν est un entier pair. Nous pouvons exprimer les deux cas en fonction d'un nombre quantique n :

(10) Kh ,2,1,02

112 =

+=+= nnEn cn ωλ

Il suit des équations (10) et (7) que n est la plus grande valeur de ν+s dans la série (6) pour H. Si nous notons le polynôme correspondant ( )ξnH , nous voyons que nH est de degré n en ξ et est

entièrement pair ou impair selon que n est pair ou impair. Puisque 2

2

1ξ−e est pair et n'a pas de

nœuds, la fonction propre correspondante ( )ξnu a la parité de n et a n nœuds.

Energie de point zéro La séquence infinie de niveaux d'énergie (10) a l'espacement régulier postulé en 1900 par Planck et est en accord avec les règles de quantification de la vieille théorie quantique. Cependant, la valeur finie du niveau d'énergie de l'état de base cωh21 , appelée énergie de point zéro, est caractéristique

de la mécanique quantique et est relié au principe d'indétermination de la même manière que le niveau d'énergie le plus bas du puits de potentiel carré avec des murs rigides est fini. L'énergie

totale est de l'ordre de ( ) ( )22 / xKmp ∆+∆ , où p∆ et x∆ sont des mesures de la dispersion en impulsion et en position. Si on minimise cette valeur en prenant en compte la relation

d'indétermination, il est facile de voir que le p∆ minimum est de l'ordre de ( )412hKm et ainsi

l'énergie totale minimale est de l'ordre de ( )21

/mKh ou cωh .

Polynômes de Hermite Le polynôme d'ordre n qui a la parité de n et est une solution de (5) avec 12 += nλ

(11) 022 =+′−′′nnn nHHH ξ

est appelé le nième polynôme de Hermite ( )ξnH . Il est clair de la discussion précédente de

l'équation (5) que ces conditions définissent nH de manière unique excepté pour une constante

multiplicative arbitraire. Il n'est pas nécessaire, alors, d'utiliser la relation de récursion (7) pour étudier les propriétés détaillées de nH si une autre formulation peut être trouvée qui est consistante

avec ces conditions. Une formulation beaucoup plus utile est effectivement disponible. Elle exprime les nH en fonction d'une fonction génératrice ( )sS ,ξ .

(12) ( ) ( )

( )∑

∞

=

+−−−

=

==

0

2222

!

,

n

nn

sss

sn

H

eesS

ξξ ξξξ

Si l'exponentielle dans (12) est développée en puissances de s et de ξ , on voit qu'une puissance de s est associée seulement avec les puissances de ξ qui sont égales à cette puissance ou inférieure par

un nombre entier. Donc, ( )ξnH définit de cette manière est un polynôme d'ordre n qui a la parité de

n. Pour montrer que nH satisfait l'équation différentielle (11), nous différentions les deux cotés de

(12) par rapport à ξ et ensuite par rapport à s.

(13)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑

∑∑

−=+−=+−=

∂∂

′===∂∂

−+−

++−

n

n

n

n

n

nss

n

n

n

n

n

nss

Hn

sH

n

sses

s

S

Hn

sH

n

sse

S

ξξξξ

ξξξ

ξ

ξ

!1!

2222

!!

22

12

12

2

2

En égalant les puissances de s dans les sommes de ces deux équations, on a, respectivement,

(14) 11

1

22

2

−+

−

−==′

nnn

nn

nHHH

nHH

ξ

L'équation différentielle à l'ordre le plus bas impliquant seulement nH qui peut être construite à

partir des équations (14) est facilement vue comme étant (11). Donc, le ( )ξnH donné par (12) sont

les polynômes de Hermite. Les relations (14) peuvent être utilisées pour le calcul de nH et leurs dérivées ou une expression

explicite obtenue directement de la fonction génératrice peut être utilisée. Si ( )sS ,ξ est différentiée

n fois par rapport à s puis que s est posé égal à 0, (12) montre que le résultat est simplement ( )ξnH .

Maintenant, pour toute fonction de la forme ( )ξ−sf , il est évident que

(15) ξ∂

∂−=∂∂ f

s

f

Donc

(16) ( ) ( ) ( )22221 ξξξξ

ξ−−−−

∂∂−=

∂∂=

∂∂ s

n

nns

n

n

n

n

eees

es

S

Cela donne une expression pour le nième polynôme de Hermite :

(17) ( ) ( ) 221 ξξ

ξξ −

∂∂−= eeH

n

nn

n

Les trois premiers polynômes calculés à partir de (17) sont (18) ( ) ( ) ( ) 2421 2

210 −=== ξξξξξ HHH

Fonctions d'onde de l'oscillateur harmonique La fonction génératrice est aussi utile pour le calcul des intégrales impliquant les fonctions d'ondes de l'oscillateur harmonique (4) :

(19) ( ) ( )22

2

1x

nnn exHNxuα

α−

=

Supposons, par exemple, que nous souhaitions normaliser ( )xun . C'est équivalent à choisir la

constante nN tel que

(20) ( ) ( ) 122

22 == ∫∫

∞

∞−

−∞

∞−ξξ

αξ deH

Ndxxu n

n

n

L'intégrale sur le coté droit peut être exprimée comme une série de coefficients dans le développement d'une intégrale contenant de produit de deux fonctions génératrices.

(21) ( ) ( )∑∑ ∫∫∞

=

∞

=

∞

∞−

−∞

∞−

−+−+− =0 0

22 2222

!!n m

mn

mnttss dgxeHH

mn

tsdeee ξξξξ ξξξ

L'intégrale sur la gauche de (21) est facilement évaluée directement pour donner

(22) ( )

∑∞

=

=0

2

122

1

!

2

n

n

st

n

ste ππ

Si les puissances égales de s et t sont égalisées dans les séries sur le coté droit de (21) et (22), nous obtenons les résultats

(23) ( )

( ) ( ) mndeHH

ndeH

mn

n

n

≠=

=

∫

∫∞

∞−

−

∞

∞−

−

0

!2

2

22

12

ξξξ

πξξ

ξ

ξ

La première équation dans (23) nous dit que la constante de normalisation peut être choisie comme

(24)

2

1

2

1

!2

=

n

Nn

n

π

α

où un facteur multiplicatif de phase complexe constante de grandeur unité est encore arbitraire. La deuxième de ces équations nous dit que ( )xun et ( )xum sont orthogonaux si mn ≠ . C'est en accord

avec le résultat général pour les fonctions propres de l'énergie non dégénérées puisque, en accord avec (10), mn EE ≠ si mn ≠ et ainsi il n'y a pas dégénérescence.

L'intégrale

(25) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞

∞−

−∗∞

∞−

∗ = ξξξξα

ξ deHHNN

dxxxuxu mnmn

mn

2

2

est typique de celles qui peuvent être évaluées avec l'aide de la fonction génératrice. Les deux expressions en séries pour l'intégrale

(26) ( ) ( )∑∑ ∫∫∞

=

∞

=

∞

∞−

−∞

∞−

−+−+− =0 0

222222

!!n m

mn

mnttss deHH

mn

tsdeee ξξξξξξ ξξξξ

et

(27) ( ) ( )∑

∞

=

++ +=+0

112

122

1

!

2

n

nnnnnst

n

tstsets ππ

peuvent être égalisées terme à terme. Avec l'aide de (24), nous avons

(28) ( ) ( )

−=

+=

+

=∫∞

∞−

∗

autrement0

12

1

12

11

2

1

2

1

nmn

nmn

dxxxuxu mn α

α

Correspondance avec la théorie classique

Le tracé des six premières fonctions d'onde de l'oscillateur harmonique est donné ci-dessus. Il est

évident que les densités de probabilité de position 2

nu associées à ces fonctions d'onde

stationnaires ont peu de ressemblance avec les densités correspondantes pour l'oscillateur

harmonique classique. Ces dernières sont proportionnelles à ( ) 2

122

0

−−ξξ où 0ξ est l'amplitude de

l'oscillateur classique dont l'énergie est égale à la valeur propre de la mécanique quantique. L'accord entre les densités de probabilité classiques et quantiques s'améliore rapidement avec n croissant.

La figure ci-dessus contient un tracé de

2

nu pour n = 10 (ligne en trait plein) et la densité de

l'oscillateur classique d'énergie totale cωh221 (courbe en tirets). L'accord est relativement bon en

moyenne, le principal écart étant les oscillations rapides de 2

nu .

La valeur moyenne de l'énergie potentielle vaut :

(29)

( ) ( )

nc

nnn

Enn

K

dxxuKxxuV

2

1

2

1

2

1

2

12

2

12

1

2

2

=

+=+=

= ∫∞

∞−

∗

ωα

h

où ∫ dxux n

22 peut être calculé avec l'aide de la fonction génératrice en analogie avec l'évaluation

de (28). Donc, pour toute valeur de n, les énergies potentielles et cinétiques moyennes sont chacune la moitié de l'énergie totale, tout comme dans le cas de l'oscillateur classique. D'une manière similaire, on peut montrer que 0== px pour toute fonction d'onde de

l'oscillateur harmonique et donc ( ) 22xx =∆ et ( ) 22

pp =∆ . Il est facile de voir que le produit

des incertitudes est

(30) h

+=∆⋅∆2

1npx

Il a la valeur minimale possible h2

1 pour la fonction d'onde de l'état de base

(31) ( )22

2

1

4

1

2

1

0

x

exuα

π

α −=

qui, comme on s'y attendrait, a la forme d'un paquet minimal. Donc le paquet minimal est une fonction propre de l'équation de Schrödinger de l'oscillateur harmonique si son x∆ est relié de manière appropriée à K et m.

Paquet d'ondes oscillant La solution générale de l'équation de Schrödinger dépendant du temps pour l'oscillateur harmonique

(32) ( ) ( )txKxxm

txt

i ,2

1

2, 2

2

22

ψψ

+

∂∂−=

∂∂ h

h

peut être développée en terme des fonctions d'onde stationnaires

(33) ( ) ( ) ( )∑∑∞

=

−−∞

=

− ==0

2

1

0

/,n

tin

nn

ti

n

tiE

nnc

cn exuAeexuAtx

ωωψ h

où les nA sont des constantes arbitraires. Donc, en dehors du facteur de phase tc

eω2

1−

, ( )tx,ψ est

une fonction périodique de t avec la période de l'oscillateur classique cωπ /2 . Cela suggère qu'il est

peut-être possible de trouver une solution sous la forme d'un paquet d'ondes dont le centre de gravité oscille avec la période du mouvement classique. Pour étudier cette possibilité, nous supposons qu'à t = 0, le ψ de (33) a la forme d'un paquet d'onde normalisé (31) excepté que le centre de gravité est déplacé dans la direction des x positifs d'une quantité a.

(34) ( ) ( ) ( )222

1

4

1

2

1

0

0,ax

n

nn exuAx−−∞

=

==∑α

π

αψ

Nous pouvons utiliser l'orthonormalité des nu pour calculer un coefficient particulier mA en

multipliant (34) par ( )xum

∗ et en intégrant sur x.

(35) ( ) ( ) ( ) ( )adeeH

NdxxxuA m

mmm αξξξ

απψ

ξξξ≡== ∫∫

∞

∞−

−−−∗∞

∞−

∗0

2

1

2

1

2

1

2

1

20

2

0,

L'intégrale sur le coté droit peut être évaluée avec l'aide des fonctions génératrices en égalant terme à terme les deux expressions en séries pour l'intégrale :

(36) ( )∑ ∫∫∞

=

∞

∞−

+−−∞

∞−

+−−+− =

0

2

1

2

1

2200

2200

22

!n

n

nss deH

n

sdee ξξξ

ξξξξξξξξξ

et

(37) ( )

∑∞

=

−+−=

0

04

1

2

1

4

1

2

1

!

200

20

n

ns

n

see

ξππξξξ

En utilisant (24), on obtient

(38) ( )21

4

1

0

!2

20

n

eA

n

n

n

ξξ

−

=

La substitution de ces nA dans (33) donne

(39)

( ) ( )

( )

−+−−−=

+−−−−=

=

−−

∞

=

−−−−

∑

tttit

eeti

en

Hetx

cccc

titi

c

n

n

tinti

cc

cc

ωξωξξωωξξπ

α

ξξξωξξπ

α

ξξ

π

αψ

ωω

ωωξξ

2sin4

1sin

2

1cos

2

1exp

4

1

2

1

4

1

2

1exp

2

1

!,

200

20

4

1

2

1

022

020

2

4

1

2

1

00

2

1

4

1

2

1

4

1

2

120

2

où la somme est évaluée avec l'aide de la fonction génératrice. Le carré de la grandeur de cette fonction d'onde donne une densité de probabilité de position

(40) ( ) ( )22 cos

2

1

2, tax cetx

ωα

π

αψ −−=

Cela montre que ψ représente un paquet d'ondes qui oscille sans changer de forme autour de x = 0 avec l'amplitude a et la fréquence classique.

Lorsque 0→a , ψ tend vers la fonction propre d'énergie la plus basse ( ) tcexu

ω2

1

0

−. Plus a devient

grand, plus le nombre d'états stationnaires qui contribuent de manière significative au paquet augmente et plus le nombre 0n pour lequel nA de (389) présente un maximum augmente. Pour n

>> 1, nous pouvons utiliser la formule de Stirling pour maximiser nAln . En négligeant les termes

d'ordre nln et inférieurs

(41)

( )

c

n

Kan

nnnA

ωξ

ξ

h22

1

1ln2

12ln

2

1lnln

2200

0

=≈

−−

−≈

Donc le niveau d'énergie cn nE ωh

+=2

100

dont l'essentiel du voisinage contribue à ψ est

approximativement égal à l'énergie 221 Ka de l'oscillateur classique qui a la même amplitude.

IV.2. Potentiels à symétrie sphérique à trois dimen sions Il est généralement impossible d'obtenir des solutions analytiques à l'équation de Schrödinger à trois dimensions à moins qu'elle puisse être séparée en équations différentielles pour chacune des trois coordonnées spatiales. On a pu montrer qu'il y a onze systèmes de coordonnées dans lesquels l'équation de Schrödinger pour la particule libre (avec V = 0) peut être séparée. Un des plus importants est le système de coordonnées sphériques en fonction duquel les coordonnées rectangulaires sont données par

(1)

θφθφθ

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx

===

Si l'énergie potentielle est à symétrie sphérique, tel que ( ) ( )rVV =r est seulement fonction de la grandeur r de r mesurée à partir d'une certaine origine, l'équation de Schrödinger peut toujours être

séparée en coordonnées sphériques. Plusieurs problèmes physiquement intéressant peuvent être représentés exactement ou approximativement en fonction de potentiels à symétrie sphérique de différentes formes. Dans cette section, nous allons effectuer la séparation et résoudre les équations différentielles en θ et φ . Nous traiterons de la solution radiale pour des formes particulière de

( )rV dans la section suivante ainsi que lorsque nous résoudrons le cas de l'atome d'hydrogène.

Séparation de l'équation de Schrödinger L'équation de Schrödinger avec une énergie potentielle à symétrie sphérique peut être écrite en coordonnées sphériques :

(2) ( ) EuurVurrr

rrrm

=+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂−

2

2

222

2

2

2

sin

1sin

sin

11

2 φθθθ

θθh

Nous séparons d'abord les parties radiales et les parties angulaires en substituant (3) ( ) ( ) ( )φθφθ ,,, YrRru = dans (2) et en divisant par u

(4) ( )[ ]

∂∂+

∂∂

∂∂−=−+

2

2

22

22

sin

1sin

sin

1121

φθθθ

θθYY

YrVE

mr

dr

dRr

dr

d

R h

Puisque le coté gauche de l'équation (4) dépend seulement de r et le coté droit dépend seulement de θ et φ , les deux cotés doivent être égaux à une constante que nous appelons λ . Donc, (5) nous donne une équation radiale

(5) ( )[ ] 021

22

2

2=

−−+

R

rrVE

m

dr

dRr

dr

d

r

λh

et une équation angulaire

(6) 0sin

1sin

sin

12

2

2=+

∂∂+

∂∂

∂∂

YYY λ

φθθθ

θθ

L'équation angulaire (6) peut être encore séparée en substituant ( ) ( ) ( )φθφθ ΦΘ=,Y dedans et en suivant la même procédure pour obtenir

(7) 02

2

=Φ+Φ νφd

d

(8) 0sin

sinsin

12

=Θ

−+

Θθ

νλθ

θθθ d

d

d

d

L'équation en φ (7) peut être résolue directement. Sa solution générale peut être écrite

(9) ( )( ) 0

02

1

2

1

=+=Φ≠+=Φ

−

νφφνφ

φνφν

BA

BeAeii

L'exigence que ( )φΦ et ( ) φφ dd /Φ soient continus dans tout le domaine 0 à π2 de φ implique que ν soit choisi égal au carré d'un entier. Nous remplaçons donc (9) par

(10) ( ) ( ) φπφ ime21

2 −=Φ où maintenant toutes les solutions physiquement significatives sont inclues si m peut être un entier

positif, négatif ou nul. La constante multiplicative est choisie égale à ( ) 2

1

2 −π afin que Φ soit normalisé à l'unité sur le domaine de φ . Notons que la constante m ne doit pas être confondue avec la masse de la particule. Il y a un léger risque de confusion que nous regrettons mais l'usage veut que le nombre quantique associé à la composante φ soit noté m (qui est l'abréviation de "magnétique" pour des raisons qui apparaîtront plus tard).

Polynômes de Legendre A moins que ( )rV soit spécifié, le plus loin où nous pouvons aller dans notre traitement est de

résoudre l'équation θ (8) où maintenant 2m=ν . Il est pratique de substituer θcos=w à θ et de poser (11) ( ) ( )ωθ P=Θ

Alors (8) devient

(12) ( ) 01

12

22 =

−−+

− Pw

m

dw

dPw

dw

d λ

Puisque le domaine de θ est de 0 à π , le domaine de w est de 1 à -1. La procédure pour résoudre l'équation (12) est en plusieurs points similaires à la solution de l'équation de Schrödinger de l'oscillateur harmonique que nous avons présenté dans la section précédente et nous ne donnerons donc pas tous les détails. Puisque (12) est une équation différentielle du second ordre, elle a deux solutions linéairement indépendantes. Excepté pour des valeurs particulières de λ , les deux sont infinies en 1±=w et ne sont pas physiquement acceptables. Si, cependant, ( )1+= llλ , où l est un entier positif ou nul, une des solutions est finie en 1±=w (l'autre ne l'est pas). Cette solution finie a

la forme ( ) mw 2

121− fois un polynôme d'ordre ml − en w et a la parité de ml − .

Les solutions physiquement acceptables de (12) quand m = 0 sont appelées polynômes de Legendre

( )wPl . Tout comme dans le cas des polynômes de Hermite, leurs propriétés peuvent être discutées

en terme d'une fonction génératrice

(13) ( ) ( )

( ) 1

21,

0

2

12

<=

+−=

∑∞

=

−

sswP

sswswT

l

l

l

En différentiant la fonction génératrice par rapport à w et s, on trouve des relations analogues à celles des polynômes de Hermite.

(14) ( )( ) ( ) 11

12

121

1

−+

−

−+=++−=′−

lll

lll

lPwPlPl

lPlwPPw

où l'apostrophe indique la dérivée par rapport à w. On vérifie facilement que l'équation différentielle à l'ordre le plus bas impliquant seulement les lP qui peuvent être construits à partir

des équations (14) est l'équation (12) avec ( )1+= llλ et m = 0.

Pour m non nécessairement égal à zéro, (12) a des solutions physiquement acceptables si

( )1+= llλ et lm ≤ . Ces solutions, qui sont appelées fonctions de Legendre associées, peuvent

être exprimées en fonction des polynômes de Legendre :

(15) ( ) ( ) ( )wPdw

dwwP lm

mmm

l2

121−=

On peut le montrer en remplaçant (15) dans l'équation qui est obtenue en différentiant m fois

l'équation pour ( )wPl . La fonction génératrice pour les fonctions de Legendre associées est obtenue

en différentiant (13) m fois par rapport à w et en multipliant par ( ) mw 2

121− .

(16)

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )∑∞

=

+

=

+−

−=

ml

lm

l

mm

mm

m

swP

sswm

swmswT

2

12

2

12

21!2

1!2,

Harmoniques sphériques La partie angulaire ( )φθ ,lmY de la fonction d'onde complète, qui est solution de (6) quand

( )1+= llλ , est appelée une harmonique sphérique. Il est évident que

(17) ( ) ( ) ( )φθφθ m

m

llmlm PNY Φ= cos,

où c est donné par (10) et lmN est la constante de normalisation pour la fonction de Legendre

associée. La même démonstration que fut donnée pour l'orthogonalité des fonctions propres de l'énergie peut être utilisée pour montrer que les solutions de (4) correspondant à différentes valeurs propres λ ou l sont orthogonales. La valeur propre l est, cependant, ( )12 +l fois dégénérée puisqu'il existe des

solutions linéairement indépendantes ( )φθ ,lmY pour cette valeur de l et toutes les valeurs entières

de m entre +l et -l. Le choix de (10) pour ( )φθ ,lmY rend ces fonctions propres dégénérées

orthogonales. Il s'ensuit que l'intégrale

(18) ( ) ( ) ∫ ∫∫ ∫ − ′′∗

′′∗ =

1

1

2

00

2

0sin,,

ππ πθφθθφθφθ dwdYYddYY mllmmllm

s'annule sauf si ll ′= et mm ′= . Il est intéressant de noter qu'il n'y a pas plus d'orthogonalité que nécessaire pour que cette intégrale s'annule quand elle le doit. Donc, la partie φ de l'intégrale s'annule quand mm ′≠ quelle que soit la valeur de l. La partie θ ou w de l'intégrale s'annule seulement quand ll ′≠ et mm ′= puisque pour mm ′≠ , l'orthogonalité est prise en compte par

l'intégration sur φ . L'intégrale

(19) ( ) ( )∫− ′

1

1dwwPwP m

l

m

l

peut être évaluée de plusieurs manières, par exemple, en utilisant la fonction génératrice (16) d'une manière similaire à celle décrite dans la section précédente. Comme attendu, l'intégrale (19) s'annule sauf si ll ′= . Elle a alors la valeur ( )[ ] ( ) ( )[ ]!/!12/2 mlmll −++ . Donc, lmN est l'inverse de

la racine carrée de cette quantité, excepté pour un facteur de phase complexe arbitraire de grandeur unité. Pour des raisons pratiques, nous choisissons l'harmonique sphérique comme

(20) ( ) ( )( ) ( ) φθ

πεφθ imm

llm ePml

mllY cos

!

!

4

12,

2

1

+−+=

où ( )m1−=ε pour m > 0 et 1=ε pour 0≤m . Les premières harmoniques sphériques sont

(21)

( )

( )

φφ

φ

θπ

θθπ

θπ

θπ

θππ

ii

i

eYeY

YeY

YY

222

1

2,2

2

1

1,2

22

1

0,2

2

1

1,1

2

1

0,1

2

10,0

sin32

15cossin

8

15

1cos316

5sin

8

3

cos4

3

4

1

±±

±±

±±

=

=

−

=

=

==

m

m

Parité Le concept de parité peut maintenant être étendu aux problèmes à trois dimensions du type discuté dans cette section. Supposons que la coordonnée position r est renversée par rapport à l'origine tel que r est remplacé par -r. Cela correspond à remplacer x par -x, y par -y et z par -z ou à remplacer θ par θπ − , φ par πφ + et à laisser r inchangé. Il est clair que le seul changement dans l'équation

de Schrödinger est que ( )φθ ,,tu est remplacé par ( )πφθπ +− ,,ru , le reste de l'équation étant inaffecté. Alors la discussion que nous avons eut sur la parité montre que des combinaisons linéaires des fonctions propres dégénérées peuvent être trouvées qui ont des parités définies et qu'une fonction propre non dégénérée doit avoir une parité définie. Les niveaux d'énergie pour un potentiel à symétrie sphérique sont dégénérés au moins par rapport au nombre quantique m, pour l > 0. Dans ce cas, les fonctions propres dégénérées ont toutes la même parité que nous allons montrer être la parité de l. Quand r est renversé par rapport à l'origine, la partie radiale ( )rR de la solution est inchangée, la partie ( )φΦ donnée par (10) a la parité de m

et la partie ( )θcosm

lP a la parité de ml − puisque ( )wPm

l est égal à une partie paire ( ) mw 2

121−

fois un polynôme en w qui a la parité ml − par rapport au changement de signe de w ou de θcos .

Donc, ( )φθ ,lmY et donc ( )ru a la parité de l.

Moment angulaire L'équation de Schrödinger radiale (5) peut être récrite sous une forme qui ressemble à l'équation de Schrödinger à une dimension. Si nous posons ( ) ( ) rrrR /χ= , l'équation pour la fonction d'onde radiale modifiée χ peut être écrite

(22) ( ) ( ) χχχE

mr

llrV

dr

d

m=

+++−2

2

2

22

2

1

2

hh

Donc, le mouvement radial est similaire au mouvement à une dimension d'une particule dans un potentiel

(23) ( ) ( )2

2

2

1

mr

llrV

h++

"L'énergie potentielle" supplémentaire peut être vue physiquement comme étant reliée au moment angulaire de la manière suivante. Une particule classique qui a un moment angulaire L autour de l'axe passant par l'origine et perpendiculaire au plan de son orbite a la vitesse angulaire 2/ rL=ω quand sa distance radiale à l'origine est r. Une force centripète

(24) 3

22

mr

Lrm =ω

est requise pour maintenir la particule sur son orbite. Cette force centripète est fournie par l'énergie potentielle et donc ajoute au ( )rV qui apparaît dans le mouvement une "énergie potentielle

centrifuge" supplémentaire 22 2/ mrL . Elle a exactement la forme du terme supplémentaire dans (23) si nous posons

(25) ( )[ ] h21

1+= llL L'argument physique précédent pour identifier le nombre quantique l avec le moment angulaire de la particule peut être mis sous forme quantitative en trouvant les opérateurs qui correspondent aux trois composantes du vecteur moment angulaire. Classiquement, nous avons prL ×= et donc, en mécanique quantique, nous prenons

(26)

∂∂−

∂∂−=−=

∂∂−

∂∂−=−=

∂∂−

∂∂−=−=

xy

yxiypxpL

zx

xzixpzpL

yz

zyizpypL

xyz

zxy

yzx

h

h

h

L'équation (26) peut être transformée en coordonnées sphériques pour donner

(27)

φ

φφθ

θφ

φφθ

θφ

∂∂−=

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂=

h

h

h

iL

iL

iL

z

y

x

sincotcos

coscotsin

L'opérateur qui représente le carré du moment angulaire total est alors obtenu à partir de (27) comme

(28)

∂∂+

∂∂

∂∂−=

++=

2

2

2

2

2222

sin

1sin

sin

1

φθθθ

θθh

zyx LLLL

La comparaison de (28) et (6) montre que ( )φθ ,lmY est une fonction propre de 2L avec la valeur

propre ( ) 21 h+ll :

(29) ( ) ( ) ( )φθφθ ,1, 22lmlm YllY h+=L

De manière similaire, il suit de la structure de (10) et de la dernière relation (27) que ( )φmΦ et

donc aussi ( )φθ ,lmY sont fonction propre de zL avec la valeur propre hm :

(30) ( ) ( )φθφθ ,, lmlmz YmYL h=

Donc, la séparation de l'équation de Schrödinger en coordonnées sphériques conduit à des fonctions d'onde qui sont fonctions propres à la fois du moment angulaire total et de la composante du moment angulaire le long de l'axe polaire. Le nombre quantique l qui apparaît est appelé nombre quantique azimutal ou de moment angulaire total. Le nombre quantique m qui apparaît dans (30) est appelé, comme nous l'avions déjà signalé, nombre quantique magnétique à cause de son importance dans la théorie de l'effet Zeeman lequel implique la composante du moment angulaire le long du champ magnétique (axe z). On notera qu'en général l'équation de Schrödinger ne peut pas être séparée de cette manière et les fonctions propres du moment angulaire obtenues si l'énergie potentielle ( )rV n'est pas à symétrie sphérique. Cela correspond au résultat classique que le moment angulaire est une constante du mouvement seulement pour un champ de force central (qui peut être décrit par un potentiel à symétrie sphérique). Il y a, cependant, la différence caractéristique entre la théorie classique et quantique que les trois composantes de L peuvent être spécifiées avec précision simultanément en la théorie classique tandis que seuls zL et 2L peuvent,

en général, être spécifiés avec précision simultanément en théorie quantique puisque ( )φθ ,lmY n'est

pas une fonction propre de xL et yL (excepté pour le cas l = 0). Le choix de la direction de l'axe

polaire qui distingue zL de xL et yL est, bien sûr, totalement arbitraire. On peut construire des

fonctions d'onde qui sont fonctions propres de, par exemple, xL et 2L mais pas de zL et yL . Il

suffit pour cela de choisir un autre axe polaire pour construire les harmoniques sphériques.

IV.3. Puits de potentiel carré à trois dimensions Nous sommes maintenant en position de trouver les niveaux d'énergie d'un état lié qui correspond à des choix particuliers de l'énergie potentielle ( )rV et du nombre quantique de moment angulaire l en résolvant l'équation de Schrödinger radiale.

Comme exemple, considérons le puits de potentiel de profondeur finie pour lequel ( ) 0VrV −= , r <

a, ( ) 0=rV , r > a, où 0V est positif. Une région sphérique de ce type dans laquelle le potentiel est

inférieur à l'environnement sert à attirer une particule tout comme dans le cas à une dimension que nous avons vu.

Moment angulaire zéro Quand l = 0, il est plus facile de résoudre l'équation de Schrödinger sous la forme modifiée avec

( ) ( ) rrrR /χ= . L'équation est

(1)

arEdr

d

m

arEVdr

d

m

>=−

<=−−

χχ

χχχ

2

22

02

22

2

2

h

h

La solution de l'équation (1) est la même que celle obtenue pour l'échelon de potentiel fini excepté sur trois points. Tout d'abord, l'échelle d'énergie est abaissée partout dans ce problème de la quantité 0V . Deuxièmement, le domaine de r est 0 à ∞+ au lieu du domaine ∞− à ∞+ . Et

troisièmement, la condition aux limites que la fonction d'onde ne devienne pas infinie en −∞=x est maintenant remplacée par la même condition en r = 0. A partir des résultats déjà trouvés, on voit que les solutions de (1) sont

(2)

( ) ( )

( ) arEm

Cer

arEVm

rBrAr

r >

==

<

−=+=

−2

1

2

2

1

2

0

2

2cossin

h

h

βχ

αααχ

β

où nous sommes intéressés par les niveaux d'énergie pour les états liés pour lesquels E < 0. L'exigence que ( )rR soit fini en r = 0 implique que nous posions B = 0 dans la première équation de (2). Donc, la solution a la forme de la solution a parité impaire du problème a une dimension. Les niveaux d'énergie sont obtenus en égalisant les deux valeurs de ( )( )drd //1 χχ en r = a (ce qui

est équivalent à rendre ( )( )drdRR //1 continu en ce point) et sont données en résolvant (3) βαα −=acot qui est le même que la relation obtenue à une dimension. On en déduit qu'il n'y a pas de niveau d'énergie sauf si maV 8/222

0 hπ> , qu'il y a un état lié si maVm 8/98/ 2220

22hh ππ << , etc.

Solutions intérieures pour l arbitraire Pour des valeurs non nulles de l, il est plus pratique de travailler avec l'équation radiale originale qu'avec l'équation pour χ . Si nous posons rαρ = où α est défini comme dans (2), l'équation de Schrödinger pour r < a devient

(4) ( )

01

12

22

2

=

+−++ Rll

d

dR

d

Rd

ρρρρ

La forte ressemblance entre (4) et l'équation de Bessel suggère que ( )rR puisse être exprimé en terme des fonctions de Bessel. C'est en fait le cas. Si nous définissons la "fonction de Bessel sphérique" ( )ρlj qui est régulière en 0=ρ par

(5) ( ) ( )ρρ

πρ2

1

2

1

2 +

=

ll Jj

où J est une fonction de Bessel ordinaire d'ordre demi entier, on vérifie facilement que ( )ρlj

satisfait (4). De même, la "fonction de Neumann sphérique" est

(6) ( ) ( ) ( )ρρ

πρ2

1

2

1

1

21

−−

+

−=

l

l

l Jn

On peut montrer que ( )ρ

2

1+l

J , où l est un entier positif, négatif ou zéro, peut s'exprimer comme une

somme de produits de ρsin et ρcos avec des polynômes d'ordre impair en 2

1

ρ . En particulier, des expressions explicites pour les trois premières fonctions j et n sont

(7)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ρρ

ρρρ

ρρρ

ρρρ

ρ

ρρ

ρρρ

ρρ

ρρρ

ρρρ

ρρρ

sin3

cos13

cos3

sin13

sincoscossin

cossin

222222

2121

00

−

−−=−

−=

−−=−=

−==

nj

nj

nj

Les termes dominant pour ρ petit sont

(8) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )12531!!12

!!12

!!12 100

+⋅⋅≡+

−−→+

→ +→→

ll

ln

lj

ll

l

l

L

ρρρρ

ρρ

Ces équations sont des approximations utiles pour 2ρ un peu plus petit que 4l+6 et 2 respectivement. Et les termes dans le développement asymptotique sont

(9)

( ) ( )

( ) ( )

+−→

+−→

∞→

∞→

πρρ

ρ

πρρ

ρ

ρ

ρ

12

1sin

1

12

1cos

1

ln

lj

l

l

Ces équations sont des approximations utiles pour ρ un peu plus grand que ( )12

1 +ll . Cependant

les grandeurs (mais pas les phases) de lj et ln sont données à une bonne approximation par (9) si

ρ est un peu plus grand que l, ce qui est approximativement la valeur de ρ pour laquelle la

grandeur de lj est la plus grande.

Quelques propriétés des j et des n sont

(10)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2

211

1020

3220

1020

3220

1

01

2

12

1

ρρ

ρρρ

ρρ

ρρρρρ

ρρρρρρρ

ρρρρρρρ

=−

>=−

−=

+=

−−

∫

∫

llll

llll

jd

dnn

d

dj

ljnjn

njndn

jnjdj

Les propriétés suivantes sont valables à la fois pour les j et les n :

(11)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )

( )[ ] ( )

( )[ ] ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 02

1

0

1

112

1

012

112322

122

0

01

1

111

1

11

11

>−=

=

−=

−=

>=

+−=

+−+

=

>+=+

+−

+−−

−++

−

+−

+−

∫

∫

∫

ljjjdj

jdj

jdj

jjd

d

ljjd

d

jl

j

jlljl

jd

d

ljl

jj

llll

l

l

l

l

l

l

l

l

ll

lll

lll

ρρρρρρρ

ρρρρρ

ρρρ

ρρρρρ

ρρρρρ

ρρ

ρ

ρρρρ

ρρ

ρρ

Puisque ( )rR doit être fini pour r = 0, la solution désirée pour r < a est

(12) ( ) ( )rAjrR l α=

Solutions extérieures pour l arbitraire L'équation de Schrödinger pour r > a peut être mise sous la forme (4) si nous redéfinissons ρ comme riβ , où β est donné dans (2). Puisque le domaine de ρ ne s'étend maintenant pas à zéro,

il n'y a pas de raison pour que ln ne puisse pas apparaître dans la solution. La combinaison linéaire

de lj et ln à sélectionner sera déterminée par la forme asymptotique qui doit diminuer

exponentiellement pour r grand. Cela suggère que nous définissions les fonctions de Hankel sphériques

(13) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ρρ

ρρ

lll

lll

injh

injh

−=

+=2

1

qui, à l'aide de (9), ont les formes asymptotiques

(14)

( ) ( )

( ) ( )

+−−

∞→

+−

∞→

→

→

πρ

ρ

πρ

ρ

ρ

ρ1

2

1

2

12

1

1

1

1

li

l

li

l

eh

eh

On peut montrer que le développement asymptotique, dont (14) donne le terme dominant, ne contient pas de terme pour lequel l'exposant a le signe opposé à celui donné. La solution désirée pour r > a est alors (15) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]riinrijBriBhrR lll βββ +== 1

Les trois premières fonctions sont

(16)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) r

r

r

errr

rih

err

irih

er

rih

β

β

β

ββββ

βββ

ββ

−

−

−

++=

+=

−=

3322

12

22

11

10

331

11

1

Niveaux d'énergie Les niveaux d'énergie sont obtenus en exigeant que ( )( )drdRR //1 soit continu en r = a. Quand cette condition est appliquée à la solution intérieure (12) et la solution extérieure (15) avec l = 0, nous obtenons l'équation (3). On peut l'écrire comme

(17) 2

2022 2

coth

amV=+−= ηξηξξ

où nous avons posé aαξ = et aβη = . La même condition appliquée aux solutions l = 1 se réduit, avec l'aide de (7) et (16), à

(18) 2

2022

22

2111cot

h

amV=++=− ηξ

ηηξξξ

Les équations (18) peuvent être résolues numériquement ou graphiquement comme nous l'avions déjà vu dans le cas des équations (17). En général, il n'y a pas de dégénérescence entrer les valeurs obtenues pour la solution des équations comme (17) et (18) pour différentes valeurs de l. Il est facile de voir combien on a de niveaux d'énergie (17) pour différentes valeurs de 2

0aV sans

plonger dans le travail numérique. Un nouveau niveau apparaît quand η est zéro ou ξcot est infini. Cela se produit en K,2, ππξ = . Donc, il n'y a pas de niveau d'énergie avec l = 1 quand

(19) m

aV2

222

0

hπ≤

Il y a un état lié avec l = 1 si maVm /22/ 2220

22hh ππ ≤< , etc.

La plus petite valeur de 2

0aV pour laquelle il existe un état lié avec l = 1 est plus grande que la

valeur correspondante de 20aV pour l = 0. C'est raisonnable d'un point de vue physique.

L'interprétation du terme l dans l'équation de Schrödinger radiale comme une énergie potentielle supplémentaire qui correspond à une "force centrifuge" répulsive suggère qu'une particule possédant un moment angulaire nécessite un potentiel attractif plus fort pour la lier qu'une particule sans moment angulaire. En effet, il s'avère que la "force" minimale du puits de potentiel carré 2

0aV

nécessaire pour lier une particule de nombre quantique de moment orbital l croît de manière monotone avec l croissant. On peut montrer que les états liés apparaissent avec une énergie zéro pour une valeur particulière l quand ( )( )[ ] ( ) aldrdRR ar /1//1 +−== . Pour l > 0, c'est équivalent à la condition ( ) 01 =− ξlj où

maintenant ( )21220 /2 hamV=ξ .

Exercices 1. La règle de quantification de Bohr peut s'exprimer sous une forme beaucoup plus générale. Elle

dit que l'intégrale de l'impulsion par rapport à la coordonnée sur un cycle est égal à un nombre entier fois la constante de Planck. Appliquez cette règle au cas de l'atome d'hydrogène à titre de vérification puis appliquez cette règle à l'oscillateur harmonique linéaire et comparez aux résultats obtenus dans la section IV.1.

2. Quelle est l'ordre de grandeur de la dispersion des nombres quantiques et des énergies des états qui contribuent de manière significative à la solution du paquet d'onde oscillant pour l'oscillateur harmonique ?

3. Utilisez la fonction génératrice des polynômes de Hermite pour évaluer

( ) ( )∫∞

∞−

∗ dxxuxxu mn

2

où les fonctions u sont les fonctions d'onde normalisées de l'oscillateur harmonique. 4. Utilisez la fonction génératrice des polynômes de Legendre pour évaluer

( ) ( )∫− ′

1

1dwwPwP ll

5. Obtenez une expression analytique approchée pour le niveau d'énergie dans un puits de potentiel carré (l = 0) quand 2

0aV est nettement plus grand que m8/22hπ .

6. Montrez que pour un puits de potentiel carré, les valeurs limites de 20aV qui correspondent à de

nouveaux niveaux d'énergie avec une valeur de l plus grande que zéro sont données par mz 2/22

h , où les nombres z sont les solutions non nulles de l'équation ( ) 01 =− zjl .

7. Supposez que l'interaction entre le neutron et le proton qui constituent un deutéron puisse être représentée par un puits de potentiel carré avec cm1000.2 13−×=a . Si le niveau d'énergie le plus bas (l = 0) du système est -2.23 MeV, calculez 0V en MeV pour les trois figures

significatives. Comparez cette réponse avec celle obtenue à partir de la formule approximative dérivée dans le problème 5.

8. Considérez l'équation (22) de la section de la section IV.2 avec l = 0 et ( ) areVrV /0

−−= . Faites

un changement de variable de r à arez 2/−= et montrez que le résultat est l'équation de Bessel.

Quelles conditions aux limites doivent être imposées sur χ comme fonction de z et comment

l'utiliser pour déterminer les niveaux d'énergie ? Quelle est la limite inférieure de 0V pour

laquelle un état lié existe ? 9. Trouvez les expressions pour les fonctions propres et les niveaux d'énergie d'une particule dans

une boîte circulaire à deux dimensions qui a des murs parfaitement rigides. 10. On a montré dans la section III.1 qu'un puits de potentiel carré a une dimension a des états liés

pour toute valeur positive de 20aV et dans la section IV.3 qu'un puits de potentiel carré à trois

dimensions à symétrie sphérique a un état lié seulement pour maV 8/2220 hπ> . Quelle est la

situation analogue pour un puits de potentiel carré à deux dimensions à symétrie circulaire ? Quelle est la signification physique de ces résultats ?

11. L'équation de Schrödinger pour un corps rigide qui est contraint à tourner autour d'un axe fixe et qui a un moment d'inertie I par rapport à cet axe est

2

22

2 φψψ

∂∂−=

∂∂

Iti

hh

où ( )t,φψ est une fonction du temps t et de l'angle φ de rotation autour de l'axe. Quelles conditions aux limites doivent être appliquées aux solutions de cette équation ? Trouvez les fonctions propres normalisées et les valeurs propres de l'énergie. Y a-t-il dégénérescence ?

12. Trouvez les niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique isotrope à trois dimensions ( ( ) 2

21 KrrV = ) en résolvant l'équation de Schrödinger en coordonnées cartésiennes. Quelle est

la dégénérescence de chaque niveau ? Montrez que cette équation peut aussi être séparée en coordonnées sphériques et cylindriques.

V. Théorie des collisions Les problèmes pour lesquels les valeurs propres de l'énergie sont distribuées de manière continue apparaissent habituellement en relation avec les collisions d'une particule avec un champ de force. La méthode d'approche est différente de celle employée pour les états liés. Dans ce denier cas, les conditions aux limites à grande distance étaient utilisées pour déterminer les niveaux d'énergie discrets de la particule. Dans un problème de collision, l'énergie est spécifiée à l'avance et le comportement de la fonction d'onde à grande distance en est déduit. Ce comportement asymptotique peut alors être relié à des quantités de diffusion de la particule par le champ de force. Le nombre relativement faible de solutions exactes qui sont obtenues ici sont d'un usage plus large qu'il pourrait sembler au premier abord puisqu'elles peuvent servir de fondations à des calculs approchés pour des systèmes plus compliqués. Il est intéressant de noter que l'étude des collisions est particulièrement important en relation avec le noyau atomique et les particules élémentaires où très peu d'information peut être obtenue par d'autres moyens.

V.1. Barrière de potentiel carrée à une dimension

Nous considérons d'abord la collision à une dimension d'une particule avec la barrière de potentiel carrée ( )xV montrée ci-dessus. Dans ce problème, nous sommes intéressés par une particule qui approche de la région avec x négatif et qui est réfléchie ou transmise par la barrière. Dans le problème classique correspondant, la particule est toujours réfléchie si son énergie est inférieure à celle du sommet de la barrière et est toujours transmise si son énergie est plus grande. Nous verrons que, dans le problème quantique, la réflexion et la transmission se produisent tous les deux avec une probabilité finie pour la plus part des énergies de la particule. A cause du manque de symétrie entre x positif et négatif qui est introduit dès le départ, il est désavantageux de travailler avec des solutions qui ont des parités définies et ainsi il n'y a aucune raison pour rendre ( )xV symétrique par

rapport à x = 0. Nous supposons donc que ( ) 0=xV pour x < 0 et x > a et ( ) 0VxV = pour 0 < x < a,

où 0V est positif.

Comportement asymptotique Nous sommes intéressés par représenter une particule qui approche de la gauche avec une énergie E > 0 et qui peut être renvoyée par la barrière ou y pénétrer. Donc, le comportement asymptotique

(dans les régions où ( ) 0=xV ) est le suivant : pour x < 0, nous désirons que la fonction d'onde représente une particule se déplaçant vers le gauche (particule réfléchie) aussi bien que vers la droite (particule incidente). Pour x > a, nous désirons que la fonction d'onde représente seulement une particule se déplaçant vers la droite (particule transmise). Une particule dans une région sans potentiel qui se déplace dans une direction définie avec une énergie définie a une impulsion définie et donc peut être représentée par une fonction propre de l'impulsion à une dimension ( ) h/ipxexu si la particule se déplace dans la direction des x positifs avec

l'impulsion p et ( ) h/ipxexu −∝ si la particule se déplace dans la direction des x négatifs avec la

même énergie. Donc, puisque l'équation de Schrödinger dans la région où ( ) 0=xV est

(1) Eudx

ud

m=−

2

22

2

h

nos solutions asymptotiques sont

(2) ( )( ) axCexu

xBeAexu

ikx

ikxikx

≥=≤+= − 0

où ( )212/2/ hh mEpk +== est la grandeur du nombre d'ondes. Les solutions (2) sont appropriées pour les régions sans potentiel qui sont externes au potentiel diffuseur qu'il ait ou pas la forme simple montrée plus haut.

Normalisation La signification physique des coefficients A, B et C peut être inférée en substituant (2) dans la forme à une dimension de la densité de courant de probabilité.

(3) ( ) ( )( ) axCvxS

xBAvxS

>=

<−=2

220

où mkv /h= est la vitesse de la particule avec le nombre d'odes k. Puisque ces expressions sont indépendantes de x, elles peuvent être interprétées comme le flux net (positif vers la droite) dans les deux régions. Cette interprétation est consistante avec l'affirmation ci-dessus que A, B et C sont les amplitudes des fonctions d'onde incidentes, réfléchies et transmises, respectivement.

La normalisation absolue des fonctions d'ondes (2) est peu important pour ce problème car nous

sommes seulement intéressés par les rapports 2

B et 2

C à 2

A qui sont, respectivement, les

coefficients de réflexion et de transmission de la barrière. Il est quelque fois utile, cependant, de

normaliser la fonction d'onde incidente à un flux unité. Cela correspond à prendre 2

1

/1 vA = . Une telle normalisation ne doit pas être interprétée comme indiquant que ( )xu représente plus d'une particule. Cela signifie plutôt que nous choisissons un nombre assez grand de systèmes (chacun décrit par ( )xu ) qui sont identiques et indépendant de manière telle que le flux incident total pour tous est l'unité. Une normalisation plus précise mais quelque fois moins pratique supposerait une "boîte" à une dimension de longueur L avec des conditions aux limites périodiques et en exigeant que

(4) ( )( )

12 =∫ L dxxu

Coefficients de diffusion Le caractère de la solution à l'intérieur de la barrière de potentiel dépend du fait que E est plus grand ou plus petit que 0V . Supposons d'abord que 0VE > , de manière à ce que nous puissions

définir un nombre d'onde à l'intérieur de la barrière : ( )[ ]2120 /2 hVEm −=α . Alors la solution à

l'intérieur est (5) ( ) axGeFexu xixi ≤≤+= − 0αα La continuité de u et dxdu / en x = 0 et x = a nécessité par les conditions aux limites fourni quatre relations entre les cinq coefficients. Nous pouvons éliminer F et G et résoudre pour les rapports B/A et C/A.

(6)

( )( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ai

aki

ai

ai

ekk

ek

A

C

ekk

ek

A

B

α

α

α

α

ααα

ααα

222

222

222

4

1

−−+=

−−+−−=

−

Le carré absolu des rapports (6) sont les coefficients de diffusion (réflexion et transmission)

(7) ( )

( )

( )( )

1

0

220

1

22

22222

1

220

0

1

2222

222

4

sin1

4

sin1

sin

41

sin

41

−−

−−

−+=

−+=

−+=

−+=

VEE

aV

k

ak

A

C

aV

VEE

ak

k

A

B

αα

αα

αααα

On vérifie facilement à partir de (7) que 1//22 =+ ACAB comme on s'y attendait.

Les équations (7) montrent que le coefficient de transmission tend vers

(8)

1

2

20

21

−

+

h

amV

lorsque l'énergie de la particule approche l'énergie du sommet de la barrière ( 0VE → ). Pour E

croissant ( 0VE > ), le coefficient de transmission oscille entre une enveloppe croissante et l'unité

(voir ci-dessus). Il y a une transmission parfaite lorsque K,2, ππα =a , c'est-à-dire quand la barrière contient un nombre entier de demi longueurs d'onde. Ce effet se produit aussi lorsque

00 <V auquel cas la barrière carrée devient un puits carré. Les coefficients de transmission sont

donnés par (7) si le signe de 0V est changé ainsi que dans l'expression de α . Des phénomènes

d'interférence de ce type sont bien connus dans la transmission de la lumière à travers de fines lames transparentes. Les coefficients de réflexion et de transmission pour 00 VE << sont plus facilement obtenus en

remplaçant α par βi dans (6) où

(9) ( ) 2

1

202

−=

h

EVmβ

Le résultat pour le coefficient de transmission est

(10) ( )

1

0

220

2

4

sinh1

−

−+=

EVE

aV

A

C β

qui décroît de manière monotone de la valeur (8) lorsque E décroît sous 0V . Ce comportement est

souvent appelé effet tunnel à travers la barrière. Quand 1>>aβ , le coefficient de transmission (10) devient très petit et est donné approximativement par

(11) ( ) βα2

20

016 −−e

V

EVE

La figure ci-dessus est un tracé du coefficient de transmission calculé avec (7) et (10) pour une barrière plutôt "opaque" : 8/ 22

0 =hamV .

Diffusion d'un paquet d'ondes Le traitement précédent de la diffusion utilise des solutions stationnaires de l'équation de Schrödinger indépendante du temps qui correspondent à des valeurs particulières de l'impulsion incidente. Il est aussi possible de travailler avec l'équation dépendant du temps bien que cela soit plus difficile puisque même dans le cas à une dimension nous devons travailler avec une équation aux dérivées partielles de deux variables indépendantes, x et t. Il y a, cependant, l'avantage que nous pouvons alors étudier le mouvement d'un paquet d'ondes de la forme générale que nous avons vue et voir de quelle manière il est réfléchi ou transmis par le potentiel. Il y a deux manières d'approcher le problème. La solution peut être développée en fonctions propres de l'énergie et la sommation effectuée explicitement. Bien que cela puisse être fait de manière analytique dans le cas d'une particule libre, cela est généralement impossible quand un potentiel est présent. L'autre approche consiste à effectuer une intégration numérique en choisissant des intervalles de temps petits mais finis et d'approcher l'équation différentielle dans le temps par une équation aux différences. Même dans le cas à une dimension, cela est réalisable seulement avec un calculateur rapide et des techniques de calculs spéciales doivent être imaginées pour rendre le problème abordable. I.

II.

III.

IV.

Dans ces calculs, les unités sont choisies telles que 1=h et 21=m . L'unité de longueur peut encore

être choisie arbitrairement et est légèrement plus longue que l'abscisse totale montrée dans chaque graphique. Alors le temps et l'inverse de l'énergie sont exprimés en termes d'une unité qui est le carré de l'unité de longueur. Le paquet d'onde incident est de forme gaussienne avec 035.0=∆x et

π50=p , π7.70 et π100 . Le potentiel a la largeur a = 0.064 et l'intensité ( )20 7.70 π±=V , ainsi

l'énergie moyenne du paquet d'ondes incident est 021 V , 0V et 02V . Les images successives sont

montrées dans la figure I lorsque l'énergie moyenne du paquet d'ondes est la moitié de la hauteur de la barrière et dans la figure II quand l'énergie moyenne est égale à 0V . Les figures III et IV

montrent le cas attractif dans lesquels l'énergie moyenne est la moitié de la profondeur du puits et

égale à la profondeur du puits, respectivement. Dans tous les cas, 2ψ est tracé comme ordonnée et

x comme abscisse et la hauteur et la largeur du potentiel sont également tracés. Le nombre dans chaque image indique le temps en unités arbitraires. La figure II est particulièrement intéressante car elle montre comme la probabilité décroît lentement puis rebondi et passe à travers la barrière quand l'énergie cinétique moyenne de la particule dans la barrière est zéro.

V.2. Collisions à trois dimensions Ce qui nous intéresse particulièrement est la situation des collisions à trois dimensions où une particule heurte un champ de force fixe ou lorsque deux particules se heurtent. Dans le cas du mouvement relativiste de deux particules, lorsque les seules forces présentent dépendent seulement de leurs mouvements relatifs, on peut séparer le problème en deux problèmes à une seule particule. L'un décrit le mouvement des particules relativement l'une à l'autre ou par rapport au centre de masse et l'autre décrit le mouvement libre du centre de masse. Ce résultat valide en mécanique classique s'étend à la mécanique quantique (cela peut paraître évident pour des raisons de lois de conservation de l'impulsion, mais nous allons le vérifier ci-dessous). Bien que le centre de masse puisse être pris au repos dans le calcul des niveaux d'énergie des mouvements internes, il a un mouvement définit dans une collision qui ne peut pas être ignoré dans le calcul des résultats d'une telle expérience. La raison en est que la procédure habituelle en laboratoire consiste à bombarder une particule qui est initialement au repos avec une autre particule qui porte l'énergie totale

EEE ′+=0 . Donc, l'énergie E du mouvement relatif des deux particules est différent de l'énergie

de bombardement 0E et la diffusion observée dépend du fait que la particule est initialement au

repos ou du fait que le centre de masse est initialement au repos. Nous appelons le système de coordonnées dans lequel la particule bombardée est initialement au repos le système de coordonnées du laboratoire et le système de coordonnées dans lequel le centre de masse des deux particules est (initialement et toujours) au repos le système de coordonnées du centre de masse. Il est évidemment plus facile de calculer le résultat d'une expérience de collision dans le système du centre de masse que dans le système du laboratoire puisque seuls trois degrés de liberté apparaissent dans le premier à comparer aux six du second. Le processus de collision dans le système du centre de masse peut être vu comme celui d'une particule qui a la masse réduite

( )2121 / mmmm +=µ et une vitesse initiale v qui entre en collision avec un centre de diffusion fixe. La distribution en angles de la particule diffusée sera affectée par la transformation entre le système de coordonnées du centre de masse, dans lequel les calculs sont faits, et le système de coordonnées du laboratoire, dans lequel les observations sont faites.

Masse réduite L'équation de Schrödinger décrit le mouvement d'une seule particule dans un champ de force externe. Nous sommes maintenant intéressés par le mouvement de deux particules qui sont attirées l'une par l'autre ou qui se repoussent par une force qui dépend seulement de la distance entre elles. La forme de l'équation de Schrödinger a utiliser pour deux particules est suggérée par l'extension de l'équation de Schrödinger de une à trois dimensions. Cette extension utilisait le fait la fonction d'onde dépend des trois coordonnées rectangulaires x, y et z au lieu de juste x et en introduisant l'impulsion correspondant aux nouvelles coordonnées telle qu'elles apparaissent dans l'expression classique de l'énergie. Une extension similaire de trois à six coordonnées rectangulaires conduit directement à l'équation de Schrödinger, que nous avions déjà suggérée, pour deux particules de masse 1m et 2m :

(1)

( )

( )

( )tzyxzyx

tzyxzyxVzyxmzyxm

tzyxzyxt

i

,,,,,,

,,,,,,22

,,,,,,

222111

22211122

2

22

2

22

2

2

2

21

2

21

2

21

2

1

2

222111

ψ

ψ

+

∂∂+

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂−

=∂∂

hh

h

où l'énergie potentielle est supposée dépendre d'une manière arbitraire des six coordonnées et du temps. Si maintenant l'énergie potentielle dépend seulement des coordonnées relatives, c'est-à-dire

( )212121 ,, zzyyxxVV −−−= , une simplification importante peut être faite. Nous définissons les coordonnées relatives x, y, z et les coordonnées du centre de masse X, Y, Z par

(2) 221122112211

212121

zmzmMZymymMYxmxmMX

zzzyyyxxx

+=+=+=−=−=−=

Ici, 21 mmM += est la masse totale du système. L'équation (1) peut être récrite en fonction des nouvelles coordonnées

(3) ( ) ψµ

ψ

+

∂∂+

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂

zyxVzyxZYXMt

i ,,22 2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

22hh

h

où

(4) 21

21

mm

mm

+=µ

est appelée masse réduite. Deux séparations de l'équation (3) peuvent maintenant être faites. Tout d'abord, la dépendance en temps peut être séparée, comme nous l'avons déjà vu, et, deuxièmement, une séparation peut être faite en un produit de fonctions des coordonnées relatives et des coordonnées du centre de masse. Le processus est immédiat et simple et le résultat est

(5)

( ) ( ) ( ) ( )

UEUM

EuVuu

eZYXUzyxutZYXzyx tEEi

′=∇−

=+∇−

= ′+−

22

22

/

2

2

,,,,,,,,,,

h

h

h

µ

ψ

où les opérateurs 2∇ dans la deuxième et troisième équation impliquent la différentiation par rapport aux coordonnées relatives et du centre de masse, respectivement. La deuxième équation (5) décrit le mouvement relatif des deux particules et est la même que l'équation du mouvement d'une particule qui a la masse réduite µ dans une énergie potentielle externe V . La troisième équation (5) nous dit que le centre de masse du système de deux particules se déplace comme une particule libre de masse M, comme on s'y attendait.

Section efficace de diffusion La distribution angulaire des particules diffusées par un centre de force fixe ou par d'autres particules est décrit en pratique en terme d'une section efficace de diffusion, omniprésent dans les études expérimentales. Supposons que nous bombardions un groupe de n particules ou centres diffusion avec un flux parallèle de N particules par unité de surface et par unité de temps et que nous comptions le nombre de particules incidentes qui émergent par unité de temps dans un petit angle solide 0ω∆ centré autour d'une direction qui a les angles sphériques 0θ et 0φ par rapport à la

direction de bombardement prise comme axe polaire. Ce nombre sera proportionnel à N, n et 0ω∆

pourvu que le flux soit assez faible pour qu'il n'y ait pas d'interférence entre les particules envoyées et pas de diminution appréciable des particules par leur éjection hors de la zone cible et pourvu aussi que les particules bombardées soient suffisament écartées pour que chaque processus de collision implique seulement une d'entre elles. Alors le nombre de particules incidentes qui émerge par unité de temps dans 0ω∆ peut s'écrire

(6) ( ) 0000 , ωφθσ ∆nN

où le facteur de proportionnalité ( )000 ,φθσ et appelé section efficace différentielle de diffusion.

Puisque (6) a la dimension de l'inverse d'un temps, ( )000 ,φθσ a la dimension d'une surface.

( ) 0000 , ωφθσ ∆ est égale à la section efficace du flux parallèle incident qui contient le nombre de

particules diffusées dans 0ω∆ par une seule particule cible ou centre de diffusion. L'intégrale de

( )000 ,φθσ sur la sphère est appelée section efficace totale de diffusion

(7) ( )∫= 00000 , ωφθσσ d

Pour la collision d'une particule avec un centre de diffusion fixe, la définition (6) de la section efficace différentielle de diffusion est également valide dans les systèmes de coordonnées du laboratoire et du centre de masse puisqu'un centre de diffusion qui est fixé à une masse effective infinie et ainsi le centre de masse du système ne se déplace pas. Pour une collision entre deux particules de masse finie, cependant, la section efficace différentielle (6) s'applique en général seulement au système de coordonnées du laboratoire et à l'observation de la particule incidente diffusée. Elle ne décrit pas l'observation des particules bombardées éjectées dans le système du laboratoire bien qu'il soit bien sûr possible d'obtenir une section efficace différentielle pour l'éjection des particules à partir de ( )000 ,φθσ . Dans le système du centre de masse, la section

efficace différentielle ( )φθσ , peut être définie en analogie avec (6) où, à nouveau, la particule incidente diffusée est celle qui est observée et le flux N de particules incidentes est calculé par rapport aux particules bombardées, par le centre de masse. Puisque dans ce système de coordonnées les deux particules se déplacent dans des directions opposées l'une de l'autre après la collision, il est clair que la section efficace différentielle pour l'observation des particules bombardées éjectées dans la direction θ , φ est juste ( )πφθπσ +− , .

Relation entre les angles dans le laboratoire et le centre de masse

La relation entre les sections efficaces différentielles et les angles dans le système du laboratoire et dans le système du centre de masse peuvent être trouvées en déplaçant le système du laboratoire dans la direction de la particule incidente avec une vitesse suffisante pour mettre le centre de masse au repos. La figure (a) ci-dessus montre une particule de masse 1m et une vitesse initiale va frapper

une particule de masse 2m initialement au repos. Le centre de masse se déplace vers la droite avec

la vitesse ( )211 / mmvmv +=′ , comme on peut le voir de la conservation de l'impulsion. Donc, dans

le système du centre de masse, les particules de masse 1m et 2m approchent du centre de masse avec les vitesses

(8) 21

2

mm

vmvvv

+=′−=′′

et v′ , respectivement. Si la collision est élastique, elles s'écartent évidemment du centre de masse après la collision avec les mêmes vitesses (figure (b)). Il suit de la géométrie de la situation que θ et φ sont reliés à 0θ et 0φ par

(9)

0

01

01

sinsin

coscos

φφθθ

θθ

==′′

=′+′′vv

vvv

A partir des deux premières équations de (9), nous obtenons, en éliminant 1v ,

(10) 2

10 cos

sintan

m

m

v

v =′′′

=+

= γθγ

θθ

Les équations (9) et (10) peuvent être valides pour des collisions non élastiques aussi. Considérons une collision binaire générale (par exemple, une réaction nucléaire) dans laquelle une particule de masse 1m frappe une particule de masse 2m initialement au repos et, après la collision, les

particules de masse 3m et 4m émergent, où 4321 mmmm +=+ . Si en plus une quantité d'énergie Q

est convertie de l'énergie interne en énergie cinétique des particules émergentes (Q est positif pour des collisions exothermiques et négatif pour des collisions endothermiques) et la particule de masse

3m est observée, la première équation de (10) est encore valide. Dans ce cas, γ est encore égal au

rapport de la vitesse du centre de masse dans le système du laboratoire à la vitesse de la particule observée dans le système du centre de masse puisque tout cela est déduit de simples considérations géométriques. Cependant, γ n'est plus 21 /mm mais on peut montrer qu'il est donné par

(11) 2

1

42

31

++=

QE

E

mm

mmγ

où ( )212

21 2/ mmvmmE += est l'énergie initialement associée au mouvement relatif dans le système du centre de masse.

Relation entre sections efficaces La relation entre les sections efficaces dans les systèmes de coordonnées du laboratoire et du centre de masse peut être obtenue à partir de leurs définitions, qui impliquent que le même nombre de particules sont diffusées dans l'angle solide différentiel 0ωd autour de 0θ , 0φ que dans ωd autour

de θ , φ .

(12) ( ) ( ) φθθφθσφθθφθσ dddd sin,sin, 000000 =

Avec l'aide de la dernière équation (9) et la première équation (10), l'équation (12) donne

(13) ( ) ( ) ( )φθσθγ

θγγφθσ ,cos1

cos21,

2

12

000 +++=

où en général γ est donné par (6). On notera que la section efficace totale est la même dans les deux systèmes du laboratoire et du centre de masse puisque le nombre total de collisions qui se produisent est indépendant du mode de description du processus.

Dépendance en γ

Pour 1<γ , l'équation (10) montre que 0θ croît de manière monotone de 0 à π lorsque θ croît de 0

à π . Pour 1=γ , θθ 21

0 = et varie de 0 à π21 lorsque θ varie de 0 à π . Dans ce cas

(14) ( ) ( )000000 ,2cos4, φθσθφθσ =

et aucune particule n'apparaît dans l'hémisphère arrière dans le système du laboratoire. Pour 1>γ ,

0θ croît d'abord de 0 à une valeur maximale ( )γ/1sin 1− , puis décroît jusqu'à 0 pendant que θ varie

jusque π . Dans ce cas, ( )000 ,φθσ est habituellement infini a la valeur maximale de 0θ bien que

cette singularité donne une contribution finie à la section efficace totale. Aucune particule n'apparaît au-delà du maximum de 0θ dans le système du laboratoire. Les deux valeurs de θ qui

conduisent à une valeur particulière de 0θ entre 0 et ( )γ/1sin 1− peuvent être distinguées par

l'énergie de la particule observée qui est d'autant plus grande que θ est petit. Ce dernier cas ( 1>γ ) est illustré schématiquement dans la figure (c). La résultante de la vitesse v ′′ de la particule observée dans le centre de masse et la vitesse v′ du centre de masse dans le système du laboratoire donne la vitesse 1v de la particule observée dans le système du laboratoire. Le lieu

des points terminaux de 1v quand son origine est au point O est le cercle de rayon v ′′ . Donc, quand vv ′<′′ , l'angle 0θ de la résultante 1v avec la direction de bombardement ne peut pas excéder

l'angle

(15) γ1

sinsin 11 −− =′′′

v

v

Lorsque le rapport vv ′′′= /γ décroît, le cercle devient relativement plus large et le domaine

angulaire de 1v s'accroît. L'utilisation des relations géométriques dans la discussion précédente est valide aussi bien en mécanique quantique qu'en mécanique classique car ce sont essentiellement des relations entres vecteurs impulsions qui sont appliquées dans la région asymptotique où les particules n'ont pas besoin d'être localisées avec précision dans l'espace et donc peuvent avoir des impulsions définies. Il est intéressant de noter que la différence entre les systèmes du laboratoire et du centre de masse est négligeable dans les collisions d'électrons avec des atomes à cause du grand rapport de masse des particules en jeu. Dans les collisions nucléaires, cependant, la différence entre les deux systèmes de coordonnées est habituellement significative.

Comportement asymptotique La section efficace différentielle de diffusion ( )φθσ , dans le système de coordonnées du centre de masse peut être trouvée à partir de la forme asymptotique de la solution à la deuxième équation (5),

(16) EuVuu =+∇− 22

2µh

qui est l'équation de Schrödinger pour le mouvement relatif. La fonction d'onde u peut être écrite comme une fonction des angles θ , φ et de la distance radiale entre les deux particules. L'énergie E associée au mouvement relatif se lit sur la figure ci-dessus comme

(17) 021

2 Emm

mE

+=

où 0E est l'énergie initiale de la particule incidente. Il est intéressant de noter que E est égal à

l'énergie cinétique de la particule dont la masse est la masse réduite µ et dont la vitesse est la vitesse relative v. Donc, nous pouvons voir (16) comme représentant la collision élastique d'une particule de masse µ , de vitesse initiale v et d'énergie cinétique 2

21 vE µ= avec un centre de

diffusion fixe qui est décrit par l'énergie potentielle ( )rV où r est la distance entre la particule fictive µ et l'origine du potentiel de diffusion. Comme dans la section précédente, la diffusion est déterminée par la forme asymptotique de

( )φθ ,,ru dans la région où V = 0. Quand les particules qui se heurtent sont très éloignées, nous désirons que u contiennent une partie qui représente une particule incidente de masse µ se déplaçant dans une direction particulière avec la vitesse v et une partie qui représente une particule sortante radiale :

(18) ( ) ( )[ ]h

vkefreAru ikrikz

r

µφθφθ =+→ −

∞→,,, 1

Le premier terme dans (18) représente une particule se déplaçant dans la direction des z positifs ou le long de l'axe polaire 0=θ puisque θcosrz = . C'est une onde plane infinie de la forme d'une fonction propre de l'impulsion où le vecteur de propagation k a la grandeur k et est dirigé le long de l'axe polaire. Le deuxième terme dans (18) représente une particule qui se déplace radialement vers

l'extérieur. Son amplitude dépend de θ et de φ et inversement proportionnelle à r puisque le flux radial doit diminuer comme l'inverse du carré de la distance. On vérifie facilement que (18) satisfait l'équation (16) asymptotiquement à travers des termes d'ordre r/1 dans la région où V = 0 pour toute forme de la fonction ( )φθ ,f .

Normalisation La signification physique du coefficient A et de la fonction angulaire f peut être obtenue par un calcul du flux de particule, comme dans la section précédente. Une substitution directe de (18) dans l'équation de la densité de courant de probabilité conduit cependant à des termes d'interférence entre les ondes incidentes et diffusées qui n'apparaissent pas dans la plus part des arrangements expérimentaux. Le fait qu'ils ne peuvent pas apparaître peut être vu de la manière suivante.

En pratique, les particules incidentes et diffusées sont séparées l'une de l'autre en les collimatant l'une sur l'autre. Supposons, par exemple, que l'arrangement expérimental est comme indiqué

schématiquement ci-dessus, tel que les particules incidentes venant de la source S sont collimatées par les diaphragmes DD en un faisceau plus ou moins bien défini. Un tel faisceau collimaté n'est pas une onde plane infinie de la forme ikxe mais peut être obtenue en superposant une infinité d'ondes planes qui sont des vecteurs de propagation de grandeurs et directions légèrement différentes. La dispersion angulaire totale en radians sera de l'ordre du rapport de la longueur d'onde de la particule au diamètre du collimateur (diffraction) et ainsi peut être extrêmement petit en pratique. Maintenant, f ne varie habituellement pas très rapidement avec l'angle, tel que la petite dispersion en directions des vecteurs de propagation incidents n'affecte pas f de manière significative. Donc, au point d'observation P, seul le terme f est présent et est essentiellement le même que celui qui apparaît dans (18). Le flux incident peut être calculé à partir du terme d'onde plane seul puisque si nous allons suffisament loin de la zone de diffusion, le terme f peut être rendu négligeable. Donc, dans la région observée, les termes d'interférences sont une conséquence de l'idéalisation implicite en supposant une onde plane infinie dans (18) et ils n'ont habituellement pas de signification physique sauf dans quelques cas exceptionnels. La substitution des deux termes de (18) séparément dans l'équation de la densité de flux de

probabilité montre que le flux incident est de grandeur 2

Av le long de l'axe polaire et que le terme

dominant dans le flux diffusé est de grandeur

(19) ( )2

22,

r

fAv φθ

le long d'un rayon vers l'extérieur. A partir de la définition de la section efficace, il s'ensuit que

(20) ( ) ( ) 2,, φθφθσ f=

Comme discuté dans la section précédente, le choix du coefficient A n'est pas important tant que le calcul de la diffusion est considéré. La fonction d'onde peut être normalisée à un flux incident unité

en choisissant 2

1

/1 vA = ou elle peut être normalisée en posant 132 =∫ rdu dans une grande boîte

qui a des conditions aux limites périodiques. Nous poserons souvent simplement A égal à l'unité.

V.3. Diffusion par des potentiels à symétrie sphéri que Le comportement asymptotique de la fonction d'onde détermine la section efficace différentielle mais ne peut pas en elle-même être trouvée sans résoudre l'équation de Schrödinger dans tout l'espace. Comme cela est le cas dans le calcul des niveaux d'énergie, cela peut être fait seulement quand l'équation de Schrödinger est séparable et un cas particulier de grand intérêt physique est celui dans lequel l'énergie potentielle est à symétrie sphérique. Nous allons supposer ici que V est seulement fonction de r et nous allons trouver la relation entre les solutions séparées en coordonnées sphériques et la forme asymptotique. Cette procédure est appelée la méthode des ondes partielles. Dans la suite nous ne distinguerons généralement pas les collisions d'une particule avec un centre fixe de diffusion et les collisions entre deux particules traitées dans le système de coordonnées du centre de masse. La diffusion élastique, pour laquelle V est réel, est considérée ici. La situation où V est complexe sera discutée plus loin et est intéressante puisque certains processus inélastiques peuvent être décrits approximativement de cette manière.

Comportement asymptotique Il est évident que le problème possède maintenant une symétrie autour de l'axe polaire tel que u, f et σ sont indépendants de l'angle φ . La solution générale de l'équation de Schrödinger peut être écrite comme une somme de produits de fonctions radiales et de polynômes de Legendre. Pour des raisons pratiques, nous l'écrivons sous la forme

(1)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∑

∑∞

=

−

∞

=

+=

+=

0

1

0

cos12

cos12,

l

ll

l

l

ll

l

Prril

PrRilru

θχ

θθ

où lP est le polynôme de Legendre d'ordre l et lχ satisfait l'équation

(2)

( ) ( )

( ) ( )0

22

01

2

2

1

2

2

2

2

2

∞→→=

=

=

+−−+

r

ll

rVrU

Ek

r

llrUk

dr

d

hh

µµ

χχ

La condition aux limites en r = 0 que lR soit fini ou que lχ s'annule détermine la forme

asymptotique de la solution à (2) excepté pour une constante multiplicative arbitraire. Afin de trouver la nature générale de ce comportement asymptotique, nous considérons r si grand que les termes U et l dans (2) peuvent être négligés. Alors la solution à (2) est de la forme ikre± . Pour avoir une meilleure approximation, nous posons

(3) ( ) ( ) ikrr

al erdrfAr ±

′′= ∫expχ

où a et A sont des constantes. La première exponentielle est supposée être une fonction de r variant lentement pour de grands r, ce qui implique que ( )rf diminue plus rapidement que 1−t lorsque

∞→r . La substitution de (3) dans (2) donne l'équation suivante pour f :

(4) ( ) ( ) ( )rWr

llrUikfff ≡++=±+′

2

2 12

où l'apostrophe indique la dérivée par rapport à r. Si maintenant ( )rW diminue comme sr − pour de grands r (s > 0), le dernier terme sur le coté gauche est le terme dominant et f diminue aussi comme

sr − . Dans ce cas, lχ varie comme ikre± pour de grands r si s > 1 puisque alors l'intégrale dans

l'exponentielle de (3) converge pour de grands r. Si, d'autre part, W diminue comme une exponentielle ou une fonction d'erreur de r (ce qui implique que l = 0), le premier et le troisième terme sur le coté gauche de (4) doivent être considérés tous les deux. On peut alors montrer sans difficulté que lχ varie encore comme ikre± pour de grands r. Le champ coulombien, pour lequel U

et W varie comme 1−r pour de grands r indépendamment de la valeur de l est le seul cas physiquement intéressant qui nécessite une attention particulière et qui sera discuté plus loin.

La forme asymptotique de lχ peut être écrite assez généralement

(5) ( ) ( )llr

l krAr δχ ′+′→∞→

sin

où jusqu'à preuve du contraire lA′ et lδ ′ peuvent être complexe. La solution de (2) qui s'annule en r = 0 est unique à une constante multiplicative près. On peut montrer que cette solution est réelle partout si elle est réelle en r = 0, puisque k, U et l sont tous réels. Donc, lδ ′ doit être réel bien que

lA′ n'a pas besoin de l'être. Cela étant dit, on vérifie facilement que le flux radial total de particules à travers une grande sphère s'annule :

(6) 0sin2lim0

2 =∫∞→

πθθπ dSr r

r

où rS est la composante radiale du vecteur densité de flux de probabilité calculé en y substituant

( )θ,ru de (1). Cela signifie qu'aucune source ou puits de particules ne sont présent et les particules qui sont diffusées radialement vers l'extérieur sont fournies par l'onde plane incidente.

Section efficace différentielle Il est utile de redéfinir l'amplitude lA′ et l'angle de phase lδ ′ qui apparaissent dans (5) en fonction d'un problème un peu plus spécifique. On supposera que ( )rU peut être négligé pour r plus grand qu'une certaine distance a. Dans les cas pratiques intéressant, a peut être suffisament petit pour que le terme l dans (2) soit négligeable. Nous pouvons alors diviser le domaine de r en trois régions. Dans la première, ( )rU ne peut pas être négligé et la forme de ( )rRl dépend de U. Dans la

seconde, ( )rU peut être négligé mais le terme l dans (2) n'est pas négligeable. Alors, la forme la

plus générale pour ( )rRl qui soit réelle (excepté pour une constante multiplicative complexe

éventuelle) est, comme nous l'avons vu dans l'étude du puits de potentiel (7) ( ) ( ) ( )[ ]krnkrjArR llllll δδ sincos +=

où lδ est réel. Dans la troisième région, le terme l est négligeable tout comme U et ( )rRl est

obtenu à partir des formules asymptotiques

(8) ( ) ( ) ( )llr

l lkrAkrrR δπ +−→ −

∞→ 211 sin

Les équations (5) et (8) sont en accord si ll AkA ′= et πδδ lll 21+′= .

Nous voulons maintenant identifier la forme asymptotique de (1) avec la forme asymptotique vue dans la section précédente. Pour faire cela, nous avons besoin d'un développement de θcosikrikz ee = en polynômes de Legendre :

(9) ( ) ( ) ( )∑∞

=+=

0

cos cos12l

ll

likr Pkrjile θθ

En substituant (9) dans la forme asymptotique de la section précédente avec A = 1 et en égalant à la forme asymptotique (1), nous obtenons

(10)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∑

∑∞

=

−

∞

=

−−

+−+=

+−+

0211

0

1211

cossin12

cossin12

l

lll

l

l

ikr

l

l

PlkrkrAil

efrPlkrkril

θδπ

θθπ

Lorsque les fonctions sinus sont écrites sous forme d'exponentielles complexes, les coefficients de

ikre et ikre− des deux cotés de cette équation doivent être égaux :

(11)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∑∑

∑∑

∞

=

−−∞

=

∞

=

−∞

=

−

+=+

+=++

0

2

1

0

2

1

0

2

1

0

2

1

cos12cos12

cos12cos122

l

l

li

l

l

l

l

ill

l

l

li

l

l

l

l

ill

PeAilPeil

PeAilPeilikf

l

l

θθ

θθθ

πδπ

πδπ

Puisque ces relations sont vraies pour toute valeur de θ et que les polynômes de Legendre sont orthogonaux, la deuxième équation (11) devient

(12) li

l eAδ=

La substitution de cette valeur dans la première équation (11) donne pour l'amplitude de diffusion

(13) ( ) ( ) ( )( ) ( )∑∞

=

− −+=0

21 cos1122l

ll

iPelikf θθ δ

Donc, la section efficace différentielle est

(14) ( ) ( ) ( ) ( )2

02

2cossin12

1∑

∞

=

+==l

lll

iPel

kf θδθθσ δ

Il est utile de noter que la relation asymptotique de la section précédente, (13) et (14), qui se rapportent toutes au comportement asymptotique de la fonction d'onde, sont aussi valides quand la relativité restreinte est prise en compte. Aussi longtemps que nous travaillons avec le mouvement dans le système de coordonnées du centre de masse, qui peut être décrit par une fonction u des coordonnées relatives, nous pouvons spécifier la diffusion de cette manière en fonction de lδ où

kh est l'impulsion relative. Cela est vrai même quand l'interaction ne peut pas être décrite par un potentiel.

Section efficace élastique totale La section efficace élastique totale est l'intégrale de (14) sur la sphère. A cause de l'orthogonalité des polynômes de Legendre, elle ne contient pas de produits de facteurs impliquant des valeurs différentes de l.

(15) ( ) ( )∑∫∞

=+==

0

2

20sin12

4sin2

l

llk

d δπθθθσπσπ

La section efficace totale peut aussi être reliée à ( )0f . Il suit de la fonction génératrice des

polynômes de Legendre que ( ) 11 =lP pour tout l, tel que (13) donne pour 0=θ

(16) ( ) ( ) ( )( )∑∞

=

− −+=0

21 11220l

i lelikfδ

La comparaison avec (13) montre alors que

(17) ( ) ( )[ ] ( )0Im4

002

fk

ffik

ππσ =−= ∗

L'interprétation physique de (17) est la suivante : afin que la diffusion prenne place, les particules doivent être éliminées dans quantité proportionnelle à σ du flux incident, tel que son intensité est plus petite derrière la région de diffusion ( 0≈θ ) qu'en face d'elle. Cela peut se produire seulement par interférence entre les deux termes dans l'expression asymptotique de la section précédente. Puisqu'un tel terme d'interférence doit être une fonction linéaire de l'amplitude de diffusion vers l'avant, on s'attend à une relation générale de la forme de (17). Un calcul réel de ce terme d'interférence montre que (17) doit être valable plus généralement : quand f dépend aussi bien de φ que de θ et quand σ inclut une diffusion inélastique et de l'absorption en plus de la diffusion élastique.

Décalages de phase L'angle lδ est appelé décalage de phase de la lième onde partielle puisque selon (8) c'est la

différence de phase entre les formes asymptotiques de la fonction radiale ( )rRl et la fonction

radiale ( )krjl en l'absence de potentiel de diffusion (U = 0). Le décalage de phase détermine

complètement la diffusion et la section efficace de diffusion s'annule quand chacun des lδ est 0° ou

180°. On notera que la dérivation de (13) est valide qu'il existe ou pas le rayon supposé a au-delà duquel

( )rU est négligeable pourvu que ( )rU diminue plus rapidement que r/1 . Cependant, la méthode des ondes partielles est la plus utile pour le calcul des sections efficaces de diffusion si un tel rayon a existe, particulièrement si ka est de l'ordre de l'unité ou moins. La raison en est que le premier et plus grand maximum de ( )krjl est approximativement en klr /= . Pour r beaucoup plus petit, lj

est petit et croît comme lr . Donc, si kla /<< , lj sera très petit où U est appréciable. Alors la

lième onde partielle sera peu affectée par le potentiel, le décalage de phase lδ sera très petit et la

contribution à la diffusion pour ce l sera négligeable. Il s'ensuit que la section efficace de diffusion consiste en une série de termes s'étendant de l = 0 à un l maximum qui est de l'ordre de ka . Puisque

le calcul des décalages de phase est habituellement un travail fastidieux, plus petite est la grandeur de ka , plus la méthode est facile à appliquer. Donc ces méthodes des ondes partielles sont surtout utiles aux bombardements à faible énergie. Il est intéressant de noter que la distance classique d'approche la plus proche d'une particule de masse µ , de vitesse v et de moment angulaire hl de l'origine est klvl // =µh . Donc, les remarques précédentes sont analogues à l'affirmation qu'une particule classique n'est pas diffusée si elle a un moment angulaire suffisant pour ne pas entrer dans la région du potentiel ar < .

Calcul de lδ

Le décalage de phase lδ est calculé en comparant la fonction d'onde radiale ( )rRl pour ar < , qui

peut avoir une forme analytique et peut toujours être trouvé numériquement si nécessaire, à la solution (7). La condition aux limites en r = a est que ( )( )drdRR ll //1 doit être continu. Donc, si lγ

est le rapport de la pente à la valeur de la fonction d'onde intérieure, nous avons que

(18) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) l

llll

llll

kankaj

kankajk γδδδδ

=−

′−′sincos

sincos

En calculant les dérivées lj′ et ln′ avec l'aide des expressions que nous avons vues, lδ est donné

par

(19) ( ) ( )( ) ( )kankank

kajkajk

lll

lll

l γγδ

−′−′

=tan

L'équation (19) peut être utilisée directement pour obtenir une expression approchée de lδ quand l

est grand et lδ supposé petit. Dans ce cas, lγ diffère peu du rapport de la pente à la valeur de la

solution en l'absence d'un potentiel de diffusion, et nous posons

(20) ( )( )

( )( )kaj

kaj

kaj

kajk

l

l

ll

l

l

l

′<<

+

′= εεγ

L'équation (19) peut-être écrite avec les expressions que nous avons vues sur les lj et les ln

comme

(21) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1tan

2

22

−=

kankajka

kajka

lll

ll

l εεδ

qui est encore exact. Si nous utilisons maintenant le développement en série de lj quand ( )2kal >>

et pour estimer l'ordre de grandeur de ln , l'inégalité dans (20) devient

(22) ka

ll <<ε

et (21) peut être approché comme

(23) ( )

( )[ ]( ) ( )

( )[ ]22222

2

22

!12

!2

!!12 +−=

+−≈

++

l

kal

l

kall

l

l

ll

εεδ

L'équation (23) peut être utilisée pour vérifier la convergence des sommes sur les ondes partielles qui apparaît dans (13). Nous utilisons la formule de Stirling pour trouver les termes dominant dans

lδln quand l est grand et nous négligeons les termes d'ordre lln et plus bas.

(24) ( )[ ] llkalll ln22ln1ln2lnln −−++≈ εδ

Donc, même si lε a la valeur maximale indiquée par (22), lδ diminue comme l'inverse de la

factorielle de l (plus vite qu'une exponentielle) et les séries qui apparaissent dans les expressions de la diffusion convergent assez rapidement pour l grand.

Relation entre les signes de lδ et ( )rV

Il est visible dans (23) que quand ( )2kal >> , lδ a le signe opposé de lε . Si maintenant le terme

d'énergie potentielle V ou U est positif, correspondant à des forces qui sont principalement répulsives, l'équation (2) montre que le rapport de la courbure à la valeur de la fonction d'onde radiale est plus positive que dans le cas libre. Cela signifie que le rapport de la pente à la valeur est plus positif en r = a que dans le cas où U = 0. Donc, un potentiel répulsif rend lε positif et lδ

négatif. Un décalage de phase négatif signifie que la fonction d'onde radiale est "poussée vers l'extérieur" en comparaison de la fonction d'onde libre. De même, nous voyons qu'un potentiel négatif rend lε négatif et lδ positif. Cela signifie que la

fonction d'onde est "tirée vers l'intérieur" par le potentiel attractif.

Cela peut être vu graphiquement en comparant ( )krrj0 et ( )kr0χ quand ont les fait démarrer

arbitrairement avec la même pente en r = 0. Les figures (a) et (b) montrent le résultat de calculs numériques effectués pour des potentiels carrés répulsifs et attractifs, respectivement. Les unités sont choisies tel que 1=h , 2

1=m et la longueur unité est un cinquième de la longueur totale de

l'abscisse montrée dans le graphique. Le potentiel a le rayon a = 1 et l'intensité 20 ±=V , l'énergie

est E = 4 tel que 2=ka . Dans chaque cas la courbe en tiret est ( )krrj0 et la courbe pleine est

( )kr0χ .

Effet Ramsauer-Townsend La figure (b) suggère qu'un potentiel attractif peut être assez fort pour que l'onde partielle l = 0 soit tirée de juste un demi cycle et son décalage de phase est 180°. Si c'était le cas, le terme correspondant dans l'expression (13) pour ( )θf s'annulerait et il n'y aurait pas de contribution à la diffusion.

La situation est montrée ci-dessus, à nouveau calculée numériquement. Ici a = 2, 50 −=V et E = 1

tel que 2=ka . La courbe en tiret est ( )krrj0 et la largeur du potentiel est également indiquée.

Dans une telle situation, il peut arriver que ka soit assez petit et le potentiel attractif assez fort pour tous les autres décalages de phase soient négligeables quand °= 1800δ . L'amplitude de diffusion

( )θf s'annule alors pour tout θ et il n'y a pas de diffusion. C'est l'explication de l'effet Ramsauer-Townsend, le minimum extrêmement bas observé dans la section efficace de diffusion des électrons par les atomes de gaz rares à une énergie de bombardement d'environ 0.7 eV. Cette explication fut suggérée par Bohr puis montrée raisonnable quantitativement par Faxén et Holtsmark. Un atome de gaz rare, qui consiste entièrement en une coquille fermée, est relativement petit et la force combinée du noyau et des électrons atomiques exercée sur les électrons incidents est forte et d'une portée bien définie. Il est clair que cette section efficace minimale se produit à une énergie définie puisque la forme de la fonction d'onde à l'intérieur du potentiel est insensible à l'énergie de bombardement relativement faible tandis que la phase de la fonction d'onde libre en dépend rapidement.

Physiquement, l'effet Ramsauer-Townsend peut être vu comme une diffraction de l'électron autour de l'atome de gaz rare dans laquelle la fonction d'onde à l'intérieur de l'atome est déformée juste ce qu'il faut pour s'ajuster à la fonction d'onde régulière et non déformée à l'extérieur. Cet effet est analogue à la transmission parfaite trouvée à des énergies particulière dans le problème à une dimension que nous avons examiné. Contrairement à la situation à une dimension, cependant, l'effet Ramsauer-Townsend ne peut pas se produire avec un potentiel répulsif car ka devrait être au moins de l'ordre de l'unité pour avoir °−= 1800δ et un potentiel de ce large domaine produirait des

décalages de phase à des l plus grands.

Diffusion par une sphère parfaitement rigide Comme premier exemple de la méthode des ondes partielles, calculons la diffusion par une sphère parfaitement rigide qui est représentée par le potentiel ( ) +∞=rV pour r < a et ( ) 0=rV pour r > a.

La solution pour r > a est juste (7). La condition aux limites que ( ) 0, =θau est équivalente à l'exigence que toutes les fonctions d'ondes radiales s'annulent en r = a. Les décalages de phase peuvent alors être obtenus en posant ( )aRl donné dans (7) égal à 0 ou lγ dans (19) égal à l'infini :

(25) ( )( )kan

kaj

l

l

l =δtan

Le calcul de la diffusion est particulièrement simple à la limite des faibles énergies :

1/2 <<= λπaka . En utilisant les limites des fonctions lj et ln pour de petites valeurs, on a une

approximation pour les décalages de phase

(26) ( )

( ) ( )[ ]212

!!1212tan

−+−≈

+

ll

kal

lδ

Donc, lδ diminue très rapidement lorsque l croît, en accord avec (23). Tous les décalages de phase

s'annulent lorsque 0→k . Cependant, l'onde partielle l = 0 donne une contribution finie à la diffusion à cause du facteur 2/1 k qui apparaît dans (14) et (15). Nous obtenons donc (27) ( ) 22 4 aa πσασ ≈≈

La diffusion est à symétrie sphérique et la section efficace totale est quatre fois la valeur classique. A la limite des hautes énergies ( 1>>ka ), on peut s'attendre à retrouver le résultat classique puisqu'il est alors possible d'avoir des paquets d'ondes qui sont petit par rapport à la taille de la région diffusante et ils peuvent suivre des trajectoires classiques sans se disperser de manière appréciable. Cela correspond à la limite de l'optique géométrique en théorie ondulatoire de la lumière ou du son. La section efficace différentielle de diffusion est assez difficile à trouver et nous voulons seulement indiquer le calcul du terme dominant dans la section efficace totale. La substitution de (25) dans (15) donne

(28) ( ) ( )

( ) ( )∑∞

= ++

=0

22

2

2

124

l ll

l

kankaj

kajl

k

πσ

Nous pouvons utiliser les développements asymptotiques des fonctions de Bessel qui sont valides quand l'argument est grand. Le calcul montre que la plus part des contributions de la somme dans (28) viennent de

(29) ( ) ( )21

kaCkal −<

où C est un nombre de l'ordre de l'unité. Le terme dominant ici est ( )221 ka . Les deux autres parties

de la somme, pour ( ) ( ) ( ) ( )21

2

1

kaCkalkaCka +<<− et pour ( ) ( )21

kaCkal +> contribuent chacune

à des termes de l'ordre de ( )34

ka et peuvent donc être négligés à limite des hautes énergies. Donc

(30) 22 aπσ ≈ qui est deux fois la limite classique. Le terme suivant a été calculé par Rubinox et Wu. Le résultat est

(31) ( )

++= L

3

2

2 99615.012

ka

aπσ

La raison du résultat anormal apparent (30) est que la forme asymptotique de la fonction d'onde ainsi posée dans la section précédente tel qu'à la limite classique la diffusion est comptée deux fois : une fois est la vraie diffusion (qui s'avère être à symétrie sphérique comme dans le problème classique) et à nouveau dans l'ombre de la sphère diffusante qui apparaît dans la diffusion en avant puisque cette ombre est produite par interférence entre l'onde plane incidente ikxe et l'onde diffusée

( ) ref ikr /θ . Cependant, aussi longtemps que ka est fini, la diffraction autour de la sphère dans la direction en avant se produit réellement et la section efficace totale mesurée (si la mesure peut être faite pour inclure le fort pic de diffusion en avant) est approximativement 22 aπ .

Diffusion par un puits de potentiel carré Comme deuxième exemple de la méthode des ondes partielles, considérons le problème un peu compliqué de la diffusion par un puits de potentiel carré à symétrie sphérique. La fonction d'onde intérieure (r < a) qui est finie en r = 0 est donnée par analogie avec celle que nous avions vue comme

(32) ( ) ( ) ( ) 2

1

202

+==

h

VErjBrR lll

µαα

Donc, les décalages de phase sont donnés par (19) où le rapport de la pente à la valeur de la lième onde partielle en r = a est

(33) ( )( )aj

aj

l

l

l αααγ

′=

A la limite basse énergie ( 1<<ka ) on trouve les deux premiers décalages de phase

(34) ( )

a

aka

a

ka

1

13

1

0

20

0

2

1

3tan

1tan

γγδ

γγδ

+−

≈

+−≈

A moins que 10 −=aγ ou 21 −=aγ , les deux s'annulent lorsque 0→k . Comme avec la sphère

rigide, cependant, l'onde partielle l = 0 donne une contribution finie à la diffusion à cause du facteur 2/1 k qui apparaît dans (14) et (15). A partir de (33), nous voyons que 1cot0 −= aaa ααγ et ainsi

(35) 2

2 tan14

−≈a

aa

ααπσ

La diffusion est à symétrie sphérique. La conclusion à laquelle on arrive ici en relation avec la sphère rigide que la diffusion à basse énergie est essentiellement indépendante de l'énergie de bombardement et de l'angle d'observation est presque toujours valide pour tout potentiel qui a un domaine fini. Des exceptions peuvent se produire, comme signalé après l'équation (34), si un des lγ est tel que le dénominateur de

l'expression pour lδtan est très petit. Dans une telle situation, la lième onde partielle est dite être

en résonance avec le potentiel diffusant. Alors, elle domine habituellement la diffusion.

Diffusion résonante Une expression approchée pour la section efficace résonante peut être obtenue en utilisant le fait

que lγ décroît linéairement avec α croissant quand α est suffisament près de ( )21200 /2 hVµα ≡ .

Un α croissant conduit la fonction d'onde intérieure à se courber plus rapidement et ainsi diminue le rapport de la pente à la valeur en r = a. Maintenant

(36) ( )0

2

02

122

0 2αααα k

k +≈+=

quand k est petit et ainsi nous pouvons écrire à l'ordre le plus bas en k

(37) ( )20 kabaa lll −≈ γγ

où 0lγ est la valeur de lγ quand 0αα = et lb est un nombre positif de l'ordre de l'unité.

On peut montrer que la lième onde partielle est exactement en résonance à un bombardement d'énergie zéro quand ( )10 +−= lalγ . Dans ce cas 2

1=lb pour tout l.

La substitution dans (34) puis dans (14) donne pour le terme dominant dans la section efficace différentielle, dans les deux cas pour lesquels la valeur de l pour l'onde partielle qui est en résonance est 0 et 1,

(38) ( ) ( ) ( )0

22200

2

=+−

≈ lkaakb

a

ζθσ

(39) ( ) ( )( ) ( )

1cos9

622211

422

=+−

≈ lkaakb

kaa

ζθθσ

Nous avons posé Aa += 0

00 γζ et 2011 += aγζ . Pour la résonance, 0ζ est 1ζ sont petits

comparés à l'unité. Il est alors facile de montrer que (38) est une fonction décroissante monotone de

ka . Cependant (39) a un maximum aigu en ( )21

11 /bka ζ≈ si 1ζ est positif et un maximum

beaucoup plus bas en ( )41112 bka ζ≈ si 1ζ est négatif.

Si nous utilisons la relation aa 000 cotααζ = , nous voyons de (38) qu'une approximation

appropriée pour la section efficace totale quand l'onde partielle l = 0 est en résonance est

(40) ak 0

220

2 cot

4

ααπσ

+≈

On voit que l'onde partielle l = 0 est en résonance pour les bombardements à basse énergie quand

a0α est approximativement un multiple impair de 2/π tel que µπ 8/2220 h≈aV , µπ 8/9 22

h , etc.

La discussion dans l'analyse du puits de potentiel montre que ce sont juste les valeurs de 20aV pour

lesquels de nouveaux niveaux d'énergie avec l = 0 apparaissent. Il est vrai assez généralement qu'un puits de potentiel (pas nécessairement carré) qui a un niveau d'énergie proche de zéro exhibe une résonance dans la diffusion basse énergie des particules avec la même valeur de l (pas nécessairement zéro) que le niveau d'énergie. D'un point de vue physique, nous pouvons dire qu'une particule incidente qui a presque la bonne énergie pour être liée par le potentiel tend à s'y

concentrer et produit une forte distorsion dans la fonction d'onde et donc une grande quantité de diffusion.

Le maxima aigu de résonance dans la diffusion à basse énergie comme celui trouvé ci-dessus pour l = 1 avec 1ζ positif peut apparaître pour toute valeur de l excepté l = 0, pourvu que le puits de potentiel ne soit pas assez large ou profond pour contenir un nouveau niveau d'énergie de ce moment angulaire (cela correspond dans le cas du puis de potentiel à avoir 1ζ petit et positif). Nous pouvons voir physiquement un tel potentiel comme contenant un niveau d'énergie virtuel légèrement au-dessus de zéro. Bien qu'un niveau d'énergie discret ne puisse pas exister avec une énergie positive, le "potentiel centrifuge" positif ( ) 22 2/1 rll µh+ pour l > 0 agit comme une barrière de potentiel qui empêche l'évasion de la particule qui est dans ce niveau d'énergie virtuel. La figure ci-dessus illustre cette barrière qui est caractérisée par une petite transmission à basse énergie de la même manière que la barrière de potentiel qui nous avions étudiée. Donc, le niveau virtuel a une sorte d'existence transitoire et produit une plus grande distorsion de la fonction d'onde incidente à son énergie qu'aux énergies voisines. A la limite de l'énergie zéro, on peut montrer que la transmission de la barrière centrifuge est zéro et ainsi la particule ne peut pas fuir si l > 0. La résonance à énergie zéro conduit à un véritable état lié si l n'est pas zéro.

Distribution angulaire à basse énergie Quand l'énergie de bombardement est petite mais non nulle, l'onde partielle l = 2 peut avoir un effet observable sur la diffusion. Si seuls 0δ et 1δ sont différents de zéro de manière appréciable, les

équations (14) et (15) deviennent

(41) ( ) ( )[ ]

( )120

2

2

21

201100

2

2

sin3sin4

cossin9coscossinsin6sin1

δδπσ

θδθδδδδδθσ

+=

+−+=

k

k

En l'absence de résonance, nous voyons avec les équations (34) et (41) que le rapport des

contributions à la section efficace totale des ondes partielles l = 1 et l = 0 est de l'ordre de ( )4ka . Cependant, le rapport du terme le plus grand dépendant de l'angle dans la section efficace

différentielle (qui est proportionnel à θcos ) au terme constant est de l'ordre de ( )2ka . Donc, l'onde partielle l =1 se manifeste dans la distribution angulaire à basse énergie avant de devenir significative dans la section efficace totale. Cela est dû aux interférences avec l'onde partielle plus forte l = 0. Par exemple, si °= 200δ et °= 21δ à une énergie de bombardement

donnée, l'onde partielle l = 1 contribue seulement à 3 pour-cent de la section efficace totale mais elle rend la diffusion en avant ( °= 0θ ) 3.5 fois plus grande que la diffusion en arrière ( °= 180θ ).

V.4. Diffusion par des potentiels complexes On a supposé jusqu'ici que l'énergie potentielle ( )rV était réelle. C'est une hypothèse naturelle puisque V est issu de la mécanique classique. Cependant, il y a des situations dans lesquelles il est utile d'utiliser un potentiel complexe comme une description fortement abrégée d'un système physique beaucoup plus compliqué. Par exemple, les neutrons peuvent être diffusés de manière élastique ou inélastique par des noyaux d'atomes. Dans le premier cas, le noyau est laissé dans son état original et la somme des énergies cinétiques du neutron et du noyau est la même avant et après la collision. Dans une collision inélastique, le noyau est laissé dans un état excité et la quantité Q, définie en relation avec la valeur de γ dans le cas inélastique, est négative. La diffusion inélastique et l'absorption de neutrons pour former un noyau différent sont des processus dans lesquels les neutrons sont enlevés du flux incident et ne réapparaissent pas comme une partie de l'amplitude de diffusion ( )θφ ,f . Tant que l'on considère seulement l'effet de ces autres processus sur la diffusion élastique, une approximation utile consiste à voir l'interaction entre le neutron et le noyau comme étant représenté par un potentiel complexe. Cela fut utilisé la première fois dans ce but par Feshbach, Porter et Weisskopf en 1954. Cela est habituellement appelé le modèle optique du potentiel en analogie avec l'utilisation de longue date d'un indice de réfraction complexe pour discuter des propriétés optiques de médiums partiellement absorbants. Cette section décrit les modifications de la théorie développée jusqu'ici qui sont nécessaires dans l'hypothèse dans potentiel V complexe.

Conservation de la probabilité On a montré que la densité de probabilité de position ( )tP ,r et la densité de courant de probabilité

( )t,rS obéissent à une relation différentielle de conservation. La dérivation de cette relation fait un usage essentiel de l'hypothèse que V est réel. Si nous supposons maintenant que V est complexe et que nous l'écrivons pour des raisons pratiques sous la forme (1) IR iVVV −=

où RV et IV sont réels, une répétition de la dérivation montre que la relation de conservation est remplacée par

(2) ( ) ( ) ( )tP

Vt

t

tP I ,2

,,

rrSr

h−=⋅∇+

∂∂

Puis que P est non négatif, le coté droit de cette équation agit comme une source si IV est négatif et

comme une perte si IV est positif. Pour les raisons physiques discutées ci-dessus, nous supposerons

toujours que 0≥IV . S'il y a une région où 0=⋅∇ S , l'équation (2) montre que P diminue

exponentiellement dans le temps, h/2 tVIeP−∝ et on s'attend à ce que la fonction d'onde ait une

dépendance en le temps ( ) h/tViE Ie −−∝ψ . L'intégration de (2) sur un volume fixé Ω borné par la surface A conduit à

(3) ( ) ∫∫∫ ΩΩ−−=

∂∂

rPdVdASrdtPt

IA

n

33 2,

hr

Si ψ est suffisament borné à grande distance pour que l'intégrale de surface s'annule quand Ω est l'espace entier, nous voyons que l'intégrale de normalisation décroît au cours du temps. C'est ce à quoi on s'attendait puisque les particules sont absorbées. Il est plus intéressant d'appliquer (3) à une situation de diffusion. Dans ce cas, nous demandons que ψ soit stationnaire, avec la dépendance en le temps h/iEte−∝ψ . La discussion de (2) montre alors

qu'il n'y a pas de région où 0≠IV et 0=⋅∇ S . Le coté gauche de (3) est maintenant zéro et

lorsque Ω devient grand, le premier terme sur le coté droit, ∫−A

ndAS devient le flux entrant total

de particules entrant dans Ω en venant de très grandes distances. Dans la discussion sur le comportement asymptotique dans la section précédente, il fut signalé que l'annulation de cette intégrale impliquait que les particules diffusées vers l'extérieur sont fournies par l'onde plane incidente. Dans la situation actuelle, nous voyons que cette intégrale est le flux de particules éliminées de l'onde incidence plus l'onde diffusée élastiquement par le potentiel complexe pourvu que ψ soit normalisé à une onde plane d'amplitude unité à l'infini. Elle peut donc être posée égale à

absvσ où v est la vitesse relative et absσ est la somme de l'absorption totale et de la section efficace

inélastique. Nous obtenons donc la relation

(4) ∫= rdVv

Iabs

322 ψσh

Bien que cette équation soit valide quand ψ est normalisé de manière appropriée, elle est utile

seulement si ψ est connu dans la région où 0≠IV .

Décalages de phase complexes Si le potentiel est à symétrie sphérique, la méthode des ondes partielles peut être employée que V soit complexe ou non. La discussion sur le comportement asymptotique de la section précédente a montré que les décalages de phase sont réels si le potentiel l'est. Le même argument montre que lδ

est généralement complexe si V est complexe et ainsi nous posons (5) lll iβαδ +=

où lα et lβ sont réel et nous définissions aussi

(6) lli

li

l eeSβαδ 222 −=≡

La dérivation de l'expression pour l'amplitude de diffusion est inchangée, ainsi l'équation devient

(7) ( ) ( ) ( )( ) ( )∑∞

=

− −+=0

1 cos1122l

ll PSlikf θθ

La section efficace différentielle élastique est ( ) 2θf et la section efficace totale élastique est

(8)

( )

( )( )( )∑

∑

∫

∞

=

∞

=

−−

−+=

+−+=

=

0

2

2

0

4

2

0

2

112

2cos2112

sin2

l

l

l

ll

l

el

Slk

eelk

df

π

απ

θθθπσ

ββ

π

Elle se réduit à l'expression que nous avons vue quand 0=lβ comme attendu.

La section efficace d'absorption peut aussi être exprimée en fonction des décalages de phase.

Comme signalé ci-dessus, elle est égale à ∫−−

AndASv 1 où il est maintenant pratique de choisir la

surface A comme une grande sphère de rayon r :

(9)

∫

∫ ∫

∞→

∞→

−=

−=

π

π π

θθπ

φθθσ

0

2

2

0 0

2

sin2lim1

sinlim1

dSrv

ddSrv

rr

rr

abs

Le flux radial est

(10)

∂∂−

∂∂=

∗∗ u

r

u

r

uu

iS r µ2

h

La dérivée de ( )θ,ru donné au début de la section précédente donne

(11) ( )

+∂

∂=

∂∂

∑∞

=2

0

1cos

1

rOP

rrr

u

l

ll θχ

tel que (9) devient

(12) ∑∞

=

∗∗

∂∂

−∂

∂+

=0 12

12

l

l

ll

labsrrlk

i χχχχπσ

évalué en ∞=r . La forme asymptotique de ( )rRl vue dans la section précédente montre que

(13)

( ) ( )[

( ) ( )]

( ) l

l

l

l

llll

llll

l

rl

ll

l

k

Aii

k

A

ilkrilkr

ilkrilkrk

A

rr

ββ

βαπβαπ

βαπβαπχχχχ

2sinh2sin

sincos

cossin

22

21

21

21

21

2

−=−=

++−−+−−

++−−+−→

∂∂

−∂

∂∞→

∗∗

La substitution dans (12) et l'expression ( ) ll elA

β22212

−+= conduit à

(14)

( )( )( )( )∑

∑∞

=

∞

=

−

−+=

−+=

0

2

2

0

4

2

112

112

l

l

l

labs

Slk

elk

π

πσ β

Nous nous attendons donc à ce que 0≥lβ .

La section efficace totale est définie comme la somme des sections efficaces élastiques et d'absorption. Avec (8) et (14), on a

(15)

( )( )( ) ( )[ ]∑

∑∞

=

∞

=

−

−+=

−+=

02

0

2

2

Re1122

2cos1122

l

l

l

ll

tot

Slk

elk

π

απσ β

Relations asymptotiques Trois relations utiles et intéressantes, le théorème de réciprocité, le théorème optique généralisé et le théorème optique, peuvent être dérivées à partir de considérations sur le comportement asymptotique de la fonction d'onde diffusée. Nous allons les obtenir dans l'ordre indiqué bien que ce ne soit pas la séquence historique. Le théorème optique fut d'abord dérivé de cette manière par

Feenberg en 1932. Cette approche fut ensuite généralisée, pour conduite aux deux autres théorèmes, par Glauber et Schomaker en 1953. Il est utile de récrire la forme asymptotique de la section précédente, avec A = 1, sous une forme qui n'insiste pas sur le rôle particulier joué par l'axe z : (16) ( ) ( ) ( ) ikr

rr

efriu kkrkrk ,exp 1−

∞→+⋅→

Ici l'onde plane est incidente le long de la direction k et l'amplitude ( )kk ,rf correspond à la

diffusion de k vers rk qui est un vecteur qui a la grandeur k et la direction de r. Pour une autre solution qui correspond à la direction initiale k ′− , (17) ( ) ( ) ( ) ikr

rr

efriu kkrkrk′−+⋅′−→ −

∞→′− ,exp 1

Puisque ( )rku et ( )rk ′−u satisfont tous les deux l'équation de Schrödinger avec la même valeur de E, il s'ensuit que (18) 022 =∇−∇ ′−′− kkkk uuuu que V soit réel ou complexe. L'équation (18) peut être intégrée sur un grand volume sphérique Ω de rayon r et cette intégrale peut être transformée en une intégrale sur la surface de la sphère :

(19) ( ) 0sin2

0 0

2322 =

∂∂

−∂

∂=∇−∇ ∫ ∫∫

′−′−Ω ′−′−

π πφθθ rrr dd

r

uu

r

uurrduuuu k

k

k

kkkkk

où rθ , rφ sont les angles polaires de r par rapport à un axe polaire choisi arbitrairement. La substitution des formes asymptotiques (16) et (17) donne à la limite des grands r

(20)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0sin,1

cos1

,1

cos1cos

cos1

2

2

0 0

cos1

2

coscos2

=′−

−−−

−′++′+

+

′−′−∫ ∫

rrr

ikr

r

ikr

r

ikr

ddefrr

ik

efrr

ikecoikr

φθθθ

θθθ

θ

π π θθθ

kk

kk

où θ est l'angle entre k et r et θ ′ est l'angle entre k ′ et r. Le premier terme dans l'intégrand s'annule sur l'intégration sur les directions de r puisque pour toute paire d'angles θ , θ ′ il y a une paire qui s'annule avec θπ ′− , θπ − . Les termes en 2/1 r dans l'intégrand ainsi que les autres termes en 2/1 r qui ont été ignorés dans le développement de (16) peuvent être négligés pour une raison qui deviendra claire dans la discussion de (22) ci-dessous. Il nous reste donc l'équation

(21) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0sin,cos1,cos12

0 0

cos1cos1) =′−−−′+∫ ∫+′−π π θθ φθθθθ rrr

ikr

r

ik

r ddefefikr kkkk

qui doit être évaluée à la limite ∞→r . Dans le premier terme, nous pouvons décaler l'axe polaire de son choix initial arbitraire vers la direction k ′ et donc remplacer les variables d'intégration rθ ,

rφ par θ ′ , φ ′ . Alors, avec θ ′≡ cosw , nous considérons l'intégrale

(22) ( ) ( )∫−

−′1

1

1, dwewFr wikrφ

à la limite des grands r, où ( ) ( ) ( )kk ,1, rfwikwF +≡′φ . L'intégration par partie donne

(23) ( ) ( ) ( )∫−

−

−

−

∂∂−′

1

1

11

1

1, dwew

F

k

iewF

k

i wikrwikrφ

On voit que des intégrations par partie supplémentaires conduiraient successivement à des puissances de plus en plus grandes de r au dénominateur et ainsi seuls les premiers termes doivent être gardés à la limite ∞→r . C'est la raison pour laquelle les termes mentionnés ci-dessus en 2/1 r pouvaient être négligés. Nous trouvons donc que la limite de (22) est

(24) ( ) ( )[ ]ikreFFk

i 2,1,1 φφ ′−−′

Avec la forme ci-dessus de ( )φ ′,wF , nous voyons que ( ) 0,1 =′− φF . Cependant le second terme de

(24) pourrait avoir été éliminé avant puisque le facteur ikre2 oscille autour de zéro lorsque ∞→r . C'est une application de la méthode des phases stationnaires qui est quelque fois utile pour obtenir des expressions asymptotiques des intégrales. Dans ce cas, le point w = 1 est appelé point de phase stationnaire, puisque la phase de l'intégrand de (22) est stationnaire lorsque w approche l'unité.

Théorème de réciprocité Le point de phase stationnaire du premier terme de (22) est 1cos =′θ ou 0=′θ . Cela correspond à r le long de k ′ ou la substitution de k ′ à rk dans l'amplitude de diffusion ( )kk ,rf . De plus, l'intégrand ne dépend pas de φ ′ et ainsi l'intégration sur φ ′ introduit seulement un facteur multiplicatif π2 . De même, le deuxième terme dans (22) a son point de phase stationnaire en

1cos −=α ou πθ = , tel que rk est remplacé par -k dans ( )kk ′−,rf . Nous obtenons donc le théorème de réciprocité (25) ( ) ( )kkkk ′−−=′ ,, ff qui dit que l'amplitude de diffusion de k à k ′ est égale à l'amplitude de diffusion pour la direction finale renversée k ′− à la direction initiale renversée -k. Il est important de noter que ce théorème est valide que V soit réel ou complexe. Il arrive souvent que ( ) ( )rr −=VV tel que V possède une symétrie par inversion de l'espace. Alors, tous les vecteurs dans le problème de diffusion peuvent être inversés sans altérer la situation physique et nous avons que (26) ( ) ( )kkkk ′=′−− ,, ff La combinaison de (25) et (26) conduit à un théorème de réciprocité spécialisé : (27) ( ) ( )kkkk ′=′ ,, ff

Théorème optique généralisé

La procédure suivie dans les deux sous sections précédentes peut maintenant être répétée avec ∗′ku

au lieu de k′−u . Alors l'équation (18) est remplacée par

(28) 04

2

22 =+∇−∇ ∗′

∗′

∗′ kkkkkk uuV

iuuuu I

h

µ

L'intégration sur un grand volume sphérique Ω de rayon r conduit à

(29) 04

sin 3

2

2

0 0

2 =+

∂∂

−∂

∂∫∫ ∫ Ω

∗′

∗′∗

′ rduuVi

ddr

uu

r

uur Irrr kk

k

k

k

kh

µφθθπ π

La substitution des formes asymptotiques comme (16) dans le premier terme donne alors à la limite de r grand

(30)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

04

sin,,2

,1

cos1

,1

cos1coscos

3

2

2

cos1

2

2

0 0

cos1

2

coscos2

=+

′+′

+++

−′++′+

∫

∫ ∫

∗′

∗−−∗

′−′−

rduuVi

ddffr

ikef

rr

ik

efrr

ikeikr

I

rrrrr

ikr

r

ikr

r

ikr

kk

kkkkkk

kk

h

µ

φθθθ

θθθ

θ

π π θθθ

où l'intégrale de volume est maintenant sur tout l'espace. Comme avant, le premier terme donne zéro et les termes qui sont produits de 2/1 r et d'exponentielles peuvent être négligés. Les deux termes exponentiels restant peuvent être évalués par la méthode des phases stationnaires. Le premier terme a son point de phase stationnaire au même endroit : 1cos =′θ ou kk ′=r . Cependant, le second terme a maintenant son point de phase

stationnaire en 1cos =θ ou kk =r plutôt qu'en kk −=r comme avant. Il y a aussi un changement de signe qui vient du signe altéré dans l'exponentielle. L'équation (30) devient donc

(31) ( ) ( ) ( ) ( ) 04

sin,,2,4,4 3

2

2

0 0=+′+′+′− ∫∫ ∫

∗′

∗∗ rduuVi

ddffikff Irrrrr kkkkkkkkkkh

µφθθπππ π

Comme telle, cette relation n'est pas utile car le dernier terme est difficile à évaluer et n'a en général pas d'interprétation physique simple. Nous considérons donc d'abord le cas où V est réel et donc

0=IV . L'équation (31) est alors appelée théorème optique généralisé :

(32) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]kkkkkkkk ,,2

sin,,2

0 0′−′=′ ∗∗

∫ ∫ ffk

iddff rrrrr

πφθθπ π

Si V possède une inversion par symétrie, la relation (27) peut être utilisée pour simplifier cette relation :

(33) ( ) ( ) ( )[ ]kkkkkk ,Im4

sin,,2

0 0′=′∫ ∫

∗ fk

ddff rrrrr

πφθθπ π

Il est important de noter que les équations (31) et (32) sont valides seulement si V est réel. L'équation (33) peut être utilisée en conjonction avec l'approximation de Born, que nous verrons plus tard, de la manière suivante. L'approximation de Born donne une expression approchée extrêmement simple pour l'amplitude de diffusion f qui est du premier ordre en V et ce f est réel quand V est réel. L'équation (33) nous permet donc de calculer la partie imaginaire de f qui est à l'ordre le plus bas en V et de montrer qu'elle est en réalité du second ordre.

Théorème optique Il y a une situation dans laquelle l'intégrale de volume dans (31) a une interprétation physique simple, c'est-à-dire quand kk =′ . Alors, en accord avec (4),

(34) absI vrduuV σh2

13 =∫∗

kk

puisque la normalisation de ku est en accord avec celle utilisée plus tôt pour ψ . Alors l'équation (31) devient

(35) ( ) ( )[ ]kkkk ,Im4

sin,2

0 0

2f

kddf absrrrr

πσφθθπ π

=+∫ ∫

Le premier terme sur le coté gauche est la section efficace totale élastique elσ tel que le coté

gauche est égal à totσ .

Nous obtenons donc le théorème optique :

(36) ( )[ ]kk,Im4

fk

abseltot

πσσσ =+=

C'est une généralisation de la section efficace totale vue dans la section précédente en ce qu'elle s'applique même quand V n'est ni à symétrie sphérique ni réel. En réalité, le théorème optique est même valide plus généralement que ce qu'indique la phrase précédente car il peut être dérivé dans référence à un potentiel. Tout ce qui est nécessaire est la forme asymptotique de la densité de courant de probabilité ( )tS ,r obtenue avec (16). Alors, l'intégrale de sa composante radiale sur une sphère infinie est proportionnelle au taux de disparition des particules de l'onde plane plus l'onde diffusée et donc est proportionnelle à absσ . L'équation (36) suit alors immédiatement de

l'application de la méthode des phases stationnaires. Le théorème optique est également valide quand la relativité restreinte est prise en compte. On voit que ( )kk,f entre dans le théorème optique à travers une interférence entre les ondes

planes et diffusées dans (16). Cette interférence est caractérisée par le facteur de phase ( )θcos1−ikre qui, comme fonction de θ , oscille rapidement autour de zéro pour de grands r excepté dans le voisinage de 0=θ . Donc, la densité de courant de probabilité asymptotique consiste en une partie de l'onde plane seule qui est partout dans la direction k, une partie de l'onde diffusée seule qui est toujours radialement sortante et qui s'intègre en elσ et une partie qui vient de l'interférence. Cette

dernière est appréciable seulement quand ( ) 1cos1 ≤− θkr et proche de 1. Pour de grands kr et de

petits θ , c'est équivalent à ( ) 2

1−≤ krθ . Dans cette région angulaire, l'onde diffusée interfère de manière destructive avec l'onde plane enlevant donc de l'onde plane juste assez du flux incident pour prendre en compte l'absorption et la diffusion inélastique et toute la diffusion élastique sauf pour les angles infinitésimaux. Dans la région asymptotique, ce domaine angulaire d'interférence peut être vu comme un résidu de l'ombre qui ne peut pas s'étendre au-delà d'une distance sr telle que la partie qui interfère ou la

partie imaginaire de l'amplitude diffusée en avant, ( )[ ] srf /,Im kk est de l'ordre de l'amplitude de

l'onde plane, qui est l'unité, et donc ( )[ ] tots kfr σ~,Im~ kk . A cette distance limite, le diamètre de

l'ombre est ( ) ( )21

2

1

~/~ tots krd σ . Maintenant, totσ est de l'ordre du carré du diamètre du diffuseur

à la limite classique ou des courtes longueurs d'ondes. Donc le diffuseur et l'ombre sont à peu près de la même taille à la distance limite où l'ombre existe, comme on s'y attendrait.

V.5. Diffusion par un champ coulombien On avait noté plus tôt que le champ coulombien est un diffuseur exceptionnel en ce qui concerne l'application de la méthode des ondes partielles. Si ( ) reZZrV /2′= pour une collision entre des particules de charge Ze et eZ ′ , il est facile de voir que la relation (3) de la section sur la diffusion par un potentiel sphérique devient (1) ( ) ( )rnkri

l er ln−±∝χ

Ici veZZleZZn hh // 222 ′=′= µ où v est la vitesse relative et µ la masse réduite. Donc, les solutions radiales n'approchent jamais les solutions sinusoïdales des particules libres puisqu'il y a toujours une contribution logarithmique à la phase à grande distance qui ne peut pas être négligée. Bien qu'il soit encore possible d'obtenir une solution de ce problème de diffusion en coordonnées sphériques (nous verrons cela plus loin), les décalages de phase lδ que nous avions introduit sont

altérés de manière significative. Cette section présente le travail analytique dans les grandes lignes et indique les principaux résultats d'un traitement plus approfondi.

Coordonnées paraboliques Aussi longtemps que ( )θσ pour un champ coulombien pur est tout ce qui souhaité, il est plus simple de travailler avec la séparation de l'équation de Schrödinger en coordonnées paraboliques qu'en coordonnées sphériques. La raison en est que la solution désirée dépend presque entièrement de la variable ξ définie ci-dessous et pas des deux autres variables η et φ . Les coordonnées paraboliques ξ , η et φ sont données en fonction des coordonnées sphériques par les relations

(2)

( )( )

φφθηθξ

=+=+=−=−=cos1

cos1

rzr

rzr

Les surfaces de ξ constant sont un ensemble de paraboloïdes confocaux de révolution autour de l'axe z ou axe polaire avec le foyer à l'origine qui sont ouvert dans la direction des z positifs ou

0=θ . Les surfaces de η constant sont des ensembles similaires de paraboloïdes confocaux qui s'ouvrent dans la direction des z négatifs ou πθ = . Les surfaces de φ constant sont les mêmes qu'en coordonnées sphériques : des plans autour de l'axe polaire. L'équation de Schrödinger pour un potentiel coulombien en coordonnées paraboliques est

(3) EuuZeuuu =+

−

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

+−

ηξφξηηη

ηξξ

ξηξµ

2

2

22 214

2

h

La séparation est obtenue en substituant (4) ( ) ( ) ( ) ( )φηξφηξ Φ= gfu ,, dans(3) et en divisant par u. La partie φ de l'équation se sépare immédiatement :

(5) ( ) 2

2

22

2 124114

φξηµ

ηξξηµ

ηη

ηξξ

ξηξξη

d

dEZe

d

dg

d

d

gd

df

d

d

f

ΦΦ

−=−+

+

+

+ hh

Puisque le coté gauche de (5) dépend seulement de ξ et η et le coté droit seulement de φ , les deux

cotés doivent être égaux à une constante que nous appelons 2m . Cela donne la solution en φ normalisée :

(6) ( ) ( ) φπφ im

m e21

2 −=Φ

Le reste de l'équation (5) peut être séparé en parties ξ et η :

(7) νηµ

ηηη

ηµξ

µξξ

ξξ

=

−−

−=+−−

2

2

2

2

2

2

24

1

24

1

hhh

Em

d

dg

d

d

g

ZeEm

d

df

d

d

f

où la constante de séparation ν est déterminée par les conditions aux limites. Donc les équations pour f et g sont

(8)

024

024

2

2

2

2

2

2

=

−+−

=

+−+−

gEm

d

dg

d

d

fZeEm

d

df

d

d

νηµ

ηηη

η

νµξµξξ

ξξ

h

hh

Puisque ces deux équations sont de la même forme et diffèrent seulement dans leurs termes constants, il est suffisant d'en résoudre une. Il est apparent que la solution n'impliquera pas φ à cause de la symétrie axiale du problème. Si

maintenant le terme ikze de l'onde plane incidente est sorti comme facteur, il est plausible que le reste de la solution n'implique pas η . Nous posons

(9) feu ikz

c =

où cu représente la fonction d'onde coulombienne complète (onde incidente plus diffusée).

Maintenant cu doit contenir une partie dont le comportement asymptotique dominant est de la

forme ikrer 1− mais aucune partie qui se comporte comme ikrer −−1 . Puisqu'une expression ( )zrfe ikz − peut être de cette forme tandis qu'une expression ( )zrfe ikz + ne le peut pas, nous

anticipons que la fonction f apparaissant dans (9) dépendra seulement de zr −=ξ . Nous substituons (2) dans (3) après avoir remplacé Z par ZZ ′− et en nous souvenant que 0>E . L'équation différentielle pour f est alors

(10) ( ) 012

2

=−−+ nkfd

dfik

d

fd

ξξ

ξξ

L'équation hypergéométrique confluente

(11) ( ) 02

2

=−−+ aFdz

dFzb

dz

Fdz

qui a la solution ( )zbaF ,, est équivalente à (10) si nous posons

(12) ( ) ( )ξξ ikinCFf ,1,−=

où C est une constante.

Fonction hypergéométrique confluente La solution de (11) qui est régulière en z = 0 peut être écrite comme un développement en série :

(13)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) L+

++++=

+Γ+ΓΓΓ+Γ=∑

∞

=

!21

1

!11

1,,

2

0

bb

zaa

b

az

ssba

zbsazbaF

s

s

Il est utile de poser ( ) ( ) zbaWzbaWzbaF ,,(,,,, 21 += où 1W et 2W sont séparément solutions de (11). Un développement asymptotique pour F peut alors être obtenu à partir des relations suivantes :

(14)

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )L+++++→

−−ΓΓ=

−+−−−Γ

Γ=

∞→

−

−

!2

11

!11,,

,,1,,

,1,,,

2

2

&1

zzzg

zabagzea

bzbaW

zbaagzab

bzbaW

z

baz

ββαααββα

La solution de (11) qui est régulière à l'origine peut être prise comme (15) ( ) ( ) ( )zbaiWzbaiWzbaG ,,,,,, 21 −= Nous prendrons la solution non régulière pour les problèmes dans lesquels le champ coulombien ne s'étend pas en r = 0. La forme asymptotique de la fonction d'onde coulombienne peut être obtenue à partir des équations (1), (12) et (14). Le résultat à des termes de l'ordre 1−r est

(16) ( )( )[ ]

( ) ( ) ( )

+

−+

+Γ→ −−−+

∞→

krnkri

c

zrknkzi

n

rc efr

zrik

ne

in

Ceu 2ln1

2ln

2

1

11

θπ

où

(17)

( ) ( )( )

( )in

e

k

n

k

e

ini

inf

iiin

in

c

+Γ=

=

−Γ+Γ=

++

−

−

1arg2

1sin2

2

1sin2

1

0

22

12sinln

2

2

2

12sinln

0

η

θ

θθ

ηπθ

θ

Rappelons que la fonction arg pour un nombre complexe est définie comme zarg=φ avec

φiezz = .

Section efficace de diffusion et renormalisation Le terme cf sur le coté droit de (16) représente l'onde diffusée sortante puisque c'est le seul terme

dans lequel le facteur ikrer 1− apparaît. Le premier terme dans (16) correspond de même à l'onde incidente "plane". Le facteur multiplicatif ( )zrikn −− /2 peut être ignoré dans la région asymptotique. Les ondes incidentes et diffusées sont déformées à des distances infinies par des facteurs de phase logarithmiques. La section efficace différentielle de diffusion est

(18)

( ) ( )

θµ

θθθσ

214

2

2

2

2

212

2

cosec2

sin2

′=

==

v

eZZ

k

nf cc

C'est exactement la formule obtenue par Rutherford à partir de la dynamique classique et qui a été vérifiée expérimentalement par les collisions de particules alpha (noyaux d'hélium) avec des noyaux lourds. On notera, cependant, que la partie dépendant de l'angle du facteur de phase dans l'amplitude diffusée ( )θcf donnée dans l'équation (17) peut se manifester de manière non classique

quand les particules qui se heurtent sont identiques (on verra cela plus tard). Si le flux incident est normalisé au flux unité, la constante C doit être choisie comme

(19) ( ) πneinvC 2

1

2

1

1−−

+Γ= et la fonction d'onde coulombienne est ainsi

(20) ( ) ( )

( ) ( )θ

ξ

θπ

π

212cos2

1

2

1

2

1

2

1

sin2,1,1

,1,1

ikrinFeeinv

ikinFeeinvu

ikrn

ikrn

c

−+Γ=

−+Γ=−−

−−

Alors la densité de particules en r = 0 est trouvée à partir du développement en série (13) comme

(21) ( ) ( )

( )12

10

2

2122

−=

+Γ== −−

n

n

c

ev

n

einvCu

π

π

π

Pour de petites vitesses de collision ( 1>>n ), l'équation (21) nous dit que

(22) ( )

( ) 0répulsif,cas2

0

0attractif,cas2

0

22

2

>≈

<≈

− nev

nu

nv

nu

n

c

c

ππ

π

La deuxième équation (22) a un certain intérêt pratique. L'exponentielle est le facteur dominant dans le taux de réactions entre des noyaux positivement chargés pour des énergies de bombardement faibles, quand le rayon nucléaire peut être supposé suffisament petit pour que les noyaux qui se heurtent passent à travers la barrière de potentiel par effet tunnel jusqu'à la distance

zéro afin d'initier une réaction. Dans ce cas, veZZE h/22 ′− π est appelé le facteur de Gamow et c'est le terme dominant dans le taux de plusieurs réactions nucléaires pour de faibles énergies de bombardement.

Solution en coordonnées sphériques Dans les problèmes de collisions nucléaires, tel que celui de la diffusion de protons de plusieurs millions d'électrons volts dans l'hydrogène, l'écart à la loi de Coulomb de l'interaction à courte distance entre les particules en collision peut affecter la section efficace de diffusion. De tels problèmes peuvent être traités par une modification de la méthode des ondes partielles développée précédemment dans laquelle un développement en harmoniques sphériques est fait pour le pur champ coulombien et des modifications introduites pour les premières valeurs de l. Afin d'appliquer une telle technique, nous souhaitons d'abord une solution pour la diffusion purement coulombienne en ondes partielles sphériques. Nous posons

(23) ( ) ( )∑∞

==

0

cosl

llc PrRu θ

où l'équation de Schrödinger radiale est

(24) ( )

0121

2

22

2=

+−−+

l

l Rr

ll

r

nkk

dr

dRr

dr

d

r

Si nous substituons ( ) ( )rferrR l

ikrl

l = , l'équation pour lf devient

(25) ( )[ ] ( )[ ] 02121222

2

=−+++++ lll fnklik

dr

dflikr

dr

fdr

C'est l'équivalent de l'équation hypergéométrique confluente (11) et elle a comme solution régulière en r = 0 (26) ( ) ( )ikrlinlFCrf ll 2,22,1 −+++=

La forme asymptotique de (26) peut être trouvée de (14) et donne pour la fonction d'onde radiale à grande distance

(27) ( ) ( )( ) ( )

( )ll

lin

l

rl krnlkr

krinlk

leCrR ηπ

ηπ

+−−++Γ

+Γ→

+

∞→2lnsin

12

2221

2

1

où ( )inll ++Γ= 1argη .

Les coefficients lC doivent être déterminés tel que le développement en ondes partielles (23) soit

identique avec la solution (20) en coordonnées paraboliques. A cause de l'orthogonalité des polynômes de Legendre, nous avons la relation

(28) ( ) ( ) ( )∫+=

πθθθθ

0sin,cos

2

12druP

lrR cll

où ( )θ,ruc est donné par la deuxième équation (20). L'évaluation complète de cette intégrale peut

être évitée en utilisant le fait que nous savons tout de la fonction ( )rRl excepté le facteur

multiplicatif lC . lC peut être trouvé en faisant correspondre la forme connue de ( )rRl de (12) près

de r = 0. C'est-à-dire

(29) ( ) ( )

( )!2

12

2

1

2

1

lv

inleikC

nl

l

++Γ=− π

Nous obtenons donc comme expression alternative à (20)

(30) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=

−−−+++++Γ=

0

2

1

2

1

cos2,22,12!2

1

l

l

ikrln

c PikrlinlFeikrl

inlevu θ

π

Il est aussi possible de développer ( )θcf donné par (17) en une série de polynômes de Legendre.

Le résultat est

(31) ( ) ( ) ( )∑∞

=+=

0

2 cos122

1

l

l

i

c Pelik

f l θθ η

Cela semble surprenant au premier abord puisque ( )θcf ne semble pas s'annuler à la limite 0→n ,

ce qui correspond à aucune interaction. Nous obtenons à la place

(32) ( ) ( ) ( )∑∞

=→+=

00

cos122

1lim

l

lcn

Plik

f θθ

La série sur la droite peut être sommée pour donner

(33) ( ) ( ) ( )θδθ cos14cos120

−=+∑∞

=llPl

L'équation (33) peut être vérifiée en multipliant des deux cotés par ( )θcoslP ′ et en intégrant

θθdsin de 0 à π et en se souvenant que l'intégrale sur la droite est effectuée sans passer par le point 0=θ . Nous trouvons donc que ( )θcf s'annule effectivement à la limite 0→n pour 0≠θ

mais qu'elle a une singularité de Dirac en 0=θ telle que

(34) ( )k

idf c

n−=∫→

0

00sinlim

θθθθ

pour toute valeur finie 0θ . L'équation (34) est facilement vérifiée par intégration directe de (17)

pourvu que la valeur de l'intégrale à la limite inférieure soit interprétée comme la moyenne de sa valeur en ε lorsque 0→ε . Ce comportement particulier vient du caractère longue portée du champ coulombien. Peut importe la faiblesse de l'interaction elle force toujours les particules qui passent à grande distance à être déviée d'un très petit angle.

Champ coulombien modifié Si le potentiel réel dévie de la forme coulombienne pour seulement de petites valeurs de r, nous nous attendons, en analogie avec le traitement des ondes partielles, que seules les premiers termes de (30) soient altérés. Puisque chaque fonction d'onde radiale partielle doit être une solution de (24) en dehors de l'anomalie de potentiel, le seul changement que nous pouvons faire dans la fonction

lf et être encore une solution de (25) est d'ajouter une certaine fonction irrégulière

( )ikrlinlG 2,22,1 −+++ défini par (15). La manière avec laquelle G est ajoutée est déterminée par

l'exigence que la fonction d'onde complète doit représenter asymptotiquement une onde coulombienne incidente plus diffusée plus une onde diffusée supplémentaire sortante. Nous devons donc substituer à chaque terme F dans (30) une combinaison linéaire de F et G dans laquelle la quantité du terme entrant 2W est inchangée. Une telle combinaison est

(35) ( ) 22

1sincos WeWGFe ll i

ll

i +=+ δδ δδ

La fonction d'onde modifiée, qui est une solution de l'équation de Schrödinger sortante de l'anomalie de potentiel, peut alors être écrite

(36) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=

−−−+++−++Γ+=

01

22

1

2

1

cos2,22,112!2

1

l

l

iikrln

cm PikrlinlWeeikrl

inlevuu l θδπ

La forme asymptotique de mu est

(37) ( ) ( )( ) ( ) ( )∑∞

=

−+−

∞→++−−+→

02112

1

cos2lnsin12l

lll

il

rm Pkrnlkrkreilvu ll θδηπδη

Comme montré en relation avec la forme asymptotique de lχ dans l'analyse des potentiels

sphériques, si V est réel, chaque terme sur le coté droit de (37) doit être une fonction réelle de r excepté pour des facteurs multiplicatifs complexes, tel que lδ soit être réel.

Les décalages de phase supplémentaires lδ peuvent être trouvés en faisant correspondre chaque

onde radiale partielle dans (36) avec la solution intérieure au bord de l'anomalie de potentiel, exactement de la même manière que les décalages de phase furent trouvés dans l'analyse des potentiels sphériques. Bien que les décalages de phase lδ représentaient l'écart de la fonction

d'onde à celle d'une particule libre, elles représentent ici l'écart de la fonction d'onde à celle d'une particule diffusée par un champ coulombien pur. Le calcul de lδ dans (36) nécessite la

connaissance de G pour de petits r. Les formules ont été données par Yost, Wheeler et Breit en 1936. On peut montrer à partir de (36) que la forme asymptotique de mu peut être écrite sous la

forme (16) où ( )θcf est remplacée par

(38) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=

+− ++=0

21 cossin12l

llll

i

cm Pelkff θδθθ δη

La section efficace différentielle de diffusion est juste ( ) 2θmf et contient en général des termes

d'interférence entre l'amplitude de diffusion coulombienne ( )θcf et les termes supplémentaires qui

sont déterminés par les lδ .

Il est important de noter que ces lδ ne sont pas égaux à ceux qui seraient obtenus de l'anomalie de

potentiel en l'absence du champ coulombien.

Limite classique pour un champ coulombien pur Comme cela a déjà été discuté, nous nous attendons à ce que les résultats des théories quantiques et classiques coïncident quand il est possible de construire des paquets d'ondes qui suivent la trajectoire classique sans se disperser de manière appréciable et qui sont assez petits pour que les forces soient sensiblement constantes sur leurs dimensions. La plus petite dispersion d'un paquet

d'ondes durant un intervalle de temps t fut trouvée être de l'ordre de ( )21

/ µth ou ( ) ( )21

2

1

/ dvd Dh =µ où vtd = est la distance parcourue par le paquet d'ondes durant le temps t et vµπλ /2/ hD =≡ est la longueur d'onde réduite du mouvement relatif. Donc, la théorie classique peut être utilisée quand

( ) dd <<2

1

D ou ( ) 1/ 2

1

>>Dd où d est la distance sur laquelle la force varie d'une fraction appréciable. Pour un champ coulombien répulsif, d est de l'ordre de la distance classique

d'approche 2212 / veZZ µ′ . Cela fournit aussi une estimation utile pour un champ coulombien

attractif puisque dans toutes les collisions, excepté le nombre relativement faible où les particules sont diffusées sur de grands angles, elles ne vont jamais plus proche que cette distance. La condition pour la validité de la théorie classique est alors

(39) 12

2

1

>>′

=v

eZZn

h

De grands n impliquent que la partie dépendant de l'angle de la phase de ( )θcf donnée par (17)

varie rapidement avec θ afin que ces oscillations rapides dans l'amplitude de diffusion aient peu d'effet sur la diffusion quand les particules sont identiques. Il est intéressant de noter que pour le champ coulombien, la limite classique est approchée pour de petits v tandis que pour des potentiels qui ont un domaine fini a tels que ceux discutés

précédemment, la limite classique est approchée quand ( ) 1/ 2

1

>>Da , c'est-à-dire pour de grands v.

Cela est dû à la "taille" 22 / veZZ µ′ du champ coulombien qui s'accroît plus rapidement que

vµ/hD = lorsque v décroît.

Exercices 1. Montrez que les coefficients de diffusion par un puits de potentiel carré à une dimension sont

donnés par l'équation (7) de la section V.1 si le signe de 0V y est changé ainsi que dans

l'expression de α . Discutez de la dépendance du coefficient de transmission avec E dans ce cas.

2. Montrez que les équations (10) et (13) de la section V.2 sont valides pour une collision binaire générale si γ est donné par (11). Utilisez la conservation de l'énergie et de la masse.

3. Montrez que quand une particule de masse 1m entre en collision élastique avec une particule de

masse 2m qui est initialement au repos, toutes les particules éjectées (de masse 2m ) sont diffusées dans l'hémisphère avant dans le système de coordonnées du laboratoire. Si la distribution angulaire est à symétrie sphérique dans le système du centre de masse, quelle est-elle pour 2m dans le système du laboratoire ?

4. Exprimez la fonction d'onde diffusée (1) de la section V.3 hors du potentiel de diffusion (mais pas nécessairement dans la région asymptotique) comme la somme d'une onde plane et d'une série infinie de fonctions de Hankel sphériques du premier type (voir les équations (13) de la section IV.3). A partir de cette expression et de la discussion des équations (14) de la section IV.3, montrez que l'onde diffusée est purement sortante même dans la région asymptotique.

5. Deux objets A et B, ont des formes irrégulières et sont identiques en taille et forme. L'objet A est remplit avec un potentiel positif infini (impénétrable) et diffuse des particules de masse m. L'objet B est fait de métal et a une certaine capacité électrostatique C quand il est isolé des autres objets. Dérivez des expressions pour les sections différentielles et totales pour la diffusion élastique de particules de masse m par l'objet A à la limite k 0 et en fonction de la capacité C de l'objet B.

6. Trouvez une expression générale pour le décalage de phase produit par un potentiel de diffusion ( ) 2/ rArV = , où A > 0. La section efficace totale est-elle finie ? Si non, est-ce que la

divergence se produit pour de petits angles de diffusion ou de grands angles et pourquoi ? Quelles modifications du calcul sont nécessaires si A < 0 ? Y a-t-il des difficultés rencontrées dans ce dernier cas ?

7. Que doit valoir 20aV pour un puits de potentiel carré à trois dimensions afin que la section de

diffusion totale soit zéro à une énergie de bombardement égale à zéro (effet Ramsauer-Townsend) ? Trouvez le terme dominant dans les expressions des sections efficaces différentielles et totales pour de faibles énergies de bombardement. Montrez que les ondes partielles avec l > 2 peuvent être négligées.

8. Enoncez clairement les hypothèses qui mènent à la dérivation de l'équation (40) de la section V.3 et vérifiez que c'est une approximation appropriée pour la section efficace totale pour de faibles énergies de bombardement quand l'onde l = 0 est en résonance.

9. Utilisez l'équation (40) de la section V.3 et le résultat du problème 5 à la fin de la section IV.3 pour obtenir une expression approchée de la section efficace totale de diffusion par un potentiel particulier en fonction de l'énergie de bombardement E et de l'énergie de liaison ε d'une particule dans ce potentiel, quand E et ε sont petit par rapport à 0V .

10. Calculez et tracez en, coordonnées polaire la section efficace différentielle d'une sphère parfaitement rigide lorsque 2/1=ka en utilisant les trois premières ondes partielles (l = 0, 1, 2). Quelle est la section efficace totale dans ce cas et quelle est la précision approchée de ce résultat quand les trois termes sont utilisés ?

11. Calculez les sections efficaces élastiques de diffusion et d'absorption pour un potentiel de la forme ( ) ( )ξiVrV +−= 10 si r < a et ( ) 0=rV si r > a. 0V et ξ sont positifs. Supposez que k et

ξ sont très petits et qu'il n'y a ni résonance ni effet de Ramsauer-Townsend. Gardez seulement le terme dominant en k et ξ dans chaque section efficace.

12. Montrez que l'inégalité suivante est valide pour tout potentiel :

( )2

40

≥π

σσ tot

el

k

La quantité à gauche est la section efficace différentielle de diffusion élastique dans la direction en avant.

13. Des protons de 200000 eV sont diffusés par de l'aluminium. L'intensité diffusée directement vers l'arrière ( °= 180θ ) est trouvée égale à 96% de celle calculée avec la formule de Rutherford. Supposez que cela est dû à une modification du potentiel coulombien à suffisament courte portée pour que seule le décalage de phase l = 0 soit affecté. Cette modification est-elle

attractive ou répulsive ? Trouvez le signe et la grandeur du changement du décalage de phase pour l = 0 produit par la modification.

VI. Formulation matricielle Dans les chapitres précédents, l'équation d'onde de Schrödinger a été développée et ses solutions obtenues dans un certain nombre de cas physiquement intéressants. Nous allons maintenant revenir à la formulation de la mécanique quantique que nous avons partiellement utilisée au début avec la forme matricielle, par exemple de l'hamiltonien, mais que nous allons développer de manière plus formelle et plus systématique. Dans cette formulation, les variables telles que les coordonnées, les composantes de l'impulsion et l'énergie d'une particule apparaissent explicitement dans les équations du mouvement du système sans devoir les multiplier ou différentier une fonction d'onde. Les équations classiques ont exactement cette structure et ainsi on peut s'attendre à ce qu'il y ait une plus grande ressemblance entre le formalisme classique et quantique ici que dans la théorie de Schrödinger. C'est réellement le cas. La principale différence formelle est que les variables dynamiques quantiques n'obéissent pas à la loi commutative de la multiplication. Il est pratique de représenter de telles variables dynamiques non commutatives, qui sont souvent simplement appelées opérateurs, comme des matrices. La théorie matricielle fournit un schéma de représentation particulièrement flexible puisqu'il y a un nombre arbitrairement grand de manières de choisir les lignes et les colonnes d'une matrice, toutes étant également valides. C'est suite à cette ressemblance formelle entre la mécanique quantique matricielle et la dynamique classique que la mécanique quantique matricielle fut historiquement la première formulation de la théorie quantique à être découverte, par Heisenberg en 1925. La relation entre la mécanique quantique matricielle et l'équation de Schrödinger fut établie par Schrödinger et Eckart en 1926. Dans ce chapitre, nous allons d'abord rappeler brièvement les plus importantes propriétés des matrices puis montrer leur relation avec la théorie quantique et leur utilité dans des problèmes particuliers.

VI.1. Algèbre matricielle Nous allons restreindre notre discussion d'abord aux matrices qui ont un nombre fini de lignes et de colonnes puis nous indiquerons comment les résultats obtenus peuvent être étendus aux matrices qui ont un nombre infini de lignes et de colonnes.

Addition et multiplication matricielle Une matrice est un tableau carré ou rectangulaire de nombres qui peut être ajoutée ou multipliée à une autre matrice selon certaines règles. Nous indiquerons une matrice par une lettre majuscule, telle que A, et les nombres ou éléments qui la composent par la même lettre avec des indices, tel que klA . Ici, k désigne la ligne et l la colonne où l'élément de matrice klA apparaît. Deux matrices

peuvent être additionnées quand elles ont le même rang, c'est-à-dire le même nombre lignes et le même nombre de colonnes. L'addition est commutative : (1) ABBA +=+ Si la matrice somme est appelée C, alors (2) klklkl BAC +=

Une matrice peut multiplier à gauche une matrice B si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Alors, la matrice produit C a le nombre de lignes de A et le nombre de colonnes de B. (3) ∑==

m

mlkmkl BACABC

où la sommation se fait sur l'indice m qui indique les colonnes de A et les lignes de B. Il suit directement de (2) et (3) que la loi de distributivité de la multiplication est valide (4) ( ) ACABCBA +=+ De même, la loi d'associativité de la multiplication (et de l'addition) est valide : (5) ( ) ( )CABBCA =

où le coté gauche signifie que A multiplié à gauche le produit de B et de C tandis que le coté droit signifie que le produit de A et de B multiplie à gauche C. Le produit (5) s'écrit simplement comme ABC et, à l'aide de (3), a la forme explicite (6) ∑==

nm

nlmnkmkl CBADABCD,

Il est clair, en voyant (3) que AB n'est, en général, pas égal à BA . Donc la loi de commutativité de la multiplication n'est généralement pas valide.

Matrices nulles, unités et constantes Pour une matrice carrée arbitraire A, la matrice nulle O est définie par les équations (7) OAOOOA == d'où il suit que tous les éléments de O sont zéro. Si A n'est pas carré, les éléments de O sont encore zéro mais les O qui apparaissent aux différents endroits dans (7) n'ont pas le même nombre de lignes et de colonnes. La matrice unité 1 est définie par (8) BBAA == 11 pour des matrices arbitraires A et B. A partir de (8), il s'ensuit que 1 est une matrice carrée dont le rang (le nombre de lignes ou de colonnes) est égal au nombre de lignes de A ou au nombre de colonnes de B. De plus, 1 doit avoir des éléments unité le long de sa diagonale principale (k = l) et zéro autre part tel que les éléments de 1 sont égaux au symbole de Kronecker klδ .

Le produit d'un nombre c et d'une matrice A est la matrice cA qui est obtenue en multipliant chaque élément de A par c. Donc, si nous définissons une matrice constante C comme un multiple de la matrice unité tel que chaque élément non nul est c au lieu de l'unité, alors (9) klkl cCCAcA δ==

Trace, déterminant et inverse d'une matrice La trace d'une matrice, parfois appelée somme diagonale, est la somme des éléments diagonaux de la matrice :

(10) ( ) ∑=k

kkAAtr

Il est facile de montrer, avec l'aide de (3), que la trace possède la propriété cyclique (11) ( ) ( )EFABCEFABC LL trtr = La déterminant d'une matrice carrée, noté ( )Adet , est trouvé par la méthode habituelle de calcul de déterminant d'un tableau carré de nombre. Nous ne le détaillerons pas ici. Si A et B sont carrés et de même rang, alors (12) ( ) ( ) ( )BAAB detdetdet ⋅= Une matrice peut ou non posséder une inverse 1−A qui est définie par les relations (13) 11 == −− AAAA 11 A est dite non singulière si elle possède une inverse et singulière sinon. Si A est non singulière et de rang fini, on peut montrer qu'elle est carrée et qu'une des deux équations (13) implique l'autre. L'élément kl de 1−A est juste le cofacteur de klA divisé par ( )Adet . Donc, A est singulière si son

déterminant s'annule. On vérifie facilement que pour des matrices non singulières A, B, C

(14) ( ) 1111 −−−− = ABCABC

Matrices hermitiques et unitaires

L'adjoint hermitique +A d'une matrice A est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes (transposée) et en prenant le complexe conjugué de chaque élément. Donc, si (15) += AB , alors ∗= lkkl AB

On vérifie facilement que l'adjoint hermitique du produit d'une série de matrices est le produit de leurs adjoints dans l'ordre inverse :

(16) ( ) ++++ = ABCABC

Une matrice est hermitique ou auto adjointe si elle est égale à son adjoint hermitique. Donc, H est hermitique si (17) += HH Evidemment, seules les matrices carrées peuvent être hermitiques. Une matrice est unitaire si son adjoint hermitique est égal à son inverse. Donc, U est une matrice unitaire si (18) 1−+ =UU ou si 1=+UU et 1=+UU Les matrices unitaires de rang fini doivent être carrées et l'une des deux dernières relations dans (18) entraîne l'autre.

Transformation et diagonalisation des matrices Nous définissons la transformation d'une matrice carrée A en une matrice carrée A′ par une matrice non singulière S par l'équation suivante : (19) ASAS ′=−1 Il est alors évident que 1−S retransforme A′ en A. La forme d'une équation matricielle est inaffectée par une transformation. Donc, l'équation (20) FCDEAB =+ peut être transformée en (21) 111 −−− =+ SFSSCDESSABS ce qui est équivalent à (22) 111111 −−−−−− =+ SFSSESSDSSCSSBSSAS ou (23) FEDCBA ′=′′′+′′ où l'apostrophe désigne les matrices transformées. Cette invariance des équations matricielles par rapport aux transformations rend possible de travailler avec toute transformation pratique d'un

ensemble de matrices sans affecter la validité de tout résultat obtenu. On notera aussi que ( )Atr et

( )Adet sont inchangés par une transformation. Une matrice carrée est diagonale si elle a des éléments non nuls seulement le long de sa diagonale principale (k = l). Les éléments diagonaux sont alors appelés les valeurs propres de la matrice. Il est facile de voir que la puissance nième d'une matrice diagonale est aussi diagonale et a comme valeurs propres les puissances nième des valeurs propres de la matrice originale. La matrice A dans (19) est dite diagonalisée par la matrice S si la matrice A′ qui résulte de la transformation est diagonale, tel que klkkl AA δ′=′ . Pour trouver A′ explicitement, multiplions (19) à droite par S, où nous supposons qu'un tel S existe. (24) SASA ′= L'ensemble des équations algébriques qui sont obtenues en écrivant les éléments de (24) pour une ligne particulière k et toute colonne l est (25) klk

m

mlkm SAAS ′=∑ ou ( ) 0=′−∑m

mlkmlkm AAS δ

où kA′ est une valeur propre particulière de A′ et l'indice m est supposé aller de un jusqu'au rang N de la matrice A. (25) peut être vu comme un ensemble de N équations algébriques homogènes pour les éléments de matrice kmS où k est fixé. La condition nécessaire et suffisante pour que ces équations aient une

solution est que le déterminant de leurs coefficients s'annule ou que le déterminant de la matrice carrée ( )mlkml AA δ′− soit zéro. Cela fournit une équation algébrique simple appelée équation

séculaire, qui est d'ordre N et a N racines kA′ . Donc, les valeurs propres de la matrice diagonale A′ résultant de A par transformation sont les mêmes quelle que soit la manière dont A est diagonalisée, excepté peut-être pour l'ordre dans lequel elles sont arrangées. Pour cette raison elles sont aussi appelées les valeurs propres de la matrice originale A non diagonale. On parle aussi, pour l'ensemble des valeurs propres, du spectre. A′ et A sont dits dégénérées quand deux ou plusieurs valeurs propres sont égales.

Il n'est pas difficile de voir qu'en général les équations qui impliquent à la fois A et +A ne sont pas invariantes par rapport à une transformation sauf si la matrice S de transformation est unitaire.

Fonctions de matrices Une fonction d'une matrice peut souvent être définie avec un développement en série. Donc, si

( )zf est un polynôme en le nombre z, alors ( )Af est le même polynôme en la matrice A. Avec des séries infinies, on doit faire attention à la convergence. Il est évident que, si A peut être diagonalisé et est mis sous sa forme diagonale 1−=′ SASA , alors S transforme aussi ( )Af en la forme

diagonale ( )Af ′ et la kième valeur propre de ( )Af ′ est simplement ( )kAf ′ . Donc, si le

développement en série ( )zf converge quand z est égal à chaque valeur propre de A, le

développement en série ( ) ( )AfSAfS =′−1 est bien défini. Cette dernière forme peut fournir une

définition utile de ( )Af même quand ( )zf ne peut pas être représenté par un développement en série. Les fonctions exponentielles et trigonométriques des matrices peuvent être représentées par des développements en séries qui convergent pour toute valeur finie de leurs arguments et donc son

bien définie. Il est facile de voir, par exemple, que ( ) +

=+ AA ee et ainsi iHe est unitaire si H est hermitique. Un autre résultat utile est la relation (26) ( ) ( )AA ee trdet =

Matrices de rang infini Les règles (2) et (3) pour l'addition et la multiplication des matrices peuvent être étendues d'une manière évidente aux matrices qui ont un nombre infini de lignes et de colonnes pourvu que la somme infinie dans (3) converge. Nous aurons quelque fois à faire à des matrices qui ont un nombre infini non dénombrable de lignes ou de colonnes ou les deux. Dans ce cas, un ou deux des indices de la matrice deviennent une variable continue et la sommation habituelle sur l'indice est remplacée par une intégration sur cette variable. Nous ne considérons pas ces possibilités en détail ici mais nous supposons simplement que tout résultat raisonnable peut être prolongé des matrices

de rang fini à infini sans difficulté. L'affirmation qu'une matrice de rang infini est carrée signifie que ses lignes et colonnes sont indicées de la même manière. Une matrice unitaire de rang infini n'a pas besoin d'être carrée. Ses lignes et colonnes peuvent être indicées différemment. Par exemple, le nombre de lignes peut être infini dénombrable et le nombre de colonnes infini non dénombrable. En mécanique quantique, nous sommes concernés principalement par les matrices hermitiques et unitaires, surtout de rang infini. Un théorème fondamental que nous supposerons sans preuve est que toute matrice hermitique peut être diagonalisée par une transformation unitaire. Un corollaire de ce théorème est que les valeurs propres résultantes de la matrice hermitique sont uniques, excepté peut-être pour l'ordre dans lequel elles sont arrangées. En partant de ce théorème, il n'est pas difficile de montrer que la condition nécessaire et suffisante pour que deux matrices hermitiques puissent être diagonalisées par la même transformation unitaire est qu'elles commutent (les matrices A et B commutent si BAAB = ). Il suit aussi de ce théorème que les valeurs propres d'une matrice hermitique sont réelles. Si le S et le A dans (19) sont unitaires et hermitiques, respectivement, cette équation peut être récrite (27) ASAS ′=+ L'adjoint hermitique de (27) est, en utilisant (16), (28) ++ ′= ASAS Puisque AA ′=′+ , cela montre que la propriété d'hermiticité est maintenue durant les transformations par une matrice unitaire. Si A′ est diagonale et hermitique, il suit de (15) que ses valeurs propres sont réelles. Il est facile de voir que l'inverse est aussi vrai : une matrice qui peut être diagonalisée par une transformation unitaire et qui a des valeurs propres réelles est hermitique. Il est important de noter avec les matrices de rang infini que les deux équations (13) doivent être valides pour que 1−A soit l'inverse de A. De même, les deux équations (18) doivent être valides pour que U soit unitaire.

VI.2. Théorie des transformations L'apparition des matrices en mécanique quantique peut être reliée d'une manière simple avec la solution de l'équation de Schrödinger. Dans cette section, nous adoptons la notation hamiltonienne et nous la justifierons en détail dans la section suivante. Nous récrivons la fonction de Schrödinger comme (1) ( ) ( )rr kkk uEHu =

où l'indice k indique les différents membres de l'ensemble complet orthonormal de fonctions propres de l'énergie ( )rku et leurs valeurs propres correspondantes kE . k spécifie l'énergie et

distingue aussi les fonctions propres dégénérées. Elle inclut donc à la fois E et s, comme nous l'avions vu. Par exemple, k représente xk , yk et zk , dans le cas des ondes planes et xn , yn et zn

dans le cas des fonctions propres de l'oscillateur harmonique à trois dimensions. L'opérateur hamiltonien ou énergie H est donné par

(2) ( ) ( )rrp

Vm

Vm

H +∇−=+= 222

22

h

où nous supposerons dans ce chapitre que V est réel afin que les kE soient aussi réels. K peut être

un ensemble discret ou continu de variables, discret sur une partie de son domaine et continu sur le

reste. Nous utiliserons le symbole de sommation généralisée S ou kS pour indiquer à la fois une

sommation ∑k

sur les valeurs discrètes de l'indice k et une intégration ∫ dk sur la partie continue

de son domaine. Nous utiliserons aussi l'accent circonflexe quand il semblera désirable de distinguer entre un opérateur comme (2) et sa matrice équivalente.

Matrice unitaire W Supposons que nous ayons un deuxième ensemble orthonormal complet de fonctions ( )rµv qui

sont fonctions propres d'un certain opérateur Ω avec les valeurs propres réelles µω :

(3) ( ) ( )rr µµµ ω vv =Ω

Ω peut, par exemple, être l'opérateur impulsion ou l'hamiltonien pour un certain potentiel différent de celui dans (2). Les µv peuvent être développés en fonction des ku avec les coefficients de

développement µkw :

(4) ( ) ( )rr kkk uwv S µµ =

Les deux cotés de cette équation peuvent être multipliés par ( )r∗

ku et intégrés pour obtenir

(5) ( ) ( )∫∗= rdvuw kk

3rr µµ

La complétude de l'ensemble ku a été utilisée pour obtenir (4) et son orthonormalité pour obtenir

(5). De même, ku peut être développé en fonction des µv :

(6) ( ) ( )rr µµµ vwu kk S ∗=

Nous pouvons montrer que la matrice W, dont les µkw sont les éléments, est unitaire en calculant

un élément de matrice typique de +WW :

(7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫

∫∫∗∗

∗∗∗+

=′′′−=

′′′==

rduurrdduu

rduvrdvuwwWW

lklk

lklkkl SS3333

33

rrrrrr

rrrr

δ

µµµµµµ

Nous avons utilisé ici la propriété de fermeture de tout ensemble orthonormal complet de fonctions qui a la forme ici

(8) ( ) ( ) ( )rrrr ′−=′∗ 3δµµµ vvS

La dernière intégrale sur le coté droit de (7) est ou un symbole de Kronecker ou une fonction de Dirac selon que k est un ensemble discret ou continu d'indices. Dans tous les cas, cette intégrale est équivalente à un élément de la matrice unité et ainsi 1=+WW . De même, on peut établir que

(9) ( ) ( )µννµµν 1== ∗+kkk wwWW S

Transformation de l'hamiltonien avec W Nous avons montré que W est une matrice unitaire qui relie deux ensembles de fonctions ku et µv .

Elle peut aussi être utilisée pour transformer la matrice hamiltonienne H ′ que nous définissons par ses éléments de matrice

(10) ( ) ( ) klklkkl ErduHuH δ==′ ∫∗ 3ˆ rr ou ( )lkEk −δ

où H est l'opérateur différentiel (2). Nous avons utilisé ici (1) pour montrer que H ′ est sous forme diagonale avec les éléments diagonaux qui sont les valeurs propres de l'énergie kE . Une autre

matrice hamiltonienne H ′′ peut être construire en utilisant les fonctions µv :

(11) ( ) ( )∫∗=′′ rdvHvH 3ˆ rr νµµν

Elle n'a pas la forme diagonale. Nous suivons maintenant la définition des transformations et nous transformons H ′′ avec W :

(12)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) rrddrduHu

rduvrdvHvrdvu

wHwWHW

lk

lk

lkkl

SS

SS

′′′′′′′−−′′=

′′′′′′′′′=

′′=′′

∫∫∫

∫∫∫∗

∗∗∗

∗+

33333

333

ˆ

ˆ

rrrrrr

rrrrrr

δδ

ννµµνµ

νµνµνµ

où H opère seulement sur la variable r à sa droite. L'intégration sur r ′′ peut être effectuée en sortant H de l'intégrale sur r ′′ : (13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rrrrrrr lll uHrduHrduH ˆˆˆ 3333 =′′′′′′−=′′′′′′− ∫∫ δδ

Nous obtenons donc

(14) ( ) ( ) ( ) klloplkl HrduHuWHW ′==′′ ∫∗+ 3rr

Cela peut être écrit dans l'utilisation explicite des indices sous forme d'équation matricielle (15) HWHW ′=′′ +

Donc, nous voyons que W est la matrice unitaire qui transforme la matrice non diagonale H ′′ en la forme diagonale H ′ . +W transforme aussi H ′ en H ′′ . Une autre manière de décrire ce qui a été fait jusqu'ici est de dire que le processus de résolution de l'équation de Schrödinger (1) est complètement équivalent au processus de diagonalisation d'une

matrice particulière. La matrice H ′′ peut être calculée à partir de l'opérateur H (2) en utilisant un ensemble orthonormal complet quelconque de fonctions ( )rµv qui s'avère pratique. Si sa

diagonalisation peut être effectuée, à la fois la forme diagonale H ′ , qui consiste en les valeurs propres kE , et la matrice de transformation W sont obtenus dans le processus. Une fois W connu,

les fonctions propres ( )rku peuvent être obtenues en utilisant (6).

Il est intéressant de noter que W n'est pas nécessairement une matrice carrée. C'est-à-dire que ces lignes et colonnes peuvent être indicées différemment. Par exemple, les fonctions ku peuvent être

les fonctions propres d'un oscillateur harmonique à trois dimensions qui forment un ensemble discret complet et les fonctions µv peuvent être les fonctions propres de l'impulsion, qui forment un

ensemble entièrement continu. Cependant, les matrices hamiltoniennes H ′ et H ′′ sont toutes les deux carrées. Il est évident que H ′ et H ′′ sont hermitiques puisque leurs valeurs propres sont réelles. La discussion que nous avons eue sur les valeurs propres de tout opérateur disaient qu'elles représentent une quantité physiquement mesurable. Elles sont donc réelles puisque ce sont les seuls résultats de mesures précises de ces quantités. Donc une variable dynamique qui est physiquement mesurable est représentée par une matrice hermitique quand elle est sous forme diagonale. Il suit alors de la discussion de la section précédente que toute transformation unitaire de cette matrice est aussi hermitique.

Transformation de l'hamiltonien avec U Il n'y a pas besoin de voir l'opérateur H donné dans (2) comme ayant un statut fondamentalement

différent des matrices H ′ et H ′′ définit par (10) et (11). La forme matricielle naturelle pour H est

celle où les lignes et colonnes sont indicées par les coordonnées r et r′ . La matrice unité correspondante est (16) ( ) ( )rr1 rr

′−=′3δ

en analogie avec le coté droit de (7) quand k est un ensemble continu d'indices. Une matrice diagonale peut alors être écrite comme ( ) ( )rrr ′−3δf où f est une fonction multiplicative de r mais pas un opérateur différentiel. Cela peut être, par exemple, l'énergie potentielle. Nous nous attendons alors à ce que la forme matricielle de l'opérateur hamiltonien soit

(17) ( )rrrr′−=′

3ˆδHH

où sur le coté droit H opère seulement sur la variable r. Nous nous rapportons à cette matrice H quand les indices ne sont pas écrits explicitement. Il est important de noter que rr ′H n'est pas

diagonal puisque H n'est pas une fonction multiplicative mais contient des opérateurs différentiels dans sa partie énergie cinétique. L'équation (17) a des éléments de matrice non nuls qui sont à une distance infinitésimale de la diagonale rr ′= . L'équation (15) montre que W transforme H ′′ en H ′ . Il est intéressant de se demander qu'elle matrice unitaire U transforme H, défini par (17), en H ′ : (18) HUHU ′=+ Cette équation peut être écrite HUHU ′= ++ qui devient, lorsqu'elle est exprimée en éléments de matrice, ( ) ( ) kk HUHU rr

′= ++ ou

(19) ( ) ( ) lkllk HUUH SS ′= +′

+′′ rrrrr

Ici r′S est identique à ∫ ′rd 3 . En substituant (17), le coté gauche de (19) devient

(20) ( )( ) ( )( ) ( ) kkk UHrdUHrdUH rrr rrrr +′

+′

+ =′′−=′′− ∫∫ ˆˆˆ 3333 δδ

où H opère sur la dépendance en r de ( ) kU r

+ . Le coté droit de (19) peut être récrit en utilisant (10),

il devient ( ) kk EU r

+ . Donc (19) est équivalent à

(21) ( ) ( ) kkk UEUH rr

++ =ˆ

La comparaison avec l'équation de Schrödinger (1) montre que ( ) kU r

+ doit être identifié avec la

fonction propre de l'énergie ( )rku .

Nous sommes donc conduit naturellement à un prolongement du formalisme selon lequel un ensemble complet de fonctions orthonormales ( )rku peut être vu comme une matrice unitaire :

(22) ( )rr

∗= kk uU

Dans ce cas particulier, U transforme H en H ′ en accord avec (18). Il est facilement vérifié que U est, en fait, unitaire. Par exemple,

(23) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kllklkkl rduuUUUU S 1rrrrr === ∫∗++ 3

par orthonormalité et

(24) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) rrrrrr 1rr ′∗

′+

′+ =′== kkkkkk uuUUUU SS

par fermeture.

Transformation de l'hamiltonien avec V L'ensemble de fonctions ( )rµv peut aussi, selon (22), être vu comme une matrice unitaire V :

(25) ( )rr

∗= µµ vV

où à nouveau V est unitaire car l'ensemble de fonctions ( )rµv est orthonormal et grâce à la

fermeture. Comme on s'y attend, la transformation de H avec V donne H ′′ : (26) HVHV ′′=+ Les éléments de matrice µν des deux cotés de cette équation sont précisément les deux cotés de (11). La matrice H peut être éliminée entre les équations (18) et (26) comme suit :

(27) +++

+

′′==′

′′=VUHUVUHUH

VHVH

C'est en accord avec l'équation (15) si nous posons (28) +=UVV Sous forme d'éléments de matrice, on a

(29) ( ) ( ) µµ rrr

+= VUW kk S

ou

(30) ( ) ( )∫∗= rdvuw kk

3rr µµ

qui est le même que l'équation (5). L'équation (28) peut aussi être écrite sous les formes WUV ++ = et +++ = WVU qui sont le même que les équations (4) et (6), respectivement.

Représentations des opérateurs Les trois matrices hamiltoniennes H, H ′ , H ′′ sont différentes représentations du même opérateur H . Chaque représentation est caractérisée par la quantité dont les valeurs propres sont utilisées pour indicer les lignes et les colonnes de la matrice (r, kE , µω , ou de manière plus concise, r, k,

µ ). Donc, H, H ′ et H ′′ sont les hamiltoniens en les coordonnées, l'énergie et Ω , respectivement. Une matrice unitaire dont les lignes et colonnes sont indicées par les valeurs propres de A et B, respectivement, transforme un opérateur de la représentation B à la représentation A. Par exemple, U transforme tout opérateur de la représentation coordonnées à la représentation énergie et +U de la représentation énergie à la représentation coordonnées. De la même façon, V transforme de la représentation coordonnées à la représentation Ω et W de la représentation Ω à la représentation énergie. Donc, l'application de V suivi de W transforme de la représentation coordonnées à la représentation Ω puis à la représentation énergie. L'effet global est représenté par le produit WV puisque la représentation la plus à droite agit la première. L'équation (28) montre que WV = U comme attendu puisque U transforme la représentation coordonnées en la représentation énergie. Un opérateur est diagonal dans la représentation dont les lignes et les colonnes sont indicées par les

valeurs propres de cet opérateur. Donc H ′ est diagonal puisque c'est l'hamiltonien exprimé dans la représentation énergie. Les remarques du paragraphe précédent peuvent être illustrées en l'appliquant à l'opérateur Ω . Dans la représentation coordonnées, il doit avoir la forme

(31) ( )rrrr′−Ω=Ω ′

3ˆ δ

où sir le coté droit Ω opère seulement sur la variable r. Nous appelons cette matrice Ω et nous trouvons sa transformation dans la représentation énergie, qui doit être +ΩUU :

(32) ( ) ( )

( ) ( )∫ Ω=

Ω=Ω∗

′+

′′+

rduu

UUUU

lopk

lkkl SS3

rr

rrrrrr

comme attendu. De même, la transformation à la représentation Ω donne (33) ( ) ( )µνµµν ω 1=Ω +VV

qui est sous forme diagonale.

Une identité utile L'équation (31) peut être utilisée pour écrire

(34) ( ) ( )∫ ′′Ω=Ω ′ rdop

3rr rr ββ ψψ

où ( )rβψ est une fonction arbitraire. Alors

(35) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ ′′Ω=Ω ′∗∗ rrddrdop

333 rrrr rr βαβα ψψψψ

où ( )rαψ est une autre fonction arbitraire. Nous ne supposons pas nécessairement que les ( )rαψ

sont des membres d'un ensemble orthonormal complet de fonctions. Puisque rr ′Ω est une matrice

avec les lignes et les colonnes indicées par r et r′ et donc n'est pas le même que l'opérateur Ω , nous pouvons réarranger les termes sur le coté droit de (35) pour donner

(36) ( ) ( )[ ] ( )∫ ∫ ′′Ω∗

′+ rdrd 33 rr

rr βα ψψ

où ( ) ∗′′

+ Ω=Ω rrrr sont les éléments r′ , r de la matrice +Ω qui est l'adjoint hermitique de Ω .

L'équation (31) peut aussi être utilisée pour définit l'opérateur adjoint hermitique +Ω en accord avec

(37) ( ) ( ) ( )∫ ′′Ω=Ω ′++ rd 3ˆ rr

rr αα ψψ

Donc, (35) peut être récrit

(38) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )∫∫∗+∗ Ω=Ω rdrd opop

33 rrrr βαβα ψψψψ

L'équation (38) est quelque fois utile puisqu'une intégrale de ce type peut être plus facilement

évaluée quand Ω opère sur une des fonctions αψ , βψ plutôt que sur l'autre. Les intégrations par

parties que nous avons utilisées sont des exemples de l'application de (38). Dans ces exemples, Ω est un opérateur différentiel et sa représentation coordonnées implique des dérivées de ( )rr ′−3δ .

Cependant, Ω n'a pas besoin d'être de ce type spécialisé mais peut avoir des éléments de matrice

non nuls pour rr ′− fini. En tout cas, si Ω représente une variable dynamique physiquement

mesurable, il doit être hermitique, auquel cas +Ω peut être remplace par Ω sur le coté droit de (38).

Matrices lignes et colonnes Nous avons travaillé jusqu'ici avec des matrices carrées telles que H et Ω qui représentent des variables dynamiques et qui sont hermitiques, et des matrices rectangulaires comme U, V et W qui transforment une représentation en une autre et qui sont unitaires. Un état α particulier d'un système peut être représenté par une fonction ( )rαψ qui peut être vue comme une matrice avec une

colonne et dont les lignes sont indicées par la coordonnée r. Comme remarqué ci-dessus, α n'a pas besoin d'indicer un ensemble complet de fonctions mais peut être considéré en lui-même. Puisque les ( )rku sont un ensemble complet, αψ peut être développé en terme de ces fonctions :

(39) ( ) ( )rr kkk uaS ααψ =

où les coefficients kaα sont donnés par

(40) ( ) ( )∫∗= rdua kk

3rr αα ψ

Ces équations peuvent être écrites sous forme matricielle comme (41) ααψ aU += et αα ψUa =

respectivement, où αa est une matrice colonne dont les lignes sont indicées par k. Donc, tout

comme U transforme un opérateur comme H de la représentation coordonnées à la représentation énergie avec (18), elle transforme aussi une fonction d'état de la représentation coordonnées à la représentation énergie avec la deuxième équation (41). De même, nous pouvons écrire

(42) ( ) ( )rr µαµµαψ vbS= et ( ) ( )∫∗= rdvb 3rr αµαµ ψ

sous forme matricielle comme (43) ααψ bV += et αα ψVb =

La combinaison des équations (39), (40) et (28) donne (44) αααα ψ WbbUVUa === +

Donc, W transforme la fonction d'état de représentation Ω αb à la représentation énergie αa

comme attendu. Une propriété importante des transformations unitaires est qu'elles laissent la norme d'une fonction d'état inchangée. Dans la représentation coordonnées, la norme est juste l'intégrale de normalisation qui peut être écrite comme

(45) ( ) ( ) ( ) ( ) αααααα ψψψψψψ +∗∗ ==∫ rrrr rSrd 3

Le coté droit est le produit matriciel d'une matrice ligne +

αψ , qui est l'adjoint hermitique de αψ et a

ses colonnes indicées par la coordonnée r, et la matrice colonne αψ . Le résultat est une matrice

avec une ligne et une colonne, qui est simplement un nombre. Il est évident que la norme est réelle et non négative. Avec l'aide de (41), la norme peut être écrite (46) ααααααψψ aaaUUa ++++ ==

qui est égal à 2

kk aS α . De même, ααααψψ bb++ = , ainsi les trois représentations de la fonction d'état

ont la même norme. Une fonction d'état pour laquelle la norme existe (c'est-à-dire, n'est pas infinie)

peut être normalisée en la divisant par ( )21ααψψ + , auquel cas sa norme devient égale à l'unité.

Il est intéressant de noter que l'identité (38) devient trivialement valide quand elle est récrite dans la représentation matricielle coordonnées des fonctions d'états αψ et βψ :

(46) ( ) βαβα ψψψψ +++ Ω=Ω

L'équation (22) montre que les deux cotés sont identiques. La structure du produit matriciel est tel que chaque coté est une matrice avec une ligne et une colonne et donc un nombre.

Espace de Hilbert Une image géométrique qui est souvent utilisé considère une fonction d'état telle que αψ , αa ou

αb comme un vecteur d'état dans un espace de Hilbert avec une infinité de dimensions. Chaque

dimension correspond à une des lignes de la matrice colonne qui décrit l'état et la composante du vecteur d'état le long de cet axe de l'espace de Hilbert est numériquement égale à l'élément de matrice correspondant. Différents choix pour l'orientation des axes dans l'espace de Hilbert correspondent à différents choix pour la représentation. Par exemple, la représentation énergie correspond à choisir les axes de telle manière qu'un vecteur d'état orienté le long d'un de ces axes est un état propre de l'hamiltonien. Plus généralement, le vecteur αa a la composante kaα le long de

l'axe qui est rattaché à la valeur propre de l'énergie kE .

La norme d'une fonction d'état est juste le carré de la longueur du vecteur d'état correspondant dans l'espace de Hilbert, où "longueur" est généralisé de manière appropriée pour prendre en compte les

composantes qui peuvent être des nombres complexes. La norme est un cas particulier du produit scalaire de deux vecteurs d'état αψ et βψ défini comme

(47) ( ) ( ) ( )∫∗+ == rd 3, rr βαβαβα ψψψψψψ

et est aussi un nombre. Quand α et β sont le même état, il est égal à la norme. Quand le produit scalaire s'annule, les vecteurs d'état sont dits orthogonaux. Les produits scalaires de ces vecteurs d'états, exprimés dans les représentations énergie et Ω , sont (48) ( ) βαβα aaaa +=, et ( ) βαβα bbbb +=,

respectivement. On voit sur (41) et (43) que le produit scalaire est indépendant de la représentation, tout comme la norme. Il s'ensuit qu'une transformation d'une représentation à l'autre correspond à une rotation des axes dans l'espace de Hilbert sans changer les vecteurs d'états. Un vecteur d'état particulier a différentes composantes quand on le rapporte à des axes différents et ils constituent les représentations différentes de l'état.

Il s'ensuit que l'opération sur βψ avec Ω effectue une transformation du vecteur d'état βψ tel qu'il

devient un autre vecteur d'état βψΩ . Nous nous référons à cette transformation comme une

rotation généralisée du vecteur d'état dans l'espace de Hilbert, le mot "généralisé" indiquant que la rotation peut impliquer une dilatation ou une contraction des composantes aussi bien qu'une rotation "pure". En particulier, la rotation généralisée ne conserve habituellement pas la norme du vecteur d'état. L'élément de matrice ( )βαβα ψψψψ Ω=Ω+ , est alors le produit scalaire des vecteurs

d'état αψ et βψΩ . Il est facile de voir qu'il est indépendant de la représentation.

Lien avec la notation bra et ket On est maintenant armé pour faire le lien entre la représentation matricielle et la représentation compacte de Dirac, ainsi la boucle sera bouclée. Nous décrivons une fonction d'état ou vecteur d'état, qu'il soit représenté par αψ , αa ou αb , par le

ket α et l'état adjoint hermitique +αψ , +

αa ou +αb par le bra α . Le produit scalaire de deux

vecteurs d'états est écrit

(49) βαψψ βα =+

qui est un nombre. Opération sur un vecteur ket à gauche avec Ω produit un autre vecteur ket (50) ββ ′=Ω

et l'opération sur un vecteur bra à droite avec Ω produit un autre vecteur bra (51) αα ′′=Ω

L'élément de matrice de Ω entre les états α et β est un nombre et être écrit sous plusieurs formes équivalentes

(52)

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )

βαβαβα

ψψψψ

ψψψψ

βαβα

βαβααβ

Ω=′′=′=

Ω=Ω=

Ω=Ω=Ω+

∗+∗∫∫

,,

33 rdrd rrrr

La première et la dernière sont les notations utilisées le plus fréquemment. Les éléments de matrice de l'opérateur adjoint hermitique +Ω sont donnés par

(53) ( ) ∗+∗+ Ω=Ω=Ω=Ω βααβαββα

Un exemple particulier des équations (50) et (52) est celui où Ω est l'opérateur unité :

(54) βαβα =1

Ces équations peuvent être utilisées pour obtenir une expression pour la matrice unitaire W de (5) en identifiant αψ avec ku et βψ avec µv :

(55) ∗== kkwk µµµ

Nous sommes maintenant en position de récrire les principales équations de cette section dans les notations de Dirac et ainsi de clôturer définitivement la relation entre toutes les notations que nous avons utilisées. Nos trois représentations seront spécifiées par les trois ensembles complets de kets k , µ et r . Tout comme k est un état propre de l'énergie avec la valeur propre kE et µ un

état propre de Ω avec la valeur propre µω , r est un état propre des coordonnées avec la valeur

propre r. Alors, en analogie avec (52), (22) peut être écrit sous les formes (56) ( )rr

∗= kuk et ( )rr kuk =

De même, nous pouvons écrire (57) ( )rr

∗= µµ v et ( )rr µµ v=

A nouveau, en identifiant αψ avec ku , nous obtenons

(58) ( ) αµααψ αµαα === bka krr

Une convention de sommation sera employée tel que tout symbole d'état qui apparaît deux fois dans une expression données (une fois dans le ket et une fois dans le bra) est supposé être sommé

sur un ensemble complet orthonormal d'états. Donc, le symbole µS sera omis des expressions de

la forme

(59) LL µµµS

C'est une convention semblable à la convention de sommation d'Einstein sur la sommation sur les indices muets dans les expressions vectorielles et tensorielles. Les équations récrites ci-dessous sont numérotées avec des apostrophes sur leur numérotation originale.

(3') µωµ µ=Ω ou µωµ µ rrrr =′′Ω

(4') µµ kk= ou µµ kk == rr

(5') µµ rrkk =

(6') kk µµ= ou kk µµrr =

(7') lklklk == rrµµ

(8') rrrr ′=′µµ

(9') νµνµ =kk

(10') lkElHh k=

(15') lHklHk =ννµµ

(19') kHllkH rrrr =′′

(26') νµνµ HH =′′ rrrr

(28') µµ rrkk =

(39') αα kkrr =

(40') αα rkk r=

(43') αµµα rr = et αµαµ rr=

(47') βαβα rr=

A l'exception des équations (3') et (10') qui sont des équations aux valeurs propres pour Ω et H, respectivement, toutes ces équations ont une propriété en commun. Si nous supposons qu'un symbole répété (k, µ ou r), qui est sous-entendu sommé sur un ensemble orthonormal complet d'états comme dans (59), est équivalent à l'opérateur unité, ces équations deviennent des identités

triviales. Par exemple, chacun des deux cotés de (15') devient égal à kHr puisque rr ′′ et

ll peut être remplacé par des opérateurs unités sur les cotés gauches et droits, respectivement.

Nous avions déjà vu cette propriété. Ce replacement est évidemment équivalent à l'utilisation de la propriété de fermeture de tout ensemble complet orthonormal de fonctions. Inversement, des opérateurs unités peuvent toujours être insérés, comme lorsque l'on passe du coté gauche au coté

droit de (4'). La preuve la plus simple de l'exactitude de ces hypothèses est l'observation que la suppression ou l'insertion de tels symboles d'états répétés conduit toujours à des équations valides. Notons qu'une insertion peut aussi être faite entre deux opérateurs. Par exemple, (60) ΓΩ=ΩΓ kk

Opérateurs projection Considérons l'équation

(61) ααµµα µµµ PSS ==

où l'opérateur µP est définit par

(62) µµµ ≡P

pour un état unique µ , c'est-à-dire sans effectuer la sommation généralisée. Il est clair en voyant

(3') que αµP est un état propre de Ω avec la valeur propre µω . Donc, un ket arbitraire α peut

être écrit comme une somme généralisée des états propres de tout opérateur Ω avec (61). L'opérateur µP est appelé opérateur de projection puisqu'il projette α sur la partie qui est un état

propre particulier de Ω . Supposons maintenant que Ω a seulement deux valeurs propres distinctes 1ω et 2ω avec une très grande dégénérescence. En exemple peut être l'opérateur parité avec les valeurs propres 1± ou la composante du moment angulaire de spin d'une particule de spin 1/2 avec les valeurs propres h2

1±

(voir le tome suivant). Dans une telle situation, il est quelquefois souhaitable d'écrire tout état α

comme une somme de deux parties, chacune étant un état propre de Ω avec les valeurs propres 1ω

et 2ω . Cela peut être obtenu en définissant les opérateurs projection par les équations

(63) µµµ PPi

i S =≡

avec i = 1, 2, au lieu de (62). Alors αiP est un état propre de Ω avec la valeur propre iω . On

vérifie facilement que

(64) 21

21 ωω

ω−−Ω

=P et 12

12 ωω

ω−−Ω

=P

et que (65) 1=∑

i

iP iijji PPP δ=

Les équations (63) peuvent être généralisées à des situations où Ω a plus de deux valeurs propres distinctes. Avec la définition (63), nous avons maintenant

(66) ∏≠ −

−Ω=

1j ji

j

iP ωωω

et les équations (65) sont encore valides. Puisque Ω est hermitique, ses valeurs propres µω sont réelles et les µP et iP sont évidemment

hermitiques. Finalement, il est facile de voir que ( ) 1tr =µP si µ est un état propre normalisé qui

correspond à une valeur propre discrète. Dans ce cas ( )iPtr est égal au nombre d'états propres

linéairement indépendant qui ont la valeur propre iω . Donc, il est égal aux nombres de dimensions

du sous-espace de Hilbert qui correspond à iω .

Signification physique des éléments de matrice Nous avons vu que les éléments de matrice diagonaux d'un opérateur qui est sous forme diagonale sont juste les valeurs propres de cet opérateur. La comparaison avec ce que nous avons vu montre que si l'opérateur n'est pas sous forme diagonale, les éléments de matrice diagonaux sont les valeurs

moyennes de l'opérateur pour des états qui sont normalisés. Plus généralement, αααα /Ω est

la valeur moyenne de l'opérateur pour l'état représenté par le ket normalisable α .

Jusqu'ici, nous n'avons pas d'interprétation simple des éléments non diagonaux tels que βα Ω .

Nous verrons plus tard qu'ils sont, entre autres choses, reliés aux probabilités de transition entre états.

VI.3. Equations du mouvement La théorie des transformations développée dans la section précédente ne fait pas référence à la dynamique. Elle traite de la description d'un système physique à un instant du temps. Cette description implique trois sortes d'objets. Tout d'abord, il y a ceux qui spécifient l'état du système à un moment particulier. Ils peuvent être écrits comme des fonctions d'état ( )rαψ , comme des

matrices colonnes αψ , αa ou αb , comme des vecteurs de l'espace de Hilbert ou comme des kets

α . A chacun correspond une quantité adjointe hermitique tel que +αψ ou α . Ensuite, il y a les

transformations unitaires qui peuvent être écrites comme des matrices rectangulaires tel que U et dont les éléments sont les expressions rk . Leur effet est de changer une représentation en une

autre. Du point de vue de l'espace de Hilbert, elles tournent les axes sans changer les vecteurs d'états de manière à ce qu'un vecteur d'état particulier se rapporte à un ensemble différent d'axes. Les troisièmes, ce sont les variables dynamiques, tel que Ω , qui peuvent être écrites comme des opérateurs ou des matrices carrées. Les éléments de ces matrices peuvent être calculés par rapport à un ensemble d'axes particuliers dans l'espace de Hilbert et une matrice unitaire transforme leurs valeurs d'un ensemble d'axes ou représentation à un autre. Donc, U transforme Ω de la

représentation coordonnées rr ′Ω à la représentation énergie lk Ω , tout comme elle transforme

α de la représentation coordonnées αr à la représentation énergie αk .

De manière alternative, les éléments de matrice de Ω peuvent être calculés par rapport à des vecteurs d'état particuliers αψ , qui n'ont pas besoin d'être les membres d'un ensemble complet. Ces

éléments de matrice sont le produit scalaire ( ) βαψψ βα Ω=Ω, et ils sont invariants par rapport

aux transformations unitaires (choix des axes dans l'espace de Hilbert). Le résultat de l'opération avec Ω sur un ket β est un nouveau ket βΩ qui est relié à β par une rotation généralisée du

vecteur d'état dans l'espace de Hilbert. Si β est un état propre µ de Ω , alors la "rotation"

consiste simplement à multiplier le vecteur d'état par µω sans changer sa direction.

Une distinction doit être faite entre les rotations des axes dans l'espace de Hilbert sans changer les vecteurs d'états, qui sont produit par les transformations unitaires, et les rotations généralisées des vecteurs d'états sans changer les axes, qui sont produites par les variables dynamiques. Nous allons considérer dans cette section la manière avec laquelle un système physique change d'un instant à l'autre. Comme nous le verrons, cette dépendance au temps peut être vue de différentes manières comme un changement dans les vecteurs d'états, dans les variables dynamiques ou les deux. Il s'avère qu'il y a un point de vue qui met les équations du mouvement sous une forme très similaire à celle des équations classiques du mouvement dans leur formulation hamiltonienne. Cette similarité suggère une méthode assez générale pour trouver les équations quantiques qui sont en accord sous une limite appropriée avec les équations classiques du même système.

Point de vue de Schrödinger Nous prenons comme point de départ l'équation de Schrödinger dépendant du temps et nous l'écrivons en fonction d'un ket dépendant du temps ( )tSα et de l'hamiltonien H :

(1) ( ) ( )tHtdt

di SS αα =h

La dérivée totale par rapport au temps est utilisée ici puisque la dépendance du ket par rapport aux coordonnées ou d'autres variables n'apparaît pas explicitement. L'indice S se rapporte au ket vu dans le point de vue de Schrödinger, selon lequel il varie dans le temps conformément à l'équation différentielle ordinaire (1). L'équation adjointe hermitique du mouvement est

(2) ( ) ( ) ( ) HtHttdr

di SSS ααα ==− +h

puisque H est hermitique. Les solutions des équations différentielles (1) et (2) sont faciles à trouver si H est indépendant du temps, ce que nous supposerons être le cas : (3) ( ) ( ) ( ) ( ) hh // 00 iHt

SSS

iHt

S etet αααα == −

Le fait que les équations différentielles dérivent de (3) peut être vérifié en développant les exponentielles en séries et en différentiant terme à terme. L'opérateur h/iHte− est une somme infinie de puissances de H, chacune étant une variable dynamique qui peut être écrite comme un opérateur ou une matrice carrée. Donc, la série entière est aussi une variable dynamique. Dans ce cas particulier, on voit facilement qu'elle est unitaire puisque H est hermitique. Cependant, il est essentiel de se souvenir que h/iHte− n'est pas une transformation unitaire dans le même sens que U, V ou W. Elle ne passe pas d'une représentation à une autre (rotation des axes dans l'espace de Hilbert) mais change plutôt le ket ( )0Sα en le ket

( )tSα et effectue ainsi une rotation généralisée du vecteur d'état dans l'espace de Hilbert.

Cependant, puisque h/iHte− est unitaire, la norme du ket est inchangée et la rotation généralisée est dans cas une rotation pure. Le taux de changement dans le temps d'un élément de matrice d'une variable dynamique SΩ dans

le point de vue de Schrödinger est facile à trouver avec l'aide de (1) et (2) :

(4)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )tHHti

tt

t

tdt

dtt

tttt

dt

d

ttdt

d

SSSSSS

SSSSSSSS

SSS

βαβα

βαβαβα

βα

Ω−Ω+∂Ω∂=

Ω+∂Ω∂+Ω

=

Ω

h

1

Le premier terme sur le coté droit est la partie du changement dans l'élément de matrice qui vient de la dépendance explicite de SΩ avec le temps et le second terme est celui causé par le changement

dans le temps des vecteurs d'états. L'opérateur qui apparaît dans le second terme est appelé un commutateur et est défini par (5) [ ] BAABBA −≡,

Notons qu'en accord avec les définitions de la formulation matricielle, le commutateur n'a pas de signification à moins que les deux matrices ne soient carrées et avec les lignes et colonnes indicées de la même manière. Un cas particulier intéressant de (4) est celui où SΩ commute avec H et n'a pas de dépendance

explicite avec le temps. Alors, le coté droit est zéro et tous les éléments de matrice de SΩ sont

constants dans le temps. Une telle variable dynamique est dite être une constante du mouvement.

Point de vue de Heisenberg La substitution de (3) dans (4) donne

(6) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )0,01

00

00

////

//

S

iHt

S

iHt

SS

iHtSiHt

S

S

iHt

S

iHt

S

Heei

et

e

eedt

d

βαβα

βα

hhhh

hh

h

−−

−

Ω+∂Ω∂

=Ω

où nous avons utilisé le fait que H commute avec h/iHte± . Il est utile de définir les vecteurs d'états indépendants du temps avec (7) ( ) ( ) ( )tet S

iHt

SH ααα h/0 =≡

et les variables dynamiques dépendant du temps avec (8) hh // iHt

S

iHt

H ee −Ω≡Ω

A moins que SΩ ne commute avec H, HΩ dépend de t même si SΩ n'a pas de dépendance

explicite au temps. L'indice H indique le point de vue de Heisenberg. Le temps t = 0 où les kets et opérateurs dans le point de vue de Schrödinger sont les mêmes que ceux dans le point de vue de Heisenberg est, bien sûr, arbitraire et choisi par facilité. Si ce temps était 0tt = , alors h/iHte± serait

remplacé par ( ) h/0ttiH

e−±

. Puisque ( )tHα ne dépend pas du temps, la mention explicite de t peut être omise. De plus, la

dérivée par rapport au temps sur le coté gauche de (6) peut être mise dans l'élément de matrice et l'équation devient ainsi

(9) [ ] HHHHH

HHHH Hitdt

d βαβαβα ,1 Ω+

∂Ω∂=Ω

h

où selon (8) nous avons défini

(10) hh // iHtSiHt

H

H et

ett

−

∂Ω∂

=

∂Ω∂≡

∂Ω∂

Puisque (9) est valide pour des bras et des kets arbitraires, elle doit être valide pour les opérateurs eux-mêmes. Nous sommes donc conduit à l'équation du mouvement vue dans le point de vue de Heisenberg :

(11) [ ]Hitdt

dH

HH ,1 Ω+

∂Ω∂=Ω

h

Cette équation qui suit aussi directement de la différentiation de (8) est celle qui est la plus proche de l'équation correspondante du mouvement, comme nous le verrons ci-dessous. On notera que selon (8) H est le même dans les points de vue de Schrödinger et de Heisenberg. Nous voyons donc que la description du changement dans le temps d'un système physique peut être vue de deux manières opposées. Dans le point de vue de Schrödinger, les variables dynamiques sont constantes dans le temps (sauf éventuelle dépendance explicite avec le temps) et les vecteurs d'états varient selon (1). Dans le point de vue de Heisenberg les vecteurs d'états sont constants dans le temps et les variables dynamiques varient selon (11). La transformation d'un point de vue à l'autre se fait avec l'aide de la variable dynamique h/iHte± selon (7) et (8). Nous avons délibérément évité d'appeler ces "points de vue" des "représentations" comme cela se fait parfois puisque nous voulons réserver le terme "représentation" pour désigner le choix des axes dans l'espace de Hilbert ou, de manière équivalente, le choix d'un ensemble orthonormal complet de fonctions par rapport auxquelles les états et variables dynamiques sont spécifiés. Il est important de noter que les équations (1), (7), (8) et (11) ont la même forme dans toutes les représentations, comme on le montre facilement. D'autre part, nous utilisons le terme "transformation" en relation avec le changement d'un point de vue à l'autre puisqu'il est accomplit au moyen d'un opérateur unitaire. A cause de cela, toutes les normes et produits scalaires des vecteurs d'états sont

indépendants du point de vue et constants dans le temps aussi bien qu'indépendants de la représentation.

Point de vue interaction La discussion qui précède montre que ni les vecteurs d'états seuls ni les variables dynamiques seules ne sont centraux pour la description du développement d'un système dans le temps. Les deux peuvent être altérés au moyen de la transformation unitaire h/iHte− et les deux points de vue obtenus sont également valides. Les quantités qui ne sont pas altérées sont les éléments de matrice des

variables dynamiques calculées sur des paires d'états tel que βα Ω . Ils fournissent le contenu

physique essentiel de la théorie puisque les valeurs propres, les valeurs moyennes et les probabilités de transition peuvent en être tirés. Il est évident que toute transformation unitaire; qu'elle dépende ou non du temps, peut être appliquée aux états et variables dynamiques sans affecter les valeurs des éléments de matrice. On peut donc trouver un nombre arbitrairement grand de points de vue différents tout autant que de représentations différentes. Un troisième point de vue particulièrement utile peut être spécifié en divisant l'hamiltonien en deux parties, (12) HHH ′+= 0

tel que 0H ne dépend pas explicitement du temps et a aussi une structure simple. Par exemple, 0H

peut être l'énergie cinétique et H ′ l'énergie potentielle. Ou 0H peut être l'hamiltonien pour un

potentiel relativement simple tel que le champ coulombien et H ′ une certaine interaction supplémentaire tel qu'un champ électromagnétique externe. Dans ce dernier cas, il est souvent intéressant d'autoriser H ′ à dépendre explicitement du temps et ainsi nous admettrons cette possibilité dans ce qui suit. Puisque H, 0H et H ′ ne commutent en général pas l'un avec l'autre, un indice doit être utilisé pour distinguer les différents points de vue. Nous définissons le point de vue interaction par les équations

(13) ( ) ( )( ) hh

h

//

/

00

0

tiH

S

tiH

I

S

tiH

I

SS

S

eet

tet

−Ω≡Ω

≡ αα

Les points de vue interaction et de Heisenberg sont les mêmes quand 0=′H . Nous savons que

SH HH = et la deuxième équation (13) montre que SI HH 00 = . En général, SI HH ≠ ,

SH HH 00 ≠ et SH ′ , HH ′ et IH ′ sont tous différents. La différentiation de la première équation (13) donne pour l'équation du mouvement de ( )tIα

(14)

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )tH

teHe

teHetH

tdt

deiteHt

dt

di

II

I

tiH

S

tiH

I

tiH

S

tiH

IS

S

tiH

S

tiH

SI

SS

SS

SS

αα

αα

ααα

′=

′=

+−=

+−=

−

−

hh

hh

hhhh

//

//0

//0

00

00

00

où nous avons utilisé (1) et (12) et la deuxième équation de (13). De même, la différentiation de la deuxième équation (13) donne pour l'équation du mouvement de ( )tIΩ

(15) [ ] [ ]III

SIII H

itH

itdt

d00 ,

1,

1 Ω+∂Ω∂=Ω+

∂Ω∂=Ω

hh

Ce que le point de vue interaction réalise est d'assigner une partie de la dépendance avec le temps aux vecteurs d'états et une partie aux variables dynamiques au lieu d'avoir l'un constant et l'autre avec une dépendance dans le temps due à l'hamiltonien complet. Dans ce point de vue, les vecteurs d'états changent en accord avec H ′ et les variables dynamiques en accord avec 0H . Notez la

ressemblance des équations (1) et (14) d'un coté et des équations (11) et (15) de l'autre. Cela est utile si H ′ est une petite perturbation puisque alors les variables dynamiques ont la forme non perturbée et les fonctions d'états sont presque constantes dans le temps.

Représentation énergie

La représentation énergie est spécifiée par les kets k qui sont valeurs propres de l'hamiltonien

complet H avec les valeurs propres kE . L'équation (1) montre alors que dans le point de vue de

Schrödinger, le ket dépendant du temps ( )tkS satisfait l'équation

(16) ( ) ( ) ( )tkEtkHtkdt

di SkSS ==h

qui s'intègre en (17) ( ) ( ) h/0 tiE

SSkektk

−=

L'équation (17) et son adjointe peuvent être utilisées pour trouver la dépendance dans le temps des éléments de matrice dans le point de vue de Schrödinger d'un opérateur qui n'a pas de dépendance explicite avec le temps :

(18) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h/00 tEEi

SSSSSStkelktltk

−Ω=Ω

On vérifie facilement explicitement que cela est égal à l'élément de matrice HHH lk Ω , comme

on s'y attend. L'équation (18) montre que les éléments non diagonaux dans la représentation énergie oscillent dans le temps avec des fréquences qui sont proportionnelles à la différence d'énergie entre les états stationnaires, en accord avec la règle de Bohr. Cela est consistant avec la remarque à la fin de la section précédente que les éléments de matrice sont reliés aux probabilités de transition entre états. Il suit aussi de (18) que les éléments de matrice diagonaux ou les valeurs moyennes dans la représentation énergie sont constants dans le temps pour des opérateurs qui n'ont pas de dépendance explicite avec le temps.

Equations lagrangiennes et hamiltoniennes classique s du mouvement Afin de mettre en évidence la similarité entre (11) et l'équation classique correspondante, repassons brièvement en vue la structure de la théorie hamiltonienne classique. Les équations du mouvement d'un système dynamique conservatif qui a f degrés de liberté peuvent être dérivées d'un lagrangien

( )tqqqqL ff ,,,,,, 11 &K&K des coordonnées iq , des vitesses dtdqq ii /≡& et du temps au moyen d'un

principe variationnel :

(19) ( ) ( ) 00 21

2

1

===∫ tqtqLdt ii

t

tδδδ

Les équations lagrangiennes résultantes sont

(20) 0=∂∂−

∂∂

ii q

L

q

L

dt

d i = 1,… f

Si maintenant nous définissons un moment canoniquement conjugué à iq comme ii qLp &∂∂≡ / et

une fonction hamiltonienne des coordonnées et des moments comme

(21) ( ) LqptppqqHf

i

iiff −=∑=1

11 ,,,,,, &KK

La variation de H conduit aux équations hamiltoniennes du mouvement

(22) i

i

i

iq

Hp

p

Hq

∂∂−=

∂∂= && i = 1,… f

La dépendance avec le temps de toute fonction des coordonnées, des moments et du temps, calculée le long d'un point de phase en mouvement (trajectoire physique dans l'espace des variables ou espace des phases ou espace de configuration) est

(23)

( )

∑

∑

=

=

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂=

f

i iiii

f

i

i

i

i

i

ff

p

F

q

H

p

H

q

F

t

F

pp

Fq

q

F

t

FtppqqF

dt

d

1

111 ,,,,,, &&KK

en utilisant les équations hamiltoniennes (22). Le crochet de Poisson BA, de deux fonctions des coordonnées et des moments est définit comme

(24) ∑=

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂≡

f

i iiii p

A

q

B

p

B

q

ABA

1

,

En terme des crochets de Poisson, l'équation du mouvement pour la fonction F des variables dynamiques devient

(25) HFt

F

dt

dF,+

∂∂=

Le coté gauche de (25) est la dérivée totale par rapport au temps de F le long d'un point de phase en mouvement. Le premier terme sur le coté droit prend en compte la dérivée explicite par rapport au temps de F et le dernier terme est le changement de F venant du mouvement du point de phase où F est évalué.

Crochets de Poisson et commutateurs La forte ressemblance entre (11) et (25) suggère que l'analogue quantique des équations du mouvement peut être trouvé en général en substituant le commutateur divisé par hi au crochet Poisson,

(26) [ ]BAi

BA ,1

,h

→

et à travailler avec le point de vue de Heisenberg. Il y a deux observations qui tendent à supporter cette suggestion. La première concerne les conditions classiques pour une transformation d'un ensemble de variables canoniques iq , ip à un

autre iQ , iP :

(27) 0,0,, === jijiijji PPQQPQ δ

où les crochets de Poisson sont calculés par rapport aux variables originales iq , ip . Nous avons vu

qu'un passage correct de la théorie classique à la théorie quantique pouvait être obtenu en substituant l'opérateur différentiel ( )xi ∂∂− /h à xp , etc. Le commutateur de x et xp peut alors être

trouvé en opérant sur une fonction arbitraire ( )rg des coordonnées.

(28) ( ) ( ) ( ) ( )rr gixgx

ix

gxigxpxp xx hhh =

∂∂+

∂∂−=−

Puisque ( )rg est arbitraire, cette relation et les autres commutateurs peuvent être écrits comme des équations d'opérateurs :

(29)

0

0

0

=−=−

=

∂∂−

∂∂−=−

=

∂∂−

∂∂−=−

xyyx

yy

xx

pppp

yxxy

xyy

xixpxp

ixxx

xixpxp

h

hh

etc. Elles sont en accord avec les équations classiques (27) quand la substitution (26) est faite. La deuxième observation est que les propriétés algébriques des commutateurs sont identiques à celles des crochets de Poisson. On vérifie facilement à partir de la définition (24) que

(30)

( )

0,,,,,,

,,,

,,,

0,

,,

212121

2121

=+++=

+=+=

−=

BACACBCBA

BAAABABAA

BABABAA

cA

ABBA

où c est un nombre. L'ordre des facteurs éventuellement non commutant n'a pas été altéré. Dirac a montré que la forme de l'analogue quantique des crochets de Poisson est déterminée par les équations (30) remplacé par le coté droit de (26). La constante h est, bien sûr, arbitraire tant que l'on se cantonne à cette discussion.

Quantification d'un système classique Nous avons maintenant une procédure plausible pour trouver un système quantique qui se réduit à tout système classique spécifié selon le principe de correspondance ou la limite classique. Nous écrivons simplement les équations hamiltoniennes classiques en fonction des crochets de Poisson et nous remplaçons les crochets de Poisson par les commutateurs en accord avec (26). L'équation

classique du mouvement devient alors l'équation quantique (11) qui dit comment les variables dynamiques changent dans le temps dans le point de vue de Heisenberg. De même, les relations classiques (27) deviennent (31) [ ] ijii ipq δh=, [ ] 0, =ji qq [ ] 0, =ji pp

Notons que l'on peut alors montrer, comme nous l'avons fait pour la position et l'impulsion, que pour toute paire de variables canoniques : h2

1≥∆⋅∆ ii pq .

Ces conditions quantiques sont une généralisation de (29) et on vérifie facilement qu'elles sont valides dans tous les points de vue discutés au début de cette section. Donc, le point de vue de Heisenberg doit seulement être précisé pour les équations du mouvement. Nous supposerons toujours que c'est le cas dans le reste de cette section et l'indice H sera omis. Deux précautions sont nécessaires pour appliquer cette procédure de quantification. Tout d'abord, les coordonnées et moments doivent être exprimés en coordonnées cartésiennes. Deuxièmement, les ambiguïtés sur l'ordre des facteurs non commutant sont habituellement résolues en prenant une moyenne symétrique des différents ordres possibles. Ces précautions sont illustrées dans l'exemple suivant. Il est important de réaliser qu'il n'y a pas de manière unique d'effectuer la transition de la mécanique classique à la mécanique quantique. Des termes peuvent toujours être ajoutés aux équations quantiques du mouvement s'ils s'annulent à la limite classique ou de correspondance. D'autre part, si le comportement classique d'un système est connu, certaines restrictions sont placées sur ses équations quantiques. La procédure actuelle conduit généralement au système quantique le plus simple qui a la limite classique correcte. Ce système le plus simple peut omettre certains aspects intéressants de la vraie situation. Ainsi, le spin intrinsèque et le moment magnétique que possèdent certaines particules chargées n'apparaissent pas dans l'exemple traité ci-dessous.

Mouvement d'une particule dans un champ électromagn étique Comme exemple de la procédure de quantification précédente, considérons le problème du mouvement d'un point de masse chargé dans un champ électromagnétique général externe.

L'hamiltonien classique, exprimé en fonction des variables canoniques r, p et les potentiels électromagnétiques ( )t,rA , ( )t,rφ est (les unités de Gauss sont utilisées dans ce qui suit)

(32) φec

e

mH +

−=2

2

1Ap

où e est la charge de la particule et c est la vitesse de la lumière. Les champs électriques et magnétiques sont donnés en fonction des potentiels par

(33) AHA

E ×∇=∇−∂∂−= φtc

1

Les conditions quantiques (31) en coordonnées cartésiennes sont (34) [ ] [ ] [ ] hipzpypx zyx === ,,,

les autres paires de coordonnées et de composantes de l'impulsion commutants. Nous allons maintenant utiliser l'équation (11) avec l'expression (32) de H et les relations (34) pour calculer les expressions pour la vitesse de la particule dtd /r et l'accélération 22 / dtd r pour les comparer aux expressions classiques correspondantes.

Evaluation des commutateurs Afin de faciliter l'évaluation de certains des commutateurs qui apparaissent dans la substitution dans (11), nous allons dériver quelques résultats élémentaires. Toutes les fonctions de r commutent puisque toutes les composantes de r commutent. Il suit de (34) que

(35) ( )

( ) xixpxixixp

xpixpxxppx

xx

xxxx

hhh

h

22

222

=−++=

−+=−

On montre facilement par induction que (36) 1−=− nn

xx

n xnixppx h

Il suit de (36) que pour toute fonction ( )rf qui peut être exprimée comme un développement en série en x, y, z, la relation

(37) ( )[ ] ( ) ( ) ( )rrrr fx

ifppfpf xxx ∂∂=−= h,

est valide. Cela correspond à la relation classique ( ) ( ) xfpf x ∂∂= /, rr . L'équation (37) peut aussi

être établie pour des fonctions plus générales que les développements en série en utilisant la représentation de xp comme ( )xi ∂∂− /h comme dans (28). Si nous opérons avec la gauche de (37)

sur une fonction arbitraire ( )rg , nous obtenons

(38) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∂∂=

∂∂−

∂∂−= rrrrrrr f

xiggf

xxfigpf x hh,

qui est équivalent à l'égalité d'opérateurs (37) puisque ( )rg est arbitraire. Par application répétée de (37), on montre facilement que

(39) ( ) ( )2

2222 2

x

fp

x

fip

x

f

x

fpifppf xxxxx ∂

∂+∂∂=

∂∂+

∂∂=− hhhrr

Vitesse et accélération d'une particule chargée L'hamiltonien (32) peut maintenant être écrit, avec l'aide de (37),

(40) ( )

φ

φ

emc

e

mc

ie

mc

e

m

emc

e

mc

e

mH

++⋅∇+⋅−=

++⋅+⋅−=

2

2

22

2

2

22

222

222

AApAp

ApAApp

h

La dérivée par rapport au temps d'une composante de r est facilement trouvée à partir de (11)

(41)

−= xx Ac

ep

mdt

dx 1

en accord avec la relation classique entre la vitesse et l'impulsion d'une particule en présence d'un champ électromagnétique. Le calcul d'une composante de l'accélération de la particule

(42)

[ ] [ ]HAmci

e

t

A

mc

eHp

mi

dt

dA

c

e

dt

dp

mdt

xd

xx

x

xx

,,1

12

2

hh−

∂∂

−=

−=

est immédiat mais assez ennuyeux. Le résultat peut être écrit

(43)

−

∂∂

−∂

∂+

∂∂

−∂

∂

−−

−

∂∂

−∂

∂+

∂∂

−∂

∂

−

+

∂∂+

∂∂

−=

zzzxzx

zz

yy

xyxy

yy

x

Ac

ep

x

A

z

A

x

A

z

AA

c

ep

cm

e

Ac

ep

y

A

x

A

y

A

x

AA

c

ep

cm

e

xt

A

cm

e

dt

dx

2

2

2

2

2

2

1 φ

La force de Lorentz L'équation (43), avec des équations similaires pour les composantes y et z, peut être écrite comme une seule équation vectorielle pour la "force" :

(44) ( ) ( )

×−×+=

−××∇−×∇×

−+

∇−∂∂−=

dt

d

dt

d

c

ee

c

e

mc

e

mc

e

tce

dt

dm

rHH

rE

ApAAAp

Ar

2

1

11

2

1

12

2

φ

où nous avons utilisé (33) et (41). L'équation (44) avec l'équation classique correspondante

(45) ( )HvE ×+c

ee

où dtd /rv = est la vitesse de la particule, si nous prenons une moyenne symétrique des deux termes Hv× et vH×− . Elles sont identiques en mécanique classique mais diffèrent en mécanique

quantique car le v donné par (41) ne commute pas avec H. De même, bien que leur comme soit hermitique, les termes séparés ne le sont pas. L'équation (44) inclut une généralisation du théorème d'Ehrenfest. Si nous considérons un élément diagonal, le coté gauche est le produit de la masse et de la dérivée seconde par rapport au temps de la valeur moyenne du vecteur position de la particule puisque les kets du point de vue de Heisenberg sont indépendant du temps. Le coté droit est la valeur moyenne de la force de Lorentz agissant sur la charge de la particule. Donc, (44) dit qu'un paquet d'ondes se déplace comme une particule classique si elle est suffisament bien localisée pour que le champ électromagnétique change d'une quantité négligeable sur ses dimensions. Ce résultat peut aussi être obtenu par la méthode que nous avons vu avec le théorème d'Ehrenfest si, en accord avec (1) et (40), l'équation de Schrödinger dans le point de vue de Schrödinger est prise comme

(46) ψφψ

++⋅∇+∇⋅+∇−=

∂∂

emc

e

mc

ie

mc

ie

mti 2

2

22

2

222AAA

hhhh

Théorème du viriel Une preuve du théorème du viriel en mécanique quantique peut être donnée en analogie avec la démonstration correspondante en mécanique classique. Dans cette dernière, le point de départ est la moyenne dans le temps de la dérivée par rapport au temps de la quantité pr ⋅ qui est zéro pour un système périodique. La quantité analogue en mécanique quantique est la dérivée par rapport au temps de la valeur moyenne de pr ⋅ ou l'élément de matrice diagonal du commutateur de pr ⋅ et H dans la représentation énergie, qui est aussi zéro.

(47)

( )[ ]

( )[ ] ( ) ( )

( )( )ViTi

z

Vz

y

Vy

x

Vxippp

m

i

zyxVm

pppzpypxpH

Hidt

d

zyx

zyx

zyx

∇⋅−=

∂∂+

∂∂+

∂∂−++=

+

++++=⋅

=⋅=⋅

r

pr

prpr

hh

hh

h

2

,,2

,,

0,1

222

222

où T est l'énergie cinétique. Nous en concluons que (48) VT ∇⋅= r2

Notez que cela n'a pas d'importance de commencer avec pr ⋅ ou rp ⋅ puisque la différence entre les deux est une constante et donc commute avec H. Si V est à symétrie sphérique et proportionnel à nr et si la valeur moyenne existe, (48) montre que

VnT =2 .

VI.4. Théorie matricielle de l'oscillateur harmoniq ue L'oscillateur harmonique a été discuté du point de vue de l'équation de Schrödinger. Ce système peut aussi être traité en manipulant directement les équations matricielles. L'hamiltonien est de la forme à une dimension avec ( ) 2

21 KxxV = :

(1) 221

2

2Kx

m

pH +=

où x et p sont hermitiques puisque ce sont des variables dynamiques physiquement mesurables. La condition quantique est (2) hipxxp =− Aucune autre information n'est nécessaire pour obtenir les valeurs propres de l'énergie et les fonctions propres.

Représentation énergie Nous travaillons d'abord dans la représentation énergie où H est diagonal. L'équation (1) peut être écrite en notation de Dirac comme

(3) lxjjxkKlpjjpkm

lkElHk k 21

2

1 +==

où le symbole de sommation jS a été omit. Maintenant

(4) ∗∗+ == jpljpllpj

puisque p est hermitique et une expression semblable existe pour les éléments de matrice de x. Donc, pour les éléments diagonaux de (3), le coté droit est une somme de carrés des valeurs absolues des éléments matriciels et donc est non négatif. Une valeur propre de l'énergie kE peut

être zéro seulement si les éléments de matrice jpk et jxk sont zéro pour tout j. Cependant,

cela serait inconsistant avec l'élément de matrice diagonal k de (2). Nous en concluons donc que toutes les valeurs propres de l'énergie sont positives.

Comme prochaine étape, nous calculons le commutateur de x et p avec H :

(5) KxiHppHpm

iHxxH h

h −=−=−

Des équations de ce type sont généralement utiles si la représentation est choisie telle qu'un des facteurs dans le commutateur est diagonal puisque alors une différente entre deux valeurs propres apparaît quand un élément de matrice est pris. Donc, la première équation (5) devient

(6) ( ) lpkm

ilxkEElxjjHklHjjxk kl

h=−=−

De même, la deuxième équation (5) devient

(7) ( ) lxkKilpkEE kl h−=−

Il suit de l'élimination de lxk des équations (6) et (7) que ou bien 0== lpklxk ou

(8) cklm

KEE ωhh ±=

±=−2

1

où cω est la fréquence angulaire de l'oscillateur harmonique classique correspondant. Si nous

écartions la première possibilité, les valeurs propres de l'énergie différeraient les unes des autres par un entier multiple de cωh . Il est alors possible de montrer, comme cela sera fait ci-dessous, que ces

valeurs propres sont égales à ( ) cn ωh21+ où n est un entier positif ou zéro. Si nous essayons

d'exploiter la première possibilité afin d'avoir des états avec différentes valeurs propres de l'énergie, nous voyons que les matrices qui représentent x et p sont identiquement zéro pour les nouveaux états et cela est à nouveau inconsistant avec (2). Donc, les seuls états possibles sont ceux dont les valeurs propres de l'énergie diffèrent d'un multiple entier de cωh .

Opérateurs de création et de destruction Les équations (6) et (7) peuvent aussi être combinées d'une manière différente en multipliant la première par cimω− et en l'ajoutant à la seconde. Le résultat est

(9) ( ) ( ) 0=−−− lximpkEE cckl ωωh

Donc, ( )lximpk cω− est non nul seulement quand clk EE ωh−= . Cela signifie que le résultat

de l'opération avec ximp cω− sur le ket l est un certain multiple du ket k qui a une énergie

diminuée de cωh . De même, il est facile de voir que l'opérateur adjoint hermitique ximp cω+

augmenter l'énergie de tout état de cωh . L'application répétée de l'opérateur d'abaissement sur tout

ket conduira finalement à une difficulté puisque l'énergie doit être positive, sauf s'il y a un état d'énergie la plus basse 0 tel que

(10) ( ) 00 =− ximp cω

L'état d'énergie la plus basse peut être trouvé avec (10) en opérant sur lui à gauche avec ximp cω+ .

Le résultat est

(11) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( ) 0020

00

212222

2222

=−=−+=

−++=−+

ccc

cccc

Hmmxmp

pxxpimxmpximpximp

ωωω

ωωωω

hh

Donc, 0 est un état propre de H avec la valeur propre cωh21 . L'application de l'opérateur

d'augmentation ximp cω+ sur 0 donne un multiple du ket 1 qui a l'énergie cωh23 . Des

applications supplémentaires génèrent une séquence infinie d'états propres qui sont indicés n

avec les valeurs propres de l'énergie (12) ( ) cn nE ωh2

1+= n = 0, 1, 2,…

Il est souvent pratique de mettre les opérateurs d'augmentation et d'abaissement sous forme sans

dimension en les multipliant par ( ) 2

1

2 −− cmi ωh et ( ) 2

1

2 −cmi ωh , respectivement. Nous appelons

opérateurs de destruction et de création obtenus de cette manière +a et a, respectivement. Il est facile de voir que

(13) 2

1

2

1 −=+= ++

cc

Haa

Haa

ωω hh

Donc, a et +a satisfont la relation de commutation (14) 1=− ++ aaaa et H peut être écrit en fonction de ces opérateurs comme (15) ( ) caaH ωh2

1+= +

Il suit des équations (12) et (15) que les valeurs propres de aa + sont les entiers positifs et zéro. Pour cette raison, aa + est souvent appelé l'opérateur de nombre. Ce résultat est une conséquence directe de la relation de commutation (14) et ne nécessite aucune autre information. Le fait que les valeurs propres de aa + , quand a est tout opérateur qui satisfait (14), soient les entiers positifs ou zéro est utile en relation avec la quantification des champs. Les opérateurs +a et a y apparaissent ab initio plutôt que comme des combinaisons de x et p et ont la signification physique de respectivement augmenter de diminuer le nombre de particules représentées par le champ. D'où leur nom d'opérateurs de création et de destruction. Dans le même contexte, l'opérateur de nombre aa + spécifie le nombre de particules présentes dans l'état propre du champ.

Matrices pour a, x et p

Les seuls éléments de matrice non nuls de a sont nan 1− , que nous appellerons nλ . De même,

les seuls éléments non nuls de +a sont 1−+ nan , ils sont égaux à ∗nλ . Alors, un élément de

matrice diagonal de aa + est

(16) 2

nnannannaan λ=′′= ++

où une sommation sur l'ensemble complet n′ est sous-entendue. Puisque cet élément diagonal est

égal à n, nλ est égal à 2

1

n à un facteur de phase multiplicatif de grandeur unité près, que nous

pouvons choisir égal à un. Donc, les matrices pour a et +a sont

(17)

⋅⋅

⋅

=

⋅⋅

⋅

=

+

0300

0020

0001

0000

0000

3000

0200

0010

2

1

2

1

2

1

2

1

a

a

Le produit aa + peut être effectué à partir de ces matrices. Il est diagonal avec les valeurs propres 0, 1, 2,… comme attendu. Les expressions pour a et +a en fonction de x et p sont facilement résolues pour donner

(18) ( ) ( )aam

ipaam

x c

c

−

=+

= ++ 2

12

1

22

ωω

hh

Des matrices explicites pour x et p sont faciles à trouver à partir de (17) et (18). Chacune a des éléments non nuls qui bordent la diagonale principale sur les deux cotés.

Représentation coordonnées

Le ket 0 peut être trouvé en représentation coordonnées 0x en résolvant (10) dans cette

représentation. Nous avons

(19) ( ) ( ) 000 =′′−=− xxximpxximpx cc ωω

où

(20) ( )xxdx

dixpx ′−−=′ δh et ( )xxxxxx ′−=′ δ

et donc

(21) 00 =

−− xximdx

di cωh

La solution est

(22) ( ) 22/00 xm ceAx

hω−=

où 0A est une constante arbitraire. La normalisation

(23) 10002

=≡ ∫∞

∞−dxxxx

montre que ( ) 4

1

2

1

2

1

0 // παπω == hcmA où α a été définit dans l'étude précédente de l'oscillateur

harmonique. Comme remarqué ci-dessus, l'application répétée de l'opérateur de création ximp cω+ sur 0x

génère tous les états propres (non normalisés) nx . On vérifie facilement que pour une fonction

arbitraire ( )xg

(24)

( ) ( ) ( )

( )

−=

−−=+

−xge

dx

dei

xgxm

dx

dixgximp

xc

mxc

m

cc

hh

h

hh

2/22/2 ωω

ωω

Une deuxième application de ximp cω+ donne

(25) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

+−=+ −

xgximpedx

deixgximp c

xc

mxc

m

c ωω ωω hh

h2/22/22

et la substitution dans (24) donne

(26) ( ) ( )

− −

xgedx

dei

xc

mxc

m hh

h2/2

2

22/22 ωω

L'induction à ( ) ( )xgximpn

cω+ est évidente. Donc, quand ( )xg est choisi comme (22), nous

obtenons

(27) hh 2/22/2 x

cm

n

nx

cm

n edx

deAnx

ωω −=

où nA est une constante de normalisation.

Tous ces résultats sont en accord avec ceux obtenus lors de notre étude précédente de l'oscillateur harmonique.

Exercices 1. Supposez qu'une matrice hermitique donnée puisse être diagonalisée par une matrice unitaire.

Montrez alors que la condition nécessaire et suffisante pour que deux matrices hermitiques puissent être diagonalisées par la même transformation unitaire est qu'elles commutent.

2. Montrez qu'une matrice non singulière de rang fini doit être carrée. Montrez aussi que dans ce cas, l'équation 1=−1AA implique l'équation 1=− AA 1 .

3. Montrez que ( ) ( )AA ee trdet = . Donnez les conditions sur A qui doivent être supposées dans votre démonstration.

4. Trouvez deux matrices A et B qui satisfont les équations suivantes :

AAB

AAAA

OA

+

++

==+

=

1

2

où O est la matrice nulle et 1 la matrice unité. Montrez que BB =2 . Obtenez des expressions explicites pour A et B dans une représentation où B est diagonale, en supposant qu'elle est non dégénérée. Est-ce que A peut être diagonalisée dans une certaine représentation ?

5. Trouvez trois matrices A, B et C qui satisfont les équations suivantes :

OACCACBBCBAAB

CBA

=+=+=+=== 1

222

où O est la matrice nulle et 1 la matrice unité. Obtenez des expressions explicites pour les trois matrices dans une représentation où A est diagonal, en supposant qu'elle est non dégénérée.

6. Trouvez trois matrices A, B et C qui satisfont les équations suivantes :

iACBBC

CBA

=−=== 1

222

où 1 est la matrice unité. Montrez que OCAACBAAB =+=+ , où O est la matrice nulle. Obtenez des expressions explicites des trois matrices dans une représentation où A est diagonal, en supposant qu'elle est non dégénérée.

7. Si A et B sont deux matrices carrées de même rang et [ ]ABC ,≡= , montrez que

CBABA eeee 2

1

=+ pourvu que [ ] [ ] 0,, == BCAC .

8. Si ( )xVpH += µ2/2 pour le mouvement à une dimension d'une particule et si ( )xV peut être exprimé comme un développement en série de x, montrez par des méthodes purement matricielles que

dx

dV

dt

dp

p

dt

dx

−=

=µ

où x et p sont considérés dans le point de vue de Heisenberg. 9. ( )pxA , et ( )pxB ; peuvent être exprimés comme des développements en série de x et p et

[ ] hipx =, . Montrez par des méthodes purement matricielles que

[ ] BABAi

,,1

lim0

=→ hh

où le coté droit est le crochet de Poisson calculé comme si x et p étaient des variables classiques.

10. L'hamiltonien ( )rVpH += µ2/2 a un ensemble de vecteurs propres k avec les valeurs

propres kE . Montrez que, si l est un vecteur donné qui a une valeur propre discrète,

( )µ2

22 h=− lxkEE lkk

S

où x st une composante cartésienne de r. Comme sous-produit de votre solution, donnez une démonstration matricielle du problème 9 à la fin de la section III.2.

11. L'hamiltonien de l'oscillateur harmonique peut être écrit en représentation coordonnées comme

( ) ( )xxKxxxdx

d

mxHx ′−+′−−=′ δδ 2

2

22

2

1

2

h

Transformez H dans la représentation impulsion et trouvez les fonctions d'onde dans cette

représentation qui correspondent aux fonctions d'onde dans la représentation x données dans l'équation (19) de la section IV.1 ou l'équation (27) de la section VI.4.

12. Montrez que la matrice pour x obtenue à partir des équations (17) et (18) de la section VI.4 est en accord avec l'équation (28) de la section IV.1 et que l'équation (27) de la section VI.4 est en accord avec les équations (17) et (19) de la section IV.1.

Annexes

A.1. Tableau des particules élémentaires L'ensemble des particules élémentaires et résonances (particules dans un état excité et de très courte durée de vie) est considérable. Nous n'avons repris ici que les principales particules ainsi que les quelques propriétés qui nous intéressent. Nous ne donnons que les valeurs approximatives. Ce tableau ne constitue donc qu'un tout petit aperçu des particules élémentaires. Nous n'avons pas indiqué les particules d'antimatière. Elles se déduisent des particules existantes par le changement de signe des charges. L'ensemble de ces particules et leurs propriétés est le résultat de décennies d'étude à l'aide des accélérateurs de particules élémentaires. Les particules composites ont une structure interne composée de quarks. On peut avoir plusieurs structures possibles suivant la charge. Lorsque l'on donne une addition, il s'agit en fait d'une superposition quantique. La barre sur un symbole indique l'antiparticule. Particule Nature Charge Masse

(MeV)

Durée de vie

(s)

Etrangeté Spin Structure

e Electron -1 0.511 Stable 0 1/2 Elémentaire p Proton +1 938.28 Stable 0 1/2 uud n Neutron 0 939.57 898 0 1/2 ddu µ Muon -1 105.66 61019.2 −⋅ 0 1/2 Elémentaire τ Tau -1 1784.2 13104.3 −⋅ 0 1/2 Elémentaire ν Neutrino 0 ~0 Stable 0 1/2 Elémentaire u Quark 2/3 336 0 1/2 Elémentaire d Quark -1/3 336 0 1/2 Elémentaire s Quark -1/3 540 1 1/2 Elémentaire Photon Interaction 0 0 Stable 0 1 Elémentaire

électromagnétique

Gluon Interaction forte

0 0 Stable 0 1 Elémentaire

W Interaction faible

+1 0 1 Elémentaire

Z Interaction faible

0 0 1 Elémentaire

Λ Baryon 0 1115.6 10106.2 −⋅ -1 1/2 uds

Σ Baryon 0, +1, -1 1190 0Σ 20108.5 −⋅ autre 1010−

-1 1/2 uus uds dds

Ξ Baryon 0, -1 1320 10102 −⋅ -2 1/2 uus dss

π Méson 0, +1, -1 135 +π 8106.2 −⋅ 0π 16108.0 −⋅

0 0 du dduu +

du η Méson 0 548.8 Proche de 0 0 0 su

sd sd su

K Méson 0, +1, -1 497 +K 81023.1 −⋅

autre 10109.0 −⋅

+1, -1 0 su sd sd su