Mécanique Quantique Tome I. Histoires, bases et anciennes théories

I. Introduction II. Histoire III. Bases physiques IV. La théorie de Bohr V. L'expérience de Young VI. Principes de base

Tome II. L'équation de Schrödinger I. Hamiltonien II. Equation de Schrödinger III. Applications IV. Etats liés V. Théorie des collisions VI. Formulation matricielle Annexes

Tome III. Symétries et spin I. Théorie des groupes II. Symétries III. Spin IV. Particules identiques et spin V. Physique statistique VI. Formulation matricielle Annexes

Tome IV. L'atome d'hydrogène, les atomes et la matière I. Atomes et molécules II. Rayonnement III. Structure hyperfine IV. Maser et Laser V. Matière VI. Le magnétisme VII. Supraconductivité

Tome V. Mécanique quantique relativiste I. Vers une équation d'onde relativiste II. Equation de Dirac III. Solutions IV. Hydrogénoïdes V. Théorie des trous

VI. Propagation et diffusion Tome VI. Théories à variables cachées, théorèmes et décohérence

I. L'intrication quantique II. Contextualité III. Autres théorèmes IV. Logique quantique V. Applications VI. Décohérence VII. Théorie de Bohm

Tome VII. Interprétation de la mécanique quantique et classicalité I. Introduction II. Position du problème III. Interprétations IV. Expériences V. Du quantique au classique VI. Références

Tome III. Symétries et spin I. Théorie des groupes

I.1. Groupes I.1.1. Définition d'un groupe et propriétés de base I.1.2. Quelques exemples de groupes

I.1.2.1. Le groupe trivial I.1.2.2. Les entiers

I.1.2.3 Les réels et nR

I.1.2.4. Nombres réels non nuls sous la multiplication I.1.2.5. Nombres complexes non nuls sous la multiplication I.1.2.6. Nombres complexes de valeur absolue égale à un sous la multiplication I.1.2.7. Matrices inversibles I.1.2.8. Groupe symétrique (groupe des permutations) I.1.2.9. Entiers modulo n

I.1.3. Sous-groupes, centres et produits directs I.1.3.1. Exemples

I.1.4. Homomorphismes et isomorphismes I.1.4.1. Exemples

I.2. Groupes de Lie matriciels I.2.1. Définition d'un groupe de Lie matriciel

I.2.1.1. Contre-exemples

I.2.2. Exemples de groupes de Lie matriciels I.2.2.1. Les groupes linéaires généraux GL(n,R) et GL(n,C) I.2.2.2. Les groupes linéaires spéciaux SL(n,R) et SL(n,C) I.2.2.3. Le groupe orthonormal et le groupe orthonormal spécial O(n) et SO(n) I.2.2.4. Le groupe unitaire et le groupe unitaire spécial U(n) et SU(n) I.2.2.5. Les groupes orthogonaux complexes O(n,C) et SO(n,C) I.2.2.6. Le groupe orthogonal généralisé et le groupe de Lorentz I.2.2.7. Les groupes symplectiques Sp(n,R), Sp(n,C) et Sp(n) I.2.2.8. Le groupe de Heisenberg H

I.2.2.9. Les groupes ∗R ,

∗C , 1S , R et

nR I.2.2.10. Le groupe euclidien et le groupe de Poincaré

I.2.3. Groupes compacts I.2.3.1. Exemples de groupes compacts I.2.3.2. Exemples de groupes non compacts

I.2.4. Groupes connexes I.2.5. Groupes simplement connexes I.2.6. Homomorphismes et isomorphismes

I.2.6.1. Exemples : SU(2) et SO(3) I.2.7. Groupes de Lie

I.3. Algèbres de Lie et l'application exponentielle I.3.1. L'exponentielle matricielle I.3.2. Calcul de l'exponentielle d'une matrice

I.3.2.1. Cas 1 : X peut être diagonalisée I.3.2.2. Cas 2 : X est nilpotente I.3.2.3. Cas 3 : X arbitraire

I.3.2. Le logarithme matriciel I.3.3. Propriétés supplémentaires de l'exponentielle matricielle I.3.4. L'algèbre de Lie d'un groupe de Lie matriciel

I.3.4.1. Convention des physiciens I.3.4.2. Les groupes linéaires généraux I.3.4.3. Les groupes linéaires spéciaux I.3.4.4. Les groupes unitaires I.3.4.5. Les groupes orthogonaux I.3.4.6. Les groupes orthogonaux généralisés I.3.4.7. Les groupes symplectiques I.3.4.8. Le groupe de Heisenberg I.3.4.9. Le groupe euclidien et le groupe de Poincaré

I.3.5. Propriétés de l'algèbre de Lie

I.3.6. L'application exponentielle I.3.7. Algèbres de Lie

I.3.7.1. Constantes de structure I.3.8. La complexification d'une algèbre de Lie réelle

I.4. La formule de Baker-Campbell-Hausdorff I.4.1. La formule de Baker-Campbell-Hausdorff pour le groupe de Heisenberg I.4.2. La formule générale de Baker-Campbell-Hausdorff

I.4.2.1. Démonstration de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff I.4.3. La forme série de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff I.4.4. Sous-groupes et sous-algèbres

I.5. Théorie de base des représentations I.5.1. Représentations I.5.2. Pourquoi étudier les représentations ? I.5.3. Exemples de représentations

I.5.3.1. La représentation standard I.5.3.2. La représentation triviale I.5.3.3. La représentation adjointe I.5.3.4. Quelques représentations de SU(2) I.5.3.5. Deux représentations unitaires de SO(3) I.5.3.6. Une représentation unitaire des réels I.5.3.7. Les représentations unitaires du groupe de Heisenberg réel

I.5.4. Les représentations irréductibles de su(2) I.5.5. Sommes directes de représentations et réductibilité complète I.5.6. Produits tensoriels de représentations I.5.7. Lemme de Schur I.5.8. Représentations des groupes contre représentations des algèbres de Lie

I.5.8.1. Proposition 5.31 I.5.8.2. Lemme 5.32 I.5.8.3. Théorème 5.33 I.5.8.4. Démonstration du théorème 5.33

I.5.9. Groupes de recouvrement I.5.9.1. Exemples

I.6. Les représentations de SU(3) et au-delà I.6.1. Préliminaires I.6.2. Poids et racines I.6.3. Poids les plus hauts et le théorème de classification I.6.4. Démonstration du théorème de classification

I.6.4.1. Proposition 6.12 I.6.4.2. Proposition 6.14

I.6.4.3. Proposition 6.15 I.6.4.4. Proposition 6.16 I.6.4.5. Proposition 6.17 I.6.4.6. Proposition 6.18 I.6.4.7. Proposition 6.19

I.6.5. Un exemple : le poids le plus haut (1,1) I.6.6. Le groupe de Weyl

I.6.6.1. Conclusions I.6.7. Algèbres de Lie semi-simples complexes

I.6.7.1. Théorème 6.25 I.6.7.2. Théorème 6.31 I.6.7.3. Théorème 6.32 I.6.7.4. Théorème 6.33

II. Symétries II.1. Différentes symétries II.2. Symétries discrètes II.3. Symétries et lois de conservation II.3.1. Symétrie et conservation II.3.2. Les lois de conservation

III. Spin III.1. Spin un

III.1.1. Filtrage des atomes avec un appareil de Stern-Gerlach III.1.2. Expériences avec des atomes filtrés III.1.3. Filtres de Stern-Gerlach en série III.1.4. Etats de base III.1.5. Amplitudes en interférences III.1.6. La machinerie de la mécanique quantique III.1.7. Transformation dans une base différente III.1.8. Autres situations

III.2. Spin un demi III.2.1. Transformation des amplitudes III.2.2. Transformation dans un système de coordonnées ayant subi une rotation III.2.3. Rotations autour de l'axe z III.2.4. Rotations de 180° et de 90° autour de y III.2.5. Rotations autour de x III.2.6. Rotations quelconques

III.3. Traitement général III.3.1. Rotations, moment angulaire et groupes unitaires III.3.2. Composition des états de moment angulaire et opérateurs tensoriels

III.4. Applications III.4.1. La précession d'une particule de spin un demi III.4.2. Les états de polarisation du photon III.4.3. La lumière polarisée III.4.4. La désintégration du lambda 0 III.4.5. Le rayonnement du dipôle électrique III.4.6. Diffusion de la lumière III.4.7. L'annihilation du positronium III.4.8. La mesure du spin nucléaire

III.5. Symétries dynamiques IV. Particules identiques et spin

IV.1. Particules identiques IV.1.1. Collision entre particules identiques IV.1.2. Particules de Bose et particules de Fermi IV.1.3. Etats à deux particules de Bose IV.1.4. Etats à n particules de Bose

IV.2. Description des particules identiques IV.3. Moment angulaire de spin IV.4. Opérateur densité et matrice densité

V. Physique statistique V.1. Emission et absorption de photons V.2. Le principe d'exclusion V.3. Les diverses statistiques

V.3.1. Détermination des répartitions à l'équilibre V.3.2. Probabilité thermodynamique : méthode d'évaluation V.3.3. Statistique de Maxwell-Boltzmann V.3.4. Statistiques quantiques

V.4. Statistique de Bose-Einstein V.4.1. Modèle de Bose du rayonnement thermique V.4.2. Loi de Planck. Rayonnement du corps noir V.4.3. Aspects expérimentaux V.4.4. Interaction entre matière et rayonnement V.4.5. Gaz moléculaires parfaits de bosons V.4.6. Condensation d'Einstein

V.5. L'hélium V.5.1. Propriétés de l'hélium V.5.2. Modèle de London et modèle de Tisza V.5.3. Théorie de Landau V.5.4. Superfluidité dans la théorie de Landau

V.5.5. Rotation de l'hélium. Tourbillons quantiques V.5.6. Réfrigérateur à dilution

V.6. Statistique de Fermi-Dirac V.6.1. Loi de répartition. Fonction de Fermi V.6.2. Gaz parfaits de fermions V.6.3. Propriétés des gaz de fermions en champ magnétique V.6.4. Théorie élémentaire de la conduction dans les métaux

Tome III Symétries et spin Nous allons nous attaquer maintenant à une partir fort importante de la mécanique quantique : les symétries et le spin. Les symétries ont un rôle majeur en physique. Elles ne permettent pas seulement de simplifier la résolution des équations en permettant la présence de constantes du mouvement et en classant les solutions (par exemple, la possibilité de séparer l'équation de Schrödinger en présence de la symétrie sphérique). Elles ont aussi un rôle beaucoup plus profond. Elles ont un lien avec les lois de conservation, jouent sur les grandes propriétés qualitatives des comportements quantiques et permettent même de classer les particules en physique des particules. Le spin est une des conséquences liées aux symétries. Le spin est une propriété typiquement quantique reliée aux rotations et au moment angulaire. C'est une propriété pour lequel il est difficile de trouver des équivalents classiques. Elle a pourtant un rôle déterminant en physique car le comportement statistique des particules est relié à leur spin. De plus, chaque particule portant un spin, il est totalement incontournable. Nous allons commencer par une étude approfondie de la théorie des groupes. Cette théorie mathématique est la reine de l'étude des symétries. Nous avons préféré une étude complète à une simple introduction car de nombreux aspects de la théorie des groupes interviennent en physique et son usage, extrêmement important, dépasse même largement ce cours. Ensuite, nous attaquerons l'étude des symétries proprement dites. Cette étude nous mènera directement au spin que nous aborderons progressivement par une analyse expérimentale avant de généraliser et de donner l'ensemble des outils mathématiques se rapportant au spin.

L'étude des particules identiques permettra de mettre en lumière les propriétés statistiques de particules et le lien avec le spin. Nous serons alors outillés pour aborder quelques applications.

I. Théorie des groupes Ceci est une introduction à la théorie des groupes et plus spécifiquement à la théorie des groupes de Lie et de leurs représentations. La théorie des groupes inclut aussi les groupes finis et d'autres groupes que nous n'aborderons pas ici. L'étude des groupes de Lie nécessite en principe la connaissance des variétés différentiables, qui est un domaine mathématique déjà assez pointu. C'est pourquoi une approche utilisant uniquement les représentations matricielles et préférable ici. Elle est aussi suffisante pour nos besoins. Un groupe de Lie matriciel est simplement un sous-groupe fermé de GL(n,C) (que nous aurons l'occasion de voir). Bien qu'ils soient souvent appelés simplement "groupes matriciels", cette terminologie insiste sur le fait que tout groupe matriciel est un groupe de Lie. Cette approche du sujet permet de commencer rapidement sur la théorie des groupes de Lie proprement dite, avec un minimum de connaissances préalables. Puisque la plus part des exemples intéressant des groupes de Lie sont des groupes de Lie matriciels, il n'y a pas trop de perte de généralité. De plus, les preuves des principaux résultats sont ultimement similaires aux preuves standards de la situation générale, mais avec moins de préparation. Bien sûr, il y a un prix à payer et certaines constructions (par exemple les groupes de recouvrement) qui sont faciles dans le cas des groupes de Lie sont problématiques dans le cas des groupes matriciels (en effet, le recouvrement universel d'un groupe de Lie matriciel n'est pas nécessairement un groupe de Lie matriciel). D'un autre coté, l'approche matricielle suffit pour un premier cours. Quelqu'un projetant de faire des recherches dans la théorie des groupes de Lie à certainement besoin d'apprendre l'approche des variétés, mais même pour de telles personnes, il peut être utile de commencer avec une approche plus concrète. Et pour ceux dans les autres champs qui désirent seulement apprendre les bases de la théorie des groupes de Lie, cette approche leur permet de le faire rapidement.

Cette étude utilise aussi une approche atypique de la théorie des algèbres de Lie semi-simples, c'est à dire que l'on commence avec un calcul détaillé des représentations de SL(3,C). La théorie des sous algèbres de Cartan, les racines, les groupes de Weyl, etc. est assez difficiles à absorber en une fois. Il est donc utile d'essayer de motiver ces constructions en montrant comment elles sont utilisées dans la théorie des représentations de l'algèbre de Lie représentative la plus simple. Dans le but de rendre cette étude accessible à la plus large audience possible, on a inclut une très brève introduction des groupes abstraits. En fait, très peu de la théorie des groupes abstraits est nécessaire, ainsi le rapide traitement qui est donné sera suffisant pour ceux qui n'ont jamais vu cette matière avant.

I.1. Groupes

I.1.1. Définition d'un groupe et propriétés de base

DEFINITION 1.1. Un groupe est un ensemble G avec une application de GG × dans G (notée 21 gg ∗ ) avec les

propriétés suivantes : - Premièrement, associativité : pour tout Gggg ∈321 ,, ,

(1) ( ) ( ) 321321 gggggg ∗∗=∗∗

- Deuxièmement, il existe un élément e dans G tel que pour tout Gg∈ ,

(2) ggeeg =∗=∗

- Pour tout Gg∈ , il existe Gh∈ avec

(3) eghhg =∗=∗

Si ghhg ∗=∗ pour tout Ghg ∈, , alors le groupe est dit être commutatif (ou abélien).

L'élément e est (comme nous le verrons dans un moment) unique et est appelé élément identité du groupe ou simplement l'identité ou parfois élément neutre. Une partie de la définition d'un groupe

est que multiplier un élément g du groupe par l'identité ou bien à droite ou bien à gauche doit redonner g. L'application de GG × dans G est appelée l'opération produit pour le groupe ou multiplication (qui peut être différente de la multiplication ordinaire) ou loi de composition interne. Une partie de la définition d'un groupe G est que l'opération produit fait correspondre GG × sur G, c'est à dire que le produit de deux éléments de G est également un élément de G. Cette propriété est appelée la fermeture. Etant donné un élément g du groupe, un élément h du groupe tel que eghhg =∗=∗ est appelé un

inverse de g. Nous verrons dans un moment que chaque élément du groupe a un inverse unique. Etant donné un ensemble et une opération, il y a quatre choses qui doivent être contrôlées pour montrer que c'est un groupe : fermeture, associativité, existence d'une identité et existence des inverses.

PROPOSITION 1.2. (unicité de l'identité) Soit un groupe G et soit Gfe ∈, tel que pour tout Gg∈

(4) gfggf

gegge

=∗=∗=∗=∗

Alors e = f.

DEMONSTRATION Puisque e est une identité, nous avons (5) ffe =∗

D'un autre coté, puisque f est une identité, nous avons (6) efe =∗

Donc ffee =∗= .

PROPOSITION 1.3. (unicité des inverses) Soit G un groupe, e l'identité (unique) de G et g, h, k des éléments arbitraires de G. Supposons que

(7) egkkg

eghhg

=∗=∗=∗=∗

Alors h = k.

DEMONSTRATION Nous savons que ( )ekgjg =∗=∗ . En multipliant sur la gauche par j, cela donne

(8) ( ) ( )kghhgh ∗∗=∗∗

Par associativité, cela donne (9) ( ) ( ) kghhgh ∗∗=∗∗

et ainsi

(10) kh

kehe

=∗=∗

C'est ce que nous voulions démontrer.

PROPOSITION 1.4. Soit G un groupe, e l'élément identité de G et g un élément arbitraire de G. Supposons que Gh∈ satisfait ou bien egh =∗ ou bien ehg =∗ . Alors, h est l'inverse (unique) de g.

DEMONSTRATION Pour montrer que h est l'inverse de g, nous devons montrer que egh =∗ et ehg =∗ . Supposons

que nous sachions que, disons, egh =∗ . Alors notre but est de montrer que cela implique que

ehg =∗ .

Puisque egh =∗ ,

(11) ( ) gegghg =∗=∗∗

Par associativité, nous avons (12) ( ) gghg =∗∗

Maintenant, suivant la définition d'un groupe, g a un inverse. Soit k cet inverse (bien sûr, à la fin, nous conclurons que k = h, mais nous ne pouvons pas supposer cela maintenant).

En multipliant sur la droite par k et en utilisant l'associativité à nouveau, cela donne

(13)

( )( )( ) ( )( )

ehg

eehg

ekghg

ekgkghg

=∗=∗∗

=∗∗∗=∗=∗∗∗

Un argument similaire montre que si ehg =∗ , alors egh =∗ .

Notez qu'afin de montrer que egh =∗ implique ehg =∗ , nous avons utilisé le fait que g a un

inverse, puisque c'est un élément du groupe. Dans un contexte plus général (c'est à dire dans un certain système qui n'est pas un groupe), on peut avoir egh =∗ sans avoir ehg =∗ .

NOTATION 1.5.

Pour tout élément g du groupe, son unique inverse sera noté 1−g .

PROPOSITION 1.6. (propriétés des inverses) Soit G un groupe, e son identité et g, h des éléments arbitraires de G. Alors

(14)

( )( )

ee

ghgh

gg

==

=

−

−−−

−−

1

111

11

Exercices 1. Démontrez la relation (14) de la section I.1.1.

I.1.2. Quelques exemples de groupes A partir de maintenant, nous noterons le produit de deux éléments 1g et 2g du groupe simplement

par 21gg , au lieu de la notation plus encombrante 21 gg ∗ . De plus, puisque nous avons

l'associativité, nous écrirons simplement 321 ggg au lieu de ( ) 321 ggg ou ( )321 ggg .

I.1.2.1. Le groupe trivial L'ensemble avec un seul élément, e, est un groupe, avec l'opération de groupe définie comme

eee = . Ce groupe est commutatif. L'associativité est automatique puisque ( )eeeeeeee ==)( . Bien sûr, e lui-même est l'identité et son

propre inverse. La commutativité est aussi automatique.

I.1.2.2. Les entiers L'ensemble Z des entiers forme un groupe avec l'addition comme opération produit. Ce groupe est commutatif. Premièrement, nous contrôlons la fermeture, c'est à dire que l'addition fait correspondre ZZ × sur Z, c'est à dire que la somme de deux entiers est un entier. Puisque c'est évident, il reste seulement à contrôler l'associativité, l'identité et les inverses. L'addition est associative. Le zéro est l'identité additive (c'est à dire que nnn =+=+ 00 pour tout Zn∈ ). Chaque entier n a un inverse additif, c'est à dire n− . Puisque l'addition est commutative, Z est un groupe commutatif.

I.1.2.3. Les réels et nR L'ensemble R des nombres réels forme aussi un groupe sous l'opération d'addition. Ce groupe est

commutatif. De même, l'espace euclidien à n dimensions nR forme un groupe sous l'opération d'addition vectorielle. Ce groupe est aussi commutatif. La vérification est la même que pour les entiers.

I.1.2.4. Nombres réels non nuls sous la multiplicat ion L'ensemble des nombres réels non nuls forme un groupe par rapport à l'opération de multiplication. Ce groupe est commutatif. A nouveau nous contrôlons la fermeture : le produit de deux nombres réels non nuls est un nombre réel non nul. La multiplication est associative. Un est l'identité multiplicative. Chaque nombre réel non nul x a un inverse multiplicatif, c'est à dire x/1 . Puisque la multiplication des réels est commutative, c'est un groupe commutatif.

Ce groupe est noté ∗R .

I.1.2.5. Nombres complexes non nuls sous la multipl ication L'ensemble des nombres complexes non nuls forme un groupe par rapport à l'opération de multiplication complexe. Ce groupe est commutatif.

Ce groupe est noté ∗C .

I.1.2.6. Nombres complexes de valeur absolue égale à un sous la multiplication L'ensemble des nombres complexes avec la valeur absolue égale à un (c'est à dire de la forme θie ) forme un groupe sous la multiplication complexe. Ce groupe est commutatif.

Ce groupe est le cercle unité, noté 1S .

I.1.2.7. Matrices inversibles Pour chaque entier positif n, l'ensemble de toutes les matrices inversibles nn× avec des éléments réels forme un groupe par rapport à l'opération de multiplication matricielle. Ce groupe est non commutatif pour 2≥n .

Nous contrôlons la fermeture : le produit de deux matrices inversibles est inversible, puisque

( ) 111 −−− = ABAB . La multiplication matricielle est associative. La matrice identité (avec des uns sur

la diagonale, zéro partout ailleurs) est l'élément identité. Par définition, une matrice inversible a un inverse. Des exemples simples montrent que le groupe est non commutatif, excepté dans le cas trivial n = 1. Ce groupe est appelé le groupe linéaire général (sur les réels) et est noté GL(n,R).

I.1.2.8. Groupe symétrique (groupe des permutations ) L'ensemble des applications bijectives de l'ensemble n,,2,1 K sur lui-même forme un groupe sous

l'opération de composition. Ce groupe est non commutatif pour 3≥n . Nous contrôlons la fermeture : la composition de deux applications bijectives est à nouveau une application bijective. La composition des fonctions est associative. L'application identité (qui envoie 1 sur 1, 2 sur 2, etc.) est l'élément identité. Une application bijective a un inverse. Des exemples simples montrent que le groupe est non commutatif aussi longtemps que n vaut au moins 3. Ce groupe est appelé le groupe symétrique et est noté nS . Une application bijective de n,,2,1 K

est une permutation et ainsi nS est aussi appelé le groupe des permutations. Le groupe nS a !n

éléments.

I.1.2.9. Entiers modulo n L'ensemble 1,,1,0 −nK forme un groupe sous l'opération d'addition nmod . Ce groupe est

commutatif. Explicitement, l'opération de groupe est la suivante Considérons 1,,1,0, −∈ nba K . Si nba <+ ,

alors banba +=+ mod , si nba ≥+ , alors nbanba −+=+ mod (puisque a et b sont inférieur à n, donc nous avons la fermeture). Pour montrer l'associativité, notons que ( ) ncnba modmod ++

et nncba mod)mod( ++ sont tous les deux égal à cba ++ moins un certain multiple de n et donc

différents par un multiple de n. Puisque les deux sont dans l'ensemble 1,,1,0 −nK , le seul

multiple possible de n est zéro. Zéro est encore l'identité pour l'addition nmod . L'inverse d'un élément 1,,1,0 −∈ na K est an − . Le groupe est commutatif car l'addition ordinaire est

commutative. Ce groupe est appelé " nZ mod " et est noté nZ .

Exercices 1. Contrôlez que an − est dans 1,,1,0 −nK et que ( ) 0mod =−+ nana .

I.1.3. Sous-groupes, centres et produits directs

DEFINITION 1.7. Un sous-groupe d'un groupe G est un sous-ensemble H de G avec les propriétés suivantes : 1. L'identité est un élément de H.

2. Si Hh∈ , alors Hh ∈−1 . 3. Si Hhh ∈21 , , alors Hhh ∈21 .

Les conditions sur H garantissent que H est un groupe avec la même opération produit que G (mais restreinte à H). La fermeture est assurée par (3), l'associativité suit de l'associativité de G, et l'existence de l'identité et des inverses est assurée par (1) et (2).

I.1.3.1. Exemples Tout groupe G a au moins deux sous groupes : G lui-même et le sous-groupe à un élément e (si G

lui-même est le groupe trivial, alors ces deux sous-groupes coïncident). Ils sont appelés les sous-groupes triviaux de G. L'ensemble des entiers pairs est un sous groupe de Z : zéro est pair, le négatif d'un entier pair est pair et la somme de deux entiers pairs est paire.

L'ensemble H des matrices réelles nn× avec un déterminant unité est un sous-groupe de GL(n,R). L'ensemble H est un sous-ensemble de GL(n,R) car toute matrice avec un déterminant unité est inversible. La matrice identité a un déterminant unité, ainsi la première condition est satisfaite. Le déterminant de l'inverse est l'inverse du déterminant, ainsi la deuxième condition est satisfaite. Et le déterminant d'un produit est le produit des déterminants, ainsi la troisième condition est satisfaite. Ce groupe est appelé groupe linéaire spécial (sur les réels) et est noté SL(n,R).

DEFINITION 1.8. Le centre d'un groupe G est l'ensemble de tous les Gg∈ tel que hggh = pour tout Gh∈ .

Il n'est pas difficile de voir que le centre de tout groupe G est un sous-groupe de G.

DEFINITION 1.9. Soit G et H des groupes, et considérons le produit cartésien de G et H, c'est à dire l'ensemble des paires ordonnées ( )hg, avec Gg∈ et Hh∈ . Définissons une opération produit sur cet ensemble

comme suit : (1) ( )( ) ( )21212211 ,,, hhgghghg =

Cette opération fait du produit Cartésien de G et H un groupe, appelé le produit direct de G et H et noté HG × . Il est assez simple de contrôler que cette opération fait réellement de HG × un groupe. Par exemple, l'élément identité de HG × est la paire ( )21 ,ee où 1e est l'identité pour G et 2e est

l'identité pour H.

I.1.4. Homomorphismes et isomorphismes

DEFINITION 1.10. Soit G et H des groupes. Une application HG →:φ est appelée un homomorphisme si

( ) ( ) ( )2121 gggg φφφ = pour tout Ggg ∈21 , . Si en plus, φ est une application bijective, alors φ est

appelée un isomorphisme. Un isomorphisme d'un groupe avec lui-même est appelé un automorphisme.

PROPOSITION 1.11. Soit G et H des groupes, 1e l'élément identité de G et 2e l'élément identité de H. Si HG →:φ est

un homomorphisme, alors ( ) 21 ee =φ et ( ) ( ) 11 −− = gg φφ pour tout Gg∈ .

DEMONSTRATION.

Soit g un élément de G. Alors ( ) ( ) ( ) ( )11 eggeg φφφφ == . En multipliant sur la gauche par ( ) 1−gφ ,

cela donne ( )12 ee φ= . Considérons maintenant ( )1−gφ . Puisque ( ) 21 ee =φ , nous avons

( ) ( ) ( ) ( )1112

−− === ggggee φφφφ . Selon la proposition 1.4, nous en concluons que ( )1−gφ est

l'inverse de ( )gφ .

DEFINITION 1.12. Soit G et H des groupes, HG →:φ un homomorphisme et 2e l'élément identité de H. Le noyau de

φ est l'ensemble de tous les Gg∈ pour lesquels ( ) 2eg =φ .

PROPOSITION 1.13. Soit G et H des groupes et HG →:φ un homomorphisme. Alors le noyau de φ est un sous-

groupe de G. La démonstration est facile.

I.1.4.1. Exemples Etant donné deux groupes G et H, nous avons l'homomorphisme trivial de G vers H : ( ) eg =φ pour

tout Gg∈ . Le noyau de cet homomorphisme est la totalité de G.

Dans tout groupe G, l'application identité ( ( ) gg =id ) est un automorphisme de G dont le noyau est

e .

Soit ZHG == , et définissons ( ) nn 2=φ . C'est un homomorphisme de Z sur lui-même mais pas

un automorphisme (car l'image de Z est seulement un sous-ensemble de Z). Le noyau de cet homomorphisme est 0 .

Le déterminant est un homomorphisme de GL(n,R) vers ∗R . Le noyau de cette application est SL(n,R). S'il existe un isomorphisme de G vers H, alors G et H sont dit être isomorphe et cette relation est notée HG ≅ . Deux groupes qui sont isomorphes devraient être vus comme étant (pour tout usage pratique) le même groupe.

Exercices

Rappelez les définitions des groupes GL(n, R), nS , ∗R , nZ et SL(n,R).

1. Montrez que le centre de tout groupe G est un sous-groupe de G. 2. Dans (a)-(f), vous avez un groupe G et un sous-ensemble H de G. Dans chaque cas, déterminez

si est H un sous-groupe de G. (a) G = Z, H = entiers impairs (b) G = Z, H = multiples de 3 (c) G = GL(n,R), ( ) entierunestdet|, ARnGLAH ∈=

(d) G = SL(n, R), ( ) entiersdessontAdeélémentslestous|,RnSLAH ∈=

Suggestion : rappelez les règles de Kramer pour trouver l'inverse d'une matrice. (e) G = GL(n,R), ( ) rationnelssontAdeélémentslestous|,RnGLAH ∈=

(f) G = 9Z , H = 0, 2, 4, 6, 8

3. Vérifiez les propriétés des inverses de la proposition 1.6. 4. Soit G et H des groupes. Supposons qu'il existe un isomorphisme φ de G vers H. Montrez qu'il

existe un isomorphisme de H vers G.

5. Montrez que l'ensemble des nombres réels positifs est un sous-groupe de ∗R . Montrez que ce groupe est isomorphe au groupe R.

6. Montrez que l'ensemble des automorphismes de tout groupe G est lui-même un groupe sous l'opération de composition. Ce groupe est le groupe d'automorphismes de G, Aut(G).

7. Etant donné tout groupe G et tout élément g de G, définissons GGg →:φ par ( ) 1−= ghghgφ .

Montrez que gφ est un automorphisme de G. Montrez que l'application gg φ→ est un

homomorphisme de G vers Aut(G) et que le noyau de cette application est le centre de G. Note : Un automorphisme qui peut être exprimé comme gφ pour certains Gg∈ est appelé un

automorphisme intérieur. Tout automorphisme de G qui n'est égal à aucun gφ est appelé un

automorphisme extérieur. 8. Donnez un exemple de deux matrices réelles inversibles 2x2 qui ne commutent pas (cela

montre que GL(2,R) est non commutatif). 9. Montrez que dans tout groupe G, le centre de G est un sous-groupe. 10. Un élément σ du groupe des permutations nS peut être écrit sous une forme à deux lignes,

=

n

n

σσσσ

L

L

21

21

où iσ dénote ( )iσ . Donc

=

132

321σ

est l'élément de 3S qui envoie 1 vers 2, 2 vers 3 et 3 vers 1. Quand on multiplie (c'est-à-dire

quand on compose) deux permutations, on effectue celle sur la droite d'abord et ensuite celle sur la gauche (c'est la convention usuelle pour la composition de fonctions). Calculez

231

321

312

321

et

312

321

231

321

Concluez-en que 3S n'est pas commutatif.

11. Considérez l'ensemble N = 0, 1, 2, … des nombres naturels et l'ensemble F de toutes les fonctions de N sur lui-même. La composition des fonctions définit une application de FF × vers F qui est associative. L'identité (id(n) = n) a la propriété que fidffid == oo pour tout

f dans F . Cependant, puisque nous ne nous restreignons pas aux fonctions qui sont des applications bijectives, tous les éléments de F n'ont pas un inverse. Donc F n'est pas un groupe. Donnez un exemple de deux fonctions f, g dans F tel que idgf =o mais idfg ≠o

(comparez avec la proposition 1.4). 12. Considérez les groupes Z et nZ . Pour chaque a dans Z, définissons a mod n comme l'élément

unique b de 0, 1, …, n - 1 tel que a peut être écrit comme a = kn + b avec k un entier. Montrez que l'application naa mod→ est un homomorphisme de Z vers nZ .

13. Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. H est appelé un sous-groupe normal de G si pour

tout Gg∈ et Hh∈ donnés, 1−ghg est dans H.

Montrez que tout sous-groupe d'un groupe commutatif est normal. Montrez que dans tout groupe G, les sous-groupes triviaux G et e sont normaux. Montrez que le centre de tout groupe est un sous-groupe normal. Montrez que si φ est un homomorphisme de G vers H, alors

le noyau de φ est un sous-groupe normal de G.

Montrez que SL(n,R) est un sous-groupe normal de GL(n,R). Note : un groupe G sans sous-groupe normal autre que G et e est appelé simple.

I.2. Groupes de Lie matriciels

I.2.1. Définition d'un groupe de Lie matriciel Rappelons que le groupe linéaire général sur les réels, noté GL(n,R), est le groupe de toutes les matrices inversibles nn× avec des éléments réels. Nous pouvons de même définir GL(n,C) comme le groupe de toutes les matrices inversibles nn× avec des éléments complexes. Bien sûr, GL(n,R) est contenu dans GL(n,C).

DEFINITION 2.1. Un groupe de Lie matriciel est un sous-groupe H de GL(n,C) avec la propriété suivante : si nA est

toute suite de matrice dans H et que nA converge vers une certaine matrice A, alors ou bien HA∈

ou bien A n'est pas inversible. La condition sur H revient à dire que H est un sous-ensemble fermé de GL(n,C) (ce n'est pas la même chose que de dire que H est fermé dans l'espace de toutes les matrices). Donc la définition 2.1. est équivalente à dire qu'un groupe de Lie matriciel est un sous-groupe fermé de GL(n,C). La condition que H est un sous-groupe fermé, par opposition à simplement un sous-groupe, peut être vue comme technique, car la plus par des sous-groupes intéressant de GL(n,C) ont cette propriété (la plus part des groupes de Lie matriciels H que nous considérerons ont la propriété plus forte que si nA est une suite de matrice dans H, et que nA converge vers une certaine matrice A,

alors HA∈ ). Il y a une structure topologique sur l'ensemble des matrices complexes nn× qui a avoir avec la notion de convergence ci-dessus. Cette structure topologique est définie en identifiant l'espace des

matrices nn× avec 2nC d'une manière évidente et en utilisant la structure topologique usuelle sur

2nC .

I.2.1.1. Contre-exemples Un exemple de sous-groupe de GL(n,C) qui n'est pas fermé (et donc n'est pas un groupe de Lie matriciel) est l'ensemble de toutes les matrices nn× inversibles dont les éléments sont réels et rationnels. C'est en fait un sous-groupe de GL(n,C) mais pas un sous-groupe fermé. C'est à dire que l'on peut avoir (facilement) une suite de matrices inversibles avec des éléments rationnels convergeant vers une matrice inversible avec certains éléments irrationnels (en fait, toute matrice inversible réelle est la limite d'une certaine suite de matrices inversibles avec des éléments rationnels). Un autre exemple d'un groupe de matrices qui n'est pas un groupe de Lie matriciel est le sous-groupe suivant de GL(2,C). Soit a un nombre réel irrationnel et posons

(1)

∈

= Rt

e

eH

ita

it

|0

0

Clairement, H est un sous-groupe de GL(2,C). Comme a est irrationnel, la matrice -I n'est pas dans

H, puisque pour rendre ite égal à -1, nous devons prendre t comme un multiple entier impair de π . D'un autre coté, en prenant ( )π12 += nt pour un entier n convenablement choisi, nous pouvons

rendre ta arbitrairement proche d'un multiple entier impair de π (la vérification est laissée au lecteur). Donc, nous pouvons trouver dans une suite de matrices qui converge vers -I et ainsi H n'est pas un groupe de Lie matriciel.

I.2.2. Exemples de groupes de Lie matriciels Maîtriser le sujet des groupes de Lie implique non seulement d'apprendre la théorie générale, mais aussi de se familiariser avec les exemples. Dans cette section, nous introduisons quelque uns des plus importants exemples de groupes de Lie (matriciels).

I.2.2.1 Les groupes linéaires généraux GL(n,R) et G L(n,C) Les groupes linéaires généraux (sur R ou C) sont eux-mêmes des groupes de Lie matriciels. Bien sûr, GL(n,C) est un sous-groupe de lui-même. De plus, si nA est une suite de matrices dans

GL(n,C) et que nA converge vers A, alors par la définition de GL(n,C), ou bien A est dans

GL(n,C), ou bien A n'est pas inversible. De plus, GL(n,R) est un sous-groupe de GL(n,C), et si ( )RnGLAn ,∈ , et que nA converge vers A,

alors les éléments de A sont réels. Donc A est non inversible ou bien ( )RnGLA ,∈ .

I.2.2.2. Les groupes linéaires spéciaux SL(n,R) et SL(n,C) Le groupe linéaire spécial (sur R ou C) est le groupe des matrices inversibles nn× (avec des éléments réels ou complexes) ayant un déterminant égal à l'unité. Les deux sont des sous-groupes de GL(n,C). De plus, si nA et une suite de matrices avec un déterminant égal à l'unité et que nA

converge vers A, alors A a aussi un déterminant égal à l'unité. Car le déterminant est une fonction continue. Donc, SL(n,R) et SL(n,C) sont des groupes de Lie matriciels.

I.2.2.3. Le groupe orthogonal et le groupe orthogon al spécial O(n) et SO(n) Une matrice A réelle nn× est dite être orthogonale si les vecteurs colonnes qui constituent A sont orthonormaux, c'est à dire si

(1) jk

n

i

ikij AA δ=∑=1

De manière équivalente, A est orthogonal si elle préserve le produit scalaire, c'est à dire si

AyAxyx ,, = pour tous vecteurs x, y dans nR (les crochets dénotent le produit scalaire usuel

sur nR , ∑=i ii yxyx, ). Encore une autre définition équivalente est que A est orthogonal si

IAAtr = , c'est à dire si 1−= AAtr ( trA est la transposée de A, ( ) jiij

tr AA = ).

Puisque AAtr detdet = , nous voyons que si A est orthogonal, alors ( ) ( ) 1detdetdet 2 === IAAAtr .

Donc, 1det ±=A pour toutes les matrices orthogonales A.

Cette formule nous dit, en particulier, que toute matrice orthogonale doit être inversible. Mais si A est une matrice orthogonale, alors

(2) ( ) ( ) yxyAAxAAyAxA ,,, 1111 == −−−−

Donc l'inverse d'une matrice orthogonale est orthogonale. De plus, le produit de deux matrices orthogonales est orthogonal, puisque si A et B préservent tous les deux le produit scalaire, alors aussi AB. Donc, l'ensemble des matrices orthogonales forme un groupe. L'ensemble de toutes les matrices orthogonales réelles nn× est le groupe orthogonal O(n) et est un sous-groupe de GL(n,C). La limite d'une suite de matrices orthogonales est orthogonale, car la relation IAAtr = est préservée sous les limites. Donc O(n) est un groupe de Lie matriciel. L'ensemble des matrices orthogonales nn× avec un déterminant unité est le groupe orthogonal spécial SO(n). Clairement, c'est un sous-groupe de O(n) et donc de GL(n,C). De plus, à la fois l'orthogonalité et la propriété d'avoir un déterminant unité sont préservés sous les limites, et ainsi SO(n) est un groupe de Lie matriciel. Puisque les éléments de O(n) ont déjà un déterminant égal à 1± , SO(n) est "la moitié" de O(n).

Géométriquement, les éléments de O(n) sont ou bien des rotations, ou bien des combinaisons de rotations et de réflexions. Les éléments de SO(n) sont seulement les rotations.

I.2.2.4. Le groupe unitaire et le groupe unitaire s pécial U(n) et SU(n) Une matrice complexe A est dite unitaire si les vecteurs colonnes de A sont orthonormaux, c'est à dire si

(1) jk

n

i

ikij AA δ=∑=

∗

1

De manière équivalente, A est unitaire si elle préserve le produit scalaire, c'est à dire si

AyAxyx ,, = pour tous vecteurs x, y dans nC (les crochets dénotent ici le produit scalaire sur nC , ∑ ∗=

i ii yxyx, . Nous adopterons la convention de mettre le conjugué complexe sur la

gauche). Encore une autre définition équivalente est que A est unitaire si IAA =+ , c'est-à-dire si 1−+ = AA , ce que nous avions déjà rencontré.

Puisque ( )∗+ = AA detdet , nous voyons que si A est unitaire, alors ( ) 1detdetdet2 ===+ IAAA .

Donc 1det =A pour toutes les matrices unitaires A.

Cela montre en particulier que toute matrice unitaire est inversible. Le même argument que pour le groupe orthogonal montre que l'ensemble des matrices unitaires forme un groupe. L'ensemble de toutes les matrices unitaires nn× est le groupe unitaire U(n) et est un sous-groupe de GL(n,C). La limite de matrices unitaires est unitaire, ainsi U(n) est un groupe de Lie matriciel. L'ensemble des matrices unitaires avec un déterminant unité est le groupe unitaire spécial SU(n). Il est facile de contrôler que SU(n) est un groupe de Lie matriciel. Notez qu'une matrice unitaire peut

avoir un déterminant égal à θie pour tout θ , et ainsi SU(n) est un plus petit sous-ensemble de U(n) que SO(n) l'est de O(n) (spécifiquement, SO(n) a la même dimension que O(n), tandis que SU(n) a une dimension de moins que U(n)).

I.2.2.5. Les groupes orthogonaux complexes O(n,C) e t SO(n,C) Considérons la forme bilinéaire ( ) sur nC définie par ( ) ∑= ii yxyx, . Cette forme n'est pas un

produit scalaire à cause de l'absence d'un complexe conjugué dans la définition. L'ensemble de toutes les matrices complexes nn× A qui préserve cette forme (c'est à dire tel que ( ) ( )yxAyAx ,, =

pour tous nCyx ∈, ), est le groupe orthogonal complexe O(n,C) et est un sous-groupe de GL(n,C)

(la démonstration est la même que pour O(n)). Une matrice complexe nn× est dans O(n,C) si et seulement si IAAtr = . Il est facile de montrer que O(n,C) est un groupe de Lie matriciel et que

1det ±=A pour tout A dans O(n,C). Notons que O(n,C) n'est pas le même que le groupe unitaire U(n). Le groupe SO(n,C) est définit par l'ensemble de tout A dans O(n,C) avec 1det =A . Alors SO(n,C) est aussi un groupe de Lie matriciel.

I.2.2.6. Le groupe orthogonal généralisé et le grou pe de Lorentz Soit n et k des entiers positifs et considérons knR + . Définissons une forme bilinéaire symétrique

[ ]kn, sur knR + par la formule

(1) [ ] knknnnnnkn yxyxyxyxyx ++++ −−−++= LL 1111,,

L'ensemble des matrices réelles ( ) ( )knkn +×+ A qui préserve cette forme (c'est à dire telles que

[ ] [ ] knkn yxAyAx ,, ,, = pour tout knRyx +∈, ) est le groupe orthogonal généralisé O(n;k) et est un

sous-groupe de GL(n+k,R). Puisque O(n;k) et O(k;n) sont essentiellement le même groupe, nous restreindrons notre attention aux cas kn ≥ . Il n'est pas difficile de contrôler que O(n;k) est un groupe de Lie matriciel.

Si A est une matrice réelle ( ) ( )knkn +×+ , soit ( )iA le vecteur colonne i de A, c'est à dire

(2) ( )

=

+ ikn

i

i

A

A

A

,

,1

M

Alors A est dans O(n;k) si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :

(3)

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] kninAA

niAA

jiAA

kn

ii

kn

ii

kn

ji

+≤≤+−=

≤≤=

≠=

11,

11,

0,

,

,

,

Soit g la matrice diagonale ( ) ( )knkn +×+ avec les n premiers éléments diagonaux égaux à un, et

les k derniers éléments diagonaux égaux à moins un. Alors A est dans O(n;k) si et seulement si

ggAAtr = . En prenant le déterminant de cette équation, cela donne ( ) ggA detdetdet 2 = ou

( ) 1det 2 =A . Donc pour tout A dans O(n;k), 1det ±=A .

Le groupe SO(n;k) est définit comme l'ensemble des matrices dans O(n;k) avec 1det =A . C'est un sous-groupe de GL(n+k,R) et c'est un groupe de Lie matriciel. Particulièrement intéressant en physique est le groupe de Lorentz O(3;1) (quelque fois, la phrase groupe de Lorentz est utilisée plus généralement pour se référer au groupe O(n,1) pour tout 1≥n ).

I.2.2.7. Les groupes symplectiques Sp(n,R), Sp(n,C) et Sp(n) Les groupes linéaires spéciaux et généraux, les groupes orthogonaux et unitaires et les groupes symplectiques (que nous définirons dans un instant) forment les groupes classiques. Parmi les groupes classiques, les groupes symplectiques ont la définition la plus confuse, partiellement parce qu'il y a trois ensembles d'entre eux (Sp(n;R), Sp(n;C) et Sp(n)) et partiellement parce qu'ils impliquent des formes bilinéaires antisymétriques plutôt que des formes bilinéaires symétriques plus familières. Pour ajouter à la confusion, les notations pour indiquer ces groupes ne sont pas consistantes d'un auteur à l'autre. Considérons la forme bilinéaire antisymétrique B sur nR 2 définie comme suit :

(1) [ ] ∑=

++ −=n

i

iinini yxyxyxB1

,

L'ensemble de toutes les matrices nn 22 × A qui préserve B (c'est à dire tel que [ ] [ ]yxBAyAxB ,, =

pour tout nRyx 2, ∈ ) est le groupe symplectique réel Sp(n,R) et est un sous-groupe de GL(2n,R). Il

n'est pas difficile de contrôler que c'est un groupe de Lie matriciel. Ce groupe apparaît naturellement dans l'étude de la mécanique classique. Si J est la matrice nn 22 ×

(2)

−=

0

0

I

IJ

alors [ ] JyxyxB ,, = et il est possible de contrôler qu'une matrice réelle nn 22 × A est dans

Sp(n;R) si et seulement si JJAAtr = . En prenant le déterminant de cette identité, cela donne

( ) JJA detdetdet 2 = ou ( ) 1det 2 =A . Cela montre que 1det ±=A pour tout ( )RnSpA ;∈ . En fait,

1det =A pour tout ( )RnSpA ;∈ , bien que ce ne soit pas évident.

On peut définir une forme bilinéaire sur nC 2 avec la même formule (1) (cette forme est bilinéaire, non hermitique et n'implique pas de complexe conjugué). L'ensemble des matrices complexes

nn 22 × qui préserve cette forme est le groupe symplectique complexe Sp(n,C). Une matrice

complexe nn 22 × A est dans Sp(n,C) si et seulement si JJAAtr = (notons que cette condition

implique trA , pas +A ). Cette relation montre que 1det ±=A pour tout ( )CnSpA ,∈ . En fait,

1det =A pour tout ( )CnSpA ,∈ .

Finalement, nous avons le groupe symplectique compact Sp(n) définit comme (3) ( ) ( ) ( )nUCnSpnSp 2; ∩=

I.2.2.8. Le groupe de Heisenberg H L'ensemble de toutes les matrices réelles 33× A de la forme

(1)

=100

10

1

c

ba

A

où a, b et c sont des nombres réels arbitraires, est le groupe de Heisenberg. Il est facile de contrôler que le produit de deux matrices de la forme (1) est encore de cette forme et, clairement, la matrice identité est de la forme (1). De plus, un calcul direct montre que si A est comme (1), alors

(2)

−−−

=−

100

10

11 c

baca

A

Donc, H est un sous-groupe de GL(3,R). Clairement, la limite de matrices de la forme (1) est encore de cette forme et ainsi H est un groupe de Lie matriciel.

Il n'est pas évident pour le moment de voir pourquoi ce groupe est appelé le groupe de Heisenberg. Nous verrons plus tard que l'algèbre de Lie de H donne une réalisation des relations de commutation de Heisenberg de la mécanique quantique.

I.2.2.9. Les groupes ∗R , ∗C , 1S , R et nR Plusieurs groupes importants qui ne sont pas naturellement des groupes de matrices peuvent (et le seront ici) être vu comme tels. Le groupe ∗R des nombres réels non nuls sous la multiplication est isomorphe à GL(1,R). Donc,

nous regarderons ∗R comme un groupe de Lie matriciel. De même, le groupe ∗C des nombres

complexes non nuls sous la multiplication est isomorphe à GL(1,C) et le groupe 1S des nombres complexes avec une valeur absolue égale à un est isomorphe à U(1).

Le groupe R sous l'addition est isomorphe à ( )+RGL ,1 (les matrices réelles 11× avec un

déterminant positif) via l'application [ ]xex → . Le groupe nR (avec l'addition vectorielle) est

isomorphe aux groupes des matrices réelles diagonales avec les éléments diagonaux positifs, via l'application

(1) ( )

→nx

x

n

e

e

xx

0

0

,,

1

1 OK

I.2.2.10. Le groupe euclidien et le groupe de Poinc aré Le groupe euclidien E(n) est par définition le groupe de toutes les applications bijectives préservant

les distances de nR vers lui-même, c'est à dire les applications nn RRf →: telles que

( ) ( )( ) ( )yxdyfxfd ,, = pour tout nRyx ∈, . Ici d est la distance usuelle sur nR , ( ) yxyxd −=, .

Notez que nous ne supposons rien sur la structure de f en dehors de la propriété ci-dessus. En particulier, f n'a pas besoin d'être linéaire. Le groupe orthogonal O(n) est un sous-groupe de E(n) et est le groupe de toutes les applications linéaires préservant les distances de nR vers lui-même.

L'ensemble des translations de nR (c'est à dire l'ensemble des applications de la forme ( ) yxyTx += ) est aussi un sous-groupe de E(n).

PROPOSITION 2.3. Tout élément T de E(n) peut être écrit de manière unique comme une transformation linéaire orthogonale suivie par une translation. C'est à dire, sous la forme (1) RTT x=

avec nRx∈ et ( )nOR∈ .

Nous ne démontrerons pas cela ici. L'étape clé est de démontrer que toute application bijective préservant les distances de nR vers lui-même qui fixe l'origine doit être linéaire. Nous écrirons un élément RTT x= de E(n) comme une paire Rx, .

Notons que pour nRy∈ ,

(2) xRyyRx +=,

et que (3) ( ) ( )2112112212211 ,, xRxyRRxxyRRyRxRx ++=++=

Donc, l'opération produit pour E(n) est la suivante : (4) 212112211 ,,, RRxRxRxRx +=

L'inverse d'un élément de E(n) est donné par

(5) 111 ,, −−− −= RxRRx

Maintenant, comme déjà noté, E(n) n'est pas un sous-groupe de GL(n,R), puisque les translations ne sont pas des applications linéaires. Cependant, E(n) est isomorphe à un sous-groupe de GL(n+1,R) via l'application qui associe ( )nERx ∈, la matrice suivante

(6)

100

1

L

M

nx

R

x

Cette application est clairement injective et un simple calcul montre que c'est un homomorphisme. Donc E(n) est isomorphe au groupe de toutes les matrices de la forme (6) avec ( )nOR∈ . La limite

de matrices de la forme (6) est encore de cette forme, et ainsi nous avons exprimé le groupe euclidien E(n) comme un groupe de Lie matriciel. Nous définissons de même le groupe de Poincaré P(n,1) comme le groupe de toutes les transformations de 1+nR de la forme (7) ATT x=

avec 1+∈ nRx , ( )1,nOA∈ . C'est le groupe des transformations affines de 1+nR qui préserve la

"distance" de Lorentz ( ) ( ) ( ) ( )211

22

11, ++ −−−++−= nnnnL yxyxyxyxd L (une transformation

affine est de la forme bAxx +→ où A est une transformation linéaire et b une constante). Le produit du groupe est l'analogue évident du produit (4) pour le groupe euclidien. Le groupe de Poincaré ( )1,nP est isomorphe au groupe ( ) ( )22 +×+ nn des matrices de la forme

(8)

+

1001

1

L

M

nx

A

x

avec ( )1,nOA∈ . L'ensemble des matrices de la forme (8) est un groupe de Lie matriciel.

I.2.3. Groupes compacts

DEFINITION 2.4. Un groupe de Lie matriciel G est dit être compact si les deux conditions suivantes sont satisfaites. 1. Si nA est toute suite de matrice dans G, et que nA converge vers la matrice A, alors A est dans

G.

2. Il existe une constante C tel que pour tout GA∈ , CAij < pour tout nji ≤≤ ,1 .

Ce n'est pas la définition topologique habituelle des compacts. Cependant, l'ensemble de toutes les

matrices complexes nn× peut être vu comme 2nC . La définition ci-dessus dit que G est compact

s'il est un sous-ensemble fermé, borné de 2nC . C'est un théorème standard de l'analyse élémentaire

qu'un sous-ensemble de mC est compact (dans le sens habituel que tout recouvrement ouvert a une sous recouvrement fini) si et seulement s'il est fermé et borné. Tous nos exemples de groupes de Lies matriciels, excepté GL(n,R) et GL(n,C), ont la propriété (1). Donc, c'est la condition de borne (2) qui est la plus importante. La propriété de compact a de très importantes implications. Par exemple, si G est compact, alors toute représentation unitaire irréductible de G est de dimension finie.

I.2.3.1. Exemples de groupes compacts Les groupes O(n) et SO(n) sont compacts. La première propriété est satisfaite, la limite de matrices orthogonales est orthogonale et la limite de matrices de déterminant égal à un est une matrice de déterminant égal à un. La deuxième propriété est satisfaite car si A est orthogonale, alors les

vecteurs colonnes de A ont une norme égale à un et donc 1≤ijA pour tout nji ≤≤ ,1 . Un

argument similaire montre que U(n), SU(n) et Sp(n) sont compacts (cela inclut le cercle unité,

( )11 US ≅ ).

I.2.3.2. Exemples de groupes non compacts Tous les autres exemples donnés de groupes de Lie matriciels sont non compacts. GL(n,R) et GL(n,C) violent la première propriété, puisqu'une limite de matrices inversibles peut être non inversible. SL(n,R) et SL(n,C) violent la deuxième propriété, excepté dans le cas trivial n = 1, puisque

(1)

=

1

1

1

O

n

n

n

A

a un déterminant égal à un, aussi grand que n puisse être. Les groupes suivants violent aussi la deuxième propriété et, donc, sont non compacts : O(n,C) et SO(n,C), O(n,k) et SO(n,k) ( 1≥n , 1≥k ), le groupe de Heisenberg H, Sp(n,R) et Sp(n,C), E(n) et

P(n,1), R et nR , ∗R et ∗C .

Exercices 1. Donnez des exemples pour montrer que ces derniers groupes sont non compacts

I.2.4. Groupes connexes

DEFINITION 2.5. Un groupe de Lie matriciel G est dit être connexe si pour toute paire de matrices données A et B, il existe un chemin continu ( )tA , bta ≤≤ , contenu dans G avec ( ) AaA = et ( ) bbA = .

Cette propriété est ce qui est appelé bien enchaîné en topologie, qui n'est pas (en général) le même que connexe. Cependant, c'est un fait (pas particulièrement évident pour le moment) qu'un groupe de Lie matriciel est connexe si et seulement s'il est bien enchaîné. Ainsi, avec un léger abus de terminologie, nous continuerons à nous référer à la propriété ci-dessus comme à la connexité.

Un groupe de Lie matriciel G qui n'est pas connexe peut être décomposé (de manière unique) en unions de plusieurs parties, appelées composantes, tel que deux éléments d'une même composante peuvent être joints par un chemin continu, mais deux éléments de composantes différentes ne le peuvent pas.

PROPOSITION 2.6. Si G est un groupe de Lie matriciel, alors la composante de G contenant l'identité est un sous-groupe de G.

DEMONSTRATION. En disant que A et B sont tous les deux dans la composante contenant l'identité, cela signifie qu'il existe des chemins continus ( )tA et ( )tB avec ( ) ( ) IBA == 00 , ( ) AA =1 et ( ) BB =1 . Mais alors

( ) ( )tBtA est un chemin continu commençant en I et se terminant en AB . Donc le produit de deux

éléments de la composante de l'identité est encore dans la composante de l'identité. De plus, ( ) 1−tA

est un chemin continu commençant en I et se terminant en 1−A et ainsi l'inverse de tout élément de la composante de l'identité est encore dans la composante de l'identité. Donc la composante de l'identité est un sous-groupe.

PROPOSITION 2.7. Le groupe GL(n,C) est connexe pour tout 1≥n .

DEMONSTRATION. Considérons d'abord le cas n = 1. Une matrice complexe inversible 11× est de la forme [ ]λ=A

avec ∗∈Cλ , l'ensemble des nombres complexes non nuls. Mais étant donné deux nombres complexes non nuls, nous pouvons facilement trouver un chemin continu qui les relie et ne passe pas par zéro. Pour le cas 1≥n , nous utilisons la forme canonique de Jordan. Toute matrice complexe nn× A peut être écrite comme

(1) 1−= CBCA

où B est la forme canonique de Jordan. La seule propriété de B dont nous aurons besoin est que B est un triangle supérieur :

(2)

∗=

n

B

λ

λ

0

1

O

Si A est inversible, alors tous les iλ doivent être non nuls puisque nBA λλ L1detdet == .

Soit ( )tB obtenu en multipliant la partie de B au-dessus de la diagonale par ( )t−1 , pour 10 <≤ t et

soit ( ) ( ) 1−= CtCBtA . Alors, ( )tA est un chemin continu qui commence en A et se termine en 1−CDC où D est la matrice diagonale

(3)

=

n

D

λ

λ

0

01

O

Ce chemin est dans GL(n,C) puisque ( ) ntA λλ L1det = pour tout t.

Mais maintenant, comme dans le cas n = 1, nous pouvons définir ( )tiλ qui connecte chaque iλ à 1

dans ∗C , lorsque t va de 1 à 2. Alors, nous pouvons définir

(4) ( )( )

( )

=t

t

CtA

nλ

λ

0

01

O

C'est un chemin continu qui commence en 1−CDC quand t = 1 et se termine en I (= 1−CIC ) quand t = 2. Puisque les ( )tiλ sont toujours non nuls, ( )tA est dans GL(n,C).

Nous voyons alors que toute matrice A dans GL(n,C) peut être connectée à l'identité par un chemin continu dans GL(n,C). Donc si A et B sont deux matrices dans GL(n,C), elles peuvent être connectées en les connectant chacune à l'identité.

PROPOSITION 2.8. Le groupe SL(n,C) est connexe pour tout 1≥n .

DEMONSTRATION. La démonstration est pratiquement la même que pour GL(n,C), excepté que nous devons faire attention à préserver la condition 1det =A . Soit un élément arbitraire de SL(n,C). Le cas n = 1 est trivial, ainsi nous supposons 2≥n . Nous pouvons définir ( )tA comme ci-dessus pour 10 ≤≤ t ,

avec ( ) AA =0 et ( ) 11 −= CDCA , puisque ( ) 1detdet == AtA . Maintenant nous définissons ( )tiλ

comme avant pour 11 −≤≤ nn et nous définissons ( )tnλ comme ( ) ( )[ ] 1

11

−− tt nλλ L (notez que

puisque 11 =nλλ L , ( ) nn λλ =0 ). Cela nous permet de relier A à l'identité tout en restant dans

SL(n,C).

PROPOSITION 2.9. Les groupes U(n) et SU(n) sont connexes pour tout 1≥n .

DEMONSTRATION. Par un résultat standard de l'algèbre linéaire, toute matrice unitaire a une base orthonormale de

vecteurs propres, avec les valeurs propres de la forme θie . Il s'ensuit que toute matrice unitaire U peut être écrite comme

(5) 11

1

1

0

0−

= U

e

e

UU

ni

i

θ

θ

O

avec 1U unitaire et R∈1θ . Inversement, comme c'est facilement contrôlé, toute matrice de la

forme (5) est unitaire. Définissons maintenant

(6) ( )( )

( )

11

1

11

1

0

0−

−

−

= U

e

e

UtU

nti

ti

θ

θ

O

Lorsque t parcourt 0 à 1, cela définit un chemin continu dans U(n) joignant U à I. Cela montre que U(n) est connexe. Une légère modification de cet argument, comme dans la démonstration de la proposition 2.8, montre que SU(n) est connexe.

PROPOSITION 2.10.

Le groupe GL(n,R) n'est pas connexe mais a deux composantes. Ce sont +),( RnGL , l'ensemble des

matrices réelles nn× avec un déterminant positif et ( )−RnGL , , l'ensemble des matrices réelles

nn× avec un déterminant négatif.

DEMONSTRATION. GL(n,R) ne peut pas être connexe, car si 0det >A et 0det <B , alors tout chemin continu connectant A à B inclurait une matrice avec un déterminant zéro et donc passe en dehors de GL(n,R).

Une fois que +),( RnGL est reconnu comme connexe, il n'est pas difficile de voir que ( )−RnGL , est

aussi connexe. Soit C toute matrice avec un déterminant négatif et prenons A, B dans ( )−RnGL , .

Alors AC 1− et BC 1− sont dans +),( RnGL et peuvent être joint par un chemin continu ( )tD dans +),( RnGL . Mais alors ( )tCD est un chemin continu joignant A et B dans ( )−

RnGL , .

La table suivante liste quelques groupes de Lie matriciels, en indiquant si le groupe est connexe et en donnant le nombre de composants. Groupe Connexe ? Composants

GL(n,C) Oui 1 SL(n,C) Oui 1 GL(n,R) Non 2 SL(n,R) Oui 1 O(n) Non 2 SO(n) Oui 1 U(n) Oui 1 SU(n) Oui 1 O(n,1) Non 4 SO(n,1) Non 2 Heisenberg Oui 1 E(n) Non 2 P(n,1) Non 4

Exercices

1. Montrez que +),( RnGL est connexe.

2. Démontrez les résultats repris dans le tableau (il est immédiat que le groupe de Heisenberg est connexe).

I.2.5. Groupes simplement connexes

DEFINITION 2.11. Un groupe de Lie matriciel connexe G est dit être simplement connexe si toute boucle dans G peut être déformée continûment en un point dans G. Plus précisément, G est simplement connexe si pour tout chemin continu donné ( )tA , 10 ≤≤ t ,

dans G avec ( ) ( )10 AA = , il existe une fonction continue ( )tsA , , 1,0 ≤≤ ts , prenant ses valeurs

dans G avec les propriétés suivantes : (1) ( ) ( )1,0, sAsA = pour tout s, (2) ( ) ( )tAtA =,0 et (3)

( ) ( )0,1,1 AtA = pour tout t.

Nous penserons à ( )tA comme une boucle et ( )tsA , comme une famille paramétrisée de boucles

qui déforment ( )tA en un point. La condition (1) dit que pour chaque valeur du paramètre s, nous

avons une boucle, la condition (2) dit que quand s = 0, la boucle est la boucle spécifiée et la condition (3) dit que quand s = 1, notre boucle est un point. Il est coutumier de parler de simple connexité seulement pour les groupes de Lie matriciels connexes, même si la définition a un sens pour les groupes non connexes.

PROPOSITION 2.12. Le groupe SU(2) est simplement connexe. La condition de simple connexité est extrêmement importante. Un de nos plus important théorème sera que si G est simplement connexe, alors il y a une application naturelle injective entre les représentations de G et les représentations de son algèbre de Lie. Sans démonstration, nous donnons la table suivante. Groupe Simplement connexe ?

GL(n,C) Non SL(n,C) Oui GL(n,R) Non SL(n,R) Non SO(n) Non U(n) Non SU(n) Oui SO(1,1) Oui SO(n,1) ( 2≥n ) Non Heisenberg Oui

Exercices 1. Démontrez la proposition 2.12. Montrez le fait que SU(2) peut être vu (topologiquement)

comme la sphère à trois dimensions 3S placée dans 4R . Il est bien connu que 3S est simplement connexe.

I.2.6. Homomorphismes et isomorphismes

DEFINITION 2.13. Soit G et H des groupes de Lie matriciels. Une application φ de G vers H est appelée un

homomorphisme de groupe de Lie si (1) φ est un homomorphisme de groupe et (2) φ est continue.

Si en plus, φ est une application bijective et si l'application inverse 1−φ est continue, alors φ est

appelé un isomorphisme de groupe de Lie. La condition que φ soit continue sera vue comme technique, car il est très difficile de donner un

exemple d'homomorphisme de groupe entre deux groupes de Lie matriciels qui n'est pas continu.

En fait, si G = R et ∗= CH , alors tout homomorphisme de groupe de G vers H qui est mesurable (une condition très faible) doit être continu. Si G et H sont des groupes de Lie matriciels et s'il existe un isomorphisme de groupe de Lie de G vers H, alors G et H sont dit être isomorphes, et nous écrivons HG ≅ . Deux groupes de Lie matriciels qui sont isomorphes seront vus comme étant essentiellement le même groupe (notez que, par définition, l'inverse d'un isomorphisme de groupe de Lie est continu et ainsi est aussi un isomorphisme de groupe de Lie).

I.2.6.1. Exemples : SU(2) et SO(3) Un sujet très important pour nous sera la relation entre les groupes SU(2) et SO(3). Cet exemple est choisi pour montrer que SU(2) et SO(3) sont presque (mais pas assez !) isomorphes. Spécifiquement, il existe un homomorphisme de groupe de Lie φ qui fait correspondre SU(2) sur

SU(3) et qui est une correspondance deux vers un.

Considérons l'espace V de toutes les matrices complexes 22× qui sont hermitiques et qui ont la trace zéro. C'est un espace vectoriel réel à trois dimensions avec la base suivante

(1)

−=

−=

=

10

01

0

0

01

10

3

2

1

A

i

iA

A

Nous pouvons définir un produit scalaire sur V avec la formule

(2) ( )ABBA tr2

1, =

Le calcul direct montre que 321 ,, AAA est une base orthonormale de V. Ayant choisi une base

orthonormale de V, nous pouvons identifier V avec 3R . Maintenant, si U est un élément de SU(2) et A un élément de V, alors il est facile de voir que

1−UAU est dans V. Donc pour chaque ( )2SUU ∈ , nous pouvons définir une application linéaire

Uφ de V sur lui-même par la formule

(3) ( ) 1−=UAUAUφ

(cette définition fonctionnerait pour ( )2UU ∈ mais nous choisissons de restreindre notre attention

à SU(2)). De plus, étant donné ( )2SUU ∈ et VBA ∈, , notons que

(4) ( ) ( ) ( ) ( ) BAABUBUUAUBA UU ,tr2

1tr

2

1, 11 === −−φφ

Donc Uφ est une transformation orthogonale de 3RV ≅ que nous pouvons voir comme un élément

de O(3).

Nous voyons alors que l'application UU φ→ est une application de SU(2) vers O(3). Il est très

facile de contrôler que cette application est un homomorphisme (c'est-à-dire que 2121 UUUU φφφ = ) et

qu'elle est continue. Donc, UU φ→ est un homomorphisme de groupe de Lie de SU(2) vers O(3).

Rappelons que tout élément de O(3) a un déterminant 1± . Puisque SU(2) est connexe et que l'application UU φ→ est continue, Uφ doit réellement faire correspondre vers SO(3). Donc

UU φ→ est un homomorphisme de groupe de Lie de SU(2) vers SO(3).

L'application UU φ→ n'est pas injective, puisque pour tout ( )2SUU ∈ , UU −= φφ (observons que

si U est dans SU(2), alors aussi -U). Il est possible de montrer que Uφ est une application deux vers

un de SU(2) vers SO(3).

Exercices 1. Contrôlez que (2) dans la section I.2.6.1 est un produit scalaire.

I.2.7. Groupes de Lie Un groupe de Lie est quelque chose qui est simultanément un groupe et une variété différentiable. Comme la terminologie le suggère, tout groupe de Lie matriciel est un groupe de Lie, bien que cela nécessite une démonstration. Ici, nous avons décidé de restreindre l'attention aux groupes de Lie matriciels, excepté dans les cas d'urgence, pour trois raisons. Premièrement, cela rend le cours accessible aux étudiants qui ne sont pas familiers avec la théorie des variétés différentiables. Deuxièmement, cela rend la définition de l'algèbre de Lie et de l'application exponentielle beaucoup plus compréhensible. Troisièmement, tous les exemples importants de groupes de Lie sont (ou peuvent facilement être représentés comme) des groupes de Lie matriciels. Hélas, il y a un prix à payer pour cette simplification. Certains sujets importants (notamment le recouvrement universel) sont considérablement compliqués par la restriction au cas matriciel. Néanmoins, les avantages surpassent les désavantages dans un cours d'introduction tel que celui-ci.

DEFINITION 2.14. Un groupe de Lie est une variété différentiable G qui est aussi un groupe, et tel que le produit du groupe (1) GGG →×

et l'application inverse 1−→ gg sont différentiables.

Pour le lecteur qui n'est pas familier avec la notion de variété différentiable, voici un bref récapitulatif (nous considérerons seulement les variétés plongées dans un certain nR , ce qui est une supposition inoffensive). Un sous-ensemble M de nR est appelé une variété différentiable de dimension k si étant donné Mm ∈0 , il existe un système de coordonnées régulier (non linéaire)

( )nxx ,,1 K définit dans un voisinage U de 0m tel que

(2) ( ) ( ) kn

nk cmxcmxUmUM −+ ==∈=∩ ,,| 11

K

C'est à dire que localement, après un changement de variable adéquat, M ressemble à l'hyperplan à k dimensions dans nR obtenu en posant toutes les coordonnées, sauf les premières, égales à des constantes.

Par exemple, 21 RS ⊂ est une variété différentiable à une dimension car dans les coordonnées

polaires usuelles ( )r,θ , 1S est l'ensemble r = 1. Bien sûr, les coordonnées polaires ne sont pas

définies globalement car θ est indéfini à l'origine et parce que θ n'est pas "à valeur unique". Mais

étant donné un point 0m de 1S , nous pouvons définir les coordonnées polaires dans un voisinage U

de 0m et ensuite US ∩1 sera l'ensemble r = 1.

Notez que bien que nous supposons que nos variétés différentiables sont plongées dans un certain

nR (une supposition inoffensive), nous ne disons pas qu'un groupe de Lie doit être plongé dans 2nR ou que l'opération du groupe a quelque chose à voir avec la multiplication matricielle. Un

groupe de Lie est simplement un sous-ensemble G d'un certain nR qui est une variété différentiable avec toute application GG × vers G qui fait de G un groupe (et tel que les opérations du groupe

sont régulières). Il est remarquable que la plus part (mais pas tous !) des groupes de Lie soient isomorphes à un groupe de Lie matriciel. Notez aussi qu'il est loin d'être évident qu'un groupe de Lie matriciel doit être un groupe de Lie, puisque notre définition d'un groupe de Lie matriciel G ne dit rien au sujet de G comme étant une variété. Il n'est pas trop difficile de vérifier que tous nos exemples de groupes de Lie matriciels sont des groupes de Lie, mais en fait nous allons suivre le résultat qui rend de telles vérifications non nécessaires :

THEOREME 2.15. Tout groupe de Lie matriciel est un groupe de Lie. Bien que nous ne démontrerons pas ce résultat, nous désirons discuter de ce que cela impliquerait. Considérons d'abord le groupe GL(n,R). L'espace de toutes les matrices réelles nn× peut être vu

comme 2nR . Puisque GL(n,R) est l'ensemble de toutes les matrices A avec 0det ≠A , GL(n,R) est

un sous-ensemble ouvert de 2nR (c'est à dire qu'étant donné une matrice inversible A, il y a un

voisinage U de A tel que toute matrice UB∈ est aussi inversible). Donc GL(n,R) est une variété

régulière à 2n dimensions. De plus, le produit matriciel AB est clairement une fonction régulière (et même polynomiale) des éléments de A et B. Donc GL(n,R) est un groupe de Lie.

De même, si nous voyons l'espace des matrices complexes nn× comme 222 nn RC ≅ , alors le

même argument montre que GL(n,C) est un groupe de Lie. Donc, pour démontrer que tout groupe de Lie matriciel est un groupe de Lie, il suffit de montrer qu'un sous-ensemble fermé d'un groupe de Lie est un groupe de Lie. La démonstration n'est pas trop difficile mais elle nécessite l'application exponentielle que nous n'avons pas encore introduite. Il est coutumier d'appeler une application φ entre des groupes de Lie, un homomorphisme de

groupe de Lie si φ est un homomorphisme de groupe et si φ est régulier, tandis que nous avons

(dans la définition 2.13) requit seulement que φ soit continu. Cependant, la proposition suivante

montre que notre définition est équivalente à la définition standard.

PROPOSITION 2.16. Soit G et H des groupes de Lie et φ un homomorphisme de groupe de G vers H. Alors si φ est

continu, φ est aussi régulier.

Donc les homomorphismes de groupe de G vers H se classent seulement en deux variétés : les très mauvaises (discontinues) et les très bonnes (régulières). Il n'y a tout simplement pas d'intermédiaire. Au vu du théorème 2.15, tout groupe de Lie matriciel est une variété (régulière). Comme tel, un groupe de Lie matriciel est automatiquement localement bien enchaîné. Il s'ensuit qu'un groupe de Lie matriciel est bien enchaîné si et seulement s'il est connexe (voir la remarque suivant la définition 2.5).

Exercices

1. Soit a un nombre réel irrationnel. Montrez que l'ensemble des nombres de la forme inae π2 ,

Zn∈ , est dense dans 1S . Maintenant, soit G le sous-groupe suivant de GL(2,C) :

∈

= Rt

e

eG

iat

it

|0

0

Montrez que

∈

= Rts

e

eG

is

it

,|0

0

où G dénote la fermeture de l'ensemble G dans l'espace des matrices 2x2.

Note : le groupe G peut être vu comme le tore 11 SS × , qui en retour peut être vu comme [ ] [ ]ππ 2,02,0 × avec les extrémités des intervalles identifiées. L'ensemble [ ] [ ]ππ 2,02,0 ×⊂G

est appelé une ligne irrationnelle. Dessinez une image de cet ensemble et vous verrez pourquoi G est dense dans [ ] [ ]ππ 2,02,0 × .

2. Groupes orthogonaux. Soit le produit scalaire standard sur nR , ∑=i ii yxyx, . Montrez

qu'une matrice A préserve le produit scalaire si et seulement si les vecteurs colonnes de A sont orthonormaux. Montrez que pour toute matrice réelle n x n B ,

yBxyBx T,, =

où ( ) jiij

T BB = . En utilisant ce fait, montrez qu'une matrice A préserve le produit scalaire si et

seulement si IAAT = . Note : une analyse similaire s'applique aux groupes orthogonaux complexes O(n,C) et SO(n,C).

3. Groupes unitaires. Soit le produit scalaire standard sur nC , ∑ ∗=i ii yxyx, . En suivant

l'exercice 2, montrez que IAA =+ si et seulement si yxAyAx ,, = pour tout nCyx ∈,

( ( ) ∗+ = jiij AA ).

4. Groupes orthogonaux généralisés. Soit [ ] knyx ,, la forme bilinéaire symétrique sur knR + définie

plus haut. Soit g la matrice diagonale (n + k) x (n + k) avec les n premiers éléments diagonaux égaux à un et les k derniers éléments diagonaux égaux à moins un :

−=

k

n

I

Ig

0

0

Montrez que pour tout knRyx +∈, ,

[ ] gyxyx kn ,, , =

Montrez qu'une matrice réelle (n + k) x (n + k) A est dans O(n,k) si et seulement si ggAAT = .

Montrez que O(n,k) et SO(n,k) sont des sous-groupes de GL(n+k,R) et sont des groupes de Lie matriciels.

5. Groupes symplectiques. Soit [ ]yxB , la forme bilinéaire antisymétrique sur nR 2 donnée par

[ ] ∑ = ++ −= n

i iinini yxyxyxB1

, . Soit J la matrice 2n x 2n

−=

0

0

I

IJ

Montrez que pour tout nRyx 2, ∈

[ ] JyxyxB ,, =

Montrez qu'une matrice 2n x 2n A est dans Sp(n,R) si et seulement si JJAAT = . Montrez que Sp(n,R) est un sous-groupe de GL(2n,R) et est un groupe de Lie matriciel. Note : une analyse similaire s'applique à Sp(n,C).

6. Les groupes O(2) et SO(2). Montrez que la matrice

−=

θθθθ

cossin

sincosA

est dans SO(2) et que ( ) ( )( ) ( )

+++−+

=

−

−φθφθφθφθ

φφφφ

θθθθ

cossin

sincos

cossin

sincos

cossin

sincos

Montrez que tout élément A de O(2) est une des deux formes

−=

θθθθ

cossin

sincosA

−=

θθθθ

cossin

sincosA

(si A est de la première forme, alors det A = 1, si A est de la seconde forme, alors det A = -1).

Suggestion : rappelez que pour que

=

dc

baA soit dans O(2), les vecteurs colonnes

c

a et

d

b doivent être des vecteurs unités et doivent être orthogonaux.

7. Les groupes O(1,1) et SO(1,1). Montrez que

=

tt

ttA

coshsinh

sinhcosh

est dans SO(1,1) et que ( ) ( )( ) ( )

++++

=

stst

stst

ss

ss

tt

tt

coshsinh

sinhcosh

coshsinh

sinhcosh

coshsinh

sinhcosh

Montrez que tout élément de O(1,1) peut être écrit sous une des quatre formes

−−

−−

−−

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tt

tt

coshsinh

sinhcosh

coshsinh

sinhcosh

coshsinh

sinhcosh

coshsinh

sinhcosh

(puisque cosh t est toujours positif, il n'y a pas de recouvrement des quatre cas. Les matrices des deux premières formes ont un déterminant égal à un, les matrices des deux dernières formes ont un déterminant égal à moins un).

Suggestion : pour que

dc

ba soit dans O(1,1), nous devons avoir 122 =− ca , 122 −=− db et

0=− cdab . L'ensemble des points (a, c) dans le plan avec 122 =− ca (c'est-à-dire 21 ca +±= ) est une hyperbole.

8. Le groupe SU(2). Montrez que si α , β sont des nombres complexes arbitraires satisfaisant

122 =+ βα , alors la matrice

(1)

−= ∗

∗

αββα

A

est dans SU(2). Montrez que toute ( )2SUA∈ peut être exprimée sous la forme (1) pour une

paire unique (α , β ) satisfaisant 122 =+ βα (donc SU(2) peut être vu comme la sphère à

trois dimensions 3S située à l'intérieure de 42 RC = . En particulier, cela montre que SU(2) est connexe et simplement connexe).

9. Les groupes Sp(1,R), Sp(1,C) et Sp(1). Montrez que Sp(1,R) = SL(2,R), Sp(1,C) = SL(2,C) et Sp(1) = SU(2).

10. Le groupe de Heisenberg. Déterminez le centre Z(H) du groupe de Heisenberg H. Montrez que le groupe quotient H / Z(H) est abélien.

11. Connexité de SO(n). Montrez que SO(n) est connexe, en suivant le profil ci-dessous. Pour le cas n = 1, il n'y a pas grand chose à montrer puisqu'une matrice 1x1 avec un déterminant égal à un doit être [ ]1 . Supposons alors que 2≥n . Soit 1e le vecteur

=

0

0

1

1M

e

dans nR . Etant donné un vecteur unité nRv∈ , montrez qu'il existe un chemin continu R(t) dans SO(n) avec R(0) = I et ( ) 11 evR = (donc tout vecteur unité peut être "continûment tourné" vers

1e ).

Montrez maintenant que tout élément R de SO(n) peut être connecté à un élément de SO(n-1) et procédez par induction.

12. La décomposition polaire de SL(n,R). Montrez que tout élément A de SL(n,R) peut être écrit de manière unique sous la forme A = RH où R est dans SO(n) et H est une matrice symétrique,

définie positive, avec un déterminant égal à un (c'est-à-dire HH T = et 0, ≥Hxx pour tout nRx∈ .

Suggestion : Si A pouvait être écrit sous cette forme, alors nous aurions

21 HRHHRRHRHAA TTT === − Donc H devrait être la racine carrée unique définie positive de AAT . Note : Un argument similaire donne les décompositions polaires pour SL(n,R), SL(n,C) et GL(n,C). Par exemple, tout élément A de SL(n,C) peut être écrit de manière unique comme A = RH avec R dans SO(n) et H est une matrice hermitique, définie positive, avec un déterminant égal à un.

13. La connexité de SL(n,R). En utilisant la décomposition polaire de SL(n,R) (exercice 12) et la connexité de SO(n) (exercice 11), montrez que SL(n,R) est connexe. Suggestion : rappelez que si H est une matrice réelle et symétrique, alors il existe une matrice

réelle orthogonale 1R tel que 111−= DRRH où D est diagonal.

14. La connexité de ( )+RnGL , . Montrez que ( )+

RnGL , est connexe.

15. Montrez que l'ensemble des translations est un sous-groupe normal du groupe euclidien et aussi du groupe de Poincaré. Montrez que E(n) / translations ≅ O(n).

16. Plus dur. Montrez que tout homomorphisme de groupe de Lie φ de R vers 1S est de la forme

( ) iaxex =φ pour un certain Ra∈ . En particulier, tout homomorphisme de ce type est régulier.

I.3. Algèbres de Lie et l'application exponentielle

I.3.1. L'exponentielle matricielle L'exponentielle d'une matrice joue un rôle crucial dans la théorie des groupes de Lie. L'exponentielle entre dans la définition de l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie matriciel et est le mécanisme pour passer l'information de l'algèbre de Lie au groupe de Lie. Puisque plusieurs calculs sont faits plus facilement au niveau de l'algèbre de Lie, l'exponentielle est indispensable.

Soit X une matrice réelle ou complexe nn× . Nous voulons définir l'exponentielle de X, Xe ou Xexp , par le développement en série usuel

(1) ∑∞

=

=0 !m

mX

m

Xe

Nous suivrons la convention d'utiliser des lettres tel que X et Y pour la variable dans l'exponentielle matricielle.

PROPOSITION 3.1. Pour toute matrice X réelle ou complexe nn× , les séries (1) convergent. L'exponentielle

matricielle Xe est une fonction continue de X. Avant de démontrer cela, révisons un peu d'analyse élémentaire. Rappelons que la norme d'un

vecteur x dans nC est définie par

(2) ∑== 2, ixxxx

Cette norme satisfait l'inégalité triangulaire

(3) yxyx +≤+

La norme d'une matrice est définie par

(4) x

AxA

x 0

sup≠

=

De manière équivalente, A est le plus petit nombre λ tel que xAx λ≤ pour tout nCx∈ .

Il n'est pas difficile de voir que pour toute matrice nn× A, A est fini. De plus, il est facile de voir

que pour toutes matrices A, B

(5) BAAB ≤

(6) BABA +≤+

Il est aussi facile de voir qu'une suite de matrice mA converge vers la matrice A si et seulement si

0→− AAm (comparez cela avec la définition 2.1).

Une suite de matrice mA est dite être une suite de Cauchy si ∗∈Cλ lorsque ∞→lm, . En voyant

l'espace des matrices comme 2nR ou

2nC et en utilisant un résultat standard de l'analyse, nous avons ce qui suit :

PROPOSITION 3.2. Si mA est une suite de matrices réelles ou complexes nn× et que mA est une suite de Cauchy,

alors il existe une matrice unique A tel que mA converge vers A.

C'est à dire que toute suite de Cauchy converge. Maintenant, considérons une série infinie dont les termes sont les matrices : (7) L+++ 210 AAA

Si

(8) ∞<∑∞

=0m

mA

alors la série (7) est dite à convergence absolue. Si une série est absolument convergente, alors il n'est pas difficile de montrer que les sommes partielles de la série forment une suite de Cauchy et donc, suivant la proposition 3.2, la série converge. C'est à dire que toute série qui est absolument convergente est aussi convergente (l'inverse n'est pas vrai; une série de matrices peut converger sans être absolument convergente).

DEMONTRATION Selon (5), nous voyons que

(9) mm XX ≤

et donc

(10) ∞<=≤∑∑∞

=

∞

=

X

m

m

m

m

em

X

m

X

00 !!

Donc la série (1) est absolument convergente et ainsi elle converge. Pour montrer la continuité, notez que puisque mX est une fonction continue de X, les sommes partielles de (1) sont continues. Mais il est facile de voir que (1) converge uniformément sur chaque

ensemble de la forme RX < et ainsi la somme est encore continue.

PROPOSITION 3.3. Soit X,Y des matrices nn× arbitraires. Alors

1. Ie =0

2. Xe est inversible et ( ) XX ee −− =1

3. ( ) XXX eee βαβα =+ pour tous nombres réels ou complexes α , β

4. Si YXXY = , alors XYYXYX eeeee ==+

5. Si C est inversible, alors 11 −=−

CCee XCXC

6. XX ee ≤

Il n'est pas vrai en général que YXYX eee =+ , bien que, selon le point 4 ci-dessus, c'est vrai si X et Y commutent. C'est un point crucial que nous considérerons en détail plus tard.

DEMONSTRATION Le point 1 est évident. Les points 2 et 3 sont des cas particuliers du point 4. Pour vérifier le point 4, nous multiplions simplement les développements en série terme à terme. Donc

(11)

+++

+++= LL

!2!2

22 YYI

XXIee YX

En multipliant et en rassemblant les termes où l'exposant de X plus l'exposant de Y égal m, nous avons

(12) ( ) ( )∑ ∑∑∑∞

= =

−∞

= =

−

−=

−=

0 00 0 !!

!

!

1

!! m

m

k

kmk

m

m

k

kmkYX YX

kmk

m

mkm

Y

k

Xee

Maintenant comme (et seulement pour cette raison) X et Y commutent,

(13) ( ) ( )∑=

−

−=+

m

k

kmkmYX

kmk

mYX

0 !!

!

et ainsi (12) devient

(13) ( ) YX

m

mYX eYXm

ee +∞

==+=∑

0 !

1

Pour prouver 5, notons simplement que

(14) ( ) 11 −− = CCXCXC mm

et ainsi les deux cotés de 5 sont les mêmes terme à terme. Le point 6 est évident suite à la démonstration de la proposition 3.1.

PROPOSITION 3.4. Soit X une matrice complexe nn× et en voyant l'espace de toutes les matrices complexes nn×

comme 2nC . Alors tXe est une courbe régulière dans

2nC et

(15) XeXeedt

d tXtXtX ==

En particulier,

(16) Xedt

d

t

tX ==0

DEMONSTRATION

En différentiant le développement en série de tXe terme à terme (vous pourriez vous inquiéter si

cela est valide, mais vous ne devriez pas. Pour chaque i, j, ( )ijtXe est donné par un développement

en série convergent en t et c'est un théorème standard que vous pouvez différentier les développements en série terme à terme).

Exercices 1. Justifiez la légalité de la multiplication terme à terme des développements dans (11).

I.3.2. Calcul de l'exponentielle d'une matrice

I.3.2.1. Cas 1 : X peut être diagonalisée Supposons que X soit une matrice réelle ou complexe nn× et que X peut être diagonalisé sur C,

c'est-à-dire qu'il existe une matrice complexe inversible C telle que 1−= CDCX , avec

(1)

=

n

D

λ

λ

0

01

O

Observons que De est la matrice diagonale avec les valeurs propres 1λe ,…, ne

λ et ainsi, suite à la proposition 3.3, nous avons

(2) 1

0

01

−

= C

e

e

Ce

n

X

λ

λ

O

Donc, si nous pouvons explicitement diagonaliser X, nous pouvons explicitement calculer Xe .

Notons que si X est réelle, alors, bien que C puisse être complexe ainsi que les iλ , Xe doit être

réelle, puisque chaque terme dans la série est réel. Par exemple, prenons

(2)

−=

0

0

a

aX

Alors, les vecteurs propres de X sont

i

1 et

1

i, avec les valeurs propres -ia et ia, respectivement.

Donc la matrice inversible

(3)

=

1

1

i

iC

fait correspondre les vecteurs

0

1 et

1

0 aux vecteurs propres de X et ainsi (contrôlez) XCC 1− est

une matrice diagonale D. Donc 1−= CDCX :

(4)

−=

−−

=

−

−

aa

aa

i

i

e

e

i

ie

i

iaX

cossin

sincos

2/12/

2/2/1

0

0

1

1

Notons qu'explicitement si X (et donc a) est réel, alors Xe est réelle.

I.3.2.2. Cas 2 : X est nilpotente Une matrice nn× X est dite être nilpotente si 0=mX pour un certain entier positif m. Bien sûr, si

0=mX , alors 0=lX pour tout l > m. Dans ce cas, la série qui définit Xe se termine après les m premiers termes et peut être ainsi calculée explicitement.

Par exemple, calculons tXe , où

(1)

=000

00

0

c

ba

X

Notons que

(2)

=000

000

002

ac

X

et que 03 =X . Donc

(3)

+=

100

10

1 221

tc

acttbta

e tX

I.3.2.3. Cas 3 : X arbitraire Une matrice générale X peut ne pas être nilpotente ni diagonalisable. Cependant, il suit de la forme canonique de Jordan que X peut être écrite sous la forme NSX += où S est diagonalisable, N nilpotente et NSSN = . Alors, puisque N et S commutent,

(1) NSX eee +=

et Se et Ne peuvent être calculés comme précédemment. Par exemple, prenons

(1)

=

a

baX

0

Alors

(2)

+

=

00

0

0

0 b

a

aX

Les deux termes commutent clairement (puisque la première est un multiple de l'identité), et ainsi

(3)

=

=

a

aa

a

a

X

e

beeb

e

ee

010

1

0

0

I.3.3. Le logarithme matriciel Nous voulons définir un logarithme matriciel, qui serait une fonction inverse de l'exponentielle matricielle. Définir un logarithme pour les matrices sera au moins aussi difficile que définir un logarithme pour les nombres complexes et, ainsi, nous n'espérons pas définir le logarithme matriciel pour toutes les matrices ou même pour toutes les matrices inversibles. Nous nous contenterons de définir le logarithme dans un voisinage de la matrice identité. La manière la plus simple de définir le logarithme matriciel est par un développement en série. Nous rappelons la situation pour les nombres complexes :

LEMME 3.5. La fonction

(1) ( ) ( )∑

∞

=

+ −−=1

1 11ln

m

mm

m

zz

est définie et analytique dans un cercle de rayon un autour de z = 1.

Pour tout z avec 11 <−z ,

(2) ze z =ln

Pour tout u avec 2ln<u , 11 <−ue et ueu =ln

DEMONSTRATION Le logarithme habituel pour les nombres réels positifs satisfait

(3) ( ) ( )L+++−=−−=− 211

11ln xx

xx

dx

d

pour 1<x . En intégrant terme par terme et en notant que 01ln = , on a

(4) ( )

+++−=− L

321ln

32 xxxx

En prenant z = 1 - x (ainsi x = 1 - z), nous avons

(5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑

∞

=

+ −−=

+−+−+−−=

1

132 1

13

1

2

11ln

m

mm

m

zzzzz L

Cette série a un rayon de convergence égal à un et définit une fonction analytique complexe sur

l'ensemble 11 <−z qui coïncide avec le logarithme usuel pour z réel dans l'intervalle ( )2,0 .

Maintenant, ( )( ) zz =lnexp pour ( )2,0∈z et par analycité cette identité continue à être valable dans

l'ensemble complet 11 <−z .

D'un autre coté, si 2ln<u , alors

(6) LL ++≤++=−!2!2

1

22 uu

uueu

tel que

(7) 111 <−≤− uu ee

Donc, ( )( )uexpln a un sens pour de tels u. Puisque ( )( ) uu =expln pour u réel avec 2ln<u , il suit

par analycité que ( )( ) uu =expln pour tout nombre complexe avec 2ln<u .

THEOREME 3.6. La fonction

(8) ( ) ( )∑

∞

=

+ −−=1

11lnm

mm

m

IAA

est définie et continue sur l'ensemble de toutes les matrices complexes nn× A avec 1<− IA et

Aln est réel si A est réel.

Pour tout A avec 1<− IA ,

(9) Ae A =ln

Pour tout X avec 2ln<X , 11 <−Xe et Xe X =ln .

DEMONSTRATION

Il est facile de voir que la série (8) est absolument convergente si 1<− IA . La démonstration de

la continuité est essentiellement la même que pour l'exponentielle. Si A est réelle, alors tout terme dans la série (8) est réel et ainsi Aln est réel.

Nous allons maintenant montrer que ( ) AA =lnexp pour tout A avec 1<− IA . Nous le faisons en

considérant deux cas.

Cas 1. A est diagonalisable

Supposons que 1−= CDCA avec D diagonal. Alors ( ) 11 −− −=−=− CIDCICDCIA . Il s'ensuit

que ( )mIA − est de la forme

(10) ( )( )

( )1

1

10

01−

−

−=− C

z

z

CIAm

n

m

mO

où 1z ,…, mz sont les valeurs propres de A.

Maintenant, si 1<− IA , alors certainement 11 <−iz pour tout i = 1,… n (gardons le en tête).

Donc

(11) ( ) ( ) 1

1

1

1

ln0

0ln

1 −∞

=

+

=−−∑ C

z

z

Cm

IA

n

m

mm

O

et ainsi, suivant le Lemme,

(12) AC

e

e

Ce

nz

z

A =

= −1

ln

1ln

ln

0

0

O

Cas 2. A est non diagonalisable Si A n'est pas diagonalisable, alors, en utilisant la forme canonique de Jordan, il n'est pas difficile

de construire une suite mA de matrices diagonalisables avec AAm → . Si 1<− IA , alors

1<− IAm pour tout m suffisamment grand. Selon le cas 1, ( ) mm AA =lnexp et ainsi par la

continuité de l'exponentielle et du logarithme, ( ) AA =lnexp .

Donc nous avons montré que ( ) AA =lnexp pour tout A avec 1<− IA . Maintenant, le même

argument que dans le cas complexe montre que si 2ln<X , alors 11 <−Xe . Mais alors le même

argument à deux cas que ci-dessus montre que ( ) XX =expln pour tout X tel que ceux-là.

PROPOSITION 3.7

Il existe une constante c telle que pour toute matrice nn× B avec 21<B

(13) ( ) 2ln BcBBI ≤−+

DEMONSTRATION Notons que

(14) ( ) ( ) ( )∑∑∞

=

−∞

=

−=−=−+2

22

2

11lnm

mm

m

mm

m

BB

m

BBBI

tel que

(15) ( ) ( )∑

∞

=

≤−−2

21

2lnm

m

mBBBI

C'est ce que nous désirions.

PROPOSITION 3.8.

Soit X une matrice complexe nn× et soit mC une suite de matrices telle que 2m

constCm < . Alors

(16) X

m

mm

eCm

XI =

++∞→

lim

DEMONSTRATION L'expression à l'intérieur des crochets tend clairement vers I lorsque ∞→m et ainsi est dans le domaine du logarithme pour tout m suffisamment grand. Maintenant

(17) mmm ECm

XC

m

XI ++=

++ln

où mE est un terme d'erreur qui, suite à la proposition 3.7, satisfait 2

2

m

constCcE mm

Xm ≤+≤ .

Mais alors

(18)

++=++ mmm ECm

XC

m

XI exp

et ainsi

(19) ( )mm

m

m mEmCXCm

XI ++=

++ exp

Puisque mC et mE sont tous les deux d'ordre 2−m , nous obtenons le résultat désiré en faisant

∞→m et en utilisant la continuité de l'exponentielle.

I.3.4. Propriétés supplémentaires de l'exponentiell e matricielle Dans cette section nous donnons trois résultats supplémentaires, impliquant l'exponentielle d'une matrice, qui seront importants dans notre étude des algèbres de Lie.

THEOREME 3.9. (Formule du produit de Lie) Soit X et Y des matrices complexes nn× . Alors

(1)

m

m

Y

m

X

m

YX eee

=

∞→

+ lim

Ce théorème a un grand frère, appelée formule du produit de Trotter qui donne le même résultat dans le cas où X et Y sont des opérateurs adéquats non bornés sur un espace de Hilbert de dimension infinie.

DEMONSTRATION En utilisant le développement en série de l'exponentielle et en multipliant, nous avons

(2) mm

Y

m

X

Cm

Y

m

XIee +++=

où (contrôlez !) 2m

constCm ≤ . Puisque Iee m

Y

m

X

→ lorsque ∞→m , m

Y

m

X

ee est dans le domaine du

logarithme pour tout m suffisamment grand. Mais

(3)

mm

mm

Y

m

X

ECm

Y

m

X

Cm

Y

m

Xee

+++=

++=

lnln

où, suite à la proposition 3.7, 2

2

m

constC

m

Y

m

XconstC mm ≤++≤ . En prenant l'exponentielle du

logarithme, on a

(4)

+++= mmm

Y

m

X

ECm

Y

m

Xee exp

et

(5) ( )mm

m

m

Y

m

X

mEmCYXee +++=

exp

Puisque mC et mE sont tous les deux de l'ordre de 2−m , nous avons (en utilisant la continuité de

l'exponentielle)

(6) ( )YXee

m

m

Y

m

X

m+=

∞→explim

qui est la formule du produit de Lie.

THEOREME 3.10. Soit X une matrice réelle ou complexe nn× . Alors

(7) ( ) ( )XX ee trdet =

DEMONSTRATION Il y a trois cas.

Cas 1. X est diagonalisable. Supposons qu'il y a une matrice complexe inversible C telle que

(8)

=

n

CX

λ

λ

0

01

O

Alors

(9)

=ne

e

Ce X

λ

λ

0

01

O

Donc ( ) ∑= iX λtr et ( ) ∑== ∏ ii eee Xλλdet (rappelons que ( ) ( )DCDC trtr 1 =− ).

Cas 2. X est nilpotent. Si X est nilpotent, il ne peut pas y avoir de valeur propre non nulle (contrôlez !) et ainsi toutes les racines du polynôme caractéristique doivent être zéro. Donc la forme canonique de Jordan de X sera strictement un triangle supérieur. C'est à dire que X peut être écrit comme

(10) 1

00

0−

∗= CCX O

Dans ce cas, (il est facile de voir que) Xe sera un triangle supérieur avec des uns sur sa diagonale :

(11) 1

10

1−

∗= CCe X O

Donc, si X est nilpotent, ( ) 0tr =X et ( ) 1det =Xe .

Cas 3. X arbitraire. Toute matrice X peut être écrite comme la somme de deux matrices commutante S et N avec S

diagonalisable (sur C) et N nilpotente. Puisque S et N commutent, NSX eee = . Ainsi, suite aux deux cas précédents,

(12) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )XNSNSX eeeeee trtrtrdetdetdet ===

qui est ce que nous désirions.

DEFINITION 3.11. Une fonction ( )CnGLRA ,: → est appelée groupe à un paramètre si

1. A est continue. 2. ( ) IA =0 .

3. ( ) ( ) ( )sAtAstA =+ pour tout Rst ∈,

THEOREME 3.12. (Sous-groupes à un paramètre). Si A est un groupe à un paramètre dans GL(n,C), alors il existe une matrice complexe nn× unique X telle que

(13) ( ) tXetA =

DEMONSTRATION

L'unicité est immédiate puisque s'il existe un tel X, alors ( )0=

=t

tAdt

dX . Ainsi nous devons

seulement nous inquiéter de l'existence.

La première étape est de montrer que ( )tA doit être régulière. Cela suit de la proposition 2.16 (que

nous n'avons pas démontré), mais nous donnons une démonstration d'un seul tenant. Soit ( )sf une fonction régulière à valeur réelle supportée dans un petit voisinage de zéro, avec

( ) 0≥sf et ( ) 1=∫ dssf . Maintenant considérons

(14) ( ) ( ) ( )∫ += dssfstAtB

En faisant le changement de variable u = t + s, on a

(15) ( ) ( ) ( )∫ −= dutufuAtB

Il suit que ( )tB est différentiable puisque dériver en la variable t donne f qui est régulière.

D'un autre coté, si nous utilisons l'identité ( ) ( ) ( )sAtAstA =+ dans (14), nous avons

(16) ( ) ( ) ( ) ( )∫= dssfsAtAtB

Maintenant, la condition sur la fonction f avec la continuité de A garantit que ( ) ( )∫ dssfsA est

proche de ( ) IA =0 et donc est inversible. Donc nous pouvons écrire

(17) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1−

∫= dssfsAtBtA

Puisque ( )tB est régulière et ( ) ( )∫ dssfsA est juste une matrice constante, cela montre que ( )tA est

régulière. Maintenant que l'on sait que ( )tA est différentiable, nous pouvons définir

(18) ( )0=

=t

tAdt

dX

Notre but est de montrer que ( ) tXetA = . Puisque ( )tA est régulière, un résultat standard du calcul

(étendu de manière triviale aux fonctions évaluées sur des matrices) dit que

(19) ( ) ( ) 2tconsttXItA ⋅≤+−

Il suit que pour chaque t fixé,

(20)

++=

2

1

mOX

m

tI

m

tA

Donc, puisque A est un groupe à un paramètre

(21) ( )mm

mOX

m

tI

m

tAtA

++=

=2

1

En faisant ∞→m et en utilisant la proposition 3.8 de la section 3, nous trouvons que ( ) tXetA = .

I.3.5. L'algèbre de Lie d'un groupe de Lie matricie l L'algèbre de Lie est un outil indispensable dans l'étude des groupes de Lie matriciel. D'un coté, les algèbres de Lie sont plus simples que les groupes de Lie matriciels car (comme nous le verrons) l'algèbre de Lie est un espace linéaire. Donc nous pouvons comprendre beaucoup sur les algèbres de Lie en faisant seulement de l'algèbre linéaire. D'un autre coté, l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie matriciel contient beaucoup d'information sur ce groupe (voir par exemple la proposition 3.23 et la formule de Baker-Campbell-Hausdorff). Donc, plusieurs questions sur les groupes de Lie matriciels peuvent être résolues en considérant un problème similaire mais plus facile pour l'algèbre de Lie.

DEFINITION 3.13. Soit G un groupe de Lie matriciel. Alors l'algèbre de Lie de G, notée g, est l'ensemble de toutes les

matrices X tel que tXe est dans G pour tout nombre réel t.

Notons que même si G est un sous-groupe de GL(n,C) nous ne nécessitons pas que tXe soit dans G pour tout complexe t, mais seulement pour tout réel t. Aussi, il n'est définitivement pas suffisant

d'avoir seulement Xe dans G. C'est à dire qu'il est facile de donner un exemple d'un X et d'un G tel

que Ge X ∈ mais Ge tX ∉ pour certaines valeurs de t. Un tel X n'est pas dans l'algèbre de Lie de G. Il est coutumier d'utiliser des caractères Gothiques minuscules pour se référer aux algèbres de Lie, ici par simplicité nous emploierons seulement des lettres en gras comme g et h. Il n'y a pas de risque de confusion avec des vecteurs puisque ici ces caractères désignent des algèbres ce qui se constate sans ambiguïté par le contexte.

I.3.5.1. Convention des physiciens Les physiciens sont accoutumés à considérer l'application iXeX → au lieu de XeX → . Donc un

physicien pensera à l'algèbre de Lie de G comme l'ensemble des matrices X telle que Ge itX ∈ pour tout réel t. Cette convention ne pose pas de réelle difficulté. Dans la littérature de la physique, l'algèbre de Lie est fréquemment appelée l'espace des "éléments infinitésimaux du groupe". Il convient toutefois de faire attention car la littérature de la physique ne distingue pas toujours clairement un groupe de Lie matriciel et son algèbre de Lie. Avant d'examiner les propriétés générales de l'algèbre de Lie, calculons l'algèbre de Lie des groupes de Lie matriciels introduits précédemment.

I.3.5.2. Les groupes linéaires généraux Si X est une matrice complexe nn× , alors suivant la proposition 3.3, tXe est inversible. Donc l'algèbre de Lie de GL(n,C) est l'espace de toutes les matrices complexes nn× . Cette algèbre de Lie est notée gl(n,C).

Si X est une matrice réelle nn× , alors tXe sera inversible et réelle. D'un autre coté, si tXe est réel

pour tout t réel, alors 0=

=t

tXedt

dX sera aussi réel. Donc l'algèbre de Lie de GL(n,R) est l'espace

de toutes les matrices réelles nn× , notée gl(n,R).

Notons que l'argument précédent montre que si G est un sous-groupe de GL(n,R), alors l'algèbre de Lie de G doit être constituée entièrement de matrices réelles. Nous utiliserons ce fait lorsque ce sera approprié dans ce qui suit.

I.3.5.3. Les groupes linéaires spéciaux Rappelons le théorème 3.10 : ( ) XX ee trdet = . Donc si 0tr =X , alors ( ) 1det =tXe pour tout réel t.

D'un autre coté, si X est une matrice nn× telle que ( ) 1det =tXe pour tout t, alors 1tr =Xte pour

tout t. Cela signifie que Xt tr est un multiple entier de iπ2 pour tout t, ce qui est seulement possible si 0tr =X . Donc l'algèbre de Lie de SL(n,C) est l'espace de toutes les matrices complexes

nn× avec la trace égale à zéro, notée sl(n,C). De même, l'algèbre de Lie de SL(n,R) est l'espace de toutes les matrices réelles X avec la trace égale à zéro, notée sl(n,R).

I.3.5.4. Les groupes unitaires Rappelons qu'une matrice U est unitaire si et seulement si 1−+ =UU . Donc tXe est unitaire si et seulement si

(1) ( ) ( ) tXtXtX eee −−+ == 1

Mais en prenant les adjoints terme par terme, nous voyons que ( ) +

=+ tXtX ee et ainsi (1) devient

(2) tXtX ee −=+

Clairement, une condition suffisante pour que (1) soit valable est que XX −=+ . D'un autre coté, si (2) est valable pour tout t, alors en différentiant à t = 0, nous voyons que XX −=+ est nécessaire. Donc l'algèbre de Lie de U(n) est l'espace de toutes les matrices complexes nn× X tel que

XX −=+ , notée u(n).

En combinant les deux calculs précédents, nous voyons que l'algèbre de Lie de SU(n) est l'espace

de toutes les matrices complexes X tel que XX −=+ et 0tr =X , notée su(n).

I.3.5.5. Les groupes orthogonaux La composante identité de O(n) est juste SO(n). Puisque (proposition 3.14) l'exponentielle d'une matrice dans l'algèbre de Lie est automatiquement dans la composante identité, l'algèbre de Lie de O(n) est la même que l'algèbre de Lie de SO(n).

Maintenant, une matrice réelle nn× R est orthogonale si et seulement si 1tr −= RR . Ainsi, en

donnant une matrice réelle nn× X, tXe sera orthogonal si et seulement si ( ) ( ) 1tr −= tXtX ee ou

(1) tXtX ee −=tr

Clairement, une condition suffisante pour que cela soit valable est que XX −=tr . Si (1) est valable pour tout t, alors en différentiant à t = 0, nous devons avoir XX −=tr . Donc l'algèbre de Lie de O(n), aussi bien que l'algèbre de Lie de SO(n), est l'espace de toutes les

matrices réelles nn× X avec XX −=tr , notée so(n). Notons que la condition XX −=tr force les éléments diagonaux de X à être zéro et ainsi explicitement la trace de X est égale à zéro. Le même argument montre que l'algèbre de Lie de SO(n,C) est l'espace des matrices complexes

nn× satisfaisant XX −=tr , notée so(n,C). Ce n'est pas la même que su(n).

I.3.5.6. Les groupes orthogonaux généralisés Une matrice A est dans O(n,k) si et seulement si ggAA =tr , où g est la matrice diagonale

( ) ( )knkn +×+ avec les n premiers éléments diagonaux égaux à un et les k derniers éléments

diagonaux égaux à moins un. Cette condition est équivalente à la condition 1tr1 −− = AgAg ou,

puisque explicitement gg =−1 , 1tr −= AggA . Maintenant, si X est une matrice réelle

( ) ( )knkn +×+ , alors tXe est dans O(n,k) si et seulement si

(1) tXtgXX egegge −==trtr

Cette condition est valable pour tout t si et seulement si XggX −=tr . Donc l'algèbre de Lie de

O(n,k), qui est la même que l'algèbre de Lie de SO(n,k), consiste en toutes les matrices réelles

( ) ( )knkn +×+ X avec XggX −=tr . Cette algèbre de Lie est notée so(n,k).

(En général, le groupe SO(n,k) ne sera pas connexe, par contraste avec le groupe SO(n). La composante identité de SO(n,k), qui est aussi la composante identité de O(n,k), est notée ( )IknSO , .

L'algèbre de Lie de ( )IknSO , est la même que l'algèbre de Lie de SO(n,k)).

I.3.5.7. Les groupes symplectiques Elles sont notées sp(n,R), sp(n,C) et sp(n). Le calcul de ces algèbres de Lie est similaire à celui des groupes orthogonaux généralisés et ici nous noterons juste le résultat. Soit J la matrice dans la définition des groupes symplectiques. Alors sp(n,R) est l'espace des matrices réelles nn 22 × X

telles que XJJX =tr , sp(n,C) est l'espace des matrices complexes nn 22 × avec la même condition et ( ) ( ) ( )nuCnspnsp 2, ∩= .

I.3.5.8. Le groupe de Heisenberg Rappelons que le groupe de Heisenberg H est le groupe de toutes les matrices réelles 33× A de la forme

(1)

=100

10

1

c

ba

A

Rappelons aussi que nous avons calculé l'exponentielle d'une matrice de la forme

(2)

=000

00

0

γβα

X

et vu que Xe était dans H. D'un autre coté, si X est toute matrice tel que tXe est de la forme (1),

alors tous les éléments de 0=

=t

tXedt

dX qui sont sur ou sous la diagonale doivent être égaux à zéro,

ainsi X est de la forme (2). Donc l'algèbre de Lie du groupe de Heisenberg est l'espace de toutes les matrices réelles 33× qui sont des triangles strictement supérieurs.

I.3.5.9. Le groupe euclidien et le groupe de Poinca ré Rappelons que le groupe euclidien E(n) est (ou peut être vu comme) le groupe des matrices réelles ( ) ( )11 +×+ nn de la forme

(1)

100

1

L

M

ny

R

y

avec ( )nOR∈ . Maintenant si X est une matrice réelle ( ) ( )11 +×+ nn telle que tXe est dans E(n)

pour tout t, alors 0=

=t

tXedt

dX doit être zéro le long de la ligne inférieure :

(2)

=

000

1

L

M

ny

Y

y

X

Notre but, alors, est de déterminer quelles matrices de la forme (2) sont réellement dans l'algèbre de Lie du groupe euclidien. Un simple calcul montre que pour 1≥n

(3)

=

−

00

000

1

1

L

L

M yYY

y

Y

ynn

n

n

où y est le vecteur colonne avec les éléments 1y ,…, ny . Il s'ensuit que si X est comme (2), alors tXe est de la forme

(4)

∗

∗

=

100 L

MtY

tXe

e

Maintenant, nous avons déjà établit que tYe est dans O(n) pour tout t si et seulement si YY −=tr . Donc, nous voyons que l'algèbre de Lie de E(n) est l'espace de toutes les matrices réelles

( ) ( )11 +×+ nn de la forme (2) avec Y satisfaisant YY −=tr .

Un argument similaire montre que l'algèbre de Lie de P(n,1) est l'espace de toutes les matrices réelles ( ) ( )22 +×+ nn de la forme

(5)

+

0001

1

L

M

ny

Y

y

avec ( )1,nsiY ∈ .

I.3.6. Propriétés de l'algèbre de Lie Nous voulons maintenant établir différentes propriétés de base de l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie matriciel.

PROPOSITION 3.14.

Soit G un groupe de Lie matriciel et X un élément de son algèbre de Lie. Alors Xe est un élément de la composante identité de G.

DEMONSTRATION

Par définition de l'algèbre de Lie, tXe est dans G pour tout réel . Mais lorsque t varie de 0 à 1, est

un chemin continu connectant l'identité à Xe .

PROPOSITION 3.15.

Soit G un groupe de Lie matriciel et X un élément de g et A un élément de G. Alors 1−AXA est dans g.

DEMONSTRATION Cela est immédiat, puisque suivant la proposition 3.3,

(1) 11

−

−

= AAee tXAXAt

et . GAAe tX ∈−1

THEOREME 3.16. Soit G un groupe de Lie matriciel, g son algèbre de Lie et X, Y des éléments de g. Alors 1. g∈sX pour tout nombre réel s,

2. g∈+YX

3. g∈−YXXY

Si vous suivez les conventions de la physique pour la définition des algèbres de Lie, alors la condition (3) doit être remplacée par la condition ( ) g∈−− YXXYi .

DEMONSTRATION

Le premier point est immédiat puisque ( ) ( )XtssXt ee = qui doit être dans G si X est dans g. Le second

point est facile à vérifier si X et Y commutent puisque alors ( ) tYtXYXt eee =+ . Si X et Y ne commutent pas, cet argument de marche pas. Cependant, la formule du produit de Lie dit que

(2) ( ) ( )mmtYmtX

m

YXt eee //lim∞→

+ =

Comme X et Y sont dans l'algèbre de Lie, mtXe / et mtYe / sont dans G, ainsi que ( )mtYmtX ee //

puisque G est un groupe. Mais maintenant, comme G est un groupe de Lie matriciel, la limite de

choses dans G doit encore être dans G pourvu que la limite soit inversible. Puisque ( )YXte + est automatiquement inversible, nous en concluons qu'il doit être dans G. Cela montre que X + Y est dans g.

Maintenant pour le troisième point. Rappelons (proposition 3.4) que Xet

tX

dtd =

=0. Il s'ensuit que

XYYet

tX

dtd =

=0 et donc par la règle produit

(3) ( ) ( ) ( )( )

YXXY

XYeeXYYeedt

d

t

tXtX

−=

−+==

− 00

0

Mais maintenant, suivant la proposition 3.15, tXtXYee − est dans g pour tout t. Donc YXXY − est dans g. DEFINITION 3.17. Etant donné deux matrices nn× A et B, le commutateur de A et B est défini par simplement (4) [ ] BAABBA −=,

Selon le théorème 3.16, l'algèbre de Lie de tout groupe de Lie matriciel est fermée sous les commutateurs.

Le théorème suivant très important nous dit qu'un homomorphisme de groupe de Lie entre deux groupes de Lie conduit d'une manière naturelle à une application entre les algèbres de Lie correspondantes. En particulier, cela nous dit que deux groupes de Lie isomorphes ont "la même" algèbre de Lie (c'est à dire que les algèbres de Lie sont isomorphes).

THEOREME 3.18. Soit G et H des groupes de Lie matriciels avec les algèbres de Lie g et h respectivement. Supposons que HG →:φ soit un homomorphisme de groupe de Lie. Alors il existe une unique application

réelle linéaire hg →:~φ tel que

(5) ( ) ( )XX ee φφ~

=

pour tout g∈X . L'application φ~ a les propriétés supplémentaires suivantes 1. ( ) ( ) ( ) ( ) 11 ~~ −− = AXAAXA φφφφ pour tout g∈X , GA∈ .

2. [ ]( ) ( ) ( )[ ]YXYX φφφ ~,

~,

~ = pour tout g∈YX , .

3. ( ) ( )0

~

=

=t

tXedt

dX φφ pour tout g∈X .

Si G, H et K sont des groupes de Lie matriciels et KH →:φ et HG →:ψ sont des

homomorphismes de groupe de Lie, alors

(6) ( ) ψφψφ ~~~oo =

En pratique, étant donné un homomorphisme de groupe de Lie φ , la manière dont on va calculer φ~ est en utilisant la troisième propriété. Bien sûr, puisque φ~ est linéaire (réel), il suffit de calculer φ~ sur une base de g. Dans le langage des variétés différentiables, la troisième propriété dit que φ~ est la dérivée (ou la différentielle) de φ en l'identité, ce qui est la définition standard de φ .

Une application linéaire avec la deuxième propriété est appelée un homomorphisme d'algèbre de Lie. Ce théorème dit que tout homomorphisme de groupe de Lie conduit à un homomorphisme

d'algèbre de Lie. Nous verrons éventuellement que l'inverse est vrai sous certaines circonstances.

Spécifiquement, supposons que G et H sont des groupes de Lie et hg →:~φ est un

homomorphisme d'algèbre de Lie. Si G est connexe et simplement connexe, alors il existe un

unique homomorphisme de groupe de Lie HG →:φ tel que φ et φ~ sont reliés comme dans le théorème 3.18.

DEMONSTRATION La démonstration est similaire à la démonstration du théorème 3.16. Puisque φ est un

homomorphisme de groupe continu, ( )tXeφ sera un sous-groupe à un paramètre de H, pour chaque

g∈X . Donc suivant le théorème 3.12, il y a un unique Z tel que

(7) ( ) tZtX ee =φ

pour tout Rt∈ . Ce Z doit être dans h puisque ( ) Hee tXtZ ∈= φ .

Nous définissons maintenant ( ) ZX =φ~ et contrôlons en plusieurs étapes que φ~ a les propriétés requises.

Etape 1 : ( ) ( )XX ee φφ~

= .

Cela suit de (3.15) et de notre définition de φ~ en posant t = 1.

Etape 2 : ( ) ( )XssX φφ ~~ = pour tout Rs∈ .

Cela est immédiat puisque si ( ) tZtX ee =φ , alors ( ) tsZtsX eeφ .

Etape 3 : ( ) ( ) ( )YXYX φφφ ~~~ +=+ .

Suivant les étapes 1 et 2,

(8) ( ) ( )[ ] ( )( )YXtYXtYXt eee +++ == φφφ ~~

Suivant la formule du produit de Lie et le fait que φ est un homomorphisme continu :

(9) ( )( ) ( ) ( )( )mmtYmtX

m

mmtYmtX

meeee //// limlim φφφ

∞→∞→=

Mais alors, nous avons

(10) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )YXtm

mYtmXt

m

YXt eeee φφφφφ ~~/

~/

~~

lim +

∞→

+ ==

En différentiant ce résultat en t = 0, nous avons le résultat désiré.

Etape 4 : ( ) ( ) ( ) ( ) 11 ~~ −− = AXAAXA φφφφ .

Suivant les étapes 1 et 2,

(11) ( ) ( ) ( )111 exp~

exp~

exp −−− == tAXAtAXAAXAt φφφ

En utilisant une propriété de l'exponentielle et l'étape 1, cela devient

(12) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 111~exp −−− == AeAAAeAXAt tXtX φφφφφ

En différentiant ce résultat en t = 0, nous avons le résultat désiré.

Etape 5 : [ ]( ) ( ) ( )[ ]YXYX φφφ ~,

~,

~ = .

Rappelons suite à la démonstration du théorème 3.16 que

(13) [ ]0

,=

−=t

tXtXYeedt

dYX

Donc

(14) [ ]( ) ( )00

~~,

~

=

−

=

− =

=

t

tXtX

t

tXtX Yeedt

dYee

dt

dYX φφφ

où nous avons utilisé le fait qu'une dérivée commute avec une transformation linéaire. Mais alors, suivant l'étape 4,

(15)

[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]YX

eYedt

d

eYedt

dYX

t

XtXt

t

tXtX

φφ

φ

φφφφ

φφ

~,

~

~

~,

~

0

~~

0

=

=

=

=

−

=

−

Etape 6 : ( ) ( )0

~

=

=t

tXedt

dX φφ .

Cela suit de (3.15) et de notre définition de φ~ .

Etape 7 : φ~ est l'application réelle linéaire unique tel que ( ) ( )XX ee φφ~

= .

Supposons que ψ est une autre application de ce type. Alors

(16) ( ) ( ) ( )tXtXXt eee φψψ ==

tel que

(17) ( ) ( )0=

=t

tXedt

dX φψ

Donc, suivant l'étape 6, ψ coïncide avec φ~ .

Etape 8 : ψφψφ ~~~oo = .

Pour tout g∈X ,

(18) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )XtXttXtX eeee ψφψφψφψφ ~~~===o

Donc ψφψφ ~~~oo = .

DEFINITION 3.19. (L'application Adjointe) Soit G un groupe de Lie matriciel. Alors pour chaque GA∈ , définissons une application linéaire

ggAd →:A par la formule

(19) ( ) 1−= AXAXAAd

Nous noterons l'application AA Ad→ par Ad.

PROPOSITION 3.20. Soit G un groupe de Lie matriciel avec l'algèbre de Lie g. Alors pour chaque GA∈ , AAd est une

transformation linéaire inversible de g avec l'inverse 1−AAd et ( )gAd GLG →: est un

homomorphisme de groupe.

DEMONSTRATION Facile. Notons que la proposition 3.15 garantit que ( )XAAd est réellement dans g pour tout g∈X .

Puisque g est un espace vectoriel réel avec une certaine dimension k, GL(g) est essentiellement le même que GL(k,R). Donc nous regarderons GL(g) comme un groupe de Lie matriciel. Il est facile de montrer que ( )gAd GLG →: est continu et est ainsi un homomorphisme de groupe de Lie.

Suivant le théorème 3.18, il y a une application linéaire réelle associée Ad de l'algèbre de Lie de G vers l'algèbre de Lie de GL(g), c'est à dire de g vers gl(g), avec la propriété que

(20) ( )XX ee AdAd =

PROPOSITION 3.21. Soit G un groupe de Lie matriciel, soit g son algèbre de Lie et soit ( )gAd GLG →:

l'homomorphisme de groupe de Lie définit ci-dessus. Soit ( )ggAd gl→: l'application de l'algèbre

de Lie associée. Alors pour tout g∈YX ,

(21) ( ) [ ]YXYX ,=Ad

DEMONSTRATION

Rappelons que par le théorème 3.18, Ad peut être calculé comme suit :

(22) ( )0=

=t

tXedt

dX AdAd

Donc

(23) ( ) ( )( ) [ ]YXYeedt

dYe

dt

dYX

t

tXtX

t

tX ,00

====

−

=

AdAd

qui est ce que nous désirions démontrer.

Exercices 1. Vérifiez par calcul direct les propriétés générales de l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie

matriciel pour les exemples calculés dans les sections précédentes.

I.3.7. L'application exponentielle

DEFINITION 3.22. Si G est un groupe de Lie matriciel avec l'algèbre de Lie g, alors l'application exponentielle pour G est l'application (1) G→g:exp

En général, l'application exponentielle n'est ni injective, ni surjective. Néanmoins, elle fournit un mécanisme crucial pour passer de l'information entre le groupe et l'algèbre de Lie. Le résultat suivant dit que l'application exponentielle est localement bijective, un résultat qui sera essentiel plus tard.

THEOREME 3.23. Soit G un groupe de Lie matriciel avec l'algèbre de Lie g. Alors il existe un voisinage U de zéro dans g et un voisinage V de I dans G tel que l'application exponentielle applique U de manière homéomorphique et surjective sur V.

DEMONSTRATION En fonction de ce que nous avons démontré sur le logarithme matriciel, nous connaissons ce résultat dans le cas de GL(n,C). Pour prouver le cas général, nous considérons un groupe de Lie matriciel ( )CnGLG ,< avec l'algèbre de Lie g.

LEMME 3.24. Supposons que ng sont des éléments de G et que Ig n → . Soit nn gY ln= qui est définit pour tout

n suffisamment grand. Supposons que ( )CnglYYY nn ,/ ∈→ . Alors g∈Y .

DEMONSTRATION Pour montrer que g∈Y , nous devons montrer que GtY ∈exp pour tout Rt∈ . Lorsque ∞→n ,

( ) tYYYt nn →/ . Notons que puisque Ig n → , 0→nY et ainsi 0→nY . Donc nous pouvons

trouver des entiers nm tels que ( ) tYm nn → . Alors ( ) ( )( )[ ] ( )tYYYYmYm nnnnnn exp/expexp →= .

Mais ( ) ( ) ( ) GgYYm nm

nn

m

nnn ∈== expexp et G est fermé, ainsi ( ) GtY ∈exp .

Nous voyons gl(n,C) comme 222 nn RC ≅ . Alors g est un sous-espace de

22nR . Soit D le

complément orthogonal de g par rapport au produit scalaire habituel sur 22nR . Considérons

l'application ( )CnGLD ,: →⊗Φ g donnée par

(1) ( ) YX eeYX =Φ ,

Bien sûr, nous pouvons identifier D⊗g avec 22nR . De plus, GL(n,C) est un sous-ensemble ouvert

de ( ) 22, nRCngl ≅ . Donc nous pouvons voir Φ comme une application de 22nR sur lui-même.

Maintenant, en utilisant les propriétés de l'exponentielle matricielle, nous voyons que

(2)

( )

( ) YtYdt

d

XtXdt

d

t

t

=Φ

=Φ

=

=

0

0

,0

0,

Cela montre que la dérivée de Φ au point 220 nR∈ est l'identité (rappelons que la dérivée en un

point d'une fonction de 22nR sur lui-même est une application linéaire de

22nR sur lui-même, dans ce cas l'application identité). En particulier, la dérivée de Φ en 0 est inversible. Donc, le théorème de la fonction inverse dit que Φ a un inverse local continu définit dans un voisinage de I. Maintenant, soit U un voisinage de 0 dans g. Nous désirons montrer que ( )Uexp contient un

voisinage de I dans G. Supposons que non. Alors nous pouvons trouver une suite Gg n ∈ avec

Ig n → tel qu'aucun ng n'est dans ( )Uexp . Puisque Φ est localement inversible, nous pouvons

écrire ng (pour n grand) ne manière unique comme ( ) ( )nnn YXg expexp avec g∈nX et DYn ∈ .

Puisque Ig n → et que 1−Φ est continu, nX et nY tendent vers zéro. Donc (pour n grand),

UX n ∈ . Ainsi nous devons avoir (pour n grand) 0≠nY , autrement ng serait dans ( )Uexp .

Soit ( ) ( ) nnnn gXYg −== expexp~ . Notons que Gg n ∈~ et que Ig n

~ . Puisque la boule unité dans D

est compacte, nous pouvons choisir une sous suite de nY (encore appelée nY ) telle que nn YY /

converge vers un certain DY ∈ , avec 1=Y . Mais alors, suite au Lemme, GY ∈ ! C'est une

contradiction car D est le complément orthogonal de g. Ainsi pour tout voisinage U de zéro dans g, ( )Uexp contient un voisinage de l'identité dans G. Si

nous rendons U suffisamment petit, alors l'exponentielle sera injective sur U (l'existence du logarithme matriciel implique que l'exponentielle est injective près de zéro). Soit ln l'application

inverse, définie sur ( )Uexp . Puisque U est compact et que exp est injective et continue sur U , ln

sera continue (c'est un résultat standard de la topologie). Ainsi en prenant un voisinage V de I

contenu dans ( )Uexp , et en prenant ( ) UVU ∩=′ −1exp , alors U ′ est ouvert et l'exponentielle applique U ′ de manière homéomorphique et surjective sur V.

DEFINITION 3.25.

Si U et V sont comme dans la proposition 3.23, alors l'application inverse g→− V:exp 1 est

appelée le logarithme pour G.

COROLLAIRE 3.26. Si G est un groupe de Lie matriciel connexe, alors tout élément A de G peut être écrit sous la forme

(3) nXXXeeeA L21=

pour certains 1X , 2X ,…, nX dans g.

DEMONSTRATION Rappelons que pour nous qu'en disant que G est connexe, cela signifie que G est bien enchaîné. Cela signifie certainement que G est connexe dans le sens usuel de la topologie, c'est à dire que le seul sous-ensemble non vide de G qui est à la fois ouvert et fermé est G lui-même. Ainsi soit E l'ensemble de tous les GA∈ qui peuvent être écrit sous la forme (3). En fonction de la proposition, E contient un voisinage V de l'identité. En particulier, E est non vide. Nous affirmons d'abord que E est ouvert. Pour voir cela, considérons EA∈ . Puis regardons l'ensemble des matrices de la forme AB , avec VB∈ . Ce sera un voisinage de A. Mais tout B de ce

type peut être écrit comme XeB = et A peut être écrit comme nXXXeeeA L21= , ainsi

XnXXXeeeeAB L21= .

Maintenant, nous affirmons que E est fermé (dans G). Soit GA∈ et une séquence EAn ∈ avec

EAn → . Alors IAAn →−1 . Donc nous pouvons choisir un certain 0n tel que VAAn ∈−1

0. Alors

X

n eAA =−1

0 et X

n eAA0

= . Mais, par supposition nXXX

n eeeA L21

0= , ainsi Xn

XXXeeeeA L21= .

Donc EA∈ et E est fermé.

Donc E est à la fois ouvert et fermé, ainsi GE = .

I.3.7. Algèbres de Lie

DEFINITION 3.27. Une algèbre de Lie réelle ou complexe de dimension finie est un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie g avec une application [ ] de gg× dans g avec les propriétés suivantes :

1. [ ] est bilinéaire. 2. [ ] [ ]XYYX ,, −= pour tout g∈YX , .

3. [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] 0,,,,,, =++ YXZXZYZYX pour tout g∈ZYX ,,

. La troisième condition est appelée l'identité de Jacobi. Notons aussi que la deuxième condition implique que [ ] 0, =XX pour tout g∈X . Les mêmes conditions définissent une algèbre de Lie sur

un champ arbitraire F excepté que si F a la caractéristique deux, alors on devra ajouter la condition [ ] 0, =XX qui ne suit pas d'une antisymétrie de caractéristique deux. Nous traiterons seulement

avec les algèbres de Lie de dimension finie et à partir de maintenant, on interprétera "algèbre de Lie" comme "algèbre de Lie de dimension finie". Une algèbre de Lie est en fait une algèbre au sens usuel, mais l'opération produit [ ] pour cette algèbre n'est ni commutative, ni associative. L'identité de Jacobi sera vue comme un substitut de l'associativité.

PROPOSITION 3.28. L'espace gl(n,R) de toutes les matrices réelles nn× est une algèbre de Lie réelle par rapport à l'opération de commutation [ ] BAABBA −=, . L'espace gl(n,C) de toutes les matrices complexes

nn× est une algèbre de Lie complexe par rapport à l'opération de commutation analogue. Soit V un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie et soit gl(V) l'espace des applications linéaires de V sur lui-même. Alors gl(V) devient une algèbre de Lie réelle ou complexe avec l'opération de commutation [ ] BAABBA −=, .

DEFINITION 3.29. Une sous algèbre d'une algèbre de Lie réelle ou complexe g est un sous-espace h de g tel que [ ] h∈21 ,HH pour tout g∈21 ,HH . Si g est une algèbre de Lie complexe et que h est un sous-

espace réel de g qui est fermé sous les commutateurs, alors h est dit être une sous algèbre réelle de g. Si g et h sont des algèbres de Lie, alors une application linéaire hg →:φ est appelée un

homomorphisme d'algèbre de Lie si [ ]( ) ( ) ( )[ ]YXYX φφφ ,, = pour tout g∈YX , . Un isomorphisme

d'une algèbre de Lie sur elle-même est appelé un automorphisme d'algèbre de Lie. Une sous algèbre d'une algèbre de Lie est encore une algèbre de Lie. Une sous algèbre réelle d'une algèbre de Lie complexe est une algèbre de Lie réelle. L'inverse d'un isomorphisme d'algèbre de Lie est encore un isomorphisme d'algèbre de Lie.

PROPOSITION 3.30. L'algèbre de Lie g d'un groupe matriciel G est une algèbre de Lie réelle.

DEMONSTRATION Suivant le théorème 3.16, g est une sous algèbre réelle de gl(n,C) et est donc une algèbre de Lie réelle.

THEOREME 3.31. Toute algèbre de Lie réelle de dimension finie est isomorphe à une sous algèbre de gl(n,R). Toute algèbre de Lie complexe de dimension finie est isomorphe à une sous algèbre (complexe) de gl(n,C). La démonstration de ce remarquable théorème va bien au-delà du domaine de ce cours (qui est après tout un cours de mécanique quantique et accessoirement un cours sur les groupes de Lie) et nécessite une compréhension profonde de la structure des algèbres de Lie complexes. Le théorème nous dit que toute algèbre de Lie est (isomorphe à) une algèbre de Lie de matrices (c'est à mettre en

contraste avec la situation pour les groupes de Lie où la plus part des groupes de Lie, mais pas tous, sont des groupes de Lie matriciels).

DEFINITION 3.32. Soit g une algèbre de Lie. Pour g∈X , définissons une application linéaire ggad →:X par

(1) ( ) [ ]YXYX ,=ad

Donc "ad" (c'est à dire l'application XX ad→ ) peut être vu comme une application linéaire de g

dans gl(g) où gl(g) dénote l'espace des opérateurs linéaires de g vers g.

Puisque ( )YXad est juste [ ]YX , , il peut sembler fou d'introduire la notation supplémentaire "ad".

Cependant, voir [ ]YX , comme une application linéaire de Y pour chaque X fixé nous donne une

perspective quelque peu différente. En tout cas, la notation "ad" est extrêmement utile dans certaines situations. Par exemple, au lieu d'écrire (2) [ ][ ][ ][ ]YXXXX ,,,,

nous pouvons maintenant écrire

(3) ( ) ( )YX4

ad

Cette sorte de notation sera essentielle plus loin.

PROPOSITION 3.33. Si g est une algèbre de Lie, alors (4) [ ] [ ]YXXYYXYX adadadadadadad ,, =−=

C'est à dire que ( )ggad gl→: est un homomorphisme d'algèbre de Lie.

DEMONSTRATION Observons que (5) [ ]( ) [ ][ ]ZYXZYX ,,, =ad

tandis que (6) [ ]( ) [ ][ ] [ ][ ]ZXYZYXZYX ,,,,, −=adad

Ainsi, nous exigeons que (7) [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]ZXYZYXZYX ,,,,,, −=

ou de manière équivalente (8) [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]YXZXZYZYX ,,,,,,0 ++=

qui est exactement l'identité de Jacobi. Rappelons que pour tout g∈X et tout GA∈ , nous définissons

(9) ( ) 1−= AXAXAAd

et que ( )gAd GLG →: est un homomorphisme de groupe de Lie. Nous avons montré (proposition

3.21) que l'homomorphisme d'algèbre de Lie associé ( )ggAd gl→: est donné par

(10) ( ) [ ]YXYX ,=Ad

Avec notre nouvelle notation, nous pouvons dire

(11) adAd =

En suivant la propriété définie de Ad , nous avons l'identité suivante : pour tout g∈X ,

(12) ( ) XX ee adAd =

Notons que les deux cotés de (12) sont des opérateurs linéaires sur l'algèbre de Lie g. C'est une relation importante qui peut aussi être vérifiée directement en développant les deux cotés.

Exercices 1. Démontrez la proposition 3.28.

Le seul point non trivial est l'identité de Jacobi. La seule manière de la démontrer est d'écrire le tout et de vérifier. Notons que chaque triple commutateur génère quatre termes pour un total de

douze. Chacune des six permutations de ZYX ,, apparaissant deux fois, une fois avec le signe

plus et une fois avec le signe moins.

I.3.8.1. Constantes de structure Soit g une algèbre de Lie réelle ou complexe de dimension finie, et soit 1X ,…, nX une base de g

(comme espace vectoriel). Alors pour chaque i, j, [ ]ji XX , peut être écrit de manière unique sous la

forme

(1) [ ] ∑=

=n

k

kijkji XcXX1

,

Les constantes ijkc sont appelées les constantes de structure de g (par rapport à la base choisie).

Clairement, les constantes de structure déterminent l'opération de commutation sur g. Dans une partie de la littérature, les constantes de structure jouent un rôle important (dans la littérature de la

physique, les constantes de structure sont définies comme [ ] ∑=k

kijkji XciXX , , reflétant le facteur

i de différence entre la définition de la physique de l'algèbre de Lie et la notre). Les constantes de structure satisfont les deux conditions suivantes

(2) ( ) 0

0

=+++

=+

∑m

mjlkimmiljkmmklijm

jikijk

cccccc

cc

Pour tout i, j, k, l. La première de ces conditions vient de l'antisymétrie du commutateur et la seconde vient de l'identité de Jacobi

Exercices 1. Vérifiez ces conditions.

I.3.9. La complexification d'une algèbre de Lie rée lle

DEFINITION 3.34. Si V est un espace vectoriel réel de dimension finie, alors la complexification de V, notée CV , est

l'espace des combinaisons linéaires formelles (1) 21 ivv +

avec Vvv ∈21 , . Cela devient un espace vectoriel réel de la manière évidente et devient un espace

vectoriel complexe si nous définissons (2) ( ) 1221 ivvivvi +−=+

Nous pourrions définir de manière plus pédante CV comme l'espace des paires ordonnées ( )21 ,vv

mais c'est une notation encombrante. Il est immédiat de vérifier que la définition ci-dessus fait réellement de CV un espace vectoriel complexe. Nous regarderons V comme un sous espace réel de

CV de manière évidente.

PROPOSITION 3.35. Soit g une algèbre réelle de dimension finie et Cg sa complexification (comme espace vectoriel

réel). Alors l'opération de commutation sur g a une extension unique à Cg qui fait de Cg une

algèbre de Lie complexe. L'algèbre de Lie complexe est appelée la complexification de l'algèbre de Lie réelle .

DEMONSTRATION L'unicité de l'extension est évidente puisque si l'opération de commutation sur Cg doit être

bilinéaire alors elle doit être donnée par (3) [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )122122112121 ,,,,, YXYXiYXYXiYYiXX ++−=++

Pour montrer l'existence, nous devons contrôler que (3) est réellement bilinéaire et antisymétrique et qu'elle satisfait l'identité de Jacobi. Il est clair que (3) est bilinéaire réelle et antisymétrique.

L'antisymétrie signifie que si (3) est linéaire complexe dans le premier facteur, elle est aussi linéaire complexe dans le second facteur. Donc nous avons seulement besoin de montrer que (4) ( )[ ] [ ]21212121 ,, iYYiXXiiYYiXXi ++=++

Le coté gauche de (4) est

(5) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )22112112

21122211

,,,,

,,,,

YXYXiYXYX

YXYXiYXYXi

−+−−=++−

et en effet ils sont égaux. Il reste à montrer l'identité de Jacobi. Bien sur, l'identité de Jacobi est valable si X, Y et Z sont dans g. Mais maintenant, observons que l'expression sur le coté gauche de l'identité de Jacobi est linéaire (complexe !) en X pour Y et Z fixé. Il s'ensuit que l'identité de Jacobi est valable si X est dans Cg

et Y, Z dans g. Le même argument montre alors que nous pouvons l'étendre à Y dans Cg puis à Z

dans Cg . Donc l'identité de Jacobi est valable dans Cg .

PROPOSITION 3.36. Les algèbres de Lie gl(n,C), sl(n,C), so(n,C) et sp(n,C) sont des algèbres de Lie complexes, tout comme l'algèbre de Lie du groupe de Heisenberg complexe. En plus, nous avons les isomorphismes suivant des algèbres de Lie complexes

(6)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )Cnspnsp

CnspRnsp

Cnsonso

CnslRnsl

Cnglnu

CnglRngl

C

C

C

C

C

c

,

,,

,

,,

,

,,

≅≅

≅≅

≅≅

DEMONSTRATION Du calcul de la section précédente, nous voyons facilement que les algèbres de Lie modifiées sont en fait des sous algèbres complexes de gl(n,C) et sont donc des algèbres de Lie complexes. Maintenant, gl(n,C) est l'espace de toutes les matrices complexes nn× , tandis que gl(n,R) est l'espace de toutes les matrices réelles nn× . Clairement, alors, tout ( )CnglX ,∈ peut être écrit de

manière unique sous la forme 21 iXX + avec ( )RnglXX ,, 21 ∈ . Cela nous donne un espace

vectoriel complexe ( )CRngl , isomorphe avec gl(n,C) et on contrôle trivialement que c'est un

isomorphisme d'algèbre de Lie. D'un autre coté, u(n) est l'espace de toutes les matrices nn× antisymétrique hermitiques. Mais si X est une matrice nn× complexe, alors

(7) ( ) ( )

22

22++

++

−−−+−=

++−=

iXiXi

XX

XXXXX

Donc X peut être écrit comme une matrice antisymétrique plus i fois une matrice antisymétrique. Donc tout X dans gl(n,C) peut être écrit de manière unique comme 21 iXX + avec 1X et 2X dans

u(n). Il s'ensuit que ( ) ( )Cnglnu C ,≅ .

Notons que ( ) ( ) ( )CnglRnglnu CC ,, ≅≅ . Cependant u(n) n'est pas isomorphe à gl(n,R), excepté

quand n = 1. Les algèbres de Lie réelles u(n) et gl(n,R) sont appelées formes réelles de l'algèbre de Lie complexe gl(n,C). Une algèbre de Lie complexe donnée peut avoir plusieurs formes réelles non isomorphes. Les physiciens ne distinguent pas toujours clairement un groupe de Lie matriciel et son algèbre de Lie (réelle) ou une algèbre de Lie réelle et sa complexification. Donc, par exemple, dans la littérature de la physique, certaines références à SU(2) se réfèrent réellement à l'algèbre de Lie complexifiée sl(2,C).

Exercices 1. La règle produit. Rappelons qu'une fonction matricielle A(t) est régulière si chaque ( )tAij est

régulier. La dérivée d'une telle fonction est définie comme

dt

dA

dr

dA ij

ij

=

ou de manière équivalente,

( ) ( ) ( )h

tAhtAtA

dt

d

h

−+=→0lim

Soit A(t) et B(t) deux fonctions de ce type. Prouvez que A(t)B(t) est encore régulier et que

( ) ( )[ ] ( ) ( )dt

dBtAtB

dt

dAtBtA

dt

d +=

2. En utilisant la forme canonique de Jordan, montrez que toute matrice n x n A peut être écrite comme A = S + N avec S diagonalisable (sur C), N nilpotent et SN = NS. Rappelez que la forme canonique de Jordan est diagonale par bloc avec chaque bloc de la forme

∗

λ

λ

0

O

3. Soit X et Y des matrices n x n. Montrez qu'il existe une constante C telle que

( )2

///

m

Ceee mYmXmYX ≤−+

pour tout entier 1≥m . 4. En utilisant la forme canonique de Jordan, montrez que toute matrice complexe n x n A est la

limite d'une suite de matrices diagonalisables. Suggestion : si le polynôme caractéristique de A a n racines distinctes, alors A est diagonalisable.

5. Donnez un exemple de groupe de Lie matriciel G et une matrice X tel que Ge X ∈ mais g∉X .

6. Montrez que deux groupes de Lie matriciels isomorphes ont des algèbres de Lie isomorphes.

7. L'algèbre de Lie so(3,1). Ecrivez explicitement la forme générale d'une matrice réelle 4x4 dans so(3,1).

8. Vérifiez directement que la proposition 3.15 et que le théorème 3.16 sont valables pour l'algèbre de Lie de SU(n).

9. L'algèbre de Lie su(2). Montrez que les matrices suivantes forment une base pour l'algèbre de Lie réelle :

=

−=

−=

0

0

01

10032

122

11

i

iEE

io

iE

Calculez [ ]21 ,EE , [ ]32 ,EE et [ ]13 ,EE . Montrez qu'il y a une application linéaire inversible

( ) 32: Rsu →φ telle que [ ]( ) ( ) ( )YXYX φφφ ×=, pour tout ( )2, suYX ∈ où × dénote le produit vectoriel sur 3R .

10. Les algèbres de Lie su(2) et so(3). Montrez que les algèbres de Lie réelles de su(2) et su(3) sont isomorphes. Note : néanmoins, les groupes correspondant SU(2) et SO(3) ne sont pas isomorphes (bien que SO(3) soit isomorphe à SU(2)/I,-I).

11. Les algèbres de Lie su(2) et sl(2,R). Montrez que su(2) et sl(2,R) ne sont pas des algèbres de Lie isomorphes même si ( ) ( )CC Rslsu ,32 ≅ .

Suggestion : en utilisant l'exercice 9, montrez que su(2) n'a pas de sous-algèbre a deux dimensions.

12. Soit G un groupe de Lie matriciel et g son algèbre de Lie. Pour chaque GA∈ , montrez que AAd est un automorphisme d'algèbre de Lie de g.

13. Ad et ad. Soit X et Y des matrices. Montrez par induction que

( ) ( ) ( )∑=

−−

=

n

k

knknXYX

k

nYX

0

ad

Maintenant, montrez par calcul direct que

( ) ( ) XXXX YeeYeYe −== Adad

Vous pouvez supposer qu'il est légal de multiplier des développements en série terme à terme (ce résultat fut obtenu indirectement dans l'équation (12) de la section I.3.7). Suggestion : rappelez que le triangle de Pascal donne une relation entre des choses de la forme

+k

n 1 et des choses de la forme

k

n.

14. La complexification d'une algèbre de Lie réelle. Soit g une algèbre de Lie réelle, Cg sa

complexification et h une algèbre de Lie complexe arbitraire. Montrez que tout homomorphisme d'algèbre de Lie réelle de g vers h s'étend de manière unique à un homomorphisme d'algèbre de Lie complexe de Cg vers h (c'est la propriété universelle de la

complexification d'une algèbre de Lie réelle. Cette propriété peut être utilisée comme une définition alternative de la complexification).

15. L'application exponentielle pour SL(2,R). Montrez que l'image de l'application exponentielle pour SL(2,R) consiste précisément en les matrices ( )RSLA ,2∈ telles que ( ) 2tr −>A avec la

matrice -I (qui a la trace -2). Vous avez besoin de considérer les possibilités pour les valeurs propres d'une matrice dans l'algèbre de lie sl(2,R) et dans le groupe SL(2,R). Dans l'algèbre de Lie, montrez que les valeurs propres sont de la forme (a, 1/a) ou (-a, -1/a) avec a réel et positif

ou bien de la forme ( )θθ ii ee −, avec θ réel. Le cas d'une valeur propre double ((0,0) dans

l'algèbre de Lie et (1,1) ou (-1,-1) dans le groupe) sera traité séparément. 16. En utilisant l'exercice 4, montrez que l'application exponentielle pour GL(n,C) est bijective sur

un sous-ensemble dense de GL(n,C). 17. L'application exponentielle pour le groupe de Heisenberg. Montrez que l'application

exponentielle pour l'algèbre de Lie du groupe de Heisenberg vers le groupe de Heisenberg est bijective.

18. L'application exponentielle pour U(n). Montrez que l'application exponentielle de u(n) vers U(n) est surjective mais pas injective (notez que cela montre que U(n) est connexe). Suggestion : toute matrice unitaire a une base orthonormale de vecteurs propres.

19. Soit G un groupe de Lie matriciel et g son algèbre de Lie. Soit A(t) une courbe régulière dans

G, avec A(0) = I. Soit ( )tAXtdt

d

0== . Montrez que g∈X .

Suggestion : utilisez la proposition 3.8. Note : cela montre que l'algèbre de Lie g coïncide avec ce qui serait appelé l'espace tangent à l'identité dans le langage des variétés différentiables.

20. Considérez l'espace gl(n,C) de toutes les matrices complexes n x n. Comme d'habitude, pour ( )CnglX ,∈ définissons ( ) ( )CnglCnglX ,,:ad → par ( ) [ ]YXYX ,ad = . Supposons que X est

une matrice diagonalisable. Montrez alors que Xad est diagonalisable comme un opérateur sur gl(n,C). Suggestion : considérez d'abord le cas où X est réellement diagonal. Note : le problème de la diagonalisation de Xad est un problème important que nous rencontrerons à nouveau plus loin lorsque nous considérerons les algèbres de Lie semi-simples.

21. Démontrez les relations (6) de la section I.3.9.

I.4. La formule de Baker-Campbell-Hausdorff

I.4.1. La formule de Baker-Campbell-Hausdorff pour le groupe de Heisenberg Un résultat crucial du chapitre sur les représentations sera le suivant : soit G et H des groupes de Lie matriciels avec les algèbres de Lie g et h et supposons que G est connexe et simplement

connexe. Alors si hg →:~φ est un homomorphisme d'algèbre de Lie, il existe un homomorphisme

de groupe de Lie unique HG →:φ tel que φ et φ~ sont reliés comme dans le théorème 3.18. Ce résultat est extrêmement important car il implique que si G est connexe et simplement connexe, alors il y a une correspondance naturelle injective entre les représentations de g et les représentations de son algèbre de Lie (comme expliqué dans la partie sur les représentations). En

pratique, il est beaucoup plus facile de déterminer les représentations de l'algèbre de Lie que de déterminer directement les représentations du groupe correspondant. Ce résultat (reliant homomorphismes d'algèbre de Lie et homomorphismes de groupe de Lie) est profond. La démonstration "moderne" utilise le théorème de Frobenius qui est à la fois dur à comprendre et dur à démontrer. Notre démonstration utilise plutôt la formule de Baker-Campbell-Hausdorff qui est plus facile à établir et plus facilement motivée que le théorème de Frobenius, mais est encore profonde. L'idée est la suivante. L'homomorphisme de groupe désiré HG →:φ doit satisfaire

(1) ( ) ( )XX ee φφ~

=

Nous aimerions alors définir φ par cette relation. Cette approche a deux sérieuses difficultés.

Premièrement, un élément donné de G peut ne pas être exprimable comme Xe et même si c'est le cas, le X peut ne pas être unique. Deuxièmement, il est loin d'être clair que le φ dans (1) (même si

son extension est bien définie) doit être un homomorphisme de groupe. C'est à la seconde question que la formule de Baker-Campbell-Hausdorff s'adresse (la première question sera examinée dans la partie sur les représentations. C'est là que la simple connexité de G joue un rôle). Spécifiquement, (une forme de) la formule de Baker-Campbell-Hausdorff dit que si X et Y sont suffisamment petits, alors

(2) ( ) [ ] [ ][ ] [ ][ ] L+−+++= YXYYXXYXYXee YX ,,12

1,,

12

1,

2

1ln

Il n'est pas supposé évident pour le moment ce à quoi "…" se réfère. Le seul point important est que tous les termes dans (2) sont donnés en fonction de X et Y, des commutateurs de X et Y, des

commutateurs de commutateurs impliquant X et Y, etc. Alors comme φ~ est un homomorphisme d'algèbre de Lie

(3) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ][ ] ( ) ( ) ( )[ ][ ] L+−

+++=

YXYYXX

YXYXee YX

φφφφφφ

φφφφφ

~,

~,

~

12

1~,

~,

~

12

1

~,

~

2

1~~ln

~

La relation (3) est extrêmement significative. Pour bien sûr

(4)

=YeXe

YX eeeln

et aussi selon (1),

(5) ( )

=YeXe

YX eeeln

~φφ

Donc, (3) nous dit que

(6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )YXYXY

eX

eYX eeeeeee φφφ φφφφ===

~~ln

Donc, la formule de Baker-Campbell-Hausdorff montre que sur les éléments de la forme Xe , avec X petit, φ est un homomorphisme de groupe (voir corollaire 4.4 ci-dessous).

La formule de Baker-Campbell-Hausdorff montre que toute l'information sur le produit du groupe,

au moins près de l'identité, est "encodée" dans l'algèbre de Lie. Donc, si φ~ est un homomorphisme d'algèbre de Lie (qui par définition préserve la structure de l'algèbre de Lie) et si nous définissons φ près de l'identité par (1), alors nous pouvons nous attendre à ce que φ préserve la structure du

groupe, c'est-à-dire à ce qu'il soit un homomorphisme de groupe. Dans cette section, nous regarderons comment cela fonctionne dans le cas très spécial du groupe de Heisenberg. Dans la prochaine section, nous considérerons la situation générale.

THEOREME 4.1. Supposons que X et Y sont des matrices complexes nn× et que X et Y commutent avec leur commutateur. C'est à dire, supposons que

(7) [ ][ ] [ ][ ] 0,,,, == YXYYXX

Alors

(8) [ ]YXYX

YX eee,

2

1++

= C'est le cas spécial de (2) dans lequel la série se termine après le terme [ ]YX , .

DEMONSTRATION Soit X et Y comme décrit dans le théorème. Nous prouverons qu'en fait

(9) [ ]

++= YXt

tYtXee tYtX ,2

exp2

qui se réduit au résultat désiré dans le cas t = 1. Puisque par supposition [ ]YX , commute avec tout

le contenu entre parenthèse, la relation ci-dessus est équivalente à

(10) [ ] ( )YXt

YXt

tYtX eeee +−=

,2

2

Appelons le coté gauche de (10) ( )tA et le coté droit ( )tB . Notre stratégie sera de montrer que ( )tA

et ( )tB satisfont la même équation différentielle avec les mêmes conditions initiales. Nous pouvons

voir directement que

(11) ( )( )YXtBdt

dB +=

D'autre part, en différentiant ( )tA avec la règle du produit, on a

(12) [ ] [ ] [ ] [ ]( )YXteeeYeeeeXee

dt

dA YXt

tYtXYX

t

tYtXYX

t

tYtX ,,

2,

2,

2

222

−++=−−−

(vous pouvez vérifier que le dernier terme sur le coté droit est correct en différentiant terme à terme).

Maintenant, puisque X et Y commutent avec [ ]YX , , ils commutent aussi avec [ ]YX

t

e,

2

2−

. Donc le

second terme sur le coté droit de (12) peut être réécrit comme

(13) [ ]

YeeeYX

t

tYtX,

2

2−

Le premier terme sur le coté droit de (12) est plus compliqué puisque X ne commute pas

nécessairement avec tYe . Cependant,

(14) ( )( )( )Xee

Xee

XeeeXe

YttY

tYtY

tYtYtYtY

ad

Ad

−

−

−

==

=

Mais puisque [ ][ ] [ ][ ] 0,,,, =−= YXYXYY ,

(15) ( ) [ ] [ ]YXtXXYtXXe Yt ,, +=−=− ad

avec tous les termes plus élevés étant zéro. En utilisant que tout commute avec [ ]YX

t

e,

2

2−

, cela donne

(16) [ ] [ ] [ ]( )YXtXeeeeXee

YXt

tYtXYX

t

tYtX ,,

2,

2

22

+=−−

En substituant dans (12) on a

(17)

[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( )

[ ]( )( )( )YXtA

YXeee

YXteeeYeeeYXtXeeedt

dA

YXt

tYtX

YXt

tYtXYX

t

tYtXYX

t

tYtX

+=+=

−+++=

−

−−−

,2

2

,2

2,

2

2,

2

2

,,

Donc ( )tA et ( )tB satisfont la même équation différentielle. De plus, ( ) ( ) IBA == 00 . Donc par

l'unicité standard du résultat pour les équations différentielles ordinaires, ( ) ( )tBtA = pour tout t.

THEOREME 4.2. Soit H le groupe de Heisenberg et h son algèbre de Lie. Soit G un groupe de Lie matriciel avec

l'algèbre de Lie g et soit gh →:~φ un homomorphisme d'algèbre de Lie. Alors il existe un unique

homomorphisme de groupe de Lie GH →:φ tel que

(18) ( ) ( )XX ee φφ~

=

pour tout h∈X .

DEMONSTRATION Rappelons que le groupe de Heisenberg a la propriété très spéciale que son application exponentielle est bijective. Soit "ln" l'inverse de cette application. Définissons GH →:φ par la

formule

(19) ( ) ( )AeA log~φφ =

Nous allons montrer que φ est un homomorphisme de groupe de Lie.

Si X et Y sont dans l'algèbre de Lie du groupe de Heisenberg (des matrices 33× strictement triangulaires supérieures), alors [ ]YX , est de la forme

(20)

000

000

00 a

Une telle matrice commute avec X et Y. C'est à dire que X et Y commutent avec leur commutateur.

Puisque φ~ est un homomorphisme d'algèbre de Lie, ( )Xφ~ et ( )Yφ~ commutent aussi avec leur

commutateur :

(21) ( ) ( ) ( )[ ][ ] [ ][ ]( )( ) ( ) ( )[ ][ ] [ ][ ]( ) 0,,

~~,

~,

~0,,

~~,

~,

~

==

==

YXYYXY

YXXYXX

φφφφφφφφ

Nous désirons montrer que φ est un homomorphisme, c'est à dire que ( ) ( ) ( )BAAB φφφ = .

A peut être écrit comme Xe pour un unique h∈X et B peut être écrit comme Ye pour un unique h∈Y . Donc, suivant le théorème 4.1

(22) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

++= YXYXAB φφφφφ ~,

~

2

1~~exp

Finalement, en utilisant le théorème 4.1 à nouveau, nous avons

(23) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BAeeAB YX φφφ φφ ==~~

Donc φ est un homomorphisme. Il est facile de contrôler que φ est continu (en contrôlant que ln,

exp et φ~ sont tous continus) et ainsi φ est un homomorphisme de groupe de Lie. De plus, par

définition φ a la bonne relation avec φ~ . De plus, puisque l'application exponentielle est bijective, il peut y avoir au plus un φ avec ( ) ( )XX ee φφ

~

= . Ainsi nous avons l'unicité.

I.4.2. La formule générale de Baker-Campbell-Hausdo rff L'importance de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff ne tient pas aux détails de la formule,

mais au fait qu'il y en a une et le fait qu'elle donne ( )YX eeln en fonction des commutateurs de X et

Y, des commutateurs de commutateurs, etc. Cela nous dit quelque chose de très important, c'est-à-

dire que (au moins pour les éléments de la forme Xe , X petit) le produit de groupe pour un groupe de Lie matriciel G est entièrement exprimable en fonction de l'algèbre de Lie (c'est parce que

( )YX eeln , et donc aussi YX ee lui-même, peut être calculé à l'aide de l'algèbre de Lie par la formule

au début de la section précédente). Nous voulons réellement établir et démontrer une forme intégrale de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff plutôt que le développement en série que nous avons vu. Cependant, la forme intégrale est suffisante pour obtenir le résultat désiré (voir corollaire 4.4). Considérons la fonction

(1) ( )z

zzg

11

ln

−=

Cette fonction est définie et analytique dans le disque 11 <−Z et donc, pour z dans cet

ensemble, g(z) peut être exprimé comme

(2) ( ) ( )∑∞

=

−=0

1m

m

m zazg

Cette série a un rayon de convergence égal à un. Maintenant, supposons que V est un espace vectoriel complexe de dimension finie. Choisissons une

base arbitraire de V telle que V peut être identifié avec nC et donc la norme d'un opérateur linéaire

sur V peut être définie. Alors pour tout opérateur A sur V avec 1<− IA , nous pouvons définir

(3) ( ) ( )∑∞

=

−=0

1m

m

m AaAg

Nous sommes maintenant prêts à établir la forme intégrale de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff.

THEOREME 4.3. (Baker-Campbell-Hausdorff)

Pour toutes matrices complexes nn× X et Y avec X et Y suffisamment petits,

(4) ( ) ( )( )∫+=1

0ln dtYeegXee YtXYX adad

COROLLAIRE 4.4.

Soit G un groupe de Lie matriciel et g son algèbre de Lie. Supposons que ( )Cngl ,:~ →gφ est un

homomorphisme d'algèbre de Lie. Alors pour tous X, Y suffisamment petits dans g, ( )YX eeln est

dans g et

(5) ( )[ ] ( ) ( )( )YXYX eeee φφφ~~

lnln~ =

Notons que YtX ee adad , et donc aussi ( )YtX eeg adad , est un opérateur linéaire sur l'espace gl(n,C) de

toutes les matrices complexes nn× . Dans (4), cet opérateur étant appliqué à la matrice Y. Le fait

que X et Y sont supposés petits garantit que YtX ee adad est proche de l'opérateur identité sur gl(n,C)

pour tout 10 ≤≤ t . Cela assure que ( )YtX eeg adad est bien défini.

Si X et Y commutent, alors nous nous attendons à avoir ( ) ( ) YXeee YXYX +== +lnln .

La formule (4) est de toute évidence d'apparence horrible. Cependant, nous ne sommes pas

intéressés par les détails de la formule, mais par le fait qu'elle exprime ( )YX eeln (et donc YX ee ) en

fonction des quantités de l'algèbre de Lie Xad et Yad .

Le but du théorème de Baker-Campbell-Hausdorff est de calculer ( )YX eeln . Vous pouvez vous

demander, "Pourquoi ne pas développer simplement les exponentielles et le logarithme en séries et en les multipliant ?". Bien, vous pouvez faire cela, et si vous le faite pour plusieurs des premiers termes, vous aurez la même réponse. Cependant, il y a un sérieux problème avec cette approche, c'est à dire : comment savoir que les termes dans un tel développement peuvent être exprimés en fonction des commutateurs ? Considérons, par exemple, le terme quadratique. Il est clair qu'il sera une combinaison linéaire de 2X , 2Y , XY et YX . Mais pour l'exprimer en fonction des commutateurs, il doit réellement être une constante fois ( )YXXY − . Bien sûr, pour le terme

quadratique, vous pouvez juste le multiplier et voir, et en effet vous avez ( ) [ ]YXYXXY ,21

21 =− .

Mais il est loin d'être clair de voir comment prouver qu'un résultat similaire se produit pour tous les termes d'ordre plus élevé.

DEMONSTRATION Nous commençons par prouver que le corollaire suit de la forme intégrale de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff. La démonstration est conceptuellement similaire au raisonnement dans l'équation (3) de la section précédente. Notez que si X et Y sont dans une certaine algèbre de Lie g,

alors Xad et Yad préserveront g. Il reste seulement à vérifier (5). L'idée est que si φ~ est un homomorphisme d'algèbre de Lie, alors il aura une grande et horrible expression impliquant 'ad' et

X et Y et donnera la même expression avec X et Y remplacés par ( )Xφ~ et ( )Yφ~ .

Plus précisément, puisque φ~ est un homomorphisme d'algèbre de Lie, (6) [ ] ( ) ( )[ ]XYXY φφφ ~

,~

,~ =

ou

(7) ( )( ) ( ) ( )( )XYXY φφφ ~~~adad =

Plus généralement,

(8) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )XYXYnn φφφ ~~~

adad =

Cela étant le cas,

(9)

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( )Xe

XYm

t

XYm

tXe

Yt

m

mm

m

mm

Y

φ

φφ

φφ

φ ~

~~

!

~

!

~

~0

0

ad

ad

ad

ad

=

=

=

∑

∑∞

=

∞

=

De même,

(10) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )XeeXee YtXYtX φφ φφ ~~ ~~adadadad =

Supposons maintenant que X et Y sont suffisamment petit pour que B-C-H s'applique à X et Y et à

( )Xφ~ et ( )Yφ~ . Alors, en utilisant la linéarité de l'intégrale et un raisonnement similaire à ci-dessus,

nous avons :

(11)

( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )YX

m

mYtX

m

m

mYtX

m

YX

ee

dtXIeeaX

dtXIeeaXee

φφ

φφ φφ

φφφ

~~

1

00

~~

1

00

ln

~~

~~ln

~

=

−+=

−+=

∫ ∑

∫ ∑∞

=

∞

=

adad

adad

C'est ce que nous désirions montrer. Avant de venir à la démonstration de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff elle-même, nous voulons obtenir un résultat concernant les dérivées d'applications exponentielles. Ce résultat est précieux et jouera un rôle central dans notre démonstration de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff. Observons que si X et Y commutent, alors

(12) tYXtYX eee =+ et ainsi

(13) Yeedt

dee

dt

d X

t

tYX

t

tYX ====

+

00

En général X et Y ne commutent pas et

(14) Yeedt

d X

t

tYX ≠=

+

0

C'est, en fait, un résultat important. En particulier, notons que dans le langage du calcul des multivariations

(15) 0=

+

t

tYXedt

d = dérivée directionnelle de exp en X en direction de Y

Donc calculer le coté gauche de (15) est le même que calculer toutes les dérivées directionnelles de la fonction exp (matricielle). Nous nous attendons à ce que la dérivée directionnelle soit une fonction linéaire de Y pour chaque X fixé. Maintenant, la fonction

(16) z

zz

z

e z

−+−−

=−L

!211

1

2

est une fonction entièrement analytique de z, même en z = 0 et est donnée par le développement en série

(17) ( ) L−+−=−=−∑

∞

=

−−

!3!21

!1

1 2

1

11 zz

n

z

z

e

n

nn

z

Cette série (qui a un rayon de convergence infini) prend un sens quand z est remplacé par un opérateur linéaire A sur un certain espace vectoriel de dimension finie.

THEOREME 4.5. (Dérivée de L'exponentielle) Soit X et Y des matrices complexes nn× . Alors

(18)

( )

[ ] [ ][ ]

−+−=

−=

−

=

+

L!3

,,

!2

,

0

YXXYXYe

YX

eIee

dt

d

X

XX

t

tYX

ad

ad

Plus généralement, si ( )tX est une fonction matricielle régulière, alors

(19) ( ) ( )( )

( )

−==

−

= 0

00

0 0 t

XX

t

tX

dt

dX

X

eIee

dt

d

ad

ad

Notons que la dérivée directionnelle dans (18) est en effet linéaire en Y pour chaque X fixé. Notons aussi que (18) est juste un cas particulier de (19) en prenant ( ) tYXtX += et en l'évaluant en t = 0.

De plus, observons que si X et Y commutent, alors seul le premier terme dans la série (18) survit.

Dans ce cas, nous obtenons Yeedt

d X

t

tYX ≠=

+

0

comme attendu.

DEMONSTRATION Il est possible de prouver ce théorème en développant tout en série et en différentiant terme à terme. Nous ne prendrons pas cette approche. Nous prouverons seulement la forme (18) de la formule dérivée, mais la forme (19) s'ensuit par la règle d'enchaînement. Utilisons la formule du produit de Lie et supposons pour le moment qu'il est légal d'échanger limite et dérivée (nous considérerons cette question à la fin). Alors nous avons

(20) ( )0

//

0

lim=

∞→

−

=

+− =t

nntYnX

n

X

t

tYXX eedt

dee

dt

de

Nous appliquons maintenant la règle du produit (généralisée à n facteurs) pour obtenir

(21)

( ) ( )( )[ ]( ) ( )( )

( ) ( )∑

∑

∑

−

=

−

∞→

−

=

−−

∞→

−

−

==

−−

∞→

−

=

+−

=

=

=

1

0

//

1

0

//1/

1

00

////1//

0

1lim

/lim

/lim

n

k

knXknX

n

n

k

knXnXknnX

n

X

n

k

t

kntYnXntYnXknntYnX

n

X

t

tYXX

eYen

enYeee

eenYeeeeeedt

de

Mais

(22) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )Ye

YeeYe

knX

knXknXknX

/

///

ad

Ad

−

−−

=

=

(où nous avons utilisé la relation entre Ad et ad). Ainsi nous avons

(23) ( ) ( )∑−

=

−

∞→=

+− =1

0

/

0

1lim

n

k

knX

nt

tYXX Yen

edt

de ad

Observons maintenant que ( )∑−

=−1

0

/n

k

knXe ad est une série géométrique. Raisonnons maintenant pour

un moment à un niveau purement formel. En utilisant la formule usuelle pour les séries géométriques, nous avons

(24)

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )YX

eI

Y

n

XX

eI

Y

n

X

n

XII

eI

YeI

eI

ne

dt

de

X

X

n

X

n

nX

nnX

nt

tYXX

ad

adad

adad

ad

ad

ad

ad

ad

−

−

∞→

−

∞→

−

−

∞→=

+−

−=

+−

−=

−+−−

−=

−−=

L

L

!2

lim

!2

lim

1lim

2

2

2

2

/

/

0

C'est ce que nous désirions montrer ! Cet argument a-t-il un sens à un niveau plus rigoureux ? En fait oui. Comme d'habitude, considérons d'abord le cas diagonalisable. C'est à dire, supposons que Xad est diagonalisable comme opérateur sur gl(n,C) et supposons que Y est un vecteur propre de Xad . Cela signifie que

( ) [ ] YYXYX λ== ,ad pour un certain C∈λ . Maintenant, il y a deux cas, 0=λ et 0≠λ . Le cas

0=λ correspond au cas dans lequel X et Y commutent et nous avons déjà observé que le théorème était valable de manière triviale dans ce cas.

Le cas intéressant, alors, est le cas 0≠λ . Notons que ( ) ( ) YYX nn λ=ad , et ainsi

(25) ( ) ( ) ( )YeeknknX // λ−− =ad

Donc la série géométrique dans (23) devient une série complexe ordinaire avec le rapport ne /λ− . Puisque 0≠λ , ce rapport sera différent de un pour tout n suffisamment grand. Donc, nous avons

(26) ( )

YeI

eI

ne

dt

de

n

nn

nt

tyXX

−−= −

−

∞→=

+−/

/

0

1lim λ

λ

Il n'y a maintenant pas de problème pour prendre la limite comme nous l'avons fait formellement ci-dessus pour avoir

(27)

YX

eI

Ye

edt

de

X

t

tYXX

ad

ad−

−

=

+−

−=

−=λ

λ1

0

Nous voyons alors que le théorème est valable dans le cas où Xad est diagonalisable et Y est un vecteur propre de Xad . Si Xad est diagonalisable mais que Y n'est pas un vecteur propre, alors Xad est une combinaison linéaire de vecteurs propres et en appliquant le calcul ci-dessus pour

chacun de ces vecteurs propres, on obtient le résultat désiré. Nous avons besoin, alors, de considérer le cas où Xad n'est pas diagonalisable. Mais, si X est une matrice diagonalisable, alors Xad sera diagonalisable comme opérateur sur gl(n,C). Puisque nous avons déjà observé que toute matrice est la limite de matrices diagonalisables, nous avons fait l'essentiel. Il est facile de voir en différentiant le développement en série terme à terme que

0=

+−

t

tYX

dtdX ee existe et varie continûment avec X. Donc, une fois que nous avons le théorème pour

tous les X diagonalisables, nous l'avons pour tous les X en passant à la limite.

La seule question non résolue, alors, est l'échange de limite et dérivée que nous avons effectué au début de l'argumentation. Nous ne désirons pas en parler en détail, mais voyons ce qui serait impliqué dans sa justification. Un théorème standard de l'analyse élémentaire dit que si

( ) ( )tftf n → (convergence simple) et qu'en plus dtdf n / converge uniformément vers une certaine

fonction g(t), alors f(t) est différentiable et ( )tgdtdf =/ . Le besoin clé est que les dérivées

convergent uniformément. La convergence uniforme des nf eux-mêmes n'est définitivement pas

suffisante.

Dans notre cas, ( ) ( )nntYnXX

n eeetf //−= . La formule du produit de Lie dit que cela converge

simplement vers tYXX ee +− . Nous avons besoin, alors, de montrer que

(28) ( )nntYnXX eeedt

d //−

converge uniformément vers un certain g(t), disons dans l'intervalle 11 ≤≤− t . Ce calcul est similaire à ce que nous avons fait ci-dessus avec les modifications relativement mineures pour prendre en compte le fait que nous ne prenons pas t = 0 et pour s'assurer que la convergence est uniforme.

Exercices 1. Démontrez le résultat demandé pour l'équation (28).

I.4.2.1. Démonstration de la formule de Baker-Campb ell-Hausdorff Nous passons maintenant à la démonstration de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff elle-même. Définissons

(1) ( ) ( )tYX eetZ ln=

Si X et Y sont suffisamment petits, alors Z(t) est définit pour 10 ≤≤ t . Notre but est de calculer Z(1). Par définition

(2) ( ) tYXtZ eee =

tel que

(3) ( ) ( ) ( ) YYeeeeedt

de tYXtYXtZtZ == −− 1

D'autre part, suivant le théorème 4.5,

(4) ( ) ( )( )

( )

−=

−−

dt

dZ

tZ

eIe

dt

de

tZtZtZ

ad

ad

Donc

(5) ( )

( ) Ydt

dZ

tZ

eI tZ

=

− −

ad

ad

Si X et Y sont suffisamment petits, alors Z(t) sera aussi petit, tel que ( )( ) ( )tZeI tZ adad /−− sera

proche de l'identité et donc inversible. Ainsi

(6) ( )

( ) ( )YtZ

eI

dt

dZ tZ1−−

−=

ad

ad

Rappelons que ( ) tYXtZ eee = . En appliquant l'homomorphisme 'Ad', on a

(7) ( )( ) ( ) ( )tYXtZ eee AdAdAd =

Suite à la relation entre 'Ad' et 'ad', cela devient

(8) ( ) YtXtZ eee adadad = ou

(9) ( ) ( )YtX eetZ adadad ln=

En mettant cela dans (6), on a

(10) ( )( ) ( )Y

ee

eeI

dt

dZYtX

YtX11

ln

−−

−=

adad

adad

Mais maintenant, observons que

(11) ( )11

ln

1−−

−=

z

zzg

ainsi, formellement, (10) est le même que

(12) ( )( )Yeegdt

dZ YtX adad=

En raisonnant comme dans la démonstration du théorème 4.5, on montre facilement que cet argument formel est réellement correct. Maintenant, nous avons fait l'essentiel, nous notons que Z(0) = X et nous intégrons (12), nous avons

(13) ( ) ( )( )∫+=1

01 dtYeegXZ YtX adad

qui est la formule de Baker-Campbell-Hausdorff.

Exercices 1. Vérifiez que Z(t) dans (1) de la section I.4.2.1 est régulier.

I.4.3. La forme série de la formule de Baker-Campbe ll-Hausdorff Voyons comment obtenir les premiers termes de la forme série de B-C-H à partir de la forme intégrale. Rappelons la fonction

(1)

( )

( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )

( )[ ] ( )

−−+−−−+=

−

−−+−−−−+

=

−=

L

L

3

1

2

1111

1

3

1

2

1111

1

ln

2

32

zzz

z

zzzz

z

zzzg

En multipliant et en regroupant les termes, on a

(2) ( ) ( ) ( ) L+−−−+= 216

11

2

11 zzzg

La forme complète pour g est

(3) ( ) ( )( ) ( )∑

∞

=

+

−+

−+=1

1

11

11

n

nn

znn

zg

Mais,

(4)

( ) ( )

( ) ( )L

LL

+++++=

−

+++

+++=−

22

22

222

222

YtXYXtYtX

IYt

YtIX

XIIee YtX

adadadadadad

adad

adad

adad

L'observation cruciale ici est que Iee YtX −adad n'a pas de terme d'ordre zéro, juste le premier ordre

et des plus élevés en YX adad / . Donc ( )nYtX Iee −adad contribuera seulement à des termes de degré

n ou plus élevés en YX adad / . Nous avons, alors, jusqu'au degré deux en YX adad /

(5)

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]XYtYXtYtXYtX

YXt

Yt

XI

YtXYtX

YXtYtXIeeg YtX

adadadadadadadad

adadadad

adadadad

adadadadadad

+++−+++++=

++−

++++++=

222222

2222

6

1

44222

1

6

1

222

1LL

plus des termes d'ordre plus élevé.

Nous appliquons maintenant ( )YtX eeg adad à Y et nous intégrons. Ainsi (en négligeant les termes

d'ordre plus élevé) selon B-H-C et en notant que tout terme avec Yad agissant d'abord est zéro :

(6)

( ) [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ][ ]YXYtdtYXXYXYX

dtYXYt

YXXYXXYXYXee YX

,,6

1,,

6

1

4

1,

2

1

,,6

,,6

1,,

4

1,

2

1ln

1

0

1

0

∫

∫

−

−+++=

−−+++=

Donc, si nous effectuons le calcul, nous terminons avec

(7) ( ) [ ] [ ][ ] [ ][ ]YXYYXXYXYXee YX ,,12

1,,

12

1,

2

1ln −+++=

plus des termes d'ordre plus élevés.

I.4.4. Sous-groupes et sous-algèbres Supposons que G est un groupe de Lie matriciel, H un autre groupe de Lie matriciel et supposons que GH ⊂ . Alors certainement, l'algèbre de Lie h de H sera une sous-algèbre de l'algèbre de Lie g de G. Est-ce que ceci marche dans l'autre sens ? C'est-à-dire étant donné un groupe de Lie G avec l'algèbre de Lie g, et une sous-algèbre h de g, y a-t-il un groupe de Lie H dont l'algèbre de Lie est h ? Dans le cas du groupe de Heisenberg, la réponse est oui. C'est facile à voir en utilisant le fait que l'application exponentielle est bijective et avec la forme particulière de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff.

Malheureusement, la réponse en général est non. Par exemple, soit G = GL(2,C) et soit

(1)

∈

= Rt

ita

it

0

0h

où a est irrationnel. S'il devait y avoir un groupe de Lie matriciel H avec l'algèbre de Lie h, alors H contiendrait l'ensemble

(2)

∈

= Rt

e

eH

ita

it

0

00

Pour être un groupe de Lie matriciel, H devrait être fermé dans GL(2,C) et ainsi il devrait contenir la fermeture de 0H , qui est (vérifiez) l'ensemble

(3)

∈

= Rts

e

eH

iz

it

,0

01

Mais alors l'algèbre de Lie de H devrait contenir l'algèbre de Lie de 1H qui est à deux dimensions !

Heureusement, tout n'est pas perdu. Nous pouvons encore avoir un sous-groupe H pour chaque sous algèbre h si nous affaiblissons la condition que H soit un groupe de Lie matriciel. Dans l'exemple ci-dessus, le sous-groupe que nous désirons est 0H , en dépit du fait que 0H n'est pas un groupe de

Lie matriciel.

DEFINITION 4.6. Si H est n'importe quel sous-groupe de GL(2,C), définissons l'algèbre de Lie h de H par l'ensemble de toutes les matrices X tel que

(4) He tX ∈ pour tout réel t.

DEFINITION 4.7. Si G est un groupe de Lie matriciel avec l'algèbre de Lie g, alors H est un sous-groupe de Lie connexe de G si i. H est un sous-groupe de G ii. H est connexe iii. l'algèbre de Lie h de H est un sous-espace de g

iv. Tout élément de H peut être écrit sous la forme nXXXeee L21 , avec h∈nXX ,,1 K

THEOREME 4.8. Si G est un groupe de Lie matriciel avec l'algèbre de Lie g et H est un sous-groupe de Lie connexe de G, alors l'algèbre de Lie h de H est une sous-algèbre de g.

DEMONSTRATION Puisque par définition h est un sous-espace de g, il reste seulement à montrer que h est fermé sous

les commutateurs. Ainsi supposons h∈YX , . Alors tXe et sYe sont dans H et aussi (puisque H est

un sous-groupe) l'élément

(5) ( )[ ]tXtXtXsYtX Yeeseee −− = exp

Cela montre que tXtXYee − est dans h pour tout t. Mais h est un sous-espace de g, donc est nécessairement un sous-ensemble fermé de g. Donc

(6) [ ] ( )h

YYeeYee

dt

dYX

hXhX

ht

tXtX −==−

→=

−

00

lim,

est dans h (cet argument est précisément celui utilisé pour montrer que l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie matriciel est fermée sous les commutateurs, une fois que nous avons établit que c'est un sous-espace). Nous sommes maintenant prêts à établir le principal théorème de cette section, qui est notre seconde application majeure de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff.

THEOREME 4.9. Soit G un groupe de Lie matriciel avec l'algèbre de Lie g. Soit h une sous-algèbre de Lie de g. Alors il existe un unique sous-groupe de Lie connexe H de G tel que l'algèbre de Lie de H est h. Nous laissons de coté la démonstration. Etant donné un groupe de Lie matriciel G et une sous algèbre h de g, le sous-groupe de Lie connexe associé H peut être un groupe de Lie matriciel. Cela se passera précisément si H est un sous-ensemble fermé de G. Il y a différentes conditions sous laquelle on peut démontrer que H est fermé. Par exemple, si G = GL(n,C) et h est semi-simple, alors H est automatiquement fermé et donc un groupe de Lie matriciel. Si seulement la formule de Baker-Campbell-Hausdorff marchait globalement au lieu de seulement localement, la démonstration de ce théorème serait facile. Si la formule B-H-C convergeait pour tout X, Y, nous pourrions juste définir H comme l'image de h sous l'application exponentielle. Dans ce cas B-C-H montrerait que cette image est un sous-groupe puisque alors nous aurions

ZHHeee =21 avec h∈+++= L212

121 HHHHZ pourvu que h∈21 ,HH . Malheureusement, la

formule B-C-H n'est pas convergente en général et en général l'image de h sous l'application exponentielle n'est pas un sous-groupe.

Exercices 1. Vérifiez que (3) dans la section I.4.4 est bien la fermeture de 0H défini en (2).

Exercices 1. Le centre d'une algèbre de Lie g est définie comme l'ensemble de tout g∈X tel que [ ] 0, =YX

pour tout g∈Y . Maintenant, considérons le groupe de Heisenberg

∈

= Rcbac

ba

H ,,|

100

10

1

avec l'algèbre de Lie

∈

= Rγβαγβα

,,|

000

00

0

h

Déterminez le centre Z(h) de h. Pour tout h∈YX , , montrez que [ ] ( )hZYX ∈, . Cela implique

en particulier que X et Y commutent avec leur commutateur [ ]YX , .

Montrez par calcul direct que pour tout h∈YX , ,

(1) [ ]YXYX

YX eee,

2

1++

= 2. Soit X une matrice complexe de taille quelconque. Montrez que

X

eI X−−

est inversible si et seulement si X n'a pas de valeur propre de la forme inπλ 2= avec n un

entier non nul.

Suggestion : Quand ( ) ze z /1 −− est-il égal à zéro ?

Remarque : Cet exercice, combiné avec la formule dans le théorème 4.5, donne le résultat suivant (dans le langage des variétés différentiables) : l'application exponentielle G→g:exp

est un difféomorphisme local près de g∈X si et seulement si Xad n'a pas de valeur propre de

la forme inπλ 2= avec n un entier non nul.

3. Vérifiez que le coté droit de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff donnée dans le théorème 4.3 se réduit à X + Y dans le cas où X et Y commutent.

Suggestion : calculez d'abord ( )Yee YtX adad et ( )( )YIee YtX −adad .

4. Calculez ( )YX eeln jusqu'au troisième ordre en X / Y en utilisant les développements en série de

l'exponentielle et du logarithme. Montrez que vous avez la même réponse que la formule de Baker-Campbell-Hausdorff.

5. En utilisant les techniques de la section I.4.3, calculez la forme série de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff jusqu'aux commutateurs du quatrième ordre (nous avons déjà calculé jusqu'aux commutateurs du troisième ordre).

6. Soit a une sous algèbre de Lie d'une algèbre de Lie du groupe de Heisenberg. Montrez que exp(a) est un sous-groupe de Lie connexe du groupe de Heisenberg. Montrez qu'en fait, exp(a) est un groupe de Lie matriciel.

7. Montrez que tout sous-groupe de Lie connexe de SU(2) est fermé. Montrez que ce n'est pas le cas pour SU(3).

I.5. Théorie de base des représentations

I.5.1. Représentations

DEFINITION 5.1. Soit G un groupe de Lie matriciel. Alors une représentation complexe de dimension finie de G est un homomorphisme de groupe de Lie (1) ( )CnGLG ,: →Π

( 1≥n ) ou plus généralement un homomorphisme de groupe de Lie (2) ( )VGL→Π

où V est un espace vectoriel complexe de dimension finie (avec ( ) 1dim ≥V ). Une représentation

réelle de dimension finie de G est un homomorphisme de groupe de Lie Π de G vers GL(n,R) ou vers GL(V) où V est un espace vectoriel réel de dimension finie. Si g est une algèbre de Lie réelle ou complexe, alors une représentation complexe de dimension finie de g est un homomorphisme d'algèbre de Lie π de g dans gl(n,C) ou dans gl(V) où V est un espace vectoriel complexe de dimension finie. Si g est une algèbre de Lie réelle, alors une représentation réelle de dimension finie de g est un homomorphisme d'algèbre de Lie π de g dans gl(n,R) ou dans gl(V). Si Π ou π est un homomorphisme surjectif, alors la représentation est dite fidèle.

Nous penserons à une représentation comme une action (linéaire) d'un groupe ou une algèbre de Lie sur un espace vectoriel (puisque, disons, à tout Gg∈ il y a un opérateur associé ( )gΠ qui agit

sur l'espace vectoriel V). En fait, nous utiliserons une terminologie tel que, "Soit Π une représentation de G agissant sur l'espace V". Même si g est une algèbre de Lie réelle, nous considérerons principalement des représentations complexes de g. Après quelques définitions de plus, nous discuterons de la question de pourquoi on s'intéressera à l'étude des représentations.

DEFINITION 5.2. Soit Π une représentation réelle ou complexe d'un groupe de Lie matriciel G, agissant sur un espace V. Un sous espace W de V est dit invariant si ( ) WwA ∈Π pour tout Ww∈ et tout GA∈ .

Un espace invariant W est dit non trivial si 0≠W et VW ≠ . Une représentation sans sous espace

invariant non trivial est dite irréductible. Les termes invariant, non trivial, et irréductible sont définis de manière analogue pour les représentations des algèbres de Lie.

DEFINITION 5.3. Soit G un groupe de Lie matriciel, soit Π une représentation de G agissant sur l'espace V et soit Σ une représentation de G agissant sur l'espace W. Une application linéaire WV →:φ est appelée un

morphisme (ou application jumelle) des représentations si (3) ( )( ) ( ) ( )vAva φφ Σ=Π

pour tout GA∈ et tout Vv∈ . La propriété analogue définit des morphismes des représentations d'algèbre de Lie. Si φ est un morphisme de représentations et en plus φ est inversible, alors φ est dit être un

isomorphisme de représentations. S'il existe un isomorphisme entre V et W, alors les représentations sont dites être isomorphes (ou équivalentes). Deux représentations isomorphes seront regardées comme étant "la même" représentation. Un problème typique dans la théorie des représentations est de déterminer, à un isomorphisme près,

toutes les représentations irréductibles d'un groupe particulier ou d'une algèbre de Lie particulière. Plus loin nous déterminerons toutes les représentations complexes irréductibles de dimension finie de l'algèbre de Lie su(2).

PROPOSITION 5.4. Soit G un groupe de Lie matriciel avec l'algèbre de Lie g et soit Π une représentation (réelle ou complexe de dimension finie) de G agissant sur l'espace V. Alors il y a une représentation unique π de g agissant sur le même espace tel que

(4) ( ) ( )XX ee π=Π

pour tout g∈X . La représentation π peut être calculée comme

(5) ( ) ( ) 0=Π= t

tXedt

dXπ

et satisfait

(6) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 −− ΠΠ= AXAAXA ππ

pour tout g∈X et tout GA∈ .

DEMONSTRATION Le théorème 3.18 dit que pour chaque homomorphisme de Groupe de Lie HG →:φ il y a un

homomorphisme d'algèbre de Lie associé hg →:~φ . Prenons H = GL(V) et Π=φ . Puisque

l'algèbre de Lie de GL(V) est gl(V) (puisque l'exponentielle de tout opérateur est inversible),

l'homomorphisme d'algèbre de Lie associé πφ =~ applique g vers gl(V) et constitue ainsi une

représentation de g.

Les propriétés de π suivent des propriétés de φ~ données dans le théorème 6.

PROPOSITION 5.5. Soit g une algèbre de Lie réelle et Cg sa complexification. Alors toute représentation complexe de

dimension finie π de g a une extension unique à une représentation (linéaire, complexe) de Cg ,

aussi notée π . La représentation de Cg satisfait

(7) ( ) ( ) ( )YiXiYX πππ +=+

pour tout g∈YX , .

DEFINITION 5.6. Soit G un groupe de Lie matriciel, soit H un espace de Hilbert et soit ( )HU le groupe des

opérateurs unitaires sur H . Alors un homomorphisme ( )HUG →Π : est appelé une

représentation unitaire de G si Π satisfait l'équation de continuité suivante : si GAAn ∈, et

AAn → , alors

(8) ( ) ( )vAvAn Π→Π

pour tout H∈v . Une représentation unitaire sans sous-espace invariant fermé non trivial est dite irréductible. La condition de continuité est appelée continuité forte. On pourrait même demander la condition

plus forte que ( ) ( ) 0→Π−Π AAn mais cela s'avère être une nécessité trop rigoureuse (c'est-à-dire

que la plus part des représentations intéressantes de G ne satisferont pas cette condition de continuité plus forte). En pratique, tout homomorphisme de G dans ( )HU qui peut être écrit

explicitement sera fortement continu. On pourrait essayer un certain analogue des représentations unitaires pour les algèbres de Lie, mais il y a de sérieuses difficultés techniques associées avec l'obtention de la "bonne" définition.

Exercice 1. Démontrez la proposition 5.5.

I.5.2. Pourquoi étudier les représentations ? Si une représentation Π est une représentation fidèle d'un groupe de Lie matriciel G, alors

( ) GAA ∈Π est un groupe de matrices qui est isomorphe au groupe original G. Donc Π nous

permet de représenter G comme un groupe de matrices. C'est la motivation pour le terme représentation (bien sûr, nous appellerons encore Π une représentation même si elle n'est pas fidèle). En dépit de l'origine du terme, le propos de la théorie des représentations n'est pas (au moins dans ce cours) de représenter un groupe comme un groupe de matrices. Après tout, tous nos groupes sont déjà des groupes de matrices ! Bien qu'il puisse sembler redondant d'étudier les représentations d'un groupe qui est déjà représenté comme un groupe de matrices, c'est précisément ce que nous allons faire. La raison pour cela est qu'une représentation peut être vue (comme nous l'avons déjà noté) comme une action de notre groupe sur un certain espace vectoriel. De telles actions (représentations) viennent naturellement dans plusieurs branches des mathématiques et de la physique et il est important de les comprendre. Un exemple typique serait une équation différentielle dans un espace à trois dimensions qui a une symétrie à la rotation. Si l'équation a une symétrie a la rotation, alors l'espace des solutions sera invariant sous les rotations. Donc l'espace des solutions constituera une représentation du groupe des rotations SO(3). Si nous savons ce que sont toutes les représentations de SO(3), cela peut aider énormément dans la recherche de quel espace les solutions font parties (comme nous le verrons, SO(3) a un tas d'autres représentations à coté de l'évidente dans laquelle SO(3) agit sur 3R ). En fait, une des applications principales de la théorie des représentations est d'exploiter les symétries. Si un système a des symétries, alors l'ensemble des symétries formera un groupe et comprendre les représentations du groupe de symétrie nous permettra d'utiliser ces symétries pour simplifier le problème.

En plus, étudier les représentations d'un groupe G (ou d'une algèbre de Lie g) peut donner des informations sur le groupe (ou l'algèbre de Lie) lui-même. Par exemple si G est un groupe fini, alors associé à G est quelque chose appelé l'algèbre du groupe. La structure de cette algèbre du groupe peut être décrite très joliment en fonction des représentations irréductibles de G. Dans ce cours, nous serons intéressés en priorité par le calcul des représentations complexes irréductibles de dimension finie des groupes de Lie matriciels. Comme nous verrons, ce problème peut être réduit presque complètement au problème de calculer les représentations complexes irréductibles de dimension finie de l'algèbre de Lie associée. Tout d'abord, nous discuterons de la théorie à un niveau élémentaire et nous considérerons en détail l'exemple de SO(3) et SU(2). Ensuite nous étudierons les représentations de SU(3) qui sont substantiellement plus embrouillées que celles de SU(2) et donnent un aperçu de la théorie des représentations d'une classe très importantes des groupes de Lie, c'est à dire les semi-simples.

I.5.3. Exemples de représentations

I.5.3.1. La représentation standard Un groupe de Lie matriciel G est par définition un sous-ensemble de GL(n,R) ou GL(n,C). L'application d'inclusion de G dans GL(n) (c'est à dire ( ) AA =Π ) est une représentation de G

appelée la représentation standard de G. Donc par exemple, la représentation standard de SO(3) est celle dans laquelle SO(3) agit de la manière habituelle sur 3R . Si G est un sous-groupe de GL(n,R) ou GL(n,C), alors son algèbre de Lie g sera une sous-algèbre de gl(n,R) ou gl(n,C). L'inclusion de g dans gl(n,R) ou gl(n,C) est une représentation de g appelée la représentation standard.

I.5.3.2. La représentation triviale Considérons l'espace vectoriel complexe à une dimension C. Etant donné un groupe de Lie matriciel G, nous pouvons définir la représentation triviale de G, ( )CGLG ,1: →Π , par la formule

(1) ( ) IA =Π

pour tout GA∈ . Bien sûr, c'est une représentation irréductible, puisque C n'a pas de sous-espace non trivial. Si g est une algèbre de Lie, nous pouvons aussi définir la représentation triviale de g,

( )Cgl ,1: →gπ , par

(2) ( ) 0=Xπ

pour tout g∈X . C'est une représentation irréductible.

I.5.3.3. La représentation adjointe Soit G un groupe de Lie matriciel avec l'algèbre de Lie g. Nous avons déjà définit l'application adjointe (1) ( )gAd GLG →:

par la formule

(2) ( ) 1−= AXAXAAd

Rappelons que Ad est un homomorphisme de groupe de Lie. Puisque Ad est un homomorphisme de groupe de Lie dans un groupe d'opérateurs inversibles, nous voyons qu'en fait Ad est une représentation de G agissant sur l'espace g. Donc nous pouvons donner à Ad son nom propre : la représentation adjointe de G. La représentation adjointe est une représentation réelle de G. De même, si g est l'algèbre de Lie, nous avons (3) ( )ggad gl→:

définit par la formule (4) [ ]( )YXYX ,=ag

Nous savons que ad est un homomorphisme d'algèbre de Lie (proposition 3.33) et est donc une représentation de g appelée la représentation adjointe. Dans le cas où g est l'algèbre de Lie d'un certain groupe de Lie matriciel G, nous avons déjà établit (proposition 3.21) que Ad et ad sont reliés comme dans la proposition 5.4. Notons que dans le cas de SO(3), la représentation standard et la représentation adjointe sont toutes les deux des représentations réelles à trois dimensions. En fait ces deux représentations sont équivalentes.

I.5.3.4. Quelques représentations de SU(2) Considérons l'espace mV des polynômes homogènes en deux variables complexes avec le degré

total m ( 0≥m ). C'est-à-dire que mV est l'espace des fonctions de la forme

(1) ( ) m

m

mmm zazzazzazazzf 222

2122

1111021 , ++++= −−

L

avec Czz ∈21 , et les ia des constantes complexes arbitraires. L'espace mV est un espace vectoriel

complexe de dimension m + 1.

Maintenant, par définition, un élément U de SU(2) est une transformation linéaire de 2C . Soit z la

paire ( )21 , zzz = dans 2C . Alors nous pouvons définir une transformation linéaire ( )UmΠ sur

l'espace mV par la formule

(2) ( )[ ]( ) ( )zUfzfUm

1−=Π

Explicitement, si f est comme dans (1), alors

(3) ( )[ ]( ) ( ) ( )∑=

−−−−− ++=Πm

k

kkm

km zUzUzUzUazzfU0

21

2211

2121

1211

1121 ,

En développant le coté droit de cette formule, nous voyons que ( ) fUmΠ est encore un polynôme

homogène de degré m. Donc ( )UmΠ applique réellement mV sur mV .

Calculons maintenant,

(4) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )zfUUzUUfzUfUzfUU mmmm 211

11

21

1221 Π==Π=ΠΠ −−−

Donc mΠ est une représentation (complexe de dimension finie) de SU(2) (il est très facile de faire

le calcul ci-dessus incorrectement). L'inverse dans la définition (2) est nécessaire afin de faire de

mΠ une représentation. Il s'avère que chaque représentation mΠ de SU(2) est irréductible et que

toute représentation irréductible de dimension finie de SU(2) est équivalente à une (et une seule)

des représentations mΠ (bien sûr, deux mΠ ne sont pas équivalents puisqu'ils n'ont pas la même

dimension). Calculons maintenant la représentation de l'algèbre de Lie correspondante mπ . Selon la proposition

5.4, mπ peut être calculé comme

(5) ( ) ( )0=

Π=t

tX

mm edt

dXπ

Ainsi

(6) ( )( )( ) ( )0=

−=t

tX

m zefdt

dzfXπ

Maintenant, soit z(t) la courbe dans 2C définie comme ( ) zetz tX−= , telle que ( ) zz =0 . Bien sûr,

z(t) peut être écrit comme ( ) ( ) ( )( )tztztz 21 ,= avec ( ) Ctzi ∈ . Par la règle d'enchaînement,

(7) ( )0

2

20

1

1 == ∂∂+

∂∂=

tt

mdt

dz

z

f

dt

dz

z

ffXπ

Mais Xzdtdzt

−==0

/ , ainsi nous obtenons la formule suivante pour ( )Xmπ

(8) ( ) ( ) ( )222121

2

212111

1

zXzXz

fzXzX

z

ffXm +

∂∂−+

∂∂−=π

Maintenant, selon la proposition 5.5, toute représentation complexe de dimension finie de l'algèbre de Lie su(2) s'étend de manière unique à une représentation complexe linéaire de la complexification de su(2). Mais la complexification de su(2) est (isomorphe à) sl(2,C) (proposition 3.36). Pour voir qu'il en est ainsi, notons que sl(2,C) est l'espace de toutes les matrices complexes

22× avec la trace égale à zéro. Mais si X est dans sl(2,C), alors

(9)i

XXi

XXXXXXX

2222

++++ ++−=++−=

où à la fois ( ) 2/+− XX et ( ) iXX 2/++ sont dans su(2) (contrôlez !). Il est facile de voir que cette

décomposition est unique, donc tout peut être écrit de manière unique comme 11 iYXX += avec

( )2, 11 suYX ∈ . Donc sl(2,C) est isomorphe comme espace vectoriel à ( )Csu 2 . Mais c'est en fait un

isomorphisme d'algèbre de Lie puisque dans les deux cas (10) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )122121212211 ,,,,, YXYXiYYXXiYXiYX ++−=++

Ainsi, la représentation mπ de su(2) donnée par (8) s'étend à une représentation de sl(2,C) que nous

appellerons aussi (8). Nous affirmons qu'en fait la formule (8) est encore valable pour ( )CslX ,2∈ .

Pourquoi cela ? Bien, (8) est indubitablement linéaire (complexe), et elle est en accord avec le mπ

original pour ( )2suX ∈ . Mais il y a seulement une extension linéaire complexe de mπ de su(2) à

sl(2,C), ainsi il doit en être ainsi ! Ainsi, par exemple, considérons l'élément

(11)

−=

10

01H

dans l'algèbre de Lie sl(2,C). En appliquant la formule (8), on a

(12) ( )( )( ) 2

2

1

1

zz

fz

z

fzfHm ∂

∂+∂∂−=π

Donc, nous voyons que

(13) ( )2

2

1

1z

zz

zHm ∂∂+

∂∂−=π

En appliquant ( )Hmπ à un élément de base kmk zz −21 , nous avons

(14) ( ) ( ) ( ) kmkkmkkmkkmk

m zzkmzzkmzkzzzH −−−− −=−+−= 21212121 2π

Donc kmk zz −21 est un vecteur propre de ( )Hmπ avec la valeur propre m - 2k. En particulier ( )Hmπ

est diagonalisable. Soit X et Y les éléments

(15)

=

=

01

00

00

10YX

dans sl(2,C). Alors (8) nous dit que

(16) ( ) ( )2

1

1

2z

zYz

zX mm ∂∂−=

∂∂−= ππ

tel que

(17) ( )( ) ( ) 1

21

121

12

1121

−−+−

+−−−

−=

−=kmkkmm

m

kmkkmm

m

zzmkzzY

zkzzzX

ππ

PROPOSITION 5.7. La représentation mπ est une représentation irréductible de sl(2,C).

DEMONSTRATION Il suffit de montrer que tout sous-espace invariant différent de 0 de mV est en fait égal à mV .

Ainsi, soit W un tel espace. Puisque W est supposé différent de 0 , il y a au moins un élément non

nul w dans W. Alors w peut être écrit de manière unique sous la forme

(18) m

m

mmm zazzazzazaw 222

2122

11110 ++++= −−

L

avec au moins un des ka non nul. Soit 0k la plus grande valeur de k pour laquelle 0≠ka et

considérons

(19) ( ) wXk

m0π

Puisque (suivant (17)) chaque application de ( )Xmπ abaisse la puissance de 1z d'une unité,

( )0Xmπ détruira tous les termes dans w dont la puissance de 1z est inférieure à 0k , c'est à dire tous,

excepté le terme 00

0 21kmk

k zza− . D'autre part, nous calculons facilement que

(20) ( ) ( ) m

k

kkmk

k

k

m zakzzaX 2021 0

000

0

0 1! −=−π

Nous voyons alors que ( ) wXk

m0π est un multiple non nul de mz2 . Puisque W est supposé invariant,

W doit contenir ce multiple de mz2 et ainsi mz2 lui-même aussi.

Mais maintenant, il suit de (17) que ( ) mk

m zY 2π est un multiple non nul de kmk zz −21 . Donc W doit

aussi contenir kmk zz −21 pour tout mk ≤≤0 . Puisque ces éléments forment une base de mV , nous

voyons que mVW = comme désiré.

I.5.3.5. Deux représentations unitaires de SO(3) Soit ( )dxRL ,32=H . Pour chaque ( )3SOR∈ , définissons un opérateur ( )R1Π sur H par la

formule

(1) ( )[ ]( ) ( )xRfxfR 11

−=π

Puisque la mesure de Lebesgue dx est invariante par rotation, ( )R1Π est un opérateur unitaire pour

chaque ( )3SOR∈ . Le calcul de la section précédente montre que l'application ( )RR 1Π→ est un

homomorphisme de SO(3) dans ( )HU . Cette application est fortement continue et donc constitue

une représentation unitaire de SO(3).

De même, nous pouvons considérer la sphère unité 32 RS ⊂ , avec la mesure de surface usuelle Ω .

Bien sûr, tout ( )3SOR∈ applique 2S sur 2S . Pour chaque R nous pouvons définir ( )R2Π

agissant sur ( )ΩdSL ,22 par

(2) ( )[ ]( ) ( )xRfxfR 12

−=Π

Donc 2Π est une représentation unitaire de SO(3).

Aucune des représentations unitaires 1Π ou 2Π n'est irréductible. Dans le cas de 2Π , ( )ΩdSL ,22

a une très jolie décomposition comme somme directe orthogonale de sous-espaces invariants de dimension finie. Cette décomposition est la théorie des "harmoniques sphériques" qui sont bien connue dans la littérature de la physique (et mathématique) et que nous avons déjà rencontrées.

I.5.3.6. Une représentation unitaire des réels Soit ( )dxRL ,2=H . Pour chaque Ra∈ , définissons HH →:aT par

(1) ( )( ) ( )axfxfTa −=

Clairement aT est un opérateur unitaire pour chaque Ra∈ et clairement baba TTT += . L'application

aTa → est fortement continue ainsi T est une représentation unitaire de R. Cette représentation

n'est pas irréductible. La théorie des transformées de Fourier nous permet de déterminer tous les sous espaces invariants, fermés de H .

I.5.3.7. Les représentations unitaires du groupe de Heisenberg réel Considérons le groupe de Heisenberg

(1)

∈

= Rcbac

ba

H ,,

100

10

1

Maintenant, considérons une constante réelle, non nulle que, pour des raisons de convention historique, nous appellerons h (un choix qui n'a rien d'innocent). Maintenant, pour chaque

0/R∈h , définissons un opérateur unitaire h

Π sur ( )dxRL ,2 par

(2) ( )axfeefc

bacxibi −=

Π − hh

h

100

10

1

Il est clair que le coté droit de (2) a la même norme que f, ainsi

hΠ est en effet unitaire.

Maintenant, calculons

(3) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )aaxfee

aaxfeeee

fc

ba

c

ba

xcciacbbi

axcibixcibi

+−=

−−=

Π

Π

+++−

−−−

~

~

100

10

1

100

~10

~~1

~~~

~~~

hh

hhhh

hh

Cela montre que l'application ( )AA

hΠ→ est un homomorphisme du groupe de Heisenberg dans

( )( )RLU 2 . Cette application est fortement continue et ainsi h

Π est une représentation unitaire de H.

Notons qu'un opérateur unitaire typique ( )A

hΠ consiste en d'abord translater f, puis multiplier f par

la fonction cxie h et puis multiplier f par la constante bie h− . Multiplier f par la fonction cxie h a l'effet de translater la transformée de Fourier de f ou, en langage physique, "de translater f dans l'espace des impulsions". Maintenant, si 1U est une translation ordinaire et 2U une translation de la

transformée de Fourier (c'est à dire, 2U = multiplication par un certain cxie h ), alors 1U et 2U ne

commutent pas mais 12

1121

−− UUUU sera simplement la multiplication par une constante de valeur

absolue égale à un. Donc ( ) HAA ∈Πh

est le groupe des opérateurs sur ( )RL2 généré par les

translations ordinaires et les translations dans l'espace de Fourier. C'est cette représentation du groupe de Heisenberg qui motive son nom.

Il suit assez facilement de la théorie standard des transformées de Fourier que pour chaque 0/R∈h la représentation

hΠ est irréductible. De plus, ce sont (à une équivalence près) presque

toutes les représentations unitaires irréductibles de H. Les seules restantes sont les représentations à une dimension βα ,Π

(4) ( )Iec

bacai βα

βα+=

Π100

10

1

,

avec R∈βα , (les βα ,Π sont les représentations unitaires irréductibles dans lesquelles le centre de

H agit trivialement). Le fait que les h

Π et les βα ,Π sont toutes les représentations unitaires

irréductibles (fortement continues) de H est fortement relié au célèbre théorème de Stone-Von Neumann en physique mathématique.

I.5.4. Les représentations irréductibles de su(2) Dans cette section, nous allons calculer (à une équivalence près) toutes les représentations complexes irréductibles de dimension finie de l'algèbre de Lie su(2). Ce calcul est important pour plusieurs raisons. En premier lieu, ( ) ( )32 sosu ≅ , et les représentations de so(3) ont une

signification physique. Le calcul que nous allons faire ici est trouvé dans tous les livres standards sur la mécanique quantique, sous le titre "moment angulaire". Nous aurons l'occasion de revenir sur ces représentations pour déterminer le spin des particules. En second lieu, la théorie des représentations de su(2) est un exemple lumineux de comment on utilise les relations de commutation pour déterminer les représentations d'une algèbre de Lie. En troisième lieu, en déterminant les représentations des algèbres de Lie semi-simples générales (plus loin), nous utiliserons explicitement la théorie des représentations de su(2). Maintenant, toute représentation complexe de dimension finie π de su(2) s'étend, suivant la proposition 5.5, à une représentation linéaire complexe (appelée aussi π ) de la complexification de su(2), c'est à dire sl(2,C).

PROPOSITION 5.8. Soit π une représentation complexe de su(2), étendue à une représentation linéaire complexe de sl(2,C). Alors π est irréductible comme représentation de su(2) si et seulement si elle est irréductible comme représentation de sl(2,C).

DEMONSTRATION Soyons sûr que nous sommes clair sur ce que cela signifie. Supposons que π est une représentation complexe de l'algèbre de Lie (réelle) su(2), agissant sur l'espace complexe V. Alors dire que π est irréductible signifie qu'il n'y a pas de sous-espace complexe invariant non trivial VW ⊂ . C'est à dire que, même si su(2) est une algèbre de Lie réelle, quand on considère les représentations complexes, nous sommes seulement intéressés par les sous-espaces invariants complexes. Maintenant, supposons que π est irréductible comme représentation de su(2). Si W est un sous-espace complexe de V qui est invariant sous sl(2,C), alors certainement W est invariant sous

( ) ( )Cslsu ,22 ⊂ . Donc 0=W ou VW = . Donc π est une représentation irréductible de sl(2,C).

D'autre part, supposons que π est irréductible comme représentation de sl(2,C) et supposons que W est un sous-espace (complexe) de V qui est invariant sous su(2). Alors W sera aussi invariant sous ( ) ( ) ( )YiXiYX πππ +=+ , pour tout ( )2, suYX ∈ . Puisque tout élément de sl(2,C) peut être

écrit comme iYX + , nous en concluons qu'en fait W est invariant sous sl(2,C). Donc 0=W ou

VW = , ainsi π est irréductible comme représentation de su(2). Nous voyons alors qu'étudier les représentations irréductibles de su(2) est équivalent à étudier les représentations irréductibles de sl(2,C). Passer à l'algèbre de Lie complexifiée rend nos calculs plus faciles. Nous utiliserons la base suivante pour sl(2,C) :

(1)

=

=

−=

01

00

00

10

10

01YXH

qui a les relations de commutation

(2) [ ] [ ] [ ] HYXYYHXXH =−== ,2,2,

Si V est un espace vectoriel (complexe de dimension finie) et A, B et C des opérateurs sur V satisfaisant (3) [ ] [ ] [ ] ACBCCABBA =−== ,2,2,

alors, à cause de l'antisymétrie et de la bilinéarité du commutateur, l'application linéaire ( ) ( )VglCslgp →,2: satisfaisant

(4) ( ) ( ) ( ) CYBXAH === πππ

sera une représentation de sl(2,C).

THEOREME 5.9. Pour chaque entier 0≥m , il y a une représentation irréductible de sl(2,C) avec la dimension m + 1. Deux représentations irréductibles de sl(2,C) avec la même dimension sont équivalentes. Si π est une représentation irréductible de sl(2,C) avec la dimension m + 1, alors π est équivalent à la représentation mπ décrite précédemment.

DEMONSTRATION Soit π une représentation irréductible de sl(2,C) agissant sur un espace V (complexe de dimension finie). Notre stratégie est de diagonaliser l'opérateur ( )Hπ . Bien sûr, à priori, nous ne savons pas si

( )Hπ est diagonalisable. Cependant, comme nous travaillons sur le champ (algébrique fermé) des

nombres complexes, ( )Hπ doit avoir au moins un vecteur propre.

Le Lemme suivant est la clé de la démonstration entière.

LEMME 5.10. Soit u un vecteur propre de ( )Hπ avec la valeur propre C∈α . Alors

(5) ( ) ( ) ( ) ( )uXuXX παππ 2+=

Donc, ou bien ( ) 0=uXπ , ou bien ( )uXπ est un vecteur propre pour ( )Hπ avec la valeur propre

2+α . De même, (6) ( ) ( ) ( ) ( )uYYH παππ 2−=

tel que, ou bien ( ) 0=uYπ , ou bien ( )uYπ est un vecteur propre de ( )Hπ avec la valeur propre

2−α .

DEMONSTRATION Nous appelons ( )Xπ "opérateur de création" car il a l'effet d'augmenter la valeur propre de ( )Hπ

de 2 et nous appelons ( )Yπ "opérateur de destruction". Nous savons que

( ) ( )[ ] [ ]( ) ( )XXHXH ππππ 2,, == . Donc

(7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )XHXXH πππππ 2=−

ou (8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )XHXXH πππππ 2+=

Donc

(9)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )uX

uXuX

uXuHXuXX

παπαπ

πππππ

2

2

2

+=+=

+=

De même, ( ) ( )[ ] ( )YYH πππ 2, −= , et ainsi

(10) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )YHYYH πππππ 2−=

tel que

(11)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )uY

uYuY

uYuHYuYH

παππ

πππππ

2

22

2

−=−=

−=

C'est ce que nous désirions montrer.

Comme nous l'avons observé, ( )Hπ doit avoir au moins un vecteur propre u ( 0≠u ) avec une

certaine valeur propre C∈α . Suivant le Lemme, (12) ( ) ( ) ( ) ( )uXuXX παππ 2+=

et plus généralement

(13) ( ) ( ) ( ) ( ) uXnuXHnn παππ 2+=

Ce qui signifie que, ou bien ( ) 0=uXnπ ou bien ( ) uX

nπ est un vecteur propre pour ( )Hπ avec la

valeur propre n2+α . Maintenant, un opérateur sur un espace de dimension finie peut avoir seulement un nombre fini de

valeurs propres distinctes. Donc les ( ) uXnπ ne peuvent pas être tous différents de zéro. Donc, il y

a un certain 0≥N tel que

(14) ( ) 0≠uXNπ

mais

(15) ( ) 01 =+uX

Nπ

Définissons ( ) uXuNπ=0 et N2+= αλ . Alors

(16) ( ) 00 uuH λπ =

(17) ( ) 00 =uXπ

Alors définissons

(18) ( ) 0uYuk

k π=

pour 0≥k . Suivant la seconde partie du Lemme, nous avons (19) ( ) ( ) kk ukuH 2−= λπ

Puisque, à nouveau, ( )Hπ peut seulement avoir un nombre fini de valeurs propres, les ku ne

peuvent pas être tous non nuls.

LEMME 5.11. Avec les notations ci-dessus,

(20) ( ) ( )[ ] ( )( ) 0

01

0

1

=>−−= −

uX

kukkkuX kk

πλπ

DEMONSTRATION Nous procédons par induction sur k. Dans le cas k = 1, nous notons que ( ) 01 uYu π= . En utilisant la

relation de commutation ( ) ( )[ ] ( )HYX πππ =, , nous avons

(21) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 001 uHXYuYXuX ππππππ +==

Mais ( ) 00 =uXπ , ainsi nous avons

(22) ( ) 01 uuX λπ =

qui est le Lemme dans le cas k = 1. Maintenant, par définition ( ) kk uYu π=+1 . En utilisant (19) et l'induction, nous avons

(23)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] k

kk

k

kk

ukkkk

ukukkkY

uHXY

uYXuX

21

21 1

1

−+−−=−+−−=

+==

−

+

λλλλπ

ππππππ

Simplifier la dernière expression donne le Lemme. Puisque ( )Hπ peut seulement avoir un nombre fini de valeurs propres, les ku ne peuvent pas être

tous non nuls. Donc il doit y avoir un entier 0≥m tel que

(24) ( ) 00 ≠= uYuk

k π

pour tout mk ≤ , mais

(25) ( ) 00

1

1 == ++ uYu

m

m π

Maintenant, si 01 =+mu , alors certainement ( ) 01 =+muXπ . Alors, suivant le lemme 5.11,

(26) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) mmm ummummmuX −+=+−+== + λλπ 1110 1

Mais 0≠mu et 01 ≠+m (puisque 0≥m ). Donc afin d'avoir ( )( ) mumm −+ λ1 égal à zéro, nous

devons avoir m=λ . Nous avons fait un progrès considérable. Etant donné une représentation irréductible de dimension finie π de sl(2,C), agissant sur un espace V, il existe un entier 0≥m et des vecteurs non nuls

muu ,,0 K tel que (en posant λ égal à m)

(26)

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )[ ] ( )( ) 0

01

0

2

0

1

1

=>−−=

=<=

−=

−

+

uXu

kukkkmuX

uY

mkuuY

ukmuH

kk

m

kk

kk

ππππ

Les vecteurs muu ,,0 K doivent être linéairement indépendants puisque ce sont des vecteurs propres

de ( )Hπ avec des valeurs propres distinctes. De plus, l'espace à m + 1 dimensions généré par

( )Hπ est explicitement invariant sous ( )Hπ , ( )Xπ et ( )Yπ et donc sous ( )Zπ pour tout

( )CslZ ,2∈ . Puisque π est irréductible, cet espace doit être tout V.

Nous avons maintenant montré que toute représentation irréductible de sl(2,C) est de la forme (26). Il reste à montrer que tout ce qui est de la forme (26) est une représentation et qu'elle est irréductible. C'est à dire, si nous définissons ( )Hπ , ( )Xπ et ( )Yπ par (26) (où les ku sont les

éléments de base d'un certain espace vectoriel à m + 1 dimensions), alors nous désirons montrer

qu'ils ont les bonnes relations de commutation pour former une représentation de sl(2,C) et que cette représentation est irréductible. Le calcul des relations de commutation de ( )Hπ , ( )Xπ et ( )Yπ est immédiat et laissé comme

exercice. Notons qu'en traitant avec ( )Yπ , vous devrez traiter séparément les vecteurs ku , mk < et

mu . L'irréductibilité est aussi facile à contrôler, en imitant la démonstration de la proposition 5.7.

Nous avons maintenant montré qu'il y a une représentation irréductible de sl(2,C) pour chaque dimension m + 1, en écrivant explicitement comment H, X et Y agiraient (équation (26)) sur une base. Mais nous avons montré plus que cela. Nous avons aussi montré que toute représentation irréductible de dimension m+1 de sl(2,C) doit être de la forme (26). Il s'ensuit que deux représentations irréductibles de sl(2,C) de dimension m + 1 doivent être équivalentes. Si 1π et 2π

sont deux représentations irréductibles de dimension m+1 agissant sur des espaces 1V et 2V , alors

1V a une base muu ,,0 K comme dans (26) et 2V a une base similaire muu ~,,~0 K . Mais alors

l'application 21: VV →φ qui envoie ku sur ku~ sera un isomorphisme des représentations (pensez-

y). En particulier, la représentation mπ à m+1 dimensions décrite précédemment doit être équivalente

à (26). Cela peut être vu explicitement en introduisant la base suivante pour mV :

(27) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )mkzzkm

mzYu kmkkmk

mk ≤−

−== −212

!

!1π

Alors par définition ( ) 1+= kkm uuYπ , et il est clair que ( ) 0=mm uYπ . Il est facile de voir que

( ) ( ) kkm ukmuH 2−=π . La seule chose restant à contrôler est le comportement de ( )Xmπ . Mais un

calcul direct montre que (28) ( ) ( ) ( )[ ] 11 11 −+ −−=+−= kkkm ukkkmukmkuXπ

comme requit. Cela complète la démonstration du théorème 5.9.

I.5.5. Sommes directes de représentations et réduct ibilité complète Une manière de générer les représentations est de prendre certaines représentations que vous connaissez et de les combiner d'une certaine façon. Nous allons considérer deux méthodes de génération de nouvelles représentations à partir d'anciennes, c'est à dire les sommes directes et le produit tensoriel des représentations. Dans cette section nous allons considérer les sommes directes; dans la prochaine section nous regarderons le produit tensoriel (il y a une autre construction standard de cette sorte, c'est à dire le dual d'une représentation).

DEFINITION 5.12. Soit G un groupe de Lie matriciel et soit nΠΠΠ ,,, 21 K des représentations de G agissant sur des

espaces vectoriels nVVV ,,, 21 K . Alors la somme directe de nΠΠΠ ,,, 21 K est une représentation

nΠ⊕⊕Π L1 de G agissant sur l'espace nVV ⊕⊕L1 définie par

(1) ( )[ ]( ) ( ) ( )( )nnnn vAvAvvA ΠΠ=Π⊕⊕Π ,,,, 1111 KKL

pour tout GA∈ . De même, si g est une algèbre de Lie et nπππ ,,, 21 K des représentations de g agissant sur

nVVV ,,, 21 K , alors nous définissons la somme directe de nπππ ,,, 21 K agissant sur nVV ⊕⊕L1

par (2) ( )[ ]( ) ( ) ( )( )nnnn vXvXvvX ππππ ,,,, 1111 KKL =⊕⊕

pour tout g∈X .

Il est trivial de contrôler que, disons, nΠ⊕⊕Π L1 est réellement une représentation de G.

DEFINITION 5.13. Une représentation de dimension finie d'un groupe ou d'une algèbre de Lie agissant sur un espace V est dite être complètement réductible si la propriété suivante est satisfaite : étant donné un sous-espace invariant VW ⊂ et un second sous-espace invariant VWU ⊂⊂ , il existe un troisième

sous-espace invariant WU ⊂~ tel que 0~ =∩UU et WUU =∪ ~

.

La proposition suivante montre que la réductibilité complète est une jolie propriété qu'une représentation peut avoir.

PROPOSITION 5.14. Une représentation complètement réductible de dimension finie d'un groupe ou d'une algèbre de Lie est équivalente à une somme directe de une ou plusieurs représentations irréductibles.

DEMONSTRATION La démonstration se fait par induction sur la dimension de l'espace V. Si 1dim =V , alors automatiquement la représentation est irréductible puisque alors V n'a pas de sous-espace non trivial, ne laissant aucun sous-espace invariant non trivial. Donc V est une somme directe de représentations irréductibles, avec juste un seul terme, c'est à dire V lui-même. Supposons, alors, que la proposition est valable pour toutes les représentations avec une dimension strictement inférieure à n et que nV =dim . Si V est irréductible, alors à nouveau nous avons une somme directe avec seulement un terme. Si V n'est pas irréductible, alors il existe un sous-espace invariant non trivial VU ⊂ . En prenant W = V dans la définition de la réductibilité complète, nous

voyons qu'il y a un autre sous-espace invariant U~ avec 0~ =∩UU et VUU =∪ ~

. C'est à dire que

UUV~⊕≅ comme espace vectoriel.

Mais puisque U et U~ sont invariants, ils peuvent être vus eux-mêmes comme des représentations

(c'est à dire que l'action de notre groupe ou algèbre de Lie sur U ou U~ est une représentation). Il est

facile de voir qu'en fait V est isomorphe à UU~⊕ comme représentation. De plus, il est facile de

voir qu'à la fois U et U~ sont des représentations complètement réductibles puisque tout sous-

espace invariant W de, disons, U est aussi un sous-espace invariant de V. Mais puisque U est non

trivial (c'est-à-dire 0≠U et VU ≠ ), nous avons VU dimdim < et VU dim~

dim < . Donc par

induction, nUUU ⊕⊕≅ L1 (comme représentations) avec les iU irréductibles et

nUUU~~~

1 ⊕⊕≅ L avec les iU~ irréductibles, et nn UUUUV

~~11 ⊕⊕⊕⊕⊕≅ LL .

Certains groupes et algèbres de Lie ont la propriété que toute représentation (de dimension finie) est complètement réductible. C'est une très jolie propriété car elle implique (suite à la proposition ci-dessus) que toute représentation est équivalente à une somme directe de représentations irréductibles (et qu'en retour cette décomposition est essentiellement unique). Donc pour de tels groupes et algèbres de Lie, si nous connaissons (à une équivalence près) toutes les représentations irréductibles, alors nous connaissons (à une équivalence près) toutes les représentations. Malheureusement, toutes les représentations ne sont pas complètement réductibles. Par exemple, la représentation standard du groupe de Heisenberg n'est pas complètement réductible.

PROPOSITION 5.15. Soit G un groupe de Lie matriciel. Soit Π une représentation unitaire de dimension finie de G agissant sur un espace de Hilbert réel ou complexe de dimension finie V. Alors Π est complètement réductible.

DEMONSTRATION Ainsi, nous supposons que notre espace V est équipé avec un produit scalaire et que ( )AΠ est

unitaire pour chaque GA∈ . Supposons que VW ⊂ est invariant et que VWU ⊂⊂ est aussi invariant. Définissons

(3) WUU ∩= ⊥~

Alors, bien sûr, 0~ =∩UU et la théorie des espaces de Hilbert standard implique que

WUU =∪ ~.

Il reste seulement à montrer que U~ est invariant. Ainsi, supposons que WUv ∩∈ ⊥ . Puisque W

est supposé invariant, ( )wAΠ sera dans W pour tout GA∈ . Nous avons besoin de montrer que

( )vAΠ est perpendiculaire à U. Bien, puisque ( )1−Π A est unitaire, alors pour tout Uu∈

(4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) vuAvAAuAvAu ,,, 111 −−− Π=ΠΠΠ=Π

Mais U est supposé invariant et ainsi ( ) UuA ∈Π −1 . Mais puisque ⊥∈Uv , ( ) 0,1 =Π − vuA . Cela

signifie que

(5) ( ) 0, =Π vAu

pour tout Uu∈ , c'est-à-dire ( ) ⊥∈Π UvA .

Donc U~ est invariant, c.q.f.d.

PROPOSITION 5.16. Si G est un groupe fini, alors toute représentation réelle ou complexe de dimension finie de G est complètement réductible.

DEMONSTRATION Supposons que Π est une représentation de G agissant sur un espace V. Choisissons un produit

scalaire arbitraire sur V. Alors définissons un nouveau produit scalaire G sur V par

(6) ( ) ( )∑∈

ΠΠ=Gg

Gvgvgvv 2121 ,,

Il est très facile de contrôler qu'en effet G est un produit scalaire. De plus, si Gh∈ , alors

(7)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∑

∑

∈

∈

ΠΠ=

ΠΠΠΠ=ΠΠ

Gg

GgG

vghvgh

vhgvhgvhvh

21

2121

,

,,

Mais lorsque g parcourt G, alors aussi gh. Donc en fait

(8) ( ) ( )GG

vvvhvh 2121 ,, =ΠΠ

C'est-à-dire que Π est une représentation unitaire par rapport au produit scalaire . Donc Π est complètement réductible suivant la proposition 5.15.

Il y a une variante de l'argumentation ci-dessus qui peut être utilisée pour démontrer le résultat suivant :

PROPOSITION 5.17. Si G est un groupe de Lie matriciel compact, alors toute représentation réelle ou complexe de dimension finie de G est complètement réductible.

DEMONSTRATION Cette démonstration nécessite la notion de mesure de Haar. Une mesure de Haar gauche sur un groupe de Lie matriciel G est une mesure non nulle µ sur l'algèbre σ de Borel dans G avec les

deux propriétés suivantes : 1) elle est localement finie, c'est-à-dire que tout point dans G a un voisinage avec une mesure finie et 2) elle est invariante par translation à gauche. L'invariance par translation à gauche signifie que ( ) ( )EgE µµ = pour tout Gg∈ et pour tout ensemble de Borel

GE ⊂ où

(9) EegegE ∈=

C'est un fait que nous ne pouvons pas démontrer ici que tout groupe de Lie matriciel a une mesure de Haar gauche et que cette mesure est unique à une multiplication près par une constante (on peut de manière analogue définir une mesure de Haar droite et un théorème similaire est valable pour elle. La mesure de Haar gauche et la mesure de Haar droite peuvent ou non coïncider; un groupe pour lequel il en est ainsi est appelé unimodulaire). Maintenant, le fait clé pour notre but est que la mesure de Haar gauche est finie si et seulement si le groupe G est compact. Ainsi si Π est une représentation de dimension finie de G agissant sur un

espace V, alors soit un produit scalaire arbitraire sur V et définissons un nouveau produit

scalaire G sur V par

(10) ( ) ( ) ( )∫ ΠΠ=GG

gdvgvgvv µ2121 ,,

où µ est la mesure de Haar gauche. A nouveau, il est facile de contrôler que G est un produit

scalaire. De plus, si Gh∈ , alors par l'invariance gauche de µ

(11)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

G

G

GG

vv

gdvghvgh

gdvhgvhgvhvh

21

21

2121

,

,

,,

=

ΠΠ=

ΠΠΠΠ=ΠΠ

∫

∫µ

µ

Ainsi, Π est une représentation unitaire par rapport à G et est donc complètement réductible.

Notons que G est bien défini uniquement à cause du fait que µ est fini.

I.5.6. Produits tensoriels de représentations Soit U et V des espaces vectoriels réels ou complexes de dimension finie. Nous voulons définir le produit tensoriel de U et V qui sera un nouvel espace vectoriel "construit" avec U et V. Nous voulons discuter d'abord de cette idée puis donner la définition précise. Nous voulons considérer un "produit" formel d'un élément u de U avec un élément v de V, noté

vu ⊗ . L'espace VU ⊗ est alors l'espace des combinaisons linéaires de tels produits, c'est à dire l'espace des éléments de la forme (1) nnn vuavuavua ⊗++⊗+⊗ L222111

Bien sûr, si "⊗ " doit être interprété comme un produit, alors il sera bilinéaire. C'est à dire que nous aurons

(2) ( )

( ) 2121

2121

vauvuavvu

vauvuvauu

⊗+⊗=+⊗⊗+⊗=⊗+

Nous ne supposons pas que le produit est commutatif (en fait, le produit dans l'autre ordre, uv⊗ est dans un espace différent, c'est à dire UV ⊗ ). Maintenant, si neee ,,, 21 K est une base de U et mfff ,,, 21 K est une base de V, alors en utilisant la

bilinéarité, il est facile de voir que tout élément de la forme (1) peut être écrit comme une

combinaison linéaire des éléments ji fe ⊗ . En fait, il semble raisonnable de s'attendre à ce que

mjnife ji ≤≤≤≤⊗ 0,0 soit une base de VU ⊗ . Cela s'avère en fait le cas.

DEFINITION 5.18. Si U et V sont des espaces vectoriels réels ou complexes de dimensions finies, alors un produit tensoriel de U avec V est un espace vectoriel W avec une application linéaire WVU →×:φ avec

la propriété suivante : Si ψ est toute application linéaire de VU × dans un espace X, alors il existe

une unique application linéaire ψ~ de W dans X tel que le diagramme suivant s'applique :

Notons que l'application bilinéaire ψ de VU × dans X devient l'application linéaire ψ~ de W dans

X. C'est un des points du produit tensoriel : les applications bilinéaires sur VU × deviennent des applications linéaires sur W.

THEOREME 5.19. Si U et V sont des espaces vectoriels réels ou complexes de dimensions finies, alors un produit tensoriel ( )φ,W existe. De plus, ( )φ,W est unique à un isomorphisme canonique près. C'est-à-dire

que si ( )11 ,φW et ( )22 ,φW sont deux produits tensoriels, alors il existe un unique isomorphisme

d'espace vectoriel 21: WW →Φ tel que le diagramme suivant s'applique :

Supposons que ( )φ,W est un produit tensoriel et que neee ,,, 21 K est une base de U et mfff ,,, 21 K

une base de V. Alors ( ) mjnie ii ≤≤≤≤ 0,0,φφ est une base pour W.

NOTATION 5.20. Puisque le produit tensoriel de U et V est essentiellement unique, nous noterons VU ⊗ un espace de produit tensoriel arbitraire et nous écrirons vu ⊗ au lieu de ( )vu,φ . Dans cette notation, le

théorème dit que mjnife ji ≤≤≤≤⊗ 0,0 est une base pour VU ⊗ , comme attendu. Notons en

particulier que (3) ( ) ( )( )VUVU dimdimdim =⊗

(et pas VU dimdim + comme dans une somme directe d'espaces vectoriels). La propriété définie de VU ⊗ est appelée la propriété universelle des produits tensoriels. Bien qu'il puisse sembler que nous prenions une simple idée et que nous la rendons confuse, en fait, il y a un point important à cette propriété universelle. Supposons que nous désirions définir une application linéaire T de VU ⊗ dans un certain autre espace. La manière la plus sensible de définir cela est de définir T sur les éléments de la forme vu ⊗ (vous pouvez essayer de le définir sur une base, mais cela vous force à vous demander si les choses dépendent du choix de la base). Maintenant, tout élément de VU ⊗ est une combinaison linéaire de choses de la forme vu ⊗ . Cependant, cette représentation est loin d'être unique (puisque, disons, si 21 uuu += , alors vous

pouvez écrire vu ⊗ comme vuvu ⊗+⊗ 21 ).

Donc si vous essayez de définir T par ce qu'elle fait aux éléments de la forme vu ⊗ , vous devrez vous demander si T est bien définit. C'est ici que la propriété universelle se manifeste. Supposons que ( )vu,ψ est une certaine expression bilinéaire en u, v. Alors la propriété universelle dit

précisément qu'il y a une unique application linéaire T ( ψ~= ) telle que

(4) ( ) ( )vuvuT ,ψ=⊗

(pensez y et assurez-vous que c'est réellement ce que la propriété universelle dit). La conclusion est donc : vous pouvez définir une application linéaire T sur VU ⊗ en la définissant sur les éléments de la forme vu ⊗ et elle sera bien définie pourvu que ( )vuT ⊗ soit bilinéaire en

(u, v). La proposition suivante montre comme utiliser cette idée.

PROPOSITION 5.21. Soit U et V des espaces vectoriels réels ou complexes de dimension finie. Soit UUA →: et

VVB →: des opérateurs linéaires. Alors il existe un unique opérateur linéaire de VU ⊗ vers VU ⊗ , noté BA⊗ tel que

(5) ( ) ( ) ( )vBAuvuBA ⊗=⊗⊗

pour tout Uu∈ , Vv∈ . Si 1A , 2A sont des opérateurs linéaires de U et 1B , 2B des opérateurs linéaires de V, alors

(6) ( )( ) ( ) ( )21212211 BBAABABA ⊗=⊗⊗

DEMONSTRATION Définissons une application ψ de VU × dans VU ⊗ par

(7) ( ) ( ) ( )BvAuvu ⊗=,ψ

Puisque A et B sont linéaires et que ⊗ est bilinéaire, ψ sera une application bilinéaire de VU ×

dans VU ⊗ . Mais alors la propriété universelle dit qu'il y a une application linéaire associée VUVU ⊗→⊗:~ψ telle que

(8) ( ) ( ) ( ) ( )BvAuvuvu ⊗==⊗ ,~ ψψ

Alors ψ~ est l'application BA⊗ désirée.

Maintenant, si 1A , 2A sont des opérateurs linéaires sur U et 1B , 2B des opérateurs linéaires sur V,

calculons alors que

(9) ( )( )( ) ( )( )

vBBuAA

vBuABAvuBABA

2121

22112211

⊗=⊗⊗=⊗⊗⊗

Cela montre que ( )( ) ( ) ( )21212211 BBAABABA ⊗=⊗⊗ sont égaux sur des éléments de la forme

vu ⊗ . Puisque tout élément de VU ⊗ peut être écrit comme une combinaison linéaire de vu ⊗ (en fait de ji fe ⊗ ), ( )( )2211 BABA ⊗⊗ et ( ) ( )2121 BBAA ⊗ doivent être égaux sur l'espace entier.

Nous sommes maintenant prêts à définir le produit tensoriel de représentations. Il y a deux approches différentes qui sont toutes les deux importantes. La première approche commence avec une représentation d'un groupe G agissant sur un espace V et une représentation d'un autre groupe H agissant sur un espace U et produit une représentation du groupe produit HG × agissant sur l'espace VU ⊗ . La seconde approche commence avec deux représentations différentes du même groupe G, agissant sur les espaces U et V et produit une représentation de G agissant sur VU ⊗ . Ces deux approches peuvent être adaptées pour s'appliquer aux algèbres de Lie.

DEFINITION 5.22. Soit G et H des groupes de Lie matriciels. Soit 1Π une représentation de G agissant sur un espace

U et 2Π une représentation de H agissant sur un espace V. Alors le produit tensoriel de 1Π et 2Π

est une représentation 21 Π⊗Π de HG × agissant sur VU ⊗ définie par

(10) ( ) ( ) ( )BABA 2121 , Π⊗Π=Π⊗Π

pour tout BA∈ et HG∈ . En utilisant la proposition ci-dessus, il est très facile de vérifier qu'en effet 21 Π⊗Π est une

représentation de HG × . Maintenant, si G et H sont des groupes de Lie matriciels, c'est à dire que G est un sous-groupe fermé de GL(n,C) et H un sous-groupe fermé de GL(m,C), alors HG × peut être regardé d'une manière évidente comme un sous-groupe fermé de GL(n+m,C). Donc le produit direct des groupes de Lie matriciels peut être regardé comme un groupe de Lie matriciel. Il est facile de contrôler que l'algèbre de Lie de HG × est isomorphe à la somme directe de l'algèbre de Lie de G et de l'algèbre de Lie de H. A la vue de la proposition 5.4, la représentation 21 Π⊗Π de HG × conduit à une représentation

de l'algèbre de Lie de HG × , c'est à dire hg⊗ . La proposition suivante montre que cette

représentation de hg⊗ n'est pas ce à quoi vous pourriez vous attendre au premier abord.

PROPOSITION 5.23. Soit G et H des groupes de Lie matriciels, soit 1Π , 2Π des représentations de G et H,

respectivement et considérons la représentation 21 Π⊗Π de HG × . Soit 21 ππ ⊗ la représentation

associée de l'algèbre de Lie de HG × , c'est à dire hg⊗ . Alors pour tout g∈X et h∈Y

(11) ( ) ( ) ( )YIIXYX 2121 , ππππ ⊗+⊗=⊗

DEMONSTRATION Supposons que u(t) est une courbe régulière dans U et v(t) une courbe régulière dans V. Alors nous vérifions la règle du produit de la manière usuelle :

(12)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+−⊗++

−+⊗+=

⊗−⊗++⊗+−+⊗+=

⊗−+⊗+

→→

→

→

tvh

tutvhtu

h

tvhtvhtu

h

tvtutvhtu

h

tvhtuhtvhtu

h

tvtuhtvhtu

hh

h

h

00

0

0

limlim

lim

lim

Donc

(13) ( ) ( )( ) ( ) ( )dt

dvtutv

dt

dutvtu

dt

d ⊗+⊗=⊗

Cela étant le cas, nous pouvons calculer ( )YX ,21 ππ ⊗ :

(14)

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

Π⊗+⊗

Π=

Π⊗Π=

⊗Π⊗Π=⊗⊗

==

=

0

2

0

1

0

21

2121 ,,

t

tY

t

tX

t

tYtX

tYtX

vedt

duvue

dt

d

veuedt

d

vueedt

dvuYXππ

Cela montre que ( ) ( ) ( )YIIXYX 2121 , ππππ ⊗+⊗=⊗ sur des éléments de la forme vu ⊗ et

donc sur l'espace entiers VU ⊗ .

DEFINITION 5.24. Soit g et h des algèbres de Lie et soit 1π et 2π des représentations de g et h agissant sur les espaces

U et V. Alors le produit tensoriel de 1π et 2π , noté 21 ππ ⊗ , est une représentation de hg⊗

agissant sur VU ⊗ , donnée par (15) ( ) ( ) ( )YIIXYX 2121 , ππππ ⊗+⊗=⊗

pour tout g∈X et h∈Y .

Il est facile de contrôler que cela définit en effet une représentation de hg⊗ . Notons que si nous

définissions ( ) ( ) ( )YXYX 2121 , ππππ =⊗ , ce ne serait pas une représentation de hg⊗ , car elle

n'est même pas une application linéaire (par exemple, nous aurions alors ( ) ( ) ( )YXYX 2121 42,2 ππππ ⊗=⊗ ) ! Notons aussi que la définition ci-dessus s'applique même si

1π et 2π ne viennent pas d'une représentation d'un quelconque groupe matriciel.

DEFINITION 5.25. Soit G un groupe de Lie matriciel et 1Π , 2Π des représentations de G agissant sur les espaces 1V

et 2V . Alors le produit tensoriel de 1Π et 2Π est une représentation de G agissant sur 21 VV ⊗

définie par (16) ( ) ( ) ( )AAA 2121 Π⊗Π=Π⊗Π

pour tout GA∈ .

PROPOSITION 5.26. Avec la notation ci-dessus, la représentation associée de l'algèbre de Lie g satisfait (17) ( ) ( ) ( )XIIXX 2121 ππππ ⊗+⊗=⊗

pour tout g∈X .

DEMONSTRATION En utilisant la règle du produit,

(18) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )vXuvuX

veuedt

dvuX

t

tYtX

21

0

2121

ππ

ππ

⊗+⊗=

Π⊗Π=⊗⊗=

Ce que nous désirions montrer.

DEFINITION 5.27. Si g est une algèbre de Lie et 1π et 2π des représentations de g agissant sur les espaces 1V et 2V ,

alors le produit tensoriel de 1π et 2π est une représentation de g agissant sur l'espace 21 VV ⊗

définie par (19) ( ) ( ) ( )XIIXX 2121 ππππ ⊗+⊗=⊗

pour tout g∈X .

Il est facile de contrôler que 21 Π⊗Π et 21 ππ ⊗ sont réellement des représentations de G et g,

respectivement. Il y a une certaine ambiguïté dans la représentation de, disons, 21 Π⊗Π . Même si

1Π et 2Π sont des représentations du même groupe G, nous pourrions encore voir 21 Π⊗Π

comme une représentation de GG × , en prenant H = G dans la définition 5.22. C'est le contexte qui rendra clair si on pense à 21 Π⊗Π comme une représentation de GG × ou comme une

représentation de G. 1. Supposons que 1Π et 2Π sont des représentations irréductibles d'un groupe G. Si nous

regardons 21 Π⊗Π comme une représentation de G, il n'est peut-être plus irréductible. S'il n'est

pas irréductible, on peut tenter de le décomposer comme une somme directe de représentations irréductibles. Ce processus est appelé la théorie de Clebsch-Gordan. Dans le cas de SU(2), cette théorie est relativement simple. Dans la littérature de la physique, le problème de l'analyse des produits tensoriels de représentations de G est appelé "additions de moments angulaires". Nous y reviendrons.

I.5.7. Lemme de Schur Soit Π et Σ des représentations d'un groupe de Lie matriciel G, agissant sur des espaces V et W. Rappelons qu'un morphisme de représentations est une application linéaire WV →:φ avec la

propriété que (1) ( )( ) ( ) ( )( )vAvA φφ Σ=Π

pour tout Vv∈ et tout GA∈ . Le lemme de Schur est un résultat extrêmement important qui nous parle des morphismes de représentations irréductibles. Une partie du lemme de Schur s'applique à la fois aux représentations réelles et complexes, mais une partie s'applique seulement aux représentations complexes. Il est désirable d'être capable d'établir le lemme de Schur simultanément pour les groupes et les algèbres de Lie. Afin d'y arriver, nous avons besoin d'être indulgent à propos d'un abus commun de notation. Si, disons, Π est une représentation de G agissant sur un espace V, nous nous référerons à V comme la représentation sans référence explicite à Π .

THEOREME 5.28. (Lemme de Schur) 1. Soit V et W des représentations réelles ou complexes irréductibles d'un groupe ou d'une algèbre

de Lie, et soit WV →:φ un morphisme. Alors ou bien 0=φ , ou bien φ est un isomorphisme.

2. Soit V une représentation complexe irréductible d'un groupe ou d'une algèbre de Lie, et soit VV →:φ un morphisme de V dans lui-même. Alors Iλφ = pour un certain C∈λ .

3. Soit V et W des représentations complexes irréductibles d'un groupe ou une algèbre de Lie, et soit WV →:, 21 φφ des morphismes non nuls. Alors 21 λφφ = pour un certain C∈λ .

CORRLAIRE 5.29. Soit Π une représentation complexe irréductible d'un groupe de Lie matriciel G. Si A est dans le centre de G, alors ( ) IA λ=Π . De même, si π est une représentation complexe irréductible d'une

algèbre de Lie g et si X est dans le centre de g (c'est-à-dire [ ] 0, =YX pour tout g∈Y ), alors

( ) IX λπ = .

DEMONSTRATION Nous démontrons le cas des groupes; la démonstration du cas des algèbres de Lie est la même. Si A est dans le centre de G, alors pour tout GB∈ , (2) BAAB = Mais cela dit exactement que ( )AΠ est un morphisme de Π dans lui-même. Ainsi, par le point 2

du lemme de Schur, ( )AΠ est un multiple de l'identité.

COROLLAIRE 5.30. Une représentation complexe irréductible d'un groupe ou d'une algèbre de Lie commutatif est à une dimension.

DEMONSTRATION A nouveau, nous démontrons seulement le cas des groupes. Si G est commutatif, alors le centre de G est la totalité de G, ainsi par le précédent corollaire, ( )AΠ est un multiple de l'identité pour

chaque GA∈ . Mais cela signifie que tout sous-espace de V est invariant ! Donc la seule manière pour que V échoue à avoir un sous-espace invariant et qu'il n'ait aucun sous-espace non trivial. Cela signifie que V doit être à une dimension (rappelons que nous ne permettons pas à V d'être à zéro dimension).

DEMONSTRATION (Lemme de Schur) Comme d'habitude, nous démontrerons seulement le cas des groupes; la démonstration du cas des algèbres de Lie nécessite seulement des changements évidents de notation.

Démonstration de 1.

Dire que φ est un morphisme signifie que ( )( ) ( ) ( )( )vAvA φφ Σ=Π pour tout Vv∈ et tout GA∈ .

Supposons maintenant que ( )φnoyau∈v . Alors

(3) ( )( ) ( ) ( )( ) 0=Σ=Π vAvA φφ

Cela montre que le ( )φnoyau est un sous-espace invariant de V. Puisque V est irréductible, nous

devons avoir ( ) 0noyau =φ ou ( ) V=φnoyau . Donc φ est ou bien injectif ou zéro.

Supposons que φ est injectif. Alors l'image de φ est un sous-espace non nul de W. D'autre part,

l'image de φ est invariante, pour Ww∈ s'il est de la forme ( )vφ pour un quelconque Vv∈ , alors

(4) ( ) ( ) ( ) ( )( )vAvAwA Π=Σ=Σ φφ

Puisque W est irréductible et ( )Vimage est non nul et invariant, nous devons avoir ( ) WV =image .

Donc φ est, ou bien zéro, ou bien bijectif.

Démonstration de 2. Supposons maintenant que V est une représentation complexe irréductible et que VV →:φ est un

morphisme de V dans lui-même. Cela signifie que ( )( ) ( )φφ AA Π=Π pour tout GA∈ , c'est-à-dire

que φ commute avec tous les ( )AΠ . Maintenant, puisque nous sommes sur un champ algébrique

complet, φ doit avoir au moins une valeur propre C∈λ . Soit U l'espace propre de φ associé à la

valeur propre λ et soit Uu∈ . Alors pour chaque GA∈ (5) ( )( ) ( ) ( ) ( )uAuAuA Π=Π=Π λφφ

Donc, appliquer ( )AΠ à un vecteur propre de φ avec la valeur propre λ conduit à un autre vecteur

propre de φ avec la valeur propre λ . C'est à dire que U est invariant.

Puisque λ est une valeur propre, 0≠U , et ainsi nous devons avoir U = V. Mais cela signifie que

( ) vv λφ = pour tout Vv∈ , c'est à dire que Iλφ = .

Démonstration de 3.

Si 02 ≠φ , alors suivant le point 1, 2φ est un isomorphisme. Maintenant regardons 121−φφ o . Comme

on le contrôle facilement, la composition de deux morphismes est un morphisme, ainsi 121−φφ o est

un morphisme de W avec lui-même. Donc, suivant le point 2, Iλφφ =−121 o , et par conséquent

21 λφφ = .

I.5.8. Représentations des groupes contre représent ations des algèbres de Lie Nous savons du théorème 3.18 que tout homomorphisme de groupe de Lie conduit à un homomorphisme d'algèbre de Lie. En particulier, cela montre (proposition 5.4) que toute représentation d'un groupe de Lie matriciel conduit à une représentation de l'algèbre de Lie associée. Le but de cette section est d'analyser le processus inverse. C'est à dire, qu'étant donné une représentation de l'algèbre de Lie, sous quelles circonstances y a-t-il une représentation associée du groupe de Lie ? Le point culminant de cette section est le théorème 5.33 qui dit que si G est un groupe de Lie matriciel connexe et simplement connexe avec l'algèbre de Lie g, et si π est une représentation de g, alors il y a une unique représentation Π de G telle que Π et π sont reliés comme dans la proposition 5.4. Notre démonstration de ce théorème utilisera la formule de Baker-Campbell-Hausdorff. Avant de passer à ce théorème général, nous examinerons deux cas particuliers, c'est à dire SO(3) et SU(2), pour lesquels nous pouvons travailler manuellement. Nous avons montré (théorème 5.9) que toute représentation complexe irréductible de su(2) est équivalente à une des représentations mπ décrites précédemment (rappelons que les représentations

complexes irréductibles de su(2) sont en correspondance injective avec les représentations irréductibles de sl(2,C)). Chacune des ces représentations mπ de su(2) fut construite à partir de la

représentation correspondante mΠ du groupe SU(2). Donc nous voyons, en employant la force

brute, que toute représentation complexe irréductible de su(2) vient réellement d'une représentation du groupe SU(2) ! Cela est consistant avec le fait que SU(2) est simplement connexe. Considérons maintenant la situation pour SO(3) (qui n'est pas simplement connexe). Nous savons que les algèbres de Lie su(2) et so(3) sont isomorphes. En particulier, si nous prenons la base

(1)

=

−=

−=

0

0

01

10

2

1

0

0

2

1321

i

iEE

i

iE

pour su(2) et la base

(2)

−=

−=

−=000

001

010

001

000

100

010

100

000

321 FFF

pour so(3), alors le calcul direct montre que [ ] 321 , EEE = , [ ] 132 , EEE = , [ ] 213 , EEE = et de même

avec les E remplacés par les F. Donc l'application ( ) ( )23: suso →φ qui applique iF sur iE sera un

isomorphisme d'algèbre de Lie. Puisque su(2) et so(3) sont des algèbres de Lie isomorphes, elles doivent avoir les "mêmes" représentations. Spécifiquement, si π est une représentation de su(2), alors φπ o sera une

représentation de so(3) et toute représentation de so(3) est de cette forme. En particulier, les représentations irréductibles de so(3) sont précisément de la forme φπσ omm = . Nous voulons

déterminer, pour un m particulier, s'il y a une représentation mΣ du groupe SO(3) telle que mσ et

mΣ sont reliés comme dans la proposition 5.4.

I.5.8.1. Proposition 5.31 Soit φπσ omm = les représentations complexes irréductibles de l'algèbre de Lie so(3) ( 0≥m ). Si

m est pair, alors il y a une représentation mΣ du groupe SO(3) tel que mσ et mΣ sont reliés comme

dans la proposition 5.4. Si m est impair, alors il n'y a pas de telle représentation de SO(3). Notons que la condition que m est pair est équivalente à la condition que 1dim += mVm est impair.

Donc c'est les représentations de dimension impaire de l'algèbre de Lie so(3) qui viennent des représentations du groupe. Dans la littérature de la physique, les représentations de su(2) / so(3) sont indicées par le paramètre

2/ml = . En fonction de cette notation, une représentation de so(3) vient d'une représentation de

SO(3) si et seulement si l est un entier. Les représentations avec l entier sont appelées "spin entier"; les autres sont appelées "spin demi-entier". Nous y reviendrons.

DEMONSTRATION

Cas 1 : m impair.

Dans ce cas, nous désirons démontrer qu'il n'y a pas de représentation mΣ telle que mσ et mΣ sont

reliés comme dans la représentation 5.4. Supposons, au contraire, qu'il y a un tel mΣ . Alors la

proposition 5.4. dit que

(1) ( ) ( )XmX

m eeσ=Σ

pour tout ( )3soX ∈ . En particulier, prenons 12 FX π= . Puis, en calculant comme dans le calcul de

l'exponentielle matricielle, nous voyons que

(2) IeF =

−=πππππ

2cos2sin0

2sin2cos0

00112

Donc, d'un coté ( ) ( ) IIe m

F

m =Σ=Σ 12π, tandis que d'un autre coté ( ) ( )1212 F

mF

m eeσππ =Σ .

Calculons ( )12 F

meσπ

. Par définition, ( ) ( )( ) ( )111 EFF mmm πφπσ == . Mais HE 21

1 = , où comme

d'habitude

(3)

−=

10

01H

Nous savons qu'il y a une base muuu ,,, 10 pour mV telle que ku est un vecteur propre de ( )Hmπ

avec la valeur propre km 2− . Cela signifie que ku est aussi un vecteur propre de

( ) ( )HF mi

m πσ 21 = , avec la valeur propre ( )kmi 22 − . Donc dans la base ku , nous avons

(4) ( ) ( )

( )

−

−=

m

m

m

F

i

i

i

m

2

2

2

1

2

Oσ

Mais nous supposons que m est impair ! Cela signifie que m - 2k est un entier impair. Donc

( )1

22

2

−=− km

i

eπ

et dans la base ku

(5) ( ) ( )

( )

I

e

e

e

e

mi

mi

mi

Fm −=

=

−

−

22

22

2

22

12

π

π

π

σπ

O

Don d'un coté ( ) ( ) IIe m

F

m =Σ=Σ 12π , tandis que de l'autre ( ) ( )Iee

FF

mm −==Σ 11 22 πσπ . C'est une

contradiction, ainsi il ne peut pas y avoir une telle représentation du groupe mΣ .

Cas 2 : pair. Nous utiliserons le lemme suivant.

I.5.8.2. Lemme 5.32 Il existe un homomorphisme de groupe de Lie ( ) ( )32: SOSU →Φ tel que

1. Φ est une bijection de SU(2) vers SO(3). 2. ( ) II −=Φ ,noyau .

3. L'homomorphisme d'algèbre de lie associé ( ) ( )32:~

sosu →Φ est un isomorphisme qui applique

iE sur iF . C'est-à-dire que 1~ −=Φ φ .

Maintenant considérons les représentations mΠ de SU(2). Nous affirmons que si m est pair,

( ) IIm =−Π . Pour voir cela, notons que

(1) Ii

ie

F −=

−=

πππ

0

0exp12

Donc ( ) ( ) ( )1212 Em

F

mm eeIπππ =Π=−Π . Mais comme dans le Cas 1,

(2) ( ) ( )

( )

=

−

−

mi

mi

mi

Em

e

e

e

e

22

22

2

22

12

π

π

π

ππ

O

Seulement, cette fois m est pair et ainsi ( )kmi

22

− est un entier, tel que ( ) ( )IeI

Em

m ==−Π 12ππ..

Puisque ( ) IIm =−Π , ( ) ( )UU mm Π=−Π pour tout ( )2SUU ∈ . Selon le lemme 5.32, pour chaque

( )3SOR∈ , il y a une unique paire d'éléments UU −, telle que ( ) ( ) RUU =−Φ=Φ . Puisque

( ) ( )UU mm Π=−Π , il y a un sens à définir

(3) ( ) ( )UR mm Π=Σ

Il est facile de voir que mΣ est un homomorphisme de groupe de Lie (et donc, une représentation).

Par construction, nous avons (4) ΦΣ=Π omm

Maintenant, si mΣ~ est la représentation d'algèbre de Lie associée à mΣ , alors il suit de (4) que

(5) ΦΣ= omm

~π

Mais l'homomorphisme d'algèbre de Lie Φ~ applique iE sur iF , c'est-à-dire 1~ −=Φ φ . Ainsi 1~ −Σ= φπ omm ou φπ omm =Σ~ . Donc mm σ=Σ~ , qui est ce que nous désirions montrer.

1. Il est maintenant temps d'établir le théorème principal.

I.5.8.3. Théorème 5.33 1. Soit G, H des groupes de Lie matriciels, HG →:, 21 φφ des homomorphismes de groupe de Lie

et gh:~,ˆ 21 φφ les homomorphismes d'algèbre de Lie associés. Si G est connexe et 21

~~ φφ = , alors

21 φφ = .

2. Soit G, H des groupes de Lie matriciels avec les algèbres de Lie g et h. Soit hg →:~φ un

homomorphisme d'algèbre de Lie. Si G est connexe et simplement connexe, alors il existe un

unique homomorphisme de groupe de Lie HG →:φ tel que φ et φ~ sont reliés comme dans le théorème 3.18.

Il a les corollaires suivants.

COROLLAIRE 5.34. Supposons que G et H sont des groupes de Lie matriciels connexes et simplement connexes avec les algèbres de Lie g et h. Si hg ≅ alors HG ≅ .

DEMONSTRATION

Soit hg →:~φ un isomorphisme d'algèbre de Lie. Suite au théorème 5.33, il existe un

homomorphisme de groupe de Lie associé HG →:φ . Puisque gh →− :~ 1φ est aussi un

homomorphisme d'algèbre de Lie, il y a un homomorphisme de groupe de Lie correspondant GH →:ψ . Nous désirons montrer que φ et ψ sont inverses l'un de l'autre.

Bien, hI== ψφψφ ~~~oo , ainsi par le point 1 du théorème, HI=ψφ o . De même GI=φψ o .

COROLLAIRE 5.35. 1. Soit G un groupe de Lie matriciel connexe, 1Π et 2Π des représentations de G et 1π et 2π les

représentations d'algèbre de Lie associée. Si 1π et 2π sont équivalentes, alors 1Π et 2Π sont

équivalentes. 2. Soit G connexe et simplement connexe. Si π est une représentation de g, alors il existe une

représentation Π de G, agissant sur le même espace, telle que Π et π sont reliés comme dans la proposition 5.4.

DEMONSTRATION Pour le point 1, soit 1Π agissant sur V et 2Π sur W. Nous supposons que les représentations

d'algèbre de Lie associées sont équivalentes, c'est-à-dire qu'il existe une application linéaire inversible WV →:φ telle que

(1) ( )( ) ( ) ( )vXvX φππφ 21 =

pour tout g∈X et tout Vv∈ . C'est la même chose que dire que ( ) ( )φπφπ XX 21 = ou de manière

équivalente que ( ) ( )XX 21

1 πφφπ =− (pour tout g∈X ).

Maintenant, définissons une application ( )WGLG →Σ :2 par la formule

(2) ( ) ( ) 112

−Π=Σ φφ AA

Il est trivial de contrôler que 2Σ est un homomorphisme. De plus, la différentiation montre que

l'homomorphisme d'algèbre de Lie associé est

(3) ( ) ( ) ( )XXX 21

12 πφφπσ == −

pour tout X. Alors suivant le point 1 dans le théorème, nous devons aussi avoir 22 Π=Σ , c'est-à-

dire

(4) ( ) ( )AA 21

1 Π=Π −φφ

pour tout GA∈ . Mais cela montre que 1Π et 2Π sont équivalents.

Le point 2 du corollaire suit immédiatement du point 2 du théorème en prenant H=GL(V).

Nous allons maintenant procéder à la démonstration du théorème 5.33.

1I.5.8.4. Démonstration du théorème 5.33

Etape 1 : vérification du point 1 du théorème Puisque G est connexe, le corollaire 3.26 nous dit que tout élément A de G est un produit fini de la

forme nXXXA expexpexp 21 L= avec g∈iX . Mais alors si 21

~~ φφ = , nous avons

(1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nXXn

XXnXXn

XXeeeeeeee LLLL 1

22~

12~

1~

11~

11 φφ φφφφ ===

Ainsi nous avons maintenant seulement besoin de démontrer le point 2.

Etape 2 : Définition de φ dans un voisinage de l'identité

La proposition 3.23 dit que l'application exponentielle pour ( )Gee nXX

L11φ a un inverse local qui

applique un voisinage V de l'identité dans l'algèbre de Lie g. Sur ce voisinage V, nous pouvons définir HV →:φ par

(2) ( ) ( ) AA ln~

exp φφ =

C'est à dire

(3) ln~

exp ooφφ =

(notons que s'il y a un homomorphisme φ comme dans le théorème 3.18, alors sur V, φ doit être

ln~

exp ooφ ).

Il suit du corollaire 4.4 de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff que ce φ est un

"homomorphisme local". C'est à dire que si A et B sont dans V et si AB est également dans V, alors ( ) ( ) ( )BAAB φφφ = .

Etape 3 : Définition de φ le long d'un chemin

Rappelons que quand nous disons que G est connexe, nous voulons dire en réalité que G est bien enchaîné. Donc, pour tout GA∈ , il existe un chemin ( ) GtA ∈ avec ( ) IA =0 et ( ) AA =1 . Un

argument de compacité montre alors qu'il existe des nombres ntttt <<<<= K2100 tels que

(4) ( ) ( ) VtAsA i ∈−1

pour tout s entre it et 1+it .

En particulier, pour t = 0, nous avons ( ) VsA ∈ pour 10 ts ≤≤ . Donc nous pouvons définir ( )( )sAφ

par l'étape 2 pour [ ]1,0 ts∈ . Maintenant, pour [ ]21 , tts∈ nous avons, suivant (4), ( ) ( ) VtAsA ∈−11 .

En déplaçant ( )1tA de l'autre coté, cela signifie que pour [ ]21 , tts∈ nous pouvons écrire

(5) ( ) ( ) ( )[ ] ( )11

1 tAtAsAsA−=

avec ( ) ( ) VtAsA ∈−11 . Si φ est un homomorphisme, nous devons avoir

(6) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )1

1

11

1

1 tAtAsAtAtAsAsA φφφφ −− ==

Mais ( )( )1tAφ a déjà été définit et nous pouvons définir ( ) ( )( )11

−tAsAφ suivant l'étape 2. De cette

manière, nous pouvons utiliser (6) pour définir ( )( )sAφ pour [ ]21 , tts∈ .

En procédant de la même manière, nous pouvons définir ( )( )sAφ successivement sur chaque

intervalle [ ]1, +ii tt jusqu'à ce qu'éventuellement nous ayons définit ( )( )sAφ sur l'intervalle complet

[ ]1,0 . Cela sert en particulier à définir ( )( ) ( )AA φφ =1 .

Etape 4 : démonstration de l'indépendance au chemin Dans l'étape 3, nous avons "définit" ( )Aφ en définissant φ le long d'un chemin joignant l'identité à

A. Pour que cette définition de ( )Aφ ait un sens, nous devons démontrer que la réponse est

indépendante du choix du chemin et, aussi, pour un chemin particulier, indépendante du choix de la partition ( )nttt ,,, 10 K .

Pour établir l'indépendance à la partition, nous montrons d'abord que passer d'une partition particulière à un raffinement de cette partition ne change pas la réponse (un raffinement de la partition est une partition qui continent tous les points de la partition originale plus quelques autres). Cela est démontré par la formule de Baker-Campbell-Hausdorff. Par exemple, supposons que nous insérions un point supplémentaire s dans la partition entre 0t et 1t . Sous l'ancienne

partition, nous avons

(7) ( )( ) ( )( )11 ln~

exp tAtA ooφφ =

Sous la nouvelle partition, nous écrivons

(8) ( ) ( ) ( )[ ] ( )sAsAtAtA1

11

−=

tel que

(9) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )sAsAtAtA logexplogexp oooo φφφ ~~ 1

11

−=

Mais (comme noté dans l'étape 2), le corollaire 4.4 de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff implique que pour A et B suffisamment près de l'identité

(10) ( ) ( )[ ] ( )[ ]BAAB ln~

expln~

expln~

exp oooooo φφφ =

Donc les cotés droits de (7) et (9) sont égaux. Une fois que nous savons que passer à un raffinement ne change pas la réponse, nous avons l'indépendance à la partition. Pour deux partitions de [ ]1,0

nous avons un raffinement commun, c'est à dire l'union des deux. Une fois que nous connaissons l'indépendance à la partition, nous avons besoin de démontrer l'indépendance au chemin. C'est à ce point que nous utiliserons le fait que G est simplement connexe. En particulier, à cause de la simple connexité, deux chemins ( )11 tA et ( )22 tA joignant

l'identité à A seront homotopes avec les points finaux fixés (c'est un fait topologique standard). En utilisant cela, nous désirons prouver que l'étape 3 donne la même réponse pour 1A et 2A .

Notre stratégie est de déformer 1A en 2A en une série d'étapes où durant chaque étape nous

changeons seulement le chemin dans un petit intervalle ( )ε+tt, en gardant tout fixé sur [ ]t,0 et

[ ]1,ε+t . Puisque nous avons l'indépendance à la partition, nous pouvons prendre t et ε+t comme

des points de la partition. Puisque l'intervalle est petit, nous pouvons supposer qu'il n'y a pas de points de partition entre t et ε+t . Alors, nous avons

(11) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )tAtAtAtA φεφεφ 1−+=+

où ( ) ( )( )1−+ tAtA εφ est définit comme dans l'étape 2.

Mais notons que notre valeur pour ( )( )εφ +tA dépend seulement de A(t) et ( )ε+tA , non de

comment nous allons de A(t) à ( )ε+tA ! Donc la valeur de ( )( )εφ +tA ne change pas lorsque nous

déformons le chemin. Mais si ( )( )εφ +tA ne change pas lorsque nous déformons le chemin, alors

( )( )1Aφ non plus puisque le chemin ne change pas sur [ ]1,ε+t .

Puisque 1A et 2A sont homotopes avec les points finaux fixés, il est possible (par un argument

topologique standard) de déformer 1A en 2A par une série de petites étapes comme ci-dessus.

Etape 5 : Démontrer que φ est un homomorphisme et est proprement relié à φ~

Maintenant que nous avons l'indépendance au chemin (et à la partition), une description plus simple de comment calculer φ peut être donnée. Etant donné tout élément A du groupe, A peut être écrit

sous la forme (11) 11 CCCA nn L−=

avec chaque iC dans V (cela suit du fait que G est bien enchaîné). Nous pouvons alors choisir un

chemin A(t) qui commence à l'identité puis va en 1C , puis en 12CC et ainsi de suite jusque

ACCC nn =− 11L . Nous pouvons choisir une partition telle que ( ) 11 CCCtA iii L−= . De cette

manière nous avons définit

(12) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )01 1

1

21

1

1 AtAtAtAtAAA nnn φφφφ L−

−−−

−=

Mais

(13) ( ) ( ) ( )( ) iiiiii CCCCCCtAtA == −−−

−−

1

1111

1

1 LL

ainsi (14) ( ) ( ) ( ) ( )11 CCCA nn φφφφ L−=

Maintenant, supposons que A et B sont deux éléments de G et que nous voulions calculer ( )ABφ .

Bien, écrivons

(15) 11

11

DDDB

CCCA

nn

nn

L

L

−

−

==

Alors

(16)

( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )BA

DDCC

DDDCCCAB

nn

nnnn

φφφφφφ

φφ

==

= −−

11

1111

LL

LL

Nous voyons que φ est un homomorphisme. Il reste seulement à vérifier que φ a la relation propre

avec φ~ . Mais puisque φ est définit près de l'identité par ln~

exp ooφφ = , nous voyons que

(17) ( ) ( ) ( )Xedt

de

dt

d

t

Xt

t

tX φφ φ ~

0

~

0

====

Donc φ~ est l'homomorphisme d'algèbre de Lie associé à l'homomorphisme de groupe de Lie φ .

Cela complète la démonstration du théorème 5.33.

I.5.9. Groupes de recouvrement C'est maintenant que nous allons payer le prix de notre décision de considérer seulement les groupes de Lie matriciels. Le groupe de recouvrement universel d'un groupe de Lie matriciel (définit ci-dessous) est toujours un groupe de Lie mais pas toujours un groupe de Lie matriciel. Par

exemple le groupe de recouvrement de SL(n,R) ( 2≥n ) est un groupe de Lie mais pas un groupe de Lie matriciel. La notion de recouvrement universel nous permettra de déterminer, dans le cas d'un groupe qui n'est pas simplement connexe, quelles représentations de l'algèbre de Lie correspondent à des représentations du groupe. Voir le théorème 5.41 ci-dessous.

DEFINITION 5.36. Soit G un groupe de Lie matriciel. Un groupe de recouvrement universel de G (ou juste

recouvrement universel) est un groupe de Lie G~ connexe, simplement connexe avec un

homomorphisme de groupe de Lie GG →~:φ (appelée application de projection) avec les

propriétés suivantes :

1. φ est une bijection de G~ vers G.

2. Il y a un voisinage U de I dans G~ qui s'applique de manière homéomorphique sous φ dans un

voisinage V de I dans G.

PROPOSITION 5.37.

Si G est un groupe de Lie matriciel connexe, alors un groupe de recouvrement universel G~ de G

existe et est unique à un isomorphisme canonique près. Nous ne démontrerons pas ce théorème, mais l'idée de la démonstration est comme suit. Nous supposons que G est un groupe de Lie matriciel, donc un groupe de Lie (c'est-à-dire une variété).

Comme variété, G a un recouvrement topologique universel G~ qui est une variété connexe et

simplement connexe. Le recouvrement universel vient avec une "application de projection"

GG →~:φ qui est un homéomorphisme local. Maintenant, puisque G n'est pas seulement une

variété mais aussi un groupe, G~ devient aussi un groupe et l'application de projection φ devient un

homéomorphisme.

PROPOSITION 5.38.

Soit G un groupe de Lie matriciel connexe, G~ sont recouvrement universel et φ l'application de

projection de G~ vers G. Supposons que G

~ est un groupe de Lie matriciel avec l'algèbre de Lie g~ .

Alors l'application d'algèbre de Lie associée

(1) gg →~:~φ

est un isomorphisme.

Vu cette proposition, nous dirons souvent que G et G~ ont la même algèbre de Lie.

1. La proposition ci-dessus est vraie même si G~ n'est pas un groupe de Lie matriciel. Mais pour

donner un sens à la proposition dans ce cas, nous avons besoin de la définition d'une algèbre de Lie d'un groupe de Lie général, que nous n'avons pas définit.

I.5.9.1. Exemples Le recouvrement universel de 1S est R et l'application de projection est l'application ixex → . Le recouvrement universel de SO(3) est SU(2) et l'application de projection est l'homomorphisme décrit dans le lemme 5.32. Plus généralement nous pouvons considérer SO(n) pour 3≥n . Il s'avère que pour 3≥n , le recouvrement universel de SO(n) est un recouvrement double (c'est à dire que l'application de projection φ est deux vers un). Le recouvrement universel de SO(n) est appelé Spin(n) et peut être

construit comme un certain groupe d'éléments inversibles dans l'algèbre de Clifford sur nR . En particulier, Spin(n) est un groupe de Lie matriciel. Le cas n = 4 est assez spécial. Il s'avère que le recouvrement universel de SO(4) (c'est à dire

Spin(4)) est isomorphe à ( ) ( )22 SUSU × . Cela est mieux visible en regardant 4R comme l'algèbre

des quaternions.

THEOREME 5.39.

Soit G un groupe de Lie matriciel et supposons que G~ est aussi un groupe de Lie matriciel.

Identifions l'algèbre de Lie de G~ avec l'algèbre de Lie g de G comme dans la proposition 5.38.

Supposons que H est un groupe de Lie matriciel avec l'algèbre de Lie h et que hg →:~φ est un

homomorphisme. Alors il existe un unique homomorphisme de groupe de Lie HG →~:φ tel que φ

et φ~ sont reliés comme dans le théorème 3.18.

DEMONSTRATION

G~ est simplement connexe.

COROLLAIRE 5.40.

Soit G et G~ comme dans le théorème 5.39 et soit π une représentation de g. Alors il existe une

unique représentation Π~ de G~ tel que

(1) ( ) ( )0

~

=

Π=t

tXedt

dXπ

pour tout g∈X .

THEOREME 5.41.

Soit G et G~ comme dans le théorème 5.39 et soit π une représentation de g et Π~ la représentation

associée de G~, comme dans le corollaire. Alors il existe une représentation Π de G correspondant

à π si et seulement si

(2) ( ) ( )φnoyau~

noyau ⊃Π

Exercices 1. Soit G un groupe de Lie matriciel et g sont algèbre de Lie. Soit 1Π et 2Π des représentations

de G et soit 1π et 2π les représentations associées de g (proposition 5.4). Montrez que si 1Π et

2Π sont des représentations équivalentes de G, alors 1π et 2π sont des représentations

équivalentes de g. Montrez que si G est connexe et si 1π et 2π sont des représentations

équivalentes de g, alors 1Π et 2Π sont des représentations équivalentes de G.

Suggestion : utilisez le corollaire 3.26.

2. Soit G un groupe de Lie matriciel connexe avec l'algèbre de Lie g. Soit Π une représentation de G agissant sur l'espace V et soit π la représentation de l'algèbre de Lie associée. Montrez qu'un sous espace VW ⊂ est invariant pour Π si et seulement s'il est invariant pour π . Montrez que Π est irréductible si et seulement si π est irréductible.

3. Supposons que Π est une représentation unitaire de dimension finie d'un groupe de Lie matriciel G (c'est-à-dire que V est un espace de Hilbert de dimension finie et Π est un homomorphisme continu de G dans ( )VU ). Soit π la représentation associée de l'algèbre de

Lie . Montrez que pour chaque g∈X , ( ) ( )XX ππ −=+ .

4. Montrez explicitement que la représentation adjointe et la représentation standard sont des représentations équivalentes de l'algèbre de Lie so(3). Montrez que les représentations adjointe et standard du groupe SO(3) sont équivalentes.

5. Considérez les éléments 1E , 2E et 3E de su(2) définis dans l'exercice 9 à la fin de la section

I.3.8. Ces éléments forment une base pour l'espace vectoriel réel su(2). Montrez directement que 1E , 2E et 3E forment une base pour l'espace vectoriel complexe sl(2,C).

6. Définissez un espace vectoriel avec la base muuu ,,, 10 K . Définissez maintenant les opérateurs

( )Hπ , ( )Xπ et ( )Yπ par la formule (26) de la section I.5.4. Vérifiez par un calcul direct que

les opérateurs définis par cette formule satisfont les relations de commutation ( ) ( )[ ] ( )XXH πππ 2, = , ( ) ( )[ ] ( )YYH πππ 2, −= et ( ) ( )[ ] ( )HYX πππ =, (donc ( )Hπ , ( )Xπ et

( )Yπ définissent une représentation de sl(2,C)). Montrez que cette représentation est

irréductible. Suggestion : il suffit de montrer, par exemple, que ( ) ( )[ ] ( )XXH πππ 2, = sur chaque élément

de base. Quand vous traitez avec ( )Yπ n'oubliez pas de traiter séparément le cas ku , k < m et le

cas mu .

7. Nous pouvons définir une représentation à deux dimensions de so(3) comme suit :

=

−

−=

−

−=

−

0

0

2

1

000

001

010

01

10

2

1

001

000

100

0

0

2

1

010

100

000

i

i

i

i

π

π

π

(vous pouvez supposer que cela donne réellement une représentation). Montrez qu'il n'y a pas de représentation de groupe Π de SO(3) tel que Π et π sont reliés comme dans la proposition 5.4.

Suggestion : Si ( )3soX ∈ est tel que Ie X = et si Π est une représentation de SO(3), alors

( ) ( ) IIe X =Π=Π .

Remarque : Dans la littérature de la physique, cette non-représentation de SO(3) est appelée "spin 1/2".

8. Considérez la représentation standard du groupe de Heisenberg, agissant sur 3C . Déterminez

tous les sous espaces de 3C qui sont invariants sous l'action du groupe de Heisenberg. Cette représentation est-elle complètement réductible ?

9. Donnez un exemple d'une représentation du groupe commutatif R qui n'est pas complètement réductible.

10. Considérons les représentations unitaires hΠ du groupe de Heisenberg réel. Supposons qu'il y a

une certaine sorte de représentation associée hπ de l'algèbre de Lie qui serait donnée par

( ) ( ) fedt

dfX tX

h

t

h Π==0

π

(nous n'avons pas prouvé de théorème de cette sorte pour les représentations unitaires de dimension infinie). Calculez d'une manière purement formelle (c'est-à-dire en ignorant toutes les questions techniques)

000

000

100

000

100

000

000

000

010

hhh πππ

Vérifiez (encore formellement) que ces opérateurs ont les bonnes relations de commutation pour générer une représentation de l'algèbre de Lie du groupe réel de Heisenberg (c'est-à-dire, vérifiez que sur cette base, [ ] ( ) ( )[ ]YXYX hhh πππ ,, = ).

Pourquoi ce calcul n'est-il pas rigoureux ?

11. Considérez le groupe de Heisenberg sur le champ pZ des entiers modulo p avec p premier,

c'est-à-dire

∈

= pp Zcbac

ba

H ,,|

100

10

1

C'est un sous-groupe du groupe ( )pZGL ,3 et il a 3p éléments.

Soit pV l'espace des fonctions complexes sur pZ qui est une espace vectoriel complexe à p

dimensions. Pour chaque pZn∈ non nul, définissons une représentation de pH par la formule

( )( ) ( ) p

pncxipnbi

n Zxaxfeexf ∈−=Π − /2/2 ππ

(ces représentations sont analogues aux représentations unitaires du groupe réel de Heisenberg avec la quantité pn /2π jouant de rôle de h ).

a. Montrez que pour chaque n, nΠ est réellement une représentation de pH et qu'elle est

irréductible. b. Déterminez (à une équivalence près) toutes les représentations à une dimension de pH .

c. Montrez que toute représentation irréductible de pH est ou bien à une dimension, ou bien

équivalente à une des nΠ .

12. Démontrez le théorème 5.19. Suggestion : Pour l'existence, choisissez des bases ie et if pour U et V. Puis définissez un

espace W qui a une base mjniwij ≤≤≤≤ 0,0| . Définissez ( )ijji wfe =,φ et étendez par

bilinéarité. Pour l'unicité, utilisez la propriété universelle. 13. Soit g et h des algèbres de Lie et considérez l'espace vectoriel hg⊗ . Montrez que l'opération

suivante fait de hg⊗ une algèbre de Lie

( ) ( )[ ] [ ] [ ]( )21212211 ,,,,,, YYXXYXYX =

Maintenant, soit G et H des groupes de Lie matriciels avec les algèbres de Lie g et h. Montrez que HG × peut être vu comme un groupe de Lie matriciel d'une manière évidente et que l'algèbre de Lie de HG × est isomorphe à hg⊗ .

14. Supposons que π est une représentation d'une algèbre de Lie g agissant sur un espace vectoriel

de dimension finie V. Soit ∗V comme d'habitude l'espace dual de V, c'est-à-dire l'espace des fonctionnelles linéaires sur V. Si A est un opérateur linéaire sur V, soit TA l'opérateur dual ou

transposé sur ∗V .

( )( ) ( )AvvAT φφ =

pour ∗∈Vφ , Vv∈ . Définissons une représentation ∗π de g sur ∗V par la formule

( ) ( )TXX ππ −=∗

a. Montrez que ∗π est réellement une représentation de g.

b. Montrez que ( )∗∗π est isomorphe à π .

c. Montrez que ∗π est irréductible si et seulement si π l'est. d. Quelle est la construction analogue de la représentation duale pour les représentations des groupes ?

15. Rappelons les espaces mV introduit plus haut, vus comme des représentations de l'algèbre de

Lie sl(2,C). En particulier, considérons l'espace 1V (qui a la dimension 2).

a. Considérez 11 VV ⊗ comme une représentation de sl(2,C), comme dans la définition 5.27.

Montrez que cette représentation n'est pas irréductible. b. Maintenant, considérez 11 VV ⊗ comme une représentation de ( ) ( )CslCsl ,2,2 ⊗ , comme

dans la définition 5.24. Montrez que cette représentation est irréductible. c. Plus généralement, montrez que nm VV ⊗ est irréductible comme représentation de

( ) ( )CslCsl ,2,2 ⊗ mais réductible (excepté si n ou m est zéro) comme représentation de sl(2,C).

16. Montrez explicitement que ( ) )3(3:exp SOso → est surjective.

Suggestion : utilisez le fait que ( ) ( )33 SUSO ⊂ , montrez que les valeurs propres de ( )3SOR∈

doivent être une des trois formes suivantes : (1, 1, 1), (1, -1, -1) ou ( )θθ ii ee −,,1 . En particulier,

R doit avoir une valeur propre égale à un. Maintenant montrez que dans une base orthonormale correctement choisie, R est de la forme

−=

θθθθ

cossin0

sincos0

001

R

17. Démonstration du lemme 5.32. Soit 321 ,, EEE la base usuelle de su(2) et 321 ,, FFF la base pour so(3) introduite dans la

section I.5.8. Identifiez su(2) avec 3R en identifiant la base 321 ,, EEE avec la base standard

de 3R . Considérez 1adE , 2adE et 3adE comme opérateurs sur su(2), donc sur 3R . Montrez

que ii FE =ad pour φoΠ=Σ . En particulier, ad est un isomorphisme d'algèbre de Lie de su(2)

vers so(3). Maintenant considérez ( ) ( )( ) ( )RGLSUGLSU ,322:Ad =→ . Montrez que l'image de Ad est

précisément SO(3). Montrez que le noyau de Ad est II −, .

Montrez que ( ) ( )32:Ad SOSU → est l'homomorphisme requit par le lemme 5.32.

18. Démonstration de la proposition 5.38.

Supposons que G et G~ sont des groupes de Lie matriciels. Supposons que GG →~

:φ est un

homomorphisme de groupe de Lie tel que φ applique un certain voisinage U de I dans G~ de

manière homéomorphique vers un voisinage V de I dans G. Démontrez que l'application

d'algèbre de Lie associée gg →~:~φ est un isomorphisme.

Suggestion : Supposez que φ~ n'est pas injectif. Montrez, alors, qu'il existe une suite de point

nA dans G~ avec IAn ≠ , IAn → et donnant une contradiction.

Pour montrer que φ~ est surjectif, utilisez l'étape 1 de la démonstration du théorème 5.33 pour montrer que dans un voisinage suffisamment petit de zéro dans g~ ,

expln~

ooφφ =

Utilisez cela pour montrer que l'image de φ~ contient un voisinage de zéro dans g. Utilisez maintenant la linéarité pour montrer que l'image de φ~ est la totalité de g.

19. Démonstration du théorème 5.41.

Supposez d'abord que ( ) ( )φnoyaunoyau ⊃Π~ . Construisez alors Π comme dans la

démonstration de la proposition 5.31.

Maintenant supposez qu'il y a une représentation Π de G pour laquelle la représentation

d'algèbre de Lie associée est π . Nous désirons ensuite montrer que ( ) ( )φnoyaunoyau ⊃Π~ .

Définissons une nouvelle représentation Σ de G~ par

φoΠ=Σ

Montrez que l'homomorphisme d'algèbre de Lie associé σ est égal à π , tel que, suivant le

point (1) du théorème 5.33, Σ=Π~ . Que pouvez-vous dire à propos du noyau de Σ ? 20. Soit un entier 2≥n .

a. Montrez que toute représentation (complexe de dimension finie) de l'algèbre de Lie sl(n,R) conduit à une représentation du groupe SL(n,R), même si SL(n,R) n'est pas simplement connexe (vous pouvez utiliser le fait que SL(n,C) est simplement connexe). b. Montrez que le recouvrement universel de sl(n,R) n'est isomorphe à aucun groupe de Lie matriciel (vous pouvez utiliser le fait que sl(n,R) n'est pas simplement connexe).

21. Soit G un groupe de Lie matriciel avec l'algèbre de Lie g, h une sous algèbre de g et H l'unique sous-groupe de Lie connexe de G avec l'algèbre de Lie h. Supposons qu'il existe un groupe de Lie simplement connexe, compact K tel que l'algèbre de Lie de K est isomorphe à h. Montrez que H est fermé. H est-il nécessairement isomorphe à K ?

I.6. Les représentations de SU(3) et au-delà

I.6.1. Préliminaires Il y a une théorie des représentations des groupes et algèbres de Lie semi-simples qui inclut comme cas particulier la théorie des représentations de SU(3). Cependant, il vaut la peine d'examiner le cas de SU(3) séparément. Partiellement parce que SU(3) est un groupe important en physique mais surtout parce que la théorie semi-simple générale est difficile à digérer. En considérant un exemple non trivial qui en dérive, il éclairera la suite. En fait, tous les éléments de la théorie générale sont déjà présents dans le cas de SU(3), ainsi nous ne perdrons pas beaucoup en considérant d'abord juste ce cas.

Le résultat principal de cette partie est le théorème 6.10 qui dit qu'une représentation irréductible de dimension finie de SU(3) peut être classée en fonction des ses "poids les plus élevés". C'est l'analogue de la classification des représentations irréductibles mV de su(2) / sl(2,C) avec la plus

grande valeur propre de ( )Hmπ (la plus grande valeur propre de ( )Hmπ dans mV est précisément

m). Nous discuterons alors, sans démonstration, des résultats correspondants pour les algèbres de Lie semi-simples générales. Le groupe SU(3) est connexe et simplement connexe, ainsi par le corollaire 5.35, les représentations de dimension finie de SU(3) sont en correspondance injective avec les représentations de dimension finie de l'algèbre de Lie su(3). En même temps, les représentations complexes de su(3) sont en correspondance injective avec les représentations linéaires complexes de l'algèbre de Lie complexifiée ( )Csu 3 . Mais ( ) ( )Cslsu C ,33 ≅ , comme on le vérifie facilement.

De plus, puisque SU(3) est connexe, il s'ensuit qu'un sous-espace VW ⊂ est invariant sous l'action de SU(3) si et seulement s'il est invariant sous l'action de sl(3,C). Donc nous avons la suite :

PROPOSITION 6.1. Il y a une correspondance injective entre les représentations complexes de dimension finie Π de SU(3) et les représentations linéaires complexes de dimension finie π de sl(3,C). Cette correspondance est déterminée par la propriété que

(1) ( ) ( )XX ee π=Π

pour tout ( ) ( )CslsuX ,33 ⊂∈ .

La représentation Π est irréductible si et seulement si la représentation π est irréductible. De plus, un sous espace VW ⊂ est invariant pour Π si et seulement s'il est invariant pour π . Puisque SU(3) est compact, la proposition 5.17 nous dit que toutes les représentations de dimension finie de SU(3) sont complètement réductibles. La proposition ci-dessus implique alors que toutes les représentations de dimension finie de sl(3,C) sont complètement réductibles. De plus, nous pouvons appliquer le même raisonnement au groupe SU(2), son algèbre de Lie su(2) et son algèbre de Lie complexifiée sl(2,C). Puisque SU(2) est simplement connexe, il y a une

correspondance injective entre les représentations complexes de SU(2) et les représentations de l'algèbre complexifiée sl(2,C). Puisque SU(2) est compact, toutes les représentations de SU(2), et donc aussi de sl(2,C), sont complètement réductibles. Donc nous avons établit la suite :

PROPOSITION 6.2. Toute représentation (linéaire complexe) de dimension finie de sl(2,C) ou sl(3,C) est complètement réductible. En particulier, toute représentation de dimension finie de sl(2,C) ou sl(3,C) se décompose comme une somme directe de sous espaces invariants irréductibles. Nous utiliserons la base suivante pour sl(3,C) :

(1)

=

=

=

=

=

=

−=

−=

001

000

000

010

000

000

000

001

000

000

000

100

000

100

000

000

000

010

100

010

000

000

010

001

321

321

21

YYY

XXX

HH

Notons que l'espace engendré par 111 ,, YXH est une sous-algèbre de sl(3,C) qui est isomorphe à

sl(2,C) en ignorant la troisième ligne et la troisième colonne. De même, l'espace engendré par 222 ,, YXH est une sous algèbre isomorphe à sl(2,C) en ignorant la première ligne et la première

colonne. Donc, nous avons les relations de commutation suivantes

(2)

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] 222111

222111

222111

,,

2,2,

2,2,

HYXHYX

YYHYYH

XXHXXH

==−=−=

==

Nous listons maintenant toutes les relations de commutation sur les éléments de base qui implique au moins 1H ou 2H (cela inclut quelques répétitions des relations de commutation ci-dessus).

(3)

[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] 332332

331331

222222

221221

112112

111111

21

,,

,,

2,2,

,,

,,

2,2,

0,

YYHXXH

YYHXXH

YYHXXH

YYHXXH

YYHXXH

YYHXXH

HH

−==−==

−===−==−=

−===

Nous listons maintenant, toutes les relations de commutation restantes

(4)

[ ][ ][ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] 213231

123132

3232

3131

1221

321321

2133

222

111

,,

,,

0,0,

0,0,

0,0,

,,

,

,

,

XYXYYX

XYXYYX

YYXX

YYXX

YXYX

YYYXXX

HHYX

HYX

HYX

−=−===

======

−==+=

==

Notons qu'il y a une sorte de symétrie entre les iX et les iY . Si une relation dans la première

colonne est un iX et/ou un jY , la relation correspondante dans la seconde colonne impliquera un

iY et/ou un jX (par exemple, nous avons la relation [ ] 221 , XXH −= dans la première colonne et la

relation [ ] 222 , YYH = dans la seconde colonne).

Toutes les analyses que nous ferons pour les représentations de sl(3,C) seront en fonction de la base ci-dessus. A partir de maintenant, toutes les représentations de sl(3,C) seront supposées être de dimension finie, linéaires et complexes.

I.6.2. Poids et racines Notre stratégie de base dans la classification des représentations de sl(3,C) est de simultanément diagonaliser ( )1Hπ et ( )2Hπ . Puisque 1H et 2H commutent, ( )1Hπ et ( )2Hπ commuteront aussi

et il y a au moins une chance que ( )1Hπ et ( )2Hπ puissent être diagonalisés simultanément.

DEFINITION 6.3.

Si ( )V,π est une représentation de sl(3,C), alors une paire ordonnée ( ) 221 , C∈= µµµ est appelée

un poids pour π s'il existe 0≠v dans V tel que

(1) ( )( ) vvH

vvH

22

11

µπµπ

==

Le vecteur v est appelé un vecteur poids correspondant au poids µ . Si ( )21 ,µµµ = est un poids,

alors l'espace de tous les vecteurs v satisfaisant (1) est l'espace poids correspondant au poids µ .

Donc un poids est simplement une paire de valeurs propres simultanées pour ( )1Hπ et ( )2Hπ .

PROPOSITION 6.4. Toute représentation de sl(3,C) a au moins un poids.

DEMONSTRATION Puisque nous travaillons sur des nombres complexes, ( )1Hπ a au moins une valeur propre 1µ . Soit

VW ⊂ l'espace propre pour ( )1Hπ avec la valeur propre 1µ . Nous affirmons que W est invariant

sous ( )2Hπ . Pour voir cela, considérons Ww∈ et calculons

(2) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )wHwH

wHHwHH

2112

1221

πµµπππππ

===

Cela montre que ( )wH 2π est ou bien zéro, ou bien un vecteur propre pour ( )1Hπ avec la valeur

propre 1µ . Donc W est invariant.

Donc ( )2Hπ peut être vu comme un opérateur sur W. A nouveau, puisque nous sommes sur C, la

restriction de ( )2Hπ à W doit avoir au moins un vecteur propre w avec la valeur propre 2µ . Mais

alors w est un vecteur propre simultané pour ( )1Hπ et ( )2Hπ avec les valeurs propres 1µ et 2µ .

Maintenant, toute représentation π de sl(3,C) peut être vue, par restriction, comme une représentation de la sous algèbre ( )CslYXH ,2,, 111 ≅ . Notons que même si π est irréductible

comme représentation de sl(3,C), il n'y a pas de raison à s'attendre qu'elle soit encore irréductible comme une représentation de la sous-algèbre 111 ,, YXH . Néanmoins, π restreinte à 111 ,, YXH

doit être une certaine représentation de dimension finie de sl(3,C). Le même raisonnement s'applique à la restriction de π à la sous-algèbre 222 ,, YXH qui est aussi isomorphe à sl(2,C).

PROPOSITION 6.5. Soit ( )V,π une représentation linéaire complexe de dimension finie de ( ) YXHCsl ,,,2 ≅ . Alors,

toutes les valeurs propres de ( )Hπ sont des entiers.

DEMONSTRATION Suite à la proposition 6.2, V se décompose en une somme directe de sous-espaces invariants irréductibles iV . Chaque iV doit être une des représentations irréductibles de sl(2,C) que nous

avons classées. En particulier, dans chaque iV , ( )Hπ peut être diagonalisé et les valeurs propres de

( )Hπ sont des entiers. Donc ( )Hπ peut être diagonalisé sur l'espace complet V et toutes les

valeurs propres sont des entiers.

COROLLAIRE 6.6. Si π est une représentation de sl(3,C), alors tous les poids de π sont de la forme (3) ( )21 ,mm=µ

avec 1m et 2m entiers.

DEMONSTRATION En appliquant la proposition 6.5. à la restriction de π à 111 ,, YXH et à la restriction de π à

222 ,, YXH .

Notre stratégie maintenant est de commencer avec un vecteur propre simultané de ( )1Hπ et ( )2Hπ

et puis d'appliquer ( )iXπ ou ( )iYπ et de voir quels effets ils ont. La définition suivante est

pertinente dans ce contexte (voir le lemme 6.8 ci-dessous).

DEFINITION 6.7.

Une paire ordonnée ( ) 221 , C∈= ααα est appelée une racine si

1. 1α et 2α ne sont pas tous les deux zéros.

2. Il existe ( )CslZ ,3∈ tel que [ ] ZZH 11 , α= et [ ] ZZH 22 , α= .

L'élément Z est appelé un vecteur racine correspondant à la racine α . C'est-à-dire qu'une racine est un poids non nul pour la représentation adjointe. Les relations de commutation nous disent ce que sont les racines de sl(3,C). Il y a six racines (4) α Z

(2,-1) 1X

(-1,2) 2X

(1,1) 3X

(-2,1) 1Y

(1,-2) 2Y

(-1,-1) 3Y

Il est pratique d'extraire les deux racines correspondant à 1X et 2X et de leur donner des noms

spéciaux

(5) ( ) ( )( ) ( )2,1

1,22

1

−=

−=

αα

Les racines ( )1α et ( )2α sont appelées les racines simples. Elles ont la propriété que toutes les

racines peuvent être exprimées comme des combinaisons linéaires de ( )1α et ( )2α avec des coefficients entiers et ces coefficients sont ou bien tous supérieurs ou égaux à zéro ou bien tous inférieurs ou égaux à zéro. Cela est vérifié par calcul direct

(6)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )21

2

1

21

2

1

1,1

2,1

1,2

1,1

2,1

1,2

αααα

αααα

−−=−−

−=−

−=−

+==−

=−

La signification des racines pour la théorie des représentations de sl(3,C) est contenue dans le lemme suivant. Bien que sa démonstration soit très facile, ce lemme joue un rôle crucial dans la classification des représentations de sl(3,C). Notons que ce lemme est l'analogue du lemme 5.10 qui fut la clé pour la classification des représentations de sl(2,C).

LEMME 6.8. Soit ( )21 ,ααα = une racine et 0≠αZ un vecteur racine correspondant dans sl(3,C). Soit π une

représentation de sl(3,C), ( )21 ,µµµ = un poids de π et 0ν un vecteur poids correspondant. Alors

(7) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )vZmvZH

vZmvZH

αα

αα

παπππαππ

222

111

+=+=

Donc ou bien ( ) 0=vZαπ ou bien ( )vZαπ est un nouveau vecteur poids avec le poids

(8) ( )2211 , αααπ ++=+ mm

DEMONSTRATION La définition d'une racine nous dit que nous avons la relation de commutation [ ] αα α ZZH 11 , = .

Donc

(9)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

( ) ( )vZm

vZvmZ

vZHZvZH

α

αα

ααα

παπαπ

παππππ

11

11

111

+=+=

+=

Un argument similaire nous permet de calculer ( ) ( )vZH αππ 2 .

I.6.3. Poids les plus hauts et le théorème de class ification Nous voyons que si nous avons une représentation avec un poids ( )21 ,mm=µ , alors en appliquant

les vecteurs racines 321321 ,,,,, YYYXXX nous avons un certain nombre de poids nouveaux de la

forme αµ + où α est la racine. Bien sûr, certains des vecteurs poids peuvent simplement donner

zéro. En fait, puisque notre représentation est de dimension finie, il peut y avoir seulement un nombre fini de poids, ainsi nous devons avoir zéro assez souvent. Par analogie avec la classification des représentations de sl(2,C), nous aimerions extraire dans chaque représentation un "plus haut" poids et alors partir de là. La définition suivante donne la "bonne" notion de plus haut.

DEFINITION 6.9.

Soit ( ) ( )1,21 −=α et ( ) ( )2,12 −=α les racines introduites précédemment. Soit 1µ et 2µ deux poids.

Alors 1µ est plus haut que 2µ (ou de manière équivalente 2µ est plus bas que 1µ ) si 21 µµ − peut

être écrit sous la forme

(1) ( ) ( )2121 ααµµ ba +=−

avec 0≥a et 0≥b . Cette relation est écrite 21 µµ f ou 12 µµ p .

Si π est une représentation de sl(3,C), alors un poids 0µ pour π est dit être le plus haut poids si

pour tous les poids µ de π , 0µµ p .

Notons que la relation de "plus haut" est seulement un ordre partiel. C'est à dire qu'on peut

facilement avoir 1µ et 2µ tel que 1µ n'est ni plus haut, ni plus bas que 2µ . Par exemple, ( ) ( )21 αα −

n'est ni plus haut, ni plus bas que 0. Cela signifie en particulier qu'un ensemble fini de poids n'a pas

besoin d'avoir un plus haut élément (par exemple, l'ensemble ( ) ( ) 21,0 αα − n'a pas de plus haut

élément). Nous sommes maintenant prêts à établir le principal théorème sur les représentations irréductibles de sl(3,C).

THEOREME 6.10. 1. Toute représentation irréductible π de sl(3,C) est la somme directe de ses espaces poids. C'est-

à-dire que ( )1Hπ et ( )2Hπ sont simultanément diagonalisables.

2. Toute représentation irréductible de sl(3,C) a un unique poids le plus haut 0µ et deux

représentations irréductibles équivalentes ont le même poids le plus haut. 3. Deux représentations irréductibles de sl(3,C) avec le même poids le plus haut sont équivalentes. 4. Si π est une représentation irréductible de sl(3,C), alors le poids le plus haut de π est de la

forme ( )210 ,mm=µ avec 1m et 2m des entiers non négatifs.

5. Inversement, si 1m et 2m sont des entiers non négatifs, alors il existe une représentation

irréductible unique π de sl(3,C) avec le poids le plus haut ( )210 ,mm=µ .

Notons le parallèle entre ces résultats et la classification des représentations irréductibles de sl(2,C) : dans chaque représentation irréductible de sl(2,C), ( )Hπ est diagonalisable et il y a une plus

grande valeur propre de ( )Hπ . Deux représentations irréductibles de sl(2,C) avec la même plus

grande valeur propre sont équivalentes. La plus haute valeur propre est toujours un entier non négatif et inversement, pour tout entier non négatif m, il y a une représentation irréductible avec la plus haute valeur propre m.

Cependant, notons que dans la classification des représentations de sl(3,C), la notion de "le plus haut" ne signifie pas que nous pourrions avoir imaginé ce qu'il devrait signifier. Par exemple, le poids (1,1) est plus haut que les poids (-1,2) et (2,-1) (en fait, (1,1) est le plus haut poids pour la représentation adjointe qui est irréductible). Il est possible d'obtenir beaucoup plus d'information sur les représentations irréductibles en dehors des poids les plus hauts. Par exemple, nous avons la formule suivante pour la dimension de la représentation avec le poids le plus haut ( )21 ,mm .

THEOREME 6.11. La dimension de la représentation irréductible avec le poids le plus haut est

(2) ( )( )( )2112

12121 ++++ mmmm

Nous ne démontrerons pas cette formule. Elle est une conséquence de la "formule de la caractéristique de Weyl".

I.6.4. Démonstration du théorème de classification Nous allons prendre maintenant quelque temps pour démontrer le théorème 6.10. La preuve consistera en une série de propositions.

I.6.4.1. Proposition 6.12 Dans toute représentation irréductible ( )V,π de sl(3,C), ( )1Hπ et ( )2Hπ peuvent être

simultanément diagonalisés. C'est-à-dire que V est la somme directe de ses espaces poids.

DEMONSTRATION Soit W la somme directe des espaces poids dans V. De manière équivalente, W est l'espace de tous les vecteurs Vw∈ tels que w peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs propres

simultanés de ( )1Hπ et ( )2Hπ . Puisque (proposition 6.4) π a toujours au moins un poids,

0≠W .

D'autre part, le lemme 6.8 nous dit que si αZ est un vecteur racine correspondant à la racine α ,

alors ( )απ Z applique l'espace poids correspondant à µ sur l'espace poids correspondant à αµ + .

Donc W est invariant sous l'action de tous les vecteurs racines, c'est-à-dire sous l'action de

321321 ,,,,, YYYXXX . Puisque W est certainement invariant sous l'action de 1H et 2H , alors W est

invariant. Donc, selon l'irréductibilité, W = V.

DEFINITION 6.13. Une représentation ( )V,π de sl(3,C) est dite représentation cyclique de poids le plus haut avec le

poids ( )210 ,mm=µ s'il existe 0≠v dans V tel que

1. v est un vecteur poids avec le poids 0µ .

2. ( ) ( ) 021 == vXvX ππ .

3. Le plus petit sous-espace invariant de V contenant v est la totalité de V. Le vecteur v est appelé un vecteur cyclique de π .

I.6.4.2. Proposition 6.14 Soit ( )V,π une représentation cyclique de poids le plus haut de sl(3,C) avec le poids 0µ . Alors

1. π a le plus haut poids 0µ .

2. L'espace poids correspondant au plus haut poids 0µ est à une dimension.

DEMONSTRATION Soit v comme dans la définition 6.13. Considérons le sous-espace W de V généré par les éléments de la forme (1) ( ) ( ) ( )vYYYw

niii πππ L

21=

avec chaque 2,1=Ii et 0≥n (si n = 0, il est sous-entendu que w dans (1) est égal à v). Nous

affirmons que W est invariant. Pour le voir, il suffit de contrôler que W est invariant sous chacun des éléments de base. Par définition, W est invariant sous ( )1Yπ et ( )2Yπ . Il est donc aussi invariant sous

( ) ( ) ( )[ ]213 , YYY πππ −= .

Maintenant, le lemme 6.8 nous dit qu'en appliquant un vecteur racine ( )CslZ ,3∈α à un vecteur

poids v avec le poids µ , on a soit zéro, soit un nouveau vecteur poids avec le poids αµ + .

Maintenant, par supposition, v est un vecteur poids avec le poids 0µ . De plus, 1Y et 2Y sont des

vecteurs racines avec les racines ( ) ( )1,21 −=−α et ( ) ( )2,12 −=−α , respectivement. Donc chaque

application de ( )1Yπ ou ( )2Yπ soustrait ( )1α ou ( )2α au poids. En particulier, chaque élément non

nul de la forme (1) est un vecteur propre simultanément de ( )1Hπ et ( )2Hπ . Donc W est invariant

sous ( )1Hπ et ( )2Hπ .

Pour montrer que W est invariant sous ( )1Xπ et ( )2Xπ , nous travaillerons par induction sur n.

Pour n = 0, nous avons ( ) ( ) WvXvX ∈== 021 ππ . Considérons maintenant l'application de ( )1Xπ

ou ( )2Xπ à un vecteur de la forme (1). Rappelons les relations de commutation impliquant 1X ou

2X et 1Y ou 2Y :

(2) [ ] [ ][ ] [ ] 22212

21111

,0,

0,,

HYXYX

YXHYX

====

Donc (pour i et j égaux à 1 ou 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ijijji HXYYX πππππ += , où ijH est 1H ou 2H ou zéro.

Donc (pour i égal à 1 ou 2)

(3) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )vYYHvYYXY

vYYYX

niiij

niiii

niiii

πππππππ

ππππ

LL

L

221

21

+=

Mais ( ) ( ) ( )vYYXniii πππ L

2 est dans W par induction et ( ) ( ) ( )vYYH

niiij πππ L

2 est dans W puisque

W est invariant sous ( )1Hπ et ( )2Hπ .

Finalement, W est invariant sous ( )3Xπ puisque ( ) ( ) ( )[ ]213 , XXX πππ = . Donc W est invariant.

Puisque par définition W contient v, nous devons avoir W = V.

Puisque 1Y est un vecteur racine avec la racine ( )1α− et 2Y un vecteur racine avec la racine ( )2α− ,

le lemme 6.8 nous dit que chaque élément de la forme (1) est ou bien zéro ou bien un vecteur poids

avec le poids ( ) ( )nii ααµ −−− L1

0 . Donc V = W est généré par v et des vecteurs poids avec des

poids plus bas que 0µ . Donc 0µ est le poids le plus haut pour V.

De plus, tout élément de W peut être écrit comme un multiple de v plus une combinaison linéaire de vecteurs poids avec des poids plus bas que 0µ . Donc l'espace poids correspondant à 0µ est

généré par v. C'est-à-dire que l'espace poids correspondant à 0µ est à une dimension.

I.6.4.3. Proposition 6.15 Toute représentation irréductible de sl(3,C) est une représentation cyclique de poids le plus haut avec un poids le plus haut unique 0µ .

DEMONSTRATION L'unicité est immédiate puisque par la proposition précédente, 0µ est le poids le plus haut et deux

poids distincts ne peuvent pas être tous les deux les plus hauts. Nous avons déjà montré que toute représentation irréductible est la somme directe de ses espaces poids. Puisque la représentation est de dimension finie, il peut seulement y avoir un nombre fini de poids. Il s'ensuit qu'il doit exister un poids 0µ tel qu'il n'y a pas de poids 0µµ ≠ avec 0µµ f .

C'est-à-dire qu'il n'y a pas de poids plus haut que 0µ (ce qui n'est pas le même que dire que 0µ est

le plus haut). Mais s'il n'y a pas de poids plus haut que 0µ , alors pour tout vecteur poids non nul v

avec le poids 0µ , nous devons avoir

(1) ( ) ( ) 021 == vXvX ππ

(autrement, disons, ( )vX 1π serait un vecteur poids avec le poids ( )0

10 µαµ f+ ).

Puisque π est supposé irréductible, le plus petit sous-espace invariant contenant v doit être l'espace entier; donc la représentation est cyclique de poids le plus haut.

I.6.4.4. Proposition 6.16 Toute représentation cyclique de poids le plus haut de sl(3,C) est irréductible.

DEMONSTRATION Soit ( )V,π une représentation cyclique de poids le plus haut avec le poids le plus haut 0µ et le

vecteur cyclique v. Suivant la réductibilité complète (proposition 6.2), V se décompose comme une somme directe de représentations irréductibles

(1) iiVV ⊕≅

Suivant la proposition 6.12, chaque iV est la somme directe de ses espaces poids. Donc puisque le

poids 0µ est dans V, il doit être dans un des iV . D'un autre coté, la proposition 6.14 dit que l'espace

poids correspondant à 0µ est à une dimension, c'est-à-dire que v est (à une constante près) le seul

vecteur dans V avec le poids 0µ . Donc iV doit contenir v. Mais alors iV est un sous-espace

invariant contenant v, ainsi VVi = . Donc, il y a un seul terme dans la somme (1) et V est

irréductible.

I.6.4.5. Proposition 6.17 Deux représentations irréductibles de sl(3,C) avec le même poids le plus haut sont équivalentes.

DEMONSTRATION Nous savons maintenant qu'une représentation est irréductible si et seulement si elle est cyclique de poids le plus haut. Supposons que ( )V,π et ( )W,σ sont deux représentations de ce type avec le

même poids le plus haut 0µ . Soit v et w les vecteurs cycliques de V et W, respectivement.

Considérons maintenant la représentation WV ⊕ et soit U le plus petit sous-espace invariant de WV ⊕ qui contient les vecteurs ( )wv, .

Par définition, U est une représentation cyclique de poids le plus haut 0µ , donc irréductible suivant

la proposition 6.16. Considérons les deux applications de "projection" VWVP →⊕:1 ,

( ) vwvP =,1 et WWVP →⊕:2 , ( ) wwvP =,2 . Il est facile de contrôler que 1P et 2P sont des

morphismes de représentation. Donc la restriction de 1P et 2P à WVU ⊕⊂ sera aussi un

morphisme.

Clairement ni U

P1 ni U

P2 n'est l'application zéro (puisque les deux sont non nuls sur ( )wv, ). De

plus, U, V et W sont tous irréductibles. Donc, suivant le lemme de Schur, U

P1 est un isomorphisme

de U avec W et U

P2 un isomorphisme de U avec W. Donc WUV ≅≅ .

I.6.4.6. Proposition 6.18 Si π est une représentation irréductible de sl(3,C), alors le plus haut poids de π est de la forme (1) ( )21 ,mm=µ

avec 1m et 2m des entiers non négatifs.

DEMONSTRATION Nous savons déjà que tous les poids de π sont de la forme ( )21 ,mm avec 1m et 2m entiers. Nous

devons montrer que si ( )210 ,mm=µ est le poids le plus haut, alors 1m et 2m sont tous les deux

non négatifs. Pour cela, nous devons à nouveau utiliser ce que nous savons à propos des représentations de sl(2,C). Le résultat suivant peut être obtenu à partir de la démonstration de la classification des représentations irréductibles de sl(2,C).

Soit ( )V,π une représentation de dimension finie de sl(2,C). Soit v un vecteur propre de ( )Hπ

avec la valeur propre λ . Si ( ) 0=vXπ , alors λ est un entier non négatif.

Maintenant, si π est une représentation irréductible de sl(3,C) avec le poids le plus haut

( )210 ,mm=µ et si v est un vecteur de poids avec le poids 0µ , alors nous devons avoir

( ) ( ) 021 == vXvX ππ (autrement 0µ ne serait pas le plus haut). Donc en appliquant le résultat ci-

dessus aux restrictions de π à 111 ,, YXH et à 222 ,, YXH , cela montre que 1m et 2m doivent

être non négatif.

I.6.4.7. Proposition 6.19 Si 1m et 2m sont des entiers non négatifs, alors il existe une représentation irréductible de sl(3,C)

avec le poids le plus haut ( )21 ,mm=µ .

DEMONSTRATION Notons que la représentation triviale est une représentation irréductible avec le poids le plus haut (0,0). Ainsi nous avons seulement besoin de construire des représentations avec au moins un des

1m et 2m positifs.

D'abord, nous construisons deux représentations irréductibles avec les poids les plus hauts (1,0) et (0,1) (elles sont aussi appelées les représentations fondamentales). La représentation standard de sl(3,C) est une représentation irréductible avec le poids (1,0), comme on le contrôle facilement. Pour construire une représentation irréductible avec le poids (0,1), nous modifions la représentation standard. Spécifiquement, nous définissons

(1) ( ) trZZ −=π

pour tout ( )CslZ ,3∈ . En utilisant le fait que ( ) trtrtrABAB = , il est facile de contrôler que

(2) [ ] [ ]tr2

tr1

tr

21 ,, ZZZZ −−=−

tel que π est réellement une représentation (elle est isomorphe au dual de la représentation standard). Il est facile de voir que π est une représentation irréductible avec le poids le plus haut (0,1).

Soit ( )11 ,Vπ la représentation standard agissant sur 3C et soit 1v un vecteur poids correspondant au

plus haut poids (1,0) (ainsi ( )0,0,11 =v ). Soit ( )22 ,Vπ la représentation (1) agissant sur 3C et 2v un

vecteur poids pour le poids le plus haut (0,1) (ainsi ( )1,0,02 =v ). Considérons maintenant la

représentation (3) 222111 VVVVVV ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ LL

où 1V apparaît 1m fois et 2V 2m fois. Notons que l'action de sl(3,C) sur cet espace est

(4) ( )( ) ( )( ) ( )( )ZIIIIZIIIZZ 211 πππ ⊗⊗⊗++⊗⊗⊗⊗+⊗⊗⊗→ LLLL

Soit

21mmπ cette représentation.

Considérons le vecteur (5) 2221112,1

vvvvvvv mm ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗= LL

Alors l'application de (4) montre que

(6)

( )( )( )( ) 0

0

2,122,1

2,112,1

2,122,122,1

2,112,112,1

=

=

=

=

mmmm

mmmm

mmmmmm

mmmmmm

vX

vX

vmvH

vmvH

π

π

π

π

Maintenant, la représentation

21mmπ n'est pas irréductible (à moins que ( ) ( )0,1, 21 =mm ou (0,1)).

Cependant, si W est le plus petit sous-espace invariant contenant le vecteur 2,1 mmv , alors vu (6), W

sera cyclique de poids le plus haut avec le poids ( )21 ,mm . Donc, suivant la proposition 6.16, W est

irréductible avec le poids le plus haut ( )21 ,mm .

Donc W est la représentation que nous désirions. Nous avons maintenant terminé la démonstration du théorème 6.10.

I.6.5. Un exemple : le poids le plus haut (1,1) Pour obtenir la représentation irréductible avec le poids le plus haut (1,1) nous sommes supposés prendre le produit tensoriel des représentations irréductibles avec les poids les plus hauts (1,0) et (0,1) puis d'extraire un certain sous-espace invariant. Etablissons une certaine notation pour les représentations (1,0) et (0,1). Dans la représentation standard, les vecteurs poids pour

(1)

−=000

010

001

1H

−=

100

010

000

2H

sont les éléments de base standards de 3C , c'est à dire 1e , 2e et 3e . Les poids correspondants sont

(1,0), (-1,1) et (0,-1). Le poids le plus haut est (1,0). Rappelons que

(2)

=

=010

000

000

000

001

000

21 YY

Donc

(3)

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 00

0

0

3231

32211

12211

======

eYeY

eeYeY

eYeeY

Maintenant, la représentation avec le poids le plus haut (0,1) est la représentation ( ) trZZ −=π ,

pour ( )CslZ ,3∈ . Définissons

(4) trZZ −=

pour tout ( )CslZ ,3∈ . Donc ( ) ZZ =π . Notons que

(5)

−=

−=

100

010

000

000

010

001

21 HH

Les vecteurs poids sont à nouveau 1e , 2e et 3e avec les poids (-1,0), (1,-1) et (0,1). Le poids le plus

haut est (0,1). Définissons les nouveaux éléments de base

(6)

13

22

31

ef

ef

ef

=−=

=

Alors, puisque

(7)

−=

−=

000

100

000

000

000

010

21 YY

nous avons

(8)

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 00

0

0

3231

22321

21211

==

==

==

fYfY

fYffY

ffYfY

Notons que le vecteur poids le plus haut est 31 ef = .

Ainsi, pour obtenir une représentation irréductible avec le poids le plus haut (1,1), nous sommes supposés prendre le produit tensoriel des représentations avec les poids les plus hauts (1,0) et (0,1) et puis prendre le plus petit sous-espace invariant contenant le vecteur 11 fe ⊗ . Au vu de la

démonstration de la proposition 6.14, ce plus petit sous-espace invariant est obtenu en partant de

11 fe ⊗ et en appliquant toutes les combinaisons possibles de 1Y et 2Y .

Rappelons que si 1π et 2π sont deux représentations de l'algèbre de Lie sl(3,C), alors

(9) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )2221221

1211121

YIIYY

YIIYY

ππππππππ

⊗+⊗=⊗⊗+⊗=⊗

Dans notre cas, nous désirons ( ) ii YY =1π et ( ) ii YY =2π . Donc

(10) ( )( )( )( ) 22221

11121

YIIYY

YIIYY

⊗+⊗=⊗

⊗+⊗=⊗

ππππ

Les actions de iY et iY sont décrites dans (3) et (8).

Notons que 21 ππ ⊗ n'est pas une représentation irréductible. La représentation 21 ππ ⊗ a la

dimension 9, tandis que le plus petit sous-espace invariant contenant 11 fe ⊗ a, comme il s'avère, la

dimension 8. Ainsi, il reste seulement à commencer avec 11 fe ⊗ , appliquer 1Y et 2Y répétitivement jusqu'à ce

que nous obtenions zéro puis extraire quelles relations de dépendances existent parmi les vecteurs que nous avons. Notons qu'en partant de 11 fe ⊗ et en appliquant 1Y puis 2Y donne quelque chose

de différent que d'appliquer 2Y puis 1Y .

I.6.6. Le groupe de Weyl L'ensemble des poids d'une représentation irréductible de sl(3,C) a une certaine symétrie qui lui est associée. Cette symétrie est en fonction de quelque chose appelé le "groupe de Weyl". Nous considérons le sous-groupe suivant de SU(3) :

(1)

−=

−=

−=

=

=

=

=

010

100

001

001

010

100

100

001

010

001

100

010

010

001

100

100

010

001

543

210

www

www

W

Ce sont simplement les matrices qui permutent les éléments de base de 3C avec un ajustement du signe quand c'est nécessaire pour rendre le déterminant égal à un. Maintenant, pour tout ( )3SUA∈ , nous avons l'application associée ( ) ( )33: susuA →Ad , où

(2) ( ) 1−= AXAXAAd

Maintenant, puisque chaque élément de sl(3,C) est de la forme iYXZ += avec ( )3, suYX ∈ , il

s'ensuit que sl(3,C) est invariant sous l'application 1−→ AZAZ . C'est-à-dire que nous pouvons voir

AAd comme une application de sl(3,C) sur lui-même.

La raison pour sélectionner le groupe ci-dessus est la suivante : si Ww∈ , alors ( )1HwAd et

( )2HwAd sont des combinaisons linéaires de 1H et 2H . C'est-à-dire que chaque wAd préserve

l'espace généré par 1H et 2H (il y a d'autres éléments de SU(3) avec cette propriété, notablement

les éléments diagonaux. Cependant, ceux là commutent réellement avec 1H et 2H . Donc l'action

adjointe de ces éléments sur l'espace généré par 1H et 2H est trivial et donc sans intérêt).

Maintenant, pour chaque Ww∈ et chaque représentation irréductible π de sl(3,C), définissons une nouvelle représentation wπ par la formule

(3) ( ) ( )( ) ( )XwwXwXw

11 −− == πππ Ad

Puisque 1−wAd est un automorphisme d'algèbre de Lie, wπ sera en fait une représentation de

sl(3,C). Rappelons que puisque SU(3) est simplement connexe, alors pour chaque représentation π de sl(3,C) il y a une représentation associée Π de SU(3) (agissant sur le même espace) telle que

(4) ( ) ( )XX ee π=Π

pour tout ( )CslsuX ,3)3( ⊂∈ . La représentation Π a la propriété que

(5) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 −− ΠΠ= AXAAXA ππ

pour tout ( )3suX ∈ . A nouveau, puisque tout élément de sl(3,C) est de la forme iYX + avec

( )3, suYX ∈ , il s'ensuit que (5) est valable aussi pour ( )CslX ,3∈ .

En particulier, en prenant WwA ∈= −1 , nous avons

(6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )wXwXwwXw ΠΠ== −− πππ 11

pour tout ( )CslX ,3∈ .

PROPOSITION 6.20. Pour chaque représentation π de sl(3,C) et pour chaque Ww∈ , la représentation wπ est

équivalente à la représentation π .

DEMONSTRATION Nous avons besoin d'une application VV →:φ avec la propriété que

(7) ( )( ) ( ) ( )vXvX φππφ ω =

pour tout Vv∈ . C'est le même que de dire que ( ) ( )φπφπ XXw = ou de manière équivalente que

( ) ( )φπφπ XXw

1−= . Mais vu (6), nous pouvons prendre ( )wΠ=φ .

Bien que π et wπ soient équivalents, ils ne sont pas égaux. C'est-à-dire qu'en général

( ) ( )XX wππ ≠ . Vous pourriez penser à π et wπ comme différant par un changement de base sur

V, où la matrice de changement de base est ( )wΠ . Deux représentations qui diffèrent seulement par

un changement de base sont automatiquement équivalentes.

COROLLAIRE 6.21 Soit π une représentation de sl(3,C) et Ww∈ . Alors une paire ( )21 ,mm=µ est un poids pour π

si et seulement si elle est un poids pour wπ . La multiplicité de µ comme poids de π est la même

que la multiplicité de µ comme poids de wπ .

DEMONSTRATION Des représentations équivalentes doivent avoir les mêmes poids et les mêmes multiplicités.

Calculons maintenant explicitement l'action de 1−wAd sur l'espace généré par 1H et 2H , pour

chaque Ww∈ . C'est un calcul immédiat

(8)

2521

521221

2

21511

52211

2

1421

41121

1

2411

421111

1

21321

32021

0

1311

31011

0

HwHwHHwHw

HHwHwHwHw

HwHwHwHw

HwHwHHwHw

HHwHwHwHw

HwHwHwHw

−=−−=

+==

−==

=−−=

+==

==

−−

−−

−−

−−

−−

−−

Nous pouvons maintenant voir la signification du groupe de Weyl. Soit π une représentation de sl(3,C), ( )21 ,mm=µ un poids et 0≠v un vecteur poids avec le poids µ . Alors, par exemple

(9) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) vmvHvwHwvH

vmmvHHvwHwvH

w

w

11121

12

2121111

11

1

1

===

−−=−−==−

−

πππ

πππ

Donc v est un vecteur poids pour wπ avec le poids ( )121 ,mmm −− . Mais selon le corollaire 6.21,

les poids de π et wπ sont les mêmes !

I.6.6.1. Conclusions Si ( )21 ,mm=µ est un poids de π , également ( )121 ,mmm −− .

Les multiplicités de ( )21 ,mm et ( )121 ,mmm −− sont les mêmes.

Bien sûr, un argument similaire s'applique à chacun des autres éléments du groupe de Weyl. Spécifiquement, si µ est un poids pour une certaine représentation π et si w est un élément de W,

alors il y aura quelques nouveaux poids qui doivent aussi être des poids de π . Nous dénoterons ces nouveaux poids µ⋅w . Par exemple, si π , alors ( )1211 ,mmmw −−=⋅ µ (nous définissons µ⋅w tel

que si v est un vecteur poids de π avec le poids µ , alors v sera un vecteur poids de wπ avec le

poids µ⋅w ). A partir des relations de la section précédente, nous pouvons directement lire la

valeur de µ⋅w pour chaque w.

(1)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )221215212212

12214121211

21121321210

,,,,

,,,,

,,,,

mmmmmwmmmmmw

mmmmwmmmmmw

mmmmmwmmmmw

−+=⋅−−=⋅−−=⋅−−=⋅

+−=⋅=⋅

Il est immédiat de contrôler que (2) ( ) ( ) µµ ⋅=⋅⋅ jiji wwww

Nous allons maintenant prouver le théorème suivant.

THEOREME 6.22. Si ( )21 ,mm=µ est un poids et w un élément du groupe de Weyl, soit µ⋅w définit par (1). Si π est

une représentation de dimension finie de sl(3,C), alors µ est un poids pour π si et seulement si

µ⋅w est un poids pour π . La multiplicité de µ est la même que la multiplicité de µ⋅w .

Si nous pensons aux poids ( )21 ,mm=µ comme étant dans 2R , alors nous pouvons penser à (1)

comme un groupe fini de transformations linéaires de 2R (le fait que ce soit un groupe de transformations est une conséquence de (2)). Puisque c'est un groupe fini de transformations, il est possible de choisir un produit scalaire sur 2R tel que l'action de W est orthogonale (comme dans la démonstration de la proposition 5.16). En fait, il y a (à une constante près) exactement un seul produit scalaire de ce type. Dans ce produit scalaire, l'action (1) du groupe de Weyl est générée par une rotation à 120° et une réflexion autour de l'axe y. De manière équivalente, le groupe de Weyl est le groupe de symétrie d'un triangle équilatéral centré à l'origine avec un nœud sur l'axe y.

I.6.7. Algèbres de Lie semi-simples complexes Cette section donne un bref synopsis de la théorie des structures et de la théorie des représentations des algèbres de Lie semi-simples complexes. La morale de l'histoire est que toutes les algèbres de ce type ressemblent beaucoup à sl(3,C). Cette partie ne contiendra pas de démonstration (non triviale). Si g est une algèbre de Lie, un sous-espace g⊂I est dit être un idéal si [ ] IYX ∈, pour tout g∈X

et tout IY ∈ . Une algèbre de Lie g est dite être simple si 2dim ≥g et si g n'a pas d'idéaux autre

que 0 et g. Une algèbre de Lie g est dite semi-simple si g peut être écrite comme la somme directe

d'algèbres de Lie simples. Dans cette section nous considérons les algèbres de Lie semi-simples sur les nombres complexes. Des exemples d'algèbres de Lie semi-simples complexes incluent sl(n,C), so(n,C) ( 3≥n ) et sp(n,C). Toutes sont en réalité simples sauf so(4,C) qui est isomorphe à ( ) ( )CslCsl ,2,2 ⊕ .

DEFINITION 6.23. Soit g une algèbre de Lie semi-simple complexe. Un sous-espace h de g est dit être une algèbre de Cartan si 1. h est abélien. C'est-à-dire [ ] 0, 21 =HH pour tout h∈21 ,HH .

2. h est abélien maximal. C'est-à-dire que si g∈X satisfait [ ] 0, =XH pour tout h∈H , alors

h∈X . 3. Pour tout h∈H , ggad →:H est diagonalisable.

Puisque tous les H commutent, alors aussi les Had (c'est-à-dire [ ] [ ] 0,, 2121 == HHHH adadad ).

Par hypothèse, chaque Had est diagonalisable et ils commutent, par conséquent les Had sont simultanément diagonalisables (en utilisant une algèbre linéaire standard). Soit ∗h le dual de h, c'est à dire l'espace des fonctionnelles linéaires sur h.

DEFINITION 6.24. Si g est une algèbre de Lie semi-simple complexe et h une sous-algèbre de Cartan, alors un élément

α de ∗h est dit être une racine (pour g par rapport à h) si α est différent de zéro et s'il existe 0≠Z dans g tel que

(1) [ ] ( )ZHZH α=,

pour tout h∈H (donc une racine est un ensemble différent de zéro de valeurs propres simultanées pour les Had ). Le vecteur Z est appelé un vecteur racine correspondant à la racine α et l'espace de tous les g∈Z

satisfaisant (1) est l'espace racine correspondant à α . Cet espace est noté αg .

L'ensemble de toutes les racines sera noté ∆ . Notons que si ( )Csl ,3=g , alors une sous-algèbre de Cartan est l'espace généré par 1H et 2H .

I.6.7.1. Théorème 6.25 Si g est une algèbre semi-simple complexe, alors une sous-algèbre de Cartan h existe. Si 1h et 2h

sont deux sous-algèbres de Cartan, alors il y a un automorphisme de g qui applique 1h sur 2h . En

particulier, deux algèbres de Cartan ont la même dimension. A partir de maintenant, g sera une algèbre semi-simple complexe et h une sous-algèbre de Cartan dans g.

DEFINITION 6.26. Le rang d'une algèbre de Lie semi-simple complexe est la dimension d'une sous-algèbre de Cartan. Par exemple, le rang de sl(n,C) est n - 1. Une sous-algèbre de Cartan dans sl(n,C) est l'espace des matrices diagonales avec la trace égale à zéro (notons que dans le cas , l'espace des matrices diagonales avec la trace égale à zéro est précisément l'espace généré par 1H et 2H ). so(2n,C) et

so(2n+1,C) ont tous les deux le rang n.

DEFINITION 6.27.

Soit ( )V,π une représentation linéaire complexe de dimension finie de g. Alors ∗∈hµ est appelé

un poids pour π s'il existe 0≠v dans V tel que (1) ( ) ( )vHvH µπ =

pour tout h∈H . Le vecteur v est appelé un vecteur poids avec le poids µ .

Notons que les racines sont précisément les poids non nuls de la représentation adjointe.

LEMME 6.28. Soit α une racine et Z un vecteur racine correspondant. Soit µ un poids pour une représentation

π et v un vecteur poids correspondant. Alors, ou bien ( ) 0=vZπ ou bien ( )vZπ est un vecteur

poids avec le poids αµ + .

DEMONSTRATION La même que pour sl(3,C).

DEFINITION 6.29. Un ensemble de racines lαα ,,1 K est appelé un système simple (ou base) si

1. lαα ,,1 K est une base d'espace vectoriel pour ∗h .

2. Toute racine ∆∈α peut être écrite sous la forme llnnn αααα +++= L2211 avec chaque in

un entier et tel que les in sont tous non négatifs ou tous non positifs.

Une racine α est dite être positive (par rapport au système simple donné) si les in sont non

négatifs; autrement α est négative.

Si ( )Csl ,3=g et 21 ,HH=h , alors un système simple de racines est ( ) ( ) ( ) ( ) 2,1,1,2, 21 −−=αα

(avec les vecteurs racines correspondant 1X et 2X ). Les racines positives sont ( ) ( ) ( ) 1,1,2,1,1,2 −− .

Les racines négatives sont ( ) ( ) ( ) 1,1,2,1,1,2 −−−− .

DEFINITION 6.30. Soit lαα ,,1 K un système simple de racines et 1µ et 2µ deux poids. Alors 1µ est plus haut que

2µ (ou 2µ est plus bas que 1µ ) si 21 µµ − peut être écrit comme

(2) llaaa αααµµ +++=− L221121

avec 0≥ia . Cette relation est notée 21 µµ f ou 12 µµ p .

Un poids 0µ pour une représentation π est le plus haut si tous les poids µ de π satisfont 0µµ p .

Le théorème suivant, très profond, cerne beaucoup la théorie des structures des algèbres de Lie semi-simples.

I.6.7.2. Théorème 6.31 Soit g une algèbre de Lie semi-simple complexe, h une sous-algèbre de Cartan et ∆ l'ensemble des racines. Alors

1. Pour chaque racine ∆∈α , l'espace racine correspondant αg est à une dimension.

2. Si α est une racine, alors aussi α− . 3. Un système simple de racines lαα ,,1 K existe.

Nous savons maintenant identifier l'ensemble correct des poids les plus hauts des représentations irréductibles.

I.6.7.3. Théorème 6.32 Soit lαα ,,1 K un système simple de racines, iX un élément de l'espace racine iα

g et iY un

élément de l'espace racine iα−g . Définissons

(1) [ ]iii YXH ,=

Alors il est possible de choisir iX et iY tels que

1. Chaque iH est non nul et contenu dans h.

2. L'espace généré par iii YXH ,, est une sous-algèbre de g isomorphe (d'une manière évidente)

à sl(2,C). 3. L'ensemble lHH ,,1 K est une base pour h.

Notons que (dans la plus part des cas) l'ensemble de tous les iH , iX et iY (i = 1, 2,… l) ne génère

pas g. Dans le cas ( )Csl ,3=g , l = 2 et l'espace généré par 222111 ,,,,, YXHYXH représente

seulement six des huit dimensions de sl(3,C). Néanmoins, les sous-algèbres iii YXH ,, jouent un

rôle important. Nous sommes maintenant prêts à établir le théorème principal.

I.6.7.4. Théorème 6.33 Soit g une algèbre de Lie semi-simple complexe, h une sous-algèbre de Cartan et lαα ,,1 K un

système simple de racines. Soit [ ]lHH ,,1 K comme dans le théorème 6.32. Alors

1. Dans chaque représentation irréductible π de g, les ( )Hπ sont simultanément diagonalisables.

2. Chaque représentation irréductible π de g a un poids le plus haut unique. 3. Deux représentations irréductibles de g avec le même poids le plus haut sont équivalentes. 4. Si 0µ est le poids le plus haut d'une représentation irréductible de g, alors pour i= 1, 2,…, l,

( )iH0µ est un entier non négatif.

5. Inversement, si ∗∈h0µ est tel que ( )iH0µ est un entier non négatif pour tout i=1, 2,… l, alors

il y a une représentation irréductible de g avec le poids le plus haut 0µ .

Les poids 0µ comme dans les points 4 et 5 sont appelés poids intégraux dominants.

Exercices 1. Montrez que pour toute paire de matrices n x n X et Y,

[ ] [ ]TTT YXYX ,, −=

En utilisant ce fait et le fait que i

T

i YX = pour i = 1, 2, 3, expliquez la symétrie entre les X et les

Y dans les relations de commutation pour sl(3,C). Par exemple, montrez que la relation [ ]321 , YYY −= peut être obtenue de la relation [ ] 321 , XXX = en prenant la transposée. Montrez

que la relation [ ] 221 , YYH = suit de la relation [ ] 221 , XXH −= .

2. Rappelez la définition du dual ∗π d'une représentation π de l'exercice 14 suivant la section I.5.9.1. Considérez cela pour le cas des représentations de sl(3,C).

a. Montrez que les poids de ∗π sont les négatifs des poids de π . b. Montrez que si π est la représentation irréductible de sl(3,C) avec le poids le plus haut

( )21 ,mm alors ∗π est la représentation irréductible avec le poids le plus haut ( )12 ,mm .

Suggestion : si vous identifiez V et ∗V en choisissant une base de V, alors TA est juste la matrice usuelle transposée.

3. Soit h le sous-espace de sl(3,C) généré par 1H et 2H . Soit G le groupe de toutes les matrices

( )3SUA∈ tel que AAd préserve h. Maintenant soit 0G le groupe de toutes les matrices

( )3SUA∈ tel que AAd est l'identité sur h, c'est-à-dire tel que ( ) 11 HHA =Ad et

( ) 22 HHA =Ad . Montrez que 0G est un sous-groupe normal de G. Calculez G et 0G . Montrez

que 0/GG est isomorphe au groupe de Weyl W.

4. a. Vérifiez les théorèmes 6.31 et 6.32 explicitement pour le cas g = sl(n,C) b. Considérez la tâche d'essayer de démontrer le théorème 6.33 pour le cas de sl(n,C). Maintenant que vous avez fait le point (a), quelle partie de la démonstration se fait de la même manière que pour sl(3,C) ? A quel point dans la démonstration du théorème correspondant pour sl(3,C) utilisons-nous les propriétés particulières de sl(3,C) ? Suggestion : presque tout est le même mais il y a un point critique où nous faisons quelque chose qui ne se généralise pas à sl(n,C).

Exercices cumulatifs 1. Soit G un groupe de Lie matriciel connexe et ( )gAd GLG →: la représentation adjointe de G.

Montrez que noyau(Ad) = Z(G) où Z(G) est le centre de G. Si G = O(2), calculez noyau(Ad) et Z(G) et montrez qu'ils ne sont pas égaux. Suggestion : vous utiliserez le fait que si G est connexe, alors tout GA∈ peut être écrit sous la

forme nXXXeeeA L21= avec g∈iX .

2. Soit G un groupe commutatif fini. Montrez que le nombre de classes d'équivalence des représentations complexes irréductibles de G est égal au nombre d'éléments dans G. Suggestion : utilisez le fait que tout groupe commutatif fini est un produit de groupes cycliques.

3. a. Montrez que si ( )2OR∈ et que 1det −=R , alors R a deux vecteurs propres réels

orthogonaux avec les valeurs propres 1 et -1. b. Soit R dans O(n). Montrez qu'il existe un sous-espace W de nR qui est invariant sous R et

1−R et tel que dim W = 1 ou 2. Montrez que ⊥W (le complément orthogonal de W) est aussi

invariant sous R et 1−R . Montrez que les restrictions de R et 1−R à W et à ⊥W sont orthogonales (c'est-à-dire que ces restrictions préservent le produit scalaire). c. Soit R dans O(n). Montrez que nR peut être écrit comme la somme directe orthogonale des sous-espaces iW tels que

1) Chaque iW est invariant sous R et 1−R .

2) Chaque iW a la dimension 1 ou 2.

3) Si 2dim =iW , alors la restriction de R à iW a un déterminant égal à un.

d. Montrez que l'application exponentielle pour SO(n) est surjective. Assurez-vous que vous utilisez le fait que les éléments de SO(n) ont un déterminant égal à un. Note : cela fournit une démonstration alternative que le groupe SO(n) est connexe.

4. Déterminez, à une équivalence près, toutes les représentations (linéaires, complexes) irréductibles de dimension finie de l'algèbre de Lie ( ) ( )CslCsl ,2,2 ⊕ . Votre réponse peut-elle

être exprimée en fonction d'une sorte de "poids le plus haut" ? Suggestion : imitez la démonstration de la classification des représentations irréductibles de sl(2,C).

5. Considérez la représentation irréductible ( )V,π de sl(3,C) avec le poids le plus haut (0,2). En

suivant la procédure de la section I.6.5, déterminez 1) La dimension de V. 2) Tous les poids de π . 3) La multiplicité de chaque poids (c'est-à-dire, la dimension de chaque espace poids correspondant).

II. Symétries Les symétries sont un attribut fondamental de la nature qui permet d'étudier des aspects particuliers des systèmes physiques. Par exemple, l'hypothèse que l'espace est homogène ou possède une symétrie à la translation conduit à la conclusion que l'impulsion d'un système fermé isolé ne change pas durant l'évolution du système. Cela rend possible d'étudier séparément le mouvement du centre de masse et le mouvement interne du système. De même, l'hypothèse que l'espace est isotrope ou possède une symétrie à la rotation signifie que le moment angulaire total d'un tel système est constant. En mécanique quantique, et c'est ce qu'elle a de plus séduisant, les théorèmes de conservation sont, en un certain sens, déduits de quelque chose d'autre, tandis qu'en mécanique classique ils constituent pratiquement le fondement des lois. Les relations de ce type entre les propriétés de symétrie et les lois de conservation ont déjà été utilisées dans ce cours, sans développer un formalisme élaboré, comme la séparation des variables dans l'équation de Schrödinger. Cependant, un traitement systématique est utile pour résoudre des problèmes plus compliqués. Les symétries permettent ainsi de simplifier grandement la résolution des équations. Plus important encore, la vue unifiée des symétries qui en résulte fournit une vision plus approfondie sur la structure de la physique. Nous traiterons essentiellement des symétries géométriques qui peuvent être associées aux déplacements d'un système physique dans l'espace et dans le temps, avec ses rotations et l'inversion dans l'espace et avec le renversement du sens de progression du temps. Nous discuterons aussi des symétries dynamiques qui conduisent à des dégénérescences inattendues des niveaux d'énergie de, par exemple, l'oscillateur harmonique. Nous toucherons aussi un mot des symétries internes et qui agissent sur des paramètres internes, non géométriques (comme la phase de la fonction d'onde, par exemple). Plusieurs autres symétries intéressantes en physique sont omises, en particulier celles qui s'appliquent aux molécules, aux cristaux et à la relativité. Bien que nous considérerons principalement une seule particule ou une paire de particules dans le centre de masse, plusieurs des résultats peuvent être étendus à plusieurs particules en interaction pourvu que la symétrie s'applique à toutes les coordonnées de toutes les particules. Pour les particules identiques, il y a aussi une symétrie à la permutation dont nous discuterons.

II.1. Différentes symétries Nous travaillerons entièrement dans le point de vue de Schrödinger.

Qu'est-ce que les symétries ? Les symétries ont un sens commun : c'est, par exemple, la symétrie gauche - droite. Le fait que l'être humain est (extérieurement) identique vu dans un miroir (à quelques petites différences prêt). On appelle cela aussi la symétrie miroir. Quand, dans la vie commune, on parle de symétrie c'est presque toujours dans ce sens là. Ou dans le sens "deux situations identiques à, éventuellement, une inversion gauche - droite près". On pourrait parler aussi de "symétrie naïve". Mais en fait, elle n'est pas si naïve que cela car, pour le mathématicien comme pour le physicien, il s'agit bel et bien d'une symétrie. Mais, en physique ou en mathématique, le terme de symétrie a un sens beaucoup plus large. On parle de symétrie pour tout type de transformation des grandeurs décrivant le système. Soit un système décrit par une fonction d'onde ( )xψ . On peut effectuer une transformation quelconque U

sur cette fonction d'onde, elle devient alors une autre fonction d'onde ( )xφ .

Rappelons-nous l'équation de Schrödinger :

(1) ψψH

ti =

∂∂

h

Elle décrit comment la fonction d'onde évolue au cours du temps. Soit la fonction d'onde au temps

0=t : ( )0,xψ et, grâce à cette équation, on calcule sa valeur au temps t . On trouve alors ( )tx,ψ .

Appliquons maintenant notre transformation : ( ) ( )0,0, xxU

φψ → .

On peut aussi étudier comment évolue cette fonction d'onde avec le temps, grâce à l'équation de Schrödinger

(2) φφH

ti =

∂∂

h

On peut alors calculer ce que devient cette fonction d'onde au cours du temps : ( )tx,φ .

La question qui se pose est : est-ce que la transformation U relie les deux résultats ? C'est-à-dire,

est-ce que ( ) ( )txtxU

,, φψ → ?

Si oui, alors le fait de transformer la fonction d'onde ne change rien : elle continue à évoluer de la même manière, avec la même équation de Schrödinger. On dira aussi qu'on a une transformation "physique" ou qu'elle donne une fonction d'onde "physique". Si c'est le cas, alors cela veut dire que le phénomène physique, décrit par l'hamiltonien, est "invariant" sous cette transformation. Transformer une solution ne fait que donner une autre solution du même phénomène physique. On dira aussi que U constitue une "symétrie" pour ce phénomène physique.

Le phénomène physique considéré peut être très variable : par exemple l'interaction électromagnétique entre des particules chargées électriquement. Ceci n'est bien entendu pas limité à la physique quantique et toute autre théorie physique avec ses propres équations peut être utilisée. Voyons maintenant un de transformation. Les symétries géométriques sont des transformations qui agissent sur la position dans l'espace et le temps. La plus simple de ces transformations est la translation spatiale. Elle consiste à déplacer le système tout entier (y compris tout ce qui l'entoure si cela intervient dans l'évolution du système).

Il existe deux points de vue : Le point de vue actif.

Il consiste à considérer réellement un déplacement de l'objet et de tout ce qui l'entoure. L'objet passe de la position x à x′ .

Le point de vue passif. On ne déplace pas l'objet mais on change simplement le système de coordonnées, on change x en x′ en laissant l'objet au même endroit.

Ces deux points de vue sont équivalent car tout ce qui décrit l'objet change de la même manière dans les deux cas. Par exemple, si le système contient un petit engrenage à la position ex il se

retrouvera à la position ex′ dans les deux cas, et de même pour tout le reste. De plus, le principe de relativité nous dit que le repère utilisé est arbitraire et que son choix importe peu pour le déroulement des phénomènes. Il n'y a pas d'espace absolu. Donc, le choix de deux repères reliés par une translation ne doit pas modifier la physique. Le choix du point de vue est donc affaire de convenance. On adopte plus facilement le point de vue actif lorsqu'on veut se représenter mentalement ce qui se passe, mais il est souvent plus facile d'utiliser le point de vue passif pour les calculs et les notations. Notons que ceci n'est vrai que si l'on déplace tout. S'il y a dans l'environnement un phénomène quelconque qui reste fixe dans l'espace, par exemple un champ magnétique, tandis que l'on déplace seulement le système physique analysé, alors, dans ce cas, l'environnement du système n'est plus le

même après la translation et l'évolution dans le temps peut être modifiée. La présence du champ magnétique brise la symétrie sauf si on déplace ce champ en même temps que le système physique. Tout dépend donc de ce que l'on considère comme étant le système physique.

Déplacements dans l'espace et le temps

Considérons le déplacement dans l'espace d'un système physique représenté par le ket α ou la

fonction d'onde ( )rαψ . Le déplacement est décrit par un vecteur ρ et change le ket α en le ket

α ′ ou change la fonction d'onde ( )rαψ en la fonction d'onde ( )rαψ ′ . Cela signifie que

(3) ( ) ( )rr αα ψρψ =+′

Comme exemple de (1), notons que, si ( )rαψ est un paquet d'ondes qui a sa valeur maximale quand

on argument r vaut 0r , alors ( )rαψ ′ est un paquet d'ondes de la même forme qui a sa valeur

maximale quand son argument r est égal à ρ+0r . Donc, αψ ′ a son maximum déplacé de ρ par

rapport au maximum de αψ .

A noter que le point de vue passif consisterait à changer le système de coordonnées en le déplaçant du vecteur ρ− , ce qui revient exactement au même.

Opérateur déplacement unitaire Deux sortes de transformation furent discutées dans la théorie des transformations. Le premier type, dont U, V et W sont des exemples, sont des transformations unitaires d'une représentation à une autre qui tournent les axes dans l'espace de Hilbert sans changer les vecteurs d'états. Le second

type, dont Ω et h/iHte− sont des exemples, sont des variables dynamiques qui produisent des rotations généralisées des vecteurs d'états dans l'espace de Hilbert sans changer les axes. Nous

voulons maintenant trouver une transformation du second type qui change le ket α en le ket α ′ .

Puisque la norme du ket ne devrait pas être affectée par le déplacement, l'opérateur correspondant dont être unitaire et cela sera obtenu par construction explicite. Nous appellerons cet opérateur

( )ρrU , où l'indice indique une translation dans l'espace et l'argument est le vecteur intervalle de

déplacement (par contraste avec ( )τtU considéré plus loin qui est l'opérateur pour les translations

dans le temps de l'intervalle τ ). Nous avons donc

(4) ( ) ααρ ′=rU ou ( ) ( ) ( )rr αα ψψρ ′=rU

La deuxième équation dans (4) utilise la représentation coordonnées du vecteur d'état. Avec (3), cela devient (5) ( ) ( ) ( )ρψψρ αα −= rrrU

Pour évaluer ( )ρψ α −r , il est pratique de choisir les axes de coordonnées afin que l'axe x soit dans

la direction du vecteur ρ . Alors, un développement en série de Taylor donne

(6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L−∂∂+

∂∂−=−=− zyx

xzyx

xzyxzygrx ,,

!2,,,,,,

2

22

ααααα ψρψρψψρψ r

Le coté droit peut être écrit sous la forme

(7) ( ) ( )zyxe x ,,/α

ρ ψ∂∂−

Pour un choix général des axes de coordonnées, ( )x∂∂ /ρ peut être remplacé par ∇⋅ρ , ainsi nous

obtenons

(8) ( ) ( ) ( ) ( )rprr ααα ψρψρρψ

⋅−=∇⋅−=−h

iexpexp

où l'opérateur impulsion ∇−= hip a été introduit. Donc, si nous choisissons

(9) ( )h

p⋅−= ρρ iU r exp

l'équation (5) est valide pour tout vecteur d'état. De plus, puisque l'opérateur ∇ , qui est définit seulement dans la représentation coordonnées, a été remplacé par h/pi , l'équation (9) est valide

dans toutes les représentations. On vérifie facilement que ( )ρrU est unitaire puisque ρ est réel et

p est hermitique.

Equation du mouvement

Un système physique dans un état représenté par tout ket ( )tα à un instant particulier t peut

toujours est déplacé dans l'espace par le vecteur ρ en utilisant les équations (4) et (9). Cependant,

il n'est pas nécessairement vrai que les kets ( )tα ′ obtenu de cette manière à des moments

différents représentent un mouvement possible du système. En d'autres mots, si ( )tα obéit à

l'équation de Schrödinger du mouvement, il peut être vrai ou pas que ( ) tUt r (( αρα =′ obéisse

aussi à cette équation. Afin de voir si c'est le cas ou pas, nous calculons la dérivée par rapport au

temps de ( )tα ′ :

(10) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tHUU

tHUtdt

dUit

dt

di

rr

rr

αρρ

αραρα

′=

==′

+

hh

Elle est en accord avec l'équation de Schrödinger si et seulement si

(11) ( ) ( ) HHUU rr =+ ρρ ou ( )[ ] 0, =HU r ρ

Si ρ peut être n'importe quel vecteur, (11) est seulement valide si p commute avec H. Alors, selon,

ce que nous avons vu, l'opérateur impulsion est une constante du mouvement. Il suit aussi que p et H peuvent être diagonalisés simultanément et ainsi un état peut avoir des valeurs propres bien définies à la fois pour l'impulsion et l'énergie. Donc, nous avons montré qu'un système physique qui peut être déplacé dans l'espace et être encore un système physique peut être caractérisé par une constante et une valeur bien définie de l'impulsion autant que de l'énergie. Un tel système est dit posséder une symétrie ou une invariance aux translations spatiales. Le résultat est raisonnable puisqu'une particule peut être symétrique ou invariante par rapport aux translations seulement si aucune force extérieure n'agit sur elle, auquel

cas son impulsion est constante. Un électron libre possède cette symétrie tandis qu'un électron dans un atome d'hydrogène non. Dans ce dernier cas, le déplacement de la fonction d'onde conduit à un paquet d'ondes qui garde sa forme seulement momentanément. Par contre, un atome isolé, considéré comme un tout, est également dans cette situation.

Symétrie et dégénérescence Un aspect important des symétries concerne leurs relations avec la dégénérescence des valeurs

propres. Supposons que le ket α représente un état propre de l'énergie d'un système, tel que

αα αEH = et qu'il existe un certain opérateur Ω qui commute avec H. Alors, on voit

facilement que αΩ est aussi un état propre de H avec la même valeur propre de l'énergie αE .

Donc, si αΩ est linéairement indépendant de α , cette valeur propre de l'énergie est dégénérée.

Puisqu'un état déplacé dans l'espace est généralement linéairement indépendant de l'état original, la symétrie à la translation (pour laquelle p=Ω ) conduit à une dégénérescence en énergie des

fonctions propres de l'impulsion. Ce n'est pas un résultat nouveau puisque nous savons déjà que l'énergie d'une particule libre dépend seulement de la grandeur de son impulsion et non de sa direction. Un cas exceptionnel se produit quand l'état est constant dans l'espace puisque alors les états déplacés ne sont pas linéairement indépendants. De tels états ont une impulsion nulle et ne sont pas dégénérés. La dégénérescence en énergie associée à une symétrie géométrique telle que les translations est habituellement facile à identifier. Nous considérerons plus loin des exemples moins évidents de symétries dynamiques où il y a aussi dégénérescence. Le problème est alors de trouver l'opérateur Ω analogue à p ci-dessus qui commute avec l'hamiltonien et donc définit la symétrie.

Eléments de matrice pour les états déplacés Un élément de matrice d'une variable dynamique Ω peut être calculé pour toute paire d'états et comparé avec l'élément de matrice du même opérateur quand les états sont déplacés. Le premier

élément de matrice est βα Ω et le second est

(12) ( ) ( )βρραβα rr UU Ω=′Ω′ +

Il est évident que les éléments de matrice de toute fonction de l'opérateur impulsion sont inchangés quand l'état est déplacé. D'autre part, si Ω est l'opérateur coordonnées, on peut montrer que

(13) ( ) ( ) ρρρ +=+ rr rr UU

Donc, les éléments de matrice de r pour les états déplacés sont égaux aux éléments de matrice correspondant à ρ+r pour les états originaux, comme attendu.

Le groupe des translations La branche des mathématiques qui est appropriée pour un traitement complet des symétries est la théorie des groupes. On établit facilement que tous les vecteurs déplacement ρ forment un groupe non compact,

abélien, bien enchaîné à trois paramètres. Ce groupe est isomorphe au groupe ( ) ( ) ( )111 UUU ×× . De

même, les opérateurs ( )ρrU forment un groupe qui est isomorphe au groupe des vecteurs de

translation. Dans ce cas, l'opération de multiplication du groupe est constituée des translations successives données par l'addition vectorielle.

Déplacements dans le temps

Nous considérons ensuite le déplacement d'un état représenté par le ket ( )tα dans le temps d'un

intervalle de temps τ ce qui le change en le ket ( )tα ′ . En analogie avec l'équation (3), cela

signifie que

(14) ( ) ( )tt ατα =+′

Comme dans la première des équations (4), nous définissons un opérateur ( )τtU qui produit une

rotation généralisée du ket ( )tα en ( )tα ′ :

(15) ( ) ( ) ( )ttU t αατ ′=

La combinaison des équations (14) et (15) donne

(16) ( ) ( ) ( )ταατ −= ttU t

Le coté droit de (16) peut être réduit, en analogie avec (5) pour donner

(17) ( ) ( )trt dtd ατα τ /−=−

Puisque nos ket sont vus dans le point de vue de Schrödinger, on peut remplacer ( ) ( )tdtd α/ par

( ) ( )tHi α1−h . Cependant ( ) ( )tdtd α22 / peut être remplacé par ( ) ( )tHi α22−

h seulement si H est

indépendant du temps et une remarque similaire s'applique aux dérivées plus élevées par rapport au temps qui apparaissent dans (17). Nous supposerons donc que H est une constante et nous obtenons

(18) ( ) h/Hi

t eU ττ =

L'équation (18) est une expression valide pour l'opérateur translation dans le temps s'il est appliqué à tout ket qui représente un état physique, c'est-à-dire, tout ket qui satisfait l'équation de Schrödinger. Puisque ( )τtU commute avec H, on voit facilement que le ket déplacé dans le temps

( )tα ′ donné par (15) obéit aussi à l'équation de Schrödinger. Donc, l'hypothèse que l'hamiltonien

ou opérateur énergie est constant conduit à la conclusion qu'un système physique peut être déplacé dans le temps et être encore un système physique. Un tel système est dit posséder une symétrie ou invariance à la translation dans le temps. Bien que ce soit intuitivement évident, il est légèrement plus difficile de montrer que si H dépend du temps, le système ne possède pas de symétrie par translation dans le temps. Dans ce cas, l'expression pour ( )τtU est un peu plus compliquée que dans (18). Cependant, il est suffisant de

considérer le cas où τ est infinitésimal et de ne garder que les termes au premier ordre en τ . Alors ( )τtU est donné approximativement par ( ) h/1 tHiτ+ et dépend évidemment de t aussi bien que de

τ . Alors, pour voir si ( )tα ′ satisfait l'équation de Schrödinger, nous calculons sa dérivée par

rapport au temps à partir de (15) :

(19) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttHUtdt

dHt

dt

di t ατατα +−≈′h

Au premier ordre en τ , le coté droit est égal à

(20) ( ) ( ) ( )ttHtdt

dH αατ ′+′−

et ainsi ( )tα ′ n'obéit pas à l'équation de Schrödinger. En d'autres mots, si l'hamiltonien change au

cours du temps, le système déplacé dans le temps se trouve dans un environnement altéré et donc ne se développera pas correctement dans le temps. Dans le cas où H est constant, on peut d'abord penser qu'il y a une contradiction avec la relation connue

(21) ( ) ( )0/ αα hiHtet −=

et la relation (15) qui s'écrit avec (18)

(22) ( ) ( )tet Hi αα τ h/=′

Le fait qu'elles sont en accord peut être vu en posant τ−=t dans la première équation et t = 0 dans la seconde, auquel cas, elles deviennent

(23) ( ) ( )0/ ατα τ hHie=− et ( ) ( )00 / αα τ hHie=

respectivement. L'équation (14) avec τ−=t montre alors que les deux cotés gauches sont égaux.

Cela peut être mis en mots en disant que ( )tα ′ a en τ−=t la structure de ( )tα en t = 0 et donc

peut être obtenue à partir de ( )τα en la laissant évoluer à rebours dans le temps de τ à 0.

II.2 Symétries discrètes Une symétrie discrète correspond à la transformation d'une quantité (ou plusieurs) prenant seulement des grandeurs discrètes, tel que -1 et +1, par exemple. On a déjà parlé de la symétrie miroir correspondant à une inversion gauche - droite. La parité a déjà été rencontrée plus tôt avec les équations de Schrödinger à une ou trois dimensions. Aussi longtemps que l'énergie potentielle est inchangée lorsque la coordonnée r est remplacée par -r, les fonctions propres de l'énergie peuvent être choisies comme restant inchangées ou changeant

de signe lorsque r change de signe, c'est-à-dire qu'elles ont la parité paire ou impaire. Nous allons commencer par un exemple simple de symétrie par inversion puis nous généraliserons en appliquant la méthode de la section précédente à la relation entre parité et opération de symétrie d'inversion de l'espace ( )rr −→ .

Notons en passant que la symétrie miroir n'est pas tout à fait la même que la symétrie d'inversion de l'espace puisque dans la symétrie miroir, une seule des coordonnées (celle perpendiculaire au miroir) est renversée. La distinction n'est importante que si les trois directions de l'espace jouent un rôle dans le problème étudié. Nous considérerons ensuite la symétrie par renversement du temps. Les équations classiques du mouvement pour des particules qui se déplacent sous l'influence de forces conservatives sont symétriques quand le sens de la progression du temps est renversée puisqu'elles impliquent des dérivées secondes en le temps. Cependant, le fait que l'équation de Schrödinger est du premier ordre en la dérivée du temps tandis que les équations newtoniennes sont du second ordre introduit de nouvelles propriétés physiques intéressantes dans le traitement des situations quantiques. Nous terminerons en parlant brièvement de la symétrie par inversion des charges et ses conséquences.

La molécule d'hydrogène Un exemple très simple est fourni par l'ion de la molécule d'hydrogène, nous aurions pu aussi bien considérer la molécule d'ammoniac, pour lequel il existe deux états. Nous prenons pour états de base, d'une part celui pour lequel l'électron est voisin du proton numéro 1 et d'autre part celui pour

lequel l'électron est voisin du proton numéro 2. Ces deux états, désignés par 1 et 2 , sont

représentés ci-dessous (a).

Pour autant que les deux noyaux soient absolument identiques, ce système physique présente une certaine symétrie. En effet, si nous faisions une réflexion du système par rapport au plan médian des protons, tout ce qui se trouve d'un côté du plan étant transporté dans la position symétrie, nous aboutirions à la figure (b) ci-dessus. Comme les protons sont identiques, l'opération de réflexion

change 1 en 2 et 2 en 1 . Nous désignerons cette opération de réflexion par P et nous

écrirons

(1) 12ˆ21ˆ == PP

P a des éléments de matrice que l'on peut définir à l'aide de la notation usuelle. Plus précisément

(2) 1ˆ111 PP = et 2ˆ112 PP =

sont les éléments de matrice obtenus en multipliant 1P et 2P à gauche par 1 . Du fait de (1),

ils ont pour valeur

(3) 1112ˆ1

0211ˆ1

12

11

===

===

PP

PP

On détermine de la même manière 21P et 22P . Par rapport au système de base 1 et 2 , la matrice

P s'écrit

(4)

=

01

10P

Inversion de l'espace Revenons maintenant à l'inversion des coordonnées ( )rr −→ dans le cas général. La matrice

appliquée aux coordonnées qui produit l'inversion est :

(5)

−−

−=

100

010

001

I

ainsi rr −=I . Il est évident que I est réel et orthonormal, mais son déterminant est égal à -1, ainsi ce n'est pas une rotation propre. Toute matrice orthonormale 33× avec un déterminant peut être écrite comme un produit de I et d'une rotation propre. La matrice unité et I en eux-mêmes forment un groupe discret avec deux éléments et tel que 12 =I .

L'inversion d'un système physique dans un état représenté par le ket α ou la fonction d'onde

( )rαψ le change en l'état représenté par α ′ ou ( )rαψ ′ . La relation entre les deux états est

supposée être (6) ( ) ( )rr αα ωψψ =′ I

où ω est un nombre dont nous discuterons plus loin. L'introduction de ce nombre dans (1) et son absence dans l'approche précédente est la conséquence de la nature discrète du groupe d'inversion contrairement à la nature continue des translations. Un tel nombre introduit dans les équations précédentes aurait dépendu de manière continue de ρ ou τ et approché l'unité lorsque ces

paramètres approchent de zéro puisque alors αα =′ à la limite. On peut alors montrer qu'il n'a

pas de conséquence physique.

Opérateur inversion unitaire L'opérateur inversion unitaire IU est défini par

(7) αα ′=IU ou ( ) ( )rr αα ψψ ′=IU

La substitution de (6) dans la deuxième équation de (7), suivi par une deuxième opération avec IU

donne

(8) ( ) ( ) ( ) ( )rrrr αααα ψωψωψψ 22 =−= II UU

Deux inversions remettent les coordonnées de l'espace dans leur état d'origine, et ainsi 2IU

transforme un état en lui-même. Dans une telle situation, l'état ne peut pas changer sa norme, bien

qu'il puisse être multiplié par un facteur de phase de grandeur unité. Donc 2ω est un nombre de grandeur unité d'où il suit que ω aussi. Il est aussi vrai que ω doit être le même pour tous les états qui peuvent être superposés les uns avec les autres, c'est-à-dire pour tous les états qui peuvent être utilisés pour décrire le même système de particules. Par exemple, si

(9) ( ) ( )∑=α

ααψψ rr a

où les αa sont un ensemble de coefficients numériques. Alors

(10) ( ) ( )∑=α

ααα ψωψ rr aU I

22

qui sera en général un état différent de ( )rψ sauf si les 2αω sont tous les mêmes.

Nous supposerons que ω a une valeur définie pour chaque type de particule. On verra avec les rotations qu'une rotation de π2 d'une particule de spin entier laisse sa fonction d'onde inchangée (ce qui semble intuitivement logique, mais nous verrons que pour les particules de spin demi-entier, l'intuition est trompeuse) et nous nous attendons à ce que ce soit vrai aussi pour deux inversions de

l'espace. Donc, 12 =ω et 1±=ω . Nous verrons que pour les particules de spin demi-entier, le produit de paires d'entre elles peut être superposé pour obtenir des états de spin entier. Donc, on

s'attend à ce que 2ω pour une particule de spin demi-entier puisse être égal aux valeurs possibles de ω pour une particule de spin entier. Ces valeurs sont 1± , tel qu'une particule de spin demi-entier peut avoir i±±= ,1ω .

Parité intrinsèque La détermination expérimentale de ω pour différentes particules implique leurs interactions

mutuelles. En particulier, on a trouvé qu'un méson 0π (pion neutre), qui a un spin zéro, se désintègre en deux photons, ainsi sa parité intrinsèque peut être trouvée relativement à celle du champ électromagnétique et correspond à 1−=ω . Cela suppose que la parité du système est conservée durant le processus de désintégration, ce qui est confirmé par l'étude de nombreuses interactions (sauf dans certains cas, voir plus bas). Le pion neutre est donc dit avoir une parité intrinsèque impaire ou être une particule pseudoscalaire. C'est à mettre en contraste avec une particule de spin zéro avec 1+=ω qui serait appelée une particule scalaire. La parité intrinsèque

des mésons 1±π (pions chargés), qui ont aussi un spin 0, ne peut pas être trouvée relativement à celle du champ électromagnétique puisque la conservation de la charge électrique empêche leur désintégration en photons. Cependant, les pions chargés peuvent être créés ou détruits à travers des interactions de nucléons (protons et neutrons) et ainsi leur parité intrinsèque peut être trouvée relativement à celle des nucléons, à nouveau la conservation de la parité durant l'interaction est supposée. L'usage habituel assigne la parité paire aux nucléons et la parité impaire aux pions.

Etats inversés et opérateurs L'équation du mouvement d'un état inversé peut être trouvée de la même manière que pour les états déplacés. Comme attendu, on trouve que si un ket particulier obéit à l'équation de Schrödinger, alors le ket inversé aussi pourvu que [ ] 0, =HU I . Dans ce cas, H et IU peuvent être diagonalisés

simultanément tel que les états propres de l'énergie peuvent être choisis pour avoir des parités bien

définies. De plus, si α et αIU sont linéairement indépendants, il doit y avoir une

dégénérescence de l'énergie. Les éléments de matrice d'une variable dynamique Ω pour les états inversés sont égaux aux

éléments de matrice correspondants de II UU Ω+ pour les états originaux. Puisque IU est définit

unitaire, la multiplication de la première équation (8) à gauche par +IU donne

(11) ( ) ( )rr −= +αα ψωψ IU ou ( ) ( )rr −= −+

αα ψωψ 1IU

Nous pouvons alors évaluer II UU r+ en le laissant opérer sur un état arbitraire ( )rαψ :

(12) ( ) ( ) ( ) ( )rrrrrr ααα ψωωωψψ −=−= −++ 1III UUU

et ainsi

(13) rr −=+II UU

De même, puisque ∇−= hip , il est facile de voir que

(14) pp −=+II UU

Les équations (13) et (14) sont accord avec ce qu'on s'attendrait classiquement des propriétés de l'inversion de l'espace pour les coordonnées et impulsions.

Renversement du temps

Le renversement du temps d'un état représenté par le ket α ou la fonction d'onde αψ les changent

en le ket α ′ ou la fonction d'onde αψ ′ qui se développent dans le sens opposé de la progression

du temps. Pour ces états, le signe de l'impulsion est renversé mais les autres quantités comme les coordonnées restent inchangées. Le renversement du temps est effectué par un opérateur indépendant du temps T tel que

(15) αα ′=T ou αα ψψ ′=T

Nous supposerons dans ce qui suit que T est une opération de symétrie pour les systèmes physiques fermés isolés. Jusqu'à présent toutes les expériences sont consistantes avec cette hypothèse (à

l'exception notable de la désintégration des mésons K et B). Cela signifie que si k ou ku

représente un état propre de l'hamiltonien (qui est constant dans le temps) avec la valeur propre de

l'énergie kE , alors kT ou kTu représente aussi un état propre avec la même valeur propre.

A un moment particulier, disons t = 0, la fonction d'onde αψ peut être développée en terme des

fonctions propre de l'énergie ku comme

(16) kkl uaS ααψ =

Nous considérons maintenant deux paires d'opérations qui peuvent être effectuées sur αψ dont on

s'attend à ce qu'elles conduisent au même état physique. Dans le premier cas, nous laissons l'état de propager jusqu'au temps t puis nous le renversons. Dans le second cas, nous le renversons en t = 0 et ensuite nous laissons l'état renversé se propager avec le sens opposé de la progression du temps jusqu'au temps -t. On s'attend au même résultat dans la mesure où T est une symétrie et doit donc commuter avec H. Avec la première paire d'opérations, la propagation au temps t transforme (16) en

(17) k

tiE

kk uea kS h/−α

Si nous tentons maintenant que T est un opérateur linéaire (et nous allons voir que cela nous conduit immédiatement à une contradiction), le renversement du temps donne

(18) k

tiE

kk Tuea kS −α

Avec la seconde paire d'opérations, le renversement du temps en t = 0 transforme (16) en

(19) kkk TuaS α

Puisque la valeur propre de l'énergie de kTu est kE , la propagation jusqu'au temps -t donne alors

(20) k

tiE

kk Tuea kS h/α

Il est évident qu'en général les fonctions d'onde (18) et (20) ne sont pas des multiples l'une de l'autre comme cela aurait dû être si elles représentaient le même état physique. Donc, T ne peut pas être un opérateur linéaire.

Opérateurs antilinéaires La contradiction précédente est clairement reliée d'une certaine manière à l'opération de conjugaison complexe. Ce n'est pas surprenant puisqu'un changement de signe de t dans l'équation

de Schrödinger de αψ la change en l'équation pour ∗αψ pourvu que H soit réel et indépendant du

temps. Donc, au lieu de supposer que T est un opérateur linéaire avec la propriété (21) ( ) 22112211 ψψψψ TaTaaaT +=+

nous essayons l'hypothèse que T a la propriété

(22) ( ) 22112211 ψψψψ TaTaaaT ∗∗ +=+

Un tel opérateur est dit antilinéaire. Avec l'hypothèse (22) pour T, les deux états (18) et (20) deviennent tous les deux

(23) k

tiE

kk Tuea kS h/∗α

et la contradiction disparaît. L'application de T des deux cotés de l'équation de Schrödinger

(24) αα ψψ

Ht

i =∂

∂h

donne

(25) ( )

αα ψψ

THt

Ti =

∂∂

− h

Donc, si T commute avec l'hamiltonien, tel que (26) [ ] 0, =HT

alors αψT satisfait l'équation de Schrödinger avec T remplacé par -t, comme attendu. Il suit aussi

de (26) que kTu est une fonction propre de l'énergie avec la valeur propre kE comme supposé ci-

dessus. Donc, la condition que T est une opération de symétrie est que l'équation (25) soit satisfaite. La situation ici n'est pas différente de celle avec les opérations de symétrie unitaires discutées précédemment.

Opérateurs antiunitaires Un opérateur antilinéaire peut être exprimé comme le produit d'un opérateur linéaire et l'opérateur conjugaison complexe K qui est définit par

(27) ∗= ψψK

pour une fonction arbitraire ψ . Nous notons que 12 =K . Une classe particulièrement utile

d'opérateurs antilinéaires consiste en ceux pour lequel l'opérateur linéaire qui multiplie K est unitaire. De tels opérateurs sont dits antiunitaires. Il est évident que K lui-même est antilinéaire et antiunitaire. On montre facilement que le produit scalaire de deux fonctions d'état est changé en son complexe conjugué quand on opère sur les états avec le même opérateur antiunitaire. Le même argument montre que la norme d'un état est inchangée puisqu'elle est réelle. Il est plausible de s'attendre à ce que les normes des états et les grandeurs absolues des produits scalaires des paires d'états soient inchangées par renversement du temps. Nous supposons donc que T est antiunitaire et nous l'écrivons sous la forme (28) UKT = où U est unitaire. Si H est complexe, comme avec le potentiel du modèle optique, la condition (27) nécessite que U

transforme ∗H en H : HUUH =+∗ . Il n'y a en général pas d'opérateur unitaire qui a cette propriété et donc ces systèmes physiques représentés par un hamiltonien complexe ne sont pas invariants par renversement du temps (notez qu'en dépit de cela, le théorème de réciprocité est valide dans cette situation). Ce résultat n'est pas surprenant puisque l'absorption de particules par un potentiel complexe spécifie un sens particulier de progression du temps. La situation est ici approximativement analogue à la friction dans le mouvement d'une particule classique ou à la viscosité en hydrodynamique classique qui introduisent des forces qui changent de signe quand la vitesse change de signe détruisant ainsi l'invariance par renversement du temps. Le potentiel

complexe en mécanique quantique tout comme la friction ou la viscosité en mécanique classique fournissent une simple description phénoménologique de situations beaucoup plus compliquées et n'impliquent pas en eux-mêmes une perte de l'invariance par renversement du temps à un niveau plus élémentaire.

Symétrie C et théorème CPT En dehors de la symétrie P (symétrie par inversion de l'espace) et de la symétrie T (symétrie par renversement du temps), il existe aussi une autre symétrie discrète appelée symétrie C. Cette symétrie dite de conjugaison de charge consiste à changer le signe de toutes les charges des particules (charges électriques ou d'autres natures). Typiquement, l'application de cette symétrie consiste à remplacer les particules par les antiparticules. Ainsi, un électron, portant une charge négative, est transformé en positron, porteur d'une charge électrique positive. On a longtemps cru que ces symétries étaient exactes. Mais ce n'est pas le cas. Si l'interaction électromagnétique ainsi que l'interaction forte (interaction nucléaire) respectent ces symétries, ce n'est pas le cas de l'interaction faible. Ainsi, les neutrinos n'existent que dans un seul état de chiralité. La chiralité étant la valeur du spin dans la direction du mouvement ou, pour un système classique, le mouvement en tire-bouchon d'un objet qui avance en tournant. Les neutrinos ont uniquement une chiralité gauche (le mouvement de rotation, vu par l'arrière, est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre), tandis que les antineutrinos sont uniquement de chiralité droite. La symétrie P change le sens de la chiralité. Par conséquent, lorsque l'on applique la symétrie P dans une situation où il y a un neutrino, on obtient un neutrino de chiralité droite, ce qui est physiquement impossible. La symétrie P n'est ainsi pas respectée. Un exemple typique est la désintégration bêta de certains noyaux atomiques où un des neutrons se désintègre en un proton, un électron et un antineutrino, l'électron étant éjecté du noyau à grande vitesse (radioactivité bêta). Ce type de désintégration, dû à l'interaction faible, viole la symétrie P. Cela a des conséquences sur les sections efficaces et peut être mesuré. Il en est de même de la symétrie C. Puisqu'elle change le neutrino en antineutrino, mais sans modifier la chiralité, on a une violation maximale de cette symétrie dans la désintégration bêta.

On comprend tout de suite que la combinaison CP, elle, ne pose pas ce problème car si on applique une inversion de l'espace et un changement de signe des charges, le neutrino gauche est remplacé par un antineutrino droit, ce qui est valide. La désintégration bêta respecte la symétrie CP. On a alors pensé que cette symétrie, CP, ainsi que T étaient tout le temps respectés. Il reste aussi à envisager la combinaison des trois symétries, notée CPT, où on inverse à la fois l'espace, le temps et les charges électriques. Des considérations très générales et très peu contraignantes, que nous ne détaillerons pas ici, utilisant les postulats de la mécanique quantique et de la relativité restreinte impliquent que la symétrie CPT doit être respectée par tout phénomène physique. C'est une véritable symétrie de la nature. Une des conséquences de ce théorème est qu'il implique l'existence de l'antimatière ou, plus précisément, il implique que les particules de l'antimatière sont les mêmes que celles de la matière (même masse, même spin,…) mais avec des charges opposées. Mais ce théorème ne dit rien de la combinaison CP seule. Et, en effet, on a découvert que cette symétrie n'était pas respectée par la désintégration du méson K neutre (ainsi que celle du méson B). Cette violation est très faible, contrairement à la violation précédente. A noter qu'on montre que cela implique un léger avantage, dans les réactions, à la matière ou à l'antimatière selon la violation. Rappelez-vous dans l'étude de la désintégration du méson K que l'on avait une transformation progressive des 0K en 0K (l'antiparticule du 0K ). Enfin, puisque la combinaison CPT est toujours respectée, si la combinaison CP est violée, alors la symétrie T doit aussi être légèrement violée par la désintégration du méson K (pour que la violation compense celle de CP et permette à la symétrie CPT d'être respectée, comme dans la combinaison CP dans le cas de la désintégration bêta). Ce qui a pu être expérimentalement mis en évidence.

C'est le seul phénomène physique connu (avec le méson B), à un niveau fondamental, qui viole la symétrie par renversement du temps.

II.3. Symétries et lois de conservation

II.3.1. Symétrie et conservation Nous avons déjà vu avec les symétries des translations spatiales et temporelles que l'existence de ces symétries était liée au fait que l'opérateur des translations commutait avec l'hamiltonien. Par conséquent, cet opérateur devient une quantité conservée et, en particulier, la symétrie sous les translations spatiales implique la conservation de l'impulsion et la symétrie sous les translations dans le temps implique la conservation de l'énergie. Cette relation entre symétries et conservation est en fait une généralité et nous allons examiner cela de plus prêt.

Parlons maintenant d'une situation générale. Supposons que l'on ait au départ un état 1ψ et qu'à

tel ou tel moment dans les conditions physiques données, il soit passé à l'état 2ψ . On peut écrire

(1) 12ˆ ψψ U=

où U est l'opérateur d'évolution. Supposez que nous fassions subir à l'ensemble du système

l'opération Q (une transformation unitaire). L'état 1ψ est transformé en l'état 1ψ ′ , que nous

pouvons aussi écrire 1ˆ ψQ . De même, l'état 2ψ est changé en 22

ˆ ψψ Q=′ . Si la physique est

symétrique pour Q (n'oubliez pas le si car il ne s'agit pas nécessairement d'une propriété générale

de tous les systèmes), alors, après le même laps de temps et dans les mêmes conditions, nous devrions avoir

(2) 12ˆ ψψ ′=′ U

Mais nous pouvons écrire 1ˆ ψQ à la place de 1ψ ′ et 2

ˆ ψQ à la place de 2ψ ′ et l'équation (2)

peut se récrire

(3) 12ˆˆˆ ψψ QUQ =

En remplaçant maintenant 2ψ par 1ˆ ψU , d'après (1), nous obtenons

(4) 11ˆˆˆˆ ψψ QUUQ =

Il n'est pas difficile de comprendre ce que cela signifie. Par exemple, en reprenant un exemple précédent, cela veut dire "faire une réflexion et attendre un moment", c'est le terme de droite, équivaut à "attendre un moment puis faire une réflexion", c'est le terme de gauche. Ceci doit être vrai pour autant que U ne change pas sous la réflexion.

Puisque (4) est vrai quel que soit l'état de départ 1ψ , on doit avoir la relation entre les opérateurs

(5) QUUQ ˆˆˆˆ =

C'est là où nous voulions en venir. Nous avons une expression mathématique de symétrie. Lorsque

la relation (5) est vraie, alors U et Q commutent : [ ] 0ˆ,ˆ =UQ . Nous pouvons maintenant définir la

symétrie de la manière suivante : un système physique est symétrique par rapport à l'opération Q si

Q commute avec U , l'opérateur d'évolution dans le temps.

Incidemment, puisque pour un temps infiniment petit, nous avons h/1ˆ εiHU −= , vous voyez que si (5) est vrai, l'équation suivante est également vraie

(6) [ ] 0ˆ, =QH

Ainsi (6) constitue l'expression mathématique de la symétrie d'une situation physique sous

l'opération Q . (6) définit une symétrie.

Supposez que nous ayons affaire à une situation très particulière, telle que si nous faisons agit

l'opérateur Q sur un état, nous obtenons le même état. C'est un cas très particulier, mais admettons

que, pour un état 0ψ , 0ˆ ψψ Q=′ soit physiquement le même état que 0ψ . Autrement dit,

ψ ′ est le même état que 0ψ à quelque facteur de phase près.

Incidemment, vous pouvez montrer que Q est un opérateur unitaire. Autrement dit, s'il agit sur ψ

pour donner un certain nombre que multiplie ψ , ce nombre doit être de la forme δie , où δ est

réel. C'est un point mineur dont la preuve repose sur la remarque suivante. Aucune opération du type réflexion, translation ou rotation ne donne lieu à la perte d'une particule. La normalisation de

ψ et ψ ′ doit donc être la même, elles ne peuvent différer que par un facteur de phase purement imaginaire. Comment cela peut-il se produire ? Prenons l'exemple de l'ion hydrogène avec ses deux états, avec

l'électron localisé autour de chaque proton, 1 et 2 . Définissons deux nouveaux états de base :

(7)

2

21

2

21

−=

+=

II

I

Dans l'état I , l'électron a une amplitude égale d'être dans les états de base 1 et 2 .

Les probabilités sont représentées par les zones hachurées dans la figure (a) ci-dessus. Si nous

opérons sur I avec l'opérateur de réflexion P , nous aboutissons à un état inversé, 1 étant

changé en 2 et 2 en 1 . Or, c'est à nouveau très exactement l'état I . Si nous avons au départ

l'état II , les probabilités avant et après réflexion se révèlent identiques. Pourtant, si l'on considère

les amplitudes, il y a une différence. Pour l'état I , les amplitudes sont les mêmes après réflexion,

mais pour l'état II elles ont des signes opposés. En d'autres termes

(8)

IIPIIP

IPIP

−=−

=

−

=

=+

=

+

=

2

12

2

21ˆˆ

2

12

2

21ˆˆ

Si on écrit 00ˆ ψψ δieP = , on doit avoir 1=δie pour l'état I et 1−=δie pour l'état II .

Bien évidemment, s'il arrive qu'il soit vrai qu'à un moment donné, disons t = 0, un opérateur Q

change seulement la phase, ceci reste vrai à n'importe quel autre moment. Autrement dit, si l'état

1ψ se transforme en l'état 2ψ après un temps t

(9) ( ) 210,ˆ ψψ =tU

et si la symétrie de la situation est telle que

(10) 11ˆ ψψ δieQ =

alors l'équation ci-dessous est aussi vraie

(11) 22ˆ ψψ δieQ =

Ceci se comprend aisément puisque

(12) 112ˆˆˆˆˆ ψψψ QUUQQ ==

(selon (5)) et si 11ˆ ψψ δieQ = , alors

(13) 2112ˆˆˆ ψψψψ δδδ iii eUeeUQ ===

(puisque qu'un nombre commute avec un opérateur). Ainsi, sous certaines symétries, quelque chose qui est vrai à l'instant initial reste toujours vrai. Mais n'est-ce pas là précisément une loi de conservation ? Eh oui ! Car cela veut dire que si, en faisant un petit calcul, vous découvrez qu'une opération qui est une opération de symétrie pour le système n'a d'autre effet que de multiplier l'état initial par un certain facteur de phase, alors vous savez que la même propriété sera vraie pour l'état final, la même opération multipliera l'état final par le même facteur de phase. Cette proposition est toujours vraie, même lorsque l'on ne sait rien quant au mécanisme interne de l'univers responsable de l'évolution de son état initial à son état final. Même si nous ne nous soucions pas des rouages de la mécanique qui fait passer le système d'un état à un autre, nous pouvons affirmer que, si une certaine chose est initialement dans un état ayant une certaine symétrie et si l'hamiltonien concernant cette chose est lui-même symétrique sous la même opération de symétrie, alors cet état gardera continuellement cette symétrie. C'est le fondement de toutes les lois de symétrie de mécanique quantique. Un exemple typique est l'opération d'inversion de l'espace qui, si elle est une symétrie, implique la conservation de la parité.

La relation (12) montre d'ailleurs que si 2ψ est un vecteur propre de Q avec une valeur propre u,

alors après l'action de l'opérateur d'évolution, le résultat sera toujours un état propre avec la valeur propre u. Ceci est bien normal puisque cet opérateur revient à multiplier l'état par une simple phase. La valeur propre correspondant à une grandeur mesurable (tel que la parité ou l'impulsion ou l'énergie), dans ce cas, cette grandeur est conservée. Ce résultat est général et est une formulation particulière d'un théorème très général appelé théorème de Noether (plus général car il s'applique à tout système, quantique ou classique, de particules ou de champs) qui associe une symétrie à une grandeur conservée. Cette relation entre symétrie et lois de conservation n'est pas nécessairement intuitive et est une relation très profonde de la physique.

II.3.2. Les lois de conservation Nous allons récapituler les symétries et les lois de conservation. Mais avant cela, nous allons anticiper un peu en regardant les rotations (nous les étudierons spécifiquement et en détail plus loin). Considérons le cas d'un opérateur qui impose à un système atomique une rotation d'un angle φ

autour de l'axe z. Nous désignerons cet opérateur par ( )φzR . Très précisément, nous définirons

( )φzR comme la rotation du système physique de l'angle φ− autour de l'axe z, ce qui revient au

même que la rotation du référentiel de l'angle φ+ . Nous supposerons que, le long des axes x et y,

aucune influence extérieure ne s'exerce sur le système physique considéré. S'il y a un champ électrique ou magnétique, nous le supposerons parallèle à l'axe z. On peut toujours choisir z le long de la direction du champ, si du moins il n'y a qu'un champ à la fois et si sa direction de varie pas. Ainsi, si nous avons un atome dans l'espace vide et si nous le faisons tourner d'un angle φ autour

de l'axe z, nous obtenons le même système physique.

Or il existe certains états particuliers tels que l'opération considérée produise un nouvel état identique à l'état original multiplié par un certain facteur de phase. Faisons une rapide digression pour vous montrer que, dans ce cas, la variation de phase doit toujours être proportionnelle à l'angle φ . Supposez que vous fassiez deux fois la rotation d'angle φ , ce qui revient au même que de faire

une seule rotation d'angle φ2 . Si la rotation par φ a pour effet de multiplier l'état 0ψ par une

phase δie , de sorte que

(1) ( ) 00ˆ ψψφ δiz eR =

alors deux rotations successives doivent multiplier l'état par ( ) δδ 22 ii ee = car

(2) ( ) ( ) ( ) ( ) 0000ˆˆˆˆ ψψφψφψφφ δδδδ ii

z

ii

zzz eeReeRRR ===

La variation de phase doit donc être proportionnelle à φ . Pour faire une démonstration plus

raffinée, il faudrait reprendre ce raisonnement en utilisant des petites rotations ε . Etant donné que tout angle φ est la somme d'un certain nombre n de ces rotations εφ n= , on a ( ) ( )[ ]nzz RR εφ ˆˆ = . La

variation totale de la phase est donc n fois la variation pour le petit angle ε , elle est donc proportionnelle à φ .

Nous allons donc considérer les états particuliers pour lesquels

(3) ( ) 00ˆ ψψφ φim

z eR =

où m est un nombre réel. Nous connaissons aussi le fait remarquable suivant : si le système est symétrique pour une rotation autour de z et si l'état initial répond à la propriété (3), alors il continuera à vérifier cette propriété par la suite. Ce nombre m a donc une très grande importance. Si nous connaissons sa valeur au début du jeu, nous connaissons sa valeur à la fin du jeu. C'est un nombre qui est conservé, m est une constante du mouvement. Si nous avons pris soin d'isoler ce facteur m, c'est qu'il n'a rien à faire avec quelque valeur particulière de φ , c'est aussi parce qu'il correspond à quelque chose en

mécanique classique. En mécanique quantique, nous décidons que hm , pour des états tels que

0ψ , définit le moment cinétique par rapport à l'axe z. Si nous faisons cela, nous trouvons que

cette même quantité, dans le cas limite des systèmes de grandes dimensions, est égale à la composante z du moment cinétique de la mécanique classique. Donc, si une rotation autour de z

n'introduit qu'un facteur de phase φime , c'est que l'on a affaire à un état de moment cinétique défini par rapport à cet axe. Le moment cinétique est alors conservé. C'est hm maintenant et pour toujours. Bien entendu, vous pouvez prendre n'importe quel axe pour la rotation et établir éventuellement la conservation du moment cinétique par rapport à cet axe. Comme vous venez de le voir, la conservation du moment cinétique est reliée au fait que le système redonne le même état après rotation, au seul facteur de phase près. Une autre classe importante des symétries est celle des symétries internes. Dans ce cas ci, on ne modifie pas une grandeur géométrique telle que la position mais on modifie un paramètre interne du système. Un cas typique est celui des champs (champ électromagnétique, par exemple). Dans ce cas, le système être décrit par une quantité plus complexe que la fonction d'onde d'une particule. Ce peut être un champ représentant un grand nombre de particules (par exemple des photons pour le champ électromagnétique) et prenant une valeur plus ou moins complexe en tout point (scalaire, vectorielle, tensorielle,...). Nous n'insisterons pas trop sur cette situation qui fait partie du domaine de la théorie des champs. Mais on peut dire ceci. Le champ peut être doté d'une phase, tout comme notre fonction d'onde. En fait, dans le cas où le champ est scalaire complexe, il prend mathématiquement la même forme (même si son interprétation physique est totalement différente puisqu'il s'agit ici d'un système à plusieurs particules et même un nombre de particules pouvant varier). On peut effectuer un changement global de phase en multipliant la valeur du champ par un facteur de phase identique en tout point. Dans ce cas, si les équations d'évolutions sont invariantes sous ce changement, c'est-à-dire si le système possède une symétrie interne par rapport à ce changement, alors il y a là aussi une quantité conservée, une charge. Dans le cas du champ électromagnétique et des électrons, on montre même que cette quantité s'identifie à la charge électrique. Nous n'en dirons pas plus, mais ce point remarquable méritait d'être signalé. Faisons un récapitulatif. Symétrie Loi de conservation

Symétrie P (inversion spatiale) Parité Translations spatiales Impulsion

Translations temporelles Energie En relativité, les translations spatio-

temporelles

Tenseur énergie-impulsion

Rotations Moment cinétique Changement de phase d'un champ Charge (électrique ou autre)

III. Spin Nous allons maintenant attaquer plus en détail tout ce qui concerne les rotations et le spin. C'est un sujet très intéressant mais aussi assez difficile car le spin est un concept assez éloigné des comportements classiques. Nous allons donc faire une analyse progressive spin par spin avant de voir un traitement plus général et rigoureux. Le sujet étant assez délicat et difficile à comprendre, une approche très progressive à partir d'un raisonnement particulièrement élémentaire s'avère utile. En ce qui concerne le spin, les rotations dont il s'agit ici sont les rotations sur soi-même, comme une toupie (on parle de rotation propre), et pas les rotations autour de quelque chose, comme une planète autour du Soleil, bien que dans ce dernier cas on puisse aussi définir une notion semblable : le moment angulaire de rotation et nous en reparlerons. A l'échelle des particules, le principe d'indétermination interdit d'avoir une position précise et une vitesse précise en même temps. Or, ces deux quantités sont indispensables pour définir une trajectoire (il faut pouvoir dire en quel point passe la particule et la direction qu'elle prend). La notion de trajectoire à l'échelle des particules est donc particulièrement floue voire trompeuse. Les particules ne sont pas non plus de petits corpuscules dur de taille bien déterminée. Donc, dans ce cadre, parler de la rotation d'une particule comme une toupie est assez abusif. Comment définir la rotation d'un objet dont la taille, la position et le mouvement sont eux-mêmes mal définis ? Toutefois, on peut parler de la rotation "autour" de la particule. C'est-à-dire considérer que c'est non pas la particule qui tourne mais l'observateur qui tourne autour de la particule. Cette conception là ne pose pas de problème.

On adopte ainsi le point de vue passif des rotations, que nous avons déjà vu : la particule est inchangée mais on fait tourner le système de coordonnées. Puisque adopter le point de vue passif ou actif est équivalent, il devient ainsi possible de parler des rotations propres. Toutefois, le point de vue passif est parfois difficile à se représenter mentalement. Donc, par abus de langage mais aussi par facilité et parce que cela aide à visualiser, nous parlerons de la rotation de la particule comme si il s'agissait d'un petit corpuscule dur et de taille bien déterminée. Mais il faut toujours bien garder à l'esprit que cette façon de voir est abusive. Elle peut d'ailleurs expliquer bien des aspects déroutants du spin !

III.1. Spin un

III.1.1. Filtrage des atomes avec un appareil de St ern-Gerlach Nous allons maintenant aborder un phénomène quantique tout à fait particulier et que nous allons décrire de façon complètement quantique. Nous ne nous en excuserons pas et nous n'essaierons pas de trouver des connexions avec la mécanique classique pour la bonne raison qu'elles n'existent pas toujours. Nous voulons parler de quelque chose de nouveau avec un langage nouveau. La situation particulière que nous allons décrire concerne ce qu'on appelle la quantification du moment cinétique, pour une particule de spin un. Mais nous n'allons pas pour l'instant utiliser des mots comme "moment cinétique" ou autres concepts de la mécanique classique. Nous avons choisi cet exemple particulier parce qu'il est relativement simple, quoique ce ne soit pas l'exemple le plus simple. Il est suffisamment compliqué pour pouvoir être considéré comme un prototype que l'on peut généraliser à la description de tout phénomène quantique. Ainsi, bien que nous traitions un exemple particulier, toutes les lois que nous mentionnerons seront immédiatement généralisables et nous donnerons la généralisation, si bien que vous pourrez voir les caractéristiques générales d'une description selon la mécanique quantique. Nous commençons avec le phénomène de la séparation d'un faisceau d'atomes en trois faisceaux différents dans une expérience de Stern-Gerlach.

Si nous prenons un champ magnétique non homogène, créé par un aimant dont une des pièces polaires a une forme pointue, et si nous envoyons un faisceau à travers cet appareil, le faisceau de particules peut être divisé en un certain nombre de faisceaux, ce nombre dépendant de la nature particulière des atomes et de leur état. Nous allons prendre le cas d'un atome qui donne trois faisceaux et nous appellerons cela une particule de spin un. Vous pouvez traiter vous-mêmes les cas à cinq faisceaux, sept faisceaux, deus faisceaux, etc. Vous n'avez qu'à recopier ce que nous allons faire et là où nous avons trois termes, vous aurez cinq termes, sept termes, et ainsi de suite.

Imaginez l'appareil dessiné schématiquement ci-dessus. Un faisceau d'atomes (ou de particules de n'importe quelle sorte) est défini par des fentes formant collimateur et passe à travers un champ non uniforme. Disons que le faisceau se déplace dans la direction y et que le champ magnétique et son gradient vont tous les deux dans la direction z. Alors, en regardant de coté, nous verrons le faisceau séparé verticalement en trois faisceaux, comme le montre la figure. A la sortie de l'aimant, nous pourrions placer des petits compteurs qui compteraient le taux d'arrivée des particules dans chacun des trois faisceaux. Nous pouvons aussi stopper deux des faisceaux et laisser le troisième continuer.

Supposez que nous arrêtions les deux faisceaux inférieurs et que nous laissions le faisceau supérieur continuer et enter dans un deuxième appareil de Stern-Gerlach du même genre, ainsi que le montre la figure ci-dessus. Que se passe-t-il ? Il n'y a pas trois faisceaux dans le deuxième appareil, il n'y a que le faisceau supérieur. Nous supposons que les angles de déflexion sont très petits (pour que la direction des particules reste approximativement la même par rapport au gradient du champ magnétique), ces déflexions son exagérées (par rapport à une vraie expérience) sur la figure pour plus de lisibilité. C'est ce que vous attendez si vous considérez le deuxième appareil comme une simple extension du premier. Les atomes qui ont été déviés vers le haut continuent à être déviés vers le haut dans le deuxième aimant. Vous pouvez voir que le premier appareil a produit un faisceau "purifié" d'objets, les atomes qui sont déviés vers le haut dans ce champ non homogène particulier. Les atomes, lorsqu'ils entrent dans l'appareil de Stern-Gerlach initial appartiennent à trois "variétés" et les trois espèces empruntent des trajectoires différentes. En filtrant toutes les variétés sauf une, nous pouvons faire un faisceau dont le comportement futur dans le même genre d'appareil est déterminé et prévisible. Nous appellerons cela un faisceau filtré ou un faisceau polarisé, ou un faisceau dans lequel on sait que les atomes sont dans un état défini.

Pour le reste de notre discussion, il sera commode de considérer un appareil de Stern-Gerlach quelque peu modifié. L'appareil semble plus compliqué tout d'abord, mais il rendra tous les arguments plus simples. De toute façon, comme il ne s'agit que "d'expériences de pensée", cela ne coûte rien de compliquer l'équipement (incidemment, personne n'a jamais fait les expériences que nous allons décrire exactement de cette façon, mais savons ce qui arriverait, grâce aux lois de la mécanique quantique, qui sont, bien sûr, basées sur d'autres expériences similaires. Ces autres expériences sont plus difficiles à comprendre, si bien que nous commencerons par décrire des expériences idéalisées, mais possibles).

La figure (a) ci-dessus montre un dessin de "l'appareil de Stern-Gerlach" modifié que nous voudrions utiliser. Il consiste en une séquence de trois aimants à forts gradients. Le premier (sur la gauche) est simplement l'aimant de Stern-Gerlach habituel et il sépare le faisceau incident de particules de spin un en trois faisceaux séparés. Le second aimant a la même forme, en coupe, que le premier, mais il est deux fois plus long et la polarité de son champ magnétique est l'opposé de l'aimant 1. Le deuxième aimant pousse les aimants atomiques dans la direction opposée et recourbe leurs trajectoires vers l'axe, comme indiqué sur la partie inférieure de la figure. Le troisième aimant est juste comme le premier et ramène les trois faisceaux ensembles, si bien que le trou de sortie est le long de l'axe. Finalement, nous voudrions imaginer qu'il y a en face du trou A quelque mécanisme qui peut mettre les atomes en mouvement et que, après le trou de sortie B, il y a quelque mécanisme de freinage qui ramène les atomes au repos en B. Cela n'est pas essentiel, mais cela voudra dire que dans notre analyse nous n'aurons pas à nous inquiéter des effets du mouvement des atomes et que nous pourrons nous concentrer sur ce qui n'a de rapport qu'avec le spin. Tout l'intérêt de la version "améliorée" est justement que l'appareil ramène toutes les particules à la même place et avec une vitesse nulle.

Maintenant, si nous voulons faire une expérience comme la précédente, nous pouvons d'abord faire un faisceau filtré en mettant au milieu de l'appareil une plaque qui stoppe deux des faisceaux, ainsi qu'on le voit ci-dessus. Si nous envoyons maintenant les atomes polarisés dans un second appareil du même type, tous les atomes prendront le chemin supérieur, comme on peut le vérifier en mettant des plaques similaires dans le chemin des différents faisceaux du deuxième filtre S et en regardant si les particules passent au travers.

Supposons que nous appelions le premier appareil S (nous allons considérer toutes sortes de combinaisons et nous aurons besoin de symboles pour que les choses restent claires). Nous dirons que les atomes qui prennent le chemin supérieur de S sont dans "l'état plus par rapport à S", ceux qui prennent le chemin du milieu sont dans "l'état zéro par rapport à S" et ceux qui prennent le chemin inférieur sont dans "l'état moins par rapport à S" (dans un langage plus courant, nous dirions que la composante du moment cinétique est h1+ , 0 et h1− , mais nous n'utilisons pas ce langage pour le moment). Maintenant, dans la figure précédente, le deuxième appareil est orienté exactement comme le premier, si bien que tous les atomes filtrés passent par le chemin supérieur. Par contre, si nous avions bloqué tous les faisceaux supérieurs et inférieurs du premier appareil et laissé seulement l'état zéro passer à travers, tous les atomes filtrés emprunteraient le chemin du milieu dans le deuxième appareil. Et si nous avions arrêté tous les faisceaux sauf le faisceau inférieur du premier appareil, nous obtiendrions seulement un faisceau inférieur dans le second appareil. Nous pouvons dire que dans chaque cas notre premier appareil a produit un faisceau filtré dans un état pur par rapport à S (+, 0 ou -) et nous pouvons vérifier quel état est présent en envoyant les atomes à travers un deuxième appareil identique. Nous pouvons construire notre deuxième appareil de façon à ce qu'il transmette seulement les atomes d'un état particulier, en plaçant des masques à l'intérieur comme nous l'avons fait pour le premier, et nous pouvons ensuite vérifier l'état du faisceau incident simplement en regardant si quelque chose sort de l'extrémité de l'appareil. Par exemple, si nous arrêtons les deux faisceaux inférieurs du second appareil, 100% des atomes passeront encore au travers, mais si nous arrêtons le faisceau supérieur, rien ne passera plus. Pour rendre ce genre de discussion plus facile, nous allons inventer une notation abrégée pour représenter nos appareils de Stern-Gerlach améliorés. Nous définirons le symbole

(1)

S

−

+0

pour un appareil complet (ceci n'est pas un symbole que vous trouverez employé dans la littérature, nous l'avons inventé tout exprès pour cette explication. C'est simplement une image abrégée de

l'appareil). Comme nous allons vouloir utiliser plusieurs appareils en même temps, et avec diverses orientations, nous identifierons chacun d'eux par une lettre placée sous le symbole. Ainsi, le symbole (1) indique l'appareil S. Si nous arrêtons un ou plusieurs faisceaux à l'intérieur de l'appareil, nous l'indiquerons par une barre verticale montrant quels sont les faisceaux arrêtés, comme ceci :

(2)

S

−

+0

Les différentes combinaisons que nous utiliserons sont indiquées ci-dessous.

Si nous avons deux filtres l'un après l'autre, comme dans l'expérience précédente, nous placerons les deux symboles l'un près de l'autre comme ceci :

(3)

SS

−

+

−

+00

Avec cette disposition, tout ce qui passe à travers le premier appareil passe à travers le deuxième. En fait, même si nous arrêtons les canaux "zéro" et "moins" du deuxième appareil, c'est-à-dire si nous avons

(4)

SS

−

+

−

+00

nous obtenons encore 100% de transmission par le deuxième appareil. Par ailleurs, si nous avons

(5)

SS

−

+

−

+00

rien ne sortira. De même,

(6)

SS

−

+

−

+00

ne donnera rien à la sortie. Par ailleurs,

(7)

SS

−

+

−

+00

serait exactement équivalent à

(8)

S

−

+0

Nous voulons maintenant décrire ces expériences de façon quantique. Nous dirons qu'un atome est dans un état (+S) s'il est passé à travers l'appareil de type (b), nous dirons qu'il est dans un état (0S)

s'il est passé à travers (c) et qu'il est dans un état (-S) s'il est passé à travers (d). Soit alors ab

l'amplitude pour qu'un atome dans un état a passe dans l'état b en traversant l'appareil. Nous

pouvons dire que ab est l'amplitude pour qu'un atome dans l'état a passe dans l'état b.

L'expérience précédente nous donne

(9) 1=++ SS

comme il se doit, alors que (5) nous donne

(10) 0=+− SS

comme attendu. De même, le résultat de (6) est

(11) 0=−+ SS

et celui de (7) est

(12) 1=−− SS

Tant que nous n'avons affaire qu'à des états "purs", c'est-à-dire tant que nous n'avons qu'un seul canal ouvert, il y a neuf de ces amplitudes et nous pouvons les écrire sous la forme d'une matrice qui résume les phénomènes que nous avons décrits.

(13)

−

+−+

000

010

001

0

0

S

S

S

SSS

à

de

III.1.2. Expériences avec des atomes filtrés C'est maintenant que se pose la grande question : que se passe-t-il si le deuxième appareil est basculé à un angle différent de façon que l'axe de son champ ne soit plus parallèle au premier ? Il pourrait être non seulement basculé, mais aussi pointé dans une direction différente, il pourrait, par exemple, prendre le faisceau à 90° de la direction originale. Pour nous rendre les choses plus aisées, pensons d'abord à un arrangement dans lequel le deuxième appareil de Stern-Gerlach est tourné d'un angle α autour de l'axe y, comme montré ci-dessus.

Supposons que nous préparions l'expérience suivante :

(1)

TS

−

+

−

+00

ou bien l'expérience

(2)

TS

−

+

−

+00

Que sort-il de l'extrémité du montage dans ces deux cas ? La réponse est la suivante : si les atomes sont dans un état défini par rapport à S, ils ne sont pas dans le même état par rapport à T, un état (+S) n'est pas aussi un état (+T). Il y a cependant une certaine amplitude pour trouver l'atome dans un état (+T) ou dans un état (0T) ou dans un état (-T). En d'autres termes, quel que soit le soin que nous avons pris pour nous assurer que les atomes étaient dans un état défini, le fait est que, si les atomes passent à travers un appareil orienté à un angle différent, ils ont, pour ainsi dire, à se réorienter, ce qu'ils font, ne l'oubliez pas, au hasard. Nous ne pouvons envoyer qu'une particule à la fois et nous ne pouvons donc que poser la question : quelle est la probabilité pour qu'elle traverse l'appareil ? Quelques-uns des atomes qui sont passés à travers S finiront dans un état (+T), quelques-uns dans un état (0T) et quelques autres dans un état (-T), chacun avec différentes chances. Ce que nous voulons c'est une méthode mathématique ou une description quantique pour ces amplitudes. Ce qu'il nous faut connaître ce sont des quantités comme

(3) ST +−

ce par quoi nous entendons : l'amplitude pour qu'un atome initialement dans un état (+S) aille dans un état (-T) (ce qui n'est pas zéro sauf si T et S sont parallèles). Il y a d'autres amplitudes telles que

(4) ST 0+ ou ST −0 , etc.

Il y a en fait neuf de ces amplitudes, formant une autre matrice, qu'une théorie des particules devrait nous permettre de calculer. Exactement comme F = ma nous dit comment calculer ce qui arrive à une particule classique dans n'importe quelles circonstances, de même les lois de la mécanique quantique nous permettent de calculer l'amplitude pour qu'une particule passe à travers un appareil

particulier. Le problème central est alors d'être capable de calculer, pour tout angle de rotation α , ou en fait pour n'importe quelle orientation, les neufs amplitudes

(5)

STSTST

STSTST

STSTST

−−−+−−+−++++

0

0000

0

Nous pouvons déjà calculer quelques relations parmi ces amplitudes. Tout d'abord, suivant nos définitions, le carré

(6) 2

ST ++

est la probabilité pour qu'un atome dans l'état (+S) aille dans un état (+T). Il sera souvent plus commode d'écrire de tels carrés sous la forme équivalente

(7) ∗++++ STST

Avec les mêmes notations, le nombre

(8) ∗++ STST 00

est la probabilité pour qu'un atome de l'état (+S) aille dans l'état (0T) et

(9) ∗+−+− STST

est la probabilité pour qu'elle aille dans l'état (-T). Mais les appareils sont faits de telle façon que tout atome qui entre dans l'appareil doit être trouvé dans l'un des trois états de l'appareil T, il n'y a pas d'autres places où aller, quel que soit l'atome considéré. Par conséquent, la somme des trois probabilités que nous venons juste d'écrire doit être égale à 100%. Nous avons la relation

(10) 100 =+−+−++++++++ ∗∗∗STSTSTSTSTST

Il y a, bien sûr, deux autres équations similaires que nous obtenons si nous partons avec un état (0S) ou un état (-S). Mais c'est là tout ce que nous pouvons obtenir facilement si bien que nous devons maintenant passer à quelques autres questions générales.

III.1.3. Filtres de Stern-Gerlach en série Voici une intéressante question : supposons que nous ayons des atomes filtrés dans l'état (+S), nous pouvons alors les envoyer à travers un deuxième filtre, dans un état (0T) par exemple, et ensuite à travers encore un autre filtre (+S) (nous appellerons le dernier filtre S' simplement pour pouvoir le distinguer du premier filtre S). Les atomes se rappellent-ils qu'ils ont été dans un état (+S) ? En d'autres termes, prenons l'expérience suivante :

(1)

STS ′

−

+

−

+

−

+000

Nous voulons savoir si tous ceux qui sont passé à travers T passent aussi à travers S'. Ils ne passent pas. Dès qu'ils ont été filtrés par T, ils ne se rappellent plus du tout qu'ils étaient dans un état (+S) lorsqu'ils entrèrent dans T. Notez que le deuxième appareil S dans (1) est orienté exactement de la même façon que le premier, si bien que c'est encore un filtre du type S. Les états filtrés par S' sont, bien entendu, encore (+S), (0S) et (-S). Le point important est celui-ci : si le filtre T laisse passer seulement un faisceau, la fraction qui passe à travers le deuxième filtre S ne dépend que du montage du filtre T et est complètement indépendante de ce qui précède celui-ci. Le fait que les mêmes atomes aient tout d'abord été triés par un filtre S n'a aucune influence sur ce qu'ils peuvent faire une fois qu'ils ont été triés en un faisceau pur par l'appareil T. Par conséquent, la probabilité pour obtenir différents états est la même quoi qu'il se soit passé avant que les atomes entrent dans l'appareil T. A titre d'exemple, comparons l'expérience (1) avec l'expérience suivante :

(2)

STS ′

−

+

−

+

−

+000

dans laquelle seul le premier S est changé. Disons que l'angle α (entre S et T) est tel que, dans l'expérience (1), un tiers des atomes qui passent à travers T passent aussi à travers S'. Dans l'expérience (2), quoi qu'il y ait en général un nombre différent d'atomes passant à travers T, la même fraction de ceux-ci, un tiers, passe aussi à travers S'. Nous pouvons montrer, en fait, en partant de ce que vous avez appris auparavant, que la fraction d'atomes qui sort de T et qui passe à travers un S' particulier dépend seulement de T et de S' et de rien de ce qui s'est passé auparavant. Comparons l'expérience (2) avec

(3)

STS ′

−

+

−

+

−

+000

L'amplitude pour qu'un atome qui est sorti de S passe aussi, à la fois à travers T et à travers S' est, pour les expériences de (2),

(4) STTS 000+

La probabilité correspondante est

(5) 222

000000 STTSSTTS +=+

La probabilité pour l'expérience (3) est

(6) 222

00000000 STTSSTTS =

Le rapport des deux est

(7) 2

2

0

00

TS

TS

+

et ne dépend que de T et de S' et non pas du faisceau (+S), (0S) ou (-S) sélectionné par S (les deux nombres peuvent croître ou décroître ensemble, selon ce qui se passe à travers T). Bien entendu,

nous trouverions le même résultat si nous comparions les probabilités pour que les atomes aillent dans les états plus ou moins par rapport à S' ou encore les probabilités par aller dans les états zéro ou moins. En fait, comme ces rapports ne dépendent que du faisceau que laisse passer T et pas de la sélection faite par le filtre S, il est clair que nous obtiendrions un résultat semblable même si le dernier appareil n'était pas un filtre S. Si nous utilisons comme troisième appareil, nous l'appellerons maintenant R, un appareil tourné d'un angle arbitraire par rapport à T, nous trouverons qu'un

rapport tel que 22

0/00 TRTR + est indépendant du faisceau qui est passé par le premier filtre

S.

III.1.4. Etats de base Ces résultats illustrent un des principes de base de la mécanique quantique que nous avons vus : tout système atomique peut être séparé par une méthode de filtrage en un certain ensemble appelé états de base et le comportement futur des atomes de tout état de base donné ne dépend que de la nature de l'état de base, il est indépendant de toute l'histoire des atomes. Les états de base dépendent bien entendu du filtre utilisé, tout comme les différentes représentations de la fonction d'onde dépendent de la grandeur qui est mesurée (impulsion, énergie,…). Par exemple, les trois états (+T), (0T) et (-T) forment un ensemble d'états de base. Les trois états (+S), (0S) et (-S) en forment un autre. Il y a un grand nombre de possibilités, toutes aussi bonnes les unes que les autres. Il nous faut faire attention et dire que nous considérons de bons filtres qui produisent naturellement des faisceaux "purs". Si par exemple, notre appareil de Stern-Gerlach ne produisait pas une bonne séparation des trois faisceaux et que nous ne puissions pas les séparer proprement en utilisant nos masques, nous ne pourrions pas alors faire une séparation complète en états de base. Nous pouvons dire si nous avons des états de base en regardant si les faisceaux peuvent être de nouveau séparés par un autre filtre du même genre. Si nous avons un état (+T) pur, par exemple, tous les atomes passeront à travers

(1)

T

−

+0

et aucun ne passera à travers

(2)

T

−

+0

ou à travers

(3)

T

−

+0

Ce que nous avons dit sur les états de base signifie qu'il est possible de filtrer un état pur de façon qu'aucun filtrage ultérieur par un appareil identique ne soit possible. Nous devons aussi insister sur le fait que ce que nous disons n'est exact que dans des situations très idéalisées. Dans tout appareil de Stern-Gerlach réel, il nous faudrait nous inquiéter de la diffraction par les fentes qui pourraient envoyer quelques atomes dans des états différents ou encore de la possibilité que les faisceaux contiennent des atomes avec différents états d'excitation internes, etc. Nous avons idéalisé la situation de telle façon que nous ne puissions parler que des états qui sont séparés par le champ magnétique. Nous ignorons tout ce qui a affaire avec la position, la quantité de mouvement, les excitations internes, etc. En général on devrait considérer aussi des états de base triés par rapport à toutes ces choses. Mais pour garder des concepts simples, nous ne considérons que notre ensemble de trois états, ce qui est suffisant pour un traitement exact de la situation idéalisée où les atomes ne sont pas brisés ou de façon générale maltraités et où ils reviennent à l'arrêt en sortant de l'appareil.

Vous remarquerez que nous commençons toujours nos expériences de pensée en prenant un filtre avec un seul canal ouvert de façon à commencer avec un état de base défini. Nous faisons cela parce que les atomes sortent de la source dans différents états distribués au hasard selon ce qui se passe à l'intérieur de la source (par exemple, un four ou des atomes sont vaporisés puis conduits vers l'appareil). Elle donne un faisceau "non polarisé". Ce hasard implique des probabilités d'un genre "classique", comme dans le jeu de pile ou face, qui sont différentes des probabilités quantiques dont nous nous occupons maintenant. Traiter un faisceau non polarisé nous entraînerait dans des complications supplémentaires qu'il vaut mieux éviter jusqu'à ce que nous comprenions le comportement des faisceaux polarisés. N'essayez donc pas à ce point de considérer ce qui se passe si le premier appareil laisse passer plus d'un faisceau (nous vous dirons comment vous pouvez traiter de tels cas plus loin). Revenons maintenant en arrière et voyons ce qui se passe lorsque nous passons de l'état de base d'un filtre à l'état de base d'un autre. Supposons que nous partions à nouveau avec

(4)

TS

−

+

−

+00

Les atomes qui sortent de T sont dans l'état de base (0T) et ne se souviennent pas qu'ils furent auparavant dans l'état (+S). Certains diraient que dans le filtrage par T nous avons "perdu l'information" sur l'état précédent (+S) parce que nous avons "perturbé" les atomes lorsque nous les avons séparés en trois faisceaux dans l'appareil T. Mais cela n'est pas vrai. L'information antérieure n'est pas perdue par la séparation en trois faisceaux mais par les masques d'arrêts que nous avons mis dans l'appareil, comme nous pouvons le voir dans l'ensemble d'expériences suivant. Nous partons avec un filtre +S et nous appellerons N le nombre d'atomes qui passent au travers. Si nous plaçons ensuite un filtre 0T, le nombre d'atomes qui sort est une fraction du nombre original, disons Nα . Si nous plaçons un autre filtre +S, seule une fraction des atomes atteindra l'extrémité de l'appareil. Nous pouvons indiquer cela de la façon suivante :

(5) NNN

STS

βαα→

′

−

+

→

−

+

→

−

+000

Si notre troisième appareil S' sélectionnait un état différent, disons l'état (0S), une fraction différente, disons γ , passerait à travers. Nous aurions

(6) NNN

STS

γαα→

′

−

+

→

−

+

→

−

+000

Avec notre notation précédente 2

0 ST +=α , 2

0TS+=β et 2

00 TS=γ .

Supposons maintenant que nous répétions ces deux expériences, mais en ôtant tous les masques de T. Nous trouverions alors les résultats remarquables suivants :

(7) NNN

STS

→

′

−

+

→

−

+

→

−

+000

(8) 0000

→

′

−

+

→

−

+

→

−

+

STS

NN

Tous les atomes passent à travers S' dans le premier cas, mais aucun dans le deuxième cas ! C'est là une des grandes lois de la mécanique quantique. Que la nature travaille de cette façon n'est pas

évident en soi, mais les résultats que nous avons donnés correspondent, pour notre situation idéalisée, au comportement quantique observé dans d'innombrables expériences.

III.1.5. Amplitudes en interférences Reprenons la dernière expérience. Comment peut-il se faire qu'en ouvrant de nouveaux canaux nous obtenions moins d'atomes ? C'est là le vieux mystère, le grand mystère de la mécanique quantique, l'interférence des amplitudes. C'est le même genre de phénomène que nous avons vu pour la première fois avec l'expérience d'interférence d'électrons à travers deux fentes. Nous avons vu que nous pouvions obtenir moins d'électrons en certains points avec les deux fentes ouvertes que nous n'en obtenions avec une seule fente ouverte. Quantitativement les choses se passent de la façon suivante. Nous pouvons écrire l'amplitude pour qu'un atome passe par T et S' dans l'appareil comme la somme des trois amplitudes, une pour chacun des trois faisceaux de T. Leur somme est égale à zéro :

(1) 000000 =+−−++++++ STTSSTTSSTTS

Aucune de ces trois amplitudes n'est zéro, par exemple, le carré du module de la deuxième amplitude est γα , mais la somme est zéro. Nous aurions encore la même réponse si S' était arrangé

de façon à sélectionner l'état (-S). Cependant, avec l'expérience qui précédait, la réponse est différente. Si nous appelons a l'amplitude pour passer à travers T et S', nous obtenons pour ce cas

(2) 100 =+−−+++++++++= STTSSTTSSTTSa

Nous ne pouvons pas vraiment conclure de l'expérience que a = 1, mais seulement que 12 =a , si

bien que a pourrait être δie , mais on peut montrer que le choix 0=δ ne représente aucune perte réelle de généralité. Dans cette expérience, le faisceau a été divisé et recombiné. Humpty-Dumpty s'est enfin retrouvé. L'information sur l'état (+S) original est conservée. Tout se passe comme si l'appareil T n'était pas là du tout. Ceci reste vrai quel que soit ce que nous plaçons derrière l'appareil T qui est "grand ouvert". Nous pourrions le faire suivre d'un filtre R, un filtre disposé à n'importe quel angle bizarre,

ou de tout ce que nous voulons. La réponse sera toujours la même que si les atomes étaient directement pris à la sortie du premier filtre S. C'est donc ceci le principe important : un filtre T, ou n'importe quel filtre, ayant ses masques grands ouverts ne produit aucun changement du tout. Nous pourrions ajouter une condition supplémentaire. Le filtre grand ouvert doit non seulement transmettre les trois faisceaux mais il doit aussi n'introduire aucune perturbation qui ne soit identique pour les trois faisceaux. Par exemple, il ne doit pas avoir un fort champ électrique pour un faisceau et pas pour les autres. La raison en est que, même si une perturbation supplémentaire laissait passer tous les atomes à travers le filtre, elle pourrait changer la phase de l'une des amplitudes. L'interférence serait alors modifiée et les amplitudes des équations (1) et (2) seraient différentes. Nous ferons toujours l'hypothèse qu'il n'y a pas de telles perturbations supplémentaires. Ecrivons à nouveau les équations (1) et (2) avec une notation plus compacte. Nous indiquerons par i l'un des trois états (+T), (0T) ou (-T). Les équations peuvent alors être écrites :

(3) 00 =+∑i

SiiS

et

(4) 1=++∑i

SiiS

De même, pour une expérience où S' est remplacé par un filtre complètement arbitraire R, nous avons

(5)

RTS

−

+

−

+

−

+000

Les résultats seraient toujours les mêmes si l'appareil T était supprimé et si nous avions seulement

(6)

RS

−

+

−

+00

Ou bien en termes mathématiques,

(7) SRSiiRi

++=++∑

Ceci est notre loi fondamentale et elle est vraie de façon générale, tant que i indique les trois états de base d'un filtre quelconque. Vous remarquerez que dans l'expérience (5), il n'y a aucune relation spéciale entre T, S ou R. De plus, les arguments seraient les mêmes quels que soient les états sélectionnés. Pour écrire l'équation de façon générale, sans avoir à nous rapporter aux états spécifiques sélectionnés par S et R, appelons φ ("phi") l'état préparé par le premier filtre (dans notre exemple, +S) et χ ("khi") l'état

vérifié par le filtre final (dans notre exemple, +R). Nous pouvons alors énoncer la loi fondamentale de (7) sous la forme

(8) ∑=i

ii φχφχ

où i décrit successivement les trois états de base d'un filtre particulier. Nous voulons insister à nouveau sur ce que nous entendons par états de base. Ce sont des états comme les trois états qui peuvent être sélectionnés par l'un de nos appareils de Stern-Gerlach. Une des conditions est que, si nous avons un état de base, alors le futur est indépendant du passé. Une autre manière de le dire est que toute la physique décrivant l'état est inscrite dans cet état de base, il ne possède pas de "mémoire". Une autre condition est que, si nous avons un ensemble complet d'états de base, l'équation (8) est vraie pour tout ensemble d'états initial et final φ et χ . Il n'y a pas,

cependant, d'ensemble unique d'états de base. Nous avons commencé en considérant des états de base par rapport à un appareil particulier T. Nous pourrions aussi bien considérer un ensemble différent d'états de base par rapport à l'appareil S ou par rapport à R, etc.

En fait, pour des systèmes avec trois ou plus de trois états de base, il existe d'autres genres de filtres, complètement différents de l'appareil de Stern-Gerlach, et qui peuvent être utilisés pour obtenir un plus grand choix pour l'ensemble d'états de base (chaque ensemble ayant le même nombre d'états). Nous avons souvent parlé d'états de base dans une certaine "représentation". Quelque que soit la représentation choisie, on peut également imposer à un ensemble d'états de base d'être tous différents. Nous voulons dire par là que si nous avons un état (+T), il n'y a aucune amplitude qui lui permettre de passer dans un état (0T) ou (-T). Si nous indiquons par i et j deux états de base d'un ensemble particulier, les règles générales que nous avons vues sont

(9) 0=ij

pour tout i et j qui ne sont pas égaux. Bien sûr, nous savons que

(10) 1=ii

Ces deux équations sont écrites d'habitude comme

(11) jiij δ=

L'équation (11) n'est pas indépendante des autres lois que nous avons indiquées. Il se trouve que nous ne nous intéressons pas particulièrement au problème mathématique de la recherche de l'ensemble minimum d'axiomes indépendants qui donne toutes les lois comme conséquences. Une vérité redondante ne nous gêne pas. Nous sommes satisfaits si nous avons un ensemble qui est complet et qui n'est pas apparemment incohérent. Nous pouvons cependant montrer que les équations (11) et (8) ne sont pas indépendantes. Supposons que φ dans (8) représente l'un des états

de base du même ensemble que i, disons le jème état, nous avons alors

(12) ∑=i

jiij χχ

Mais l'équation (11) dit que ji vaut zéro sauf si i = j et la somme devient alors juste jχ , si

bien que nous obtenons une identité, ce qui montre que les deux lois ne sont pas indépendantes. Nous pouvons voir qu'il doit y avoir une autre relation entre les amplitudes. L'équation sur la somme des probabilités est

(13) 100 =+−+−++++++++ ∗∗∗STSTSTSTSTST

Si nous écrivons l'équation (8) avec l'état (+S) pour φ et pour φ , le coté gauche devient SS ++

ce qui vaut clairement 2. Si bien que nous obtenons une fois de plus l'équation (2),

(14) 100 =+−−+++++++++ STTSSTTSSTTS

Ces deux équations ne sont compatibles (pour toutes les orientations relatives des appareils T et S) que si

(15) ∗

∗

∗

+−=−+

+=+

++=++

STTS

STTS

STTS

00

Et de là, il s'ensuit que pour toute paire d'états φ et χ , nous retrouvons la relation

(16) ∗= φχχφ

Si ceci n'était pas vrai, la probabilité ne serait pas "conservée" et des particules seraient "perdues". Un résultat que nous avons déjà illustré dans le tome II. Avant de continuer, résumons les trois lois importantes qui concernent les amplitudes et que nous avions déjà obtenues par une autre voie, ce sont les équations (8), (11) et (16) :

I. jiij δ=

(5.27) II. ∑=i

ii φχφχ

III. ∗= φχχφ

Dans ces équations, les indices i et j indiquent tous les états de base d'une certaine représentation, tandis que φ et χ représentent tout état possible de l'atome. Il est important de remarquer que II

n'est valable que si la somme est faite sur tous les états de base du système (dans notre cas, trois : +T, 0T, -T). Ces lois ne disent rien sur la façon de choisir une base pour notre ensemble d'états de base. Nous avons commencé en utilisant un appareil T, c'est-à-dire une expérience de Stern-Gerlach avec une orientation arbitraire, mais toute autre orientation disons W aurait été tout aussi bonne. Nous aurions alors un ensemble d'états différents décrits par i et j mais toutes les lois seraient encore correctes, il n'y a pas d'ensemble unique. Un des grands jeux de la mécanique quantique est de se servir du fait que les choses peuvent être calculées de plus d'une façon.

III.1.6. La machinerie de la mécanique quantique Nous allons vous montrer pourquoi ces lois sont utiles. Supposez que nous ayons un atome dans une condition donnée (nous entendons par là qu'il a été préparé d'une certaine façon) et nous voulons savoir ce qui va lui arriver au cours d'une certaine expérience. En d'autres termes, nous partons avec un atome dans l'état φ et nous voulons savoir quelles sont les chances pour qu'il passe

à travers quelque appareil qui n'accepte les atomes que dans la condition χ . Les lois précédentes

disent que nous pouvons décrire l'appareil complètement en fonction de trois nombres complexes

iχ , les amplitudes que chaque état de base a d'être dans la condition χ . Elles disent aussi que

nous pouvons prédire ce qui arrivera si un atome est placé dans l'appareil et si nous décrivons l'état

de l'atome en donnant les trois nombres φi qui sont les amplitudes pour que l'atome dans son

état originel puisse être trouvé dans chacun des états de base. C'est là une idée importante. Considérez un autre exemple. Réfléchissez au problème suivant : nous partons avec un appareil S, nous avons ensuite tout un fatras d'engins que nous pouvons appeler A, et ensuite un appareil R, comme ceci :

(1)

R

A

S

−

+

−

+00

Par A, nous entendons n'importe quel arrangement compliqué d'appareils de Stern-Gerlach avec des masques ou des demi-masques, orientés selon des angles bizarres, avec des champs électriques et magnétiques étranges… à peu près tout ce que nous pouvons imaginer de mettre (c'est bien agréable de faire des expériences de pensée, vous n'avez pas à passer par tous les soucis de la construction de l'appareil !) Le problème est alors : avec quelle amplitude une particule qui est entrée dans la section A dans l'état (+S) sort-elle dans l'état (0R) et passe donc à travers le dernier filtre R ? Il y a une notation usuelle pour une telle amplitude que nous avons déjà vue et qui est

(2) SAR +0

Comme d'habitude, il faut la lire de la droite vers la gauche (comme l'hébreu) : (3) <arrivée | intermédiaire | départ> Si par hasard A ne fait rien, si c'est seulement un canal ouvert, nous pouvons alors écrire

(4) SRSR +=+ 010

les deux symboles sont équivalents. Pour un problème plus général nous pourrions remplacer (+S) par un état de départ φ et (0R) par un état d'arrivée χ et nous voudrions connaître l'amplitude

(5) φχ A

Une analyse complète de l'appareil A devrait donner l'amplitude φχ A pour toute paire possible

d'états φ et χ , donc un nombre infini de combinaisons ! Comment pouvons nous alors donner une

description concise du comportement de l'appareil A ? Nous pouvons faire cela de la façon suivante. Imaginez que l'appareil de (1) soit modifié ainsi

(6)

RT

A

TS

−

+

−

+

−

+

−

+00

00

Ceci n'est pas vraiment une modification puisque les appareils T sont grands ouverts et ne font rien du tout. Mais cela suggère comment nous pouvons analyser le problème. Il y a un certain ensemble

d'amplitudes Si + pour que les atomes aillent de S dans l'état i de T. Il y a alors un autre

ensemble d'amplitudes pour qu'un état i (par rapport à T) entrant dans A sorte dans un état j (par rapport à T). Et finalement il y a une amplitude pour que chaque état j passe à travers le filtre comme un état (0R). Pour chaque chemin possible il y a une amplitude de la forme

(7) SiiAjjR +0

et l'amplitude totale est la somme des termes que nous pouvons obtenir avec toutes les combinaisons possibles de i et de j. L'amplitude que nous voulons est

(8) ∑ +ji

SiiAjjR,

0

Si (0R) et (+S) étaient remplacés par des états quelconques χ et φ , nous aurions le même genre

d'expressions. Si bien que nous avons le résultat général

(9) ∑=ji

iiAjjA,

φχφχ

Remarquez maintenant que le coté droit de (9) est réellement "plus simple" que le coté gauche.

L'appareil A est complètement décrit par neuf nombres iAj qui décrivent la réponse de A par

rapport aux trois états de base de l'appareil T. Une fois que nous connaissons ces neufs nombres, nous pouvons manipuler n'importe quelle paire d'états incidents et sortants φ et χ si nous

définissons chacun d'eux en fonction des trois amplitudes pour aller dans chacun des trois états de base ou pour en sortir. L'équation (9) prédit le résultat de toute expérience.

Voici donc la machinerie de la mécanique quantique pour une particule de spin un. Chaque état est décrit par trois nombres qui sont ses amplitudes pour être dans chacun des états d'un ensemble d'états de base donné. Chaque appareil est décrit par neuf nombres qui sont les amplitudes pour aller d'un état de base à un autre en traversant l'appareil. Tout peut être calculé à partir de ces nombres. Les neufs amplitudes qui décrivent l'appareil sont souvent écrites sous forme d'une matrice carrée,

appelée matrice iAj :

(10)

−−−+−−+−++++

−

+−+

AAA

AAA

AAAà

de

0

0000

0

0

0

Les mathématiques de la mécanique quantique sont simplement une extension de cette idée. Nous allons vous en donner une simple illustration. Supposons que nous ayons un appareil C que nous

voulons analyser. C'est-à-dire dont nous voulons calculer les différents iCj . Par exemple nous

pourrions vouloir savoir ce qui se passe dans une expérience comme

(11)

R

C

S

−

+

−

+00

Mais nous remarquons alors que C n'est fait que de deux appareils A et B en série. Les particules passent à travers A puis à travers B, si bien que nous pouvons écrire symboliquement

(12)

⋅

=

BAC

Nous pouvons appeler l'appareil C le "produit" de A et de B. Supposons aussi que nous sachions déjà comment analyser les deux parties, si bien que nous pouvons obtenir les matrices (par rapport à T) de A et de B. Notre problème est alors résolu. Nous pouvons facilement trouver

(13) φχ C

pour tout état d'entrée et de sortie. Nous écrivons tout d'abord que

(14) ∑=k

AkkBC φχφχ

Voyez-vous pourquoi ? (imaginez que l'on met un appareil T entre A et B). Si nous considérons alors le cas particulier dans lequel φ et χ sont aussi des états de base (de T), disons i et j, nous

avons

(15) ∑=k

iAkkBjiCj

Cette équation donne la matrice pour l'appareil "produit" C en fonction des deux matrices des appareils A et B. Nous sommes donc ainsi revenu à la formulation matricielle de la mécanique quantique et nous voyons qu'elle s'applique pleinement à ce phénomène nouveau qu'est le spin des particules.

III.1.7. Transformation dans une base différente Nous voulons faire un dernier commentaire sur les états de base utilisés dans le calcul. Supposons que nous ayons choisi une certaine base pour travailler, disons la base S, et que quelqu'un d'autre décide de faire le même calcul avec une base différente, disons une base T. Pour que les choses soient claires, appelons nos états de base les états (iS), où i = +, 0 et -. De même, nous pouvons appeler les états de base de l'autre personne (jT). Comment pouvons nous comparer notre calcul avec le sien ? Les réponses finales quant au résultat d'une mesure doivent en fin de compte être les

mêmes, quoique les diverses amplitudes et matrices employées dans le calcul soient différentes. Comment sont-elles reliées ? Par exemple, si lui et nous partons avec le même φ , nous l'écrirons en

fonction de trois amplitudes φiS pour que φ aille dans nos états de base de la représentation S,

tandis qu'il décrira le même état par les amplitudes φjT pour qu'il aille dans les états de base de

la représentation T. Comment pouvons-nous vérifier que nous sommes vraiment tous les deux en train de décrire le même état φ ? Nous pouvons le faire avec la règle générale II. En remplaçant χ

par n'importe lequel de ses états jT, nous avons

(1) ∑=i

iSiSjTjT φφ

Pour relier les deux représentations, il nous suffit de donner les neufs nombres complexes de la

matrice iSjT . Cette matrice peut être utilisée pour convertir toutes ses équations dans notre

forme. Elle nous dit comment faire la transformation d'un état de base à un autre (c'est pour cette

raison que iSjT est quelque fois appelé la "matrice de transformation de la représentation S

dans la représentation T'. Grands mots ! Cette matrice est tout à fait ce que nous avons vu lorsque nous avons étudié la théorie des transformations de la formulation matricielle). Dans le cas des particules de spin un pour lesquelles nous avons seulement trois états de base (pour des spins plus élevés il y en a un plus grand nombre) la situation mathématique est analogue à celle de l'algèbre des vecteurs. Chaque vecteur peut être représenté en donnant trois nombres, les composantes le long des axes x, y, z. C'est-à-dire que chaque vecteur peut être décomposé en trois vecteurs "de base" qui sont les vecteurs le long des trois axes. Mais supposons que quelqu'un d'autre décide d'utiliser un ensemble d'axes différents x', y' et z'. Il utilisera des nombres différents pour représenter un vecteur particulier. Ses calculs sembleront différents, mais les résultats finaux seront les mêmes. Inutile de rappeler ici les règles de changement de base des vecteurs. Vous avez peut-être envie de voir comment fonctionnent ces transformations en mécanique quantique, en essayant d'en faire quelques-unes. C'est pourquoi nous allons vous donner, sans aucune preuve, les matrices de transformation pour convertir les amplitudes de spin un d'une

représentation S dans une autre représentation t, pour diverses orientations relatives des filtres S et T. Nous verrons plus loin comment calculer exactement ces résultats. Premier cas : l'appareil T a le même axe y (le long duquel les particules se déplacent) que l'appareil S, mais il est tourné autour de l'axe commun y d'un angle α (comme dans les exemples que nous avons vus). Pour être précis, nous pouvons définir un système de coordonnées x', y', z' par rapport à l'appareil T qui est relié aux coordonnées de l'appareil S par : αα sincos xzz +=′ ,

αα sincos zxx −=′ , y' = y. Les amplitudes de transformation sont alors :

(2)

( )

( )

( )

( )α

α

α

α

α

α

α

α

α

cos12

1

sin2

10

cos12

1

sin2

10

cos00

sin2

10

cos12

1

sin2

10

cos12

1

+=−−

=−

−=−+

−=−

=

=+

−=+−

−=+

+=++

ST

ST

ST

ST

ST

ST

ST

ST

ST

Deuxième cas : l'appareil T a le même axe z que S mais il est tourné autour de l'axe z d'un angle β

(la transformation des coordonnées est z' = z, ββ sincos yxx +=′ , ββ sincos xyy −=′ ). Les

amplitudes de transformation sont alors :

(3) β

β

i

i

eST

ST

eST

−=−−

=

=++

100

toutes les autres étant égales à zéro. Remarques que n'importe quelle rotation de T peut être construite à partir des deux rotations que nous venons de décrire. Si un état φ est défini par les trois nombres

(4) φφφ SCSCSC −==+= −+ 00

et si le même état est décrit du point de vue de T par les trois nombres

(5) φφφ TCTCTC −=′=′+=′ −+ 00

alors les coefficients iSjT de (2) ou (3) donnent la transformation qui relie iC et iC ′ . En d'autres termes, les iC sont tout à fait comme les composantes d'un vecteur qui apparaîtraient

comme différentes selon les points de vue de S ou de T. Pour une particule de spin un, et seulement dans ce cas, parce qu'elle ne requiert que trois amplitudes, la correspondance avec un vecteur est très claire. Dans chaque cas, il y a trois nombres qui se transforment de façon bien définie dans tout changement de coordonnées. En fait, il y a un ensemble d'états de base qui se transforment exactement comme les trois composantes d'un vecteur. Les trois combinaisons

(6) ( ) ( ) 022

1CCCC

iCCCC zyx =+−=−−= −+−+

se transforment en xC ′ , yC ′ et zC ′ exactement de la même façon que x, y, z se transforment en x', y', z' (vous pouvez vérifier qu'il en est bien ainsi en employant les lois de transformation (2) et (3)).

Vous voyez maintenant pourquoi une particule de spin un est souvent appelée une "particule vectorielle".

III.1.8. Autres situations Nous avons commencé en remarquant que notre discussion des particules de spin un serait un prototype de tout problème de mécanique quantique. La généralisation n'est qu'une question de nombre d'états. Au lieu de trois états seulement, une situation quelconque peut impliquer n états de base. Le nombre d'états de base n peut être et est le plus souvent infini. Nous lois fondamentales ont exactement la même forme, les indices i et j décrivant alors successivement les n états de base. Tout phénomène peut être analysé en donnant les amplitudes qu'il a de commencer et de se terminer dans chacun des états de base et ensuite en sommant sur l'ensemble complet des états de base. Tout ensemble d'états de base peut être utilisé et si quelqu'un souhaite en utiliser un différent, c'est tout à fait possible. Les deux ensembles peuvent être reliés en utilisant une matrice de transformation n par n. Nous rejoignons ainsi le formalisme matriciel général que nous avons étudié. Finalement, nous avons promis de dire ce qu'il faut faire si les atomes proviennent directement d'une source, passent à travers quelque appareil disons A et sont ensuite analysés par un filtre que sélectionne les états χ . Vous ne savez pas ce qu'est l'état des atomes lors de leur départ. Il vaut

peut-être mieux que vous ne vous souciez pas encore de ce problème maintenant et que vous vous concentriez plutôt sur des problèmes dans lesquels on part avec des états purs. Mais si vous insistez, voici comment on peut résoudre le problème. Tout d'abord, il vous faut deviner de façon raisonnable comment les atomes sortant de la source sont répartis dans les différents états. Par exemple, si la source n'a rien de "spécial", vous pouvez raisonnablement penser que les atomes quitteront le four avec des orientations aléatoires. De façon quantique, cela revient à dire que vous ne savez rien sur les états, sauf qu'un tiers des atomes sont dans l'état (+S), un tiers dans l'état (0S) et un tiers dans l'état (-S). Pour ceux qui sont dans l'état

(+S) l'amplitude pour passer à travers l'appareil est SA +χ et la probabilité est 2

SA +χ et de

même pour les autres. La probabilité totale est alors

(1) 222

3

10

3

1

3

1SASASA −+++ χχχ

Pourquoi avons-nous utilisé S plutôt que T par exemple ? Choses surprenant, la réponse est la même quelle que soit la façon dont nous choisissons notre décomposition initiale, tant que nous n'avons affaire qu'à des orientations complètement aléatoires. On trouve de la même façon que

(2) ∑∑ =ji

jTiS22 χχ

pour tout χ (nous vous laissons le prouver).

Notez qu'il n'est pas correct de dire que l'état d'entrée à l'amplitude 3/1 d'être en (+S), 3/1

d'être en (0S) et 3/1 d'être en (-S). Cela impliquerait que certains interférences sont possibles. Le fait est, simplement, que vous ne savez pas ce qu'est l'état initial. Vous devez raisonner en termes de probabilité pour que le système parte dans les différents états initiaux possibles et ensuite vous devez prendre une moyenne pondérée des différentes possibilités. Il ne s'agit pas ici d'une particule dont l'état serait inconnu ou indéterminé mais d'un ensemble de particules, chacune dans un état donné. Les statistiques classiques habituelles sur les probabilités doivent donc s'appliquer. On peut également prendre en compte des situations plus compliquées où l'état initial n'est pas strictement aléatoire. Dans ce cas, selon la représentation les états de chaque atome ne seront pas répartis statistiquement de la même manière dans les états de base. On peut aussi considérer une représentation particulière et avoir des atomes qui se trouvent soit dans des états de base précis soit dans des états plus compliqués (combinaison d'états de base). On peut gérer ce mélange de caractères statistiques et quantiques avec un formalisme appelé matrice densité (qui donne la répartition statistique des atomes dans les différents états possibles) et que nous étudierons plus tard.

III.2. Spin un demi

III.2.1. Transformation des amplitudes Dans ce qui vient de précéder, en utilisant comme exemple un système de spin un, nous avons retrouvé les principes généraux de la mécanique quantique et vu comment ils s'appliquent à ce cas. Tout état ψ peut être décrit sur un ensemble d'états de base en donnant les amplitudes qu'il a pour

être dans chacun des états de base. L'amplitude pour aller d'un état dans un autre peut être écrite en général comme une somme de produits, chaque produit étant l'amplitude pour aller dans un des états de base que multiplie l'amplitude pour aller de cet état de base à l'état final et la somme comprenant un terme pour chaque état de base :

(1) ∑=i

ii ψχψχ

Les états de base sont orthogonaux et l'amplitude pour être dans l'un si vous êtes dans l'autre est zéro

(2) ijji δ=

L'amplitude pour aller d'un état dans un autre directement est égale au complexe conjugué de l'amplitude pour le processus inverse :

(3) χψψχ =∗

Nous avons également un peu discuté le fait qu'il peut y avoir plus d'une base pour les états et le fait que nous pouvons utiliser (1) pour passer d'une base à une autre. Supposons par exemple que

nous ayons les amplitudes ψiS de trouver l'état ψ dans l'un quelconque des états de base i d'un

système de base S, mais que nous décidions alors que nous préférerions décrire cet état en fonction d'un autre ensemble d'états de base, disons les états j appartenant à la base T. Dans la formule générale (1), nous pourrions substituer jT à la place de χ et obtenir la formule suivante :

(4) ∑=i

iSiSjTjT ψψ

Les amplitudes pour que l'état (ψ ) soit dans l'un des états de base (jT) sont reliées aux amplitudes

pour qu'il soit dans l'état de base (iS) par l'ensemble des coefficients iSjT . S'il y a N états de

base, il y a 2N de ces coefficients. Un tel ensemble de coefficients est souvent appelé la matrice de transformation pour aller de la représentation S à la représentation T. Cela semble plutôt formidable mathématiquement, mais en rebaptisant cette expression nous pouvons voir qu'elle n'est pas vraiment si terrible. Si nous appelons iC l'amplitude pour que l'état ψ soit dans l'état de base

iS, c'est-à-dire ψiSCi = , et si nous appelons jC ′ l'amplitude correspondante pour le système de

base T, c'est-à-dire ψjTC j =′ , alors, on peut récrire (4) comme

(5) ∑=′i

ijij CRC

où jiR signifie la même chose que iSjT . Chaque amplitude jC ′ est égale à la somme pour tout i de l'un des coefficients jiR que multiplie l'amplitude iC . Ceci est donc de la même forme que la

transformation d'un vecteur d'un système de coordonnées dans un autre. Pour éviter d'être trop abstrait, nous avons donné quelques exemples de ces coefficients dans le cas du spin un afin que vous puissiez voir comment les utiliser en pratique. Par ailleurs, c'est là une des très belles propriétés de la mécanique quantique que, partant du fait brut qu'il y a trois états et des propriétés de symétrie de l'espace par rapport aux rotations, on peut trouver ces coefficients par un raisonnement purement abstrait. Par la suite, nous allons vous montrer comment on peut trouver les coefficients de transformation pour des particules de spin un demi. Nous prenons ce cas plutôt que celui du spin un parce qu'il est un peu plus facile. Notre problème consiste donc à déterminer les coefficients jiR pour des

particules, ou des systèmes atomiques, qui sont divisés en deux faisceaux par un appareil de Stern et Gerlach. Nous allons calculer tous les coefficients de la transformation d'une représentation à une autre par un pur raisonnement, plus quelques hypothèses. Quelques hypothèses sont toujours

nécessaires pour utiliser un "pur" raisonnement ! Quoique les arguments soient abstraits et quelque peu compliqués, les résultats que nous obtiendrons seront relativement simples à énoncer et à comprendre et les résultats sont les choses les plus importantes. Vous pouvez, si vous voulez, considérer ceci comme une sorte d'excursion culturelle. En fait, tous les résultats essentiels obtenus ici seront aussi obtenus de façon différente par la suite. Mais l'approche ici est plus facile à suivre et est une bonne introduction à un traitement plus systématique et général mais aussi plus abstrait. Cette excursion est "culturelle" en ce sens qu'elle est faite pour montrer que les principes de la mécanique quantique sont non seulement intéressants, mais qu'ils sont aussi si profonds qu'en ajoutant quelques hypothèses supplémentaires sur la structure de l'espace, nous pouvons déduire un grand nombre de propriétés des systèmes physiques. Par ailleurs, il est important de savoir d'où proviennent les différentes conséquences de la mécanique car, tant que nos lois physiques sont incomplètes, et nous savons qu'elles le sont, il est intéressant de trouver si les endroits où nos théories sont en désaccord avec l'expérience sont ceux où notre logique est la plus solide ou bien là où elle est la plus faible. Jusqu'à maintenant, il se trouve que là où notre logique est la plus abstraite, elle conduit toujours aux résultats corrects, c'est-à-dire à un accord avec l'expérience. C'est seulement lorsque nous essayons de construire des modèles spécifiques de la machinerie interne des particules fondamentales que nous sommes parfois incapables de trouver une théorie qui soit en accord avec l'expérience. La théorie que nous sommes sur le point de décrire est en accord avec l'expérience partout où elle a été essayée, aussi bien pour les particules étranges que pour les électrons, les protons, les atomes, etc. Une remarque sur un point ennuyeux, mais intéressant avant que nous ne continuions : il n'est pas possible de déterminer les coefficients jiR de façon unique, car il y a toujours un certain arbitraire

dans les amplitudes de probabilité. Si vous avez un ensemble d'amplitudes quelconques, disons les amplitudes pour aller en quelque endroit en passant par un grand nombre de différentes routes, et si

vous multipliez chaque amplitude par le même facteur de phase, disons par δie , vous obtenez un nouvel ensemble qui est tout juste aussi bon que le premier. C'est une particularité que nous avons déjà rencontrée à plusieurs reprises. Il est donc toujours possible de faire un changement de phase arbitraire des amplitudes dans tout problème si nous voulons le faire. Supposez que vous calculiez une certaine probabilité en écrivant une somme de plusieurs amplitudes, disons A+B+C+… et en prenant le carré du module. Quelqu'un d'autre peut alors

calculer la même chose en utilisant la somme des amplitudes A'+B'+C'+… et en prenant le carré du

module. Si tous les A', B', C', etc. sont égaux aux A, B, C,… au facteur δie près, toutes les probabilités obtenues en prenant le carré des modules seront exactement les mêmes puisque

A'+B'+C'+… est alors égal à δie (A+B+C+…). Ou bien supposez par exemple que nous étions en train de calculer quelque chose avec (1) et que nous changions soudainement toutes les phases d'un

certain système de base. Chacune des amplitudes ψi serait multipliée par le même facteur δie .

De même, les amplitudes χi seraient aussi changées par δie , mais les amplitudes iχ sont les

complexes conjuguées des amplitudes χi . Par conséquent, elles changent par un facteur δie− .

Les plus et les moins δi dans les exposants s'annulent et nous obtiendrons la même expression que nous avions au début. Si bien que c'est une règle générale que si nous changeons toutes les amplitudes, par rapport à un système de base, par une même phase, ou même si nous changeons toutes les amplitudes d'un problème par une même phase, cela ne change rien. Il y a par conséquent une certaine liberté dans le choix des phases de notre matrice de transformation. De temps à autre nous ferons un choix arbitraire, en général pour suivre des conventions d'usage général.

III.2.2. Transformation dans un système de coordonn ées ayant subi une rotation Considérons à nouveau l'appareil de Stern-Gerlach "amélioré" que nous avons décrit. Un faisceau de particules de spin un demi, entrant par la gauche, est, en général, divisé en deux faisceaux, comme l'indique schématiquement la figure ci-dessous (pour un spin un, il y avait trois faisceaux).

Comme auparavant, les faisceaux sont mélangés à nouveau, sauf si l'un ou l'autre d'entre eux est arrêté par un "stop" qui intercepte le faisceau au milieu de son parcours. Sur la figure, nous indiquons par une flèche la direction dans laquelle la grandeur du champ croît, disons qu'elle pointe vers le pôle magnétique le plus aigu. Nous considérerons que la flèche représente l'axe "vers le haut" de chaque appareil. Elle est définie relativement à l'appareil et elle nous permettra d'indiquer des orientations relatives quand nous utiliserons plusieurs appareils. Nous supposerons aussi que la direction du champ magnétique dans chaque aimant est toujours la même par rapport à la flèche. Nous dirons que les atomes qui vont dans le faisceau "supérieur" sont dans l'état (+) par rapport à cet appareil et ceux du faisceau "inférieur" sont dans l'état (-) (il n'y a pas d'état "zéro" pour des particules de spin un demi).

Supposez maintenant que nous placions deux de nos appareils de Stern-Gerlach modifiés en série, comme sur la figure (a) ci-dessous.

Le premier, que nous appellerons S, peut être utilisé pour préparer un état pur (+S) ou un état pur (-S) en stoppant l'un ou l'autre des faisceaux (sur la figure, il prépare un état (+S)). Pour chaque état, il y a une certaine amplitude pour qu'une particule sortant de S soit dans l'état (+T) ou l'état (-T) du deuxième appareil. Il y a en fait exactement quatre amplitudes : l'amplitude pour aller de (+S) à (+T), de (+S) à (-T), de (-S) à (+T) et de (-S) à (-T). Ces amplitudes sont précisément les quatre coefficients de la matrice jiR de la transformation qui permet d'aller de la représentation S à la

représentation T. Nous pouvons considérer que le premier appareil "prépare" un état particulier dans une représentation et que le deuxième appareil "l'analyse" sur les états de la seconde représentation. Le genre de question auxquelles nous voudrions répondre est alors : si un atome a été préparé dans un état donné, disons l'état (+S), en stoppant l'un des faisceaux de l'appareil S, quelle est la probabilité pour qu'il passe à travers le deuxième appareil si celui-ci est préparé pour l'état (-T). Le résultat dépendra bien sûr des angles entre les deux systèmes S et T.

Nous devrions expliquer comment il se fait que nous ayons quelque espoir de trouver les coefficients jiR par déduction. Vous savez qu'il est presque impossible de croire que, si une

particule a son spin aligné dans la direction +z, il y ait une chance de trouver la même particule avec son spin pointant dans la direction +s ou dans n'importe quelle autre direction. En fait, c'est presque impossible, mais pas tout à fait. C'est tellement proche d'être impossible qu'il n'y a qu'une seule façon de faire et c'est là la raison pour laquelle nous pouvons trouver ce qu'est cette façon unique. Le premier genre d'argument que nous pouvons faire est le suivant. Supposons que nous ayons un dispositif comme celui de la figure (a) ci-dessus, dans lequel nous avons les deux appareils S et T avec T tourné d'un angle α par rapport à S, et que nous laissions seulement le faisceau (+) passer à travers S et le faisceau (-) à travers T. Nous trouverions un certain nombre pour la probabilité que les particules sortant de S passent dans T. Supposons maintenant que nous fassions une autre mesure avec les appareils de la figure (b) ci-dessus. L'orientation relative de S et de T est la même, mais le système tout entier est disposé avec un angle différent dans l'espace. Nous allons faire l'hypothèse que ces deux expériences donnent le même nombre pour la probabilité pour qu'une particule dans un état pur par rapport à S aille dans quelque état particulier par rapport à T. En d'autres termes, nous supposons que le résultat d'une expérience est le même, que la physique est la même, quelle que soit l'orientation de l'appareil tout entier dans l'espace. Vous pouvez penser que "c'est évident". C'est une hypothèse naturelle et raisonnable et qui est de plus compatible avec le principe de relativité qui affirme que les lois de la physique sont les mêmes dans tout repère, en particulier s'ils ne diffèrent que d'une rotation. Mais cela reste une hypothèse et elle n'est juste que si c'est réellement là ce qui se passe. Cela veut dire que les coefficients jiR dépendent seulement de

l'orientation dans l'espace de S par rapport à T et non pas de la situation absolue de S et de T. Autrement dit, jiR dépend seulement de la rotation qui amène S en T car, de toute évidence, ce qui

est identique dans les figures (a) et (b) c'est la rotation à trois dimensions qui transformerait l'orientation de l'appareil S en celle de T. Lorsque la matrice de transformation jiR ne dépend que

d'une rotation, comme c'est le cas ici, elle est appelée matrice de rotation.

Pour l'étape suivante, nous aurons besoin d'une information supplémentaire. Supposons que nous ajoutions un troisième appareil, que nous pouvons appeler U, derrière T et avec un angle arbitraire, comme sur la figure (a) ci-dessous. Tout cela commence à avoir un air horrible, mais c'est là tout le charme du raisonnement abstrait, vous pouvez faire les expériences les plus fantastiques juste en traçant quelques lignes !.

Maintenant, quelle est la transformation STU ? Ce que nous voulons réellement connaître, c'est l'amplitude pour aller dans un certain état, par rapport à S, à un autre état, par rapport à U. Nous parlons donc d'une expérience dans laquelle les deux canaux de T sont ouverts. Nous pouvons trouver la réponse en appliquant deux fois de suite la relation de transformation des amplitudes. Pour passer de la représentation S à la représentation T, nous avons

(1) ∑=′i

i

TS

jij CRC

où nous avons placé les indices TS sur R de façon à faire la distinction avec les coefficients UTR que nous aurons pour aller de T à U. En appelant kC ′′ les amplitudes pour être dans les états de base de la représentation U, nous pouvons les relier aux amplitudes dans T en utilisant une fois de plus cette relation. Nous obtenons

(2) ∑ ′=′′j

j

UT

kjk CRC

Maintenant, nous pouvons combiner les équations (1) et (2) pour obtenir la transformation directe de S à U. En portant jC ′ de (1) dans (2), nous avons

(3) ∑ ∑=′′j i

TS

jl

UT

kjk CliRRC

Ou encore, comme i n'apparaît pas dans UT

kjR , nous pouvons mettre la sommation sur i en premier

et écrire

(4) ∑∑=′′i j

i

TS

ji

UT

kjk CRRC

Voilà la formule pour une double transformation. Remarquez cependant que, tant que tous les faisceaux de T sont ouverts, l'état sortant de T est le même que celui qui y est entré. Nous pourrions tout aussi bien avoir fait une transformation de la représentation S à la représentation U directement. Cela doit revenir à mettre l'appareil U directement après S, comme dans la figure (b) ci-dessus. Dans ce cas, nous écririons

(5) ∑=′′i

i

US

kik CRC

en employant les coefficients US

kiR correspondant à cette transformation. Maintenant, il est clair que

les équations (4) et (5) devraient donner les mêmes amplitudes kC ′′ et ceci devrait être vrai quelque que soit l'état de départ φ qui nous a donné les amplitudes iC . Il faut donc que

(6) ∑=j

TS

ji

UT

kj

US

ki RRR

Autrement dit, pour toute rotation SU du système de base, considérée comme composée de deux

rotations successives STU, la matrice de rotation US

kiR peut être obtenue à partir des matrices

des deux rotations partielles par (6). Si vous préférez, nous pouvons trouver (6) directement à partir de la décomposition des amplitudes sur les états de base car ce n'est qu'une notation différente pour

∑=j

iSjTjTkUiSkU . Nous avions déjà vu que la composition des transformations entre

représentations était la multiplication matricielle. Pour être complet, nous devons faire les remarques suivantes. Ce que nous avons dit n'est pas tout à fait exact. Nous ne pouvons pas vraiment dire que les équations (4) et (5) doivent donner exactement les mêmes amplitudes. Seule la physique doit être la même. Toutes les amplitudes

pourraient être différentes d'un même facteur de phase δie sans que cela change en rien le résultat des calculs concernant le monde réel. Si bien qu'à la place de (6), tout ce que nous pouvons dire, en fait, est que

(7) ∑=j

TS

ji

UT

kj

US

ki

i RRRe δ

où δ est une certaine constante réelle. Ce que veut dire ce facteur supplémentaire δie est bien

entendu que les amplitudes que nous obtenons si nous utilisons la matrice USR peuvent toutes différer d'une même phase des amplitudes que nous obtiendrions en utilisant les deux rotations UTR et TSR . Nous savons que cela n'a pas d'importance si toutes les amplitudes sont changées d'une même phase, si bien que, si nous le voulions, nous pourrions tout simplement ignorer ce facteur de phase. Il se trouve cependant que, si nous définissons toutes nos matrices de rotation d'une façon particulière, ce facteur de phase supplémentaire n'apparaîtrait jamais, le δ de (7) est toujours zéro. Quoique ceci ne soit pas important pour le reste de nos arguments, nous pouvons en donner une preuve rapide en utilisant le théorème mathématique sur les déterminants. Tout d'abord, rappelons que (6) est la définition mathématique du produit de deux matrices. Ensuite, il y a un théorème mathématique, que vous pouvez facilement démontrer pour les matrices

deux par deux que nous avons ici, qui dit que le déterminant d'un produit de deux matrices est le produit de leurs déterminants. En appliquant ce théorème à (7), nous obtenons

(8) TSUTUSi RRRe detdetdet2 ⋅=δ Nous laissons de côté les indices car ils ne nous indiquent rien qui nous soit utile. Oui, le δ2 est

juste. Rappelez-vous que vous traitez des matrices deux par deux. Chaque terme de la matrice US

kiR

est multiplié par δie , si bien que chaque terme du déterminant, composé de deux facteurs, se trouve

multiplié par δ2ie . Prenons maintenant la racine carrée de (8) et divisons par celle-ci l'équation (7). Nous obtenons

(9) ∑=i

TS

TS

ji

UT

UT

kj

US

US

ki

R

R

R

R

R

R

detdetdet

Les facteurs de phase supplémentaires disparaissent. Il se trouve maintenant que si nous voulons que toutes nos amplitudes dans une représentation

soient normalisées (ce qui signifie, vous vous en souvenez, que 1=∑iii φφ ), les matrices de

rotation auront leurs déterminants égaux à de pures exponentielles comme iae (la démonstration, qui n'est pas difficile, est laissée en exercice). Nous pouvons donc, si nous le voulons, choisir de donner à toutes nos matrices de rotation R une même phase en prenant 1det =R . On fait cela de la façon suivante. Supposons que nous trouvions une matrice de rotation par une certaine méthode. Nous prenons comme règle de la "convertir" sous une "forme standard" en définissant

(10) R

RR

detstandard =

Nous pouvons le faire car cela revient simplement à multiplier chaque terme de R par le même facteur de phase pour obtenir les phases que nous voulons. Dans ce qui suit, nous supposerons toujours que nos matrices ont été mises sous la "forme standard". Nous pourrons alors utiliser (6) sans avoir de facteurs de phase supplémentaires.

III.2.3. Rotations autour de l'axe z Nous sommes maintenant prêts à trouver la matrice jiR entre deux représentations. Avec nos règles

de composition des rotations et notre hypothèse que l'espace n'a pas de direction privilégiée, nous avons les clés dont nous avons besoin pour trouver la matrice d'une rotation arbitraire. Il n'y a qu'une solution. Nous commençons avec la transformation qui correspond à une rotation autour de l'axe z. Supposons que nous ayons deux appareils disposés en série et alignés, avec leurs axes parallèles et pointant hors du plan de la figure comme le montre la figure (a) ci-dessous.

Nous choisissons notre "axe z" dans cette direction. Sans aucun doute, si le faisceau va "vers le haut" (vers +z) dans l'appareil S, il en fera de même dans l'appareil T. De même, s'il va vers le bas dans S, il ira vers le bas dans T. Supposons par contre que l'appareil soit disposé à un autre angle, mais toujours avec son axe parallèle à celui de S comme sur la figure (b) ci-dessus. Intuitivement, nous dirions qu'un faisceau (+) de S irait encore comme un faisceau (+) de T parce que les champs et les gradients des champs sont encore dans les mêmes directions. Et cela serait tout à fait exact. Egalement, un faisceau (-) dans S irait comme un faisceau (-) dans T. Le même résultat serait valable pour toute orientation de T dans le plan xy de S. Qu'est-ce que cela nous apprend sur la

relation entre ψTC +=′+ , ψTC −=′− et ψSC +=+ , ψSC −=− ? Vous pourriez en

conclure que toute rotation autour de l'axe z du "système de référence" choisi pour les états de base

laisse les amplitudes "vers le haut" et "vers le bas" comme auparavant. Nous pourrions écrire

++ =′ CC et −− =′ CC . Mais ceci est faux. Il faut éviter les conclusions hâtives. Tout ce que nous

pouvons en conclure est que pour de telles rotations, les probabilités d'être dans le faisceau "en haut" sont les mêmes pour les appareils S et T. C'est-à-dire

(1) ++ =′ CC et −− =′ CC

Nous ne pouvons pas dire que les phases des amplitudes relatives à l'appareil T ne peuvent pas être différentes pour les deux orientations (a) et (b). Les deux appareils, dans (a) et (b) de la figure ci-dessus sont en fait différents, comme nous pouvons le voir dans ce qui suit. Supposons que nous placions devant S un appareil produisant un état pur (+x) (l'axe x pointant vers le bas de la figure). Les particules seraient alors partagées par S en deux faisceaux (+z) et (-z) mais les deux faisceaux seraient recombinés pour donner à nouveau un état (+x) en 1P , à la sortie de S. La même chose se produit de nouveau dans T. Si nous faisons

suivre T par un troisième appareil U, dont l'axe est dans la direction (+x), toutes les particules iront dans le faisceau (+) de U. Comme dans la figure (a) ci-dessous.

Imaginez maintenant ce qui arriverait si T et U étaient basculés tous les deux ensemble de 90° comme le montre la figure (b) ci-dessus. De nouveau, l'appareil T restitue tout ce qui est entré, si bien que les particules qui entrent dans U sont dans un état (+s) par rapport à S. Mais maintenant U analyse l'état (+y) par rapport à S, ce qui est donc différent (par symétrie, nous pouvons nous attendre à ce que la moitié seulement des particules soient transmise).

Qu'y a-t-il donc de changé ? Les appareils T et U sont encore dans la même disposition relative. La même disposition relative. La physique peut-elle être changée, simplement parce que T et U ont une orientation différente ? Notre hypothèse initiale est que cela n'est pas vrai. Il faut donc que les amplitudes par rapport à T soient différentes dans les deux cas de la figure ci-dessus, et par conséquent aussi de la première figure. La particule doit avoir quelque moyen de savoir qu'elle a pris le virage en 1P . Comment pourrait-elle faire ? Eh bien tout ce que nous avons dit, c'est que les

magnitudes de −′C et +′C sont les mêmes dans les deux cas, mais elles pourraient, et en fait elles

doivent, avoir des phases différentes. Nous concluons que +′C et +C sont reliées par

(2) ++ =′ CeC iλ

et que −′C et −C doivent être reliées par

(3) −− =′ CeC iµ

où λ et µ sont des nombres réels qui doivent être reliés de quelque façon à l'angle entre S et T.

La seule chose que nous pouvons dire sur λ et sur µ pour le moment est qu'ils ne doivent pas être

égaux (sauf dans le cas spécial de la figure (a), lorsque T a la même orientation que S). Nous avons vu qu'un changement de toutes les amplitudes par une même phase n'a pas de conséquence physique. Pour la même raison nous pouvons toujours ajouter une quantité arbitraire à λ et à µ

sans que cela change quoi que ce soit. Nous sommes donc autorisés à choisir λ et µ égaux à plus

ou moins le même nombre. Autrement dit, nous pouvons toujours prendre

(4) ( ) ( )

22

µλµµµλλλ +−=′+−=′

Alors

(5) µµλλ ′−=−=′22

Nous adoptons donc la convention que λµ −= . En prenant les choses d'un autre point de vue, nous

sommes tout simplement en train de mettre la transformation sous la "forme standard" décrite dans

la section précédente. Par conséquent, nous avons la règle générale que pour une rotation d'un certain angle autour de l'axe z de l'appareil de référence, la transformation est

(6) −−

−++

+ =′=′ CeCCeC ii λλ

Les valeurs absolues sont les mêmes, seules les phases diffèrent. Ces facteurs de phases sont responsables des résultats différents des deux expériences de la figure précédente. Nous voudrions savoir maintenant quelle est la loi qui relie λ à l'angle entre S et T. Nous connaissons déjà la réponse dans un cas. Si l'angle est nul, λ est nul. Maintenant, nous allons faire l'hypothèse que le déphasage λ est une fonction continue de l'angle φ entre S et T. lorsque φ tend

vers zéro, ce qui semble raisonnable. Autrement dit, si nous faisons tourner T d'un petit angle ε autour de S, λ est aussi une petite quantité, disons εm , où m est un certain nombre. Nous l'écrivons de cette façon parce que nous pouvons montrer que λ doit être proportionnel à ε . Supposons que nous placions un autre appareil T' derrière T, faisant un angle ε avec T et, par conséquent, un angle ε2 avec S. Par rapport à T, nous avons alors

(7) ++ =′ CeC iλ

et par rapport à T' nous avons

(8) +++ =′=′′ CeCeC ii λλ 2

Mais nous savons que nous devrions obtenir le même résultat si nous placions T' directement après S. Alors, lorsque l'angle est doublé, la phase est doublée. Nous pouvons également généraliser cet argument et construire n'importe quelle rotation par une suite de rotations infinitésimales. Nous concluons que quel que soit φ , λ est proportionnel à cet angle. Par conséquent, nous pouvons

écrire φλ m= .

Le résultat général que nous obtenons est alors que pour une rotation de T autour de l'axez z, d'un angle φ par rapport à S

(9) −−

−++ =′=′ CeCCeC imim φφ

Pour l'angle φ , et pour toutes les rotations dont nous parlerons dans le futur, nous adopterons la

convention standard qu'une rotation positive est une rotation à droite par rapport à la direction plus de l'axe de référence. Un φ positif indique la rotation d'une vis ayant son pas à droite, progressant

dans la direction des z positifs. Il nous faut maintenant trouver ce que vaut m. Tout d'abord, nous pouvons essayer l'argument suivant : supposons que T soit tourné de 360°, alors, clairement, il est revenu à 0° et nous devons

avoir ++ =′ CC et −− =′ CC , ou, ce qui revient au même, 12 =πime . Nous obtenons m = 1. Cet

argument est faux ! Encore une preuve qu'il faut se méfier des conclusions hâtives sur la phase des amplitudes lorsque deux situations semblent identiques. Pour le voir, considérons T tourné de 180°.

Si m était égal à 1, nous aurions +++ −==′ CCeC iπ et −−−

− −==′ CCeC iπ . Mais ceci n'est autre

que l'état initial. Les deux amplitudes sont seulement multipliées par -1, ce qui redonne le système physique original (c'est encore un cas de changement par une même phase). Cela signifie que si l'angle T et S dans la figure (b) est augmenté jusqu'à 180°, le système ne pourrait être distingué de la situation à zéro degrés et les particules iraient à nouveau dans l'état (+) de l'appareil U. A 180°, cependant, l'état (+) de l'appareil U est l'état (-x) de l'appareil original. Si bien qu'un état (+x) deviendrait un état (-x). Or nous n'avons rien fait pour changer l'état original. La réponse est donc fausse. Nous ne pouvons pas avoir m = 1. On peut voir que m = -1/2 marcherait aussi. Mais, on voit sur (9) qu'un changement de signe revient à définir la notation pour une particule ayant son spin en haut. Cela donne

(10) zaxel'deautour360°

−=′−=′

−−

++

CC

CC

Cela paraît très curieux de dire que si vous tournez l'appareil de 360° vous obtenez de nouvelles amplitudes. En fait, elles ne sont pas vraiment nouvelles car un changement de signe commun ne conduit par à une physique différente. Si quelqu'un d'autre a décidé de changer tous les signes des amplitudes parce qu'il pensait avoir tourné de 360°, c'est parfait. Il obtiendra quand même la même physique.

Et aussi, si quelque chose a été transformé par une séquence de petites rotations dont le résultat est de le ramener à sa position originale, il nous est possible de nous rendre compte que ce quelque chose a tourné de 360°, et non de 0°, si nous avons gardé trace de toute son histoire (chose remarquable, ceci n'est pas vrai pour une rotation de 720°). Ce comportement curieux a quand même des conséquences lorsque l'on considère plusieurs particules, comme nous le verrons. Ce changement de signe n'est donc pas si innocent qu'il y paraît même si pour une particule seule, cela n'a pas d'importance (avec deux particules, on peut comparer les phases relatives). Comme il a d'ailleurs été noté ci-dessus, ce résultat est le seul qui soit correct. On doit avoir ce changement de signe. Il est assez évident que rien de comparable n'existe en physique classique où tout objet tourné de 360° revient à sa position initiale et où absolument aucune quantité le décrivant n'est modifiée, même par le signe. C'est clairement un des aspects les plus étranges de la mécanique quantique. Notre réponse finale est donc que si nous connaissons les amplitudes +C et −C par rapport à un

système de référence S, pour une particule de spin un demi, et si nous utilisons un système de base rapport T et obtenu à partir de S par une rotation de φ autour de l'axe z, les nouvelles amplitudes

sont données en fonction des anciennes par

(11) zdeautour2/

2/

φφ

φ

=′=′

−−

−

++

CeC

CeCi

i

III.2.4. Rotations de 180° et de 90° autour de y Ensuite, nous allons essayer de deviner les transformations pour une rotation de T par rapport à S de 180° autour d'un axe perpendiculaire à l'axe z, disons autour de l'axe y. Autrement dit, nous commençons avec deux appareils de Stern et Gerlach identiques, le second, T, étant tourné "la tête en bas" par rapport au premier S, comme dans la figure ci-dessous.

Si maintenant nous considérons nos particules comme de petits dipôles magnétiques, une particule qui est dans l'état (+S), si bien qu'elle prend le chemin "du haut" dans le premier appareil, prendra aussi le chemin "du haut" du second et sera donc dans l'état moins par rapport à T (dans l'appareil T retourné, les directions du gradient et du champ sont retournées ensembles. La force ne dépend que du gradient, mais c'est le champ qui permet de repérer le haut et le bas de l'appareil T. La force sur une particule dont le moment magnétique dont le moment magnétique est dans une direction donnée reste la même). De toute façon, ce qui est "en haut" par rapport à S sera "en bas" par rapport à T. Pour les positions relatives de S et T ci-dessus, nous savons donc que la transformation doit donner

(1) +−−+ =′=′ CCCC

Comme auparavant, nous ne pouvons pas exclure des facteurs de phase supplémentaires. Nous pourrions avoir (pour 180° autour de l'axe y)

(2) −+ =′ CeC iβ et +− =′ CeC iγ

où β et γ restent à déterminer. Que peut-on dire d'une rotation de 360° autour de l'axe y ? Et bien, nous savons déjà la réponse pour une rotation de 360° autour de l'axe z, l'amplitude pour être dans un état quelconque est changée de signe. Une rotation de 360° autour de n'importe quel axe nous ramène à la position originale. Il faut donc que toute rotation de 360° donne le même résultat qu'une rotation de 360° autour de l'axe z, toutes les amplitudes changement seulement de signe. Supposez maintenant que nous imaginions deux rotations successives de 180° autour de y, en utilisant l'équation (2), nous devrions alors obtenir le résultat d'une rotation de 360°. En d'autres termes

(3) −−+−

++−+

−==′=′′−==′=′′

CCeeCeC

CCeeCeC

iii

iii

βγγ

γββ

Cela signifie que

(4) 1−=γβ ii ee ou βγ ii ee −−= Ainsi, la transformation pour une rotation de 180° autour de l'axe y peut être écrite

(5) +−

−−+ −=′=′ CeCCeC ii ββ

Les arguments que nous venons de donner s'appliquerait tout aussi bien pour une rotation de 180° autour de n'importe quel axe du plan xy, quoique des axes différents puissent, bien entendu, donner des nombres différents pour β . Mais c'est là la seule façon dont ils peuvent différer. Par ailleurs, il

y a un certain degré d'arbitraire dans le choix du nombre β , mais une fois qu'il est fixé pour un axe

de rotation dans le plan xy, il est déterminé pour tout autre axe. Conventionnellement, on choisit de prendre 0=β pour une rotation autour de l'axe y.

Pour montrer que nous avons ce choix, supposez que nous imaginions que β ne soit pas égal à

zéro pour une rotation autour de l'axe y. Nous pouvons alors montrer qu'il y a un autre axe dans le plan xy pour lequel le facteur de phase est zéro. Cherchons le facteur de phase Aβ pour un axe

faisant l'angle α avec l'axe y comme le montre la figure (a) ci-dessous. Pour plus de clarté, la figure est dessinée avec α égal à un nombre négatif, cela n'a aucune importance.

Maintenant, si nous prenons un appareil T qui est tout d'abord aligné avec l'appareil S et qui est ensuite tourné de 180° autour de l'axe A, ses axes que nous appellerons x", y", z" seront disposés comme sur la figure (a). Les amplitudes par rapport à T seront alors

(6) +−

−−+ −=′′=′′ CeCCeC AiAi ββ

Nous pouvons maintenant essayer d'obtenir la même orientation par les deux rotations successives indiquées sur les figures (b) et (c). Tout d'abord, nous imaginons un appareil U qui est tourné, par rapport à S, de 180° autour de l'axe y. Les axes x', y', z' de U seront comme le montre la figure (b) et les amplitudes par rapport à U sont données par (5). Remarquez maintenant que nous pouvons passer de U à T par une rotation autour de "l'axe z" de U, c'est-à-dire autour de z', comme le montre la figure (c). Vous pouvez voir sur cette figure que l'angle nécessaire est égal à deux fois l'angle α , mais dans la direction opposée (par rapport à z'). En utilisant la transformation autour de l'axe z avec αφ 2−= , nous obtenons

(7) −+

−+−

+ ′=′′′=′′ CeCCeC ii αα

En combinant les équations (7) et (5), nous obtenons

(8) ( ) ( )+

−−−−

−+ −=′′=′′ CeCCeC ii αβαβ

Bien entendu, ces amplitudes doivent être les mêmes que celles que nous avons obtenues dans (6).

Aβ doit être relié à α et β par

(9) αββ −=A

Cela signifie que si l'angle α entre l'axe A et l'axe y (de S) est égal à β , la transformation pour

une rotation de 180° autour de A aura 0=Aβ .

Maintenant, dès qu'il existe un certain axe perpendiculaire à l'axe z pour lequel nous avons 0=β ,

nous pouvons tout aussi bien prendre cet axe comme axe y. Ce n'est rien d'autre qu'une convention et nous adoptons celle qui est d'usage général. Notre résultat : pour une rotation de 180° autour de l'axe y, nous avons

(10) ydeautour180°

−=′=′

+−

−+

CC

CC

Puisque nous discutons de l'axe y, cherchons ensuite quelle est la matrice de transformation pour une rotation de 90° autour de y. Nous pouvons la trouver car nous savons que deux rotations successives de 90° autour du même axe doivent être égales à une rotation de 180°. Nous commençons en écrivant la transformation par rotation de 90° sous sa forme la plus générale : (11) −+−−++ +=′+=′ dCcCCbCaCC

Une deuxième rotation de 90° autour du même axe aurait les mêmes coefficients : (12) −+−−++ ′+′=′′′+′=′′ CdCcCCbCaC

En combinant les équations (11) et (12), nous avons

(13) ( ) ( )( ) ( )−+−+−

−+−++

+++=′′+++=′′dCcCdbCaCcC

dCcCbbCaCaC

Par ailleurs, d'après (10), nous savons que

(14) +−−+ −=′′=′′ CCCC

si bien que nous devons avoir

(15)

0

1

0

1

2

2

=+

−=+=+

=+

dbc

cdac

bca

bdab

Ces quatre équations sont suffisantes pour déterminer les quatre inconnues : a, b, c et d. Ce n'est pas

difficile à faire. Regardez les deuxième et quatrième équations. Vous en déduisez que 22 da = , ce qui signifie que a = d ou bien a = -d. Mais a = -d est à rejeter car, alors, la première équation serait fausse. Donc d = a. En utilisant cela, bous avons immédiatement b = 1/2a et c = -1/2a. Nous avons maintenant tout en fonction de a. En exprimant la seconde équation, par exemple, en fonction de a, nous avons

(16) 04

12

2 =−a

a ou 4

14 =a

Cette équation a quatre solutions différentes (en nombres complexes), mais deux d'entre elles

seulement donnent la valeur standard du déterminant. Rien ne nous empêche de prendre 2/1=a (l'autre solution change tous les signes de a, b, c et d et correspond à une rotation de -270°). Alors

(17)

2

1

2

1

2

1

2

1

=−=

==

dc

ba

Autrement dit, pour deux appareils S et T, avec T tourné de 90° autour de l'axe y, la transformation est

(18) ( )

( )ydeautour90

2

12

1

°

+−=′

+=′

−+−

−++

CCC

CCC

Nous pouvons bien entendu résoudre ces équations en +C et −C ce qui nous donne la

transformation pour une rotation de moins 90° autour de y. En permutant les primes, nous pourrions conclure que

(19) ( )

( )ydeautour90

2

12

1

°−

+=′

−=′

−+−

−++

CCC

CCC

III.2.5. Rotations autour de x Vous être peut-être en train de vous dire : "tout cela devient ridicule. Qu'est-ce qu'ils vont bien faire ensuite, 47° autour de y, puis 33° autour de x, et ainsi de suite à l'infini" ? Non, nous avons presque fini. Avec seulement deux des transformations que nous avons, 90° autour de y et un angle arbitraire autour de z (ce que nous avons fait en premier si vous vous en souvenez), nous pouvons engendrer n'importe quelle rotation. A titre d'illustration supposez que nous voulions l'angle α autour de x. Nous savons comment traiter l'angle α autour de z, mais maintenant nous le voulons autour de x. Comment l'obtenir ? Tout d'abord, nous tournons l'axe z jusque sur l'axe x, ce qui est une rotation de +90° autour de y, comme le montre la figure ci-dessous.

Ensuite, nous tournons d'un angle α autour de z', puis nous tournons de -90° autour de y". Le résultat brut de ces trois rotations est le même que pour une rotation α autour de x. C'est là une propriété de l'espace. Il est difficile de saisir intuitivement ces faits sur les combinaisons de rotations et sur ce qu'elles produisent. Et c'est étrange puisque nous vivons dans trois dimensions, mais il nous est difficile de nous rendre compte de ce qui se passe si nous tournons dans un sens puis dans un autre. Peut-être, si nous étions des poissons ou des oiseaux et si nous avions un sens direct de ce qui se passe lorsque nous faisons des pirouettes dans l'espace, nous pourrions saisir plus facilement toutes ces choses. Quoi qu'il en soit, calculons la transformation pour une rotation α autour de l'axe x en utilisant ce que nous savons. La première rotation de 90° autour de y change les amplitudes selon ce que nous venons de voir dans la section précédente. En appelant x', y', z' les axes après rotation, la rotation suivante, de α autour de z', nous amène au système x", y", z", pour lequel

(1) −−

−++ ′=′′′=′′ CeCCeC ii 2/2/ αα

La dernière rotation de -90° autour de y" nous conduit à x''', y''', z'''. D'après la formule de la section précédente,

(2) ( ) ( )−+−−++ ′′+′′=′′′′′−′′=′′′ CCCCCC2

1

2

1

En combinant ces deux dernières rotations, nous obtenons

(3)

( )

( )−−

++

−

−−

++

+

′+′=′′′

′−′=′′′

CeCeC

CeCeC

ii

ii

2/2/

2/2/

2

1

2

1

αα

αα

En utilisant la formule de la section précédente pour +′C et −′C , nous obtenons la transformation

complète :

(4) ( ) ( )

( ) ( ) −+−

−++

−

−+−

−++

+

+−++=′′′

+−−+=′′′

CCeCCeC

CCeCCeC

ii

ii

2/2/

2/2/

2

12

1

αα

αα

Nous pouvons mettre ces formules sous une forme plus simple en nous rappelant que

(5) θθθ cos2=+ −ii ee et θθθ sin2iee ii =− Nous obtenons

(6) xdeautour

2cos

2sin

2sin

2cos

ααα

αα

+

=′′′

+

=′′′

−+−

−++

CCiC

CiCC

Voilà notre transformation pour une rotation d'un angle α quelconque autour de l'axe x. Elle est seulement un peu plus compliquée que les autres.

III.2.6. Rotations quelconques Nous pouvons voir maintenant comment faire pour un angle quelconque. Remarquons tout d'abord que n'importe quelle orientation relative de deux systèmes de coordonnées peut être décrite en fonction de trois angles, comme le montre la figure ci-dessous.

Si nous avons un système d'axes x', y' et z' orienté de façon quelconque par rapport à x, y et z, nous pouvons décrire la relation entre les deux systèmes au moyen des trois angles d'Euler α , β et γ qui définissent les trois rotations successives qui ramèneraient le système x, y, z sur le système x', y', z'. En partant de x, y, z, nous faisons tourner notre système d'un angle β autour de l'axe z, ce

qui amène l'axe x sur la ligne 1x . Nous faisons ensuite une rotation de α autour de cet axe

provisoire pour amener z sur z'. Finalement, une rotation d'un angle γ autour du nouvel axe z (c'est-à-dire z') amènera l'axe x sur x' et l'axe y sur y'. Avec un peu de travail vous pouvez montrer que le système x, y, z peut aussi être amené sur le système x', y', z' par les trois rotations suivantes autour des axes originaux : (1) tournez d'un angle γ autour de l'axe original z, (2) tournez d'un angle α autour de l'axe original x, (3) tournez d'un angle β autour de l'axe original y. Mais ce qui

nous est le plus utile est la méthode précédente qui donne des rotations successives autour de chaque axe obtenu après la rotation qui précède. Nous connaissons les transformations pour chacune des trois rotations. En les combinant dans l'ordre correct, nous obtenons

(1)

( ) ( )

( ) ( )−

+−+

−−

−−−

++

+

+=′

+=′

CeCeiC

CeiCeC

ii

ii

2/2/

2/2/

2cos

2sin

2sin

2cos

γβγβ

γβγβ

αα

αα

Si bien qu'en partant simplement de quelques hypothèses sur les propriétés de l'espace, nous avons déduit les transformations des amplitudes pour n'importe quelle rotation. Cela signifie que si nous connaissons les amplitudes qu'à un état quelconque d'une particule de spin un demi pour aller dans chacun des deux faisceaux de l'appareil de Stern et Gerlach S, dont les axes sont x, y et z, nous pouvons calculer la fraction qui irait dans l'un ou l'autre faisceau d'un appareil T, d'axes x', y' et z'. Autrement dit, si nous avons un état ψ d'une particule de spin un demi, dont les amplitudes pour

être "en haut" et "en bas" sont ψ+=+C et ψ−=−C , par rapport à l'axe z du système x, y, z,

nous connaissons aussi les amplitudes +′C et −′C pour être "en haut" et "en bas" par rapport à l'axe

z' d'un autre système x', y', z'. Les quatre coefficients dans l'équation (1) sont les termes de la matrice de transformation avec laquelle nous pouvons projeter les amplitudes d'une particule de spin un demi dans n'importe quel système de coordonnées. Nous allons maintenant calculer quelques exemples pour vous montrer comment tout cela fonctionne. Considérons d'abord la question simple suivante. Nous plaçons un atome de spin un demi dans un appareil Stern et Gerlach qui ne transmet que l'état (+z). Quelle est l'amplitude pour qu'il soit dans l'état (+x) ? L'axe +x est le même que l'axe +z' d'un système tourné de 90° autour de l'axe y. Il est donc plus simple, pour ce problème, d'utiliser les formules de rotation autour de l'axe y, quoique vous puissiez bien entendu utiliser les équations complètes (1). Comme 1=+C et

0=−C , nous obtenons 2/1=′+C . Les probabilités étant les carrés des modules de ces

amplitudes, il y a 50% de chances pour que la particule passe à travers un appareil qui sélectionne

l'état (+x). Si nous avions cherché l'amplitude pour l'état (-x), nous aurions trouvé 2/1− , qui donne aussi une probabilité 1/2, comme vous pouviez le prévoir d'après la symétrie de l'espace.

Donc, si une particule est dans l'état (+z), elle a autant de chances d'être en (+x) ou en (-x) mais avec des phases opposées. Nous n'avons pas de préjugé contre y non plus. Une particule dans l'état (+x) a 50% de chance

d'être en (+y) ou en (-y). Cependant, pour ces états les amplitudes sont 2/1 et 2/i− (en employant la formule pour une rotation de -90° autour de x). Dans ce cas les deux amplitudes ont une différence de phase de 90°, au lieu de 180° dans le cas de (+x) et (-x). En fait, c'est de cette façon qu'apparaît la différence entre x et y. Comme exemple final, supposons que nous sachions qu'une particule de spin un demi est dans un état tel qu'elle soit polarisée "en haut" le long d'un certain axe A défini par les angles θ et φ de la

figure ci-dessous.

Nous voulons connaître l'amplitude ψ+=+C pour que la particule soit "en haut" le long de z et

l'amplitude ψ−=−C pour qu'elle soit "en bas" le long de z. Nous pouvons trouver ces

amplitudes en imaginant que A est l'axe z d'un système dont l'axe x est dans une direction arbitraire, disons dans le plan de A et de z. Nous pouvons alors amener le système de référence de A sur x, y, z par trois rotations. Tout d'abord, nous faisons une rotation de 2/π− autour de l'axe A, ce qui amène l'axe x sur la ligne B de la figure. Ensuite, nous tournons de θ autour de la ligne B (le nouvel axe x du système de référence A) pour amener A sur l'axe z. Finalement, nous tournons de l'angle ( )φπ −2/ autour de x. En vous rappelant que nous avons un état (+) par rapport à A, nous

obtenons

(2) 2/2/

2sin

2cos φφ θθ ii eCeC == −

−+

Finalement, nous aimerions résumer les résultats de cette analyse sous une forme utile. D'abord, nous vous rappelons que notre résultat principal, (1), peut être écrit dans une autre notation. Remarquez que les équations (1) ont exactement la signification que l'équation (4) de la section

III.2.1. Ce qui veut dire que les coefficients ψSC +=+ et ψSC −=− des équations (1) sont

juste les amplitudes iSjT qui sont les amplitudes pour qu'une particule dans l'état i par rapport à

S aille dans l'état j par rapport à T (quand l'orientation de T par rapport à S est donnée en fonction

des angles α , β et γ ). Nous les avons aussi appelées TS

jiR (nous avons une pléthore de notations

!) Par exemple, STRTS +−=+− est le coefficient de +C dans la formule pour −′C , soit précisément

( ) ( ) 2/2/sin γβα −iei . Nous pouvons par conséquent faire un résumé de nous résultats sous forme d'un

tableau. ( )γβα ,,jiR

iSjT +S -S

+T ( ) 2/

2cos γβα +ie ( ) 2/

2sin γβα −−iei

-T ( ) 2/

2sin γβα −iei ( ) 2/

2cos γβα +−ie

Il est commode, à l'occasion, d'avoir ces amplitudes calculées pour quelques cas particuliers simples. Soit ( )φzR la rotation d'angle φ autour de l'axe z. Nous pouvons désigner de la même

façon la matrice de rotation correspondante (en omettant les indices i et j, qui seront supposés implicites). Dans le même esprit ( )φxR et ( )φyR indiqueront les rotations autour de l'axe x ou de

l'axe y. Nous donnons dans le tableau suivant, les tables des amplitudes iSjT , qui projettent les

amplitudes du système S dans le système de T, où T est obtenu à partir de S par la rotation indiquée.

( )φzR

iSjT +S -S

+T 2/φie 0

-T 0 2/φie− ( )φxR

iSjT +S -S

+T 2/cosφ 2/sinφi

-T 2/sinφi− 2/cosφ

( )φyR

iSjT +S -S

+T 2/cosφ 2/sinφ

-T 2/sinφ− 2/cosφ

III.3. Traitement général

III.3.1. Rotations, moment angulaire et groupes uni taires Nous allons maintenant traiter la situation générale de la rotation dans l'espace d'un système

physique dans un état représenté par le ket α ou la fonction d'onde ( )rαψ . Nous décrivons une

rotation par un opérateur linéaire R qui est ainsi définit que tout vecteur r subit une rotation et

devient le vecteur Rr. La rotation change le ket α en le ket α ′ ou change la fonction d'onde

( )rαψ en la fonction d'onde ( )rαψ ′ . Nous avons donc

(1) ( ) ( )rr αα ψψ =′ R

Groupe de rotation propre Chaque opérateur rotation peut être représenté par une matrice 3x3. Nous écrivons les composantes rectangulaires de tout vecteur arbitraire r et le vecteur après rotation Rr comme des matrices

colonnes, ainsi l'équation rr RR = est écrite comme l'équation matricielle

(2)

=

z

y

x

RRR

RRR

RRR

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

R

R

R

L'exigence que les composantes de Rr soient réelles quand les composantes de r sont réelles

signifie que les éléments de la matrice R sont réels. De plus, l'exigence que le produit scalaire de deux vecteurs quelconques soit inchangé quand les deux vecteurs sont soumis à la même rotation peut être utilisé pour montrer que R est orthonormal : les trois lignes de R sont orthonormales les unes avec les autres et les trois colonnes de R sont orthonormales les unes avec les autres. Ainsi, le déterminant de R est égal à 1± . Nous considérerons ici seulement les rotations propres, pour lesquelles le déterminant est égal à +1. Puisque le déterminant est non nul, la transformation

inverse 1−R existe et a la propriété RR rr 1−= . On peut aussi montrer que 1−R est la transposée de

R : ( ) jiij RR =−1 , où i, j = x, y, z. Finalement, puisqu'il y a six contraintes indépendantes sur les neuf

éléments de matrice ijR , toutes les rotations peuvent être décrites par trois paramètres variant de

manière continue. Les matrices R satisfont toutes les exigences d'un groupe. La loi interne est la multiplication matricielle, qui est associative. La multiplication de deux matrices avec les propriétés ci-dessus conduit à une troisième avec les mêmes propriétés. La matrice ijδ est l'élément identité et chaque R

à un inverse. Un exemple est facilement trouvé qui montre que les rotations ne commutent pas en

général, ainsi le groupe n'est pas abélien. Donc, les matrices R forment un groupe connexe à trois paramètres que l'on montre facilement être compact. Le groupe, que nous avons déjà vu, est désigné par O(3), le groupe orthogonal à trois dimensions qui est l'ensemble de toutes les matrices orthonormales 3x3 avec un déterminant égal à +1. Un groupe connexe dans lequel les paramètres du produit de deux éléments sont des fonctions continues et différentiables des paramètres des éléments est un groupe de Lie. Les groupes des translations dans l'espace et le temps sont des groupes de Lie non compacts et le groupe des rotations est un groupe de Lie compact. Le groupe de Lorentz a trois paramètres pour décrire les rotations et trois paramètres pour décrire les changements de vitesse. C'est un groupe de Lie à six paramètres qui n'est cependant pas compact car il n'y a pas de transformation qui correspond à la valeur limite c du changement de vitesse dans une direction quelconque.

Isomorphisme géométrique Chaque matrice R correspond à une rotation physique. Donc, elle peut être représentée par un vecteur φ dont la direction est l'axe autour de laquelle la rotation se produit (toujours supposée

dans le sens des aiguilles d'une horloge quand on regarde depuis l'origine le long de φ ) et dont la

grandeur est l'angle de rotation en radians. Les points finaux des vecteurs qui représentent toutes les rotations remplissent une sphère de rayon π . Les points diamétralement opposés à la surface de cette sphère représentent la même rotation. Le processus par lequel deux points finaux de vecteurs dans la sphère sont combinés pour former un troisième point dans la sphère est compliqué lorsqu'il est décrit en fonction des coordonnées des deux premiers points mais il peut être déterminé en mettant les trois points en correspondance bijective avec deux des R et leur produit matriciel. De tels points dans une sphère de rayon π forment un groupe qui est isomorphe au groupe de rotation. Il est cependant plus utile pour son caractère imagé que pour des calculs car la fonction de poids pour l'espace du groupe n'est pas constante. Cet isomorphisme géométrique peut être utilisé pour montrer que le groupe de rotation, bien que connexe n'est pas simplement connexe. Cela signifie que les paramètres du groupe peuvent varier sur plus d'un chemin continu conduisant de tout élément à un autre sans que ces chemins puissent être déformés de manière continue les uns en les autres. Dans le cas présent il y a deux chemins distincts. L'un d'entre eux va de l'élément 1R à l'élément 2R entièrement dans la sphère. L'autre va

de 1R à la surface de la sphère, réapparaît au point diamétralement opposé et ensuite va vers 2R .

Un chemin qui fait deux sauts entre des points diamétralement opposés de la surface peut être réduit au chemin du premier type (en rapprochant les points des deux sauts de manière à ce que le chemin arrive à la surface et la quitte au même point) et ainsi de suite. Donc le groupe de rotation est doublement connexe.

Rotations infinitésimales Une grande partie de la structure du groupe de Lie peut être apprise en étudiant les éléments qui sont infiniment près de l'élément identité. Comme on peut s'y attendre, cela est beaucoup plus simple qu'une étude du groupe complet. Si le vecteur φ est de longueur infinitésimale et que seules

les quantités du premier ordre en φ sont retenues, la relation rr RR = peut être écrite

(3) rrr ×+≈ φR

La combinaison de (2) et (3) montre que

(4)

−−

−≈

1

1

1

xy

xz

yz

R

φφφφ

φφ

Nous voulons maintenant trouver une transformation ( )φRU qui change le ket α en le ket α ′

ou qui change la fonction d'onde ( )rαψ en la fonction d'onde ( )rαψ ′ :

(5) ( ) ( ) ( )rr αα ψψφ ′=RU

La combinaison des équations (1) et (5) donne

(6)

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )rprr

rrr

rr

rr

αα

αα

α

αα

ψφψ

ψφψφψ

ψψφ

⋅×−=

∇⋅×−≈×−≈

= −

h

i

RU R

1

en analogie avec la dérivation des translations spatiales. Nous pouvons donc poser

(7) ( ) L⋅−≈ φφh

iU R 1

où (8) prL ×=

est l'opérateur pour le moment angulaire de la particule autour de l'origine. Les trois opérateurs xL , yL et zL sont appelés les générateurs des rotations infinitésimales autour

des trois axes de coordonnées des angles xφ , yφ et zφ , respectivement, selon (7). De la même

manière, les formes infinitésimales dans les translations spatiales et temporelles montrent que p et -H sont les générateurs des translations infinitésimales dans l'espace et le temps, respectivement. Le fait que les composantes de p commutent l'une avec l'autre conduit directement à la conclusion que le groupe des translations spatiales est abélien. D'un autre coté, les composantes de L ne commutent pas l'une avec l'autre et ainsi le groupe des rotations n'est pas abélien.

L'équation du mouvement du ket ayant subit une rotation α ′ peut être trouvée exactement comme

dans la discussion sur les translations spatiales. La condition pour que le système possède une symétrie par rotation ou invariance est que ( )φRU commute avec H pour tout φ ou que les

générateurs xL , yL et zL commutent avec H. Cela signifie que le moment angulaire L est une

constante du mouvement comme on s'y attend pour un système qui possède une symétrie à la

rotation. Cela signifie aussi qu'il y a une dégénérescence de l'énergie si αL est linéairement

indépendant de α .

Spin d'une particule vectorielle Le fait que les générateurs des transformations de symétrie infinitésimales soient égaux à des variables dynamiques reconnaissables dans les situations simples vues jusqu'ici suggère qu'elles puissent être utilisées pour définir des variables dynamiques dans des situations plus compliquées. Comme exemple, considérons maintenant une particule possédant un degré de liberté interne qui peut être relié au moment angulaire de spin intrinsèque. La particule est supposée être décrite par

une fonction d'onde ( )rαψ vectorielle au lieu d'une fonction d'onde scalaire considérée jusqu'ici

(les valeurs de la fonction d'onde en chaque point sont donc un vecteur au lieu d'être un simple nombre complexe). De plus, nous supposons que, lorsque l'état subit une rotation, non seulement r change en rR mais aussi αψ change en αψR . Donc, l'équation (1) devient

(9) ( ) ( )rr αα ψψ RR =′

De même, (5) devient (10) ( ) ( ) ( )rr αα ψψφ ′=RU

où ( )φRU est maintenant un opérateur tensoriel puisqu'il change le caractère vectoriel de αψ . La

combinaison des équations (9) et (10) donne au premier ordre en φ

(11)

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )rrLr

rrr

rr

rr

ααα

αα

αα

αα

ψφψφψ

ψφφψψφψψψφ

×+⋅−≈

×+×−≈×+≈

=−−

−

h

i

RR

RRU R

11

1

Le caractère tensoriel de ( )φRU est plus facile à montrer en l'écrivant comme une matrice 3x3 qui

multiplie le vecteur αψ pour produire le vecteur αψ ′ en analogie avec (2). Les deux premiers

termes sur le coté droit de (11) sont alors proportionnels à la matrice unité. La comparaison avec les équations (3) et (4) montre que le troisième terme peut être écrit sous la forme

(12) ( ) ( ) ( )rSr αα ψφψφ ⋅−=×h

i

où les composantes de S sont les matrices 3x3 suivantes :

(13)

−=

−=

−=

000

001

010

001

000

100

010

100

000

h

h

h

iS

iS

iS

z

y

x

Avec cette définition de S, la transformation de rotation infinitésimale est

(14) ( ) ( )SLi

U R +⋅−≈ φφh

1

Les générateurs des rotations infinitésimales sont les composantes du vecteur (15) SLJ += que nous identifions avec le moment angulaire total de la particule. Le moment angulaire orbital est L et il agit seulement sur la dépendance en r de ( )rαψ sans affecter ses composantes. L'opérateur S

est appelé le moment angulaire de spin et il réarrange les composantes de ( )rαψ sans affecter sa

dépendance en r. Donc L et S commutent l'un avec l'autre. Il arrive souvent que L et S ne commutent pas séparément avec H tandis que J oui. Physiquement, cela signifie que l'hamiltonien contient des termes qui couplent les moments angulaires de spin et orbital ensemble mais pas avec l'environnement.

On avait déjà vu que les valeurs propres possibles de 2222zyx LLL ++=L sont ( ) 21 h+ll où l est un

entier positif ou zéro et est appelé le nombre quantique de moment angulaire orbital. La

substitution directe à partir des matrices (13) montre que 2222zyx SSS ++=S est égal à 22h fois la

matrice unité. Cela correspond à l = 1 dans le cas orbital, ainsi la particule porte un moment angulaire de spin h . La conclusion dérive des propriétés de transformations vectorielles supposées de la fonction d'onde ( )rαψ qui décrit la particule. D'autres degrés de liberté internes, qui se

manifestent comme des propriétés de transformation différentes de la fonction d'onde, seront montrés conduire à d'autres valeurs du spin.

Relations de commutation pour les générateurs On a remarqué ci-dessus que les composantes de L ne commutent pas l'une avec l'autre et ainsi le groupe de rotation n'est pas abélien. Plus généralement, on peut montrer que les relations de commutation entre les générateurs des éléments infinitésimaux d'un groupe de Lie déterminent les caractéristiques principales du groupe entier puisqu'en effet ils spécifient comment les éléments du groupe peuvent être intégrés sur une distance finie à partir de l'élément identité. Les relations de commutation entre les composantes de L sont facilement trouvées à partir de (8) et des conditions quantiques. Les résultats sont (16) [ ] [ ] [ ] yxzxzyzyx LiLLLiLLLiLL hhh === ,,,

La substitution directe de (13) montre que les composantes de S satisfont les mêmes relations. Alors, puisque L et S commutent, les composantes de J satisfont aussi (16). Ces trois équations sont souvent écrites sous la forme équivalente (17) JJJ hi=× Les relations (17) ont été établies seulement pour le moment angulaire total des particules de spin zéro (scalaires) et de spin un (vectorielles). Néanmoins, nous les adoptons comme les équations définissant le moment angulaire et pour les générateurs du groupe de rotation dans le cas général. Les générateurs du groupe de Lie forment la base d'une algèbre de Lie. Cette algèbre est fermée dans le sens que le commutateur de toute paire de générateurs est une combinaison linéaire des générateurs. Notre prochaine tâche sera de résoudre les équations algébriques (17) afin d'obtenir des matrices explicites pour les J et donc pour les éléments infinitésimaux du groupe. Il s'agit en fait de construire les différentes représentations de l'algèbre.

Une fois que les matrices J sont connues, il est facile d'étendre les opérateurs rotation infinitésimale donnés par (14) et (15) à des rotations finies. Supposons que nous voulions trouver ( )φRU pour une

certaine rotation finie φ . Alors, l'effet d'une petite augmentation dans la grandeur de φ , de φ à

φφ ∆+ , est de suivre la rotation finie ( )φRU par la rotation infinitésimale ( ) xJi φ∆− h/1 , ce qui

donne

(18) ( ) ( )φφφφ RxR UJi

U

∆−≈∆+h

1

Donc, ( )φRU satisfait l'équation différentielle

(19) ( ) ( )φ

φφ

RxR UJ

i

d

dU

h−=

avec la condition aux limites ( ) 10 =RU . Cette équation est facilement intégrée pour donner

(20) ( ) h/xJiR eU

φφ −=

Puisque aucune restriction n'a été posée dans le choix de l'axe x pour φ , nous obtenons

(21) ( )h

J⋅−= φφ iU R exp

comme l'opérateur pour les rotations finies. Cette relation est conforme à ce que nous avons vu dans l'étude des groupes et les différentes représentations de l'algèbre nous donnent directement les représentations du groupe des rotations.

Choix d'une représentation Nous allons maintenant résoudre l'équation (17) de l'algèbre de Lie d'une manière similaire à celle utilisée pour l'oscillateur harmonique. Nous avons trois variables dynamiques hermitiques xJ , yJ

et zJ , aucune ne commutant avec les autres. Donc, pas plus d'une ne peut être rendue diagonale.

Cependant, nous pouvons construire 2J à partir de ces opérateurs et on voit facilement qu'il

commute avec chacune des composantes de J. En analogie avec la représentation énergie du

problème de l'oscillateur, nous choisissons maintenant une représentation dans laquelle 2J et une

des composantes, disons zJ , sont diagonaux.

Tout comme dans le problème de l'oscillateur, où il est plus facile de travailler avec ximp cω±

qu'avec x et p, il est plus facile de travailler ici avec yx iJJ ± qu'avec xJ et yJ . Nous définissons

donc les opérateurs non hermitiques (22) yxyx iJJJiJJJ −=+= −+

qui sont adjoints hermitiques l'un de l'autre et jouent un rôle similaire aux opérateurs de création et

de destruction dans le problème de l'oscillateur. Il est évident que ±J commute avec 2J et les

autres relations de commutation deviennent (23) [ ] [ ] [ ] zzz JJJJJJJJJ hhh 2,,, =−== −+−−++

Nous indiçons les lignes et les colonnes de notre représentation avec une paire de nombres j et m. Il est utile de choisir les valeurs propres de zJ égales à hm où m est un ensemble de nombres réels

sans dimensions. Cependant, la relation entre j et les valeurs propres de 2J sera laissée ouvert pour

le moment. Ces valeurs propres seront écrites ( ) 2hjf où ( )jf est une fonction sans dimension de

j. Alors, dans notre représentation, les matrices pour 2J et zJ sont

(24) ( ) mmjjzmmjj mmjJjmjfmjjm ′′′′ =′′=′′ δδδδ hh22

J

De plus, puisque ±J commute avec 2J , ils sont diagonaux en j mais pas en m.

La première équation (23) peut être écrite dans cette représentation comme

(25) mjJjmmjJmjmjJjmmjJmjmjJjm zz′′′′=′′′′′′′′−′′′′′′′′ +++ h

où les symboles de sommations sur j' et m' n'ont pas été écrits explicitement. Les deux cotés de cette équation s'annulent sauf si ( ) ( ) ( )jfjfjf ′′=′= . Nous obtenons donc, avec l'aide de la

deuxième équation (24),

(26) ( ) 01 =′′′′−′′− + mjJjmmm

Donc, mjJjm ′′+ est non nul seulement quand 1+′′= mm . Cela signifie que le résultat de

l'opération avec +J sur le ket mj ′′ est un certain multiple du ket 1, +′′mj , ainsi +J est un

opérateur de création pour les valeurs propres de zJ . De même, la deuxième équation (23), qui ne

diffère que par le signe, conduit à

(27) ( ) 01 =′′+− − mjJjmmm

et ainsi −J est un opérateur de destruction.

Nous pouvons donc écrire les éléments non nuls de +J et de son adjoint hermitique −J sous la

forme

(28) hh∗

−+ =+=+ mm jmJmjjmJmj λλ 1,1,

La substitution des éléments de matrices (28) dans la troisième équation (23) montre que les éléments non diagonaux s'annulent des deux cotés et un élément diagonal typique est

(29) mmm 222

1 =−− λλ

On notera que mλ peut dépendre de j autant que de m.

Valeurs de m, ( )jf et mλ

L'équation (29) est une équation aux différences linéaire du premier ordre en 2

mλ et sa solution

générale est, à une constante arbitraire près,

(30) ( )12 +−= mmCmλ

Maintenant, 2

mλ est nécessairement positif au zéro bien que le coté droit de (30) atteint

évidemment des valeurs négatives pour des valeurs négatives ou positives suffisament grandes de m. Cela ne cause pas de problème s'il y a deux valeurs 1m et 2m de m pour lesquelles 0=mλ et si

ces deux valeurs diffèrent l'une de l'autre par un entier. Si c'est le cas, les séries des valeurs de m

dans lesquels les termes diffèrent de l'unité peuvent se terminer aux deux extrémités sans que 2

mλ

devienne négatif. L'équation (26) peut être satisfaite à la borne supérieure ( 1mm = ) en ayant

01, 11 =+ + jmJmj plutôt qu'en ayant une valeur propre de zJ plus grande que h1m . De même,

l'équation (27) peut être satisfaire à la borne inférieure ( 2mm = ) en ayant 01, 22 =+− mjJjm

plutôt qu'en ayant une valeur propre de zJ inférieure à ( )h12 +m . 2

mλ est évidemment non

négatif pour les valeurs de m allant de 12 +m à 1m , inclus.

Nous avons donc une série finie de valeurs de m allant de 1m à 12 +m par pas unité où 1m et 2m

sont les racines les plus grandes et les plus petites de l'équation quadratique ( ) 01 =+− mmC :

(31) ( ) ( ) 2/1

1

2/1

1 412

1

2

141

2

1

2

1CmCm +−−=++−=

Puisque 12 +m est égal à 1m− , la série des valeurs de m va de 1m à 1m− par pas unité, ce qui

signifie que 12m doit être un entier positif ou zéro. Donc, 1m est restreint à la série de valeurs 0, 21 ,

1, 23 ,… et ( )111 += mmC .

Afin d'évaluer ( )jf , nous calculons l'élément matriciel diagonal jm de ( ) 2212

zJJJJJ ++= +−−+J .

Le résultat est

(32) ( )

( ) 211

2

222

2122

1212

1 hh

hhh

+==

++= −

mmC

mjf mm λλ

où nous avons utilisé (30). Nous renommons 1m , qui est la plus grande valeur de m pour une série

donnée, et nous l'appelons j. Ainsi les valeurs propres de 2J sont ( ) 21 h+jj où j est un entier

positif ou zéro ou la moitié d'un entier impair. Pour chaque valeur de j, il y a 2j + 1 valeurs de m qui vont par pas entier de j à -j. Les éléments de matrice non nuls des opérateurs de création et de

destruction sont obtenus à partir de (28) et (30) et peuvent être écrits de différentes manières équivalentes

(33)

( ) ( )[ ]( )( )[ ]

( ) ( )[ ]( )( )[ ]

( ) ( )[ ] 1,11

1

111,

1

111,

2/1

2/1

2/1

2/1

2/1

±±−+=

=+−+=

−−+=−

++−=

+−+=+

±

−

+

mjmmjjjmJ

jmmjmJ

mjmj

mmjjjmJmj

mjmj

mmjjjmJmj

z

h

h

h

h

h

h

Un facteur de phase arbitraire a été posé égal à l'unité, en conformité avec la convention habituelle.

Matrices moment angulaire

Notre choix d'une représentation dans laquelle 2J et zJ sont diagonaux a conduit à des séquences

discrètes de valeurs pour les indices correspondant j et m. La matrice infinie ainsi obtenue est plus facile à manipuler en la séparant en un ensemble infini de matrices finies, chacune caractérisées par une valeur particulière de j et avec 2j + 1 lignes et colonnes.

Pour j = 0, 2J et les composantes de J sont toutes représentées par les matrices nulles de rang un :

(0). Les matrices pour les trois valeurs suivantes de j sont obtenues en utilisant (22) et (33) :

(34)

=

−−

=

−−

−

=

=

=

=

−=

−−

=

=

=

=

−=

−=

=

=

1000

0100

0010

0001

3000

0100

0010

0003

0300

3020

0203

0030

0300

3020

0203

0030

:

100

010

001

2

100

000

001

00

0

00

2010

101

010

2

:1

10

01

10

01

0

0

01

10

:

24152

21

21

21

23

22

2432

21

21

21

21

hh

hh

hh

hh

hh

hh

J

J

J

z

yx

z

yx

z

yx

J

i

ii

ii

i

JJ

j

J

i

ii

i

JJ

j

J

i

iJJ

j

Relation avec les harmoniques sphériques La comparaison des résultats avec ceux sur les potentiels à symétrie sphérique suggère une relation proche entre les matrices moment angulaire pour lesquelles j = l est un entier et les harmoniques

sphériques ( )φθ ,lmY . Les équations aux valeurs propres de ces fonctions sont consistantes avec les

formes diagonales des matrices 2J et zJ . De plus, les ±J peuvent être exprimés comme des

opérateurs différentiels :

(35)

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂=

−−

+

φθ

θ

φθ

θ

φ

φ

cot

cot

ieJ

ieJ

i

i

h

h

Il est alors possible, en utilisant les propriétés des harmoniques sphériques, de montrer que

(36) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )φθφθ

φθφθ

,11,

,11,

1,

2/1

1,

2/1

−−

++

−−+=

+−+=

mllm

mllm

YmmllYJ

YmmllYJ

h

h

comme on s'y attend selon (33). Il est apparent que les harmoniques sphériques peuvent être vues comme constituant une transformation de la représentation moment angulaire à la représentation coordonnées angulaires, en accord avec la théorie des transformations :

(37) ( ) lmYlm θφφθ =,

En utilisant (37), on doit se souvenir que la fonction de poids θsin doit être incluse quand une intégration sur la coordonnée angulaire est effectuée.

Moment angulaire de spin Puisque le moment angulaire orbital prL ×= est exprimé en fonction des coordonnées et des

impulsions, la quantité 2L n'est en général pas une constante du mouvement. Donc, le nombre quantique l n'a pas besoin d'être bien défini et ne peut pas être utilisé pour caractériser une particule excepté dans des circonstances très restreintes. Il est cependant possible d'avoir un moment

angulaire S qui satisfait les relations de commutation fondamentales (17) et tel que 2S commute

avec toutes les variables dynamiques. Une condition nécessaire est que S ne soit pas exprimé en

fonction de r et de p. Alors, 2S est une constante stricte du mouvement et peut être remplacé par le

nombre ( ) 21 h+ss , où s est un entier ou la moitié d'un entier impair. Nous avons déjà vu un

exemple d'un tel moment angulaire de spin intrinsèque où un vecteur fonction d'onde devait avoir s = 1. Comme on s'y attend, cette fonction d'onde a 2s + 1 = 3 composantes et les matrices de spin (13) sont essentiellement les mêmes que les matrices dans (34) qui correspondent à j = 1. Le deuxième ensemble de matrice peut être obtenu à partir du premier par une transformation unitaire qui a simplement l'effet de regrouper les composantes du vecteur fonction d'onde. Nous avons également étudié les propriétés de transformation sous les rotations dans le cas s = 1/2. On a trouvé expérimentalement que les électrons, protons, neutrons, neutrinos et les muons ont s = 1/2. Les photons ont s = 1 et les mésons pi ont s = 0. Il y a aussi des particules à courte durée de vie et des agrégats de particules qui sont caractérisés par des valeurs définies du moment angulaire de spin.

Groupe de recouvrement Les matrices moment angulaire qui correspondent à des valeurs demi-entières de j ne peuvent pas représenter des moments angulaires purement orbitaux et peuvent apparaître ainsi seulement en relation avec le spin. Une particule ou système qui a L,, 2

321=j a la propriété intéressante

suivante. Supposons qu'un état d'un tel système subisse une rotation de π2 radians. Par facilité, nous choisissons l'axe de rotation comme l'axe z et nous calculons l'opérateur rotation avec (21) :

(38) ( ) h/22 ziJ

R eU ππ −=

Puisque les matrices zJ données dans (34) sont diagonales, ( )π2RU est aussi diagonal et a les

valeurs propres ime π2− où m est un demi-entier. Donc, ( )π2RU est égal à -1 fois la matrice unité. Il

est facile de voir que ce résultat s'applique à la rotation de π2 autour de tout axe puisque la composante de J dans cette direction peut toujours être choisie diagonale. Nous en concluons que la rotation d'une particule de spin demi-entier de π2 radians change le signe de sa fonction d'état. Ce que nous avions déjà constaté avec les particules de spin 1/2. Une particule de spin entier est inchangée par une rotation de π2 tandis qu'une particule de spin demi-

entier nécessite une rotation de π4 pour redevenir elle-même. Puisque des particules s = 1/2 existent réellement dans la nature, ce résultat ne peut pas être écarté comme curiosité mathématique. Le fait qu'il n'y ait pas de conflit avec l'expérience vient de que la fonction d'onde elle-même n'est pas une quantité directement mesurable. Ce sont plutôt les combinaisons bilinéaires des fonctions d'onde qui apparaissent dans les résultats des mesures et ces combinaisons ne changent pas de signe sous une rotation π2 . Nous voyons que la moitié des matrices qui peuvent être utilisées pour représenter J ou ( )φRU

correspondent à deux valeurs par rapport aux vecteurs φ . Cela suggère que ces représentations

pourraient correspondre à une seule valeur si on distinguait les φ qui diffèrent d'une rotation π2 ,

par exemple, en élargissant la sphère de rayon π qui contient les points finaux de ces vecteurs à une sphère de rayon π2 . Comme avant, la fonction de poids pour l'espace du groupe n'est pas constant dans la sphère. Cela fournit un isomorphisme géométrique vers un nouveau groupe qui a deux fois plus d'éléments que le groupe de rotation. Bien que le groupe de rotation soit doublement connexe, on vérifie facilement que le nouveau groupe est simplement connexe puisque la surface entière de la sphère de rayon π2 correspond à un seul élément du groupe. Ce nouveau groupe est appelé le groupe de recouvrement universel ou simplement groupe de recouvrement du groupe de rotation. Il est dit homomorphe au groupe de rotation puisque à chaque élément du groupe de recouvrement il correspond un et seulement un élément du groupe de rotation, à chaque élément du groupe de rotation correspond au moins un élément (en réalité deux) du groupe de recouvrement et il y a une correspondance avec le groupe de multiplication.

Groupes unitaires et unitaires spéciaux à deux dime nsions La représentation non triviale de rang le plus petit des générateurs du groupe de rotation sont les trois premières matrices de (34) que nous écrivons sous la forme

(39)

−=

−=

=

=

10

01

0

0

01

10

21

zyxi

iσσσ

σhJ

Les matrices σ sont appelées les matrices de spin de Pauli car elles furent d'abord découvertes en relation avec le spin de l'électron par Pauli. Le ( )φRU généré en accord avec (21) et (39) ont deux

lignes et deux colonnes et ont deux valeurs par rapport aux vecteurs φ , ainsi les matrices de Pauli

génèrent une représentation du groupe de recouvrement. Il est évident que puisque J est hermitique, ( )φRU est unitaire.

On voit facilement que l'ensemble de toutes les matrices unitaires avec deux lignes et deux colonnes forment un groupe pour lequel la loi interne est la multiplication matricielle. C'est le groupe unitaire à deux dimensions, que nous avons vu, désigné U(2). Cependant, ce groupe est plus grand que le groupe des matrices ( )φRU construit à partir de (21) et (39) avec tous les vecteurs

réels φ puisque les matrices qui apparaissent dans l'exposant de ( )φRU ont une trace zéro. On peut

alors utiliser la relation

(40) ( ) ( )AA ee trdet =

Puisque la trace de chaque composante de σ est zéro, les ( )φRU ont un déterminant unité. Donc le

groupe de recouvrement est ce qui est appelé le groupe unitaire spécial ou groupe unitaire unimodulaire à deux dimensions, désigné par SU(2), qui est le groupe de toutes les matrices unitaires 2x2 avec un déterminant égal à +1. Ces matrices forment en fait un groupe puisque la propriété unimodulaire est préservée dans la multiplication matricielle.

Les groupes U(n) et SU(n) Une matrice unitaire qui a n lignes et colonnes peut être écrite sous la forme

(41) iHeU = où H est une matrice hermitique qui a n lignes et colonne. Toutes ces matrices U forment clairement un groupe, noté U(n), pour lequel la loi interne est la multiplication matricielle. Les éléments de matrices diagonaux de H sont réels et les éléments non diagonaux symétriques par rapport à la diagonale principale sont complexes conjugués. Donc H et donc aussi U est caractérisé

par 2n paramètres indépendants. On vérifie facilement que U(n) est un groupe de Lie compact

connexe et à 2n paramètres.

La trace de toute matrice hermitique est réelle et le déterminant de toute matrice unitaire est un nombre complexe de grandeur unité, ainsi en accord avec (40) et (41)

(42) ( ) α=Htr , ( ) αieU =det , α réel

Donc, si l'on exige que le déterminant de U soit égal à +1, une seule contrainte est placée sur les 2n paramètres, puisque alors ( )πα 2mod0= . Ces matrices forment aussi un groupe de Lie compact

connexe. Il est noté SU(n) et a 12 −n . Tout membre de SU(n) est clairement un membre de U(n) mais l'inverse n'est pas vrai. SU(n) est donc un sous-groupe de U(n). Nous notons un membre typique de SU(n) par 0U , où

(43) ( ) ( ) 1det0tr 0000 === UHeU

iH

Alors à partir un membre typique de U(n), caractérisé par (41) et (42), nous pouvons construire une matrice correspondante 0U telle que

(44) ( ) ( )111nini eUUeU

nHH /

00/

0ααα ==+=

où 1 est la matrice unité à n dimensions et 0U et 0H sont reliés par (43). Les nombres nie /α sont

des matrices unitaires 1x1 qui constituent le groupe U(1) et les matrices nn× 1nie /α forment

évidemment une représentation à une dimension de U(1). Donc, tout membre de U(n) peut être écrit comme un produit matriciel des membres appropriés de U(1) et SU(n). Il n'est pas difficile de voir que U(n) est un sous-groupe de U(m) et SU(n) est un sous-groupe de SU(m), pourvu que n < m. Tout membre U de U(n) peut être développé en une matrice unitaire

mm× en ajoutant des lignes et colonnes de la manière suivante :

(45)

1O

OU

Ici 1 est la matrice unité avec m - n lignes et colonnes et O est une matrice rectangulaire nulle. La matrice hermitique correspondantes peut être développée de manière similaire

(46)

OO

OH

où clairement (45) et (46) sont reliés par (41). Donc, un sous-ensemble particulier de matrices de U(m) constitue une représentation matricielle de U(n) et de même pour SU(m) et SU(n).

Générateurs de U(n) et SU(n) Les générateurs de tout groupe de Lie sont définis en fonction des éléments du groupe qui sont infiniment prêt de l'élément unité, en analogie avec (7). Donc, si le groupe a s paramètres, les s générateurs jλ spécifient un élément infinitésimal du groupe en fonction des s paramètres réels

infinitésimaux jφ :

(47) ∑=

+s

j

jji1

λφ1

Pour U(n), les générateurs peuvent être pris comme toutes 2n matrices hermitiques linéairement indépendantes avec n lignes et colonnes. Puisque i fois le commutateur de toute paire de ces matrices est aussi hermitique, il peut être exprimé comme une combinaison linéaire des générateurs. Donc, l'algèbre de Lie de U(n) est fermée. De la même manière, les générateurs de

SU(n) peuvent être pris comme toutes 12 −n matrices hermitiques sans trace linéairement indépendantes avec n lignes et colonnes. A nouveau, i fois le commutateur de toute paire de ces matrices est aussi hermitique et sans trace et ainsi l'algèbre est fermée.

Dans le cas n = 2, le groupe unitaire spécial a 3122 =− paramètres qui peuvent être pris comme les trois composantes du vecteur réel φ . Un choix pratique pour les trois générateurs est celui

défini par (39) qui est consistant avec les relations de commutation (17). Il est évident qu'aucun des trois générateurs ne commutent ensembles. Le rang du groupe est défini comme le nombre maximum de générateurs mutuellement commutant, ainsi SU(2) est de rang 1. Nous avons trouvé plus tôt dans cette section qu'une représentation particulière d'une algèbre de Lie et donc du groupe généré par l'algèbre est utilement spécifiée en choisissant autant d'opérateurs diagonaux que possible. Donc, nous sommes partis de l'algèbre O(3), définie par les relations de

commutation (16) ou (17) et nous avons choisi une représentation dans laquelle les opérateurs

commutant zJ et 2J sont diagonaux, comme dans (24). La solution de (17) a alors conduit à des

valeurs aussi bien entières que demi-entières de j et donc à reconnaître que le groupe de

recouvrement de O(3) est SU(2). De cette manière, l'opérateur 2J construit à partir des générateurs

a joué un rôle essentiel pour déterminer les représentations. Selon le théorème de Racah, le nombre d'opérateurs indépendants qui peuvent être construits à

partir des générateurs, comme 2J ci-dessus, et qui commutent avec tous les générateurs d'un

groupe de Lie est égal au rang du groupe. C'est Casimir qui reconnu la première fois qu'un tel opérateur peut toujours être formé en prenant une combinaison bilinéaire appropriée des générateurs. Ils sont donc appelés les opérateurs de Casimir. Puisque SU(2) est de rang 1, son seul

opérateur de Casimir est 2J .

Le groupe SU(3)

Le groupe unitaire spécial à trois dimensions a 8132 =− générateurs, 81 ,, λλ K qui peuvent être

choisis de plusieurs manières pratiques. Puisque SU(2) est un sous-groupe utile de SU(3), nous spécifions trois générateurs de SU(3) qui sont aussi des générateurs de SU(2) en développant les matrices de Pauli (39) de deux à trois lignes et colonnes en accord avec (46).

(48)

−=

−=

=000

010

001

000

00

00

000

001

010

321 λλλ i

i

Ces trois premiers des huit λ satisfont évidemment les mêmes relations de commutation que les σ . Les relations peuvent être écrites

(49) [ ] ∑=k

kijkji i σεσσ 2, , i, j, k = x, y, z ou 1, 2, 3

où ijkε est le symbole totalement antisymétrique de Kronecker dont les seules valeurs non nulles

sont (50) 1213321132312231123 =−=−=−=== εεεεεε

Les cinq λ restants peuvent encore être choisis de plusieurs manières. Cependant, puisque la principale application de l'algèbre SU(3) est la classification des particules élémentaires, nous suivons la notation adoptée dans ce domaine :

(51)

−=

−=

=

−=

=

200

010

001

3

1

00

00

000

010

100

000

00

000

00

001

000

100

87

654

λλ

λλλ

i

i

i

i

On vérifie facilement que l'analogue de (49) est

(52) [ ] ∑=k

kijkji fi λλλ 2, , i, j, k =1,…,8

où ijkf est totalement antisymétrique, ainsi il change de signe quand deux de ses indices sont

échangés. Les seules valeurs non nulles de ijkf sont les permutations de :

(53) 3

1

21

678458

21

376345257246165147123

==

=======

ff

fffffff

Donc, 123f est égal à 123ε donné par (50), comme attendu.

Il y a au plus deux des huit générateurs qui commutent entre eux, 8λ et un des trois premiers λ

avec le choix ci-dessus, ainsi SU(3) est de rang 2. Donc, il y a deux opérateurs de Casimir qui commutent avec tous les λ . L'un d'entre eux est

(54) ∑=

=8

1

2

i

iC λ

et l'autre est une somme assez compliquée de produits trilinéaires des λ . Il est important de noter que la relation [ ] 0, =iC λ doit être établie à partir des équations opérateurs (52) à (53) et non à

partir de la représentation matricielle particulière des λ donnée par (48) et (51).

Représentation en fonction des coordonnées et impul sions On a noté plus tôt que les opérateurs moment angulaire orbital (8) satisfont les relations de commutation (16) pour les générateurs de O(3) ou SU(2) pourvu que les composantes de r et p satisfont les conditions quantiques habituelles. Donc, nous devrions être capables d'identifier trois des huis générateurs de SU(3) avec les composantes de L. Une fois que cela est fait, il est raisonnable de s'attendre à ce que les cinq autres générateurs puissent aussi être représentés en fonction des coordonnées et impulsions. Puisqu'il y en a cinq, il est naturel de tenter de les associer avec les cinq composantes d'un certain tenseur quadrupolaire. Nous sommes conduit de cette manière à considérer les huit quantités suivantes comme des représentations possibles des huit générateurs de SU(3) :

(55) ( ) ( )

( ) ( )22221

2222220

22

232

232

yx

zyx

xzzxzyyzyxxy

xyzzxyyxx

ppyxQ

pppzyxQ

ppzxQppyzQppxyQ

ypxpLxpzpLzpypL

−+−=

−++−+=

+=+=+=

−=−=−=

βα

βαβαβαβα

où α et β sont des nombres réels sans dimension.

Les 28 commutateurs de ces huit opérateurs sont facilement calculés et ils peuvent être comparés aux commutateurs des huit λ donné dans les équations (52) et (53). Il peut sembler au premier abord raisonnable d'identifier xL , yL et zL avec des multiples de 1λ , 2λ et 3λ , respectivement, et

les relations de commutation (49) admettent cette possibilité. Cependant, il s'avère qu'il est impossible de trouver des combinaisons linéaires des λ qui correspondent aux cinq Q. La raison pour cela vient de la différence entre la manière dont SU(2) est un sous-groupe de SU(3) et la manière avec laquelle O(3) est un sous-groupe de SU(3). Les matrices de Pauli (39), qui sont les générateurs de SU(2), ont été étendues de deux à trois lignes et colonnes pour donner les trois

premiers λ donnés dans (48). D'un autre coté, O(3) est un sous-groupe de SU(3) pour la raison que la matrice R, donnée dans (2), est une matrice 3x3 réelle orthonormale avec un déterminant égal à l'unité et donc un cas particulier d'une matrice 3x3 unitaire unimodulaire. Il est clairement impossible de trouver une représentation de la rotation infinitésimale typique (4) qui est de la forme (48) puisque les troisièmes lignes et colonnes de ces dernières consistent en des zéros. Cette conclusion n'est pas surprenante quand on se souvient que 1λ , 2λ et 3λ génère la représentation j =

1/2 de SU(2) tandis que seules les représentations j entier peuvent être exprimées en fonction des coordonnées et impulsions. L'identification correcte est obtenue en écrivant (4) sous la forme (7) :

(56) ( ) malinfinitési1 φφ L⋅−≈h

iR

Il suit alors de la comparaison de (48) et (51) que (57) 257 λλλ hhh =−== zyx LLL

Les identifications restantes sont obtenues en comparant les relations de commutation des L et des Q avec celles des λ :

(58) 3180

461

λαβλαβ

λαβλαβλαβ

hh

hhh

==

===

QQ

QQQ zxyzxy

L'opérateur de Casimir (54) est, dans cette représentation,

(59)

( ) ( )

( )2

2

2/1

2

2/112

21

20

2221222

33

+

+−=

+++++=

−

−−

pr

L

αβ

βα

αβ

h

hh QQQQQC zxyzxy

III.3.2. Composition des états de moment angulaire et opérateurs tensoriels Un problème central de la vieille théorie quantique était la combinaison des moments angulaires associés à deux parties d'un système (tel que le moment angulaire orbital de deux électrons dans un atome ou le spin et le moment angulaire du même électron) pour former le moment angulaire du système complet. Le modèle vectoriel a résolu ce problème avec une règle supplémentaire : la grandeur de la somme de deux vecteurs moment angulaire peut avoir toute valeur partant de la somme de leurs grandeurs (cas parallèle) à la différence de leurs grandeurs (cas antiparallèle), par pas entier. C'est appelé la règle du triangle, puisque les grandeurs de deux moments angulaires et leur résultante doivent former un triangle fermé (qui peut avoir une aire nulle). Le modèle vectoriel dit aussi que la somme des composantes z du moment angulaire égale celle de leur résultante. Ces règles sont également valides en mécanique quantique. Nous allons d'abord montrer qu'elles s'appliquent aux combinaisons linéaires de produits d'états propres de deux opérateurs moment angulaire commutant qui sont états propres du moment angulaire total. Le même type de formule d'addition est alors montrée valide pour des produits de rotations ou d'opérateurs tensoriels et pour l'état produit quand un opérateur tensoriel agit sur un état propre moment angulaire. Il est évident que tout nombre d'états propre de moment angulaire et d'opérateurs tensoriels peuvent être combinés en les prenant deux par deux en accord avec les méthodes développées dans cette section. Cependant, des procédures analogues ont aussi été développées pour la combinaison directe de trois états propres de moment angulaire ou plus.

Matrice de rotation pour un spin quelconque Mais avant d'attaquer la situation générale, étudions une situation plus simple de manière un peu intuitive. Afin d'appréhender le problème et de mieux comprendre la suite qui est fort abstraite. Comme nous l'avons vu, tout système de spin ou "moment cinétique total" j peut exister dans l'un ou l'autre des (2j + 1) états pour lesquels la composante z du moment angulaire peut avoir l'une ou l'autre des valeurs discrètes de la série j, j - 1, j - 2, …, -(j - 1), -j (en unité de h ). Désignant la composante z du moment cinétique de chaque état par hm , nous pouvons définir un état particulier de moment cinétique en donnant les valeurs numériques de deux "nombres quantiques de moment

cinétique" j et m. Nous pouvons représenter un tel état par le vecteur d'état mj, , comme nous

avons vu. Dans le cas d'une particule de spin 1/2, les deux états sont alors 2/1,2/1 et 2/1,2/1 − ,

ou encore, pour un système de spin un, et dans cette notation, les états s'écriraient 1,1 + , 0,1 ,

1,1 − . Une particule de spin zéro a bien entendu pour unique état 0,0 .

Maintenant, nous voulons savoir ce qui se passe lorsque nous projetons l'état général mj, dans

une représentation par rapport à un nouveau système d'axes, obtenu par rotation. D'abord, nous savons que j est un nombre qui caractérise le système, il a la même valeur pour les différents états, donc il ne change pas. Si nous imposons une rotation aux axes, tout ce que nous faisons c'est de fabriquer un mélange des diverses valeurs de m pour le même j. En général, il y aura une certaine

amplitude pour que le système se trouve dans l'état mj ′, pour le référentiel après rotation, m′ étant la nouvelle composante z du moment cinétique. Ce que nous voulons, ce sont donc tous les

éléments de matrice jmRmj ′ pour diverses rotations.

Nous avons déjà vu, en étudiant les lois de conservation, ce qui se passe si nous faisons une rotation

d'un angle φ autour de l'axe z. Le nouvel état est tout simplement l'ancien multiplié par φime , il a

encore la même valeur de m. Nous avons vu en détail de cas du spin 1/2 et nous généraliserons un peu plus loin. Ceci peut s'écrire

(1) ( ) mjemjR im

z ,, φφ =

Ou, si vous préférez,

(2) ( ) φδφ im

mmz emjRmj ′=′ ,,,

Pour une rotation autour d'un autre axe quelconque, il y aura un mélange de divers états m. Nous pourrions bien sûr, essayer d'établir les éléments de matrice pour une rotation arbitraire décrite par les angles d'Euler α , β et γ . Mais il nous est plus facile de nous souvenir que la plus générale de

ces rotations est aussi bien le résultat des trois rotations ( )γzR , ( )αyR , ( )βzR . Donc, si nous

connaissons les éléments de matrice pour une rotation autour de l'axe y, nous aurons tout ce qu'il nous faut. Comme pouvons-nous trouver la matrice de rotation pour une rotation d'un angle θ autour de l'axe y, dans le cas d'une particule de spin j ? Nous verrons une approche générale après. Nous l'avons fait pour le spin un demi par un raisonnement de symétrie compliqué. Mais on peut aussi considérer qu'un système de spin un est constitué de deux particules de spin un demi. Si vous accepter cela pour le moment sans démonstration et le fait que dans le cas général les réponses ne dépendent que du spin j et pas de l'agencement des entrailles de l'objet, nous pouvons étendre l'argument à un spin arbitraire. Rappelons que nous tentons d'abord une approche intuitive. Nous pouvons, par exemple, mijoter un système artificiel de spin 3/2 à partir de trois objets de spin 1/2. Nous pouvons même nous éviter des complications en imaginant que ce sont trois particules distinctes, comme un proton, un électron et un muon. En transformant chaque objet de spin un demi, nous pouvons voir ce qui se passe pour l'ensemble du système, en nous souvenant que, pour l'état combiné, les trois amplitudes sont multipliées. Voyons comment cela marche dans ce cas. Supposons que nous prenions les trois objets de spin un demi, tous avec les spins "en haut". On

peut indiquer cet état par +++ . Si nous regardons ce système dans un référentiel tourné d'un

angle φ autour de l'axe z, chaque plus reste un plus, mais se trouve multiplié par 2/φie . Nous avons

trois facteurs, de sorte que

(3) ( ) ( ) +++=+++ 2/3φφ i

z eR

Evidemment, l'état +++ est tout simplement ce que nous désignons par l'état m = +3/2 ou l'état

2/3,2/3 + .

Si nous faisons tourner le système autour de l'axe y maintenant, chacun des objets de spin un demi aura une certaine amplitude pour être plus ou moins et le système sera un mélange des huit

combinaisons possibles +++ , −++ , +−+ , ++− , −−+ , −+− , +−− , −−− .

Cependant, il est clair que nous pouvons les séparer en quatre lots, dont chacun correspond à une

valeur particulière de m. On a d'abord +++ pour lequel m = 3/2. Ensuite, il y a trois états

−++ , +−+ , ++− , chacun avec deux plus et un moins. Comme chaque objet de spin un

demi a la même chance de se retrouver moins après une rotation, la contribution de chacune de ces combinaisons doit être égale. Prenons donc la combinaison

(4) ++−++−++−++3

1

avec un facteur 3/1 pour normaliser l'état. Si nous faisons tourner cet état autour de l'axe z, nous

obtenons un facteur 2/φie pour chaque plus et 2/φie− pour chaque moins. Chaque terme dans (4) est

multiplié par 2/φie , il y a donc un facteur commun 2/φie . Cet état correspond à l'idée que nous nous faisons d'un état m = +1/2. Nous pouvons conclure que

(5) 21

23 ,

3

1 +=++−++−++−++

De même, nous pouvons écrire

(6) 21

23 ,

3

1 −=+−−+−+−+−−+

ce qui correspond à un état avec m = -1/2. Notez que nous prenons seulement les combinaisons symétriques. Nous ne prenons aucune combinaison avec les signes moins. Elles correspondraient à des états de même , mais de j différent. Nous verrons cela. Pour finir, nous avons

(7) −−−=− 23

23 ,

Nous rassemblons nos quatre états dans le tableau suivant.

23

23 ,+=+++

21

23 ,

3

1 +=++−++−++−++

21

23 ,

3

1 −=+−−+−+−+−−+

23

23 ,−=−−−

Maintenant, tout ce qu'il nous reste à faire est de prendre chaque état, de le faire tourner autour de l'axe y et de voir combien il donne de chaque autre état, en utilisant la matrice de rotation pour les

particules de spin un demi. Les états dans le système S seront représentés par +++=+ S,, 23

23 ,

++−++−++−+++3

1,, 2

123 S et ainsi de suite. Le système T sera un système déduit de S

par rotation d'un angle θ autour de l'axe y. Les états dans T seront représentés par T,, 23

23 + ,

T,, 21

23 + et ainsi de suite. Bien sûr, T,, 2

323 + est identique à +′+′+′ où les apostrophes se

réfèrent toujours au système T. De même, T,, 21

23 + sera égal à

+′+′−′++′−′+′+−′+′+′3

1 et ainsi de suite. Chaque état +′ dans le référentiel T

provient des deux états + et − dans S, par l'intermédiaire des éléments de matrice pour le spin

1/2.

Si l'on note ++′=a et +−′=b , avec trois particules de spin 1/2; nous pouvons écrire

(8)

−′−′−′++′−′−′+−′+′−′+−′−′+′+

+′+′−′++′−′+′+−′+′+′++′+′+′=+++32

23

bab

baa

Et donc

(9) TbTabTbaTaS ,,,,3,,3,,,, 23

233

21

232

21

232

23

233

23

23 −+−++++=+

Ceci nous donne déjà plusieurs de nos éléments de matrice iSjT . Pour obtenir l'expression pour

(3/2, 1/2, S), nous commençons par un état fait de deux morceaux "+" et d'un morceau "-". Par

exemple, en notant −+′=c et −−′=d ,

(10) −′−′−′++′−′−′+−′+′−′+−′−′+′+

+′+′−′++′−′+′+−′+′+′++′+′+′=−++

dbcbbadabd

bacabcdaca

22

22

En ajoutant deux expressions similaires pour +−+ et ++− et en divisant par 3 , nous

trouvons

(11) ( )

( ) TdbTcbbad

TabcdaTcaS

,,3,,2

,,2,,3,,

23

232

21

232

21

232

23

232

21

23

−+−++

++++=+

En continuant selon ce procédé, nous trouvons tous les éléments iSjT de la matrice de

transformation, telle qu'elle est donnée par le tableau ci-dessous. La première colonne vient de (9), la seconde de (11). Les deux dernières colonnes ont été établies de la même manière.

iSjT S,, 23

23 + S,, 2

123 + S,, 2

123 − S,, 2

323 −

T,, 23

23 +

3a ca 23 23ac 3c

T,, 21

23 + ba 23 abcda 22 + dacbc 22 + dc 23

T,, 21

23 − 23ab cbbad 22 + adcdb 22 + 23cd

T,, 23

23 −

3b db23 23bd 3d

Supposez maintenant que le référentiel T ait été tourné par rapport à S d'un angle θ autour de leurs axes y. Alors a, b, c et d ont les valeurs (voir le cas du spin 1/2) 2/cosθ== da et

2/sinθ=−= bc . En portant ces valeurs dans le tableau ci-dessus, nous obtenons la matrice de transformation pour cette rotation pour un spin 3/2. Les raisonnements que nous venons de faire sont immédiatement généralisables à un système de

spin quelconque j. Les états mj, peuvent être assemblés à partir de 2j particules, toutes de spin

un demi (j + m d'entre elles sont dans l'état + et j - m dans l'état − ). On fait la somme sur tous

les arrangements possibles et on normalise l'état en le multipliant par une constante adéquate. Ceux

d'entre vous qui ont l'esprit mathématique pourront peut-être démontrer que le résultat est le suivant :

(12)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∑ −−−′++′−−

′−′+−+=′+′−−−′+

k

kmmkmmjk

y

kkmjkmjkmm

mjmjmjmjmjRmj

!!!!

2/sin2/cos1

!!!!,,

222

2/1

θθ

θ

où k doit prendre toutes les valeurs qui donnent des termes positifs ou nuls dans toutes les factorielles. C'est vraiment une vilaine formule mais elle peut vous servir à établir vos propres tables pour des j quelconques. Certains éléments de matrice particuliers sont d'une importance plus grande que d'autres, ils ont reçu des noms particuliers. Par exemple, les éléments de matrice pour 0=′= mm et pour des valeurs entières de j sont connus sous le nom de polynômes de Legendre et sont désignés par ( )θcosjP :

(13) ( ) ( )θθ cos0,0, jy PjRj =

Les premiers de ces polynômes sont : (14) ( ) 1cos0 =θP

(15) ( ) θθ coscos1 =P

(16) ( ) ( )1cos3cos 221

2 −= θθP

(17) ( ) ( )θθθ cos3cos5cos 321

3 −=P

Calcul de la matrice de rotation Pour ceux qui aimeraient connaître les détails, nous établirons ici la matrice générale de rotation pour un système de spin (ou moment cinétique total) j. Traiter le cas général n'est à vrai dire pas très important. Une fois que l'on sait de quoi il retourne, on peut ensuite trouver les résultats généraux dans des tableaux, dans de nombreux livres. D'un autre côté, après être arrivés aussi loin, vous pourriez avoir plaisir à vous convaincre qu'en effet vous pouvez comprendre même les

formules très compliquées de la mécanique quantique qui interviennent, telles que (12), dans la description du moment cinétique. Nous étendons le raisonnement précédent à un système de spin j, système que nous considérons

constitué de 2j objets de spin un demi. L'état avec m = j serait ++++ L (avec 2j signes +). Pour

m = j - 1, il y aura 2j termes de type −++++ L , +−+++ L et ainsi de suite. Considérons le

cas général pour lequel il y a r signes plus et s moins, avec r + s = 2j. Sous une rotation de l'axe z,

chacun des plus contribuera par 2/φie+ . Le résultat est un changement de phase de ( )φ2/2/ sri − .

Vous voyez que

(18) 2

srm

−=

De même que pour j = 3/2; chaque état avec une valeur définie de m doit être la combinaison linéaire, avec des signes plus, de tous les états ayant même r et même s, donc des états correspondant à tous les arrangements possibles, obtenus à partir de r plus et de s moins. De tels arrangements sont au nombre de ( ) !!/! srsr + . Pour normaliser chaque état, il nous faudrait diviser

la somme par la racine carrée de ce nombre. Nous pouvons écrire

(19)

( )

( ) ( ) mjsr

sr

sr

,ordrel'deentsréarrangemlestouset

!!

!2/1

=+−+−−−−−+++++

+ −

LL

avec

(20) 2

srj

+= , 2

srm

−=

Nous nous faciliterons la tâche, en changeant une fois encore de notation. Maintenant que nous avons défini les états par (19), les deux nombres r et s définissent un état tout aussi bien que j et m. Nous suivrons plus facilement les choses en écrivant

(21) s

rmj =,

où (22) r = j + m, s = j - m Nous voudrions ensuite récrire (19) avec une nouvelle notation spéciale

(23) ( )

.perm

2/1

!!

!,

sr

s

r

sr

srmj −+

+==+

Notez que nous avons changé en plus 1/2 l'exposant du facteur placé en tête. La raison en est que, à l'intérieur de l'accolade, il y a exactement ( ) !!/! srsrN += termes. En comparant (23) avec (19), on

voit clairement que

(24) .perm

sr −+

est tout simplement une écriture abrégée de

(25)

N

entsréarrangemlestous+−−++ L

où N est le nombre des termes différents dans l'accolade. Si cette notation est pratique, c'est qu'à chaque rotation que nous faisons, tous les signes "plus" contribuent par un même facteur, lequel facteur se retrouve donc à la rième puissance. De même, l'ensemble de tous les s termes moins contribue par un facteur à la sième puissance, et ceci quel que soit l'ordre dans chaque terme. Supposez maintenant que nous imposions à notre système une rotation d'un angle θ autour de l'axe

y. Ce qu'il nous faut c'est ( )s

r

yR θ . Quand l'opérateur ( )θyR agit sur chaque + , il donne

(26) ( ) SCRy −++=+θ

où 2/cosθ=C et 2/sinθ=S . Et lorsque ( )θyR agit sur chaque − , il donne

(27) ( ) SCRy +−−=−θ

Ce qu'il nous faut est donc

(28)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

perm

2/1

perm

2/1

perm

2/1

!!

!

!!

!

!!

!

sr

s

y

r

y

sr

ys

r

y

SCSCsr

sr

RRsr

sr

Rsr

srR

+−−−++

+=

−+

+=

−+

+=

θθ

θθ

Maintenant, chaque binôme doit être développé jusqu'à la puissance convenable et les deux

expressions obtenues doivent être multipliées l'une par l'autre. Il y aura des termes avec + à

toutes les puissances depuis zéro jusqu'à (r + s). Regardons tous les termes où + figure avec la

puissance r'. Ils apparaîtront toujours dans un produit avec − , lui-même à la puissance s' telle que

s' = 2j - r'. Supposez que nous rassemblions tous les termes de ce type. A chaque permutation correspondra un certain coefficient numérique dans lequel interviennent les facteurs du développement des binômes ainsi que les facteurs C et S. Supposez que nous appelions ce facteur

rA ′ . Alors l'équation (28) se présentera ainsi :

(29) ( ) ∑+

=′

′′′ −+=

sr

r

sr

rs

r

y AR0

permθ

Divisons maintenant rA ′ par le facteur ( )[ ] 2/1!!! srsr ′′′+′ et désignons le quotient par rB ′ .

L'équation (29) est alors équivalente à

(30) ( ) ( ) ∑+

=′

′′′ −+

′′′+′

=sr

r

sr

rs

r

ysr

srBR

0perm

2/1

!!

!θ

Nous pourrions tout aussi bien dire que cette équation définit rB ′ en exigeant que (30) représente la

même expression que celle en (28).

Avec cette définition de rB ′ , les facteurs restant à droite de l'équation (30) sont uniquement les

états s

r

′′ . On a donc

(31) ( ) ∑+

=′′

′=sr

rs

r

rs

r

y BR0

θ

où s' est toujours égal à r + s - r'. Manifestement, ces coefficients rB ′ ne sont rien d'autre que les

éléments de matrice recherchés :

(32) ( ) rs

r

ys

r BR ′′′ =θ .

Ce qu'il nous reste à faire, c'est de pousser les calculs pour obtenir les divers rB ′ . En comparant

(28) et (30), et en se souvenant que r' + s' = r + s, nous voyons que rB ′ est exactement le coefficient

de sr ba′′ dans l'expression suivante :

(33) ( ) ( )sraSbCbSaC

sr

sr −+

′′ 2/1

!!

!!

Il ne reste plus à faire qu'un travail de force : effectuer les développements selon le théorème du binôme et réunir les termes ayant la puissance voulue de a et de b. Si vous allez jusqu'au bout, vous

trouvez que le coefficient de sr ba′′ dans (33) est égal à

(34) ( ) ( ) ( ) ( )∑ −−′+′−−

′′ −′++′−

k

krskrrk

kks

s

krkrr

rCS

sr

sr

!!

!

!!

!1

!!

! 22

2/1

La somme doit être étendue à tous les entiers k qui donnent des termes de zéro ou plus grands dans les factorielles. Cette expression donne alors l'élément de matrice que nous cherchions. Enfin, nous pouvons revenir à notre notation initiale en termes de j, m et m' en utilisant (35) r = j + m, r' = j + m', s = j - m, s' = j - m' Après avoir fait ces substitutions, nous obtenons l'équation (12).

Valeurs propres du moment angulaire total Revenons au cas totalement général avec un traitement rigoureux. Nous commençons avec deux opérateurs de moment angulaire commutants 1J et 2J . Toutes les

composantes de 1J commutent avec toutes les composantes de 2J et 1J et 2J satisfont séparément

les relations de commutation JiJJ h=× . Les états propres orthonormaux de 21J et zJ1 sont

11mj et 2J n'a pas d'effet sur eux. De même, 22mj sont les états propres orthonormaux de 22J

et zJ 2 et 1J n'a pas d'effet sur eux. Cette représentation est spécifiée par l'ensemble orthonormal de

kets 2211 mjmj , dont chacun est un produit des kets 11mj et 22mj . Tout autre paramètre qui

peut être nécessaire pour spécifier les kets peut être ignoré dans ce qui suit. Puisque 1J et 2J commutent, le moment angulaire total 21 JJJ += satisfait aussi les relations de

commutation. Les états propres orthonormaux de 2J et zJ sont jm et spécifient une seconde

représentation. Nous voulons trouver la transformation unitaire (rotation des axes de l'espace de Hilbert) qui change une de ces représentations en l'autre. Il n'est cependant pas nécessaire de travailler avec l'espace de Hilbert de dimension infinie en une fois. A la place, nous considérons le sous-espace pour lequel 1j et 2j ont des valeurs définies. Le nombre de dimensions de ce sous-

espace est ( )( )1212 21 ++ jj . Avec cette restriction, les kets de la première représentation peuvent

être notés simplement 21mm et notre but est de trouver la transformation unitaire jmmm 21 .

Alors nous pouvons écrire

(36) jmmmmmjm 2121=

où les sommations sur 1m de 1j− à 1j et sur 2m de 2j− à 2j sont implicites.

Puisque zzz JJJ 21 += , il est apparent que jmmm 21 est zéro sauf si 21 mmm += . Cela donne

immédiatement la deuxième règle du modèle vectoriel mentionné au début de cette section. Il s'ensuit aussi que la plus grande valeur de m est 21 jj + et que cette valeur se produit seulement

une fois, quand 11 jm = et 22 jm = . Cela montre que la plus grande valeur de j est 21 jj + et qu'il y

a seulement un tel état. La prochaine plus grande valeur de m est 121 −+ jj et elle se produit deux

fois : quand 11 jm = et 122 −= jm et quand 111 −= jm et 22 jm = (pourvu que ni 1j , ni 2j ne

soient nuls). Une des deux combinaisons linéairement indépendantes de ces deux états doit être associée avec le nouvel état pour lequel 21 jjj += puisque pour cette valeur de j il doit y avoir les

valeurs de m allant de 21 jj + à 21 jj −− par pas entier. L'autre combinaison ne peut pas être

associée à cette valeur de j ou plus grande puisque des valeurs plus grandes de m seraient alors présentes ce qui n'est pas le cas. Donc, la seconde combinaison est associée à 121 −+= jjj et il y

a seulement un état avec cette valeur de j. En prolongeant cet argument, on voit que chaque valeur

de j, allant de 21 jj + à 21 jj − par pas entier, apparaît juste une fois. Cela établit la règle du

triangle du modèle vectoriel. Chaque valeur de j de la nouvelle représentation est associée à 2j + 1 combinaisons linéairement

indépendantes des états propres originaux. Donc le nombre d'états propres jm est

(37) ( )∑+=

−=+

21

21

12jjj

jjj

j

qui est égal à ( )( )1212 21 ++ jj comme attendu.

Coefficients de Clebsh-Gordan

Les éléments de la matrice unitaire jmmm 21 sont les coefficients du développement des états

propres jm en fonction des états propres 21mm , en accord avec (36). Ils sont appelés

coefficients de Clebsh-Gordan (ou Gordon), de Wigner ou de couplage vectoriel. Le développement inverse de (36) est

(38) 2121 mmjmjmmm =

où les sommations sur m de -j à j et sur j de 21 jj − à 21 jj + sont implicites. Le caractère unitaire

de la matrice de transformation est exprimé à travers :

(39) ∗=

′′=′′

′′=′′

jmmmmmjm

mjjmmjmmmmjm

mmmmmmjmjmmm

2121

2121

21212121

Les cotés droits des deux premières équations (39) sont des matrices unités (produits de symboles de Kronecker). Nous suivrons la convention habituelle et nous choisirons les éléments de matrice réels, tel que l'astérisque peut être enlevé sur le coté droit de la troisième équation (39). Il est possible d'obtenir des formules explicites pour les coefficients de Clebsh-Gordan. Cependant, elles sont plutôt compliquées et il est généralement plus simple de construire les coefficients lorsque l'on en a besoin dans ces cas particuliers ou de se rapporter à des tables publiées. Dans ce qui suit, nous allons d'abord dériver deux relations récursives puis construire quelques cas simples.

Relations récursives Nous appliquons l'opérateur de création du moment angulaire +J vu précédemment au coté gauche

de (36). En utilisant la première des équations (33) de la section précédente et en divisant par h , nous obtenons

(40)

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

jmmm

mmmmjjmmmmjj

mjmmjj

21

21

2./1

222221

2./1

1111

2/1

1,11,111

1,11

++−++++−+

=++−+

Nous pouvons maintenant substituer 1, +mj au coté gauche de (36). Sur le coté droit, nous

notons que la sommation sur 1m peut être remplacée par une sommation sur 111 +=′ mm dans le

premier terme. Il est facile de voir que la sommation sur 1m′ peut aussi être faite de 1j− à 1j . De

même, la sommation sur 2m peut être remplacée par une sommation sur 12 +m dans le second

terme du coté droite. Puisque les kets 21mm sont orthonormaux, nous pouvons alors égaler leurs

coefficients des deux cotés pour obtenir

(41)

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] jmmmmmjj

jmmmmmjj

mjmmmmjj

1,11

,111

1,11

21

2/1

2222

21

2/1

1111

21

2/1

−−−+

+−−−+

=++−+

Cette procédure peut être répétée avec −J au lieu de +J . Le résultat est

(42)

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] jmmmmmjj

jmmmmmjj

mjmmmmjj

1,11

,111

1,11

21

2/1

2222

21

2/1

1111

21

2/1

++−+

+++−+

=−−−+

Procédure de construction

La matrice jmmm 21 a ( )( )1212 21 ++ jj lignes et colonnes mais se sépare en sous-matrices

déconnectées selon la valeur de 21 mmm += . Donc, il y aura une sous-matrice 1x1 pour laquelle

21 jjm += et 21 jjj += . Ensuite il y aura une sous-matrice 2x2 pour laquelle 121 −+= jjm et j

est ou bien 21 jj + ou 121 −+ jj . Le rang de ces sous-matrices croît d'abord par unité de un jusqu'à

la suivante jusqu'à ce qu'un rang maximum soit atteint pour une ou plusieurs sous-matrices puis décroît par unité jusqu'à la dernière sous-matrice 1x1 avec 21 jjm −−= et 21 jjj += . Chacune de

ces sous-matrice est unitaire, ainsi la première sous-matrice 1x1 est un nombre de grandeur unité, que nous choisissons par convention égal à +1 :

(43) 1,2 21211 =++ jjjjjlj

Nous utilisons ensuite (42) avec 11 jm = , 122 −= jm , 21 jjj += et 21 jjm += . Le premier terme

sur le coté droit est zéro et nous obtenons

(44)

2/1

21

2212121 1,1,

+=−++−

jj

jjjjjjj

en utilisant (43). De même, l'utilisation de (42) avec 111 −= jm , 22 jm = , 21 jjj += et

21 jjm += donne

(45)

2/1

21

1212121 1,,1

+=−++−

jj

jjjjjjj

Les équations (44) et (45) donnent la moitié de la sous-matrice 3x2 jmmm 21 pour laquelle

121 −+= jjm et 21 jjj += . L'autre moitié, pour laquelle 121 −+= jjm et 121 −+= jjj est

obtenue en utilisant la seconde relation d'orthonormalité (39). Il y a cependant un facteur multiplicatif arbitraire de grandeur unité que nous choisissons tel que

(46) 2/1

21

2212121

2/1

21

1212121

1,1,1

1,11,

+−=−+−+−

+=−+−+−

jj

jjjjjjj

jj

jjjjjjj

La convention ici est que le premier élément de matrice, qui a la forme jjjjj 11 , − , est réel et

positif. La prochaine sous-matrice peut être obtenue de manière similaire. La substitution des équations (44) et (45) dans le coté droite de (42) donne

(47)

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

2/1

2121

11212121

2/1

2121

21212121

2/1

2121

22212121

122

122,,2

122

42,1,1

122

122,2,

−++−=−++−

−++=−++−−

−++−

=−++−

jjjj

jjjjjjjj

jjjj

jjjjjjjj

jjjj

jjjjjjjj

De la même manière, (42) et (46) conduit à

(48)

( )( )( )

( )( )[ ]( )

( )( )2/1

2121

12212121

2/1

2121

21212121

2/1

2121

21212121

1

122,1,2

12,11,1

1

122,12,

−++−

=−+−+−

−++−=−+−+−−

−++−

=−+++−

jjjj

jjjjjjjj

jjjj

jjjjjjjj

jjjj

jjjjjjjj

Nous utilisons à nouveau la deuxième équation (39) pour obtenir un ensemble normalisé de coefficients qui sont orthogonaux à (47) et (48). Comme avec (46), nous choisissons le facteur de phase arbitraire tel que la premier des coefficients suivant soit réel et positif :

(49)

( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )

2/1

2121

22212121

2/1

2121

21212121

2/1

2121

11212121

1221

122,2,2

1221

12122,21,1

1221

122,22,

−+−+−=−+−+−

−+−+−−=−+−+−−

−+−+−

=−+−+−

jjjj

jjjjjjjj

jjjj

jjjjjjjj

jjjj

jjjjjjjj

La seule partie difficile de la procédure de construction précédente est l'utilisation de l'orthogonalité qui devient progressivement de plus en plus compliquée lorsque le rang de la sous-matrice s'accroît. Cependant, elle ne doit être employée qu'une fois pour chaque sous-matrice et il est plus facile d'effectuer un exemple avec des valeurs numériques particulières pour 1j et 2j que le cas général

que nous venons de considérer. On notera que la première relation récursive (41) peut aussi être utilisée pour construire les coefficients de Clebsh-Gordan si nous partons de l'autre extrémité avec la matrice 1x1 qui a 21 jjm −−= et 21 jjj += .

Quelques coefficients particuliers Nous allons donner ici des valeurs pour quelques coefficients particuliers. Dans chaque cas, les

lignes des matrices sont indicées par ( )21mm et les colonnes par

m

j.

Tous les éléments de matrices non indiqués sont égaux à zéro. On vérifie facilement que les équations (43) à (49) sont en accord avec ces matrices.

(50)

−−−

−−

−

==

1

11001

1011

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

221

1 jj

(51)

−

−

−−−

−

−

−−−

==

1

1

1

1

0

0

1

1

1

32

31

31

32

31

32

32

31

21

21

21

21

21

21

23

21

21

21

21

23

23

21

23

21

23

23

21

21 jj

(52)

−

−−

−

−−−

−−

−

−−−

==

1

0

1

11

01

10

11

00

11

10

01

11

211000112

212012122

11

21

21

21

21

31

21

61

31

32

31

21

61

21

21

21

21

21 jj

Eléments de matrice pour les états après rotation Précédemment, on a fait une comparaison entre un élément de matrice d'une variable dynamique Ω calculé pour toute paire d'états et l'élément de matrice du même opérateur quand les états ont subi une translation. Cela a notamment montré que les éléments de matrice de r pour les états déplacés du vecteur ρ sont égaux aux éléments de matrice correspondant de ρ+r pour les états originaux.

De même, on peut montrer que les éléments de matrice de r pour des états tournés d'un vecteur infinitésimal φ sont égaux aux éléments de matrice correspondant de rr ×+ φ pour les états

originaux. Nous pouvons donc utiliser l'analogue de la relation avec les translations pour définir un opérateur

RΩ ayant subit une rotation infinitésimale comme

(53) ( ) ( ) ( )[ ]Ω⋅+Ω≈Ω=Ω + ,Jφφφh

iUU RRR

où nous avons utilisé les relations (14) et (15) de la section précédente. Les éléments de matrice de Ω pour des états ayant subit une rotation sont égaux aux éléments de matrice de RΩ pour les états

originaux. Il s'ensuit que les propriétés de rotation de tout opérateur sont déterminées par son commutateur avec le moment angulaire. Par exemple, un opérateur scalaire est un opérateur qui a les mêmes éléments de matrice pour les états avec rotation que pour les états originaux. Pour un tel opérateur [ ] 0, =ΩJ . Comme autre exemple, un opérateur vectoriel est un opérateur pour lequel

(53) conduit à une rotation de la même forme que celle pour le vecteur r. On peut montrer que JJJ ×+≈ φR , ainsi le moment angulaire est aussi un opérateur vectoriel, comme attendu.

Opérateurs tensoriels irréductibles Des opérateurs avec des propriétés de rotation d'ordre plus élevés que les scalaires et les vecteurs peuvent aussi être construits. Par exemple, deux opérateurs vectoriels A et B peuvent être combinés pour former un opérateur tensoriel à neuf composantes jiBA où i, j = x, y, z. Ce n'est pas une

forme pratique avec laquelle travailler, pas plus qu'en physique classique. Il est habituel d'utiliser à la place le produit scalaire, le produit vectoriel ou tenseur antisymétrique du second ordre et le tenseur symétrique sans trace du second ordre qui ont une, trois et cinq composantes indépendantes, respectivement. On peut montrer que ces dernières ont les propriétés de rotation des harmoniques sphériques ( )φθ ,lmY avec l =0, 1 et 2, respectivement. Ce sont des exemples d'opérateurs tensoriels

irréductibles, appelés ainsi car ils ont les propriétés de transformation les plus simples. Comme remarqué en relation avec (53), le commutateur avec J détermine les propriétés de rotation d'un opérateur. Afin de relier cela aux harmoniques sphériques ( )φθ ,lmY , nous opérons avec J sur

( ) ( )φθφθ ,, fYlm où ( )φθ ,f est une fonction arbitraire des angles. Dans l'étude du potentiel

sphérique, nous avons vu commenter exprimer zJ comme l'opérateur différentiel ( )φ∂∂− /hi et

ainsi (54) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )φθφθφθφθφθφθ ,,,,,, fJYYJffYJ zlmlmzlmz +=

Le premier terme sur le coté droit est ( ) ( )φθφθ ,, fYm lmh , ainsi

(55) ( )[ ] ( ) ( ) ( )φθφθφθφθ ,,,,, fYmfYJ lmlmz h=

Puisque ( )φθ ,f , nous obtenons la relation de commutation

(56) [ ] lmlmz YmYJ h=,

De même, en utilisant les expressions de +J et −J , nous obtenons

(57) [ ] ( ) ( )[ ][ ] ( ) ( )[ ] 1,

2/1

1,

2/1

11,

11,

−−

++

−−+=

+−+=

mllm

mllm

YmmllYJ

YmmllYJ

h

h

En analogie avec ce qui précède, nous définissons maintenant un opérateur tensoriel irréductible

( )kT , où K,,1,,0 23

21=k , comme un ensemble de 2k + 1 opérateurs ( )qkT , où q = k, k-1,… , -k,

qui ont des commutateurs avec J similaires à (56) et (57), où l ou j est remplacé par k et m est remplacé par q :

(58)

( )[ ] ( )( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )1,11,,

1,11,,

,,,

2/1

2/1

−−−+=

++−+=

=

−

+

qkTqqkkqkTJ

qkTqqkkqkTJ

qkTqqkTJ z

h

h

h

L'importance de ces opérateurs vient du fait que plusieurs variables dynamiques physiquement intéressantes peuvent être exprimées sous cette forme. Par exemple l'opérateur moment électrique ou magnétique multipolaire l2 est un opérateur tensoriel irréductible avec k = l.

Produits d'opérateurs tensoriels La forte similarité entre les équations (33) et (36) de la section précédente d'un coté et les équations (58) d'un autre coté, suggère que les opérateurs tensoriels irréductibles peuvent être combinés selon la même règle que les états propres de moment angulaire. Une telle règle est nécessaire puisque nous avons vu que le produit de deux opérateurs vectoriels est réductible. Nous essayons donc d'adapter (36) dans ce but. Son analogue est

(59) ( ) ( ) ( )∑= kqqqqkTqkTqkT 21222111 ,,,

où le coefficient de Clebsh-Gordan kqqq 21 correspond à 11 kj = et 22 kj = . La sommation sur

1q va de 1k− à 1k et sur 2q de 2k− à 2k . Comme avant, nous appliquons zJ , +J et −J

successivement. Cependant, en développant les relations récursives à partir de (36), nous pouvions appliquer J du coté gauche et 21 JJ + du coté droit. La procédure analogue ici dérive de l'identité

(60) [ ] [ ] [ ]212121 ,,, TTTTTT JJJ +=

Donc, si le commutateur avec zJ est pris des deux coté de (59) nous obtenons

(61)

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )qkTq

kqqqqkTqkTqq

kqqqqkTJqkTqkTqkTJqkTJ zzz

,

,,

,,,,,,,,

2122211121

21222111222111

h

h

=

+=

+=

∑∑

où nous avons utilisé la première équation (58) appliquée à 1T et 2T séparément et le fait que

kqqq 21 est égal à zéro sauf si 21 qqq += . Donc, ( )qkT , comme définit par (59) satisfait aussi la

première équation (58). En suite nous prenons le commutateur de (59) avec +J :

(62) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) kqqqqkTqkTqqkk

qkTqkTqqkkqkTJ

21222111

2/1

2222

222111

2/1

1111

1,,11

,1,11,,

++−+

+++−+=∑+

h

h

où nous avons utilisé la deuxième équation (58) appliquée à 1T et 2T séparément. Maintenant, tout

comme en dérivant (41), la sommation sur 1q dans le premier terme peut être remplacée par une

sommation sur 111 +=′ qq avec le même domaine pour 1q′ de 1k− à 1k . Avec un traitement

similaire pour le second terme, nous obtenons

(63) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) kqqqqkTqkTqqkk

kqqqqkTqkTqqkkqkTJ

1,,11

,1,,11,,

21222111

2/1

2222

21222111

2/1

1111

−′′−′′−+

+−′′−′′−+=∑+

h

h

Nous pouvons maintenant enlever les apostrophes et utiliser la relation récursive (41) pour simplifier le coté droit :

(64) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )∑ ++−+=+ 1,,,11,, 21222111

2/1qkqqqkTqkTqqkkqkTJ h

Alors la substitution de (59) avec q remplacé par q + 1 montre que ( )qkT , satisfait la deuxième des

relations de commutation (58). De même, le commutateur de (59) avec −J montre que ( )qkT ,

satisfait la troisième des équations (58). Nous avons donc montré que les 2k + 1 opérateurs ( )qkT , définis par (59) constitue un opérateur

tensoriel irréductible. Le développement (59) peut aussi être inversé en utilisant les relations d'orthonormalité (39) pour donner une réduction explicite d'un produit de deux tenseurs irréductibles si les ( )qkT , sont connus :

(65) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ == kqqqqkTqqkqqkTqkTqkT 2121222111 ,,

La sommation sur q va ici de -k à k et puis sur k de 21 kk − à 21 kk + . La dernière expression suit

de la troisième (39) puisque les coefficients de Clebsh-Gordan sont réels.

Combinaisons d'opérateurs et états propres Finalement, nous pouvons trouver l'analogue des équations (36) et (59) quand un des facteurs sur la droite est un opérateur tensoriel irréductible et l'autre un état propre du moment angulaire :

(66) ( )∑= jmmqmjqkTjm 2122111 ,

Le coefficient de Clebsh-Gordan jmmq 21 correspond à 11 kj = et 2j . La sommation sur 1q va

de 1k− à 1k et sur 2m de 2j− à 2j . Deux questions de notations méritent une attention en relation

avec cette équation. Tout d'abord, nous avons utilisé les indices 1 et 2 afin qu'ils correspondent respectivement au premier opérateur tensoriel sur le coté droit de (59) et à la seconde fonction propre sur le coté droit de (36). Ensuite, nous avons, comme avant, omis toute référence à des paramètres autre que les nombres quantiques de moment angulaire qui pourraient être nécessaire pour spécifier ces états. L'existence de ces autres paramètres est implicite et ils seraient en général

impliqués dans la dépendance radiale, par exemple, du ket jm qui serait différente de celle du ket

22mj .

L'analogue de l'identité (60) qui est nécessaire ici est

(67) [ ] 221221221 , mjTmjTmjT JJJ +=

L'algèbre se déroule exactement comme dans ce qui précède et conduit à la conclusion que

l'ensemble des kets jm définis par (66) pour un j particulier et tous les m entre -j et j sont des

états propres du moment angulaire puisqu'ils satisfont des équations comme (33) et (36) de la section précédente. Cependant, ils ne sont pas normalisés puisqu'il n'est en général pas vrai que

1=jmjm . D'autre part, le fait que les jm satisfont des équations homogènes comme celles de

(36) de la section précédente montre que leur normalisation ne dépend pas de m, bien qu'elle dépende en général de j et aussi de 1k , 2j et de la forme de l'opérateur tensoriel 1T .

Théorème de Wigner-Eckart

Le développement en série de jm en fonction de ( ) 22111 ,, mjqkT donné dans (66) peut être

inversé en utilisant l'orthonormalité des coefficients de Clebsh-Gordan :

(68) ( ) ∑∑ == jmmqjmmqjmjmmjqkT 212122111 ,

Les sommations sont sur m de -j à j et sur j de 21 jk − à 21 jk + . Comme avec l'équation (65),

nous avons utilisé la troisième relation (39) et la réalité des coefficients de Clebsh-Gordan pour arriver à cette dernière expression.

Nous pouvons maintenant multiplier (68) à gauche avec le bra mj ′′ , qui peut dépendre d'autres

paramètres d'une manière différente de jm . En utilisant la relation d'orthogonalité

(66) 0=′′ jmmj sauf si jj ′= et mm ′=

nous obtenons

(67) ( ) ( ) mjmqTjkjNjmqkTmj ′′′=′′ 21121111 ,,,,

mjmjN ′′′′≡ est le facteur de normalisation mentionné ci-dessus et qui est indépendant de m′ . Nous enlevons les apostrophes et nous écrivons N sous une forme qui est en accord avec la convention standard :

(68) ( ) ( ) ( ) ( ) jmmqjkjjmjqkTjmjjk

21211

2/1

22111 121, 21 T−+− +−=

L'équation (68) implique le théorème de Wigner-Eckart. Il dit que l'élément de matrice d'un opérateur tensoriel irréductible entre des états propres du moment angulaire dépend des trois

valeurs de m ( 1q , 2m et m) seulement à travers le coefficient de Clebsh-Gordan jmmq 21 qui

correspond à 11 kj = et 2j . Ce n'est pas un résultat surprenant puisque ces trois valeurs de m

déterminent l'orientation de l'opérateur et des deux états par rapport au système de coordonnées et donc devraient influencer la valeur de l'élément de matrice seulement à travers un facteur géométrique (le coefficient de Clebsh-Gordan). Les propriétés physiques de l'élément de matrice

sont contenues dans le facteur ( ) 211 jkj T qui est appelé élément de matrice réduit. Il dépend des

grandeurs des trois moments angulaires ( 1k , 2j et j) associés à l'opérateur et aux deux états, de la

forme de l'opérateur tensoriel 1T et des autres paramètres qui sont nécessaires pour spécifier les

deux états. Cette factorisation des éléments de matrice des opérateurs tensoriels simplifie fortement leur calcul. Puisque 1k est un entier pour les opérateurs physiques, il est plus simple de calculer l'élément de

matrice réduite dans (68) avec 01 =q et avec 02 == mm ou 21

2 == mm , selon. Les éléments de

matrice pour d'autres combinaisons de 1q , 2m et m sont alors facilement obtenus.

Parmi les plus importantes conséquences du théorème de Wigner-Eckart il y a les deux conditions sous lesquelles les éléments de matrice des opérateurs tensoriels s'annulent nécessairement. L'apparition des coefficients de Clebsh-Gordan montre que l'élément de matrice est zéro sauf si

21 mqm += et si 1k , 2j et j satisfont la règle du triangle. Comme exemple, la dernière condition

montre qu'un système dans un état avec un moment angulaire j ne peut pas avoir de valeur moyenne non nulle (élément de matrice diagonal) pour le moment électrique ou magnétique

multipolaire l2 sauf si jl 2≤ . Donc, une particule avec un spin zéro ne peut pas avoir de moment

magnétique dipolaire et une particule avec un spin 1/2 ne peut pas posséder de moment électrique quadrupolaire.

Moment cinétique, inversion spatiale et renversemen t du temps Revenons à la symétrie d'inversion de l'espace implémentée par l'opérateur IU tel que

(69) rr −=+II UU

Puisque ∇−= hip et prL ×= , on voit facilement que

(70) pp −=+II UU et LL =+

II UU

Puisque IU affecte les coordonnées spatiales mais pas le spin, nous nous attendons à ce qu'il

commute avec S et donc aussi avec J = L + S, ainsi

(71) SS =+II UU et JJ =+

II UU

Les équations (69) et (70) sont en accord avec ce qu'on s'attendrait classiquement des propriétés d'inversion spatiale des coordonnées, de l'impulsion et du moment angulaire. Les coordonnées et les impulsions sont des exemples de ce que l'on appelle vecteur ou vecteur polaire et le moment angulaire est un vecteur axial ou pseudovecteur. Revenons au renversement du temps.

T pour une particule de spin zéro Nous allons obtenir une expression explicite de T telle que pour l'état renversé dans le temps les signes de tous les moments linéaires et angulaires sont renversés mais où les autres quantités sont inchangées. Le cas le plus simple est celui d'une particule de spin zéro par laquelle un état est représenté par une fonction d'onde à une composante. L'opération dur un certain αψ avec les

coordonnées produit un nouvel état que nous appelons βψ : βα ψψ =r . Si le signe de r ne change

pas avec le renversement du temps, nous nous attendons à ce que cette relation soit aussi valide

pour les états renversés dans le temps. C'est-à-dire que si αα ψψ T=′ et ββ ψψ T=′ , alors

βα ψψ ′′ =r . Il s'ensuit alors que

(72) αββαα ψψψψψ rrr TTT ==== ′′

Puisque αψ est un état arbitraire, nous avons que

(73) rr TT = L'opération sur αψ avec l'impulsion produit un nouvel état que nous appellerons γψ : γα ψψ =p .

Si maintenant le signe de p change avec le renversement du temps, nous nous attendons à avoir pour les états renversé γα ψψ ′−=p . Nous avons alors

(74) αγγαα ψψψψψ ppp TTT −=−=−== ′′

et ainsi (75) pp TT −=

De même, puisque prL ×=

(76) LL TT −= Dans la représentation coordonnées, r est un opérateur réel et ∇−= hip est un opérateur purement

imaginaire. Le chois le plus simple pour T qui satisfait les équations (73), (75) et (76) est alors (77) KTU == 1

Cette conclusion dépend évidemment du choix de la représentation. Donc, si nous utilisons la représentation impulsion, dans laquelle αψ est une fonction de p plutôt que de r, alors p est un

opérateur multiplicatif réel et r est purement imaginaire, par exemple, ( )xpix ∂∂= /h . Dans ce cas,

UKT = est encore valide mais maintenant U est l'opérateur qui remplace p par -p : ( ) ( )pp −= αα ψψU . Nous travaillerons presque toujours dans la représentation coordonnées

puisque c'est la plus familière et aussi la plus pratique.

T pour une particule de spin non nul Pour une particule avec spin, en analogie avec (76), nous nous attendons à ce que (78) ST=-TS et JT=-TJ Puisque la forme explicite de T dépend de la représentation, nous devons choisir un ensemble spécifique de matrices S quand 0≠s , en plus du choix précédent de la représentation coordonnées. Nous avons déjà vu que les matrices de spin s = 1 et les matrices j = 1 diffèrent seulement par une transformation unitaire, ainsi elles correspondent à différents choix de représentation. Quand nous travaillerons avec le spin, nous travaillerons dans la représentation donnée par les matrices (34) de la section précédente. Il s'ensuit alors que r, xS et zS sont des opérateurs réels et p, L et yS sont des opérateurs purement

imaginaires. Donc, si T était égal à K, les équations (73), (75), (76) et l'équation yS dans (78)

seraient satisfaites mais les équations xS et zS ne le seraient pas. Nous devons donc choisir U afin

qu'elle commute avec r, p, L et yS et telle que

(79) xx USUS −= et zz USUS −=

Donc U peut être tout opérateur unitaire qui est une fonction de seulement yS et qui satisfait (79).

Nous savons que l'opérateur unitaire ( )h/exp J⋅− φi tourne un état d'un vecteur d'angle φ . Aussi,

avec (53), il transforme un opérateur en le même opérateur tourné de φ . De même, l'opérateur

unitaire ( )h/exp S⋅− φi transforme tout opérateur fonction de S en la même fonction dans laquelle

l'argument est le résultat de la rotation de S de φ . En particulier, ( )h/exp ySiπ− est une

transformation unitaire qui tour S de π radian autour de l'axe y et donc transforme xS en xS− et

zS en zS− . Nous pouvons donc poser

(80) ( )KSiT y h/exp π−=

Pour une particule de spin 1/2, l'équation (80) prend la forme particulièrement simple

(81) KiT yσ−= où

−=

0

0

i

iyσ

Systèmes de plusieurs particules Quand plusieurs particules sont présentes, T peut être construit en multipliant ensemble les U qui correspondent à chaque particule et en multipliant ensuite ce produit par K : (82) ( ) ( )KSiSiT nyy hLh /exp/exp 1 ππ −−=

L'ordre des facteurs dans le produit des exponentielles n'est pas important puisque chacune opère seulement sur l'état de la particule correspondante, donc elles doivent commuter ensemble et T satisfait (78) pour chaque S. Puisque chaque yS est purement imaginaire, chaque exponentielle dans (82) est réelle et donc

commute avec K. Alors, puisque 12 =K , nous voyons que

(83) ( ) ( )hLh /2exp/2exp 12

nyy SiSiT ππ −−=

Chacune de ces exponentielles est une rotation de π2 radians. Ces rotations sont égales à +1 dans le cas d'une particule de spin entier et -1 pour une particule de spin entier. Donc 2T est égal à +1 ou -1 selon que le nombre total de particules de spin demi-entier dans le système est pair ou impair. Si T commute avec l'hamiltonien et si ku est une fonction propre de l'énergie, alors kTu est aussi

une fonction propre de l'énergie avec la même valeur propre. Nous supposons d'abord qu'il n'y a pas de dégénérescence. Alors kTu représente le même état que ku , ainsi kk cuTu = où c est un

certain nombre et

(84) kkkk ucTucTcuuT22 === ∗

Si 12 +=T , alors 12 =c , qui est une situation possible. Mais si 12 −=T , il n'y a pas de nombre c

possible, ce qui signifie qu'il doit y avoir une certaine dégénérescence. Dans ce cas, ku et kTu sont

orthogonaux, comme on peut le voir de la manière suivante. On sait que ( ) ( )1221 ,, ψψψψ =TT . Si

nous choisissons kTu=1ψ et ku=2ψ , cette relation devient ( ) ( )kkkk TuuTuuT ,,2 = . Puisque

12 −=T , le coté gauche est le négatif du coté droit, ainsi les deux cotés doivent être zéro et kTu est

orthogonal à ku . Donc, pour tout ku il y a un kTu distinct qui est dégénéré avec, ainsi la

dégénérescence totale est paire. Pour un cristal à basse énergie, chaque atome est dans un environnement non symétrique et on ne devrait normalement pas s'attendre à une dégénérescence pour les états des électrons dans l'atome. Ces électrons se déplacent dans le champ électrique statique produit par le reste du cristal qui peut

être représenté par un terme ( )∑i

ie rφ dans l'hamiltonien, où ir est la coordonnée de l'électron i de

l'atome. Un tel terme de détruit évidemment par l'invariance par renversement du temps du reste de l'hamiltonien qui décrit l'atome. Alors, si le nombre d'électrons par atome est impair, 12 −=T et il doit y avoir au moins une double dégénérescence appelée dégénérescence de Kramers. La dégénérescence est éliminée si le cristal est placé dans un champ magnétique externe H. Comme nous verrons plus tard, les effets magnétiques associés avec le mouvement orbital et le spin de chaque électron cause l'apparition de termes d'interactions dans l'hamiltonien qui sont proportionnels à L.H et S.H. Les équations (76) et (78) montrent alors que l'hamiltonien n'est plus invariant par renversement du temps. Donc le champ magnétique provoque une séparation des niveaux d'énergie si le nombre d'électrons par atome du cristal est impair. On notera que cette situation n'est pas en contradiction avec l'hypothèse affirmée précédemment que T est une opération de symétrie pour un système fermé isolé (sans méson K ou B). Un champ magnétique externe est par définition imposé de l'extérieur du système considéré. La dégénérescence est éliminée car nous avons supposé implicitement que les courants produisant le champ H ne sont pas renversés par T.

Réalité des fonctions propres Considérons un système qui n'a pas de spin ou dont le spin n'est pas significatif. Alors U = 1 et T = K dans la représentation coordonnées. De plus, supposons qu'il y a un opérateur Ω qui commute avec K et qui a des valeurs propres non dégénérées µω : µµµ ω vv =Ω . Alors µKv représente le

même état que µv , ainsi µµµ cvvKv == ∗ où c est un certain nombre. Si nous écrivons maintenant

µv comme la somme de ses parties réelles et imaginaires, µµµ izwv += où µw et µz sont des

fonctions réelles, alors (84) ( )µµµµ izwcizw +=− ou ( ) ( ) µµ zciwc +=− 11

Cela signifie que µw et µz sont multiples l'un de l'autre, ainsi µv est réel à un coefficient

multiplicatif complexe près. En particulier, toutes les fonctions propres non dégénérées de l'énergie sont réelles dans ce sens si le système est invariant par renversement du temps. L'argument précédent peut quelque fois être étendu au cas où il y a dégénérescence. Un exemple intéressant est fournit par un hamiltonien réel qui contient un potentiel à symétrie sphérique arbitraire, tel que

(85) [ ] [ ] [ ] 0,0,0, 22 === LL KHKH

Les fonctions propres klmv indicées par une valeur propre de l'énergie kE et un nombre quantique

de moment angulaire orbital l sont encore dégénérées par rapport au nombre quantique magnétique m. Cependant, l'opérateur associé à m, ( )φ∂∂−= /hiLz , est purement imaginaire et, selon (76), ne

commute pas avec K. Donc, nous ne pouvons pas affirmer, comme ci-dessus, que klmklm cvKv = et

que klmv est réel. En réalité, elle n'est pas réelle puisqu'elle est proportionnelle à l'harmonique

sphérique ( )φθ ,lmY qui est complexe pour 0≠m .

Si, cependant, nous restreignons notre attention au cas m = 0, nous travaillons seulement avec les fonctions propres de zL qui ont la valeur propre zéro. Il s'ensuit alors de la relation zz KLKL −=

que K fois une fonction propre de zL est encore une fonction propre de zL avec la valeur propre

zéro. Donc, s'il n'y a pas de dégénérescence supplémentaire, nous pouvons être sûrs que ces

fonctions propres 0klv de H et 2L qui ont m = 0 sont toutes réelles dans le sens utilisé ci-dessus. Ce

sont juste les fonctions propres utilisées dans la théorie de la diffusion. Comme attendu, les

décalages de phase lδ sont réels ou complexes selon que l'hamiltonien est ou non invariant par

renversement du temps.

III.4. Applications Nous allons maintenant regarder quelques exemples simples où intervient le spin et les symétries par rotation.

III.4.1. La précession d'une particule de spin un d emi Dans l'expérience de Stern-Gerlach, les particules se déplacent dans un champ magnétique B et possèdent ainsi une énergie potentielle B⋅−= µU où µ est le moment magnétique de la particule

et qui dépend du spin comme le montre cette expérience. Si nous voulions en donner une description quantique, nous dirions que les particules d'une des faisceaux avaient une énergie qui variait dans un certain sens et que celles de l'autre faisceau avaient une énergie qui variait en sens opposé (nous pourrions mettre l'énergie magnétique U dans l'énergie potentielle V ou dans l'énergie "interne" W, cela n'a aucune importance). Du fait de la variation d'énergie, les ondes sont réfractées et les faisceaux sont courbés vers le haut ou vers le bas (nous voyons alors que la mécanique quantique nous donnerait la même courbure que celle que nous calculons à partir de la mécanique classique). A partir de la dépendance de l'énergie en fonction de l'énergie potentielle, nous attendons aussi qu'une particule placée dans un champ magnétique uniforme le long de la direction z ait une amplitude de probabilité changeant dans le temps suivant

(1) ( )( )tBzie

µ−− h/ (pratiquement, nous pouvons considérer ceci comme une définition de zµ ). Autrement dit, si nous

plaçons une particule dans un champ uniforme B pendant un temps τ , son amplitude de probabilité sera multipliée par

(2) ( )( )τµ Bzie

−− h/ par rapport à ce qu'elle aurait été sans champ. Or, pour une particule de spin un demi, zµ doit être

égal à plus ou moins un certain nombre, disons µ . Dans un champ uniforme, les phases des deux

états possibles changeraient donc à la même vitesse mais dans des sens opposés. Les deux amplitudes seraient multipliées par

(3) ( ) τµBie h/± Ce résultat a des conséquences intéressantes. Supposez que nous ayons une particule de spin un demi dans un état qui ne soit ni purement spin en haut, ni purement spin en bas. Nous pouvons décrire cet état en fonction des amplitudes pour être dans les états purs spin en haut et spin en bas. Mais dans un champ magnétique, les phases de ces états changent de façon différente. Si bien que la réponse à n'importe quelle question concernant les amplitudes dépendra du temps que la particule a passé dans le champ. A titre d'exemple, considérons la désintégration de muons dans un champ magnétique. Quand des muons sont produits par la désintégration de mésons π , ils sont polarisés (en d'autres termes, ils ont une direction préférée). Les muons à leur tour se désintègrent en 2,2 microsecondes en moyenne, en émettant un électron et deux neutrinos : (4) ννµ ++→ e

Dans cette désintégration, il se trouve que (au moins pour les énergies les plus élevées) les électrons sont émis préférentiellement dans la direction opposée à la direction du spin du muon.

Supposez que nous considérions le dispositif expérimental montré ci-dessus. Si des muons polarisés entrent par la gauche et sont amenés au repos dans un bloc de matière A, ils se désintégreront un peu plus tard. Les électrons émis partiront en général dans toutes les directions. Supposez cependant que les muons entrent tous dans le bloc d'arrêt A avec leurs spins dans la direction x. Sans champ magnétique, il y aurait une certaine distribution angulaire des directions de désintégration. Nous voudrions savoir comment cette distribution est changée par la présence du champ magnétique. Nous nous attendons à ce qu'elle change avec le temps. Nous pouvons trouver ce qui se passe en nous demandant quelle est l'amplitude, à un instant donné, pour que les muons soient trouvés dans l'état (+x). Nous pouvons poser le problème de la façon suivante : on sait qu'un muon a son spin dans la direction x à t = 0. Quelle est l'amplitude pour qu'il soit dans le même état à l'instant τ ? Seulement, nous n'avons aucune règle pour le comportement d'une particule de spin un demi dans un champ magnétique faisant un angle droit avec le spin, mais, par contre, nous savons ce qui arrive aux états de spin en haut et de spin en bas par rapport au champ, leurs amplitudes sont multipliées par le facteur (3). Notre méthode consiste alors à choisir la représentation dans laquelle les états de base sont spin en haut et spin en bas par rapport à la direction z (la direction du champ). Toute question peut alors être énoncée en termes des amplitudes de ces états. Disons que ( )tψ représente l'état du muon. Lorsque celui-ci entre dans le bloc A, son état est ( )0ψ

et nous voulons connaître ( )τψ à un temps postérieur τ . Si nous représentons les deux états de

base par (+z) et (-z), nous connaissons les amplitudes ( )0ψz+ et ( )0ψz− , nous connaissons

ces amplitudes puisque nous savons que ( )0ψ représenter un état dont le spin est dans l'état (+s).

Ces amplitudes sont

(5)

2

1

2

1

==+−

==++

−

+

Cxz

Cxz

Il se trouve qu'elles sont égales. Comme ces amplitudes se rapportent à l'état t = 0, appelons-les ( )0+C et ( )0−C .

Nous savons ce qui arrive à ces amplitudes avec le temps. En utilisant (3), nous avons

(6) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) Bti

Bti

eCtC

eCtC

µ

µ

h

h

/

/

0

0+

−−

−++

=

=

Mais si nous connaissons ( )tC+ et ( )tC− , nous connaissons tout ce qu'il faut connaître sur l'état au

temps t. Le seul ennui est que ce que nous voulons connaître est la probabilité pour que le spin soit dans la direction +x au temps t. Mais nos règles générales nous permettent de traiter ce problème. Nous écrivons que l'amplitude pour être dans l'état (+s) au temps t, que nous pouvons appeler

( )tA+ , est

(7) ( ) ( ) ( ) ( )tzzxtzzxtxtA −−+++++=+=+ ψ

ou

(8) ( ) ( ) ( )tCzxtCzxtA −++ −++++=

En utilisant les résultats sur le spin 1/2 ou l'égalité ∗= φχχφ , nous savons que

(9) 2

1

2

1 =−+=++ zxzx

Nous connaissons donc toutes les quantités de (8). Nous obtenons

(10) ( ) ( ) ( ) BtiBti eetA µµ hh //

2

1

2

1 −+ +=

ou

(11) ( ) tB

tAh

µcos=+

Un résultat particulièrement simple ! Remarquez que ce résultat est en accord avec ce que nous attendons pour t = 0. Nous obtenons A(0) = 1, ce qui est correct puisque nous avons supposé que le muon était dans l'état (+x) à t = 0.

La probabilité +P pour que le muon soit trouvé dans l'état (+x) à t est ( )2+A ou

(12) h

BtP

µ2cos=+

La probabilité oscille entre zéro et un, comme le montre la figure ci-dessus. Remarquez que la probabilité redevient égale à un pour πµ =h/Bt (et non π2 ). Comme nous avons pris le carré

d'un cosinus, la probabilité se répète identique à elle-même avec la fréquence h/2 Bµ .

Par conséquent, nous trouvons que la chance de capter l'électron de désintégration dans le compteur d'électrons change périodiquement avec le temps que le muon a passé dans le champ magnétique. La fréquence dépend du moment magnétique µ . En fait, c'est précisément de cette façon que l'on a

mesuré le moment magnétique du muon. Nous pouvons bien entendu utiliser la même méthode pour résoudre tout problème concernant la désintégration du muon. Comment, par exemple, varie dans le temps la probabilité de détecter un électron de désintégration dans la direction y, à 90° de la direction x, mais toujours à angle droit

avec le champ ? Si vous faites le calcul, l'amplitude pour être dans l'état (+y) varie comme

( ) 4//cos2 πµ −hBt , qui oscille avec la même période, mais qui atteint son maximum un quart de

période plus tard, lorsque 4// πµ =hBt . En fait, ce qui se passe est que, au fut et à mesure que le

temps passe, le muon passe par une succession d'états qui correspondent à des polarisations complètes dans des directions qui tournent continuellement autour de l'axe z. Nous pouvons décrire cela en disant que le spin précesse à la fréquence

(13) h

Bp

µω 2=

III.4.2. Les états de polarisation du photon Nous aimerions maintenant parler du photon. Pour décrire un photon, nous devons d'abord donner son vecteur impulsion. Pour un photon libre, la fréquence est déterminée par l'impulsion, il n'est donc pas nécessaire que nous disions aussi quelle est sa fréquence. Après cela, cependant, il nous reste encore une propriété que nous appelons la polarisation. Imaginez qu'un photon vienne vers vous et qu'il soit monochromatique, c'est-à-dire de fréquence définie (laquelle sera gardée inchangée tout au long de cette discussion de sorte que n'aurons pas une diversité d'états d'impulsion). Il y a alors deux directions de polarisation. En théorie classique, on peut décrire la lumière comme un champ électrique qui oscille horizontalement ou un champ électrique qui oscille verticalement (par exemple). Ces deux sortes de lumières sont désignées comme lumière polarisée suivant x et suivant y. La lumière peut aussi être polarisée dans une autre direction quelconque, ce qui peut être réalisé par la superposition d'un champ dans la direction x et d'un autre dans la direction y. Ou encore, si vous prenez les composantes x et y déphasées de 90°, vous obtenez un champ électrique qui tourne, la lumière est alors polarisée elliptiquement. Maintenant supposez que nous ayons un photon seul, juste un. On ne peut pas invoquer de la même manière un champ électrique. Tout ce que nous avons, c'est un photon. Mais un photon doit présenter l'analogue du phénomène classique de polarisation. Il doit y avoir au moins deux différentes "sortes" de photons. A première vue, vous pourriez penser qu'il doit en exister une infinité de sortes. Après tout, le champ électrique peut pointer dans toutes sortes de directions. Néanmoins, nous pouvons décrire la polarisation d'un photon comme un système à deux états. Un

photon peut se trouver dans l'état x ou dans l'état y . Par x nous entendons l'état de

polarisation de chacun des photons d'un faisceau de lumière polarisée, dans l'acceptation classique

du terme, suivant x. De même, par y nous entendons l'état de polarisation de chacun des photons

d'un faisceau polarisé suivant y. Et nous pouvons prendre x et y comme nos états de base d'un

photon d'impulsion donnée et se dirigeant cers vous, suivant ce que nous appellerons la direction z. Ainsi, il y a deux états de base x et y et c'est tout ce qu'il faut pour décrire n'importe quel photon. Par exemple, si nous avons un morceau de Polaroïd dont l'axe est orienté de manière à laisser passer la lumière polarisée dans la direction que nous appelons x et si nous envoyons un photon que

nous savons être dans l'état de polarisation y , il sera absorbé par le Polaroïd. Si nous envoyons un

photon que nous savons être dans l'état x , il passera à travers et ressortira dans l'état x . Si vous

prenez un morceau de calcite, qui sépare un faisceau de lumière polarisée en un faisceau x et un

faisceau y , ce morceau de calcite sera le strict analogue d'un appareil de Stern et Gerlach qui

sépare un faisceau d'atomes suivant les deux états + et − . Tout ce que nous avons fait

auparavant avec des particules et des appareils de Stern et Gerlach, nous pouvons donc le refaire avec de la lumière et des morceaux de calcite. Et si on a de la lumière filtrée par un morceau de Polaroïd disposé à un angle θ . Est-ce un autre état ? Oui, bien sûr, c'est un autre état. Désignons par x l'axe du Polaroïd , de façon à le distinguer de nos états de base.

Un photon sortant sera dans l'état x′ . Cependant, tout état peut se représenter comme une combinaison linéaire des états de base et l'expression de cette combinaison est ici,

(1) yxx θθ sincos +=′

C'est-à-dire que, si un photon a traversé un morceau de Polaroïd disposé à l'angle θ (par rapport à

x), on peut encore le résoudre en faisceaux x et y , par un morceau de calcite par exemple. Ou,

si vous préférez, vous pouvez l'analyser en composantes x et y, uniquement dans vote imagination. D'une manière ou de l'autre, vous trouverez une amplitude θcos pour que le photon soit dans l'état

x et une amplitude θsin pour l'état y .

Posons maintenant la question suivante : supposez qu'un photon polarisé dans la direction x' par un morceau de Polaroïd disposé à l'angle θ , arrive sur un Polaroïd disposé à l'angle zéro, comme ci-dessous. Que va-t-il se passer ?

Quelle probabilité a-t-il de passer au travers ? La réponse est la suivante : après avoir traversé le

premier Polaroïd, il est à coup sûr dans l'état x′ . Le second Polaroïd laissera passer le photon s'il

est dans l'état x (mais il l'absorbera s'il est dans l'état y ). Ce que nous voulons savoir, c'est donc

la probabilité pour que le photon se manifeste dans l'état x . Nous obtenons cette probabilité en

prenant le carré du module de l'amplitude xx ′ , amplitude pour qu'un photon dans l'état x′ soit

aussi dans l'état x . Que vaut xx ′ ? Multipliez tout simplement (1) par x pour obtenir

(2) yxxxxx θθ sincos +=′

Mais 0=yx pour des raisons de physique, comme il se doit, puisque x et y sont des états de

base, et 1=xx . Nous obtenons donc

(3) θcos=′xx

et la probabilité est θ2cos . Par exemple, si le premier Polaroïd est disposé à 30°, un photon traversera trois fois sur quatre t, une fois sur quatre, il échauffera le Polaroïd en y étant absorbé. Voyons maintenant ce qui se passe dans cette même situation, d'un point de vue classique. Nous aurions un faisceau de lumière avec un champ électrique qui varierait d'une manière ou d'une autre, supposons-le "non polarisé". Après avoir traversé le premier Polaroïd, le champ électrique, de grandeur E , oscille dans la direction x'. Nous pourrions représenter graphiquement c champ comme un vecteur qui oscille et dont 0E est la grandeur maximum. C'est le schéma ci-dessous.

Lorsque la lumière arrive au second Polaroïd, seule passe à travers la composante x du champ

électrique, θcos0E . L'intensité est proportionnelle au carré du champ et donc à θ220 cosE . Ainsi

l'énergie qui passe à travers est d'un facteur θ2cos plus faible que celle qui a pénétré le dernier Polaroïd.

Les points d vu classique et quantique donnent des résultats similaires. Si vous envoyiez 10 milliards de photons, sur le second Polaroïd et si la probabilité moyenne de traversée est pour chacun d'eux, mettons de 3/4, alors il vous faudrait prévoir que les 3/4 des 10 milliards traverseraient. De même, l'énergie qu'ils transporteraient, serait les 3/4 de l'énergie que vous vouliez faire traverser. La théorie classique ne dit rien au sujet du comportement statistique. Elle dit seulement que l'énergie qui traverse doit être exactement des 3/4 de l'énergie que vous aviez envoyée. C'est bien sûr impossible s'il n'y a qu'un photon. Il n'existe rien qui soit les 3/4 d'un photon ou il y est tout entier, ou il n'y est pas du tout. La mécanique quantique nous dit : il y est tout entier trois fois sur quatre. La relation entre les deux théories est claire. Que peut-on dire des autres types de polarisation ? Par exemple, la polarisation circulaire droite ? Dans la théorie classique, la polarisation circulaire droit a des composantes x et y égales et déphasées de 90°. Dans la théorie quantique, un photon polarisé circulairement à droite (PCD) a

des amplitudes égales pour être polarisé x ou y et ces amplitudes sont déphasées de 90°. En

désignant par l'état R un photon PCD et par L un photon PCG, on peut écrire

(4)

( )

( )yixL

yixR

−−=

+=

2

1

2

1

Le facteur 2/1 est là pour normaliser les états. A l'aide de ces états, vous pouvez calculer tout ce que vous voulez comme effets de filtrage ou d'interférence, en utilisant les lois de la théorie

quantique. Si vous voulez, vous pouvez aussi choisir R et L comme états de base et tout

exprimer en termes de ces états. Il vous suffit pour cela de montrer que 0=LR , ce que vous

pouvez faire en prenant la forme conjuguée de la première des équations (4) et en la multipliant par l'autre. Vous pouvez résoudre la lumière en ses polarisations x et y ou bien en ses polarisations x' et y' ou encore en ses polarisations droite et fauche, ce sont là autant de bases.

Juste à titre d'exemple, essayons de retourner nos formules. Pouvons-nous représenter l'état x

comme une combinaison d'états circulaires, droit et gauche ? Oui et voici comment :

(5)

( )

( )LRi

y

LRx

−−=

+=

2

2

1

Il suffit pour cela d'additionner et de soustraire les deux équations en (4). C'est facile de passer d'une base à l'autre. Il faut pourtant signaler un point assez curieux. Si un photon est polarisé circulairement à droite, il ne devrait rien avoir à faire avec les axes x et y. Si nous devions faire la même observation en nous plaçant dans un système de coordonnées tourné d'un certain angle par rapport à la ligne de vol, la lumière resterait polarisée circulairement à droite, et de même pour la gauche. Les lumières polarisées circulairement à droite et à gauche restent les mêmes sous toutes les rotations de ce type. La définition est indépendante du choix de la direction x (à ceci près que la direction du photon est donnée). N'est-ce pas agréable, il n'est plus besoin d'axe pour définir la polarisation. C'est beaucoup mieux que x et y. D'un autre coté, n'est-ce pas un peu miraculeux qu'en additionnant les polarisations droite et gauche, vous puissiez trouver quelle était la direction x ? Si "droite" et "gauche" ne dépendent en aucune manière de x, comment se fait-il que nous puissions les rassembler et réobtenir x ? Nous pouvons partiellement répondre à cette question en écrivant

explicitement l'état R′ qui représente un photon PCD dans le référentiel x', y'. Dans ce référentiel, vous écririez

(6) ( )yixR ′+′=′2

1

A quoi ressemble un tel état dans le référentiel x, y ? Vous n'avez qu'a substituer à x' l'expression

(1) et à y' l'expression correspondant yx θθ cossin +− . Alors :

(7)

[ ]

( ) ( )[ ]

( )( )θθ

θθθθ

θθθθ

sincos2

1

sincossincos2

1

cossinsincos2

1

iyix

yiixi

yiyiyxR

−+=

−+−=

+−+=′

Le premier terme c'est R lui-même et le second c'est θie− . Notre résultat est donc

ReR iθ−=′

Les états R et R′ sont les mêmes au facteur de phase θie− près. Si nous faisons le même travail

pour L′ , nous obtenons

(9) LeL iθ+=′

C'est similaire à ce que nous avions trouvé pour une particule de spin un demi quand nous faisions

tourner les coordonnées autour de l'axe z. Nous avions obtenu des facteurs de phase 2/φie± . La relation ci-dessus correspond à une particule de spin un et ceci n'est pas une coïncidence. Le photon est particule de spin un qui, cependant, n'a pas d'état "zéro".

Vous voyez maintenant ce qui se passe. Si nous additionnons R et L , le résultat est différent de

ce que nous obtenons en additionnant R′ et L′ . Par exemple, un photon de polarisation x est la

somme de R et de L et un photon y est la somme des mêmes termes mais avec un déphasage de

90° en arrière pour l'un et de 90° en avant pour l'autre. C'est précisément ce que nous aurions

obtenu en faisant la somme de R′ et L′ pour la valeur de 90° de θ et ceci est correct. Une

polarisation x dans le référentiel prime est la même chose qu'une polarisation y dans le référentiel initial. Il n'est donc pas tout à fait vrai qu'un photon de polarisation circulaire apparaisse identique

dans tout système d'axe. Sa phase (la relation de phase entre les états de polarisations circulaires droit et gauche) garde trace de la direction x.

III.4.3. La lumière polarisée Dans la section précédente, nous avons montré qu'une lumière polarisée circulairement à droite est

multipliée par φie lorsqu'on l'observe dans un référentiel ayant subi une rotation d'angle φ autour

de z. Est-ce à dire que les photons polarisés circulairement à droite portent un moment cinétique d'une unité (mesuré en unité h ) le long de l'axe z ? C'est cela même. Cela signifie aussi qu'un faisceau de lumière contenant un grand nombre de photons tous polarisés circulairement et dans le même sens, c'est le cas d'un faisceau classique polarisé, sera porteur de moment cinétique. Si l'énergie totale transportée par le faisceau au cours d'un intervalle de temps donné est W, il y a lors

ωh/WN = photons. Chacun d'eux porte le moment angulaire h , il y a donc un moment cinétique total

(1) ωW

NJ z == h

Pouvons-nous démontrer d'une manière classique qu'un lumière polarisée circulairement à droite transporte une énergie et un moment cinétique proportionnel à ω/W ? Si tout st correct, ce doit être une proposition classique. Nous avons là un cas où il est possible de passer du quantique au classique. Nous devons donc pouvoir vérifier que la physique classique est en accord. Cela nous dira si nous étions fondés à appeler la quantité m moment cinétique. Rappelez-vous ce qu'est classiquement une lumière polarisée circulairement à droite. Elle est représentée par un champ électrique dont les composantes x et y oscillent avec la même fréquence mais avec des phases décalées de 90°, de sorte que le vecteur électrique résultant E décrit un cercle. Voir la figure (a) ci-dessous

Imaginez que cette lumière éclaire une paroi qui l'absorbe, au moins en partie, et considérez, d'un point de vue classique, un atome de cette paroi. Nous supposerons que l'atome est isotrope et qu'il a donc les mêmes possibilités d'oscillation suivant les directions x et y. Dans la lumière polarisée circulairement, le déplacement suivant x et le déplacement suivant y sont identiques, mais l'un est de 90° en retard par rapport à l'autre. Le résultat global est que l'électron parcourt un cercle, comme indiqué dans la figure (b) ci-dessus. Par rapport à sa position d'équilibre, l'électron subit un certain déplacement r et il tourne avec un certain décalage de phase par rapport au vecteur E . Les positions respectives de E et r seront par exemple comme sur le schéma (b). Au cours du temps, le champ électrique tourne et de même le vecteur déplacement, l'un et l'autre avec la même fréquence. Leur orientation relative reste donc la même. Regardons maintenant quel est le travail effectué sur l'électron. Le taux d'apport d'énergie à l'électron est le produit de sa vitesse v par la composante Eq

parallèle à la vitesse :

(2) vqdt

dWtE=

Mais regardez, il y a du moment cinétique apporté à cet électron puisqu'il y a toujours un couple par rapport à l'origine. Ce couple est rq tE , lequel doit être égal au taux de variation du moment

cinétique dtdJ z / :

(3) rqdt

dJt

z E=

Nous souvenant que rv ω= , nous obtenons

(4) ω1=

dW

dJ z

Donc, si nous faisons l'intégration de tout le moment cinétique absorbé, ce que nous obtenons est proportionnel à l'énergie totale, la constante de proportionnalité étant ω/1 , ce qui est en accord avec l'équation (1). La lumière transporte bien du moment cinétique unité (que multiplie h ) le long de l'axe z si elle est polarisée circulairement à droite et -1 unité si elle est polarisée circulairement à gauche. Posons maintenant la question suivant : si la lumière est polarisée linéairement dans la direction x, quel est son moment cinétique ? La lumière polarisée circulairement suivant la direction x peut être représentée par la superposition de lumière polarisée circulairement à droite et à gauche. Il y a donc une certaine amplitude pour que le moment angulaire soit h+ et une autre amplitude pour qu'il soit h− , de sorte qu'il n'y a pas de moment cinétique défini. Cette lumière a une amplitude pour se

manifester avec h+ et une amplitude égale pour se manifester avec h− . L'interférence entre ces deux amplitudes produit une polarisation linéaire, mais la lumière a les mêmes probabilités de se manifester avec plus ou moins une unité de moment cinétique. Des mesures macroscopiques, faites sur un faisceau de lumière polarisée linéairement, montreraient qu'il ne transporte aucun moment cinétique, car il y a un grand nombre de photons qui se répartissent à peu près également entre les polarisations circulaires de droite et de gauche, transportant ainsi des quantités de moments cinétiques égales et opposées. Le moment cinétique est donc très voisin de zéro. En théorie classique on n'obtient pas de moment cinétique sauf s'il y a un peu de polarisation circulaire.

Nous avons dit que toute particule de spin un peut avoir trois valeurs pour zJ , à savoir +1, 0 et -1

(ce sont les trois états dont il a été question dans l'expérience d Stern et Gerlach). Mais la lumière est un peu tordue. Elle n'a que deux états. Elle n'a pas le cas zéro, elle n'a que deux états. Ce manque étrange est relié au fait que la lumière ne peut pas rester sur place. Pour une particule de spin j sans mouvement, il doit y avoir 2j + 1 états possibles avec des valeurs de zJ qui vont de -j à

+j par pas d 1. Mais il se trouve que pour un objet de spin j et de masse zéro, seuls existent les états de composantes +j et -j le long de la direction du mouvement. Ainsi la lumière n'a pas trois états, mais deux seulement, et est pourtant un objet de spin un. Comment cela peut-il être compatible avec notre démonstration antérieure, établie à partir des propriétés des rotations dans l'espace, selon laquelle trois états sont nécessaires pour les particules de spin un ? Pour une particule au repos, on peut faire des rotations autour de n'importe quel axe sans changer l'état d'impulsion. Les particules de masse nulle (tel que le photon) ne peuvent pas être au repos. Seules les rotations autour de l'axe de direction du mouvement ne changent pas l'état d'impulsion. Des raisonnements portant sur des rotations autour d'un seul axe ne peuvent suffire à établir que trois états sont nécessaires, si l'un des

deux varie comme φie sous une rotation d'angle φ . Ce phénomène est assez compréhensible

puisque les rotations à deux dimensions forment un groupe U(1) au lieu de SO(3). Et l'algèbre particulièrement élémentaire de U(1) conduit à une représentation avec seulement deux états de base. Il est à noter que cette curieuse propriété de la lumière est intimement liée à la relativité puisque c'est celle-ci qui implique le lien entre la masse nulle et l'absence de repos (et même une vitesse égale à la vitesse de la lumière dans le vide). Cette absence d'état de spin 0 pour la lumière est à relier à son caractère transversal. Un état de spin 0 correspondrait classiquement à de la lumière polarisée longitudinalement ce que l'on sait ne pas exister comme le montrent clairement les équations de Maxwell. Notons que si l'on introduit une petite masse fictive au photon, cela modifie les équations de Maxwell autorisant une composante longitudinale. Cette composante longitudinale se manifeste généralement dans les équations avec un facteur gamma relativiste qui est la manifestation de la contraction des longueurs. Un passage à la limite vers une masse nulle et une vitesse égale à c amortit totalement cette composante longitudinale jusqu'à l'annuler.

III.4.4. La désintégration du lambda 0 Nous voulons maintenant donner un exemple d'utilisation du théorème de conservation du moment cinétique dans un problème spécifiquement quantique. Il s'agira de la désintégration de la particule

lambda ( 0Λ ), qui se rompt en un proton et un méson π , par interaction "faible" :

(1) −+→Λ πp0

Le pion a un spin zéro, le proton et le 0Λ ont un spin un demi. Nous supposons cela connu. Nous aimerions résoudre le problème suivant : supposez qu'un 0Λ puisse être produit d'une manière qui le rende complètement polarisé. Par là nous voulons dire que son spin est "en haut" par rapport à un certain axe z correctement choisi (nous aurions aussi bien pu dire en bas), comme dans la figure (a) ci-dessous.

La question est alors : quelle probabilité a le 0Λ de se désintégrer avec le proton émis à l'angle θ par rapport à l'axe z, comme sur la figure (b) ci-dessus ? En d'autres termes, quelle est la distribution angulaire des désintégrations ? Nous regarderons la désintégration dans le système de coordonnées dans lequel le 0Λ est au repos. Nous mesurerons les angles dans ce référentiel au repos. Il est toujours possible de les transformer ensuite dans un autre référentiel si nous le voulons. Nous considérons d'abord la circonstance particulière où le proton est émis dans un petit angle solide ∆Ω autour de l'axe z (figure ci-dessous).

Avant la désintégration nous avons un 0Λ avec son spin "en haut" comme en partie (a) de la figure ci-dessus. Après un court instant, le 0Λ explose en un proton et un pion. Supposez que le proton parte vers le haut dans la direction de l'axe +z. Pour conserver l'impulsion totale, le pion doit aller vers le bas. Le proton étant une particule de spin un demi, son spin doit être ou bien "en haut" ou

bien "en bas", ce sont les deux possibilités montées en parties (b) et (c) de la figure ci-dessus. Mais la conservation du moment cinétique exige que le proton ait son spin "en haut". On s'en convaincra aisément par le raisonnement suivant. Une particule se déplaçant le long de l'axe z, ne peut donner de contribution au moment cinétique le long de cet axe, du fait de son mouvement. Donc, seuls les spins peuvent contribuer à zJ . Le moment cinétique de spin par rapport à l'axe +z est 2/h+ avant

la désintégration, il doit donc être aussi 2/h+ après. Nous pouvons dire que comme le pion n'a pas de spin, celui du proton doit être "en haut". Si vous craigniez que les raisonnements de ce genre ne soient pas valables en mécanique quantique, nous allons prendre le temps de vous montrer qu'ils le sont. Sous une rotation d'un angle φ autour

de l'axe z, l'état initial avant désintégration, que nous désignerons par zspin,0 +Λ , voit son

vecteur d'état multiplié par 2/φie (dans le système après rotation, le vecteur d'état est

zspin,02/ +Λφie ). C'est précisément ce que veut dire spin en "haut" pour une particule de spin un

demi. Comme le comportement de la nature est indépendant de notre choix d'axes, l'état final (proton plus pion) doit avoir la même propriété. Nous pourrions écrire l'état final de cette façon :

(2) zversallantpionz;spinz,versallantproton −++

Mais nous n'avons vraiment pas besoin de préciser la direction du pion. En effet, dans le référentiel utilisé, la direction du pion est toujours opposée à celle du proton. Notre représentation de l'état final peut se réduire à

(3) zspinz,versallantproton ++

Qu'advient-il à ce vecteur d'état si nous faisons une rotation des coordonnées d'un angle φ autour

de l'axe z ? Puisque les mouvements du pion et du proton se font le long de l'axe z, ils ne sont pas changés par la rotation (d'où l'intérêt de notre choix d'axe. Le raisonnement ne pourrait pas se faire autrement). Le pion étant de spin zéro n'est affecté en rien. Le proton par contre a un spin un demi. Si son spin

est "en haut", il apportera un changement 2/φie de la phase, réponse à la rotation (si son spin était

"en bas", le changement de la phase dû au proton serait de 2/φie− ). Mais le changement de phase du fait de la rotation doit être le même, que ce soit avant ou après l'événement, puisqu'il faut que le moment cinétique soit conservé (il le faut étant donné qu'aucune influence extérieure ne s'exerce sur l'hamiltonien). La seule possibilité est donc que le spin du proton soit "en haut". Si le proton par vers le haut, son spin doit aussi être "en haut". Ainsi nous pouvons en conclure que la conservation du moment cinétique permet le processus montré dans la partie (b) de la figure ci-dessus mais qu'il ne permet pas le processus montré dans la partie (c). Comme nous savons que la désintégration a lieu, il doit donc exister une certaine amplitude pour le processus (b), le proton vers le haut avec son spin en haut. Désignons par a l'amplitude pour que la désintégration ait lieu de cette façon pendant un laps de temps infinitésimal. Voyons maintenant ce qui se passerait si le spin du 0Λ était initialement 'en bas". A nouveau, nous nous interrogeons sur les désintégrations dans lesquelles le proton par vers le haut le long de l'axe z, comme indiqué dans la figure ci-dessous.

Vous vous convaincrez que dans ce cas le proton doit avoir son spin "en bas" pour conserver le moment cinétique. Disons que l'amplitude pour une telle désintégration est b. Nous ne pouvons rien dire de plus au sujet des deux amplitudes a et b. Elles dépendent des rouages internes du 0Λ et des mécanismes de l'interaction faible. Pour les calculer, il faut faire appel à une théorie plus élaborée ou les obtenir de l'expérience. Mais ces deux amplitudes suffiront pour déterminer tout ce que nous voulons savoir sur la distribution cinétique de désintégration. Il nous faut seulement être toujours très attentif à définir complètement les états dont nous parlons. Nous voulons connaître la probabilité pour que le proton parte à l'angle θ par rapport à l'axez z (dans un petit cône d'angle solide ∆Ω ) comme indiqué dans la première figure. Plaçons un nouvel axe z dans cette direction et désignons-le par z'. Nous savons comment analyser ce qui se passe le long de cet axe. Par rapport à ce nouvel axe, le 0Λ n'a plus son spin "en haut", mais il a une certaine

amplitude pour que son spin soit "en haut" et une autre pour que son spin soit "en bas". Nous avons déjà résolu ce problème. L'amplitude pour le spin "en haut" est 2/cosθ et celle pour le spin "en

bas" est 2/sinθ− (en mettant l'axe z' dans le plan xz). Lorsque le 0Λ a spin "en haut" le long de l'axe z', il émettra un proton dans la direction +z' avec l'amplitude a. Ainsi l'amplitude pour trouver un proton de spin "en haut", se propageant le long de la direction z' est

(4) 2

cosθ

a

De même, l'amplitude pour trouver un proton de spin "en bas", se propageant le long de l'axe z' positif est

(5) 2

sinθ

b−

Les deux processus concernés par ces amplitudes sont représentés dans la figure ci-dessous.

Posons-nous maintenant une question facile : si le 0Λ a son spin en haut le long de l'axe z, quelle est la probabilité pour que le proton de désintégration parte à l'angle θ ? Nous n'allons pas observer les deux états de spin ("en haut" ou "en bas" le long de z'), sans oublier qu'ils sont toutefois discernables. Pour obtenir la probabilité, nous prenons donc le carré des amplitudes et nous les additionnons. La probabilité ( )θf pour trouver un proton dans un petit angle solide au voisinage de

θ st alors

(6) ( )2

sin2

cos 2222 θθθ baf +=

En nous souvenant que ( )θθ cos12/12/sin 2 −= et que ( )θθ cos12/12/cos2 += , nous pouvons

récrire ainsi ( )θf :

(7) ( ) θθ cos22

2222

−+

+=

babaf

La distribution cinétique est de la forme (8) ( ) ( )θαβθ cos1+=f

La probabilité est faite d'une partie indépendante de θ et d'une autre qui varie linéaire avec θcos .

De la mesure de la distribution cinétique, nous pouvons extraire α et β et donc a et b .

Nous sommes maintenant en mesure de répondre à beaucoup d'autres questions. Ainsi, nous pourrions nous intéresser seulement aux protons dont le spin est en haut par rapport à l'ancien axez z. Chacun des termes en (4) et (5) donnera une amplitude pour que le proton ait spin "en haut" par rapport à z' et une autre pour qu'il ait spin "en bas". Le spin "en haut" par rapport à l'axe z, soit

z+ , peut s'exprimer en termes des états de base z′+ et z′− . On peut alors combiner les deux

amplitudes (4) et (5) avec des coefficients appropriés ( 2/cosθ et 2/sinθ− ) pour obtenir l'amplitude totale :

(8)

+2

sin2

cos 22 θθba

Son carré est la probabilité pour que le proton parte dans la direction θ et que son spin soit le même que celui du 0Λ ("en haut" le long de l'axe z). Si la parité était conservée, nous pourrions dire encore ceci. La désintégration (b) de la troisième figure est simplement la réflexion, disons dans le plan yz, de la désintégration de la deuxième figure. Si la parité était conservée, b devrait être égal à a ou -a. Alors le coefficient α de (8) devrait être nul et la désintégration serait également probable pour toute direction.

Les résultats expérimentaux montrent qu'en réalité il existe une asymétrie dans la désintégration. La

distribution cinétique mesurée varie bien selon θcos comme prédit et non pas selon θ2cos ou toute autre puissance. D'ailleurs, du fait que la distribution cinétique a cette forme, nous pouvons déduire de ces mesures que le spin du 0Λ est 1/2. Nous en déduisons aussi que la parité n'est pas conservée. La valeur que l'on trouve expérimentalement pour α est de 05.062.0 ±− , b est donc environ deux fois plus grand que a. Le manque de symétrie sous une réflexion est vraiment éclatant. Vous voyez tout ce que l'on peut tirer de la conservation du moment cinétique et des lois de la mécanique quantique. A partir de très peu d'information, les amplitudes a et b, on peut en déduire tout ce qui peut être mesuré dans de telles réactions. A contrario, les théories plus avancées permettant d'expliquer la machinerie interne du 0Λ n'ont dans ce genre d'expérience que peu d'information à obtenir. C n'est qu'à travers des processus plus compliqués (par exemple des collisions à très haute énergie produisant une grande quantité de particules) que l'on peut dévoiler toute la mécanique interne conduisant à ces amplitudes.

III.4.5. Le rayonnement du dipôle électrique Dans la section précédente, nous avons montré comment la conservation du moment cinétique permet de déduire la distribution angulaire du proton provenant de la désintégration de la particule lambda. Nous voulons maintenant vous donner d'autres illustrations similaires des conséquences de la conservation du moment cinétique dans les systèmes atomiques. Notre premier exemple concerne l'émission de lumière par un atome. La conservation du moment cinétique déterminera, entre autres choses, la polarisation et la distribution angulaire des photons émis. Soit un atome situé dans un état excité, de moment cinétique défini, disons de spin un, et qui ensuite subit une transition vers un état de moment cinétique nul et d'énergie plus faible, en émettant un photon. Le problème consiste à établir la distribution angulaire et la polarisation des photons (ce problème est presque identique à celui de la désintégration du 0Λ , la seule différence étant qu'au lieu de particules de spin un demi, nous avons un spin un). Comme le plus élevé des deux états de l'atome est de spin un, il existe trois possibilités pour la composante z du moment cinétique. La valeur de m peut être +1 ou 0 ou -1. Nous prendrons m = +1 comme exemple. Quand vous aurez vu comment on procède, vous pourrez traiter les autres cas. Nous supposons donc que

l'atome se trouve là avec son moment cinétique orienté le long de +z, comme sur la figure (a) ci-dessous, et nous nous demandons quelle est l'amplitude pour qu'il émette vers le haut, le long de z, une lumière polarisée circulairement à droite, de sorte que son moment cinétique devienne nul dans l'état final. C'est ce qui est montré dans la figure (b) ci-dessous.

Eh bien, nous ne savons pas répondre à cela. Mais ce que nous savons, c'est que la lumière polarisée circulairement à droite a un moment cinétique d'une unité le long de sa direction de propagation. Ainsi, après émission du photon, la situation devrait être comme indiquée dans la figure (b) ci-dessus. L'atome se retrouve avec un moment cinétique nul suivant l'axe z, conformément à notre hypothèse d'un atome dont l'état inférieur a un spin zéro. Nous appelons a l'amplitude pour que l'événement considéré ait lieu. Plus précisément, nous disons que a est

l'amplitude pour émettre un photon durant le temps dt à l'intérieur d'un petit angle solide ∆Ω centré sur l'axe z. Notez que l'amplitude pour émettre un photon PCG le long de cette direction est nulle. Car le moment cinétique suivant l'axe z serait -1 pour le photon et zéro pour l'atome, donc -1 au total, ce qui ne conserverait pas le moment cinétique. De même, si le spin de l'atome est initialement "en bas" (-1 par rapport à l'axe z), seul un photon polarisé circulairement à gauche peut être émis dans la direction de l'axe +z comme indiqué dans la figure ci-dessous.

Nous appelons b l'amplitude pour cet événement. Il s'agit à nouveau de l'amplitude pour l'émission d'un photon à l'intérieur d'un certain angle solide ∆Ω . Par contre, si l'atome est dans l'état m = 0, il

ne peut émettre absolument aucun photon dans la direction +z puisqu'un photon ne peut avoir que +1 ou -1 comme moment cinétique le long de sa direction de propagation. Nous pouvons montrer que b est relié à a. Considérons la situation représentée dans la première figure et faisons lui subir une inversion. Il nous faut donc voir ce que deviendra le système lorsqu'on aura transporté chaque partie à l'emplacement symétrique par rapport à l'origine. Ceci ne veut pas dire qu'il faille inverser les vecteurs de moment cinétique, car ce ne sont pas des objets. C'est en fait le mouvement impliqué par ces moments cinétiques qu'il nous faut inverser. Les vecteurs moment cinétique étant des vecteurs axiaux, ils ne sont pas influencés par la symétrie P. Dans les figures (a) et (b) ci-dessous nous montrons comment se présente le processus de la première figure avant et après inversion par rapport au centre de l'atome.

Remarquez que le sens de rotation de l'atome est inchangé. Dans le système inversé, dans la figure (b), nous avons un atome avec m = +1 qui émet vers le bas un photon polarisé circulairement à gauche.

Si maintenant nous faisons subir à ce système une rotation de 180° autour de l'axe x ou y, il devient identique à celui de la deuxième figure. La combinaison d'une inversion et d'une rotation fait donc passer du premier processus au second. Nous savons qu'une rotation de 180° autour de l'axe y transforme simplement un état m = -1 en un état m = +1, ainsi l'amplitude b doit être égale à l'amplitude a, avec cependant la possibilité d'un signe différent du fait de l'inversion. Le changement éventuel de signe dans l'inversion dépendra des parités de l'état initial et de l'état final de l'atome. Dans les processus atomiques, dû à l'interaction électromagnétique, la parité est conservée. La parité de l'ensemble du système doit donc être la même avant et après l'émission du photon. Le processus différera suivant que les parités de l'état initial et de l'état final de l'atome seront paires ou impaires. La distribution angulaire du rayonnement ne sera pas la même dans les différents cas. Nous allons considérer le cas où la parité est impaire pour l'état initial et paire pour l'état final. Cela donnera ce qu'on appelle le "rayonnement électrique dipolaire" (si l'état initial et l'état final ont la même parité, on dit qu'il y a "rayonnement magnétique dipolaire", laquelle présente le caractère du rayonnement émis par un courant oscillant dans un anneau). Si la parité de l'état initial est impaire, son amplitude change de signe dans l'inversion qui fait passer le système de (a) à (b) dans la dernière figure. Si l'état final de l'atome a la parité paire, son amplitude ne change pas de signe. Et si la parité est conservée au cours de la transition, l'amplitude b doit être égale à a en grandeur, mais de signe opposé. Par conséquent, si a est l'amplitude pour qu'un état m = +1 émette un photon vers le haut, alors, pour les mêmes parités de l'état initial et de l'état final, l'amplitude pour qu'un état m = -1 émette vers le haut un photon PCG est -a. Certains d'entre vous pourraient critiquer le raisonnement que nous avons fait, pour la raison que les états finaux considérés n'ont pas de parité définie. Nous donnerons une démonstration plus précise ci-dessous. Nous avons tout ce qu'il nous faut pour établir l'amplitude pour qu'un photon soit émis selon n'importe quel angle θ par rapport à l'axe z. Soit un atome originellement polarisé avec m = +1. Nous pouvons décomposer ces états en +1, 0 et -1 par rapport à un nouvel axe z' orienté selon la

direction d'émission du photon. L'amplitude pour qu'un photon polarisé circulairement a droite soit émis dans la direction θ est alors le produit par a de l'amplitude pour avoir m = +1 dans cette direction,

(1) ( ) ( )θθ cos12

+=++ aRa y

L'amplitude pour qu'un photon PCG soit émis dans la même direction est égale au produit par -a de l'amplitude pour avoir m = -1 dans la nouvelle direction. On a donc

(2) ( ) ( )θθ cos12

−−=+−− aRa y

Si vous vous intéressez à d'autres polarisations, vous pouvez en déterminer les amplitudes par la superposition de ces deux amplitudes. Pour établir l'intensité d'une composante quelconque en fonction de l'angle, vous devez prendre, bien sûr, le carré des amplitudes.

Conservation de la parité dans l'émission de photon s Si l'état excité de l'atome a son spin en haut (m = +1), il peut émettre un photon PCD le long de

l'axe +z ou un photon PCG le long de l'axe -z. Désignons ces deux états du photon par upR et

dnL . Aucun de ces états n'a de parité définie. Si P est l'opérateur de parité, on a dnup LRP =ˆ et

updn RLP =ˆ (puisque ce sont des états de spin 1).

Qu'advient-il de notre démonstration selon laquelle un atome dans un état d'énergie définie doit avoir une parité définie et aussi de notre assertion suivant laquelle la parité est conservée dans les processus atomiques ? L'état final dans ce problème (l'état après émission du photon) ne devrait-il pas avoir une parité indéfinie ? Il le faut en effet, si l'on considère l'état final complet, qui comprend des amplitudes pour l'émission de photons dans tous les azimuts. Dans le raisonnement ci-dessus nous n'avons considéré qu'une partie de l'état final complet. Si nous le désirons, nous pouvons ne regarder que les états finaux qui ont de fait une parité définie.

Considérez par exemple un état final Fψ qui a une certaine amplitude α pour être un photon

PCD se déplaçant le long de l'axe +z et une certaine amplitude β pour être un photon PCG se

déplaçant le long de -z. Nous pouvons écrire

(3) dnupF LR βαψ +=

L'opération de parité sur cet état nous donne

(4) updnF RLP βαψ +=ˆ

Cet état sera Fψ± suivant que αβ = ou αβ −= . Un état final de parité paire sera donc

(5) ( )dnupF LR +=+ αψ

et un état de parité impair

(6) ( )dnupF LR −=− αψ

Nous voulons considérer ensuite la désintégration d'un état excité de parité impaire aboutissant à un état fondamental de parité paire. Si l'on doit conserver la parité, l'état final du photon doit avoir la

parité impaire. Ce doit être l'état (6). Si l'amplitude pour obtenir upR est α , alors l'amplitude pour

obtenir dnL est α− .

Notez maintenant ce qui se passe lorsque l'on impose une rotation de 180° autour de l'axe y. L'état excité initial devient un état avec m =-1 (sans changement de signe pour le spin 1). D'autre part, la rotation de l'état final nous donne

(7) ( ) ( )updnFy LRR −=° − αψ180

En comparant cette équation avec (6), vous voyez que pour la parité supposée de l'état final, l'amplitude pour obtenir un photon PCG le long de l'axe +z à partir de l'état initial m = -1 est égale, mais de signe opposé, à l'amplitude pour obtenir un photon PCD à partir de l'état initial m = +1. Ceci est en accord avec ce que nous avions trouvé plus haut.

III.4.6. Diffusion de la lumière Utilisons les résultats de la section précédente pour résoudre un problème un peu plus compliqué, mais aussi plus réaliste. Nous supposons que les mêmes atomes sont installés dans leur état de base (j = 0) et qu'ils diffusent un faisceau de lumière incidente. Disons que la lumière se déplace initialement dans la direction plus z, ainsi les photons s'approchent des atomes en venant de -z comme indiqué dans la figure (a) ci-dessous.

Nous pouvons considérer la diffusion de la lumière comme un processus en deux étapes : le photon est absorbé et ensuite réémit. Si nous avons au début un photon polarisé circulairement à droite comme sur la figure (a) ci-dessus et si le moment cinétique est conservé, l'atome sera dans un état m = +1 après l'absorption, comme indiqué sur la figure (b) ci-dessus. Nous désignons par c l'amplitude pour ce processus. L'atome peut ensuite émettre un photon polarisé circulairement à droite dans la direction θ , comme sur la figure (c) ci-dessus. L'amplitude total pour qu'un photon

PCD soit diffusé dans la direction θ est exactement le produit de l'amplitude trouvée dans la

section précédente par c. Désignons cette amplitude de diffusion par RSR′ , nous avons

(1) ( )θcos12

+=′ acRSR

Il y a aussi une amplitude pour qu'un photon PCD soit absorbé et qu'un photon PCG soit émis. Le produit des deux amplitudes correspondantes constitue l'amplitude pour qu'un photon PCD soit

diffusé en un photon PCG. Soit RSL′ cette amplitude. En utilisant le résultat de la section

précédente, nous avons

(2) ( )θcos12

−−=′ acRSL

Maintenant que se passe-t-il si un photon PCG arrive ? Lorsqu'il sera absorbé, l'atome passera à un état m = -1. Par le même genre d'arguments que nous avons utilisé précédemment, nous pouvons montrer que cette amplitude doit être -c. L'amplitude pour qu'un atome dans l'état m = -1 émette un

photon PCD suivant un angle θ est le produit par a de l'amplitude ( ) −+ θyR , qui est

( )θcos12/1 − . Nous avons donc

(3) ( )θcos12

−−=′ acLSR

Finalement, l'amplitude pour que la diffusion d'un photon PCG donne un photon PCD est

(4) ( )θcos12

+=′ acLSL

(il y a deux signes moins qui se compensent). Si nous faisons une mesure de l'intensité diffusée pour une combinaison donnée de polarisations circulaires, elle sera proportionnelle au carré de l'un de nos quatre amplitudes. Par exemple, pour un faisceau incident de lumière PCD, l'intensité de la lumière PCD dans le rayonnement diffusé

variera comme ( )2cos1 θ+

Tout cela est très bien, mais supposez que nous ayons au départ une lumière polarisée linéairement. Que se passe-t-il ? Si nous avons une lumière polarisée suivant x, nous pouvons la représenter comme la superposition de lumière PCD et PCG. Nous écrivons

(5) ( )LRx +=2

1

S'il s'agissait d'une lumière polarisée suivant y, nous aurions

(6) ( )LRi

y −−=2

Maintenant que voulez-vous savoir ? Voulez-vous l'amplitude pour qu'un photon polarisé suivant x soit diffusé en un photon PCD émis suivant l'angle θ ? Pour l'obtenir, vous pouvez combiner les

amplitudes suivant la règle habituelle. D'abord, multipliez (5) par SR′ pour obtenir

(7) ( )LSRRSRxSR ′+′=′2

1

Puis, utilisez (1) et (3) pour les deux amplitudes. Vous obtenez

(8) θcos2

acxSR =′

Si vous vouliez l'amplitude pour qu'un photon x soit diffusé en un photon PCG, vous auriez

(9) θcos2

acxSL =′

Enfin, supposons que vous vouliez connaître l'amplitude pour qu'un photon polarisé suivant x soit

diffusé, tout en conservant sa polarisation suivant x. Ce que vous voulez c'est xSx′ . Ceci peut

s'écrire

(10) xSLLxxSRRxxSx ′′′+′′′=′

Si vous utilisez alors les relations

(11)

( )

( )yixL

yixR

′−′=′

′+′=′

2

1

2

1

il s'ensuit que

(12) 2

1=′′ Rx

(13) 2

1=′′ Lx

Ainsi vous obtenez

(14) θcosacxSx =′

La réponse est qu'un faisceau de lumière polarisée suivant x sera diffusé selon la direction θ (dans

le plan xz) avec une intensité proportionnelle à θ2cos . Si vous vous interrogez sur la lumière polarisée suivant y, vous trouvez que

(15) 0=′ xSy

Ainsi la lumière diffusée est entièrement polarisée dans la direction x. Il y a ici quelque chose d'intéressant à noter. Les résultats (14) et (15) correspondent exactement à la théorie classique de la lumière où ils peuvent être dérivés en supposant que l'électron est lié à l'atome par une force de rappel linéaire afin qu'il se comporte comme un oscillateur classique. Peut-être vous dites-vous : "c'est tellement plus simple en théorie classique, si elle donne la bonne réponse, pourquoi s'encombrer de la théorie quantique ?" Il y a au moins une raison, c'est que nous n'avons considéré jusqu'à présent que le cas particulier, qui se trouve être un cas fréquent, d'un atome ayant un état excité j = 1 et un état de base j = 0. Si l'état excité avait le spin deux, vous

auriez un résultat différent. De plus, il n'y a aucun raison pour que le modèle d'un électron attaché à un ressort et entraîné par un champ électrique oscillant soit utilisable dans le cas d'un seul photon. Mais nous avons trouvé qu'en fait ça marchait et que les polarisations et intensités étaient justes. Dans un certain sens, nous sommes donc en train de ramener l'ensemble de ce cours aux alentours de la vraie réalité. Bien entendu, toute théorie classique qui marche devrait pouvoir être justifiée en fin de compte par des arguments quantiques. Naturellement, ces choses que nous avons pris beaucoup de temps à vous expliquer étaient choisies justement dans des domaines de physique classique, qui demeurent encore valides en mécanique quantique. Vous remarquerez que nous n'avons pas discuté de façon détaillée les modèles suivant lesquels les électrons de l'atome circulent en orbites. C'est parce que de tels modèles ne donnent pas de résultats qui soient en accord avec la mécanique quantique. Mais l'électron sur un ressort, ce qui, en un sens, n'est pas du tout ce à quoi un atome "ressemble", donne de bons résultats. Il est donc indispensable de justifier certains modèles approchés par la mécanique quantique dans la mesure où l'intuition, qu'un modèle est plus proche de la réalité et donc plus juste, peut être complètement trompeuse.

III.4.7. L'annihilation du positronium Nous voudrions maintenant prendre un exemple très joli. C'est très intéressant et, bien qu'assez compliqué, ce ne l'est tout de même pas trop, nous l'espérons. Notre exemple, c'est le système appelé positronium, qui consiste en un "atome" fait d'un électron et d'un positron, un état lié d'un

+e et d'un −e . C'est comme un atome d'hydrogène à ceci près qu'un positron remplace le proton. Cet objet, comme l'atome d'hydrogène, possède beaucoup de niveaux d'énergie. Comme l'hydrogène encore, l'état de base se substitue en un "structure hyperfine" par l'interaction des moments magnétiques (nous verrons cela en détail plus tard). Les spins de l'électron et du positron sont chacun un demi et ils peuvent être ou bien parallèles ou bien antiparallèles par rapport à n'importe quel axe donné (dans l'état de base, le mouvement orbital ne contribue pas au moment cinétique). Ainsi il y a quatre états : trois d'entre eux sont des états de spin un, dont tous ont la même énergie, le dernier est un état de spin zéro, dont l'énergie est différente. La séparation des niveaux d'énergie est cependant beaucoup plus grande que les 1420 MHz de l'hydrogène, car le moment magnétique du positron est beaucoup plus grand, 1000 fois plus grand, que le moment du proton.

La différence la plus importante, cependant, est que le positronium ne dure pas éternellement. Le positron est l'antiparticule de l'électron. Ils peuvent s'annihiler l'un l'autre. Les deux particules disparaissent complètement, transformant leur énergie au repos en rayonnement, lequel se manifeste en rayons gamma (photons). Dans la désintégration, deux particules ayant une masse au repos finie donnent naissance à deux objets, ou plus, ayant des masses au repos nulles. Nous allons analyser d'abord la désintégration de l'état de spin zéro du positronium. Il se désintègre

en deux rayons gamma avec une durée de vie d'environ 1010− seconde. Initialement, nous avons un positron et un électron proches l'un de l'autre, de spins antiparallèles, constituant le système positronium. Après la désintégration, il y a deux photons, qui partent avec des impulsions égales et opposées (voir la figure ci-dessous).

Les impulsions doivent être égales et opposées, parce que l'impulsion totale après la désintégration doit être nulle, comme elle l'était auparavant, si du moins on considère le cas de l'annihilation au repos. Si le positronium n'est pas au repos, nous pouvons nous déplacer nous aussi avec lui,

résoudre le problème et ensuite tout retransformer dans le système du labo (vous voyez que, maintenant, nous savons tout faire, nous avons tous les outils). Notons d'abord que le moment cinétique n'est pas très intéressant. Puisque le système initial a un spin zéro, il n'a pas d'axe privilégié, il est symétrique sous toutes les rotations. Cela implique que tous les angles de désintégration sont également probables. L'amplitude est la même pour qu'un photon aille dans n'importe quelle direction, l'autre doit être opposé. La seule question restante et que nous voulons considérer, concerne la polarisation des photons. Définissons comme le plus et le moins de l'axe z les directions de déplacement des deux photons. Nous pouvons utiliser n'importe quelle représentation au choix pour les états de polarisations des photons. Nous déciderons pour notre description la polarisation circulaire droite et gauche, toujours par rapport aux directions de déplacement. On peut voir immédiatement que, si le photon émis vers le haut est PCD, le moment cinétique sera conservé, si le photon émis vers le bas est aussi PCD. Chacun emportera +1 unité de moment cinétique par rapport à la direction de son impulsion, ce qui implique plus ou moins une unité par rapport à l'axe z. Le total sera zéro et le moment cinétique après la désintégration sera le même qu'avant. Voir la figure ci-dessous.

Le même raisonnement montre que si le photon est émis vers le haut PCD, celui qui est émis vers le bas ne peut pas être PCG. L'état final aurait alors deux unités de moment cinétique. Ceci n'est pas permis si l'état initial a un spin zéro. Notez qu'un tel état final n'est pas non plus possible pour l'autre état de base du positronium, dont le spin est un, car il ne peut avoir au maximum qu'une seule unité de moment cinétique pour toute direction. Nous voulons maintenant montrer que l'annihilation en deux photons n'est pas du tout possible à partir de l'état de spin un. Vous pourriez penser que si nous prenions l'état j = 1, m = 0, lequel a un moment cinétique zéro par rapport à l'axe z, cet état devrait être identique à l'état de spin zéro et que la désintégration en deux photons PCD devrait être possible. A coup sûr, la désintégration schématisé dans la figure (a) ci-dessous conserve le moment angulaire par rapport à l'axe z.

Mais maintenant, regardez ce qui se passe si nous faisons tourner le système de 180° autour de l'axe y. Nous obtenons la configuration montrée dans la figure (b) ci-dessus. C'est exactement pareil que pour la partie (a) de la figure. Tout ce que nous avons fait, c'est d'échanger les deux photons. Nous verrons bientôt que l'échange de deux particules de Bose (des particules de spin entier) ne change pas le signe de l'amplitude, ainsi l'amplitude pour la désintégration selon la partie (b) doit être la même que selon la partie (a). Mais nous avons supposé que l'objet initial est de spin un. Et lorsque nous faisons tourner de 180° autour de l'axe y un objet de spin un et d'état m = 0, son amplitude change de signe. Ainsi les amplitudes pour (a) et (b) de la figure ci-dessus devraient avoir des signes opposés. Cette contradiction montre que l'état de spin un ne peut pas se désintégrer en deux photons. Lorsque le positronium est formé, on s'attendrait à ce qu'il échoue dans l'état de spin zéro une fois sur quatre et dans l'état de spin un (avec m = -1, 0 ou +1) trois fois sur quatre. Ainsi, une fois sur quatre vous auriez des annihilations en deux photons. Pour les autres fois, il ne peut pas y avoir d'annihilation en deux photons. Il y a toutefois une annihilation possible, mais elle doit passer par trois photons. Il lui est plus difficile de faire cela et le temps de vie est 1000 fois plus long, à peu

près 710− seconde. C'est ce qui est observé expérimentalement. Nous n'entrerons dans aucun détail supplémentaire au sujet de l'annihilation de spin un.

Jusqu'à présent nous avons vu que, si nous nous soucions du seul moment angulaire, l'état de spin zéro du positronium peut se transformer en deux photons PCD. Il existe aussi une autre possibilité : il peut se transformer en deux photons PCG comme indiqué dans la figure ci-dessous.

La question suivante est : quelle est la relation entre les amplitudes pour ces deux modes possibles de désintégration ? La conservation de la parité va nous permettre de trouver cette relation. Mais, pour ce faire, nous devons connaître la parité du positronium. Des physiciens théoriciens ont en quelque sorte montré qu'il n'est pas facile d'expliquer que les parités de l'électron et du positron, son antiparticule, doivent être opposées, ce qui fait que l'état de base de spin zéro du positronium doit être impair. Nous nous contenterons d'admettre qu'il est impair, et puisque nous obtiendrons un accord avec l'expérience, nous considérerons que c'est là une preuve suffisante. Voyons alors ce qui se passe si nous faisons une inversion du premier processus. Quand nous faisons cela, les deux photons inversent leurs directions et leurs polarisations. Le dessin inversé ressemble exactement au deuxième processus. En supposant que la parité du positronium est impaire, les amplitudes pour les deux processus doivent avoir un signe opposé. Représentons par

21RR l'état final du premier processus dans lequel les deux photons sont PCD et par 21LL l'état

final du second processus dans lequel les deux photons sont PCG. Le véritable état final,

désignons-le par F , doit être

(1) 2121 LLRRF −=

Une inversion change alors les R en L et donne l'état

(2) FRRLLFP −=−= 2121

lequel est le négatif de (1). Ainsi l'état final F a une parité négative : la même qu'a l'état initial de

spin zéro du positronium. C'est le seul état qui conserve à la fois moment cinétique et parité. Il y a une certaine amplitude pour que la désintégration en cet état se produise, ce qui ne doit cependant pas nous préoccuper pour l'instant, puisque nous nous intéressons uniquement aux questions concernant la polarisation. Que représente physiquement l'état final de (1) ? Il implique entre autre la chose suivante : si l'on observe les deux photons dans deux détecteurs, fait de telle sorte qu'ils peuvent compter séparément les photons PCD et PCG, nous verrons toujours deux photons PCD en même temps ou deux photons PCG en même temps. Autrement dit, si vous vous mettez d'un coté du positronium et si quelqu'un d'autre se met de l'autre coté, vous pouvez mesurer la polarisation et dire ensuite à l'autre gars quelle polarisation il obtiendra. Vous avez 50 chances sur 100 d'attraper un photon PCD et autant pour un photon PCG, quel que soit celui que vous obtenez, vous pouvez prédire qu'il obtiendra le même. On dit que les deux photons sont intriqués. Puisque les chances sont à un contre un pour les polarisations PCD ou PCG, c'est comme si cela ressemblait à une polarisation linéaire. Demandons-nous ce qui se passe, si nous observons le photon dans des compteurs qui n'acceptent que la lumière polarisée linéairement. Pour des rayons gamma, ce n'est pas aussi facile de mesurer la polarisation que pour la lumière. Il n'y a pas de polariseur qui fonctionne bien pour des longueurs d'onde aussi courtes. Mais imaginons qu'il en existe, pour faciliter la discussion. Supposez que vous ayez un compteur, qui n'accepte que la lumière polarisée linéairement avec polarisation x et qu'il y a un gars de l'autre coté qui lui aussi regarde la lumière polarisée linéairement avec, disons, une polarisation y. Quelle chance avez-vous

de saisir les deux photons provenant d'une annihilation ? Nous nous demandons donc quelle est

l'amplitude pour que F soit dans l'état 21 yx . En d'autres termes, nous voulons l'amplitude

(3) Fyx 21

qui bien sûr n'est autre que

(4) 21212121 LLyxRRyx −

Bien que nous nous occupions d'amplitudes à deux particules pour les deux photons, nous pouvons les traiter exactement comme nous le faisions pour les amplitudes à une particule, puisque chaque

particule agit indépendamment de l'autre. Cela signifie que l'amplitude 2121 RRyx est tout

simplement le produit des deux amplitudes indépendantes 11 Rx et 22 Ry . Ces deux

amplitudes sont 2/1 et 2/i , ainsi

(5) 2

2121

iRRyx +=

De même, nous trouvons que

(6) 2

2121

iLLyx −=

Soustrayant, d'après (4), ces deux amplitudes, nous obtenons

(7) iFyx +=21

Ainsi, il y a une probabilité unité pour que, si vous obtenez un photon dans votre détecteur de polarisation x, l'autre gars obtienne un photon dans son détecteur de polarisation y. Nous n'avons pas normalisé nos amplitudes, nous ne les avons pas non plus multipliées par l'amplitude pour la désintégration en un quelconque état final particulier, mais nous pouvons voir que ce résultat est correct parce que nous obtenons une probabilité zéro pour l'autre possibilité, ci-dessous, équation (8).

Maintenant, supposez que l'autre gars arrange son compteur pour une polarisation x, comme le vôtre. Il n'obtiendra jamais un comptage alors que vous, vous en aurez un. Si vous faites le calcul, vous trouverez que

(8) 021 =Fxx

Vous trouverez aussi que, si vous arrangez votre compteur pour une polarisation y, il aura des comptages en coïncidence, uniquement s'il est réglé sur une polarisation x (s'il utilise une polarisation circulaire, il obtiendra une coïncidence une fois sur deux). Tout ceci nous amène à une situation intéressante. Supposez que vous deviez installer quelque chose comme un morceau de calcite, qui séparerait les photons en faisceaux polarisés suivant x et suivant y et que vous placiez un compteur dans chaque faisceau. Désignons les comme compteur x et compteur y. Si le gars de l'autre côté fait la même chose, vous pouvez toujours lui dire dans quel faisceau son photon va s'engager. Chaque fois que vous et lui obtenez des comptages simultanés, vous pouvez voir lequel de ses compteurs avait un photon. Mettons que, pour une certaine désintégration, vous voyez qu'un photon a traversé votre compteur x. Vous pouvez lui dire qu'il doit avoir eu un comptage dans son compteur y. Beaucoup de gens qui apprennent la mécanique quantique trouvent cela gênant. Ils aimeraient penser que les photons, une fois émis, continuent comme une onde de caractère défini. Ils aimeraient penser que, puisque "tout photon étant donné" a une certaine "amplitude" pour être polarisé suivant x pour être polarisé suivant y, il devrait avoir une certaine chance de le recueillir, soit dans le compteur x, soit dans le compteur y, et que cette chance ne devrait pas dépendre de ce qu'une certaine autre personne a pu observer concernant un tout autre photon. Ils raisonnent ainsi : "quelqu'un d'autre faisant une mesure ne devrait pas pouvoir changer la probabilité que je fasse telle observation". Notre mécanique quantique nous dit pourtant qu'en faisant une mesure sur le photon numéro un, vous pouvez prédire avec exactitude ce que va être la polarisation du photon numéro deux quand il sera détecté. Ce point n'a jamais été accepté par Einstein, qui s'en est beaucoup préoccupé, il est connu sous le nom de "paradoxe d'Einstein-Podolsky-Rosen". Mais lorsque la situation est décrite comme nous l'avons fait ici, il ne semble pas qu'il y ait du tout paradoxe. Il ressort très naturellement que ce qui est mesuré en un endroit est en corrélation avec ce qui est mesuré ailleurs. Le raisonnement qui conduit au paradoxe se fait à peu près comme ceci :

1. Si vous avez un compteur qui vous dit si votre photon est PCD ou PCG, vous pouvez prédire exactement quelle sorte de photon (PCD ou PCG) l'autre gars trouvera.

2. Les photons qu'il recevra devront donc être purement PCD ou purement PCG, certains d'une sorte, certains de l'autre sorte.

3. A coup sûr, vous ne pouvez pas changer la nature physique de ses photons en changeant le type d'observation que vous faites sur vos photons. Quelles que soient les mesures que vous faites sur les vôtres, les siens doivent ou être ou bien PCD ou bien PCG.

4. Maintenant, supposez qu'il modifie son appareillage de manière à séparer ses photons en deux faisceaux polarisés linéairement : à l'aide d'un morceau de calcite, il fait en sorte que tous ses photons aillent, soit dans le faisceau polarisé suivant x, soit dans le faisceau polarisé suivant y. On ne peut en aucune manière, selon la mécanique quantique, savoir dans quel faisceau ira tel photon PCD. Il y a une probabilité de 50% pour qu'il aille dans le faisceau x et une probabilité de 50% qu'il aille dans le faisceau y. Et il en va de même pour un photon PCG.

5. Etant donné que chaque photon est PCD ou PCG, selon 2. et 3., chacun doit avoir une égale chance d'aller dans le faisceau x ou le faisceau y et on ne peut d'aucune manière prédire quelle voie il prendra.

6. Pourtant la théorie prédit que si vous voyez votre photon traverser un polariseur x, vous pouvez prédire avec certitude que son photon ira dans son faisceau polarisé suivant y. C'est en contradiction avec 5., il y a donc un paradoxe.

Apparemment la nature ne voit pourtant pas ce "paradoxe", l'expérience montre en effet que la prédiction 6. est correcte. Les étapes 1., 2., 4., 6. du raisonnement ci-dessus sont toutes correctes, mais 3. et sa conséquence 5., sont fausses. Ce ne sont pas des descriptions vraies de la nature. L'argument 3. dit que par votre mesure (l'observation d'un photon PCG ou PCD) vous pouvez déterminer lequel de deux événements possibles se produit pour le gars (l'observation d'un photon PCD ou PCG) et que même si vous ne faites pas votre mesure il vous est encore possible de dire que son événement se produira soit d'une façon soit de l'autre. Ce genre de raisonnement dit "contrafactuel" (déduire une situation de ce qui découle d'une mesure même si on ne fait pas la mesure) est assez dangereux. Et de fait, les choses ne sont pas ainsi dans la nature. Sa façon de faire exige une description en termes d'amplitudes qui interfèrent, une amplitude pour chaque éventualité. Une mesure de l'éventualité qui se produit réellement détruit l'interférence, mais si une mesure n'est pas faite, vous ne pouvez plus dire : "telle ou telle éventualité se produit cependant".

Si vous pouviez déterminer pour chacun de vos photons s'il s'agissait d'un PCD ou PCG, et en même temps s'il était polarisé suivant x (tout cela pour le même photon), il y aurait en effet un paradoxe. Mais vous ne pouvez pas faire cela, c'est un exemple du principe d'indétermination. Pensez-vous encore qu'il y a un "paradoxe" ? Assurez-vous qu'il s'agit, en fait, d'un paradoxe concernant le comportement de la nature, en établissant une expérience imaginaire pour laquelle la théorie de la mécanique quantique prédirait des résultats incompatibles par deux raisonnements différents. Par ailleurs, le "paradoxe" n'est rien d'autre qu'un conflit entre la réalité et votre sentiment sur ce que la réalité "devrait être". Pensez-vous que cela n'est pas un "paradoxe", mais que cela reste pourtant très étrange ? Là-dessus nous pouvons être d'accord. C'est ce qui rend la physique fascinante. Nous aurons d'ailleurs l'occasion de reparler en profondeur de ce curieux état quantique intriqué lors de l'étude de l'interprétation de la mécanique quantique.

III.4.8. La mesure du spin nucléaire Cet exemple concerne une intéressante expérience qui a réellement été effectuée et que vous serez maintenant capables de comprendre. Des physiciens voulaient trouver le spin d'un certain état

excité du noyau de 20Ne . Dans ce but, ils ont bombardé une cible de carbone avec un faisceau

d'ions de carbone accélérés, produisant ainsi l'état excité désiré de 20Ne , appelé ∗20Ne , dans la réaction

(1) 1201212 α+→+ ∗NeCC

où 1α est la particule α ou noyau de 4He . Parmi les états excités du 20Ne produit de cette façon,

plusieurs sont instables et se désintègrent suivant la réaction

(2) 21620 α+→∗ ONe

Il y a donc expérimentalement deux particules alpha émises dans la réaction. Nous les désignons par 1α et 2α . Comme elles sont émises avec des énergies différentes, nous pouvons les distinguer

l'une de l'autre. D'ailleurs, en sélectionnant une énergie particulière pour 1α , nous pouvons

sélectionner un état excité particulier du 20Ne . L'expérience était montée comme indiqué dans la figure ci-dessous.

Un faisceau d'ions de carbone de 16 MeV était envoyé sur une feuille mince de carbone. La première particule alpha était comptée dans un compteur de type jonction à silicium diffusé, marqué 1α , réglé de manière à accepter les particules alpha de l'énergie voulue et se déplaçant vers

l'avant (par rapport à la direction du faisceau 12C incident). On recueillait la seconde particule alpha dans un compteur 2α sous l'angle θ par rapport à 1α . On mesurait alors en fonction de

l'angle θ le taux de comptage des signaux en coïncidence de 1α et 2α .

L'idée de l'expérience est la suivante. Il faut d'abord savoir que les spins de 12C , 16O et de la particule alpha sont tous zéro. Si nous définissons comme direction z la direction initiale de

propagation du 12C , nous savons alors que le ∗20Ne doit avoir un moment cinétique zéro par

rapport à l'axe z. Aucune des autres particules n'a de spin. Le 12C arrive le long de l'axe z et l' 1α

s'en va le long de l'axe z, ils ne peuvent donc avoir aucun moment cinétique suivant cet axe. Ainsi,

quel que soit le spin j du ∗20Ne , nous savons qu'il se trouve dans l'état 0,j . Maintenant que va-t-il

se passer lorsque le ∗20Ne va se désintégrer en un 16O et la seconde particule alpha ? Eh bien, la

particule alpha entre dans le compteur 2α et, pour conserver l'impulsion, 16O doit partir dans la

direction opposée. Nous pouvons négliger le recul donné au ∗20Ne dans la première collision. Ou mieux encore, nous pouvons calculer ce qu'est ce recul et faire une correction en conséquence. Suivant le nouvel axe le long de 2α , il ne peut pas y avoir de composante du moment cinétique.

L'état final a un moment cinétique zéro par rapport au nouvel axe, le ∗20Ne ne peut donc se désintégrer selon cette direction qu'à la seule condition d'avoir une certaine amplitude pour que m' soit égal à zéro, m' étant le nombre quantique de la composante du moment cinétique par rapport au nouvel axe. En fait, la probabilité pour observer 2α sous l'angle θ est exactement le carré de

l'amplitude (ou élément de matrice)

(1) ( ) 0,0, jRj y θ

Pour trouver le spin de l'état du ∗20Ne en question, on a porté en fonction de l'angle, l'intensité de la seconde particule et l'on a alors comparé avec les courbes théoriques pour diverses valeurs de j. Les

amplitudes ( ) 0,0, jRj y θ sont simplement les fonctions ( )θcosjP . Les distributions angulaires

possibles sont les courbes ( )[ ]2cosθjP . Les résultats expérimentaux sont montrés dans la figure ci-

dessous pour deux des états excités.

Vous pouvez voir que la distribution angulaire pour l'état 5.80 MeV s'ajuste très bien avec la courbe

( )[ ]21 cosθP , il s'agit donc d'un état de spin un. Par contre les données pour l'état à 5.63 MeV sont

tout à fait différentes, elles s'ajustent avec la courbe ( )[ ]23 cosθP . L'état a un spin 3.

Par cette expérience, nous avons pu trouver les moments cinétiques de deux des états excités du

∗20Ne . On peut alors utiliser cette information pour essayer de comprendre quelle est la configuration des protons et neutrons à l'intérieur de ce noyau, une information utile pour comprendre les forces nucléaires.

III.5. Symétries dynamiques Nous avons vu que les symétries et la dégénérescence sont liés ensembles. Par exemple, un système qui possède une symétrie par translation spatiale est habituellement dégénéré par rapport à la direction du vecteur impulsion p, une exception survenant quand p = 0. De même, un système qui possède une symétrie par rotation est habituellement dégénéré par rapport à la direction du vecteur moment angulaire J, c'est-à-dire, par rapport à la valeur propre d'une composante particulière telle que zJ . A nouveau, le cas J = 0 est exceptionnel. Dans le cas des symétries discrètes de l'inversion

spatiale et du renversement du temps, la dégénérescence est moins commune car les états transformés sont moins souvent identiques aux états originaux. Nous avons signalé que l'oscillateur harmonique isotrope a une dégénérescence supplémentaire au-delà de celle associée à la symétrie par rotation. Comme déjà remarqué, on s'y attend quand l'équation de Schrödinger peut être résolue de plusieurs manières, dans plusieurs systèmes de coordonnées ou dans un seul système de coordonnées orienté de différentes manières. De notre point de vue, on s'attend à ce que ces dégénérescences soient associées à une certaine symétrie qui évidemment n'est pas du type géométrique comme celles déjà considérées. Nous appelons de telles symétries dynamiques, puisqu'elles viennent de la forme particulière de la loi de force. C'est aussi une symétrie interne particulière sauf qu'au lieu d'être "interne" à la particule, il s'agit ici du système complet. Dans les deux cas relativement simples considérés dans cette section, l'existence et la nature générale de la symétrie dynamique peut être inférée du système classique correspondant, pratiquement de la même manière qu'avec les symétries géométriques. Cela n'est pas possible en général car plusieurs situations physiques intéressantes n'ont pas d'analogue classique.

Problème classique de Kepler L'hamiltonien classique du problème de Kepler en coordonnées relatives est

(1) r

Hκ

µ−=

2

2p

où µ est la masse réduite et κ est une quantité positive. Dans le cas de l'atome d'hydrogène que

l'on étudiera plus tard, 2Ze=κ . Une solution particulière du problème classique de l'orbite est une ellipse avec le demi grand axe a qui est égal à la moitié de la distance du périhélie P à l'aphélie A et

avec l'excentricité e qui est égale à ( ) aba /2/122 − où b est le demi petit axe.

Puisque H est indépendant du temps, l'énergie totale E est une constante du mouvement. De même, puisque H possède une symétrie par rotation, le moment angulaire prL ×= est une constante du

mouvement. Ces deux affirmations sont facilement établies en utilisant l'équation d'évolution des variables dynamiques et nécessite le calcul de quelques crochets de Poisson. Il n'est pas difficile de montrer que

(2) a

E2

κ−= et ( )22 1 ea −= κµL

L est évidemment un vecteur axial qui est perpendiculaire au plan de l'orbite. La symétrie par rotation de H est suffisante pour faire que l'orbite est située dans un certain plan passant par O, mais elle n'est pas suffisante pour exiger que l'orbite soit fermée. Une petite déviation de l'énergie potentielle de sa forme newtonienne ( ) ( )rrV /κ−= provoque une lente

précession du grand axe PA de l'orbite et ainsi l'orbite n'est pas fermée. Cela suggère qu'il y a une certaine quantité autre que H et L qui est une constante du mouvement et qui peut être utilisée pour

caractériser l'orientation du grand axe de l'orbite plane. Nous cherchons donc un vecteur constant M que l'on s'attend à être aligné avec le grand axe et pointant de O vers P ou de O vers A. Un tel vecteur est connu depuis longtemps et est appelé vecteur de Lenz ou vecteur de Runge-Lenz. Nous l'écrivons sous la forme

(3) rLp

Mr

κµ

−×=

Il est facile de voir que c'est une constante du mouvement, qu'il a la grandeur eκ et qu'il est dirigé de O vers P. Les relations suivantes sont indépendantes du choix particulier des paramètres orbitaux a et e :

(4) 222 20 κ

µ+==⋅ LMML

H

Atome d'hydrogène Afin de traiter l'atome d'hydrogène, les quantités précédentes doivent être traduites en mécanique quantique. Cela a déjà été fait pour r, p et L. Pour M, nous notons que Lp× n'est pas égal à

pL×− et donc (3) ne définit pas une quantité hermitique. Nous redéfinissons donc M comme une

moyenne symétrique :

(5) ( ) rpLLpMr

κµ

−×−×=2

1

On peut montrer à partir des relations de commutation de r et p, après une quantité considérable de calculs, que

(6)

[ ]( ) 2222 2

0,

κµ

++=

=⋅=⋅=

hLM

0LMMLM

H

H

Ce sont les analogues quantiques de la constance de M et des équations (4).

Les équations (5) et (6) ont été utilisées par Pauli pour trouver les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène, indépendamment et simultanément du traitement de Schrödinger à partir de l'équation de Schrödinger et que nous verrons plus tard. L'approche de Pauli est équivalente à voir les trois composantes de M comme les générateurs de certaines transformations infinitésimales de la même manière que les trois composantes de L ont été vues comme les générateurs des rotations infinitésimales autour des trois axes. Nous continuons donc en calculant l'algèbre des six générateurs L, M qui consistent en 15 relations de commutation. Trois ont déjà été données et sont les permutations cycliques de (7) [ ] zyx LiLL h=,

Neuf de plus sont les permutations cycliques de (8) [ ] [ ] [ ] yzxzyxxx MiLMMiLMLM hh −=== ,,0,

Les trois dernières sont beaucoup plus difficiles à calculer et sont les permutations cycliques de

(9) [ ] zyx HLi

MMµh2

, −=

Les L en eux-mêmes constituent une algèbre fermée (7) et, comme nous l'avons vu, génèrent le groupe O(3). Les L et M ensemble, cependant, ne forment pas une algèbre fermée puisque, si les équations (8) impliquent seulement L et M, l'équation (9) implique également H. Cependant, puisque H est indépendant du temps et commute avec L et M, nous pouvons travailler dans un sous-espace de l'espace de Hilbert qui correspond à une valeur propre de l'énergie particulière E de l'hamiltonien H. Alors, H peut être remplacé dans (9) par E, qui pour les états liés est une quantité négative. Il est pratique maintenant de remplacer M par

(10) MM

2/1

2

−≡′E

µ

Les relations de commutation (8) sont valides aussi pour M' et (9) est remplacé par (11) [ ] zyx LiMM h=′′ ,

Le groupe O(4) Les six générateurs L, M' constituent une algèbre fermée qui peut être identifiée avec une algèbre connue de la manière suivante. Nous changeons la notation du vecteur coordonnées r = (x,y,z) et du vecteur impulsion p = ( )

zyx ppp ,, comme

(12) ( )321 ,, rrr=r et ( )321 ,, ppp=p

et nous changeons la notation pour le vecteur moment angulaire ( )zyx LLL ,,=L selon

(13) ( )123123 ,, LLL=L

Nous avons donc (14) [ ] ijjijjjiij iprprprL δh=−= ,

où i, j = 1, 2, 3. Nous étendons maintenant les équations (14) à i, j = 1, 2, 3, 4 en inventant une quatrième coordonnée et de la composante de l'impulsion 4r et 4p tel que

(15) 342414 LMLMLM zyx =′=′=′

On vérifie facilement que les équations (14) et (15) conduisent aux relations de commutation (7), (8) et (11). Les six générateurs ijL constituent évidemment la généralisation des trois générateurs L de trois à

quatre dimensions. On peut montrer que le groupe qu'ils génèrent est le groupe des rotations propres ou groupe orthonormal à quatre dimensions O(4) qui est l'ensemble des matrices réelles orthonormales avec un déterminant égal à +1. Cela ne représente évidemment pas une symétrie géométrique de l'atome d'hydrogène puisque les quatrièmes composantes 4r et 4p sont fictives et

ne peuvent pas être identifiées avec des variables dynamiques. Pour cette raison, O(4) est dit décrire une symétrie dynamique de l'atome d'hydrogène. Il contient, bien sûr, le groupe de symétrie géométrique O(3) comme sous-groupe. Il est important de noter que les générateurs de O(4) ont été obtenus en restreignant notre attention aux états liés. Pour les états continus, E est positif, et le signe dans la racine carré de (10) doit être changé afin que M' soit hermitique. Alors le signe sur le coté droit de (11) est changé et les

identifications de (14) et (15) ne sont plus valides. Il s'avère que le groupe de symétrie dynamique dans ce cas est isomorphe au groupe des transformations de Lorentz dans le temps et les trois dimensions de l'espace, plutôt que le groupe des rotations dans l'espace à quatre dimensions.

Niveaux d'énergie de l'hydrogène Les valeurs propres de l'énergie peuvent maintenant être trouvées presque sans effort supplémentaire. Nous définissons deux quantités

(16) ( ) ( )MLKMLI ′−=′+=2

1

2

1

dont on vérifie facilement qu'elles satisfont les relations de commutation

(17) [ ] [ ][ ] [ ] [ ] 0,,0,

,,

===

==

HH

KiKKIiII zyxzyx

KIKI

LhLh

Donc, I et K constituent chacun une algèbre O(3) ou SU(2) et nous voyons immédiatement que les valeurs propres possibles sont

(18) ( ) ( ) Khh ,1,,0,11 212222 =+=+= kikkii KI

On voit facilement des relations de commutation (17) que le groupe O(4) est de rang 2. Donc, il y a deux opérateurs de Casimir qui peuvent évidemment être choisis comme

(19) ( ) ( )2222

4

1

4

1MLKMLI ′−=′+=

Ou bien, ils peuvent être choisis comme la somme et la différence de 2I et 2K :

(20) ( ) MLKIMLKI ′⋅=−=′′+=+= 222222

2

1CC

La deuxième équation (6) montre que C' = 0, ainsi nous sommes concernés uniquement par la partie de O(4) pour laquelle 22 KI = . Donc i = k et les valeurs possibles pour le premier opérateur de Casimir sont

(21) ( ) Kh ,1,,012 212 =+= kkkC

La troisième équation (6) avec (10) et (20) donne alors

(22) 22

22

2

1

422

1h−−=

−=EE

Cµκµ

ML

Avec l'expression (21) de C, nous obtenons

(23) ( )122 2

2

+−=

kE

h

µκ

L'équation (23) est en accord avec le résultat qui sera obtenu avec l'équation de Schrödinger si nous

nous souvenons que 2Ze=κ et si nous faisons l'identification naturelle n = 2k + 1 qui donne la séquence de valeurs n 1, 2, 3,… Il est important de noter qu'il n'y a aucune objection à utiliser des valeurs demi entières pour i et k

dans (18). La seule restriction physique est que ( ) 22 1 h+= llL a seulement des valeurs entières de l.

Mais puisque L = I + K, la règle du triangle montre que l peut avoir toute valeur allant de

12 −==+ nkki jusque 0=− ki par pas entier. Donc l est non seulement restreint à des valeurs

entières mais il a aussi le domaine de valeurs correct par rapport au nombre quantique total n. La dégénérescence de ce niveau d'énergie est aussi donnée correctement car zI et zK peuvent avoir

chacun 2k + 1 = n valeurs propres indépendantes et il y a donc en tout 2n états possibles. Finalement, nous notons que L est un vecteur axial qui ne change pas de signe sous l'inversion spatiale. De même, il est apparent que M défini par (5) est un vecteur polaire, qui change de signe. Donc on s'attend à ce que les états définis par les générateurs de symétries L et M n'ont pas besoin d'avoir une parité définie. C'est effectivement le cas puisque les états de l pairs et impairs sont dégénérés dans l'atome d'hydrogène.

Oscillateur isotrope classique L'oscillateur harmonique isotrope à trois dimensions est décrit par l'hamiltonien

(24) 22

2

1

2r

pK

mH +=

C'est une généralisation de l'oscillateur harmonique linéaire discuté plus tôt dans le cas où la constante K est la même dans toutes les directions. Une solution particulière du problème classique de l'orbite est une ellipse avec un demi grand axe a et un demi petit axe b, qui a son demi grand axe orienté avec un angle γ par rapport à l'axe x.

Comme dans le problème de Kepler, H et L sont des constantes du mouvement, avec des valeurs données par

(25) ( )22

2

1baKE += et 222 bmKa=L

Le fait que l'orbite soit fermée suggère à nouveau qu'il y a une certaine constante supplémentaire du mouvement qui peut être utilisé pour caractériser l'angle d'orientation γ . Il y a cependant une

différence frappante entre la figure ci-dessus et la précédente. Dans le problème de Kepler, le centre d'attraction O est un des foyers de l'ellipse, tandis que dans le problème de l'oscillateur, il est au centre. Donc, les deux directions OA et OP le long du demi grand axe ne sont pas équivalentes dans l'orbite de Kepler et le petit axe n'est pas un élément de symétrie. Par contraste, les deux directions le long du grand axe et les deux directions le long du petit axe sont tous deux de bons éléments de symétrie dans l'orbite de l'oscillateur. Donc, nous nous attendons à ce que la constante supplémentaire du mouvement ne soit pas un vecteur, comme dans le problème de Kepler, mais plutôt un tenseur quadrupolaire. Nous définissons les composantes du tenseur quadrupolaire comme les cinq derniers générateurs de la représentation coordonnées de SU(3) que nous avons vu. Le calcul des crochets de Poisson appropriés montre alors que les Q sont des constantes si et seulement si nous choisissons α et β

tel que mK=βα / . Pour l'orbite montrée ci-dessus, les Q ont alors les valeurs

(26)

( )

( ) ( ) γαα

γα

2cos2

1

32

02sin2

1

221

220

22

baQbaQ

QQbaQ zxyzxy

−=+=

==−=

Comme on s'y attend selon la figure ci-dessus, les composantes du tenseur quadrupolaire sont inchangées si γ est remplacé par πγ + et aussi si a et b sont échangés et γ remplacé par πγ 2

1± .

Oscillateur isotrope quantique Puisque le problème quantique se sépare en coordonnées cartésiennes, la solution est facilement trouvée en fonction de celle de l'oscillateur harmonique linéaire. Les niveaux d'énergie sont

(27) Kh ,2,1,0,,2

32/1

=++=

+= zyxzyxn nnnnnnnm

KnE

On voit facilement que la dégénérescence de nE est ( )( )212

1 ++ nn et la parité de cet état est paire

ou impaire selon que n est pair ou impair. Donc, les seules valeurs possibles de l sont n, n - 2,… jusque 1 ou 0 et on peut montrer que l se manifeste une et une seule fois.

La comparaison avec l'étude des symétries montre que le groupe de symétrie dynamique est SU(3). Puisque nous exigeons que mK=βα / , l'opérateur de Casimir est relié au carré de l'hamiltonien

(24) :

(28) 2

23

43 H

K

mC

h+−=

La substitution d l'expression (27) pour la nième valeur propre de H dans (28) donne

(29) ( )nnC 33

4 2 +=

Puisque SU(3) est de rang 2, il y a deux opérateurs de Casimir. Ils peuvent être exprimés en fonction de deux paramètres, λ et µ , qui prennent les valeurs 0, 1, 2,… L'expression générale du

premier opérateur de Casimir en fonction de ces paramètres est

(30) ( )µλµλµλ 333

4 22 ++++=C

Donc seules les représentations de SU(3) avec ( ) ( )0,, n=µλ sont réalisées par l'oscillateur isotrope.

La situation est ici quelque peu analogue à celle de l'atome d'hydrogène où seules les représentations de O(4) avec i = k étaient réalisées. Par contraste avec l'atome d'hydrogène, nous avons vu qu'il n'y a pas de mélange des parités dans l'oscillateur isotrope puisque les valeurs de l dans chaque état dégénéré sont ou bien toutes paires ou toutes impaires. On s'y attendait puisque les huit générateurs, les trois composantes de L et les cinq Q, ont un signe inchangé sous l'inversion spatiale. La relation entre l'oscillateur isotrope et SU(3) peut aussi être constatée à travers les opérateurs de

création et de destruction, +a et a. Il y a maintenant trois opérateurs de chaque type, chacun associé avec un des trois coordonnées. La relation de commutation entre ces opérateurs et l'hamiltonien deviennent

(31) [ ] c

i

iiijji aaHaa ωδ h

+== ∑=

++3

1 2

3,

où i, j = x, y, z. Alors l'algèbre des neufs opérateurs ji aa + est celle des opérateurs de U(3). On peut

trouver des combinaisons de ces opérateurs qui sont égales à H et aux huit générateurs de SU(3).

Exercices 1. Montrez que l'équation (13) de la section II.1 est valide en utilisant la forme (9) pour ( )ρrU et

les relations de commutation des composantes de r et p. 2. Utilisez l'invariance du produit scalaire de toute paire de vecteurs sous les rotations afin de

montrer que les lignes et colonnes de la matrice de rotation R sont orthonormales entre elles. Montrez aussi que la transposée de R est égale à l'inverse de R et que le déterminant de R est égal à 1± .

3. Montrez que les trois relations de commutation (16) de la section III.3.1 sont valides en utilisant la forme (8) pour L et les relations de commutation pour les composantes de r et p.

4. Montrez que les trois matrices S définies dans les équations (13) de la section III.3.1 satisfont

les relations de commutation SSS hi=× . Montrez aussi que 22 2h=S . 5. Montrez que les éléments de matrice de r pour des états qui sont tournés d'un vecteur

infinitésimal φ sont égaux aux éléments de matrice correspondants de rrr ×+= φR pour les

états originaux. 6. Montrez que les éléments de matrice de J pour des états qui sont tournés d'un vecteur

infinitésimal φ sont égaux aux éléments de matrice correspondants de JJJ ×+= φR pour les

états originaux. 7. Montrez que les valeurs propres de zS données dans (13) de la section III.3.1 sont les mêmes

que celles de zJ données dans (34) pour j = 1. Trouvez alors la matrice unitaire la plus générale

qui transforme zS en zJ : zz JUUS =+ . Choisissez les paramètres arbitraires de U afin qu'elle

transforme aussi xS en xJ et yS en yJ . Comment U transforme-t-elle la fonction vecteur

d'onde αψ de (9) ?

8. Etablissez les équations (36) de la section III.3.1 en utilisant les définitions (35) et les propriétés des harmoniques sphériques.

9. Obtenez une expression explicite pour ( ) ( )h/exp J⋅−= φφ iU R sous la forme d'une matrice 2x2

quand J est donné par (34) de la section III.3.1 avec j = 1/2. Considérez que le vecteur φ a une

grandeur φ et des angles polaires θ et ϕ . Montrez explicitement que votre matrice pour

( )φRU est unitaire et qu'elle est égale à -1 quand πφ 2= .

10. Montrez que les matrices jλ (j = 1, …, 8) définis dans les équations (48) et (51) de la section

III.3.1 satisfont les relations de commutation (52) et (53). Utilisez alors ces relations de commutation (pas la représentation matricielle originale des jλ ) pour montrer que chaque jλ

commute avec l'opérateur de Casimir C défini par l'équation (54). 11. Montrez que les 28 commutateurs des huit opérateurs (55) de la section III.3.1, calculés à partir

des relations de commutation entre les composantes de r et p, sont en accord avec les relations de commutation des jλ quand les identifications (57) et (58) sont adoptées.

12. Utilisez les méthodes et formules de la section III.3.2 pour calculer la matrice des coefficients de Clebsch-Gordan dans les cas 2

31 =j , 2

12 =j .

13. Un deutéron a un spin 1. Utilisez le théorème de Wigner-Eckart pour trouver les rapports des valeurs moyennes de l'opérateur moment quadrupolaire électrique Q(2,0) pour les trois orientations du deutéron : m = 1, 0, -1.

14. Montrez que l'opérateur inversion de l'impulsion U, définis après l'équation (77) de la section III.3.1 et qui a la propriété ( ) ( )pp −= αα ψψU , est unitaire.

15. Montrez que, si αα ψψ T=′ et ββ ψψ T=′ , alors ( ) ( ) ( )αββαβα ψψψψψψ ,,, == ∗′′ . A partir de

cela, montrez que la norme d'un vecteur d'état est inchangée par renversement du temps. 16. Montrez explicitement que ( )h/exp ySiU π−= satisfait les deux équations (79) de la section

III.3.1. Utilisez les propriétés de commutation de yS et les opérateurs xz iSSS ±=± .

17. Montrez par un développement direct que, pour s = 1/2, ( )yy iSi σπ −=− h/exp .

18. Montrez par un argument général que 12 ±=T . Utilisez la forme T = UK et le fait que deux renversements successifs du temps redonne le même état de sorte que 2T est un multiple de la matrice unité. N'utilisez pas la forme particulière de T donnée dans l'équation (80) de la section III.3.1.

19. Une particule chargée avec un opérateur de spin S est supposée posséder un opérateur moment dipolaire électrique Sµ où µ est une constante numérique et ainsi l'hamiltonien pour cette

particule dans un champ électrique E contient le terme d'interaction ES ⋅− µ . Montrez que ni

l'inversion spatiale ni le renversement du temps ne sont des opérations de symétrie pour cette particule se déplaçant dans un potentiel électrostatique à symétrie sphérique ( )rφ , même quand

aucun champ électrique externe n'est présent. 20. Trouvez la fonction propre d'énergie la plus basse de l'atome d'hydrogène en coordonnées

représentation en partant du travail de la section III.5. Procédez en trouvant l'analogue de l'équation (10) de la section VI.4 du tome II pour l'état le plus bas de l'oscillateur linéaire. Résolvez-la par analogie avec l'équation (22).

IV. Particules identiques et spin La théorie de la mécanique quantique des particules présentée jusqu'ici est déficiente sous trois aspects. Tout d'abord, si deux ou plusieurs particules sont décrites en même temps, comme l'électron et le proton de l'atome d'hydrogène ou les électrons incidents et atomiques dans une collision inélastique, on suppose que les particules peuvent être distinguées les unes des autres. C'est une hypothèse valide dans le premier exemple puisque les électrons et les protons possèdent des charges et des masses assez différentes. Dans le second exemple, cependant, il n'y a pas de différence observable entre les électrons incidents et atomiques et les conséquences de cette identité devraient apparaître dans le formalisme. Le deuxième défaut de la théorie est que le spin n'a pas encore bien été incorporé dans la description du mouvement. Enfin, aucune mention à la relativité restreinte n'a été faite et on s'attend à ce qu'elle affecte la description théorique des particules qui se déplacent à des vitesses proches de celle de la lumière. Nous allons maintenant nous attaquer aux deux premiers défauts. La relativité sera abordée plus tard. Nous allons d'abord utiliser une approche simple par les collisions puis nous reprendrons l'étude d'une manière plus abstraite et rigoureuse.

IV.1. Particules identiques Les particules identiques ne peuvent pas être distinguées en utilisant toute propriété intrinsèque puisque autrement elles ne seraient pas identiques sous tous les aspects. En mécanique classique, l'existence de trajectoires bien précises pour les particules individuelles rend possible en principe la distinction entre des particules qui sont identiques excepté pour leur trajectoire, puisque chaque particule peut être suivie durant le cours d'une expérience. En mécanique quantique, la taille finie et la dispersion des paquets d'ondes qui peuvent décrire des paquets d'ondes individuels rend souvent impossible la distinction entre les particules individuelles à travers leur position, en particulier si elles interagissent ensembles sur une région d'étendue appréciable. Cela est vrai des électrons dans un seul atome où nous verrons que la description en termes de paquets d'ondes bien localisés échoue complètement. Cependant, les électrons d'atomes différents qui sont bien séparés l'un de l'autre peu, avec une bonne approximation, être vu comme distincts. Nous allons considérer certains des effets de l'identité sur le traitement de systèmes de deux ou plusieurs particules. D'autres effets qui impliquent le spin explicitement seront également examinés.

Signification physique de l'identité L'impossibilité, même en principe, de distinguer les particules identiques dans la plus part des problèmes de la mécanique quantique peut conduire à des effets qui n'ont pas d'analogue classique. Comme exemple, on peut comparer la collision élastique de deux particules identiques qui ont une interaction particulière entre elles avec la collision de deux particules différentes qui ont la même interaction entre elles. Dans un traitement classique, il n'y a pas de différence de principe entre les résultats de ces deux expériences puisqu'il est possible de distinguer la particule incidente et la particule cible aussi bien dans le premier cas que dans le second. En pratique, cependant, cette distinction sera faite habituellement seulement dans la deuxième expérience. Donc, selon la mécanique classique, la section efficace différentielle mesurée dans la première expérience est égale à la somme des sections efficaces des sections efficaces correspondantes mesurées pour la particule incidente et la particule cible dans la deuxième expérience. Dans la situation quantique correspondante, les particules identiques dans la première expérience ne peuvent pas être distinguées par leur trajectoire puisqu'elles ne peuvent pas être bien localisées sans interférer avec le processus de diffusion. Donc, la distinction entre particule incidente et cible n'a pas de signification physique et

la relation simple entre les résultats des deux expériences trouvée dans le cas classique n'existe pas nécessairement. Nous utilisons le mot identique pour décrire des particules qui peuvent être substituées l'une à l'autre dans les circonstances les plus générales possibles sans changer la situation physique. Des particules identiques peuvent dans certains cas être distinguées quand leurs paquets d'ondes ne se superposent pas. Un autre cas, discuté plus loin, se produit quand les particules possèdent un moment angulaire de spin intrinsèque qui est une constante du mouvement dans une collision particulière. Alors, puisque la composante du spin le long d'un axe est supposée ne pas changer durant cette collision, les particules peuvent être distinguées si elles ont différentes composantes du spin. Les résultats de ce type doivent, bien sûr, être une conséquence du formalisme que nous allons devoir poser. La mécanique quantique postule que l'état complet d'un système est entièrement encodé dans sa fonction d'onde ou son vecteur d'état. On parle de théorie complète dans le sens où tout ce qui permet de décrire le système est décrit par la théorie. On peut très bien mal connaître un système physique et ne pas avoir la description complète de l'espace de Hilbert ou de l'hamiltonien mais cette description complète est possible par la théorie, au moins en principe, même si on ne la

connaît pas toujours. Considérons ainsi deux particules qui seraient décrites par le même état ψ ,

au moins à un instant donné. On peut alors se poser la question de savoir si les deux particules sont différentes a un sens. On peut même se demander si le caractère individuel des particules a encore un sens et si la description correcte ne doit pas obligatoirement passer par une description globale des deux particules vues comme un tout, une paire de particules plutôt que deux particules individuelles. Cela se voit d'ailleurs clairement dans la description en termes de fonction d'onde où un système à deux particules ne doit pas se décrire par deux fonctions d'onde séparées mais par une seule fonction d'onde dépendant de six coordonnées. C'est un point de vue conceptuellement très différent de tout ce que l'on connaît en mécanique classique et il peut être assez difficile à imaginer. Une fois cette perte d'individualité acquise, il ne fait aucun doute que cela doit avoir une influence sur le comportement des systèmes physiques. C'est d'ailleurs exactement ce que montre la mécanique quantique, comme nous le verrons bientôt. En outre, la concordance des résultats expérimentaux avec les prédictions de la mécanique

quantique est un argument très fort en faveur de la validité de ce raisonnement et donc du caractère complet de la mécanique quantique. Si le moindre paramètre interne permettait de distinguer les particules, même si nous ignorons son existence, cela aurait un impact immédiat sur les prédictions résultant de l'hypothèse de l'identité parfaite. C'est ce genre de constat, en plus de l'énorme accumulation de résultats expérimentaux confirmant toutes les prédictions de la mécanique quantique, qui autorise une grande confiance en cette théorie.

IV.1.2. Collision entre particules identiques Le caractère identique des particules conduit à des conséquences parmi les plus remarquables de la mécanique quantique. Nous allons l'illustrer à l'aide d'une expérience simple. Elle comporte encore une situation physique dans laquelle quelque chose peut se produire de deux façons indiscernables, si bien que les amplitudes interfèrent, comme c'est toujours le cas dans de telles circonstances. Nous allons discuter la diffusion, à des énergies relativement basses, de noyaux par d'autres noyaux. Pour commencer nous pensons à des particules alpha (qui, comme vous le savez sont des noyaux d'hélium) bombardant, disons de l'oxygène. Pour que cette réaction soit plus facile à analyser, nous l'étudierons dans le système du centre de masse, où les vitesses du noyau d'oxygène et de la particule sont opposées avant la collision et sont à nouveau exactement opposées après la collision (bien entendu, les grandeurs des vitesses sont différentes puisque les masses sont différentes). Voir la figure ci-dessous.

Nous supposerons également que l'énergie est conservée et que l'énergie de la collision est suffisament faible pour qu'aucune particule ne soit cassée ou ne passe dans un état excité. La raison pour laquelle les deux particules se défléchissent mutuellement est bien entendu que chaque particule porte une charge positive et, qu'en termes classiques, il y a répulsion électrique

lorsqu'elles passent l'une près de l'autre. La diffusion a lieu avec différentes probabilités aux différents angles et nous voudrions discuter un peu la dépendance angulaire de telles diffusions. Il est évidemment possible de calculer cela classiquement et le fait que la solution de ce problème soit la même que classiquement est un des plus remarquables accidents de la mécanique quantique. Ceci est vraiment curieux car le fait ne se produit avec aucune autre force que celle qui suit la loi inverse du carré, c'est donc bien un accident. La probabilité de diffusion dans différentes directions peut être mesurée par une expérience comme celle décrite sur la figure (a) ci-dessus. Le compteur placé en 1 peut être construit de façon à ne détecter que les particules alpha. Le compteur placé en 2 peut être conçu de façon à ne détecter que l'oxygène, ceci seulement à titre de vérification (dans le système du laboratoire, les détecteurs ne seraient pas face à face, mais ils le sont dans le système du centre de masse CM). Notre expérience consiste à mesurer la probabilité de diffusion dans différentes directions. Appelons ( )θf

l'amplitude de diffusion vers les compteurs lorsque ceux-ci sont disposés à l'angle θ . Alors ( ) 2θf

sera la probabilité que nous déterminerons expérimentalement. Nous allons maintenant réaliser une autre expérience dans laquelle nos compteurs pourront répondre soit à la particule alpha, soit au noyau d'oxygène. Nous avons alors à traiter le cas où nous ne nous soucions pas de distinguer quelle est la particule détectée. Bien sûr, si nous détectons un noyau d'oxygène à la position θ , il doit y avoir une particule alpha dans la direction opposée, en

θπ − ainsi que le montre la figure (b) ci-dessus. Ainsi, si ( )θf est l'amplitude pour la diffusion

d'un alpha à l'angle , alors ( )θπ −f est l'amplitude pour la diffusion de l'oxygène à l'angle θ .

En général, on devrait évidemment décrire une direction de diffusion par deux angles : un angle azimutal φ , aussi bien que l'angle polaire θ . Nous dirions alors qu'avoir un noyau d'oxygène en

( )φθ , signifie avoir une particule alpha en ( )πφθπ +− , . Cependant, pour la diffusion

coulombienne (et pour de nombreux autres cas), l'amplitude de diffusion est indépendante de φ .

L'amplitude pour obtenir un oxygène en θ est alors la même que celle pour obtenir une particule alpha en θπ − . On peut aussi imaginer avoir des détecteurs en forme d'anneaux dont le plan est

perpendiculaire à la direction initiale afin de détecter les particules sous tout angle azimutal et ainsi pouvoir ignorer cet angle. Par suite, la probabilité pour avoir une particule quelconque dans le détecteur placé en 1 est :

(1) Probabilité d'une particule quelconque dans 1D = ( ) ( ) 22 θπθ −+ ff

Notez que les deux états sont discernables en principe. Même si dans cette expérience nous ne les distinguons pas, nous pourrions le faire. Nous devons donc ajouter les probabilités, non les amplitudes. Le résultat donné ci-dessus est correct pour une large variété de noyaux cibles, pour des particules sur de l'oxygène, sur du carbone, sur du béryllium, sur de l'hydrogène,… Mais il est faux pour des particules alpha sur des particules alpha. Dans le cas où les deux particules sont parfaitement identiques, les résultats expérimentaux sont en désaccord avec la prédiction de (1). Par exemple, la probabilité de diffusion à 90° est exactement le double de ce que la théorie ci-dessus prédit et ceci

n'a rien à voir avec le fait que les particules soient des noyaux d'hélium. Si la cible est du 3He ,

mais si les projectiles sont des particules alpha ( 4He ), alors il y a accord. C'est seulement lorsque la

cible est 4He , si bien que ses noyaux sont identiques à ceux de la particule alpha incidente, que la diffusion change avec l'angle d'une façon très spéciale. Il en est de même si on envoie des noyaux d'oxygène sur des noyaux d'oxygène, des noyaux de carbone sur des noyaux de carbone, etc. Peut-être voyez-vous déjà l'explication. Il y a deux façons d'obtenir une particule alpha dans le compteur : en diffusant la particule alpha incidente à un angle θ ou bien en la diffusant à l'angle

θπ − . Comment pouvons-nous dire si c'est la particule incidente ou la particule cible qui est entrée dans le compteur ? La réponse est que nous ne pouvons pas. Dans le cas des particules alpha sur des particules alpha, il y a deux possibilités qui ne peuvent pas être distinguées. Nous devons alors laisser les amplitudes de probabilité interférer par addition et la probabilité de trouver une particule alpha dans le compteur est le carré de la somme des amplitudes :

(2) Probabilité d'une particule en 1D : ( ) ( ) 2θπθ −+ ff

Ce résultat est tout à fait différent de celui de l'équation (1). Prenons un angle de 2/π comme exemple, car il est alors facile de voir ce qu'il en est. Pour 2/πθ = , nous avons évidemment

( ) ( )θπθ −= ff et la probabilité de (2) devient alors ( ) ( ) ( ) 222/42/2/ πππ fff =+ .

Par ailleurs, si les amplitudes n'interfèrent pas, le résultat de (1) donne seulement ( ) 22/2 πf . Il y a

donc deux fois plus de diffusion à 90° que ce que nous attendions. Bien sûr, les résultats sont également différents pour d'autres angles. Vous trouvez ainsi le résultat inhabituel que lorsque des particules sont identiques, il se produit quelque chose de nouveau qui ne se produisait pas lorsque les particules pouvaient être distinguées. Dans la description mathématique vous devez ajouter les amplitudes pour les deux processus indiscernables, dans lesquels les particules échangent seulement leurs rôles et il y a alors interférence. Il se passe quelque chose d'encore plus troublant lorsque nous faisons le même genre d'expérience en diffusant des électrons sur des électrons ou bien des protons sur des protons. Aucun des résultats ci-dessus n'est alors correct ! Pour ces particules il faut invoquer une nouvelle règle, des plus curieuses, qui est la suivante : lorsque vous considérez une situation dans laquelle l'électron qui arrive en un certain point est échangé avec un autre, la nouvelle amplitude interfère avec l'ancienne en opposition de phase. C'est encore une interférence, mais avec le signe moins. Dans le cas des particules alpha, lorsque vous échangez les particules alpha entrant dans le détecteur, les amplitudes interfèrent avec le signe plus. Dans le cas des électrons, les amplitudes d'échange interfèrent avec le signe moins. A l'exception d'un autre détail qui sera discuté ci-dessous, l'équation correcte pour des électrons dans une expérience comme celle de la figure ci-dessous est

(3) Probabilité de e en 1D : ( ) ( ) 2θπθ −− ff

L'énoncé ci-dessus doit être précisé car nous n'avons pas précisé la direction du spin de l'électron (les particules alpha n'ont pas de spin). Le spin de l'électron peut être considéré comme étant soit "en haut", soit "en bas" par rapport au plan de la diffusion. Si l'expérience est faite à une énergie suffisament basse, les forces magnétiques dues aux courants seront petites et la direction du spin ne sera pas affectée. Nous supposerons que ceci est le cas dans la présente analyse si bien qu'il n'y a aucune chance pour que les spins soient échangés pendant la collision. Quelle que soit la direction

qu'a le spin de l'électron, il la conserve. Vous pouvez voir maintenant que les possibilités sont nombreuses. Les particules incidentes et la particule cible peuvent avoir leurs deux spins en haut, leurs deux spins en bas ou encore des spins opposés. Si les deux spins sont en haut comme sur la figure précédente (ou si les deux spins sont en bas), la même chose sera vraie des particules diffusées (même si l'énergie est un peu trop forte et autorise un échange du spin, d'ailleurs) et l'amplitude du processus est la différence entre les amplitudes pour les deux possibilités indiquées sur les figures (a) et (b) ci-dessus. La probabilité de détecter un électron en D est alors donné par (3). Supposez cependant que le spin de la particule incidente soit en haut et le spin de la "cible" en bas. L'électron entrant dans le compteur 1 peut avoir son spin en haut ou en bas, en mesurant la direction de ce spin, nous pouvons dire si l'électron vient soit du faisceau incident, soit de la cible (cette fois, sans échange de spin). Les deux possibilités sont indiquées sur les figures (a) et (b) ci-dessous.

Elles sont discernables en principe et elles n'interféreront donc pas mais donneront plutôt une addition des deux probabilités. Le même argument est valable si les deux spins initiaux sont retournés, c'est-à-dire, si le spin de gauche est en bas et le spin de droite est en haut. Si maintenant nous prenons nos électrons au hasard, comme ceux qui proviennent d'un filament de tungstène et qui n'ont aucune polarisation, il y a 50% de chances pour qu'un électron particulier soit

produit avec son spin en haut ou avec son spin en bas. Si, dans cette expérience nous ne nous soucions pas de mesurer la direction du spin des électrons nulle part, nous avons ce que nous appelons une expérience non polarisée. On calcule plus facilement les résultats de cette expérience en faisant la liste des différentes possibilités comme nous l'avons fait dans la table ci-dessous.

Diffusion de particules de spin un demi non polarisées

Fraction des

cas

Spin de la particule 1

Spin de la particule 2

Spin en 1D Spin en 2D Probabilité

41 En haut En haut En haut En haut ( ) ( ) 2θπθ −− ff

41 En bas En bas En bas En bas ( ) ( ) 2θπθ −− ff

En haut En bas ( ) 2θf 41 En haut En bas

En bas En haut ( ) 2θπ −f

En haut En bas ( ) 2θπ −f 41 En bas En haut

En bas En haut ( ) 2θf

Probabilité totale = ( ) ( ) ( ) ( ) 2

212

212

21 θπθθπθ −++−− ffff

On calcule séparément la probabilité de chacune des possibilités discernables. La probabilité totale est alors la somme de toutes les probabilités séparées. Notez que, pour des faisceaux non polarisés, le résultat pour 2/πθ = est la moitié du résultat classique avec des particules indépendantes. Le comportement de particules identiques a de nombreuses conséquences intéressantes. Nous allons en discuter de façon plus détaillée dans ce qui suit.

IV.1.3. Particules de Bose et particules de Fermi Dans ce qui précède, nous avons commencé à étudier les règles spéciales d'interférence dans le cas de processus mettant en jeu deux particules identiques. Par particules identiques nous entendons des choses, telles que des électrons, qui ne peuvent en aucune façon être distinguées les unes des autres. Si deux particules identiques interviennent dans un processus donné, les situations obtenues en échangeant la particule qui atteint un compteur avec l'autre particule, et en ne les échangeant pas, ne peuvent pas être distinguées et, ainsi que dans tous les cas où plusieurs possibilités ne

peuvent pas être distinguées, elles interfèrent. L'amplitude pour un événement est alors la somme des deux amplitudes qui interfèrent. Mais, et c'est un fait intéressant, l'interférence se produit dans certains cas avec la même phase et dans d'autres cas avec la phase opposée. Supposons que nous ayons une collision entre deux particules a et b au cours de laquelle la particule a est diffusé dans la direction 1 et la particule b dans la direction 2, comme l'indique la figure (a) ci-dessous.

Appelons ( )θf l'amplitude pour ce processus. Alors la probabilité 1P pour observer un tel

événement est proportionnelle à ( ) 2θf . Bien entendu, il pourrait aussi arriver que la particule b

soit diffusée vers le compteur 1 et la particule a vers le compteur 2., comme le montre la figure (b) ci-dessus. En supposant qu'il n'y ait pas de direction privilégiée définie par les spins ou quelque

chose d'autre, la probabilité 2P pour ce processus est simplement ( ) 2θπ −f car ce processus est

exactement équivalent au premier dans lequel on aurait placé le compteur 1 à l'angle θπ − . Vous pourriez aussi considérer que l'amplitude pour le deuxième processus est juste ( )θπ −f . Mais il

n'en est pas nécessairement ainsi car il pourrait y avoir un facteur de phase arbitraire. Plus précisément, l'amplitude pourrait être

(1) ( )θπδ −fe i

Une telle amplitude donne encore une probabilité 2P égale à ( ) 2θπ −f .

Voyons maintenant ce qui se passe lorsque a et b sont des particules identiques. Les deux processus différents qui sont indiqués sur la figure ci-dessus ne peuvent plus alors être distingués. Il y a une amplitude pour que soit a, soit b aille vers le compteur 1, l'autre particule allant vers le compteur 2. L'amplitude est la somme des amplitudes des deux processus indiqués sur la figure ci-dessus. Si

nous appelons la première ( )θf , la seconde est alors ( )θπδ −fe i , où le facteur de phase est

maintenant très important parce que nous allons ajouter des amplitudes. Supposons que nous ayons à multiplier l'amplitude par un certain facteur de phase lorsque nous échangeons le rôle des deux particules. Si nous les échangeons à nouveau nous devons encore obtenir le même facteur. Mais nous sommes alors ramenés au premier processus. En comptant deux fois le facteur de phase, on doit donc revenir d'où nous sommes partis, son carré doit donc être égal à 1. Il n'y a que deux

possibilités : δie est égal à 1 ou bien il est égal à -1. Les deux amplitudes sont donc, soit de même signe, soit de signe opposé. Les deux cas existent dans la nature, chacun pour une classe de particules différentes. Les particules qui interfèrent avec le signe plus sont appelées particules de Bose et les particules qui interfèrent avec le signe moins sont appelées particules de Fermi. Les particules de Bose sont : le photon, les mésons, le gluon, les bosons de jauge W et Z, le Higgs (encore hypothétique à l'écriture de ces lignes) et le graviton (hypothétique vecteur de la gravité). Les particules de Fermi sont : l'électron, le muon, les neutrinos, les nucléons (et les quarks) et les baryons. Nous avons donc pour l'amplitude de diffusion de particules identiques : (2) Particules de Bose : (amplitude directe) + (amplitude avec échange) (3) Particules de Fermi : (amplitude directe) - (amplitude avec échange) Pour des particules ayant un spin, comme les électrons, il y a une complication supplémentaire. Nous devons spécifier non seulement les positions des particules mais aussi les directions de leurs

spins. C'est seulement pour des particules identiques, dans des états de spin identiques, que les amplitudes interfèrent lorsque des particules sont échangées. Si vous considérez la diffusion de faisceaux non polarisés, qui sont des mélanges de différents états de spin, il faut faire un peu d'arithmétique supplémentaire. Maintenant, un problème intéressant se pose lorsqu'il y a deux ou un plus grand nombre de particules étroitement liées ensembles. Par exemple, une particule alpha est faite de quatre particules : deux neutrons et deux protons. Lorsque deux particules se diffusent, plusieurs éventualités sont possibles. Il peut arriver que, pendant la diffusion, il y ait une certaine amplitude pour qu'un des neutrons saute d'une particule alpha à l'autre tandis qu'un neutron de l'autre particule alpha saute dans l'autre sens de telle façon que les deux alphas qui sortent de la diffusion ne sont pas les alphas originaux, il y a eu échange d'une paire de neutrons. Voir la figure ci-dessous.

L'amplitude pour la diffusion avec échange d'une paire de neutrons interférera avec l'amplitude pour la diffusion sans échange et cette interférence doit avoir le signe moins parce qu'il y a eu échange d'une paire de particules de Fermi. Par ailleurs, si l'énergie relative des deux alphas est si basse qu'ils restent relativement loin l'un de l'autre, à cause de l'interaction coulombienne par exemple, et si la probabilité d'échanger l'une quelconque des particules internes n'est jamais appréciable, nous pouvons considérer la particule comme un objet simple et nous n'avons pas à nous inquiéter de ses détails internes. Dans de telles circonstances, il n'y a que deux contributions à l'amplitude de diffusion. Ou bien il n'y a pas d'échange, ou bien les quatre nucléons sont échangés à la fois, comme dans la première figure. Comme les protons et les neutrons de la particule sont tous des particules de Fermi, l'échange d'une paire quelconque change le signe de l'amplitude de diffusion. Tant qu'il n'y a pas de changement interne dans la particule alpha, échanger les deux particules alpha est la même chose qu'échanger quatre paires de particules de Fermi. Il y a un changement de signe pour chaque paire, si bien que le résultat final est que les amplitudes se combinent avec le signe plus. La particule alpha se comporte comme une particule de Bose. La règle est donc que les objets composés, dans les circonstances où l'objet composé peut être considéré comme un objet simple, se comportent comme des particules de Bose ou de Fermi, selon qu'ils contiennent un nombre pair ou un nombre impair de particules de Fermi. Un autre exemple est celui des nucléons tel que le proton et le neutron. Ils sont composés de trois quarks qui sont des particules de Fermi. Ils sont donc aussi des particules de Fermi. De même, les mésons étant composés de deux quarks sont des particules de Bose. Toutes les particules élémentaires de Fermi que nous avons mentionnées, telle que l'électron, le proton, le neutron, etc., ont un spin j = 1/2. Si plusieurs de ces particules sont mises ensemble pour former un objet composé, le spin résultant peut être soit entier, soit demi-entier. Par exemple,

l'isotope courant de l'hélium, 4He , qui a deux neutrons et deux protons, a un spin zéro alors que le 7Li , qui a trois protons et quatre neutrons, a un spin 3/2. La règle du triangle montre qu'un nombre

pair de particules de spin demi-entier s'associe pour former un objet de spin entier et un nombre impair donne un spin demi-entier. Il est clair qu'une particule composée ou non ayant un spin demi-entier est une particule de Fermi alors que si elle a un spin entier elle est une particule de Bose.

Ceci amène une intéressante question : pourquoi les particules à spin demi-entier sont-elles donc des particules de Fermi dont les amplitudes s'ajoutent avec le signe moins, tandis que les particules à spin entier sont des particules de Bose dont les amplitudes s'ajoutent avec le signe plus ? Nous nous excusons de ne pas pouvoir vous donner une explication élémentaire. Une explication a été formulée par Pauli à partir d'arguments compliqués de la théorie quantique des champs et de la relativité (théorème spin - statistique). Il a montré que les deux choses vont nécessairement ensemble, mais nous n'avons pas trouvé le moyen de reproduire ses arguments à un niveau élémentaire. Il semble que ce soit là un des rares endroits en physique où il y a une règle qui peut être énoncée très simplement et pour laquelle personne n'a trouvé une explication simple et aisée. La raison en est profondément cachée dans la mécanique quantique relativiste. Cela veut sans doute dire que nous n'avons pas une compréhension complète des principes fondamentaux qui sont mis en jeu. Pour le moment il vous faudra prendre cela pour une des lois de l'univers.

IV.1.4. Etats à deux particules de Bose Nous voudrions discuter maintenant une conséquence intéressante de la règle d'addition (des amplitudes) pour des particules de Bose. Il s'agit de leur comportement lorsqu'il y a plusieurs particules présentes. Commençons par considérer une situation où deux particules de Bose sont diffusées par deux diffuseurs différents. Nous ne nous soucierons pas des détails du mécanisme de diffusion. Nous nous intéresserons seulement à ce qui arrive aux deux particules diffusées. Supposons que nous ayons la situation décrite dans la figure ci-dessous.

La particule a est diffusée dans l'état 1. Par état, nous entendons une direction et une énergie donnée ou la donnée de toute autre condition. La particule b est diffusée dans l'état 2. Nous allons supposer que les deux états 1 et 2 sont presque les mêmes (en réalité, ce que nous voudrions éventuellement trouver est l'amplitude pour que les deux particules soient diffusées dans des directions ou des états identiques. Mais il vaut mieux réfléchir d'abord à ce qui se produit si les états sont presque les mêmes et calculer ensuite ce qui se produit lorsqu'ils deviennent identiques). Supposons que nous ayons seulement la particule a. Elle aurait alors une certaine amplitude de

diffusion dans la direction 1, disons a1 . Et la particule b seule aurait l'amplitude b2 d'aboutir

dans la direction 2. Si les deux particules ne sont pas identiques, l'amplitude pour que les deux diffusions se produisent au même moment est exactement le produit

(1) ba 21

La probabilité pour un tel événement est alors

(2) 2

21 ba

qui est aussi égale à

(3) 22

21 ba

Pour raccourcir l'écriture dans la présente discussion, nous poserons quelquefois

(4) 11 aa = et 22 bb =

La probabilité de diffusion est alors

(5) 2

2

2

1 ba

Il pourrait aussi arriver que la particule b soit diffusée dans la direction 1 tandis que la particule a va dans la direction 2. L'amplitude pour ce processus est

(6) ba 12

et la probabilité pour un tel événement est

(7) 2

1

2

2

212 baba =

Imaginez maintenant que nous ayons une paire de tous petits compteurs qui détectent les deux particules diffusées. La probabilité 2P pour qu'ils captent les deux particules ensemble est juste la

somme

(8) 2

1

2

2

2

2

2

12 babap +=

Supposons maintenant que les deux directions 1 et 2 soient très proches l'une de l'autre. Nous nous attendons à ce que a varie lentement avec la direction, si bien que 1a et 2a doivent tendre l'un vers

l'autre lorsque 1 et 2 deviennent de plus en plus proches. S'ils sont suffisament proches, les

amplitudes 1a et 2a seront égales (à la précision des mesures près). Nous pouvons poser 21 aa = et

les appeler toutes les deux simplement a. De même nous posons bbb == 21 . Nous obtenons alors

(9) 22

2 2 baP =

Mais supposons que a et b soient des particules de Bose identiques. Alors le processus au cours duquel a va en 1 et b en 2 ne peut pas être distingué du processus avec échange dans lequel a va en 2 et b va en 1. Dans ce cas les amplitudes pour les deux processus peuvent interférer. L'amplitude totale pour obtenir une particule dans chacun des compteurs est

(10) baba 1221 +

Et la probabilité pour que nous obtenions une telle paire est le carré du module de cette amplitude,

(11) 222

12212 4 bababaP =+=

Nous trouvons le résultat suivant : la probabilité pour trouver deux particules de Bose identiques diffusées dans le même état est le double de ce que vous auriez calculé en supposant que les deux particules étaient différentes. Quoique nous n'ayons considéré que le cas où les deux particules étaient observées dans des compteurs séparés, ceci n'est pas essentiel, comme nous pouvons le voir de la façon suivante. Imaginons que les particules émises dans les directions 1 et 2 aboutissent dans un seul petit compteur placé à quelque distance de là. Nous considérerons que la direction 1 est définie en disant que c'est celle de l'élément d'aire 1dS du compteur. La direction 2 est celle de l'élément d'aire 2dS

du compteur (nous admettons que la surface du compteur est orientée à angle droit par rapport à la ligne de diffusion). Maintenant nous ne pouvons plus donner une probabilité pour qu'une particule aille dans une direction précise ou en un point particulier de l'espace. Une telle chose est impossible, la probabilité d'une direction exacte est nulle. Si nous voulons être aussi précis, il faut définir nos amplitudes de telle façon qu'elles donnent la probabilité d'arrivée par unité de surface du compteur (densité de probabilité). Supposons que nous ayons eut seulement une particule a. Elle

aurait eut une certaine amplitude de diffusion dans la direction 1. Définissons 11 aa = comme

l'amplitude de diffusion de a par unité de surface du compteur dans la direction 1. En d'autres

termes l'échelle de 1a est choisie (c'est-à-dire normalisée) de telle façon que la probabilité pour que

a soit diffusée vers l'élément de surface 1dS soit

(12) 1

2

11

21 dSadSa =

Si notre compteur a une surface totale S∆ et si S∆ est le domaine d'intégration de 1dS , la

probabilité totale pour que la particule a soit diffusée dans le compteur est

(13) ∫∆S dSa 1

2

1

Comme auparavant, nous supposerons que le compteur est suffisament petit pour que l'amplitude

1a ne varie pas de façon significative sur la surface du compteur. 1a est alors une amplitude

constante que nous pouvons appeler a. La probabilité pour que la particule a soit diffusée quelque part dans le compteur est alors

(14) Sapa ∆= 2

De la même façon, nous aurons la probabilité pour que la particule b, lorsqu'elle est toute seule, soit diffusée vers un certain élément d'aire, disons 2dS ,

(15) 2

2

2 dSb

(nous utilisons 2dS au lieu de 1dS car, plus tard, nous voudrons que a et b aillent dans différentes

directions). A nouveau, nous posons 2b égal à l'amplitude constante b. La probabilité pour que la

particule b soit comptée dans le détecteur est alors

(16) Sbpb ∆= 2

Maintenant, lorsque les deux particules sont présentes, la probabilité pour que a soit diffusée vers

1dS et que b soit diffusé vers 2dS est

(17) 21

22

21

2

21 dSdSbadSdSba =

Si nous voulons la probabilité pour que a et b aillent à la fois dans le compteur, nous intégrons 1dS

et 2dS sur S∆ et nous trouvons que

(18) ( )222

2 SbaP ∆=

Notons incidemment que ceci n'est autre chose que ba pp ⋅ , ce qui est exactement ce que vous

auriez obtenu en faisant l'hypothèse que les particules a et b interagissent indépendamment l'une de l'autre. Lorsque les deux particules sont identiques, il y a par ailleurs deux possibilités indiscernables pour chaque paire d'éléments de surface 1dS et 2dS . La situation où la particule va en 1dS et la particule

b va en 2dS est indiscernable de a dans 2dS et b dans 1dS et, par conséquent, les amplitudes pour

ces processus interféreront (lorsque nous avions deux particules différentes comme ci-dessus, et quoique nous ne nous souciions pas en fait de savoir quelle particule allait dans quel compteur, nous aurions pu, en principe, le savoir, si bien qu'il n'y avait pas d'interférence. Pour des particules identiques nous ne pouvons rien dire, même en principe). Nous devons alors écrire que la probabilité pour que les deux particules arrivent en 1dS et 2dS est

(19) 21

2

1221 dSdSbaba +

Mais maintenant, lorsque nous intégrons sur la surface du compteur, il faut faire attention. Si nous intégrons sur toute la surface S∆ , nous risquons de compter chaque partie de cette surface deux fois puisque (19) contient tout ce qui peut se passer pour chaque paire d'éléments de surface 1dS et 2dS .

Dans (17), on obtient un événement différent si on échange 1dS et 2dS donc on doit faire varier les

deux éléments de surface sur toute la surface du compteur. Dans (19), nous traitons 1dS et 2dS

comme une paire et nous comptons tout ce qui peut arriver. Si l'intégrale contient en plus ce qui se passe lorsqu'on échange 1dS et 2dS tout est alors compté deux fois. Nous pouvons encore faire

l'intégration de cette façon si nous corrigeons ce double comptage en divisant par 2. Nous trouvons alors que 2P , pour des particules de Bose identiques, est

(20) ( ) ( ) ( )222222

2 242

1Bose SbaSbaP ∆=∆=

De nouveau, ceci est juste deux fois ce que nous avions obtenu dans l'équation (18) pour des particules discernables. Si nous imaginons pour un instant que nous ayons su que le canal b avait déjà envoyé sa particule dans une certaine direction, nous pouvons dire que la probabilité pour qu'une deuxième particule aille dans la même direction est deux fois ce que nous nous serions attendus à trouver si nous avions calculé cette probabilité comme pour un événement indépendant. C'est une propriété des particules de Bose : si une particule est déjà dans certaines conditions, la probabilité pour obtenir une deuxième particule dans les mêmes conditions est deux fois ce qu'elle aurait été si la première n'était pas déjà là. Ce fait est souvent énoncé de la façon suivante : s'il y a déjà une particule de

Bose dans un état donné, l'amplitude pour en mettre une deuxième par-dessus est 2 fois plus grande que si la première n'était pas déjà là. Un peu abusivement, on peut dire aussi que les particules de Bose identiques ont un comportement "grégaire", elles "aiment" être dans le même état. Cette façon d'énoncer le résultat n'est pas correcte du point de vue physique que nous avons adopté, mais si on l'utilise de façon cohérente, comme une règle, on obtiendra naturellement le résultat correct. En effet, il n'existe pas de force ou d'interaction mystérieuse qui pousserait la deuxième particule à se placer dans le même état (ou qui modifierait son amplitude d'être dans cet état), il s'agit tout simplement d'une interférence (constructive) entre les amplitudes.

IV.1.5. Etats à n particules de Bose Essayons d'étendre notre résultat à une situation dans laquelle il y a n particules présentes. Nous imaginons les circonstances décrites sur la figure ci-dessous.

Nous avons n particules a, b, c,… qui sont diffusées et aboutissent dans les directions 1, 2, 3,... n. Toutes ces directions pointent vers un même petit compteur placé à une grande distance de là. Comme dans la section précédente, nous choisissons de normaliser toutes les amplitudes de telle façon que la probabilité pour qu'une particule, agissant seule, aille dans l'élément de surface dS du compteur soit

(1) dS2

Tout d'abord, supposons que les particules soient toutes discernables. La probabilité pour que n particules soient comptées à la fois dans n éléments de surface différents est alors

(2) LL 321

2

321 dSdSdScba

A nouveau, nous admettons que les amplitudes ne varient pas de manière significative avec la position de dS dans le compteur, supposé petit, et nous les appelons simplement a, b, c,… La probabilité (2) devient

(3) LL 321

222dSdSdScba

En intégrant chaque dS sur toute la surface S∆ du compteur, nous trouvons que la probabilité de compter n particules différentes d'un seul coup est

(4) ( ) ( )nn ScbaP ∆= L222

sdifférente

Ceci est juste le produit des probabilités pour que chaque particule entre dans le compteur séparément. Elles agissent toutes séparément, la probabilité pour qu'il n'y en ait une qui entre ne dépend pas du nombre de celles qui entrent en même temps. Supposons maintenant que toutes les particules soient des particules de Bose identiques. Pour chaque ensemble de directions 1, 2, 3,… il y a de nombreuses possibilités indiscernables. S'il y avait, par exemple, trois particules seulement, nous aurions les possibilités suivantes : a 1 b 2 c 3

a 1 b 3 c 2

a 2 b 1 c 3

a 2 b 3 c 1

a 3 b 1 c 2

a 3 b 2 c 3

Il y a six combinaisons différentes. Avec n particules, il y a n! possibilités différentes, mais indiscernables, pour lesquelles nous devons ajouter les amplitudes. La probabilité pour que n particules soient comptées dans n éléments de surface est donc

(5) ndSdSdSdScbacbacbacba LLLLL 321

2

132312231321 +++

Une fois de plus, nous faisons l'hypothèse que toutes les directions sont si voisines que nous pouvons poser aaaa n ==== L21 et de même pour b, c,… La probabilité (5) devient

(6) ndSdSdSabcn LL 21

2!

Lorsque nous intégrons chaque dS sur toute l'aire S∆ du compteur, chacun des produits possibles d'éléments de surface est compté n! fois. Nous corrigeons cela en divisant par n! et nous obtenons

(7) ( ) ( )nn Sabcnn

P ∆= 2!

!

1Bose L

ou

(8) ( ) ( )nn Sabcnp ∆= 2!Bose L

En comparant ce résultat avec (4), nous voyons que la probabilité de compter n particules de Bose ensemble est n! fois plus grand que ce que nous aurions calculé en supposant les particules discernables. Nous pouvons résumer notre résultat de la façon suivante : (9) ( ) ( )sdifférente!Bose nn PnP =

Par conséquent, la probabilité dans le cas de Bose est plus grande par un facteur n! que ce que vous auriez calculé en supposant que les particules agissaient indépendamment. Ce facteur "d'amplification" peut être considérable. Pour 20 particules, 20! vaut déjà plus de 2 milliards de milliards ! Imaginez la valeur pour un système de taille macroscopique composé de milliards de milliards de particules. Toutefois, on peut aussi affirmer que lorsque le nombre de particules augment, la probabilité (4) diminue rapidement à cause de la multiplication des n probabilités. Nous pouvons mieux voir ce que cela signifie si nous posons la question suivante : quelle est la probabilité pour qu'une particule de Bose aille dans un état particulier lorsqu'il y a déjà n autres particules présentes ? Appelons w la dernière particule ajoutée. Si nous avons (n + 1) particules en comptant w, l'équation (8) devient

(10) ( ) ( ) ( ) 12

1 !1Bose ++ ∆+= n

n SwabcnP L

Nous pouvons écrire cela

(11) ( ) ( ) n

n SabcnSwnP ∆∆+=+22

1 !1Bose L

ou

(12) ( ) ( ) ( )Bose1Bose2

1 nn SPwnP ∆+=+

Nous pouvons regarder ce résultat sous l'angle suivant : le nombre Sw ∆2 est la probabilité

d'obtenir la particule w dans le détecteur si aucune autre particule n'est présente, ( )BosenP donne

les chances pour qu'il y ait déjà n autres particules de Bose présentes. Ainsi, l'équation (12) dit que lorsqu'il y a déjà n autres particules identiques de Bose présentes, la probabilité pour qu'une particule de plus, entre dans le même état est amplifiée par le facteur (n+1). La probabilité d'obtenir un Boson, là où il y en a déjà n, est (n+1) fois plus grand que s'il n'y en avait aucune auparavant. La présence d'autres particules augmente la probabilité d'en obtenir une de plus. On voit aussi que même si la probabilité d'avoir un (seule) particule est très faible, la probabilité d'en avoir une de plus devient rapidement importante dès qu'un nombre suffisant de particules est déjà dans l'état souhaité.

IV.2. Description des particules identiques Passons à une description plus formelle. L'équation de Schrödinger pour n particules identiques est

(1) ( ) ( ) ( )tnnHtnt

fi ,,,2,1,,2,1,,,2,1 KKKh ψψ =∂∂

où chacun des nombres représente toutes les coordonnées (position et spin) d'une des particules. L'hamiltonien H est symétrique en ses arguments puisque l'identité des particules signifie qu'elles peuvent être substituées l'une à l'autre sans changer H ou même tout autre observable. Il y a deux sortes de solutions ψ de (1) qui possèdent des propriétés particulièrement intéressantes.

Une fonction d'onde est symétrique si l'échange de toute paire de particules parmi ses arguments laisse la fonction d'onde inchangée. Une fonction d'onde est antisymétrique si l'échange de toute paire de particules change le signe de ψ . Nous allons maintenant montrer que le caractère de

symétrie d'une fonction d'onde ne change pas au cours du temps. Si Sψ est symétrique à un

moment particulier t, alors SHψ est aussi symétrique et (1) affirme que tS ∂∂ /ψ est symétrique.

Puisque Sψ et sa dérivée par rapport au temps sont symétriques au temps t, Sψ à un instant

infinitésimal plus tard t + dt est donné par ( )dttSS ∂∂+ /ψψ et est aussi symétrique. Une

intégration pas à pas de la fonction d'onde peut, en principe, être prolongé à des intervalles de temps arbitrairement grands et Sψ reste alors tout le temps symétrique. De même, si Aψ est

antisymétrique à un moment donné, AHψ et donc tA ∂∂ /ψ sont antisymétriques et l'intégration de

l'équation de Schrödinger montre que Aψ est toujours antisymétrique.

La démonstration précédente n'est pas altérée si H et ψ ont comme arguments les coordonnées de

deux ou plusieurs groupes de particules identiques. Donc, une fonction d'onde qui est initialement symétrique ou antisymétrique en les coordonnés de chaque groupe de particules identiques conserve toujours ce caractère. Cela rend possible pour les différents groupes de particules identiques trouvées dans la nature d'avoir des propriétés de symétrie définies et c'est effectivement ce qui est constaté. Bien que d'autres propriétés de symétrie que ces deux là seraient aussi préservées au cours du temps par un hamiltonien symétrique, elles ne semblent pas correspondre à des particules trouvées dans la nature.

Construction à partir de fonctions non symétriques Nous allons maintenant montrer comment Sψ et Aψ peuvent être construits à partir d'une solution

générale non symétrique ψ de (1). Si les arguments de ψ sont permutés d'une manière

quelconque, la fonction résultante est une solution de (1). Cela suit de l'observation que la même permutation appliquée à tout (1) ne change pas sa validité puisque cela correspond à simplement réindicer les particules et puisque H est symétrique, le H permuté est le même que l'original et l'équation résultante pour le ψ permuté est la même que (1). On peut de cette manière obtenir n!

solutions à partir d'une seule, chacune correspondant à une des n! permutations des n arguments de ψ . Il est évident que toute combinaison linéaire de ces fonctions est aussi une solution de

l'équation de Schrödinger (1).

La somme de toutes ces fonctions est une fonction d'onde symétrique Sψ (non normalisée) puisque

l'échange de toute paire de particules change chacune des fonctions en une autre et celle là en la précédente, laissant la fonction d'onde entière inchangée. Une fonction d'onde antisymétrique non normalisée peut être construite en ajoutant ensemble toutes les fonctions permutées obtenues à partir de la solution originale au moyen d'un nombre pair d'échanges de particules et en soustrayant la somme de toutes les fonctions permutées obtenues à partir de la solution originale au moyen d'un nombre impair d'échanges de particules. Il est visible qu'une fonction d'onde antisymétrique non nulle ne peut pas être formée à partir d'une solution qui est inchangée par l'échange de toute paire de particules. Dans le cas où l'hamiltonien ne dépend pas du temps, des solutions stationnaires

( ) ( ) hKK

/,,2,1,,,2,1 iRtenutn −=ψ peuvent être trouvées, où

(2) ( )[ ] ( ) 0,,2,1,,2,1 =− nunH KK

La discussion qui précède montre que les solutions dérivées de u au moyen de permutations de ses arguments sont dégénérées avec le u originel. C'est appelé la dégénérescence d'échange.

Le groupe symétrique La symétrie de l'hamiltonien par rapport aux permutations de ses arguments implique l'existence d'un groupe de transformations sur les fonctions d'états. Nous adoptons à nouveau le point de vue de Schrödinger et nous écrivons en analogie avec ce que nous avons vu dans le groupe des translations spatiales (3) ( )[ ] ( )tntnP ,,,2,1,,,2,1 KK αα ψψ =′

où P est une certaine permutation des n arguments. Alors, on a

(4) ( ) αα ′=PU p ou ( ) ( ) ( )tntnPU p ,,,2,1,,,2,1 KK αα ψψ ′=

où ( )PU p est l'opérateur unitaire de permutation. La combinaison de (3) et (4) conduit à

(5) ( ) ( ) ( )[ ]tnPtnPU p ,,,2,1,,,2,1 1KK

−= αα ψψ

où 1−P est la permutation inverse de P, telle que 111 == −− PPPP , la permutation identité. Il s'ensuit aussi que la symétrie de l'hamiltonien implique que ( )[ ] 0, =HPU p et donc une solution

permutée représente un mouvement possible du système. Les n! permutations P de n objets forme évidemment un groupe discret avec n! éléments. Il est appelé groupe symétrique ou groupe des permutations. Les n! opérateurs ( )PU p sont isomorphes

aux permutations. Quand n = 2, il y a seulement deux permutations, l'identité et l'échange, que nous appelons 1 et P, respectivement. Si P est appliqué deux fois successivement aux deux objets, nous obtenons l'identité. Donc le groupe symétrie de deux objets est isomorphe au groupe d'inversion spatiale. On a ainsi, en omettant la dépendance au temps,

(6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,12,11,22,1 22 uuPUuuPU pp ωω ==

A nouveau, on s'attend à ce que ( )PU P

2 transforme un état en lui-même, ainsi 2ω est un nombre de

grandeur unité. Contrairement à la situation de l'inversion, il n'y a maintenant aucune raison de

s'attendre à ce que 2ω soit autre chose que l'unité. Donc, 1±=ω qui caractérisent les états symétriques et antisymétriques. Nous obtenons donc deux représentations matricielles (de rang 1) du groupe symétrique quand n = 2 : (7) ( ) ( ) 111 == PUU pp et ( ) ( ) 111 −== PUU pp

Les fonctions propres correspondantes de ces opérateurs sont (8) ( ) ( )1,22,1 uu ±

On peut montrer pour toute valeur de n que les deux seules représentations matricielles de ( )PU p

qui sont de rang un sont analogues à (7) : la représentation symétrique ( ) 1=PU p pour tout P et la

représentation antisymétrique ( ) 1±=PU p selon que le nombre d'échanges constituant P est pair ou

impair. Par exemple, avec n = 3, les fonctions propres symétriques et antisymétriques sont (9) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]1,2,32,3,13,1,22,1,31,3,23,2,1 uuuuuu ++±++

On peut aussi montrer qu'il y a seulement une autre représentation indépendante de ( )PU p quand n

= 3. Elle consiste en six matrices 2x2 et opère donc sur des paires de fonctions propres.

Distinction des particules identiques On s'attend à ce que le résultat d'une expérience soit indépendant de la propriété de symétrie de la fonction d'onde si les coordonnées des particules ne se superposent pas. Cela correspond à une situation dans laquelle les particules peuvent être distinguées à travers leurs positions (ou leurs composantes du spin) même si elles sont identiques. Une telle situation implique, dans le cas de deux particules, que la fonction d'onde ( )2,1u soit différente de zéro seulement quand la

coordonnée de 1 est dans une certaine région A, la coordonné 2 dans une région B et A et B n'ont pas de domaine commun.

La densité de probabilité coordonnées associée à la fonction d'onde ( )2,1u est ( ) 22,1u et les

densités associées aux fonctions d'ondes symétrisées sont

(10) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1,22,1Re21,22,11,22,1222 ∗±+=± uuuuuu

Si maintenant ( )2,1u s'annule quand 1 n'est pas dans A et que 2 n'est pas dans B et si A et B ne se

superposent pas, le terme entre crochets est zéro partout et (10) devient ( ) ( ) 221,22,1 uu + .

Donc la densité associée avec les fonctions d'onde symétrisées (8) est la somme des densités associées à ( )2,1u et ( )1,2u séparément. C'est précisément le résultat qui serait obtenu si les

particules n'étaient pas identiques mais qu'aucune tentative ne serait faite pour les distinguer en effectuant l'expérience. Donc, les effets d'interférence entre des fonctions d'onde dégénérées par échange, représentés par le terme entre crochets dans (10), disparaissent quand les coordonnées des particules ne se superposent pas.

Le principe d'exclusion Dans plusieurs problèmes, une approximation d'ordre zéro utile peut être obtenue en négligeant les interactions entre les particules qui constituent le système considéré. L'hamiltonien approché (non perturbé) est la somme des fonctions hamiltoniennes égales pour les particules séparées (11) ( ) ( ) ( ) ( )nHHHnH 0000 21,,2,1 ′++′+′= LK

et la fonction propre approchée de l'énergie est un produit de fonctions propres à une particule de

0H ′ :

(12)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) L

L

LK

111

21,,2,1

0 ααα

νβα

νβα

vEvH

EEEE

nvvvnu

=′+++=

=

Si les particules sont des électrons, une fonction d'onde antisymétrique doit être construite à partir des u donnés par (12). Elle est plus facilement exprimée comme un déterminant des v :

(13) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )nvvv

nvvv

nvvv

nuA

ννν

βββ

ααα

L

LLLL

L

L

K

21

21

21

det,,2,1 =

La fonction Au (non normalisés) donnée dans (13) est clairement une solution antisymétrique de

l'équation de Schrödinger approchée ( ) 00 =− AuEH .

L'équation (13) a la propriété intéressante qu'elle s'annule si deux ou plusieurs des v sont les mêmes. C'est un cas particulier du résultat général affirmé plus tôt qu'une fonction d'onde antisymétrique ne peut pas être construite à partir d'une solution qui est inchangée par l'échange de toute paire de particules. Donc, l'hamiltonien approché 0H n'a pas de solution pour laquelle il y a

plus d'un électron dans un des états α , β ,… , ν . Ce résultat est connu comme le principe

d'exclusion qui fut postulé la première fois par Pauli comme une explication du système périodique des éléments chimiques.

Relation avec la physique statistique La solution d'ordre zéro non symétrique donnée dans (12) peut être utilisée pour construire une fonction d'onde symétrique aussi bien qu'antisymétrique. On voit facilement qu'une telle fonction symétrique (non normalisée) est la somme de toutes les permutations des nombres 1, 2,… n parmi les fonctions propres à une particule αv , βv ,… , νv . Cette fonction d'onde est unique et peut être

spécifiée en disant combien de particules sont dans chacun des états α , β ,… , ν . De la même

manière, une fonction d'onde antisymétrique peut être spécifiée en disant combien de particules sont dans chaque état. La différence statistique fondamentale entre les particules qui sont décrites par des fonctions d'onde antisymétriques et symétriques est que le nombre du premier type qui peuvent occuper un état est limité à 0 et 1 tandis que n'importe quel nombre (0, 1, 2, …) du dernier type peuvent occuper tout état. Le traitement des agrégats de grands nombres de particules sans interaction (ou interagissant faiblement) pour lesquelles les états peuvent être énumérés d'une de ces deux manières forme le domaine de la physique statistique quantique. Les particules qui sont décrites par des fonctions d'ondes antisymétriques sont dites obéir à la statistique de Fermi-Dirac (fermions) et celles décrites par des fonctions d'onde symétriques obéissent à la statistique de Bose-Einstein (bosons). Comme nous l'avons vu, certaines particules sont des fermions et d'autres des bosons. De même, les agrégats de particules suffisament liées ensembles peuvent être vus comme des "particules" et sont décrites par des fonctions d'onde symétriques ou antisymétriques. Par exemple, le noyau d'un atome d'hélium est fait de deux protons, deux neutrons et d'un nombre indéterminé de mésons pi qui sont fortement liés ensembles. Si nous considérons un certain nombre d'atomes d'hélium qui interagissent ensembles suffisament faiblement pour que les changements dans les mouvements internes du noyau puissent être négligés, nous pouvons voir que les mouvements du centre de gravité du noyau peuvent être décrit approximativement par une fonction d'onde symétrique. L'échange d'une paire de noyau d'hélium peut être vu comme l'échange de deux paires de protons et de deux paires de neutrons et d'un certain nombre de paires de mésons pi. Puisque la fonction d'onde réelle est antisymétrique en tous les protons et tous les neutrons, la résultante des quatre premiers échanges laisse la fonction d'onde approchée inchangée. La symétrie de la fonction d'onde en les mésons pi est telle que ces derniers échanges n'ont pas d'effet. En

prolongeant cet argument, nous voyons que les "particules" fortement liées qui interagissent faiblement ensembles (noyaux, atomes, molécules) obéissent à la statistique de Bose-Einstein quand chacune d'elle consiste en un nombre pair total d'électrons, protons et neutrons et elles obéissent à la statistique de Fermi-Dirac quand chacune consiste en un nombre impair de ces particules.

Collision de particules identiques Quand les seules forces agissant sur deux particules résultent de leur interaction mutuelle, le mouvement complet peut être séparé en le mouvement du centre de masse des deux particules et le mouvement des particules relativement l'un à l'autre. Il est visible qu'un échange de deux particules identiques n'affecte pas le vecteur position du centre de masse (qui est ( )212

1 rr + puisque les

particules ont des masses égales) mais change le signe du vecteur position relative r ( 21 rr −= ).

Avant de revenir sur le spin des particules, voyons quel effet la partie symétrique ou antisymétrique de la fonction d'onde a sur la diffusion élastique d'une particule sur une autre identique. La forme asymptotique de la fonction d'onde diffusée non symétrique dans le système de coordonnées du centre de masse est

(14) ( ) ( ) ikrikz

refreu φθ ,1−

∞→+→r

où r, θ , φ sont les coordonnées polaires du vecteur position relative r. Puisque les coordonnées

polaires du vecteur -r sont r, θπ − , πφ + , les formes asymptotiques des fonctions d'onde

symétriques et antisymétriques formées à partir de (13) sont données par

(15) ( ) ( ) ( )[ ] ikrikzikz erffee 1,, −− +−±+± πφθπφθ

La section efficace différentielle dans le centre de mass est le carré de la grandeur du terme entre crochets dans (15) :

(16) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]πφθπφθπφθπφθφθσ +−±+−+= ∗ ,,Re2,,,22

ffff

La normalisation adoptée ici peut être justifiée en notant qu'à la limite classique, où les particules identiques peuvent être distinguées et où le dernier terme (interférence) disparaît, ( )φθσ , devient

juste la somme des sections efficaces pour l'observation de la particule incidente ( ( ) 2φθnf ) et de

la particule heurtée ( ( ) 2, πφθπ +−f , comme il se doit.

Dans le cas habituel où f est indépendant de φ , il est visible que la diffusion par unité d'angle solide

est symétrique autour de °= 90θ dans le système de coordonnées du centre de masse. En utilisant le rapport entre sections efficaces dans le centre de masse et du laboratoire pour un rapport des masses 1=γ que la diffusion par unité d'angle (pas par unité d'angle solide) dans le système de

coordonnées du laboratoire

(17) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 00

2

0

2

000000 22Re222sincos4sin θπθθπθθθθθσ −±−+= ∗ffff

est symétrique autour de °= 450θ .

IV.3. Moment angulaire de spin Nous pouvons maintenant revenir au spin afin de l'introduire au formalisme discuté dans la section

précédente. On sait que le moment angulaire de spin S d'une particule peut être défini tel que 2S

commute avec toutes les variables dynamiques. Alors 2S est une constante du mouvement qui peut

être remplacée par ( ) 21 h+ss , où s est un entier ou un demi entier.

Relation entre spin et statistique Comme nous le savons, les électrons, les protons, les neutrons, les neutrinos et les muons ont s = 1/2 et les pions ont s = 0. Les agrégats de particules suffisament liés ensembles peuvent être vus comme des "particules" et peuvent être caractérisés par des grandeurs définies de leur moment angulaire interne total, aussi longtemps que leurs mouvements internes et l'orientation relative du spin des particules composantes ne sont pas affectés de manière significative par les interactions entre agrégats. C'est exactement l'analogue de la situation par rapport aux statistiques auxquelles obéissent les agrégats. Le traitement de l'addition des moments angulaires présentée précédemment montre comment calculer les grandeurs possibles du moment angulaire interne de tout agrégat des particules fondamentales. Nous appelons cela le spin de l'agrégat. S'il consiste en n particules avec s = 1/2 et

d'un nombre quelconque de particules avec s = 0 et si le moment angulaire orbital interne de ces particules est ignoré, le s total peut être tout entier de 0 à n / 2 si n est pair ou peut varier par pas entier de 1/2 à n / 2 si n est impair. Le nombre quantique de moment angulaire orbital total est un nombre entier ou zéro en général. Nous avons vu que cela est vrai pour des particules sans interaction se déplaçant dans un champ de force central et le résultat s'avère ne pas être affecté par les interactions des particules. Son inclusion étend la valeur maximum de s pour l'agrégat mais n'altère pas la conclusion que s est zéro ou un entier si n est pair et un demi entier si n est impair. Nous voyons alors que, pour les particules fondamentales connues et pour leurs agrégats qui ont un spin définis, il y a une relation univoque entre le spin et les statistiques. Les particules ou agrégats qui ont un spin zéro ou pair sont décrits par des fonctions d'onde symétriques et obéissent à la statistique de Bose-Einstein et les particules ou agrégats qui ont un spin demi entier sont décrits par des fonctions d'onde antisymétriques et obéissent à la statistique de Fermi-Dirac. Comme déjà signalé, il existe des raisons théoriques profondes entre la mécanique quantique et la relativité qui impliquent cette relation entre spin et statistique.

Matrices de spin et fonctions propres Le spin peut être introduit dans le formalisme en ayant, pour chaque nombre 1, 2, …, n qui apparaît comme argument de ψ , une coordonnée de spin u aussi bien que les trois coordonnées spatiales. La

coordonnée de spin diffère des coordonnées spatiales en ce qu'elle prend seulement 2s + 1 valeurs pour une particule (ou agrégat) de spin s, au lieu d'un nombre infini de valeurs prises par chaque coordonnée spatiale. La fonction d'onde de spin d'une seule particule est entièrement déterminée par la spécification de 2s + 1 nombres (l'amplitude pour être dans chaque état de spin) tandis que les fonctions d'onde spatiales impliquent la spécification d'un ensemble infini continu de nombres (ce qui est équivalent à une fonction continue des coordonnées spatiales). Si les mouvements spatiaux et de spin sont suffisament couplés ensembles, la fonction d'onde spatiale peut dépendre de la coordonnée de spin et 2s + 1 fonctions sont nécessaires. Un ensemble pratique de fonctions orthonormales de spin à une particule est fourni par les

fonctions propres normalisées des matrices 2J et zJ . Ces fonctions propres sont des matrices avec

2s + 1 lignes et une colonne qui ont des zéros partout sauf en un élément. Par exemple, si s = 3/2, les quatre fonctions propres de spin sont

(1) ( ) ( ) ( ) ( )

=−

=−

=

=

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

23

21

21

23 vvvv

et correspondent aux valeurs propres de zS : h23 , h2

1 , h21− et h2

3− , respectivement.

L'orthonormalité est démontré en multipliant l'adjoint hermitique d'une fonction de spin par elle-même ou par une autre fonction

(2) [ ] [ ] 0

0

1

0

0

00101

0

0

1

0

0010 =

=

, etc.

avec l'aide de la règle habituelle de la multiplication matricielle. Les fonctions d'onde symétriques et antisymétriques peuvent être construites à partir de solutions non symétriques qui incluent le spin en suivant la procédure que nous avons vue. Il est quelquefois utile de choisir les solutions non symétriques comme fonctions propres du carré de la grandeur du

spin total des particules identiques ( )221 nSSS +++ L et de la composante z de son spin total

nzzz SSS +++ K21 . Ces quantités sont des constantes du mouvement si l'hamiltonien ne contient

pas de terme d'interaction entre les spins et d'autres moments angulaires. En plus, de telles fonctions sont souvent utiles comme fonctions propres d'ordre zéro quand les interactions de spin sont assez faibles pour être vues comme une perturbation. Il n'y a pas de perte de généralité à choisir les solutions non symétriques puisque toute solution peut être exprimée comme une combinaison linéaire des fonctions propres du spin total.

Collision de particules identiques L'effet du spin sur la collision de deux particules identiques (ou agrégats) peut maintenant être pris en compte si l'interaction entre les particules n'implique pas le spin. Puisque chaque particule a 2s +

1 fonctions propres du spin, il y a en tout ( )212 +s fonctions du spin indépendantes pour la paire,

chacune étant un produit de fonctions du spin à une particule.

( )212 +s combinaisons linéairement indépendantes de ces produits peuvent être utilisées à leur

place. Elles sont utilement divisées en trois classes. La première classe consiste en produits de fonctions à une particule dans laquelle les deux particules ont le même état de spin avec la valeur hm de zS :

(3) ( ) ( ) mmsmvmv ≤≤−21

où l'indice spécifie quelle particule est dans chaque état. Il y a évidemment 2s + 1 états de ce type. La deuxième classe consiste en les sommes de produits (4) ( ) ( ) ( ) ( ) mmmvmvmvmv ′′≠′′′′+′′′ 2121

Il y a ( )12 +ss états de ce type. La troisième classe consiste en la différence des produits.

(5) ( ) ( ) ( ) ( ) mmmvmvmvmv ′′≠′′′′−′′′ 2121

Il y a à nouveau ( )12 +ss états de ce type.

Les deux premières classes sont clairement symétriques en l'échange des coordonnées du spin des deux particules et la troisième classe est antisymétrique sous un tel échange. Donc, le total des

( )212 +s peut être divisé en ( )( )121 ++ ss états symétriques et ( )12 +ss états antisymétriques.

Associé aux états symétriques de spin on doit associer un état symétrique de l'espace si s est un entier (fonction d'onde totale symétrique) et un état spatial antisymétrique si s est un demi entier (fonction d'onde totale antisymétrique). De même, les états de spin antisymétriques multiplient des états spatiaux antisymétriques si 2s est pair et des états symétriques si 2s est impair. Nous pouvons alors voir que, si tous les états de spin sont équiprobables dans une collision, une fraction ( ) ( )12/1 ++ ss des collisions sera décrite par la fonction d'onde symétrique et une fraction

( )12/ +ss sera décrite par une fonction d'onde antisymétrique, si s est pair.

Ce résultat en ajoutant le cas 2s impair peut être résumé en écrivant

(6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]θπθθπθθσ −+

−+−+= ∗ffs

ff

s

Re212

1 222

où f est supposé être indépendant de φ .

L'équation (6) peut aussi être dérivée en utilisant l'observation que les particules qui ont des composantes du spin différentes peuvent être distinguées, auquel cas le terme entre crochets disparaît. Cela se produit dans une fraction ( )1/2 +ss des collisions. Dans la fraction ( )12/1 +s

restante des collisions, les particules ont la même composante du spin et les états spatiaux symétriques ou antisymétriques doivent être utilisés selon que 2s est pair ou impair.

Fonctions de spin de l'électron Dans le reste de cette section, nous considérerons seulement les fonctions de spin de l'électron (s = 1/2). Les matrices de spin peuvent être écrites comme σh21=S où

(7)

−=

−=

=

10

01

0

0

01

10zyx

i

iσσσ

sont les matrices de spin de Pauli. Les fonctions propres normalisées de zS peuvent être écrites en

analogie avec (1) comme

(8) ( ) ( )

=−

=

1

0

0

121

21 vv

et elles ont les valeurs propres h21 et h2

1− , respectivement. Elles sont toutes les deux fonctions

propres de 2S avec la même valeur propre 2

43 h .

Puisque nous aurons l'occasion d'écrire les produits de fonctions de spin pour différents électrons, il est utile d'abréger la notation comme suit : (9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )++−+=− 2

142

132

122

11 vvvv etc.

où la première particule a la valeur propre h21 pour zS1 , la deuxième a la valeur propre h2

1− pour

zS2 , etc. 1S n'a pas d'effet sur les fonctions des particules sauf la première.

Les formules suivantes sont facilement obtenues à partir de (7) et (8) :

(10) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−−=−+−=−+=−

+=+−=+−=+

=−=

zyx

zyx

zxyyx

i

i

i

σσσσσσ

σσσσσ L

Il y a quatre fonctions de spin linéairement indépendantes pour une paire d'électron (++), (+-), (-+), (--). Elles sont orthonormales puisque les fonctions de spin à une particule (8) sont orthonormales. Comme remarqué plus tôt, il est souvent pratique de regrouper ces fonctions en combinaisons qui

sont fonctions propres de ( )221 SS + et zz SS 21 + . Ces fonctions propres sont faciles à trouver avec

les coefficients de Clebsch-Gordan. L'orthonormalité et les valeurs propres indiquées peuvent aussi facilement être vérifiées avec l'aide de (10) : ( )221 SS + zz SS 21 +

( )++ 22h h

( ) ( )[ ]+−+−+− 2/12 22h 0

( )−− 22h h−

( ) ( )[ ]+−−−+− 2/12 0 0

Les trois premières des fonctions de spin à deux particules se comportent sous tous les aspects comme une seule "particule" de spin s = 1 et la dernière fonction de spin se comporte comme une seule "particule" de spin s = 0. Les trois premiers états sont appelés un triplet et le dernier un singulet. Dans la vieille théorie quantique, le triplet correspond aux spins d'électrons parallèles et le singulet à des spins antiparallèles. Non seulement ils ont les valeurs propres correctes du carré de la grandeur du spin total et de la composante z du spin total, mais le résultat en opérant sur la fonction de spin triplet avec les composantes x et y du spin total est en accord avec les matrices correspondantes pour le spin un.

IV.4. Opérateur densité et matrice densité Le développement théorique jusqu'ici a été considéré entièrement dans le cas de systèmes dans un

état quantique pur qui est représenté par un simple ket α . Il arrive souvent, cependant, que notre

connaissance de l'état d'un système soit incomplète. Par exemple, nous pouvons ne pas être capables de dire plus que le système a des probabilités non négatives αp , βp ,… d'être dans les

états α , β ,… Cette incomplétude peut être sans importance, auquel cas la théorie des états purs

est adéquate, autrement, une approche statistique est nécessaire. Cela peut être développé en analogie avec la situation classique. Un état purement classique est représenté par un seul point dans l'espace des phases, qui a des valeurs définies des coordonnées 1q ,… , fq et de leurs

moments canoniques 1p ,… , fp à chaque instant du temps. Un état statistique, d'autre part, peut

être décrit par une fonction de densité non négative ( )tppqq ff ,,,,,, 11 KKρ telle que la

probabilité qu'un système soit trouvé dans l'intervalle fdpdq L1 au temps t est fdpdq K1ρ .

L'analogue quantique de la fonction de densité classique est l'opérateur densité ou sa représentation comme une matrice densité. Avant de l'introduire, discutons d'une description alternative des états quantiques purs.

Valeur moyenne et opérateur projection

La valeur moyenne d'un opérateur Ω pour un état pur discret normalisé α est αα Ω . Elle peut

être écrite en fonction de tout ensemble orthonormal complet de kets i comme

(1) iPjjijjii ααααα Ω=Ω=Ω

Ici, ααα ≡P est l'opérateur projection pour l'état α . Les sommations généralisées sur i et j sont

omises en accord avec notre convention. Le coté droit de (1) peut être écrit iPi αΩ ou jPj Ωα .

Nous avons donc les relations

(2) ( ) ( )Ω=Ω=Ω αααα PP trtr

αP est hermitique et

(3) ( ) 1tr2 == ααα PPP

Il est visible que αP contient la même information que α , excepté pour un facteur de phase

multiplicatif éventuel qui n'entre pas dans le calcul des valeurs moyennes. Nous adopterons le point de vue de Schrödinger durant cette section et nous omettrons l'indice S. Alors l'équation du mouvement pour αP est donnée par

(4)

[ ]α

α

αααα

αααα

PHHH

dt

di

dt

diP

dt

di

,=−=

+

= hhh

L'équation (4) ressemble à l'équation du mouvement de Heisenberg, excepté pour le signe. Cependant la ressemblance est trompeuse et on doit se souvenir que αP est vu dans le point de vue

de Schrödinger. En effet, dans le point de vue de Heisenberg α et donc aussi αP sont constants.

Opérateur densité Comme remarqué ci-dessus, nous supposerons qu'un système qui n'est pas nécessairement un état quantique pur peut être décrit par un ensemble de probabilités αp , βp ,… pour être dans les états

α , β ,… avec des différences de phases aléatoires entre leurs amplitudes. C'est appelé un état

statistique. Un état pur est alors un cas particulier d'un état statistique dans lequel un des αp est

égal à l'unité et tous les autres sont zéro. Il est utile de supposer que les états α sont orthonormaux bien que pas nécessairement complets, ainsi

(5) 01 ≥== ∑ αα

αααββα δ ppPPP

Nous définissons maintenant un opérateur hermitique ρ qui correspond à cet ensemble de

probabilités

(6) ∑∑ =≡α

αα

αα ααρ pPp

Il suit alors de (2) et (5) que la valeur moyenne de Ω qui correspond à ces probabilités est

(7) ( ) ( )Ω=Ω=Ω≡Ω ∑ ρρααα

α trtrpmoy

Il est aussi visible que, en analogie avec (3),

(8) ( ) ( ) 1tr1tr 22 ≤== ∑α

αρρ p

où le dernier signe est une égalité seulement si l'état est pur.

Equations du mouvement L'équation du mouvement de ρ dans le point de vue de Schrödinger, qui est utilisé ici, est

facilement obtenue à partir de (4) et (6) :

(9) [ ]ρρ,H

dt

di =h

Où nous avons utilisé le fait que les αp sont constants dans le temps. C'est évidemment vrai pour

un système isolé et c'est aussi vrai en général si H est écrit pour inclure les influences extérieures. A nouveau, la ressemblance avec l'équation du mouvement de Heisenberg est trompeuse puisque ρ ,

tout comme αP ci-dessus, sont vu dans le point de vue de Schrödinger. Cela peut aussi être vérifié

en transformant (9) du point de vue de Schrödinger au point de vue de Heisenberg.

L'équation du mouvement de moy

Ω est aussi intéressante car c'est quelque chose qui est observé

dans une expérience. Il suit de (7) et (9), quand on se souvient que le point de vue de Schrödinger est utilisé aussi bien pour Ω que pour ρ , que

(10)

[ ]( )

[ ]

Ω+∂Ω∂=

Ω+

∂Ω∂=Ω

ρ

ρρ

Ht

i

Ht

idt

di

moy

,tr

,trtr

h

hh

L'équation classique qui correspond à (9) est connue comme le théorème de Liouville. Elle peut être écrite sous un des formes

(11) ρρρ,0 H

tdt

d =∂∂=

qui sont équivalentes. A nouveau, (11) est en accord avec le résultat quantique que ρ est constante

dans le point de vue de Heisenberg.

L'analogue classique de moy

Ω définit par (7) est

(12) ( ) ( )∫ ∫Ω≡Ω fffmoy dpdqtpqtpq LKKL 111 ,,,,,, ρ

et ainsi l'intégrale sur l'espace des phases est l'analogue classique de la trace quantique. Sa dérivée dans le temps est

(13)

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Ω+∂Ω∂=

Ω+∂Ω∂=

∂∂Ω+

∂Ω∂=Ω

f

f

fmoy

dpdqHt

dpdqHt

dpdqttdt

d

LL

LL

LL

1

1

1

,

,

ρ

ρρ

ρρ

L'équation (11) a été utilisée pour passer de la première à la deuxième ligne de (13) et une intégration par partie par rapport à 1q , …, fp a été utilisée pour passer de la deuxième à la

troisième ligne. L'accord entre (10) et (13) semble surprenant quand on rappelle les remarques concernant l'utilisation du point de vue de Schrödinger. Cependant, cet accord est normal puisque

les valeurs numériques des éléments de matrice tel que αα Ω à partir desquels moy

Ω est calculé

sont indépendant du point de vue.

Opérateur projection pour une particule de spin 1/2 Le formalisme précédent est bien illustré avec une particule de spin 1/2 puisque dans ce cas un état

pur peut être spécifié par seulement deux paramètres. Une telle particule dans l'état α peut être

représentée par une fonction d'onde de spin normalisée ou spineur, qui est une généralisation du ( )21v que nous avons vu :

(14) [ ]1

,

22

21

212

1

=+=

=

= ∗∗

αααα

ααααα

α

Les quatre paramètres associés avec les deux nombres complexes 1α , 2α sont réduit à deux par la

condition de normalisation et l'absence d'importance d'une phase globale. La généralisation de ( )21v

à α consiste simplement en une rotation agissant sur le ket qui peut être choisit tel qu'il porte l'un

en l'autre. Pour cet état, l'opérateur projection est la matrice 2x2

(15) [ ]

=

==

∗

∗∗∗

2

212

21

2

121

2

1 ,ααα

ααααααα

αααP

On vérifie facilement que ( ) 1tr =αP et que αα PP =2 , comme attendu.

Toute matrice hermitique 2x2 peut être écrite comme une combinaison linéaire des quatre matrices hermitiques linéairement indépendantes 1, xσ , yσ , zσ . Nous écrivons cette combinaison sous la

forme (16) σα ⋅+= a0aP

où les quatre nombres 0a , xa , ya , za sont réels. Puisque chaque composante de σ a une trace

zéro, la condition ( ) 1tr =αP signifie que 21

0 =a . Nous avons aussi ( )2020

2 2 σσα ⋅+⋅+= aaaaP .

Cela peut être simplifié en notant que ( ) 22aa =⋅σ . Alors, l'exigence αα PP =2 signifie que 4

12 =a .

Nous pouvons donc écrire αP sous la forme

(17) ( )

−+−+

=⋅+=zyx

yxz

i

iP

ααα

ααααα πππ

πππσπ

1

11 2

121

où απ est un vecteur réel de longueur unité. Il suit aussi de (2) et (17) que

(18) ( ) ( ) ( )[ ] ααα πσσπσσασα =⋅+== trtrtr 21

21P

La comparaison des équations (15) et (17) montre qu'un état pur d'une particule de spin 1/2 peut être entièrement spécifié en terme d'un seul vecteur unité. Les deux paramètres auxquels on se référait ci-dessus sont maintenant les angles polaires de ce vecteur. Nous voyons aussi de (18) que

απ a comme signification physique d'être la valeur moyenne de l'opérateur de spin et nous pouvons

donc l'appeler vecteur polarisation qui correspond à l'état α .

Matrice densité pour une particule de spin 1/2

Il n'est pas difficile de voir que l'état pur β qui est orthogonal à α a le vecteur polarisation

αβ ππ −= . La matrice de densité qui correspond aux probabilités αp , βp peut être obtenue à partir

des équations (6) et (17) : (19) ( )[ ]σπρ αβαββαα ⋅−+=+= ppPpPp 12

1

La valeur moyenne de σ qui correspond à ce ρ est

(20) ( ) ( ) αβα πσρσ ppmoy

−== tr

Nous voyons qu'un état statistique pour une particule de spin 1/2 a un vecteur polarisation dont la longueur est moins que la longueur unité qui correspond à un état pur.

Vecteur polarisation pour une particule de spin s Le moment angulaire de spin d'une particule avec le spin s peut être représenté par des matrices

avec 2s + 1 lignes et colonnes. Un état pur α est alors une matrice colonne avec 2s + 1 lignes qui

peut être spécifiée (en excluant la normalisation et une phase globale) par ( ) ss 42122 =−+

paramètres. L'opérateur projection analogue à (15) est

(21) [ ]∗+

∗

+

== 121

12

1

s

s

P ααα

αααα LM

Une telle matrice hermitique peut être écrite comme une combinaison linéaire de ( )212 +s matrices

hermitiques linéairement indépendantes. Il est pratique pour l'une d'entre elles d'être la matrice

unité et pour les ( ) 112 2 −+s matrices restantes d'avoir une trace zéro. Ces dernières peuvent être

choisies pour représenter les opérateurs moments multipolaires qui sont permis pour une particule

de spin s. Par exemple, avec s = 1/2, les 3122 =− matrices représentent l'opérateur dipolaire ou de

spin et avec s = 1, les 8132 =− matrices restantes représentent les opérateurs moment dipolaire et quadrupolaire. Dans le cas général, nous pouvons poser, en analogie avec (16), (22) αα σ PaP ′+⋅+= a0

où comme avant 0a , xa , ya , za sont réels. σ est maintenant la généralisation des matrices de

Pauli à des spins plus élevés et est l'ensemble approprié de matrices, comme celles que nous avons vues, divisées par hs . Le αP′ restant inclus à toutes les matrices de moment multipolaire plus élevé et est défini orthogonal à 1 et σ dans le sens (23) ( ) ( ) 0tr1tr =′=′ αα σPP

L'équation (23) est une généralisation naturelle de la situation avec spin 1/2 dans laquelle la trace du produit des quatre matrices 1, xσ , yσ , zσ est zéro. Il suit de (22) et (23) que

(24) ( ) ( ) ( ) ( )( )a

s

ssPasP

3

121tr112tr 0

++=≡=+= ααα σπ

où απ est le vecteur polarisation.

La transition d'un état pur à un état statistique est effectuée comme avant et conduit au vecteur polarisation

(25) ( ) ∑==α

ααπσρσ pmoy

tr

où la sommation se fait sur les 2s + 1 états orthonormaux.

Précession du vecteur polarisation Comme exemple simple de l'équation du mouvement (10), considérons maintenant la précession d'une particule de spin s dans un champ magnétique. Nous supposons que la particule a l'opérateur moment magnétique (26) σγγµ hs== S

où γ est appelé le rapport gyromagnétique. L'hamiltonien qui décrit l'interaction du spin avec un champ magnétique H est alors (27) HH ⋅−=⋅−= σγµ hsH

Le taux de changement du vecteur polarisation est donné par l'équation (10) :

(28) [ ]( )ρσσ Hidt

dmoy

,tr1

h=

puisque σ n'a pas de dépendance explicite avec le temps. Les relations de commutation du moment angulaire et (26) donne

(29) σσσs

i=×

Donc, à partir de (27) et (29), nous obtenons pour une composante typique de σ :

(30) [ ] [ ] [ ]( )

( ) ( )zzyyz

zzxyyxx

iHHi

HHsH

H×=−−=

+−=

σγσσγσσσσγσ

hh

h ,,,

La substitution dans (28) donne alors

(30) ( )[ ] HH ×=×=moymoydt

d σγρσγσ tr

L'équation (30) est juste l'équation classique pour la précession. Cet accord entre équations quantique et classique du mouvement peut aussi être justifié par un argument basé sur le théorème d'Ehrenfest.

Exercices 1. Trouvez un ensemble de six matrices unitaires 2x2 qui représentent les 3! = 6 permutations de

trois objets. 2. Montrez que la fonction d'onde antisymétrique donnée dans l'équation (13) de la section IV.2

s'annule s'il y a une relation linéaire entre les fonctions αv , βv , …, νv .

3. Montrez que si une fonction d'onde u(1, 2, …, n) est une fonction propre de l'énergie d'un hamiltonien symétrique qui correspond à une valeur propre non dégénérée, elle est symétrique ou antisymétrique.

4. Utilisez les équations (10) de la section IV.3 pour vérifier que les fonctions d'onde de spin

données dans le tableau qui suit sont des fonctions propres de ( )221 SS + et zz SS 21 + avec les

valeurs propres indiquées. Montrez que le résultat obtenu en opérant sur ces fonctions avec les composantes x et y du spin total sont en accord avec les matrices données dans (34) de la section III.3.1.

5. Utilisez l'équation (6) de la section IV.3 pour dériver une expression pour la diffusion de protons sur des protons dans le système de coordonnées du centre de masse en supposant que l'interaction coulombienne s'étend jusqu'à r = 0. Discutez de la limite classique de la section efficace ( 0→h ) en particulier dans le voisinage de °= 90θ et montrez que le terme d'interférence s'annule si la moyenne est effectuée sur un domaine d'angles petit mais non nul.

6. Utilisez la représentation coordonnées pour vérifier que la deuxième équation (3) de la section IV.4 est valide, c'est-à-dire que ( ) 1tr =αP .

7. Utilisez la réponse du problème 9 à la fin de la section III.5 pour trouver la matrice unitaire qui

tourne l'état ( )21v en l'état α qui a le vecteur de polarisation απ avec les angles polaires αθ ,

αφ . . Montrez alors que le αP calculé à partir de (15) et (17) de la section IV.4 est en accord.

8. Montrez que si deux états purs d'une particule de spin 1/2 sont orthogonaux, les vecteurs de polarisation de ces états sont égaux et opposés.

9. Montrez que la trace du produit de deux composantes perpendiculaires de σ pour une particule de spin s est zéro.

10. Evaluez la trace du carré de toute composante de σ pour une particule de spin s. 11. Calculez le vecteur polarisation explicitement pour un état pur arbitraire d'une particule de spin

1. Montrez que la longueur de ce vecteur est inférieure ou égale à l'unité. Trouvez la condition sur l'état telle que la longueur est égale à l'unité.

V. Physique statistique Les propriétés des fermions et des bosons ont, nous l'avons vu, des conséquences importantes sur le comportement des systèmes physiques. Lorsque l'on a affaire à des systèmes macroscopiques, solides, gaz, fluides, on imagine facilement que ces conséquences ont aussi un impact sur les propriétés de ces matériaux. Ainsi, nous avons vu le comportement grégaire des bosons et le principe d'exclusion empêchant les fermions d'être dans le même état. Suivant l'un ou l'autre comportement, on aboutit à différents comportements statistiques que nous avons déjà suggérés. Nous allons aborder ici ces statistiques et une partie de leurs conséquences. En toute rigueur, cette partie devrait se trouver dans le tome IV sur la matière. Mais c'est une bonne conclusion des conséquences du spin et qui peut, en outre, s'étudier sans devoir comprendre le fonctionnement détaillé des atomes individuellement. Ce sera aussi une bonne introduction à la matière avant d'attaquer le tome correspondant.

Dans ce qui suit, nous allons préciser quelques aspects dans le comportement des photons et des fermions puis nous attaquerons les statistiques proprement dites avant d'enfin aborder plusieurs applications fort importantes et intéressantes. Lorsque l'on étudie la matière, on est confronté à un problème. C'est le nombre très élevé de "particules" (photons, atomes,…). Très élevé est même un mot assez faible si l'on pense que quelques grammes de matière contiennent des millions de milliards de milliards d'atomes ou de molécules. La difficulté n'est même pas liée à la physique classique ou à la mécanique quantique. Une fois que la théorie a précisé comment se comportent les différents "individus", isolément et en collectivité, le problème n'est plus lié à la mécanique quantique. La seule difficulté majeure, c'est ce nombre colossal de particules. Il est illusoire de résoudre des équations, même très simples, avec des milliards de milliards de variables. Une seule approche est possible : la physique statistique. La physique statistique fut élaborée déjà au dix-neuvième siècle puis approfondie au siècle suivant. La mécanique quantique a seulement modifié quelques règles du jeu. Mais ces modifications ont eut des conséquences parfois très profondes. Nous supposerons connu la physique statistique classique au moins dans ses bases (thermodynamique statistique et statistique de Maxwell-Bolzmann). Avant d'entrer dans le vif du sujet. Il est intéressant de préciser d'une manière particulièrement élémentaire ce qu'on peut entendre par "différentes statistiques".

Probabilités classiques Considérons deux pièces de monnaie identiques et parfaitement équilibrées indiquant sur leurs faces les valeurs + et - (pile ou face). Jetons au hasard ces deux pièces et regardons les résultats qui peuvent être obtenus. Il y a quatre possibilités Pièce 1 : +. Pièce 2 : + Pièce 1 : -. Pièce 2 : - Pièce 1 : +. Pièce 2 : -

Pièce 1 : -. Pièce 2 : + Nous noterons plus simplement les résultats comme suit : - ++ - -- - +- - -+ Si les pièces sont parfaitement identiques et parfaitement équilibrées, aucun de ces résultats n'a plus de chance de se produire qu'un autre. Les résultats sont équiprobables. Chaque résultat a donc une probabilité 1/4 de se produire. Notons que la probabilité d'avoir deux pièces donnant le même résultat (les deux premiers cas) est 1/2 et deux résultats différents (les deux derniers cas) 1/2 également. Notons aussi que nous devons distinguer les deux cas +- et -+ car les deux pièces sont discernables. Elles auront toujours de petits défauts microscopiques, de minuscules variations de concentration du métal, etc. Et nous pouvons aussi les suivre des yeux pendant que nous les jetons. On pourrait choisir de ne pas les distinguer mais, bien entendu, les deux pièces n'ont pas besoin qu'on les observe de près pour être différentes ! Nous appellerons cela les probabilités "MB" (pour Maxwell-Boltzmann). Probabilités tout ce qu'il y a de plus classique.

Probabilités quantiques Justement, considérons que l'on ne se préoccupe pas de distinguer les deux pièces. Trois résultats sont possibles : - ++ - -- - +-

Ils ne sont pas équiprobables. Mais imaginons que nous ayons un processus donnant des résultats équiprobables. Par exemple, on pourrait avoir des pièces biaisées ou on pourrait utiliser un dé à 6 faces, deux faces indiquant ++, deux faces indiquant -- et les deux dernières faces indiquant +-. On peut parfaitement envisager ce type de probabilité même s'il ne correspond pas strictement à nos deux pièces du début. C'est juste un autre cas. Dans ce cas, la probabilité de chaque cas est 1/3. C'est aussi le cas des particules indiscernables identiques en tout point sauf peut-être par leur spin. C'est pour cette raison que nous appelons cela des probabilités quantiques. Ainsi, on pourrait avoir des photons avec un état de spin égal à +1 ou -1 que nous notons ici + et -. Si les particules sont au même endroit, toutes autres propriétés étant analogues, alors on se retrouve dans la situation décrite dans ce que nous avons vu sur les particules identiques. L'échange est indiscernable d'un basculement des spins. L'état +- est le même que -+. En fait c'est un seul et même état. On retrouve donc les trois possibilités ++, --, et +- (= -+). Nous appellerons cela les probabilités "BE" (Bose-Einstein).

Une autre possibilité Enfin, on peut envisager une troisième possibilité et considérer qu'il n'y a qu'un cas possible : +- C'est-à-dire que l'on exclut le cas où les deux pièces donnent le même résultat. Avec une probabilité évidemment 1. Par exemple une seule pièce avec inscrite +- sur ses deux faces. Nous avons vu que les fermions ont ce comportement, avoir les deux fermions dans le même état n'est pas possible, les cas ++ et -- étant interdits. C'est la probabilité "FD" (Fermi-Dirac).

Différences entre probabilités Notons quelque chose d'important avec les probabilités BE. La probabilité d'avoir les deux "mêmes faces" (avec des guillemets puisque cet exemple ne correspond pas réellement à deux pièces mais à un dé à six faces ou à des particules quantiques) est 2/3 et la probabilité d'avoir des "faces" différentes 1/3. A comparer au cas 1/2 - 1/2 de la probabilité MB. La probabilité d'avoir les deux faces identiques est "amplifiée". On vérifie aisément que ce processus d'amplification augmente rapidement lorsque le nombre de "pièces" augmente. Par exemple, avec 10 pièces (ou 10 particules), la probabilité d'avoir les mêmes faces est 1/512 pour MB et 2/11 pour BE, presque cent fois plus. Pour mille pièces, c'est environ

298102 ⋅ fois plus (deux suivi de 298 zéros) ! Une différence absolument considérable et qui ne peut certainement pas être négligée et qui ne peut qu'avoir des conséquences importantes sur des collectivités importantes de particules. Dans le cas FD, c'est clair, le nombre de cas est au contraire très limité.

Statistiques La physique statistique étudie le comportement aléatoire d'une collection d'un très grand nombre de particules indépendantes, tel que les molécules d'un gaz parfait (des particules parfaitement indépendantes). Les comportements statistiques dégagés permettent, par exemple, de calculer le rayonnement thermique, de justifier les lois des gaz, la théorie thermodynamique, etc. Selon que les particules obéissent aux trois probabilités ci-dessus, les résultats seront différentes lois statistiques qui portent le nom de leurs auteurs qui les ont étudiées : - MB : Maxwell - Boltzman - BE : Bose - Einstein - FD : Fermi - Dirac Les deux dernières sont aussi appelées "statistiques quantiques".

La première, que vous devez connaître, fut élaborée au dix-neuvième siècle sur base de la physique classique et des probabilités habituelles. La deuxième fut élaborée au début du vingtième siècle par Einstein sur base de travaux du physicien indien Bose. L'analyse des propriétés du photon, des expériences et des lois quantiques à conduit à cette statistique. La troisième fut élaborée peu après par les physiciens Fermi et Dirac pour l'électron après avoir découvert le principe d'exclusion de Pauli. Nous verrons que les trois statistiques sont semblables dans des conditions "habituelles" (à température ambiante, par exemple) mais s'écartent fortement près du zéro absolu (lorsque les particules tendent à être dans leur état de plus basse énergie, donc presque tous le même état : l'amplification MB ou la limitation FD se met alors à jouer).

V.1. Emission et absorption de photons Tout au long de notre discussion, nous avons parlé d'un processus du genre diffusion de particules. Mais ceci n'est pas l'essentiel. Nous pourrions avoir parlé de la création de particules, comme par exemple dans l'émission de lumière. Quand de la lumière est émise, un photon est créé. Dans un tel cas, nous n'avons pas besoin des lignes incidentes et nous pouvons considérer qu'il y a n atomes a, b, c,… émettant de la lumière comme dans la figure ci-dessous.

Si bien que notre résultat peut être énoncé : la probabilité pour qu'un atome émette un photon dans un état particulier est augmentée par le facteur n + 1 s'il y a déjà n photons dans cet état. Les gens aiment bien résumer ce résultat en disant que l'amplitude pour émettre un photon est

augmentée par le facteur 1+n quand il y a déjà n photons présents. C'est bien sûr une autre façon de dire la même chose, s'il est entendu que cette amplitude doit simplement être élevée au carré pour donner la probabilité. Il est vrai, de façon générale, qu'en mécanique quantique l'amplitude pour passer de n'importe quelle condition φ à n'importe quelle condition χ est le complexe conjugué de l'amplitude pour

aller de χ à φ :

(1) ∗= χφφχ

Nous pouvons l'employer pour trouver comment les photons sont diffusés ou absorbés à partir d'un état donné. Nous savons que l'amplitude pour qu'un photon soit ajouté à un état donné, disons i, lorsqu'il y a déjà n photons présents est

(2) annn 11 +=+

où aia = est l'amplitude lorsqu'il n'y n a aucun autre présent (émission spontanée). N utilisant

(1), l'amplitude pour aller dans l'autre sens, de n + 1 photons à n, est

(3) ∗+=+ annn 11

Ceci n'est pas la façon dont on s'exprime habituellement. Les gens n'aiment pas penser qu'ils passent de n + 1 à n, mais ils préfèrent toujours partir de n photons. On dit alors que l'amplitude pour absorber un photon, quand il y en a déjà n, en d'autres termes, l'amplitude pour le passage de n à n - 1 est

(4) ∗=− annn 1

qui est naturellement la même chose que (3). Mais maintenant, il ne nous est pas facile de nous

rappeler s'il faut utiliser n ou 1+n . Voici la façon de s'en souvenir : le facteur est toujours la racine carrée du plus grand nombre de photons présents, avant ou après la réaction. Eventuellement pensez aux états à 0 et 1 photon, il est alors évident qu'on a la racine de 1 et non de 0. Les équations (2) et (3) montrent que la loi est vraiment symétrique. C'est seulement lorsqu'on écrit (4) qu'elle semble asymétrique. Ces nouvelles règles ont beaucoup de conséquences physiques. Nous allons en décrire une qui concerne l'émission de la lumière. Supposez que nous imaginions une situation dans laquelle les photons sont enfermés dans une boite. Vous pouvez vous représenter un boite avec des miroirs pour parois. Disons maintenant que, dans la boite, nous avons n photons, tous dans le même état : même fréquence, même direction et même polarisation, si bien qu'ils ne peuvent être distingués, et supposons aussi que dans la boite, il y a un atome qui peut émettre un autre photon dans le même état. Alors la probabilité pour qu'il émette un photon (par unité de temps) est

(5) ( ) 21 an +

et la probabilité pour qu'il absorbe un photon est

(6) 2

an

où 2

a est la probabilité pour qu'il émette un photon, aucun photon n'étant déjà présent. L'équation

(6) dit que la probabilité pour qu'un atome absorbe un photon et fasse une transition vers un état d'énergie plus élevé est proportionnelle à l'intensité de la lumière qui l'illumine, mais, ainsi que

Einstein le montra le premier, le taux de transition d'un atome vers une énergie plus basse est dû à

deux contributions : la probabilité de transition spontanée 2

a , plus la probabilité de transition

induite 2

an , qui est proportionnelle à l'intensité de la lumière, c'est-à-dire au nombre de photons

présents (nous aurons l'occasion d'en reparler). De plus, ainsi qu'Einstein le montra, les coefficients d'absorption et d'émission induite sont égaux et reliés à la probabilité d'émission spontanée. Ce que nous apprenons ici est que si l'intensité de la lumière est mesurée en termes de nombre de photons présents (au lieu d'énergie par unité d'aire et par seconde) les coefficients d'absorption, d'émission induite et d'émission spontanée sont égaux.

V.2. Le principe d'exclusion Revenons un peu sur le principe d'exclusion. Les particules de Fermi se comportent de façon tout à fait différente. Voyons ce qui arrive si nous essayons de mettre deux particules de Fermi dans le même état. Nous allons revenir à notre exemple initial et chercher l'amplitude pour que deux particules de Fermi soient diffusées presque exactement dans la même direction. L'amplitude pour que la particule a aille dans la direction 1 et pour que la particule b aille dans la direction 2 est

(1) ba 21

alors que l'amplitude pour que les directions finales soient échangées est

(2) ba 12

Comme nous avons des particules de Fermi, l'amplitude pour le processus est la différence de ces deux amplitudes

(3) baba 1221 −

Ajoutons que par "direction 1" nous entendons que la particule a non seulement une certaine direction mais également que son spin a une certaine direction et par "direction 2" nous entendons

presque exactement la même direction que la direction 1 et la même direction de spin. Alors a1

et a2 sont presque égales. Ceci ne serait pas nécessairement vrai si les états finaux n'avaient pas

la même direction de spin car il pourrait y avoir une raison pour que l'amplitude dépende de la direction des spins. Si maintenant, nous faisons tendre les directions 1 et 2 l'une vers l'autre, l'amplitude totale dans (3) devient nulle. Le résultat obtenu pour des particules de Fermi est beaucoup plus simple que celui obtenu pour des particules de Bose. C'est qu'il est tout simplement impossible que deux particules de Fermi, telles que deux électrons, soient exactement dans le même état. Vous ne trouverez jamais deux électrons dans la même position, avec leurs deux spins dans la même direction. Il n'est pas possible que deux électrons aient la même impulsion et les mêmes directions de spin. S'ils ont la même position ou s'ils sont dans le même état de mouvement, la seule possibilité est qu'ils aient leurs spins en opposition. Quelles sont les conséquences de tout cela ? Il y a un bon nombre d'effets des plus remarquables qui sont la conséquence du fait que deux particules de Fermi ne peuvent pas se mettre dans le même état : en fait, toutes les particularités du monde matériel sont reliées à ce fait remarquable. En fait, la variété des éléments de la table périodique est fondamentalement une conséquence de cette simple règle. Naturellement, nous ne pouvons pas dire ce que le monde serait si cette simple règle était changée, car elle n'est qu'un élément de toute la structure de la mécanique quantique et il est impossible de dire tout ce qui changerait si la règle concernant les particules de Fermi était différente (plus exactement, on pourrait bâtir une infinité de théories en modifiant de manière arbitraire tel ou tel élément de la théorie afin que ce principe d'exclusion soit modifié, chacune théorie ainsi construite donnerait l'image d'un monde différent). Quoi qu'il en soit, essayons de voir ce qui arriverait si cette règle seule était changée. Tout d'abord nous pouvons montrer que tous les atomes resteraient plus ou moins les mêmes. Commençons par l'atome d'hydrogène. Il ne serait pas sensiblement changé : le proton du noyau serait entouré par un nuage électronique à symétrie sphérique comme le montre la figure (a) ci-dessous.

L'électron est attiré vers le centre, mais le principe d'incertitude requiert qu'il y ait un ajustement entre les concentrations des impulsions et des positions. Cet ajustement doit être tel que la distribution électronique possède une certaine énergie et un certain étalement qui détermine les dimensions caractéristiques de l'atome d'hydrogène. Supposons maintenant que nous ayons un noyau avec deux unités de charge, tel que le noyau d'hélium. Ce noyau va attirer deux électrons, qui, s'ils étaient des particules de Bose, viendraient se grouper le plus près possible du noyau, compte tenu de leur répulsion électrique. Un atome d'hélium pourrait ressembler à ce qui est dessiné dans la partie (b) de la figure ci-dessus. De même, un atome de lithium, qui a un noyau triplement chargé, aurait une distribution électronique comme celle de la partie (c) de la figure ci-dessus. Chaque atome aurait plus ou moins la même apparence d'une petite balle ronde avec tous les électrons disposés près du noyau, sans aucune complication et sans aucune direction privilégiée. Arracher un électron à un atome prendrait à peu près la même énergie quel que soit l'électron et quel que soit l'atome. Du fait que les électrons sont des particules de Fermi, la situation réelle est tout à fait différente. Pour l'atome d'hydrogène, la situation est essentiellement inchangée. La seule différence est que l'électron a un spin que nous indiquons par la petite flèche dans la figure (a) ci-dessous.

Cependant, dans le cas de l'atome d'hélium, nous ne pouvons pas mettre les deux électrons l'un sur l'autre. Mais attendez, cela n'est vrai que si les directions de leurs spins sont les mêmes. Deux électrons peuvent occuper le même état si leurs spins sont opposés. Si bien que l'atome d'hélium lui non plus n'apparaît pas très différent. Il ressemblerait à ce qui est dessiné dans la partie (b) de la figure ci-dessus. Pour le lithium, cependant, la situation devient tout à fait différente. Où pouvons-nous mettre le troisième électron ? Le troisième électron ne peut pas aller par-dessus les deux autres, puisque les deux directions de spin sont occupées. Le troisième électron ne peut pas aller près de la place occupée par les deux autres, il doit donc avoir une condition spéciale, un état d'un genre différent, plus loin du noyau, comme indiqué dans la partie (c) de la figure ci-dessus (nous parlons ici d'une façon plutôt approximative car, en réalité, les trois électrons sont identiques.

Comme nous ne pouvons pas réellement les distinguer les uns des autres, notre description est seulement approchée). Nous pouvons maintenant commencer à voir pourquoi des atomes différents ont des propriétés chimiques différentes. C'est parce que le troisième électron du lithium est loin qu'il est relativement moins fortement lié. Il est beaucoup plus facile d'ôter un électron du lithium que de l'hélium (expérimentalement, il faut 25 électronvolts pour ioniser l'hélium et seulement 5 électronvolts pour ioniser le lithium). Ceci explique la valence de l'atome de lithium. Les propriétés directionnelles de la valence sont liées à la forme de l'onde de l'électron extérieur, ce que nous n'allons pas discuter pour le moment. Nous pouvons déjà voir l'importance du principe appelé principe d'exclusion qui dit que deux électrons ne peuvent pas être trouvés exactement dans le même état (en incluant les spins). Le principe d'exclusion est aussi responsable de la stabilité, à grande échelle, de la matière. Nous avons expliqué précédemment que les différents atomes de matière ne s'écrasent pas les uns sur les autres à cause du principe d'incertitude. Mais cela n'explique pas pourquoi deux atomes d'hydrogène ne peuvent pas être poussés l'un contre l'autre, aussi près que l'on veut, pourquoi les protons ne se regroupent pas tous ensembles, entourés d'un grand nuage d'électrons. La réponse est bien entendu que, puisque deux électrons au plus, avec des spins opposés, peuvent occuper approximativement la même place, les atomes d'hydrogène sont contraints de se tenir loin les uns des autres. Ainsi la stabilité de la matière, à grande échelle, est vraiment une conséquence de la nature "particule de Fermi" des électrons. Bien entendu, si les électrons périphériques de deux atomes ont leurs spins dans des directions opposées, ils peuvent se rapprocher l'un de l'autre. C'est en fait exactement de cette façon que se réalise une liaison chimique. Il se trouve que deux atomes ont généralement une énergie plus basse s'il y a un électron entre eux deux. C'est une sorte d'attraction électrique des deux noyaux positifs vers l'électron qui est placé entre eux. Il est possible de placer deux électrons, plus ou moins entre les deux noyaux, tant qu'ils ont des spins opposés, et c'est ainsi que l'on obtient la plus forte liaison chimique. Il n'y a pas de liaison plus forte parce que le principe d'exclusion ne permet pas qu'il y ait plus de deux électrons dans l'espace entre les deux atomes. Nous nous attendons à ce que la molécule d'hydrogène ressemble plus ou moins à ce que montre la figure ci-dessous.

Nous voulons indiquer encore une conséquence du principe d'exclusion. Vous vous rappelez que si les deux électrons d'un atome d'hélium sont près du noyau, leurs spins sont nécessairement opposés. Supposez maintenant que nous voulions essayer de nous arranger pour que les deux électrons aient même direction de spin, ce que nous pourrions envisager de faire en créant un champ magnétique fantastiquement fort qui essayerait d'aligner les spins sur une même direction. Mais les électrons ne pourraient plus alors occuper le même état d'espace. L'un des deux aurait à prendre une position dans l'espace différente comme indiqué sur la figure ci-dessous.

L'électron qui est placé le plus loin du noyau a l'énergie de liaison la plus faible. L'énergie de l'atome tout entier est par conséquent sensiblement plus élevée (l'énergie de liaison intervient négativement puisqu'il faut fournir de l'énergie pour arracher un électron). En d'autres termes, quand les deux spins sont opposés l'attraction totale est beaucoup plus élevée.

Ainsi, il y a manifestement une force énorme qui essaye d'aligner les spins des électrons dans des directions opposées dès que les électrons sont proches l'un de l'autre. Si les deux électrons essayent d'aller au même endroit, les spins auront une très forte tendance à se mettre en opposition. Cette force qui, apparemment, essaye d'orienter les deux spins dans des directions opposées l'une de l'autre est beaucoup plus puissante que la toute petite force entre les deux moments magnétiques des électrons. Lorsque l'on étudie le ferromagnétisme, on découvre un mystère : pourquoi les électrons de différents atomes ont-ils une forte tendance à aligner leurs spins (ce qui serait contraire à un effet d'interaction magnétique qui aurait plutôt tendance à mettre de petits aimants tête bêche) ? Ce qui se passe c'est que les électrons qui sont disposés autour du cœur d'un atome, interagissent par l'intermédiaire du principe d'exclusion avec les électrons extérieurs qui se promènent librement dans le cristal. Cette interaction force les spins des électrons libres et ceux des électrons liés à prendre des directions opposées. Mais les électrons libres et ceux des électrons atomiques ne peuvent être en opposition que si tous les électrons liés ont la même direction de spin comme sur la figure ci-dessous.

C'est l'effet du principe d'exclusion agissant indirectement par l'intermédiaire des électrons libres qui donne lieu aux puissantes forces d'alignement responsables du ferromagnétisme. On parle aussi d'énergie d'échange (des électrons, vu l'origine du principe d'exclusion, le changement de signe de l'amplitude sous l'échange de deux électrons). Nous mentionnerons un exemple de plus à propos de l'influence du principe d'exclusion. Les forces nucléaires sont les mêmes entre le proton et le neutron, entre le proton et le proton et entre le neutron et le neutron. Pourquoi donc un proton et un neutron peuvent-ils se coller pour former un noyau de deutérium alors qu'il n'y a pas de noyau avec simplement deux protons ou deux neutrons ?

En fait, le deutéron a une énergie de liaison d'environ 2.2 millions d'électronvolts et, cependant, il n'y a pas de liaison semblable entre deux protons pour faire un isotope de l'hélium avec un poids atomique 2. Un tel noyau n'existe pas. La combinaison de deux protons n'a pas d'état lié. La réponse à cela résulte de deux effets : tout d'abord le principe d'exclusion et ensuite le fait que les forces nucléaires sont quelque peu sensibles à la direction des spins. La force entre un neutron et un proton est attractive et un peu plus forte lorsque les spins sont parallèles que lorsqu'ils sont opposés. Il se trouve que ces forces sont justes assez différentes pour que le deutéron puisse être fait seulement si le neutron et le proton ont leurs spins parallèles. Lorsque les deux spins sont opposés, l'attraction n'est plus tout à fait assez forte pour les lier ensemble. N'oublions pas que, confinés dans un espace aussi restreint, le principe d'incertitude implique une grande indétermination de l'impulsion et que pour lier ensemble deux particules avec de grandes impulsions, il faut une énergie considérable. C'est le même principe qui fait qu'une particule dans un puits de potentiel étroit et trop peu profond n'y a pas d'état lié. Comme les spins du neutron et du proton sont tous les deux un demi et sont dans la même direction, le deutéron a un spin 1. Nous savons cependant que deux protons ne peuvent pas s'empiler l'un sur l'autre si leurs spins sont parallèles. S'il n'y avait le principe d'exclusion, deux protons pourraient être liés, mais comme ils ne

peuvent pas exister à la même place, avec les mêmes directions de spin, le noyau 2He n'existe pas. Les protons pourraient aussi se rapprocher l'un de l'autre avec leurs spins opposés, mais alors il n'y a pas assez d'énergie de liaison pour en faire un noyau stable parce que la force nucléaire pour des spins opposés est trop faible pour lier une paire de nucléons. La force attractive entre neutron et proton de spins opposés peut être mise en évidence par des expériences de diffusion. Des expériences de diffusion similaires avec des protons dont les spins sont parallèles mettent en évidence une attraction similaire. C'est donc le principe d'exclusion qui nous aide à expliquer

pourquoi le deutérium peut exister alors que 2He ne le peut pas.

V.3. Les diverses statistiques La physique statistique décrit la façon dont on peut prévoir, à partir d'un modèle microscopique, les propriétés macroscopiques d'un système à l'équilibre : cet équilibre donne à la probabilité thermodynamique W sa valeur maximum. Nous allons déterminer ici les expressions de W dans divers cas possibles et nous en déduirons l'état macroscopique d'équilibre (loi de répartition et fonctions thermodynamiques) des systèmes de particules indépendantes.

Nous serons amenés à distinguer deux cas principaux selon que les particules sont discernables ou non. Le calcul des probabilités thermodynamiques est différent dans ces deux cas et conduit respectivement à la statistique de Maxwell-Boltzmann et aux statistiques quantiques. Il existe deux statistiques quantiques selon la nature des particules : les particules de spin demi-entier (fermions) obéissent à la statistique de Fermi-Dirac et celles de spin entier (bosons) à la statistique de Bose-Einstein. Nous montrerons qu'à la limite des faibles densités de population des niveaux d'énergie, ces deux statistiques convergent vers un même limite désignée ici par statistique de Maxwell-Boltzmann corrigée.

V.3.1. Détermination des répartitions à l'équilibre

Etablissement des relations d'équilibre La condition d'équilibre d'un système thermodynamique fermé et isolé se traduit mathématiquement par la condition de maximum de l'entropie S par rapport aux variables 1N , …,

iN , …, rN caractérisant son état macroscopique. Nous cherchons donc à déterminer la répartition 01N , …, 0

iN , …, 0rN rendant maximum la fonction ( ) ( )ii NWkNS ln= où k est bien entendu la

constante de Boltzmann. Rappelons que les iN sont le nombre de particules correspondant à une cellule de l'espace des

phases macroscopique et W le nombre d'états microscopiques réalisant un état macroscopique donné caractérisé par les iN et appelé probabilité thermodynamique de l'état macroscopique.

Toutefois, les variables iN ne sont pas indépendantes, car elles doivent satisfaire aux conditions de

contrainte d'un système fermé et isolé

(1) NNi

i =∑

(2) UNi

ii =∑ ε

où N est le nombre total de particules, U l'énergie totale et les iε sont l'énergie d'une particule dans

l'état i. Nous avons donc à résoudre un problème d'extremum d'une fonction à variables liées. On le traite par la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Suivant cette méthode, on introduit deux multiplicateurs λ et λ ′ indépendants des iN et on cherche le maximum de la fonction

(3) ( ) ( ) ( )iii NNNUNS λλ ′++

en considérant les variables iN comme indépendantes. Dans cette fonction, ( )iNU et ( )iNN

représentent les fonctions de iN explicitées respectivement au premier membre des égalités (1) et

(2). Comme nous allons le voir ci-dessous, la condition d'extremum de la fonction (3) fournit alors r relations (les r dérivées par rapport aux iN sont nulles) permettant de déterminer, pour chaque

domaine, le nombre 0iN en fonction des multiplicateurs de Lagrange. L'expression de ces

multiplicateurs en fonction de U et N doit alors être déterminée en utilisant les relations de contrainte (1) et (2). Nous allons maintenant expliciter la méthode que nous venons de décrire. Nous remplacerons

toutefois la fonction (3) par la fonction ( )iNΩ

(4) ( ) NSUNUSλλ

λλλ

λ′

++=′++=Ω 11

qui a les dimensions d'une énergie. Les coefficients λ/1 et λλ /′ ont respectivement les

dimensions d'une température et d'un potentiel chimique et, pour cette raison, en posant λ/1−=T

et λλµ /′−= , on peut récrire Ω sous la forme

(5) ( ) ( ) ( ) ( )iiii NNNSTNUN µ−−=Ω

Les multiplicateurs T et µ seront utilisés par la suite à la place de λ et λ ′ .

Les r conditions rendant Ω extremum par rapport aux variables iN supposées indépendantes

s'écrivent :

(6) 0=∂

Ω∂

iN

et en utilisant (1), (2) et ( ) ( )ii NWkNS ln= , nous avons

(7) 1ln =

∂∂

∂∂=

∂∂=

∂∂

iii

i

i N

N

N

Wk

N

S

N

U ε

les conditions d'équilibre (6) deviennent :

(8) 0ln =−∂

∂−≡∂

Ω∂ µεi

i

i N

WTk

N

ou

(9) TkN

W i

i

µε −=∂

∂ log

Ces r équations permettent de déterminer les r valeurs d'équilibre 0iN en fonction des

multiplicateurs T et µ lorsque l'expression explicite de ( )iNW est connue.

Interprétation physique des multiplicateurs de Lagr ange

Cherchons la signification physique des multiplicateurs T et µ . Pour cela, comparons les

expressions statistique et classique de la différentielle de l'entropie du système à l'équilibre lors d'une transformation infinitésimale réversible au cours de laquelle les paramètres extérieurs (volume, champ magnétique, etc.) restent constants (la substance ne reçoit pas de travail). D'après la relation de Boltzmann et les relations d'équilibre (9) on a

(10) ∑∑−

=∂

∂==i

i

i

i

i

i

dNT

dNN

WkWkddS

µεlnln

Au cours d'une telle transformation, les niveaux d'énergie restent constants, soit

(11) ∑=i

iidNdU ε et ∑=i

idNdN

L'expression de dS devient alors :

(12) dNTT

dUdS

µ−=

Par ailleurs, la thermodynamique classique donne pour la même transformation ( 0=Wd où W est le travail)

(13) dNTdSdU µ+= ou dNTT

dUdS

µ−=

Par identification, on voit que TT = et µµ = , c'est-à-dire que les multiplicateurs T et µ

s'identifient à la température T et au potentiel chimique relatif à une particule µ du système. Les

relations d'équilibre deviennent alors :

(14) kTN

W i

i

µε −=

∂∂ ln

La valeur extremum de ( )iNΩ coïncide avec la valeur de la fonction énergétique

( ) µµ NTSUVT −−=Ω ,, .

Nous avons trouvé la signification physique des multiplicateurs de Lagrange. Le problème de leur détermination en fonction des contraintes sera discuté ultérieurement dans divers cas.

Exercices

Répartition à l'équilibre pour un système de spins 1/2 Explicitez les relations d'équilibre (14) de la section V.3.1 pour un système de spins 1/2, dans un champ magnétique d'induction B, dont la probabilité thermodynamique W est donnée par la relation habituelle de la physique statistique :

(1) ( ) !!

!

!!

!

−+++

+ =−

==NN

N

NNN

NCW

N

N

Déduisez-en les valeurs de 0+N et 0

−N , populations à l'équilibre des niveaux Bm=+ε et

Bm−=−ε , en fonction des multiplicateurs de Lagrange T et µ . Ecrivez dans ce cas les relations

de contrainte (1), (2) de la section V.3.1 et dire comment on peut en déduire T et µ en fonction de

U et N. En particulier, éliminez µ des expressions de 0±N au profit de N et vérifiez que l'on

retrouve le résultat standard de la physique statistique (2) xBmNU tanh−= avec kTBmx /=

Solution La probabilité thermodynamique du système à deux nivaux considéré est donnée en (1) en fonction de +N et −N par

(3) ( )

!!

!

!!

!

−+

−+

−+

+==

NN

NN

NN

NW

Nous avons donc, après usage de la formule de Stirling dérivée ( ) nn

dnd ln!ln = , les deux relations :

(4) ( )N

NNNN

N

W ±±−+

±

−=−+=∂

∂lnlnln

ln

En reportant ces expressions dans les relations d'équilibre, il vient :

(5) ( )( )kTNN /exp0±± −= εµ

avec Bm±=±ε . Les multiplicateurs T et µ s'obtiennent alors à partir des deux relations de

contraintes qui s'écrivent ici

(6) ( )

( ) xBemNeeBemNU

xNeeeNeN

kTxxkT

kTxxkT

sinh2

cosh2//

//

µµ

µµ

−=−=

=+=−

−

avec kTBmx /= . Ces deux équations déterminent les deux multiplicateurs T et µ en fonction de

U et N. En particulier, la contrainte sur le nombre de particules permet d'obtenir le paramètre

( ) ( ) 1cosh2/exp −= xkTµ et d'éliminer µ des expressions des populations à l'équilibre, d'où :

(7) x

eNN

x

cosh20

m

=±

Pour poursuivre la méthode, on devrait encore éliminer la variable T, incluse dans kTBmx /= , au profit de U et de N. Toutefois, pour des raisons expérimentales, on préfère garder la variable température et exprimer l'énergie interne en fonction de T plutôt que l'inverse. Ainsi, la deuxième relation de contrainte devient :

(8) xBmNxx

BmNU tanhsinhcosh2

12 −=−=

en accord avec (2).

V.3.2. Probabilité thermodynamique : méthode d'éval uation Nous allons évaluer maintenant la probabilité thermodynamique W d'un état macroscopique du système physique considéré, c'est-à-dire le nombre d'états microscopiques différents réalisant cet état macroscopique. Selon les systèmes physiques, les états quantiques relatifs à une particule sont peu nombreux et bien séparés en énergie (substance paramagnétique dans un champ magnétique) ou au contraire en nombre infini, avec des différences d'énergie beaucoup trop petites pour pouvoir être mesurées (gaz monoatomique). On rencontre aussi des cas intermédiaires. Nous allons cependant employer, pour traiter ces différents cas, un même langage qui est celui utilisé pour les gaz dans lequel une cellule désigne un état quantique et un domaine regroupe un nombre ig d'états quantiques d'énergie

voisine iε . Dans le cas d'une substance paramagnétique, chaque niveau d'énergie constitue un

domaine dont le nombre de cellules est égal au nombre d'états quantiques (ou dégénérescence) du niveau. Un état quantique est alors défini par l'ensemble des nombres 1N , …, iN , …, rN de particules

dans chacun des domaines d'indice 1, …, i, …, r. Pour chercher la probabilité thermodynamique ( )ri NNNW ,,,,1 KK d'une telle répartition posée a priori, on procède en deux étapes.

Tout d'abord on évalue le nombre 0W de façons de réaliser la répartition choisie 1N , …, iN , …,

rN des N particules dans les domaines. Puis on évalue le nombre iW de façon de distribuer les iN

particules du domaine i dans les ig cellules de ce domaine. Effectuant ce dénombrement pour

chacun des domaines, on obtient finalement :

(1) ∏=

==r

i

iri WWWWWWW1

010 LL

La méthode est schématisée ci-dessous.

L'évaluation explicite de W dépend de la nature physique des particules considérées. Nous devons distinguer deux cas selon que les particules sont discernables ou indiscernables.

V.3.3. Statistique de Maxwell-Boltzmann

Calcul de la probabilité thermodynamique Lorsque les particules sont localisées, donc discernables, on se trouve dans le cadre de la statistique de Maxwell-Boltzmann. Cherchons, dans ce cas, l'expression de la probabilité thermodynamique W d'un état macroscopique caractérisé par la donnée des nombres 1N , …, iN , …, rN .

Selon la méthode que nous venons de schématiser, nous évaluons tout d'abord le nombre 0W de

façon de distribuer les N particules dans les domaines 1, …, i, …, r selon la répartition macroscopique 1N , …, iN , …, rN choisie. Compte tenu de la discernabilité des particules, ce

nombre est égal au nombre de façons de prendre 1N particules parmi les N, que multiple le nombre

de façons d'en prendre 2N parmi les 1NN − restantes, que multiplie le nombre de façon d'en

prendre 3N parmi les 21 NNN −− restantes, etc. Soit, en termes de combinaisons :

(1) ( )( )

( )( )

∏==

×−−−

××−−

−×

−=

×××=

−

−−−− −

i ir

r

r

N

NNN

N

NN

N

N

N

N

NNN

N

N

NNN

NNNN

NN

NNN

N

CCCW r

r

!

!

!!!

!

!0!

!

!!

!

!!

!

21

11

212

1

11

0 11

2

1

1

L

LL

LL

Remarquons que ce résultat peut être trouvé en considérant que les N! permutations des N particules doivent être divisées par celles des 1N , …, iN , …, rN particules.

Nous devons maintenant évaluer le nombre iW de façons de distribuer iN particules discernables

du domaine i parmi les ig cellules de ce domaine, sachant qu'aucune restriction n'est imposée

quant au nombre de particules par cellule. Comme chacun a ig possibilités, on a iN

ii gW = , soit

enfin :

(2) ∏∏ ==i i

N

i

i

iMBN

gNWWW

i

!!0

où l'indice MB est relatif au nom de la statistique de Maxwell-Boltzmann.

Répartition à l'équilibre

Pour déterminer la répartition à l'équilibre, nous remarquons que ∑= iNN et nous écrivons :

(3) [ ]∑∑ −+

=i

iii

i

iMB NgNNW !lnln!lnlog

En dérivant par rapport à iN et en utilisant la formule de Stirling dérivée ( ( ) nndn

dln!ln = ) on

obtient :

(4) ii

i

MB NgNN

Wlnlnln

ln−+=

∂∂

et les relations d'équilibre s'écrivent :

(5) kTN

gN i

i

i µε −=

0ln

ou encore

(6) ( ) kTiii eNgN

/0 εµ −=

Cette expression représente la répartition à l'équilibre en fonction de µ et T .

En principe, les deux équations de contrainte doivent nous permettre de déterminer les deux multiplicateurs T et µ n fonction de U et N. Ceci nous conduirait à obtenir la loi de répartition et

toutes les grandeurs thermodynamiques qui en découlent en fonction des contraintes U et N, ainsi que des paramètres externes (V, B, etc.) qui interviennent dans l'expression des énergies iε .

Cependant, en pratique, s'il est souhaitable d'éliminer le multiplicateur µ , on préfère conserver la

température T en tant que variable. De ce fait, le jeu de variables (T ,µ ) ne sera pas remplacé par

(U, N) mais par (T , N).

Pour éliminer µ , on utilise alors la relation de contrainte ∑= 0iNN qui, compte tenu de

l'expression (6), s'écrit

(7) ∑ −=i

kTii

kT egNeN// εµ

Enfin, la relation de contrainte ∑= iiNU ε0 donne l'expression de U en fonction de N , de T et des

paramètres externes. La somme

(8) ∑ −=i

kTiigZ

/ε

joue un grand rôle dans la théorie statistique de Maxwell-Boltzmann. On lui donne le nom de fonction de partition relative à une particule ou, plus brièvement, fonction de partition. Elle ne dépend que de la température et des paramètres externes. La relation (7) donne alors

(9) Ze kT /1/ =µ ou ZkT ln−=µ

et la loi de répartition (6) en statistique de Maxwell-Boltzmann s'écrit :

(10) kTiii eg

Z

NN

/0 ε−=

Le facteur 1/kT intervenant fréquemment, on introduit la notation (11) kT/1=β

qui permet de récrire la loi de répartition sous la forme

(12) iii eg

Z

NN

εβ−=0 avec ∑ −=i

iiegZ

εβ

Fonctions thermodynamique L'expression statistique de l'entropie S à l'équilibre peut être obtenue à partir de la relation de

Boltzmann . Pour la répartition d'équilibre 0iN , nous avons :

(13) ∑∑ −+==i

i

i

iiMB NgNNWkS !lnln!lnln/ 00

En utilisant la formule de Stirling réduite ( nnnn −= ln!ln ), il vient

(14) ∑−=i i

ii

g

NNNNkS

00 lnln/

La loi de répartition (10) nous fournit le rapport ii gN /0 et l'entropie s'écrit

(15) T

UZNkN

TZ

NNkNNkS

i

ii

i

i +=+−= ∑∑ ln1

lnln 00 ε

Ce résultat nous permet d'obtenir l'expression très simple de l'énergie libre : (16) ZNkTTSUF ln−=−= Comme toutes les fonctions thermodynamiques peuvent être obtenues à partir de F, cette expression montre qu'en statistique de Maxwell-Boltzmann, tout problème se ramène à la détermination de la fonction de partition Z en fonction de la température T et des variables externes telles que V, B,…

Exercices

Fonction de partition et énergie libre d'un système de spins 1/2 Déterminez la fonction de partition Z relative à une particule de spin 1/2 placée dans un champ magnétique d'induction B. En déduire l'énergie libre d'un système de N spins, puis son entropie et son aimantation sachant que (1) dBSdTdF M−−=

Solution

Le système considéré n'a que deux niveaux d'énergie Bm=+ε et Bm−=−ε de dégénérescence

1== −+ gg . La fonction de partition Z vaut donc

(2) ( ) ( ) xBmBmZ cosh2expexp =+−= ββ

avec kTBmBmx /== β . L'énergie libre a pour expression

(3) ( )xNkTZNkTF cosh2lnln −=−=

Nous en déduisons, en remarquant que ( ) TxTx B // −=∂∂ ,

(4) ( )[ ]xxxNkT

FS

B

tanhcosh2ln −=

∂∂−=

et

(5) xmNB

F

T

tanh=

∂∂−=M

V.3.4. Statistiques quantiques

Règle de symétrisation

Exemple d'un système de deux particules Le principe d'indiscernabilité des particules identiques a des conséquences importantes. Un petit rappel sera utile. Envisageons tout d'abord un système de deux particules identiques caractérisées par les indices 1 et

2 et de fonction d'onde notée ( )2,1Φ . Introduisons l'opérateur permutation 12P défini pour une

fonction d'onde ( )2,1ϕ quelconque par

(1) ( ) ( )1,22,112 ϕ=ϕ=P

Par itération, on voit que

(2) ( ) ( ) ( )2,11,2ˆ2,1ˆ12

212 ϕ=ϕ=ϕ PP

c'est-à-dire que les valeurs propres de 12P sont +1 et -1, correspondant respectivement aux

fonctions d'onde symétriques et antisymétriques dans l'échange 1 - 2. Comme les particules 1 et 2 sont indiscernables, les fonctions d'onde ( )2,1Φ et ( )1,2Φ décrivent la même réalité physique et ne

diffèrent que par un facteur de phase :

(3) ( ) ( ) ( )2,12,1ˆ1,2 12 Φ=Φ≡Φ αieP

Comme les valeurs propres de 12P sont 1± , on voit que les fonctions d'onde d'un système de 2

particules indiscernables sont nécessairement soit symétriques, soit antisymétriques relativement à l'échange des variables 1 et 2.

Bosons et fermions La discussion précédente, fondée sur le principe d'indiscernabilité, se généralise au cas de N

particules identiques en introduisant autant d'opérateurs ijP que de couples de particules. La

fonction d'onde du système doit être soit totalement symétrique, soit totalement antisymétrique relativement à l'échange d'un couple quelconque de variables i et j. Cela pourrait être une combinaison des deux, mais ce n'est pas ce qui est constaté dans la nature. Dans la nature, on constate que les particules se séparent en deux catégories : Les bosons, particules pour lesquelles la fonction d'onde est toujours symétrique. Les fermions, particules pour lesquelles la fonction d'onde est toujours antisymétrique. On montre en théorie quantique des champs que l'ensemble des bosons est identique à l'ensemble des particules de spin entier : 0, 1, … en unités h et que l'ensemble des fermions est identique à celui des particules de spin demi-entier : 1/2, 3/2, 5/2,… Parmi les fermions se classent les leptons (électrons, muons, neutrinos,…) qui ont un spin 1/2, les baryons (protons, neutrons,…), de même que toutes les particules composées d'un nombre impair de fermions comme par exemple le noyau

d'hélium 3He (2 protons + 1 neutron) ou l'atome 3He (un noyau 3He + 2 électrons). Parmi les bosons se classent les particules de jauge telles que le photon de spin 1, les bosons intermédiaires

+W , −W et 0Z , ainsi que les mésons (pi, K, …) et toutes les particules composées d'un nombre

pair de fermions comme le noyau 4He (2 protons + 2 neutrons) ou l'atome d'hélium 4He (un

noyau 4He + 2 électrons). Les baryons et les mésons sont eux-mêmes constitués de particules élémentaires de spin 1/2, les quarks, au nombre de trois pour les baryons et de deux (en fait un quark et un antiquark) pour les mésons. Enfin, on rencontre dans la théorie des phases condensées des quantum de champ qui sont du type boson tels que les phonons, rotons, magnons,…

Règle de Pauli Envisageons le cas d'un système de deux particules sans interaction. Les solutions de l'équation de

Schrödinger à une particule forment une suite ( )1ψ , ( )2ψ , …, ( )iψ , … Pour l'ensemble de ces

particules, toute fonction ( ) ( ) ( ) ( )21 ji ψψ sera à son tour solution de l'équation de Schrödinger à deux

particules (si, du moins, l'interaction entre les deux particules peut être négligée en première approximation. La prise en compte d'une telle interaction ne modifie toutefois pas le résultat, elle complique seulement la formulation). Mais, en raison de la règle de symétrisation, cette forme ne correspond pas à une réalité physique et seules conviennent les combinaisons

(4) Symétriques : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2/2121 ijji ψψψψ +

(5) Antisymétriques : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2/2121 ijji ψψψψ −

Remarquons que, dans le cas de deux fonctions d'onde identiques (i = j), on peut construire une

fonction d'onde symétrique de la forme ( ) ( ) ( ) ( )21 ii ψψ convenant pour les bosons. Par contre, il est

impossible de construire une fonction d'onde antisymétrique. En conséquence, deux fermions ne peuvent pas se trouver dans un même état quantique : ceci constitue la règle (ou principe d'exclusion) de Pauli (1925). Ce principe a permis d'interpréter le tableau périodique des éléments, ou classification de Mendeleïev, par le fait qu'il est interdit à deux électrons d'un atome de se trouver dans le même état quantique (même état orbital et même état de spin). Il a été introduit en physique statistique par E. Fermi (1926). Ces considérations entraînent des différences importantes pour les propriétés thermodynamiques des systèmes de bosons et de fermions, le dénombrement des états quantiques pour chaque espèce étant différent.

En effet, si chaque particule peut se trouver dans un quelconque des r états possibles, on peut

construire 2r fonctions d'onde à 2 particules du type ( ) ( ) ( ) ( )21 ji ψψ . Les r fonctions obtenues en

faisant i = j sont symétriques, mais les ( )12 −=− rrrr fonctions restantes n'ont aucun caractère de

symétrie. On en déduit, par combinaison linéaire, ( ) 2/1−rr fonctions symétriques et ( ) 2/1−rr

fonctions antisymétriques, d'où le nombre total de fonctions symétriques ( ) 2/1+rr supérieur au

nombre de fonctions antisymétriques. Il y a donc plus d'états possibles pour un système de bosons que pour un système de fermions. Une conséquence importante du principe d'exclusion est relative à l'énergie minimum 0U d'un

système de N particules.

Pour un système de bosons, cette énergie est N fois l'énergie minimum d'une particule. Par contre, pour un système de fermions, chaque état ne pouvant être occupé que par une seule particule, 0U

est la somme des énergies des N états de plus faible énergie. Notons que la répartition des fermions peut être interprétée comme une "répulsion quantique" entre fermions. Symétriquement, on peut considérer que les bosons subissent une "attraction quantique" qui permet d'interpréter les phénomènes d'émission stimulée, de superfluidité et de supraconductivité.

La répulsion entre fermions permet d'expliquer l'énergie cinétique moyenne considérable des électrons d'un métal. De plus, comme les états quantiques les plus bas des fermions sont tous occupés, ceux-ci se trouvent bloqués dans leur état quantique et sont alors insensibles à leurs interactions : c'est pourquoi, par exemple, les électrons d'un métal, qui forment un "gaz" très dense, peuvent cependant être traités comme des particules indépendantes.

Loi de répartition de Fermi-Dirac La statistique qui s'applique aux fermions porte le nom de Fermi-Dirac. Le calcul de la probabilité thermodynamique se fait à partir de la relation générale. Les fermions d'un gaz étant des particules indiscernables, le nombre de façon 0W de distribuer N

fermions sur les r niveaux suivant la répartition choisie 1N , …, iN , …, rN est égal à 1. Il suffit

d'en prendre 1N quelconques (puisque indiscernables), puis 2N , …, enfin rN . Cette valeur 10 =W

est très différente de celle trouvée en statistique de Maxwell-Boltzmann traitant le cas de particules indiscernables. Le nombre iW de répartitions possibles des iN particules dans les ig cellules du domaine i

s'obtient, dans le cas des fermions, en imposant à chaque cellule de contenir au plus une particule (c'est-à-dire 0 ou 1). Le schéma suivant montre l'exemple d'une répartition :

On voit que l'on doit nécessairement avoir ii gN ≤≤0 . Parmi les ig cellules, on peut en

sélectionner iN pour y placer les particules. Le nombre de façons iW de choisir iN objets parmi

ig objets distincts est :

(6) ( )!!

!

iii

iiN

igiNgN

gCW

−==

La probabilité thermodynamique pour des fermions est donc :

(7) ( )∏∏ −==

i iii

i

i

iFDNgN

gWWW

!!

!0

où l'indice FD est relatif à la statistique de Fermi-Dirac. Pour déterminer la répartition à l'équilibre, nous écrirons

(8) ( )[ ]∑ −−−=i

iiiiFD NgNgW !ln!ln!lnln

soit, à l'aide de la formule de Stirling dérivée :

(9) ( )i

ii

iii

i

FD

N

NgNgN

N

W −=−+−=

∂∂

lnlnlnln

La condition d'équilibre devient (toujours avec kT/1=β ) :

(10) ( )µεβ −=−

i

i

ii

N

Ng0

0

ln

et, en résolvant par rapport à 0iN , on obtient la loi de répartition à l'équilibre en statistique de

Fermi-Dirac

(11) ( ) 1

0

+= −µεβ i

i

ie

gN

Avant de discuter et d'appliquer cette formule, nous établirons d'abord la loi de répartition pour les bosons.

Loi de répartition de Bose-Einstein Le cas des bosons se traite de façon semblable à celui des fermions. Ainsi, nous avons aussi

10 =W , mais les expressions des iW sont différentes car les particules peuvent se trouver en

nombre quelconque dans chaque cellule. Une répartition pourra être représentée, par exemple, par le schéma suivant :

ou, dans une représentation dépouillée qui garde toute l'information :

Les iN et les 1−ig barres forment 1−+ ii gN objets que nous supposerons tout d'abord distincts.

Le nombre de façon de les ordonner est égal au nombre de permutations ( )!1−+ ii gN . On tient

compte du fait que les iN points ne sont pas distincts entre eux en divisant par le nombre de

permutations !iN et du fait que les 1−ig barres ne sont pas distinctes en divisant par le nombre de

permutations ( )!1−ig . On obtient ainsi :

(12) ( )

( )iN

igiN

ii

ii

i CgN

gNW 1!1!

!1−+=

−−+

=

La probabilité thermodynamique est donc :

(13) ( )

( )∏∏ −−+

==i ii

ii

i

iBEgN

gNWWW

!1!

!10

L'indice BE est relatif au nom de la statistique quantique de Bose-Einstein donné à la statistique applicable aux bosons. La répartition à l'équilibre s'obtient comme pour les fermions. Nous avons :

(14) ( ) ( )[ ]∑ −−−−+=i

iiiiBE gNNgW !1ln!ln!1lnln

soit, en dérivant :

(15) ( )i

ii

iii

i

BE

N

NgNNg

N

W 1lnln1ln

ln −+=−−+=

∂∂

Si l'on admet que le terme ii Ng + est très grand devant 1, ce qui sera toujours le cas par la suite,

nous avons :

(16) i

ii

i

BE

N

Ng

N

W +=

∂∂

lnln

La condition d'équilibre s'écrit alors :

(17) ( )µεβ −=+

i

i

ii

N

Ng0

0

ln

soit, en résolvant,

(18) ( ) 1

0

−= −µεβ i

i

ie

gN

Cette loi de répartition à l'équilibre, appelée loi de répartition de Bose-Einstein, a une forme semblable à celle de Fermi-Dirac, ce qui permet de traiter les deux statistiques simultanément. Nous pouvons écrire les deux lois de répartition à l'équilibre des statistiques quantiques sous la forme

(19) ( )

±= − BE

FD

e

gN

i

ii

1

0

µεβ

dans laquelle nous utiliserons le signe supérieur pour la statistique de Fermi-Dirac et le signe

inférieur pour celle de Bose-Einstein. Notons que la population 0iN du domaine i est

proportionnelle à ig qui détermine l'extension du domaine. Cela signifie que la façon dont est fait

le découpage en domaines n'intervient pas. La grandeur significative est le rapport :

(20) ( ) 1

100

±== −µεβ i

i

ii

eg

Nn

représentant le nombre moyen de particules par cellule (ou par état quantique). Nous voyons que ce nombre est une fonction décroissante de l'énergie iε

Fonctions thermodynamiques dans les statistiques qu antiques Selon la méthode des multiplicateurs de Lagrange, les paramètres T (ou β ) et µ devraient être

déterminés à partir des relations de contraintes relatives à N et U. Toutefois, comme en statistique de Maxwell-Boltzmann, on préfère garder la variable T plutôt que d'introduire U comme variable. Par ailleurs, bien qu'il soit souhaitable d'éliminer µ au profit de N, la condition

(21) ( )∑∑ ±== −

ii

i

i

ie

gNN

1

0

µεβ

ne permet pas de déterminer µ sous forme analytique. On est donc obligé de conserver la variable

µ comme intermédiaire de calcul. En résumé, nous garderons donc comme variables, les

paramètres T et µ :

T, parce que nous le préférons à l'énergie interne U µ , parce que nous ne savons pas en général l'éliminer au profit de N

La fonction énergétique la mieux adaptée à ce chois de variables est la fonction ( )VT ,,µΩ , appelée

grand potentiel, définie par (22) µNTSU −−=Ω

et dont la différentielle est : (23) PdVNdSdTd −−−=Ω µ

La détermination de la fonction Ω pour chaque système permet de déduire les expressions de l'entropie S, du nombre de particules N et de la pression P en variables T, µ , V par les relations

(24) µµ µ ,,, TVTV V

PNT

S

∂Ω∂−=

∂Ω∂−=

∂Ω∂−=

la seconde de ces équations étant l'équation implicite déterminant µ , analogue à (21) ainsi que

nous le verrons. Dans le cas où il existe des paramètres externes autres que V, tels qu'un champ

magnétique, on doit ajouter des termes de travail à Ωd , tels que MdBdW −= (ici W est le travail), ce qui conduit en plus de (24) à

(25) ( )VTB

BVTM,,

,,,µ

µ

∂Ω∂−=

Pour trouver l'expression du grand potentiel Ω dans les statistiques quantiques, nous commençons par déterminer celle de l'entropie S à partir de la relation de Boltzmann. En appliquant la formule de Stirling réduite aux expressions (8) de FDWln et (14) de BEWln , nous obtenons

(26) ∑

−−−=i i

iii

i

iiiFD

g

Ngg

N

NgNW logloglog

et

(27) ( ) ( ) ( )

( )∑

−−+

−+−+

=i i

ii

i

i

ii

iBEg

Ngg

N

NgNW

1

1ln1

1lnln

A l'approximation ii gg ≅−1 , ces deux expressions se regroupent en une seule :

(28) ∑

=

i i

ii

i

i

ii

iBE

FD

g

Ngg

N

NgNW

mm

mlnlnln

En utilisant les lois de répartition à l'équilibre (19), on trouve

(29) ( )µεβ −= i

i

ii eN

Ng0

0m

et ( )µεβ −−±=

ii

ii

eg

Ng

1

10m

et par suite

(30) ( )( )∑

±±

−== −−

i

ii

ii eg

kTNkWkS

µεβµε1loglog 0

max

Les relations de contrainte ∑= iNN et ∑= iiNU ε introduites dans ces expressions donnent

(31) ( )( )∑ −−±±−=i

ii egk

T

N

T

US

µεβµ1log

d'où l'expression finale du grand potentiel µNTSU −−=Ω :

(32) ( )( )

±=Ω ∑ −−

BE

FDegkT

i

ii

µεβ1lnm

Nous voyons sur cette expression que Ω est fonction explicite de T et de µ et que les variables

externes (V, B,…) dépendant du problème physique posé, interviennent par l'intermédiaire des iε .

Notons qu'avec cette expression de Ω , la relation

(33) ( )

( )∑ −−

−−

±±±=

∂Ω∂−=

ii

i

i

VT e

egkTN µεβ

µεββµ 1,

redonne la condition de contrainte (21).

Statistique de Maxwell-Boltzmann corrigée

Limite commune des statistiques quantiques

Lorsque la densité de population iii gNn /00 = est petite devant 1 quel que soit le domaine i, il y a

dans chaque domaine beaucoup moins de particules que de cellules et le nombre d'états microscopiques ou deux ou plusieurs particules (cas des bosons) se trouvent dans une même cellule est relativement très faible et négligeable. Presque tous les états microscopiques accessibles à un système de bosons le sont alors aussi à un système de fermions, soit BEFD WW ≅ . Cet argument

trouve sa justification quantitative en effectuant l'approximation ii gN << dans les expressions (7)

et (13) des probabilités thermodynamiques FDW et BEW . En effet, on a dans cette approximation :

(34) ( )

( ) ( )

∏∏

∏∏

=≅

+−−=

−=

i i

iN

i

i i

iii

i i

iiii

i iii

iFD

N

g

N

ggg

N

Nggg

NgN

gW

!!

!

11

!!

!

L

L

et

(35) ( )

( )( )( ) ∏∏∏ ≅

−+−+=

−−+

=i i

iN

i

i i

iiiii

i ii

iiBE

N

g

N

gNgNg

gN

gNW

!!

21

!1!

!1 L

Ceci montre que les deux expressions de W admettent, lorsque ii gN << , la même limite

(36) ∏=i i

iN

iMBc

N

gW

!

atteinte par valeur inférieure en statistique de Fermi-Dirac et par valeur supérieure en statistique de Bose-Einstein. Cette expression limite est semblable à l'expression de MBW , au facteur lié à

l'indiscernabilité !N près, d'où le nom de statistique de Maxwell-Boltzmann "corrigée" que nous donnerons à la statistique limite fondée sur l'expression (36) de W. Insistons sur le fait que les deux statistiques de Maxwell-Boltzmann dont les formalismes sont voisins s'appliquent à des systèmes complètement différents. La statistique de Maxwell-Boltzmann est utilisée pour les systèmes de

particules discernables (ou localisées) quelle que soit la densité de population iii gNn /00 = , tandis

que celle de Maxwell-Boltzmann corrigée est utilisée pour les systèmes de particules indiscernables (ou non localisées) et seulement si la densité de population est faible ( ii gN << ).

Loi de répartition et fonctions thermodynamiques La méthode générale permettant de déterminer la loi de répartition à partir de la probabilité thermodynamique peut être appliquée ici, cependant il est plus simple de chercher la limite pour

ii gN << des expressions valables dans les statistiques quantiques. En effet, puisque l'on a, en

appliquant (19) :

(37) ( ) 11

10

<<±

= −µεβ ii

i

eg

N

c'est que le dénominateur et donc l'exponentielle ( )µεβ −ie sont très grands devant 1. Les lois de répartition en statistique quantique (19) deviennent alors en statistique de Maxwell-Boltzmann corrigée :

(38) ( )µεβ −≅i

i

ie

gN 0 , soit ( )µεβ −= i

ii egN 0

De même, puisque , l'expression (32) du grand potentiel Ω se simplifie et l'on a :

(39) ( )( ) ZkTeegkTi

ii

βµµεβ −=±×≅Ω ∑ −−m

où la fonction de partition

(40) ( ) ∑ −=i

iiegBVTZ

βεK,,,

n'est fonction que de T et des paramètres externes tels que V, B,… par l'intermédiaire des iε .

La fonction grand potentiel ( )K,,, VT µΩ a été introduite en statistique quantique parce que la

variable µ ne peut pas être éliminée de façon générale. Dans le cas présent, au contraire, la relation

de contrainte ∑= 0iNN nous permet de faire cette élimination. On a en effet :

(41) ∑ == −

i

ii ZeegeN βµβεβµ

d'où l'on tire

(42) N

Ze =−βµ ou

( )N

VTZkT

K,,ln−=µ

ce qui donne l'expression de µ en variables T, N, V,…

Nous pouvons alors éliminer le potentiel µ au profit de la variable N dans la loi de répartition, soit

:

(43) iii eg

Z

NN

ε−=0

Cette loi de répartition est la même que celle obtenue en statistique de Maxwell-Boltzmann. Notons qu'à l'origine, Boltzmann ne connaissait pas le principe d'indiscernabilité des particules et a appliqué indûment la statistique de Maxwell-Boltzmann aux gaz. L'identité des deux lois de répartition lui a toutefois permis d'interpréter avec succès certains des propriétés des gaz.

Cependant, les difficultés rencontrées en ce qui concerne l'entropie ont conduit à introduire le concept d'indiscernabilité qui a permis de résoudre ces difficultés. Puisque nous pouvons éliminer la variable µ , nous utiliserons en statistique de Maxwell-

Boltzmann corrigée la fonction énergie libre dont les variables naturelles sont T, N, V, etc. Nous avons alors :

(44) µµ βµ NkTeNF +−=+Ω=

et en éliminant µ grâce à la relation (42), nous obtenons

(45)

+−= 1logN

ZNkTF

L'énergie libre F est alors exprimée en fonction uniquement des variables T, N et des paramètres externes, ces derniers par l'intermédiaire de la fonction de partition Z. Nous pouvons alors déduire de F celle de l'entropie S, de la pression P et de l'aimantation M par

(46) KKK ,,,,,,, VNTNTVN B

FM

V

FP

T

FS

∂∂−=

∂∂−=

∂∂−=

ainsi que l'expression de l'énergie interne U par la relation TSFU += . Nous voyons alors que la détermination de toute grandeur thermodynamique se ramène à celle de la fonction de partition.

Notons que la condition de validité ii gN <<0 , correspondant à un taux de population faible pour

tous les niveaux, sera vérifiée si et seulement si le taux d'occupation 00n du niveau fondamental est

faible. Choisissant ce niveau comme origine des énergies, la condition de validité de la statistique de Maxwell-Boltzmann corrigée devient :

(47) 100 <<==

Z

Nnα

Ce n'est qu'après avoir calculé la fonction de partition du système que l'on pourra vérifier que

00n=α est petit devant 1 et donc que la statistique de Maxwell-Boltzmann corrigée s'applique.

Conclusion Nous venons d'utiliser une méthode générale pour obtenir les expressions des lois de répartition et des fonctions thermodynamiques dans les différentes statistiques. Dans toutes les applications à des systèmes physiques, il faut suivre la même démarche : 1. Définition du modèle employé à l'échelle atomique. 2. Détermination des nivaux d'énergie et de leur dégénérescence. 3. Choix de la statistique. Pour cette dernière étape (voir le tableau ci-dessous), si les particules sont discernables (ou localisées), on choisit la statistique de Maxwell-Boltzmann. Dans le cas contraire (particules indiscernables), il faut appliquer la statistique de Fermi-Dirac aux fermions(spin demi-entier) et celle de Bose-Einstein aux bosons (spin entier). Dans ces deux derniers cas, et pour de faibles densités de population, il est plus simple d'appliquer la statistique limite de Maxwell-Boltzmann corrigée. Statis

tique

Probabilité

thermodynamique

Loi de répartition Fonction énergétique

Disc. MB ∏=i i

iN

iMB

N

gNW

!! ( )iii g

Z

NN βε−= exp0

( )∑ −=i

iigZ βεexp

( )( )K

K

,,ln

,,

BTZNkT

BTF

−=

FD

( )∏ −=

i iii

i

FDNgN

gW

!!

!

( ) 1exp0

+−=

µεβ i

i

i

gN

( )( )[ ]∑ −+−

=Ω

i

iigkT

VT

εµβµ

exp1ln

,,, K

Indisc

BE ( )( )∏ −

−+=

i ii

ii

BEgN

gNW

!1!

!1

( ) 1exp0

−−=

µεβ i

i

i

gN

( )( )[ ]∑ −−

=Ω

i

iigkT

VT

εµβµ

exp1log

,,, K

MBc ∏=i i

iN

iMBc

N

gW

! ( )iii g

Z

NN βε−= exp0

( )∑ −=i

iigZ βεexp

( )( )

+−

=

1,,,ln

,,,

N

VNTZNkT

VNTF

K

K

Exercices

Calcul de W pour des particules indiscernables

Evaluez la probabilité thermodynamique pour un ensemble de fermions ( FDW ) et un ensemble de

bosons ( BEW ) dans le cas où il n'y a qu'un seul domaine (r = 1) contenant 10001 =g cellules et

pour un nombre de particules 1N successivement égal à 500 et 10. Calculez également W en

statistique de Maxwell-Boltzmann corrigée pour 101 =N et comparez la valeur obtenue aux

valeurs de FDW et BEW .

Solution

Nous utiliserons les relations (7), (13) et (36) de la section V.3.4. Pour 5001 =N , on a

( ) 3011007.1!500!500/!1000 ×=×=FDW et ( ) 4141099.2!999!500/!1499 ×=×=BEW . Pour 101 =N , on

a ( ) 231062.2!990!10/!1000 ×=×=FDW et ( ) 231087.2!999!10/!1009 ×=×=BEW .

On voit que pour 101 =N ( 1/ 11 <<gN ), l'écart entre les deux statistiques est faible

( %10~/WW∆ ) contrairement au cas 5001 =N ( 5.0/ 11 =gN ). En statistique de Maxwell-

Boltzmann corrigée et pour 101 =N , on a 2310 1076.2!10/1000 ×==MBcW , valeur intermédiaire

entre les deux précédentes. Remarquons que pour 101 =N les valeurs des logarithmes de W sont

respectivement 92.53ln =FDW , 01.54ln =BEW et 97.53ln =MBcW et diffèrent seulement d'environ 310− en valeur relative.

Les factorielles, sauf 10!, ont été obtenues à l'aide d'une calculette en utilisant l'approximation de Stirling réduite.

Exercices de compréhension 1. On répartit 100 objets discernables en deux compartiments. Quelle est la probabilité

thermodynamique de la répartition la plus probable ? Quelle est la probabilité de la répartition 601 =N , 402 =N , relativement à la plus probable ?

Réponses : 301027.1 × , 0.134

V.4. Statistique de Bose-Einstein La statistique de Bose-Einstein s'applique aux systèmes de particules indiscernables de spin entier sans interaction. Cependant, lorsque la densité de population des niveaux est suffisament faible, la limite de la statistique de Maxwell-Boltzmann corrigée fournit une bonne approximation et est utilisée en raison de sa plus grande simplicité. Ceci est le cas de la plupart des gaz moléculaires. Les systèmes de bosons se classent en deux catégories : ceux qui sont formés de particules moléculaires en nombre déterminé (l'hélium, par exemple) et les systèmes de particules dont le nombre est indéterminé. Ceci est le cas d'une assemblée de photons, modèle qui permet de décrire le rayonnement électromagnétique. Pour de tels systèmes, la condition de contrainte sur le nombre total de particules n'existe pas : le multiplicateur µµ = disparaît du formalisme simplifiant par là

l'utilisation de la statistique de Bose-Einstein. Pour cette raison, nous étudierons d'abord le rayonnement électromagnétique en équilibre avec la matière, appelé rayonnement thermique. Nous considérerons ensuite le cas de gaz moléculaires de bosons ainsi que le phénomène de condensation d'Einstein qu'ils peuvent présenter. Cette condensation est un changement de phase qui a lieu non pas dans l'espace réel, mais dans l'espace des impulsions.

V.4.1. Modèle de Bose du rayonnement thermique

Introduction Dans le modèle de Bose, on quantifie le rayonnement électromagnétique contenu dans une enceinte en le décrivant comme formé d'un gaz de particules sans masse : les photons. Ces particules n'ont pas d'interaction mutuelle, ceci étant lié à la linéarité des équations de Maxwell et sont indiscernables, en raison de leur mouvement de translation. De plus, étant associées à un champ vectoriel, elles sont des bosons de spin 1 auxquels ont doit appliquer la statistique de Bose-Einstein. Enfin, lors du choc des photons avec les molécules des parois de l'enceinte, certains sont absorbés et d'autres émis : leur nombre n'est donc pas constant et, pour cette raison, la condition de

contrainte cte=∑ iN ne tient plus. Le multiplicateur de Lagrange µ disparaît donc du

formalisme. En particulier la loi de répartition à l'équilibre devient pour les photons :

(1) 1−

=i

i

ie

gN εβ

et le grand potentiel µNTSU −−=Ω s'identifie à l'énergie libre TSUF −= et vaut

(2) ( )∑ −−=≡Ωi

ii egktF

εβ1ln

Niveaux d'énergie La détermination des niveaux d'énergie des photons dans une enceinte parallélépipédique et de leur dégénérescence se traite à partir des équations de Maxwell. Si on a un boite de dimensions a, b, c, le long des trois axes x, y, z, alors une onde allant d'une paroi à l'autre ne peut avoir qu'un nombre entier de demi-longueurs d'onde. Par exemple, le long de la largeur a, les longueurs d'ondes possibles sont ma /2 où m est un nombre entier positif. Par conséquent, la fréquence est acm 2/ ce qui correspond à un photon d'énergie ahcm 2/ . On a la même chose pour les deux autres directions. On a donc trois nombres quantiques xm , ym et zm . Pour une direction quelconque et en utilisant

simplement le théorème de Pythagore, on trouve

(3) L,3,2,1,,2

2/1

2

2

2

2

2

2

,, =

++= zyx

zyx

zmymxmmmm

c

m

b

m

a

mhcε

L'intervalle entre deux niveaux d'énergie, pour une enceinte de taille macroscopique, V = 1 litre par exemple, vaut environ

(4) eV1020.6J1093.92

625

3/10−− ×=×=≅

V

hcε

Les niveaux sont très proches et on peut considérer ε comme une variable continue liée à la quantité de mouvement p du photon par la relation de dispersion :

(5) cpc == pε

Pour le dénombrement des états et l'expression des dégénérescences, on tient compte du fait que

chaque état quantique occupe dans l'espace des phases une extension 3h . La dégénérescence des niveaux de translation devient alors

(6) 3

33

h

ddg i

pr→

En plus de cette dégénérescence, nous devons tenir compte de la dégénérescence de spin du photon,

2=sg . En effet, bien qu'en règle générale une particule de spin 1 admette 312 =+J états de

spins, il en va différemment pour le photon, comme nous l'avons vu, qui ne possède que deux états de spins, correspondant aux deux états de polarisation circulaire de la lumière. Le troisième état de spin qui correspond à une polarisation longitudinale n'existe pas, en raison de la transversalité des ondes électromagnétiques. Ces propriétés nous permettent d'effectuer le calcul de l'énergie libre d'un gaz de photons, avec les correspondances

(7) 3

33

2h

ddg i

pr→ et cpi =→ εε

Fonctions thermodynamiques L'expression (2) de l'énergie libre devient

(8) ( )∫ ∫ −= pceddh

kTF β1ln

2 33

3pr

L'intégrale en r porte sur le volume de l'enceinte et vaut donc V. En passant en coordonnées sphériques pour p et en intégrant sur les variables angulaires, il vient

(9)

( )( ) ( )∫

∫∞ −

∞ −

−=

−=

0

2

33

4

0

2

3

1ln8

1ln42

dxexch

VkT

dpeph

kTVF

x

pc

π

π β

où nous avons posé cpx β= . L'intégrale numérique qui apparaît fait partie d'une famille

d'intégrales bien connues. On a en effet :

(10) ( ) ( ) ( )11

11ln

00

1 +Γ=−

=−− ∫∫∞∞ −− nne

dxx

ndxex

x

nxn ζ

La fonction gamma ( )nΓ vaut ( )!1−n si n est un entier positif et a les propriétés

(11) ( ) ( ) ( )11 −Γ−=Γ nnn , π=

Γ2

1, ( ) 11 =Γ

La fonction zêta de Riemann est définie par

(12) ( ) ∑∞

=

−=1p

npnζ , n > 1

avec ( ) 612.22/3 =ζ , ( ) 6/2 2πζ = , ( ) 341.12/5 =ζ , ( ) 202.13 =ζ , ( ) 127.12/7 =ζ et

( ) 90/4 4πζ = .

L'énergie libre s'écrit alors :

(13) 4

3VT

aF −= avec ( ) SI1057.7

15

84

48 16

33

45

33

4−×===

ch

k

ch

ka

πζπ

Nous pouvons obtenir maintenant l'entropie et la pression du gaz de photons par dérivation de F :

(14) 3

3

4aVT

T

FS

V

=

∂∂−= et 4

3

1aT

V

FP

T

=

∂∂−=

Enfin, on peut obtenir l'énergie interne U et la capacité calorifique à volume constant VC :

(15) 4aVTTSFU =+= et

(16) 34aVTT

UC

V

V =

∂∂=

Les résultats précédents appellent quelques commentaires : L'expression de l'énergie libre obtenue est une quantité extensive. Ce résultat nécessaire est dû

au terme r3d dans l'expression (7) de la dégénérescence qui, par intégration, donne naissance

au facteur volume V. La pression exercée par le gaz de photons sur les parois de l'enceinte qui le contient (pression

de radiation) ne dépend pas du volume V, mais uniquement de la température T. Il s'ensuit que P et T ne peuvent pas être considérés comme des variables d'équilibre indépendantes.

On a 3/UPV = alors que l'on a 3/2UPV = pour les gaz monoatomiques parfaits. Le résultat (17) 3/UPV = est général pour les systèmes de particules pour lesquelles la relation de dispersion est cp=ε .

La pression de radiation est extrêmement faible à température ambiante : elle vaut 11102 −×

atmosphère. Cependant, variant comme 4T , cette pression devient très importante aux

températures élevées, par exemple au centre des étoiles ( KT 710> ), pour lesquelles elle peut devenir supérieure à la pression cinétique du plasma stellaire.

Nombre de photons Bien que le nombre de photons dans l'enceinte ne soit pas fixé, nous pouvons calculer ce nombre dans l'état d'équilibre du gaz n supprimant le paramètre µ dans la loi de répartition de Bose-

Einstein, soit

(18) ∑∑ −==

ii

i

i

ie

gNN

1εβ

En passant en variables continues comme ci-dessus, on a :

(19) ( )

∫∫∞

−=

−=

0

2

3

3

33

33

1

8

1

12

xpc e

dxx

c

kT

h

V

eh

ddN

πβ

pr

L'intégrale, purement numérique, vaut ( ) 404.232 =ζ . On a donc :

(20) 33

33

3

370.08

404.2 VTk

aVT

ch

kN == π

Ce nombre de photons à l'équilibre est une fonction extensive du volume et de la température. Notons que l'entropie du gaz de photons (14) peut s'exprimer uniquement en fonction de N sous la forme NkS 602.3= . Ces résultats montrent que, lors d'une détente isotherme du gaz de photons (T = cte), le nombre volumique N / V de photons reste constant alors que, lors d'une détente adiabatique (S = cte), c'est le nombre total N de photons qui reste constant.

Exercices

Rayonnement thermique de l'univers 1. L'univers est le siège d'un rayonnement thermique dont la température actuelle est voisine de

K7.22 =T . Calculez le nombre et l'énergie volumiques, notés 2n et 2u , des photons. En

déduire l'énergie moyenne d'un photon. A quelle longueur d'onde du rayonnement correspond-elle ?

2. Selon le modèle cosmologique du Big Bang, l'univers est en expansion isentropique et son

volume varie comme 2t , t étant le temps écoulé depuis son origine.

Déterminez les expressions de T, n et u en fonction de t.

3. Calculez l'âge de l'univers lorsque le rayonnement thermique s'est "découplé" de la matière, c'est-à-dire lorsque sa température est devenue insuffisante pour ioniser notablement les atomes ( K3000~1T ). L'âge actuel étant estimé à 15 milliards d'années.

4. La densité moyenne de matière connue dans l'univers est actuellement de l'ordre de 330 cmg10 −− . Comparez la densité d'énergie de la matière à la densité d'énergie du rayonnement

à ce moment.

On donne sJ6310.6 34−=h et 18 sm1000.3 −×=c

Solution 1. Les expressions (20) et (15) de la section V.4.1 donnent

(1) 338

2

2 cm399m1099.3 −−

=

=×=

=TTV

Nn

et

(2) 31314

2

2 cmeV1051.2mJ1002.4 −−−−

=

×=×=

=TTV

Uu

L'énergie moyenne d'un photon est donc eV103.6/ 422

−×== nuε . La longueur d'onde

correspondante est cm20.0/ == ελ hc .

2. L'entropie restant constante au cours de l'expansion, le produit 3VT reste constant et donc varie

proportionnellement à 3/1−V , soit comme 3/2−t . On en déduit donc

(3) ( ) ( ) ( ) 3/8

22

2

22

3/2

22 /// −−− === ttuuttnnttTT

A l'origine de l'univers, ces nombres étaient immenses et ont décru rapidement d'où l'expression Big Bang pour décrire les premiers instants.

3. On a ( ) ans400000/ 2/3

2121 =×= −TTtt .

4. La densité de matière varie comme 1−V ( MV =ρ = constante), soit comme 2−t . On a donc

( ) 2

22 / −= ttρρ , d'où 3211 cmg104.1 −−×=ρ . La densité d'énergie de masse correspondante vaut

311321 cmeV109.7mJ13.0 −− ×==cρ alors que la densité d'énergie du rayonnement vaut au

même moment 31131 cmeV100.4mJ063.0 −− ×==u . Ces deux valeurs, au moment du

découplage, étaient très voisines. Avant cette époque ( ans105<<t ) la densité d'énergie de

matière, variant comme 2−t , était négligeable devant la densité d'énergie de rayonnement

( 3/8−∝ tu ) alors que la situation inverse prévaut actuellement.

V.4.2. Loi de Planck. Rayonnement du corps noir. Nous voici revenu aux sources des fondations de la mécanique quantique. Maintenant que nous connaissons les propriétés quantiques d'une collection de particules telles que des photons, nous sommes à même de retrouver la loi de Planck. La dérivation de celle-ci suit une formulation moderne et non celle de Planck élaborée à une époque où la mécanique quantique n'existait pas.

Etablissement de la loi de Planck Dans la section précédente, nous avons considéré le rayonnement thermique dans son ensemble sans nous préoccuper de la contribution des divers niveaux d'énergie. Nous détaillons maintenant cette contribution en calculant l'énergie interne par intervalle de fréquence. Cette grandeur présente en effet l'avantage de pouvoir être comparée à l'expérience puisque la spectroscopie permet la résolution en fréquence du rayonnement. En reprenant les expressions (1) et (7) de la section précédente, nous voyons que le nombre de

photons pr,6Nd se trouvant au point r dans le volume r

3d avec une impulsion p dans l'élément

p3d vaut :

(1) 1

2 33

3,6

−= εβe

dd

hNd

prpr avec cp=ε

Le nombre pdN de photons dans tout le volume ayant une impulsion comprise entre p et p + dp

s'obtient par intégration sur le volume ( Vd →r3 ) et sur les angles θ et φ définissant la direction

de p ( dppdddppd 223 4sin πφθθ →=p ). Ce nombre a pour expression

(2) 1

8 2

3 −=

pcpe

dpp

h

VdN β

π

En introduisant la variable fréquence ν par l'intermédiaire de la relation de Planck cph == νε , on

obtient le nombre de photons de fréquence comprise entre ν et νν d+ :

(3) 1

8 2

3 −= νβν

ννπhe

d

c

VdN

L'énergie élémentaire correspondant à cet intervalle de fréquence est donc :

(4) 1

8 3

3 −== νβνν

ννπνhe

d

c

VhNhdU

et la densité spectrale d'énergie volumique, définie par

(5) ν

νν

d

dU

Vu

1=

est égale à

(6) 1

8/

3

3 −=

kThec

hu νν

νπ

Cette expression constitue la loi de Planck pour laquelle la quantification de l'énergie et la constante h ont été introduites pour la première fois (M. Planck, 1900). On retrouve l'expression de l'énergie interne volumique U/V en intégrant la densité spectrale d'énergie volumique νu sur tout le domaine des fréquences. En faisant le changement de variable

kThhx /ννβ == , on a

(7) ∫∫∫∞∞

−=

−==

0

344

330

3

3 1

8

1

8xh e

dxxTk

che

d

c

gphdu

V

U πννν νβν

L'intégrale numérique apparaissant vaut ( ) 15/46 4πζ = , d'où

(8) 44

33

45

15

8aTT

chh

k

V

U == π

conformément au résultat déjà trouvé.

Etude de la loi de Planck La loi de Planck a unifié deux lois obtenues antérieurement. Il s'agit d'une part de la loi de Rayleigh-Jeans

(9) 2

3

8 νπν

c

kTu =

valable aux basses fréquences et limite de la loi de Planck dans l'approximation kTh <<ν . La constante de Planck disparaît dans cette loi qui représente la limite classique de la loi de Planck lorsque l'on fait tendre h vers zéro. D'autre part, Wien avait établi que la densité spectrale d'énergie suit une loi d'échelle

(10)

=

=T

gT

fTuννν

ν33

vérifiée par la loi de Planck (6) et dont il avait obtenu à fréquence élevée l'expression empirique

(11) TBeAu /3 νν ν −=

Cette loi est la limite de la loi de Planck pour kTh >>ν pour laquelle on obtient 3/8 chA π= et khB /= . Elle revient à négliger le terme 1 au dénominateur de (6), ce qui correspond à

l'approximation de la statistique de Maxwell-Boltzmann corrigée. La loi de Planck peut se mettre sous la forme suivante :

(12) 1

3

−=

xe

xy

où l'on a introduit les variables sans dimension (variables réduites)

(13) kT

hx

ν= et 33

33

8 T

u

k

chy ν

π=

ou numériquement

(14) ( )( )KT

sx

1111080.4

−−×= ν

et ( )( )33

3261079.1

KT

sJmuy ν×=

La loi de Planck peut alors être représentée par une courbe universelle indépendante de tout paramètre.

Cette courbe présente un maximum 42.1=my pour 82.2=mx .

La propriété d'invariance d'échelle de la loi de Planck permet, lorsqu'on connaît la fonction νu à

une température 1T d'obtenir son expression à toute autre température 2T à l'aide des

transformations d'échelle 12 /TTνν → et ( )312 /TTuu νν → . En particulier, l'abscisse et l'ordonnée

du maximum de la fonction νu varient comme T et 3T respectivement :

(15) ( ) ( )KTsm

101 1088.5 ×=−ν et ( ) ( )[ ]3273 1094.7 KTsJmum

−− ×=ν

Notons que l'aire limitée par la courbe νu varie en 43 TTT =× conformément à la loi (8).

Rayonnement d'un corps noir Considérons une enceinte à température T contenant le rayonnement thermique et perçons dans la paroi un orifice de faibles dimensions par laquelle s'échappe du rayonnement.

Cet orifice constitue un "corps noir". Nous allons déterminer, comme en théorie cinétique des gaz, les propriétés du rayonnement émis en définissant l'émittance radiative E (ou radiance) comme étant la quantité d'énergie rayonnée par unités de temps et de surface (c'est une densité de courant d'énergie). L'émittance spectrale νe est l'émittance par unité de fréquence.

Considérons donc d'abord les photons de fréquence comprise entre ν et νν d+ et sortant de l'enceinte pendant la durée dt par l'orifice d'aire dS dans l'angle solide Ωd autour d'une direction faisant l'angle θ avec la normale à la paroi (figure ci-dessus). Ces photons sont ceux contenus dans un cylindre oblique de base dS et de génératrice cdt , ayant la direction requise. La répartition des photons dans l'enceinte étant uniforme et isotrope, l'énergie élémentaire emportée par les photons considérés vaut

(16) π

νν4

Ω×× ddVdu

où dtcdSdV θcos×= est le volume du cylindre et π4/Ωd la fraction de photons dirigés dans

l'angle solide Ωd . L'énergie élémentaire rayonnée par l'orifice pendant la durée dt et dans l'intervalle de fréquence νd s'obtient en sommant l'expression présente sur toutes les directions permettant aux photons de sortir. Ceci fait apparaître l'intégrale

(17) πφθθθθ ==Ω ∫∫ ddd sincoscos

où l'intégration porte sur φ variant de 0 à π2 et θ variant de 0 à 2/π (les valeurs de θ allant de

2/π à π correspondent à des directions pour lesquelles les photons s'éloignent de l'orifice). D'où la valeur de l'énergie émise par l'orifice d'aire dS pendant la durée dt dans l'intervalle de fréquence νd :

(18) 4

dScdtdudSdtde ×= νν νν

En remplaçant νu par son expression (6), l'émittance spectrale νe s'écrit

(19) 1

2

4 /

3

2 −==

kThec

hu

ce ννν

νπ

L'émittance totale s'obtient par intégration sur tout le domaine de fréquences, soit

(20) V

Ucdu

cde

44=== ∫∫ νν ννE

et, en utilisant l'expression (8) de l'énergie interne d'un gaz de photons, on a

(21) 44

4TT

ac σ==E avec SIch

k 8

23

45

1067.515

2 −×== πσ

Ce résultat (loi de Stefan-Boltzmann) montre que l'émittance d'un corps noir n'est fonction que de sa température. La constante universelle 4/ac=σ est appelée constante de Stefan-Boltzmann. Cette loi est en accord remarquable avec les observations. En particulier, la valeur mesurée de σ coïncide avec sa valeur théorique (21). De même, l'émittance spectrale du corps noir obéit

parfaitement à la loi de répartition (19). La loi de Planck a en fait été vérifiée en mesurant l'émittance spectrale νe du corps noir et non la densité spectrale d'énergie volumique νu du gaz de

photons. La figure ci-dessous représente l'émittance spectrale du corps noir à plusieurs températures.

Exercices

Théorie cinétique de la pression de radiation On admet en théorie cinétique que la pression exercée par un gaz (atomique, moléculaire ou de photons) sur les parois d'une enceinte résulte des chocs des particules du gaz sur ces parois. On considère un élément dS de la paroi et les particules qui le frappent pendant la durée dt. Une particule de vitesse v frappe la paroi. Calculez l'impulsion transférée à la paroi en admettant que le choc est parfaitement élastique. Ecrire sous forme intégrale le transfert de l'impulsion dû à l'ensemble des particules frappant l'élément dS pendant la durée dt. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, en déduire la pression de radiation sur la paroi.

Solution

Chaque photon a une impulsion de module ch /ν=p . Après réflexion sur la paroi, la composante

parallèle de cette impulsion est inchangée alors que la composant normale change de signe. L'impulsion transférée à la paroi vaut donc (1) ( ) ( ) ( ) θcos2p

nfnin=−=∆ ppp

Les photons d'impulsion p dans l'élément p3d frappant l'élément dS pendant la durée dt sont

contenus dans un cylindre de volume θcoscdtdSdV = . Leur nombre obtenu à partir de pr,6Nd

((1) et (6) de la section V.4.1), vaut

(2) 1

cos2 3

3 −εβθ

e

dcdtdS

h

p

L'impulsion totale transférée à la paroi vaut donc

(3) ( ) ∫ ∫ −=

1sincos

4 32

3

3

εβφθθθe

dppdddtdS

h

cd nP

L'intégrale sur les angles dans le domaine πφ 20 <≤ et 2/0 πθ ≤≤ correspondant au demi-

espace dans lequel se trouve le gaz de photons vaut 3/2π . En introduisant la variable ν , il vient d'après (6) de la section V.4.2

(4) ( ) dtdSV

UdudtdS

e

ddtdS

c

hd

hn 3

1

3

1

13

800

3

3

3 ==−

= ∫∫∞∞

νννπννβP

La force de pression exercée sur l'élément dS s'obtient en appliquant la loi de Newton

(5) ( ) ( )dt

dd n

n

P32 =F

ce qui correspond à une pression

(6) ( )dS

dP zF

2

=

La pression de radiation est donc VUP 3/= , résultat identique à (17) de la section V.4.1 obtenu à partir des fonctions thermodynamiques.

V.4.3. Aspects expérimentaux Le spectre du rayonnement émis, donné dans la section précédente, varie en fonction de la température. Jusqu'à environ 500°C l'énergie est rayonnée presque entièrement dans le domaine infrarouge et est très faible dans le domaine visible : à l'œil, le corps noir apparaît noir au sens habituel de l'adjectif. A partir de 500°C, le rayonnement dans le domaine visible devient perceptible à l'œil et le corps noir apparaît rouge sombre (700°C), rouge cerise (900°C), orange clair (1200°C). Ces couleurs sont celles que l'on observe à travers un orifice aménagé dans un four. Notons que la fréquence mν rendant l'émittance spectrale νe maximum (la même que celle rendant

νu maximum), se trouve dans le domaine infrarouge jusqu'à environ 6000°C.

Par définition, un corps noir est un corps capable d'absorber toute l'énergie de rayonnement qui l'atteint. Ceci est le cas d'un orifice percé dans la paroi d'un four car les photons entrant par cet orifice sont réfléchis, diffusés et finalement absorbés par les parois. On réalise de façon approchée d'autres corps noirs en déposant sur une plaque du noir de fumée ou du noir de platine. Les autres corps n'absorbent qu'une fraction νa d'un rayonnement de fréquence ν qui les atteint : νa est

appelé facteur d'absorption. Lorsque ce facteur est constant dans le visible, le corps paraît gris à l'œil en lumière naturelle ( 8.0≅a pour le graphite). Lorsqu'il varie notablement dans le visible, le corps paraît coloré. Ainsi le facteur d'absorption du cuivre est plus petit du coté rouge du spectre visible ( 28.0=νa pour mµλ 6.0= et 58.0=νa pour mµλ 5.0= ). Cette variation rend compte de

la couleur rouge du cuivre. Le rayonnement des étoiles est constitué d'un spectre continu proche de celui du corps noir. Il est caractéristique de la température de la couche externe de l'étoile (photosphère) qui en détermine la "couleur" : étoiles rouges (~3000 K), étoiles bleues (~35000 K). Par ailleurs, ce spectre présente des raies d'absorption dont la position et l'intensité permettent de déterminer les éléments chimiques présents dans l'atmosphère de l'étoile ainsi que leur abondance.

Exercices

Constante solaire La température de la photosphère du Soleil est voisine de 5950 K. Calculez la puissance du rayonnement reçu par unité de surface placée en dehors de l'atmosphère terrestre perpendiculairement aux rayons du Soleil (constante solaire). L'angle sous lequel le Soleil est vu de la Terre est 23 ′=α .

Solution La puissance totale émise par le Soleil s'exprime en fonction de l'émittance E ((21) de la section V.4.2) par

(1) 422 44 TRR σππ ×== EP R étant le rayon du Soleil. La puissance reçue par une surface S placée à la distance d du Soleil est

(2) 4

2

24T

d

RS

d

Sp σ

π

=×= P

La constante solaire vaut donc

(3) 21242 cmmincal21.2mW15404

1 −−− === TS

p σα

La valeur mesurée de cette constante ( 21cmmincal0.2 −− ) est légèrement inférieure à la valeur

calculée, car le Soleil n'est pas un corps noir parfait. Notons qu'une surface au sol de 1 mètre carré reçoit environ 1000 kWh par an, soit une énergie correspondant à la chaleur de combustion de 85 kg de pétrole ou 0.085 tonne équivalent pétrole (1

tep = J1042 9× ). Il faut tenir compte en effet de l'absorption atmosphérique (environ 50), de l'inclinaison du Soleil (facteur moyen 0.5) et d'un ensoleillement d'environ 2500 heures par an. La formule ci-dessus permet de déterminer l'angle apparent α des étoiles par la mesure de leur luminosité apparente (p/S) et de leur répartition spectrale dont la position du maximum donne T. On peut en déduire leur rayon lorsqu'on connaît leur distance ou réciproquement.

V.4.4. Interaction entre matière et rayonnement

Equation du bilan détaillé Nous allons maintenant considérer l'interaction du rayonnement électromagnétique avec les atomes des parois du récipient qui le contient en nous limitant à un modèle simple ou chaque atome ne peut se trouver que dans deux états quantiques différents 1 et 2. Sous l'influence du rayonnement, les atomes sont excités dans l'état 1 à l'état 2 par absorption d'un photon de fréquence ( ) h/12 εεν −=

et, inversement, se désexcitent de l'état 2 à l'état 1 par émission d'un photon de même fréquence.

En faisant le bilan détaillé des échanges pendant la durée dt , nous pouvons écrire la loi de variation des nombres 1N et 2N d'atomes dans chaque état, soit :

(1) dtNwdtNwdNdN 22111212 −=−=

en effet, le terme 112Nw tient compte des transitions du niveau 1 vers le niveau 2 et le terme

221Nw− des transitions inverses.

L'équation du bilan détaillé est très générale et peut s'appliquer à des systèmes plus complexes que celui envisagé. Elle possède la propriété de linéarité dans la durée t et n'est pas invariante dans le changement de sens du temps ( tt −→ ) au contraire de l'équation de Newton ou de celle de Schrödinger : elle décrit donc un phénomène irréversible.

Modèle d'Einstein du rayonnement thermique A. Einstein, qui a proposé la théorie du bilan détaillé en 1917, admet que la probabilité d'absorption par unité de temps 12w d'un photon de fréquence ν par un atome st proportionnelle à la densité

spectrale de rayonnement νu , soit :

(2) νuBw 1212 =

Il admet de plus que l'émission de photons par un atome est due à deux phénomènes : Une émission spontanée dont la probabilité par unité de temps 21A est constante.

Une émission induite par le rayonnement dont la probabilité par unité de temps est proportionnelle à νu , soit νuB21 .

Au total, la probabilité d'émission d'un atome par unité de temps est alors : (3) νuBAw 212121 +=

Les coefficients 12B , 21A et 21B sont appelés coefficients d'Einstein.

L'équilibre thermique entre matière et rayonnement, explicité à partir du bilan détaillé, a permis à Einstein de retrouver la forme de la loi de Planck. En effet, à l'équilibre, 1N et 2N restent constants

et égaux à 01N et 0

2N et l'équation du bilan (1) devient :

(4) 00221

0112 =− NwNw

équation traduisant l'égalité des transitions 12 et 21. En reportant les expressions (2, 3) des probabilités w, on obtient :

(5) 1221

02

01

1221

//

/

BBNN

BAu

−=ν

Le rapport à l'équilibre 02

01 / NN du nombre d'atomes dans chacun des niveaux s'obtient par

application de la statistique de Maxwell-Boltzmann (chaque atome étant bien localisé). Il vaut

(6) ( ) νβεεβ hee

N

N== − 12

02

01

Par identification de l'expression précédente de νu avec la loi de Planck, Einstein a obtenu

(7) 2112 BB = et 3

312

21 8 νπc

h

B

A=

Ces résultats ont été confirmés ultérieurement par la théorie quantique, d'après laquelle (nous reviendrons sur cela) : Les probabilités élémentaires de deux processus inverses sont égales ( 2112 BB = ).

Les coefficients sont donnés par

(8) 2

213

34

213

64p

hcA

νπ= et 2

212

3

21123

8p

h

hBB

π==

où 2

21p est le carré de l'élément de matrice du moment dipolaire électrique de l'atome entre les

états 1 et 2. Einstein a introduit la notion d'émission induite afin de retrouver la loi de Planck. En absence d'émission induite ( 021 =B ), la densité spectrale d'énergie aurait la forme

(9) νβν

heB

Au −=

12

21

correspondant à la loi de Wien qui ne rend pas compte de l'ensemble des faits expérimentaux. L'importance relative des deux formes d'émission est donnée par le rapport

(10) 1

1

21

21

−= νβ

νheA

uB

Si kTh /ν est grand, l'émission induite est négligeable. A l'opposé, si kTh /ν est très petit, l'émission induite est prépondérante. On rencontre ainsi l'émission induite spécialement dans le domaine hertzien ( mm30≥λ ). Rappelons que l'émission induite est le phénomène de base intervenant dans les lasers. Notons de plus que, dans la théorie de la quantification du champ électromagnétique, les émissions spontanées et induites font partie d'un phénomène unique d'émission. On montre en particulier que :

(11) n

n

nan

nan

w

w 1

1

12

12

21 +=−

+=

+

où n est l'état quantique du champ électromagnétique comprenant n photons permettant la

transition 12 et a et +a sont les opérateurs d'annihilation et de création de l'oscillateur

harmonique. Nous avions déjà vu cette loi à propos du comportement des bosons. A l'équilibre, on a

(12) νβ heN

N

w

w==

02

01

12

21

d'où l'on tire

(13) 1

1

−= νβ he

n

en accord avec la loi de distribution de Bose-Einstein.

V.4.5. Gaz moléculaires parfaits de bosons

Loi de répartition Pour un gaz moléculaire composé de bosons sans interaction, la loi de répartition de Bose-Einstein est

(1) ( ) 1

1

−== −µεβ i

i

i

ieg

Nn

La condition physique 0≥in entraîne 0≥− µε i pour tout i. En particulier, si l'origine des

énergies est choisie égale à l'énergie de l'état fondamental ( 00 =ε ), ce que nous ferons dorénavant,

le potentiel chimique doit être négatif : 0≤µ . Nous discuterons plus loin de la détermination de la

valeur de µ qui ne peut pas en général se faire de façon explicite. Rappelons que lorsque 1<<in

pour tout i, la statistique de Bose-Einstein a pour limite celle de Maxwell-Boltzmann corrigée. Ceci est le cas en particulier lorsque

(2) 1>>− µβe ou kT−<<µ

Fonctions thermodynamiques en variables T, V, µ

D'après la méthode générale, nous devons déterminer le grand potentiel Ω :

(3) ( ) ( )[ ]∑ −−=Ωi

ii egkTVT

εµβµ 1ln,,

qui permet d'obtenir les propriétés thermodynamiques des gaz. Pour évaluer Ω lorsque les

molécules ne possèdent qu'un mouvement de translation ( mp 2/2=ε ), on passe en variables

continues. On obtient alors

(4) ( )[ ]∫−−=Ω εµβedd

h

kTg s 1ln33

3pr

où 12 += Jg s est la dégénérescence due au spin J des molécules.

L'intégration sur r ( Vd →r3 ) et sur les directions de p ( dppd 23 4π→p ) ainsi que le changement

de variable mpx 2/2ββε == conduit à

(5) ( ) ( )∫∞ −−=Ω0

2/3

31ln2

2dxexmkTg

h

VkT x

s

βµπ

En introduisant les notations

(6) ( ) ( ) 2/3

32, mkT

h

VgVTZ s π= et ( ) ( )∫

∞ −−−=0

1ln2

dxexf xν

πν

le grand potentiel s'écrit (7) ( ) ( ) ( )νµ fVTkTZVT ,,, −=Ω avec kT/µν =

Nous pouvons alors écrire les expressions de l'entropie S, de la pression P et du nombre N de particules, quantités liées à Ω par la relation (8) µNdPdVSdTd −−−=Ω

d'où, en tenant compte des expressions (6, 7) de Z, de ν et de ( )νf , nous tirons :

(9) ( ) ( )

′−=

∂Ω∂−= ννν

µ

ffkZT

SV 2

5

,

(10) ( )V

fV

ZkT

VP

T

Ω−==

∂Ω∂−= ν

µ,

(11) ( )νµ

fZNVT

′=

∂Ω∂−=

,

Des expressions précédentes, nous tirons également celle de l'énergie interne

(12) ( ) PVkTZfNTSU2

3

2

3 ==++Ω= νµ

que l'on peut récrire sous la forme

(13) UPV3

2=

Cette expression, déjà obtenue en statistique de Maxwell-Boltzmann corrigée est générale pour un

gaz sans interaction pour lequel l'énergie a la forme mp 2/2=ε , et ceci quelle que soit la

statistique à laquelle il obéisse. En effet, dans les diverses statistiques, l'expression de Ω garde la forme (7) et seule l'expression de la fonction ( )νf est modifiée.

Enfin, nous pouvons calculer la capacité calorifique à volume constant :

(14) ( ) ( )

∂∂′+=

∂∂=

VNVN

VT

fTZZfkT

UC

,, 2

5

2

3 ννν

Pour calculer T∂∂ /ν , nous dérivons l'expression (11) par rapport à T en maintenant N et V fixés :

(15) ( ) ( )VNT

fZfT

Z

,2

30

∂∂′′+′= ννν

en reportant T∂∂ /ν dans l'expression de VC , on trouve

(16) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

′′′

−′

=

′′′

−=νν

νν

ννν

f

f

f

fNk

f

ffkZCV

2

3

2

5

2

3

2

3

2

5

2

3 2

Description de la fonction ( )νf

On montre en analyse que la fonction ( )νf introduite en (6) prend, pour 0<ν , les formes

équivalentes suivantes :

(17) ( ) ( ) ∫∫∞

−

∞ −

−=−−=

0

2/3

0 13

41ln

2dx

e

xdxexf

x

x

νν

ππν

(18) ( ) L+++==∑∞

=2/5

3

2/5

2

12/5 32

ννν

ν

ν eee

n

ef

n

n

la figure ci-dessous représente la fonction ( )νf ainsi que ses deux premières dérivées.

Elle permet d'évaluer numériquement les fonctions thermodynamiques obtenues ci-dessus.

A la limite −∞→ν , qui correspond à la limite de Maxwell-Boltzmann corrigée, on a ( ) νν ef ≅ .

La figure ci-dessus montre que cette limite est pratiquement atteinte pour 2~ −ν . A la limite 0→ν , la fonction ( )νf prend l'expression approchée

(19) ( ) ( ) ( )4322/3 0347.0730.0612.2341.1363.2 νννννν Of +−−++−=

faisant apparaître que (20) ( ) ( )2/50 ζ=f et ( ) ( )2/30 ζ=′f

conformément à (6).

Fonctions thermodynamiques en variables T, V, N Pour substituer dans l'expression des fonctions thermodynamiques la variable N à la variable µ (ou

ν ), il faut résoudre en ν l'équation (11) :

(21) ( ) ( ) ( ) 2/3

3

2, mkTVg

Nh

VTZ

Nf

s παν =≡=′

Cette résolution peut se faire graphiquement à l'aide de la figure ci-dessus. On peut également expliciter ( )νf ′ en dérivant l'expression (18) de ( )νf , soit

(22) ( ) L+++=′= −− ννννα 32/322/3 32 eeef

pour obtenir νe en fonction de α par inversion, ce qui donne

(23) L++−= − 322/3 058.02 ααανe On en déduit l'expression du potentiel chimique

(24) [ ]L+−== − ααµ ν 2/32lnln kTekT avec ZN /=α

ainsi que celle de ( )νf :

(25) ( ) LL +−=++= −− 22/522/5 22 ααν νν eef

Ces résultats permettent d'exprimer toutes les fonctions thermodynamiques en variables T, V et N. Par exemple, l'énergie libre, fonction énergétique caractéristique des variables T, V, N, s'écrit :

(26)

( )

++

+−=

+−++Ω=

LZ

N

N

ZNkT

NkTZfNF

2/52ln1

µνµ

De même, à partir des équations (9) à (16) ou en dérivant F, on a :

(27)

+−

+=

∂∂−= L

Z

N

N

ZNk

T

FS

VN

2/7, 2

ln2

5

(28)

+−=

∂∂−= L

Z

N

V

NkT

V

FP

NT

2/5, 2

1

(29)

+−=+= LZ

NNkTTSFU

2/521

2

3

(30)

++=

∂∂= L

Z

NNk

T

UC

VN

V 2/7, 2

12

3

Dans le cas limite 1/ <<= ZNα , ces résultats rejoignent ceux obtenus en statistique de Maxwell-Boltzmann corrigée dans laquelle les effets quantiques liés à la nature des particules sont négligés. Compte tenu de l'expression (21) de α , cette limite est atteinte lorsque

(31) ( ) 2/1

3/1

2 mkT

h

N

VT π

λ ≡>>

c'est-à-dire lorsque la distance moyenne entre les particules est très supérieure à la longueur d'onde thermique Tλ du gaz. Cette quantité est appelée ainsi car elle est de l'ordre de grandeur de la

longueur d'onde ph /=λ associée à une particule de masse m et d'énergie cinétique 2/3kT .

Exercices

Pression et capacité calorifique d'un gaz de bosons

On considère un gaz parfait de bosons de spin zéro, de masse molaire 1moleg4 −=M et de

volume molaire 13molecm150 −=v à la température T = 2.1 K. Déterminez sa pression et sa

capacité calorifique molaire à volume constant d'abord par une méthode graphique utilisant la figure de la section V.4.5, ensuite par un calcul approché utilisant les développements limités (28) et (30) de la section V.4.5.

Solution Nous devons déterminer tout d'abord la valeur de α à partir de (21) de la section V.4.5 :

(1) 877.02

2/322

=

==

MRT

h

vZ

N

πα NN

En résolvant graphiquement l'équation (21) ( ) αν =′f , on lit sur la figure :

(2) ( ) ( ) 27.174.046.0 =′′=−= ννν ff

En reportant ces résultats dans les relations (10) et (16) de la section V.4.5, on obtient

(3)

( )

( )( )

11

4

moleKJ4.132

3

2

5

2

3

atm97.0Pa1082.9

−−=

′′−=

=×==

να

αν

αν

f

fRc

f

v

RTP

V

En nous limitant aux termes linéaires en ZN /=α dans les développements (28) et (30) de la section V.4.5, nous trouvons

(4)

( )( ) 11moleKJ4.1308.01

2

3

atm97.016.01atm15.1

−−=+×=

=−×=

Rc

P

V

La résolution graphique et le calcul par développement limité au premier ordre en α conduisent à des résultats identiques. On constate que la pression d'un gaz de bosons dans ces conditions est inférieure à la pression atm15.1/ == vRTP donnée par l'équation d'état des gaz parfaits résultant

de la statistique de Maxwell-Boltzmann corrigée. La nature quantique des particules (bosons) entraîne un abaissement de la pression ainsi que le ferait une interaction attractive.

V.4.6. Condensation d'Einstein

Potentiel chimique pour cαα >

Nous avons vu ci-dessus comment on peut passer des variables T, V, µ aux variables T, V, N en

utilisant la grandeur ( )VTZN ,/=α déterminée par l'état du gaz. Cependant, lorsque α dépasse la

valeur (1) ( ) 612.20 =≡ fcα

l'équation déterminant ν (ou νµ kT= )

(2) ( ) αν =f

n'a alors plus de solution. Ce résultat est contraire au sens physique car, d'une part, rien ne permet de borner la valeur de α et, d'autre part, le potentiel chimique du gaz doit avoir une valeur définie. Cette apparente contradiction a pour origine la transformation mathématique permettant de remplacer la somme discrète sur les niveaux d'énergie par la somme continue. Une telle transformation est justifiée tant que la fonction sommée a un comportement "raisonnable". Or, lorsque µ tend vers zéro, le premier terme de la somme dans le grand potentiel, égal à

( )νekT −1ln , diverge (nous prendrons dorénavant 1=sg correspondant à un spin J = 0, et nous

tiendrons compte de ce que le niveau fondamental de translation est non dégénéré, soit 10 =g ).

Ceci correspond au fait que le nombre de particules sur le niveau fondamental

(3) 1

10 −

= −νeN ( kT/µν = )

se comporte comme ν/1− lorsque −→ 0ν , c'est-à-dire qu'une fraction importante de particules occupe le niveau fondamental 00 =ε .

Il faut alors compter explicitement la contribution de ce niveau et passer à la limite continue seulement pour les autres niveaux. Nous obtenons ainsi

(4) ( ) ( )∫∞ −−+−=Ω1

33

31ln1ln

εεβνν edd

h

kTekT pr

où 1ε est l'énergie du premier niveau excité. L'intégrale peut alors être transformée comme avant.

De plus, la borne inférieure kTx /111 εβε == de cette nouvelle intégrale est extrêmement petite et

peut être prise égale à zéro. La nouvelle expression de Ω pour −→ 0ν est alors :

(5) ( ) ( )νν kTZfekT −−=Ω 1ln

et l'équation déterminant µ devient

(6) ( )νµ ν fZ

eN

VT

′+−

=

∂Ω∂−= − 1

1

,

soit encore

(7) ( ) αν ν =−

+′− 1

11

eZf

Lorsque le gaz est tel que cαα < , cette équation se ramène à la relation (2) utilisée précédemment.

En effet, à la limite thermodynamique ( ∞→N , ∞→V , NV / étant fixé), la fonction Z tend vers l'infini et, ν étant différent de zéro, le second terme du premier membre s'annule. Au contraire, lorsque ( )0fc

′=> αα , la relation (7) n'a de solution que lorsque ν tend vers zéro à

la limite thermodynamique. On a ainsi

(8) ( ) ( ) αν

=−×

+′Z

f1

0 d'où αα

ν/1

11

cN −=−

Sous cette forme, on trouve que ν s'annule à la limite thermodynamique, ce qui justifie le fait que, pour cαα > , on remplace ( )νf et ses dérivées par ( )0f , ( )0f ′ et ( )0f ′′ .

Fonctions thermodynamiques pour cαα >

Nous déterminons maintenant les fonctions thermodynamiques dans le domaine cαα > à partir de

l'énergie libre ( )NVTF ,, . Cette fonction qui s'écrit

(9) ( ) ( )[ ]ννµ ν NekTkTZfNF +−+−=+Ω= 1ln

devient à la limite thermodynamique NFN N /lim ∞→× , soit :

(10) ( ) ( ) VkTCkTZfF2/50 −=−= avec ( ) ( )

3

2/320

h

mfC

π=

De cette expression, on déduit :

(11) ( ) VkTkCT

FS

NV

2/3

, 2

5=

∂∂−=

(12) ( ) 2/5

,

kTCV

FP

NT

=

∂∂−=

(13) ( ) PVVkTCTSFU2

3

2

3 2/5 ==+=

(14) ( ) VkTkCT

UC

NV

V

2/3

, 4

15=

∂∂=

Ces relations remplacent pour cαα > celles que nous avons vues pour cαα < . Notons que ces

grandeurs s'annulent au zéro absolu, en particulier l'entropie et la capacité calorifique en accord avec le troisième principe.

Changement de phase Nous venons de voir que les grandeurs thermodynamiques possèdent deux expressions différentes suivant la valeur de ( )NVT ,,α par rapport à celle de cα . Ce fait correspond à l'existence de deux

phases différentes notées I ( cαα < ) et II ( cαα > ), dont les domaines respectifs sont séparés par la

courbe définie par

(15) ( )

612.22 2/3

3

==≡ cmkTV

Nh απ

α

Dans chacun des domaines, les fonctions thermodynamiques ont des expressions analytiques différentes. Ceci est le cas de l'équation d'état et de la capacité calorifique molaire Vc représentées

sur la figure ci-dessous.

Pour chaque valeur du volume molaire v, le changement de phase III ⇔ se produit à la température

(16) ( )3/22

2

=

vmk

hvT

c

c απN

, où N est le nombre d'Avogadro, et à la pression, donnée par (12)

(17) ( ) ( )3/52

2/3

2

341.1

==

vm

hkTCvP

c

cc απN

Dans la phase II, la pression varie comme 2/5T et est indépendante du volume du gaz. Cette propriété est analogue à celle qui existe lors de la condensation d'un gaz en liquide, d'où le nom de condensation d'Einstein (1925) donné à la transformation III. Cependant, lors de la condensation d'Einstein, il n'y a pas coexistence de deux phases séparées dans l'espace et se transformant progressivement l'une dans l'autre, mais changement des propriétés de la substance dans la transition III ⇔ . Selon la terminologie d'Ehrenfest, il s'agit d'un changement de phase d'ordre supérieur à 1, et plus précisément, d'ordre 3. En effet, ce sont les dérivés troisièmes de l'enthalpie libre µNG ≡ qui subissent des discontinuités lors de la transition (point anguleux dans la courbe

( )TcV ) alors que les dérivées d'ordre un (entropie, volume) et deux (capacité calorifique,…) restent

continues. Dans la terminologie moderne (L.D. Landau, 1937) les changements de phase d'ordre supérieur à 1 sont caractérisés par un paramètre d'ordre dont la valeur, nulle dans la phase I, stable à plus haute température, augmente progressivement de 0 à 1 dans la phase II lorsque la température s'abaisse de

cTT = jusqu'au zéro absolu. Dans la condensation d'Einstein, le rôle du paramètre d'ordre est tenu

par la fraction NN /0 des particules se trouvant sur le niveau fondamental. En effet, pour cTT >

(ou cαα < ), le potentiel chimique µ est non nul et le rapport

(18) 1

110

−×= − µβeNN

N

est nul à la limite thermodynamique. Par contre pour cTT < (ou cαα > ), le potentiel chimique

νµ kT= tend vers zéro (8) et le rapport

(19) ( ) αα

βµc

NN

N−=

−×= 1

10

prend une valeur finie non nulle que l'on peut écrire sous la forme

(20)

2/3

0 1

−=

cT

T

N

N

On voit ainsi qu'au-dessous de la température cT , le niveau fondamental est peuplé par une fraction

finie non négligeable de particules.

Sous cet aspect, la condensation d'Einstein est une condensation sur le niveau d'énergie fondamental, ou encore dans l'espace des impulsions, alors que la condensation d'un gaz en liquide se produit dans l'espace réel. On peut vérifier que le niveau fondamental est le seul à être peuplé de façon significative en

calculant la fraction NN /1 de particules sur le premier niveau excité ( eV10~ 201

−= εε pour les

niveaux d'énergie de translation typique de l'hélium dans un récipient). Pour cTT < , cette fraction

(21) ( ) 1

1

1

11

1 βεεβ N

g

eN

g

N

N≅

−=

est nulle à la limite thermodynamique et vaut environ 810− pour 23106×=N et T = 1K. Il en est de même pour les autres niveaux excités. Toutefois, le nombre total de particule sur ces niveaux

( )NVTN ,,′

(22)

2/3

0

=−=′

cT

TNNNN

représente une faction finie non négligeable des particules du gaz. Il est intéressant de noter que l'on peut récrire les fonctions thermodynamiques (10) à (14) sous la forme

(23)

kNaC

kTNaU

V

kTNaP

kNaS

kTNaF

V′=

′=

′=

′=

′−=

4

152

3

2

5

avec ( ) ( ) 513.00/0 =′= ffa . Il est remarquable que toutes ces fonctions ne dépendent que du

nombre N ′ de particules "non condensées". On peut interpréter ce résultat en notant que seules ces particules apportent une contribution à l'énergie interne et à la pression, cette contribution étant environ la moitié de ce qu'elle est pour un gaz de Maxwell-Boltzmann.

Exercices

Application de la condensation d'Einstein à l'hélium 4 A quelle température se produirait la condensation d'Einstein pour l'hélium liquide si les

interactions entre atomes étaient négligeables ? On a 1moleg4 −=M et on prendra pour masse

volumique 3cmg14.0 −=ρ .

Solution La température critique du changement de phase, donnée par (16) de la section V.4.6, vaut pour l'hélium K07.3=cT . Cette valeur est en assez bon accord avec la valeur expérimentale de la

température du changement de phase observé dans l'hélium liquide à 2.17 K. La différence provient du fait que l'on a négligé les interactions.

Exercices de compréhension 1. Vérifier, en intégrant par parties, l'égalité des deux premiers membres de (10) de la section

V.4.1. 2. On considère un gaz de "photons" à 2 dimensions contenu dans un domaine d'aire A. Montrez

que son énergie libre F et le nombre de photons à l'équilibre sont donnés par

(1) ( ) ( )322

34kT

ch

AF

πζ−=

et

(2) ( ) ( )222

24kT

ch

AN

πζ=

3. Quelle est la valeur de la pression de radiation P à T = 300 K et K106=T ? A quelle température a-t-on P = 1 atm ?

Réponses : atm100.2 11−× , 2500 atm, K104.1 5× . 4. Montrez que la loi de Planck en variable λ s'écrit

(3) 1

181/5 −

== λβλ

λ λπ

λ hce

hc

d

dU

Vu

Vérifiez que la longueur d'onde mλ rendant λu maximum ne correspond pas à la fréquence mν

rendant νu maximum.

Réponse : on a cmm 568.0=νλ et non c.

5. Montrez que dans une transformation isentropique on a 3/4PV = constante pour le rayonnement

thermique et 3/5PV = constante pour un gaz moléculaire de bosons. 6. Montrez que la courbe d'équilibre (17) de la section V.4.6 séparant les phases I et II d'un gaz de

bosons est isentropique. 7. Calculez la capacité calorifique molaire Vc d'un gaz de bosons pour cTT = . On vérifiera qu'on

obtient la même valeur pour les deux phases. Réponse : ( ) ( ) 92.104/015/ ≅′= ffRcV .

8. Montrez qu'un gaz de bosons à 2 dimensions ne présente pas de condensation d'Einstein.

V.5. L'hélium Depuis sa première liquéfaction effectuée par H. Kamerlingh-Onnes en 1908, l'hélium a ouvert un nouveau domaine de température aux investigations des physiciens. Ce domaine s'est révélé comme étant riche en phénomènes imprévus (supraconductivité, superfluidité, existence de liquide au zéro absolu) manifestant des effets quantiques à l'échelle macroscopique.

L'hélium possède deux isotopes stables : 4He (~100%) et 3He ( %103.1~ 4−× ). Le premier est constitué d'atomes du type boson et le second d'atomes du type fermion. Les propriétés particulières

de superfluidité de l'hélium 4He sont dues à sa nature quantique. En conséquence, nous discuterons principalement des propriétés de cet isotope, intimement liés à la condensation d'Einstein. Cependant, en raison des interactions entre atomes, la théorie de la condensation d'Einstein doit être reformulée, et l'introduction de la notion d'excitations élémentaires par L.D. Landau (1941) a permis de donner une interprétation des propriétés de l'hélium en dessous de 2K, y compris ses propriétés de transport.

V.5.1. Propriétés de l'hélium

Diagramme des phases

On connaît six phases de l'hélium 4He :

Trois phases solides : une phase hexagonale compacte stable à basse température, une phase cubique à faces centrées n'existant qu'à très haute pression (P > 1000 atm) et une phase cubique centrée occupant une très petite surface du plan (T, P) au voisinage de T = 1.6K et P = 28 atm.

Deux phases liquides, notées He I et He II (voir la figure (a) ci-dessous). Une phase gazeuse.

L'hélium est la seule substance qui présente une phase liquide au zéro absolu, la phase solide n'existant que pour des pressions supérieures à 25 atm. Cette propriété est liée au fait que l'hélium est la plus petite et la plus légère des molécules monoatomiques. En effet, d'une part, les moments dipolaires électriques induits et les forces de van der Waals qui en résultent sont faibles et, d'autre part, l'énergie de vibration du solide au zéro absolu est importante, de sorte que la substance ne peut exister à l'état solide que sous forte pression. La température d'ébullition normale ET et la

température critique CT particulièrement basses (voir le tableau ci-dessous) s'interprètent de même.

Notons que ces propriétés ne font pas intervenir la nature quantique des atomes d'hélium et sont, de

ce fait, communes aux deux isotopes 4He (bosons) et 3He (fermions). T (K) P (atm) ( )3−mkgρ

4He E 4.22 1 125

C 5.20 2.3 67.5 λ 2.17 2109.4 −× 146

λ ′ 1.76 30 180

3He E 3.19 1 59

C 3.32 1.15 41 L'hélium présente également la propriété remarquable de posséder plusieurs phases liquides.

L'isotope 4He existe sous une phase liquide "normale" (He I) et se transforme aux environs de 2K (ligne λ ) en une phase (He II) présentant des propriétés de "superfluidité". Ce changement de

phase III est lié à la nature quantique de l'isotope 4He (boson) et, dans le même domaine de

température, l'isotope 3He (fermion) ne devient pas superfluide. Cependant, à beaucoup plus basse

température (T~3mK), l'hélium 3He présente, en champ magnétique nul, deux phases superfluides

notées A et B. Dans ces phases, l'association d'atomes 3He équivaut en effet à des bosons. Nous ne

considérerons dans la suite que les propriétés du fluide de bosons 4He .

Changement de phase He I He II. Point lambda

L'hélium 4He liquide a joué et joue toujours le rôle de thermostat dans le domaine des basses températures. Obtenu par liquéfaction à 4.2K à pression atmosphérique, il permet d'atteindre environ 1K par réduction de sa pression de vapeur saturante (hélium pompé). De ce fait, un grand nombre de propriétés de l'hélium ont été mesurées le long de sa courbe de vaporisation. Il en est ainsi de la masse volumique ρ et de la capacité calorifique molaire sc sous pression de vapeur

saturante représentées sur la figure (b) ci-dessus. Notons que l'on a, en considérant l'entropie molaire s :

(1)

( )

sat

P

satP

P

satTPsat

s

dT

dPTvc

dT

dP

T

vTc

dT

dP

P

sT

T

sT

dT

dsTcsatc

−=

∂∂−=

∂∂+

∂∂=

=≡

α

et que dans le domaine T < 2K, on a VPs ccc ≅≅ à quelques millièmes près.

La figure (b) ci-dessus montre l'existence d'un changement brusque des propriétés de l'hélium liquide au "point lambda" de température KT 17.2=λ , appelé ainsi en raison de la similitude (avec

un peu d'imagination) de la courbe représentant sc avec la lettre λ . Ce changement manifeste de

l'existence d'une transition d'ordre supérieur à 1 entre les deux phases liquides car les dérivées premières de l'enthalpie libre G (volume et entropie) restent continues : continuité de ρ et absence

de chaleur latente pour la transformation He I He II. On n'observe effectivement pas coexistence de deux phases liquides, mais transition des propriétés du liquide. Ce phénomène critique est illustré par le fait que les dérivées secondes de G (coefficient de dilatation sα , compressibilité

adiabatique et capacité calorifique sc sur la courbe de saturation) divergent logarithmiquement au

point λ (figure ci-dessus). On a par exemple :

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )λλ

λλ

λλ

λλ

α

α

TTTTmoleKJc

TTTTmoleKJc

TTTTK

TTTTK

s

s

s

s

>−−−=

<−−=

>−+=

<−+=

−−

−−

−−

−−

log00.1260.2

log00.122.18

log688.1792.310

log684.1247.010

11

11

12

12

(il s'agit ici des logarithmes en base 10) (voir la figure ci-dessous). Les deux phases liquides He I et He II sont séparées dans le plan (T, P) par une ligne critique λλ ′ (figure (a) ci-dessus) en tout point de laquelle se produit une transition similaire. Cette ligne est limitée par les deux points triples λ et λ ′ (voir le tableau ci-dessus).

Propriétés de transport de l'hélium superfluide He II

Conduction thermique Lorsque l'on réduit par pompage la pression de l'hélium liquide à partir de 4.2 K, celui-ci se refroidit en présentant une ébullition importante dans sa masse. Au passage du point lambda, le phénomène d'ébullition cesse instantanément, le liquide devient tranquille, la vaporisation ne se produisant plus qu'en surface. Ce fait peut être interprété par l'accroissement considérable de la

conductivité thermique K dont la valeur, voisine de 114102 −−−× KcmW dans la phase I, est

multipliée dans la phase II par un facteur supérieur à 310 et, dans certaines conditions, voisin de 610 , faisant de He II le meilleur conducteur de chaleur connu.

Le coefficient de conductibilité (ou conductivité) thermique K d'une substance est défini comme le coefficient de proportionnalité de la loi de Fourier (2) TK∇−=J reliant la densité de courant de chaleur J (quantité de chaleur par unité de surface traversée et par unité de temps) au gradient de température existant dans la substance. Dans la phase I de l'hélium,

la loi de Fourier est bien vérifiée, mais elle ne l'est pas dans la phase II où le rapport TJ ∇/

dépend de nombreux facteurs (J, T∇ , aire de la surface traversée dans le tube capillaire,…). On

interprète ces phénomènes de transport de chaleur par l'existence de mouvements de convection tourbillonnaires se produisant même dans des capillaires. En d'autres termes, le transport de chaleur s'accompagne alors d'un transport de matière et est donc intimement lié au phénomène de superfluidité que nous allons discuter maintenant.

Superfluidité Le coefficient de viscosité η de l'hélium liquide se comporte de façon remarquable. Dans la phase

I, η de l'hélium liquide est déjà très faible (de l'ordre de 1165 smkg105.3poise105.3 −−−− ×=× ) par

comparaison à l'eau ( poise103.1 2−× ). De plus, contrairement aux autres liquides, cette viscosité

décroît quand la température décroît. La phase II est encore plus remarquable à ce point de vue, l'écoulement du fluide dans des tubes capillaires se faisant sans viscosité. Ce phénomène est appelé superfluidité. Pour éclairer la discussion qui va suivre, rappelons la définition et les méthodes de mesure du coefficient de viscosité η . Considérons un fluide compris entre deux plans parallèles

perpendiculaires à un axe Oz.

L'un est maintenu fixe et l'autre se déplace à vitesse constante xV parallèlement à lui-même. Les

couches fluides au contact des plans ont les mêmes vitesses que ceux-ci et, en régime permanent, la vitesse xv des couches ne dépend que de z et varie de façon linéaire ( ctezvx =∂∂ / ). Pour entretenir

le mouvement du plan mobile et maintenir fixe l'autre plan, tous deux étant soumis aux forces de viscosité, il faut leur appliquer une force tangentielle parallèle à Ox. La tension (force par unité de surface) zxτ à appliquer au plan mobile est reliée au gradient de vitesse par la loi

phénoménologique

(3) z

vxzx ∂

∂= ητ

Le coefficient de proportionnalité η s'appelle coefficient de viscosité dynamique.

Pour en mesurer la valeur, on emploie plusieurs méthodes. La plus commode consiste à mesurer le débit en volume Q du fluide à travers un tube cylindrique de rayon R et de longueur l sous une différence de pression P∆ . La loi de Poiseuille

(4) 4

8R

l

PQ

ηπ∆=

permet la détermination de η . Une autre méthode utilise le viscosimètre à rotation consistant en

deux cylindres concentriques de rayons 1R et 2R et de hauteur h, le premier tournant à la vitesse

1ω et le second fixe. La couple à exercer pour entretenir le mouvement est donné par

(5) 21

22

22

21

14RR

RRh

−=Γ πηω

formule permettant la mesure de η .

Toutes les méthodes employées donnent des résultats concordants pour le coefficient η de tous les

fluides, mais il n'en est pas de même pour He II : le coefficient déterminé par la loi de Poiseuille

apparaît inférieur à 1110− poise alors que celui obtenu par une méthode de rotation est de l'ordre de 5102 −× poise, valeur voisine de celle de l'hélium I. Le modèle des deux fluides permet d'interpréter

cette discordance d'un facteur 610 entre les valeurs trouvées et d'expliquer le phénomène de superfluidité. Le comportement de l'hélium dans l'expérience de Daunt et Mendelssohn (1939) est associé à sa superfluidité. Dans cette expérience, on commence par immerger partiellement un vase de Becher dans un bain d'hélium II (figure (a) ci-dessous).

En quelques minutes le vase, initialement vide, se remplit de liquide jusqu'à l'égalisation des niveaux. Si on soulève alors le vase (figure (b) ci-dessus), l'écoulement se fait en sens opposé. Si finalement, on sort le vase du bain d'hélium, celui-ci se met à goutter jusqu'à être vide (figure (c) ci-dessus). L'existence d'une pellicule d'hélium sur les parois du vase permet d'interpréter cette expérience. En effet, la pellicule relie de façon continue les deux niveaux et agit comme un siphon. Bien que l'épaisseur du film soit de l'ordre de 200 angströms, l'hélium étant superfluide peut s'écouler sans résistance.

Effet fontaine Lorsqu'une substance chimique est en équilibre, son potentiel chimique (enthalpie libre molaire) a la même valeur en tous les points. Si l'on fait varier localement pendant une courte durée les conditions de température et de pression, l'enthalpie libre molaire au point considéré varie selon la relation (6) vdPsdTdg +−=

Dans les liquides normaux, le retour à l'équilibre mécanique (égalité des pressions) est rapide alors que le retour à l'équilibre thermique (égalité des températures) est plus lent car il se fait par conductibilité thermique. En conséquence, le retour de g à sa valeur d'équilibre est lent. Dans l'hélium II, la très grande conductivité due à la superfluidité entraîne au contraire une égalisation instantanée des potentiels chimiques. De ce fait, une augmentation locale de température est compensée aussitôt par un accroissement de pression tel que 0=dg , soit

(7) v

s

dT

dP =

Ceci constitue l'effet thermomécanique observé pour la première fois par Allen et Jones (1938) à l'aide du dispositif schématisé sur la figure (a) ci-dessous.

Lorsqu'un courant électrique traversant une résistance accroît localement la température, l'augmentation de pression qui en résulte se manifeste par une élévation du niveau de l'hélium dans le tube. A 1.5 K, la valeur de dTdP / calculée à partir de s et de v correspond à une élévation de l'hélium de 2,0 cm par millikelvin. Cette valeur élevée permet la réalisation d'une expérience spectaculaire appelée effet fontaine.(figure (b) ci-dessus). On élève la température de l'hélium par absorption d'énergie lumineuse par la poudre d'émeri. La surpression qui en résulte produit un jet d'hélium jaillissant du tube surmontant l'ampoule. Quand le jet est élevé, l'hélium ne retombe pas car il se vaporise dans la partie supérieure, plus chaude, du cryostat.

V.5.2. Modèle de London et modèle de Tisza En 1924, Einstein découvrait qu'un gaz parfait de bosons subit à basse température un changement de phase, appelé par la suite condensation d'Einstein. Cette condensation fut regardée longtemps comme n'ayant aucune application. Ce n'est d'ailleurs que récemment des condensats de Bose-

Einstein ont pu être obtenu avec des gaz à l'aide de techniques poussées de refroidissement par laser à des températures de l'ordre du milli ou du micro-Kelvin. En 1938, F. London appliqua à l'hélium liquide le phénomène de condensation d'Einstein et suggéra que les propriétés de transport particulières de ce fluide sont liées à sa nature quantique. Il détermina la température de transition ( KTC 1.3= ) et montra que la capacité calorifique passe, à cette température, par un maximum

anguleux. L'accord avec les résultats expérimentaux était en faveur de ce modèle dans lequel cependant les interactions sont négligées. Utilisant les résultats de London, L. Tisza (1938) introduit l'hypothèse que l'hélium II est constitué d'un mélange de deux fluides : l'un, "normal", aux propriétés prolongeant celles de l'hélium I et l'autre, "superfluide", qu'il identifiait à l'ensemble des atomes condensés sur le niveau fondamental.

Dans ce modèle des deux fluides, la composante superfluide existe dans la proportion ( ) 2/3/1 CTT−

variant de 0 pour la température de transition, jusqu'à la valeur 1 pour le zéro absolu. Ce modèle donne une interprétation simple du phénomène de superfluidité. En effet, la composante superfluide ayant une énergie nulle, ne peut en dissiper dans des frottements, ce qui justifie son nom. Ceci explique le désaccord entre les mesures du coefficient de viscosité η obtenues par la

méthode de Poiseuille et celles des viscosimètres à rotation. Dans la première, la composante superfluide s'écoule librement dans le tube, alors que, dans la seconde, les cylindres frottent sur la composante normale. En d'autres termes, dans la première, on mesure

(1) normalsuper ηηη111 +=

d'où 0=η si 0=superη et, dans la seconde,

(2) normalnormalsuper ηηηη =+=

Une expérience intéressante, due à Daunt et Mendelssohn (1939), trouve une explication directe dans le modèle des deux fluides. Un récipient dont le fond est constitué d'un grand nombre de capillaires est rempli d'hélium II. Le fluide s'écoulant par les capillaires contient principalement la

composante superfluide et, en vertu de la relation ( ) 2/3

0 /1/ cTTNN −= , est plus froid que le

liquide restant dont la température, à l'opposé, s'élève. Cette expérience illustre l'effet

mécanothermique, inverse de l'effet thermomécanique étudié ci-dessus. On pourrait penser que ce phénomène puisse être utile pour l'obtention de basses températures. Cependant, la capacité calorifique de l'hélium à ces températures est trop faible pour qu'on l'utilise comme thermostat. Les modèles de London et Tisza sont aujourd'hui abandonnés au profit de la théorie de Landau. Ils ont toutefois permis de prédire et d'interpréter qualitativement un grand nombre de propriétés de l'hélium II.

V.5.3. Théorie de Landau Afin d'interpréter les propriétés de l'hélium dans sa phase superfluide He II, L. Landau (1941) proposa une théorie dans laquelle le système d'atomes d'hélium en mouvement est remplacé par un fluide ayant les propriétés de l'hélium au zéro absolu auquel se superpose un système d'excitations élémentaires. Cette méthode, semblable à la théorie des phonons dans les solides, est utilisée dans de nombreux autres domaines de la physique. Landau a proposé une forme particulière pour la relation de dispersion ( )pε de ces excitations. Des

expériences de diffraction de neutrons sur l'hélium II ont permis la détermination de cette relation (voir la figure (a) ci-dessous) qui, ainsi que l'avait prévu Landau, comporte deux domaines.

Dans le premier domaine, pour -1Å6.0/ <hp , la relation est linéaire :

(1) cp=ε

où 137.2 −= msc coïncide avec la valeur de la vitesse du son dans l'hélium II. Par analogie avec le cas des solides, on appelle ce domaine zone des phonons. Dans le second domaine, pour

-1Å1/ >hp , la relation de dispersion présente un minimum au voisinage duquel elle a une forme

parabolique suivant l'expression

(2) ( )

0

2

0

2m

pp −+∆=ε

avec Kk 65.8/ =∆ , -10 Å91.1/ =hp et Hemm 16.00 ≅ . On nomme ce domaine zone des rotons à la

suite de Landau qui l'introduisit en pensant à des excitations tourbillonnaires du liquide, explication qui, par la suite, a été abandonnée.

La théorie de Landau permet en particulier de retrouver la forme de la capacité calorifique de l'hélium II au-dessous de 2K. Pour cela, on évalue l'énergie libre F de l'hélium en ajoutant à l'énergie libre de l'hélium au zéro absolu ( 00 UF ≡ ) l'énergie libre des excitations. Ces dernières

étant en nombre indéterminé et n'ayant pas de spin, on leur applique la statistique de Bose-Einstein avec potentiel chimique nul. On a ainsi

(3) ( ) ( ) ( )[ ]∫ −+= peddh

kTVNUNVTF εβ1ln,,, 33

30 pr

Dans le but d'obtenir une expression analytique de F, il est instructif d'étudier la densité de population des niveaux d'énergie des excitations. Par application de la loi de distribution de Bose-Einstein avec 0=µ , il vient

(4) ( ) ( ) 1

13

33

3

33

,6

−==

peh

ddf

h

ddNd εβε prpr

pr

L'intégration sur r et les directions de p conduit alors à

(5) ( )επf

h

dpp

V

dNdn

p

3

24==

et la densité de population des niveaux εddn / s'obtient par le changement de variables ( )pp εε =→ . En tenant compte du fait que la fonction inverse ( )εpp = est multiforme pour

∆≥ε , il vient finalement

(6) ( ) ( )∑ ′=

i i

i

p

pf

hd

dn

εεπ

ε

2

3

4

où ( )pε ′ est la dérivée de ( )pε et ip représente une des solutions de l'équation ( )pεε = . La

densité de population des niveaux d'énergie des excitations, calculée numériquement à partir de cette formule avec la loi expérimentale ( )pε de la figure (a) ci-dessus, est représentée sur la figure

(b) ci-dessus pour T = 0.4 K et T = 1.2 K. A T = 0.4 K, on constate que seuls les niveaux des phonons sont peuplés. On s'attend donc à pouvoir appliquer les résultats du modèle de Debye à l'hélium pour KT 6.0≤ . A T = 1.2 K, au contraire, les rotons avec 0pp ≅ dominent et l'on s'attend

à l'existence d'un nouveau domaine pour KT 1≥ . Notons que la densité εddn / devient même

infinie lorsque ( )pε ′ s'annule. Toutefois, en ces points, εddn / reste intégrable et ne produit

aucune divergence des grandeurs physiques. Ainsi, à T = 0.4 K, le passage de εddn / à l'infini pour ∆=ε se passe dans une bande d'énergie si étroite qu'il contribue de façon négligeable en raison de

la petitesse de ( )∆f à cette température ( 5010~ − ). De même, la valeur infinie pour Kk 14/ ≅ε de

produit pas d'effet sensible. Cette discussion montre que les grandeurs physiques seront obtenues avec une bonne précision en partant, pour la relation de dispersion, de l'expression analytique par morceau

(7) ( )

>−+∆<

=10

2

0

1

2/ ppmpp

ppcpε

où h/1p est de l'ordre de -1Å1 . En effet, cette expression représente bien ( )pε dans les zones où

les contributions des photons, d'une part, et des rotons, d'autre part, sont importantes. Nous pouvons donc exprimer l'énergie libre (3) en distinguant les contributions des phonons phF et celle des

rotons rF :

(8) rph FFUF ++= 0

avec

(9) [ ]∫−−= 1

0

2

31ln4

ppc

ph edppVh

kTF βπ

et

(10) ( )

∫∞ −−∆−

−=

1

02/202

31ln4

p

mpp

r edppVh

kTF

ββπ

Pour les phonons, en copiant le modèle de Debye, on obtient

(11) ( ) ( )∫−−= 1

0

24

331ln

4 pcx

ph dxexkTch

VF

βπ

en remarquant que, pour T < 2 K et -11 Å1~/ hp , on a 1101 >>>cpβ , on peut pousser la borne

supérieure de l'intégrale à l'infini et il vient

(12) ( )433

5

45

4kT

ch

VFph

π−=

Pour les rotons, on a toujours ( ) 1/ >>∆> kTpβε . On peut alors effectuer un développement du

logarithme dans (10) et pousser la borne inférieure de l'intégrale à ∞− . On obtient ainsi

(13) ( )

∫∞+

∞−

∆−

−−−= dp

m

pppkTe

h

VFr

0

2

02

3 2exp

4 βπ β

L'intégrale peut se calculer en termes simples, mais en première approximation, l'intégrande étant

essentiellement non nul au voisinage de 0p , on peut y remplacer 2p par 20p et, l'intégrale de

l'exponentielle gaussienne valant ( ) 2/1

02 kTmπ , on trouve finalement

(14) ( ) ( ) kT

r ekTVpmh

F /2/320

2/1

032

4 ∆−−= ππ

La capacité calorifique molaire de l'hélium peut maintenant être calculée par dérivation de l'énergie libre molaire ( vV → ). On a (15) rVphVV ccc +=

avec

(16) 3

33

45

15

16vT

ch

kc phV

π=

et

(17) ( )

∆+

∆+

∆∆= ∆−2

/

2/32/1

03

20

4

312

4 kTkTe

kTm

h

kvpc kT

rV ππ

La courbe représentant les variations de Vc dans le modèle de Landau est indiquée dans la figure

ci-dessous.

Nous constatons que les résultats expérimentaux sont très bien reproduits et nous vérifions que les phonons dominent jusqu'à environ 0.6 K et que les rotons sont prépondérants à partir d'environ 1 K. Notons qu'au-dessous de 0.6 K, on observe la loi en 3T caractéristique de phonons. La théorie de Landau a permis d'interpréter, comme nous le verrons par la suite, un grand nombre de propriétés de l'hélium superfluide. Le fait qu'un système de bosons en interaction puisse être décrit comme un ensemble d'excitations (ou quasiparticules) indépendantes a été démontré par N.N. Bogoliubov et la forme de la relation de dispersion a été obtenue de façon satisfaisante par R.P. Feynman en considérant une assemblée de bosons en interaction dans le cadre de la mécanique quantique.

V.5.4. Superfluidité dans la théorie de Landau

Cas du zéro absolu Lorsqu'un liquide ordinaire s'écoule dans un tube, le travail des forces de viscosité au sein du fluide produit une augmentation d'énergie interne se traduisant par un échauffement. En régime permanent, un gradient de pression doit être appliqué pour maintenir le mouvement : c'est le travail des forces de pression qui produit l'accroissement de l'énergie interne. Si le fluide s'écoule librement (gradient de pression nul), le travail correspondant est nul et cet accroissement se fait au détriment de l'énergie cinétique. Dans la théorie de Landau, la viscosité s'interprète par la création d'excitations élémentaires (phonons et rotons) augmentant l'énergie interne de l'hélium et diminuant sans quantité de mouvement s'il s'écoule librement. La superfluidité provient de l'impossibilité de créer ces excitations dans certaines conditions. Considérons alors de l'hélium au zéro absolu s'écoulant à la vitesse v dans un tube capillaire fixe. Dans le référentiel se déplaçant à la vitesse v par rapport au tube, l'hélium est au repos et a pour énergie et impulsion (1) 00 UE = et 00 =P

Lorsqu'une excitation élémentaire d'impulsion p apparaît, les grandeurs précédentes s'écrivent : (2) ( )pEE ε+= 01 et pP =1

Dans le référentiel où le tube est au repos, l'énergie E ′ et l'impulsion P′ de l'hélium s'obtiennent à partir de leurs valeurs E et P ci-dessus par les transformations de Galilée :

(3) vPv ⋅++=′ 2

2

1MEE et vPP M+=′

où M est la masse totale de l'hélium. Ainsi le fluide sans excitation a pour énergie et impulsion

(4) 200

2

1vMUE +=′ et vP M=′

0

et, lorsqu'il en contient une

(5) ( ) vpv ⋅+++=′ 201

2

1MpUE ε et vpP M+=1

On peut donc considérer que dans le référentiel lié au tube, l'excitation élémentaire a pour énergie et impulsion (6) ( ) ( ) vp ⋅+=′ pp εε et pp =′

Ces relations montrent que la quantité de mouvement associée à une excitation est indépendante du référentiel considéré alors que sont énergie dépend de la vitesse v de l'hélium au zéro absolu dans le référentiel d'observation. Lorsque l'hélium s'écoule librement dans le tube, la création d'une excitation n'affecte pas la vitesse v d'écoulement de la partie constituée, dans la théorie de Landau, du fluide ayant les propriétés de l'hélium au zéro absolu. Toutefois, la quantité de mouvement totale de l'hélium diminue, c'est-à-dire 01 PP <′ . Par ailleurs, le tube étant fixé, l'énergie totale de l'hélium reste constante lors de la

création de l'excitation, soit 01 EE ′=′ . En utilisant les expressions (4) et (5) de 0E ′ et 1E ′ , on trouve que l'excitation doit vérifier (7) ( ) 0=⋅+ vppε

Comme on a toujours pv−>⋅ vp , une excitation d'impulsion p ne peut apparaître que si l'hélium

s'écoule à une vitesse v telle que

(8) ( )p

pv

ε>

Géométriquement, le rapport p/ε représente, dans le plan ( )ε,p , la pente d'une droite joignant

l'origine à un point de la courbe de dispersion. Comme cette pente a une valeur minimum notée cv

pour -1Å9.1/ ≅hp , un écoulement se produisant à une vitesse cvv < ne peut pas produire

d'excitation. En conséquence, l'hélium s'écoule sans viscosité au zéro absolu lorsque sa vitesse est inférieure à une vitesse critique cv .

Notons que la valeur critique de la vitesse d'un écoulement superfluide dans des capillaires prévue par la théorie de Landau vaut

(9) 1

10sm60

109.1

7.8 −=×

≅h

kvc

alors que la valeur critique expérimentale au zéro absolu est de l'ordre de 1 cm/s. Ce désaccord vient de ce que dans la théorie de Landau, on suppose que l'écoulement est laminaire et l'on néglige la possibilité de formes de mouvement interne (vortex).

Cas où T est différent de 0 K Lorsque l'on considère de l'hélium II à une température différente de zéro, il est équivalent dans la théorie de Landau, à de l'hélium au zéro absolu auquel se superpose un gaz d'excitations élémentaires. Les arguments développés ci-dessus pour démontrer la superfluidité de l'hélium sont encore valables au-dessus du zéro absolu : aucune nouvelle excitation ne peut être créée si cvv < .

Cependant les excitations déjà présentes vont interagir avec les parois du tube en donnant lieu à un phénomène de viscosité. Considérons alors l'hélium s'écoulant en régime permanent dans un capillaire à une vitesse inférieure à la vitesse critique. La composante "superfluide", ayant les mêmes propriétés que l'hélium à zéro kelvin, s'écoule sans viscosité à une vitesse que nous noterons sv . La composante

"normale", constituée des excitations thermiques, est visqueuse et s'écoule donc à une vitesse nv

inférieure à sv . Dans le référentiel de la composante normale, la distribution des excitations

élémentaires est régie par la loi de Bose-Einstein dans laquelle l'énergie ε d'une excitation est donnée en fonction de son impulsion p par la relation (6) ( ) vp ⋅+= pεε où

(10) ns vvv +=

est la vitesse de la composante du fluide dans ce référentiel. Si l'on calcule la quantité de mouvement associée à la composante normale

(11) ( )( )∫∫ ⋅+== vppr

ppP pr pfh

ddNd ε

3

33

,6

pour des valeurs faibles de v, on peut effectuer un développement limité de ( )εf , et il vient :

(12) ( )( )∫

⋅+=3

33

h

dd

d

dfpf

prvppP

εε

Par raison de symétrie, le premier terme de la somme conduit à une contribution nulle et le second

donne un vecteur proportionnel à v. En effectuant l'intégration sur r3d et en exprimant p en

coordonnées sphériques ( )φθ ,,p d'axe polaire parallèle à v, on obtient

(13) ∫∫ == vvP dpd

dfp

h

Vddpp

d

dfp

h

V

επφθθθ

εθ 4

3

2

3 3

4sincoscos

Il est intéressant d'introduire la notation

(14) ∫−= dpd

dfp

hn ε

πρ 4

33

4

( 0>nρ car 0/ <εddf ) qui permet d'écrire la quantité de mouvement associée à la composante

normale sous la forme (15) ( )vP −= Vnρ

où sn vvv −=− est la vitesse de cette composante normale par rapport à la composante

superfluide. Ceci montre que l'on peut associer un transport de masse au mouvement du gaz d'excitations. La quantité de mouvement totale de l'hélium II vaut alors (16) ( )vvP nstot V ρρ −=

soit, en introduisant la notation (17) ns ρρρ −=

et en utilisant (10) (18) ( )nnsstot V vvP ρρ +=

Les relations (14), (17) et (18) précisent la définition du modèle des deux composantes selon Landau. La composante normale, associée aux excitations élémentaires (phonons et rotons), se comporte comme un fluide visqueux ordinaire doté d'une masse volumique nρ (14). On attribue la

masse volumique restante sρ à la composante superfluide dont les propriétés sont celles de

l'hélium au zéro absolu. Cette séparation ne correspond à aucune division des particules du fluide

en particules superfluides et particules normales ni, a fortiori, à une division du fluide en deux phases. Le modèle des deux composantes s'est révélé très fructueux et a permis de prévoir et d'interpréter un certain nombre de propriétés de He II. Pour calculer nρ , nous considérons séparément les contributions des phonons et des rotons. La

masse volumique associé aux excitations de type phonon se calcule en intégrant par partie (14) soit, en utilisant la relation cp=ε ,

(19) [ ] ∫∞∞

−+−=

0

3

5304

53 13

16

3

4εβ

εεπεπρe

d

chf

chphn

Le terme tout intégré est nul et le changement de variable βε=x conduit à une intégrale

numérique valant 15/4π . On a finalement, pour les phonons :

(20) ( )453

5

45

16kT

chphn

πρ =

La masse volumique associée aux rotons s'obtient à partir de la relation de dispersion pour les

rotons et, en remarquant que ( ) εβε −≅ ef pour kT>>∆>ε , on a

(21) ( )

∫∞+

∞−

−−∆−≅ 02/204

33

4 mpp

rn epeh

ββπβρ

De même que précédemment, on peut remplacer 4p par 40p et on trouve

(22) 2/1

0/403

2

3

4

= ∆−

kT

mep

h

kT

rn

ππρ

La densité de la composante normale (23) rnphnn ρρρ +=

obtenue à partir de (20) et (22) est représentée par la courbe ci-dessous.

Elle suit une loi en 4T pour KT 5.0≤ où les phonons sont prépondérants et est dominée par les rotons au-dessus. La détermination expérimentale de nρ suivant deux méthodes a permis la vérification du modèle

des deux fluides. Nous décrivons ici la méthode la plus directe, due à E.L. Andronikashvili. Celui-ci a fait osciller un ensemble de disques, plongés dans l'hélium, autour de leur axe commun. Seule la composante normale est entraînée par le mouvement des disques. La mesure de la période d'oscillation permet de déterminer le moment d'inertie du fluide normal présent entre les disques et,

par suite, sa masse volumique. Cette méthode, opérationnelle pour 210/ −≥πρn (T > 1.3 K), donne

des valeurs de nρ en accord satisfaisant avec le modèle des deux fluides. Notons que l'accord

s'améliore vers 2K lorsqu'on utilise pour chaque température la valeur expérimentale exacte de ∆ .

La seconde méthode, qui permet d'explorer un domaine à plus basse température, utilise le phénomène du second son que nous décrivons ci-dessous. Les points expérimentaux se placent très exactement sur la courbe théorique. Indiquons que le coefficient de viscosité de l'hélium mesuré par la méthode du viscosimètre tournant est en fait la viscosité due à la composante normale nη . Elle est du même ordre de

grandeur que la viscosité de l'hélium I. Toutefois, pour des températures inférieures à environ 1K, la quantité de composante normale est très faible et le phénomène de viscosité ne se produit plus.

Le deuxième son Le phénomène de propagation d'ondes acoustiques dans un fluide ordinaire est bien connu. Il s'agit d'ondes longitudinales dans lesquelles la pression P et la masse volumique ρ varient à entropie S

constante et qui effectuent un transport d'énergie mécanique. La vitesse de phase (vitesse du son) de ces ondes est donnée par

(24) TSS

Pc

ρχγ

ρχρ==

∂∂= 12

où VP cc /=γ et où Sχ et Tχ sont les compressibilités adiabatique et isotherme.

Les ondes sonores se propagent aussi dans les deux phases He I et He II de l'hélium liquide avec une vitesse dont les variations avec la température sont représentées sur la figure (a) ci-dessous.

Nous signalons qu'au point lambda, la vitesse tend vers zéro en corrélation avec le fait que Sχ tend

logarithmiquement vers l'infini et que le coefficient d'absorption des ondes sonores devient également infini. Un autre phénomène de propagation d'ondes dans l'hélium He II a été prévu par L. Tisza et L . Landau sur la base des modèles des deux fluides. Il porte le nom de deuxième son. Le son ordinaire

dans l'hélium II ("premier son") est constitué d'ondes dans lesquelles les deux fluides, de masse volumique nρ et sρ , vibrent en phase, créant ainsi des variations de la densité totale à entropie

constante. Il existe également d'autres ondes propageant un "deuxième son" dans lesquelles les deux fluides, pouvant se déplacer sans frottement l'un par rapport à l'autre, vibrent en opposition de phase, de sorte que ρ soit approximativement constant. Dans ce type d'onde, les variations de nρ

(et de sρ ) induisent une oscillation importante de la température. (voir (20) et (22)). Il ne s'agit

donc pas d'ondes sonores, le transport d'énergie se faisant sous forme thermique. De ce fait, on produit le second son à l'aide d'une résistance chauffante alimentée en courant alternatif et on détecte les oscillations de la température à l'aide d'un thermomètre à résistance. Les mesures de vitesse du second son sont reproduites sur la figure (b) ci-dessus. La formule

(25) Vn

s

Mc

Tsc

222 ρ

ρ=

donnant la vitesse du deuxième son 2c et obtenue à partir de considérations d'hydrodynamique, a

permis une détermination de ns ρρ / en utilisant les valeurs expérimentales de l'entropie et de la

capacité calorifique molaire s et Vc . Les valeurs de ρρ /n qui en découlent sont en bon accord

avec la théorie de Landau. Notons que, dans le domaine où il n'y a plus que des photons (T < 0.6 K), il n'y a plus de propagation du deuxième son, car ces derniers sont pratiquement sans interaction mutuelle.

V.5.5. Rotation de l'hélium. Tourbillons quantiques

Rotation d'un liquide ordinaire Lorsqu'un récipient cylindrique contenant un liquide ordinaire tourne autour de son axe à vitesse angulaire 0ω , le liquide est mis en rotation par viscosité et, en régime permanent, tourne avec une

vitesse angulaire uniforme égale à 0ω . La vitesse v d'un élément de fluide situé en r s'écrit alors

(1) rv ×= 0ω

c'est-à-dire que le liquide tourne à la façon d'un solide. Sa surface libre a la forme parabolique sous l'action conjuguée de la pesanteur et de la force centrifuge (figure (a) ci-dessous).

Remarquons que ce mouvement vérifie la condition (2) 02rot ω=v

c'est-à-dire, en utilisant le théorème de Stokes, que la circulation du vecteur v (vorticité) sur un contour quelconque de surface projetée s vaut

(3) sdsd 02rot ωκ =⋅=⋅= ∫∫ vlv

Il existe cependant une autre solution des équations de l'hydrodynamique décrivant un mouvement permanent, avec un champ de vitesse en 1 / r de la forme

(4) rv ×= 02

2

ωr

R

R étant le rayon du récipient. Ce mouvement correspond à un tourbillon créant un trou cylindrique de rayon a dans le liquide autour de l'axe de rotation (figure (b) ci-dessus), à la manière de celui que l'on observe lors de la vidange d'un récipient. Il vérifie la condition (5) 0rot =v pour r > a (mouvement irrotationnel), ce qui entraîne que la vorticité sur un circuit n'enserrant pas l'axe est nul, alors que sur un circuit quelconque enserrant une fois l'axe, elle vaut

(6) 202 Rd πωκ =⋅= ∫ lv

Cependant, ce mouvement tourbillonnaire, désigné aussi par vortex, est plus énergétique que le précédent, et l'on observe expérimentalement le mouvement solide (1) seulement.

Expérience de rotation de l'hélium He II En publiant sa théorie, L. Landau prévoyait que, dans un récipient cylindrique en rotation, seule la composante normale de l'hélium He II tournerait en régime permanent, la composante superfluide n'étant pas entraînée. Ainsi, dans le domaine des températures inférieures à 1K, la composante normale ayant une masse volumique négligeable, on s'attendrait à observer une surface libre plane. Or, D.V. Osborne (1950) a observé une surface libre parabolique correspondant à une mise en rotation complète de l'hélium. D'autres mesures ont de même contredit la prédiction de Landau, en particulier H.E. Hall (1957) a montré que le moment cinétique de l'hélium a une valeur correspondant à la rotation de tout le liquide. Cependant, on a vérifié que d'autres propriétés sont en accord avec la théorie de Landau pour l'hélium II en rotation : spectre des excitations, vitesse du second son, effet fontaine. On pourrait rendre compte de cette contradiction en supposant l'existence d'une faible force de frottement entre les composantes normale et superfluide, mais l'ensemble des faits précédents peut être interprété par la théorie des tourbillons quantiques.

Tourbillons quantiques Ce sont L. Onsager (1954) et R.P. Feynman (1955) qui ont proposé l'explication, aujourd'hui admise, des propriétés de l'hélium II en rotation à partir d'arguments généraux de mécanique quantique sur la fonction d'onde d'un ensemble d'atomes d'hélium. Ils montrèrent que la composante superfluide de l'hélium peut présenter des tourbillons dont la vorticité κ a une valeur multiple d'un quantum élémentaire

(7) m

h=0κ

où m est la masse d'un atome d'hélium. L'introduction des tourbillons quantiques permet l'interprétation des propriétés de l'hélium II en rotation. Lorsque le cylindre est mis en rotation, il entraîne la composante normale. Au contact des parois sont alors créés progressivement dans la composante superfluide des tourbillons quantiques de vorticité 0κ et d'axe vertical. Par interaction avec les excitations élémentaires constituant la

phase normale, ceux-ci sont mis en mouvement de rotation et se rapprochent de l'axe du cylindre. Ceci explique qu'à température suffisament basse, la zone périphérique de la surface libre prend une forme parabolique alors que la zone centrale, plate, se rétrécit et disparaît lorsque le régime final est atteint. Dans ce régime, la composante superfluide contient un nombre vN de tourbillons

d'axe vertical répartis uniformément.

A partir de considérations énergétiques, H.E. Hall (1960) a montré que ces tourbillons tournent autour de l'axe du cylindre à la vitesse angulaire uniforme 0ω et que leur nombre surfacique est

00 /2 κω=vn , ce qui détermine leur rayon externe

(8) 0

0

2

1

πωκ

π=≅

vnb

Dans un tel mouvement, le champ de vitesses de la composante superfluide est alors comparable à celui de la composante normale. En effet, la vorticité totale de la composante superfluide vaut

(9) 200

2 2 RRnv πωκπκ =××=

et est égale à celle d'un liquide normal donnée par (3). Par ailleurs, la vitesse angulaire ω à la périphérie d'un tourbillon, donnée par (10) bb πωκ 20 ×=

est, compte tenu de (8), égale à 0ω . Il en résulte que, dans chaque tourbillon, les vitesses des points

de la périphérie sont celles qui existeraient dans un liquide normal. L'écart au champ de vitesse (1) n'est sensible qu'au voisinage immédiat de l'axe étant donné la répartition des vitesses dans un tourbillon. Le champ de vitesse et la forme de la surface libre sont alors ceux représentés

schématiquement sur la figure ci-dessus. Notons que, pour 10 1 −= sω , il y a environ 2000=vn

tourbillons par centimètre carré et le rayon d'un tourbillon est b = 0.1 mm. Les tourbillons quantiques, d'abord détectés par des méthodes indirectes, ont pu être visualisés, confirmant la théorie exposée ci-dessus. En particulier, on a observé que l'apparition du premier tourbillon quantique se fait au-dessus d'une vitesse de rotation seuil correspondant à la condition de quantification de la vorticité.

V.5.6. Réfrigérateur à dilution

Refroidissement par évaporation Les basses températures jusqu'à 4 K sont généralement obtenues par utilisation des gaz liquéfiés. Au-dessous de cette température, on peut gagner un ordre de grandeur en refroidissant les gaz

liquéfiés (hélium 4He ou 3He ) par évaporation. Dans cette méthode, on réduit la pression P au-dessus de l'hélium liquide en pompant la vapeur qui le surmonte. Le liquide, se vaporisant de façon continue, se refroidit en suivant la loi ( )TPP e= où

( )TPe est la pression de vapeur saturante du liquide à la température T. Comme ( )TPe varie

approximativement en ( )TA /exp − , on pompe de moins en moins de gaz à mesure que la

température décroît et la température atteinte dépend de la puissance de pompage et de l'importance

des fuites thermiques. Les pressions couramment utilisées sont de l'ordre du torr (1 torr = 1 mm de

mercure = 133 Pa) et les températures les plus basses atteintes sont 0.9 K pour 4He

( torr104 2−×=eP ) et 0.3 K pour 3He ( torr102 3−×=eP ). On peut atteindre 2 mK en utilisant les

propriétés du mélange 4He - 3He que nous décrivons ci-dessous.

Propriétés du mélange 4He - 3He

Les propriétés du mélange 4He - 3He se modifient progressivement à partir de celles de 4He à

mesure que l'on augmente la fraction molaire de 3He

(1) ( )

( ) ( )43

3

HenHen

Henx

+=

Ainsi, la température d'apparition de la superfluidité sous pression de vapeur saturante diminue lorsque x croît.

Par ailleurs, pour des températures inférieures à environ 0.8 K, le mélange peut, suivant la valeur de

x, se séparer en deux phases : il y a démixtion. La première (ligne AB) est la plus pauvre en 3He et a une fraction molaire %4.6=Bx aux plus basses températures atteintes. La seconde ligne (AC'C)

est pratiquement pure en 3He au-dessous d'environ 0.2 K. L'enthalpie molaire de chacune des deux phases au voisinage des points B et C vaut respectivement

(2) ( ) ( )[ ]21 K95moleJ ThB =− et ( ) ( )[ ]21 K13moleJ ThC =−

De ce fait, lorsque dn mole de 3He passe de la phase riche à la phase pauvre à température constante, il en résulte une variation d'enthalpie (3) ( )CB hhdndH −=

Comme Ch est inférieur à Bh , on voit que le passage d'hélium 3He de la phase riche à la phase

pauvre s'effectue avec absorption de chaleur à l'instar d'une substance passant de sa phase liquide à sa phase vapeur.

Description du réfrigérateur à dilution

L'idée de faire passer de l'hélium 3He de la phase riche à la phase pauvre pour produire des basses températures est due à H. London et al. (1960) et la réalisation des premiers réfrigérateurs à dilution date de 1965. La figure ci-dessous représente le schéma de principe de la machine thermique correspondante.

Celle-ci fonctionne en cycle fermé, le fluide circulant pouvant être assimilé à de l'hélium 3He

presque pur. Le cycle débute avec de l'hélium 3He gazeux prélevé dans l'évaporateur S à la

pression de 210− torr et à une température voisine de 1.3 K (a). Cet hélium sort du cryostat, est comprimé à température ambiante jusqu'à 20 torrs (b) par la pompe P et rentre dans le cryostat où il

est liquéfié et refroidit (c) par un bain de 4He à 1.3 K, ce bain B constituant la source chaude du

cycle. L'hélium 3He circule alors dans l'échangeur à double courant E qui abaisse sa température et

pénètre dans la chambre de mélange M à l'intérieur de la phase riche en 3He (d) qui surmonte l'autre phase. Il passe ensuite dans la phase pauvre (e) en absorbant de la chaleur, la chambre de

mélange étant ainsi la source froide du cycle. Le retour de 3He s'effectue par diffusion à travers 4He dans la deuxième branche de l'échangeur jusqu'à l'évaporateur S (f). Cette diffusion

s'effectuant en sens inverse de la pesanteur est due à l'existence dans le tube de retour d'un gradient

de concentration en 3He créant une pression osmotique. Le cycle se termine alors dans

l'évaporateur S où l'hélium 3He presque pur se vaporise. Pour un réfrigérateur fonctionnant de façon réversible, la puissance absorbée à la source froide vaut d'après (2) et (3)

(4) ( ) ( ) ( )[ ]21 Ksmole82W TnQ −= &&

Dans un réfrigérateur typique, on fait circuler 13 smole10 −−=n& de 3He . La puissance de

réfrigération est alors de l'ordre de W102 3−× à 200 mK et W102 5−× à 20 mK. Les réfrigérateurs à dilution sont actuellement d'un usage courant dans les laboratoires de basses températures. Ils couvrent le même domaine de température que les réfrigérateurs à désaimantation adiabatique électronique.

V.6. Statistique de Fermi-Dirac La statistique de Fermi-Dirac, introduite précédemment, s'applique aux systèmes de particules indiscernables de spin demi-entier (J = 1/2, 3/2,…) sans interaction. Dans le cas des gaz moléculaires, la limite de Maxwell-Boltzmann corrigée est utilisée car elle fournit une

approximation suffisante. Toutefois, l'hélium 3He (J = 1/2) existant à l'état gazeux jusqu'à très basse température (température d'ébullition normale KTE 19.3= ), on doit lui appliquer la

statistique de Fermi-Dirac. Un cas très important d'application de cette statistique est celui du gaz d'électrons : en effet, un grand nombre de propriétés physiques des métaux s'interprètent en supposant que des électrons libérés par les atomes forment un gaz de particules sans interaction. Ce modèle n'est pas irréaliste car l'expérience prouve, par exemple, que les électrons libres se déplacent sans subir de collision

sur des distances grandes devant les distances interatomiques. Le seul effet des interactions est, en première approximation, de créer un puits de potentiel et donc de conférer à chaque électron une énergie potentielle, constante dans l'espace, que nous prendrons nulle en choisissant convenablement l'origine des énergies.

V.6.1. Loi de répartition. Fonction de Fermi Nous étudierons en préambule la loi de répartition en statistique de Fermi-Dirac :

(1) ( ) 1+= −µεβ i

i

ie

gN ou ( ) 1

1

+== −µεβ i

i

i

ieg

Nn

Pour cela, considérons la fonction de Fermi, de variable ε , définie par

(2) ( ) ( ) 1

1

+= −µεβεe

n ( kT/1=β )

où T et µ sont deux paramètres.

Etudions tout d'abord cette fonction pour la valeur particulière T = 0 (pour cette valeur, µ est noté

0µ ). Dans ce cas, l'argument de l'exponentielle est infini avec un signe dépendant de celui de

0µε − . Il en résulte que si ε est inférieur à 0µ ( 0µε < ), l'exponentielle est nulle et ( )εn vaut 1.

Par contre si ε est supérieur à 0µ ( 0µε > ), l'exponentielle est infinie et ( )εn est nul. La figure (a)

ci-dessous représente la fonction de Fermi pour T = 0.

Il s'ensuit que, dans les états quantiques tels que 0µε <i , il y a autant de particules que d'états

quantiques ( ii gN = ) tandis que les états tels que 0µε >i ne sont pas peuplés ( 0=iN ). Le

principe d'exclusion de Pauli permet d'interpréter cette répartition. Au zéro absolu, le système est dans l'état d'énergie le plus bas obtenu en "remplissant" chaque état quantique avec une seule particule depuis celui de plus basse énergie jusqu'à épuisement des particules : tous les états quantiques d'énergie inférieure à 0µ sont ainsi occupés par une particule et les niveaux supérieurs

sont vides. Aux autres températures, la fonction de Fermi ( )εn se modifie comme il est indiqué dans la figure

(b) ci-dessus. Nous noterons que le point de coordonnées ( )2/1,µ est centre de symétrie de la

courbe, car

(3) ( )( )

( ) ( )µεβµεβ

µεβ

ε −−−

−

+=

+=−

ee

en

1

1

11

Ce point, où la tangente a pour pente kT4/1− , est donc également un point d'inflexion. Par ailleurs, la courbe ne s'écarte sensiblement de ses valeurs asymptotiques (1 et 0) que dans une zone de largeur de l'ordre de kT6 , car, par exemple

(4) ( ) ( ) 9.033 =+−− kTnkTn µµ

Il s'ensuit que lorsque µ<<kT , l'allure de la courbe est très proche de celle pour laquelle T = 0.

Enfin, lorsque ε est très grand devant µ ( µε >> ), l'exponentielle dans (1) et (2) est très grande,

de sortie que la limite

(4) ( ) ( )µεβε −= en ( µε >> )

semblable à la distribution de Maxwell-Boltzmann corrigée, s'applique dans ce cas.

V.6.2. Gaz parfaits de fermions

Etude générale Les fonctions thermodynamiques en variables T, V, N d'un gaz parfait de fermions s'obtiennent à partir de l'expression du grand potentiel

(1) ( ) ( )[ ]∑ −+−=Ωi

ii egkTVT

εµβµ 1ln,,

en suivant le même raisonnement que pour le gaz de bosons, c'est-à-dire en gardant µ comme

variable intermédiaire. On passe tout d'abord en variables continus par les transformations

(2) m

pi

2

2

→ε , 3

33

h

ddgg si

pr= et ∫∑ →i

où 12 += Jg s est la dégénérescence due au spin J de la particule. L'intégration sur r ( Vd →r3 ) et

sur les directions de p ( dppd 23 4π→p ) conduit à

(3) ∫∞

−+−=Ω

0

22

3 2exp1ln

4

m

pdpp

h

VkTg s µβπ

Après avoir effectué le changement de variable mpx 2/2β= et posé

(4) ( ) ( ) 2/3

32, mkT

h

VgVTZ s π=

on obtient

(5) ( ) ( )[ ]∫∞

−+−=Ω0

exp1ln2

, dxxxVTkTZ βµπ

En introduisant la fonction

(6) ( ) ( ) ∫∫∞

−

∞ −

+=+=

0

2/3

0 13

41ln

2dx

e

xdxexf

x

x

νν

ππν

représentée sur la figure ci-dessous, le grand potentiel prend la forme (7) ( ) ( ) ( )νµ fVTkTZVT ,,, −=Ω ( kT/µν = )

Ces expressions sont analogues aux expressions d'un gaz de bosons.

On obtient alors, comme pour la statistique de Bose-Einstein, les fonctions thermodynamiques en variables T, V, µ :

(8) ( ) ( )

′−=

∂Ω∂−= ννν

µ

ffkZT

SV 2

5

,

(9) ( )V

fV

ZkT

VP

T

Ω−==

∂Ω∂−= ν

µ,

(10) ( )νµ

fZNVT

′=

∂Ω∂−=

,

Nous avons également, pour l'énergie interne

(11) ( ) PVkTZfNTSU2

3

2

3 ==++Ω= νµ

expression conforme à la relation générale

(12) UPV3

2=

applicable aux gaz sans interaction pour lesquels l'énergie a la forme mp 2/2=ε . Enfin, la

capacité calorifique molaire Vc a l'expression

(13) ( )( )

( )( )

′′′

−′

=νν

νν

f

f

f

fRcV

2

3

2

5

2

3

Pour obtenir les expressions des fonctions thermodynamiques en variables T, V, N, il faut résoudre en kT/µν = la relation (10) :

(14) ( ) ( ) ( ) 2/3

3

2, mkTVg

Nh

VTZ

Nf

s παν =≡=′

Cette résolution peut se faire graphiquement à l'aide de la figure ci-dessus et permet alors d'évaluer les fonctions thermodynamiques. Nous verrons dans la suite des méthodes de résolution approchée de (14) permettant d'obtenir des expressions analytiques pour ces fonctions.

Cas des gaz moléculaires Le potentiel chimique µ des gaz moléculaires est généralement négatif. Il s'ensuit alors que, pour

ces gaz, ν est négatif et l'on peut utiliser le développement en série

(15) ( ) ( ) L++−=−= −−∞

=

−∑ νννν

ν 32/522/5

12/5

1 321 eeen

ef

n

nn ( 0<ν )

La résolution de l'équation (14) ( ) αν =′f donne alors

(16) L++= − 22/32 αανe d'où l'on tire

(17) [ ]L++= − ααµ 2/32lnkT avec ZN /=α

On peut alors éliminer µ au profit de N et obtenir l'énergie libre

(18) ( )

+−

+−=+Ω= LZ

N

N

ZNkTNNVTF

2/52log1,, µ

et en déduire par dérivation les diverses fonctions :

(19)

++

+= LZ

N

N

ZNkS

2/72ln

2

5

(20)

++= LZ

N

V

NkTP

2/521

(21)

++== LZ

NNkTPVU

2/521

2

3

2

3

(22)

+−= LZ

NRcV 2/721

2

3

Lorsque N / Z est très inférieur à 1 ( 1/ <<= ZNα ), on retrouve les résultats de la statistique de Maxwell-Boltzmann corrigée. Notons que les termes correctifs à cette dernière sont égaux et de signe opposé en statistique de Bose-Einstein. En particulier, notons que la pression d'un gaz moléculaire de fermions est supérieure à celle qui est donnée par l'équation d'état des gaz parfaits

( vRTP /= ) résultat de la statistique de Maxwell-Boltzmann corrigée. Le fait que les particules soient des fermions entraîne un accroissement de la pression ainsi que le ferait une interaction répulsive.

Etude au zéro absolu Nous nous proposons maintenant d'étudier les propriétés d'un gaz parfait de fermions au zéro absolu, en raison d'une part de la simplification des calculs et d'autre part du fait que de nombreuses propriétés électroniques des métaux varient peu entre 0 et 500 K. Nous pourrions déterminer la fonction ( )µ,,0 VT =Ω et en déduire les expressions du nombre d'électrons N, de la pression P,…

Nous n'utiliserons cependant pas cette méthode ici, donnant la préférence à une méthode plus directe.

Potentiel chimique. Energie de Fermi

Le potentiel chimique au zéro absolu 0µ peut être déterminé directement à partir de la relation de

contrainte ∑= iNN . Etant donnée la forme de la fonction de Fermi au zéro absolu, cette

condition s'écrit

(23) ∑∑∑<><

=+=000 µεµεµε i

i

i

i

i

i gNNN

En passant en variables continues (2) et en intégrant sur r et sur les directions de p, cette équation s'écrit

(24) 30

3

0

0

2

3 3

44Fs

Fp

s ph

Vgdpp

h

VgN

ππ == ∫

où l'impulsion de Fermi 0Fp est reliée à 0µ par

(25) m

pF

2

20

0 =µ

En reportant l'impulsion de Fermi déterminée par (24) dans l'expression (25) de 0µ , on a

(26)

3/1

0

4

3

=

V

N

ghp

s

F π et

3/22

04

3

2

=

V

N

gm

h

sπµ

On vérifie que le potentiel chimique 0µ , ne dépendant que de N / V, est bien une grandeur

intensive. Dans le cas du gaz parfait d'électrons libres dans les métaux (J = 1/2), la dégénérescence vaut

2=sg et le potentiel chimique, noté 0Fε et appelé énergie de Fermi au zéro absolu, s'écrit

(27) 3/223/22

0 3

8

3

8

=

=ππ

ε n

m

h

V

N

m

hF

La valeur numérique de l'énergie de Fermi des métaux peut alors être calculée à partir du nombre volumique d'électrons VNn /= . Si z est le nombre d'électrons libres par atome (z = 1 pour le cuivre par exemple), le rapport VNn /= vaut vz /N où v est le volume molaire du métal. Le

tableau ci-dessous donne la valeur de n et de 0Fε pour quelques métaux.

Métal

( )322 cm10 −

n

( )eV

0théoFε

( )SI10 3−

théoγ ( )SI10 3

exp

−

γ

mm /∗

( )KDΘ

Li 4.60 4.7 0.76 1.69 2.22 352 Na 2.54 3.2 1.12 1.38 1.23 157 K 1.32 2.1 1.74 2.11 1.21 89.4 Rb 1.08 1.8 1.98 2.52 1.27 54 Cs 0.86 1.5 2.31 3.55 1.54 40 Cu 8.46 7.0 0.50 0.693 1.39 342 Ag 5.86 5.5 0.64 0.659 1.03 228 Au 5.90 5.5 0.64 0.748 1.17 165

Propriétés thermiques de métaux monovalents. Nombre volumique d'électrons libres n = N /

V, énergie de Fermi au zéro absolu ( 0théoFε ), constante de la capacité calorifique électronique

γ (valeurs théorique et expérimentale), masse effective thermique ∗m rapportée à la masse

de l'électron m et température de Debye expérimentale au zéro absolu DΘ .

Nous retiendrons le fait que 0Fε est de l'ordre de quelques électrons-volts. Cette énergie, valeur

maximale de l'énergie cinétique des électrons, correspond à une vitesse

(28) 3/12/10

0 3

2

2

=

=

πε n

m

h

mv FF

dont la valeur numérique est de l'ordre de mille kilomètres par seconde ( 160 ms1057.1 −×=Fv pour

le cuivre).

On voit que, même au zéro absolu, les électrons sont animés de grandes vitesses, environ 410 fois plus grandes que la vitesse moyenne des molécules d'un gaz tel que l'azote à température ordinaire. Ceci est caractéristique des fermions qui obéissent au principe d'exclusion de Pauli. Remarquons que, dans l'espace des impulsions, tous les états quantiques occupés au zéro absolu

sont contenus à l'intérieur d'une sphère de rayon 0Fp , appelée sphère de Fermi. La notion de surface

de Fermi généralisant cette sphère, joue un rôle important en physique du solide.

Autres fonctions thermodynamiques Calculons l'énergie interne du gaz d'électrons libres au zéro absolu à l'aide de la relation

(29) ∑∑<

==0

0

Fi

ii

i

ii gNUεε

εε

Passant à la sommation continue, cette relation devient

(30) 3

500

0

22

305

4

2

42

h

Vp

mm

pdpp

h

VU F

Fp ππ =××= ∫

En utilisant les relations (24) et (25), nous pouvons faire apparaître explicitement N, soit

(31) 3/22

00

3

40

3

5

3

==V

NN

m

hNU F π

ε

Calculons maintenant la valeur de l'entropie au zéro absolu à l'aide de la relation de Boltzmann

WkS ln= où FDWW = est la probabilité thermodynamique en statistique de Fermi-Dirac. Dans

cette probabilité, chaque facteur

(32) ( )!!

!

iii

i

iNgN

gW

−=

vaut 1, que iN soit nul ( 0Fi εε > ) ou égal à ig ( 0

Fi εε < ). Il s'ensuit que FDW est égal à 1 et que

l'entropie est nulle : (33) 00 =S

Enfin, l'équation d'état au zéro absolu peut être retrouvée en remarquant que

(34) 00000

5

2FNNUVP εµ =+−=Ω−=

conformément à la relation générale 3/2UPV = .

Etude au-dessus du zéro absolu

Fonctions thermodynamiques

Nous avons vu que la fonction de Fermi ( )εn pour 0≠T ne diffère de celle de T = 0 que dans une

zone de quelque kT. Lorsque Fε (ou µ ) est de l'ordre quelques électrons volts

( K105~/ 4×= kT FF ε ), la représentation graphique de ( )εn pour T inférieur à 300 K ne montre

que peu de différence avec le cas T = 0 (figure ci-dessous). C'est la raison pour laquelle les propriétés électroniques des métaux varient peu dans le domaine de température de 0 à 1000 K.

Nous nous proposons de déterminer les écarts des fonctions thermodynamiques par rapport à leurs valeurs au zéro absolu calculées précédemment. Pour cela, nous nous replacerons dans le cadre général et nous utiliserons la forme limite que prend la fonction ( )νf définie en (6) lorsque

1/ >>= kTµν ,

(35) ( ) ( )18

51

15

82

22/5 >>

++= ν

νπν

πν Lf

obtenue à partir du développement asymptotique des intégrales, dites de Sommerfeld :

(36) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) L+′+=+ ∫∫

∞

− µφπεεφεεφ µ

µεβ2

2

00 61kTdd

e

En reportant la forme limite (35) dans les expressions générales, on obtient :

(37) L+= 2/12/3

3

2 νπ kZS

(38)

++== L

2

22/5

8

51

5

4

2

3

νπν

πkTZPVU

(39) ( )

++=′= L

2

22/3

81

3

4

νπν

πνf

Z

N

Cette dernière relation entre kT/µν = et ( )TVZN ,/=α nous permet d'éliminer la variable ν au

profit de N. En résolvant (39) par approximations successives, on obtient à l'ordre zéro :

(40) ( )kTZ

N

mkT

h

Z

N F

03/223/2

0 3

84

3 επ

πν =

=

=

où 0Fε est l'énergie de Fermi au zéro absolu (27) obtenue directement précédemment. A l'ordre

suivant, on obtient

(41) ( )( )

−=

20

20

121

νπνν

d'où l'on déduit l'expression de l'énergie de Fermi νµε kTF =≡ :

(42)

+

−= L

2

0

20

121

F

FF

kT

επεε avec

3/220 3

8

=V

N

m

hF π

ε

En utilisant l'expression (41) de ν , on peut alors écrire les fonctions thermodynamiques (37) et (38) en variables T, V, N sous la forme :

(43)

+

+== L

2

0

20

12

51

5

3

2

3

F

F

kTNPVU

επε

(44) L+=0

2

2F

kTNkS

επ

et en déduire l'expression de la capacité calorifique molaire à volume constant

(45) TkT

RcF

V γε

π ==0

2

2

On vérifie sur les expressions (42) à (44) que lorsque 0FkT ε<< , ce qui est le cas pour les solides

métalliques, les fonctions thermodynamiques telles que Fε , U et S diffèrent très peu de leurs

valeurs au zéro absolu. Nous constatons également que la capacité calorifique molaire Vc , nulle au zéro absolu, varie

linéairement avec la température.

Applications aux métaux

Pour les métaux, l'énergie de Fermi est de l'ordre de 5 eV et la capacité calorifique Vc des électrons

libres vaut environ 0.05 R à température ordinaire (T = 300 K) et est donc masquée par la capacité calorifique du réseau voisine de 3 R. En revanche, à basse température ( K5≤T ), sa valeur devient

supérieure à celle du réseau qui varie alors comme 3T (figure (a) ci-dessous).

La capacité calorifique totale du métal est alors de la forme

(46) 3aTTcV += γ

La forme de cette loi (figure (b) ci-dessus) est remarquablement bien vérifiée expérimentalement. Le tableau précédent présente pour quelques métaux les valeurs des coefficients γ théoriques (45) et expérimentaux ainsi que celles des températures de Debye DΘ reliées au coefficient a par

34 5/12 DRa Θ= π . La différence entre les valeurs théoriques et expérimentales de γ est due aux approximations faites dans le modèle du gaz d'électrons libres dans les métaux. On tient compte de

cette différence en attribuant aux électrons une "masse effective thermique" ∗m telle que le modèle du gaz d'électrons redonne la valeur observée de γ . Cette masse est donc définie par

(47) ( )

( )théorique

alexpériment

γγ=

∗

m

m

Application à l'hélium 3He

La figure ci-dessous représente la capacité calorifique de l'hélium 3He liquide pour T < 0.3 K à une

pression P = 0.12 atm ( 13molecm37 −≅v ).

Elle présente, pour mK50≤T , une partie linéaire telle que RTcV 9.2≅ (on a eV103.4 40 −×=Fε et

K0.5/0 == kT FF ε ). La valeur théorique de γ ainsi obtenue (1.0 R) diffère de la valeur expérimentale (2.9 R), ce qui s'explique par la présence d'interactions. On peut, comme dans le cas des métaux, tenir compte de ces interactions en introduisant une masse effective thermique des

atomes d'hélium 3He : mm 9.2=∗ . Substituant ∗m à m dans l'expression (27) de 0Fε , on obtient

une énergie de Fermi effective eV105.1 4−∗ ×=Fε correspondant à une température

KkT FF 7.1/ == ∗∗ ε . On vérifie que le domaine de température où la loi linéaire est valable est bien

tel que ∗<< FTT .

Gaz parfait d'électrons avec une densité d'états qu elconque Nous avons étudié jusqu'alors des gaz parfaits de fermions libres pour lesquels la relation de

dispersion est mp 2/2=ε . Dans le cas des électrons de conduction des métaux, ceux-ci peuvent

encore être considérés comme étant sans interactions mutuelles, mais leur interaction avec le réseau a pour effet de modifier la relation de dispersion. Nous allons donc considérer le cas général d'une relation de dispersion quelconque ( )pεε = . Il est alors préférable d'utiliser la variable ε au lieu de p et donc d'introduire la densité d'états ( )εg .

Le nombre d'états électroniques d'énergie inférieure à une valeur donnée ε a pour expression

(48) ( )( ) ( )∫∫ <<

==εεεε

εpp

ppr 3

33

33 22d

h

V

h

ddG

où l'intégration sur p a lieu à l'intérieur de la surface ( ) εε =p . La densité d'états d'énergie a alors

pour expression

(49) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )∫ −=

′=−+=

pp εεδ

εε

εεεε

3

3

2d

h

V

Gd

GdGg

Dans le cas particulier d'électrons libres, cette densité d'états vaut

(50) ( ) ( ) 2/12/3

3

22

32

4

24

2 επεδπε mh

V

m

pdpp

h

Vg =

−= ∫

La densité de population électronique s'écrit alors

(51) ( )

( )[ ] ( ) ( )εεεεβ

εε

gng

d

dN

F

=+−

=1exp

La forme de la fonction de Fermi a les conséquences suivantes :

Au zéro absolu, tous les états électroniques sont occupés au-dessous de 0Fε . On a alors

(52) ( )

><

=0

0

pour0

pour

F

Fg

d

dN

εεεεε

ε

l'énergie de Fermi au zéro absolu étant déterminée par

(53) ( ) ( )00

0 F

FGdgN εεε

ε== ∫

A une température quelconque ( kT F /0ε<< ), la densité de population a une forme très voisine

de celle du zéro absolu (figure ci-dessus). Les fonctions thermodynamiques s'obtiennent à partir du grand potentiel

(54) ( ) ( )[ ] ( )( )∫∫ +−

−=−+−=Ω1exp

exp1lnF

F

dGdgkT

εεβεεεεεβε

dont la seconde expression a été obtenue en intégrant par parties. En utilisant le développement asymptotique (36) de Sommerfeld, ce potentiel devient

(55) ( ) ( ) ( ) ( ) L+−−=Ω ∫ F

F

F gkTdGVT επεεεε 2

2

0 6,,

On déduit de cette expression les égalités suivantes :

(56)

( ) ( ) ( )

( ) L

L

+=

∂Ω∂−=

+′+=

∂Ω∂−=

F

FV

FF

VTF

TgkT

S

gkTGN

επ

επεε

ε

22

,

22

,

3

6

La première de ces relations, écrite au zéro absolu, redonne (53) et, en développant ( )FG ε sous la

forme ( ) ( ) ( )000FFFF gG εεεε −+ , permet de trouver le potentiel chimique

(57) ( )( ) ( ) L+′

−=≡ 2

0

020

6kT

g

g

F

FFF ε

επεεµ

La seconde relation, écrite à la même approximation

(58) ( )022

3FTgkS επ=

permet d'obtenir la capacité calorifique

(59) ( ) TTgkT

STC F

NV

V γεπ ==

∂∂= 02

2

, 3

qui suit une loi linéaire en T comme en (45). Les expressions ci-dessus, valables pour une densité d'états quelconque, redonnent les résultats déjà obtenus pour un gaz d'électrons libres pour lequel

(60) ( ) ( )0

2/102/3

3

0

2

32

4

F

FF

Nm

h

Vg

εεπε ==

compte tenu de l'expression (27) de 0Fε .

Exercices

Pression et capacité calorifique d'un gaz de fermions En utilisant la figure de la section V.6.2, déterminez par une méthode graphique la pression P et la capacité calorifique molaire Vc d'un gaz parfait de fermions de spin J = 1/2, de masse molaire

1moleg3 −=M et de volume molaire 13molecm113 −=v , à la température T = 3.19 K. Comparez

aux valeurs données par les développements (20), (22) de la section V.6.2.

Solution La valeur numérique de α est

(1) 478.022

2/322

=

==

MRT

h

vZ

N

οα NN

Par résolution graphique de l'équation (14) de la section V.6.2, ( ) 478.0==′ ανf , on trouve

57.0−=ν et l'on obtient par lecture ( ) 52.0=νf et ( ) 41.0=′′ νf . En reportant dans les expressions

exactes (9) et (13) de la section V.6.2, on obtient atm09.1Pa101.1 5 =×=P et

11moleKJ1.1297.02

3 −−=×= RcV , tandis qu'en se limitant aux termes explicités dans

l'approximation faite en (20) et (22) de la section V.6.2, on a : ( ) atm08.108.01atm1 =+=P et

( ) 11moleKJ9.1104.012

3 −−=−×= RcV

Compressibilité isotherme d'un gaz d'électrons libres

Calculez ( ) ( )TT PVV ∂∂×−= //1χ pour un gaz d'électrons libres au zéro absolu. Le potassium de

nombre volumique d'électrons 328 m1032.1/ −×=VN a une compressibilité isotherme au zéro

absolu 1100 Pa1073.2 −−×=Tχ . Comparez cette valeur à celle donnée par le modèle et commentez.

Solution La pression d'un gaz d'électrons au zéro absolu s'écrit

(2) 3/53/22

00

3

205

2

==V

N

m

h

V

NP F π

ε

d'où

(3) 3/53/22

0 3

12

=−V

N

m

h

dV

dPV

π

La compressibilité isotherme du gaz d'électrons libres vaut donc

(4) 3/53/2

20

0

3

121

=−=N

V

h

m

dP

dV

VT

πχ

On voit que le gaz d'électrons est d'autant moins compressible qu'il est plus dense. Appliquant cette

expression au potassium, on obtient 1100 Pa105.3 −−×=Tχ . Cette compressibilité est légèrement

supérieure à la valeur expérimentale, car on n'a pas tenu compte de la cohésion due au réseau cristallin.

Energie interne d'un gaz d'électrons

Déterminez l'énergie interne d'un gaz d'électrons à partir de la relation ∑= iiNU ε en utilisant,

pour une densité d'états quelconque, le développement de Sommerfeld. Retrouvez alors l'expression (59) de la section V.6.2 de la capacité calorifique VC .

Solution L'énergie interne s'écrit

(5) ( ) ( ) ( )( )∫∫ +−

=×=∞

1exp0F

dgdgnU

εεβεεεεεεε

A l'approximation de Sommerfeld, on a :

(6) ( ) ( ) ( )[ ] L++= =∫ F

Fg

d

dkTdgU εε

εεε

επεεε 2

2

0 6

En développant au voisinage de 0Fε , on obtient

(7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] L+′++−+= ∫0002

2000

0

0 6FFFFFFF

FggkTgdgU εεεπεεεεεεε

ε

et, en introduisant l'expression (57) de la section V.6.2 de Fε , il vient

(8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )022

002

20

0 66FF

FgkTUgkTdgU επεπεεε

ε+=+= ∫

Le terme 0U est l'énergie au zéro absolu, ainsi qu'on le reconnaît sous sa forme intégrale. De plus

0UU − varie comme 2T ce qui redonne la capacité calorifique linéaire en T déjà trouvée.

V.6.3. Propriétés des gaz de fermions en champ magn étique Nous abordons maintenant les propriétés de l'aimantation d'un gaz parfait de fermions. Les

comparaisons avec l'expérience portent sur l'hélium 3He et sur les électrons de conduction des métaux, cas dans lesquels les particules ont un spin J = 1/2 et un rapport gyromagnétique g = 2. Les propriétés magnétiques des gaz de fermions ont deux origines : L'orientation des moments magnétiques de spin (paramagnétisme de Pauli, 1926). La modification des trajectoires dans le cas des particules chargées (diamagnétisme de Landau

si kTBB <<µ , effet de Haas-van Alphen si BkT Bµ<< ).

Paramagnétisme de Pauli Lorsqu'une particule de spin J = 1/2 pour laquelle g = 2 est placée dans un champ magnétique d'induction B, elle acquiert une énergie magnétique

(1) BBg BB µµε ±=±=±2

1

où le signe ± décrit l'état de spin (parallèle ou antiparallèle à B). Cette énergie s'ajoute à l'énergie cinétique que nous continuerons à noter iε . Les fonctions thermodynamiques sont alors la somme

des deux termes, l'un relatif aux particules de spin parallèle au champ et d'énergie BBi µε + et

l'autre à celles de spin antiparallèle d'énergie BBi µε − (la dégénérescence de spin est ainsi levée).

En particulier, le grand potentiel s'écrit −+ Ω+Ω=Ω et l'on obtient le moment magnétique total de

la substance par dérivation, soit

(2) µ,,VTB

∂Ω∂−=M

la variable µ devant être éliminée au profit de N pour la comparaison expérimentale.

Etude du zéro absolu Nous commençons par l'étude à T = 0 K en raison de la simplicité de la méthode. A cette température, tous les niveaux d'énergie inférieure à l'énergie de Fermi Fε sont remplis, les niveaux

supérieurs étant vides. La condition de contrainte ∑= iNN s'écrit alors

(3) ∑∑

∑∑

+<−<

<−<+

+=

+=

BBFi

i

BBFi

i

FBBi

i

FBBi

i

gg

ggN

µεεµεε

εµεεµε

expression faisant apparaître une sommation pour chaque état de spin.

En introduisant les notations

(4) ( )[ ] ( )

+

−==±

Lmm

2

2/12/1

8

1

2122

F

B

F

BFBFF

BBmBmp

εµ

εµεµε

la sommation en notations continues donne

(5)

( )( )

+

+=

+= −+

L

2

2/52/3

3

33

3

8

312

3

8

3

4

F

BF

FF

Bm

h

V

pph

VN

εµεπ

π

pour FBB εµ << , les termes en 2B sont négligeables et, de ce fait, l'énergie de Fermi Fε est

toujours donnée par son expression en champ nul 0Fε . Nous voyons ainsi (figure ci-dessus) que

l'application d'un champ magnétique provoque un réajustement des populations tel que 0Fε reste

inchangé.

On peut ensuite obtenir le moment magnétique M de la substance, à partir de la relation

∑= iiN µM , en procédant comme pour N (3), soit

(6) ( ) ∑∑+<−<

×+−×=BBFi

Bi

BBFi

Bi ggµεεµεε

µµ00

M

Le passage aux notations continues donne, comme en (5)

(7)

( )( )

+=

+−= −+

L2/102/3

3

33

3

2

32

3

8

3

4

FBB

FFB

Bmh

V

pph

V

εµµπ

µπM

En utilisant la formule donnant 0Fε pour introduire la variable extensive N au lieu de V (ou en

faisant le rapport de (7) à (5)), le moment magnétique du gaz de fermions libres prend la forme

(8) 0

2

0 2

3

2

3

F

B

F

BB

BN

BN

εµ

εµµ ==M

On constante que M est proportionnel à B, ce qui indique l'existence d'un paramagnétisme lié à l'orientation des moments magnétiques des particules. Ce phénomène, interprété dans le cadre de la statistique de Fermi-Dirac, est appelé paramagnétisme de Pauli pour le différencier du paramagnétisme lié aux ions des métaux de transition et discuté dans le cadre de la statistique de Maxwell-Boltzmann (modèle de Brillouin). La susceptibilité magnétique de Pauli

(9) 0

2

00

2

3

F

B

V

N

BV εµµµχ == M

est beaucoup plus faible que celle obtenue, en champ faible, avec le modèle de Brillouin puisque

l'on a 0FkT ε<< .

On peut retrouver la valeur du moment magnétique M en considérant la figure précédente. L'apparition du moment magnétique provient du retournement des spins des électrons occupant les

états d'énergie voisins du niveau de Fermi (zone hachurée de droite) et dont le nombre est

( ) Bg BF µε ×2/0 (aire de la zone). On a alors

(10) ( ) ( ) BgBg BFBBF

200 22

1 µεµµε =×=M

relation équivalente à la relation précédente (8), compte tenu de la forme de la densité d'états d'un gaz de fermions libres. Notons que l'expression (10) est valable pour une densité quelconque. La discussion précédente explique la faible valeur de la susceptibilité de Pauli par la faible fraction d'électrons y contribuant (seulement ceux voisins du niveau de Fermi).

Etude en fonction de la température

Nous calculons maintenant le potentiel thermodynamique ( )BVT ,,, µΩ . Il est la somme de deux

termes +Ω et −Ω relatifs aux deux orientations possibles du spin des particules. Compte tenu de

l'énergie magnétique, ces termes s'écrivent avec les notations de la section précédente

(11) ( ) ( )BfVTZ

kT

Bm

pdpp

h

VkT

B

B

βµβµ

µµβπ

m

m

2

,

2exp1ln

40

22

3

−=

−+−=Ω ∫

∞

±

d'où

(12)

( )

( ) ( ) ( )

+

′′+−=

++

−−=Ω

L

2

2,

2,,,

kT

BffVTkTZ

kT

Bf

kT

Bf

ZkTBVT

B

BB

µνν

µνµνµ

Le moment magnétique de la substance est alors

(13) ( ) ( ) ( )[ ]L+′′=

∂Ω∂−= νµµ

µ

fVTZkT

B

BBVT B

VT

,,,,2

,,

M

le potentiel chimique νεµ kTF == étant tiré de la relation

(14) ( ) ( ) ( ) ( )

+

+′=

∂Ω∂−= L

2

3

,,2

1,

kT

BffVTZN B

BVT

µννµ

Comme, en champ faible, on a kTBB <<µ , la relation précédente se ramène à ( )νfZN ′= . Ceci

montre donc que Fεµ ≡ ne varie pas sensiblement avec le champ magnétique et conserve son

expression en champ nul. En effectuant le rapport des expressions (13) et (14), on voit que le moment magnétique

(15) ( )( )ννµ

f

f

kT

BN B

′′′

=2

M

est proportionnel à B avec un coefficient que nous nous proposons d'étudier dans les deux cas limites 1−<<ν et 1>>ν . Le cas 1−<<ν correspond aux gaz moléculaires pour lesquels la statistique limite de Maxwell-

Boltzmann corrigée peut être appliquée. La fonction ( )νf est voisine alors de νe , de sorte que

( ) ( )νν ff ′′≅′ . Le moment magnétique (15) prend alors la forme

(16) kT

BN B

2µ=M ( kT−<<µ )

identique à la loi de Curie pour un spin J = 1/2 avec g = 2. Notons que cette loi a été établie en statistique de Maxwell-Boltzmann mais qu'elle est valable également en statistique de Maxwell-Boltzmann corrigée car les énergies cinétique et magnétique sont additives et se séparent. Le cas 1>>ν correspond aux électrons libres dans les métaux. La fonction ( )νf a alors la forme

limite que nous avons vue et l'on a

(17) ( )( ) ( )

−=′=

′′′

2

2

61

2

3log

νπ

νν

νν

fdv

d

f

f

En utilisant la forme limite de ν vue dans la section précédente, le moment magnétique s'écrit

(18) BkTN

FF

B

−=

2

0

2

0

2

121

2

3

επ

εµ

M

On retrouve au zéro absolu l'expression (8) et, comme on a 0FkT ε<< pour les électrons des

métaux, le moment magnétique ne varie que très peu avec la température. Dans le cas général où la valeur de ν est quelconque, le moment magnétique est donné par la formule générale (15) où ν s'obtient à parti de la relation ( ) ZNf /=′ ν écrite sous la forme

(19) ( )2/32/30

3

4

3

4

=

=′

T

T

kTf FF

πε

πν

On peut, en effet, pour chaque valeur de FF TTkTx // 0 == ε , déterminer la valeur de ( )νf ′ et par

résolution graphique déterminer celle de ( )νf ′′ . La fonction

(20) ( )( )νν

µ f

f

NN

kTy

B′′′

==2

M

obtenue point par point, est représentée en variables x sur la figure ci-dessous.

On retrouve les deux cas limites étudiés précédemment : le premier ( 1−<<ν ) correspond au cas des hautes températures ( 1>>x ) pour lequel 1→y en accord avec la loi de Curie (16). Le second

( 1>>ν ) correspond au cas 1<<x pour lequel on a la relation linéaire 2/3xy = tirée de (18).

Application à l'hélium 3He

Les propriétés magnétiques de 3He ont été étudiées excessivement en fonction de la température et de la pression. Pour des températures supérieures à 2 K (T > 2 K), la loi de Curie (16) est bien

vérifiée dans la phase liquide et dans la phase gazeuse, ce qui s'interprète par un modèle de particules indépendantes de spin 1/2. Au-dessous de 0.2 K, la susceptibilité magnétique de l'hélium

suit une loi de la forme ( )20 1 bT−= χχ en accord avec l'expression théorique (18). Cependant, ni

la susceptibilité extrapolée au zéro absolu 0χ n'a la valeur (9) ni la constante b n'a la valeur 2022 12/ Fk επ si l'on prend l'expression théorique de 0

Fε . Ceci est dû au fait que les interactions

entre les atomes du liquide et entre leurs spins ne sont plus négligeables. On peut cependant continuer à interpréter l'ensemble des résultats expérimentaux dans le modèle de particules indépendantes en introduisant la constante phénoménologique

(21) 0

20

2

3

χµµε B

FFV

NkT == ∗∗∗∗

définie à l'aide de la relation (9) à partir de la susceptibilité expérimentale extrapolée au zéro absolu

0χ . Les valeurs expérimentales de l'aimantation réduite y (20) sont alors portées en fonction de ∗∗= FTTx / pour diverses valeurs de la pression (figure ci-dessus). On constate que les points

expérimentaux se placent sur une même courbe indépendante de la pression (ils suivent une loi d'échelle) et que cette courbe est voisine de la courbe théorique obtenue dans le cadre du modèle à particules indépendantes.

En résumé, nous voyons que, pour un gaz à particules indépendantes, on peut obtenir kT FF /0ε= à

partir de trois mesures indépendantes extrapolées au zéro absolu : mesure de densité, mesure de la

capacité calorifique et mesure de la susceptibilité magnétique. Dans le cas de l'hélium liquide 3He ,

ces trois températures, notées FT , ∗FT et ∗∗

FT , ont des valeurs différentes en raison de diverses

interactions entre atomes. Comme nous venons de le faire, on utilise donc l'un ou l'autre de ces paramètres selon le phénomène étudié.

Notons enfin que pour des températures inférieures à 3 mK, l'hélium 3He présente des phases superfluides et le modèle simple ci-dessus n'est plus valable.

Cas d'un gaz d'électrons

Niveaux de Landau En mécanique classique, un électron placé dans un champ magnétique uniforme a un mouvement hélicoïdal : sa projection perpendiculaire au champ (plan xOy) décrit un cercle à vitesse angulaire constante

(22) m

eB=ω

et celle parallèle au champ de direction Oz a un mouvement uniforme. En mécanique quantique, le mouvement circulaire a une énergie quantifiée

(23) BjBm

ejj

m

pp

m

pB

yx µωε

+=

+=

+→+

== ⊥⊥

2

12

2

1

2

1

22

222h

h

j 'étant un nombre entier positif ou nul (nombre quantique orbital) de sorte que l'énergie cinétique de l'électron s'écrit

(24) ( )m

pBjppp

m

zBzyxi

22

12

2

1 2222 +

+=→++= µεε

Les états correspondants à une même valeur de j constituent un niveau de Landau (figure (a) ci-dessous).

Pour déterminer la dégénérescence associée à chaque valeur de j, nous noterons que, dans le plan

( )yx pp , , les courbes j = constante sont des cercles ( )2/1422 +=+ jBmpp Byx µ (23) dont les aires

croissent en progression arithmétique de raison ehB . Dans l'espace des phases ( )yx ppyx ,,, , les

surfaces j = constante sont des cylindres limitant des domaines d'extension xyBBSmµπ4 , où xyS est

l'aire d'une section du récipient perpendiculaire à B. Une telle extension correspond à un nombre

d'états quantiques égal à 2/4 hBSm xyBµπ caractérisant la dégénérescence associée à une valeur de

j. La dégénérescence associée au mouvement de translation selon l'axe des z étant hdpL zz / ( zL

longueur du récipient), celle associée à l'énergie (24) est donc

(25) zB

xyBzzi Bdpm

h

V

h

BSm

h

dpL

h

Vdg µπµπ

323

3 44=×→= p

La densité d'états de mouvement ( )εg s'obtient en considérant les états d'énergie comprise entre ε et εε d+ (figure (b) ci-dessus). Cette densité reçoit des contributions pour chaque valeur de j telle que l'expression tirée de (24)

(26) ( )2/1

2/1

2

122

+−= Bjmp Bz µε

soit réelle. On a alors, en tenant compte des deux signes possibles pour zp :

(27)

( )

( ) ∑

∑−

+−=

=

j

BB

j

zB

BjBmh

V

d

dpBm

h

Vg

2/1

2/3

3

3

2

122

2

24

µεµπ

εµπε

Cette densité, représentée sur la figure (b) ci-dessus, présente des discontinuités lorsque

( ) Bj Bµε 2/12 += . Remarquons toutefois que lorsque 0→B , la largeur et l'espacement de ces

discontinuités tend vers zéro. Nous pouvons maintenant écrire l'énergie totale d'un électron dans un champ magnétique en additionnant son énergie cinétique (24) à celle de son moment magnétique (1), soit

(28) Bm

pBj B

zB µµε ±+

+=22

12

2

Il s'ensuit que le grand potentiel ( )BVT F ,,, εΩ est la somme de deux termes +Ω et −Ω relatifs aux

états de spin parallèle et antiparallèle au champ B et dont les expressions sont :

(29)

∑

∫

−

+−+×

−=Ω±

j

Bz

BF

zB

Bm

pBj

Bdpmh

VkT

µµεβ

µπ

m22

12exp1ln

4

2

3

Pour les électrons d'un métal, on se trouve toujours dans le cas où kT et BBµ sont tous deux très

petits devant l'énergie de Fermi Fε . Nous poursuivons maintenant l'étude dans les deux cas limites

BkT Bµ>> et BkT Bµ<< .

Paramagnétisme électronique Nous considérons d'abord le cas physique des électrons dans les métaux à température ordinaire,

cas pour lequel on a eV106~eV103~ 52 −− ×>>× BkT Bµ (B ~ 1 T). Pour calculer la somme sur j

figurant dans (29), nous utiliserons l'approximation

(30) ( ) ( ) L+′+=

+ ∫∑∞∞

=

024

1

2

10

0

fdjjfjfj

valable lorsque la fonction f varie lentement au voisinage de 0. Chacun des termes ±Ω est alors de

la forme ( ) ( )L+Ω+Ω=Ω ±±±

10 avec

(31)

( )

( )( )( )∫

∫

+±−=Ω

−−+−=Ω

±

±

12/exp12

4

22exp1ln

4

2

22

3

1

2

3

0

Bmp

dpBm

h

V

Bm

pBjdjdpBm

h

VkT

BFz

zB

Bz

BFzB

µεβµπ

µµεβµπm

En effectuant le changement de variable Bjmpj Bµ42 =→ ⊥ inspiré de (23), les termes ( )0±Ω

prennent alors la forme (11). Par ailleurs, le changement de variable mp z 2/2=ε dans l'expression

de ( )1±Ω donne

(32) ( ) ( ) ( )∫∞ −

± +±−=Ω

0

2/12/3

22

3

1

1exp2

24

4

Bm

B

h

V

BF

B

µεεβεµπ

soit, en utilisant le développement de Sommerfeld :

(33) ( ) ( )

+

−=Ω± L

222/1

222/3

3

1

241

122

4

F

FB kTB

mh

V

επεµπ

Dans la détermination du potentiel chimique Fεµ ≡ , on peut se placer à la limite B = 0

( kTBB <<µ ) pour laquelle nous connaissons l'expression de Fε . Avec cette énergie de Fermi, les

termes ( )1±Ω s'écrivent

(34) ( )

−=Ω±

2

0

2

0

221

121

8FF

B kTBN

επ

εµ

L'aimantation M du gaz d'électrons se présente alors sous la forme d'une somme de deux termes

( )0M et ( )1M . Le terme ( )0M , obtenu à partir de la fonction ( ) ( ) ( )000−+ Ω+Ω=Ω , a la forme (18) déjà

rencontré en étudiant le paramagnétisme de Pauli lié à l'orientation des moments magnétiques de

spin. Le terme ( )1M obtenu à partir de ( ) ( ) ( )111−+ Ω+Ω=Ω a pour expression

(35) ( )( )

BkTN

BFF

B

−−=

∂Ω∂−=

2

0

2

0

211

121

2 επ

εµ

M

Cette contribution au moment magnétique, linéaire en B et antiparallèle au champ, correspond au phénomène de diamagnétisme de Landau dans lequel les trajectoires des électrons s'enroulent autour des lignes de champ de façon à s'opposer à l'influence de ce dernier.

Le moment magnétique total ( ) ( )10 MMM += du gaz d'électrons libres et sa susceptibilité ont alors pour expression

(36) 0µ

χVB=M avec

2

0

2

0

20

121

−=

FF

B kT

V

N

επ

εµµχ

ce qui correspond au phénomène global de paramagnétisme électronique. Notons que le rapport entre les valeurs des contributions du diamagnétisme de Landau et du paramagnétisme de Pauli, égal à -1/3 pour un gaz d'électrons libres, peut être différent si l'on tient compte des interactions. La susceptibilité paramagnétique électronique varie très peu avec la température et a une valeur très faible par rapport à celle du paramagnétisme ionique (modèle de Brillouin)

(37) ( )( ) 0

~F

kT

Brillouin

électrons

εχχ

De ce fait, le paramagnétisme électronique est masqué par celui qui est lié aux ions dans le cas des métaux de transition. On observe donc ce phénomène dans les métaux comprenant des ions non magnétiques. Toutefois il est alors du même ordre de grandeur que le diamagnétisme ionique et on n'obtient pas les susceptibilités magnétiques électroniques directement. Le tableau ci-dessous contient les susceptibilités magnétiques électroniques de métaux monovalents, comparés aux valeurs théoriques (36) pour un gaz d'électrons libres. Seul l'ordre de grandeur est reproduit. Métal n

( )322 cm10 − ( )SI10 6−

théoχ ( )SI10 6

exp

−

χ

mm /∗∗

( )SI10 6−

théoχ

Li 4.60 6.60 24.2 1.63 -0.6 Na 2.54 5.35 10.7 1.60 -2.2 K 1.32 4.45 9.8 1.85 -4.0 Rb 1.08 4.04 10.1 1.95 -5.8 Cs 0.86 3.86 11.9 2.05 -7.2 Cu 8.46 8.15 25.8 2.31 -34.8 Ag 5.86 7.18 26.4 3.59 -51.5 Au 5.90 7.23 38.8 4.61 -72.8

On peut alors corriger la théorie en introduisant une masse effective magnétique ∗∗m de l'électron telle que

(38) ( )

( )théorique

alexpériment

χχ=

∗∗

m

m

Le rapport de la masse effective ainsi déterminé à la masse effective thermique ∗m , compte tenu des expressions théoriques de γ et χ ,

(39) γχ

µµπ

n

VRk

m

m

B

20

2

2=∗

∗∗

(expérimental)

est en général différent de 1. Les corrections introduites sous la forme des masses effectives diffèrent donc dans les phénomènes thermiques et magnétiques, ce qui s'interprète par le fait que les interactions y interviennent de manière différente.

Effet de Haas-van Alphen Nous considérons maintenant le cas des électrons d'un métal à basse température (T ~ 1 K) et en champ fort (B ~ 10 T) pour lequel BkT Bµ<< . La fonction de j intervenant dans l'expression (29)

de ±Ω varie alors rapidement au voisinage de j = 0 et l'approximation (30) cesse d'être valable. On

utilise alors la formule exacte de Poisson

(40) ( ) ( ) ( )∑ ∫∫∑∞

=

∞∞

=

−+=

+1

00

2cos122

1

n

n

j

djnjjfdjjfjf π

de sorte que l'on a

(41) ( ) ( ) ( )∑ ∫∞

=±±± −−Ω=Ω

13

0 2cos,124

n

zz

n

B njpjfdjdpBmh

V πµπ

avec

(42) ( )

−−+=± B

m

pBjkTpjf B

zBFz µµεβ m

22exp1ln,

2

Les termes ( )0±Ω sont ceux écrits en (31). Leur somme ( ) ( ) ( )000

−+ Ω+Ω=Ω étant le grand potentiel

(11), rend compte de l'effet d'orientation des moments magnétiques des électrons. Pour calculer les intégrales figurant dans (41), nous nous plaçons dans l'approximation du zéro absolu et un calcul fastidieux montre que

(43) ( ) ( ) ( ) ( )

−−−=

±

±∫ 4cos

2

2

12cos,

2/5

2/32/1

222

πµ

επµππ

µπB

n

n

Bm

n

pBnjpjfdjdp

B

FB

n

FBzz

où ±Fp sont les quantités introduites en (4). Compte tenu de la relation

(44) ( )

12

1 2

12

π−=−∑

∞

=n

n

n

les termes ±Ω (41) s'écrivent

(45) ( ) ( ) ( )

−++Ω=Ω ∑±

±±n B

FBF

BB

B

n

n

Bmp

BBm

h

V

4cos

12

6

42/52

2/32/1

3

0 πµ

εππ

µµµπ

Le second terme de cette expression

(46) ( ) ( ) 2/122

2/3

3

22

3

1

122

4

6

4F

BB

F Bm

h

VB

mp

h

V εµπµπ ≅=Ω±

±

s'identifie au terme ( )1±Ω obtenu en (34) et relatif au diamagnétisme de Landau au zéro absolu.

Le grand potentiel Ω d'un gaz d'électrons libres au zéro absolu a alors pour expression

(47) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑

−+Ω+Ω=≡=Ω

n B

FBF

B

n

nBm

h

VBVT

4cos

12

4,,,0

2/5

2/52/3

3

10 πµ

επµπ

εµ

En conclusion nous voyons que Ω est la somme de trois termes :

( )0Ω , représentant la contribution liée à l'orientation du spin des électrons.

( )1Ω , écrit en (34), représentant la contribution liée aux trajectoires hélicoïdales des électrons.

Un terme oscillant lorsque B varie et qui est de l'ordre de ( ) 2/1/ FBB εµ par rapport à ( )0Ω et ( )1Ω .

L'origine de cette oscillation est la suivante. Au zéro absolu, tous les niveaux d'énergie sont peuplés jusqu'au niveau de Fermi Fε . Ce niveau variant peu avec le champ magnétique, nous le noterons

0Fε . La densité d'états (27) au voisinage de 0

Fε devient alors infinie (figure (b) ci-dessus) chaque

fois que 1 / B vaut ( ) 0/12 FBj εµ+ , c'est-à-dire avec une périodicité

(48) ( ) 0/2/1 FBB εµ=∆

Cette période est bien celle du terme oscillant de (47). Lorsque kT devient de l'ordre de BBµ , la

zone de transition de la fonction de Fermi recouvre plusieurs discontinuités de ( )εg et, par effet de

moyenne, les oscillations s'estompent. Le moment magnétique M s'obtient par dérivation de l'expression (47) de Ω par rapport à B. Ce moment contient plusieurs termes de grandeurs différentes. En conservant seulement le terme le plus important qui provient de la contribution oscillante de Ω , on a finalement

(49) ∑

−

−=

n B

F

F

BB

B

n

n

BN

4sin

1

2

3 0

2/3

2/1

0

πµ

επε

µµπ

M

Ce moment magnétique est de l'ordre de ( ) 30~/2/10 BBF µε fois plus grand que le moment

magnétique (36) du gaz d'électrons à température ambiante. Sa propriété la plus remarquable est sa variation oscillante en fonction de B avec la périodicité (48). Cet effet, observé par W.J. de Haas et P.M. van Alphen en 1930, porte leurs noms et a été interprété qualitativement par R. Peierls en 1933 et explicité par L.D. Landau en 1939. La figure ci-dessous représente les oscillations de l'aimantation du potassium à 1.07 K dans un champ magnétique de l'ordre de 13 T.

La périodicité mesurée des oscillations, ( ) 15 T1075.5/1 −−×=∆ B , est en bon accord avec la valeur

théorique ( ) 15 T5210.5/1 −−=∆ B calculée à partir de (48) en prenant les valeurs numériques dans

les tableaux précédents. Notons que la période (48) peut s'écrire sous la forme

(50) ( )FFF A

eh

p

eh

m

eB ===∆

2/1

πεh

où 2FF pA π= est l'aire d'un grand cercle de la sphère de Fermi.

V.6.4. Théorie élémentaire de la conduction dans le s métaux

Modèle de Drude P. Drude proposa, en 1900, un modèle simple de la conduction métallique. Il supposa que ce sont des électrons libres qui en sont responsables et fit les hypothèses suivantes : i) Les électrons libres sont sans interaction à distance, ni entre eux, ni avec les ions formant le

réseau cristallin. De ce fait, ils se propagent en ligne droite en l'absence de champ extérieur.

ii) Chaque électron subit des collisions, soit avec les ions, soit avec les autres électrons avec une fréquence τν /1= , la loi de répartition des durées entre deux chocs consécutifs étant donné, en analogie avec le libre parcours moyen des particules dans un gaz, par :

(1) τ

τ dtedP t /−=

iii) Après chaque collision, supposée instantanée, l'électron est "thermalisé", c'est-à-dire que sa vitesse est distribuée aléatoirement selon la loi de répartition des vitesses à l'équilibre au point de collision.

Ces hypothèses sont suffisantes pour construire une théorie élémentaire de la conduction en bon accord avec l'expérience.

Loi de distribution des vitesses d'électrons libres P. Drude utilisa dans son modèle la loi de distribution de Maxwell. C'est A. Sommerfeld (1928) qui corrigea les résultats de Drude en introduisant la loi de distribution des vitesses en statistique de Fermi-Dirac. Cette loi s'obtient en effectuant les changements de notation :

(2) vpppr

mmh

ddg ii →→→

2

2 2

3

33

ε

dans la loi de répartition de Fermi-Dirac. On obtient ainsi le nombre d'électrons contenus dans un

volume élémentaire r3d et ayant la vitesse v à v

3d près :

(3) vrv

vr

33

12

3

3

,6 1

2exp

2dd

kTkT

m

h

mNd F

−

+

−= ε

où Fε est le niveau de Fermi. Comme nous l'avons vu, cette distribution varie peu avec la

température et nous la considérerons dorénavant à l'approximation T = 0 pour laquelle on a

(4)

><

==0

03333

3

3

,6

0

/22

F

F

v

vddhm

h

mNd

v

vvrvr

où ( ) 2/100 /2 mv FF ε= est une vitesse de l'ordre de 16 ms10 − pour eV5~0Fε . On voit donc que toutes

les vitesses sont équiprobables jusqu'à la vitesse de Fermi 0Fv . Il est alors facile de vérifier que l'on

a

(5)

2022

202/50

3

2/12

,62

020

3,6

5

1

3

1

0

5

3

5

81

4

381

Fx

x

FF

FF

vvv

v

vN

V

h

mvNd

Nv

vN

V

h

mNd

Nv

==

=

===

===

∫

∫

επ

επ

vr

vr v

Loi d'Ohm Considérons un métal soumis à un champ électrique uniforme constant E. Soit un électron libre subissant un choc à l'instant t = 0 au point 0r et repartant à la vitesse 0v . Cet électron est alors

uniformément accéléré par le champ électrique selon la loi

(6) Ev

edt

dm −=

de sorte que sa vitesse et sa position à un instant ultérieur t précédant un nouveau choc sont

(7) tm

e

dt

dEvv

r −== 0 et 2

2

00

t

m

et Evrr −+=

Nous voyons que le déplacement 0rrd −= de l'électron contient un terme "désordonné" t0v

correspondant à l'agitation thermique et un terme "ordonné" mte 2/2E− correspondant à l'effet du

champ électrique. Le déplacement moyen entre deux collisions s'obtient alors en effectuant deux processus de moyenne : l'un sur la distribution des vitesses 0v , l'autre sur la distribution des valeurs

du temps t entre deux collisions. Comme on a 00 =v et 22 2τ=t , le déplacement moyen d'un

électron entre deux collisions est :

(8) 2τEdm

e−=

Nous pouvons calculer la vitesse moyenne de "dérive" de l'électron en considérant un grand nombre de libres parcours successifs :

(9) Edd

v ττ m

e

N

N

ti i

i i −===∑∑

le temps moyen entre deux collisions successives étant τ . Les électrons remontent dans le champ électrique avec une vitesse proportionnelle à E, le facteur de proportionnalité me /τµ = étant

appelé mobilité des électrons. Il se crée ainsi un courant électrique dont la densité est

(10) ( ) EEvj στ ==±−×=m

neen

2

où n est le nombre volumique d'électrons libres. Ce résultat constitue la loi d'Ohm microscopique et donne l'expression de la conductivité électrique

(11) µλτσ nevm

ne

m

ne ===22

La loi d'Ohm étant bien vérifiée expérimentalement, la mesure de la conductivité σ (ou de la résistivité σρ /1= ) permet de calculer τ . Le tableau ci-dessous indique que ce temps est de

l'ordre de s10 14− . Cette valeur montre, d'une part, que la vitesse de dérivé des électrons (vitesse du courant), donné par (9) est de l'ordre d'un mètre par seconde pour des champs électriques de l'ordre de quelques volts par centimètre. Elle montre, d'autre part, que le libre parcours moyen des électrons τλ v= , de l'ordre de 100 Å, est grand devant les distances interatomiques. Métal ρ n τ

HR HneR− K TK σ/

Li 8.55 4.60 0.9 -1.7 1.25 71 2.22 Na 4.3 2.54 3.3 -2.5 1.02 135 2.13 K 6.1 1.32 4.4 -4.2 0.89 99 2.21 Rb 11.6 1.08 2.8

Cs 19 0.86 2.2 -7.8 1.07 Cu 1.55 8.46 2.7 -0.55 0.75 400 2.27 Ag 1.47 5.86 4.1 -0.84 0.79 418 2.25 Au 2.01 5.90 3.0 -0.72 0.68 311 2.29 Propriétés de conduction des métaux monovalents à 0°C : résistivité électrique σρ /1=

( Ωm10 8− ), nombre volumique d'électrons libres n ( 322 cm10 − ), durée moyenne τ ( s10 14− )

d'un libre parcours, coefficient de Hall HR ( 1310 Cm10 −− ) et conductivité thermique K

( 11KWm −− ). Le rapport TK σ/ est en 810− SI. Notons que l'énergie cinétique acquise par l'électron entre deux chocs consécutifs

(12) ( ) tetm

emc EvEvv ⋅−=−=∆ 0

222

20

2

22

1ε

est cédée au réseau après chaque choc. La valeur moyenne de cette énergie vaut

mEec /222 τε =∆ et montre que la puissance volumique cédée au réseau

(13) 22

Em

ne

V

N c ττε

=∆

=P

satisfait à la loi de Joule

(14) 2Eσ=⋅= EjP

Remarquons enfin que tous ces résultats n'ont pas fait intervenir la loi de distribution de Fermi-Dirac. Ils sont donc indépendants de la statistique considérée.

Etude de la conductivité électrique des métaux L'étude précédente a montré que le libre parcours moyen des électrons est grand devant les distances interatomiques, ce qui peut paraître surprenant. Plusieurs facteurs sont responsables de ce fait. Tout d'abord, en raison du principe d'exclusion de Pauli, les électrons occupent presque tous les états situés au-dessous de l'énergie de Fermi. Le changement de l'état quantique d'un électron à la suite d'un choc n'est donc possible qu'au voisinage du niveau de Fermi et ne concerne donc qu'une faible fraction des électrons. D'autre part, les ions métalliques n'occupent qu'une faible partie du volume d'un cristal. Enfin, dans un réseau parfait, le mouvement des électrons s'adapte au

potentiel périodique du cristal. Nous avions déjà vu cela lors de l'étude de la propagation d'un électron le long d'une ligne d'atome et où l'électron se comporte comme une particule libre. Les chocs subis par les électrons sont alors dus principalement aux écarts à une structure périodique du cristal provoquée par Les phonons, correspondant aux vibrations du réseau. Les défauts cristallins (vacances, ions interstitiels, dislocations, structure polycristalline,…). Les impuretés chimiques. La résistivité totale du métal peut alors être considérée comme la somme de plusieurs termes correspondant à chacune des causes de collisions. La contribution des phonons, nulle au zéro absolu, étant la seule à dépendre de la température, on écrit loi de Matthiessen) (15) ( )Tidrés ρρρ +=

où résρ est la résistivité résiduelle au zéro absolu due à l'existence de défauts (physiques et

chimiques) du cristal et ( )Tidρ , appelée résistivité idéale, est la résistivité due aux collisions avec

les phonons. La figure ci-dessous représentant la résistivité du sodium à basse température montre que la valeur résiduelle résρ dépend des qualités de l'échantillon (la courbe 2 correspond à un

échantillon ayant subi un recuit prolongé ayant amélioré son état cristallin) alors que la valeur idéale idρ ne dépend que de la température. Notons qu'en dehors du domaine des basses

températures, la résistivité résiduelle est négligeable.

La figure ci-dessous montre les variations de ρ avec la température pour quelques métaux. Les

températures de Debye DΘ choisies sont 202 (Na), 310 (Cu), 220 (Ag) et 185 K (Au) et les

résistivités correspondantes sont 2.27 (Na), 1.80 (Cu), 1.16 (Ag) et mΩ× −81032.1 (Au).

A haute température, cette variation est linéaire en relation avec le fait que le libre parcours moyen des électrons λ est inversement proportionnel au nombre volumique de phonons, soit, dans ce domaine, à la température. A basse température, la résistivité idéale a un comportement en nT avec n~5. A l'aide d'un modèle simple, F. Bloch proposa l'interpolation semi-empirique

(16) ( )( )∫Θ

−−−

Θ∝

TD

xx

D

idee

dxxT /

0

55

11ρ

où DΘ est la température de Debye du solide. Cette loi représente de façon satisfaisante les

données expérimentales d'un grand nombre de métaux (voir la figure ci-dessus), la valeur de DΘ

pouvant différer de celle obtenue par les mesures de capacité calorifique.

Effet Hall Lorsque l'on applique un champ magnétique d'induction B à un conducteur déjà soumis à un champ électrique E, les électrons subissent leurs actions combinées selon la loi

(17) ( )BvEv ×+−= edt

dm

La fréquence de collision étant grande devant la fréquence cyclotron meB /=ω , le champ magnétique n'a que peu d'action entre deux collisions, et l'on peut remplacer dans le second membre v par l'expression (7) valable en champ nul. L'intégration de l'équation précédente donne :

(18) ( ) ( )62

3

2

22

000

t

m

et

m

et BEBvEvrr ×+×+−+=

Le déplacement moyen entre deux collisions est alors :

(19) ( )

( )

×−−=

×+−=−=

BEE

BEErrd

m

e

m

e

t

m

et

m

e

ττ 2

3

2

22

062

résultat montrant que les électrons ne suivent plus les lignes du champ électrique. La densité de courant correspondante est donc

(20) ( )

×−=−= BEEdjne

ne σστ

où nous avons utilisé l'expression (11) de σ .

Dans un conducteur filiforme, le champ électrique appliqué 0E est parallèle au fil. Dans une

période transitoire, les électrons acquièrent une vitesse transversale due au terme en BE× et il se produit une accumulation de charges à la surface du fil dans cette direction. (figure ci-dessous).

Cette accumulation crée un champ électrique HE orthogonal à 0E et B, appelé champ de Hall et

compensant l'effet du champ magnétique. En régime permanent, les électrons circulent alors dans la direction du fil ( 0|| Ej ). En écrivant HEEE += 0 dans (20) et en séparant les termes parallèle et

perpendiculaire, on trouve

(21)

( ) ( )

jBE

EBEEjBEE

×−=

≅

×−=×=

ne

nene

H

HH

1

000 σσσσ

Le champ de Hall est perpendiculaire et proportionnel à la densité de courant j et au champ magnétique B, le facteur de proportionnalité, appelé coefficient de Hall, étant

(22) ne

RH

1−=

Le signe - correspond au signe des porteurs de charge : des porteurs de charge positifs créeraient un champ de Hall opposé. La valeur du coefficient HR pour quelques métaux monovalents est donnée

dans le tableau précédent. L'expression (22), ne faisant intervenir que le nombre volumique

d'électrons est en assez bon accord avec la valeur expérimentale pour ces métaux. Notons que la mesure du champ de Hall est couramment utilisée pour déterminer la valeur des champs magnétiques (sonde semi-conductrice à effet Hall).

Conduction thermique A température ambiante, les métaux ont une conductivité thermique de l'ordre de 10 à 100 fois supérieure à celle des diélectriques. Cette différence est due au fait que le transport d'énergie par les électrons libres du métal est plus important que celui effectué par les phonons. La conductivité thermique des électrons peut être estimée à partir de l'expression obtenue en cinétique des gaz valable également pour des électrons

(23) ( )NNVV c

vnc

vnK2

3

1

3

1 τλ ==

où Vc est la capacité calorifique électronique molaire que nous avons vue. En explicitant Vc ainsi

que v (5), on obtient

(24) Tm

knTkvnK

F

F

22

0

220

2

16

3

32

3 τπε

τπ == (approx.)

Un calcul correct, utilisant l'équation de Boltzmann, donne un résultat qui ne diffère que d'un facteur numérique voisin de 2.

(25) Tm

knK

22

3

τπ= (exact)

La conduction thermique par les phonons étant négligeable, cette expression représente la conductivité thermique totale du métal. Il est intéressant de comparer les conductivités thermiques K et électrique σ (11) en formant le rapport TKL σ/= , appelé nombre de Lorenz. Dans le modèle étudié, on obtient

(26) SIe

k

T

KL 8

2

22

1044.23

−×=== πσ

Ce résultat est en accord avec la loi de Wiedermann et Franz (1853) qui, ayant observé qu'un bon conducteur thermique est également un bon conducteur électrique, ont montré que, pour une température donnée, le rapport σ/K est le même pour différents métaux. Le tableau précédent contient les valeurs expérimentales du nombre de Lorenz de divers métaux à 0°C, valeurs en bon accord avec le modèle. A température plus basse, le nombre de Lorenz devient inférieur à la valeur (26) (voir la figure ci-dessous).

Cela est dû au fait que la diffusion électron-phonon à petit angle produit une résistance plus faible au transport de charge électrique qu'au transport d'énergie. Aux plus basses températures, le nombre de Lorenz retrouve sa valeur (26), σ et TK / atteignant leur valeur résiduelle.

Exercices de compréhension 1. Déterminez l'énergie de Fermi au zéro absolu pour un gaz d'électrons à une dimension confiné

sur un segment de longueur L. Même question pour un gaz à deux dimensions.

Réponse : 222 8/ mLNh , mSNh π4/2 . 2. Calculez la longueur d'onde associée à un électron d'énergie égale à l'énergie de Fermi pour le

cuivre ( 322 cm1046.8/ −×=VN ). Comparez à la distance de deux atomes proches voisins (d = 2.55 Å).

Réponse : Å63.4=λ . 3. Calculez l'énergie cinétique moyenne d'un électron dans le cuivre au zéro absolu

( 322 cm1046.8/ −×=VN ). A quelle température une molécule d'un gaz a-t-elle la même énergie cinétique moyenne ? Réponse : 4.22 eV, 32600 K.

4. Calculez la valeur de la pression P du gaz d'électrons dans le cuivre au zéro absolu

( 322 cm1046.8/ −×=VN ).

Réponse : atm376000Pa1081.3 10 =× . 5. En considérant la deuxième ou la dernière figure de la section V.6.2, montrez par un

raisonnement qualitatif que la différence 0UU − entre les énergies internes à 0≠T et T = 0

est, à un facteur numérique près, égal à ( ) ( )02

FgkT ε .

6. Calculez et représentez la dérivée de la fonction de Fermi ( )εn . Quelle est sa limite pour T = 0

? 7. Déterminez, pour un gaz d'électrons libres à deux dimensions, l'énergie de Fermi à une

température quelconque. Discutez sa valeur en considérant le développement de Sommerfeld

(36) de la section V.6.2.

Réponse : ( )( )1expln 0 −= FF kT βεε égal à 0Fε à un terme exponentiellement petit près.

8. Déterminez la densité d'états molaire ( )0Fg ε d'un gaz d'électrons à deux dimensions en fonction

de S/N où S est la surface du gaz. Calculez cette densité pour le graphite pour lequel 220 m1062.2/ −×=NS . En déduire la valeur du coefficient γ de la capacité calorifique molaire

électronique ( TcV γ= ) pour le graphite. Cette valeur est très différente de la valeur

expérimentale 126 moleKJ108.13 −−−×=γ car les électrons de conduction restent très liés aux

atomes de carbone.

Réponse : 141 mole101.4 −× , 126 moleKJ106.2 −−−× .

9. Montrez que si l'on fait tendre B vers 0 dans la densité d'états (27) de la section V.6.3 d'un gaz d'électrons en champ magnétique on retrouve la densité usuelle

( ( ) ( )( ) εεπεε dmhVdgdn 2/10

2/330 2/2== ) en absence de champ. On remplacera la somme par

une intégrale. 10. Quel serait le libre parcours moyen des électrons libres d'un métal s'ils n'avaient que des

interactions de contact avec les ions du réseau ? On prendra le cas du sodium dont les ions ont

un rayon r = 0.98 Å et dont le nombre volumique d'électrons est 322 cm105.2 −×=n . Pourquoi

cette valeur est-elle nettement inférieure à la valeur expérimentale Å300~λ ?

Réponse : Å13/1 2 =≅ nrπλ . 11. Estimez le champ électrique dans un fil de cuivre de section 1 mm² parcouru par un courant de

1 A ( m10 8Ω≅ −ρ ).

Réponse : 12 mV10 −− .

12. Montrez que la résistivité électrique idéale donnée par la formule de Bloch (16) de la section

V.6.4 varie comme T pour DT Θ>> et comme 5T pour DT Θ<< .

13. On considère un échantillon parallélépipédique rectangle d'arêtes a, b, c. On fait circuler un courant parallèlement à a en appliquant une différence de potentiel U. On crée un champ

magnétique B parallèlement à b. Montrez qu'il apparaît une ddp aBUcRV HH /σ= . Calculez

HV pour un échantillon avec a = 1 cm, c = 0.01 cm soumis à une tension U = 0.5 V et à un

champ B = 1 T. On envisagera le cas du cuivre ( SI105.3 3−×=σHR ) et celui d'un semi-

conducteur ( SI1.0~HR ).

Réponse : V5.17 µ , 0.5 mV.

Problème 1 Etudions maintenant une application directe des propriétés quantiques de la matière et du comportement statistique des fermions dans un cadre relativiste avec le très beau problème des propriétés des étoiles naines blanches.

Etude d'un gaz d'électrons relativistes 1. Rappelez l'expression donnant la répartition à l'équilibre d'un gaz d'électrons libres et étudiez

cette répartition à T = 0 K. On définira l'énergie de Fermi 0Fε .

2. Rappelez l'expression de la densité d'états de translation et en déduire l'expression de la sphère

de Fermi dans l'espace des impulsions, soit 0Fp , ainsi que celle de mcpx FF /0= .

3. L'énergie d'une particule d'impulsion p est donnée en relativité par ( ) 2/14222 cmcp +=ε . A la

limite classique 1/ >>mcp , on a pc≅ε . Utilisez l'expression relativiste de ε pour écrire l'énergie de Fermi 0

Fε correspondant à l'impulsion 0Fp en fonction de Fx . Discutez les deux

limites 1<<Fx et 1>>Fx .

4. Etablissez l'expression de l'énergie interne du gaz d'électrons au zéro absolu ∑= iiNU ε0 en

variables V et Fx . On exprimera le résultat à l'aide de la fonction que l'on ne cherchera pas à

expliciter ( ) ( )∫ +=x

dtttxh0

2/122 1 . Les formes limites de ( )xh pour x << 1 et x >> 1 sont

respectivement

(1) ( ) L++=103

53 xxxh (x << 1) et ( )

4

4xxh = (x >> 1)

5. En déduire l'expression de la pression cinétique 0P des électrons en fonction de Fx , de ( )Fxh

et de sa dérivée ( )Fxh′ .

6. Montrez qu'à la limite classique 1<<Fx , on a ( ) 3/2 200 NmcUVP −= .

7. Montrez aussi qu'à la limite ultrarelativiste 1>>Fx , on a 3/00 UVP = . Commentez ces

résultats.

Application au cas des naines blanches

Une naine blanche est une étoile vieille, constitué essentiellement d'hélium 4He , de masse M

voisin de la masse du Soleil kg100.2 30×=SM et de masse volumique extrêmement élevée

Sρρ 7310 10~mkg10~ − où Sρ est la masse volumique moyenne du Soleil. La température

intérieure T de l'étoile est de l'ordre de K107 . A cette température, l'hélium est complètement ionisé et on peut considérer que l'étoile est formée de N électrons libres et de N/2 noyaux d'hélium ayant pour effet de neutraliser la charge des électrons et de maintenir la cohésion de l'étoile par interaction gravitationnelle. 1. Calculez le volume V, puis le rayon R d'une naine blanche typique telle que SMM = et

310 mkg10 −=ρ . Comparez R au rayon de la Terre, égal à 6400 km.

2. Calculez le nombre d'électrons N et le nombre volumique N/V de cette étoile (masse atomique

de l'hélium ( ) 14 moleg0.4 −=HeM ).

3. Calculez la valeur de 0Fp pour le gaz d'électrons de la naine blanche typique ainsi que celle de

Fx . En déduire qu'il est nécessaire d'utiliser la cinématique relativiste pour calculer l'énergie

des électrons.

4. Calculez 0Fε et en déduire que l'on peut faire l'étude du gaz d'électrons dans la naine blanche à

l'approximation T = 0 K. 5. L'énergie totale d'une naine blanche est la somme de l'énergie cinétique des électrons et de

l'énergie gravitationnelle de l'étoile, l'énergie cinétique des noyaux et l'énergie électrostatique étant négligeable. Un argument dimensionnel montre que l'énergie gravitationnelle d'une étoile de masse M et de rayon R a la forme

(2) R

MGE

2

α−=

où G est la constante de gravitation et α un nombre dépendant de la répartition de la matière dans l'étoile ( 5/3=α pour une répartition uniforme). Exprimez le volume V et le rayon R de l'étoile en fonction de N et Fx puis de M et Fx . On fera

l'approximation que la masse d'un atome d'hélium est égale à pm4 , pm étant la masse d'un

proton. 6. Exprimez l'énergie cinétique 0U des électrons en fonction de M et Fx .

7. Mettez l'énergie gravitationnelle de l'étoile sous la forme

(3) F

p

xm

MmcE

3/5

2

8

3

−= αγ

où γ est une constante sans dimension dont on donnera l'expression. Dans les calculs numériques, on prendra 381003.1 −×=γ .

8. Ecrivez la condition permettant de déterminer le rayon à l'équilibre 0R d'une étoile de masse M

donnée. 9. Explicitez cette condition d'équilibre et mettez la sous la forme

(4) ( )3/2

=

p

Fm

Mxf αγ

On donnera l'expression de ( )xf en fonction de ( )xh et de ( )xh′ .

10. La fonction ( )xf est représentée dans la figure ci-dessous.

Déterminez par une méthode graphique le rayon d'équilibre 0R d'une naine blanche de masse

SMM = . On choisira la valeur 5/3=α .

11. Montrez que les naines blanches ne peuvent pas ne peuvent pas avoir une masse supérieure à une masse limite lM (limite de Chandrasekhar) que l'on exprimera en fonction de SM .

Données numériques : mJ1099.1 25−×=hc , J1019.8 142 −×=mc , 123 KJ1038.1 −−×=k ,

kg1067.1 27−×=pm .

Solution

Etude d'un gaz d'électrons relativistes 1. Voir la section V.6.1. L'énergie de Fermi est identique au potentiel chimique µ .

2. La densité d'états pour des électrons de spin 1/2 est 333 /2 hdd pr . En intégrant sur r et p, on a

(voir l'étude au zéro absolu dans la section V.6.2)

(5) 03

3 3

42 Fph

VN π×=

soit

(6) 3./1

0 3

2

=V

NhpF π

et 3/1

3

2

=V

N

mc

hxF π

3. On a

(7) ( ) ( ) 2/1222/1

422200 1+=+= FFF xmccmcpε

Pour 1<<Fx , l'énergie de Fermi a pour expression

(8) 3/22

22

20 3

821

+=

+≅

V

N

m

hmc

xmc F

F πε

Au terme d'énergie de masse près, on retrouve l'énergie de Fermi (27) de la section V.6.2 d'un gaz d'électrons non relativistes. Pour 1>>Fx , on a

(9) 3/1

20 3

2

=≅V

Nhcxmc FF π

ε

4. L'énergie interne au zéro absolu s'écrit

(10) [ ]∫∑ +×==<

0

0

2/142222

30

0 42Fp

Fi

ii cmcpdpph

VgU πε

εε

En effectuant le changement de variable t = p/mc, il vient

(11) ( )Fxhcmh

VU 54

30

8π=

5. La pression de l'étoile est donnée par

(12) ( ) ( )

∂∂′−−=

∂∂

−=

∂∂

−=N

FFF

NNV

xxhVxhcm

hV

U

V

FP 54

3

000

8π

car 00000 USTUF =−= . Avec l'expression (6) de Fx , il vient

(13) ( ) ( )

−′= FFF xhxhx

cmh

P3

8 54

30

π

6. En utilisant l'expression limite de ( )xh pour 1<<x , les expressions de 0U et 0P deviennent :

(14) 554

3

354

3

5354

305

4

3

8

103

8FF

FF xcmh

Vxcm

h

Vxxcm

h

VU

πππ +=

+=

et

(15) 554

3

534254

3015

8

10323

8F

FFFF

F xcmh

xxxx

xcm

hP

ππ =

+−

+=

Après remplacement de Fx à partir de (6), il apparaît que le premier terme de 0U est égal à

2Nmc , ce qui correspond à la limite classique, à l'énergie de masse des électrons près. Par comparaison de 0U et 0P , on trouve alors que

(16) ( )200

3

2NmcUVP −=

Cette expression n'est autre que la relation générale 3/2UPV = valable pour un gaz non relativiste, U désignant alors l'énergie interne du gaz (énergie de masse exclue).

7. Avec l'expression limite de ( )xh pour x >> 1, les expressions de 0U et de 0P deviennent :

(17) 4

8 454

30Fxcm

h

VU ×= π

et

(18) 12

8

33

8 454

3

4354

30FF

FF x

cmh

xx

xcm

hP ×=

−×= ππ

On en déduit que 3/00 UVP = . C'est la relation générale 3/UPV = valable pour un gaz

ultrarelativiste ( pc=ε ).

Application au cas des naines blanches 1. Le volume et le rayon de l'étoile sont donnés par

(19) 320 m100.2 ×==ρSM

V

et

(20) m106.34

3 6

3/1

×=

=πV

R

Cette naine blanche a un rayon voisin de celui de la Terre.

2. Le nombre d'atomes d'hélium de l'étoile est

(21) ( )56

4100.3

2×=×= N

HeM

MN S

Il existe donc 56103× noyaux d'hélium et 56106×=N électrons dans l'étoile. Le nombre

volumique d'électrons est donc 336 m103/ −×=VN , soit environ 810 fois plus que dans les métaux.

3. Avec la densité N/V calculée précédemment, on obtient 1220 smkg107.4 −−×=Fp et

72.1/0 == mcpx FF . Ce résultat montre que les électrons proches de la surface de la sphère de

Fermi sont relativistes. Il faudra donc utiliser la cinématique relativiste. 4. L'énergie de Fermi a pour valeur

(22) ( ) eV1002.1J1063.11 6132/1220 ×=×=+= −FF xmcε

La température de l'étoile étant K107=T , nous sommes dans le cas où 1108/ 40 <<×= −FkT ε .

On peut donc se contenter de l'approximation du zéro absolu. 5. A partir de l'expression (6) de Fx , on tire

(23) 3

31

2

3

Fxmc

hNV

=π

et Fx

N

mc

hVR

1

4

9

24

33/1

2

3/1

=

=ππ

La masse de l'étoile étant ( ) pp NmmNM 242/ =×= , on a finalement

(24) 3

31

22

3

Fp xm

M

mc

hV

=π

et Fp xm

M

mc

hR

13

4

3/13/2

=π

6. En portant l'expression précédente de V dans celle de 0U (11), on obtient

(25) ( )3

20

2

3

F

F

p x

xh

m

MmcU =

7. De même, l'expression (24) de R étant portée dans celle de E, on a

(26)

F

p

p

F

p

xm

Mmc

hc

Gm

xM

m

h

mcGME

3/5

2

3/22

3/13/2

2

3

4

3

4

−=

−=

πα

πα

Cette expression a la forme demandée avec la constante sans dimension

(27) hc

Gm p

23/2

33

32

= πγ

8. Le rayon de l'étoile à l'équilibre est donné par la condition de minimum de l'énergie totale EUU += 0 par rapport à R, M restant fixé, soit

(28) 00

=

=RRdR

dU

Les variables R et Fx étant liées par la relation (24), la condition peut s'écrire 0/ =FdxdU .

9. Avec les expressions (25) et (26) de 0U et E, cette condition d'équilibre donne :

(29) ( ) ( )

08

33

2

33/5

2

4

2 =

−−′

=pF

FFF

pF m

Mmc

x

xhxhx

m

Mmc

dx

dU αγ

et, après simplifications :

(30) ( ) ( ) ( ) 3/2

4

34

=−′

=pF

FFFF

m

M

x

xhxhxxf αγ

10. Pour kg102 30×== SMM , on doit résoudre graphiquement ( ) 70.0=Fxf , d'où par lecture sur

la figure précédente, 25.1=Fx . En utilisant la relation (24), on obtient

(31) km5000m1000.5 60 =×=R

Cette valeur conforme l'ordre de grandeur du rayon de l'étoile typique adoptée ci-dessus.

11. Lorsque Fx tend vers l'infini, la forme limite de ( )xh montre que ( ) 1→Fxf . Il n'y a donc plus

de solution à l'équation d'équilibre pour une masse supérieure à

(32) Spl MmM 72.1kg1044.31 30

2/3

=×=

×=

αγ

Pour des masses supérieures à lM , il n'existe pas d'état d'équilibre dans lequel les forces de

pression cinétique du gaz électronique peuvent contrebalancer les forces d'attraction gravitationnelle. L'étoile se contracte alors et, la température croissant, de nouvelles réactions nucléaires apparaissent et l'étoile se trouve dans un autre régime (étoile à neutrons). Dans une théorie plus complète dans laquelle on tient compte de la variation de densité de

l'étoile avec la profondeur, on trouve que Sl MM 44.1= (limite de Chandrasekhar). Le fait que

le modèle élémentaire donne des résultats proches de ceux du modèle général est dû au fait que le gaz d'électrons de l'étoile est peu compressible en raison du principe d'exclusion de Pauli.

Problème 2

Emission d'électrons par un métal Pour interpréter l'émission d'électrons par un métal, nous prenons un modèle dans lequel les électrons libres forment un gaz de particules sans interactions, les ions du cristal créant un puits de potentiel uniforme d'énergie Aε− ( 0>Aε ) à l'intérieur du cristal ( Aε est appelé affinité du métal).

Les électrons ayant une énergie cinétique suffisante peuvent quitter le métal, donnant lieu au phénomène d'émission thermoélectronique, important aux températures élevées.

1. Donnez l'expression du nombre volumique d'électrons pnd 3 ayant leur impulsion égale à p à

p3d près. On notera Fε l'énergie de Fermi des électrons. En déduire l'expression de vnd 3 , v

désignant la vitesse. 2. Calculez le nombre volumique

zvdn d'électrons ayant leur vitesse selon une direction Oz

comprise entre zv et zz dvv + . On pourra poser ( ) kTvvmu yx 2/22 += et on remarquera que

(1) u

u

u eC

e

Ce −

−

+=

+11

3. Quel est le nombre vNd ′6 d'électrons ayant la vitesse v à v3d près, traversant une surface

normale à Oz d'aire dS pendant une durée dt ? En déduire l'expression de la densité de courant élémentaire zdj associé aux électrons dont la composante normale de la vitesse est comprise

entre zv et zz dvv + . On posera 2/2zz mv=ε .

4. On suppose que les seuls électrons pouvant quitter le métal sont tels que Az εε > . Trouvez

l'expression de la densité de courant totale zjj ≡0 des électrons quittant le métal sachant que le

travail de sortie FAw εε −= est très grand devant kT (loi de Richardson).

5. La figure ci-dessous représente le courant 0I émis par une cathode de tungstène recouverte

d'une couche d'oxyde, en fonction de la température T. Montrer que la loi de Richardson est en accord avec les données et déterminer la valeur de w.

6. Lorsqu'on applique une différence de potentiel ∗V ( 0<∗V ) entre une cathode et une anode

collectrice faites du même métal (effet Schottky), on admet que seuls les électrons d'énergie ∗−> eVAz εε peuvent atteindre l'anode et contribuer au courant.

Quelle est l'expression du rapport 0/ II des courants mesurés en présence et en absence de

différence de potentiel ∗V ? 7. Les mesures effectuées avec la cathode en tungstène décrite à la question 5 et une anode en

tantale ont montré que l'intensité du courant I est de la forme

(2) T

V

I

I ∗

≅ 4650log0

où 0VVV −=∗ est une différence de potentiel effective reliée à la différence de potentiel

appliquée V et où 2.30 =V volts est une constante. Cette loi expérimentale est-elle en accord

avec la loi théorique obtenue en 6 ? Que représente la quantité 0eVw =∆ ?

Solution 1. Nous renvoyons à la loi de distribution des vitesses d'électrons libres de la section V.6.4. On a

(3) vv

v

3

12

3

33 1

2exp

2d

kTkT

m

h

mnd F

−

+

−= ε

2. En passant en coordonnées polaires ( )φρ , dans le plan ( )yx vv , , puis en posant

( ) kTmkTvvmu yx 2/2/ 222 ρ=+= , il vient

(4) ∫∫ +=

1

123

3

uzzv Cedud

m

kTdv

h

mdn φ ,

−=kTkT

mvC Fz ε

2exp

2

En intégrant sur φ ( πφ 2→d ) et en utilisant l'identité de l'énoncé, on obtient

(5)

( )[ ]

zzF

z

u

zv

dvkT

mv

kTkT

h

m

dveCkTh

mdn

−+=

+−= ∞−

2exp1ln

4

ln4

2

3

2

03

2

επ

π

3. Comme le montre la théorie cinétique des gaz, on a dtdSvndNd zvv

36 =′ . En intégrant sur xv et

yv , le nombre d'électrons de vitesse normale à la surface égale à zv à zdv près est

(6) dtdSvdnNd zzvzv=′4

et la densité de courant associée dtdSNeddjzvz /4 ′= a pour expression :

(7) zzF

z dkT

kTh

medj εεεπ

−+= exp1ln

43

avec zzz dvmvd =ε

4. La densité de courant cherchée s'obtient en intégrant zdj sur toutes les valeurs de zε

supérieures à Aε . Comme kTFAFz >>−>− εεεε , l'exponentielle dans zdj est très petite

devant 1 et on a

(8)

( )

−=

−

= ∫∞

kT

wkT

h

me

dkTkT

kTh

mej

Az

zF

exp4

expexp4

2

3

30

π

εεεπε

Cette expression constitue la loi de Richardson. Notons que dans le domaine d'intégration, on a

1/ <<ii gN et on a utilisé implicitement l'expression approchée (4) de la section V.6.1 de la

fonction de Fermi.

5. La figure précédente montre que le courant 0I varie comme ( )TBT /exp2 − en accord avec la

loi de Richardson. La valeur numérique de la pente B déterminée sur la figure est B = 14400 K. Elle permet de calculer le travail de sortie, soit

(9) eV24.1==e

kBw

Notons que les données expérimentales ne permettent de déterminer la valeur de l'exposant T qu'avec un faible précision. Le modèle de Fowler, qui prend en compte la couche d'oxyde, conduit à un facteur 4/5T au lieu de 2T et reproduit aussi bien les données. Par ailleurs, le

facteur de normalisation théorique est supérieur au facteur expérimental. Une des raisons de ce fait est l'existence d'un facteur de réflexion d'origine quantique à la traversée d'une barrière de potentiel.

6. Il suffit de reprendre le calcul du 4 en remplaçant Aε par ∗− eVAε , soit aussi w par ∗− eVw .

La densité de courant (8) devient alors

(10)

=

∗

kT

eVjj exp0

et une relation similaire entre I et 0I .

7. Numériquement, la relation théorique entre I et 0I est donc

(11) T

V

kT

eV

I

I ∗∗

=×= 504043.0ln0

en accord satisfaisant avec l'expérience. Le terme 0V appelé potentiel de contact, intervenant expérimentalement, est dû au fait que les

métaux de la cathode et de l'anode sont différents. En effet, lorsque la cathode et l'anode sont reliés par un conducteur, des électrons passent d'un métal à l'autre et se localisent sur les surfaces en regard. Ceci a pour conséquence de créer un champ électrostatique entre les métaux et une différence de potentiel qui croît jusqu'à ce que les énergies de Fermi soient égales (figure ci-dessous).

La quantité (12) 120 wweVw −=≡∆

est la différence des travaux de sortie de l'anode 2w et de la cathode 1w . Il s'ensuit que le travail

de sortie du tantale est eV4.4012 =+= eVww .

La figure ci-dessous représente des résultats expérimentaux de l'effet Schottky pour une cathode cylindrique en tungstène recouverte d'oxyde.

La loi théorique de Schottky, obtenue en tenant compte de la cinématique des électrons entre

une cathode et une anode coaxiales, est représentée en trait plein. Pour TV /∗ inférieure à

environ 14 KV105.2 −−×− , cette loi est linéaire avec une valeur de la pente égale à celle donnée

dans l'énoncé. Au-dessus de 14 KV105.2 −−×− , l'intensité est plus faible que celle prévue par la

loi de Schottky en raison des défauts de surface de la cathode. Il s'ensuit que, pour que l'intensité du courant atteigne sa valeur idéale en champ nul (courant de saturation), il est

nécessaire d'appliquer une différence de potentiel ∗V légèrement positive (~50 mV). Pour des

valeurs de ∗V supérieures, le courant croit à nouveau car la sortie des électrons est facilitée par l'abaissement de la barrière de potentiel.