COURS ELN2 Premier Semestre 2

IUT 1 Grenoble Dt Gnie Electrique et Informatique Industrielle 2 Physique : phnomnes de propagation en radiofrquences

Philippe Ferrari - 0 -

PHENOMENES DE PROPAGATION EN RADIOFREQUENCES

ELECTRONIQUE RAPIDE

COURS



SOMMAIRE 1 INTRODUCTION 2

1.1 PRAMBULE : MISE EN VIDENCE DES PHNOMNES DE PROPAGATION EN LECTRONIQUE 2 1.2 LES FRQUENCES MICRO-ONDES 3 1.3 APPLICATIONS DES ONDES LECTROMAGNTIQUES 4 1.3.1 HISTORIQUE 4 1.3.2 QUELQUES APPLICATIONS TYPIQUES 5 1.4 CIRCUITS MICRO-ONDES ET MTHODES DANALYSE 7

2 LA LIGNE DE PROPAGATION ANALYSE PAR LA THORIE DES CIRCUITS 9

2.1 MODLE CIRCUIT DUNE LIGNE DE PROPAGATION 9 2.2 EQUATIONS DIFFRENTIELLES COUPLES 10 2.3 RGIME HARMONIQUE 11 2.3.1 EQUATIONS DE PROPAGATION 11

2.3.2 ETUDE GNRALE DES FONCTIONS

vxtf ET

+

vxtf 13

2.3.3 CARACTRISTIQUES DES ONDES : IMPDANCE CARACTRISTIQUE, EXPOSANT DE PROPAGATION, COEFFICIENT DE RFLEXION 15 2.3.4 COEFFICIENTS DE RFLEXION ET DE TRANSMISSION RAPPORT DONDES STATIONNAIRE (ROS) 17 2.4 ADAPTATION DIMPDANCE 21 2.4.1 ADAPTATION PARTIE RELLE : TRANSFORMATEUR DONDE 21 2.4.2 ADAPTATION PARTIE IMAGINAIRE : STUB 21 2.5 OUTILS DANALYSE : ABAQUE DE SMITH PARAMTRES S GRAPHES DE FLUENCE 22 2.5.1 ABAQUE DE SMITH 22 2.5.2 PARAMTRES S - MATRICES 31 2.5.3 GRAPHES DE FLUENCE 37 2.6 INTRODUCTION AU RGIME TEMPOREL : RFLECTOMTRIE TEMPORELLE 39 2.6.1 PRINCIPE 39

3 PRINCIPES DE LA CAO RF-ONDES 44

3.1 MODLISATION 44 3.2 SIMULATION 45

4 PRINCIPES DES APPAREILS DE MESURE RF-ONDES 45



1 Introduction

1.1 Prambule : mise en vidence des phnomnes de propagation en lectronique Il sagit ici de montrer que lorsque la frquence des signaux se propageant sur une ligne

augmente, il devient ncessaire de prendre en compte les phnomnes de propagation. Nous prenons une exprience trs simple qui consiste relier un gnrateur de tension sinusodale ( gg Rv , ) une charge cR par lintermdiaire de deux fils parallles A-B et C-D (Figure 1). La charge est relie un voltmtre par un cble coaxial de un mtre de longueur environ (longueur l).

Figure 1. Mise en oeuvre des phnomnes de propagation.

Compte tenu de la longueur des fils de connexion, si la frquence du gnrateur est infrieure 1 MHz environ, la tension lue au voltmtre est videmment :

gc

cglue RR

RVV+

= .

Lorsque lon augmente la frquence tout en conservant la tension efficace Vg constante, on constate que la tension lue varie. Si lon divise la longueur l par dix, soit un cble coaxial de longueur 10 cm, on constate que ce phnomne se produit pour une frquence dix fois suprieure. La tension lue au voltmtre dpend donc de la longueur du cble coaxial et de la frquence de fonctionnement. Pour comprendre ce phnomne, il faut faire appel la thorie de la propagation des ondes lectromagntiques que nous allons dvelopper. On peut dj affirmer que pour viter les phnomnes de propagation dans les circuits lectroniques, il faut que la dimension de ces circuits soit plus petite que la longueur associe la longueur donde des signaux mis en jeu :

fv

= ,

avec v la vitesse des signaux et f leur frquence. Plus la frquence crot, plus la longueur donde diminue, plus les phnomnes de propagation sont susceptibles dintervenir. Ds lapparition de la miniaturisation apporte par la microlectronique vers les annes 1960, les lectroniciens ont cru longtemps quils allaient pouvoir viter les mthodes lourdes danalyse lectromagntique qui permettent de prendre en compte les phnomnes de propagation. Mais les ambitions des lectroniciens ne se sont pas limites qu la miniaturisation des circuits. Du fait du besoin accru de plages de frquences libres pour les applications de tlcommunication, les frquences de fonctionnement ont augment. De plus, la complexit de larchitecture des circuits entrane des couplages entre circuits qui ne peuvent se traiter que grce la thorie de llectromagntisme. Aucun lectronicien ne peut ignorer aujourdhui les concepts de base de llectromagntisme qui interviennent dans lanalyse des circuits dlectronique rapide.

lueV Rc gV

ml 1

Rg

B A

D C

B



Dans le domaine de llectronique rapide, nous considrons des frquences suprieures la centaine de MHz. Nous entrons alors dans le domaine des micro-ondes ou des hyperfrquences, allant de quelques centaines de MHz quelques centaines de GHz (109 Hz). Au-del des GHz, on trouve les THz (1012 Hz).

1.2 Les frquences micro-ondes Le terme micro-ondes est utilis pour dcrire les ondes lectromagntiques allant de 1 cm

1 m dans lair, correspondant des frquences situes entre 300 MHz et 300 GHz. Dans un milieu diffrent de lair, donc de permittivit relative suprieure 1, ce spectre est dplac vers le bas car la vitesse de londe est alors infrieure la vitesse de la lumire :

r

Cv

= ,

avec C la vitesse de la lumire dans le vide, r la permittivit relative du milieu. Les ondes lectromagntiques possdant des longueurs donde situes entre 1 et 10 mm sont appeles ondes millimtriques. Le spectre infrarouge correspond des longueurs dondes situes entre 1 m et 1 mm. Ensuite, nous avons le spectre optique visible, le spectre ultraviolet, et finalement les rayons X. Divers modes de classification sont utiliss pour dsigner les bandes de frquence du spectre lectromagntique. Ces classifications sont rsumes dans les tableaux 1 et 2. La classification en bandes RADAR (Tableau 2) date de la seconde guerre mondiale et demeure toujours dusage aujourdhui mme sil est recommand dutiliser la nouvelle classification militaire.

Bande de frquences

Dsignation Applications typiques

3 3 KHz Very Low Frequency (VLF)

Navigation, sonar

30 300 KHz Low Frequency (LF)

Balises radio, aide la navigation

300 3000 KHz Medium Frequency (MF)

Radiodiffusion AM, radio maritime

3 30 MHz High Frequency (HF)

Tlphone, tlgraphe et fax, Radiodiffusions internationales ondes courtes, radio amateur,

30 300 MHz Very High Frequency (VHF)

Tlvision, Radiodiffusion FM, contrle du trafique arien, aide la navigation

300 3000 MHz Ultra High Frequency (UHF)

Tlvision, communications satellites, sondes radio, surveillance radar, aide la navigation

3 30 GHz Super High Frequency (SHF)

Radar satellite, liaisons micro-ondes, communications mobiles, communications satellites

30 300 GHz Extreme High Frequency (EHF)

Radar, expriences

Tableau 1. Dsignation des bandes de frquence.



Frquence Dsignation des bandes micro-ondes

Ancienne Nouvelle 500 1000 MHz VHF C 1 2 GHz L D 2 3 GHz S E 3 4 GHz S F 4 6 GHz C G 6 8 GHz C H 8 10 GHz X I 10 12,4 GHz X J 12,4 18 GHz Ku J 18 20 GHz K J 20 26,5 GHz K K 26,5 40 GHz Ka K

Tableau 2. Dsignation militaire des bandes de frquence micro-ondes.

La Figure 2 donne une reprsentation de la correspondance entre frquence et longueur dans le vide ( 1=r ).

Figure 2. Correspondance frquence longueur donde dans le vide.

Actuellement, avec le dveloppement de la tlphonie mobile autour de 900 MHz et 1800-2000 MHz, la dnomination Radiofrquences redevient utilise. Cette dnomination couvre approximativement la bande 300 MHz 3 GHz. Compte tenu de la dimension des composants et circuits intgrs, dans la bande UHF et jusqu environ 1 GHz, la majorit des circuits de communication sont raliss laide dlments localiss, rsistance, inductances, capacits, tels quon les connat en lectronique (technologie CMS). Entre 1 et 100 GHz, ces lments localiss sont remplacs, grce des quivalences, par des circuits raliss laide de lignes de propagation. Ltude de ces circuits spcifiques sera effectue dans le cours dlectronique du second semestre.

1.3 Applications des ondes lectromagntiques

1.3.1 Historique Lintrt pour les frquences micro-ondes est apparu pour un grand nombre de raisons. La

plus basique est le besoin toujours croissant de bandes spectrales pour les applications radiofrquences et toutes les applications pour lesquelles seules les frquences micro-ondes peuvent tre utilises. La bande de frquence 1 GHz (109 Hz) 1 THz (1012 Hz) contient 1000 fois la bande de frquence DC 1 GHz, on comprend ainsi pourquoi les frquences micro-ondes sont si largement utilises dans un contexte de besoin croissant de nouvelles plages de frquence. Au dpart, durant la seconde guerre mondiale et les annes qui suivirent, lingnierie micro-onde tait synonyme dingnierie RADAR (Radio Detection And Ranging) du fait du fort dveloppement de systme micro-ondes impuls par le besoin de radars trs haute rsolution

f

3 MHz

100 m

30 MHz

10 m

300 MHz

1 m

3 GHz

10 cm

30 GHz

1 cm

300 GHz

1 mm HF VHF UHF SHF EHF



capables de dtecter et de localiser les avions et troupes ennemies. Les radars actuels, sous leurs diverses formes, anti-missiles, anti-feu, mto, guidage de missiles, contrle du trafique des aroport, , reprsente encore une utilisation majeure des micro-ondes. Cette utilisation est lie la ncessit davoir des antennes possdant un diagramme de rayonnement le plus fin possible, c'est--dire dont le faisceau est le plus troit possible, comme ce qui peut tre ralis par voie optique laide de LASERs. La capacit pour une antenne focaliser le rayonnement sur un faisceau troit est limite par les phnomnes de diffraction, qui sont caractriss par la taille relative de lantenne (ouverture rayonnante) par rapport la longueur donde. Par exemple, une antenne de type parabole produit un cne de rayonnement possdant un angle douverture A donn par lexpression simple suivante :

0/

140DA

= ,

o D est le diamtre de la parabole, 0 est la longueur donde dans le vide. Ainsi une antenne de diamtre 90 cm peut produire un faisceau possdant un angle douverture de 4,7 10 GHz. Un faisceau de ce type peut dj donner une information tout fait correcte sur une cible vise par un radar. Pour atteindre la mme finesse de faisceau 100 MHz, lantenne doit possder un diamtre 100 fois plus important, savoir 90 m. Il est ainsi clair que lon doit travailler des frquences suffisamment leves afin de minimiser la taille des antennes. Les frquences micro-ondes permettent dobtenir des antennes de lordre de quelques mm quelques dizaines de cm, correspondant la taille des circuits ou systmes utiliss, et pouvant tre embarqus (avions, bateaux, satellites). Cette simple explication explique galement pourquoi les signaux radio ne peuvent tre transmis en bande de base (frquences audibles de 50 Hz 15 KHz environ) car cela ncessitera des antennes de plusieurs centaines de km de long. Nous reviendrons sur ces aspects importants la fin de ce cours lorsque nous discuterons des antennes. Plus rcemment, les frquences micro-ondes ont commenc tre largement utilises dans les systmes de communication. Du fait que les communications micro-ondes seffectuent vue en espace libre, nous avons alors vu apparatre des antennes places au sommet de tours ou de pics montagneux. Trs rapidement, les satellites gostationnaires ont t utiliss pour les communications micro-ondes comme stations relais. Le premier plac en orbite fut Telstar, lanc en 1962 et fournissant la premire transmission tlvision en direct des Etats-Unis vers lEurope. Depuis, les satellites sont trs largement utiliss pour des objectifs de communication, de surveillance, ou pour collecter des donnes atmosphriques ou mtorologiques. Pour la tlvision, la bande C est la plus utilise aux Etats-Unis. La transmission ou canal de monte (terre ! satellite) utilise la bande 5,9 6,4 GHz, et la rception ou canal de descente utilise la bande 3,7 4,2 GHz. Pour la rception, des antennes paraboliques de 2,4 m de diamtre sont gnralement utilises, puis la tlvision est diffuse par cble au sol vers les particuliers. Une seconde bande a galement t attribue pour la diffusion directe vers le particulier, principalement utilise en Europe et au Japon : 14 14,5 GHz pour la transmission et 10,95 11,2 GHz ou 11,45 11,7 GHz pour la rception. Dans cette bande, lantenne doit possder un diamtre de 90 cm pour une rception correcte. Ce sont les antennes visibles sur nombre de toits ou balcons.

1.3.2 Quelques applications typiques Le dveloppement successif du tlphone, de la radiodiffusion, de la tlvision, des

ordinateurs, ont abouti un volume de donnes changes considrable et dont le transfert entre diffrents lieux seffectue par lintermdiaire dondes lectromagntiques guides dans des cbles ou des fibres, ou rayonnes dans lair par lintermdiaire dantennes. Pour tenter de satisfaire tous les utilisateurs, le spectre hertzien a t divis en diffrentes plages ou bandes de frquences attribues essentiellement pour les applications militaires, les tlcommunications civiles et la radionavigation. La rpartition des frquences est effectue par lUnion Internationale des



Tlcommunications (UIT), organisme international dont le sige est Genve et qui dpend de lONU. Si llectronicien peut se permettre lutilisation de nimporte quelle frquence lorsquil travaille avec des circuits blinds, il devient rprhensible lorsquun lment de son circuit rayonne et savre susceptible de gner lenvironnement (problme de compatibilit lectromagntique CEM). Le spectre hertzien, comme on la vu, est ainsi divis par plages de largeur variable attribues des utilisations bien spcifiques, aucune plage jusquaux micro-ondes ntant laisse libre. LUIT remet priodiquement jour un recueil dutilisation du spectre hertzien dont le volume est semblable celui dun dictionnaire classique. Le Tableau 1 donne les applications principales par bandes de frquences. Nous donnons ci-dessous quelques applications et leur bande de frquence prcise.

87 107 MHz : plage utilise en radiolectricit pour les missions en Modulation de Frquence (FM).

54 216 MHz : transmission des canaux tlvision dits VHF par voie terrestre. 470 890 MHz : transmission des canaux tlvision dits UHF par voie terrestre. 890 960 MHz : Technologie GSM pour la tlphonie mobile. 1710 1880 MHz : Technologie DCS 1800 pour la tlphonie mobile. 2450 2500 MHz : fours micro-ondes et applications civiles (radar, ). 60 GHz : rseaux de transmission courte porte intra-muros. 77 GHz : radars anticollision automobile.

La Figure 3 donne le principe et les frquences de fonctionnement des technologies GSM et DCS 1800, qui constituent les standards Europens en tlphonie mobile.

Figure 3. Principe et frquences de fonctionnement des technologies GSM et DCS 1800.

La Figure 4 donne une ide de la trs forte croissance du march de la tlphonie mobile, passant de moins de 100 millions dabonns en 1997 plus de un milliard en 2004. La taille de ce march implique la formation de techniciens et ingnieurs comptents dans le domaine des micro-ondes.

GSM

DCS 1800

890 915 935

Tx

960

Rx f(MHz)

1785 1805

Tx

1880

Rx f(MHz)

MS=mobile station 1 - 2Watts BS=base station

300 Watts

Uplink ( Tx )

Downlink ( Rx )

GSM

DCS 1800

890 915 935

Tx

960

Rx f(MHz)

Tx Rx f(MHz)

MS=mobile station 1 - 2Watts BS=base station

300 Watts

Uplink ( Tx )

Downlink ( Rx )

1710



Figure 4. Evolution du march de la tlphonie mobile en nombre dutilisateurs de tlphones portables (nombre dabonns).

Si lon considre llectronicien comme le spcialiste des circuits mettant en jeu des circuits transistors, on peut considrer que celui-ci peut sattendre au cours de sa carrire tre confront au spectre sur lequel les transistors fonctionnent. Or actuellement les transistors les plus performants possdent des frquences de transition suprieures 500 GHz. Il est donc ncessaire de sintresser au domaine des micro-ondes, et donc dtudier la propagation des ondes lectromagntiques le long de lignes, puis ensuite les composants et circuits micro-ondes. Le formalisme mathmatique complet pour ltude de la propagation des ondes est complexe et fait appel aux quations de Maxwell. En pratique, on se rfre cependant rarement aux quations de Maxwell pour traiter les problmes de propagation. On utilise une approche circuit en utilisant des quivalences entre le courant et la tension, et les champs magntique et lectrique. Dans ce cours, nous dveloppons cette approche circuit . Le cours dlectronique du second semestre sera destin ltude des phnomnes de propagation laide des quations de Maxwell.

1.4 Circuits micro-ondes et mthodes danalyse Comme on la soulign, les phnomnes de propagation mis en vidence au paragraphe 1.1

imposent le recours des circuits et mthodes danalyse spcifiques ds lors que la longueur donde correspondant la frquence ne pleut plus tre considre comme trs leve vis--vis des dimensions du circuit (rapport 10 20 minimum). Lune des exigences essentielle pour un circuit micro-onde est alors de pouvoir transmettre correctement (sans distorsion et pertes) un signal dun point un autre. Cela ncessite le transport de lnergie sous la forme dune onde lectromagntique se propageant. Lutilisation de deux fils parallles est impossible pour des frquences suprieures quelques dizaines de MHz. Les paires torsades peuvent tre utilises jusqu environ la centaine de MHz sur des distances de quelques mtres. Ensuite les utilisateurs ont recours des supports de transmission spcifiques, appeles lignes de propagation ou lignes de transmission . La Figure 5 dcrit quelques topologies classiques de lignes de transmission. Le cble coaxial est utiliss pour relier des systmes entre eux et peut supporter des puissances leves de plusieurs centaines de

1997

250

500

1000

2000

750

400

2003

1250

Subscribers (Millions)

1997

250

500

1000

2000

750

400

2003

1250

Subscribers (Millions)



Watts. Il est limit des frquences de 110 GHz actuellement du fait des dimensions qui deviennent alors microniques et ncessitent des prcisions dusinage extrmes. La ligne micro-ruban est utilise lintrieure des systmes. Sa structure planaire permet le montage de transistors ou de puces en surface. Le guide donde coplanaire est galement une structure planaire, il possde lavantage par rapport la ligne micro-ruban dtre moins dispersif (la permittivit effective reste constante sur une plus large bande de frquence), mais demeure plus gourmand en dimensions transversales.

Figure 5. Quelques lignes de propagation classiques.

Pour des frquences suprieures la centaine de GHz, pour lesquelles on trouve essentiellement des applications radar ou spatiales, on utilise principalement les guides donde, rectangulaires ou cylindriques, du fait de leurs meilleures proprits lectriques ou mcaniques.

Figure 6. Guides donde.

Figure 7. Attnuation typique pour les quatre supports de transmission les plus utiliss pour relier des systmes entre eux (> quelques 10 cm).

Cble coaxial Ligne micro-ruban Guide donde coplanaire

Guide cylindrique Guide rectangulaire

Distance en km

100

0

200

0

300

400

500

600 100 100010 10000

Attnuation dB / km

Espace libre

Fibre optique 0,5 dB/km

Guide circulaire 2 dB/km

Cble coaxial

60 dB/km



2 La ligne de propagation Analyse par la thorie des circuits Les phnomnes de propagation sur les lignes plusieurs conducteurs studient laide des

quations de Kirchoff : loi des mailles et loi des nuds. La dmarche est la suivante : 1. Construction dun modle de la ligne de propagation. 2. Etablissement des quations diffrentielles couples rgissant la propagation dune onde

de tension ou de courant sur la ligne. 3. Rsolution de des quations diffrentielles couples en rgime harmonique : ondes

progressives et rgressives, vitesse de phase, longueur donde. 4. Caractristiques des ondes : mise en vidence des concepts dimpdance caractristique,

dexposant de propagation, et de coefficient de rflexion. 5. Introduction doutils danalyse : abaque de Smith, paramtres S. 6. Analyse temporelle des phnomnes de propagation : rsolution des quations diffrentielles

dans le domaine temporel. Ltape 6. est de loin la plus complique. Lanalyse temporelle ncessite la rsolution directe de lquation diffrentielle, et donc des outils mathmatiques danalyse, alors que lanalyse harmonique, qui fait appel la notation complexe, se rsume ltude de problmes algbriques. On peut comparer avec le domaine de lautomatique (systmes asservis). Il est largement plus ais de driver la fonction de transfert dun systme, qui correspond au rgime harmonique, plutt que sa rponse indicielle (analyse temporelle ou dynamique ).

2.1 Modle circuit dune ligne de propagation Pour commencer, on considre une ligne bifilaire comme dcrit sur la Figure 8. En

lectronique, ces lignes sont utilises classiquement pour relier des systmes entre eux, leur longueur, en fonction des applications, peut varier de quelques mm quelques mtres.

Figure 8. Ligne bifilaire.

Nous allons tudier le comportement de cette ligne lorsque la frquence augmente, en partant des basses frquences. En basse frquence, c'est--dire en dessous de quelques MHz, la ligne peut tre modlise par une simple rsistance. Lorsque lon augmente la frquence, on voit apparatre un phnomne de filtrage passe-bas. Ce phnomne a lieu entre quelques dizaines de MHz et quelques centaines de MHz, dpendant comme on le verra par la suite de la longueur de la ligne. On constate videmment ce phnomne sur les lignes tlphoniques, ce qui pose des problmes pour transmettre des informations haut dbit. Ce phnomne peut tre modlis par une capacit en parallle sur la ligne. Cette capacit traduit physiquement le fait que lon dispose de deux conducteurs en vis vis. Enfin si lon augmente encore la frquence, on se retrouve dans le cas de lexprience de la Figure 1 : la tension mesure au bout de la ligne nest pas du tout gale la tension applique en entre. Il se produit un phnomne de propagation. Ce phnomne est du au comportement inductif de la



ligne, on doit ainsi faire apparatre une inductance dans notre modle. Cette inductance traduit physiquement le phnomne dauto-inductance abord dans le cours de magntostatique de premire anne. Enfin, si le dilectrique sparant les deux conducteurs nest pas parfait, un courant de fuite pourra circuler entre ceux-ci. Ce courant engendrera des pertes, il est donc ncessaire dajouter au modle une rsistance parallle. Du fait que cette rsistance soit en parallle, on utilise plutt le terme de conductance. Nous avons ainsi un modle comportant quatre paramtres :

R : rsistance srie en Ohms (). L : inductance srie en Henrys (H). C : capacit parallle en Farads (F). G : conductance parallle en Siemens (S).

A ce stade, ayant compris la cause de la prsence de chacun de ces quatre lments, on pourrait penser modliser simplement la ligne par un arrangement de ces lments. On aurait alors un modle localis ou discret . Quel que soit larrangement, on naurait alors pas la possibilit de faire apparatre des effets de propagation et la structure serait un simple filtre localis de type passe-bas du second ordre. Afin de tenir compte de leffet prpondrant de propagation, la technique consiste tablir un modle dune section de longueur infinitsimale de ligne, puis ensuite dintgrer les quations diffrentielles dcrivant le modle ainsi constitu. Pour la suite, on considre donc un lment de ligne de longueur infinitsimale dx (Figure 9). Dun point de vue vocabulaire, nous utiliserons le terme section lmentaire pour dcrire une section de longueur infinitsimale. Les quatre lments R, L, C et G sont dfinis de manire linique et ont pour dimension :

R : rsistance linique srie en Ohms (/m). L : inductance linique srie en Henrys (H/m). C : capacit linique parallle en Farads (F/m). G : conductance linique parallle en Siemens (S/m).

Ces quatre lments R, L, C et G ainsi dfinis sont appels paramtres primaires de la ligne de propagation.

Figure 9. Section lmentaire de ligne de propagation.

2.2 Equations diffrentielles couples Lcriture des quations de Kirchoff donne, en considrant que les variations en fonction du temps de ( )xv et de ( )dxxv + sont les mmes du fait que dx est une longueur infinitsimale :

Cdx

Rdx

Gdx

Ldx i(x+dx) i(x)

v(x+dx) v(x)

dx



( ) ( ) ( ) ( )t

txiLdxtxiRdxtxvtdxxv

=+

,.,.,, (1)

( ) ( ) ( ) ( )t

txvCdxtxvGdxtxitdxxi

=+

,.,.,, (2)

Du fait que dx est une longueur infinitsimale, on peut crire :

( ) ( ) ( )x

txvdx

txvtdxxv

=

+ ,,, et ( ) ( ) ( )x

txidx

txitdxxi

=

+ ,,, (3)

Do les deux quations diffrentielles :

( ) ( ) ( )

ttxiLtxiR

xtxv

=

,,., (4)

( ) ( ) ( )

ttxvCtxvG

xtxi

=

,,., (5)

2.3 Rgime harmonique

2.3.1 Equations de propagation Dans cette partie, nous rsolvons les quations (4) et (5) en rgime harmonique, donc en

considrant comme excitation une onde sinusodale de frquence f. Nous utilisons donc le formalisme mathmatique des notations complexes qui simplifient grandement la rsolution. Les grandeurs complexes associes ( )txv , et ( )txi , scrivent donc : ( ) ( ) tjexVtxv .,,, = , (6) ( ) ( ) tjexItxi .,,, = , (7) avec : f 2= . ( ),xV et ( ),xI sont les amplitudes complexes associes la tension ( )txv , et au courant ( )txi , ,

respectivement. Ces amplitudes complexes ne dpendent videmment pas du temps du fait que lon effectue une analyse harmonique. Rappelons que lon revient aux grandeurs relles, dpendant du temps, en prenons mathmatiquement la partie relle des grandeurs complexes associes :

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )tCosVexVtxvtxv tj ..,Re,,Re, === . (8) En remplaant ( )txv , et ( )txi , par leur grandeur complexe associe dans les quations (4) et (5), on obtient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,,., xIjLRxIjLxIRxxV

+==

, (9)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,,., xVjCGxVjCxVGxxI

+==

. (10)

Le facteur tje slimine. On est alors ramen la rsolution dquations diffrentielles couples coefficients constants. Eliminons ( ),xV entre les deux quations ; pour cela, drivons lquation (10) par rapport x :



( ) ( ) ( )xxVjCG

xxI

+=

,,2

2

. (11)

Remplaons le terme ( )xxV

, par son expression (quation (9)) :

( ) ( )( ) ( ) ,,22

xIjLRjCGxxI

++=

. (12)

Soit encore :

( ) ( ) 0,, 22

2

=

xIxxI

. (13)

o ( )( ) jjLRjCG +=++= a la dimension de m-1. Nous verrons plus loin la signification physique de . De la mme manire, on obtient :

( ) ( ) 0,, 22

2

=

xVxxV

. (14)

Intgrons lquation (13). Lquation caractristique scrit : 22 =r , soit deux solutions :

=2

1

rr

. (15)

La solution gnrale est donc :

( ) ( ) ( ) xx eBeAxI += , , (16) o ( )A et ( )B sont des amplitudes complexes sexprimant en Ampres et dpendant uniquement de la pulsation . De la mme manire, on pourrait intgrer lquation (14), ce qui introduirait deux nouvelles constantes dintgration : ( )C et ( )D , qui ne peuvent pas tre indpendantes de ( )A et ( )B . Il vaut donc mieux reporter (16) dans (13). On obtient :

( ) ( )( ) ( ) ( )( )xx eBeAjCG jLRxV ++= , . (17) En posant :

( ) ( )( )

jCGjLRZc +

+= , (18)

nous obtenons en dfinitive le jeu dquations suivantes :

( ) ( ) ( ) xx eBeAxI += , . (19) ( ) ( ) ( ) ( )( )xxc eBeAZxV = , . (20) Ces relations reprsentent la solution gnrale relle suivante :

( ) ( ) ( )xtCosBextCosAetxi xx ++= , , (21)



( ) ( ) ( )( )xtCosBextCosAeZtxv xxc += , , (22) o, dans le cas gnral, A, B et Zc reprsentent le module de A , B et cZ , respectivement. Nous voyons apparatre deux fonctions :

xtf et

+

xtf . (23)

Nous allons montrer que ces fonctions caractrisent deux phnomnes de propagation dans deux directions opposes.

2.3.2 Etude gnrale des fonctions

vxtf et

+

vxtf

Le terme

a la dimension de linverse dune vitesse en m/s, nous le nommerons :

=v . (24)

Considrons la fonction

vxtf :

En x1 et au temps t1, la phase scrit :

vxt 11 .

En x1 et au temps t2 > t1 la phase scrit :

vxt 12 .

Cherchons, au temps t2, en quel point x2 > x1 la phase est la mme quen x1 au temps t1.

Nous crivons :

=

vxt

vxt 2211 , soit : ( ) tvttvxx == 1212 .

La phase sest donc dplace selon les x croissants la vitesse v (Figure 10). La phase sest propage avec la vitesse v qui est ainsi dfinie comme la vitesse de phase :

=v . (25)

Figure 10. Illustration de la notion de vitesse de phase.

Ainsi, toute fonction mathmatique

vxtf reprsente une onde qui se propage selon les x

croissants avec la vitesse v . On appelle ces ondes des ondes progressives.

x1 x2 tv

( )11 t ( )22 tx



De la mme manire, on montrerait que toute fonction mathmatique

+

vxtf reprsente

une onde qui se propage selon les x dcroissants avec la vitesse v . On appelle ces ondes des ondes rgressives. Par la suite, chaque fois que lon parlera dondes progressives, on utilisera lindice + . Lindice - sera utilis pour les ondes rgressives.

2.3.2.a Longueur donde

Reprsentons, un instant donn t, lexpression :

vxtCos (Figure 11).

Figure 11. Illustration de la notion de longueur donde.

La longueur donde est, par dfinition, la distance qui spare, un instant donn, deux points dabscisse x1 et x2 o la phase est la mme, 2 prs :

221 +

=

vxt

vxt , (26)

ce qui donne :

212 =

vxx , do :

vxx 212 == ,

en dfinitive, nous retiendrons :

2==

v , (27)

comme dfinition de la longueur donde .

2.3.2.b Formulation en ondes progressives et rgressives Nous avons tabli au paragraphe 2.3.1 les quations ci-dessous :

( ) ( ) ( ) xx eBeAxI += , . (28) ( ) ( ) ( )( )xxc eBeAZxV = , . (29)

x

x1 x2 ( )1

( )2

i ou v



Ces deux quations dpendent de deux coefficients complexes ( )A et ( )B . Nous pouvons rcrire ces quations en remarquant que le coefficient ( )A correspond aux ondes progressives et que ( )B correspond aux ondes rgressives. En posant :

( ) ( ) ( ) ( ) BIAI ==+ 00 et , (30)

( ) ( ) ( ) ( ) BZVAZV cc == + 00 et , (31) on obtient alors le jeu dquations suivantes :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xx eIeIxIxIxI

++ +=+= 00,,, , (32)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xx eVeVxVxVxV

++ +=+== 00,,, , (33)

o ( )+0I , ( )0I , ( )+0V et ( )0 V reprsentent les amplitudes complexes des courants et tensions en 0=x . On aurait pu crire ( ),0+I , ( ),0I , ( ),0+V et ( ),0 V Ce sont les quations (32) et (33) que nous utiliserons pour toute la suite du cours. Les relations liant ( )+0I , ( )0I , ( )+0V et ( )0 V se dduisent des quations (30) et (31) :

( )( ) ( )

cZIV

=

+

+

0

0 et ( )( ) ( )

cZIV

=

0

0 . (34)

Pour la suite, afin dallger les notations, nous omettrons les parenthses ( ) et ( ),x dans les quations manipules.

2.3.3 Caractristiques des ondes : impdance caractristique, exposant de propagation, coefficient de rflexion

2.3.3.a Impdance caractristique On crit le rapport tension sur courant en tout point de la ligne :

( )xZeIeIeVeV

IV

xx

xx

=

+

+=

+

+

00

00 . (35)

( )xZ a la dimension dune impdance. Si lon coupe la ligne labscisse arbitraire 1xx = et que lon remplace la partie correspondant 1xx > par une impdance de valeur ( )1xZ , rien nest chang pour la section prcdent la coupure.

Situation pour une onde progressive seule Si seule une onde progressive existe (termes en xe ), nous obtenons :

( ) cxx

ZIV

eIeV

IVxZ ====

+

+

+

+

+

+

0

0

0

0

. (36)

cZ ne dpend pas de x mais de la pulsation . Ceci montre que les ondes de courant et

tension progressives sont en tout point de la ligne dans un rapport cZ .



Situation pour une onde rgressive seule Si seule une onde rgressive existe (termes en xe + ), nous obtenons :

( ) cxx

ZIV

eIeV

IVxZ ====

+

+

0

0

0

0

. (37)

Le rapport onde de tension/onde de courant a le mme module que pour les ondes progressives, mais sa phase est oppose.

Ces deux situations correspondent concrtement au cas dune ligne semi infinie (termine seulement une extrmit). Dans ce cas en effet il ne peut y avoir quune seule onde (progressive ou rgressive) sous peine de voir tension et courant tendre vers linfini, ce qui est physiquement inacceptable. On en conclut que limpdance cZ correspond la valeur de limpdance quil faut connecter au bout dune ligne afin quelle se comporte comme une ligne semi infinie, c'est--dire pour que seule une onde (progressive ou rgressive) se propage. On nomme cette impdance limpdance caractristique de la ligne. Une ligne termine par son impdance caractristique cZ est dite adapte. Nous avons tabli lexpression de cZ en fonction des paramtres liniques de la ligne de propagation R, L, C et G :

( ) ( )( )

jCGjLRZc +

+= . (38)

Dans le cas gnral, limpdance caractristique dune ligne est donc complexe. En pratique cependant, la qualit des conducteurs utiliss (Cuivre, Or ou Argent) ainsi que des substrats dilectriques nous situent le plus souvent, dans le domaine de la RF, dans un contexte faibles pertes qui implique :

jCGjLR



est reli la vitesse de phase par la relation (27) que nous rappelons :

2==

v . (42)

On peut galement crire en fonction du temps caractristique de la ligne Tc : cT = , (43) o Tc sexprime en s/m et traduit le temps mis par londe pour parcourir une distance x. Cest linverse de la vitesse de phase. Dans lhypothse faibles pertes traduite par les relations (39), on obtient pour les expressions de et de : LC = . (44)

cc

GZZR

21

21

+= . (45)

Les termes cZ

R21 et cGZ2

1 reprsentent les pertes conductrices dues la rsistance srie R et les

pertes dilectriques dues la conductance G, respectivement. Dans la pratique, la qualit des dilectriques utiliss conduit souvent ngliger les pertes dilectriques qui savrent largement infrieures aux pertes conductrices.

2.3.4 Coefficients de rflexion et de transmission Rapport dOndes Stationnaire (ROS) La propagation des ondes dans une ligne de propagation est rgie par les caractristiques de

la ligne, qui imposent en particulier la vitesse et lattnuation des ondes, mais galement par les conditions aux extrmits, c'est--dire les composants ou circuits connects aux deux extrmits de la ligne. On nomme ces conditions conditions aux limites .

2.3.4.a Coefficient de rflexion On dfinit un coefficient de rflexion par le rapport dune onde se propageant dans un

sens sur londe se propageant en sens inverse, aprs rflexion sur un obstacle ou une discontinuit. Cette dfinition impose que lon dtermine le sens partir duquel le coefficient de rflexion est considr. Cela peut concerner les ondes de tension ou de courant, mais en pratique on considre essentiellement les ondes de tension. Pour une onde progressive de tension, on dfinit dans le cas gnral le coefficient de rflexion

+ en un point x de la ligne par :

( ) xxx

eVV

eVeVx

2

0

0

0

0

+

+

+ == . (46)

+ peut sexprimer en fonction de la terminaison au point lx = puisque cest cette terminaison qui conditionne le phnomne de rflexion. En lx = , on considre la ligne charge par une impdance

lZ , soit : ( )( )lIlVZl = .

On peut exprimer lZ en utilisant les quations de propagation (32) et (33), soit :



( ) ( )( ) ( ) ll

ll

cl eVeVeVeVZZ

+

+

+=

00

00 , (47)

soit :

( )( )llZZ cl

+

+

+

=

11

, (48)

soit encore :

( )cl

cl

ZZZZl

+

=+ . (49)

Pour une onde rgressive en tension, on obtient de la mme faon :

( )c

c

ZZZZl

+

=

0

0 , (50)

o 0Z est limpdance en 0=x . On en dduit la dfinition gnrale et unique du coefficient de rflexion en tension :

cech

cech

ZZZZ

+

=arg

arg, (51)

o echZ arg reprsente limpdance de charge de la ligne de propagation, quel que soit le sens de propagation considr. On peut dire que le coefficient de rflexion lextrmit dune ligne de propagation sexprime comme la diffrence entre limpdance de charge vue et limpdance caractristique de la ligne, divise par la somme . On pourrait montrer que le coefficient de rflexion en courant est gal loppos du coefficient de rflexion en tension.

2.3.4.b Coefficient de transmission Le coefficient de transmission est par dfinition le rapport entre londe de tension transmise

une charge, ou une liaison entre deux lignes, et londe de tension incidente (se propageant vers la charge). Pour une onde progressive de tension, on a donc :

( ) ( ) ( )xeV

eVeVeVxVxT x

xx

x ++

+

+

+

+ +=+

== 10

00

0

. (52)

Pour une onde rgressive de tension, on a :

( ) ( ) ( )xeV

eVeVeVxVxT x

xx

x +

+

++

+=+== 10

00

0

. (53)

On en dduit la dfinition gnrale et unique du coefficient de transmission en tension :

+=1T . (54)

On note que la tension transmise est gale la tension incidente plus la tension rflchie, et non moins, ce qui peut paratre contraire lintuition.



On peut vrifier que ce rsultat nest pas contradictoire avec la ralit physique qui implique que la puissance transmise doit tre gale la puissance incidente moins la puissance rflchie. Le coefficient de transmission en courant scrivant =1iT , on obtient bien un coefficient de

transmission en puissance : ( )( ) 2** 111 =+== ivp TTT infrieur lunit. 2.3.4.c Rapport donde stationnaire

On utilise labrviation ROS, ou en Anglais le terme Voltage Standing Wave Ratio , soit VSWR.

2.3.4.c.1 Expression du ROS On sintresse lamplitude des ondes de tension et de courant le long de la ligne lorsquelle

est termine par une charge quelconque relle lZ . On se place dans lhypothse dune ligne de propagation sans pertes. Cette hypothse ne modifie en rien la conclusion de ltude mais permet de la simplifier. Le rsultat obtenu pourra tre gnralis au cas des lignes pertes. En labsence de

pertes, on a : 2jj == . Dautre part, limpdance caractristique de la ligne tant relle, le

coefficient de rflexion au niveau de la charge lZ sera lui-mme rel. Nous avons montr prcdemment que la tension ( ),xV en un point x de la ligne sexprimait par la relation :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xjxjxjxjxj eVeeVeVeVxV 22000 11, +=+=+= +++ , (55) tant le coefficient de rflexion en 0=x . Soit le rapport entre londe de tension totale et londe progressive :

( )( )xje

VxV

21, +=+

. (56)

La Figure 12 reprsente sur un diagramme de Fresnel (ou plan complexe) lexpression ( )( )

+VxV ,

lorsque x varie.

Figure 12. Illustration de la notion de Rapport dOnde Stationnaire (ROS) : diagramme de Fresnel.

Lamplitude ou module normalis de londe de tension totale en tout point x de la ligne sur londe de tension progressive scrit alors :

( ) ( )( )( )( )

xjeV

xVV

xVxv

2

0

1,,

+===++

. (57)

La relation (57) impose :

x

0 1

( )( )

+VxV ,



+



Avant le dveloppement des analyseurs de rseau durant les annes 70, la mesure du ROS constituait lune des mesures les plus importantes en hyperfrquences. Aujourdhui, avec lavnement simultan des analyseurs de rseau et de techniques de calibrage pouvant sadapter aux technologies actuelles, planaires ou autres, la mesure du ROS est incluse dans un ensemble de mesures plus complet. Un TP est encore consacr la mesure du ROS, dans un but exclusivement pdagogique.

2.4 Adaptation dimpdance La question de ladaptation dimpdance se pose chaque fois que lon souhaite connecter

deux systmes ou circuits entre eux et transfrer un maximum de puissance. En lectronique classique , nous avons vu en premire anne que pour adapter un gnrateur dimpdance interne complexe gZ , il fallait lui prsenter une charge complexe conjugue :

*arg gech ZZ = . Ce rsultat est

gnral et reste valable dans un contexte de propagation dondes. Cependant les mthodes dadaptation sont trs diffrentes. Pour introduire quelques solutions possibles trs utilises, nous considrons un gnrateur attaquant la base dun transistor bipolaire que lon souhaite faire fonctionner en amplificateur. Nous supposons un gnrateur dimpdance interne de Thvenin 0Z relle, et une charge complexe :

im echre

echech jZZZ argargarg += (63) reprsentant limpdance dentre du transistor. On peut galement dcrire le transistor laide de son admittance dentre :

im echre

echech

ech jYYZ

Y argargarg

arg1

+== . (64)

Nous dcrivons ci-dessous une solution afin dadapter les parties relle et imaginaire, en utilisant la technique du transformateur dimpdance donde dune part, et des stubs en circuit ouvert ou court-circuit dautre part. Nous considrons des lignes de propagation sans pertes.

2.4.1 Adaptation partie relle : transformateur donde La mthode pour mettre en uvre la technique dadaptation par transformateur donde est

la suivante : Calculer limpdance dune charge relle vue travers une ligne de propagation de

longueur l. Cette impdance correspond limpdance dentre du circuit ainsi constitu dune ligne charge.

Montrer que pour 4

=l , la ligne est quivalente un transformateur dimpdance.

2.4.2 Adaptation partie imaginaire : stub Nous allons montrer que limpdance ramene travers une ligne de propagation par un

circuit ouvert (CO) ou un court-circuit (CC) est purement imaginaire et peut tre compltement ajuste. Nous considrons donc le circuit de la Figure 14.

Figure 14. Illustration du principe du stub.

x

Plan dentre

CO ou CC



La mthode consiste tablir lexpression de limpdance dentre du circuit (vue du plan dentre), puis montrer que cette impdance est purement imaginaire. On peut galement montrer que limpdance ramene reprsente alternativement un condensateur puis une self, puis un condensateur, , et dire pour quelle application fondamentale en lectronique ce genre de circuits seront intressants.

2.5 Outils danalyse : abaque de Smith paramtres S graphes de fluence

2.5.1 Abaque de Smith

2.5.1.a Intrt Labaque de Smith constitue un outil encore largement utilis dans le domaine des

hyperfrquences, malgr lavnement doutils CAO de plus en plus performants et accessibles. Il permet deffectuer graphiquement le passage (dans les deux sens) entre le coefficient de rflexion lextrmit dune ligne et limpdance de charge. Ces deux paramtres tant complexes, ils peuvent tre reprsents dans un plan complexe. Labaque de Smith consiste superposer deux plans complexes : un plan cartsien reprsentant le coefficient de rflexion et un faisceau de courbes reprsentant limpdance de charge.

2.5.1.b Construction Afin davoir un abaque indpendant de la valeur de limpdance caractristique de la ligne,

labaque doit tre normalis par rapport celle-ci. En gnral labaque est normalis par rapport 50 qui constitue le standard dimpdance en hyperfrquences. La relation liant le coefficient de rflexion limpdance caractristique et limpdance de charge dune ligne a t tablie au paragraphe 2.3.4.a :

cech

cech

ZZZZ

+

=arg

arg . (65)

Dans la pratique, limpdance caractristique cZ dune ligne de propagation peut, en premire approximation, tre considre comme relle. Cest dans cette hypothse quest trac labaque de Smith, soit :

cech

cech

ZZZZ

+

=arg

arg . (66)

Si lon normalise les impdances par rapport cZ , on obtient :

( )( ) 1

1//

arg

arg

arg

arg

+

=

+

=ech

ech

ccech

ccech

zz

ZZZZZZ

. (67)

Cest partir de la relation (67) que lon fabrique labaque de Smith. Sur un plan complexe, on reprsente le coefficient de rflexion imre j+= . Il sagit ensuite de reprsenter sur ce plan le lieu de limpdance de charge complexe echz arg . Pour cela, on crit echz arg

en fonction de :

im echre

echech jzzz argargarg 11

+=+

= , (68)



o re echz arg et im

echz arg reprsentent les parties relle et imaginaire de echz arg . Des calculs simples montrent que :

le lieu de re echz arg constante est reprsent par un cercle de rayon reechz

Rarg1

1+

= centr en

( reech

reech

re zz

arg

arg

1+= ; 0=im ).

Le lieu de im echz arg constante est reprsent par un cercle de rayon imechz

Rarg

1= centr en

( 1=re ; imech

im z arg1

= ).

La Figure 15 montre la reprsentation des cercles reprsentant les parties relle et imaginaire de

echz arg dans un plan complexe de coordonnes re et im .

Figure 15. Construction de labaque de Smith.

Le lieu des impdances relles est laxe 0=im . Le lieu des impdances imaginaires est le cercle extrieur de labaque. La moiti infrieure de labaque reprsente des charges capacitives, la moiti suprieure reprsente des charges inductives. En effet :

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2arg2arg

arg

2arg

2arg

2arg

2arg

argarg

argarg

arg

arg

12

1

111

11

imech

reech

imech

imech

reech

imech

reech

imech

reech

imech

reech

ech

ech

zz

zj

zz

zzjzzjzz

zz

+++

++

+=

++

+=

+

= .

Donc : ( ) ( )2arg2argarg

12

imech

reech

imech

imzz

z

++= , soit 0>im si 0arg >

imechz , et vice-versa.

La Figure 16 reprsente un abaque de Smith classique.

imechz arg

reechz arg

re

im

1 -1 0,5 -0,5

0,5j

0

j

-j

-0,5j

re

im

1 -1 0,5 -0,5

0,5j

0

j

-j

-0,5j

1arg =im

echz

1arg =re

echz

0arg =re

echz

7arg =re

echz

=re

echz arg

2arg =im

echz

2arg =im

echz1arg =im

echz

Cercle des impdances imaginaires pures

Axe des Impdances relles

Lieu des centres des cercles zim



Figure 16. Abaque de Smith.



2.5.1.c Utilisation Labaque de Smith sert a priori passer de coefficient de rflexion impdance de charge (et

vice-versa). Son cadre dutilisation est cependant bien plus large. Il est utilis pour de nombreuses oprations qui mettent en jeu des dcalages de longueur car, pour une ligne sans pertes, dans le plan des coefficients de rflexion, un dcalage de longueur x se traduit par un simple dphasage :

xx 42 == , (69)

correspondant un aller-retour de londe, comme lindique la relation tablie au paragraphe 2.3.4.a:

( ) xjxjx eVVe

VVe

VVx

4

0

02

0

02

0

0

+

+

+

+ === . (70)

La Figure 17 illustre ce dcalage.

Figure 17. Illustration dun dcalage de longueur.

Lquation (70) montre quun tour complet de labaque correspond 2

=x ( 2= ).

Si lon souhaite connatre limpdance de charge vue au niveau du plan dentre reprsent sur la Figure 17, il suffit de placer echz arg sur labaque de Smith, puis deffectuer une rotation correspondant , comme le montre la Figure 18. La question est de savoir dans quel sens tourner sur labaque. Nous pouvons montrer, en nous appuyant sur la mise en quation des stubs au paragraphe 2.4.2, que lon doit tourner dans le sens trigonomtrique lorsque lon dcale le plan dentre vers la charge, et dans le sens inverse lorsque lon sloigne de la charge, en allant donc vers le gnrateur.

echZ arg

x

Plan dentre



Figure 18. Illustration dun dcalage de longueur sur labaque de Smith.

echZ arg



2.5.1.c.1 Exemple 1 Nous considrons une ligne de propagation dimpdance caractristique = 200cZ , de

longueur lectrique ou phase =130l termine par une impdance == 300400 jjXRZ T (Figure 19). Quelle est limpdance dentre eZ vue du plan P1 ?

Figure 19. Utilisation de labaque de Smith. Exemple 1 : circuit.

Solution :

La longueur lectrique est gale

= ll 2 , soit 36,0=

l .

Les impdances reportes sur labaque de Smith sont normalises, donc nous reporterons :

=+=== 5,12200

jjxrjXRZZz

c

TT .

Portons cette valeur sur labaque de Smith lintersection des cercles 2=r et 5,1=x , soit P0 (Figure 20).

En labsence de pertes, si lon sloigne de la charge, le point P0 se dplace sur le cercle de rayon OP0, dans le sens des aiguilles dune montre. Le rayon de ce cercle nous permet, laide de la rglette dispose prs de labaque, de dduire que le ROS de la ligne sera :

33,3= . A partir du point P0 reprsentant la ligne la terminaison, on se dplace sur le cercle dfini

prcdemment dun angle de 260 ( l2 ), ce qui donne le point P. P est lintersection des cercles : 77,0=er et 09,1=ex , do limpdance dentre cherche :

( ) ( )200.09,177,0 jZjxrZ ceee +=+= , soit : += 218154 jZe .

On peut retrouver ce rsultat par calcul. On peut galement partir dune ligne dfinie par ses paramtres physiques, par exemple une ligne microruban, et donner la frquence du gnrateur, afin de calculer la longueur lectrique de la ligne. Par exemple, si lon choisit une ligne sur substrat RO4003 (Rodgers) trs utilis en hyperfrquences, dpaisseur 635 m et de permittivit relative 36,3=r , pour 200 et 130 2 GHz, on obtient une ligne de largeur 32 m et de longueur 35,6 mm.

300400 jZT =

=130l

P1

= 200cZ



Figure 20. Utilisation de labaque de Smith. Exemple 1 : abaque.



2.5.1.c.2 Exemple 2 : admittance Dterminer ladmittance dentre eY dune ligne de propagation dimpdance caractristique =100cZ , de longueur lectrique 60, termine sur une impdance normalise 7,01 jzT += .

Solution :

Montrons dabord comment lon passe dune impdance une admittance sur labaque. Nous avons montr quune ligne donde transformait une impdance de charge TZ en eZ

telle que : 2cTe ZZZ = , soit en impdance normalise : 1=Te zz , donc T

e zz 1= . Une

longueur 4 (ligne donde) fait tourner de sur labaque. On en dduit donc que sur

labaque, pour passer de limpdance ladmittance, il suffit de prendre le symtrique par rapport au centre de labaque.

La suite du raisonnement est calque sur lexemple 1. On obtient : 10032,000575,0 += jYe .

2.5.1.c.3 Adaptation dimpdance On ralise ladaptation dune charge += 620 jZT laide dun tronon de ligne court-

circuit de longueur l, plac une distance d de la charge (Figure 21). La frquence de travail est gale 2 GHz. La permittivit relative effective du milieu est .2=reff

Figure 21. Utilisation de labaque de Smith. Exemple 3 : adaptation dimpdance.

Solution : En M, nous devons combiner deux impdances :

Limpdance ramene par le tronon de longueur d termin par TZ , Limpdance ramene par le tronon de longueur l en court-circuit.

Il est de ce fait plus simple de raisonner en admittance car deux admittances en parallle sajoutent. On souhaite que lensemble des tronons prsente un impdance gale cZ afin quil y ait adaptation, c'est--dire une admittance normalise 1=My . Or la ligne court-circuite ramne en M une admittance jbycM = . Il faut donc quen M, le tronon de longueur d ramne une admittance

jbyTM =1 . Donc le point reprsentatif de TMy doit se trouver sur le cercle dont la partie relle est gale 1, soit le cercle passant par le centre de labaque. Sur labaque de Smith, pointons le point P0

correspondant TZ : 06,02,0 jZZz

c

TT +== (Figure 22). Nous raisonnons en admittance, donc Ty

sobtient en prenant le symtrique de P0, soit Q0, par rapport au centre de labaque. Lorsque lon

= 620 jZT

d

l

=100cZ

M

CC



sloigne de la charge Ty , on se dplace sur le cercle de rayon OQ0 puisque les lignes sont supposes sans pertes. Ladmittance ramene par le tronon de longueur d doit se trouver sur lintersection entre ce cercle et le cercle 1=r , ce qui donne deux possibilits, reprsentes par les points M1 et M2, que nous appelons solution 3-1 et solution 3-2.

Figure 22. Utilisation de labaque de Smith. Exemple 3 : abaque.



Solution 3-1 : M1 La longueur d se dduit immdiatement : on tourne de Q0 vers M1 dans le sens

trigonomtrique, on parcourt donc : ( ) 423,0183,026,0 tour1/25,0 =+ . La longueur donde guide est gale : 6,10

210.210.3

9

8

===

refffC

cm.

Donc 5,46,10.423,01 =d cm. Ladmittance normalise ramene par le tronon de longueur d en M se lit sur labaque :

75,111

jydM += . Pour que 1=My , il faut donc que le court-circuit ramne 75,1j . Pointons ladmittance dun court-circuit, soit , ce qui donne le point CC. Lorsque nous nous dplaons vers le point M, nous rencontrons ladmittance 75,1j au point CCM. Nous avons alors parcouru 083,0 , donc 8,86,10.083,01 =l mm.

Solution 3-2 : M2 Nous obtenons respectivement : 66,10.057,02 =d mm et 45,46,10.42,02 =l cm. On peut dire que les deux solutions sont peu prs quivalentes car les longueurs mises en jeu sont du mme ordre de grandeur.

2.5.2 Paramtres S - Matrices Le but de ce paragraphe est de prsenter les matrices de rpartition et de transfert ainsi que

les matrices impdance et admittance, qui sont les plus utilises dans le domaine des hyperfrquences. Remarque prliminaire sur les notations : Les ondes de courant et tension complexes sont nots V et I . Les paramtres des matrices sont des complexes dans le cas gnral ; pour des raisons de

lourdeur dcriture, on omet la barre. Il en est de mme pour les ondes ai et bi.

2.5.2.a Paramtres S

2.5.2.a.1 Dfinition La matrice S est une matrice donde comme nous allons le montrer par la suite. Nous

donnons sa dfinition pour un quadriple, sa gnralisation tant alors vidente. On considre le quadriple de la Figure 23.

Figure 23. Quadriple.

La matrice reliant les ondes mergentes b1 et b2 aux ondes incidentes a1 et a2 scrit de la faon suivante :

=

2

1

2221

1211

2

1

aa

SSSS

bb

(71a)

a1 b2

b1 a2



Do : 2221212

2121111

aSaSbaSaSb

+=

+= (71b)

Les paramtres Sij de la matrice sont appels paramtres S .

2.5.2.a.2 Signification physique des paramtres S La signification des paramtres S est la suivante :

01

111

2=

=

aabS Cest le facteur de rflexion lentre, la sortie tant adapte.

01

221

2=

=

aabS Cest le facteur de transmission entre sortie, la sortie tant adapte.

02

222

1=

=

aabS Cest le facteur de rflexion en sortie, lentre tant adapte.

02

112

1=

=

aabS Cest le facteur de transmission sortie entre, lentre tant adapte.

2.5.2.a.3 Intrt des paramtres S Il existe pour ltude des quadriples linaires dautres paramtres bien connus : paramtres

H, Z, Y. La dtermination exprimentale de ces paramtres exige des mesures en court-circuit ou en circuit ouvert. Au del de 100MHz, la condition circuit ouvert (impdance infinie) est difficile raliser ; quant la mise en court-circuit, elle entrane souvent loscillation du montage. Au contraire, les mesures des paramtres S se font sur entre et sortie adaptes et nentranent pas ces difficults. Par contre, elles ncessitent la mesure des ondes progressives et rgressives. Dans le domaine frquentiel (rgime harmonique), des dispositifs appropris, les coupleurs directifs (qui seront abords lors de ltude du principe des appareils de mesure), permettent laccs ces grandeurs. Dans le domaine temporel (rponse indicielle ou impulsionnelle), ces ondes sont naturellement spares dans le temps si lexcitation a atteint un rgime tabli avant le retour des ondes rgressives dues aux rflexions. La connaissance des paramtres S permet en outre de calculer simplement les grandeurs le plus communment recherches : puissance, gain ou attnuation, facteur de rflexion sur un accs, impdance dentre. Leur intrt pratique est donc grand.

2.5.2.a.4 Proprits On considre un dispositif multi accs (multiple ou multiporte).

2.5.2.a.4.1 Rciprocit La transmission de la porte i vers la porte j est la mme que la transmission de j vers i. Cest

toujours le cas lorsque les jonctions sont remplies dair ou de dilectriques non ferromagntiques. On a alors : jiij SS = (72) La matrice S est symtrique par rapport la diagonale principale et : TSS = (73)

TS tant la matrice S transpose.



2.5.2.a.4.2 Conservation de lnergie pour des jonctions sans pertes

La puissance associe une onde ai ou bi scrit : *iii aaP 21

= , o *ia reprsente le conjugu

de ai. Le terme 21 provient du fait que lon considre lamplitude des ondes.

Toutes les puissances associes aux ondes incidentes se retrouvent sur les ondes mergentes : [ ] [ ]*nn***nn** b.b...b.bb.ba.a...a.aa.a +++=+++ 22112211 (74) Soit : [ ][ ] [ ][ ]T*T* bbaa = (75) Or : [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]aaaaaa T*T* +== (76) avec : [ ]+a =Matrice adjointe. La conservation des puissances scrit donc :

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]{ } [ ][ ]{ } 00=

=

++

++

aSaSaabbaa (77)

Sachant que : [ ][ ]{ } [ ] [ ]+++ = SaaS On obtient :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ]{ }[ ] 0

0

=

=

++

+++

aSSIa

aSSaaa (78)

Et en dfinitive : [ ] [ ] [ ]ISS =+ (79) Remarque importante : pour des multiples rciproques, la relation de conservation de lnergie scrit :

[ ] [ ] [ ] [ ]ISSS * == 2 (80) 2.5.2.b Relations liant les courants et tensions (Vi et Ii) aux ondes de tension (ai

et bi) On considre le quadriple de la Figure 24.

Figure 24.

Les ondes de tension ia et ib sont dfinies de la faon suivante : La puissance entrant laccs i scrit :

**

21

21

iiiii IVaaP ++== (81)

La puissance sortant de laccs i scrit :

1I 2I

1V 2Va1

b1

b2

a2



**

21

21

iiiii IVbbP == (82)

En utilisant les relations (36) et (37) : i

i

i

ic

IV

IVZ

+

+== ,

on tire aisment :

c

ii

c

ii

ZVb

ZVa + == ; (83)

Des relations (81), on dduit :

c

iii

Z

Vba =+ (84)

et : icii IZba = (85)

avec iI entrant dans le quadriple.

d'o : c

icii

c

icii

ZIZVb

ZIZVa

22

=

+= (86)

Pour le quadriple de la Figure 24, nous aurons donc :

c

c

c

c

ZIZVb

ZIZVa

2211

111

1

=

+= (87)

et : c

c

c

c

ZIZVb

ZIZVa

2222

222

2+

=

= (88)

Les signes diffrents pour 2a et 2b par rapport 1a et 1b proviennent du fait que le courant 2I sort du quadriple. Remarque fondamentale : Les grandeurs a et b ont la dimension de la racine carre dune puissance et sexpriment en

21 /

W .

2.5.2.c Application des quadriples lmentaires

2.5.2.c.1 Impdance srie On considre la Figure 25.

Figure 25. Impdance srie.

Nous tablirons en TD la matrice S du quadriple.

Z1I 2I

a1b1

b2a2

Z0 Z01V 2V



2.5.2.c.2 Impdance parallle On considre la Figure 26.

Figure 26. Impdance parallle.

Nous tablirons en TD la matrice S du quadriple.

2.5.2.c.3 Ligne de transmission avec accs adapts La matrice S dune ligne de transmission dimpdance caractristique cZ , dexposant de propagation , de longueur L, place entre deux lignes de mme impdance caractristique scrit :

( )( )

00

LexpLexp

2.5.2.d Quadriples en cascade

2.5.2.d.1 Problme li la matrice S On montre trs simplement que la matrice S nest pas cascadable. On considre les deux

quadriples Q12 et Q34 en cascade de la Figure 27.

Figure 27.

Les matrices S de ces deux quadriples scrivent :

=

2

1

2221

1211

2

1

aa

SSSS

bb

pour Q12 et

=

4

3

4443

3433

4

3

aa

SSSS

bb

pour Q34.

Ces deux matrices ne peuvent tre cascades quaux seules conditions :

24134231 et ou et babababa ==== , ce qui ne correspond pas la condition de cascadabilit qui impose : 3223 et baba == daprs la Figure 27.

a1 b2

b1 a2

a3 b4

b3 a4Q12 Q34

Y1V 2Va1b1

b2a2

Z0 Z0

1I 2I



2.5.2.d.2 Matrices de transfert. On considre le quadriple reprsent la Figure 28.

Figure 28.

On utilise deux matrices dites matrices de transfert reliant les grandeurs de sortie dun quadriple ses grandeurs dentre. La matrice ABCD relie les courants et tensions. La matrice T relie les ondes incidentes et mergentes. Ces matrices de transmission ou cascade sont spcialement utilises lorsque lon analyse une cascade de quadriples car la matrice globale est simplement le produit des matrices individuelles.

2.5.2.d.3 Matrice ABCD

2.5.2.d.3.1 Dfinition

La matrice liant ( 1V , 1I ) ( 2V , 2I ) est appele matrice cascade ou matrice de transfert ABCD :

=

2

2

1

1

IV

DCBA

IV (89)

2.5.2.d.3.2 Cascade de deux matrices ABCD On considre les deux quadriples en cascade de la Figure 29.

Figure 29.

La matrice de chaque quadriple Q12 et Q34 scrit : [ ]

=

=

4

434

4

4

3434

3434

3

3

IVABCD

IV

DCBA

IV et

[ ]

=

2

212

2

2

1212

1212

1

1

IVABCD

IV

DCBA

IV

La matrice de lensemble cascad scrit

=

4

4

1

1

IV

DCBA

IV

tt

tt et sobtient simplement en

multipliant les deux matrices du fait que 3232 et IIVV == :

1I 2I

1V 2Va1b1

b2a2

3I 4I

3V 4V a3

b3

b4

a4 Q34

1I 2I

1V 2Va1

b1

b2

a2 Q12



[ ] [ ]

=

=

=

=

4

43412

4

4

3434

3434

1212

1212

3

3

1212

1212

2

2

1212

1212

1

1

IVABCD.ABCD

IV

DCBA

DCBA

IV

DCBA

IV

DCBA

IV

2.5.2.d.3.3 Passage Matrice S Matrice ABCD. Nous tablirons en TD lexpression des paramtres S en fonction des paramtres ABCD (et

vice versa).

2.5.2.d.3.4 Applications

2.5.2.d.3.4.1 Matrice ABCD d'une ligne de transmission. La matrice ABCD dune ligne de transmission d'impdance cZ , d'exposant de propagation

et de longueur L scrit (pour 2I sortant) : ( ) ( )( ) ( )

LChZ

LShLShZLCh

c

c

.

Pour des lignes sans pertes ( jj =+== 0 ) possdant des impdances caractristiques relles Zc, on obtient donc :

( ) ( )( ) ( )

LCosZ

LjSinLSinjZLCos

c

c

.

Cest sous cette forme que nous lutiliserons dans ce cours car nous considrerons toujours des lignes sans pertes et non dispersives.

2.5.2.d.3.4.2 Impdance d'entre d'une ligne de transmission en court-circuit ou circuit ouvert L'impdance d'entre de la ligne de transmission prcdente termine par une impdance LZ

sexprime : DZCBZAZ

L

Le

+

+= .

L'impdance vue en entre de la ligne termine par un court-circuit puis par un circuit ouvert

sexprime DBZe = et C

AZe = respectivement.

2.5.3 Graphes de fluence Les graphes de fluence permettent une reprsentation graphique des phnomnes de

propagation des ondes et permettent de reprsenter les coefficients de rflexion, transmission, attnuations et dphasage de manire trs visuelle. Cest un outil trs utilis par les automaticiens car il offre une reprsentation plus compacte que les diagrammes fonctionnels. Nous donnons dans un premier les quelques rgles de base puis quelques exemples dutilisation.



2.5.3.a Passage travers un systme Nous considrons le systme possdant comme fonction de transfert ou paramtre S ( )H

(Figure 30). Si lentre du systme est a1 et la sortie a2, nous aurons :

( ) 12 .aHa = . (90)

Figure 30. Graphe de fluence. Passage travers un systme.

La fonction de transfert est reprsente par un triangle. Les signaux sont reprsents sur les fils, laide de flches si ncessaire.

2.5.3.b Drivation ( ) ( ) .et . 133122 aHaaHa == . (91)

Figure 31. Graphe de fluence. Drivation.

2.5.3.c Combinaison ( ) ( ) 33221 .. aHaHa += . (92)

Figure 32. Graphe de fluence. Combinaison.

2.5.3.d Coefficient de rflexion entre deux lignes On considre le circuit de la Figure 33 o deux lignes de propagation dimpdance

caractristique diffrente sont connectes entre elles.

Figure 33. Graphe de fluence. Coefficient de rflexion entre deux lignes - 1.

a1 a2 H

a1

a2 2H

a3 3H

a1

a2 2H

a3 3H

2cZ1cZ



Le coefficient de rflexion scrit : 12

12

cc

cc

ZZZZ

= .

Le graphe de fluence de la transition entre les deux lignes est celui de la Figure 34.

Figure 34. Graphe de fluence. Coefficient de rflexion entre deux lignes - 2.

Les quations liant 1a , 1b , 2a et 2b sont donc les suivantes : ( ) ( ) 212211 1 ; 1 aabaab +=+= . (93) 2.5.3.e Exercice

On se propose dtablir le graphe de fluence du circuit de la Figure 35, o une ligne dimpdance Z1 est insre entre deux lignes dimpdance Zc.

Figure 35. Graphe de fluence. Exercice.

2.6 Introduction au rgime temporel : rflectomtrie temporelle Lanalyse des circuits hyperfrquences dans le domaine temporel est largement moins rpandue

que lanalyse harmonique, pour deux raisons essentielles : 1. Les systmes hyperfrquences fonctionnent gnralement sur des bandes de frquence

rduites, leur tude est donc naturellement effectue en rgime harmonique. 2. Lanalyse temporelle est plus complexe ds que les grandeurs manipuler dpendent de la

frquence de fonctionnement car alors les coefficients des quations diffrentielles donnant les ondes de tension et de courant font apparatre des coefficients dpendant du temps.

Avec lavnement des systmes numriques, lanalyse temporelle commence cependant gagner du terrain sur lanalyse harmonique, mais souvent on utilise la thorie de Fourier, et aprs analyse harmonique, on dduit le comportement temporel par transformation de Fourier. Dans ce paragraphe, lobjectif est de montrer les principes et quelques potentialits de lanalyse temporelle.

2.6.1 Principe Le principe de lanalyse temporelle consiste videmment tudier les signaux, ondes de tension

et de courant, en fonction du temps. Le gnrateur est soit un chelon, soit une impulsion de tension (plus rarement), et lon mesure laide dun oscilloscope les ondes de tension transmises ou rflchies. Lappareil permettant deffectuer ce travail se nomme Time Domain Reflectometer (TDR), soit rflectomtre dans le domaine temporel. Bien que se nommant rflectomtre, cet appareil permet bien en pratique de mesurer les ondes de tension rflchies et transmises. Pour la mesure des ondes transmises, nous faisons rfrence TDT pour Time Domain Transmission . La Figure 36 donne le synoptique dun banc de mesure TDR-TDT.

a1 +1

b1 1

b2

a2

cZ1ZcZ



Le systme est bidirectionnel, donc capable dexciter un circuit (quadriple) dans les deux sens de propagation. Sur la Figure 36, une ligne de propagation dimpdance caractristique cZ est relie au niveau des plans P1 et P2 aux deux ports (terme issu de lAnglais) ou accs du systme de mesure, travers deux lignes dimpdance caractristique 50, qui constitue le standard en hyperfrquences. Un port est constitu dun gnrateur ( Generator ) et dune tte dchantillonnage ( Sampling head ). Le gnrateur dlivre un chelon de tension. La tte dchantillonnage se comporte comme un oscilloscope classique et permet de visualiser lamplitude des tensions au niveau des ports (1) et (2). La bande passante atteinte aujourdhui par ces appareils est de 100 GHz au niveau commercial et plus de 700 GHz en laboratoire, ce qui permet videmment lanalyse de signaux trs rapides .

Figure 36. Principe de lanalyse TDR. Synoptique.

Nous considrons pour simplifier la forme de gnrateur de la Figure 37 (a). Il sagit dun chelon de tension damplitude V0 et possdant un temps de monte rt . Ltat de lart actuel en laboratoire permet dobtenir des chelons de temps de montes de 720 fs, soit 10-15 secondes. Commercialement, les appareils les plus rapides dlivrent des chelons de temps de monte 5 ps. La Figure 37 (b) reprsente une impulsion de tension. On dfinit souvent la dure dune impulsion laide de sa largeur mi hauteur.

Figure 37. Principe de lanalyse TDR. Gnrateur.

Zc 50 50

SamplingHead

Generator Sampling Head Generator

Port (1) Port (2)

P1 P2

( )tv

rt

0V

t(a) 0 (b)

( )tv

0V

t 0



Figure 38. Graphe de fluence du systme de la Figure 36.

La Figure 38 reprsente le graphe de fluence correspondant au montage de la Figure 36. On considre que lon excite la ligne de propagation dimpdance Zc par une impulsion de tension ( )te dlivre par le TDR. Cette impulsion de dpart (excitation) ainsi que le signal rflchi ( )tr sont mesurs laide du port (1). Le retard Tc correspond au cble dimpdance caractristique Z0 reliant le TDR la ligne tester dimpdance caractristique Zc. On peut aisment dduire lexpression de ( )tr laide du graphe de fluence : ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ...241122112. 2 +++++= TcteTcteTctetr (94) Soit en simplifiant : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]...26242212 422 +++= TcteTcteTcteTctetr (95) Soit la formule de rcurrence :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

=

1

122 2212i

i TciteTctetr (96)

La Figure 39 reprsente le signal mesur sur le port (1) du TDR, savoir ( ) ( )trte + , en considrant uniquement les deux premires rflexions : ( ) ( ) ( ) ( )TcteTctetr 2212. = .

Figure 39. Signal rflchi mesur au TDR. Excitation impulsionnelle.

Le graphe de la Figure 39 permet de dduire de manire exprimentale les caractristiques de la ligne de propagation :

= 500Z cZ

= 500Z

retard +1

1

retard

1

+1

transitions

e(t)

r(t)

retard Tc

retard Tc

( )te

t 0

( )tr

t1V

0V

Tc2



Lamplitude V1 de la premire rflexion permet de dterminer directement le coefficient de

rflexion : 0

1

VV

= , do lon dduit limpdance caractristique de la ligne : +

=

11

0ZZc .

Dans le cas de la Figure 39, on lit : 5,0= , soit : == 1505,05,150cZ .

Lintervalle de temps entre les deux premires rflexions t est gal 2 , ce qui permet dobtenir directement le temps de propagation sur la ligne 2=t . A partir de ,

connaissant la longueur l de la ligne, on peut en dduire la vitesse de propagation :

lv = .

Considrons prsent une excitation indicielle telle que dcrit sur la Figure 37. La Figure 40 reprsente galement le graphe de la tension mesure au niveau du port (1), en considrant uniquement les premires rflexions, comme pour la Figure 39. La rponse lexcitation en chelon, que lon pourrait nommer rponse indicielle , fournit les mmes informations, et . La tension totale mesure par le TDR au niveau du port (1) est la somme de la tension du gnrateur (excitation) et de la tension correspondant londe rflchie, soit : ( ) ( ) ( )TctetetvTotal 2+= si lon considre uniquement la premire rflexion. Donc

( ) 01 1 VVV Total +== . Ainsi le coefficient de rflexion se calcule simplement par : 0

01

VVV

= .

Figure 40. Principe de lanalyse TDR. Gnrateur et rponse.

Le signal transmis ( )ts travers la ligne dimpdance caractristique Zc peut galement se dduire simplement de lanalyse du graphe de fluence : Exercice :

Etablir lexpression de londe de tension mesure au niveau du port (2). En dduire le graphe temporel reprsentant le signal transmis au port (2).

On constate ainsi que le TDR est un appareil trs prcieux pour mesurer limpdance caractristique dune ligne de propagation ou le temps de propagation, et par suite la vitesse de propagation des signaux. Lanalyse temporelle permet galement de mettre en vidence de manire trs claire les problmes de diaphonie, c'est--dire de couplage entre deux lignes de propagation. Ce phnomne est trs gnant et explique en particulier pourquoi la frquence de fonctionnement des cartes mres de PC ont un moment, environ larrive sur le march des premiers processeurs Pentium, dont la frquence de fonctionnement a rapidement dpass les 100 MHz, cess de suivre lvolution de la frquence dhorloge des processeurs. Augmenter la frquence de fonctionnement implique en effet

( )te t 0

( )tr

t

1V

0V

Tc2



de propager des signaux numriques possdant des fronts de monte ou descente de plus en plus raides, qui induisent des phnomnes de couplage magntique entre lignes adjacentes. La photo de la Figure 41 reprsente des lignes microruban couples, avec des espacements entre les lignes diffrents.

Figure 41. Lignes microruban couples. Diaphonie.

La Figure 42 donne le schma de principe de deux lignes couples termines par une impdance relle Rc gale 50. La ligne excite par laccs " est appele ligne principale . La ligne perturbe est nomme ligne auxiliaire .

Figure 42. Lignes microruban couples. Schma de principe.

La mesure laide du TDR des signaux aux accs # (onde arrire) et $ (onde avant) lorsque la ligne est excite par laccs " est donne sur la Figure 43.

Figure 43. Lignes microruban couples. Mesure TDR.

Rc

Rc Rc

Rc 1

3 4

2

Couplage rparti

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Temps (ns)

Am

plitu

de (V

olts

)

Onde avant

Gnrateur Onde arrire



On constate clairement un couplage entre les deux lignes. On pourrait montrer que lamplitude de londe arrire dpend de lamplitude de londe sur la ligne principale alors que lamplitude de londe avant dpend de sa drive, et donc du temps de monte de lexcitation. Cest ainsi londe avant qui limite la monte en frquence des cartes mres de nos PC aujourdhui.

3 Principes de la CAO RF-ondes La Conception Assiste par Ordinateur (CAO) joue un rle majeur aujourdhui dans tous les

domaines des sciences. Cest par exemple un outil indispensable dans lautomobile o lon fait ainsi lconomie de crash-tests coteux, en mcanique o le calcul des ponts permet de valider des modes de conception permettant dconomiser des tonnes de bton.

En lectronique, on ne conoit pas un systme complexe sans avoir recours aux logiciels de CAO. En premire anne, nous avons travaill sous SPICE qui constitue le logiciel incontournable de llectronicien. SPICE, conu lUniversit de Berkeley durant le dbut des annes 70, lorigine pour des problmes lis la micro lectronique, a rapidement t appliqu tous les problmes de llectronique. Il serait ainsi possible de lappliquer aux problmes de RF-hyperfrquences. Cependant il est alors mal adapt et la mise en place des problmes savre lourde : la bibliothque est peu riche en lignes, composants ou circuits hyperfrquences et lutilisation de la matrice S nest pas naturelle. Les concepteurs prfrent ainsi utiliser des logiciels de modlisation et de simulation ddis aux problmes dans lesquels les phnomnes de propagation doivent tre pris en compte. On peut distinguer dans un premier temps les problmes de modlisation et de simulation, mme si en pratique les logiciels offrent aujourdhui ces deux aspects de manire intgre.

3.1 Modlisation La modlisation consiste, partir de paramtres physiques : dimensions, caractristiques des

dilectriques, semi-conducteurs et conducteurs utiliss, dterminer un modle lectrique ou mathmatique quivalent. Le modle lectrique se prsente sous la forme dun circuit lectrique dans lequel on trouve les lments de base des circuits : lignes de propagation, inductances, capacits, rsistances, diodes, transistors, sources de courant et de tension. On peut noter que les lignes de propagation, diodes et transistors peuvent tre modliss partir dinductances, capacits, rsistances, sources de courant et de tension. En pratique cependant, afin dobtenir un aspect modulaire, des modles de lignes de propagation, diodes et transistors spcifiques ont t dvelopps. Le modle mathmatique consiste, dans le cas gnral, en une matrice de rpartition, qui permet de relier les grandeurs dentre et de sortie du quadriple ou multiple considr. Il permet de driver le modle lectrique. Dans tous les cas, la modlisation repose sur la rsolution des quations de Maxwell qui constituent une extension ou gnralisation des lois de llectrostatique (loi de Faraday ou Lenz ou Laplace ou Lorentz) et de la magntostatique (thorme dAmpre), lensemble des problmes faisant intervenir des champs lectrique et magntique. Ces quations seront abordes dans le cours dlectronique du second semestre. Lespace tant constitu de trois dimensions, la modlisation des phnomnes de propagation impose en toute rigueur de modliser les circuits en considrant les trois dimensions. En pratique cependant, la propagation seffectue souvent sur des lignes planaires, avec uniquement deux directions de propagation possibles, permettant ainsi de restreindre le domaine dtude deux dimensions. On trouve ainsi de manire commerciale des logiciels de modlisation en deux (2D) ou



en trois dimensions (3D). Les logiciels 2D sont nettement plus rapides que leurs homologues 3D pour rsoudre les problmes 2D. Ils sont galement souvent moins coteux.

3.2 Simulation Lopration de simulation consiste exciter les modles mathmatiques ou lectriques obtenus

aprs modlisation, et de dterminer les ondes de tension ou de courant gnres dans le circuit tudi, ainsi videmment qu ses extrmits. Par exemple, si lon considre une rsistance R, qui constitue le modle lectrique dun fil en basse frquence, et que lon injecte un courant i, le simulateur donnera une tension v aux bornes de la rsistance proportionnelle au courant inject, du fait que le modle dune rsistance R est rgi par lquation Riv = . Un logiciel de simulation est forcment coupl une modlisation amont car on ne peut simuler un circuit que si lon connat son modle. On distingue alors plusieurs types de logiciels de simulation, comme le dcrit la Figure 44 :

CAO base sur des modles dj dfinis dans des bibliothques. CAO base sur des modlisations lectromagntiques partant des dimensions et

caractristiques lectriques et magntiques des matriaux. Il est vident que la modlisation lectromagntique est toujours applicable. Cependant les temps de calcul sont nettement plus longs, de lordre de 100 10000 fois selon la complexit du problme trait. Chaque fois que les modles correspondant au problme trait sont fiables, on a donc recours aux bibliothques, par exemple sur des problmes connus comme les guides dondes, les lignes coaxiales, ou les lignes microruban.

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COURS ELN2 Premier Semestre 2