Cours Machines Electriques

O1MM 2e anne

M ACHINES LECTRIQUESCours et Problmes

Claude C HEVASSU

version n2,71

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Introduction - Gnralits0.1 IntroductionNom de lauteur : Claude CHEVASSU ; Titre : Machines lectriques : cours et problmes ; Date : 20 octobre 2011 Copyleft : ce manuel est libre selon les termes de la Licence Libre :

http://cesarx.free.fr/gfdlf.htmlA Ce cours a t rdig avec LTEXet The Gimp pour la retouche des images. Ce cours est sous licence libre, cest--dire quil peut tre copi et quil peut tre diffus condition : dindiquer quil est sous la Licence Libre ; dindiquer le nom de lauteur de loriginal : Claude C HEVASSU et de ceux qui auraient apport des modications ; dindiquer que les sources peuvent tre tlchargs sur http://mach.elec. free.fr. Enn vous pouvez le modier condition : de respecter les conditions de diffusion nonces ci-dessus ; dindiquer quil sagit dune version modie et dindiquer la nature et la date de la modication ; de diffuser vos modications sous la mme licence. Cet ouvrage est en grande partie bas sur le cours [MIN81] dispens par mon matre en gnie lectrique lorsque jtais lve lcole Navale : Monsieur Minot qui je dois ma vocation !

Ce cours, destination des lves ofciers de premire classe et futurs ingnieurs mcaniciens de la marine marchande, ne prsente que le fonctionnement en rgime permanent des machines lectriques ignorant les problmatiques des rgimes transitoires. Lingnieur mcanicien est l exploitant de linstallation lectrique du navire et il est parfois confront des pannes vicieuses. Dans ces cas, seule une trs bonne connaissance des principes de bases permet de trouver lorigine du dysfonctionnement. An de rendre les choses plus concrtes, nous utiliserons beaucoup de constructions vectorielles (diagramme de Kapp, de Behn-Echenburg, diagramme du cercle). A la diffrence de lingnieur dexploitation terre qui nest souvent quutilisateur de lnergie lectrique, lingnieur mcanicien produit, transporte et utilise

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INTRODUCTION - GNRALITS

cette nergie. Ce cours de deuxime anne a pour but dapporter une connaissance aussi complte que possible des deux modes de fonctionnement des machines lectriques tournantes : gnrateur et moteur. Le transformateur, maillon essentiel du transport, sera galement tudi.

Cet ouvrage a t relu soigneusement. Nanmoins des coquilles, voir des erreurs, subsistent trs certainement. Si vous pensez en avoir dtect, merci de me prvenir en indiquant autant que possible la page et le paragraphe incrimin :

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0.2 Mthode de travailCet ouvrage va vous permettre de suivre le cours en classe en pratiquant une coute trs active car vous serez dlivr de la corve de la prise de note. Vous pourrez comprendre et anticiper la suite du cours. Vous pourrez poser des questions : il ny a pas de questions idiotes, il ny a que des idiots qui nosent pas poser de question. Il faut tout prix vacuer les zones dombre que vous ne comprenez pas bien et pour cela interroger le professeur. Il faut travailler le cours le soir mme, le relire, lapprendre, lassimiler, ces oprations transfrent les informations au subconscient qui peut alors commencer son travail de digestion et de maturation des connaissances. Il ne faut jamais oublier que la mmoire est base sur un fonctionnement biologique dont la rptition est le mcanisme fondamental. Pour que la mmorisation soit durable , il faut repasser 1 ses leons . Repasser ses leons consiste contrler systmatiquement, sans saider de notes et sans aide extrieure, ce que lon vient dapprendre (exercices et cours). Vous pouvez effectuer ce contrle de trois manires possibles : Mentalement : cest une mthode rapide et que vous pouvez effectuer nimporte o, par exemple dans les transports en commun, en attendant la caisse dun magasin, . . . Essayez de vous rappeler mentalement, et sans vous aider de vos notes, le cours et les exercices vus en classe. Par crit : aprs avoir relu votre cours ou rsolu un problme, essayez de retrouver par crit les principaux paragraphes, dmonstrations ou rsolution sans vous aidez daucun support. Par oral : expliquer des amis la leon que vous venez dapprendre ou lexercice que vous venez de rsoudre constitue une excellente manire de contrler que vous possdez votre sujet, cest aussi un fabuleux moyen pour lapprofondir.1. repasser son cours signie revoir son cours. Jaime bien le ct dsuet du terme repassage . On pourrait employer le terme plus la mode de feed back qui est un terme issu de la thorie des asservissements et que lon peut traduire par retour en arrire et vrication ou encore dans le domaine militaire : dbrieng aprs une mission.

0.2. MTHODE DE TRAVAIL

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En fait, il ny a gure de meilleur moyen pour apprendre quelque chose que de lexpliquer, de lenseigner. . . alors nhsitez pas aider les collgues ! Choisissez le type de repassage qui vous convient le mieux et faites-en le plus rgulirement possible aprs avoir revu en profondeur votre cours. Revoyez votre cours par couches successives : pour apprendre un gros volume de cours, rien nest plus inefcace que lattaquer de front, de manire linaire. La bonne manire consiste revoir son cours par couches successives : 1re couche : dabord, vous survolez lensemble du cours en ne retenant que la structure, le plan (tape devant durer 5 minutes environ). 2e couche : Dans ltape suivante (deuxime couche, dune dure denviron 10 15 minutes), on reprend son cours depuis le dbut en retenant cette fois galement les thormes, les dnitions et les rsultats importants. Aprs cette deuxime couche, on a dj une ide claire de la structure de lensemble du cours. 3e couche : on reprend son cours du dbut pour cette fois-ci ltudier en profondeur en apprenant le dtail des dmonstrations, les calculs de base savoir effectuer. Il faut saisir le truc des dnitions, des exercices types pour tre capable de les refaire seul. Pour sapproprier ce cours dlectrotechnique, il ne suft pas de lire le cours et dcouter en cours, il faut tre trs actif : il FAUT faire des exercices, des problmes. Cela dveloppe des qualits comme la patience, la tnacit, la persvrance, le courage. Seule la confrontation relle la difcult vous fera progresser. Les concepts nouveaux que vous devez apprhender sacquirent par un long processus de distillation dans lalambic du subconscient. Faire des exercices et des problmes est essentiel pour que ce processus arrive son terme. Mais, lorsque vous entamez un exercice, un problme, il ne faut pas vous prcipitez sur la solution. Il faut que vous sachiez scher avant de jeter le moindre regard sur la solution. Encore une fois, bien que cela puisse tre tentant, nous vous rappelons quil est parfaitement inutile de lire la correction dune question que lon na pas cherch rsoudre auparavant ! Si la solution vous chappe, si le temps vous manque, aprs un certain temps de schage , consultez la solution. Plus vous aurez sch, plus vous la lirez rapidement et plus vous vous direz mais cest bien sr, comment ais-je pu passer ct ? . Vous en retirerez tout de mme le suc essentiel, la substantique moelle . Si vous consultez tout de suite les solutions aprs avoir lu lnonc, vous perdez purement et simplement votre temps. Lorsque vous aurez fait un ou des exercices, revenez dessus, dissquez-les, analysezles fond. Lorsque vous aurez consult la solution, au cas o vous ntes arriv rien, demandez-vous comment vous auriez d procder pour la trouver tout seul. Essayez dimaginer comment on pourrait inventer une suite lexercice (si cest possible), comment on pourrait le compliquer. Cest trs formateur. Pour tre rellement utile, votre travail doit se diviser en deux tapes principales : 1. An dprouver vos connaissances et votre rexion, vous devez essayer de rsoudre lexercice ou le problme dans son intgralit, question par question, sans faire appel la correction et en vous imposant une limite de temps. En

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INTRODUCTION - GNRALITS cas de difcult, il faudra vous reporter dabord votre cours (pour vrier quil est bien assimil). 2. Il vous faudra reprendre le sujet en confrontant votre copie et la correction propose an de vrier vos rponses et de comprendre les questions non traites.

Une tendance trs rpandue consiste abattre les exercices la chane, mais superciellement, en esprant que le jour du contrle, lon aura dj vu ce type de problme et que lon saura sen souvenir. Cette mthode ne fonctionne pas car la seule manire de se souvenir dun exercice dlectrotechnique ou dlectronique cest de lavoir parfaitement compris et assimil. Cest ainsi que les connexions mentales qui permettent de rsoudre un exercice se mettent en place dans le cerveau. Prenez galement lhabitude, aprs chaque exercice, de faire un retour en arrire en faisant ressortir la dmarche gnrale et en tissant des liens avec le cours. Bref, il ne faut pas vous contenter de rsoudre lexercice, mais il vous faut lui apporter de la valeur ajoute et vous interroger sur son contenu. Gagnez en rapidit : prenez lhabitude, en travaillant chez vous, de vous concentrer sur une seule chose la fois. Essayez de contenir tout votre travail la maison dans une plage horaire serre. Engagez-vous, par exemple, travailler chez vous tous les jours lintrieur dun emploi du temps que vous vous xez, et efforcezvous de ne jamais dborder (quelle que soit votre charge de travail). Ltroitesse de la plage horaire vous obligera devenir efcace, vous arracher les tripes et ne pas vous endormir. Lors de la rsolution de problme, travaillez chez vous dans les mmes conditions que lors dun devoir surveill. Si les seuls moments o vous vous pressez sont les contrles crits, vous ne deviendrez jamais rapide. Pour plus de dtail concernant la mthode de travail acqurir, voir :

http://mach.elec.free.fr/methode_de_travail.htm

Chapitre 1

TransformateursLe transformateur est un convertisseur alternatif-alternatif qui permet de modier la valeur efcace dune tension alternative en maintenant la frquence et la forme de londe inchanges. Les transformateurs sont des machines entirement statiques, cette absence de mouvement est dailleurs lorigine de leur excellent rendement. Leur utilisation est primordiale pour le transport de lnergie lectrique o lon prfre transporter des volts plutt que des ampres . Ils assurent llvation de tension entre la source (alternateurs EDF fournissant une tension de 20000 V) et le rseau de transport (400000 V en Europe, 1000000 V en Russie ou au Canada), puis ils permettent labaissement de la tension du rseau vers lusager. En outre, le transformateur procure un isolement entre rseaux et permet de changer de rgime de neutre. Les transformateurs sont raliss en toutes puissances et tensions, de quelques VA et basse tension pour lalimentation de circuits lectroniques quelques centaines de MVA et de kV pour lalimentation ou le couplage des rseaux de transport de lnergie lectrique. Le transformateur est galement utilis comme adaptateur dimpdance en lectronique. Nous tudierons tout dabord le transformateur monophas et nous verrons comment en dduire les proprits des transformateurs triphass.

1.1 SymbolesOn peut employer deux symboles pour reprsenter le transformateur monophas. Sur celui de la Figure 1.1 (a), les trois barres verticales symbolisent le noyau magntique qui permet lnergie magntique de passer du bobinage primaire au bobinage secondaire. 1

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CHAPITRE 1. TRANSFORMATEURS

(a) Symbole du transformateur monophas.

(b) Symbole du transformateur monophas.

F IGURE 1.1 Symboles du transformateur.

1.2 Principe - quations1.2.1 Constitution - PrincipeUn transformateur comprend : un circuit magntique ferm : de permabilit magntique aussi haute que possible an de faciliter le plus possible le passage des lignes de champ magntique ; dhystrsis aussi faible que possible pour limiter les pertes ; feuillet (tles de 0,2 0,3 mm dpaisseur) an de limiter les courants de F OUCAULT ; de rsistance lectrique aussi leve que possible, toujours dans le but daffaiblir les courants de F OUCAULT, cette n on utilise des aciers au silicium (2 3 %). deux enroulements (bobines) : le primaire aliment par un gnrateur de tension alternative de tension V1 et comportant n 1 spires. Il absorbe le courant I 1 . Le primaire transforme lnergie lectrocintique reue en nergie magntique. Cest un rcepteur dnergie lectrique qui transforme cette nergie en nergie magntique ; le secondaire comporte n 2 spires ; il fournit, sous la tension V2 , un courant I 2 au diple rcepteur. Le secondaire transforme lnergie magntique reue du primaire en nergie lectrocintique. Cest un gnrateur dnergie lectrique. Les deux enroulements sont isols lectriquement, mais magntiquement coupls par le ux . Lun des deux bobinages joue le rle de primaire, il est aliment par une tension variable et donne naissance un ux variable dans le circuit magntique. Le circuit magntique conduit avec le moins de rluctance 1 possible les lignes de champ magntique cres par le primaire travers les spires du deuxime bobinage. Daprs la loi de Faraday, ce ux magntique variable induit une force lectromotrice (f..m.) dans le deuxime bobinage qui est appel secondaire du transformateur.1. La rluctance caractrise lopposition au passage des lignes de champ magntique, elle est lquivalent de la rsistance qui, elle, caractrise lopposition dun conducteur au passage du courant lectrique.

1.2. PRINCIPE - QUATIONS

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F IGURE 1.2 le ux magntique est not .

Si le diple aliment par le transformateur absorbe une puissance P 2 = V2 I 2 cos 2 (2 tant le dphasage d au diple), le primaire qui se comporte comme un rcepteur vis vis du rseau absorbe P 1 = V1 I 1 cos 1 (1 tant le dphasage entre V1 et I 1 ). La conservation de la puissance permet dcrire au rendement prs : P 1 = P 2 . De par son principe, le transformateur ne peut pas fonctionner sil est aliment par une tension continue. Le ux doit tre variable pour induire une f..m. au secondaire, il faut donc que la tension primaire soit variable. Le transformateur est rversible, chaque bobinage peut jouer le rle de primaire ou de secondaire. Le transformateur peut tre abaisseur ou lvateur de tension. Il peut y avoir plus dun enroulement secondaire. Par exemple, dans le cas dun transformateur abaisseur fournissant une tension efcace de 24 V, une tension de 12 V et une autre de 5 V, on a un primaire et trois secondaires. Lisolement lectrique et lchauffement constituent les limitations des enroulements.

F IGURE 1.3 Transformateur cuirass.

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On rencontre essentiellement le transformateur cuirass (gure 1.3) dans lequel les bobines sont coaxiales. Ce type de transformateur met moins de lignes de champ magntique lextrieur (fuites). Que ce soit le transformateur de la gure 1.2 ou bien celui de la gure 1.3, les deux enroulements sont isols lectriquement, mais magntiquement coupls par le ux . Les grandeurs physiques apparaissent dans lordre chronologique suivant, il est ncessaire de bien assimiler cette chane de causalit an de placer correctement tensions et courants sur un schma : 1. On choisit arbitrairement un instant o la d.d.p. du gnrateur a le sens que lon souhaite (ici elle est oriente vers le haut) : voir la gure 1.4.

F IGURE 1.4 chane de causalit du transformateur : tape 1. 2. A cet instant, le transformateur est un rcepteur, le courant sort par la borne + du gnrateur et rentre par une borne + dans le transformateur. On a donc dtermin le sens du courant parcourant lenroulement primaire cet instant : voir la gure 1.5. 3. Le sens du courant primaire dtermine, daprs la rgle du tire-bouchon de Maxwell par exemple, le sens du ux magntique produit cet instant par lenroulement primaire. Ce ux est quali de ux inducteur : voir la gure 1.6. 4. En admettant que le courant primaire est en train de crotre linstant considr, il en est de mme pour le ux magntique, canalis par le circuit magntique, travers lenroulement secondaire. Selon la de Faraday, un courant va apparatre dans le secondaire (celui-ci tant ferm sur un rcepteur). Daprs la loi de Lenz, le sens de ce courant secondaire sera tel quil crera un ux induit antagoniste au ux inducteur. La rgle du tire-bouchon de Maxwell permet de dterminer le sens du courant secondaire : voir la gure 1.7. 5. Lenroulement secondaire est un rcepteur dnergie magntique et un gnrateur dnergie lectrocintique. Le courant sort par la borne + , la pola-

1.2. PRINCIPE - QUATIONS

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F IGURE 1.5 chane de causalit du transformateur : tape 2.


rit, le sens du vecteur tension secondaire cet instant en dcoule : voir la gure 1.8. Nous appellerons le ux commun aux deux enroulements, ce ux circule dans le circuit magntique. Les enroulements primaires et secondaires sont pais. part la couche de spires enroule directement sur le circuit magntique, toutes les autres sont des distances croissantes de celui-ci. Cela entrane quun certain nombre de lignes de champ

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se referment dans lair plutt que par le circuit magntique comme le montre la gure 1.9. Ce phnomne est lorigine dun ux de fuite au primaire et au secondaire. un instant donn, le ux de fuite travers une spire du primaire F 1 a le mme sens que le ux magntique commun tandis quau mme instant, le ux de fuite travers une spire du secondaire circule dans le sens contraire du ux commun comme le montre la gure 1.9. Soit F 1 et F 2 les ux de fuites propres chaque enroulement :

1.2. PRINCIPE - QUATIONS le ux total traversant une spire du primaire est : 1 = + F 1 le ux total traversant une spire du secondaire est : 2 = F 2

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F IGURE 1.9 Flux de fuite au primaire et au secondaire un instant donn. En considrant linstant o la gure 1.9 donne les sens des courants et des ux, si R 1 et R 2 sont les rsistances des enroulements, on peut crire, en rgime sinusodal (en supposant le circuit magntique non satur) : V1 = +R 1 I 1 + j n 1 1 V2 = R 2 I 2 + j n 2 2 (Le signe provient du sens choisi pour I 2 qui est fourni par le secondaire.) Le ux commun est donn par la relation de Hopkinson dans laquelle on nglige les fuites devant : n1 I 1 n2 I 2 = R

R tant la rluctance du circuit magntique.Les lignes de champ des ux de fuite se referment dans lair, aussi les ux de fuite sont-ils proportionnels aux intensits qui les produisent. Le ux de fuites propres au primaire, F 1 est proportionnel au courant dans le primaire, on crit : n1 F1 =l1

I1

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l1

: inductance de fuites du primaire

De mme pour le secondaire : n2 F2 =l2

I2

l2

: inductance de fuites du secondaire

On obtient nalement lensemble des quations du transformateur : V1 = (R 1 + j V2 = (R 2 + j l1

)I 1 + j n 1 )I 2 + j n 2

l2

n1 I 1 n2 I 2 = R Il reste introduire les pertes fer du circuit magntique.

1.3 Transformateur idalAn de dgager les aspects fondamentaux, et compte tenu des ordres de grandeurs, il est commode dutiliser la notion de transformateur idal (sans pertes ni fuites) ou transformateur parfait. Nous verrons ensuite quun transformateur rel peut tre tudi partir de ce modle en y introduisant les paramtres ngligs ici.

1.3.1 Transformateur parfaitUn transformateur parfait : na pas de fuite magntiques : l1 = l2 = 0 ; na pas de pertes Joule : R 1 = R 2 = 0 ; possde un circuit magntique inniment permable : R = 0 supra-rluctant ; na pas de pertes fer.

NOTA : Le transformateur rel est, numriquement, assez proche de ces hypothses. Les quations se simplient : V1 = j n 1 V2 = j n 2 n1 I 1 n2 I 2 = 0 En liminant le ux commun et en utilisant la relation dHopkinson, on obtient la relation fondamentale :

1.3. TRANSFORMATEUR IDALV2 V1 n2 n1 I1 I2

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=

=

Les tensions sont dans le rapport des nombres de spires. Le nombre n2 (ou son n1 inverse, selon les auteurs) est appel rapport de transformation. Le transformateur permet dlever ou de diminuer la tension. On remarque dautre part que le ux est li la tension dalimentation ; on a en module : = V1 n 1

Dans le circuit magntique, si S est sa section, linduction a pour valeur efcace : Be f f = Bmax = S 2

Linduction maximale B max tant limite par la saturation des matriaux, nous voyons que pour S, , n 1 donns, la tension applicable a un enroulement est aussi limite : B max =2 Sn 1 V1

B sat ur at i on

En fonctionnement industriel, V1 , sont des constantes : par suite la valeur efcace du ux dans le circuit est, elle aussi, constante. Connaissant V1 , B sat ur at i on , f , S, on peut en dduire le nombre de spires minimum devant constituer le primaire du transformateur.

1.3.2 Impdance rameneLes quations complexes prcdentes montrent que si le dphasage d au diple de charge est 2 , on retrouve ce mme angle entre V1 et I 1 : Le rendement est videmment gal un : P 1 = V1 I 1 cos 1 = V2 I 2 cos 2 Le diple aliment par le secondaire peut tre reprsent par une f..m. E 2 et une impdance Z2 (modle de T HVENIN) comme le montre la gure 1.11. Cherchons quel gnrateur(E 1 , Z1 ) est quivalent le montage vu des bornes A et B : V2 = E 2 + Z 2 I 2 liminons V2 et I 2 en les remplaant par leur expression en fonction des grandeurs primaires : n1 n1 n1 n1 (E 2 + Z2 I1) = E2 + n2 n2 n2 n22

V1 =

Z2 I 1

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[h !] F IGURE 1.10 dphasage tension courant au primaire dun transformateur parfait.

F IGURE 1.11 Transformateur parfait alimentant un diple modlis par T HEVENIN.

F IGURE 1.12 Modle de Thevenin du transformateur parfait alimentant un diple.

V1 = E 1 + Z 1 I 1 Par identication, on a :

1.4. TRANSFORMATEUR REL VIDE

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E1 =

n1 E2 n2n1 2 n2

Z1 Z2

=

On retiendra ce dernier rsultat en notant que, pour les impdances, cest le carr du rapport des nombres de spires qui compte (thorme du transfert dimpdance). Cela va nous permettre de simplier des schmas quivalents du transformateur. Dans le domaine de llectronique, cette relation est souvent utilise an de calculer les transformateurs chargs dadapter les impdances des hauts-parleurs limpdance de sortie des amplicateurs.

1.4 Transformateur rel videUn transformateur parfait vide, cest dire tel que I 2 = 0, nabsorberait aucun courant primaire, et serait quivalent, vu des bornes dentre du primaire, une impdance innie. En fait, le transformateur rel absorbe un courant vide, faible devant le courant nominal et qui dpend de la qualit du circuit magntique (rluctance, pertes fer).

1.4.1 Inuence de la rluctance du circuit magntiqueSi on ne nglige plus R , on a : V1 = j n 1 V2 = j n 2 n1 I 1 n2 I 2 = R Le rapport des tensions nest pas modi, mais pour les courants, on peut crire :

I1 =

R V1 n2 R n2 I2 + = I2 + 2 n1 n1 n1 j n 1

Le second terme de cette expression est le courant magntisant du transformateur I 10 : I 10 = avec1 L1 = R

V1 j R2 n1

=

V1 j L 1

n2

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CHAPITRE 1. TRANSFORMATEURS L 1 est linductance propre de lenroulement primaire.

A vide, I 2 = 0, et le primaire du transformateur absorbe le courant I 10 ; nous trouvons videmment que le primaire, utilis seul, se comporte comme une inductance de n 1 spires, places sur un circuit magntique de rluctance R . Si V1 et sont des constantes, I 10 est constant. On peut donc crire : n2 I 2 + I 10 n1 V2 V1 n2 n1

I1 =

=

Il est recommand de traduire ces quations par un schma quivalent au transformateur rel (voir la gure : 1.13) et qui comprend : un transformateur parfait de mme nombres de spires n 1 et n 2 que le transformateur rel ; une inductance L 1 en parallle et dans laquelle passe le courant magntisant I 10 .

F IGURE 1.13 Modle du transformateur rel vide, reprsentation vectorielle des courants.

1.4.2 Inuence des pertes ferLe ux alternatif engendre, par hystrsis et courants de Foucault, un chauffement du circuit magntique : les pertes fer . Cela correspond une absorption supplmentaire de puissance active approximativement proportionnelle au carr du champ magntique B et la frquence f . Le ux tant dtermin par la tension applique ( frquence donne), les pertes fer seront proportionnelles au carr de la tension. Elles interviendront en permanence dans le rendement mais seront particulirement mises en vidence lors du fonctionnement vide. Un transformateur sans pertes fer nabsorberait, vide, aucune puissance active (linductance L 1 nabsorbe que de la puissance ractive) ; le transformateur rel vide absorbe en fait une puissance correspondant ces pertes fer. Cela signie qu vide, le transformateur rel absorbe un courant I 1V qui comporte, outre le courant magntisant I 10 , un courant I 1F , en phase avec la tension, correspondant aux pertes fer :

1.4. TRANSFORMATEUR REL VIDE

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PV = P f er = V1 I 1F = V1 I 1V cos 1V 1V tant le dphasage entre V1 et I 1V . La relation ci-dessous se traduit par les vecteurs de Fresnel disposs suivant la gure 1.14 : I 1V = I 10 + I 1F A frquence constante, I 1F est proportionnel V1 .

F IGURE 1.14 Dcomposition du courant I 1V absorb vide en courant du aux pertes fer I 1F et en courant du la cration du ux I 10 . Il est commode de complter le schma quivalent en reprsentant les pertes fer par une rsistance ctive R F , absorbant sous la tension V1 le courant I 1F ; R F est telle que :2 V1

P f er = V1 I 1F = on aura donc nalement : I1 =n2 n 1 I 2 + I 1V

RF

et

V2 V1

=

n2 n1

R EMARQUES : Aux forts courants, I 1 I 1V et on retrouve la relation du transformateur parfait. En fait, cause de la saturation, le courant vide nest pas sinusodal : le ux impos par la tension est sinusodal, de mme que linduction v 1 = n 1 d t ; par suite, le courant ne le sera pas. En prsence de lhystrsis, il y a en outre dphasage de la composante fondamentale du courant en avance sur le ux (courbe montante puis descendante : le courant sannule avant le ux). En charge, les courants I 1 et I 2 seront pratiquement sinusodaux car seule leur diffrence, faible, magntise le circuit et subit la distorsion.d

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F IGURE 1.15 Courant non sinusodal absorb par le transformateur vide.

1.5 Transformateur rel en charge1.5.1 Schma quivalentLorsque les courants sont importants, on doit tenir compte des chutes de tension dans les rsistances et dans les inductances de fuites. Le courant magntisant et les pertes fer restent lis au ux. Le schma quivalent de la gure 1.16 traduit les quations compltes : V1 = (R 1 + j l1 )I 1 + j n 1

V2 = (R 2 + j l2 )I 2 + j n 2 n2 n2 I 2 + I 1V = I 2 + I 10 + I 1F n1 n1

I1 =

Le schma quivalent de la gure 1.16 comporte un transformateur parfait plac sous les tensions ctives j n 1 et j n 2 . En pratique, la chute de tension dans R 1 et l1 est faible devant V1 et, pour le calcul du courant I 1V , lui-mme faible, il est inutile den tenir compte. On obtient alors un schma plus simple et sufsamment prcis (voir 1.17). On peut enn rduire ce schma en utilisant le thorme du transfert dimpdance, on peut ramener R 1 et l1 au secondaire en les multipliant par regroupant avec R 2 et l2 ; on pose :n2 2 n1

et en les

1.5. TRANSFORMATEUR REL EN CHARGE

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F IGURE 1.16 Schma quivalent du transformateur rel en charge : prise en compte des pertes fer et du courant magntisant.

F IGURE 1.17 Schma quivalent du transformateur rel en charge : simplication

R s = R2 +ls

n2 2 R1 n1 n2 2 l1 n1

rsistance des enroulements ramene au secondaire inductance de fuite ramene au secondaire.

= l2 +

Le schma nal de la gure 1.18, aussi appel schma de Kapp, permet ltude complte du transformateur rel qui, si V1 est constante, se prsente au secondaire comme un gnrateur de f..m.n2 n 1 V1

et dimpdance interne Z s = R s + j ls

Outre le phnomne essentiel traduit par le transformateur parfait, on localise les imperfections : rluctance du circuit magntique : L 1 ;

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F IGURE 1.18 Schma quivalent du transformateur rel en charge : utilisation du thorme du transfert dimpdance pour ramener la rsistance et linductance du primaire au secondaire.

fuites de ux : ls ; pertes fer : R F ; pertes cuivre (effet Joule) : R s . On retrouve le modle idal si : L1 = ls

=0 R F = R s = 0

R EMARQUE : En raison de R 1 et l1, la valeur efcace du ux dans le circuit magntique nest pas rigoureusement constante en charge ; on ngligera ce phnomne.

1.5.2 Chute de tensionLe schma prcdent conduit pour les tensions lquation :n2 n1

V1 = V2 + (R s + j ls ) I 2

(quation de Kapp) Supposons que le transformateur dbite le courant I 2 sous la tension V2 dans un diple qui prsente le dphasage 2 : on peut construire le diagramme des tensions (diagramme de Kapp) comme le montre la gure 1.19, sur cette gure, les amplitudes des vecteurs associs aux tensions R s I 2 et j ls I 2 ont t largement exagres an de les rendre plus visibles. On voit que, en gnral, V2 sera diffrente de n2 V1 et dpendra de I 2 et de 2 . A n1 n2 vide, I 2 = 0, on aura une tension V2 = V20 = n1 V1 . On appelle chute de tension la quantit : V2 = |V20 | |V2 | diffrence des valeurs efcaces de la tension secondaire vide et en charge pour une mme tension primaire V1 .


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F IGURE 1.19 Diagramme de Kapp des tensions.

ATTENTION : V2 nest pas la tension aux bornes de R s et ls . Le diagramme de Kapp permet de dterminer graphiquement cette chute de tension. En ralit, (R s I 2 ) et ( ls I 2 ) sont faibles devant V2 et on peut souvent utiliser une relation simplie tire du schma de la gure 1.20, page 17.

F IGURE 1.20 Justication graphique du calcul de la chute de tension. On peut matrialiser V2 sur le diagramme de la gure 1.20 en traant le cercle de rayon V20 , centr en O : V2 = ac Si : R s I 2 V2 et ls I 2 V2 , on peut considrer que le rayon du cercle est trs grand et confondre la projection ab avec V2 . On a alors : V2 ad + db

V2

R s I 2 cos 2 + ls I 2 sin 2

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1.5.3 Essais et proprits du transformateurLes paramtres du schma quivalent (gure 1.18) doivent tre dtermins par des essais exprimentaux. On peut effectuer des mesures directement sous tensions et courants nominaux. Il est prfrable de sparer les essais, ce qui, en outre, permet de travailler puissance rduite. 1.5.3.1 Essai vide Le secondaire du transformateur tant vide (I 2 = 0), on mesure V1 , V2 = V20 , P 1V , I 1V .

F IGURE 1.21 Essai vide du transformateur. Les courants primaires et secondaires tant respectivement trs faible et nul, on 2 2 ngligera les pertes cuivre , cest dire les pertes Joule. On aura : R 1 I 1 0 et R 2 I 2 = 0. La puissance mesure est assimile aux seules pertes fer. On en dduit :n2 n1

= V20 et cos 1V = VP 1V V1 1I

1V

I 1F = I 1V cos 1V et I 10 = I 1V sin 1V 1.5.3.2 Essai en court circuit Le secondaire est mis en court circuit par un ampremtre comme le montre la gure 1.22. Le primaire doit tre aliment sous une tension rduite V1CC . On mesure : V1CC , P 1CC , I 2 = I 2CC . Comme V1CC est trs faible, les pertes fer sont ngligeables et il ne reste que les pertes Joule : P 1CC do R s . On peut galement mesurer R 1 et R 2 en courant continu et faire le calcul. Le diagramme de Kapp se rduit un triangle rectangle (V2 = 0) dont on connat le ct (R s I 2CC ) et lhypotnuse. On en dduit ( ls ) :2 R s I 2CC


19

F IGURE 1.22 Essai en court-circuit du transformateur.

ls

I 2CC =

2 n2 (R s I 2CC )2 n 1 V1CC

F IGURE 1.23 Essai en court circuit du transformateur. Par le diagramme de Kapp (gure 1.23), ou en utilisant la relation approche du paragraphe prcdent, on peut, partir de ces rsultats, prdterminer la tension V2 (ou la chute de tension) pour tout courant I 2 dbit et tout dphasage 2 . Numriquement, pour les transformateurs industriels, la chute de tension est trs faible (quelque % de la tension). Si le dphasage est ngatif et sufsamment lev (dbit sur circuit capacitif ), la chute de tension peut tre ngative (V2 > V20 ) ; cest en fait un phnomne de rsonance. On peut traduire ces rsultats par des courbes (gure 1.24) donnant V2 en fonction de I 2 pour V1 et diverses valeurs du dphasage 2 . R EMARQUES : On applique le thorme de Boucherot : Puissance absorbe = Puissance fournie + pertes Puissance fournie : P 2 = V2 I 2 cos 22 2 2 Pertes Joule : P J = R 1 I 1 + R 2 I 2 = R s I 22 V1 RF

Pertes fer : P F =

= PV

Do le rendement :

20


F IGURE 1.24 Chute de tension du transformateur en fonction du dphasage impos par les rcepteurs.

=

P2 V2 I 2 cos 2 = 2 P 2 + P J + P F V2 I 2 cos 2 + R s I 2 + P F

Lessai vide donne les pertes fer et lessai en court circuit donne les pertes Joule. Numriquement, ce rendement est excellent pour un transformateur industriel ( > 95%). Il dpend de V2 , I 2 , 2 . R EMARQUE : Le rendement est nul pour I 2 = 0 et I 2 = . Si on suppose V2 et 2 constants, il est maximum lorsque R s I 2 = P J = PF = V2 cos 2F V2 cos 2 + R s I 2 + P2 I

PF I2

soit lorsque :

F IGURE 1.25 Rendement du transformateur en fonction du courant dbit I 2 .

1.6. TRANSFORMATEURS SPCIAUX

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1.6 Transformateurs spciauxDans les applications industrielles, on rencontre un grand nombre de transformateurs de construction spciale. La plupart possdent les proprits de base que nous avons tudies dans le chapitre prcdent : La tension induite dans un enroulement est proportionnelle au nombre de spires ; Lorsque le transformateur est en charge, les ampres-tours du primaire sont gaux aux ampres-tours du secondaire ; Le courant absorb vide (courant dexcitation absorb en permanence) est ngligeable par rapport la valeur du courant de pleine charge du primaire.

1.6.1 AutotransformateurOn appelle autotransformateur, un transformateur compos dun enroulement unique mont sur un circuit magntique. Pour un autotransformateur abaisseur, par exemple, la haute tension est applique lenroulement complet et la basse tension est obtenue entre une extrmit de lenroulement et une prise intermdiaire.

F IGURE 1.26 Autotransformateur. Soit un autotransformateur (Figure 1.26) compos dun enroulement AB de n 1 spires mont sur un circuit magntique. Lenroulement est raccord une source de tension constante V1 . Le courant dexcitation cre un ux et, comme dans tout transformateur, ce ux demeure constant tant que V1 est constante. Supposons que lon sorte une prise C entre les extrmits A et B de lenroulement, et que n 2 spires soient comprises entre les bornes A et C. Comme la tension induite est proportionnelle au nombre de spires, la tension entre ces bornes est : V2 = n2 V1 n1

Cette relation est la mme que celle obtenue avec un transformateur conventionnel deux enroulements ayant n 1 et n 2 spires respectivement au primaire et au secondaire. Cependant, comme les enroulements primaire AB et secondaire AC ont une borne commune A, ils ne sont plus isols. Si lon branche une charge entre les bornes A et C, le courant I 2 provoque la circulation dun courant I 1 au primaire (voir gure 1.27).

22


F IGURE 1.27 Tensions et courants dans un autotransformateur.

La section BC de lenroulement est traverse par le courant I 1 . Daprs la loi des nuds applique en A, la section CA est traverse par une intensit (I 2 I 1 ). De plus, la force magnto-motrice cre par I 1 doit tre gale et oppose celle produite par (I 2 I 1 ). On a donc : I 1 (n 1 n 2 ) = (I 2 I 1 )n 2 Soit : n1 I 1 = n2 I 2 Enn, si lon suppose que les pertes fer et le courant magntisant sont ngligeables, la puissance apparente absorbe par la charge doit tre gale celle fournie par la source. Par consquent, V1 I 1 = V2 I 2 . On constate que ces quations sont identiques celles obtenues avec un transn2 formateur conventionnel ayant un rapport de transformation n1 . Cependant, dans un autotransformateur, lenroulement secondaire fait partie de lenroulement primaire. Il sensuit quun autotransformateur est plus petit, moins lourd et moins coteux quun transformateur conventionnel de mme puissance. Cette conomie devient particulirement importante lorsque le rapport de transformation se situe entre 0,5 et 2. Par contre, labsence disolation entre la haute tension et la basse tension constitue un inconvnient parfois prohibitif. Les autotransformateurs servent au dmarrage tension rduite des moteurs, la rgulation de la tension des lignes de distribution et, en gnral, la transformation de tensions de valeurs assez rapproches. Un transformateur deux enroulements peut tre mont en autotransformateur : il suft de relier le secondaire en srie avec le primaire. Selon le mode de connexion, la tension secondaire peut sajouter la tension primaire ou se soustraire de celle-ci. Lorsquon utilise des transformateurs conventionnels comme autotransformateurs, il est important dappliquer les rgles suivantes : Le courant dans un enroulement ne doit pas dpasser la valeur nominale ; la tension aux bornes dun enroulement ne doit pas tre suprieure la valeur nominale ; si le courant nominal circule dans un enroulement, le courant nominal circule automatiquement dans lautre (galit des ampres-tours dans les deux enroulements) ;


23

si la tension nominale apparat aux bornes dun enroulement, la tension nominale correspondante apparat automatiquement aux bornes de lautre.

1.6.1.1 Autotransformateur variable Lorsque lon a besoin dune tension variable de 0 220 V ou plus, on a souvent recours un autotransformateur ayant une prise mobile (Figure 1.28). Le transformateur comprend un enroulement dune seule couche de l bobin sur un noyau magntique torodal et un balai en graphite mobile que lon peut dplacer au moyen dun bouton de rglage. Le balai glisse sur les spires, et mesure que le point de contact se dplace, la tension V2 augmente proportionnellement au nombre de spires parcourues. Si la source de tension V1 est connecte sur une prise xe englobant 85 % des spires, on peut faire varier la tension V2 de 0 de la tension V1 . Ainsi, par exemple, si V1 = 220 V, V2 pourra varier entre 0 et 250 V. On prfre lautotransformateur au rhostat car, pour une position donne du curseur, la tension V2 varie beaucoup moins avec la charge, et les pertes Joule sont bien moindres.

F IGURE 1.28 Schma de principe dun autotransformateur variable.

(a) autotransformateur

(b) autotransformateur

F IGURE 1.29 Autotransformateurs variables.

24


1.6.2 Transformateur de tension (TT)Les transformateurs de tension sont utiliss sur les lignes haute tension pour alimenter des appareils de mesure (voltmtre, wattmtre, etc.) ou de protection (relais). Ils servent isoler ces appareils de la haute tension et les alimenter des tensions appropries. Le rapport de transformation est choisi de faon que la tension secondaire soit dune centaine de volts, ce qui permet lutilisation dinstruments de fabrication courante pour la mesure de tension leves. Le primaire des transformateurs de tension est branch en parallle avec le circuit dont on veut connatre la tension. Leur construction diffre trs peu de celle des transformateurs conventionnels. Cependant, leur puissance nominale est gnralement faible (infrieure 500 VA) de sorte que le volume de lisolation dpasse souvent celui du cuivre et de lacier utilis. Les transformateurs de tension installs sur les lignes HT sont toujours raccords entre une ligne et le neutre. Cela limine la ncessit dutiliser deux grosses bornes de porcelaine, une des deux extrmits de lenroulement tant relie la terre. Par exemple, la Figure 1.30 montre un transformateur utilis sur une ligne 140 kV, il comprend une grosse borne (traverse) en porcelaine an disoler la ligne haute tension du boitier qui est mis la terre. Ce dernier renferme le transformateur proprement dit.

F IGURE 1.30 Transformateur de tension. An dviter le risque de choc lectrique en touchant linstrument de mesure ou un de ses l de raccordement, un des ls de lenroulement secondaire doit systmatiquement tre reli la masse. En effet, mme si le secondaire parat isol du primaire, la capacitance distribue entre les enroulements effectue une connexion invisible qui peut mettre le secondaire un potentiel trs lev par rapport au sol si ce dernier nest pas raccord la masse (Figure 1.31). Le voltmtre ayant une trs forte impdance, le transformateur de tension est


25

F IGURE 1.31 Transformateur de tension : ncessit du branchement du secondaire la terre.n2 pratiquement vide. On a : V2 = n1 , et comme V1 V2 , il faut : n 1 n 2 . LimpV1 dance ramene au primaire du transformateur de tension sera trs grande : Z1ramene = n1 2 n2

Zvoltmtre .

1.6.3 Transformateur de courant (TI)Les transformateurs de courant sont utiliss pour ramener une valeur facilement mesurable les courants intenses des lignes haute ou basse tension. Ils servent galement isoler les appareils de mesure ou de protection des lignes haute tension (Figure 1.32). Le primaire de ces transformateurs est mont en srie avec la ligne dont on veut mesurer lintensit. Ces transformateurs tant employs seulement des ns de mesure et de protection, leur puissance sera faible, de lordre de 15 200 VA. Le courant nominal secondaire est gnralement compris entre 1 et 5 A. Lemploi des transformateurs de courant sur les lignes haute tension est indispensable pour des raisons de scurit. Une ligne 200 kV peut ntre parcourue que par une intensit de 40 A parfaitement mesurable par un ampremtre de 0-50 A ; mais personne ne pourrait approcher linstrument sans subir une lectrisation fatale. Il est essentiel que linstrument soit isol de la haute tension au moyen dun transformateur (Figure 35). Comme dans le cas dun transformateur de tension, on doit toujours raccorder un des ls secondaires la masse. Le transformateur de courant est court-circuit par un ampremtre. Comme, en gnral, I 2 I 1 , il faut : n 2 n 1 . Si Zampremtre est limpdance de lampren1 mtre, limpdance ramene dans le circuit principal Zramene = n2 Zampremtre est trs faible et nentrane quune trs faible chute de tension dans le primaire du TI. 2

On ne doit jamais ouvrir le secondaire dun TI lorsque le primaire est aliment. Sil est ncessaire de retirer un instrument raccord au secondaire, il faut auparavant mettre le secondaire en court-circuit et ensuite retirer linstrument, ou encore, ce

26


F IGURE 1.32 Transformateur de courant.

qui est souvent plus facile raliser, court-circuiter le primaire. Si on ouvre le circuit secondaire dun TI, le courant dans le primaire continue circuler, inchang, car celui-ci ne dpend que de la charge du rseau. Les amprestours du primaire ne sont plus compenss par ceux du secondaire, il se produit une saturation du circuit magntique. La Figure 1.33 montre que lorsque le courant I 1 primaire crot et dcrot pendant la premire alternance, le ux crot et dcrot galement, mais il demeure constant, au niveau de saturation S pendant quasiment toute lalternance. Le mme phnomne se produit lors de lalternance ngative. Lors des intervalles de temps o le ux est satur, la tension induite est trs faible d d car d t est trs faible. Cependant, autour des passages de la tension par 0, le d t est trs important, ce qui peut produire aux bornes du secondaire des tensions dont le maximum peut atteindre quelques milliers de volts, assez leves en tous les cas pour provoquer des chocs lectriques dangereux.

1.7 Transformateur triphasEn triphas, on peut utiliser trois transformateurs monophass identiques dont on groupe les primaires et les secondaires en toile ou en triangle. Il est possible de disposer les enroulements sur le mme circuit magntique. Dans les deux cas, le rapport de transformation dpend des couplage utiliss et, en outre, un dphasage peut apparatre entre les tensions primaires et secondaires.

1.7. TRANSFORMATEUR TRIPHAS

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F IGURE 1.33 Consquences sur le ux de louverture du secondaire dun transformateur de courant.

An de simplier la ralisation du circuit magntique et de diminuer le volume occup par le transformateur ainsi que la masse de fer utilise, on ralise souvent des transformateurs triphass noyaux coplanaires possdant 3 colonnes. Cela a pour effet de contraindre les ux dans les colonnes satisfaire : 1 + 2 + 3 = 0 (au ux de fuites dans lair prs). On dit quun tel transformateur est ux lis (gure 1.34). Pour rduire le couplage magntique entre les trois colonnes, cest dire rendre indpendants les ux des trois transformateurs monophass lmentaires, on peut ajouter des colonnes latrales (voir gure 1.35).

1.7.1 Grandeurs caractristiques dun transformateur triphasLa plaque signaltique dun transformateur triphas porte, comme en monophas, les valeurs nominales : de la puissance apparente utile S 2n ; des tensions primaires et secondaires composes, cest dire entre ls de ligne ; si le mode de connexion des enroulements nest pas x on indiquera les valeurs nominales des tensions correspondant chaque couplage possible. Exemple :

28


F IGURE 1.34 Circuit magntique 3 colonnes, transformateur triphas ux lis.

si une plaque porte :

Primaire : toile U1n = 380V , triangle U1n = 220V Secondaire : toile U2n = 220V , triangle U2n = 127Vcela signie que les enroulements sont prvus pour travailler sous les tensions normales suivantes :

au primaire : V1n =

U1n = U1n = 220V 3 U2n au secondaire : V2n = = U2n = 127V 3

des intensits des courants secondaires en ligne, qui se dduisent des valeurs prcdentes par : I 2n = S 2n 3 U2n S 2n 3 U2n

I 2n =

Les enroulements secondaires sont donc prvus pour tre traverss par des courants dintensit efcace : J 2n = I 2n = I 2n 3


29

F IGURE 1.35 Circuit magntique 5 colonnes, transformateur triphas ux indpendants.

du facteur de puissance secondaire, valeur du facteur de puissance de la charge qui permet dobtenir le fonctionnement nominal (tensions primaires et secondaires normales, puissance apparente utile normale).

1.7.2 Rapport de transformationOn nommera ainsi le rapport des valeurs des tensions secondaire et primaire de mme dnition (toutes deux simples ou toutes deux composes) vide : M= Vao U abo = V Ao U AB o

R EMARQUE : la valeur de M ne sera plus ncessairement gale celle du rapport des nombres de spires secondaire et primaire not m.

1.7.3 Groupes de couplageComme tout systme triphas, les enroulements primaires et secondaires peuvent tre coupls en toile ou en triangle. Il existe une troisime variante consistant mettre en srie, an de constituer une phase, deux demi-enroulements placs sur des noyaux diffrents et coupler les trois phases ainsi obtenues en toile. Ce mode de couplage est dit en zig-zag.

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(a) couplage toile

(b) couplage triangle

(c) couplage zig-zag

F IGURE 1.36 Diffrents couplages dun primaire ou dun secondaire.

An de caractriser dune manire conventionnelle les couplages des transformateurs triphass, le primaire est dsign par une lettre MAJUSCULE et le secondaire par une lettre MINUSCULE. Les lettres employes sont les suivantes :

Y : couplage toile primaire ; y : couplage toile secondaire ; D : couplage triangle primaire ; d : couplage triangle secondaire ; Z : couplage zig-zag primaire ; z : couplage zig-zag secondaire.

Les diffrents couplages possibles peuvent induire un dphasage entre tensions homologues primaire et secondaire. Ce dphasage est toujours un multiple de 30. On dnit lindice horaire par un nombre entier compris entre 0 et 11 caractrisant le dphasage des tensions primaire et secondaire homologues. Lindice horaire est dni comme : n = 30 . Par analogie avec les divisions dun cadran de montre (montre aiguille), on parle de groupe horaire du transformateur. La dtermination du groupe horaire seffectue comme suit : A, B, C dsignent les bornes des enroulements primaires relies aux phases R, S, T du rseau primaire, a, b, c celles du secondaire relies aux phases r, s, t du rseau secondaire. Les bornes homologues tant repres par un point, on dispose au centre dun cadran de montre les vecteurs correspondant aux tensions primaire et secondaire de faon placer la borne A 12 heures (chiffre zro). Le groupe horaire est fourni par lheure de la borne a.


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1.7.3.1 tablissement des diagrammes de vecteurs de Fresnel associs aux tensions Gnralement, on utilise des points an de reprsenter les entres des enroulements. On connat grce ces points le sens de lenroulement dans une colonne. On peut alors tablir une rgle au niveau des dphasages entre le primaire et le secondaire sur une colonne.

F IGURE 1.37 Tensions homologues en phase. Dans le cas de la gure 1.37, on admettra que Van sera en phase avec U AB . On admet ainsi que si les deux pointes des ches reprsentant les tensions sont sur les points, alors on considre que les tensions sont en phases lune par rapport lautre ( condition bien sr que les deux enroulements soient sur la mme colonne). Dans le cas de la gure 1.38 , on admettra que Van est en opposition de phase avec U AB .

F IGURE 1.38 Tensions homologues en opposition de phase. Exemple : Dterminons lindice horaire du transformateur de la gure 1.39

F IGURE 1.39 Transformateur triangle toile.

1. On trace les tensions des enroulements du primaire (ici ce sont des tensions composes).

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CHAPITRE 1. TRANSFORMATEURS 2. On trace les tensions dans les enroulements du secondaire (phase ou opposition de phase selon les sens des ches et lemplacement des toiles ou des points) en respectant les rgles (ici dans notre cas Van en phase avec U AB , etc.). 3. On mesure le dphasage entre la tension simple du primaire et la tension simple du secondaire et ceci quelque soit le couple du primaire et du secondaire). Dans le cas prsent, le dphasage est de 330 . 4. On donne alors lindice horaire qui est 330 = 11, ou bien on considre que 30 la tension primaire est la grande aiguille dune montre place sur midi et on regarde quelle heure indique la petite aiguille qui est la tension secondaire homologue.

F IGURE 1.40 Vecteurs de Fresnel permettant la dtermination de lindice horaire du transformateur triangle toile. Il est ais de modier lindice horaire dun transformateur en effectuant une permutation circulaire des lettres affectes aux bornes : toute permutation correspond une augmentation ou une diminution de 4 de la valeur de lindice horaire. R EMARQUE : les couplages les plus frquemment rencontrs sont les suivants : Yy0, Yd1, Yz11, Dy11, Dd0, Zy1.

1.7.4 Conditions du couplage en parallleDes transformateurs sont en parallle lorsque leurs primaires sont aliments par un mme rseau et leurs secondaires connects une mme ligne ou dbitent dans

1.8. MISE SOUS TENSION DES TRANSFORMATEURS

33

une mme charge. Pour que lon puisse relier deux deux les bornes homologues secondaires sans que circulent des courants importants entre les secondaires, il faut que ces bornes soient deux deux aux mmes potentiels. On en dduit les conditions ncessaires au couplage de deux transformateurs triphass : mme rapport de transformation ; mme indice horaire et donc mme dphasage entre tensions homologues primaires et secondaires. On pourra donc coupler en parallle des transformateurs dont les indices diffrent de 4 condition deffectuer les ventuelles permutations circulaires ncessaires aux niveaux des bornes secondaires. On dnit quatre groupe de transformateurs suivant les valeurs des indices horaires : deux transformateurs dun mme groupe (et de mme rapport) peuvent aisment fonctionner en parallle. Groupe I II III IV Indices horaires 0,4,8 2,6,10 1,5,9 3,7,11 Couplages Yy Dd Dz Yy Dd Dz Dy Yz Yd Dy Yz Yd

1.8 Mise sous tension des transformateursLa mise sous tension dun transformateur (enclenchement) saccompagne dun phnomne transitoire gnralement de courte dure mais dont les effets peuvent tre extrmement gnants voire dangereux. Par exemple : efforts lectrodynamiques importants entre spires ou bobines ; chauffements prohibitifs ; contraintes dilectriques dangereuses pour lisolation ; creux de tension au primaire si le rseau nest pas inniment puissant .

1.8.0.1 Courant denclenchement vide La mise sous tension dun transformateur dont le secondaire est ouvert peut saccompagner dun appel de courant trs important i encl . lenclenchement, la valeur instantane de la tension applique au primaire vaut : v1 = 2 V1 sin(t + ) = R 1 i encl + n 1 d 1 dt

o 1 reprsente le ux propre du primaire cr par i encl . La relation entre 1 et i encl nest pas linaire vide, il se produit un effet de saturation trs marqu. Nanmoins, pour cette tude, on supposera que le ux peut tre exprim partir dune inductance propre L 1 constante, avec : L1 = Il vient : n 1 1 i encl

34


2 V1 sin(t + ) = R 1 ou encore : R1 d 1 1 + = L1 dt

n 1 1 d 1 + n1 L1 dt

2 V1 sin(t + ) n1

Le ux 1 solution de lquation se dcompose en deux termes : 1 = permanent + transitoire La composante permanente, en supposant R 1 ngligeable devant L 1 est fournie par : permanent = 1 sin t + = 1 cos (t + ) 2

o 1 reprsente lamplitude maximale du ux total permanent vide. La composante transitoire est de la forme : transitoire = C e L1 t1 R

o la constante dintgration C se dtermine partir des conditions initiales. Si le circuit magntique est le sige dun ux rmanent rmanent , on a, t = 0 :

1 = permanent + transitoire = 1 cos() +C C = 1 cos() rmanent La composante transitoire scrit ainsi : transitoire = 1 cos() e Le ux scrit donc : L1 t1 R

rmanent e

L1 t1

R

1 = permanent +transitoire = 1 cos (t + )+1 cos() e soit :

L1 t1

R

rmanent e

L1 t1

R

t t 1 = 1 cos (t + ) cos() e L 1 rmanent e L 1

R1

R1

Linstant le plus favorable pour lenclenchement correspond = , cest--dire 2 au passage de la tension par son maximum. Si rmanent = 0, le ux normal stablit immdiatement son rgime permanent, soit :

1.8. MISE SOUS TENSION DES TRANSFORMATEURS = 1 sin(t ) 2

35

permanent = 1 cos t +

Linstant le plus dfavorable correspond = 0 , cest--dire au passage par zro de la tension : t t 1 = 1 cos(t ) + 1 e L 1 rmanent e L 1R1 R1

avec habituellement : rmanent (0, 20, 3) 1 Aprs une demi-priode, t = , le ux prend la valeur : t t 1 = 1 + 1 e L 1 (0, 20, 3) 1 e L 1R1 R1

Normalement : R 1 do : eR L1 1

L 1 .

t

1 pour t =

et ainsi : 1 = 1 + 1 (0, 20, 3) 1 . La valeur du courant magntisant ncessaire la cration dun tel ux est fournie par la caractristique daimantation des tles du circuit magntique. Dans la ralit, compte tenu des valeurs maximales dinduction choisies par les constructeurs (de 1,5 1,7 T), la caractristique daimantation est sature et le courant denclenchement vide crot beaucoup plus que proportionnellement au ux. Des relevs oscillographiques ont montrs des rapports encl enchement allant de 80 I 10 120 (I 10 est le courant magntisant en rgime permanent, ne pas confondre avec le courant nominal !). La composante apriodique du courant denclenchement samortit et disparat pratiquement aprs un temps de lordre de 2 secondes pour de petits transformateurs et de 20 secondes pour des transformateurs de grande puissance. Le courant denclenchement ne prsente normalement pas de danger pour le transformateur mais il risque de provoquer des dclenchements intempestifs si les relais de protection ne sont pas temporiss convenablement voire neutraliss pendant la mise sous tension. Il est noter que les problmes de transitoire au dmarrage se sont fait plus aige avec lamlioration des caractristiques magntiques des tles au cours des 50 dernires annes. En effet, les cycles dhystrsis sont dsormais plus troits, plus anguleux, avec, dans le domaine satur, des courbes = f (i ) plus horizontales que les cycles dhystrsis des tles que lon trouvait jusque dans les annes 1970-1980 comme le montrent les gures 1.41 et 1.42. 1.8.0.2 Procds employs an de diminuer les surintensits lenclenchement On pourrait penser employer les moyens utiliss pour le dmarrage des moteurs asynchrones. Cependant, ces solutions ne sont pas satisfaisantes. Le dmarrage par insertion de rsistances est viter cause des pertes, prohibitives dans le cas des gros transformateurs. Le dmarrage toile-triangle ncessiterait deux couplages du primaires, ce qui, sans compter les problmes de dphasage, nest pas viable conomiquement.i

36


F IGURE 1.41 Cycle dhystrsis de tles pour circuit magntique fabriques dans les annes 1950.

F IGURE 1.42 Cycle dhystrsis de tles pour circuit magntique fabriques dans les annes 1995.

Une solution lgante consiste crer une force contre lectromotrice aux bornes du primaire du transformateur avant de lenclencher. Ceci peut seffectuer par la connexion aux bornes secondaires (en respectant les polarits, les points) dun petit transformateur comme le montre la gure 1.43. La squence denclenchement du transformateur 6600/440 V de la gure 1.43 est la suivante : 1. Les contacteurs KM1, KM2, et KM3 sont initialement ouverts. 2. On enclenche le transformateur auxiliaire 6600/220 V par la fermeture des deux contacteurs KM1. Ce transformateur tant dune puissance trs faible, le courant denclenchement est ngligeable. Ce petit transformateur alimente le secondaire du transformateur 6600/440 V en 220 V. Le transformateur 6600/440 V joue le rle de transformateur lvateur vis--vis de la tension 220 V et produit entre les bornes de son primaire une tension de 3300 V en phase avec la tension des barres 6600 V.

1.9. EXERCICES ET PROBLMES SUR LE TRANSFORMATEUR

37

F IGURE 1.43 Procd de dmarrage dun gros transformateur.

3. Lautomatisme ferme ensuite KM3 (mettons 0,5 secondes aprs la fermeture des KM1). Le courant denclenchement appel par le transformateur 6600/440 V sera ainsi rduit de moiti par la f.c..m. prsente au primaire. On peut le rduire plus ou moins selon le rapport de transformation du transformateur auxiliaire. Dun point de vue magntique, le transformateur auxiliaire a cr un ux en phase avec le ux permanent dans le circuit magntique du transformateur principal. Le ux permanent aura une valeur efcace plus importante en rgime tabli, mais le transformateur principal nappelle quun courant denclenchement modr pour augmenter la valeur efcace du ux dj prsent la valeur nale (pr-magntisation). 4. On peut ensuite ouvrir les contacteurs KM1. 5. Puis fermer le contacteur KM2, le transformateur principal tant dmarr , prt alimenter ses rcepteurs. Le procd peut voquer un dmarrage de machine asynchrone par auto-tranformateur.

1.9 Exercices et problmes sur le transformateur1.9.1 Utilit du transformateur pour le transport de lnergie lectriqueOn dsire alimenter sous une tension alternative de 220 V un rcepteur monophas absorbant 50 A avec un facteur de puissance de 0,6 arrire (inductif ). Ce rcepteur est situ lextrmit dune ligne bilaire de 40 km de longueur dont chaque conducteur en cuivre de rsistivit 1, 6 108 /m , possde une section de 1 cm2 . On utilise deux transformateurs parfaits identiques T1 et T2 ; T1 est utilis en lvateur de tension et T2 en abaisseur. Le rapport des nombres de spires est de 25. Dans un premier temps, on nutilise pas de transformateur.

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CHAPITRE 1. TRANSFORMATEURS 1. Calculer la tension imposer lentre de la ligne pour alimenter correctement le rcepteur. 2. Calculer la puissance perdue pendant le transport. 3. Calculer le pourcentage des pertes par rapport la puissance utile transporte. On utilise dsormais les transformateurs T1 et T2 . 4. Calculer la tension dalimentation du transformateur T1 , situ au dbut de la ligne, an dalimenter correctement le rcepteur. 5. Calculer les pertes dues au transport. Voir la correction page 43

1.9.2 AutotransformateurSoit un transformateur monophas ( deux enroulements) 60 Hz, 12 kVA, 600 V / 120 V que lon peut considrer comme parfait. On utilise les deux enroulements de ce transformateur pour cbler un autotransformateur de rapport 600 V / 720 V. 1. Dessiner le schma du cblage raliser pour transformer le transformateur en autotransformateur lvateur. 2. Calculer la capacit, en kVA, de cet autotransformateur. 3. Mme questions pour raliser un autotransformateur abaisseur de rapport 600 V / 480 V. Voir la correction page 43

1.9.3 Calcul du nombre de spires ncessaire pour raliser un transformateurOn veut raliser un transformateur monophas 5000 V / 200 V, 50 Hz. La section du circuit magntique sera de 1dm2 . Linduction maximale dans le circuit magntique ne doit pas dpasser 1, 5 T. 1. Calculer les nombres de spires du primaire et du secondaire. 2. Recalculer les nombres de spires si la frquence dutilisation est de 60 Hz au lieu de 50 Hz. Voir la correction page 44

1.9.4 Essai videUn transformateur monophas a t soumis a un essai vide, on a mesur les valeurs suivantes : V1 = 220 V, V2 = 110 V, I 1 = 0, 3 A, I 2 = 0 A, P 1 = 10 W, f = 50 Hz. Lenroulement primaire prsente une rsistance R 1 = 8 et le secondaire, une rsistance R 2 = 2 . On nglige les fuites magntiques.


39

1. Calculer le facteur de puissance vide, le courant magntisant I 10 , le courant I F , la rsistance R F et linductance L 1 . Le courant appel par le secondaire tant I 2 = 2 A, en phase avec la tension , calculer : 2. la tension obtenue, le primaire restant aliment sous 220 V. 3. le rendement du transformateur. Voir la correction page 45

1.9.5 Fonctionnement dun transformateurOn considre un transformateur monophas dont le rapport de transformation est m = 23. Limpdance totale du transformateur ramene au secondaire a un module de 1, 33 et un argument de 70 30 . Pour le fonctionnement considr, les pertes fer sont de lordre de 70 W. Le secondaire dbite 3 kVA sous une tension de 200 V avec un facteur de puissance gal 0,8 (rcepteur inductif ). 1. Calculer la tension au primaire. 2. Calculer le rendement du transformateur. Voir la correction page 45

1.9.6 Essai en court-circuitLors de lessai en court-circuit dun transformateur, on a relev les valeurs suivantes : I 1 = 0, 65 A, I 2 = 15 A ; P 1 = 100 W ; V1 = 460 V 1. Calculer le rapport de transformation. 2. Calculer limpdance ramene au secondaire ZS . on sait que R 2 = 0, 225 . 3. Calculer la valeur de R 1 . Voir la correction page 46

1.9.7 Transformateur monophas en chargeSoit un transformateur monophas de caractristiques : S n = 10kVA ; 60 Hz ; 600 V/120 V ; impdance ramene au primaire : R 1 + j X 1 = 0, 5 + j 6, 0 ; Une charge inductive est connecte au secondaire. On mesure alors au primaire : V1 = 600 V ; I 1 = 16, 7 A ;

40

CHAPITRE 1. TRANSFORMATEURS P 1 = 8 kW ; Pertes fer = 200 W. Calculer la tension V2 au secondaire ainsi que le facteur de puissance de la charge. Voir la correction page 46

1.9.8 Fabrication dun transformateur, prdtermination des lments du schma quivalent de KappOn ralise un transformateur monophas 220 V/110 V de puissance apparente 1100 VA. Ce transformateur est aliment au primaire par une tension de 220 V-50 Hz. Pour raliser ce transformateur, on utilise le circuit magntique dont la forme est donn la gure 1.44. On admettra que la section du tube dinduction est s = 17, 5 cm2 et que la longueur moyenne de la ligne dinduction est l = 36 cm Les tles

F IGURE 1.44 Circuit magntique du transformateur de lexercice 1.9.8. magntiques utilises, non satures, ont les caractristiques suivantes : permabilit relative : r = 3000 SI ; masse volumique : = 7000 kg/m3 ; pertes fer 50 Hz : 2, 5 W/kg pour une induction maximale de 1 T. On rappelle la valeur de la permabilit magntique de lair : 0 = 8 1 5 SI. 10 1. Calculer le nombre n 1 de spires du primaire pour que, dans le fer, linduction maximale atteinte soit de 1 T. 2. Calculer la valeur efcace du courant magntisant I 10 absorb au primaire. 3. Calculer les pertes fer puis calculer la valeur de la composante I 1F du courant vide, en phase avec la tension dalimentation. 4. Calculer le courant I 1V absorb vide par le primaire ainsi que le facteur de puissance vide. Le transformateur ayant t ralis, on a procd aux essais exprimentaux qui ont donn les valeurs suivantes : essai vide : V1 = 220 V, V2 = 110 V, PV = 25 W ; essai en court-circuit : I 2CC = 10 A, V1CC = 6, 22 V ; rsistances primaire et secondaire mesures chaud : R 1 = 0, 40 , R 2 = 0, 12 .

1.9. EXERCICES ET PROBLMES SUR LE TRANSFORMATEUR 5. Calculer la ractance de fuite ramene au secondairels

41 .

6. Calculer la tension V2 obtenue lorsque V1 = 220 V et que le transformateur dbite au secondaire un courant inductif I 2 = 10 A avec cos 2 = 0, 8. Il est conseill dutiliser la relation simplie permettant de calculer la chute de tension V2 . Voir la correction page 47

1.9.9 tude du fonctionnement dun transformateur, court-circuit, mise en parallleLe transformateur tudi ici est une version monophas dun transformateur de distribution assez courant du genre de ceux que lon voit en haut des poteaux dans les campagnes. Une srie de mesure sur un transformateur monophas a permis dtablir les caractristiques suivantes : Tensions vide : U1n = 21 kV, U2n = 380 V ; Impdances du primaire : R 1 = 61, l1 = 141 ; Impdances du secondaire : R 2 = 2 m, l2 = 40 m ; Puissance nominale : S n = 76 kVA. Sauf indication contraire, dans tout le problme le transformateur sera aliment par un rseau de tension 21 kV-50 Hz. 1. Dessiner le schma quivalent de kapp, ramen au secondaire, en prcisant les valeurs du rapport de transformation, de R S et dels

;

2. Le secondaire du transformateur dbite sur une charge absorbant un courant I 2 = I 2n , de facteur de puissance cos = 0, 8 (inductif). 2.1. Calculer la chute de tension U2 en utilisant la relation algbrique simplie. 2.2. Calculer la tension aux bornes de la charge. Le primaire tant toujours aliment sous une tension de 21000 V, les bornes de sortie du secondaire sont mises en court-circuit franc. 2.3. Calculer le courant de court-circuit ICC . 2.4. Calculer la puissance dissipe par effet Joule dans le transformateur lors de ce court-circuit. 2.5. Calculer la tension U1CC laquelle il faut rduire la tension primaire pour limiter le courant de court-circuit I 2CC = I 2n . Calculer la valeur : U1CC = U1n en %. 2.6. Calculer la puissance absorbe PCC lors de lessai en court-circuit sous tension rduite U1CC . 3. Un essai supplmentaire, vide, a donn la puissance absorbe au primaire : P 0 = 400W pour cos 0 = 0, 1 3.1. Calculer le rendement du transformateur lorsquil dbite I 2 = I 2n avec cos 2 = 0, 8. Les conditions dexploitation demeurent identiques, savoir : (I 2 = I 2n , cos 2 = 0, 8 inductif).

42

CHAPITRE 1. TRANSFORMATEURS 3.2. Calculer la puissance active P 1 absorbe au primaire. 3.3. Calculer la puissance ractive Q 1 absorbe au primaire. 3.4. Calculer le facteur de puissance du primaire, cos 1 . 3.5. Calculer le courant I 1 absorb par le primaire. 4. Calculer le courant dbit I 2 donnant lieu au rendement maximum. Calculer ce rendement pour cos 2 = 1. 5. On considre prsent un deuxime transformateur, rigoureusement identique au premier. Son rapport de transformation vaut nanmoins : m= 1,01.m . Les primaires sont connects en parallle sur le rseau 21 kV. Les secondaires sont connects en parallle. 5.1. Lensemble tant vide (pas de dbit sur charge extrieure), calculer le courant de circulation I V dans les secondaires. On dbranche le primaire du transformateur n2 du rseau ; les secondaires des transformateurs n1 et n2 restent cependant connects en parallle. 5.2. Calculer le courant au secondaire du transformateur n1. 5.3. Calculer le courant appel par le primaire du transformateur n1. 5.4. Calculer la puissance dissipe par effet Joule dans chacun des transformateur. Voir la correction page 48

1.9.10 tude dun transformateur triphasUn transformateur Dy avec neutre au secondaire, possde un rapport de nombres de spires gal 0,044. La tension primaire est de 5000 volt. 1. Calculer les tensions disponibles au secondaire. 2. Calculer lintensit du courant primaire dans un l de ligne et dans un enroulement si le secondaire dbite 100 A. Voir la correction page 50

1.9.11 Transformateur triphas : modication du couplage du secondaireUn transformateur triphas dont le primaire est en toile, est aliment sous une tension de 20000 V. Les nombres de spires par noyau sont n 1 = 4000 au primaire et n 2 = 76 au secondaire. La puissance apparente du transformateur est S = 140 kVA. 1. Calculer les tensions disponibles au secondaire (entre phases et ventuellement entre neutre et phase) pour les couplages suivants : toile avec neutre ; triangle ; zig-zag avec neutre. 2. Pour chacun des trois couplages, calculer lintensit du courant dans la ligne au secondaire ainsi que lintensit du courant dans un enroulement. Voir la correction page 51


43

1.9.12 corrig de lexercice 1.9.1, page 37l 1. On calcule dabord la rsistance de la ligne R = s = 1, 6 108 240000 = 1 104 12, 8 . Le dphasage du courant sur la tension vaut : arccos(0, 6) 53. Sans transformateur, la tension appliquer lentre de la ligne doit tre gale celle rgnant aux bornes du rcepteur plus celle aux bornes de la rsistance de la ligne, soit : 220 0 + 12, 8 50 53 = 792 40 V. Cette tension est beaucoup trop importante, on ne pourra pas alimenter des rcepteurs de tension nominale 220 V lentre de la ligne. Dautre part, la puissance perdue lors du transport est celle perdue en effet Joule dans la rsistance de la ligne, soit : R I 2 = 12, 8 502 = 32 kW. Ces 32 kW doivent tre compars la puissance absorbe par le rcepteur : 220 50 0, 6 6.6 kW, on perd pratiquement trois fois la puissance transporte ! Il faudra donc soit diminuer la rsistance de la ligne, soit utiliser des transformateurs an daugmenter la tension et de diminuer lintensit dans la ligne.

2. Partant du secondaire du transformateur qui alimente le rcepteur et qui doit fournir 220 V an que celui-ci fonctionne correctement, on calcule les diffrentes tensions jusqu lentre de la ligne. Le primaire du transformateur qui alimente le rcepteur doit tre aliment sous une tension de 22025 = 5500 V. Aux bornes de la rsistance de la ligne, la d.d.p. est de 12, 850 = 640 V qui doit tre ajoute vectoriellement au 5500 V. La tension au secondaire du transformateur lvateur en dbut de ligne est donc : V2 = 5500 0 + 640 53 5907 5 V. La tension aux bornes du primaire du transformateur lvateur doit donc tre de : 5907 236 V ce qui est beaucoup plus raisonnable et ne posera plus aucun 25 problme aux rcepteurs aliments par cette tension en dbut de ligne.1 Lintensit circulant dans la boucle haute tension est : 50 25 = 2A. Les pertes par effet Joule dans la ligne sont donc dsormais de 12, 8 22 51W, soit 0,46 % de la puissance transporte. Les transformateurs permettant de transporter lnergie lectrique en haute tension permettent donc de rsoudre trs efcacement les problmes de transport de lnergie lectrique.

1.9.13 corrig de lexercice 1.9.2, page 381. Le schma modi est celui de la gure 1.45 page 44. La connexion a pour but dajouter le vecteur 600 V au vecteur 120 V. 2. En se plaant du ct secondaire, la puissance apparente de lautotransformateur est gale : 720V 100A = 72 kVA. On aurait pu se placer du ct primaire et faire le calcul : 600V 120A = 72 kVA. Les deux valeurs sont videmment identiques. 3. Pour la transformation en autotransformateur abaisseur, la connexion raliser doit permettre de soustraire le vecteur 120 V au vecteur 600 V comme le montre la gure 1.46 page 44. 4. En se plaant du ct secondaire, la puissance apparente de lautotransformateur est gale : 480V 100A = 48 kVA. On aurait pu se placer du ct primaire et faire le calcul : 600V 80A = 48 kVA. L aussi, bien videmment, les deux valeurs sont videmment identiques.

44


F IGURE 1.45 Modication des connexions pour transformer un transformateur en autotransformateur lvateur.

F IGURE 1.46 Modication des connexions pour transformer un transformateur en autotransformateur abaisseur.

1.9.14 corrig de lexercice 1.9.3, page 38La formule de la page 9 permet dobtenir : n1 = V 2 2 f B S

On en tire les valeurs suivantes : n 1 = 1500 spires, n 2 = 60 spires en 50 Hz ; en 60 Hz, n 1 = 1250 spires et n 2 = 50. Il est noter que le transformateur, sil est initialement conu pour fonctionner


45

en 50 Hz, pourra fonctionner sans problme en 60 Hz, alors que linverse poserait des problmes, londe de tension secondaire serait dforme cause de la saturation du circuit magntique.

1.9.15 corrig de lexercice 1.9.4, page 38La cl de la rsolution de cet exercice est la gure montrant la dcomposition du courant absorb vide la page 13.P 1. Facteur de puissance : P 1 = V1 I 1 cos cos = V1 1I 1 = 10 220 0,3

= 0, 15.

Courant magntisant : I 10 = I 1 sin 1V = 0, 3 sin (arccos(0, 15)) = 296 mA. Courant crant les pertes fer : I 1F = I 1 cos 1V = 0, 3 0, 15 = 45 mA. R F peut se calculer de plusieurs manires : R F =V1 I 1F P1 2 I 1F2 V1 P1 .

=

=

La dernire

formule permet un calcul directement avec les donnes de lnonc, minimisant ainsi les risques derreur (au cas, fort improbable, o le calcul de I 1F ne 2 serait pas correct). On a donc : R F = 220 = 4, 84 k. Il est noter que les r10 sistances ctives (elles nont aucune ralit physique et ne se mesure pas) R F possde une valeur assez importante (suprieure au k). L 1 ne se calcule que par une seule formule tant donn que lon ne mesure pas la puissance ractive absorbe vide par le transformateur. En valeur efcace, 1 on a : V1 = L 1 I 10 L 1 = VI 10 = 314220 = 2.36 H. 0,296 2. Le courant secondaire tant en phase avec V2 , le vecteur R S I 2 est en phase avec V2 . Les fuites magntiques tant nulles daprs lnonc, les inductances 2 de fuite galement. On a donc : V2 = n1 V1 R S I 2 . n Le calcul de R S ne pose aucune difcult : R S = R 2 + 4 . Ainsi, V2 =220 2 n2 2 n1

R 1 = 2+

110 2 220 8 =

4 2 = 102 V.P2 P 2 +P f er +P cui vr e

Rendement : =

=

10221 1022+10+422

= 0, 887.

1.9.16 corrig de lexercice 1.9.5, page 39Calcul de la tension secondaire :S Dterminons tout dabord I 2 : I 2 = V2 = on en dduit I 2 = 15 arccos 0, 8 = 15 37 3000 200

= 15 A. Avec le facteur de puissance,n1 n2

n2 Lquation de maille du secondaire est : n1 V1 = ZS I 2 +V2 V1 = 23 (1, 33 70, 5 15 37 + 200 0 ) 4990 2, 9 V.

Z S I 2 + V2 =

Rendement : La rsistance des enroulements ramene au secondaire est la partie rel de limpdance totale ramene au secondaire : R S = 1, 33 cos(70, 5 ) = 0, 444. =P2 P 2 +P f er +P cui vr e

=

30000,8 30000,8+70+0,444152

0, 934.

46


1.9.17 corrig de lexercice 1.9.6, page 391. Pour le calcul du rapport de transformation, il faut penser utiliser le rapport I des intensits : n2 = I 1CC = 0,65 = 0, 043. n1 152CC

2.

n2 n1

V1 = ZS I 2CC ZS =

n2 n1

V1

I 2CC

=

0,043460 15

= 1, 32 .100 0,04346015

Largument de ZS sobtient avec la formule : P = V I cos cos = 0, 334 = 70, 5 .

=

On a donc : ZS = 1, 32 +70, 5 . Il sagit bien de + 70, 5 car limpdance tant de nature inductive, il faut parcourir un angle dans le sens positif trigonomtrique pour, partant du vecteur courant, arriver sur le vecteur tension. 3. R 1 =n1 2 (R S n2

R2 ) =

1 0,043

2

(0, 444 0, 225)

113 .

Cette valeur peut paratre leve, mais les pertes Joule au primaire demeurent modres. En effet, en considrant un transformateur 5000 V/220 V de 3 kVA, comme dans lexercice 1.9.5 lintensit nominale primaire est de : I 1n = 3000 = 5000 2 0, 6 A R 1 I 1n = 41 W.

1.9.18 corrig de lexercice 1.9.7, page 39La puissance apparente absorbe par le primaire est gale : S 1 = V1 I 1 = 600 16, 7 10kVA

F IGURE 1.47 Circuit quivalent du transformateur de lexercice 1.9.7. La puissance active absorbe par le primaire du transformateur est gale celle absorbe par la charge plus celle absorbe par le transformateur (pertes fer et perte Joule dans les enroulements). R = P 1 P ertes fer2 I1

R1 =

7800 0, 5 (16, 7)2

25, 5

La puissance ractive au primaire est gale :


47

Q1 =

2 2 S1 P1 =

(103 )2 (7800)2 = 6, 25 kVA

2 De Q 1 = (X 1 + X ) I 1 , on dduit :

X =

Q12 I1

X1 =

6, 25 103 6 (16, 7)2

16, 5 P1 S1

Le facteur de puissance au primaire est : cos 1 = La tension V2 est gale :

=

7800 103

= 0, 78 1 = 38, 7

V2 = V1 (R 1 + j X 1 )I 1 = 600 (0, 5 + j 6) (16, 7 38, 7) La tension aux bornes du secondaire du transformateur est : V2 (600/120) 536 8 5

536 8 V

V2 =

=

107 8 V

La valeur efcace de la tension secondaire est donc 107 V. Le facteur de puissance de la charge est : cos 2 = cos arctan 0, 86.X R

= cos(30, 9)

On peut galement rsoudre cet exercice graphiquement. On peut aussi ramener les impdances R 1 et X 1 au secondaire an de se retrouver en terrain plus familier et calculer la chute de tension V2 par la formule approximative, puis en dduire V2 .

1.9.19 corrig de lexercice 1.9.8, page 401. e = t

V = j n 1 V = n 1 2 f B S n 1 =

283 spires 2. Les quations de la page 11 nous donnent I 10 =

V 2 f B S

220 2 = 2 50 1 0,0035 =

V1 R2 j n1

. Il nous faut dterminer

la rluctance R du circuit magntique. Celui-ci est constitu par deux circuits identiques en parallle comme le montre la gure 1.48.

F IGURE 1.48 Circuit magntique quivalent du transformateur de lexercice 1.9.8. Or, R = Do8 105 0,36 1 l 0 r S R = 3000 0,0035 I 0 = 27468220 240 mA. 2832 314

= 27468 A/Wb.

48

CHAPITRE 1. TRANSFORMATEURS 3. Le volume du circuit magntique est : V = 2S l = 20, 001750, 36 = 1, 26 l. Les pertes fer sont donc : P f = 2 S l 2, 5 22 W. Et donc : I 1F = 4. I 1V =Pf V1

0, 1 A. 0, 26 mA, cos V =I 1F I 1V

2 2 I 0 + I 1F

=

0,1 0,26

= 0, 38.

5. Lessai en court-circuit permet de dterminer linductance de fuite :n2 n1

ls

=

V1CC

2

(R S I 2CC )2 =

110 220

6, 22 0, 12 + 10

2

110 2 220

0, 40 0, 10

2

I 2CC

0, 22

. 6. La gure 1.49 permet de tracer le diagramme de Kapp 1.50.

F IGURE 1.49 Circuit quivalent du transformateur de lexercice 1.9.8.

F IGURE 1.50 Diagramme de Kapp du transformateur de lexercice 1.9.8. Dans le triangle rectangle ABC, on a V2 qui correspond la longueur AD. Et |AD| = |AC | |C D| = AB 2 BC 2 |C D|. On peut donc calculer : V2 =n2 n1

V1

2

2

2 2 RS I 2 +

ls

2 2 2 I2

sin

2 2 RS I 2 +

ls

2 2 2 I2

cos

Soit : V2 108 V. Ceci correspond un calcul exact. Sinon, par la formule approche de la chute de tension, on obtient plus simplement : V2 =n2 n1

V1 R S I 2 cos +

ls

I 2 sin

107 V

1.9.20 corrig de lexercice 1.9.9, page 411. m =n2 n1

=

380 21000

= 0, 018, R S = R 2 +

n2 2 R1 n1

= 0, 022

1.9. EXERCICES ET PROBLMES SUR LE TRANSFORMATEUR = +n2 2 n1

49

ls

l2

l1

ls

ls

= 0,086 ; 14V. 366V

2. 2.1. U2

R S I 2 cos +

I 2 sin = 13, 84n2 n1

Sn 2.2. I 2n = U2n = 200A V2 =

V1 U = 380 14

2.3. ICC =

n2 n1 2 RS +

V1ls

2

4280A.

2 2.4. P J = R S I 2CC = 0, 022 42802 403kW, ce qui risquerait de dtruire le transformateur : imaginez 403 fer repasser dans une boite de 60 cm de haut sur 40 cm de large sur 20 cm de profondeur ! 2 2.5. La mme formule que prcdemment donne : U1CC = I 2CC R S + n1 n2 U1CC U1n 1048 21000ls

2

= 980V cest la tension primaire ncessaire an de limiter le courant = 5%

de court-circuit lintensit secondaire nominale. = .

2 2.6. PCC = R S I 2CC = 0, 022 2002 = 880W, ce qui est galement la puissance dissipe par effet Joule dans le transformateur, puissance qui est supportable sans dommage par le transformateur. V2 I 2 cos 3. 3.1. = V2 I 2 cos +P +P 0, 98. cui vr e f er

3.2. La puissance active P 1 absorbe au primaire est gale au dnominateur de lexpression du rendement ci-dessus, elle vaut 59.8 kW. 3.3. La puissance ractive Q 1 absorbe au primaire est la somme de la puissance ractive absorbe par le rcepteur et de celle absorbe par le transformateur. Le rcepteur absorbe Q r = V2 I 2 sin = 366200sin arccos(0, 8) = 43, 9 kvar. Linductance de fuite ramene au secondaire consomme une 2 puissance ractive de Q f = ls I 2 = 0, 086 2002 = 3, 44 kvar. Linductance L 1 absorbe Q L1 = P o tan (ar c t an0, 1) 3, 98 kvar. Le thorme de Boucherot nous permet de calculer la puissance ractive totale absorbe comme tant la somme des puissances ractives absorbes, soit Q 1 = 51, 3 kvar. Q1 51,3 103 3.4. Le facteur de puissance du primaire est cos 1 = cos ar c t an P 1 = 59,8 103 0, 76 soit un dphasage de 40, 6 comparer au dphasage impos par le rcepteur : arccos 0, 8 36, 7. Le transformateur modie ce dphasage de 3, 9 . 59,8 103 3.5. I 1 = V1 P 1 1 = 210000,76 3, 75A . cos 4. Le courant produisant le rendement maximum est celui qui produit des pertes U2 I 2 cos cuivre (pertes par effet Joule) gales aux pertes fer. En effet, = U I cos +P +R I 2 .2 2 f er S

Divisons numrateur et dnominateur par I 2 : P f er U2 cos = , est maximal lorsque lexpression I 2 +R S I 2 est miP f er U2 cos + I +R S I 2 2 nimale, cest dire lorsque la drive de cette expression par rapport I 2 est P f er I +R S I 2 P f er 2 2 nulle. Or = I 2 + R s = 0 P f er = R S I 2 I 22

2

Il faut donc que I 2 =

400 0,04

= 134, 8

135A.

50


F IGURE 1.51 Circuit quivalent du transformateur de lexercice 1.9.9.

Calculons la tension secondaire : Alors : =135(3800,022135) 135(3800,022135)+2(0,0221352 )

0, 984

5. 5.1. La gure 1.51 permet de calculer le courant de circulation entre les deux 383,8380 secondaires vide : I V = = 20A. 2 2(20,04) +(20,086)

5.2. Le transformateur n1 a pour charge le secondaire du transformateur n2. Le courant dbit par le secondaire du transformateur n1 est donc : 380 2000A I 21 = 2 2(20,04) +(20,086)

5.3. Le courant appel par le primaire du transformateur n1 est de I 1 n1 380 36A. n 1 = 2000 21000

I 21

5.4. La puissance dissipe par effet Joule dans chacun des transformateur est 2 de R s I 21 = 0, 04 20002 = 160kW ce qui est videmment excessif.

1.9.21 corrig de lexercice 1.9.10, page 421. Il sagit dun transformateur dont le primaire est en triangle (D) et le secondaire en toile (y). Il y a donc un point neutre au secondaire et de plus ce neutre est connect une borne. On pourra donc disposer des tensions composes (entre phases) et des tensions simples (phase - neutre) au secondaire. La tension aux bornes dune bobine secondaire est gale la tension aux bornes dune bobine primaire multiplie par le rapport des nombres de spires. Or la tension aux bornes dune bobine primaire est la tension compose au primaire (5000 V) car le primaire est en triangle. On a donc : Vbobi ne 2 = Vbobi ne 1 n2 Vbobi ne 2 = 0, 044 5000 = 220V n1

Il sagit de la tension simple car les bobines secondaires sont connectes en toile. La tension compose secondaire est gale : U2 = 3 V2 = 3 220 = 380V

2. Le rapport des intensits dans les bobines secondaires est primaires est gal au rapport du nombre de spires on a donc : I bobi ne 1 I bobi ne 2 = n2 n2 I bobi ne 1 = I bobi ne 2 = 100 0, 044 = 4, 4A n1 n1


51

Il sagit de lintensit dans un enroulement du primaire. Lintensit sur les ls de ligne est 3 fois plus grande : I 1 = I bobi ne 1 3 = 4, 4 3 = 7, 6A

1.9.22 corrig de lexercice 1.9.11, page 421. secondaire en toile avec neutre : on a pour la tension simple Vbobi ne 2 = compose.76 20000 4000 3 Vbobi ne 2 Vbobi ne 1

=

n2 n1

= V2

220 V et U2 =

3V2 = 380 V pour la tension

secondaire en triangle : cette fois-ci, il ny a quune tension disponible au secondaire, la tension compose U2 = Vbobi ne 2 , le mme calcul que prcdemment conduit donc U2 = 220 V. secondaire en zig-zag avec neutre : Le calcul prcdemment effectu permet dobtenir la tension au borne dune demi-bobine du secondaire. Celle-ci sera de 110 V. La tension phase-neutre pour lenroulement zig-zag sobtient en additionnant deux tensions de 110 V dphases entre elles de 120 . La rsolution de ce triangle isocle est un grand classique du triphas, on trouve V2 = 3 110 190 V et U2 = 330 V 2. Intensit I du courant dans la ligne au secondaire ainsi que lintensit du courant dans un enroulement J . secondaire en toile : En toile, I = J = secondaire en triangle : I =S 3U S 3U 103

=

140 103 3380

213 A.I 3

=

140 3220

367, 5 A, J =S 3U

=

367,5 3 103

212 A. 245 A

secondaire en zig-zag : Comme en toile, I = J et I =

=

140 3330

52


Chapitre 2

Gnralits sur les machines lectriques tournantes2.1 Technologie des machines lectriquesLes machines lectriques comportent : 1. des matriaux magntiques chargs de conduire et canaliser le ux magntique ; 2. des matriaux conducteurs chargs de conduire et canaliser les courants lectriques ; 3. des isolants ; 4. un contenant : carcasse dun moteur, cuve dun transformateur ; 5. un systme de refroidissement.

2.1.1 Matriaux magntiquesLes machines soumises des champs magntiques variables sont le sige de pertes par courants de Foucault et de pertes par hystrsis, la somme de ces pertes est appele pertes fer. An de rduire les pertes par courants de Foucault, on feuillte le circuit magntique. Celui-ci est ralis par assemblage de tle de 2 3 diximes de millimtre dpaisseur. Ces tles sont recouvertes disolant lectrique, cette opration est gnralement ralise en trempant les tles dans un bain chimique qui ralise une phosphatation de la surface. Cela rduit la circulation des courants induits (les courants de Foucault). Toujours an de limiter les courants de Foucault, on augmente galement la rsistivit de lacier employ en ralisant un alliage acier-nickel-silicium, mais on ne sait pas mettre plus de 3 4 % de silicium dans lalliage. Cela permet de rduire la permabilit des tles au courant lectrique en maintenant la permabilit aux lignes de champ magntique. Pour rduire les pertes par hystrsis, les mtallurgistes soumettent les tles, qui serviront confectionner les circuits magntiques, des cycles de laminage des 53

54CHAPITRE 2. GNRALITS SUR LES MACHINES LECTRIQUES TOURNANTES tempratures trs prcises. Le but tant dobtenir des cycles dhystrsis trs troits et dorienter les domaines magntiques (domaine de Weiss) an dobtenir une direction o la rluctance est minimale. Les pertes par hystrsis tant fonction de la surface du cycle (et de la frquence) on les diminue ainsi considrablement. Les rouleaux de tles sont dcoups par emboutissage en considrant laxe de laminage indiqu par le mtallurgiste. Le fabriquant de tles soumet celles-ci des essais et indique les pertes en W/kg pour telle frquence et tel champ magntique maximum. On utilise par exemple : des tles au silicium : alliage de fer et de 3,4 % de silicium, sature 2 T, r = 6500 ; des tles spciales grains orients, satures 3 T, r = 35000.

2.1.2 Matriaux conducteursLe cuivre est gnralement utilis pour raliser les bobinages des machines lectriques car, part largent, cest le matriaux dont la rsistivit est la plus faible. Cependant, pour les lignes de transport de lnergie lectrique o lon souhaite disposer de cble assez lger, on utilise laluminium. Certaines machines utilisent galement laluminium en lieu et place du cuivre. Lor et largent sont utiliss pour la ralisation de la surface de certains contacts lectriques mobiles. Suivant les applications, on ajoute au cuivre quelques % de chrome, de bryllium, de cadmium ou encore de nickel. Matriaux conducteurs cuivre or aluminium argent laiton Rsistivit 20 Celsius en ohms-mtre, m 1, 72 108 2, 04 108 2, 63 108 1, 5

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Cours Machines Electriques