Cours Rdm Ens Cachan

7/22/2019 Cours Rdm Ens Cachan

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IUT DE CACHAN

IUT Cachan

Gnie Mcanique et Productique

Premire anne

FichesF112 etF213

TD de Dimensionnement des StructuresRsistance des Matriaux

Pierre-Alain Boucard

http://meca.iutcachan.free.fr


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Se permettre de tout penser serait manquer de savoir vivre :les meilleures preuves de respect quon puisse donner lintelligence du lecteur,

cest de lui laisser quelque chose penser.

Lawrence Sterne- Nouvelliste et humoriste irlandais


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Table des matires

1 Hypothses de la Rsistance des Matriaux 1

1.1 Vrin lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Raideur de matriaux composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Poutrelles mtalliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Barrage hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Torseur des efforts intrieurs - Notion de contrainte 11

2.1 Vis du vrin lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Poutrelle mtallique charge uniformment . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Vanne-wagon dun barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Montage dessai de flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Relation torseur des efforts intrieurs / vecteur contrainte . . . . . . . 17

3 Sollicitation lmentaire : la traction 19

3.1 tude de los du fmur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Arbre de machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Dtermination de la hauteur limite dun btiment . . . . . . . . . . . 213.4 tude exprimentale dun aluminium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 tude dune poutre dgale rsistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6 Homognisation dun bi-matriau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.7 tude dun rail de chemin de fer sous laction de la temprature . . . 263.8 tude dune fibre optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Sollicitation lmentaire : la torsion 29

4.1 Transmission de puissance entre deux arbres . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Optimisation darbres en torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Arbre de turboracteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4 Torsion dun arbre tag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5 tude dune transmission de motrice ferroviaire . . . . . . . . . . . . 33

5 Sollicitation lmentaire : la flexion 35

5.1 Cas classique de la poutre console . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2 Poutre simplement appuye soumise un effort en son milieu . . . . . 365.3 Poutrelle mtallique charge uniformment . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.4 Vanne-wagon dun barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.5 Montage dessai de flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Dimensionnement des Structures i


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TD 1

Hypothses de la Rsistance des

Matriaux

A partir dexemples multiples, on discute dune modlisation possible en RdM. Lesdiffrentes hypothses faites sur le matriau, la gomtrie et le cadre dapplicationsont mises en avant. Cest aussi loccasion de montrer comment rsoudre de faonsimple des problmes de statique sur les poutres.

Sommaire1.1 Vrin lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Raideur de matriaux composites . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Poutrelles mtalliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Barrage hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Les maths peuvent tre dfinies comme la science dans laquelleon ne sait jamais de quoi lon parle ni si ce que lon dit est vrai.

Bertrand Russell- Mathmaticien et philosophe anglais

TD de Dimensionnement des Structures 1


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1.Hypothses de la Rsistance des Matriaux

1.1 Vrin lectrique

B B

B-B

A

A

A-A

3

9

10

11

8

12

2a

1a

13

2b

1b

14

5

4

6

2c

1c

4

1

Piston

5

1

BagueMtafram2

5x32x32

6

1

Chape

7

2

Demi-axe

8

1

ButebillesSKF52202

9

1

Manchond'accouplement

10

1

Clavetteparallle,formeBde3x3x15

11

Boutd'arbre

1

12

1

Butefilete

13

1

Entretoise

14

1

Cylindre

0

50

100

7

16

16

1

MoteurlectriqueLEROYSOMER

LS56

VERIN

ELECTRIQUE

15

Butedevis

3

15

Dsignation

Rp

1a

1b

1c

2a

2c

2b

Nb

VisTr16x4

VisbillesSHBO12x4RSK

Ftransrol

EcroubillesSHBO12x4R

SKFtransrol

VisTr16x12P4

1111

EcrouTr16x12P4

EcrouTr16x4

1 1

Matire

Observations

3

1

Corps

colle

sur14

coll

su

r1a,1

b,1

c

co

lle

sur1

15

15

XC48

XC38

XC38

XC48

CuZn23Al4

CuZn23Al4

A-G4

Z3CN18-02

XC38

XC38

XC38

XC38

XC38

XC38

XC38

A-G4

XC38

Figure1.1 Plan du vrin

On sintresse au vrin lectrique propos sur la figure 1.1.

2 TD de Dimensionnement des Structures


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1.1. Vrin lectrique

tude technologique

1 ) Donner la fonction principale du systme

2 ) Faire le graphe de structure du mcanisme

3 ) Proposer un schma cinmatique dans le plan de la coupe AA

Dimensionnement de certaines pices du mcanisme

4 ) On sintresse au dimensionnement des pices 3, 4, 9, 11 et 14. Prciser pourchacune de ces pices dans quelle mesure on peut en raliser ltude grce laRdM.

5 ) Considrons maintenant la vis (pice 1). Quelles hypothses faut il faire pourpouvoir considrer que la vis puisse tre modlise par une poutre ?

La figure 1.2 est une modlisation de la vis (pice 1) en vue de son dimension-

nement par laRdM. On donne les actions mcaniques extrieures qui sexercent sur

z

x

y

O AB

L / 3 2L / 3

Figure1.2 Modlisation de la vis

la vis : En O : T(Ext.Poutre) =

0

Cmotx

O

En A: T(Ext.Poutre) = Xvisx + YvisyCmotx

A

6 ) Justifier cette modlisation en terme de conditions aux limites, ie liaisonset efforts extrieurs appliqus. Proposer une allure pour la dforme de cettepoutre.

tude statique de la vis

7 ) En utilisant les outils de la statique analytique, dterminer les actions m-

caniques encaisses par les liaisons.Application numrique : L= 150mm,Xvis =1000N,Yvis =200N.



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1.2 Raideur de matriaux composites

On sintresse ici deux matriaux composites constitus de fibres trs raides etdune matrice dont la raideur est plus faible.

Composite 4D

QuickTime et un

dcompresseur

sont requis pour visionner cette image.

QuickT ime et un

dcompresseur

sont requis pour visionner cette image.

Figure1.3 Vue du col de tuyre

R4

R3

R3

R2

R2

R1

R4

X

X'

Y

Y'

Z

45

Figure1.4 Assemblage des fibres du composite4D

Le premier des deux matriaux est utilis pour le col des tuyres du moteurVulcain (voir figure 1.3). Le matriau constitutif de cette pice est un composite

carbone/carbone (fibres haute raideur carbone, et matrice de carbone) dit "4D", carles fibres sont prsentes dans les quatre directions de lespace (comme pour les quatre



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1.2. Raideur de matriaux composites

diagonales dun cube). Une vue des fibres seules sans la matrice est reprsente surla figure 1.4. Ce matriau a la particularit de rsister des tempratures de plusde 2500 C.

Ce matriau est considr comme homogne lastique linaire lchelle de lapice pour lequel il est utilis.

1 ) Quelle proprit doit encore vrifier ce matriau pour quil puisse tre utilispour ltude dune poutre en RdM?

On a cherch caractriser la raideur de ce matriau dans toutes les directions delespace. Pour cel on imagine quil est constitu dune infinit de ressorts assemblsdans toutes les directions. On a trac sur la figure 1.5 la variation de sa raideur danstoutes les directions.

Figure1.5 Variation de la raideur du4Denfonction de la direction

2 ) Justifier la forme de la figure 1.5, en particulier, le fait que quatre lobes soientprsents, et le fait que six creux existent. On replacera aussi les directions deslobes par rapport aux directions de la figure 1.4.

3 ) La proprit permettant lutilisation enRdMde ce matriau est-elle vrifie ?

Composite SiC/Ti

On tudie maintenant le second matriau constitu de fibres de carbure de sili-cium dans une matrice de titane. La raideur du carbure de silicium est plus grandeque celle du titane. On considre le matriau comme homogne lastique linaire lchelle dun pli unidirectionnel. Un pli unidirectionneltant constitu de nom-breuses fibres dans une direction de lespace entoures de matrice comme reprsentsur la figure 1.6.

Comme pour le matriau prcdent, on a reprsent sur la figure 1.7 la variationde la raideur en fonction de la direction.

4 ) Quelle proprit doit-on encore vrifier ce matriau pour quil puisse treutilis pour ltude dune poutre en RdM?



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Matrice (titane)

Fibre

(carbure de

silicium)

Figure1.6 Vue dun pli unidirectionnel duncompositeSiC/Ti

-20

-10

0

10

20

X

-5

0

5

Y

-5

0

5

Z

-20

-10

0

10

X

-

0

Figure1.7 Variation de la raideur duSiC/Tien fonction de la direction



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1.3. Poutrelles mtalliques

5 ) Justifier la forme de la figure 1.7, en particulier, le fait quon ait quun lobeprincipal, et quune coupe par le plan X = 0 donne un cercle. On replaceraaussi les directionsX, Y , Zpar rapport aux directions du pli.

6 ) La proprit permettant lutilisation enRdMde ce matriau est-elle vrifie ?

7 ) Quelle figure gomtrique serait obtenue pour un matriau isotrope ?

8 ) Un matriau dont la figure reprsentative de la variation de la raideur estsimilaire celle de la figure 1.7 est dit isotrope transverse. Citer dautres ma-triaux ayant cette mme proprit.

1.3 Poutrelles mtalliques

Dans la construction, on utilise de nombreuses poutrelles mtalliques (voir figure1.8).

Arna Sportsplex, Pierrefonds, QCFabricant : Les Structures Breton inc.

Centre Multi-ServiceVille dAnjou, QC

Fabricant et monteur: Soudure Germain Lessard

Van Andel, Grand Rapids, MIFabricant : Steel Supply and

Engineering Co.

Figure1.8 Exemples de charpentes mtalliques

On sintresse ici diffrents profils standards, dont les sections droites sont donnes

sur la figure 1.9

tude des sections

1 ) Pour chacune des sections numrotes de 1 3, prciser et donner les ven-tuelles conditions permettant de dimensionner les poutres reprsentes en uti-lisant laRdM.

tude dune poutrelle soumise une pression uniforme

2 ) On reprend lexemple de la poutre 3. On suppose que les conditions aux li-mites sur la poutre sont telles que lon peut les modliser par les deux liaisons



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Y

Y

XX

W

W

XX

Z

Z

Y

3

21

Figure1.9 Profils courants

reprsentes sur la figure 1.10. Le chargement propos est celui dune pres-sion linique constanterpartie sur toute la longueur L = 10 m de la poutretelle que la pression linique soit de p = 10 N m1. Justifier le choix de cechargement partir de la figure 1.9.

zx

y

O A

L=10 m

p=10 N.m-1

Figure1.10 Modlisation de la poutrelle 3

3 ) Raliser ltude statique de la poutre et dterminer les actions mcaniquesdans les liaisons en Oet en A.

1.4 Barrage hydraulique

Dans de nombreux barrages hydrauliques, on utilise des vannes pour contrlerle dbit deau ou la hauteur de leau dans le bassin de retenu. On sintresse ici un type de vannes couramment utilis et qui est dit vanne-wagon. Ces vannesfonctionnent sur le principe de portes descendantes comme cel est reprsent sur

la figure 1.11.Compte tenu de la structure de la porte de la vanne, on sintresse ici une des



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1.4. Barrage hydraulique

GUIDE

BRONZE

CADRE

FACE

AVANT

PARTIE

BOULONNE

VANNE

APRS MONTAGE

AVANT MONTAGE

Figure1.11 Un exemple de vanne-wagon

nervures verticales de renfort de la porte, pour laquelle on fait les hypothses sui-vantes :

chaque nervure a un comportement indpendant (ce qui revient ngligerlinfluence des nervures horizontales)

on tudie la nervure lorsque la porte est ferme et lon suppose que la vanneest en liaison complte avec le sol

le niveau deau est tel quil natteint pas le sommet de la vanne lpaisseur edune nervure est petite devant la longueur

Modlisation dune nervure

z

x

y

B

O

APartieimmerge

L/

3

2L/

3

Figure1.12 Modlisation dune nervure



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1 ) Justifier la modlisation choisie (voir figure 1.12) pour tudier la nervure.On sappuiera sur les hypothses de laRdMainsi que sur les hypothses faitesprcdemment pour justifier la rponse. Proposer une allure pour la dformede cette poutre.

2 ) Donner lquation traduisant la rpartition de pression linique affine en

fonction de labscisse x de la poutre, g lacclration de la pesanteur, lamasse volumique de leau et Lla longueur de la poutre.Application numrique : g = 10 m.s2, = 1000 kg.m3 et L = 1, 5 m,e= 2cm.

tude statique de la nervure

3 ) Raliser ltude statique de la poutre et dterminer les actions de liaisons aupoint O



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TD 2

Torseur des efforts intrieurs -

Notion de contrainte

Dans la premire partie, on reprend des modlisations vues dans le premier TDpour dterminer les efforts intrieurs subis par les poutres. Ceci permet de tracerles diagrammes des efforts intrieurs et den dduire les sollicitations lmentaires.Dans une seconde partie, sur des cas ou la rpartition des contraintes est donne,on explicite la relation entre les composantes du torseur des efforts intrieurs et lescontraintes normales et tangentielles.

Sommaire

2.1 Vis du vrin lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Poutrelle mtallique charge uniformment . . . . . . . . 13

2.3 Vanne-wagon dun barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Montage dessai de flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Relation torseur des efforts intrieurs / vecteur contrainte 17

Si la science ne sintresse pas aux choses dlirantes,elle risque fort de passer ct de choses intressantes.

Antoine Labeyrie- Astronome franais



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2.Torseur des efforts intrieurs - Notion de contrainte

2.1 Vis du vrin lectrique

On reprend ltude de la vis vue au paragraphe 1.1. On en rappelle la modli-sation adopte sur la figure 2.1. On a dj ralis ltude statique de la vis, ainsi

z

x

y

O AB

L / 3 2L / 3

Figure2.1 Modlisation de la vis

on peut crire les torseurs mcaniques dactions extrieures qui sexercent sur la viscomme suit :

En O : T(Ext.Poutre) =Xvisx + 23Yvisy

Cmotx

O

En B :

T(Ext.Poutre) =

13

Yvisy

0

B

En A : T(Ext.Poutre) =

Xvisx + Yvisy

Cmotx

A

On rappelle queL = 150mm,Xvis =1000N,Yvis =200NetCmot = 100N.m.

Dtermination du torseur des efforts intrieurs

1 ) Combien de coupures faut-il raliser pour dterminer le torseur des effortsintrieurs ?

2 ) Dterminer le torseur des efforts intrieurs en utilisant deux mthodes decalcul pour chaque tronon.

3 ) Tracer, en fonction de labscisse x, les diagrammes des composantes nonnulles du torseur des efforts intrieurs.

Sollicitations lmentaires

4 ) Dcomposer le torseur des efforts intrieurs, dtermin prcdemment ensomme de torseurs caractristiques de sollicitations lmentaires. Identifier

alors pour chaque tronon les sollicitations lmentaires auxquelles il est sou-mis.



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2.2. Poutrelle mtallique charge uniformment

2.2 Poutrelle mtallique charge uniformment

On reprend lexemple de la poutre dont le modle est donn sur la figure 2.2. Lechargement extrieur est celuidune pression linique constanterpartie sur toute lalongueur L = 10m de la poutre telle que la pression linique soit de p = 10N m1.

zx

y

O A

L=10 m

p=10 N.m-1

Figure2.2 Modlisation de la poutrelle

Ltude statique a permis de dterminer les actions dans les liaisons en O et en A: En O : T(Ext.Poutre) =

pL2

y0

O

En A :

T(Ext.Poutre)

=

pL2

y0

A

tude des efforts intrieurs


2 ) Dterminer le torseur des efforts intrieurs en utilisant deux mthodes decalcul pour chaque tronon.


4 ) Identifier pour chaque tronon la nature des sollicitations lmentaires.

2.3 Vanne-wagon dun barrage

On rappelle la modlisation choisie pour ltude dune vannewagon sur la figure2.3.Ltude statique a permis de dterminer le torseur des actions mcaniques transmis-sibles par la liaison en O:

T(Ext.Poutre) =

2L2

9 gey

4L3

81 gez OOn rappelle que : g= 10m.s2,= 1000kg.m3 et L= 1, 5m, e= 2cm.



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z

x

y

B

O

A

Partieimmerge

L/

3

2L/

3


tude des efforts intrieurs


2 ) Dterminer le torseur des efforts intrieurs en utilisant la mthode minimi-sant les calculs pour chaque tronon.

3 ) Tracer, en fonction de labscisse x, les diagrammes des composantes non

nulles du torseur des efforts intrieurs.4 ) Identifier pour chaque tronon la nature des sollicitations lmentaires.

2.4 Montage dessai de flexion

Pour ltude de certaines liaisons prsentes sur le lanceur europen Ariane 5, on aralis des prouvettes en carbone/nid dabeille comportant diffrentes liaisons (voirfigure 2.4). Pour tester ces prouvettes, un montage dessai spcifique a t ralisdont le plan est donn sur la figure 2.5 et une vue 3D sur la figure 2.6.

On souhaite ici tudier les sollicitations subies par une prouvette qui sera instal-le dans le montage. Dans un premier temps on considre une prouvette sans liaisondont on supposera, lchelle de ltude, que le matriau est homogne, lastiquelinaire, isotrope(supposition dont il faut tre conscient quelle est trs fausse !).

1 ) Les liaisons entre le montage et lprouvette sont supposes se comportercomme des liaisons pivots parfaitesdont laxe est celui de la direction de lalargeur de lprouvette. Justifier cette hypothse avec les plans et les vuesfournies.

On considre maintenant la modlisation de lprouvette propose sur la figure2.7. Le systme tant symtrique, on suppose que les efforts appliqus sur lprou-



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2.4. Montage dessai de flexion

vette le sont aussi.

Figure2.4 Les 4 types de liaisons tester

prouvette

Figure2.5 Plan du montage dessai

Les efforts extrieurs appliqus lprouvette sont les suivants : En A : T(Ext.Poutre) =

Fy0

A

En B : T(Ext.Poutre) =Fy

0

B

tude statique

2 ) Dterminer les actions mcaniques dans les liaisons en Oet C.



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Figure2.6 Vues de la maquette numrique etdu montage rel

zx

y

O

A

L=70 cm

F = 500 N F = 500 NL/4 L/4

B

C

Figure2.7 Modlisation de lprouvette



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2.5. Relation torseur des efforts intrieurs / vecteur contrainte

Dtermination du torseur des efforts intrieurs


4 ) Dterminer le torseur des efforts intrieurs pour chaque tronon.


Sollicitations lmentaires

6 ) Identifier alors pour chaque tronon les sollicitations lmentaires auxquellesil est soumis.

7 ) Commenter le montage dessai propos. On sintressera en particulier lapartie centrale de lprouvette (entre Aet B).

2.5 Relation torseur des efforts intrieurs / vecteurcontrainte

On cherche expliciter dans deux cas prcis la relation intgrale qui existe entre levecteur contrainte et le torseur des efforts intrieurs. Dans les deux cas, on considreque la poutre est de longueurL et de section droite rectangulaire de hauteurhet delargeur b (voir figure 2.8). De plus la contrainte tangentielle est toujours supposenulle en tout point dune section droite quelconque.

z x

y

O z

y

h

b

Figure2.8 Modle de poutre utilis

Contrainte normale constante

Pour toute section de la poutre de normalex , on considre que la contraintenormale est constante dans toute la section.

1 ) Donner lexpression du vecteur contrainte en tout point M de la sectiondroite.

2 ) Calculer le torseur des efforts intrieurs en tout point dabscisse x de lapoutre. En dduire quelle sollicitation lmentaire est soumise cette poutre.

3 ) Dterminer les actions mcaniques extrieures aux deux extrmits de lapoutre.



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Contrainte normale linique dans lpaisseur

Pour toute section de la poutre de normalex , on considre que la contraintenormale est constante sur une ligne de direction zet varie linairement dans lpais-seur (directiony). Ainsi on peut crire lexpression de la contrainte normale sousla forme :

=

A

B y avec y {h

2 ,

h

2 }A est une constante et B vaut :

B =

S

y2dS=bh3

12

4 ) Donner lexpression du vecteur contrainte en tout point M de la sectiondroite. Reprsenter sur une vue en perspective la distribution des contraintesnormales sur une section droite.

5 ) Calculer le torseur des efforts intrieurs en tout point dabscisse x de lapoutre. En dduire quelle sollicitation lmentaire est soumise cette poutre.

6 ) Dterminer les actions mcaniques extrieures aux deux extrmits de lapoutre.



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TD 3

Sollicitation lmentaire :

la traction

On sintresse ici des solides modlisables par des poutres soumises uniquement de la traction. Ltude complte sera mene, en partant des efforts extrieurs,permettant de dterminer selon le cas, la contrainte maximale, la dformation, ledplacement. On ira jusquau dimensionnement des poutres dans certains cas.

Sommaire3.1 tude de los du fmur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Arbre de machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Dtermination de la hauteur limite dun btiment . . . . 213.4 tude exprimentale dun aluminium . . . . . . . . . . . 22

3.5 tude dune poutre dgale rsistance . . . . . . . . . . . 22

3.6 Homognisation dun bi-matriau . . . . . . . . . . . . . 25

3.7 tude dun rail de chemin de fer sous laction de latemprature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.8 tude dune fibre optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Tout grand progrs scientifique est ndune nouvelle audace de limagination.

John Dewey- Philosophe et pdagogue anglais



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3.Sollicitation lmentaire : la traction

3.1 tude de los du fmur

Le fmur, qui est los principal de la cuisse, a un diamtre minimum chez ladultedenviron 2.8 cm.

1 ) Si lon suppose que le fmur est soumis uniquement un chargement decompression, dterminer la valeur de leffort ncessaire pour briser le fmur.

2 ) Pour un homme de80kg, dterminer lacclration quivalente que doit subirle fmur pour se rompre.

3 ) On souhaite comparer pour diffrents matriaux la rsistance dun cylindreen compression (on supposera qu la limite, =Rp). Pour classer les diffrentsmatriaux, on prend comme critre le rapport Rp

. Justifier ce choix et classer

les diffrents matriaux du tableau 3.1.

Matriau Masse Volumique Module dYoung Limite pratique dlasticiten kg/m3 Een 109 N/m2 Rpen 106 N/m2

Acier 7860 210 370

Aluminium 2710 70 110

Verre 2190 65 50 (en compression)

Bton H.P. 2320 30 40 (en compression)

Bois 525 13 50 (en compression)

Os 1900 9 170 (en compression)

Polystyrne 1050 3 48

Table3.1 Donnes matriaux

3.2 Arbre de machine

Un lment darbre de machine ADen acier peut-tre reprsent par la figure 3.1.Il repose sur deux paliers P1et P2. En Ail est soumis une action

A de la partie

de larbre situ gauche, en B lactionB dune bute billes non reprsente, enC laction

Clongitudinale dune vis de rducteur vis tangente, non reprsente,

en D une action

D de la partie de larbre situe droite

1 ) Peut-on raliser ltude de cet arbre en RdM? Prciser les limites des rsul-tats obtenus si lon fait ltude en RdM. Proposer le modle poutre associ larbre.


3 ) Dterminer le torseur des efforts intrieurs pour chaque tronon et identifierla nature des sollicitations.



27/60

3.3. Dtermination de la hauteur limite dun btiment

P1 P2

L1 L2 L3

A

B C

D

x10000 N -5000 N-7000 N 2000 N

Figure3.1 Modlisation de larbre

4 ) Tracer, en fonction de labscisse x de larbre, les diagrammes des composantesnon nulles du torseur des efforts intrieurs.

5 ) En dduire les valeurs des contraintes pour chaque partie de larbre.6 ) Dterminer le coefficient de scurit (rapport entre la limite pratique dlasti-

citRpet la contrainte normale en traction) pour les nuances dacier suivantes :S185 : Rp = 185M P a, S235 :Rp= 235M P a,E360 :Rp = 360M P aet C55 : Rp = 420M P a

Applications numriques d1= 30mm,d2 = 45mm, d3= 35mm

3.3 Dtermination de la hauteur limite dun bti-ment

On sintresse au dimensionnement dun btiment soumisuniquement son poidspropre. On suppose que lon peut modliser le btiment par une poutre de sectionconstanteSet de hauteurL. Le btiment est suppos tre constitu en premire ap-proximation dun matriau homogne lastique linaire isotrope de masse volumique.

1 ) Proposer le modle pour une tude deRdMdtaillant en particulier les condi-tions aux limites et le chargement.

2 ) Dterminer le torseur des efforts intrieurs dans une section droite quel-conque de la poutre (on prcisera le nombre de coupures effectuer).

3 ) Tracer le diagramme des sollicitations et en dduire la nature des sollicita-tions laquelle est soumise la poutre

4 ) Dterminer la contrainte maximale laquelle est soumise la poutre. Onsuppose que cette contrainte doit rester infrieure une valeur maximale noteRp. En dduire pour les diffrentes valeurs de Rp la hauteur maximale dubtiment. Le coefficient de scurit usuel en construction tant de 8, concluresur les rsultats.

Application aux matriaux suivants oRpest la rsistance pratique et la massevolumique :

maconnerie courante Rp = 15MPa, = 2000kg/m3 bton Rp = 40MPa, = 2500kg/m3



28/60


acier de construction Rp= 170MPa, = 7800kg/m3

3.4 tude exprimentale dun aluminium

On donne sur le graphe de la figure 3.3 le rsultat dun essai de traction ralis

sur une prouvette plate daluminium 2219 T37. Une photo de lprouvette testeest donne sur la figure 3.2. Les deux courbes reprsentent dune part lvolu-

Figure3.2 Vue de lprouvette daluminium

tion de la contrainte normale en fonction de la dformation longitudinale et dautrepart lvolution de la contrainte normale en fonction de la dformation transver-sale. Lprouvette daluminium a une section rectangulaire de largeur 15, 11mm etdpaisseur 4, 96mm. La longueur utile de lprouvette est de 100 mm.

1 ) Identifier les deux courbes prsentes sur le graphique en justifiant votre r-ponse. Identifier la zone lastique et la zone plastique.

2 ) Dterminer le module dYoung Eet le coefficient de Poisson de ce matriau.

On comparera les valeurs obtenues aux donnes constructeurs qui indiquent :72GP a < E


29/60

3.5. tude dune poutre dgale rsistance

Contrainte(MPa)

Dformation(%)

Figure3.3 Courbe de lessai de traction



30/60


Contrainte(MPa)

Dformation(%)

Figure3.4 Zoom sur la courbe de lessai detraction



31/60

3.6. Homognisation dun bi-matriau

On souhaite que ce pilier soit dit dgale rsistance, i.e. pour chaque sectiondroite du pilier, la contrainte normale est constante.

2 ) On considre une section variable qui varie linairement sur toute la hauteurdu pilier qui vautS0au sol etSL lextrmit libre. On suppose queS0> SL:justifier cette hypothse et dterminer lvolution des contraintes en fonctionde la hauteur. Cette volution est-elle constante ?

3 ) On considre une section variable qui varie paraboliquement sur toute lahauteur du pilier. Lquation qui caractrise la section en fonction de la hauteur(note x) du pilier est : S(x) = ax2 +bx + S0. Dterminer lvolution descontraintes en fonction de la hauteur. Cette volution est-elle constante?

4 ) Dterminer lvolution de la section Spour que le critre de contrainte nor-male constante soit respect. Pour cel, on tudiera lquilibre statique dunpetit lment de poutre de longueur dx.

5 ) Calculer lcrasement du pilier pour le cas o la contrainte est constante.

3.6 Homognisation dun bi-matriau

On considre une cellule unidimensionnelle dun matriau composite. Cette cel-lule est compos de deux lments de mme longueur : lun en carbone de moduledYoung Ec, lautre en aluminium de module dYoung Ea. La figure 3.5 reprsentelassemblage des matriaux soit en "srie", soit en "parallle". A lchelle de ces deux

z x

y

O z

y

z x

y

O

x

y

Matriaux en "srie"

Matriaux en "parallle"

Figure3.5 Assemblage de deux matriaux

cellules, on ne peut videmment pas considrer que le matriau est homogne.

Ainsi, pour se permettre dutiliser un tel matriau dans une tude de RdM, onva homogniser le matriau. Cette opration consiste construire un matriau



32/60


quivalent de module dYoung Edont le comportement est le mme, en un certainsens, que celui des matriaux assembls.

Homognisation dune cellule : matriaux en srie

On soumet les deux extrmits de la cellule un effort Fde traction.

1 ) Dterminer le module dYoung du matriau quivalent Espermettant dob-tenir le mme tat de dformation.

Homognisation dune cellule : matriaux en parallle

On soumet lextrmit gauche de la cellule un dplacement de L2

, et lex-trmit droite un dplacement de L

2, de tel sorte quune cellule de longueur L,

sallonge deL.

2 ) Dterminer le module dYoung du matriau quivalent Ep permettant deretrouver le mme effort normal.

3.7 tude dun rail de chemin de fer sous lactionde la temprature

Figure3.6 Photo de rails

Une ligne de chemin de fer a t pose par une temprature de 25 C. Lestronons de rail sont souds les uns aux autres. En supposant que les extrmitsdes rails soient fixes, on cherche dterminer les contraintes dans les rails lorsquela temprature tombe 25 C, sachant que la dformation T associe unevariation de tempratureTscrit :T =T o est le coefficient de dilatationthermique. On prcise que lors de cette dformation thermique, le matriau ne subitaucune contrainte.

1 ) Dterminer lunit de .



33/60

3.8. tude dune fibre optique

2 ) Utiliser le principe de superposition pour dterminer la contrainte dans lerail.

Application numriqueCoefficient de dilatation thermique : = 1, 5 105 U.S.I.Module dYoung :E= 2 1011 N/m2

3.8 tude dune fibre optique

Figure3.7 Photo dune fibre optiquepropageant un faisceau laser

Lors de linstallation de la fibre, un capuchon est coll sur les extrmits de lafibre pour la protger. On suppose que ces deux capuchons sont soumis un mmeeffort normal N. Le but de ltude propose est de dterminer leffort normal notNv encaiss par le verre et leffort normal not Np encaiss par le polymre.

z x

y

O z

ygaine en polymre,

section Sp

fibre optique,

section Sv

Capuchons

Figure3.8 Composition dune fibre optique

1 ) En ralisant une coupure de la fibre, dterminer la relation liantN,Nv,Np.Reprsenter alors graphiquement les contraintes subies par le verre et la gaine.Peut-on en dduire Nv et Np? Pourquoi?

2 ) Proposer une relation supplmentaire traduisant le collage parfait entre lafibre de verre et la gaine.



34/60


3 ) En dduire Nv et Np.

4 ) Dterminer lallongement dune fibre de verre de longueur L. En dduire lavaleur du module dYoungEhdun matriau homogne quivalent permettantde retrouver lexpression de lallongement.

5 ) Lexpression de Eh faisant intervenir Ev, Ep, Sv et Sp est appele loi des

mlanges. Justifiez cette dnomination.Application numriqueDiamtre de la fibre de verre (compose de plusieurs fibres optiques) : 10mmModule dYoung du verre : E= 65 109 N/m2

paisseur de la gaine de polymre : 0, 5mmModule dYoung du polymre : E= 1GP a



35/60

TD 4


la torsion

On considre des poutres section circulaire soumises de la torsion. Les tudesproposes porteront plus particulirement sur le dimensionnement darbres detransmission. Le cas du ressort hlicodal spires serres est tudi afin dedterminer les formules classiques permettant de dimensionner et choisir unressort.

Sommaire4.1 Transmission de puissance entre deux arbres . . . . . . . 30

4.2 Optimisation darbres en torsion . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Arbre de turboracteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4 Torsion dun arbre tag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.5 tude dune transmission de motrice ferroviaire . . . . . 33

Informatique : Alliance dune science inexacte ,et dune activit humaine faillible.

Luc Fayard- Journaliste franais



36/60

4.Sollicitation lmentaire : la torsion

4.1 Transmission de puissance entre deux arbres

Les arbres(1)et (2)de la figure 4.1 ont des rayons identiques de 10 mm et sonten acier (Rpg = 220 M P a). Ils sont monts dans un mme systme mcanique nonreprsent ici.

Les chargements extrieurs de torsion pris en compte dans cette tude sont les

suivants : sur larbre (1), en A un couple M1 = 300 Nm, en B un coupleM1 =

300N m, sur larbre (2) en C un couple M2 = 170 Nm, en D un coupleM2 =

170N m.

A

B

C

D

(1)

(2)1,2 m

0,5 m

300 N.m

170 N.m

300 N.m

170 N.m

Figure4.1 Transmission de puissance

1 ) Dterminer le torseur des efforts intrieurs dans les deux arbres

2 ) Calculer la contrainte maximale pour chaque arbre et dterminer son coeffi-cient de scurit.

3 ) Proposer un nouveau dimensionnement de larbre (1)pour que son coefficientde scurit soit le mme que celui de larbre (2).

4.2 Optimisation darbres en torsion

Le but de cet exercice est de comparer les puissances P1etP2transmissibles pardeux arbres de torsion de mme masse, constitus dun mme matriau, sous lesconditions :

1=2 (mme vitesse de rotation) max1=max2 (mme contrainte tangentielle maxi)

On suppose que les deux arbres sont soumis uniquement de la torsion. Pour laralisation de ces deux arbres, la premire solution envisage est la ralisation dunarbre plein de diamtre extrieur D1. La deuxime solution est un arbre tubulairede diamtre extrieur D2 et de diamtre intrieur d2 =kD2. La longueur des deuxarbres est identique.

1 ) Calculer le rapport des moments de torsion Mt1 et Mt2 transmissibles parles deux arbres.



37/60

4.3. Arbre de turboracteur

2 ) Dterminer alors le rapport des puissances transmissibles P1et P2.

3 ) Compte-tenu que les arbres ont la mme masse, dterminer ce rapport enfonction de k.

4 ) Calculer le rapport de puissance pour un tube normalis de diamtre ext-rieur D2 = 80mm et dpaisseur e = 2mm.

5 ) Expliquer ce rsultat en traant la rpartition des contraintes tangentiellessur un arbre tubulaire.

4.3 Arbre de turboracteur

Figure4.2 volution du gaz travers leturboracteur

On cherche dimensionner laxe de turbine dun turboracteur. Lors du fonction-nement dun turboracteur (figure 4.2), lair est aspir par lavant et est comprimau travers des diffrents tages de compression avant de traverser la chambre decombustion et dtre ject au travers de la turbine. La figure 4.3 prcise la positiondes diffrents lments intervenant dans le turboracteur. Dans le domaine aro-nautique, le poids tant une contrainte majeure, on souhaite que larbre supportantles ailettes soit iso-contrainte tangentielle maxi pour que le dimensionnement soitoptimal.

Compte tenu de lempilage de disques porte-ailettes sur larbre, on considreraque dans la turbine le moment de torsion dans larbre nest pas constant et scritsous la forme :

Mt = a

x3

On notera : pour labcisse xA(extrmit A de larbre) la valeur du moment de torsion est

MtA pour labcisse xB (extrmitB) la valeur du moment de torsion est MtB, avec

xB > xA.

1 ) Dterminer la constante aen fonction des paramtres et calculer sa valeur.

2 ) Calculer le diamtre d(x) pour vrifier le critre dgale contrainte de ci-

saillement maxi. Tracer sur le mme graphique lvolution de Mt et d(x) enfonction dex.



38/60


Figure4.3 lments de base dunturboracteur

3 ) Calculer langle de torsion ABentre les sections Aet B.

Les application numriques seront faites avec :xA = 2 m et xB = 4 m, MtA = 800 N met MtB = 100 N m,

Rpgs

= 100N/mm2

et G= 85 000N/mm2.

4.4 Torsion dun arbre tag

On considre un arbre en acier (G = 80000 N.mm2) de longueur L = 1, 2 mtag en trois morceaux de diamtres respectifs 40, 30 et 20 mm. Cet arbre estsollicit en torsion pure par un couple Mt. On ngligera ici les concentrations decontraintes relatives aux changements de diamtre.

011 011 011

ST


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4.5. tude dune transmission de motrice ferroviaire

4.5 tude dune transmission de motrice ferroviaire

Du fait de lvolution des ensembles moteurs/botes de vitesses sur les motriceferroviaires on retrouve sur nombre dentre elles une configuration o la sortie de lapuissance nest plus centre dans la largeur de la motrice. Un exemple dune telletransmission est reprsent sur la figure 4.5.

Figure4.5 Transmission de puissance vers lesroues

Limplantation de la bote de vitesse en position transversale conduit ce queles deux arbres qui transmettent la puissance depuis la sortie de la bote de vitessejusquaux roues de la motrice ne soient pas de mme longueur. On notera Ld et Lgles longueurs respectives des arbres de droite et de gauche. On suppose que Lg > Ld.On suppose que chaque arbre est soumis uniquement au mme moment torsion, eton notera Mtce moment.

1 ) Dterminer pour chaque arbre la relation liant la diffrence dangle de rota-tion entre la sortie de la boite de vitesse et lextrmit de larbre. On supposeraque les rayons et les matriaux constitutifs des deux arbres sont les mmes.Que pensez vous de ce rsultat ?



40/60


2 ) A partir de la question prcdente, proposez un critre permettant dassurerle bon fonctionnement. En dduire la consquence sur le rapport des rayonsdes deux arbres si lon suppose que le matriau est le mme.

3 ) Dterminer le rapport entre les coefficients de scurit associs au dimension-nement la contrainte tangentielle maximale de ces deux arbres. Ce rsultat

est-il "optimal" ?4 ) Pour avoir un dimensionnement mieux pens on propose la dmarche sui-

vante.Larbre de droite est plein de rayon Ridet larbre de gauche est creux de rayonextrieur Rig et de rayon intrieur Rint. Dterminer le rayon de larbre de droite pour vrifier le critre de contrainte

tangentielle maximale avec un coefficient de scurit s. Exprimer alors larelation entre Rid, Rig et Rint.

En crivant lgalit des angles de torsion pour ces deux arbres, en dduireune relation liant Rid, Rig, Ldet Lg.

Dterminer Rid, Rig et Rint.Toutes les applications numriques seront faites avec :Lg = 110cm,Ld = 55cm,Couple maxi la roue : 1200N m,Rpg = 220M P a, coefficient de scurit s= 2.



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TD 5


la flexion

On considre des poutres soumises de la flexion. Les tudes proposesreprendront certaines configurations vues lors dexercices prcdents. On tudieravidemment les cas classiques de chargement (poutre console, poutre soumise uneeffort en son milieu).

Sommaire5.1 Cas classique de la poutre console . . . . . . . . . . . . . 365.2 Poutre simplement appuye soumise un effort en son

milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3 Poutrelle mtallique charge uniformment . . . . . . . . 37

5.4 Vanne-wagon dun barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.5 Montage dessai de flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Couple, au sens mcanique du mot :systme de forces parallles et de sens contraires

Pierre Baillargeon- Romancier et traducteur franais



42/60

5.Sollicitation lmentaire : la flexion

5.1 Cas classique de la poutre console

On rencontre dans de nombreux systmes le cas dune pice mcanique solliciteen flexion qui peut se modliser par la figure 5.1. Un telle poutre est appele poutreconsole : elle est encastre une de ses extrmits et soumise une charge concentre lautre.

z x

y

O

A

L

F

Figure5.1 Cas dune poutre console

1 ) Dterminer le torseur des efforts intrieurs dans toute section droite de lapoutre

2 ) On suppose que lon nglige les contraintes de cisaillement. Dterminer lescontraintes normales et trouver leur maximum. On tudiera plus particulire-

ment le cas o la section est circulaire de diamtre d et le cas o la section estrectangulaire, de largeurbde hauteur h(cf. figure 5.2).

z

y

xG z

y

xG

b

h

diamtre d = 2 r

rayon r

Figure5.2 Les deux cas de sections tudier

3 ) Dterminer lquation de la dformev(x)de la poutre. Intgrer cette qua-tion et en utilisant les conditions aux limites, dterminer son expression. Endduire sa valeur maximale.

5.2 Poutre simplement appuye soumise un efforten son milieu

Un autre cas couramment utilis est le cas dune pice mcanique soumise en sonmilieu un effort concentr. Un exemple est donn sur la figure 5.3. On considre



43/60

5.3. Poutrelle mtallique charge uniformment

alors le modle prsent sur la mme figure.

zx

y

O A

L

F

L/2

Figure5.3 Cas dune poutre simplementappuye

1 ) Dterminer le torseur des efforts intrieurs dans toute section droite de la

poutre.2 ) On suppose que lon nglige les contraintes de cisaillement. Dterminer les

contraintes normales et trouver leur maximum. On supposera que la sectionest circulaire de diamtre d.

3 ) Dterminer lquation de la dformev(x)de la poutre. Intgrer cette qua-tion et en utilisant les conditions aux limites, dterminer son expression. Endduire sa valeur maximale.

4 ) Comment peut-on retrouver ce dernier rsultat partir de lexercice prc-dent (cas de la poutre console) ?

5.3 Poutrelle mtallique charge uniformment

On reprend lexemple de la poutrelle mtallique (figure 5.4) dont le modle estdonn sur la figure 5.5. Le chargement extrieur est celui dune pression liniqueconstanterpartie sur toute la longueur L = 10m de la poutre telle que la pressionlinique soit de p= 10N m1.

Ltude statique a permis de dterminer les actions dans les liaisons en Oet enA:

En O : T(Ext.Poutre) = pL2 y0

O

En A : T(Ext.Poutre) = pL

2y

0

A

1 ) Calculer le torseur des efforts intrieurs et tracer en fonction de labscissex,les diagrammes des composantes non nulles du torseur des efforts intrieurs.

2 ) On suppose que les contraintes tangentielles sont ngligeables, dtermineralors les contraintes normales, et en particulier la valeur maximale de celles-ci.

On rappelle que la section droite de la poutre est un profil en H dont lescaractristiques gomtriques sont donnes sur la figure 5.4.



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z

y

xG

b

h

e

Figure5.4 Poutrelle et section

zx

y

O A

L=10 m

p=10 N.m-1

Figure5.5 Modlisation de la poutrelle



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5.4. Vanne-wagon dun barrage

N.B.Pour le calcul du moment quadratique de la section en H, on ngligeralinfluence de lme et on supposera que eh.

3 ) Dterminer lquation de la dforme v(x)de la poutre et calculer sa valeurmaximale.

4 ) Pour des raisons dconomie, on souhaite raliser des poutres isocontraintes

normales. En effet les critres de dimensionnement appliquer permettentde minimiser le gaspillage de matire. Lors de la ralisation de lUniversitPierre et Marie Curie, on a calcul les poutres supports en respectant la rgleprcdente. On a donc t amen construire des poutres section volutive.On reprend donc le problme prcdent en supposant que la hauteur h duprofil est maintenant une fonction de labscisse x.Dterminer lexpression de la contrainte normale dans ce cas.

5 ) En dduire alors, pour le profil en H, la hauteur h de la section en un pointcourant, si lon suppose que la largeur b et lpaisseur de la semelle e sontconstantes.

5.4 Vanne-wagon dun barrage

On rappelle la modlisation choisie pour ltude dune nervure dune vannewagon sur la figure 5.6.

z

x

y

B

O

APartieimmerge

L/

3

2L/

3


Ltude statique a permis de dterminer le torseur des actions mcaniques transmis-sibles par la liaison en O:

T(Ext.Poutre)

=

2L2

9 gey

4L3

81gez

O

On rappelle que : g= 10m.s2,= 1000kg.m3 et L= 1, 5m.



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1 ) Dterminer le torseur des efforts intrieurs puis tracer, en fonction de labs-cisse x, les diagrammes des composantes non nulles du torseur des effortsintrieurs.

2 ) Calculer les contraintes normales et tangentielles. Est-il possible de ngligerlinfluence de la contrainte tangentielle devant la contrainte normale ?

3 ) Dterminer la dforme de la nervure de la vanne-wagon et calculer sa valeurmaximale. On supposera que la section est carre de ct e= 2cm.

5.5 Montage dessai de flexion

On rappelle la modlisation de lprouvette propose sur la figure 5.7. Le systmetant symtrique, on suppose que les efforts appliqus sur lprouvette le sont aussi.Les efforts extrieurs appliqus lprouvette sont les suivants :

zx

y

O

A

L=70 cm

F = 500 N F = 500 NL/4 L/4

B

C

Figure5.7 Modlisation de lprouvette

En A : T(Ext.Poutre) =Fy

0

A

En B : T(Ext.Poutre) =Fy

0

B

1 ) Dterminer le torseur des efforts intrieurs et tracer, en fonction de labscissex, les diagrammes des composantes non nulles du torseur des efforts intrieurs(on effectuera, si cel est ncessaire, ltude statique de la poutre).

2 ) Calculer la contrainte normale et dterminer sa valeur maximale. On sup-pose que le matriau est un aluminium de limite dlasticit Rp laquelle onassocie un coefficient de scurit s, et que la section est rectangulaire (largeurb, hauteur h). Dimensionner alors la section de lprouvette.

3 ) Dterminer la dforme de lprouvette et calculer sa valeur maximale.



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TD 6

Concentrations de contraintes

On considre des poutres en prenant en compte leurs gomtries relles. Diffrentessollicitations sont revisites en prenant en compte les accidents gomtriques laide des coefficients de concentration de contraintes. Le dimensionnement avecles critres usuels est alors tudi.

Sommaire6.1 tude dune prouvette daluminium . . . . . . . . . . . . 42

6.2 Dimensionnement dune chape . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.3 tude dune barre de section rectangulaire . . . . . . . . 45

6.4 Cylindre de laminoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Diplme : signe de science. Ne prouve rien.

Gustave Flaubert- crivain franais



48/60

6.Concentrations de contraintes

6.1 tude dune prouvette daluminium

On considre une prouvette daluminium avec deux entailles fond semi-circulairedont les dimensions sont donnes sur la figure 6.1.

N NdD

r

t

e

Figure6.1 prouvette entaille

Les dimensions de lprouvette sont les suivantes : D = 60 mm, e = 10 mm ett= 5 mm. Le paramtre r est celui quil faut dterminer, de telle sorte que si lonapplique sur lprouvette une force N = 90 000 N, celle-ci reste dans le domainelastique avec Rp = 360M P a.

1 ) A partir de labaque donn sur la figure 6.2, dterminer la valeur de r.

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,17

0,19

0,21

0,23

0,25

0,27

0,29

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,5

2

3

4

5

10

0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15

Kt r/t

d/D

Figure6.2 Abaque dune plaque entaille



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6.2. Dimensionnement dune chape

6.2 Dimensionnement dune chape

On sintresse au dimensionnement dune chape situe lextrmit dune tigede vrin. La sollicitation principale laquelle est soumise la tige du vrin est de latraction, de telle sorte que :

Tint = Px0

G

Les dimensions de la chape sont donnes sur la figure 6.3 et P= 500 000 N.

R

a

r1

r2

76 mm

48 mm

5 mm

12 mm

=

=

=

=

1

2

3

130 mm

100 mm

98 mm

=

=

=

3

R

a

r1

r2

1

2

A

B

C

P P

Figure6.3 Chape tudie

1 ) Les concentrations de contraintes conduisent une tude plus prcise pourles points A, B, et C. Justifiez le fait quon sintresse chacun de ces troispoints. Quels sont les accidents gomtriques prendre en compte pour chacunde ces points (on se rfrera aux abaques de la figure 6.4)? Pour chacun, ondonnera lexpression de la contrainte nominale.

2 ) Dterminer les coefficients de concentration de contraintes associs chacundes accidents gomtriques, en considrant ventuellement plusieurs cas pourles pointsBet C. On conservera le plus grand coefficient de concentration decontraintes si cel est ncessaire.

3 ) Calculer les contraintes relles pour chacun des points A,B,C. En dduirele point prendre en compte pour le dimensionnement.



50/60


0 0,1 0,3 0,4 0,5 0,6 0,70,2 0,8

1

2

3

4

5

6

Kt

d/b

bP

P

d

a

0,4 0,6 0,7 0,8 0,90,5 1

1

2

3

4

5

6

Kt

d/D

0,02 0,03

0,04

0,05

0,060,070,08

0,090,10

0,120,14

0,18

0,300,40

0,60

1,002,00

6,00

0,16

0,20

0,50

0,80

4,00

10,00

r/t

P PdD

r

t

0,4 0,6 0,7 0,8 0,90,5 1

1

2

3

4

5

6

Kt

d/D

0,03

0,04

0,05

0,06

0,070,080,09

0,10

0,120,14

0,18

0,300,40

0,60

1,002,00

0,16

0,20

0,50

0,80

3,008,004,00

10,00

r/t

P PdD

r

t

e

Figure6.4 Diffrents abaques deKt



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6.3. tude dune barre de section rectangulaire

6.3 tude dune barre de section rectangulaire

On considre une barre dont le modle est donn sur la figure 6.5. La hauteurde la barre est note h= 6cm, sa largeur e = 2cm.

zx

y

O A

L=10 m

p=10 N.m-1

L/3 F= 500 N

Figure6.5 Modle de la barre

1 ) Dterminer le torseur des efforts intrieurs. Tracer les diagrammes de lefforttranchant et du moment flchissant. En dduire en particulier la valeur dumoment flchissant maximal.

2 ) Calculer la valeur de la contrainte maximale, et en supposant que lon uti-lise un matriau de limite lastique pratique Rp = 370 MP a, dterminer lecoefficient de scurit.

3 ) Pour faire passer un cble de fixation, on ajoute la barre prcdente uneentaille en x= L

3. Les dimensions caractristiques de cette entaille sont donnes

par r= 2 mmet t= 0, 6cm.

d

D

r

t

e

zx

y

Figure6.6 Caractristiques de lentaille

On peut calculer la valeur du coefficient de concentration de contraintes associ cette entaille en flexion partir des formules suivantes :

Kt= 1 1

(0,684Kp)2+ 1

(1,622Kq)2

+ 1

avec

Kp=

t

r

dD

1 dD

+ 1 1 et Kq = 1

rt

Calculer le coefficient de concentrations de contrainte et conclure sur le dimen-sionnement de la barre.



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6.4 Cylindre de laminoir

On sintresse un cylindre de laminoir tube (figure 6.7). Compte tenu desdiffrents roulements utiliss pour le montage de larbre principal et des efforts ex-trieurs dus au tube laminer, on adopte la modlisation propose sur la figure 6.8.

Figure6.7 Laminoir tube

z x

y

O

L / 32L / 3

F

Figure6.8 Modle dtude

1 ) crire le Principe Fondamental de la Statique appliqu la poutre. Est-ilpossible de dterminer les inconnues statiques ?

2 ) On donne sur la figure 6.9 des expressions de la flche et de sa drive pourun chargement paramtr par. En dcomposant le problme initial en deuxsous problmes de flexion dont lun est soumis leffort Fet lautre un effortinconnu, dterminer la flche lextrmit de la poutre par superposition deces deux problmes.

3 ) Dterminer alors les actions mcaniques extrieures dues aux liaisons.

4 ) Calculer le moment flchissant et en particulier le point o il est maximum.



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6.4. Cylindre de laminoir

A C : vP

6 E I----------- x 2 3 x( )=

C B : vP

6 E I----------- x 2 3 x ( )=

vB

P

6 E I----------- 2 3 ( )=

A C : vP

2 E I----------- x 2 x( )=

vA

0=

C B : vP

2 E I----------- 2=

vB

P 2

2 E I-------------=

CA B

P

Figure6.9 Formulaire

5 ) Indiquer o vont se situer les concentrations de contraintes, et calculer lecoefficient de concentration de contraintes.On prendra r

t = 0, 3et les autres dimensions seront mesures sur le plan.

2est

langle du cne de raccordement entre les deux diamtres (mesur partir dela verticale sur le plan). On donne :

K()t =K

cos(

2)

t

avec

Kt= 1 1

(0,715Kp)2+ 1

(2Kq)2

+ 1

et

Kp=

t

r

dD

1 dD

+ 1 1 et Kq = 1rt



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55/60

TD 7

Flambement

On sintresse diffrentes poutres dont les conditions aux limites varient. Le butest de balayer lventail classique des valeurs de charges critiques et de construireun tableau rsumant les rsultats obtenus.

Sommaire7.1 tude dune machine dessai de traction . . . . . . . . . . 50

7.2 tude dun vrin hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.3 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Le commencement de toutes les sciences,cest ltonnement de ce que les choses sont ce quelles sont.

Aristote- Philosophe grec



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7.Flambement

7.1 tude dune machine dessai de traction

On considre une machine dessai de traction de laboratoire dont une photogra-phie est donne sur la figure 7.1.

L

H

hB

E

T

B

Figure7.1 La machine tudie

On propose sur cette mme figure un modle dtude constitu de lassemblagede plusieurs poutres :

deux barres latrales notes B de section Sb

, de hauteur H et de moduledYoungEb ; une traverse noteT, de longueur L, de moment quadratique en flexion ItGz et

de module dYoungEt ; une prouvette note Ede longueur l, de section Se, de moment quadratique

en flexion IeGz et de module dYoung Ee.

Laxezest perpendiculaire au plan de la figure.Sur cette machine, on peut mesurer le dplacement de la traverse par la mesure

du nombre de tours des vis billes (modlises par les deux poutres B) sur lesquellesest monte la traverse.

1 ) On suppose que lprouvette est soumise un effort de compression N.Dterminer les sollicitations dans toutes les poutres du systme.

2 ) Reprsenter une allure de la dforme du systme constitu des diffrentespoutres.

3 ) Calculer les dplacements maximaux dans chacune des poutres du systmeen fonction de leffort Net des caractristiques gomtriques et matriau dechacune des poutres. On notera T le dplacement maximal de la traverse,B celui des barres et Ecelui de lprouvette.

4 ) Quelle relation relie les diffrents dplacements calculs prcdemment ?

Conclure sur la pertinence dune mesure de dallongement sur lprouvette partir de la mesure du nombre de tour des vis billes.



57/60

7.2. tude dun vrin hydraulique

5 ) Lprouvette est soumise de la compression. On souhaite vrifier quellene risque pas de flamber au cours de lessai. Pour cel, on adopte le modlepropos sur la figure 7.2

z x

y

O A

h

N

Figure7.2 prouvette en compression

Tracer une allure de la dforme flambe de la poutre

6 ) Dterminer lquation vrifie par la flche et crire les conditions aux limites.

7 ) Calculer la valeur de la charge critique en fonction de leffort N, de la lon-gueur h, du module dYoung Ee et du moment quadratique de la section IeGz

7.2 tude dun vrin hydraulique

La figure 7.3 reprsente un vrin hydraulique. Un des critres de dimensionne-ment prendre en compte pour le choix dun vrin est le flambement de la tige.

On retrouve en effet dans de nombreux catalogues de constructeurs des graphespermettant de valider le critre de non flambement de la tige (voir figure 7.4).

Figure7.3 Plan du vrin hydraulique

Nous allons ici nous intresser la dtermination de la charge critique de flam-bement de la tige dans diverses configurations :

tige totalement sortie et non guide son extrmit : modle de la figure 7.5, tige moiti rentre et guide son extrmit, modle de la figure 7.6 tige totalement rentre, modle de la figure 7.7.Pour chacune des configurations proposes, on propose de mener une tude per-

mettant de dterminer la valeur de la charge critique dEuler. Pour cel, on rpondraaux questions suivantes pour chaque configuration.

1 ) Tracer une allure de la dforme flambe de la poutre



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7.Flambement

0 50 100 150 200

1200

1100

1000

900

800

700

600

500

400

300

200

1000

80

63

50

40

Palier rotule

Valeurs limites pour course et pression

de fonctionnement pour des efforts de flambage

Pression [bars]

]mm[esruoC

piston 32

piston 25

Figure7.4 Extrait du catalogue ROEMHELD

2 ) Dterminer lquation vrifie par la flche et crire les conditions aux limites.

3 ) Calculer la valeur de la charge critique en fonction de leffort F, de la lon-gueurL, du module dYoung Eet du moment quadratique de la section IGz

z x

y

O

A

L

F

Figure7.5 Tige totalement sortie

z

x

y

O A

L

L/2

F

Figure7.6 Tige moiti rentre



59/60

7.3. Bilan

z x

y

O A

L

F

Figure7.7 Tige totalement rentre

7.3 Bilan

On propose de rsumer les diffrents rsultats dans le tableau ci-dessous. Onsuppose que la charge critique de flambement scrit sous la forme :

Fc=2EIGz

(L)2

1 ) partir des rsultats des exercices prcdents, remplir le tableau 7.1.

z

x

y

O

A

L

F

z

x

y

O

A

L

F

z

x

y

O

A

L

F

z

x

y

O

A

L

L/2

F

z

x

y

O

A

L

F

= 1 = = = =

Table7.1 Bilan des valeurs de chargescritiques

2 ) Justifier certaines valeurs du coefficient sans faire aucun calcul.



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7.Flambement

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