Cristaux, tenseurs, lasticit tenseurs, lasticit ... le tenseur des contraintes. Pour une surface lmentaire de vecteur normal l, la tension mcanique est Tiklk. x x x T T21 2 3 1 ...

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    03-Mar-2018

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Cristaux, tenseurs, lasticit& pizolectricitpar Vincent LaudeInstitut FEMTO-ST, dpartement MN2Squipe MINANO Micro-Instrumentation, NANosciences et Ondes 32 avenue de lObservatoire F-25044 BesanonEmail: vincent.laude@femto-st.fr1 Description des cristaux1.1 PropritsLattnuation des ondes lastiques est dautant plus petite que le milieu de pro-pagation est ordonn : Dans lair (les gaz), on est limit en pratique qq 100 kHz ; Dans leau (les liquides), on est limit 50 MhZ environ ; Dans les cristaux on peut travailler jusqu qq GHz, voire plus. On utiliseleffet pizolectrique pour gnrer les ondes lastiques ces frquences.La structure des cristaux dfinit directement les proprits danisotropie de pro-pagation des ondes lastiques. On classe les cristaux suivant leur symtriedorientation. Cette symtrie microscopique se rpercute sur les proprits physi-ques macrocopiques.Un cristal est homogne : le comportement dchantillons de mme orientationtaills dans un mme cristal est identique.La notion de tenseur est le langage mathmatique privilgi pour dcrire les pro-prits physiques et leurs relations avec les symtries.21.2 Rseau cristallinIl existe une infinit de noeuds, pointshomologues dans une translationlmentaire :OM=ma+nb+pc avec m,n, p entiersTous les noeuds ont le mmeenvironnement atomique. baMO31.3 MaillesLe rseau priodique peut tre vu comme un empilement de mailles, des parall-pipdes dont les sommets sont des noeuds.Une maille btie avec 3 vecteurs de base est simple (contient un seul noeud).Rseau cubique faces centres :un noeud additionnel au centre dechaque face du cube.La maille cubique est quadruple.La maille simple est un rhombodre(polyhdre dont toutes les faces sontdes losanges).41.4 MotifUn motif est une grappe datomes dispose aux noeuds du rseau priodique. Le motif peut tre compos dun seul atome cubique faces centres : Cu, Ag, Al, Ni, Pt... cubique centr : Li, Na, K, Cr... Le motif peut tre compos datomes de mme nature structure diamant : rseau cfc + 1 atome en 1/4, 1/4, 1/4 (Si, Ge...) Le motif peut tre compos datomes diffrents (ZnS, AsGa)1/4, 1/4, 1/40,0,052 Symtrie dorientation2.1 Les 14 rseaux de Bravais Les 14 rseaux de Bravais sont les diffrentes manires de distribuer danslespace une infinit de noeuds ayant le mme environnement. Il nexiste que 7 mailles simples, dfinissant 7 rseaux primitifs. Il est possible suivant le cas de dfinir en plus un rseau : centr (I) avec un noeud sur deux faces opposes (C) faces centres (F)672.2 Les 32 classes de symtrie ponctuelle des cristaux Ladjonction du motif chaque noeud du rseau diminue la symtrie ducristal. Un cristal ne prsente pas ncessairement de centre de symtrie (cristauxpizolectriques par exemple). Les 32 classes de symtrie ponctuelle des cristaux conditionnent laniso-tropie des constantes des matriaux (et donc lanisotropie de la vitesse depropagation)83 Exemples de structures3.1 Structure hexagonale compacte93.2 Structure cubique compacte (cfc)103.3 ZnO, AlN, CdS : systme hexagonal de symtrie 6mm113.4 LiNbO3 et LiTaO3 : systme trigonal de symtrie 3m124 Introduction aux tenseurs4.1 Relations linaires dans un milieu anisotropeDans un cristal, une cause applique suivant une direction donne en gnral nais-sance un effet orient dans une autre direction. Par exemple, la relation entreinduction et champ lectrique estD= E ouD1D2D3=11 12 1321 22 2331 32 33E1E2E3 ou Di=ijEj (1)Les deux premires notations utilisent les vecteurs et matrices. La dernireexpression est typiquement tensorielle et utilise la convention de la sommationsur les indices rpts (ou convention dEinstein).Di et Ej sont des tenseurs de rang 1 ; ij est un tenseur de rang 2.La donne des composantes du tenseur ne suffit pas le dterminer, il faut deplus imposer sa transformation dans un changement daxes de rfrence : on nechange pas la signification physique en faisant tourner les axes, seulement lareprsentation du tenseur.134.2 Matrice de changement daxes de rfrenceSoient e1, e2, e3 et e1 , e2 , e3 deux systmes daxes de rfrence. Les composantesdu nouveau systme daxes dans lancien sont contenues dans une matrice telleque (une matrice, pas un tenseur !)ei=ikek avec =11 12 1321 22 2331 32 33 (2)Inversement ek =kjej avec ik kj =ij avec ij le symbole de Kronecker. Si lesrepres sont orthonorms alors =T (T : transposition).Les coordonnes dun vecteur obissent la loi de transformation :xi=ki xk avec x=xkek=xiei (3)Dans le cas o les repres sont orthonorms, les coordonnes dun vecteur obis-sent la mme quation de transformation que les vecteurs de base : xi=ikxk.144.3 Dfinition dun tenseur Une grandeur physique scalaire (temprature, nergie, etc.) est invariantedu rpre choisi : f(x1, x2, x3)=f(x1 , x2 , x3 ) ; cest un tenseur dordre 0. Un tenseur de rang 1 (ou vecteur) se transforme dans un changementdaxes comme les vecteurs de base, soitAi=ikAk (4) Un tenseur de rang 2, ensemble de 9 grandeurs Aij se transforme suivantla loiAij =ikjl Akl (5) La dfinition stend sans problme un rang quelconque, par exemple 3 :Aijk =il jpkqAlpq (6) Le gradient dun vecteur, Ai/xk, est un tenseur dordre 2. La trace Aii dun tenseur dordre 2 Aij est un tenseur dordre 0. La relation linaire entre deux tenseurs est un tenseur. Par exempleDi=ijEj implique que ij est un tenseur de rang 2.155 Elasticit5.1 DformationsSoit un point x de coordonnes x1, x2, x3. Les dplacements u sont fonction dex, donc ui(xj + dxj) =ui(xj) +uixjdxj au premier ordre.uixj, le gradient desdplacements, est un tenseur dordre 2.On spare ce gradient en partie symtrique (tenseur des dformations Sij) etantisymtrique selonuixj=Sij+ij avec Sij=12(uixj+ujxi)et ij=12(uixjujxi)(7)Seule la partie symtrique du gradient des dplacement mesure une dformationlocale du rseau. La partie antisymtrique mesure les rotations locales.La dilatation (variation locale du volume) est Sii =S11 +S22 +S33 =.u, soit latrace du tenseur des dformations.Les termes diagonaux S11, S22, S33 correspondent des mouvements longitudi-naux, les termes Sij , i=/ j des mouvements de cisaillement.165.2 ContraintesA la diffrence dun fluide, les efforts de cisaillement se transmettent traversune surface. Trois forces indpendantes peuvent dexercer sur une surface : unecontrainte de traction-compression et deux contraintes de cisaillement.Sur la face orthogonale x1 dun cube lmentaire, la force par unit de surfaceou tension mcanique est T11+T21+T31 (et des formules similaires pour les facesorthogonales x2 et x3).Tij est un tenseur de rang 2 symtrique, le tenseur des contraintes. Pour unesurface lmentaire de vecteur normal l, la tension mcanique est Tik lk.xxxTT2123111T31Lquation de la dynamique scrit (avec fi les forces internes)Tikxk+fi=2uit2(8)175.3 Loi de HookeLexprience montre que le comportement lastique de la plupart des solidesdans le cas de petites dformations obit la loi de Hooke :Tij=cijklSkl (9)cest--dire que les contraintes sont une fonction linaire des dformations.cijkl est le tenseur des rigidits, de rang 4. Il a donc a priori 34 =81 compo-santes. Mais la symtrie de Tij et Skl impose quecjikl=cijkl et cijlk=cijkl (10)Il ny a donc que 36 composantes indpendantes au plus.En dfinitive, le nombre de composantes indpendantes est fonction du systmede symtrie du rseau du cristal considr.185.4 Notation contracte (ou matricielle)Du fait des relations de symtries (10) on note(11)1 ; (22)2 ; (33)3(23)= (32)4 ; (31)= (13)5 ; (12)= (21)6 (11)Tij=TI ; cijkl=cIJ ; TI =cIJSJS1=S11 ;S2=S22 ;S3=S33 ;S4=2S23 ;S5=2S31 ;S6=2S12 (12)Matriaux Classe Rigidits (1010 N/m2) (103 kg/m3)cub. ou isotrope c11 c12 c44AsGa 4 3m 11.88 5.38 2.83 5.307SiO2 isotrope 7.85 1.61 3.12 2.203Si m3m 16.56 6.39 7.95 2.329hexagonal c11 c12 c13 c33 c44PZT-4 trans. iso. 13.9 7.8 7.4 11.5 2.6 7.5ZnO 6mm 21.0 12.1 10.5 21.1 4.2 5.676trigonal c11 c12 c13 c33 c44 c14Al2O3 3m 49.7 16.3 11.1 49.8 14.7 -2.3 3.986LiNbO3 3m 20.3 5.3 7.5 24.5 6.0 0.9 4.7quartz (SiO2) 32 8.7 0.7 1.2 10.7 5.8 -1.8 2.64819206 Pizolectricit6.1 Origine physique de la pizolectricitEffet pizolectrique direct : sous laction dune contrainte ou dune dforma-tion, une polarisation lectrique apparat (cest--dire une dformation non sym-trique de la maille cristalline et/ou du nuage lectronique).Effet pizolectrique inverse (ou effet Lippman) : un champ lectriqueappliqu provoque une dformation de la maille cristalline ou une contrainte.Leffet pizolectrique napparat que pour les structures cristallines non centro-symtriques.6.2 Relations constitutivesOn considrant uniquement le rgime linaire, on peut poserTij = cijklSklekijEk (13)Di = eiklSkl+ijEj (14)ou en notation contracte pour la partie mcaniqueTI = cIJSJ ekIEk (15)Di = eiJSJ +ijEj (16)Le tenseur ik l=iJ est symtrique par rapport ses deux derniers indices.216.3 Approximation quasi-statiqueDu fait du couplage pizolectrique, une onde lectromagntique accompagnelonde lastique. Les quations de Maxwell dans un milieu dilectrique (isolant)sont :E=Bt; H=Dt; .D=0 ; .H=0 ; B=0H (17)Les frquences mises en jeu sont trs petites devant celles des ondes optiques, desorte que les drives temporelles sont trs petites :E= iB 0 et H=iD0Cette hypothse dcouple les champ lectriques et magntiques. Enfin, le champlectrique tant irrotationnel il drive dun potentiel scalaire selon E=.Les quations constitutives deviennentTI = cIJSJ +ekI,k (18)Di = eiJSJ ij,j (19)226.4 Reprsentation matricielle des relations constitutivesOn regroupe les tenseurs des quations (15-16) en un tableau de constantes :c11 c12 . . . .c12 c22 . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .c16 . . . . c66e11 e21 e31e12 . .. . .. . .. . .e16 . e36e11 e12 . . . e16e21 . . . . .e31 . . . . e3611 12 1312 . .13 . 33Cette reprsentation est commode pour reprer les couplages possibles suivant lasymmtrie cristalline, mais galement pour reprsenter les donnes constantesdes matriaux dans un programme de simulation numrique.2324256.5 Conditions aux limitesConditions aux limites mcaniques Pour deux solides rigidement lis, le dplacement est continu en tout pointde la frontire entre deux milieux M et M : ui =ui. De mme, la ten-sion mcanique est continue : Tij lj=T ij lj avec lj la normale . Sur une surface libre, les dplacements sont non spcifis et T ij lj=0. Sur une surface bloque, les contraintes sont non spcifies et ui=0.Conditions aux limites lectriquesDans lapproximation quasi-statique, elles relvent de llectrostatique. A une interface , = et Et =Et (le potentiel et la partie tangentiellede E sont continus). Si la surface est charge (interface dilectrique-mtal par exemple) alors(DiDi) li = ( : densit superficielle de charge). Entre deux dilectri-ques, la composante normale de D est continue. Si la surface est en court-circuit (par lintermdiaire dun film mtalliquemis la masse par exemple) alors =0.266.6 Thorme de Poynting et bilan nergtiqueEn exprimant le travail des forces mcaniques et des forces lectriques on obtientle thorme de Poynting pour les milieux pizolectriques sous la forme :dWdt=ddt(Ec+Ep)+Pj lj ds (20)avec lnergie cintique Ec=ec dV et ec=12vi2 lnergie potentielle Ep=ep dV et ep=12(SijTij+EkDk) le vecteur de Poynting Pj=Tij vi+(E H)jComme dans le cas des fluides, le thorme de Poynting exprime que le travailfourni par les sources internes au volume V est partiellement emmagasin sousforme dnergie cintique et potentielle et partiellement rayonne travers lafrontire . Le flux du vecteur de Poynting reprsente cette puissance rayonne.27

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