Cristaux, tenseurs, lasticit tenseurs, lasticit ... le tenseur des contraintes. Pour une surface lmentaire de vecteur normal l, la tension mcanique est Tiklk. x x x T T21 2 3 1 ...

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    03-Mar-2018

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  • Cristaux, tenseurs, lasticit

    & pizolectricit

    par Vincent Laude

    Institut FEMTO-ST, dpartement MN2Squipe MINANO

    Micro-Instrumentation, NANosciences et Ondes 32 avenue de lObservatoire F-25044 Besanon

    Email: vincent.laude@femto-st.fr

  • 1 Description des cristaux

    1.1 Proprits

    Lattnuation des ondes lastiques est dautant plus petite que le milieu de pro-pagation est ordonn :

    Dans lair (les gaz), on est limit en pratique qq 100 kHz ;

    Dans leau (les liquides), on est limit 50 MhZ environ ;

    Dans les cristaux on peut travailler jusqu qq GHz, voire plus. On utiliseleffet pizolectrique pour gnrer les ondes lastiques ces frquences.

    La structure des cristaux dfinit directement les proprits danisotropie de pro-pagation des ondes lastiques. On classe les cristaux suivant leur symtriedorientation. Cette symtrie microscopique se rpercute sur les proprits physi-ques macrocopiques.

    Un cristal est homogne : le comportement dchantillons de mme orientationtaills dans un mme cristal est identique.

    La notion de tenseur est le langage mathmatique privilgi pour dcrire les pro-prits physiques et leurs relations avec les symtries.

    2

  • 1.2 Rseau cristallin

    Il existe une infinit de noeuds, pointshomologues dans une translationlmentaire :

    OM=ma+nb+pc avec m,n, p entiersTous les noeuds ont le mmeenvironnement atomique. b

    a

    M

    O

    3

  • 1.3 Mailles

    Le rseau priodique peut tre vu comme un empilement de mailles, des parall-pipdes dont les sommets sont des noeuds.

    Une maille btie avec 3 vecteurs de base est simple (contient un seul noeud).

    Rseau cubique faces centres :

    un noeud additionnel au centre dechaque face du cube.La maille cubique est quadruple.La maille simple est un rhombodre(polyhdre dont toutes les faces sontdes losanges).

    4

  • 1.4 Motif

    Un motif est une grappe datomes dispose aux noeuds du rseau priodique.

    Le motif peut tre compos dun seul atome

    cubique faces centres : Cu, Ag, Al, Ni, Pt...

    cubique centr : Li, Na, K, Cr...

    Le motif peut tre compos datomes de mme nature

    structure diamant : rseau cfc + 1 atome en 1/4, 1/4, 1/4 (Si, Ge...)

    Le motif peut tre compos datomes diffrents (ZnS, AsGa)

    1/4, 1/4, 1/4

    0,0,0

    5

  • 2 Symtrie dorientation

    2.1 Les 14 rseaux de Bravais

    Les 14 rseaux de Bravais sont les diffrentes manires de distribuer danslespace une infinit de noeuds ayant le mme environnement.

    Il nexiste que 7 mailles simples, dfinissant 7 rseaux primitifs.

    Il est possible suivant le cas de dfinir en plus un rseau :

    centr (I)

    avec un noeud sur deux faces opposes (C)

    faces centres (F)

    6

  • 7

  • 2.2 Les 32 classes de symtrie ponctuelle des cristaux

    Ladjonction du motif chaque noeud du rseau diminue la symtrie ducristal.

    Un cristal ne prsente pas ncessairement de centre de symtrie (cristauxpizolectriques par exemple).

    Les 32 classes de symtrie ponctuelle des cristaux conditionnent laniso-tropie des constantes des matriaux (et donc lanisotropie de la vitesse depropagation)

    8

  • 3 Exemples de structures

    3.1 Structure hexagonale compacte

    9

  • 3.2 Structure cubique compacte (cfc)

    10

  • 3.3 ZnO, AlN, CdS : systme hexagonal de symtrie 6mm

    11

  • 3.4 LiNbO3 et LiTaO3 : systme trigonal de symtrie 3m

    12

  • 4 Introduction aux tenseurs

    4.1 Relations linaires dans un milieu anisotrope

    Dans un cristal, une cause applique suivant une direction donne en gnral nais-sance un effet orient dans une autre direction. Par exemple, la relation entreinduction et champ lectrique est

    D= E ou

    D1D2D3

    =

    11 12 1321 22 2331 32 33

    E1E2E3

    ou Di=ijEj (1)

    Les deux premires notations utilisent les vecteurs et matrices. La dernireexpression est typiquement tensorielle et utilise la convention de la sommationsur les indices rpts (ou convention dEinstein).

    Di et Ej sont des tenseurs de rang 1 ; ij est un tenseur de rang 2.

    La donne des composantes du tenseur ne suffit pas le dterminer, il faut deplus imposer sa transformation dans un changement daxes de rfrence : on nechange pas la signification physique en faisant tourner les axes, seulement lareprsentation du tenseur.

    13

  • 4.2 Matrice de changement daxes de rfrence

    Soient e1, e2, e3 et e1 , e2

    , e3 deux systmes daxes de rfrence. Les composantes

    du nouveau systme daxes dans lancien sont contenues dans une matrice telleque (une matrice, pas un tenseur !)

    ei=i

    kek avec =

    11 1

    2 13

    21 2

    2 23

    31 3

    2 33

    (2)

    Inversement ek =kjej avec i

    k kj =ij avec ij le symbole de Kronecker. Si les

    repres sont orthonorms alors =T (T : transposition).

    Les coordonnes dun vecteur obissent la loi de transformation :

    xi=k

    i xk avec x=xkek=xiei (3)

    Dans le cas o les repres sont orthonorms, les coordonnes dun vecteur obis-sent la mme quation de transformation que les vecteurs de base : xi

    =ikxk.

    14

  • 4.3 Dfinition dun tenseur

    Une grandeur physique scalaire (temprature, nergie, etc.) est invariante

    du rpre choisi : f(x1, x2, x3)=f(x1 , x2

    , x3 ) ; cest un tenseur dordre 0.

    Un tenseur de rang 1 (ou vecteur) se transforme dans un changementdaxes comme les vecteurs de base, soit

    Ai=i

    kAk (4)

    Un tenseur de rang 2, ensemble de 9 grandeurs Aij se transforme suivantla loi

    Aij =i

    kjl Akl (5)

    La dfinition stend sans problme un rang quelconque, par exemple 3 :

    Aijk =i

    l jpk

    qAlpq (6)

    Le gradient dun vecteur, Ai/xk, est un tenseur dordre 2.

    La trace Aii dun tenseur dordre 2 Aij est un tenseur dordre 0.

    La relation linaire entre deux tenseurs est un tenseur. Par exempleDi=ijEj implique que ij est un tenseur de rang 2.

    15

  • 5 Elasticit

    5.1 Dformations

    Soit un point x de coordonnes x1, x2, x3. Les dplacements u sont fonction de

    x, donc ui(xj + dxj) =ui(xj) +ui

    xjdxj au premier ordre.

    ui

    xj, le gradient des

    dplacements, est un tenseur dordre 2.

    On spare ce gradient en partie symtrique (tenseur des dformations Sij) etantisymtrique selon

    uixj

    =Sij+ij avec Sij=1

    2

    (

    uixj

    +ujxi

    )

    et ij=1

    2

    (

    uixj

    ujxi

    )

    (7)

    Seule la partie symtrique du gradient des dplacement mesure une dformationlocale du rseau. La partie antisymtrique mesure les rotations locales.

    La dilatation (variation locale du volume) est Sii =S11 +S22 +S33 =.u, soit latrace du tenseur des dformations.

    Les termes diagonaux S11, S22, S33 correspondent des mouvements longitudi-naux, les termes Sij , i=/ j des mouvements de cisaillement.

    16

  • 5.2 Contraintes

    A la diffrence dun fluide, les efforts de cisaillement se transmettent traversune surface. Trois forces indpendantes peuvent dexercer sur une surface : unecontrainte de traction-compression et deux contraintes de cisaillement.

    Sur la face orthogonale x1 dun cube lmentaire, la force par unit de surfaceou tension mcanique est T11+T21+T31 (et des formules similaires pour les facesorthogonales x2 et x3).

    Tij est un tenseur de rang 2 symtrique, le tenseur des contraintes. Pour unesurface lmentaire de vecteur normal l, la tension mcanique est Tik lk.

    x

    x

    x

    T

    T212

    3

    1

    11

    T31

    Lquation de la dynamique scrit (avec fi les forces internes)

    Tikxk

    +fi=2uit2

    (8)

    17

  • 5.3 Loi de Hooke

    Lexprience montre que le comportement lastique de la plupart des solidesdans le cas de petites dformations obit la loi de Hooke :

    Tij=cijklSkl (9)

    cest--dire que les contraintes sont une fonction linaire des dformations.

    cijkl est le tenseur des rigidits, de rang 4. Il a donc a priori 34 =81 compo-santes. Mais la symtrie de Tij et Skl impose que

    cjikl=cijkl et cijlk=cijkl (10)

    Il ny a donc que 36 composantes indpendantes au plus.

    En dfinitive, le nombre de composantes indpendantes est fonction du systmede symtrie du rseau du cristal considr.

    18

  • 5.4 Notation contracte (ou matricielle)

    Du fait des relations de symtries (10) on note

    (11)1 ; (22)2 ; (33)3

    (23)= (32)4 ; (31)= (13)5 ; (12)= (21)6 (11)

    Tij=TI ; cijkl=cIJ ; TI =cIJSJ

    S1=S11 ;S2=S22 ;S3=S33 ;S4=2S23 ;S5=2S31 ;S6=2S12 (12)

    Matriaux Classe Rigidits (1010 N/m2) (103 kg/m3)

    cub. ou isotrope c11 c12 c44AsGa 4 3m 11.88 5.38 2.83 5.307

    SiO2 isotrope 7.85 1.61 3.12 2.203

    Si m3m 16.56 6.39 7.95 2.329

    hexagonal c11 c12 c13 c33 c44PZT-4 trans. iso. 13.9 7.8 7.4 11.5 2.6 7.5

    ZnO 6mm 21.0 12.1 10.5 21.1 4.2 5.676

    trigonal c11 c12 c13 c33 c44 c14Al2O3 3m 49.7 16.3 11.1 49.8 14.7 -2.3 3.986

    LiNbO3 3m 20.3 5.3 7.5 24.5 6.0 0.9 4.7

    quartz (SiO2) 32 8.7 0.7 1.2 10.7 5.8 -1.8 2.648

    19

  • 20

  • 6 Pizolectricit

    6.1 Origine physique de la pizolectricitEffet pizolectrique direct : sous laction dune contrainte ou dune dforma-tion, une polarisation lectrique apparat (cest--dire une dformation non sym-trique de la maille cristalline et/ou du nuage lectronique).Effet pizolectrique inverse (ou effet Lippman) : un champ lectriqueappliqu provoque une dformation de la maille cristalline ou une contrainte.Leffet pizolectrique napparat que pour les structures cristallines non centro-symtriques.

    6.2 Relations constitutivesOn considrant uniquement le rgime linaire, on peut poser

    Tij = cijklSklekijEk (13)

    Di = eiklSkl+ijEj (14)

    ou en notation contracte pour la partie mcanique

    TI = cIJSJ ekIEk (15)

    Di = eiJSJ +ijEj (16)

    Le tenseur ik l=iJ est symtrique par rapport ses deux derniers indices.

    21

  • 6.3 Approximation quasi-statique

    Du fait du couplage pizolectrique, une onde lectromagntique accompagnelonde lastique. Les quations de Maxwell dans un milieu dilectrique (isolant)sont :

    E=B

    t; H=

    D

    t; .D=0 ; .H=0 ; B=0H (17)

    Les frquences mises en jeu sont trs petites devant celles des ondes optiques, desorte que les drives temporelles sont trs petites :

    E= iB 0 et H=iD0

    Cette hypothse dcouple les champ lectriques et magntiques. Enfin, le champlectrique tant irrotationnel il drive dun potentiel scalaire selon E=.Les quations constitutives deviennent

    TI = cIJSJ +ekI,k (18)

    Di = eiJSJ ij,j (19)

    22

  • 6.4 Reprsentation matricielle des relations constitutives

    On regroupe les tenseurs des quations (15-16) en un tableau de constantes :

    c11 c12 . . . .

    c12 c22 . . . .

    . . . . . .

    . . . . . .

    . . . . . .

    c16 . . . . c66

    e11 e21 e31e12 . .

    . . .

    . . .

    . . .

    e16 . e36

    e11 e12 . . . e16e21 . . . . .

    e31 . . . . e36

    11 12 1312 . .

    13 . 33

    Cette reprsentation est commode pour reprer les couplages possibles suivant lasymmtrie cristalline, mais galement pour reprsenter les donnes constantesdes matriaux dans un programme de simulation numrique.

    23

  • 24

  • 25

  • 6.5 Conditions aux limites

    Conditions aux limites mcaniques

    Pour deux solides rigidement lis, le dplacement est continu en tout pointde la frontire entre deux milieux M et M : ui =ui

    . De mme, la ten-sion mcanique est continue : Tij lj=T ij

    lj avec lj la normale .

    Sur une surface libre, les dplacements sont non spcifis et T ij lj=0.

    Sur une surface bloque, les contraintes sont non spcifies et ui=0.

    Conditions aux limites lectriques

    Dans lapproximation quasi-statique, elles relvent de llectrostatique.

    A une interface , = et Et =Et (le potentiel et la partie tangentielle

    de E sont continus).

    Si la surface est charge (interface dilectrique-mtal par exemple) alors(Di

    Di) li = ( : densit superficielle de charge). Entre deux dilectri-

    ques, la composante normale de D est continue.

    Si la surface est en court-circuit (par lintermdiaire dun film mtalliquemis la masse par exemple) alors =0.

    26

  • 6.6 Thorme de Poynting et bilan nergtique

    En exprimant le travail des forces mcaniques et des forces lectriques on obtientle thorme de Poynting pour les milieux pizolectriques sous la forme :

    dW

    dt=

    d

    dt(Ec+Ep)+

    Pj lj ds (20)

    avec

    lnergie cintique Ec=

    ec dV et ec=1

    2vi

    2

    lnergie potentielle Ep=

    ep dV et ep=1

    2(SijTij+EkDk)

    le vecteur de Poynting Pj=Tij vi+(E H)j

    Comme dans le cas des fluides, le thorme de Poynting exprime que le travailfourni par les sources internes au volume V est partiellement emmagasin sousforme dnergie cintique et potentielle et partiellement rayonne travers lafrontire . Le flux du vecteur de Poynting reprsente cette puissance rayonne.

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