C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, Skrie I, p. 1149-l 152, 1997

ThCorie des groupes/Group Theory

Crit&re d’injectivith pour l’application de Jacquet

R&urn&

Abstract.

Soient (T. 1’) une reprtsentation lisse d’un groupe rkductif p-adique 6’ et (T, I’, )

son module de Jacyuet relativement 2 un sous-groupe parabolique propre I’ de G

de dkomposition de Levi f’ = MN ; soit h’ un sous-groupe ouvert compact de (,’ posskdant une dCcomposition d’lwahori par rapport k I’ et 7 une reprksentation lisac

irrkductible de A’ triviale sur les intersections de I?’ avec A’ et I’opposC dc AT p;u rapport h Al. Nous Ctablissons un critkre d’injectivitC de la restriction de ‘Y’, : 1. - \.,

i la composante isotypique de type r de IV sous l’action de I<, puis noux donnons

une application ;1u groupe G2.

Injectivity criterion for the Jacquet map

1. Critkre d’injectivitb

Soit G le groupe des points sur un corps local non archimkdien F, d’un groupe algCbrique rkductif

connexe dtfini sur F. Soit I’ un sous-groupe parabolique propre de G, de radical unipotent N, et

soit I’ = MN une dkcomposition de Levi de P. On note N I’opposC de N par rapport A AI et P = MN le parabolique opposC de P. Les reprksentations considCrCes dans la suite seront toujours des reprksentations dans un espace vectoriel comnp1e.w.

Soit (T, V) une reprkentation lisse de G ; son module de Jacquet relativement B P est la reprkentation lisse (T!v. \,,lv) de M dans l’espace quotient Ii:v = I-‘/V(N), ob l’(N) est form6 des 6lCments 1: de I’ pour lesquels il existe un sous-groupe ouvert compact N,. de :V tel que ,I,.,, 7i( I)) C!/h = 0 ; 1 ‘application canonique de C* sur 1,:~ est notCe T’:~.

Soit K un sous-groupe ouvert compact de G’ et T une reprksentation lisse irrkductible de K; on note V’ la composante isotypique de type 7 de \’ sous l’action de 17. On suppose que K posskde

Note prCsenti?e par Herd JACQUET.

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une decomposition d’Iwahori par rapport a I’, c’est-a-dire est produit direct K n N K fl M K n N, et que r est triviale sur K n zv et K n :V ; alors la restriction de T a K n M est une representation lisse irreductible 7.41 de K n hl, et l’homomorphisme de M-modules ~‘~2’ envoie IfT dans \,lc”. On aura besoin dans la suite des precisions suivantes sur les liens entre ~,4;21 et T :

LEMME 1. - Soit ?J,f, un sous-grape ouvert compact de M et r ,~f LIIW r~i7rc;sL~ntation lisse irrc;dl4ctihle de .J,tl de noyau H.41. Soit .I+ (resp. ,I-) un sous-groupe ol4tvrt compact de N (rr,sp. iv).

(i) Le produit .I = .I-.J.tl.J+ est un grol4pe .si Pt seulen~erlt si .J!j, normulise .J+ et ,I- et .J+.J- c .J-vJ,f,,J+.

(ii) Si le pmduit .I = ,I- .Jlj,.J’ est un gmupe, alors il existe 14ne repr&entatim T de .I triviule sur .J+ et .J- et de restriction r,q! ir .J1fr si et seulemerlt si le prodL4it .J~H!~I.J+ est 1411 groupe. Dum ces conditions, pour mute reprPsentution lime (T. V) de G, IFT est I’ensemhle des Llecteurs de lTTli ,fixls pur .J+ et .I-.

(iii) Soit H un sous-gm4pe de .I,!1 tel q4e le produit .JFH.J+ .wt 14n gmupe. Alms le pmduit J- .I,+[ .J+ est 1411 groupe si et seulernent si .J>!* norrnulise J+ et .I-.

Les conditions imposees plus haut a la paire (K, T) suffisent a assurer la .surjecti\~ite’ de 7‘Jy : 11-T + I<\:“, du moins si T est admissible (c’est la generalisation d’un resultat de Casselman. lwir [5], theoreme 3.33). mais non son injectivitl Or, si (K, 7) est soit la paire formee d’un sous- groupe d’Iwahori et de son caractere trivial (voir [I]). soit un type siwzple dans CL,,(F) (voir [3]), cette injectivite constitue une Ctape cle pour demontrer que la paire (K. 7) est un type dms G. c’est-a-dire, par definition (voir [4], 4. I), que la categoric des representations lisses de G engendrees par leur composante isotypique de type T sous K est stable par sous-quotients (wir ] I], 4.7 puis 4. I 1, et 131, 7.3.2 puis 7.5.4). En general, les paires (K. T) pour lesquelles ‘T,\- : \” - \:c” est injective devraient jouer un role fondamental dans la decomposition de la categoric des representations lisses de G selon la theorie des types (Lvir [4], $7): c’est pourquoi la construction de qq types induits N est en jeu dans ce qui suit.

TH~OR~ME 1. - kit .J,jl un sous-groupe oulaert compact de M et r.21 une reprlsrntution irrkduc- tihle lisse de ,J,T~. Soit (.I,‘). ,a,, (resp. (.J,- ),a(~) l4ne sl4ite de .snus-gror4pr.s oL4llert.s cornpucts dp N (resp. iqTj, vPr(jiunt les conditions suiwntes :

(i) le produit c/i = .J,-~J,qrcJ~ est un groupe poi4r tout pi 3 0 ; (ii) la wprlsentution r,~r se prolonge pour tout ,i 3 0 en L4tle repr~smtutior~ r; de ,J, tri\-i&c sur

.I,: et .J,‘, et kg’gc4le ci r.41 sl4r .J,,, ; (iii) lu suite (.I,‘)+,, est c~roissunte et lJ7>,, .I,’ = IV, la suite ( .J,-);aCI est dtkroissante ; (iv) poL4r tout .r E J,++1, .I’ 4 ,I;‘, il existe 1411 sous-groupe jerml H,,,!. de .Ji- dmt le coty’ugur

3: PI H,,, 3: est un sous-,~roupe de -Ii n’uyunt ul4cl4n \vecteurJixe non nul duns la reprksentution ~ii. Aloes pour toute repre’serztution lime (T. V) de G, et pour tout % 3 0, 10 restriction de ?‘;T ir \,“a e.st

14n lzolnntnorplzisme injectif : V’s + I,$”

D&zorz,strution. - Les hypotheses restant veritiees par translation d’indices, il sufht de montrcr l’assertion pour (; = 0; on pose T (1 = 7. L’injectivite recherchee, c’est-a-dire l’egalite V’ pi l;(N) = (0). resulte d’un jeu de << pousse-pousse N sur les .I, , precisement de la proposition suivante. oti tktl et drt, sont des mesures de Haar sur N et N respectivement :

PROPOSITION 1. - Pour tout i > 0 et pol4r tout 11 E I”, on c4 /‘Pgalit& :

Admettons un instant cette proposition (elle sera demontree au paragraphe suivant) et achevons la demonstration du theoreme. Soit ‘~1 E l”, ‘YJ # 0. Alors .J,T contenu dans ,Jo agit trivialement sur 11 par

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CritPre d’injectivitb pour I’application de Jacquet

(ii), d’oti ,I:,,: T( rr)l!rI/t = 7’ # 0. Par recurrence sur i. la proposition implique alors I’ T( ~)r~l/, # (I .i pour tout i 3 0. Vu la condition (iii) et la definition de Ii(N). il s’ensuit clue 13 n’appartient pas h tr(lV), d’ou le theoreme.

2. Decomposition d’Iwahori et lemme de Jacquet

Le but de ce paragraphe est de demontrer la proposition I, les hypothi-scs et notations sont ccllcs

du theoreme I. Commencons par un lemmc fondamental, qui n’est autrc que la $nCrali\ation CILI

premier lemme de Jacquet (t*oir [.5]. 3.3.4).

Lkbtblt 2. - 077 suppose IES c0r2rfiti0r7.s (i), (ii) rt (iii) tkr fhiorPr77c I l~I;tYf&.s. Soi/ /’ 1117 r;/c;r77o7c

III’ 1”. Po1rr four i > 0, (II = ,J, _, 7r( .r)‘r!d:r PSt 1417 PlPt11rt7t LIP If-“.

nc;monstmtiot~. - Soit II). E .I,,1 : on a 7r(7~)7/r = ,j:I+ ~(71i./:ltl~‘)~(711)7’d.,.. Comme .I,, est

compact et normalise ,J,‘. il vient par changement de variable rr(,w)w -= 1’ + ~(./,)~(rr/ )c:t/.f.. .4insi. .I (’ F- I’,-, rr(.,.) W/X ect un optrateur d’entrelacement pour I’action de .I),[ sur I -. L’imagc pal’ WI

operateur de I -T, isotypique de type r-11 sous ,I,,!. est done contenue dans I!T’,“. D’autre part, cornme

13 est fix6 par .I,- c .I,, et par le noyau Hyl~ de r-11. et comme le produit ,J,- H l,.J,’ est un groupe

d’apres le lemme I. on peut &rite :

oti CT, > 0. CT2 > 0 sont des constantes dependant du choix des mesures de Haar sur les groupes a\:. :I;. :I/ et G. Ainsi, ~lr est fix6 par le groupe .I,- H.,i.J,A. d’oit le lemme.

Nous pouvons maintenant demontrer la proposition I. Soient (’ E 1-” et i 3 0 : pawns

r - vol(.ll+)~’ et (11 = ,I:, , - + T(X)&,. Puisque .I,+ C .7i”+l. I’expression B calculer \‘ecrit :

Comme w est fix& par .I,+ la fonction sur ,I,5I : I) +- T( II) 1’ .7, n(,~l~~‘!/‘~/)(~:,I!/ est invariante a droitc

par I,+ et il reste I = Cr,E,I,T, ,,,, + T(I) ,/I, ~(.r,~‘!/.~.),//rl~~~//.

Le terme en .I: = 1 dans cette somme est ‘vol(.l,-)w puisque 11: est fix6 par .Ti- (lemme 2). c’est-

h-dire le resultat voulu. II suftit done de montrer que les autres termes son1 nulu. Or on a pour tout sous-groupe ferme H de .I,- :

Si .I’ E ,J,“+l , .I‘ +! .I,‘, prenant H = FT;,,,.. le sous-groupe fourni par la condition (iv) du theoremc 1. on voit puisque (11 appartient a ITT (lemme 2) que I’integrale sur If est LIII vecteur de I ./ lixc pal

.I -‘H ,..I’. I’; il est done nul, d’oti la proposition.

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3. Exemple de type induit dans le groupe C&

Voici maintenant une application du thCor&ne 1 dans le cadre suivant : - Lc corps F est de caractkristique r&iduelle dif’fkente de 2 et 3: on note D son anneau d’entiers, d’idkal maximal !$3. - Le groupe G est un groupe de Chevalley de type G’ sur F, LUX base { (~./j} de son systkme de racines (1) est fixCe (ry est courte. /j longue). a+ est form6 des racines positives. On utilise les notations dc I?]. 6.1.3.b : pour tout (1. l cl), on dispose d’homomorphismca i,, de SL?( f+‘) dans (:. ,I:,,

et .I’~ ..,, de I+‘ dans (;, II,, de F” dans (: lels clue .I’,, (7~) = <,, ((I: ;‘)) et.,’ ,,c~ftl=<<,((;,, :‘)).

(( E I+‘; et //,,,(.I,) = <,, ((;I ,,,!, ))..‘. E F’*.

- Le sous-groupe AI est en.gendrC par < j(SLz(fi’)) et le tore d6ployC maximal de G: il a POLIO

centre ll,?,, + + (b.jo et (: f se prolonge en un isomorphisme c,~ de GL,( F) SLII- :I/. Deux sous-grapes paraboliques de (; exactement ont pour facteur de Levi Al : I’ = AIM et son opposC P = Al&‘, aver N = fl <,t+ -1 ,] Jo,, et x = fl,&<,>. -~(,,) .L,(F’).

On tixe des entiers 711 et II tels que 2 < rll < II ; la fonction 7 sur CT,, dkfinie par : (a) /q/r) = /:(-;I) = II, v[20 + :I) = 0, /:(-20 - /j) = 11,.

(b) o(~J) = [ 71 ‘j et o(-U) = II - [,///a] pour (I, E CT)+, (I # /j, (I # 2tu + /1. /-]

eat UJIIM\YJ. II dCcoule de I?], 6.4.9, ILK le sous-groupc A-,. de G engendrt par les .I’,, (!$3”(“) ), (I E (I,. poskde une dkcomposition d’lwahori par rapport h P, avec :

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