Vol. XVI, 1965 265

Cubiques topologiques h i dimension

A Monsieur le Professeur K ~ L S~VBEC~ER, pour son soixanti~me anniversaire, en t6moignage de ma haute estime

Par

GUY YALETTE

1. Introduction. Consid6rons une cubique X , sans point de rebroussement, du plan projectff r6el P2 (R). La famflle des droites de P2 (It) d~termine sur X une famille ~b de triples de points collin~aires (x, y, z), telle que z soit une fonction continue de x et y. Ne conservons de cette situation que la famille r et la topologie de X, en faisant done abstraction des points ext6rieurs ~ X. L 'obje t math6matique ainsi obtenu est Fun des plus simples exemples de cubiques topologiques.

De fagon g6n6ra]e, une cubique topologique X est un espace topologique structur~ par une famflle ~b de triples (x, y, z) de points de X, la partie ~5 de X 6rant invariante lorsqu'on permute les espaces facteurs et ~tant le graphe d'une application continue de X ~ dans X. Par analogie avec l 'exemple ci-dessus, on dit que y est un point d'in- flexion de X si (y, y, y) e ~5.

Dans cet article, nous eonsacrons d 'abord un paragraphe s des propri~t6s alg~briques, puis nous examinons bri~vement les cubiques topologiques dont l 'espace sous-jaeent est quelconque, prouvant en particulier que cet espace est topologiquement homog~ne. Au 4 , nous 6tudions les cubiques sur R ou sur 2 R, c'est-s celles ayant une ou deux composantes connexes hom~omorphes s la droite num6rique R. Au 5., nous traitons des cas analogues lorsque R est remplac6 par le cercle T. Enfin, nous r6solvons des probl~mes de plongement des eubiques ~tudi6es dans les espaces topologiques R 2 ou P2(R) munis d 'une structure de plan affin ou projeetff non n6cessairement desargu~sien.

Parmi les r~sultats de cette note, citons les deux suivants

1.1. Toute cubique sur R ou sur 2 It a exactement un point d'inflexion.

1.2. Toute cubique s~r T ok s~r 2 T a exactemznt trois points d'inflex~ou.

Ces r~sultats sont s rapprocher de ceux de JUEL [3] sur les courbes d'ordre 3 du plan projectif. Les d~monstrations de ees th6or~mes sont, par ailleurs, des cas partieuliers de celles utilis~es par HAUPT dans sa th~orie des ordres g~om6triques [2]. Si l 'on se borne s consid6rer des eubiques plong~es dans R 2 ou P2 (R), les th~or~mes mentionn6s ci-dessus ne sont donc pas originaux. Nous pensons cependant qu'il 6tait utile de les faire apparaitre dans une g~om~trie (dnterne~) des cubiques, plus abstraite peut-~tre, mais aussi plus g6n~rale.

266 G. VALETTE ARCH. MATH.

2. Cubiques g~n~ralis~es. Soit C u n ensemble muni d 'une loi de composit ion , pa r tou t d6finie. On dit que C est une cubique gdndralisde si les axiomes suivants sont satisfaits:

(C1) V x e C , V y e C , x , y - ~ y , x ;

(C2) V x e C , V y e C , ( x , y ) , x : y .

On en d~duit imm~diatement que les six ~galit~s

x , y ~ z , z , x - ~ y , y , z ~ x , y , x - - - - z , x , z - - - - y , z , y ~ x

sont ~quivalentes. Lorsqu'elles ont lieu, on t dit que les ~l~ments x, y et z sont collingaires.

On v~rifie aussi que, pour t ou t b e C, l 'applicat ion tb : C ----> C envoyan t x sur b * x est une permuta t ion involutive de C; on l 'appellera involution associde ~ b.

Pour t o u t x e C, l '~l~ment x * x est appelg le tangentiel de x; l 'application ] : C --> C d~finie par ] (x) ---- x , x est appel~e la tangentielle de C. On dit enfin qu 'un ~l~ment a de C est inflexionel s'il est ~gal s son tangentiel, donc si a * a ---- a.

Proposition 1. Les ~ldments fixes de l' involution assoeide d b sont les ~lgment8 de ]-1 (b).

E n effet, les relations t b ( x )= x et x e]- l (b) sont toutes deux gquivalentes s ~tant x * x = b.

E x e m p l e s . 1. I1 y a un type de cubique g~n~ralis~e ~ deux ~l~ments, la l o i , alors une loi de groupe.

2. Si, pour t ou t triple privil~gi~ (x, y, z) d ' u n syst~me de Steiner, on pose x * y = z, et pour tou t ~l~ment x, x �9 x = x, le syst~me devient une cubique g~n~ralis~e.

3. Soit G u n groupe ab~lien; on muni t G d 'une s tructure de cubique g~n~ralis~e en posant x , y ----- z si et seulement s ix -~ y -~ z ---- 0. I1 s 'ensuit que, pour tout cardinal n, il existe des cubiques g~n~ralisdes dont le cardinal est n.

Soit A une part ie de C. Si A est stable pour *, la loi induite p a r , dans A mun i t cette part ie d 'une s tructure de cubique g~n~ralis~e; on dit alors que A est une sous-eubique de C.

Soit E une relation d'~quivalence dans C. Si, pour t ou t x e C, et pour tou t y e C, la classe de x , y (suivant E) ne d~pend que de la classe de x et de la classe de y, E est compatible avec la loi et l 'ensemble quotient C/E, muni de la loi induite par *, est une cubique g~n~ralis~e; on dit alors que C/E est une eubique quotient de C.

Si C1 et C2 sont deux cubiques g~n~ralis~es, on peut munir l 'ensemble C1 • C2 de la l o i , d~finie par

(xl, x2) * (y~, y2) ---- (xl * y~, x2 * y2) ;

C1 • C2 est alors une cubique g~n~ralis~e appel~e cubique produit.

3. Cubiques topologiques. Soit X un espace topologique muni d 'une s tructure de cubique g~n~ralis~e; on dit que X est une cubique topologique si la loi de c o m p o s i t i o n , est une application continue de X • X dans X. Les ~l~ments inflexionels de X sont aussi appel~s points d'inflexion.

u Xu 1965 Cubiques topologiques ~ 1 dimension 267

La tangentielle ] e t les involutions ta sont ~videmment continues. De plus, comme ta 1 = ta, ta est un hom~omorphisme involutif; l 'ensemble de ces hom~omorphismes opbre transit ivement sur X puisque, pour tout x e X et tout y e X , tx.y permute x et y. Autrement dit:

Proposition 2. L'espace sous-jacent d'une cubique topologique est topologiquement homog~ne.

Corollaire. Les composantes connexes d'une cubique topologiques sont hom~omorphes entre elles.

Munissons l 'ensemble H des hom~omorphismes de X sur X de la topologie [aible, c'est-s de la topologie induite par la topologie produit de XX; un syst~me de g~n@rateurs de la topologie faible est form~ des ensembles

A (a, U) = (/ e H ; a e X , U ouvert de X , ] ( a ) e U) .

Proposition 3. L'application 0 : X ---> H appliquant x sur tz est un hom~omorphisme de X dans H.

P r e u v e . Tout d 'abord, 0 est une injection car l 'hypoth~se a =~ b implique suc- cessivement ta (X) ~= t b (X), ta 4= tb et 0 (a) ~= 0 (b). Ensuite, 0 est continue ear

O-l(A(a, U)) = (x; tx(a)e U} = (x; ta(x) e U )

qui est ouverte puisque ta est continue. Enfin, 0 transporte tout, ouvert V de X sur un ouvert de 0 (X) pour la topologie induite; cn effet,

O(V)--~ {tz; x e V} ~- {tx; ta(x)e ta(V)}

puisque ta est bijective; alors

O(V) --~ {tx; tx(a) e ta(V)} = A (a, ta(V) ) ~ O(X)

qui est un ouvert de 0 (X) puisque ta est ouverte.

Corollaire. Les involutions tx relatives aux points d'une composante connexe de X sont dans une m$me composante connsxe de H.

Proposition 4. Soit E la relation d'dquivalence dans X dont les classes sont les com- posantes connexes de X ; alors E est compatible avec la loi :~, de sorte que X / E est une cubique topologique totalement discontinue. Les points d'inflexion de X / E sont les composantes connexes de X qui sont des sous.cubiques.

P r e u v e . Soient A e t B deux eomposantes connexes de X; alors A * B e s t con- tenu dans une composante connexe, puisque connexe; E est done compatible avec l a loi *, d'ofi l 'on d~duit ais~ment les deux autres assertions.

Soit n u n entier positff et X un espace topologique connexe. On note n X un espace topologique ayant n composantes connexes hom~omorphes s X. D'apr~s la proposition 4, toute cubique topologique sur n X d~finit par passage au quotient une cubique topologique finie et totalement discontinue, done discrete et parfai tement d~finie par une cubique g~n6ralis6e finie.

268 G. VALETTE ARCH. MATH.

Invers6ment , si X est une cubique topologique connexe, il existe pour t ou t entier naturel n des cubiques topologiques sur n X (par exemple C • X, off C est une eubique

n 616ments, munie de ]a topologie discrete).

4. Cubiques topologiques sur R. Les cubiques topologiques sur R sont celles dont l 'espace topologique sous-jacent est la droite num6rique R. La topologie de t t est compatible avec deux structures d 'ordre sur R; o n dira qu 'un hom6omorphisme est croissant s'il conserve chacune de ces structures, d6croissant s'il les permute. Tout hom6omorphisme involut if de R est d6croissant et tou t hom6omorphisme d~croissant poss~de exactement un point fixe.

Proposition 5. La tangentielle / de route cubique topologique sur R e s t un homdo- morphisme ddcroissant de R sur lui-m$me. Si a est le point fixe de ], tout x e Rl{a } est situd entre a e t / ( / (x) ) .

P r eu v e. En premier lieu, / est une bijection car, si x e I t , / -1 (x) est r~duit s l 'unique point fixe de l ' involution tx; par suite / est un hom6omorphisme. Ensuite, soient x, y, z trois points collin6aires distincts, y 6tant entre x et z; puisque tx (y) ---- z, le point fixe ]-1@) de tx est entre y et z; de m 6 m e / - l ( z ) est entre x et y; d o n c / est d6croissant. Soit a l e point fixe d e / . S i x ~= a, on a x > a pour une des structures d 'ordre compatible avec 1s topologie de R; pour cette structure, on a, en tenant compte de la d6croissance de tx,

l (x) = tx (x) < tx (a) = ta (x) < ta (a) ---- a , et

/ (] (x)) = tf(z) (] (x)) > t/(x) (a) --: ta (/(x) ) > ta (ta (x)) = x ,

d'ofi la dernibre assertion.

Corollaire. Toute cubique topologique sur It poss~de exactement un point d'inflexion. S i A e t B sont les deux demi.droites /ermdes aboutissant au point d'inflexion, A . A = B et B . B = A .

Deux eubiques sur R ne sont en g6n6ral pas isomorphes. ~'6anmoins,

Proposition 6. Les cubiques topologiques sur R ont des tangentielles topologiquement dquivalentes.

Cela d6coule directement de la proposit ion 5 et du

Lemme. Soit / un homdomorphiame ddcroissant de R sur lui-m$me ayant a pour point fixe. Si tout x e R\{a} est situd entre a et / ( / (x) ), / eat topologiquement dquivalent l'homdomorphisme g de R sur R d~fini par g(x) = . - - 2x .

P r e u v e . I1 faut prouver l 'existence d ' un hom6omorphisme ~v tel que / o ~ -~ ~ o g. Soit b ~= a; pou[ un ordre convenable sur R, on a b < / ( / ( b ) ). Fixons-nous arbitraire- men t un hom6omorphisme ~v de [1,4[ sur [b,/(/(b) )[ et notons que pour t ou t point y e R\{0}, il y a exactement un x e [1,4[ et un n E Z tel que y ~ gn (x). Avec ces no- tations, posons ~v (y) ~ ]n (~v (x)) et ~v (0) = a. Comme g (y) ~ gn+l (x), on a

q~ (g (y) ) ----/n+l(~v(x)) =/ ( /n(~v(x) ) ) =/(q~(y))

Vol. XVI, 1965 Cubiques topologiques ~t 1 dimension 269

et q ( g ( 0 ) ) = q~(0)= / (~ (0 ) ) , de sorte que l 'application ~ satisfait ~ la relation voulue. On v6rifie alors que ~0 est bien un hom6omorPhisme.

Comme R e s t eonnexe, ce qui a 6t6 dit au 3. pour les cubiques topologiques sur n X est valable pour les cubiques topologiques s u r n It.

Occupons-nous plus spdcialement des cubiques topologiques sur 2 It.

Proposition 7. Toute cubique topologique sur 2 R poss$de une composante connexe R1 qui est une sous-cubique. Les restrictions ?t It1 et 1%2 de la tangentielle sont des homdo- morphismes sur R1.

P r e u v e . La premibre assertion d~coule de la proposition 4 et de l 'exemple 1 du 2., ainsi que le fair que la tangentielle / applique la cubique dans It1. La seconde assertion revient & prouver que / I It1 et / [ R2 sont des bijections: s ix e I t1 , / -1 (x) est form6 des points fixes de tx et il y e n a un dans chaque composante.

Proposition 8. Les cubiques topologiques sur 2 R ont des tangentielles topologiquement dquivalentes.

P r e u v e . Soient 2 It et 2 I t ' deux cubiques topologiques; d'apr~s la proposition 6, z

il existe un hom~omorphisme ~ r6alisant l '6quivalence des sous-cubiques R1 et R1; p

on 6tend q K 1{2 en d6finissant .q (x) comme 6rant l'616ment de Re dont le tangentiel est ~ (/(x) ).

5. Cubiques topologiques sur T. Dans ee paragraphe, nous identifions le cercle T et l 'espace quotient R/Z, repr~sentant ainsi les points de T par des nombres r~els modulo 1. Soit p un entier positif et g une application de T sur lui-m~me; nous dirons que g est p-uplement croissante (resp. p-uplement d4croissante) si g est un hom~o- morphisme local homotope & l 'application x -->px mod. 1 (resp. x --> -- p x rood. 1). Toute application p-uplement d~croissante poss~de exactement/9 ~- 1 points fixes.

Lemme. Pour tout ~ldment x d'une cubique topologique sur T, l'involution associde 5 x a exactement deux points fixes qui varient contin~ment avec x.

P r e u v e. Soit A 0 (resp. A 2) l 'ensemble des points x de T d~ t eminan t une involution tx sans point fixe (resp. ayant deux points fixes) ; alors A0 (~ A2 - - 0 et A0 u A2 ---- T. Comme Tes t connexe et A2 non vide, il suffit, pour prouver que A2 est T, de montrer que A0 et A2 sont ouverts, ou encore que O(Ao) et 0(A2) sont ouverts dans 0(T), d'apr~s la proposition 3. Or 0 (A0) ---- 0 (T) c3 H + et 0 (A~) = 0 (T) ~ H - off H + et H - sont f o m g s des homdomorphismes respectivement croissants ou d~croissants de T sur T; le lemme r~sulte alors de ee que H + et H - sont ouverts dans H et de ce que les points fixes d 'une involution varient continfiment avee cette involution.

Proposition 9. La tangentielle ] de toute cubique topologique sur T est une application doublement dgcroissante.

P r e u v e. Tout d 'abord, ]es t un hom~omorphisme local de T sur lui-m6me, sans quoi les points fixes de tx ne varieraient pas continfiment avec x. Le lemme implique alors

270 G. VA~ws ~ac~. M~rm

que ] est doublement eroissante on doublement d~croissante. Soit a un point quel- eonque de T, bl et b2 les points fixes de l'involution ta, supposes distincts de a. Lorsque x tend ve r sa en croissant, pour une orientation d~termin~e de T, x . bl tend vers bl en d~croissant. Le point fixe de tz situ~ entre bl et x * bl tend donc vers bl en d~croissant, de sorte que / est d~croissante.

Corollaire. Toute cubique topologique sur T poss~de exactement trois points d'inflexion. S i A , B et C sont les trois segments ]erm~s que les points d'inflexion d~finissent sur T, on a

A * A = B w C , B * B - - - - C w A , C . C ~- A u B .

Proposition 10. Les cubiques topologiques sur T ont des tangentielles topologiquement dquivalentes.

Cela d~coule de la proposition 9 et du

Lemme. Toute application p-uplement ddcroissante / de T sur luim$me est topologique- ment dquivalente 5 l'application g : T --> T d~finie par g(x) : - - p x mod. 1.

P r e u v e . On va construire un hom~omorphisme ~ r~alisant l'gquivalence de / et g. D~finissons, par r~currence, ~ sur un ensemble partout dense de T. Tout d'abord, si a0, . . . , a~ sont les p ~- 1 points fixes de/ , on pose ~ (i/p ~ 1) ~- a~ (0 ~ i ~ p). Cela ~tant, supposons ~ d~finie pour routes les valeurs de la forme np-r ~-1) rood. 1, n ~tant un ~l~ment variable de N et k ~tant un nombre naturel fixe, de telle sorte que soit la restriction d 'un hom~omorphisme s cet ensemble de valeurs. AlorS cette m~me condition sera r~alis6e pour l'ensemble de valeurs np -k mod. 1 si l 'on d~finit qg((pn ~ - 1 ) p -~) comme ~tant le point x eontenu dans le segment [~(np-(k-1)), ~((n ~ 1)p-(~-l))] et tel que / (x) = q~(-- (pn ~ i)p-(~-l)) . L'ensemble U = = {np -k In e N,/c e N} ~tant dense sur T, espace s~par~, F est bien d~finie par sa restriction s U.

Comme Tes t eonnexe, ce qui a ~t~ dit au 3. pour les cubiques topologiques sur n X est valable pour les eubiques topologiques sur n T. De plus, pour n ~ 2:

Proposition 11. Toute cubique topologique sur 2 T poss&te une compocante connexe T1 qui est une sous-cubique. La restriction 5 T2 de la tangentielle est.un homdomorphisme local sur T1 dont le degrd est -4- 2.

P r e u v e . La premiere assertion est imm6diate. La seconde s'obtient en utilisant le

Lemme. Pour tout x ~ T1, l'involution t~ I T2 a exactement deux points fixes qui varient confinement avec x.

Celui-ci se d~montre eomme le lemme de la proposition 9.

Proposition 12. Les cubiques topologiques sur 2 T ont des tangentielles topologique- ment ~quivalentes.

P r e u v e . Soient 2 T et 2 T' deux cubiques topolgiques; d'apr~s la proposition 10, il existe un hom~omorphisme ~0 r~alisant l'~quivalence des sous-cubiques T1 et T~;

Vol. XYI, 1965 Cubiques topologiques ~ 1 dimension 271

on 6tend ~ s T2 en d~finissant ~0 (x) comme 6tant un des deux points de T~ dont le tangentiel est ~ (] (x)); il y a deux fa~ons de faire ce ehoix pour que ~0 soit un hom~o- morphisme.

6. Quelques plongements. Appelons plan quasi.affin sur R l'espace topologique R 2 muni de la structure consistant en une famille de courbes, appel~es quasi.droites, satisfaisant aux axiomes suivants:

(Q 1) Par deux points distincts passe exactement une quasi.droite.

(Q 2) Par un point extgrieur ~ une quasi-droite Q passe exactement une quasi-droite ne coupant pas Q.

Appelons plan quasi-projecti/sur R ]'espace topologique P2 (It) muni de la structure consistant en une famflle de cercles topologiques, appel~s quasi-droites, satisfaisant aux axiomes suivants:

(Q 3) Par deux points distincls passe exactement ude quasi.droite.

(Q 4) Deux quasi-droites distinctes ont exactement un point d'intersection.

Si des points (non n~cessairement distincts) d 'un plan quasi-affin ou quasi-projectif sont situ~s sur une m6me quasi-droite, on dira qu'ils sont quasi-align~s.

Soit X une cubique topologique et Y un plan quasi-affin ou quasi-projectff sur It; un bon plongement de X dans Y est un hom~omorphisme ~o de X dans Y satisfaisant l 'axiome

(B P) Trois points x, y, z de X sont collindaires si et seulement si ~p (x), ~0 (y) et ~p (z) sont quasi-alignds.

Nous allons voir que les cubiques topologiques sur It, sur 2 It, sur T et sur 2 T peuvent 6tre bien plong~es dans certains plans quasi-affins ou quasi-proiectffs. Plus pr6cis~ment:

Th~or~me 1. Pour toute cubique topologique X sur R ou sur 2 R, il existe un plan quasi-a/fin sur It dans lequeI X peut $tre bien plongde.

P r e u v e . Puisque toute cubique sur tt peut ~tre 6tendue en une cubique sur 2 It, on peut supposer d'embl~e que X est une eubique sur 2 R. Dans le plan affin Its, consid6rons la cubique C d~finie par l'~quation

(Xl) 3 - - 1 x2 -- 3 xl

On v6rifie ais6ment que les triples align~s de C munissent C d'une structure de cubique sur 2 R, la composante connexe du point d'inflexion 6rant form6e des points de C d'abscisse positive. D'apr~s la proposition 8, il existe un homfomorphisme 9 de X sur C transportant la tangentielle de X sur celle de C. Soit ~p l'hom6omorphisme de X dans R 2 ayant m6me graphe fonctionnel que 9. Nous allons munir R 2 d'une structure de plan quasi-affin pour laquelle ~ est un bon plongement. On d6finit les quasi- droites de cette structure comme suit:

(a) Soient a, b, c trois points collin6aires de X dont deux au moins sont distincts, notes de telle fagon que Y)I (a) ~ ~pl (b) ~ ~pl (c), off ~vi (x) d~signe l'absicsse de ~ (x).

272 G. VALETTE ARCH. MATH.

Si D est la droite d~finie par ~v (a) et ~v (c), on d~finit une quasi-droite Q coincidant avec D pour xl ~ YJl (a) et pour xl ~ ~Vl (c), et form~e, entre ~v (a) et ~v (c), de la r~union des deux segments reetilignes ~v(a), ~(b) et ~v(b), ~v(c).

(b) Toute droite de R 2 coupant C en exactement un point est par d~finition une quasi-droite.

Les quasi-droites d~finies en (a) et telles que a ~ -b ou b ~ c sont des droites tangentes ~ C d'apr~s la d~finition de % ce qui prouve l 'axiome (BP) dans ce cas. Pour a * b * c, les quasi-droites ne coupent pas C ailleurs qu'en ~v (a), ~v (b) et ~v (c); en effet, ~v(a) et yJ(b) (toujours situ~s sur ]a mSme composante connexe de C) sont s~par~s par un point fixe de tcet, si ~1 (a) > 0, ~ (b) et ~v (c) sont s~par~s par un point fixe de ta, ee qui prouve I 'axiome (BP) pour la famflle de quasi-droites. Les m~mes remarques et la eontinuit~ de la l o i , entrainent finalement la validit6 des axiomes (Q 1) et (Q 2), ce qui termine la d~monstration.

Th~or~me 2. Pour route cubique tolgologique X sur T ou sur 2 T, il existe un plan quasi-projecti] sur R dans lequel X Ioeut ~tre bien plong~e.

P r e u v e. On suppose d'embl~e que X est une eubique sur 2 T, T1 ~tant la composante eonnexe des trois points d'inflexion, T2 l 'autre composante. Ensuite, on note C la eubique d'~quation x2 : • V(xl)~ - - x l du plan projectif P2 (R), ~0 un hom~omophisme de X sur C t ransportant ]a tangentielle de X sur celle de C (proposition 12) et ~v l 'hom~omorphisme de X dans P2 (R) ayant m~me graphe fonctionnel que ~. On munit alors P2 (R) d'une structure de plan quasi-projectif pour laquelle ~v est un bon plongement, par les d~finitions suivantes:

(a) Soient a, b, c trois points eollin~aires de T1 dont deux au moins sont distinets, notes de telle fagon que ~v2(a) ~ ~v2(b) ~ ~v2(c). Si D est la droite d~finie par ~v(a) et ~v(c), on d~finit une quasi-droite Q coincidant avec D pour x2 ~ ~v2(a) et pour x2 > ~v2 (c), et form~e, entre ~v (a) et ~v (c), de la r~union des deux segments reetflignes ~v(a), ~v(b) et y~(b), ~v(c).

(b) Soient a et b deux points de T2; ils sont s~par~s par les points fixes p e t q de l ' involution ta.b, et on peut supposer que a est ext~rieur au triangle d~fini par les points a . b,/~ et q. Si D et la droite d~finie par v2(a) et ~v(a * b), on d~finit une quasi- droite Q coincidant avec D & l'ext~rieur du segment ~v (a), ~v (a * b) et formge, entre ces points, de la r~union des deux segments rectilignes ~0 (a), ~v (b) et ~v (b), v 2 ( a . b).

(e) Toute droite de P2 (It) coupant C en exactement un point est par d~finition une quasi-droite.

On termine cette preuve en v~rifiant la validit~ des axiomes (Q 3), (Q 4) et (BP), le point essentiel ~tant, ici aussi, le ehoix de l 'hom~omorphisme y~.

Bibliographie

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Eingegangen am 20. 3. 1964

Anschrfft des Autors: Guy Valette Institu~ de iYlath6matique Universit~ Libre de Bruxelles Bruxelles, Belgique

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