Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 3

Daniel Alibert – Cours et Exercices corrigés – volume 3 1

Daniel ALIBERT

Topologie élémentaire. Suites. Fonctions d'une variable réelle. Limites.

Objectifs : Connaître les notions topologiques de base, et leurs propriétés élémentaires : ouvert, fermé, adhérence, point isolé. Savoir chercher si une suite réelle a une limite, et éventuellement la valeur de celle-ci, en particulier dans le cas de suites récurrentes. Pour certaines suites récurrentes, savoir expliciter l'expression du terme général en fonction de n. Prévoir certaines propriétés de la limite, comme son signe. Savoir chercher si une fonction d'une variable réelle a une limite en un point à distance finie, ou à l'infini. Utiliser les suites dans la recherche de limite pour une application. Formuler les résultats concernant les limites dans le langage topologique. Pour ces calculs de limites, savoir utiliser, et quand utiliser, les techniques suivantes : fonctions équivalentes, fonction négligeable devant une autre.


Organisation, mode d'emploi

Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu, dans son format comme dans son contenu, en vue d'un usage pratique simple. Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l'assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d'enseignement auprès de ces étudiants, et de l'observation des difficultés qu'ils rencontrent dans l'abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu'ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu'ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes.


L'ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants. Ce livre comporte quatre parties. La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu'aux connaissances qu'un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l'énoncé correspondant. L'autre moitié est formée d'énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d'autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d'explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d'exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes : (☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question, (�) lorsqu'une méthode plus générale est décrite, (�) renvoie à une entrée du lexique. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie 3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée.


La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique. Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l'étudiant en mathématiques. Ce n'est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l'éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension. Le lecteur est invité, à propos de chacun d'entre eux, à s'interroger sur ce qu'il a de général (on l'y aide par quelques commentaires).


Table des matières

1 A Savoir .......................................................................... 1-1 Topologie élémentaire de R ........................ 7 1-2 Suites de nombres réels ................................ 9 1-3 Limite d'une fonction, continuité ............... 13 1-4 Comparaison de fonctions .......................... 17

2 Pour Voir 2-1 Topologie élémentaire de R ...................... 20 2-2 Suites de nombres réels .............................. 28 2-3 Limite d'une fonction, continuité ............... 41 2-4 Comparaison de fonctions .......................... 47

3 Pour Comprendre et Utiliser .......................................... 3-1 Énoncés des exercices ................................ 52 3-2 Corrigés des exercices ................................ 68 3-3 Corrigés des questions complémentaires . 121

4 Pour Chercher ................................................................. 4-1 Indications pour les exercices .................. 132 4-2 Méthodes .................................................. 138 4-3 Lexique ..................................................... 142



1� A Savoir

Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.

1-1 Topologie élémentaire de R

Définition

On appelle partie ouverte de R toute réunion d'intervalles ouverts de R. On dit encore qu'une telle partie est "un ouvert".

Proposition

1) L'intersection de deux parties ouvertes est une partie ouverte. 2) L'union d'un nombre quelconque de parties ouvertes est une partie ouverte.

Définition

Soit A une partie de R. Un point a de R est dit adhérent à A si tout intervalle ouvert centré en a (c'est-à-dire de la forme ]a- h ; a + h[, h réel positif non nul) contient au moins un élément de A. L'ensemble des points adhérents à A est appelé l'adhérence de A. Tous les éléments de A sont, bien entendu, adhérents à A. Il peut y en avoir d'autres.


Définition

On appelle partie fermée de R toute partie dont le complémentaire est une partie ouverte. On dit encore qu'une telle partie est "un fermé". L'ensemble vide et l'ensemble R sont des parties à la fois ouvertes et fermées. Ces deux propriétés ne sont donc pas contradictoires. Toutefois, ce sont les seules parties de R ayant cette propriété. Certaines parties ne sont ni ouvertes ni fermées.

Proposition

1) L'union de deux parties fermées est une partie fermée. 2) L'intersection d'un nombre quelconque de parties fermées est une partie fermée.

Proposition

1) L'adhérence d'une partie de R est une partie fermée. 2) L'adhérence d'une partie fermée de R est égale à cette partie.

Définition

Soit A une partie de R. Un point a de A est dit isolé dans A si il existe un intervalle ouvert centré en a (c'est-à-dire de la forme ]a – h ; a + h[, h réel positif non nul) ne contenant qu'un élément de A, c'est-à-dire a.


1-2 Suites de nombres réels

Définition

On appelle suite de nombres réels toute application du type : u : N → R.

Par extension de cette notion, on appellera encore suite une application d'une section finissante [a , →[ de N dans R. On dira dans ce cas que la suite est définie pour n supérieur ou égal à a. Pour un entier n0 donné, u(n0), généralement noté plutôt un0, est le terme de rang n0.

On utilise souvent la notation suivante pour désigner une suite u : (un) n∈N,

on dit que u est la suite de terme général un.

L'ensemble F(N,R) des suites réelles a une structure de groupe (et même d'espace vectoriel). De plus on pose, pour des suites u et v,

(uv)(n) = u(n)v(n). Il est immédiat de vérifier que pour ces opérations l'ensemble des suites de nombres réels est un anneau commutatif : l'élément neutre de l'addition est la suite constante de valeur 0, et celui de la multiplication est la suite constante de valeur 1.

Définition

Soit u une suite, on appelle suite extraite de u toute suite de la forme v = u o f, l'application f étant une application strictement croissante de N dans N.


Définition

Soit u une suite, et b un réel. On dit que la suite u de nombres réels est convergente et a pour limite b si pour tout nombre réel ε > 0 il existe un entier N tel que l'implication suivante soit vraie :

si n ≥ N alors on a l'inégalité b – ε < un < b + ε.

Si u converge et a pour limite b on dit également que u tend vers b lorsque n tend vers l'infini. De manière plus formelle, on écrira (en sous-entendant, par abus de langage, que ε est réel, et N entier) :

∀ ε > 0 , ∃ N tel que si n ≥ N alors |un – b| < ε,

ou encore : ∀ ε > 0, ∃ N, n ∈ [N , + ∞[ ⇒ |un – b| < ε.

On constate que la limite d'une suite convergente est un point adhérent à l'ensemble des valeurs de la suite. Une suite qui ne converge pas est appelée une suite divergente. Parmi les suites divergentes, on distingue celles qui tendent vers l'infini. On dit qu'une suite u tend vers + ∞ si la condition suivante est vérifiée :

∀ A, ∃ N tel que si n ∈ [N , + ∞ [, alors un > A.

De même, u tend vers – ∞ si la condition suivante est vérifiée : ∀ A, ∃ N tel que si n ∈ [N , + ∞ [, alors un < A.

Proposition

Soit u une suite convergente. Elle admet une limite unique. Cette proposition justifie la notation b = lim (u).


Proposition

Soit u une suite convergente, de limite b. Alors toute suite extraite de u est également convergente de limite b.

Proposition

Toute suite convergente est bornée.

Proposition

Soient u et v des suites convergentes, alors u + v et uv sont convergentes, et de plus :

lim(u + v) = lim(u) + lim(v), lim(uv) = lim(u)lim(v).

Si la limite de u n'est pas nulle, alors la suite de terme général 1

un est

définie pour n assez grand, elle est convergente et sa limite est 1

lim(u).

Théorème

Soit u une suite réelle croissante. 1) Si u est majorée, elle est convergente, et sa limite est sup(un).

2) Si u n'est pas majorée, alors elle tend vers + ∞. On a un résultat analogue pour une suite décroissante et minorée.


Proposition

1) Soient u et v des suites convergentes, telles que u ≤ v. Alors on a l'inégalité suivante :

lim(u) ≤ lim(v). 2) Soient u, v, w des suites, telles que :

v ≤ u ≤ w. Si v et w convergent et ont la même limite, alors u converge et sa limite est celle de v et w.

Définition

Soient (xn) et (yn) deux suites. On dit que ces suites sont adjacentes lorsque les conditions suivantes sont vérifiées : 1) pour tout n, et tout m, xn ≤ ym ;

2) pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que pour n ≥ N on a : |yn – xn| < ε.

En particulier, x et y sont adjacentes si les hypothèses suivantes sont vérifiées : 1) (xn) est croissante et (yn) est décroissante.

2) pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que pour n ≥ N on a : |yn – xn| < ε.

Théorème

Soient (xn) et (yn) deux suites adjacentes. Alors (xn) et (yn) convergent et ont la même limite.

Théorème

Soit u une suite bornée de R. Il existe une suite extraite de u qui converge.


Proposition

Soit A une partie de R. 1) Si une suite (un) d'éléments de A est convergente, sa limite est un élément de l'adhérence de A. 2) Réciproquement soit a un élément de l'adhérence de A. Il existe une suite d'éléments de A qui converge vers a.

Corollaire

L'adhérence de Q dans R est R.

1-3 Limite d'une fonction, continuité

Définition

Soit A une partie de R et : f : A → R

une application de A dans R. Soient x0 un point de l'adhérence de A, et y0 un point de R.

On dit que f(x) tend vers y0 quand x tend vers x0 dans A, si la condition suivante est vérifiée :

Pour tout réel ε > 0, il existe un réel α > 0 tel qu'on ait l'implication : x est un point de A et |x - x0| < α ⇒ |f(x) - y0| < ε.

On dit également que f(x) a pour limite y0 quand x tend vers x0 dans A, ou que f a pour limite y0 en x0 dans A, et on écrit souvent en résumé (en omettant A si le contexte est clair) :

y0 = limx→ x0

( f (x)).


Proposition

1) Si x0 est un point de A et si la limite de f en x0 existe, cette limite est f(x0). On dit que f est continue en x0.

2) La limite de f(x) quand x tend vers x0 dans A, si elle existe, est unique, et c'est un point adhérent à f(A).

Proposition

Soient A une partie de R et f une application de A dans R. Soient x0 un élément adhérent à A, (un) une suite de A de limite x0.

Si f(x) tend vers y0 quand x tend vers x0 dans A, alors f(un) tend vers y0.

Définition

Soit f : A →. R comme ci-dessus. On dit que f est continue sur A si f est continue en tout point de A.

Proposition

Soit A une partie de R, et f : A → A une application. On définit une suite, par récurrence, à partir de u0, par la relation :

un+1 = f(un).

Si la suite (un) est convergente, de limite L∈A, et si f est continue en L, alors L vérifie l'équation :

f(L) = L. Cette propriété très importante est souvent utilisée pour calculer des valeurs approchées des solutions de l'équation f(x) = x. On reviendra sur ces équations, et la question, fondamentale dans la pratique, de la rapidité de convergence de la suite, après avoir vu la notion de dérivée et le théorème des accroissements finis.


Proposition

Soient A et B des parties de R : f : A → R, et g : B → R

des applications telles que f(A) ⊂ B. Soient x0 un élément adhérent à A, y0 et z0 des éléments de R.

Si f(x) tend vers y0 quand x tend vers x0 dans A, et g(y) tend vers z0 quand y tend vers y0 dans B, alors (g o f)(x) tend vers z0 quand x tend vers x0 dans A.

Proposition

Soit ]a , b[ un intervalle de R et f : ]a , b[ → R une application monotone bornée. Alors f admet une limite en a et en b :

Si f est croissante, la limite en a est inf({f(x) | x ∈ ]a , b[}) et la limite en b est sup({f(x) | x ∈ ]a , b[}) (énoncé analogue si f décroissante).

Proposition

Soit A une partie de R et f, g des applications définies sur A, à valeurs dans R. Soit x0 un élément de R. Si f et g ont une limite en x0 alors f + g et fg aussi, et :

lim(f + g) = lim(f) + lim(g) ; lim(fg) = lim(f) lim(g).

Si, de plus, la limite de f en x0 n'est pas nulle, alors le quotient 1

f(x) est

défini pour |x – x0| assez petit, et admet pour limite en x0 le quotient 1

limx→x0

f(x).



1-4 Comparaison de fonctions

On cherche des modes de comparaison du comportement de fonctions en un point. Soit x0 un réel. On dit qu'une propriété est vérifiée sur un voisinage épointé de x0, s'il existe un intervalle ouvert centré en x0 :

]x0 – h , x0 + h[,

tel que la propriété soit vérifiée sur ]x0 – h , x0[ et sur ]x0 , x0 + h[ (mais pas nécessairement en x0).

Dans la suite, on suppose fixé le réel x0, (ou +∞, ou -∞), et on définit des relations permettant de comparer certaines fonctions définies sur un voisinage épointé de x0 : équivalence de fonctions, fonction négligeable devant une autre.

1-4-1 Fonctions équivalentes

Définition

Soient f et g deux applications définies sur un voisinage épointé de x0.

On dit que f est équivalente à g en x0, s'il existe une fonction ε, définie sur un voisinage épointé de x0, de limite 0 en x0, telle que, sur un voisinage épointé de x0 :

f(x) = g(x) (1 + ε(x)). Si f et g ne s'annulent pas sur un voisinage épointé de x0, il est équivalent

de dire qu'elles sont équivalentes si le quotient f (x)

g(x) tend vers 1 lorsque x

tend vers x0 en dehors de x0.

Cette relation est une relation d'équivalence. On la note souvent f ~x0

g.


On utilise les fonctions équivalentes dans l'étude des limites à l'aide de l'énoncé suivant.

Proposition

1) Si a est un réel non nul, et a désigne encore la fonction constante de valeur a, et si f ~

x0

a, alors f admet une limite en x0, égale à a.

2) Si f ~x0

g et si g a une limite, finie ou infinie, en x0, alors f a la même

limite. 3) Si f ~

x0

g, et h est définie sur un voisinage épointé de x0, alors :

f .h ~x0

g.h .

4) Si f ~x0

g, et h est définie sur un voisinage épointé de x0, alors :

f

h

~x0

g

h

.

Bien noter qu'on n'affirme rien en ce qui concerne la somme ou la différence de fonctions.

1-4-2 Fonction négligeable devant une autre

Définition

Soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage épointé de x0.

On dit que f est négligeable devant g en x0 s'il existe une fonction ε, définie sur un voisinage épointé de x0, de limite 0 en x0, telle que, sur un voisinage épointé de x0 :

f(x) = g(x) ε(x).


Si g ne s'annule pas sur un voisinage épointé de x0, il revient au même de dire que le quotient f(x)/g(x) tend vers 0 en x0.

Cette notion permet d'étudier des limites de fonctions, à partir de l'énoncé suivant.

Proposition

Soient f, g, h des fonctions définies sur un voisinage épointé d'un réel x0.

1) Si f est négligeable devant g, alors f + g est équivalent à g. 2) Si f est négligeable devant g et g négligeable devant h, alors f est négligeable devant h. 3) Si f est négligeable devant g et g équivalente à h, alors f est négligeable devant h. 4) Si f est équivalente à g et g négligeable devant h, alors f est négligeable devant h. 5) Si f est bornée, et g tend vers l'infini en x0, alors f est négligeable devant g.


2� Pour Voir

Dans cette partie, on présente des exemples simples des notions ou résultats abordés dans la partie précédente. Ils sont suivis de questions très élémentaires pour vérifier votre compréhension.

1-1 Topologie élémentaire de R

"On appelle partie ouverte de R toute réunion d'intervalles ouverts de R."

exemple 1

Le segment [0 , 1] n'est pas une partie ouverte de R. Supposons le contraire : il existerait des intervalles ouverts :

]ai – hi , ai + hi[,

dont la réunion serait [0 , 1]. En particulier, l'un d'entre eux au moins contiendrait 0 : Ce segment contiendrait donc des éléments négatifs, ce qui est contraire à l'hypothèse.

exemple 2

(à traiter)

Examiner de même si les ensembles suivant sont des parties ouvertes :

R, ]0 , +∞[, {x ∈ Q | x2 < 1}.

# réponse

Pour R, c'est vrai, par exemple : R =

]n , n + 2[

n ∈ZU .


Pour ]0 , +∞[, on procède de même : ]0 , +∞[ =

]n , n + 2[

n ∈NU .

Pour {x ∈ Q | x2 < 1} par contre ce n'est pas vrai. En effet, tout segment ouvert de R contient des rationnels et des irrationnels.

"1) L'intersection de deux parties ouvertes est une partie ouverte.

2) L'union d'un nombre quelconque de parties ouvertes est une partie ouverte."

exemple 3

Soit U = ]– 1 , 1[∪]2 , 4[, et V = ]– 2 , 0 [ ∪ ]3 , 5[. Ce sont des ouverts. L'intersection est ]– 1 , 0[ ∪ ]3 , 4[. C'est bien un ouvert.

exemple 4

(à traiter)

L'intersection d'une famille quelconque d'ouverts est-elle un ouvert ? Déterminer l'intersection de tous les segments ouverts :

] −1

n , 1+

1

n[.

# réponse

Il est clair que [0 , 1] est contenu dans chacun des segments ouverts, donc

dans l'intersection. Soit t < 0. Il existe n tel que t < −1

n, donc t n'est pas

dans le segment ]−1

n , 1+

1

n[, donc pas dans l'intersection.


Soit t > 1. Il existe n tel que t > 1+1

n, donc t n'est pas dans le segment ]

−1

n , 1+

1

n[, donc pas dans l'intersection.

Il en résulte que l'intersection est [0 , 1], qui n'est pas un ouvert.

"Soit A une partie de R. Un point a de R est dit adhérent à A si tout intervalle ouvert

centré en a (c'est-à-dire de la forme ]a – h ; a + h[, h réel positif non nul) contient au

moins un élément de A."

exemple 5

Si A = ]0 , 1], le point 0 est adhérent à A. En effet, un segment de la forme ]– h , h[ contient toujours des éléments de ]0 , 1].

exemple 6

(à traiter)

En examinant successivement les cas : x ∈ A, x < 0, x > 1,

déterminer tous les points adhérents à A= ]0 , 1].

# réponse

Il est d'abord évident qu'un point quelconque de A est adhérent à A : si x est dans A, le segment ]x – h , x + h[, qui contient x, contient un point de A. Si x < 0, on voit qu'en prenant h assez petit, par exemple h = (– x)/2, le segment ]x – h , x + h[ ne contient pas de point de A. Si x > 1 on conclut de même. Donc l'ensemble des points adhérents à ]0 , 1] est le segment [0 , 1].


"On appelle partie fermée de R toute partie dont le complémentaire est une partie

ouverte."

exemple 7

Chercher si une partie est fermée se fait donc souvent en étudiant son complémentaire. Soit A = [0 , 1]. On a vu que A n'est pas un ouvert (exemple 1). Cherchons si A est un fermé. Le complémentaire est l'union des deux intervalles ouverts :

]–∞ , 0[, et ]1 , +∞[ c'est donc un ouvert, et A est un fermé.

exemple 8

(à traiter)

Soit F l'ensemble :

F = {x ∈ R | x2 ≥ 3}. Vérifier que c'est bien un fermé. Peut-on dire de même pour :

F' = {x ∈ R | x2 > 3} ?

# réponse

Explicitons :

F = ]–∞ , − 3 ] ∪ [ 3 , +∞[. Le complémentaire est :

] − 3 , 3[ c'est bien un intervalle ouvert, donc un ouvert. Pour F', le complémentaire est :

[ − 3 , 3] et on montre, comme à l'exemple 1, que ce n'est pas un ouvert.


"1) L'union de deux parties fermées est une partie fermée.

2) L'intersection d'un nombre quelconque de parties fermées est une partie fermée."

exemple 9

L'union d'une infinité de fermés peut être une partie non fermée. Par exemple, posons :

Fn = 1

n , 1−

1

n

.

Soit O l'union des fermés Fn. On montre que O est l'intervalle ouvert ]0 , 1[. En effet, chaque Fn est une partie de ]0 , 1[, donc O ⊂ ]0 , 1[.

Réciproquement, si a est un élément de ]0 , 1[, il existe n (entier) tel que 1

n< a, et m (entier également) tel que

1m

< 1− a. Il suffit de prendre

p = max(m, n) pour s'assurer que a est un élément de Fp, donc de O.

Pour conclure, on remarque que le complémentaire de ]0 , 1[ est l'union des deux intervalles :

]–∞ , 0], [1 , +∞[. On démontre, comme à l'exemple 1, que ce n'est pas un ouvert.

exemple 10

(à traiter)

Quelle est l'intersection de tous les fermés In = −1

n ,

1

n

, n prenant

toutes les valeurs entières strictement positives ?

# réponse

On voit que 0 appartient à tous les ensembles In, donc à leur intersection. Soit a un réel non nul. Il existe un entier N tel que N |a| > 1 (R est


archimédien), donc a n'appartient pas à IN, donc n'appartient pas à l'intersection cherchée. On trouve donc :

−1

n ,

1

n

n>0

I = 0{ }.

"1) L'adhérence d'une partie de R est une partie fermée.

2) L'adhérence d'une partie fermée de R est égale à cette partie."

exemple 11

On a déterminé ci-dessus l'adhérence de l'intervalle ]0 , 1], c'est l'intervalle fermé [0 , 1]. Cet intervalle fermé est également l'adhérence des intervalles :

]0 , 1[, [0 , 1[, [0 , 1]

exemple 12

(à traiter)

Soit E l'ensemble des réels dont l'écriture décimale a les caractéristiques suivantes :

la partie entière est 2, les deux premières décimales sont égales à 0.

Démontrer que l'adhérence de E est le fermé [2 , 2,01].

# réponse

On voit que E est l'intervalle [2 , 2,01[, d'où son adhérence.

exemple 13

L'adhérence de N est N car cette partie est fermée.


En effet, le complémentaire de N est la réunion infinie des intervalles ouverts ]– ∞ , 0[, ]0 , 1[, …, ]n , n + 1[ …, c'est donc bien un ouvert.

exemple 14

(à traiter)

Inversement, si on peut prouver que l'adhérence d'une partie A de R contient au moins un point n'appartenant pas à A, on déduira que A n'est pas une partie fermée. Examiner par cette méthode si l'ensemble :

A =x

x +1 x réel, x≥ 0

est fermé.

# réponse

Sur le graphe de la fonction x → x

x +1, pour x ≥ 0, l'ensemble A est la

projection de ce graphe sur l'axe des ordonnées. On y voit bien que le réel 1 semble proche de A. Est-il adhérent à A, est-il un point de A ?

Le réel 1 n'est pas un point de A, puisque l'équation x

x +1= 1 n'a pas de

solution. Soit h un réel strictement positif. Montrons qu'il existe un élément de A dans ]1 – h , 1 + h[. C'est évident si h > 1, il suffit de prendre 0. Supposons donc h ≤ 1 et montrons par exemple que l'équation :

x

x +1= 1−

h

2

a une solution. Cette équation équivaut à :


xh

2= 1−

h

2

d'où :

x =2

h−1

qui est bien positif puisque h ≤ 1. Il en résulte que 1 est adhérent à A, et n'appartient pas à A. L'ensemble A n'est pas fermé.

"Soit A une partie de R . Un point a de A est dit isolé dans A si il existe un intervalle

ouvert centré en a (c'est-à-dire de la forme ]a – h , a + h[, h réel positif non nul) ne

contenant qu'un élément de A, c'est-à-dire a."

exemple 15

Notons S l'ensemble : 1

2n n entier naturel

.

Le point 1 est isolé dans S, puisque l'intervalle ouvert 3

4 ,

5

4

, centré en

1, ne contient aucun autre réel de la forme 1

2n . On voit facilement

d'ailleurs que cet ensemble n'a que des points isolés.

exemple 16

(à traiter)

On peut prendre, plus généralement :

A = [α , β] ∪ {γ}, γ ∉ [α , β], par contre pour :

A' = ]α' , β'[∪{ γ'}, γ' ∉ ]α' , β'[,


il n'est pas certain que γ' soit isolé dans A'. Expliquez ces deux affirmations. Essayez de généraliser en donnant une condition pour qu'un point x soit isolé dans un ensemble de la forme :

T ∪ {x} si x ∉ T.

# réponse

Le premier intervalle considéré est fermé, alors que le second est ouvert. Si γ ∉ [α , β], il appartient au complémentaire de [α , β], qui est ouvert, donc il existe un intervalle ouvert centré en γ qui est contenu dans ce complémentaire, donc ne contient aucun élément de [α , β]. Le point γ est bien isolé dans A.

Par contre il ne suffit pas de supposer γ'∉ ]α' , β'[, car il pourrait être égal à α' ou à β', et ne pas être isolé. Il faut supposer γ' ∉ [α' , β']. Pour la généralisation, on voit qu'il suffit de supposer T fermé pour pouvoir utiliser l'argument relatif à A.

1-2 Suites de nombres réels

"On appelle suite de nombres réels toute application du type u : N → R."

exemple 17

1- Une suite peut être définie par une formule donnant le terme général telle que :

vn = sin(n).

2- 0n peut également définir une suite par récurrence à un terme : u0 est donné, un+1 est défini en fonction de un par un+1 = f(un).

La suite est bien définie, puisque un est l'image de u0 par l'application composée f o f o … o f (n facteurs).


exemple 18

(à traiter)

Suite définie par une récurrence à deux termes. u0 et u1 sont donnés, un+2 est défini à l'aide de un et un+1, par exemple :

u0 = 1, u1 = a (a un réel donné), un+2 = un+1 + un.

Exprimer en fonction de a les premiers termes de la suite.

# réponse

On obtient immédiatement : u0 = 1, u1 = a, u2 = a + 1,

u3 = 2a + 1, u4 = 3a + 2,

u5 = 5a + 3 …

"Soit u une suite, on appelle suite extraite de u toute suite de la forme v = u o f ,

l'application f étant une application strictement croissante de N dans N."

exemple 19

Deux exemples très souvent rencontrés : f(n) = 2n, g(n) = 2n +1. Ces applications déterminent les suites extraites des "termes de rang pair" et des "termes de rang impair", respectivement. Les termes d'une suite extraite sont certains des termes de la suite considérée, ceux dont les rangs sont sélectionnés par l'application f. Par exemple :

un =2n + (1+ (−1)n)n2

n2 +1.

Suite extraite des termes de rang pair : (–1)n = 1, donc :

vn = u2n =4n+ 2 2n( )2

2n( )2 +1.


Suite extraite des termes de rang impair : (–1)n = –1, donc :

wn = u2n+1 =2 2n +1( )

2n+1( )2 +1.

exemple 20

(à traiter)

On définit une suite w par :

wn = n(−1)n

. Pour quelles valeurs de n cette suite est-elle définie ? On pourra écrire les cinq premiers termes des suites extraites des termes de rang pair et des termes de rang impair, puis le terme général de ces deux suites extraites. Que pensez-vous de la convergence de ces suites extraites ?

# réponse

La suite est définie pour n pair quelconque puisque si n = 2m (m entier) : w2m = 2m,

(car (– 1)2m = 1). Si n est impair, n = 2m + 1 :

w2m+1 =1

2m +1,

(car (– 1)2m+1 = – 1). Comme le nombre 2m + 1 n'est jamais nul, les termes de rang impair sont également toujours définis. Les premiers termes de la suite extraite des termes de rang pair sont :

0, 2, 4, 6, 8, … Pour ceux de la suite extraite des termes de rang impair :

1, 1

3,

1

5,

1

7,

1

9, …


La première tend vers l'infini, l'autre vers 0.

"Soit u une suite, et b un réel. On dit que la suite u de nombres réels est convergente et

a pour limite b si pour tout nombre réel ε > 0 il existe un entier N tel que l'implication suivante soit vraie : si n ≥ N alors on a l'inégalité b - ε < un < b + ε."

exemple 21

Si b est "connu", c'est-à-dire conjecturé à la suite d'une exploration numérique, ou graphique, par exemple, et un donné par une formule explicite assez simple en n, le problème de la preuve de la convergence de la suite vers b est un problème de résolution d'inéquations. Par exemple :

sn =n2 − n +1

n2 + n +1.

Numériquement, et graphiquement, on pense à une limite égale à 1.

A partir de cette conjecture, on calcule sn – 1, ou plutôt sa valeur absolue :

sn −1 = n2 − n +1

n2 + n +1−1= 2n

n2 + n +1.

Un réel positif quelconque, soit ε, étant donné, peut-on trouver un entier N à partir duquel l'inégalité suivante soit vérifiée :

2n

n2 + n+1< ε.

Il s'agit d'une inéquation du second degré, qu'on peut résoudre avec les méthodes usuelles :


n2 + n +1( )ε > 2n,

εn2 + (ε − 2)n + ε > 0.

Il est inutile de terminer les calculs : on sait qu'un trinôme du second degré est du signe de son coefficient dominant (ici ε) lorsque la variable est supérieure à la plus grande racine lorsqu'il y a des racines, ou quelle que soit la valeur de la variable lorsqu'il n'y a pas de racine. Dans les deux cas, l'inégalité est vraie pour une section finissante de N. Retenir de cet exemple que, malgré la simplicité de la suite, une utilisation directe de la définition de la convergence conduit à des calculs assez longs. De plus, il était assez facile de deviner la valeur de la limite, ici, ce qui n'est pas toujours le cas. En général, on ne pourra pas utiliser directement la définition pour démontrer qu'une suite est convergente, ou trouver sa limite. On passera par les énoncés qui s'en déduisent.

exemple 22

(à traiter)

Traiter directement l'exemple suivant :

un = (−1)n.

Démontrer que cette suite n'est pas convergente.

#réponse

On fait un raisonnement par l'absurde. Supposons cette suite convergente, de limite a. Soit par exemple ε = 0,4. Pour tout n assez grand, on doit avoir :

– 0,4 < un – a < 0,4

donc pour n pair : – 0,4 < 1 – a < 0,4


0,6 < a < 1,4 et pour n impair :

– 0,4 < –1 – a < 0,4 – 1,4 < a < – 0,6.

Les inégalités portant sur a sont contradictoires, donc a n'existe pas.

"La limite d'une suite convergente est un point adhérent à l'ensemble des valeurs de la

suite."

exemple 23

Bien noter que la limite n'est pas nécessairement une des valeurs prises par les termes de la suite, mais qu'elle en est "proche". Ainsi :

un =1−1

n,

prend ses valeurs, pour n ≥ 1, entre 0 et 1, strictement, puisque 1

n est

compris entre 0 et 1 strictement. Pourtant, il est clair que la limite de cette suite est 1, point adhérent à ]0 , 1[.

exemple 24

(à traiter)

On étudie la suite :

an =n − sin(n)

n + sin(n), n ≥ 1.

Sans chercher si elle converge ou non, expliquer pourquoi sa limite éventuelle appartient à [0 , 1].


# réponse

Le dénominateur est positif, pour tout n. Le numérateur est positif ou nul, puisqu'un sinus est au plus égal à 1. Donc an ≥ 0. Par ailleurs :

0 ≤ n – |sin(n)| ≤ n + |sin(n)|, donc an ≤ 1. Les valeurs sont prises dans [0 , 1], qui est identique à son adhérence.

"Une suite qui ne converge pas est appelée une suite divergente."

exemple 25

On a vu, à l'exemple 20, une suite divergente : elle possède deux suites extraites qui convergent, mais vers des limites différentes. Les valeurs de la suite ne se rassemblent pas autour d'un même réel limite.

exemple 26

(à traiter)

Reprendre l'exemple 20, et vérifier qu'il s'agit d'une suite divergente.

# réponse

On a vu que cette suite a les deux suites extraites suivantes. Si n est impair, n = 2m + 1 (m entier) :

w2m+1 =1

2m +1,

Pour n pair quelconque n = 2m (m entier) : w2m = 2m.

Les termes de cette dernière suite sont aussi grands qu'on veut, donc ne se rassemblent pas autour d'un réel, la suite est donc divergente. Plus formellement, on peut faire un raisonnement par l'absurde comme plus haut, et en déduire, d'abord que la seule limite possible est 0, en raison de la forme de la suite extraite des termes de rang impair, ensuite


que, comme la suite extraite des termes de rang pair ne tend pas vers 0, cette limite ne convient pas non plus.

"Parmi les suites divergentes, on distingue celles qui tendent vers l'infini."

exemple 27

C'est le cas de la suite définie par an = n, car R est archimédien (cf. volume 2). Par extension, on vérifie que les suites de terme général np, où p est un entier naturel supérieur ou égal à 1 fixé, tendent vers l'infini.

exemple 28

(à traiter)

Il n'est pas toujours nécessaire de connaître l'expression du terme général d'une suite pour montrer qu'elle tend vers l'infini. Soit v la suite définie par récurrence par :

v0 = 1, v1 = 1, et si n ≥ 2, vn = vn – 1 + vn – 2.

Vérifier que pour tout n, vn ≥ n. Conclure qu'elle tend vers l'infini.

# réponse

Cette relation se prouve par récurrence : v0 ≥ 0, v1 ≥ 1, et si vn – 2 ≥ n – 2, vn – 1 ≥ n – 1,

vn = vn – 1 + vn – 2 ≥ n – 2 + n – 1 = 2n – 3,

donc vn ≥ n si 2n – 3 ≥ n soit n ≥ 3,

quant à n = 2, v2 = 2 ≥ 2.


"Soit u une suite convergente, de limite b. Alors toute suite extraite de u est également

convergente de limite b."

Cet énoncé sert souvent, dans la pratique, à montrer de manière rapide qu'une suite n'est pas convergente. Il sert également dans divers raisonnements théoriques importants, comme vous avez pu le voir dans votre cours.

exemple 29

Si une suite a deux suites extraites convergentes, de limites différentes, elle est divergente : reprendre le cas de l'exemple 20. Autre cas :

un = sin2n

3π

.

La suite extraite des termes de rang multiple de 3, n = 3m (m entier) est stationnaire de valeur 0, donc convergente de limite 0. La suite extraite des termes dont le rang est de la forme n = 3m + 1 (m entier) est stationnaire de valeur – 0,5, donc convergente de limite – 0,5. Il en résulte que la suite u diverge.

exemple 30

(à traiter)

Si une suite a une suite extraite divergente, par exemple tendant vers l'infini, elle diverge. On a vu un cas ci-dessus, exemple 20. Examiner la suite suivante :

wn = 2sin2n

3π

+1

Ln(n +1).


# réponse

Si n n'est pas multiple de 3, wn = 0, si n = 3m, w3m = Ln(3m). Cette suite extraite tend vers l'infini, donc w diverge.

"Soit u une suite réelle croissante.

1) Si u est majorée, elle est convergente, et sa limite est sup(un). 2) Si u n'est pas

majorée, alors elle tend vers +∞."

Cet énoncé est utilisé dans de nombreux raisonnements théoriques, mais également dans la pratique de l'étude de la convergence d'une suite. Remarquer qu'il ne donne pas la valeur de la limite, la détermination de la borne supérieure étant souvent difficile. Au contraire, il sera utile dans la recherche d'une borne supérieure.

exemple 31

Soit la suite s définie par récurrence par :

s0 =π4

, sn+1 = sin(sn).

Elle est bornée, par –1 et 1. Elle est décroissante, comme on le voit par récurrence : 0 < s1 < s0 < π/2, donc sin(s1) < sin(s0), soit s2 < s1. Plus généralement, on sait que si x ∈ [0 , π/2], alors sin(x) ≤ x, et sin(x) est également dans [0 , π/2]. Etant décroissante et bornée (minorée, ici), elle est convergente. La limite est un élément de [0 , 1]. On sait que la limite vérifie L = sin(L), c'est donc 0.


"Soient u, v, w des suites, telles que : v ≤ u ≤ w. Si v et w convergent et ont la même

limite, alors u converge et sa limite est celle de v et w."

Enoncé souvent utilisé pour prouver la convergence d'une suite à partir d'un encadrement.

exemple 32

La suite de terme général : n + sin(n)

n+1,

est comprise entre les suites ayant pour terme général 1, et n −1

n +1

respectivement, puisque sin(n) est compris entre 1 et – 1. Ces deux suites sont plus simples, et convergent vers 1, donc la suite considérée converge vers 1.

exemple 33

(à traiter)

Démontrer de cette manière que la suite de terme général : n − e−n

n + e−n ,

est convergente.

# réponse

On peut utiliser l'encadrement suivant de e-n : 0 < e-n ≤ 1.

Pour majorer un quotient, on peut majorer le numérateur et minorer le dénominateur, donc :

n − e−n

n + e−n <n

n=1,


et de même :

n −1

n +1<

n − e−n

n + e−n ,

donc cette suite converge et a pour limite 1.

"Soient (xn) et (yn) deux suites. On dit que ces suites sont adjacentes lorsque les

conditions suivantes sont vérifiées :

1) Pour tout n, et tout m, xn ≤ ym

2) Pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que pour n ≥ N on a :

|yn – xn| < ε."

exemple 34

On a vu (volume 2) qu'on associe à un réel son développement décimal à l'ordre n : Développement décimal d'un réel, à l'ordre n. Pour tout réel a, et tout entier n, il existe un unique rationnel Dn tel que :

10nDn est entier, et Dn ≤ a < Dn + 10–n ,

ce nombre rationnel est appelé le développement décimal à l'ordre n de a.

Soit a un réel ; les suites de termes généraux Dn et Dn + 10–n sont adjacentes. Leur limite commune est précisément le nombre réel a. C'est une façon de démontrer que l'adhérence de Q est R.

exemple 35

(à traiter)

Soit u la suite définie par :

un =1

n,

et v la suite définie par récurrence pour n ≥ 1, par v1 = 1, et si n ≥ 2 :


vn = vn−1 + (−1)n−1un−1. Calculer v2, v3.

Montrer que les suites extraites des termes de rang pair et de rang impair respectivement sont adjacentes.

# réponse

On calcule facilement :

v2 = 1−1

2=

1

2, v3 =

1

2+

1

3=

5

6…

Chacune des suites extraites est monotone, par exemple :

v2m = v2m−1 −1

2m−1= v2m−2 +

1

2m−

1

2m−1= v2m−2 −

1

2m(2m−1).

Donc la suite des termes de rang pair est décroissante ; de même, celle des termes de rang impair est croissante. De plus :

v2m − v2m+1 =1

2m,

donc cette différence tend vers 0. On conclut que ces suites extraites sont convergentes de même limite. Il en résulte que la suite v est convergente.


1-3 Limite d'une fonction, continuité

"Soit A une partie de R et f : A --. R une application de A dans R. Soient x0 un point de

l'adhérence de A, et y0 un point de R. On dit que f(x) tend vers y0 quand x tend vers

x0 dans A, si la condition suivante est vérifiée : Pour tout réel ε > 0, il existe un réel α >

0 tel qu'on ait l'implication : {x est un point de A et |x – x0| < α} ⇒ {|f(x) – y0| < ε}."

exemple 36

L'application f est : x → E(x),

(où E(x) désigne la partie entière du réel x), de A = ]1 , 4] dans R. Si x0 = 1, la limite de f en 1 existe, c'est la limite "à droite", elle vaut 1.

En effet, il suffit de prendre α = 0,5 dans l'énoncé ci-dessus : x > 1 et x – 1 < 0,5 ⇒ E(x) – 1 < ε.

Cette relation est vraie quel que soit le nombre ε, puisque dans ces conditions E(x) = 1. Cette application a également une limite "à droite" en 2, (c'est-à-dire dans ]2 , 4]) qui vaut 2, et une limite "à gauche" en 2, (c'est-à-dire dans ]1 , 2[) qui vaut 1. Elle n'a pas de limite dans ]1 , 4] en 2 puisque les limites "à gauche" et "à droite" sont différentes.

exemple 37

(à traiter)

L'application g définie sur R par x → xE(x) a-t-elle une limite en 0 : � dans ]0 , +∞[ ? � dans ]–∞ , +∞[ ?


# réponse

La réponse est affirmative dans les deux cas et la limite est 0. En effet, dans le premier cas, xE(x) = 0 dans ]0 , 1[ donc la condition voulue est bien vérifiée, avec α = 1 pour tout ε. Dans le second cas, l'application g vaut 0 sur ]0 , 1[, et – x sur [–1 , 0], donc il suffit de prendre α = ε pour remplir la condition.

"Si x0 est un point de A et si la limite de f en x0 existe, cette limite est f(x0). On dit que

f est continue en x0."

exemple 38

On a vu ci-dessus (exemple 36) un exemple d'application non continue en 2.

exemple 39

Un autre cas de discontinuité, plus difficile à représenter, est celui de l'application définie par x → sin(1/x) si x ≠ 0, 0 → 0. On peut vérifier que 0 n'est pas limite de cette application en 0, et même qu'aucune limite n'existe en 0 (cf. exercice 13).

exemple 40

(à traiter)

L'application h définie sur R par h(x) = xsin(1/x) si x ≠ 0 et h(0) = 0, est-elle continue en 0 ?

# réponse

Cette application est bien continue en 0. Il suffit de vérifier que 0 est la limite de h en 0. Or, pour tout x ≠ 0, sin(1/x) est compris entre –1 et 1, donc :


xsin1

x ≤ x ,

et cette relation est encore vraie pour x = 0, bien entendu, elle est donc vraie pour tout x réel. On applique donc la définition de la limite avec pour tout ε réel positif, α = ε.

"La limite de f(x) quand x tend vers x0 dans A, si elle existe, est un point adhérent à

f(A)."

exemple 41

Dans l'exemple 24, comme sin(1/x) est compris entre –1 et 1, la limite éventuelle en 0, si elle existait, serait un élément de l'adhérence [–1 , 1] de l'ensemble des valeurs de l'application.

exemple 42

(à traiter)

Soit f une application de R dans ]1/2 , +∞[. On pose g(x) = f(x)2 – f(x) + 1. Démontrer que si g a une limite en un point de R, cette limite est inférieure ou égale à 3/4.

# réponse

Il suffit de vérifier (calcul classique) que le trinôme X2 – X + 1 a pour minimum 3/4, pour X = 1/2. L'application g prend donc ses valeurs dans ]3/4 , +∞[, donc ses limites dans l'adhérence de cet ensemble, soit :

[3/4 , +∞[.


"Soit f : A →. R. On dit que f est continue sur A si f est continue en tout point de A."

exemple 43

L'application considérée est :

x a

1

x,

de ]0 , +∞[ dans R. Elle est continue sur ]0 , +∞[. Le réel 0 n'appartient

pas à l'ensemble A = ]0 , +∞[, donc le fait que 1

x tend vers l'infini

lorsque x tend vers 0 n'empêche pas l'application d'être continue.

exemple 44

(à traiter)

L'application suivante est-elle continue sur [0 , +∞[ : x → x + log(x), si x ≠ 0, et 0 → 0

# réponse

En dehors de 0, l'application est continue (propriété du logarithme que nous admettrons). Il faut étudier le cas de 0. Or log(x) tend vers –∞ en 0, donc 0 n'est pas la limite de cette application en 0. Il n'y a pas de limite en 0. L'application n'est pas continue en 0.


"Soit A une partie de R, et f : A → A une application. On définit une suite, par récurrence, à partir de u0, par la relation :

un+1 = f(un).

Si la suite (un) est convergente, de limite L ∈ A, et si f est continue en L, alors L vérifie

l'équation f(L) = L."

exemple 45

On utilise ce résultat pour obtenir une suite convergente de limite égale à une des solutions d'une équation g(x) = 0. Par exemple :

x3 – x – 1 = 0, x3 = x + 1

x = x + 13 .

exemple 46

(à traiter)

Etudier l'équation : x = log(x + 3),

sur l'intervalle [0 , 2]. Vérifier, graphiquement, qu'elle a bien une unique solution, qu'on peut obtenir par le procédé précédent.

# réponse

On essaie un peu au hasard, ici, l'intervalle [0 , 5], il y a bien un point d'intersection, entre 1 et 2. Il reste à savoir si la suite est bien convergente. On disposera des moyens théoriques pour ça après avoir abordé l'étude globale des fonctions.


Numériquement : Il semble bien qu'il y a une limite vers 1,5052…


1-4 Comparaison de fonctions

"Soient f et g deux applications définies sur un voisinage épointé de x0. On dit que f est

équivalente à g en x0, s'il existe une fonction ε, définie sur un voisinage épointé de x0,

de limite 0 en x0, telle que, sur un voisinage épointé de x0 :

f(x) = g(x) (1 + ε(x)).

exemple 47

Exemples à connaître. Pour les fonctions dérivables, on obtient facilement des équivalents, si la dérivée en x0 n'est pas nulle ; on a :

f (x) − f (x0)

x − x0→ f ' (x 0),

donc f(x) – f(x0) est équivalent à (x –x0)f'(x0).

Les équivalences suivantes sont vraies en 0 : sin(x) ~ x

ln(1+ x) ~ x

(1+ x)n −1 ~ nx

ex −1~ x.

exemple 48

(à traiter)

On pose h(x) = x – x2ln(|x|). Trouver un équivalent de x en 0.

# réponse

On voit que h(x) ~ x, directement par calcul de la limite de h(x)/x.


exemple 49

Un équivalent de l'application x → sin(x)ex(1 + x)2 s'obtient par produit : sin(x) ~ x,

ex ~ 1, (1 + x)2 ~ 1,

donc l'application est équivalente à : x → x.

exemple 50

(à traiter)

L'expression (1 + x)2 – ex est-elle équivalente à x en 0 ?

# réponse

La réponse est affirmative. Pour le démontrer, nous pourrions avoir recours aux développements limités (voir volume 4). Le raisonnement suivant est faux :

(1 + x)2 ~ 1 + 2x ex ~ 1 + x

"donc", par soustraction membre à membre, (1 + x)2 – ex est équivalente à x en 0. On peut dire par un calcul direct :

1+ 2x + x2 − ex

x=

1− ex

x+ 2 + x,

et 1− ex

x tend vers – 1, puisque ex – 1 ~ x (calcul de dérivée), donc le

quotient ci-dessus tend vers – 1 + 2 + 0 soit 1.


"Soient f et g deux fonctions définies au voisinage de x0. On dit que f est négligeable

devant g en x0 s'il existe une fonction ε, définie au voisinage de x0, de limite 0 en x0,

telle que, au voisinage de x0 : f(x) = g(x) ε(x)."

exemple 51

On notera ici f << g (ou même f(x) << g(x)) la relation "f est négligeable devant g", le voisinage considéré étant précisé par ailleurs. Exemples de base, à connaître :

en +∞, log(x) << xα, pour tout α réel strictement positif.

en +∞, xα << xβ, si α < β. en +∞, xα << ex, pour tout réel α.

en 0, xα << 1

log( x ), pour tout réel α strictement positif.

en 0, xα << xβ, si α > β.

Les dessins suivants sont assez parlants, on y a représenté x2, x10 , x30. Seul le dernier graphe est visible, les autres ont des valeurs trop faibles pour apparaître.


exemple 52

(à traiter)

Démontrer que, en 0, log(1 + x) est négligeable devant 1

log( x ).

# réponse

Il suffit de remarquer que log(1 + x) est équivalent à x, qui est lui-même

négligeable devant 1

log( x ).

exemple 53

Cherchons un équivalent, en +∞, de l'application : x → log(x + x2) + x2 + ex.

� log(x + x2) = log(x2) + log(1 + 1/x) ~ log(x2) car log(1 + 1/x) tend vers 0 alors que log(x2) tend vers l'infini.


� log(x2) est négligeable devant x2, qui est négligeable devant ex, donc log(x2) est négligeable devant ex. Donc log(x + x2), qui lui est équivalent, est aussi négligeable devant ex. � La somme de deux fonctions négligeables devant ex est également négligeable devant ex. Il en résulte que l'expression ci-dessus est équivalente à ex.

exemple 54

(à traiter)

Chercher un équivalent en 0 de l'expression :

sin(x2) + log(1 + x) – 1

log( x ).

# réponse

� sin(x2) ~ x2. � log(1 + x) ~ x. � x2 << x. � Donc sin(x2) << log(1 + x).

� De même, x << 1

log( x ).

� Donc log(1 + x) << 1

log( x ).

Le même argument que dans l'exemple précédent permet de conclure que

l'expression est équivalente à 1

log( x ) en 0.

En particulier, il n'y a pas d'équivalent de la forme xα, α > 0.


☺ indications pour résoudre - � méthode - � lexique

3� Pour Comprendre et Utiliser

3-1 Énoncés des exercices

Connaître les notions topologiques de base, et leurs propriétés élémentaires : ouvert, fermé, adhérence, point isolé.

exercice 1

Ouverts. Fermés. 1) Démontrer qu'une partie U de R est un ouvert si et seulement si pour tout point de U, il existe un intervalle ouvert, centré en ce point, contenu dans U (☺) (�). 2) Conjecture : soit F une partie de R, F est un fermé si et seulement si pour tout point de F, il n'existe aucun intervalle ouvert centré en ce point et contenu dans F (☺) (�). 3) Conjecture : soit F une partie de R, F est un fermé si et seulement si il existe un point de F tel que il n'existe aucun intervalle ouvert centré en ce point et contenu dans F (☺). 4) Conjecture : soit F une partie de R, F est un fermé si et seulement si pour tout point n'appartenant pas à F, il existe un intervalle ouvert centré en ce point, qui ne contient aucun point de F (☺). 5) Existe-t-il des parties ouvertes ayant un seul élément, un nombre fini d'éléments ? Traiter la question analogue pour une partie fermée (☺).



6) Soit U un ouvert, et F un fermé. Soit A = U ∩ F leur intersection. Examiner si A est toujours un ouvert, toujours un fermé, dans certains cas un ouvert, dans certains cas un fermé, jamais un ouvert ni un fermé (☺). 7) Un ouvert est-il toujours un intervalle ? Et un fermé ? (☺).

exercice 2

Adhérence. 1) Soit A un ensemble fini. Quelle est son adhérence (☺) (�)? 2) Soit A une partie de R, et a un point adhérent à A. Conjecture : tout intervalle ouvert centré en a contient un point de A autre que a (☺). 3) Soit I une partie non vide de R, majorée. Démontrer que sup(I) est un point adhérent à I (☺) (�). Que peut-on en déduire sur la borne supérieure d'un ensemble fermé non vide majoré ? 4) Soit a un réel et I une partie de ]a , +∞[. Démontrer que l'adhérence de I est une partie de [a , +∞[ (☺) (�). 5) Soit U une partie non vide de R. On suppose U bornée. Démontrer que l'adhérence de U est encore une partie bornée. Comparer les bornes supérieures et inférieures de U et de son adhérence (☺) (�). Conjecture : les points adhérents à U qui n'appartiennent pas à U sont des majorants ou des minorants de U. 6) Soit A un ensemble, et a un réel. On suppose l'ensemble A ∪ {a} fermé. Donner un exemple de cette situation où A est fermé, et un exemple où A n'est pas fermé. Conjecture : si A n'est pas fermé, alors son adhérence est A ∪ {a} (☺). 7) Soit I une partie bornée de R. On note J son adhérence.



Conjecture : I est un intervalle ouvert si et seulement s’il y a exactement deux réels qui appartiennent à J mais pas à I (☺).

exercice 3

Points isolés. 1) Démontrer que dans un ensemble fini, tout point est isolé (☺). La réciproque est-elle vraie : si dans un ensemble de réels, tout point est isolé, alors cet ensemble est-il fini ? 2) Soit A une partie non vide de R et a le seul point de A isolé dans A. Soit B le complémentaire de {a} dans A. Conjecture : il n'existe pas de point isolé dans B (☺). 3) Soient A et B des ensembles non vides de réels. On suppose que le réel a (resp. b) est un point isolé dans A (resp. dans B).

Est-il vrai que a et b sont des points isolés dans A ∪ B (☺) ?

Savoir chercher si une suite réelle a une limite, et éventuellement la valeur de celle-ci, en particulier dans le cas de suites récurrentes. Pour certaines suites récurrentes, savoir expliciter l'expression du terme général en fonction de n. Prévoir certaines propriétés de la limite, comme son signe.

exercice 4

Soit u une suite réelle. 1) On suppose que u ne prend qu'un nombre fini de valeurs (c'est-à-dire que les différentes valeurs prises par les termes un sont en nombre fini).

Donner un exemple d'une telle suite. Montrer que si u est convergente, alors elle est stationnaire (�) (☺) (�). Que peut-on dire d'une suite bornée d'entiers ? (☺).



2) On suppose maintenant que u ne prend que des valeurs entières. Donner un exemple d'une telle suite. Montrer que si u est convergente, alors elle est stationnaire (�). Que peut-on dire d'une suite strictement croissante d'entiers ? 3) Soit A l'ensemble des valeurs prises par u : A = u*(N).

3-1 On suppose que chaque point de A est isolé (�), c'est-à-dire que pour tout a de A, il existe un ouvert contenant a, et ne contenant aucun autre élément de l'ensemble A. Vérifier que cette hypothèse est vraie dans les deux premières questions. Si u est convergente, est-elle stationnaire ? (☺). 3-2 Supposons de plus que u est convergente et que sa limite est un élément de A. Vérifier que cette hypothèse est vraie dans les cas des questions 1 et 2. La suite est-elle stationnaire ? (☺) (�).

exercice 5

Utilisation des suites extraites : convergence. 1) On a vu que si une suite v converge, de limite b réel, alors toute suite extraite de v converge vers b. Démontrer que si la suite extraite des termes de v de rang pair, soit (v2n), et la suite extraite des termes de v de rang impair, soit (v2n+1), convergent vers la même limite, alors v converge vers cette limite (☺) (�). 2) Conjecture (�) : si deux suites extraites d'une même suite convergent vers la même limite, alors la suite converge également vers cette limite (☺). 3) On suppose maintenant que les suites extraites (v2n) et (v2n+1) sont toutes deux convergentes. La suite (vn) est-elle convergente ? (☺). Et si, de plus, la suite extraite (v5n) converge également ? (☺) (�).

4) Soit v une suite quelconque. On note B l'ensemble de ses valeurs.



Soit w une suite extraite de v, wn = vφ(n), où φ est une application de N dans N strictement croissante. 4-1 Démontrer que si w converge, sa limite est un point adhérent à B (☺) (�). 4-2 Réciproquement, soit b un point adhérent à B (�), non isolé (�). Montrer que b est limite d'une suite extraite de v (☺) (�).

exercice 6

Utilisation des suites extraites : divergence (�). 1) Soit u une suite réelle non convergente. Citer un cas où il existe une suite extraite de u convergente (☺). 2) On suppose que la suite u tend vers +∞. Existe-t-il une suite extraite de u convergente ? (☺) (�). 3) On suppose que la suite u n'est pas majorée. Est-elle convergente ? (�). Démontrer qu'il existe une suite extraite de u qui tend vers +∞ (☺) (�). Construire explicitement une telle suite extraite si u est définie par :

un = sin(nπ/2)log(n).

4) Soit u une suite réelle. On suppose que u a une suite extraite non bornée. La suite u peut-elle être convergente ?

exercice 7

Suites récurrentes à deux pas (�) : cas linéaire. On décrit ici les suites définies par la donnée de deux réels, a, b, et de la valeur des deux premiers termes, u0, et u1, et par la relation :

n ≥ 0, un+2 = a.un+1 + b.un.

L'explicitation du terme général, et la convergence de la suite, sont les deux questions qui nous intéresseront ici. Il est clair que la suite nulle vérifie cette relation. On suppose dans la suite de l'énoncé que u n'est pas la suite nulle.



1) On suppose d'abord a = b = 1 (suites de Fibonacci). 1-1 Calculer les premiers termes de la suite u (☺), en prenant comme conditions initiales (�) les couples suivants pour (u0, u1) :

(1, 0), (0, 1), (1, –1), (–1, 1). Que peut-on conjecturer, à partir de ces essais, ou d'autres que vous aurez faits, pour la convergence de la suite. 1-2 On cherche si, par un choix adapté des conditions initiales (�), il se peut que la suite u soit une suite géométrique (�) non nulle. On rappelle que cela signifie qu'il existe un réel s, tel que pour tout n, un = sn. Démontrer que s peut prendre deux valeurs, qui sont les solutions de l'équation (☺): X2 – X – 1 = 0. Calculer ces deux réels, soient s' et s" (s' < s"). Les suites correspondantes sont-elles convergentes, divergentes ? Faire le calcul indiqué en 1-1 en prenant comme conditions initiales (�) (1, s'). Qu'observez-vous ? 1-3 On admettra que toute suite de Fibonacci est une combinaison linéaire des suites géométriques déterminées ci-dessus, c'est-à-dire s'écrit :

un = α.(s')n + β.(s")n,

où α, et β, sont des réels choisis pour vérifier les conditions initiales : u0 = α + β, u1 = α.s' + β.s".

Ecrire par exemple la forme du terme général des suites de Fibonacci déterminées par les conditions initiales proposées en 1-1. Quelles sont les suites de Fibonacci convergentes ? 2) Dans le cas général, en vous inspirant de la démarche précédente, déterminer le terme général d'une suite récurrente linéaire à deux pas en fonction des conditions initiales (☺).



3) On dit que deux suites u et v sont liées par une relation de récurrence linéaire s'il existe des réels a, b, c, d, tels que les égalités suivantes soient vérifiées pour tout n :

un+1 = aun + bvn,

vn+1 = cun + dvn.

Démontrer qu'une telle relation de récurrence est équivalente à une relation de récurrence à deux pas portant sur la suite u (ou la suite v). Exemple. Trouver la forme générale des suites liées par les relations :

un+1 = 2un + vn ,

vn+1 = −un − vn.

exercice 8

Suites récurrentes à un pas (�), c'est-à-dire de la forme : un+1 = f(un).

On étudie dans cet exercice, par étapes successives, les suites récurrentes homographiques (�). Pour ces suites, le problème de déterminer explicitement la forme du terme général en fonction des données et des termes initiaux est souvent aussi important, voire plus important que le calcul de la limite éventuelle. 1) Cas linéaire (suites géométriques (�)). On définit une suite par la donnée du premier terme, soit u0, et d'un réel a, appelé la raison, et par la relation :

n ≥ 0, un+1 = a.un.

Déterminer l'expression du terme général, et discuter, selon les valeurs de a et de u0, la convergence de cette suite (☺) (�).

2) Cas d'une translation (suites arithmétiques (�)). On définit une suite par la donnée du premier terme, soit u0, et d'un réel b, appelé la raison, et par la relation :



n ≥ 0, un+1 = b + un.

Déterminer l'expression du terme général, et discuter, selon les valeurs de b et de u0, la convergence de cette suite (☺) (�).

3) Cas affine. On définit une suite par la donnée du premier terme, soit u0, et de deux réels a, et b, et par la relation :

n ≥ 0, un+1 = a.un + b.

Déterminer l'expression du terme général (☺), et discuter, selon les valeurs de a, b, et de u0, la convergence de cette suite (�).

4) Cas homographique. On définit une suite par la donnée du premier terme, soit u0, et de quatre réels a, b, c, d, et par la relation :

n ≥ 0, un+1 =aun + b

cun + d.

Démontrer que cette donnée est équivalente à celle de deux suites v et w liées par une relation de récurrence linéaire (☺) (cf. exercice précédent),

telles que pour tout n, un =vn

wn.

Etudier le cas particulier suivant, en précisant, si nécessaire, quelles sont les valeurs initiales (u0) pour lesquelles la suite est bien définie, ainsi que sa convergence en fonction du choix de u0 :

n ≥ 0, un+1 =2un

un +1.



exercice 9

Suites récurrentes à un pas (�), c'est-à-dire de la forme : un+1 = f(un).

On étudie dans cet exercice le cas où f, application d'un intervalle I dans lui-même, est monotone sur I. 1) Supposons f croissante. Démontrer que si u0 ≤ u1, alors u est croissante (☺) (�).

Que se passe-t-il si u0 ≥ u1 ?

2) Supposons f décroissante. 2-1 Si u0 ≥ u1, peut-on conclure que u est décroissante ?

2-2 Vérifier que les suites extraites des termes de rang pair, et impair, respectivement, sont monotones. On remarquera que f o f est croissante (☺). 2-3 On suppose vérifiée l'inégalité :

u1 ≤ u3 ≤ u2 ≤ u0.

Démontrer que les deux suites extraites sont convergentes (�). Que peut-on dire de leurs limites ? Supposons de plus que la différence u2n – u2n+1 tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Démontrer que la suite u converge (☺)

exercice 10

Aperçu des propriétés de la suite récurrente à un pas (�) définie par la donnée de u0 dans [0 , a], et par la relation :

un+1 = un (a – un), a étant un paramètre réel de l'intervalle ]0 , 4[.

Préliminaires : � Vérifier que pour tout n, un est un élément de [0 , a].

� Calculer le maximum M(a) de f en fonction de a. Soit a1 la valeur maximale de a vérifiant la relation M(a) ≤ a/2. Calculer a1.



1) Exploration graphique et numérique. Pour des valeurs successives de a, par exemple a = 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, calculer les premiers termes de la suite, et, si vous disposez d'un moyen de tracer, représenter son évolution. On fera également varier la valeur de u0 entre 0 et a.

De cette exploration, essayer de tirer une description de l'évolution de la suite, du point de vue de la convergence ou de la divergence. 2) Pour x réel, on pose f(x) = x(a – x), et g(x) = f(x) – x. Pour quelles valeurs de a la fonction g est-elle négative sur [0 , a] (☺) ? Soit a0 la plus grande valeur de a ayant cette propriété.

Pour a dans [0 , a0], démontrer que la suite u est décroissante. En déduire qu'elle est convergente. Quelle est sa limite ? 3) Pour a dans ]a0 , a1], démontrer que u est monotone à partir du rang 1 (☺). En déduire qu'elle est convergente. Quelle est sa limite ? 4) Déterminer la valeur de a pour laquelle le graphe de f coupe la droite d'équation y = x en un point où la tangente est de pente –1. Décrire qualitativement, d'après la question 1, en quoi cette valeur de a sépare deux comportements différents de la suite u.

exercice 11

Suites et limites. 1) On appelle suite alternée une suite u telle que pour tout n :

un.un+1 ≤ 0.

On suppose que u est une suite alternée convergente. Quelle est sa limite ? (☺). 2) On représente une suite v dans le plan par son graphe fonctionnel : le rang n est en abscisse, la valeur vn est en ordonnée.

On suppose que v est convergente de limite λ. Soit α un réel. On dessine une bande horizontale B(α) dans le plan, située entre les droites



d'équations y = λ + α, et y = λ – α. Démontrer que tous les points du graphe de v, sauf peut-être un nombre fini, sont à l'intérieur de cette bande, quel que soit le choix fait pour α. Démontrer que, pour α donné, l'ensemble suivant :

{n ∈ N | (n, vn) ∈ B(α)}

contient une section finissante (�) de N. Utiliser cette représentation pour justifier le résultat suivant, énoncé dans la partie "A Savoir" :

si λ ≠ 0, alors vn ≠ 0 pour n assez grand.

3) Soit w une suite. On suppose que le produit n.wn tend vers 1. Démontrer que w a pour limite 0 (☺). Que peut-on dire si n.wn tend vers 0 ? (☺).

4) Une suite s est positive (sn > 0 pour tout n), et de limite 0. Peut-elle être croissante ? Est-elle nécessairement décroissante ? Démontrer que s a une suite extraite décroissante. 5) Une suite x ne tend pas vers l'infini. Conjecture : la suite x est majorée (☺) (�). 6) Une suite y est convergente. On suppose qu'elle ne prend jamais la valeur de sa limite, soit β. Conjecture : la suite y prend une infinité de valeurs distinctes.



Savoir chercher si une fonction d'une variable réelle a une limite en un point à distance finie, ou à l'infini. Utiliser les suites dans la recherche de limite pour une fonction.

exercice 12

Applications monotones. 1) Soit f une application de R dans R, monotone (☺). Montrer que pour tout réel a, f a une limite à gauche et une limite à droite en a. Que peut-on dire de ces limites ? On suppose de plus que l'image directe (�) f*(R)

est un intervalle de R. Démontrer que f est continue (☺) (�). 2) Soit g une application de R dans R. On suppose que pour tout x réel, g(x) ≥ 1. Conjecture : si la limite de g en +∞ est égale à 1, alors g est décroissante pour x assez grand (☺).

exercice 13

Utilisation de suites auxiliaires. 1) On note s l'application de R – {0} dans R définie par :

s(x) = sin(1/x).

Soit α un réel compris entre −π2

et π2

. On lui associe la suite réelle,

notée u(α), définie par :

u(α)n = 1

α + 2nπ, n > 0.

Etudier la limite de la suite s(u(α)n) quand n tend vers l'infini.

La fonction s a-t-elle une limite en 0 (☺)? 2) Soit f une application de R dans R, et a un réel. On suppose que pour toute suite réelle u de limite a, la suite v définie par vn = f(un) a pour limite f(a).



Démontrer que f est continue en a (☺) (�). 3) Soit g une application de R dans R, et L un réel. On suppose que pour toute suite w tendant vers +∞, la suite composée t définie par tn = g(wn) a pour limite L.

Conjecture : l'application g tend vers L en +∞ (☺) (�). 4) Soit f une application croissante d'un intervalle [a , b] dans R. On suppose qu'il existe une suite u de [a , b], de limite b, telle que la composée de f et u a pour limite f(b). Démontrer que f est continue à gauche en b (☺).

exercice 14

Passage à la limite. 1) Soient f et g des applications de R dans R. On suppose que pour tout entier naturel p non nul, on a l'égalité :

f1

p

= g1

p

.

Donner un exemple de cette situation où f(0) ≠ g(0). Quelle hypothèse supplémentaire, portant sur f et g, permet d'être sûr, dans cette situation, que f(0) et g(0) seront égaux ? 2) Soit I une partie de R, on note J son adhérence, et D un sous-ensemble de R contenant J. Soient f et g des applications continues de D dans R. On suppose que pour tout x de I, f(x) = g(x). Démontrer que pour tout x de J, on a encore f(x) = g(x) (prolongement des égalités) (☺). 3) Soit s une application continue de R dans R. Soit A une partie de R, dont on note l'adhérence B. Comparer s*(B) à l'adhérence de s*(A) (☺) (�).



En déduire que si s(x) est strictement positif pour tout x dans A, alors s(x) est positif ou nul pour tout x de B. En déduire que si u et t sont deux applications continues de R dans R, vérifiant :

u(x) > t(x), ∀ x ∈ A, alors elles vérifient :

u(x) ≥ t(x), ∀ x ∈ B.

exercice 15

Limites et topologie. 1) Soit g une application de R dans R. Soit a un réel. On suppose que g a une limite, égale à b, en a. Démontrer que quel que soit l'intervalle ouvert J centré en b, l'image réciproque (�) de J par g (notée ici g*(J)) contient un intervalle ouvert centré en a (☺). 2) Soit h une application continue de R dans R. Démontrer que l'image réciproque d'un ouvert par h est un ouvert. Formuler et examiner la réciproque (☺) (�). 3) Conjecture : soit f une application continue de R dans R. L'image directe par f d'un ouvert est un ouvert (☺). 4) Soit f une application croissante d'un intervalle [a , b] (a ≠ b) dans R. On suppose qu'il n'existe pas de point isolé dans f*([a , b]). Démontrer

que f est continue à droite ou à gauche en tout point (☺) (�).



Pour les calculs de limites, savoir utiliser, et quand utiliser, les techniques suivantes : fonctions équi-valentes, fonction négligeable devant une autre.

exercice 16

Equivalence et composition. 1) Soient f et g des applications équivalentes en a, les applications :

x → exp(f(x)) et x → exp(g(x)) sont-elles équivalentes (☺) (�)? Et dans le cas particulier où f et g ont pour limite 0 en a ? 2) Soient f et g des applications équivalentes en a, et à valeurs strictement positives, les applications :

x → log(f(x)) et x → log(g(x)) sont-elles équivalentes (�)? On supposera que f(x) et g(x) sont différents de 1 sur un voisinage épointé de a (☺). Examiner ensuite le cas particulier où f et g ont pour limite 0 en a, et le cas particulier où f et g ont pour limite +∞ en a.

exercice 17

Déterminer, si elles existent, les limites suivantes :

log(1+ x)

log(x)

x

, en +∞ . (☺)

x log(x+ 1+ x2 )

log(x2 + ex ), en +∞. (☺)

sin x2 + x( )− x

log 1+ x( )+1− ex , x tendant vers 0, x > 0. (☺)



exercice 18

Comparaison de fonctions. Dans cet exercice, les applications considérées sont définies sur un intervalle ouvert centré en x0 (☺). Examiner la conjecture suivante : Etant données deux applications, f et g, une des propriétés suivantes est toujours vérifiée :

• f est négligeable devant g, • g est négligeable devant f, • f est équivalente à g. • Il existe un réel k tel que f est équivalente à k.g. • Il existe des réels positifs non nuls a et b tels que les inégalités

suivantes sont vraies : a.|f(x)| ≤ |g(x)| ≤ b.|f(x)|.



3-2 Corrigés des exercices

exercice 1-C

1) Cette propriété est souvent prise comme définition d'un ouvert. Soit U un ouvert, et a un point de U. Comme U est réunion d'intervalle ouverts, il existe au moins un intervalle ouvert, soit ]α , β[, contenu dans U, et contenant a. Soit alors h = min(β – a, a – α). Il est clair que l'intervalle ]a – h , a + h[ est contenu dans ]α , β[, donc dans U. Réciproquement, supposons que dans un ensemble de réels, soit V, pour tout point, il existe un intervalle centré en ce point et contenu dans V. Pour chacun des points de V, choisissons un intervalle centré en ce point, contenu dans V. Il est clair que V est contenu dans la réunion de ces intervalles, puisque chaque point de V est dans l'un des intervalles au moins. Par ailleurs, comme chaque intervalle est contenu dans V, leur réunion est également contenue dans V. L'ensemble V est bien une réunion d'intervalles ouverts. 2) Soit F un fermé. A-t-il la propriété annoncée ? On voit facilement sur des exemples élémentaires que ce n'est pas toujours le cas :

F = [1 , 3], 2 ∈ F, 2 ∈]1 , 3[ ⊂ [1 , 3]. Sur cet exemple, on voit que pour 1 et 3, il n'existe effectivement pas d'intervalle ouvert centré au point contenu dans F. Cet énoncé est faux, donc la conjecture est fausse. (QC-1) Examiner l'énoncé réciproque : si, étant donné un ensemble F, pour tout point de F il n'existe aucun intervalle ouvert centré en ce point contenu dans F, alors F est un fermé.



3) Soit F un fermé. On voit que le contre-exemple utilisé pour l'énoncé précédent ne convient pas. Un autre exemple de fermé est l'ensemble R. Est-ce un contre-exemple ? On voit facilement que oui : pour tout point de R il existe un intervalle ouvert centré en ce point, et contenu dans R. Si on ne pense pas à R, que peut-on faire ? On peut essayer de transformer l'énoncé pour en obtenir un équivalent, plus abordable. Par exemple en écrivant la contraposée de :

F est un fermé ⇒ "il existe un point de F tel que : il n'existe aucun intervalle ouvert centré en ce point et contenu dans F".

C'est l'énoncé : "pour tout point de F, il existe un intervalle ouvert centré en ce point et

contenu dans F" ⇒ F n'est pas un fermé. Autrement dit :

F est un ouvert ⇒ F n'est pas un fermé. On sait que cet énoncé est faux, et que R est l'un de ses deux contre-exemples. L'énoncé étant faux, la conjecture est fausse. (QC-2) Ici encore examiner l'énoncé réciproque : Soit F une partie de R, dans laquelle existe un point tel qu'il n'existe aucun intervalle ouvert centré en ce point et contenu dans F. Alors F est un fermé. 4) On voit que cet énoncé porte sur les propriétés du complémentaire de F, que nous noterons V. Il s'écrit :

"F est un fermé si et seulement si pour tout point de V, il existe un intervalle ouvert centré en ce point contenu dans V".

C'est-à-dire : "F est un fermé si et seulement si V est un ouvert".



Cet énoncé est, bien entendu, vrai. 5) Soit U un ouvert. Si U n'a qu'un élément, cela signifie qu'il existe un intervalle ouvert contenant un seul élément, ce qui est faux : un intervalle ouvert ]a , b[ contient toujours une infinité d'éléments, par exemple tous

les réels de la forme pa+ qb

p + q, avec p et q des entiers strictement positifs :

a < b donc (p + q)a < pa + qb < (p + q)b. Pour une partie fermée, par contre, c'est possible :

{1} est une partie fermée, complémentaire de l'ouvert

]–∞ , 1[ ∪ ]1 , +∞[. 6) Il faut prendre des exemples :

U = ]– 1 , 2[, F = [0 , 1], A = [0 , 1], A est fermé ; U = ]– 1 , 2[, F = [– 2 , 3], A = ]– 1 , 2[, A est ouvert ;

U = ]– 1 , 2[, F = [– 2 , 1], A = ]– 1 , 1], A n'est pas ouvert, ni fermé. 7) C'est une idée fausse que l'on rencontre très fréquemment, surtout implicite dans les raisonnements des étudiants : bien entendu, un ouvert n'a aucune raison d'être un intervalle, un fermé non plus :

]–2 , 4[ ∪ ]5 , 7[ est un ouvert [2 , 8] ∪ [12 , 36] est un fermé.

(QC-3) Inversement, un intervalle est-il toujours un ouvert ou un fermé ?

exercice 2-C

1) Un ensemble fini est fermé : soit {a1, …, ak} un ensemble (on suppose que les éléments sont rangés dans l'ordre croissant) ; son complémentaire est la réunion d'intervalles ouverts :

]– ∞ , a1[ ∪ ]a1 , a2[ ∪… ∪ ]ak , + ∞[.



C'est donc un ouvert. L'adhérence d'un ensemble fini est cet ensemble. 2) Des exemples :

A = [0 , 1[, a = 1,

A = 1

n +1 n entier naturel

, a = 0,

A = [0 , 1], a = 1, A = {1, 2, 3}, a = 2.

Dans le premier et le second cas, l'énoncé est vrai, puisque a n'appartient pas à A. Dans le troisième cas, a appartient à A, et l'énoncé est vrai. Dans le dernier cas, l'énoncé est faux, puisque tout intervalle de largeur inférieure à 2 centré en 2 ne contient ni 1, ni 3. La conjecture est donc fausse. 3) Posons M = sup(I). Soit h un réel positif, comme M – h est inférieur à M, ce n'est pas un majorant de I, donc il existe un réel de I compris entre M – h et M, c'est-à-dire dans l'intervalle ]M – h , M + h[, ce qui montre que M est adhérent à I. Si I est fermé, tout point adhérent à I appartient à I, donc sup(I) est un élément de I : sup(I) est le plus grand élément de I. 4) Il suffit de montrer qu'un point de ]– ∞ , a[ n'est pas adhérent à I. Soit b un tel point, comme ]– ∞ , a[ est un ouvert, il existe un intervalle ouvert centré en b et contenu dans ]– ∞ , a[. Cet intervalle ouvert ne contient donc aucun point de I. Il en résulte que b n'est pas adhérent à I. (QC-1) Peut-on affirmer dans ce cas que l'adhérence de I est une partie de ]a , +∞[ ?



6) Si U est une partie bornée, il existe un intervalle ]α , β[, borné, contenant U. En procédant comme à la question précédente, on montre que l'adhérence de U est une partie de [α , β], donc est encore bornée. Comparons les bornes inférieures de U et de son adhérence, notée ici V. On pose a = inf(U), b = inf(V). On sait que U est une partie de V, donc b, qui est un minorant de V, est un minorant de U, donc b ≤ a. Supposons que b n'est pas égal à a, donc b < a. Il en résulte que a n'est pas un minorant de V, donc il existe un point de V, soit c, qui vérifie :

b ≤ c < a. Le point c est adhérent à U, donc l'intervalle ouvert :

c −a− c

2 , c+

a− c

2

contient au moins un élément de U, ce qui est contradictoire avec le fait que a est un minorant de U. On en déduit que :

b = a. On procèderait de même pour les bornes supérieures. On a vu que sup(U) et inf(U) sont des points adhérents, mais il peut exister des points adhérents qui ne sont ni des majorants ni des minorants de U :

si U = ]– 1 , 1[ ∪ ]2 , 3[ les points 1, 2, sont adhérents. (QC-2) Soit U une partie non vide bornée de R. Conjecture : le seul point adhérent qui est un majorant de U est sup(U). 6) Premier exemple :



A = [0 , 4], a = 2. Deuxième exemple :

A = [0 , 4[, a = 4. Premier point : l'adhérence de A contient A et est différente de A. Il y a au moins un réel n'appartenant pas à A et adhérent à A. Second point : comme A est contenu dans A ∪ {a}, qui est un fermé, l'adhérence de A est aussi contenue dans A ∪ {a}. Il suffit de remarquer que le complémentaire de A ∪ {a} est un ouvert, donc si un point x appartient à ce complémentaire, il existe au moins un intervalle ouvert centré en ce point x et contenu dans le complémentaire de A ∪ {a}. Cet intervalle ouvert ne contient donc pas de point de A. Le point x n'est pas adhérent à A. Il en résulte que l'adhérence de A est un ensemble contenant A, contenu dans A ∪ {a}, et différent de A. Ce ne peut être que A ∪ {a}. La conjecture est vraie. 7) Si I est un intervalle ouvert borné, soit ]a , b[, son adhérence est [a , b]. Il y a effectivement exactement deux points appartenant à I mais pas à J. Réciproquement, supposons qu'il existe exactement deux points appartenant à I mais pas à J. I est-il un intervalle ouvert ? Si I est en "un seul morceau", comme on le pense spontanément, c'est-à-dire est un intervalle, il est clair qu'il est ouvert. Dans les autres cas d'intervalle, il y aurait un point au plus dans J n'appartenant pas à I. Mais rien n'indique que I soit un intervalle :

I1 = ]– 3 , – 1] ∪ [2 , 4[,

J1 = [– 3 , – 1] ∪ [2 , 4] ;

I2 = [– 3 , – 1[ ∪ ]2 , 4],

J2 = [– 3 , – 1] ∪ [2 , 4].



exercice 3-C

1) Soit E ={x1, x2, …, xk} un ensemble fini, ayant k éléments. L'ensemble :

D = {|xi – xj| | i ≠ j, 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ k}

est également fini, donc il a un plus petit élément strictement positif, noté ici m. Pour tout i, i ∈ {1, 2, …, k}, l'intervalle ouvert centré en xi :

]x i - m , xi + m[

ne contient pas d'autre point de E. Les points de E sont donc tous isolés. La réciproque est fausse. Dans l'ensemble :

H =1

n n entier, n> 0

tous les points sont isolés. (QC-1) Dans cet exemple, existe-t-il, comme dans l'exemple précédent, une largeur d'intervalle m commune à tous les éléments de H ? 2) Soit I = ]a – h , a + h[ un intervalle ouvert centré en a, ne contenant pas d'autre point de A que a. L'intervalle I ne contient pas de point de B. Soit b un point de B. Par hypothèse, |b – a| ≥ h. Soit J un intervalle ouvert centré en b. Comme b n'est pas isolé dans A, cet intervalle J contient au moins un point de A. Si le seul point de A dans J est a, alors l'intervalle ]b – h , b + h[ est contenu dans J, et ne contient pas a, donc ne contient aucun point de a sauf b. On en conclurait que b est isolé dans A, ce qui est contraire aux hypothèses. Il en résulte que J contient au moins un autre point de A que a, c'est-à-dire au moins un point de B. Le point b n'est pas isolé dans B.



(QC-2) Peut-on généraliser sous la forme suivante : soit E un ensemble, et F le sous-ensemble des points de E isolés dans E. Soit C le complémentaire de F dans E. Il n'existe pas de point de C isolé dans C. 3) La réponse à la question est non, et un contre-exemple est :

A = [0 , 2] ∪ {3} (3 est isolé) B = [2 , 4] ∪ {1} (1 est isolé)

A ∪ B = [0 , 4] (pas de point isolé).

exercice 4-C

1) Un exemple simple est donné par la suite de terme général : un = π.(–1)n.

Mais, bien entendu, on peut donner des exemples de manière arbitraire, comme :

u0 = 0, u1 = π, u2 = – log(451), un = 0 si n ≥ 3.

Supposons u convergente, et soit a sa limite. Considérons l'ensemble : D = {|a – un| | n ≥ 0}

des valeurs absolues des différences entre a et les valeurs prises par la suite. Cet ensemble est fini par hypothèse, et formé de nombres positifs ou nuls. Soit t son plus petit élément. Il n'est pas possible que t soit strictement positif, en effet, a étant la limite, la différence |a – un| est inférieure à tout nombre positif fixé, pour n assez grand. Si ce nombre positif est t/2, on obtient une contradiction (raisonnement par l'absurde). Il en résulte que t = 0. Si D = {0}, la suite est constante à partir de n = 0, donc stationnaire. Si D ≠ {0}, soit ε le plus petit élément non nul de D. Il existe un rang N tel que si n ≥ N, alors |a – un| < ε. Il en résulte que pour n supérieur à N, a = un. La suite u est bien stationnaire.



Une suite bornée d'entiers ne prend qu'un nombre fini de valeurs, puisqu'un ensemble borné d'entiers est fini. Toutefois, cela n'entraine pas qu'elle soit convergente, comme le montre l'exemple :

vn = 0 si n est pair,

vn = 1 si n est impair.

2) Exemple, la suite w de terme général : wn = n.

On sait qu'une suite convergente est bornée. Par ailleurs, on a remarqué qu'une suite bornée d'entiers ne prend qu'un nombre fini de valeurs, d'où le résultat. Une suite strictement croissante d'entiers ne converge pas puisqu'elle n'est pas bornée. Elle tend donc vers +∞. 3) Dans le premier cas, A est fini, donc ses points sont isolés. Dans le second cas, A est une partie de N, dont les points sont isolés également. Cette propriété ne suffit pas cependant pour que la suite soit stationnaire ; considérons la suite p de terme général :

pn =1

n+ 1.

Cette suite est convergente (vers 0) et non stationnaire. Pour la suite p, l'ensemble A est formé de points isolés. En effet, choisissons un point,

soit 1

n +1. L'intervalle ouvert centré en ce point et de demi-longueur

1

n +1−

1

n + 2 ne contient pas d'autre point que

1

n +1.

(QC-1) Soit E l'ensemble des valeurs absolues des différences entre deux termes d'une suite, de valeurs différentes. On suppose inf(E) ≠ 0. Montrer que la suite est stationnaire si elle est convergente.



Dans les deux cas des premières questions, la limite est bien une valeur de la suite puisque celle-ci est stationnaire. Si la limite est un élément de A, soit a, soit r la demi-longueur d'un intervalle ouvert centré en a, ne contenant pas d'autre élément de A. Ce réel est positif, donc il existe un entier N tel que si n est supérieur à N alors :

|a – un| < r.

Il en résulte que si n est supérieur à N alors un = a. La suite est bien stationnaire sous ces hypothèses.

exercice 5-C

1) C'est un exercice formel simple, mais le résultat est utilisé souvent. Soit a la limite commune aux deux suites extraites. Soit ε un réel positif. Comme la suite (v2n) converge vers a, il existe un entier p tel que si r ≥ p alors :

|v2r – a| < ε.

De même, il existe un entier q tel que si m ≥ q, alors : |v2m+1 – a| < ε.

Soit maintenant N le plus grand des deux entiers 2p et 2q + 1. Soit n un entier supérieur à N. � Si n est pair, il s'écrit n = 2s. Comme n ≥ N, on a n ≥ 2p donc s ≥ p, donc :

|v2s – a| < ε, soit :

|vn – a| < ε.

� Si n est impair, il s'écrit n = 2s + 1. Comme n ≥ N, on a n ≥ 2q + 1 donc s ≥ q, donc :

|v2s+1 – a| < ε, soit :

|vn – a| < ε.



Dans les deux cas, on obtient bien l'implication :

n ≥ N ⇒ |vn – a| < ε.

La suite v converge vers a. 2) Malgré l'exemple particulier qui précède, il est clair que cette conjecture est fausse. On en trouvera un contre-exemple avec l'exemple 30. 3) Ici, on ne suppose pas que les suites (v2n) et (v2n+1) convergent vers la même limite. Dans ce cas, la suite v ne converge pas nécessairement. Voir l'exemple 22. Si, de plus, (v5n) converge, on va voir que les limites de (v2n) et (v2n+1) sont égales, donc que v converge. L'idée est qu'il y a dans (v5n) à la fois des termes de rang pair et des termes de rang impair. Soient a, a', a" les limites respectives de (v2n), (v2n+1), (v5n).

Considérons la suite extraite (v10n). C'est à la fois une suite extraite de (v2n) puisque 10n est pair, et de (v5n) puisque 10n est un multiple de 5.

La limite de cette suite extraite est donc a et a", donc a = a", puisque la limite d'une suite convergente est unique. On reprend ce raisonnement, avec la suite extraite (v10n+5) qui est à la fois suite extraite de (v2n+1) car 10n + 5 est impair, et de (v5n) puisque 10n + 5 est multiple de 5. On en déduit a' = a". 4) Soit b la limite de la suite extraite w. Soit r un réel positif. Il existe un entier N tel que si n ≥ N, alors |wn – b| < r, ou encore :

wn ∈ ]b – r , b + r[.

Comme wn = vφ(n) est un élément de B, on voit que b est bien un point adhérent à B. Réciproquement, soit c un point adhérent à B, non isolé. Nous allons construire une application strictement croissante de N dans N, soit ω, pour définir une suite extraite convergente de limite c.



Rappelons ce que signifie "isolé" : c est isolé si "il existe un ouvert centré en c, ne contenant pas d'autre élément de B que c". La négation de cette propriété est :

"pour tout ouvert centré en c, il existe dans cet ouvert un élément de B distinct de c."

On applique cet énoncé à ]c – 1 , c + 1[, et on désigne par ω(0) le rang de l'élément de plus petit rang de B appartenant à cet intervalle.

Soit n1 le plus petit entier supérieur à 2 tel que 1

n1< c − vω (0) . Ce choix

permet d'être sûr que vω(0) ∈ ]c – 1

n1 , c +

1

n1[.

On applique ensuite l'énoncé à ]c – 1

n1 , c +

1

n1[. On désigne par ω(1) le

rang de l'élément de plus petit rang de B appartenant à cet intervalle.

A ce stade, on a construit ω(0) et ω(1), et :

c− vω(0) < 1,

c− vω(1) < 1

n1

≤ 1

2.

De plus, ω(0) < ω(1).

Supposons que l'on ait construit ainsi les éléments ω(0), ω(1), …, ω(p), entiers en ordre strictement croissant, tels que pour tout i, 0 ≤ i ≤ p, on ait :

c− vω (i) <1

i +1.

Soit np+1 le plus petit entier supérieur à p+1 tel que 1

np+1< c − vω (p) .



Ce choix permet d'être sûr que vω(p) ∈ ]c – 1

np+1 , c +

1

np+1[.

On désigne par ω(p + 1) le rang de l'élément de plus petit rang de B appartenant à cet intervalle. On construit ainsi par récurrence une application strictement croissante de N dans N, donc une suite extraite de v. Pour tout p, la relation suivante est vérifiée :

|vω(p) – c| < 1

p+1.

Il en résulte que c est la limite de cette suite extraite. (QC-1) Démontrer, en général, que si un point adhérent à un ensemble n'est pas un point isolé de l'ensemble, tout intervalle ouvert centré en ce point contient une infinité d'éléments de l'ensemble.

(QC-2) Pour la suite de terme général un = 1

n + 1, dire quels sont les

points de l'adhérence de l'ensemble des valeurs, isolés, et non isolés.

exercice 6-C

1) Ici encore on peut utiliser l'exemple 22. 2) Le résultat rappelé dans la partie "A savoir" (toute suite extraite d'une suite convergente est convergente de même limite) ne s'applique pas directement puisqu'il concerne les suites extraites de suites convergentes. On peut toutefois reprendre le même raisonnement. Soit v = uoφ une suite extraite de u. Ecrivons que u tend vers l'infini :

∀ A, ∃ N entier tel que n ≥ N ⇒ un > A.

En particulier, comme pour tout n, φ(n) ≥ n :



n ≥ N ⇒ uφ(n) > A.

On en déduit que v tend vers l'infini. Si une suite tend vers +∞, toute suite extraite tend également vers +∞. 3) Une suite convergente est majorée, donc une suite non majorée n'est pas convergente (contraposition). Le procédé de construction est analogue à celui de l'exercice précédent. Il faut construire une application strictement croissante de N dans N, soit σ, qui définira une suite extraite de la suite non majorée u. L'énoncé "moteur" est le suivant :

Pour tout réel A, il existe un entier p tel que up > A.

Il signifie que u n'est pas majorée. (Comparer avec l'énoncé ci-dessus signifiant que u tend vers l'infini.)

On applique d'abord l'énoncé à A = 0. Soit σ(0) le plus petit rang des termes de la suite supérieurs à 0.

On applique ensuite l'énoncé à A = max(1, uσ(0)). Soit σ(1) le plus petit rang des termes de la suite supérieurs à max(1, uσ(0)). Il est clair que :

σ(1) > σ(0), puisque uσ(1) > uσ(0), et

uσ(1) > 1.

Supposons qu'on ait construit les entiers σ(0), σ(1), …, σ(p) en ordre strictement croissant, tels que, de plus :

uσ(i) > i, pour tout i, 0 ≤ i ≤ p.

On applique alors l'énoncé à A = max(p+1, uσ(p)). Soit σ(p + 1) le plus petit rang des termes de la suite supérieurs à max(p + 1, uσ(p)). Il est clair que :

σ(p + 1) > σ(p), puisque uσ(p+1) > uσ(p), et

uσ(p+1) > p + 1.

La suite extraite uσ(n) tend vers +∞, puisqu'elle est supérieure à la suite n, qui tend évidemment vers +∞.



(QC-1) Que peut-on dire d'une suite non bornée ? Cas particulier : un = sin(nπ/2)log(n). Cette suite n'est pas majorée puisque, pour n de la forme n = 4m + 1 :

un = sin((4m + 1)π/2)log(4m + 1),

un = log(4m + 1).

Comme m peut être arbitrairement grand, cette expression n'est pas majorée. Ce cas particulier donne d'ailleurs un exemple de suite extraite tendant vers +∞ : si σ(n) = 4n + 1, uσ(n) = log(4n + 1) tend vers +∞.

4) Bien entendu, si u a une suite extraite non bornée, u n'est pas bornée non plus, donc elle n'est pas convergente.

exercice 7-C

1-1) Les essais numériques qu'on peut faire conduisent tous à la conclusion que la suite est divergente, vers +∞ ou –∞. Remarquer dans la séquence maxima ci-dessous l'instruction kill(all) qui vide les différents u[n] calculés et permet un nouveau calcul. Essayer sans kill(all).





1-2) Si une suite géométrique est solution du problème, soit s sa raison. On doit écrire :

sn+2 = sn+1 + sn. Si s n'est pas nul, cette équation équivaut à :

s2 = s + 1. Les solutions de cette équation sont données ci-dessous. La valeur absolue de s' (s_prime) est inférieure à 1, donc la suite géométrique converge, vers 0. La valeur absolue de s" est supérieure à 1 donc la suite géométrique diverge vers +∞.



Notons toutefois que la convergence n'est pas évidente numériquement, en raison des problèmes d'approximation de s' irrationnel par un décimal ayant un nombre fini de décimales :

1-2) Il s'agit de résoudre des systèmes d'équations linéaires à deux

inconnues.



Une solution de la forme :

un = α(s')n + β(s")n

converge si et seulement si β = 0. En effet, pour toute valeur de α, α(s')n tend vers 0, et si β ≠ 0, β(s")n tend vers l'infini. (QC-1) En remarquant que si deux suites vérifiant la relation de récurrence ont les mêmes conditions initiales (termes de rangs 0 et 1) elles sont égales, et que le système d'équations linéaires considéré ci-dessus a toujours une solution unique, démontrer la propriété admise dans cette question (�).



2) Dans le cas général d'une relation de récurrence linéaire à deux pas : un+2 = aun+1 + bun

on cherche les solutions qui sont des suites géométriques. Si une telle suite a pour raison s, ce nombre doit vérifier l'équation du second degré :

s2 = as + b. La discussion du nombre et de la nature des solutions est classique : � si a2 + 4b > 0, il y a deux solutions réelles distinctes, {s1, s2}, et les suites vérifiant la récurrence s'obtiennent comme combinaisons linéaires de s1n, et s2n.

� si a2 + 4b = 0, il y a une racine réelle double, soit s. On vérifie sans difficulté que la suite de terme général nsn est également une solution du problème, et on procède ensuite par combinaison linéaire de sn et nsn. � si a2 + 4b < 0, il n'y a pas de racine réelle, mais deux racines complexes distinctes. Le raisonnement montrant que toute solution s'écrit comme combinaison linéaire des deux solutions particulières est valable dans le corps des complexes également. Noter que les coefficients dans la combinaison linéaire seront des nombres complexes dans ce cas. (QC-2) Traiter complètement le cas de la relation un+2 = – un+1 – un, avec conditions initiales u0 = – 1, u1 = – 1. Donner l'expression réelle de un en fonction de n.

3) Supposons d'abord u et v liées par les égalités :

un+1 = aun + bvn,

vn+1 = cun + dvn.

Par substitution, on obtient facilement : un+2 = aun+1 + b(cun + dvn)

= aun+1 + bcun + d(bvn)



= aun+1 + bcun + d(un+1 – aun)

= (a + d)un+1 + (bc – ad)un.

On voit bien que la suite u (et de même v par un calcul analogue) vérifie une relation de récurrence à deux pas. Par ailleurs la donnée de u0 et v0, permet de calculer u1.

Réciproquement, si u vérifie une relation linéaire à deux pas : un+2 = αun+1 + βun,

on obtient, en posant vn = un+1, le système d'équations linéaires : un+1 = vn,

vn+1 = βun + αvn.

Par ailleurs la donnée de u0 et u1 permet de connaître u0 et v0.

Dans le cas particulier considéré, on retrouve la relation étudiée en 1).

exercice 8-C

1) On voit facilement, par récurrence, que le terme général de cette suite s'écrit :

un = anu0.

Rappelons les résultats concernant la convergence de cette suite. � Si u0 = 0, la suite est stationnaire, de valeur 0, quel que soit a.

� Si a = 1, la suite est stationnaire de valeur u0.

� Si u0 ≠ 0, et a > 1, la suite est divergente, elle tend vers +∞ si u0 > 0, vers –∞ si u0 < 0.

� Si –1 < a < 1, la suite tend vers 0. � Si u0 ≠ 0, et a < –1, la suite est divergente.

2) C'est également un cas bien connu, celui des suites arithmétiques. On voit par récurrence que le terme général s'écrit :

un = u0 + na.



La valeur de u0 n'intervient pas dans la convergence de la suite. Si a ≠ 0, la suite est divergente. Elle tend vers +∞ si a > 0, et vers –∞ si a < 0. Si a = 0, la suite est stationnaire de valeur u0.

3) Le cas a = 1 a été traité précédemment, de même le cas b = 0. On suppose a ≠ 1. Quelques valeurs du début :

u1 = au0 + b,

u2 = a2u0 + ab + b,

On peut écrire ces formules, en faisant apparaître le rang :

u2 = a2u0 + a2 −1

a−1b,

u3 = a3u0 + a3 −1

a−1b.

Cherchons si la formule suivante se vérifie par récurrence (�) :

un = anu0 + an −1

a− 1b.

On écrit :

un+1 = an+1u0 + aan −1

a−1b

+ b,

= an+1u0 + a an −1( )+ a−1

a−1

b,

= an+1u0 + an+1 −1

a−1

b.

La formule est donc bien vérifiée par récurrence. On peut l'écrire encore :



un = an u0 +b

a−1

−

1

a −1b.

Pour la limite, on obtient :

� Si u0 +b

a−1

= 0, la suite est stationnaire, de valeur −

1

a −1b.

� Si u0 +b

a−1

≠ 0, et a > 1, la suite tend vers l'infini, positif si

u0 +b

a−1

> 0, négatif sinon.

� Si u0 +b

a−1

≠ 0, et –1 < a < 1, la suite converge. Sa limite est

−1

a −1b.

� Si u0 +b

a−1

≠ 0, et a ≤ –1, la suite diverge.

On peut résoudre une récurrence affine par maxima : voir annexe; 4) Dans les premiers cas examinés, la suite était définie pour tout choix des constantes figurant dans sa définition, et du terme initial. Ici, il faut supposer que u0 est choisi de telle sorte que le dénominateur ne s'annule pas, quel que soit n. Selon la suggestion de l'énoncé, on pose :

vn+1 = avn + bwn,

wn+1 = cvn + dwn.

Les conditions initiales sont : v0 = u0, w0 = 1.

Dans le cas particulier, on obtient :



vn+1 = 2vn,

w n+1 = vn + wn.

La relation de récurrence à deux pas associée est : wn+2 = 3wn+1 – 2wn,

avec w0 = 1, w1 = 1 + u0, et correspond à l'équation du second degré :

X2 – 3X + 2 = 0, de solutions s' = 1, s" = 2. La forme générale des solutions est donc :

xn = α + β.2n.

Pour w, on trouve : wn = (1 – u0) + u0.2n.

Pour v, on a immédiatement : vn = u0.2n.

Donc l'expression de u est la suivante :

n ≥ 0, un =u0.2n

1− u0 + u0.2n .

La suite est bien définie si le dénominateur ne s'annule pas, c'est-à-dire si

u0 n'est pas de la forme 1

1− 2n .

Pour la convergence, si u0 = 0, la suite est stationnaire de valeur 0, donc convergente de limite 0, et si u0 ≠ 0, la suite est convergente de limite 1.

(QC-1) Sans utiliser la forme explicite trouvée dans chacun de ces cas, que pouvez-vous sur la valeur d'une limite éventuelle ?



exercice 9-C

1) Ce résultat se prouve par récurrence : il s'agit d'établir que pour tout entier n, on a l'inégalité un ≤ un+1. La relation est vraie pour n = 0. Supposons-là vraie pour n :

un ≤ un+1.

L'application f étant croissante, on obtient : f(un) ≤ f(un+1),

un+1 ≤ un+2.

D'où le résultat. Si, au contraire, u0 ≥ u1, et f croissante, on démontre que u est décroissante. 2) Si f est décroissante, le raisonnement par récurrence ne convient pas, puisqu'on obtient :

un ≤ un+1 ⇒ f(un) ≥ f(un+1), soit un+1 ≥ un+2.

La suite u n'est donc pas monotone dans ce cas. Pour la suite v des termes de rang pair :

vn = u2n,

on a la relation : vn+1 = u2n+2 = f(f(u2n)

vn+1 = f o f(vn).

On est donc ramené dans le cas précédent, puisque f o f est croissante si f est décroissante. Ce raisonnement s'applique également à la suite w des termes de rang impair. Les suites v et w sont donc monotones. Leur sens de variation dépend, comme on l'a vu, de la comparaison entre les deux premiers termes, soit u0 et u2, pour v, et u1 et u3, pour w.

Si on a l'inégalité : u1 ≤ u3 ≤ u2 ≤ u0,

on voit que v est décroissante et w croissante.



L'inégalité : u1 ≤ u0, soit

w0 ≤ v0,

s'étend par récurrence, puisque f o f est croissante, donc pour tout n : w0 ≤ wn ≤ vn ≤ v0.

En particulier, v est minorée et w majorée, donc ces suites sont convergentes, et :

lim(w) ≤ lim(v). L'hypothèse peut s'exprimer par lim(v – w) = 0. Ces deux suites étant convergentes, il en résulte que leurs limites sont égales :

lim(u2n) = lim(u2n+1).

On a vu que cela entraîne que la suite u converge (cf. exercice 5).

exercice 10-C

Préliminaire. Il faut vérifier l'implication, pour 0 < a < 4 :

0 ≤ x ≤ a ⇒ 0 ≤ x(a – x) ≤ a. Il est d'abord clair que x et a – x étant positifs, le produit x(a – x) est positif. Par ailleurs, l'expression x(a – x) atteint son maximum quand x

vaut a/2 (annulation de la dérivée), et ce maximum M(a) est a2

4. Il est

bien inférieur à a si a < 4. Notons qu'il est inférieur ou égal à a/2 si a ≤ 2. Dans ce cas, tous les termes de la suite, sauf peut-être le premier, sont inférieurs à a/2, ce qui signifie qu'ils appartiennent à un intervalle où f est croissante. Rappelons, pour la suite, que si une limite existe pour u, elle doit vérifier l'égalité :

x = x.(a – x). La limite éventuelle ne peut donc avoir que deux valeurs, 0, et a – 1.



La limite d'une suite positive étant positive ou nulle, il en résulte que pour a < 1, la seule limite possible est 0. Voici quelques exemples : On trouve ci-dessous les résultats pour a = 0.5, a = 2, a = 3. a = 0,5 :

Représentation :



a = 2



Représentation :

a = 3



Représentation :



Les observations sont les suivantes : � Pour a ≤ 1, la suite converge vers 0. � Pour 1 < a ≤ 2, la suite converge. Sa limite est a – 1. Dans ces deux cas, la suite est, à partir d'un certain rang, monotone. � Pour a = 2.5, la suite semble converger également vers a – 1. Elle n'est pas monotone. Les suites extraites des termes de rang pair, et de rang impair respectivement sont monotones à partir d'un certain rang. � Pour a = 3, il semble que les deux suites extraites convergent, mais vers des limites différentes. � Enfin, pour a = 3.5, le comportement est plus compliqué : les valeurs de la suite semblent se rassembler autour de certaines valeurs. La suite n'a pas de limite. NB : Ces observations permettent seulement de formuler, éventuellement, des conjectures sur l'évolution de la suite. 2) Pour que g(x) soit négatif sur [0 , a], il faut, puisque g(0) = 0, que g'(0) soit négatif ou nul, ce qui implique a inférieur à 1. Dans ce cas, comme :



g(x) = –x2 + (a – 1)x, g(x) est somme de nombres négatifs, donc négatif. La valeur de a0 est donc 1. Supposons a dans l'intervalle [0 , 1].

On a vu en préliminaire que les valeurs de la suite appartiennent alors à un intervalle où f est croissante. On peut appliquer le résultat de l'exercice 9. Comme g(x) est négatif, u2 ≤ u1, donc la suite est décroissante. Elle est minorée par 0, donc convergente. On a vu qu'elle ne peut avoir que 0 comme limite. 3) On a vu en préliminaire que a1 = 2, et que f est croissante sur un intervalle contenant toutes les valeurs de la suite, sauf peut-être la première. La suite est donc monotone à partir du rang 1. Il suffit de comparer u1 et u2 pour connaître le sens de variations.

Si u1 = u2, la suite est stationnaire. C'est le cas si g(u1) = 0, soit u1 = 0, ou u1 = a – 1. Cela correspond à u0 = 0 ou u0 = a, et u0 = a – 1 ou u0 = 1, respectivement. On obtient deux cas de suites stationnaires, de valeurs respectives 0, et a – 1. Si u1 < u2, la suite est croissante. Cela correspond à u1 < a – 1, soit u0 extérieur à l'intervalle [a – 1 , 1]. Si u1 > u2, la suite est décroissante. Cela correspond à u1 > a – 1, soit u0 dans l'intervalle ouvert ]a – 1 , 1[. Dans les deux cas, la suite converge, car elle est bornée. Si u1 < u2, la limite est a – 1, puisque la suite, positive, ne peut être croissante de limite 0 (rappelons que la limite est la borne supérieure dans ce cas). Si u1 > u2, la limite est encore a – 1, puisque tous les termes sont de valeur supérieure à a – 1. 4) Le graphe de f a une tangente de pente –1 pour :

–2x + a = –1,



x =a+1

2.

Ce graphe coupe la droite d'équation y = x à l'origine et au point

d'abscisse a – 1. Comme a+1

2 ne peut pas être nul, ces points coïncident

seulement pour a+1

2= a−1, soit a = 3.

Les essais graphiques ou numériques indiquent que si a est compris entre 2 et 3, la suite converge car ses deux suites extraites des termes de rang pair et des termes de rang impair convergent vers la même limite. Sinon, il semble qu'elle diverge.

exercice 11-C

1) Soit a la limite de la suite u. Si a > 0, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite u sont strictement positifs (par exemple, compris entre a/2 et 3a/2), ce qui est contradictoire avec l'hypothèse d'une suite alternée. On raisonne de même si a < 0. Il ne reste que le cas a = 0. Une suite alternée convergente a pour limite 0. (QC-1) Imaginer un autre raisonnement reposant sur le "passage à la limite" de l'inégalité un.un+1 ≤ 0.

2) C'est une autre formulation de la définition d'une limite, traduite graphiquement. En effet, α étant donné, il existe un rang N tel que si n ≥ N, alors λ – α ≤ vn ≤ λ + α. Tous les points représentant le graphe de v, sauf peut-être certains, correspondant à une abscisse strictement inférieure à N, sont dans la bande B(α). L'ensemble :

{n ∈N | (n, vn) ∈B(α)}

contient la section finissante [N , +∞[.



Supposons par exemple λ > 0. Il existe une section finissante de N, soit F, telle que si n ∈F, alors (n, vn) ∈B(λ/3). Or cette bande ne rencontre pas l'axe des abscisses, donc vn ≠ 0 si n ∈F, c'est-à-dire pour n assez grand. 3) Utilisons la représentation du 2). Pour n assez grand, tous les points représentant la suite n → n.wn sont dans la bande B(1/3) centrée en 1. On a donc l'encadrement :

2/3 ≤ n.wn ≤ 4/3

pour n assez grand, soit : 2

3n≤ wn ≤

4

3n.

Par encadrement, il résulte que w a pour limite 0. Le même raisonnement, mais avec la bande centrée en 0, conduit à l'encadrement :

−1

3n≤ wn ≤

1

3n.

La conclusion est la même. (QC-2) que peut-on dire si wn /n tend vers 0.

4) Une suite croissante qui converge a pour limite la borne supérieure des valeurs de la suite. Il est donc impossible qu'une suite strictement positive de limite 0 soit croissante. Elle n'est pas nécessairement décroissante. En effet la limite ne dépend pas du comportement de la suite pour les premières valeurs de n, donc la suite peut être croissante de n = 0 à n = 2, puis décroissante. Elle n'est pas non plus nécessairement décroissante à partir d'un certain rang. Par exemple :



sn =1

n+ 1+ (−1)n .

Cette suite a bien pour limite 0. Elle n'est pas monotone :

sn − sn+1 =1

n +1+ (−1)n−

1

n + 2+ (−1)n+1

sn − sn+1 =1+ (−1)n+1 − (−1)n

n +1+ (−1)n( )n + 2 + (−1)n+1( )sn − sn+1 = −1

n +1+ (−1)n( )n + 2 + (−1)n+1( ),

si n est pair et :

sn − sn +1 =3

n + 1 + (−1)n( )n + 2 + (−1)n +1( ), si n est impair. Ecrivons que s, positive, tend vers 0 :

∀ ε > 0, ∃ N, n ≥ N ⇒ 0 ≤ sn ≤ ε.

On pose t(0) = 0. On désigne par t(1) le plus petit entier N > 0, correspondant à ε = s0/2.

Il en résulte que : t(1) > t(0), st(1) < s0.

Supposons définis t(0),…,t(k), des entiers, de telle sorte que t soit strictement croissante, et st(k) < st(k-1) < … < st(0).

On désigne par t(k+1) le plus petit entier N > t(k), correspondant à : ε = st(k)/2.

On construit bien ainsi, par récurrence, une suite extraite de s, strictement décroissante, et, bien entendu, de limite 0.



5) Cette conjecture est fausse, comme on le voit, par exemple, avec le contre-exemple déjà vu :

un = (n)(−1)n . Si on ne pense pas à ce contre-exemple, ou à un autre, comment en construire un ? C'est relativement facile en "assemblant" deux suites pour en faire des suites extraites. On choisit une suite a telle que la conclusion "la suite est majorée" soit fausse, c'est-à-dire une suite non majorée, par exemple tendant vers +∞. Pour que l'hypothèse soit vraie, il faut que l'autre suite, soit b, ne tende pas vers l'infini, par exemple tende vers 1. Soit x la suite définie par :

x2n = an,

x2n+1 = bn.

Cette suite est un contre-exemple de la conjecture. On peut expliciter, par exemple :

an = n2,

bn = 1.

6) On peut se référer à l'exercice 1, où la contraposée de la conjecture est prouvée. En raisonnant directement, on peut aussi, de façon analogue à ce qui a été fait plus haut, construire une suite extraite de y, dont tous les termes sont distincts, donc qui prend une infinité de valeurs.

exercice 12-C

1) Supposons f croissante, pour fixer les idées. L'application f, restreinte à l'intervalle ]– ∞ , a[, est croissante et majorée par f(a), donc elle admet une limite, qui est la borne supérieure S(a) de l'ensemble :

{f(x) | x < a}.



Comme f(a) est un majorant de cet ensemble, S(a) ≤ f(a). On raisonne de même pour la limite à droite : elle existe car la restriction de f à ]a , + ∞[ est croissante et minorée par f(a). Cette limite est la borne inférieure s(a) de l'ensemble :

{f(x) | x > a}. On obtient donc l'inégalité f(a) ≤ s(a). En résumé :

S(a) ≤ f(a) ≤ s(a). Supposons que f*(R) est un intervalle de R. Soit b un réel inférieur à a, et

c un réel supérieur à a. On a les inégalités : f(b) ≤ S(a) ≤ f(a) ≤ s(a) ≤ f(c).

Si S(a) < f(a), alors il existe un réel, soit t, vérifiant S(a) < t < f(a). Comme f*(R) est un intervalle de R, ce réel est un élément de f*(R).

Soit y un réel dont l'image est t. On ne peut avoir y < a, puisqu'alors f(y) ≤ S(a), alors que t > S(a). On ne peut avoir y > a, puisqu'alors f(y) ≥ f(a), alors que t < f(a). On ne peut avoir y = a puisque t ≠ f(a). Il en résulte que y n'existe pas. D'après ce raisonnement par l'absurde, S(a) = f(a). On démontrerait de même que s(a) = f(a). Les limites à gauche et à droite sont égales à f(a), donc f est continue en a. (QC-1) Supposons f strictement croissante. Démontrer que si f(R) est un fermé (non nécessairement un intervalle) alors f est continue (☺). 2) On peut en imaginer des exemples, où l'asymptote serait approchée avec des "oscillations". A partir de là, on peut construire un contre-exemple. On forme une fonction en ajoutant à 1 une expression positive.



Cette expression doit tendre vers 0 à l'infini : on prévoit un dénominateur tendant vers l'infini, et positif, comme x2 + 1. Le numérateur est chargé des oscillations, et positif, par exemple sin2(x).

Toutefois, comme le graphe tracé ne montre qu'une partie du graphe complet, il faut donner un argument pour démontrer qu'on a bien un contre-exemple. Notons donc g l'application :

x a 1+

sin(x)2

1+ x2 .

Elle est bien supérieure ou égale à 1, et tend vers 1 à l'infini, puisque sin(x)2 est borné, alors que 1 + x2 tend vers l'infini. Elle n'est monotone sur aucun intervalle de la forme [a , +∞[, car sin(x) s'annule pour x = 2nπ, quel que soit l'entier n, donc g(x) prend périodiquement la valeur 1. Si g était décroissante, elle garderait cette valeur ensuite, ce qui n'est pas le cas.



exercice 13-C

1) On étudie la suite :

s(u(α)n) = sin(α + 2nπ) = sin(α).

C'est donc une suite stationnaire, donc convergente, de limite sin(α). Si s avait une limite L en 0, pour toute suite u de limite 0, la suite composée de s et de u aurait pour limite L. Or on voit, sur le cas particulier des suites u(α), qui tendent vers 0, que ce n'est pas le cas, puisque la limite de la suite composée s(u(α)n) varie avec α. Il en résulte que s n'a pas de limite en 0. 2) On utilise un raisonnement par contraposition. Supposons f non continue en a. Cette hypothèse s'écrit :

(∗) ∃ ε, ε > 0, ∀ α, α > 0, ∃ x, |x – a| < α et |f(x) – f(a)| ≥ ε. En effet c'est la négation de :

∀ ε > 0, ∃ α > 0, |x – a| < α ⇒ |f(x) – f(a)| < ε. On choisit, dans l'énoncé (*), pour tout entier naturel non nul n, α = 1/n. On en déduit l'existence d'un réel xn vérifiant :

|xn – a| < 1/n et |f(xn) – f(a)| ≥ ε.

La suite de terme général xn tend vers a, et son image par f ne tend pas vers f(a). La contraposée de l'énoncé à démontrer est donc vraie. L'énoncé est donc vrai également. 3) On procède de manière analogue, par contraposition. Supposons que g ne tend pas vers L à l'infini. C'est la négation de :

∀ ε > 0, ∃ A, x > A ⇒ |f(x) – L| < ε, soit

∃ ε > 0, ∀ A, ∃ x > A, |f(x) – L| ≥ ε. Dans cet énoncé, on choisit pour A un entier n quelconque, d'où xn vérifiant :

xn > n, |f(xn) – L| ≥ ε.

La suite (xn) tend vers l'infini, et son image par f ne tend pas vers L.



La contraposée est donc vraie. 4) Par hypothèse, f admet une limite à gauche en b, qui est la borne supérieure de :

{f(x) | x ∈ [a , b[}. D'après l'hypothèse portant sur la composée (f(un)), cette limite est f(b).

exercice 14-C

Bien des réponses peuvent être proposées. Par exemple :

f(x) = sin2πx

, si x ≠ 0, f(0) = 0,

g(x) = Ex

2 .

Mais on peut faire plus simple, la contrainte sur f et g étant simple : f(x) = g(x) = 0 si x ≠ 0,

f(0) = 0, g(0) = 1. Pour induire une valeur de f(0), ou g(0), à partir de leurs valeurs au voisinage, il est utile de supposer que ces applications sont continues en 0.

En effet, si f et g sont continues en 0, alors f(0) est limite de f1

p

quand

p tend vers l'infini, et de même pour g(0), d'où l'égalité obtenue par "passage à la limite", f(0) = g(0). 2) C'est la généralisation du cas présenté à la question précédente. Pour tout x de l'adhérence de I, il existe une suite d'éléments de I, soit (an)n ∈

N, dont la limite est x. Par hypothèse, pour tout n :

f(an) = g(an),

donc par la continuité, on déduit f(x) = g(x).



(QC-1) Application : déterminer toutes les applications h de R dans R continues vérifiant, pour tout couple de nombres réels (x, y) :

h(x + y) = h(x) + h(y) (☺). 3) Comme A est contenu dans B, il est clair que s(A) ℘ s(B). Soit z un élément de l'adhérence de s(A). Il est limite d'une suite d'éléments de s(A), donc limite d'une suite d'éléments de s(B), donc l'adhérence de s(A) est contenue dans l'adhérence de s(B). Mais il n'est pas sûr qu'un élément de l'adhérence de s(A) soit contenu dans s(B), car on ne sait pas si s(B) est fermé. Inversement, soit z un élément de s(B). Soit y un élément de B d'image z. Le point y est un élément de l'adhérence de A, donc il existe une suite d'éléments de A, soit (bn)n ∈ N, dont la limite est y. Comme s est continue, z est limite de la suite (s(bn))n ∈ N, qui est une suite de s(A). Donc z est un point adhérent à s(A). Conclusion : s(B) est contenu dans l'adhérence de s(A). (QC-2) Donner un exemple où s(B) n'est pas égal à l'adhérence de s(A) et un exemple où s(B) est égal à l'adhérence de s(A). (QC-3) Démontrer que l'adhérence de s(B) est égal à l'adhérence de s(A).

Si s(x) > 0 pour x ∈ A, on sait que s(A) ⊂ ]0 , + ∞[, donc son adhérence est contenue dans [0 , + ∞[. Il en résulte que si x ∈ B, alors s(x) ≥ 0. (Passage des inégalités strictes aux inégalités larges par passage à la limite). L'application est immédiate avec s = u – t.



exercice 15-C

1) Soit J un intervalle ouvert centré en b :

J = ]b – ε , b + ε[. Ecrivons que g a pour limite b en a :

∀ ε, ∃ α, |x – a| < α ⇒ |g(x) – b| < ε. Explicitons l'image réciproque de J :

g* (J) = {x | g(x) ∈ J}, g* (J) = {x | |g(x) – b| < ε},

donc l'ensemble des x vérifiant |x – a| < α est contenu dans l'image réciproque de J. Or c'est bien un intervalle ouvert centré en a :

{x | |x – a| < α} = ]a – α , a + α[. (QC-1) L'ensemble g* (J) est-il toujours un intervalle ouvert ? un ouvert ? 2) Une application continue admet une limite en tout point, on peut donc appliquer le résultat de la question 1. Soit U un ouvert de R dont on note l'image réciproque V. Soit a un élément de V, et b = h(a) son image. On rappelle que h(V) ⊂ U, donc b est un élément de l'ouvert U. Il existe un intervalle ouvert J centré en b, contenu dans U. L'image réciproque de J par h est contenue dans l'image réciproque de U par h, c'est-à-dire V. Par ailleurs, l'image réciproque de J par h contient un intervalle ouvert centré en a. Donc V contient un intervalle ouvert centré en a. V est bien un ensemble ouvert. (QC-2) Examiner le même énoncé en remplaçant "ouvert" par "fermé".



Réciproque : soit h une application de R dans R. On suppose que l'image réciproque (�) par h d'un ouvert quelconque est un ouvert. Démontrer que h est une application continue. Soit a un réel, b = f(a). Soit ε un réel positif. L'image réciproque par h de l'ouvert ]b – ε , b + ε[ est un ouvert, qui contient a, donc qui contient un intervalle ouvert centré en a, soit ]a – α , a + α[. On a donc :

x ∈ ]a – α , a + α[ ⇒ h(x) ∈ ]b – ε , b + ε[, ou |x – a| < α ⇒ |h(x) – b| < ε.

L'application h est donc bien continue en a, réel quelconque. 3) Il faut faire quelques essais. � f(x) = x – 1. On a f(]a , b[) = ]a – 1 , b – 1[. C'est un exemple pour l'énoncé conjecturé.

� f(x) = 1

x2 +1. On a f(]0 , 1[) = ]1/2 , 1[. C'est encore un exemple.

Mais f(]– 1 , 1[) = ]1/2 , 1]. On obtient un intervalle qui n'est pas un ouvert. C'est donc un contre-exemple. La conjecture est fausse. (QC-3) Examiner le même énoncé en remplaçant "ouvert" par "fermé". 4) On sait que f a une limite à gauche et une limite à droite en tout point de ]a , b[, une limite à droite en a, et une limite à gauche en b. Soit c un point de ]a , b[. Soit S(c) la limite à gauche en c, et s(c) la limite à droite :

S(c) ≤ f(c) ≤ s(c). Supposons que S(c) et s(c) soient différentes de f(c). On en déduit que f(c) est un point isolé dans f([a , b]). En effet, soit ]f(c) – h , f(c) + h[ un intervalle ouvert centré en f(c), contenu dans l'intervalle ouvert ]S(c) , s(c)[. Si cet intervalle contient un élément de f([a , b]) autre que f(c), soit f(d) cet élément. On voit que d ne peut exister :



si d < c, f(d) ≤ S(c), si d > c, f(d) ≥ s(c).

Le point f(c) serait donc isolé. Il en résulte que l'un des deux éléments S(c), s(c), au moins, est égal à f(c), donc f est continue à droite ou à gauche en c.

exercice 16-C

1) La fonction exponentielle ne s'annule pas, donc on peut examiner le quotient :

ef(x)

eg(x) = ef (x) −g(x).

Pour que exp(f(x)) et exp(g(x)) soient équivalentes en a, il faut et il suffit que f(x) – g(x) tende vers 0. Or si f ~ g, il existe une fonction ε, tendant vers 0 en a, telle que :

f(x) = g(x) (1 + ε(x)), soit f(x) – g(x) = g(x).ε(x).

Est-on certain que le produit g(x).ε(x) tend vers 0 en a. C'est le cas si g est bornée, mais si f et g sont des fonctions tendant vers l'infini en a, ce n'est pas certain, par exemple (a est supposé non nul) :

f(x) = 1

x − a, g(x) =

2a

x2 − a2 .

On voit que le quotient f (x)

g(x)=

x + a

2a est bien de la forme 1 + ε(x) :

x + a

2a=1+

x − a

2a.

Dans ce cas, g(x).ε(x) s'écrit : x − a

2a.

2a

x2 − a2 =1

x + a.

Sa limite en a est donc :



1

2a.

Dans un tel cas les applications obtenues par composition avec exp ne sont pas équivalentes. Si f et g tendent vers 0, qu'elles soient équivalentes ou non, exp(f(x)) tend vers 1, et exp(g(x)) aussi, donc ces deux fonctions sont équivalentes. (QC-1) Donner un exemple où f(x) – g(x) tend vers l'infini. 2) Ici, il ne sert à rien de faire directement le quotient des logarithmes. Les applications f et g sont équivalentes en a, donc il existe une fonction ε, tendant vers 0 en a, vérifiant sur un voisinage épointé de a :

f(x) = g(x) (1 + ε(x)), d'où log(f(x)) = log(g(x)) + log(1 + ε(x)),

log(f(x)) = log(g(x)). 1+log(1+ ε(x))

log(g(x))

,

il faut donc examiner si log(1+ ε(x))

log(g(x)) tend vers 0 en a.

Le numérateur est équivalent à ε(x), qui tend vers 0. Pour le dénominateur, on ne sait pas. Il peut y avoir une difficulté si g(x) tend vers 1 par exemple. Si g(x) tend vers 0, son logarithme tend vers l'infini, donc le quotient log(1+ ε(x))

log(g(x)) tend bien vers 0. Si g(x) tend vers l'infini, c'est également

le cas, dans ces deux cas log(f(x)) et log(g(x)) sont équivalents. (QC-2) Montrer que log(f(x)) et log(g(x)) sont équivalents si f(x) et g(x) ont une limite finie différente de 1. A partir du raisonnement précédent, donner un cas où log(f(x)) et log(g(x)) ne sont pas équivalents.



exercice 17-C

� log(1+ x)

log(x)

x

, en +∞ . Le quotient log(1+ x)

log(x)

tend vers 1.

L'exposant x tend vers l'infini, donc on ne peut pas conclure directement. Comme il s'agit d'une exponentielle, il est équivalent, et souvent plus simple, d'étudier le logarithme de l'expression, soit :

x loglog(1+ x)

log(x)

.

Remplaçons le quotient log(1+ x)

log(x)

par :

log(x)+ log 1+1

x

log(x)

,

x loglog(1+ x)

log(x)

= x log 1+

log 1+1

x

log(x)

.

Comme cette expression est un produit, on peut remplacer chaque facteur par un équivalent. Ici :



1x

→ 0, donc log 1+ 1x

→ 0, donc

log 1+ 1

x

log(x)→ 0,

log 1+log 1+

1

x

log(x)

~

log 1+1

x

log(x).

De plus :

log 1+1

x

~

1

x,

donc on obtient l'équivalent suivant pour le logarithme de l'expression :

x loglog(1+ x)

log(x)

~

1

log(x).

Il est clair que cette expression tend vers 0 à l'infini. L'expression étudiée est l'exponentielle de ce logarithme. Comme l'exponentielle tend vers 1 en 0, on conclut :

+∞lim

log(1+ x)

log(x)

x

= 1.

Maxima est d'accord :



(QC-1) Après avoir obtenu un équivalent du logarithme de l'expression étudiée, aurait-on pu "prendre l'exponentielle" de cet équivalent pour obtenir directement un équivalent de l'expression elle-même ?

� x log(x+ 1+ x2 )

log(x2 + ex ), en +∞. Le numérateur tend vers l'infini, comme

le dénominateur, donc on ne peut pas conclure directement. On peut rechercher des équivalents simples des différents facteurs, puisqu'il s'agit d'un quotient et d'un produit. Pour x , il n'y a rien de plus simple à chercher.

Pour log(x + 1+ x2 ) , on fait une mise en facteur dans l'argument du logarithme :

log x + 1+ x2( )= log x 1+ 1+ x2

x

= log(x) + log 1+1+ x2

x

.

Dans cette somme, le premier terme tend vers l'infini, alors que l'autre tend vers log(2). Donc le second terme est négligeable devant le premier

et on a un équivalent de log(x + 1+ x2 ) , log(x + 1+ x2 ) ~ log(x).

Pour log(x2 + ex ), on procède de même, en mettant en facteur dans l'argument du logarithme le terme le plus "gros", ici, ex :



log(x2 + ex ) = log ex 1+ x2

ex

= log ex( )+ log 1+x2

ex

= x + log 1+x2

ex

.

Dans cette somme, le premier terme tend vers l'infini et le second vers 0. Le second terme est donc négligeable de vant le premier, d'où un équivalent de log(x2 + ex ), log(x2 + ex ) ~ x.

En conclusion : x log(x+ 1+ x2 )

log(x2 + ex ) ~

x log(x)

x=

log(x)

x,

et comme log(x) est négligeable devant x à l'infini, il en résulte :

+∞lim

x log(x + 1+ x2 )

log(x2 + ex )

= 0.

� sin x2 + x( )− x

log 1+ x( )+1− ex , x tendant vers 0, x > 0.



Le numérateur et le dénominateur tendent vers 0. On ne peut pas conclure directement. Nous allons chercher des équivalents du numérateur et du dénominateur.

Pour sin x2 + x( )− x , on observe que sin x2 + x( ) 0~ x2 + x

0~ x, or x

est négligeable devant x en 0, donc :

sin x2 + x( )− x0~ − x.

Pour log 1+ x( )+1− ex, on sait que :

log 1+ x( )0~ x, et 1− ex

0~ − x

et x est négligeable devant x en 0, donc :

log 1+ x( )+1− ex

0~ x.

On obtient donc un équivalent de l'expression étudiée :

sin x2 + x( )− x

log 1+ x( )+1− ex0~

− x

x= −1.

D'où :

0+lim

sin x2 + x( )− x

log 1+ x( )+1− ex

= −1.



exercice 18-C

C'est un exercice qui doit vous conduire à élaborer un catalogue de cas usuels concernant la comparaison des fonctions. Pour simplifier, nous supposerons que x0 = 0.

On voit immédiatement que l'éventualité (3) "f est équivalente à g" est un cas particulier de (4) "il existe un réel k tel que f est équivalente à k.g". Pour les fonctions équivalentes, en 0, au produit par une constante près, à une puissance de la variable, même fractionnaire, il est clair que l'un des cas suivants est toujours vérifié : � f est négligeable devant g, � g est négligeable devant f, � Il existe un réel k tel que f est équivalente à k.g.

exemples : log(1+ x), sin(x), x,…

Ces fonctions se comparent à l'échelle des puissances de x. D'autres cas peuvent-ils se présenter ? Supposons que les fonctions considérées ne s'annulent pas sur un voisinage épointé de 0.

La question concerne la limite éventuelle du quotient f (x)

g(x), ou de son

inverse. S'il ne tend ni vers une limite finie, et son inverse non plus, est-on sûr qu'il reste borné en valeur absolue, ainsi que son inverse. Pour construire un éventuel contre-exemple, il faut donc utiliser des

fonctions n'ayant aucune limite, ni finie, ni infinie, en 0, comme sin1

x ,

vu précédemment. Si f(x) = g(x)sin1

x , le quotient

f (x)

g(x) n'a pas de

limite en 0. On remarque cependant qu'il est borné en valeur absolue, mais par 0 et 1.

Pour respecter les hypothèses, nous remplaçons sin1

x par 2 + sin

1

x .



Dans ce cas, f et g ne s'annulent pas sur un voisinage épointé de 0. Le

quotient f (x)

g(x) n'a toujours pas de limite, et son inverse non plus, mais les

deux sont bornés en valeur absolue par des constantes non nulles. C'est la relation : � Il existe des réels positifs non nuls a et b tels que les inégalités suivantes sont vraies :

a.|f(x)| ≤ |g(x)| ≤ b.|f(x)| qui est vérifiée. En revenant à l'énoncé, on voit qu'on a trouvé un cas où aucune des relations n'est vraie :

f(x) = x, g(x)= xsin1

x .

� f est-il négligeable devant g ? non, f(x) n'est pas de la forme g(x)ε(x), avec ε tendant vers 0,

il faudrait que pour x ≠ 0, ε(x)sin1

x = 1.

� g est-il négligeable devant f ?

non, g(x) n'est pas de la forme f(x)ε(x), avec ε tendant vers 0,

il faudrait que pour x ≠ 0, ε(x) = sin1

x .

� Existe-t-il un réel k tel que f soit équivalente à k.g ? non, f(x) n'est pas de la forme k.g(x)(1 + ε(x)), avec ε tendant vers 0,

il faudrait que pour x ≠ 0, k 1+ ε(x)( )sin1

x =1.

� Existe-t-il des réels positifs non nuls a et b tels que les inégalités suivantes sont vraies :

a.|f(x)| ≤ |g(x)| ≤ b.|f(x)|



Cela suppose, pour x ≠ 0 :

0 < a ≤ sin1

x ≤ b,

ce qui n'est pas vrai, puisque sin1

x s'annule sur tout voisinage de 0.

Dans ce cas, la constante a n'existe pas. (QC-1) En gardant f(x) = x, chercher un exemple ne vérifiant aucune des relations proposées, et pour laquelle c'est la constante b qui n'existe pas.


3-3 Corrigés des questions complémentaires

exercice 1-QC

1) Cet énoncé est faux. Un ensemble ayant cette propriété est dit "d'intérieur vide", mais il n'est pas nécessairement fermé, par exemple :

F = 1

n n entier non nul

.

Cet ensemble ne contient aucun intervalle ouvert. Il n'est pas fermé, puisque 0 est un point adhérent qui n'est pas dans F. 2) Le même contre-exemple s'applique. 3) Non, bien entendu. On connaît les intervalles semi-fermés :

[– 5 , 7[. Cet intervalle n'est pas fermé, puisque 7 est adhérent. Cet intervalle n'est pas ouvert, puisqu'il n'existe aucun intervalle ouvert centré en – 5, contenu dans [– 5 , 7[.

exercice 2-QC

1) Le point a peut-il être adhérent à I, si I ⊂ ]a , +∞[ ? Effectivement, puisqu'il n'est pas nécessaire que a appartienne à I. Par exemple :

I = ]a , a + 1[. 2) On sait déjà que sup(U) est un point adhérent. Soit a un majorant de U, différent de sup(U). On a l'inégalité :

a > sup(U). Posons h = a – sup(U). Tout réel de l'intervalle ouvert ]a – h , a + h[ est strictement supérieur à sup(U). Donc cet intervalle ouvert centré en a ne contient aucun élément de U. Il en résulte que a n'est pas adhérent à U. La conjecture est vraie.


exercice 4-QC

1) On note a la borne inférieure de E, et L la limite. La suite est notée u.

Par hypothèse, a est strictement positif. Posons ε = a/2. Il existe un rang N à partir duquel :

|un – L| < ε.

En particulier, si n et m sont supérieurs à N : |un – L| < ε, |um – L| < ε,

donc |un – um| < 2ε (inégalité triangulaire)

|un – um| < a.

Compte-tenu de la définition de a, il résulte : |un – um| = 0,

un = um,

pour tout n et m supérieurs à N, donc u est stationnaire.

exercice 5-QC

1) Soit U une partie de R et a un point adhérent à U. On suppose a non isolé. Soit V un intervalle ouvert centré en a, soit ]a – r , a + r[. Comme a n'est pas isolé, il existe dans ]a – r , a + r[ au moins un élément de U distinct de a. Notons a0 un de ces éléments. Soit r0 la distance entre a et a0. Soit V1 l'intervalle ouvert :

V1 = ]a – a0/2 , a + a0/2[.

Il existe de même au moins un élément de U, distinct de a, dans V1. Choisissons un de ces éléments, noté a1. Par construction, a1 ≠ a0. De plus, V1 ⊂ V, donc a1 ∈ V.

Supposons définis n éléments distincts deux à deux de V, soient a0, a1,…,an-1, appartenant à U, et tels que la suite |ak – a| soit strictement


décroissante. Notons Vn l'intervalle ]a – an-1/2 , a + an-1/2[. Il contient au moins un élément de U. Notons an un de ces éléments. On construit ainsi par récurrence une suite d'éléments deux à deux distincts, qui appartiennent à U ∩ V. L'ouvert V contient donc bien une infinité d'éléments de U. 2) L'adhérence de l'ensemble des valeurs de cette suite est formée de ces valeurs, dont les points sont isolés, comme on l'a déjà vu, et de 0, qui n'est pas isolé, puisqu'il n'appartient pas à l'ensemble des valeurs (cf. QC-1).

exercice 6-QC

1) Si u est une suite non bornée, elle admet une suite extraite qui tend vers +∞, et une suite extraite qui tend vers –∞. La construction se fait comme indiqué plus haut, en remplaçant l'énoncé "u n'est pas majorée" par "u n'est pas minorée", c'est-à-dire :

∀ A, ∃ n, un < A.

exercice 7-QC

1) Supposons que deux suites, u et v, vérifient la relation de récurrence, et de plus :

u0 = v0, u1 = v1.

On montre facilement par récurrence que pour tout n, un = vn. En effet, si cette égalité est vraie pour n ≤ N, on a en particulier :

uN-1 = vN-1, uN = vN,

donc uN+1 = vN+1,

grâce à la relation de récurrence. Or, pour tout choix de (u0, u1), le système proposé a une solution unique, puisque s' ≠ s". Si cette solution est (α, β), les suites de termes généraux :


un, et vn = α(s')n + β(s")n

coïncident aux rangs 0 et 1 et vérifient la même relation de récurrence, donc sont égales. 2) Pour la suite proposée, l'équation du second degré est :

X2 + X + 1 = 0. Notons, comme c'est l'usage, j et j2, ses solutions. On rappelle que :

j = −1

2+ i

3

2= e

i2π3 = cos

2π3

+ i sin

2π3

.

Les suites vérifiant la récurrence sont de la forme : un = αjn + βj2n.

On calcule α et β par le système : −1= α + β,

−1= αj +βj2.

On trouve donc : α = j, β = j2.

L'expression réelle de un est :

un = jn+1 + j2n+2,

n = 3k, un = j + j2 = –1,

n = 3k + 1, un = j2 + j = –1,

n = 3k + 2, un = 1 + 1 = 2.

La suite est divergente.


exercice 8-QC

1) Pour une suite définie par une relation de récurrence du type un+1 = f(un), avec f continue, la limite éventuelle L doit vérifier :

L = f(L). Cas linéaire :

L = a L. Donc si a ≠ 1, seule L = 0 est possible. Sinon tous les réels peuvent être limite. Cas de la translation :

L = b + L. Si b = 0, tous les réels sont possibles. Sinon aucune limite finie n'est envisageable. Cas homographique :

L =aL+ b

cL + d.

Une valeur est à exclure d'abord, L = – d/c. Les valeurs possibles vérifient l'équation :

cX2 + (d – a)X – b = 0. Il ne peut exister de limite réelle que si le discriminant (d – a)2 + 4bc est positif ou nul. (NB : on pourra vérifier que c'est également le discriminant de l'équation du second degré associée à la relation de récurrence à deux pas construite à partir de la relation homographique.)


exercice 11-QC

1) Si u a pour limite L, un et un+1 tendent vers L, donc le produit unun+1 tend vers L2. Or un carré négatif ou nul est nécessairement nul, donc L = 0. 2) Soit w une suite telle que wn/n tend vers 0. Quelques essais montrent qu'on ne peut rien en conclure pour w :

w peut avoir une limite finie : wn = n

n +1,

w peut avoir une limite infinie : wn = n,

w peut ne pas avoir de limite : wn = (–1)n.

exercice 12-QC

L'application f est monotone, donc admet en tout point a une limite à gauche et une limite à droite, soit S(a) = sup(f(x), x ∈ ]– ∞ , a[), et s(a) = inf(f(x), x ∈ ]a , + ∞[. On a l'inégalité :

S(a) ≤ f(a) ≤ s(a). Comme f(R) est fermé, les bornes supérieures et inférieures appartiennent à f(R), c'est-à-dire sont des valeurs de f, soit S(a) = f(a') et s(a) = f(a"). Quels sont ces points a' et a" ? Supposons par exemple que a' soit différent de a. Dans ce cas, a' < a. Si b est un point vérifiant a' < b < a, on a alors les inégalités :

f(a') < f(b) < f(a), f(b) ≤ S(a),

ce qui est contradictoire, puisque f(a') = S(a). On déduit a' = a, et on déduirait de même a" = a, donc S(a) = f(a) = s(a), et la continuité de f en a.


exercice 14-QC

1) On voit d'abord que les valeurs de h pour x entier sont déterminées par la relation, à une constante près :

h(0 + 0) = h(0) + h(0), donc : h(0) = 0.

h(2) = h(1 + 1) = h(1) + h(1) = 2 h(1), et plus généralement, par récurrence, pour n entier naturel :

h(n) = n h(1). De même :

h(1 + (– 1)) = h(1) + h(–1) = h(0) = 0, h(–1) = – h(1),

et par récurrence, pour p entier relatif quelconque : h(p) = p h(1).

Soient p un relatif, et q un relatif non nul, on établit par récurrence :

hp

q

= ph1

q

,

en particulier :

h(1) = hq

q

= q.h1

q

,

donc :

h1

q

=1

q.h 1( ),

et par récurrence :

hp

q

=p

q.h 1( ).

Posons h(1) = a. La fonction h coïncide avec l'application linéaire f définie par f(x) = a.x, pour x rationnel.


Comme f et h sont continues, et que l'adhérence de Q est R, il en résulte que h(x) = f(x) pour tout x réel. Conclusion : h est l'application linéaire donnée par h(x) = x h(1). 2) Posons :

s(x)=1

1+ x2 , A = ]0 , +∞[.

Alors : B = [0 , +∞[,

s(A) = ]0 , 1[, s(B) = ]0 , 1]. Dans ce cas, s(B) n'est pas fermé, ce n'est pas l'adhérence de s(A) (qui est [0 , 1]). Avec la même application, si A = ]0 , 1[, B = [0 , 1] :

s(A) = ]1/2 , 1[, s(B) = [1/2 , 1].

Dans ce cas, s(B) est bien l'adhérence de s(A). 3) Soit s(A) l'adhérence de s(A), et s(B) l'adhérence de s(B). On a les relations :

s(B)⊂ s(A),

s(A) ⊂ s(B),

donc : s(B)⊂ s(A), et s(A)⊂ s(B).

Les deux adhérences sont bien égales.

exercice 15-QC

1) L'image réciproque d'un intervalle n'est pas toujours un intervalle. Graphiquement, il faut voir si la partie du graphe se projetant sur un intervalle de l'axe des ordonnées est en "un seul morceau" ou non.


On explicite facilement un tel cas. Prenons la fonction sin, qui est continue (propriété connue, ou qu'on

admettra), et J = −2

2 ,

2

2

, qui est un intervalle ouvert centré en 0.

l'image réciproque de J par sin est la réunion :

sin* (J) = −π4

+ 2kπ , π4

+ 2kπ

k

U .

C'est un ouvert, mais pas un intervalle. Si g est continue, l'image réciproque de J est un ouvert. Il faut donc chercher d'éventuels contre-exemples dans le cas où g n'est pas continue, par exemple g = partie entière. Cette fonction est continue en 0.5 par exemple, mais pas en 0. La partie entière de 0.5 est 0. Si on choisit :

J = −1

2 ,

1

2

,

l'image réciproque est : [0 , 1[. Cette image réciproque contient bien un intervalle ouvert centré en 0.5, mais ce n'est pas un ouvert. 2) Un fermé est le complémentaire d'un ouvert. Or on a la relation générale entre image réciproque et complémentaire :

si A ⊂ E, et h : F → E, h*EC (A)( ) = FC (h* A( )).

L'énoncé est donc encore vrai en remplaçant ouvert par fermé. 3) On a vu dans la question complémentaire de l'exercice précédent un exemple de fermé d'image non fermée :

s(x)=1

1+ x2 , B = [0 , +∞[, s(B) = ]0 , 1].

La conjecture est encore fausse.


exercice 16-QC

1) On sait que si une fonction u est négligeable devant une fonction v en un point a, alors u + v est équivalente à v en a. Cela peut se produire avec une fonction u tendant vers l'infini en a. Par exemple :

v(x) =1

x, u(x)= log( x).

1

x+ log( x)

0~

1

x,

et la différence, log(|x|) tend vers l'infini en 0.

2) Si f(x) tend vers L en a, il existe une fonction α(x) tendant vers 0 en a telle que :

f(x) = L(1 + α(x)). On a donc pour le logarithme :

log(f(x)) = log(L) + log(1 + α(x)), et comme L ≠ 1, on voit que log(f(x)) tend vers log(L), donc :

log(f(x)) ~ log(L). On démontre de même que log(g(x)) ~ log(L), donc :

log(f(x)) a~ log(g(x)).

Le cas de limite 1 donne un exemple où f(x) et g(x) sont équivalents mais pas log(f(x)) et log(g(x)) :

f(x) = 1 + x, g(x) = 1 + x2,

ces fonctions sont équivalentes à 1 donc équivalentes, mais :

log(1 + x) 0~ x, log(1+ x2)

0~ x2 .


exercice 17-QC

1) On a vu que c'était en effet justifié dans le cas où les arguments tendent vers 0. On sera toutefois prudent devant ce "passage à l'exponentielle" qui n'est pas toujours correct (voir plus haut exercice 16).

exercice 18-QC

1) Il faut tâtonner un peu pour trouver un exemple du même type, mais

avec g(x)

x non borné. En voici un, au voisinage de 0 :

g(x) = x sin2 1

x + x2 cos2

1

x .

La vérification est laissée au lecteur.


4� Pour Chercher

4-1 Indications pour les exercices (☺)

exercice 1-I

1) Reprendre la définition. 2) et 3) Prendre des exemples simples. 4) Transformer logiquement l'énoncé. 5) et 6) Faire des dessins. 7) Prendre des exemples.

exercice 2-I

1) Un ensemble fini est fermé. 2) Prendre des exemples. 3) Utiliser la propriété de base de la borne supérieure : c'est le plus petit majorant. 4) Utiliser directement la définition. 5) Raisonnement de base sur les bornes. Faire un dessin ou prendre des exemples. 6) Se rappeler qu'un ensemble est inclus dans son adhérence. 7) Faire des dessins, ou prendre des exemples variés.


exercice 3-I

1) 2) et 3) Faire un dessin.

exercice 4-I

1) Considérer l'ensemble des différences entre les termes de u et sa limite. Pourquoi a-t-il un plus petit élément en valeur absolue ? Quel est-il ? Un ensemble borné d'entiers est fini. 3-1) Penser à la suite de terme général 1/(n + 1). 3-2) Pour tout intervalle ouvert centré à la limite, pour n assez grand, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle. Conclure si la limite est isolée.

exercice 5-I

1) Ecrire soigneusement la formulation de la convergence des deux suites extraites. 2) Tester sur les exemples présentés dans la partie "Pour voir". 3) Idem. Voir que (v2n) et (v5n) ont une suite extraite "commune", de même (v2n+1) et (v5n).

4) Revoir la définition de "point adhérent". Pour la réciproque, écrire la négation de "c est un point isolé", et utiliser cette affirmation pour construire par récurrence une suite extraite.

exercice 6-I

1) Voir dans les exemples de la partie 2. 2) Penser que pour une suite extraite définie par une application φ, pour tout n, φ(n) ≥ n.


3) Ecrire formellement que u n'est pas majorée, et utiliser cet énoncé pour construire par récurrence une suite extraite convenable.

exercice 7-I

1-1) Programmer ce calcul sur ordinateur ou calculette. 1-2) Ecrire que un = sn vérifie la récurrence.

2) Chercher l'équation que doit vérifier la raison d'une suite géométrique. 3) Calculer un+2, puis éliminer vn+1 et vn.

exercice 8-I

1) et 2) En principe, résultats connus. Récurrences simples. 3) Ecrire les 3 premiers termes. Essayer de deviner une forme régulière. Penser à l'égalité :

1+ x + x2 +…+ xp =xp+1 −1

x −1.

4) Remplacer, dans la relation de récurrence, un par vn

w n, et un+1 par

vn+1

wn+1.

exercice 9-I

1) Faire une démonstration par récurrence. 2-2) Noter que un+2 = f o f(un).

2-3) Utiliser le résultat de l'exercice 2.

exercice 10-I

2) Considérer le signe de g'(0). Utiliser l'exercice 9. 3) Distinguer les différents cas : u1 et u2 sont-ils égaux ? Sinon quel est le plus grand ? A quelles valeurs de u0 cela correspond-il ?


exercice 11-I

1) Supposer la limite strictement positive. Est-ce possible ? 3) On peut utiliser la représentation du 2), avec α bien choisi. 5) Tester sur les exemples déjà vus. 6) cf. exercice 4.

exercice 12-I

1) Traiter le cas de f croissante par exemple. Pour l'existence de limites, revoir le cours. Pour la continuité, choisir un point a, et raisonner par l'absurde : si la valeur de f en a n'est pas égale à la limite à gauche (ou à droite), prendre deux éléments encadrant a, déduire un encadrement des limites par des valeurs de f. Se rappeler que dans un intervalle il n'y a pas de "trou". QC-1) Sup ou inf d'un ensemble est un point adhérent à cet ensemble. 2) Faire des dessins : par exemple un cas vérifiant la conjecture. Peut-il y avoir d'autres cas ?

exercice 13-I

1) C'est un problème de composition de limite, et d'unicité. 2) 3) Raisonner par contraposition : supposer et écrire "f non continue en a", Construire à partir de là une suite tendant vers a dont l'image ne tend pas vers f(a). 4) Penser que dans ce cas l'existence de la limite est connue. Quelle est sa valeur ?

exercice 14-I

2) Généralisation du raisonnement du 1).


QC-1) Déterminer h(x) pour x = 0, x entier, puis x rationnel. Alors utiliser le fait que l'adhérence de Q dans R est R. 3) Un point est adhérent à E si et seulement si il est limite d'une suite de E.

exercice 15-I

1) Ecrire ce que signifie "g a pour limite b en a", et expliciter la définition de l'image réciproque. 2) Généralisation de 1). QC-2) Un fermé est complémentaire d'un ouvert. 3) Faire quelques essais. Pour une application donnée, changer le choix de l'intervalle. Essayer des applications non bijectives. 4) Se rappeler qu'il y a une limite à gauche et une limite à droite (sauf en a et b).

exercice 16-I

1) Calculer le quotient, voir s'il tend vers 1 en général, et dans le cas particulier. 2) Ne pas faire le quotient. Dans log(f(x)), mettre log(g(x)) en facteur.

exercice 17-I

1) Etudier le logarithme de l'expression. 2) Chercher des équivalents simples des différents facteurs. 3) Chercher des équivalents du numérateur et du dénominateur.

exercice 18-I

Prendre x0 = 0 pour chercher des cas particuliers.



4-2 Méthodes (�)

Mode d'emploi de cette partie : vous trouverez d'abord une liste de méthodes de résolution des types de questions présentées dans ce volume ; par commodité, on a précisé ensuite à propos de chaque exercice où une méthode a été indiquée par (�) le (ou les) numéro de la méthode concernée. S'agissant d'un discours sur les mathématiques, et non d'un discours mathématique, on trouvera naturel qu'il utilise les abus de langage usuels, les raccourcis allusifs, et de façon générale qu'il se rapproche d'un discours oral qui pourrait être tenu devant les étudiants.

1- Faire un raisonnement par l'absurde. Pour démontrer qu'une

propriété B est vraie, dans une situation donnée définie par certaines hypothèses. Supposer que la propriété B est fausse, en déduire une propriété contradictoire avec au moins une des hypothèses.

NB : Dans une situation donnée, toutes les hypothèses ne sont pas toujours explicites. Par exemple, on travaille avec des nombres réels sans le préciser explicitement.

2- Faire un raisonnement par récurrence. Pour démontrer qu'une

propriété dépendant de la valeur d'un entier n est vraie, prouver qu'elle est vraie pour une petite valeur de n (n = 0, ou 1 par exemple), puis prouver que si la propriété est vraie pour n alors elle est vraie pour n + 1.

3- Savoir écrire la négation d'un énoncé. Un cas fréquent : "Pour tout A, il existe B tel que P est vraie". Négation : "Il existe un A tel que pour tout B P est fausse".


Se reporter au volume 1. 4- Savoir écrire la contraposée d'un énoncé. la difficulté est dans

l'écriture de la négation de l'hypothèse et de la conclusion, d'où l'intérêt du travail sur la négation (qui sert également pour les raisonnements par l'absurde). Les règles de base sont :

� d'abord écrire chaque énoncé très explicitement, très précisément ; en particulier expliciter les éventuels quantificateurs;

� ensuite décomposer un énoncé complexe en sous-énoncés, auxquels on donnera provisoirement un nom, pour aboutir à l'un des modèles les plus usuels : "P ou Q", "P et Q", "pour tout x, P(x)", "il existe un x tel que Q(x)" ;

� enfin écrire la négation de proche en proche à travers les énoncés contenus les uns à l'intérieur des autres.

5- Utiliser la notion de borne supérieure, ou de borne inférieure.

Voir le volume 2. Deux caractéristiques de sup. C'est un majorant, c'est le plus petit majorant. Conséquences pratiques : sup(A) est plus grand que tout élément de A. Dans beaucoup de situations, on connaît bien A, mais pas sup(A). Si x < sup(A), ce n'est pas un majorant donc il existe un élément a de A vérifiant x < a ≤ sup(A). Le cas de inf est analogue.

6- Savoir montrer qu'un ensemble de réels est ouvert. Prendre un élément quelconque, vérifier qu'il est possible de

trouver un intervalle ouvert centré en ce point, assez petit pour être contenu dans l'ensemble. Il est conseillé de s'aider de dessin. Pour une preuve, travailler sur les inéquations ou essayer d'utiliser les résultats généraux.


7- Savoir montrer qu'un ensemble de réels est fermé. La méthode de base est de passer au complémentaire, qui doit être

ouvert (�). Plus "savant" : cet ensemble est l'adhérence d'un ensemble, ou l'image réciproque par une application continue d'un ensemble connu fermé.

8- Utiliser la notion de point adhérent. Lorsqu'un point est adhérent

à un sous-ensemble des réels, certaines propriétés en ce point sont "proches" de celles vérifiées sur le sous-ensemble. Il faut y penser lorsqu'il est question de limite, de continuité… Attention toutefois au cas des points isolés d'un ensemble. Ils sont adhérents aussi.

9- Utiliser la définition formelle pour montrer la convergence, ou

la divergence d'une suite. Comme on a vu sur un exemple, il n'est pas très facile de prouver

la convergence d'une suite directement à l'aide de la définition. Par contre, on peut l'utiliser pour prouver qu'une suite u ne tend

pas vers un réel L. Il suffit de trouver un contre-exemple, c'est-à-dire un ε tel que il

existe des rangs N aussi grands qu'on veut vérifiant : |uN – L| ≥ ε. 10- Utiliser une suite extraite pour étudier une suite. Si une suite extraite diverge, la suite diverge, si une suite extraite

n'est pas bornée la suite diverge. Penser à ces propriétés, où il y a la liberté de choisir une suite extraite en fonction de ce que l'on cherche à prouver. Voir les exemples et exercices pour utiliser des suites extraites pour établir la convergence d'une suite.


11- Utiliser la définition formelle de la limite pour construire des entiers, une suite extraite.

La négation de l'énoncé de convergence est un moyen de construire des entiers ou une suite : en effet elle comporte une affirmation d'existence sous condition.

Il existe ε tel que pour tout N il existe n > N vérifiant… Cette méthode s'utilise dans certains raisonnements par l'absurde

ou par contraposition. 12- Savoir montrer que deux applications sont équivalentes au

voisinage d'un point. Technique à utiliser avec précaution dans les sommes. Pour les

produits (ou quotients) on peut remplacer chaque facteur par un équivalent. Pour les sommes, il faudra s'efforcer de distinguer le terme dominant et prouver que les autres sont négligeables devant lui. Il faut se constituer une table d'équivalents élémentaires (calculs de dérivées, ou plus tard, développements limités).

Les méthodes dans les exercices :

ex. 1 : 6, 7 ex. 2 : 8 ex. 4 : 9, 10 ex. 5 : 2, 10 ex. 6 : 4, 10 ex. 7 : 2 ex. 8 : 2 ex. 9 : 2 ex. 11 : 3 ex. 12 : 1, 5 ex. 13 : 1, 4, 11 ex. 14 : 2, 8 ex. 15 : 6, 7 ex. 16 : 12 ex. 17 : 12 ex. 18 : 12


4-3 Lexique (�)

A Adhérent : un réel est un point adhérent à un ensemble si tout intervalle

ouvert centré en ce point contient au moins un élément de l'ensemble. L'adhérence est l'ensemble des points adhérents.

C Conjecture : une conjecture est un énoncé mathématique dont on ignore

s'il est vrai ou faux. Conditions initiales : lorsqu'une suite vérifie une relation de récurrence,

il est nécessaire, pour qu'elle soit complètement déterminée, de connaître la valeur du premier terme (récurrence à un pas), ou des deux premiers (récurrence à deux pas)…

Ces données constituent les conditions initiales. F

Fermé : une partie de R est fermée si son complémentaire est un ouvert. H

Homographique : une application f est appelée fonction homographique lorsqu'elle est définie, sur une partie convenable de R, par :

f(x) =ax+ b

cx + d.

I Image directe : l'image directe, par une application f : E → F, d'une

partie A de E est f*(A) = {f(x)| x ∈ A}. On la note aussi f(A).

Image réciproque : l'image réciproque par f : E --. F d'une partie B de F est f*(B) = {x ∈ E| f(x) ∈ B}. (notée aussi f-1(B)).


Isolé : un réel est un point isolé dans un ensemble auquel il appartient, s'il existe un intervalle ouvert, centré en ce point, ne contenant pas d'autre élément de l'ensemble que lui-même.

O Ouvert : Une partie de R est un ouvert si elle est l'union d'intervalles

ouverts. R

Relation de récurrence à k pas : k étant un naturel non nul, on dit qu'une suite u vérifie une relation de récurrence à k pas si il existe une application f, fonction de k variables, telle que chacun de ses termes, à partir de uk, est défini par la donnée des k termes qui le précèdent par :

un = f(un-1, un-2, …,un-k+1, un-k).

Dans la pratique, k = 1 le plus souvent, ou k = 2. Relation de récurrence homographique : c'est une relation à un pas

définie par une fonction homographique. S

Section finissante : soit a un entier naturel. La section finissante fermée d'origine a est l'ensemble des éléments de N supérieurs ou égaux à a. La section finissante ouverte est l'ensemble des éléments strictement supérieurs à a.

Stationnaire : une suite est stationnaire si, à partir d'un certain rang, ses termes ont une valeur constante.

Suite géométrique : son terme général est de la forme un = u0.sn. Le réel (ou le complexe) s est la raison de la suite.

Suite arithmétique : son terme général est de la forme un = u0 + n.a. Le réel (ou le complexe) a est la raison de la suite.

Documents

Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 3