D E LA M E C A N I Q U E L I N E A I R E

A LA MI~CANI~UE NON LIN]~AIRE *

par Julien LOEB lng6nieur en Chef P. T. T. **

SOMMAIRE. - - Aprhs avoir rappeld comment, dams la technique des t~lgcommunications, un syst~me non lln~aire (le modulateur) donne une transposition lingaire d'un signal, on montre qu'un proc~d~ semblable permet de lindariser des dispositi# ~lectromgcaniques ou mgcaniques non lingaires (relais, cadre de radiogoniom~trie, etc.).

La /onction de balayage ]o~te le m~me rdle que l'onde porteuse en radio~lectricitd.

J. INTRODUCTION.

Depuis une dizaine d'ann6es l'introduction des m6thodes mises au point par les techniciens des t616communications dams le calcul des syst~mes m6caniques ou 61ectrom6caniques a constitu6 un progr~s certain.

Cela tient, on le salt, au fair que les r6seaux 61ectriques 6tant en premiere approximation de nature lin6aire, ils ont pu gtre 6tudi6s h fond au moyen d'outils math6matiques d6jh d6velopp6s au si~cle dernier, tels que le calcul matriciel, l'analyse symbolique, etc.

Les syst~mes m6caniques ou 61ectrom6caniques, dams la mesure off l'on peut les consid6rer comme lin6aires, sont justiciables des m~mes m6thodes.

L'ennui, c'est que la nature est rarement lin6aire. En particulier les syst~mes m6caniques ne peuvent en g6n6ral gtre consid6r6s eomme lin6aires que s'ils sont le si~ge de petites oscillations. Cela permet d6jh de traiter les probl~mes de stabilit6, condition toutefois qu'il n 'y air pas de sculls trop grands.

Les m6thodes transpos6es de la technique des r6seaux 61ectriques ne permettent pas, par exemple, de traiter au moyen de relais les syst~mes 61ectro- m6caniques fonctionnant de fa~on discontinue.

C'est tout h fair regrettable, car les relais consti- tuent des amplificateurs puissants et 16gers, dorrt le seul tort est de n'gtre pas lin6aires.

L'objet de la pr6sente 6tude est de montrer comment on peut encore trouver, dams l'arsenal des t616communications, une m6thode tout h fair g6n6- tale de traitement des probl~mes non lin6aires, ou plus exactement de leur transformation en pro- blames lin6aires.

La d6finition de cette m~thode tient en cinq mots : (( Utilisation d'une fr6quence porteuse ~).

* Cet article a fait l 'objet d 'un expos6 oral le 28 juin 19t~9 et le ~8 octobre t9~9, dams le cadre des Con#rences du CENTRE D'I~TlYDES DE LA MECANIQUE DU VOL, organis6es par la Section des Engins sp~ciaux du Service technique de l'Adronautique. L'au teur avait en outre part iel lement trait6 ce sujet dams la Note Prdliminaire n ~ 144 du LABOaATOIaE NATIONAL DE RADIOELECTRICIT l~.

** Au C. N. E. T., Chef du D6partement Tdldcommande et Contre-Mesures.

TRLI~COMMUNICATION$

2. ~ Q U I V A L E N T S MI~,CANIQUES

DES GRANDEURS PHYSIQUES

DE LA TECHNIQUE DES T~L~COMMUNICATIONS.

2,1. -- Syst~mes lindaires.

Les syst~mes ~lectrom6caniques sont essentlel- lement con~us pour transmettre des messages (t616graphe, t616phone, fac-simil6, t616vision, etc.).

Un message est caract6ris6 par uric bandepassante, c'est-h-dire par le spectre~ des fr6quences qu'il contient et qu'il est n6cessaire de faire passer.

De plus, la (( quantit6 d'information ~ que peut transmettre une vole est limit6e par une c( quantifi- cation )) de l'amplitude du signal. Deux signaux de m~me fr6quence et d'amplitudes diff6rentes ne sont en effet discernables que si la diff6rence de leurs amplitudes d6passe un seuil d6termin6. Ce seuil provient principalement du bruit toujours existant dams une liaison radio ou ill. En m6canique, un syst~me de t616eommande dolt aussi v6hiculer un message. Ici, la bande passante est beaucoup plus petite que celle du t616phone ou mgme du t616- graphe, en raison de la forte inertie des pi~ees m6caniques en mouvement. Suivant les utilisations la bande passante varie entre i cycle/seconde et 10 cycles/seconde, voire mgme une centaine de cycles-seconde.

Lorsqu'il s'agit d'un r6gulateur, la notion de bande passante apparalt moins clairement mais subsiste encore. I~videmment, la grandeur physique qui dolt gtre maintenue par le r6gulateur, et qui est impos6e de l'ext6rieur, peut ne pas varier. II faut cependant que le r6gulateur soit dou6 d'une <( c616- tit6 ~ suffisante pour r6tablir le r6gime voulu, lors- qu'une perturbation l'a momentan6ment d6rang~.

Un pilote automatique d'avion tient h la fois de la t616commande et du r6gulateur. I1 doit suivre un cap avec assez de rapidit6, mgme si ce cap est modifi6 par le pilote, et par ailleurs il doit reprendre rapidement sa place apr~s des rafales qui jouent ici le r61e de parasites impulsionnels.

2,2. - - Frdquences porteuses. Le plus souvent, le signal n'est pas envoy6 tel

quel, mais il est utilis6 pour moduler un courant auxiliaire dont la fr6quence F est appel6e fr6quence

- - 65 - - 2

2/7 porteuse. Un modulateur est essentiellement .un ensemble non lin6aire dans lequel on ajoute la porteuse et le signal. Soient

P ~- Po sin 2~Ft la porteuse S ~ So sin 2=/t le signal.

Soit ~(~) la fonction repr6sentant Faction du modulateur. Si l'on ajoute P et S dans eelui-ci, il en sort (~(P + S). En d6veloppant en s6rie de Taylor on a :

~(P + S) = ao -[- a~(P + S) +a~(P + S) ~ -4- as(P + S) 8 +....

Si ron fait suivre le modulateur d'un filtre ne laissant passer qu'une bande centr~e sur F, on obtient le terme :

2 a2 P S = 2 a2(So sin 2 = / t ) P o sin 2~:Ft.

On a ainsi une porteuse B 0 sin 2nFt dont l'ampli- rude S o sin 2~[t repr6sente le signal h transmettre.

Ceci n'a de sens que si [ est beaucoup plus petit que F. Pratiquement [ est au maximum de l'ordre de 1/3 de F.

On volt ainsi que si 1'on rencontre dans une chaine de transmission un 616ment non lin6aire (modulateur) on retrouve une fonction lin6aire du signal en op6rant comme suit :

ajouter une fr6quence porteuse, filtrer une bande centr6e sur cette fr6quence

porteuse.

3. QUELQUES MI~,CANISMES, LINI~,AIRES

ET NON LINEAIRES.

Nous allons examiner un certain nombre de m6canismes consid6r6s comme transformant une grandeur d'entr6e en une grandeur de sortie. Cette derni~re sera, darts le cas le plus g6n6ral, une Ionction ou une fonctionnelle continue ou discon- tinue.

3 , 1 . F o n c t i o n c o n t i n u e .

3,i l . Fonctlon impaire.

C'est ici, pour les falbles amplitudes, un m6ca- nlsme lln6aire : la grandeur de sortie est simplement proportionnelle en grandeur et en signe h une

FIG. 1.

grandeur d'entr6e. Par exemple, les servo-m6ca- nismes dans lesquels la position g6om6trique d'un index est rep6r6e par la r6sistance d'un poten- tiom~tre rentrent dans cette cat6gorie (voir figure l).

La commande s'effectue dans ce cas au moyen du curseur C1 du potentiom~tre P r La grandeur

�9 L LOEB [A~:u~z,~s D~s T6~T.6COMMU~ICA~O~

restitu~e est la position du curseur C~ du poten- tiom~tre Pv La grandeur d'entrSe r est le d6ealage g6om6trique entre les 2 curseurs.

Le signal fourni par le discriminateur est la diff6- fence de potentiel E entre C1 et Ca. E est propor- tionnel ~ r

Un autre exemple est donn6e par la figure 2, qui repr~sente le discriminateur classique d'un asset- vissement angulaire par selsyn.

FIG. '~.

La commande s'effectue en agissant sur rangle 0 que fair le rotor monophas6 (aliment6 en 50 c/s) avec un rep6re fixe. La grandeur resti- tu6e est l'angle 0'. L'erreur (grandeur d'entr6e) est ~ = 0 - - 0 ' .

La grandeur de sortie E est un courant alternatif de fr6quence 50 c/s et dont l 'amplitude est en grandeur et en signe proportionnelle h sin r

On consid~re ce syst~me comme 6rant lin6aire pour les petites valeurs de r

3,12. La grandeur de sortie est une [onction paire de la grandeur d'entrge.

Prenons, par exemple, le cas de la radio-gonio- m6trie. I1 existe, on le salt, des appareils qui per- mettent de diriger automatiquement un index li6 au cadre vers la source de rayonnement 61ectro- magn6tique : ce sont les radio-compas.

D'ailleurs, mgme quand la radio-goniom6trie n'est pas automatique, l'ensemble que forme le cadre avec l'op6rateur constitue un servom6ca- nisme (et non des meilleurs).

Si l'on porte en abscisses l'erreur angulaire et en ordonn6es la valeur d6tect6e E du courant qui sort

FIG, 3.

du cadre, on obtient la courbe de la figure 3. Ici, on a bien l'indieation de la valeur absolue de l'6cart angulaire, mais on n'a plus le signe.

On a rencontr6 une eirconstance du mgme genre

m 6 6 - -

t. 5, n ~ 2, 1950]

lorsqu'on a cherch6 h r6aliser an oscillateur local produisant trne tension d o n t t a fr6quence dolt gtre rendue 6gale h une fr6quence dohn6e. Ici encore, la fr6quence du courant de battement indique bien la valeur absolue de l'6cart, mais le signe de ce dernier est sans effet sur le courant produit h la sortie.

DE LA MI~CANIQUE LINEAIRE A LA NON LIN~AIRE" 3/7

de la valeur actuelle de la variable mais encore de ses valeurs ant6rieures).

3,31. Fonctionnelle continue.

La figure 6 montre le sch6ma d'un syst~me d6riv6 de celui de la figure i e t dans lequel on amplifie le

:3,2. Fonetions discontinues.

Dans les m6eanismes fonctionnant par tout ou rien, le signal de sortie crolt brusquement de 0 h une valeur donn6e constante lorsque la grandeur d'entr6e est positive, et de 0 h une valeur oppos6e, constante 6galement, lorsque cette grandeur est n6gative. Le sch6ma de la figure 4 qui d6crit le mgme appareil

C- I

,T= L ] , m

El 7 I I

FIC. ~-.

que celui de la figure ~, avec un relais polaris6 en plus, en donne un exemple. Dans ce cas, la fonction est discontinue et impaire (en g6n6ral de tels syst~mes pr6sentent un seuil de sensibilit6 que dolt franchir l'erreur pour que le signal existe).

J

E

Fw,. 5.

La figure 5 donne la courbe de E en fonction de r

3,3. Fonetionnelles.

I1 arrive mgme assez souvent que le signal de sortie n'est pas une fonction de l'erreur (cas o~t la tension de sortie ne d6pend que de la valeur actuelle de la grandeur d'entr6e) mais bien une fonctionnelle (cas oh la tension de sortie d6pend non seulement

FIG. 6.

signal d'entr6e au moyen d'un amplificateur 61eetro, m6canique, un (c amplidyne ~ par exemple.

FIG. 7.

La figure 7 donne la courbe de E en fonction de r

3,32. Fonctionnelle discontinue. L'exemple e n e s t fourni par un diseriminateur

de phase, utili~6 au Centre National d'l~tudes des

couran D

couran G

I ! !

I I l

FIG. 8.

T616communications et dont le principe est le suivant :

I1 s'agit d'obtenir un signal de sortie fonction du d6phasage r de 2 courants d'impulsion D et G (fig. 8) compt6 positivement si G est en retard sur D,

67

n6gativement dans le cas contraire (on nes'oecupe ici que de petites valeurs de r

Un baseuleur, ou c~ flip-flop ~, est actionn6 par ees 2 eourants : D agit sur sa lampe de droite, G sur sa lampe de gauche (fig. 9).

O

| | ~ lit I ' - - -

FIG, 9.

Le signal E sera la valeur moyenne de la tonsion entre les plaques. S i r est positive, le basculeur est sur sa position G pendant presque toute la p6riode. Si r est n6gative, c'est sur D qu'il reste pendant le mgme temps.

I1 y a done un saut brusque lorsque r passe par

E

J. LOEB [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATION$

qu'6x6eute un op6rateur qui fair fonetiouner un dispositif manuel connu, Nous consid6rerons, pour cette analyse, Ie fonetionnement d'un cadre en radiogoniom6trie. L'op6rateur ignore la direction r6elle de l'onde qui lui parvient. I1 oriente son cadre au hasard, et en g6n6ral per~oit un signal. Ce fait lui apprend que son cadre n'occupe pas la position souhait6e, mais ne peut lui dire dans quel sens il dolt faire tourner le cadre pour 6teindre le signal. Le raisonnement se substituera aux indi- cations d6faillantes. L'op6rateur donnera un certain d6placement au cadre: si ce d6placement am6ne un renforcement du signal, c 'es t qu'il n'est pas fait dans le sens convenable ; aussi, l'op6rateur d6pla- cera le cadre dans l'autre sens, ce qui rapprochera de la position correete.

I1 arrivera fr6quemment que le mouvement donn6 au cadre d6passera h b u t - e t que l'erreur aura chang6 de signe. Si l'op6rateur n'a pas de bons r6flexes, il pourra mgme arriver que chaque mou- vement destin6 ~ amener l e cadre sur la position souhait6e d6passe son but, et l 'ensembh cadre plus op6rateur entrera en oscillation auto-entretenue.

Cette oscillation aura d 'autant plus de chances de se produire, pour un mgme op6rateur, que la pr6cision demand6e sera grande.

En langage de servo-m6canismes, on dirait que d~ plus l'erreur est amplifi6e, plus le syst~me tend h

osciller tout seul.

4,2. Proc~flfi gfinfiral de lin6arisation. L'exemple ei-dessus nous montre qu'on peut avoir

int6rgt h 6tablir des m6canismes qui reproduisent le mouvement alternatif effectu6 par l'op6rateur de radiogoniom6trie pour la recherche de son but. C'est justement ici qu'intervient la fr6quencc porteuse dont il vient d'gtre parl6 : on ajoutera h la grandeur d'entr6e une fonetion slnusoidale du temps, arbitraire, de la forme r sin 27~Ft. D'autres fonc- tlons p6riodiques peuvent ~tre utilis6es, notamment les courbes ~c en dents de scie ~.

Nous appellerons ce t te fonction la ~ fonction de balayage ~. Comme dans le domaine des t616commu- nications, la fr6quence F dolt gtre plac6e tr~s au del~ de la bande passante du syst~me.

Nous allons d6montrer les 2 r6sultats suivants, valables pour les petites valeurs de la grandeur d'entr6e r :

1 o Si le syst~me est impair (courbe repr6sentative sym6trique par rapport h l'origine), la valeur moyenne du signal donn6 h sa sortie, est propor- tionnelle en grandeur et en signe ~ r

2 ~ Si le syst~me est pair, la composante du courant de sortie, qui est ~ la fr6quence de balayage, poss~de une amplitude qui est, en grandeur et en signe, proportionnelle h r

5. DISCRIMINATEURS IMPAIRS.

Le th6or~me cl-dessus est 6vident lorsque la tension de sortie du discriminateur est une [onction impaire et continue de l'erreur.

Fie,. 10.

z6ro. En fait, il faut que r d6passe 16g~rement la valeur de z6ro pour que le basculeur op~re. On obtient alors le graphique repr6sent6 sur la figure t0.

4. LI~ARISATION DES SYSTEMES NON LINEAIRES.

I1 s'agit maintenant de savoir si l'on peut trans- former les syst~mes ci-dessus d6crits en syst~mes lin6aires. C'est le paragraphe 2,2 qui va nous en fournir le moyen :

On a vu que la modulation d'une onde porteuse par le signal n6cessite l'emploi d'un r6seau non lin~aire. On en obtient une po r t euse modul6e dont l'amplitude est une fonction lin6aire du signal d'entr6e. Ici, nous prendrons notre syst~me non lin6aire tel qu'il es t ; nous superposerons dans ses circuits la grandeur d'entr6e h transmettre et une fonction p6riodique de fr6quence F du temps (sinusoidale par exemple). I1 en sortira une fonction p6riodique de fr6quence F modul6e par le signal d'entr6e. De plus, apr~s d6tection, on pourra r6eu- p6rer une fonction lin6aire du signal d'entr6e. Nous allons voir comment cette id6e g6n6rale s'appliquera aux cas concrets.

4,1. M6thode suivie par un op~rateur. Comme il arrive tr~s fr6quemment lorsqu'on

cherche ~ inventer un disposltif automatique nouveau, on dolt commencer par analyser ce

- - 68

t. 5, n ~ 2, 1950]

5,1. Fonction impaire et discontinue.

Lorsque la tension de sortie du discriminateur est une fonction impaire et discontinue de l'erreur, ce r6sultat subsiste e t e s t d6montr6 dans l 'ouvrage de M~c Cor~ *

Voici en substance, cette d6monstration (fig. l l ) qui s'applique ~ un syst~me ~ tout-ou-rien >~.

DE LA M E C A N I Q U E LINI~AIRE A LA NON LINI~AIRE 5 / 7

Si l'origlne des coordonn6es est ehoisie de telle far que, pou~ �9 O, eette int6grale s'annule (sym6trie de la courbe d'hyst6r6sis par rapport h l'origine) et si la d6riv6e premibre dece t t e int6grale par rapport h r s 'annule pas, on aura ainsi un signal qui sera en grandeur et en signe proportionnel h s.

l 1

I / -, / 7" �9 , / ~ / " " q : ' . . I ../....,,,~, . ,~

I

Fro. 11.

Ce syst~me donne un signal : d- E t a n t q u e s > 0 - - E t a n t q u e s < 0.

La diff6rence des dur6es d'application signaux + E et - - E est 6gale ~ 4~, avec

des

27~2: s o s ] n - - ~ ~ s.

Comme ~ << z0 : T s

eL la v a l e u r m o y e n n e E du signal e s t :

A~ 2s L ' = E x E.

T -- ~:So

Cette proportionnalit6 subsiste si le syst~me donne une courbe analogue ~ celle de la figure 5. Nous ne donnerons pas ici la d6monstration de ce ~6sultat, car cette d6monstration est tout h fait semblable ~ celle qui sera donn6e plus loin ~ propos des fonctionnelles discontinues.

5,2. Fonctionnelle impaire et continue.

Nous pouvons 6tendre ce r6sultat au cas oh le courant de sortie est une fonctionnelle impaire.

En effet, soit ~(U) cette fonctionnelle. Darts les c a s q u e nous 6tudions (courbe d'hyst6r6sis), elle se ram~nera h une fonction de (U) susceptible de deux d6terminations.

Par exemple, dans le cas de la figure 7, on a F(U) = F:(U) lorsque (U) varie de - - U0 h -t- Uo, et F(U) = F~(U) lorsque U revient de -4- U0 h - - Uo.

Lorsque l 'on a U = s-4- so sin tot, la fonction- helle if(U) devient une/onct ion de t et de s.

Dans le cas le plus g6n6ral, les instants off la fonction change de d6termination seront des fonctions continues de ~. Par cons6quent, l 'int6grale

o "ff~(r 4- r sin oat)dr sera 6galement une fonction

continue de r

* Mac COLL (L. A . ) . - l~ldments de la thdorie des ser~,o- m~canismes (F~ndamental theory of servomechanisms). New-York : D. Van Nostrand Co Inc. 1945.

5,3. Fonetionnelle impaire et discontinue.

Nous obtiendrons le mgme r6sultat avec le syst~me de la figure I0 (volt figure 12).

Fzr t2.

La courbe I repr6sente la variation en fonction du temps de % sin tot. Cette fonction at teint le seuil -4- $ h l ' instant t ; puis, quand elle at teint en descendant le seuil -4-8 par hypoth~se, rien ne passe en raison de l'hyst6r6sis. A ce moment, le signal a la valeur d- Co. C'est seulement lorsque la fonction % sin tot aura a t te int la valeur - - ( instant tl) que le signal va se renverser pour atteindre - - C : . De mgme, il ne reviendra positif qu'~ l ' instant t~.

Comme les intervalles de temps to, tl, t~ sont 6gaux, la valeur moyenne du signal est nulle.

I1 S e n est plus de mgme si, au lieu du signal s 0 sin tot, on a :

s -4- sn sin ~ot (courbe If).

A ce moment, l ' instant t'0, oh la fonction at teint -4- $ vient avant to, et l ' instant t ' : oh la fonction at teint - - ~ vient apr6s t 1 et l ' instant t ' 2

o~'. la fonction d6passe -4-~ (exactement une p6riode apt& t'0) est 6galement en avance s u r t 2.

I1 en r6sulte que le signal est 6gal h -4- Co pendant un temps plus long qu'il n 'est 6gal h - - C 0.

Sa valeur moyenne n'est donc plus nulle, et il est facile de voir qu'elle est donn6e, pour r << ~, avec % > ~, par la formule suivante :

C = 2SC o . 1 ~,"

7~~ ~ 1 ~0 2

On volt ainsi que, non seulement on obtient un signal de sortie fonction lin6aire de s, mais encore que l'on dispose d 'un proc6d6 permet tant d'agir h volont6 sur le coefficient de proportionnalit~.

On a relev6 par exemple tes courbes exp6rimen- taIes suivantes (fig. 13) pour diverses valeurs de s dans le discriminateur de phase d6crit au para- graphe 3,32.

Le compas SvEnn-z, avec son dispositif (( de poursuite)) oscillant, illustre 6galement ce proc6d6 de lin6arisation dans le cas d 'une fonctionnelle

69

E'~= 2o5 FI~. 13.

o = 5 j ~ o = f O -~

f

impaire. Darts ce cas, le balayage est en ~r dents de scie )).

6. SYSTEMES PAIRS.

On n'a pas rencontr6 jusqu'ici de discriminateurs la fois pairs et di.scontinus ; leur traitement serait

le mgme. Les courbes que donnent ceux que ron peut rencontrer ont en g6n6ral l'allure de la figure 14.

Comme, iei, le premier terme du d6veloppement de F suivant les puissances croissantes de son argument est de la forme :

K(r + ~o sin cat) ~,

on obtient, comme terme de pulsation ca, une expression de la forme :

Kezo sin tot.

Le signal possbde alors, h la pulsation ca, une amplitude proportionnelle h l'erreur z en grandeur et en signe, e'est-h-dire que sa phase tourne de t80 ~ lorsque l'erreur change de signe. I1 est analogue

J. LORB [ANNALgS DES TI~L~COMMUNI~TIONS

direetement le syst~me (diseriminateur dans un servo-m6canisme, par exemple), puisqu'une tension alternative est bien plus facile ~ amplifier qu'une tension continue.

Ce proc6d6 parait ainsi meilleur que les m6thodes de faux-z6ro usuellement employ6es pour 61uder la difficult6 pr6sent6e par les syst~mes pairs, avec la possibillt6 d'instabilit6 du z6ro qui caract6rise ces m6thodes.

Un exemple de ces syst~mes (dans le cas pr6sent, un diseriminateur de servo-m6canisme) a 6t6 donn6 plus haut : c'est le cadre en radiogoniom6trie, avec routes ses variantes possibles, dont une des plus connues est le dispositif de poursuite automatique du radar ; ici encore, le discriminateur d'angles, h savoir l 'antenne plac6e au foyer d'un miroir, a un diagramme sym6trique: on ajoute h l'6eart angulaire h discriminer un $cart angulaire fonction sinuso~dale du temps, en faisant tourner l'antenne excentr6e.

Un proc6d6 de mgme nature est d6crit par MM. Pierre DEnRAI~E et Cestmir SIMAN~ *, pour la r6gulation du champ magn6tique d'un cyclotron.

I1 s'agit lh d'asservir le champ magn6tique au courant ionique de sortie, de fa~on h le maintenir exactement 6gal ~ la valeur exigde par les autres caract6ristiques de l'appareil (notamment la fr6- quence de la tension appliqu6e aux (~ dees ))). La eourbe donnant le courant ionique en fonetion de l'erreur r commise sur le champ magn6tique est paire, du moins en premiere approximation. Les auteurs ont appliqu6 le principe de lin6arisation par balayage, en ajoutant au champ magn6tique une composante alternative h 3 cycles/seconde. Le courant ionique comporte un signal d'erreur ~t 3 cycles/seconde, dont l 'amplitude est proportio~- nellc h l'erreur et la phase est 0 ~ ou 180 ~ suivant que cette derni~re est positive ou n6gative. Ce signal h 3 cycles/seconde est filtr6 (en particulier, on Ie s6pare du signal parasite h la fr6quence 6 cycles/seconde) et, apr~s amplification et d6tection, il est appliqu6 h l'excitation de la g6n6ratrice qui alimente l'61ectro- aimant.

5

/ C

FIG. 14. FIG. 15.

cehfi qu'on reeueille dans un servo-m6canisme de commande de position fonctionnant en courant alternatif (paragraphe 3,11, figure 2). Cc r6sultat subsiste dans h cas d'une courbe anguleuse repr6- sent6e sur la figure 15.

Cette forme de signal est avantageuse Iorsque la puissance demand6e exc~de celle que peut fournir

7. SYSTi~MES QUELCONQUES.

Une fonction quelconque ou une fonctionnelle peut toujours gtre consid6r6e comme la somme de 2 fonctions (ou fonctionnelles) dont l 'une est paire et l 'autre impaire :

2~(U) = (~(U)) + ~(--U) + ( ~ ( U ) ) - ~(--U).

Le proc6d6 de lin6arisation donnera en g6n6ra], si �9 est une eonstante petite :

a) un signal continu proportionnel h r b) un signal alternatif de la forme Kr sin cat.

L'un ou l 'autrc peuvent servlr.

* Dispositif do synchronisation automatique du cyclotron C. R. Acad. Sci. Fr., (23 f6vr. 1948) 226, nO 8, pp. 648-650.

7 0 - -

t. 5, n~ 2, 195.01

CONCLUSION

Nous avons ainsi montr6 que la technique des t616communications pouva i t fournir des solutions h la m6canique, mgme dans le cas des syst~mes non lin6aires.

I1 est bien 6vident que les m6caniciens et les 61ectriciens aux prises avec leurs probl~mes ont imagin6, sans a t tendre les ing6nieurs des t616- communicat ions , des solutions du genre de celles

DI~ LA MI~CANIQUI~ I.INI~AIRE A LA NON LIN~AIRE 7/7

qui viennent d 'gtre indiqu6es. Toutefois, l 'expos6 ci-dessus consti tue une ten ta t ive de g6n6rallsa- tion et de classification de ces proc6d6s.

L'analogie ainsi 6tablie entre ]es ])robl~mes de m6canique et les probt~mes de t616communications permet d'ailleurs de reconnaltre une l imitat ion apport6e h ce genre de solutions par l 'existence des bandes de fr6quenees admissibles.

Manuscrit re~u le 19 octobre 1949.

N O T E S ~ I N F O R M A T I O N S - - A C T U A L I T I E S

Le ~ gullflnder ~, 6metteur-r6cepteur utilis6 sur les planeurs australlens *. - - Les planeurs du Club de Vol

Voile de Sydney (Sydney Soaring Club) vont gtre eqmpes d u n apparell emetteur-recepteur d un rayon d ecoute de 300 kin. C est le r GULLFINDEB ~, ainsi nomm6 parce que les planeurs du Club sont des ~ Gull I ~ et ~ Gull IV ,~ britanniques.

Son construeteur est M. LEN SCHULTZ, Ing6nieur en Chef du r~seau Macquarie-Radio de. Sydney et grand amateur de vol h voile. Avec une puissance de i watt, une liaison radio-t616phonique a pu ~tre 6tablie d'une fa~on satisfaisante entre l'6metteur-r6cepteur mobile du club, mont6 sur la voiture de M. SCHULTZ, et le pilote d'un planeur en vol h 300 kin, grace au (( GULLFINDER )1.

Fonctionnant sur la fr~quence de 3:505 kilocycles, le (( GULLFINDEa )) ne p~se que 4 kilogrammes et prend facilement place dans la partie centrale du planeur. I1 est aliment6 par des piles s~ches, compos6es d'un ~16ment de 1,5 Ve t d'une batterie anodique de 135 volts. L'antenne, de 14,40 m~tres, est log6e dans les ailes du planeur. Le poste sur voiture est alimertt6 par un moteur g6n6rateur

En eas d'atterrissage du planeur loin d'un lieu habit6,,

* Commtmiqu6 de l'Ambassade d'Australie (D6cembre 1949).

le pilote peut ais6ment transmettre sa position appro- ximative grace hee petit poste, ce qui permet le d6pan- nage rapide des planeurs.

J. ~kRTHUR.

D6tails du [c Gullfinder )) montrant F6mette~r-r6cepteur (avec le moteur-g6n6rateur pour fonctionnement h partir d'une voiture), le microphone, le syst~me de c0uplage de l'a6rien, la bolte de contrSle (avec seulement le commutateur (~ marche-arr~t )~ et le syst~me de contrSle de volume), et les casques d'6coute,