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  • DEA Systmes de Communications Hautes Frquences -

    Traitement d'Antenne 1

    DEA Systmes de Communications Hautes Frquences

    Traitement d'Antenne

    Version 1.1

    M. Terr

    Novembre 2003

    terre@cnam.fr

  • DEA Systmes de Communications Hautes Frquences -

    Traitement d'Antenne 2

    Traitement Spatial en RadioCommunications

    1. Hypothses pralables

    Le traitement d'antenne prsent dans ce polycopi se basera sur les hypothses suivantes :

    On considrera que la source est loin du rseau de capteurs. On pourra donc faire l'hypothse d'un front d'one plan arrivant sur le rseau de capteurs.

    On supposera que le rcepteur est constitu de N chanes de transposition de frquence et de numrisation du signal. On supposera que ces chanes sont parfaitement calibres, c'est dire

    qu'elles n'entranent entre elles aucune distorsions diffrentielles d'amplitude ou de phase.

    On supposera enfin que les signaux traits sont "bande troite", c'est dire que la frquence de la porteuse de la modulation est trs suprieure la bande utilise pour la transmission. En

    absence de bruit (irraliste), le signal reu sur le capteur n1 s'crit tf2j 0ets

    )( . Le signal reu

    sur le capteur nn s'crit alors ( )n0 tf2j

    n ets )( . L'hypothse bande troite permet d'crire

    rseau)()( nntsts . Les signaux capteurs sont alors identiques un dphasage prs.

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    Traitement d'Antenne 3

    2. Caractristiques d'un rseau de capteurs

    2.1 Antenne active

    On considre ici une antenne active rseau constitue de N capteurs (ou lments) disposs dans un

    plan selon une rpartition en losange prsente sur la figure 1.

    Les capteurs lmentaires ne sont pas omnidirectionnels mais possdent un cne

    d'mission / rception d'angle m .

    capteur

    d

    d

    m

    d 3 2/

    Antenne

    rseau

    cne

    d'mission

    rception d'un

    capteur

    Figure 1 - rpartition dans un plan des lments de l'antenne rseau -

    2.2 Conditions sur l'espacement des capteurs

    Pour pouvoir localiser sans ambigut une source d'azimut s et d'lvation s ou pour pouvoir

    pointer une diagramme d'mission / rception vers cette source sans crer des lobes secondaires de

    rseau, il faut que le dphasage maximal, induit par la direction d'arrive du front d'onde de cette

    source sur le rseau de capteurs, entrane, entre deux capteurs voisins, un dphasage infrieur .

    Par rapport un capteur de rfrence plac aux coordonnes ( )0 0 0, , le dphasage d de l'onde reue sur un capteur plac aux coordonnes ( )x y z, , s'crit :

    ( )sssss zyxc

    f2d ++

    = sincossincoscos (1.)

    x

    z

    y

    s

    s

    S

    Figure 2 - azimut et lvation d'une source S -

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    Traitement d'Antenne 4

    Pour les signaux provenant de la source S, le dphasage entre le capteur plac l'origine ( )0 0 0, , et son voisin sur l'axe Oy, plac au point de coordonnes ( )0 0, ,d , le dphasage s'crit :

    df

    cd s s

    =

    2sin cos (2.)

    La condition de dphasage infrieur s'crit alors :

    d s ssin cos

    2 (3.)

    Pour que cette condition soit respecte pour des capteurs omnidirectionnels et pour toutes les

    positions possibles de la source S, on choisit en gnral la distance d telle que :

    d

    2 (4.)

    Si on considre les capteurs prsents dans le paragraphe prcdent, alors la source doit se trouver

    dans une direction d'lvation suprieure

    2

    m pour pouvoir tre reue ou illumine par

    l'antenne rseau. On a ainsi la relation suivante :

    s m 2

    (5.)

    d'o :

    cos sin s m

    En considrant donc que la source appartient au cne d'mission / rception des capteurs, la

    condition de dphasage infrieur devient :

    dm

    2 sin (6.)

    Remarque : le raisonnement qui vient d'tre conduit concernait le capteur plac au point de

    coordonnes ( )0 0, ,d . La condition obtenue sur d assure aussi un dphasage infrieur entre le

    capteur plac l'origine et celui plac au point de coordonnes 3

    2 20d

    d, ,

    .

    En effet la condition s'crit :

    2 3

    2 2

    d dcos cos sin cos+

    (7.)

    Or cos sin s m donc :

    2 3

    2 2

    2

    d dd mcos cos sin cos sin+

    (8.)

    et donc si dm

    2 sin, la condition est respecte.

    2.3 Position des lobes de rseau

    Le fait d'espacer les capteurs d'une distance d suprieure

    2, en l'occurrence

    2 sin m, cre des

    lobes de rseau. Si k et k sont respectivement azimut et l'lvation d'un lobe de rseau alors les

    dphasages induits par cette direction sont quivalents 2 prs au dphasage induit par la direction d'arrive de la source utile. Ces quivalences conduisent aux deux quations suivantes :

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    Traitement d'Antenne 5

    sin cos sin cos sin k k s s mk= 2 1 (9.)

    3

    2

    1

    2

    3

    2

    1

    22 2cos cos sin cos cos cos sin cos sin k k k k s s s s mk+ = + (10.)

    Ou encore :

    sin cos sin cos sin k k s s mk= 2 1 (11.)

    3

    2

    3

    23cos cos cos cos sin k k s s mk= (12.)

    Dans le plan 0yz

    k s= =

    2, les lobes de rseau se retrouvent dans les directions d'lvations

    k telles que :

    cos cos sin k s mk= 2 1 (13.)

    Exemple : Cas d'une antenne dont le diagramme d'mission / rception des capteurs est un cne

    d'angle m = 10 . Les capteurs peuvent donc tre espacs de : d = 2.88 .

    Pour un jeu de pondrations faisant pointer l'antenne dans la direction normale au

    rseau : s = 90 , les directions des lobes de rseau dans le plan 0yz sont les

    suivantes : 44 64 3 110 3 134 , . , . , . Ces lobes sont bien l'extrieur du cne de 10 .

    La figure ci-dessous prsente le diagramme de rayonnement d'une telle antenne.

    -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

    -20

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    Gain en dB

    Gain en dB

    lobes de rseauDirection

    source utile

    cne

    de

    +/-10

    Figure 3 - diagramme de rayonnement d'une antenne dont les capteurs sont espacs d'une distance suprieur

    /2 ce qui conduit l'apparition de lobes de rseau -

    Les lobes de rseau sont dus l'espacement des capteurs et au vecteur de pondrations qui leurs

    sont appliques. Ils sont en dehors du cne d'mission / rception des capteurs et n'ont donc pas

    d'impact. Par contre, si la rponse des capteurs est plus large que le cne de m partir duquel

    l'espacement a t dfini, alors les lobes de rseau peuvent s'avrer gnants.

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    Traitement d'Antenne 6

    2.4 Surface et gain de l'antenne

    Supposons que l'on souhaite que l'antenne rseau ait une surface quivalente celle d'une antenne

    circulaire de diamtre D.

    Soit donc :

    SurfD

    eq = 2

    4 (14.)

    La surface d'une maille lmentaire est gale :

    Surf dmaille =2 3

    2 (15.)

    En considrant un espacement des capteurs dm

    =

    2 sin, le nombre de capteurs ncessaires est

    alors gal :

    ND

    m=2

    3

    2

    2

    2

    sin (16.)

    Utiliser des capteurs directifs permet donc, via le terme sin2 m , de rduire le nombre de capteurs.

    La figure 4 reprsente, pour une frquence porteuse de 7.8 GHz, le nombre de capteurs ncessaires

    pour raliser une antenne rseau carre dont la surface serait quivalente celle d'une antenne

    circulaire de diamtre D = 2 mtres. Le nombre de capteurs est fonction de leur ouverture.

    (Une telle antenne rseau aura une forme carre d'environ 1,80m x 1,80m)

    0 10 20 30 40 50 60 70 800

    1000

    2000

    3000

    4000

    5000

    6000

    7000

    8000

    9000

    10000

    ouverture des capteurs (degrs)

    nombre de capteurs

    Figure 4 - Nombre de capteurs en fonction de leur ouverture (300 capteurs pour une ouverture de 10 , 9515 capteurs pour une ouverture de 80

    2.5 Rsolution de l'antenne

    La rsolution d'une antenne rseau peut tre caractrise par son ouverture 3 dB dans une

    direction . Cette ouverture s'crit en radians de la manire suivante :

    31= sin

    ( )

    D (17.)

    Dans cette expression D() reprsente l'ouverture du rseau dans la direction .

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    Traitement d'Antenne 7

    Exemple : Si on considre une antenne rseau, constitue par un ensemble de 289 capteurs espacs

    de d = 2.88 et disposs en losange pour former un carr de 17 x 17 capteurs ( 1,77m x 1,77m), alors on arrive une antenne dont la surface est approximativement quivalente celle d'une

    antenne circulaire traditionnelle de 2 mtres de diamtre (f = 7.8 GHz , = 38.4 mm). L'ouverture 3 dB d'une telle antenne est alors gale :

    3 113= . (18.)

    -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-6

    -5

    -4

    -3

    -2

    -1

    0

    Gain Antenne Multicapteurs

    3

    Figure 5 - Ouverture 3 dB dans une direction normale au rseau d'une antenne rseau de 289 capteurs

    directifs espacs de 2.88 -

    3. Formalisation en traitement du signal

    Au moyen des hypothses nonces lors du premier paragraphe de ce document, on peut crire de

    manire vectorielle le signal reu sur le rseau des N capteurs :

    =

    )(

    )(

    )(

    )(

    tx

    tx

    tx

    tX

    N

    2

    1

    NM

    (19.)

    On introduit alors un vecteur d'chantillons de bruits blancs gaussiens indpendants pour modliser

    les bruits additifs observs en sortie de N chanes de transposition. Ces bruits proviennent

    essentiellement des premiers tages d'amplification de ces chanes et ils peuvent lgitimement tre

    considrs comme indpendants.

    On a alors :

    )()()( tBDtstX NSN += (20.)

    On voit donc apparatre dans cette expression le vecteur :

    =

    N

    3

    2

    jd

    jd

    jd

    s

    e

    e

    e

    1

    D

    M

    (21.)

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    Traitement d'Antenne 8

    constitu par les dphasages diffrentiels des signaux sur les diffrents capteurs, par rapport un

    capteur de rfrence (ici le 1er).

    Ce vecteur est essentiellement fonction de la direction de la source par rapport au rseau de

    capteurs et il s'appelle le vecteur directionnel de la source par rapport au rseau de capteurs.

    Le vecteur )(tBN reprsente les chantillons de bruit blanc :

    =

    )(

    )(

    )(

    )(

    tb

    tb

    tb

    tB

    N

    2

    1

    NM

    (22.)

    On supposera que tous les chantillons de bruit blanc ont une mme variance gale 2 .

    Dans le cas o plusieurs sources : p21 SSS ,,, K avec des signaux sources respectifs

    )(,),(),( tststs p21 K seraient reues sur le rseau de capteur, le signal reu s'crirait :

    )()()( tBDtstX N

    p

    1iSiN i

    += =

    (23.)

    4. Filtre spatial

    4.1 Gnralits

    Le filtrage spatial des signaux capteurs revient rechercher un jeu de coefficients complexes, qui

    appliqus l'ensemble des capteurs permet, par sommation des signaux ainsi pondrs, de

    synthtiser une nouvelle antenne.

    Figure 6 - Filtre spatial -

    On introduit le vecteur des coefficients

    =

    )(

    )(

    )(

    )(

    ta

    ta

    ta

    tA

    N

    2

    1

    NM

    , le signal en sortie de combinaison s'crit

    alors :

    ant. n1

    x1

    a1*

    ant. n2

    x2

    a2*

    ant. nN

    xN

    aN*

    r(t)

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    Traitement d'Antenne 9

    )()()( tXtAtr NTN= (24.)

    L'exposant T signifie transconjugu. C'est donc des coefficients conjugus du type )(* tai , que l'on

    applique aux signaux capteurs. On rappelle que les signaux capteurs considrs se situent aprs

    transposition en bande de base et passage en voie I et Q (cf cours de modulations numriques). Il

    s'agit donc de signaux complexes.

    4.2 Critres optimisables

    Le vecteur des coefficients )(tAN peut alors correspondre l'optimisation de diffrents critres.

    Deux d'entre eux vont tre prsents.

    4.2.1 FVC (Formation de Voies par le calcul)

    La premire solution peut simplement consister rechercher un jeu de coefficients qui "pointe"

    l'antenne dans la direction de la source utile.

    On recherche alors remettre en phase les contributions de la source sur les diffrents capteurs. La

    solution est alors :

    SN DN

    1tA

    FVC=)( (25.)

    On parle alors de formation de voies par le calcul (FVC). Le coefficient N

    1 est un simple

    coefficient de normalisation. Dans l'hypothse d'une source unique, le signal en sortie de

    combinaison s'crit :

    ( ) )()()()()( tBDN

    1tstBDtsD

    N

    1tr N

    TSNS

    TS +=+= (26.)

    On retrouve donc le signal source )(ts plus une variable de bruit additive constitu par la

    sommation de N variables de bruit indpendantes. Aprs la normalisation par N on peut donc crire

    le signal en sortie de combinaison sous la forme :

    )(')()( tbtstr += (27.)

    expression dans laquelle )(' tb reprsente un bruit blanc gaussien d variance gale N

    2.

    4.2.2 FAS (Filtre Adapt Spatial)

    Le filtre adapt spatial va consister rechercher un jeu de pondrations pour que la sortie de

    l'antenne prdise au mieux, au sens des moindres carrs, le signal utile. Considrons le cas de

    plusieurs sources et identifions la source n k comme tant la source utile. On cherche donc

    prdire le signal )(tsk .

    Le critre s'crit alors :

    ( )

    2

    NTNkN tXtAtsMinEtA )()()(/)( (28.)

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    Traitement d'Antenne 10

    La solution est alors donne par (Wiener) :

    )()()( tttAkXs

    1XXN = (29.)

    )(tXX reprsente la matrice d'autocorrlation du vecteur )(tX N

    )(tkXs

    reprsente le vecteur d'intercorrlation du vecteur )(tX N avec le signal )(tsk

    En utilisant l'quation (23) sur la forme du signal utile et en faisant l'hypothse que le signaux

    sources sont indpendants les uns des autres et centrs, il vient :

    kkiiiFASSs

    1P

    1i

    2TSSsN

    DpIDDptA

    =

    += )( (30.)

    Dans cette expression le terme is

    p reprsentent la puissance reue sur les capteurs de la source ni.

    Dans le cas d'une seule source et en considrant que la puissance de bruit est ngliugeable debvant

    la puissance reue de la source on a :

    )()( tAtAFASFVC NN

    = (31.)

    5. Rfrences

    [1] R.T. Compton Jr,, "Adaptive Antennas: Concepts and Performance", Prentice-Hall, Englewood

    Cliffs, New Jersey 1998.

    [2] J.E. Hudson, "Adaptive Array principles", IEE Electromagnetic Waves Series 11, London,

    1981.

    [3] Pascal Chevalier, "Antenne Adaptative : D'une structure linaire une structure non linaire de

    Volterra", Thse de doctorat, Universit Paris-Sud, Juin 1991.

    [4] L. Fty, "Mthodes de Traitement d'Antenne adaptes aux radiocommunications", Thse de

    doctorat, ENST, Juin 1988.

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