C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, Skrie I, p. 281-286, 1997 kquations aux dkrivhes partielles/Parfia/ Differential Equations

Dtkomposition de domaine pour un calcul hybride de l%quation de Helmholtz

Mikhael BALABANE et Vkronique TIREL

LJnivwsitb ParieXIlI, Inst. Galilk. Dpt Math., awnur J.-B.-Clhvnt. c)3430 Villrtanrus~~. Franw

R&urn& On prouve une estimation sur I’opCrateur de Dirichlet-Neumann, precise par sa dkpendance en la frt5quence et la gkomttrie, ainsi qu’une estimation sur la norme H’ locale de la solution de I’&quation de Helmholtz, ?I l’extkrieur d’un obstacle saris rayon captif. On fournit un algorithme convergeant vers la solution de I’Cquation de Hehnholtz 2 l’extkrieur d’une reunion finie de tels obstacles. La preuve de la convergence utilise I’estimation d&rite ci-dessus. Dans cet algorithme, g chaque &ape, est rksolue l’kquation de Helmholtz B I’extCrieur d’un seul des obstacles. Ceci dkfinit une m6thode de decomposition de domaine adapde k cette Cquation. La possibilitk d’utiliser, $ chaque &ape, une mkthode numkrique adaptke ?I la composante correspondante de l’obstacle, permet un calcul hybride. On &once les r&hats pour deux obstacles, la gCnCralisation &ant immkdiate.

A decomposition domain algorithm for Helmholtz equation

Abstract. We prove on estimute,ftir the Dirichlet-Neumunn opercrtoc and,fiw the H 1 local nori?l,for solutions of Helmholt: equution outside ~111 obstacle tiithout trapping ray. We give an algorithm solving Heltnhok equation outside a union oj. such obstacles. Convergence ,follow~,from this estimate. At each step oj’the resolution, only one obstacle is considered ,fiw itselj: this d&es u decor~~~~osition domain technique jifting this equation. One ~‘a11 use d#erent numericcd schemes, one ut ewh step, udapted to the considered component of. the obstacle: therqftire, thi.r algorithm is u hybrid computation. The results clre gi\,en ,f;w two obstacles. ctnd the Qenerali:ation is strctigh!fk>rwwrd.

Abridged English Version

Let 71 be the diffracted outgoing wave into the complementary set R of a compact obstacle K in Rc3, with regular boundary r$ and assume that 2~ is a solution of (E):

(El A71 + /?v = 0 in R: ‘w/r = y

The dimensions of K are normalized by the wavelength k; fi = kln^ is the diameter of K, 5’ = k:-*,g the area of I’, and 7~ the unitary outgoing normal vector on I?.

Note p&sent& par Laurent SCHWARTZ.

0764.4442/!97/0324028 1 0 Academic des Sciences/Elsevier, Paris 281

M. Balabane et V. Tire1

(Nl ) The obstacle is said wtirhout trapped rays if

3ij > 0. 3J(, E K, v’a E r. ?L((T).((T - .I:()),r > /Sh. (N2) Let n(.r.r) denote a ball with center :I’ and radius 7’. The obstacle is said non resonnant if 3. E h-. l?(.lvw’) c K. (N3) 11 I (I’) is the usual Sobolev space on r with norm:

(N4) For each open set II c R:‘. we denote On = 12 n I?((). I?).

An estimate for the Dirichlet-Neumann operator

THEOKEM 1. - Lrt I! De the outgoing solution of(E). Assume thut K sufisjes (N2) with :c’ = 0. (N1 ) ~9ifh .I’(, = 0. and thut y E H1 (I’). Then. for u/l E > 0, there exists C([j, E) such that:

A decomposition domain algorithm for Helmholtz equation

We make the following assumptions: (H 1) A’ = Ii, U A-2. hFl n Kz = 3, Kl and h-2 separately satisfy (Nl );

For /. = I, 2, let l’, = i)K,, 71, be the unitary normal vector on I’i, h; = I;-‘$; be the diameter of K,. S, := X,P’A‘?, be the area of I’,, and d = /,-‘d be the distance between K1 and K2.

(H2) ti” > /I(/+?$‘&@~. Let I’,,, be a solution of (E,,,) with:

(&-1) At:?,,-1 + X.‘)w,,-l = 0 in 0, = K;‘; “!2rr-1Jrj = -‘t:&2,1.,

i I?%, ) au,,, + x%2,, = 0 in 122 = Kl; ‘712rn p-: = -‘!br,--1 ,I L

THEOREM 2. - Under (HI) and (H2), c: I’,,, converges to u solution (E), in Hi,,. (0). Moreover its wstrictioi7 to I’ con~wges in If1 (r 1.

Numerical tests are given.

1. Notations

On considere l’equation de Helmholtz a l’exterieur d’un obstacle compact K de R” de front&e F supposte reguliere dont le complCmentaire est note 0. Soit v l’onde diffractee, solution de (E) :

(El A?) -I- k21! = 0 dans 12 ; l$- = (J

ou ‘0 eSt sortante. i.e. satisfait les conditions de Sommerfeld :

282

Dikomposition de domaine pour un calcul hybride de I’&quation de Helmholtz

On introduit les caractkristiques mCtriques adimensionnelles de I’obstacle. en normalisant par la longueur d’onde X: : ~5 = X-‘h est le diamktre de K, S = k-‘.!? est l’aire de I‘.

On utilise les notations suivantes et le vocabulaire suivant : (Nl) L’obstacle K est dit saris rayon capttflorsque, ‘I/ ktant la normale unitaire cxtCricure h I’obstacle K sur r‘, on a :

3/i > 0, 3X” E K. vcr E r. 7L(cT).(c7 - .I+ > ijh.

(N2) On note D(:I,, 7.) la boule de rayon I’ centrke en .I’. L’obstacle K est dit HOFI rtisorurnt lorsqu’on a :

3’ E K. B(.r’. X1) c h-.

(N3) Hi(r) est l’espace de Sobolev usuel construit sur I?. avec la normc

oti V, dksigne le gradient tangentiel sur r’. (N4) Pour chaque ouvert R”, on note III, = 12 f’ B(t). R).

2. Une estimation sur l’opkrateur de Dirichlet-Neumann

THEOR~ZME 1. - Soit ‘~1 la solution sortante de I’dqucrtion de Helmhnlt,- (E) d I’e.rt6rieur d’un olxstwle K, non rksonant uu sens (N2) avec :I.’ = 0, cornplr’rnentaire d’un ouc’ert It de,fronti$re 1‘. On ,srrppo.se que h7 est suns rayon cuptquu .sens de (Nl) avec’ .I’() = 0 , et que ~1 uppartient 6 H1 (I‘). Alors or1 (I I’estimation suiwnte : pour tout -c > 0, il exi.str C(/j> :) telle yuc:

Renzarque. - L’existence d’une telle estimation dkcoule du Principe d’Absorption Limite. Par contrc. on indique ici comment les constantes dkpendent des donntes gComCtriques de l’obstaclc et de la frequence. ce qui est essentiel pour notre algorithme.

Remarque. - On peut remplacer la puissance 2( 1 + c2) par une puissance arbitrairement proche de 1 par valeur supCrieure en renforqant I’hypothkse (N2).

Id&e de /a dkmonstrution. - On majore la norme L’(r) de la dtrivCe normale, ainsi que la norme L’(0) des d&ivCes angulaires de ‘~1, en utilisant la version suivante du ritsultat classiquc de Morawetz-Ludwig (avec 0 = ll.~.ll) :

PROPOSITION 2. - Sous les hypothPse.s dir th&orPme I, on (I

Puis, en utilisant la technique des multiplicateurs pour le choix du multiplicateur /HI/, + ‘13. on ttablit une inkquation diffkentielle pour la fonction

On adapte enfin un lemme de Gromwall pour avoir : pour tout E > 0, il existe C(,/j. C) tel que

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M. Balabane et V. Tire1

3. Un algorithme de d&composition de domaine adapt6 B I’kquation de Helmholtz

On d&-it ici un algorithme de calcul de la solution de (E) dans le cas oti I’obstacle est une Anion disjointe de deux composantes, chacune saris rayon captif. Dans cet algorithme, 2 chaque &ape. l’kquation de Helmholtz est rkolue B l’extkrieur d’une seule composante de l’obstacle. Ceci dkfinit une mkthode de dtcomposition de domaine adaptte B cette Cquation. La possibilitC d’utiliser. a chaque &ape, une mCthode numCrique adaptke B la composante correspondante de l’obstacle permet un calcul hybride, comme le montrent les ksultats numkriques don&s ci-dessous. Le r&&at &non& pour deux composantes se gtnCralise saris peine B un nombre fini de telles composantes.

On considke la solution 1, de l’equation de Helmholtz (E) et on se donne les hypotheses suivantes : (Hl) h- = h’, u h-* et Kl n h-? = 63.

Pour L = I. 2 on note I‘, = i)K,, 7)., la normale unitaire extkrieure 5 K sur Ti, n; = X:-‘d, le diamktre de K,, S; = K’s, l’aire de I’.; et rl = k-‘d la distance entre Kl et Kz. (H2) Kl et h7, sonc skparkment saris rayon captif au sens de (Nl) et vkrifient (N2). (H3) La distance normaliske entre K, et KZ est grande par rapport aux dimensions normalikes des obstacles : si 11(/j) = :<-I( 1 + c,(i))), O~YI I. est la constante intervenant dans la proposition, et si

ij = min(jrll, /$). alors J2 > it(/i)S.,.il,d-Jl-. On definit la fonction I:,,,, solution sortante de l’tquation (E,,) suivante :

(El) au, + x:‘q = 0 dans f21 = K;‘: ‘(QI-, = !/!I., (E?) A~!12 + 1;“112 = 0 elms !I2 = K;; ‘%)rl = -qr, + qr, (&-I) A/l,,,._, + k20z~>-1 = 0 tlans fll = K;: v~~,-~,~, = --P~,~-~,~.,

b%r 1 Al+, + X%.‘,, = 0 tlans 122 = K:‘; ‘. ‘l’?,! IrJ = - 7:27, - 1 / 1‘? On a:

THBOR~ME 2. - Sous lrs hypotht,ses (Hl), (H2) ef (H3), Irr s&k CF I+,, converge vers la soll4tiorl

sorlante ‘11 de I’kqguation (E) dam Hi,,.(G). De plus la restriction ir r de cette se’rie converge dam Hl( 1’).

COROLLAIRE. - LA sr’rie des courants C &;%~,,, converge duns H1( I?).

Id&e de la de’monstration. - On considkre le probkme (&,,), oti on prolonge ‘o,,, dans la composante correspondante h; de l’obstacle par --T),,-~. On utilise le noyau de Green et la proposition 121 pour avoir l’estimation suivante :

//~~~,,1 ll$ (I-,+, ) I wq yl:‘(l + k2hf))(7, ,,,- l//$,cr.,).

On itPre cette estimation. et l’hypothkse (H3) permet de conclure g la convergence de la s&ie c 02,~ dans Hl(l’l) et de la sCrie CT:~,,+~ dans H’(r,). On utilise le thCorkme 1 pour en dkduire la convergence de la sCrie C II,,, dans H&.(R). Ceci implique que C ‘lr,, satisfait l’equation (A + k’) c 7:,,, = 0 dans 12. Le thCorkme de trace permet de conclure que la condition aux limites sur r est satisfaite. Ceci dkmontre le thCor&me.

Pour montrer le corollaire, on constate d’abord que sur rl, la s&ie C $,,J~~,+~ converge dans L’(&) d’aprks l’estimation donnCe par 121, Puis on prouve la convergence dans L2(r1) de C $;l~~,, en appliquant le thtokme 2 via la dk-iv6e normale du noyau de Green. Le traitement de la skrie sur r2 est similaire.

4. Rksultats numkriques

11s ont et6 obtenus par D. Pogarieloff et V. Tire1 B I’ACrospatiale, au Centre Commun de Recherches (Suresnes, Pole DCWX), avec le code AS-ERIS en t%ments finis et un code d’optique physique d&iv6 de celui de F. Cuvelier (d&it dans [ 11). sur machine parallttle SP2.

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DCcomposition de domaine pour un calcul hybride de I’Cquation de Helmholtz

Les figures 1 et 2 donnent les modules des courants engendres par la solution d’une equation de Maxwell sur la surface de l’obstacle. Cet obstacle est constitue de deux cylindres infinis paralltles et le champ incident est. une onde plane de direction orthogonale au plan des axes des cylindres. Les rayons des cylindres sont de deux et dix longueurs d’onde et la distance des axes est de treize longueurs d’onde. Deux methodes numeriques ont Ctt employees. L’une consiste en un calcul global sur l’ensemble de l’obstacle par une methode inttgrale (elements finis surfaciques). La seconde est la methode iterative d&rite ci-dessus, la methode numerique de resolution sur chacun des cylindres &ant une methode integrale (elements finis surfaciques). On a effect& cinq it&rations. Les courbes obtenues par les deux methodes se superposent (la graduation en abcisse est l’abcisse curviligne sur le cylindre correspondant, et la graduation en ordonnee est le courant sur le cylindre correspondant, en decibels).

Les figures 3 et 4 suivantes presentent le m&me calcul, mais pour une distance entre les axes des cylindres de cinquante longueurs d’ondes. De plus, dans la mtthode iterative, la technique numerique de resolution sur le grand cylindre est une methode d’optique physique, et celle sur le petit cylindre est une methode integrale. L’utilisation, dans le processus iteratif, d’une methode approchee (optique physique), a sa limite inferieure de precision en frequence sur le grand cylindre, explique les differences entre le resultat numtrique obtenu par calcul global sur les deux cylindres et la solution obtenue par la methode iterative d&rite, en cinq iterations : l’ordonnee est le courant sur le cylindre correspondant, en decibels).

METHODE D’HYBRIDATION ITERATIVE Maxwell 2D - Polarisation TM

R1=0.2,R2=1,d .O.i longueur d’onde = 0.1

4.0

3.5

3.0

2.5

.5 .6 .7

module du courant SW I’oblet 2

Module du courant ELEMENTS FINIS Module du courant ELEMENTS FINIS /ELEMENTS FlNlS

Fig. I Ed 2

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M. Balabane et V. Tire1

METHODE D’HYBRIOATION ITERATIVE Maxwell 2D - Polarisation TM

Rl = 0.2,X I 1 , d = 3.8 longueur d’onde = 0.1

inc = 90 degres I

2.0

I.8

1.6

1.4

1.2

1.0

.a

.6

.4

.2

.O

2.0

1.5

1.0

.5

.O

module du courant wr I’oblet 2

1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0

Module du courant ELEMENTS FINIS Module du courant ELEMENTS FINIS I OPTIQUE PHYSIQUE

Note remise le 4 septembre 1996, accept&e le 7 octobre 1996.

RCfkrences bibliographiques

I I] Cuvelier F., 1994. ThP.ve, Universite Paris-Nord. 121 Morawetz C. S. et Ludwig D., 1968. An inequality for the reduced wave operator and the justification of geometrical

optics, Comnt. Pure Applied Muth., 2 I. (31 Melrose R. B. et Sjostrand J.. 1982. Singularities of boundary value problems I, Corm. Purr Appl. Marh., 35.

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