Décomposition harmonique des tenseurs – Méthode spectrale

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RarAhaMKe1.LqudedeasiLutdedco16doC. R. Mecanique 336 (2008) 370375http://france.elsevier.com/direct/CRAS2B/Dcomposition harmonique des tenseurs Mthode spectraleNicolas AuffrayONERADMMP, BP72, 29, avenue de la Division Leclerc, 92322 Chtillon cedex, FranceReu le 4 septembre 2007 ; accept le 13 dcembre 2007Disponible sur Internet le 14 janvier 2008Prsent par variste Sanchez-PalenciasumUne mthode de calcul rapide du spectre de la dcomposition harmonique dun tenseur quelconque est prsente. Pour citer cetticle : N. Auffray, C. R. Mecanique 336 (2008).2008 Acadmie des sciences. Publi par Elsevier Masson SAS. Tous droits rservs.bstractHarmonic decomposition of tensors a spectral method. We introduce an easy way to obtain the reduction spectrum of thermonic decomposition of an arbitrary tensor. To cite this article: N. Auffray, C. R. Mecanique 336 (2008).2008 Acadmie des sciences. Publi par Elsevier Masson SAS. Tous droits rservs.ots-cls : Algbre tensorielle ; Classe danisotropieywords: Tensor algebra; Anisotropic classIntroductionLa modlisation de lois de comportement linaires complexes implique lutilisation de tenseurs dordre lev.tude des proprits de ces tenseurs nest pas une chose aise et la littrature est peu abondante sur les cas particulierse lon peut rencontrer. Un outil dtude gnral dun tenseur est sa dcomposition harmonique [13]. Cest partircette dcomposition que Forte et Vianello [2] ont montr lexistence de 8 classes dlasticit distincts. Le problmecette approche est que trs rapidement le calcul explicite de cette dcomposition devient compliqu [4]. Si lonbesoin de lexpression des composantes de la dcomposition alors il est impratif de raliser celle-ci, toutefoison a juste besoin de renseignements sur la structure algbrique du tenseur alors une autre mthode est possible.utilisation de la thorie des reprsentations irrductibles telle quelle est dtaille dans [5] peut alors tre utile. Sonilisation courante en mcanique quantique [6] semble tre moins rpandue en mcanique et il nous parait pertinentla rappeler ainsi que den clairer lutilisation. Cette mthode nous permettra dobtenir rapidement le spectre de lacomposition harmonique dun tenseur quelconque. Nous appliquerons cette dmarche pour le calcul du nombre deefficients ncessaires pour dcrire une loi de comportement pour une symtrie matrielle donne.Adresse e-mail : nicolas.auffray@onera.fr.31-0721/$ see front matter 2008 Acadmie des sciences. Publi par Elsevier Masson SAS. Tous droits rservs.i:10.1016/j.crme.2007.12.005N. Auffray / C. R. Mecanique 336 (2008) 370375 3712.pa(gvecero3.3.ceJedeavIlldeLhanoNovemonquce12NotationsNous noterons les tenseurs de manire indicielle. Les symtries sur les indices seront marques de la sorte : entrerenthses pour des permutations dindices contigus (petites symtries) et souligns pour des permutations par blocsrandes symtries). Nous noterons par exemple le tenseur dlasticit E(ij) (kl). Lorsque nous parlerons de lespacectoriel des tenseurs possdant une certaine symtrie, nous crirons, dans le cas de llasticit, par exemple, E(ij) (kl)t espace. Nous abrgerons de plus espace vectoriel en e.v. et sous-espace vectoriel en s.-e.v. Pour finir nous appelle-ns Lin le.v des applications de R3 dans R3 et Dev le sous-espace symtrique et de trace nulle de Lin. Introduisonsprsent le principe de la mthode.Mthode du spectre harmonique1. PrincipeUn tenseur cartsien quelconque dordre n peut se mettre sous la forme [5]T(n) = ,JH(n),J (1)tte forme constitue la dcomposition harmonique de T(n) au sens de Spencer [4] et le spectre de rduction au sens derphagnon [5]. J indique le poids des tenseurs de la dcomposition, et permet de distinguer diffrentes composantesmme poids. Quand J = n le tenseur est harmonique.1 Pour J < n on a un tenseur harmonique dordre infrieurn qui est assembl dans un tenseur dordre n. Pour un tenseur dordre 2 on a, par exemple,Tij = T (0)ij + T (1)ij + T (2)ij (2)ecT(0)ij =(13Tkk)ij ; T (1)ij =12(Tij Tji); T (2)ij =12(Tij + Tji) (13Tkk)ij (3)est vident que T (0)ij est quivalent un tenseur dordre 0 assembl dans un tenseur dordre 2, de mme queexpression irrductible de T (1)ij est un vecteur axial tandis que T(2)ij est un dviateur. La dcomposition harmoniquenotre tenseur est la suivanteTij =(13Tkk)ij + 12 (Tij Tji) +12(Tij + Tji) (13Tkk)ij (4)espace vectoriel des tenseurs dordre 2 se dcompose comme la somme directe des espaces vectoriels des tenseursrmoniques dordre 0, dordre 1, et dordre 2. Comme introduit dans [3] la relation (4) tablit un isomorphismet entre Lin et Dev R3 R. Nous raisonnerons ici, et par la suite, uniquement dans lensemble darriv de .ous adopterons lcriture suivante plus compacte que celles utilises usuellement :Sp(Tij ) = (Tij ) = 0(1) 1(1) 2(1) (5)lapplication Sp associe un espace vectoriel de tenseur donn sa dcomposition en somme directe despacesctoriels de tenseurs harmoniques. Chaque lment correspond le.v. des tenseurs harmoniques dordre n, la di-ension2 de cet espace est de 2n+1 et lexposant indique la multiplicit de cet espace. Si on considre prsent T(ij),aura :Sp(T(ij)) = 0(1) 1(0) 2(1) (6)e nous noterons plus simplementSp(T(ij)) = 0 2 (7)qui correspond bien aux 1 + (2 2 + 1) = 6 dimensions de le-.v. des tenseurs symtriques dordre 2.Cest--dire totalement symtrique et de trace nulle.Ceci nest vrai que pour un espace physique 3 dimensions [1].372 N. Auffray / C. R. Mecanique 336 (2008) 3703753.teetLdoAlesycapaleleleprbcol4.4.obqucecod32. Arithmtique des e.v. de tenseurs irrductiblesA partir de cela on peut btir une arithmtique permettant partir de la connaissance des symtries indicielles dunnseur dordre n quelconque de dterminer la dimension et la structure harmonique de cet espace.Le principe de cette arithmtique repose sur le produit tensoriel de reprsentations irrductibles. On considre E1E2 deux e.v. portant des reprsentations irrductibles D1 et D2 dun groupe G, pour nous ce groupe sera SO(3).espace produit E = E1 E2 porte une reprsentation D = D1 D2 qui nest pas irrductible et se rduit selon lacomposition de ClebschGordan :D1 D2 =mD (8)m indique la multiplicit de la reprsentation D . Lespace produit se dcompose alors suivant la rgle ditedaddition du moment angulaire [6] suivante, si E1 et E2 sont dordre respectifs n1 et n2 alors :E = E(n1)1 E(n2)2 =n1+n2k=|n1n2|Ek (9)insi le produit tensoriel de deux tenseurs irrductibles dordre 1 donne le spectre dun tenseur dordre 2. On a alorsSp(1a 1b) = 0a 1a 2a (10)s indices prcisent la non-symtrie de notre e.v. de dpart. Si au contraire on dsire construire un espace vectorielmtrique alorsSp(1a 1a) = 0a 2a (11)r par proprit de la dcomposition harmonique [5], la dcomposition dun tenseur totalement symtrique dordreir ne contient que des tenseurs dordres pairs. La rciproque est vrai dans le cas dun tenseur impair. De plus danscas dun tenseur polaire dordre pair, tous les tenseurs dordres pairs de cette dcomposition sont polaires et touss tenseurs dordres impairs sont axiaux, et rciproquement dans le cas dun tenseur impair. On rappel de plus queproduit tensoriel est associatif mais non commutatif, tandis que loprateur somme directe lest. De plus, leoduit tensoriel est distributif par rapport la somme directe. Cest partir de ces rgles simples que nous allonstir lensemble des spectres des tenseurs de comportement. Nous dtaillerons de plus le principe pour prendre enmpte la grande symtrie, principe qui ntait pas nonc dans les publications ayant trait du sujet [5]. Regardonsapplication de cette mthode sur quelques tenseurs.Dtermination des spectres de rduction1. Tenseur dordre 3On considre le cas gnral de le.v. des tenseurs dordre 3. Il peut tre engendr partir de 1a 1b 1c.3 Ontient alors la structure suivante :Sp(1a 1b 1c) = Sp(1a Sp(1b 1c))= Sp(1a (0b 1b 2b)) (12)= Sp(1a 0b) Sp(1a 1b) Sp(1a 2b) = 0a 1a 1b 1c 2a 2b 3a (13)e lon rcrira plus simplement0 1(3) 2(2) 3 (14)qui correspond bien un espace 27 dimensions. Si on suppose maintenant une symtrie de type (ij)k on peutnsidrer un tenseur appartenant ce s.-e.v comme tant le rsultat dun produit tensoriel dun vecteur par un tenseurordre 2 symtrique. On aSp(1a (0b 2b))= 1(2) 2 3 (15)La seul logique des indices dans la notation est de distinguer les composantes diffrentes de mme ordre.N. Auffray / C. R. Mecanique 336 (2008) 370375 373ceced4.(ilaDcemtiimavpasafaCC4.OidPdidafoqui est correspond bien un sous-espace de dimension 18 de le.v. prcdent. La structure identifie correspond lle identifie dans [3] pour le.v. des tenseurs pizo-lectrique. Continuons maintenant avec les spectres de tenseursordre 4.2. Tenseurs dordre 4On considre le tenseur dlasticit sans la grande symtrie, cest--dire possdant les symtries indicielles :j)(kl). Ce tenseur correspond physiquement celui de leffet Kerr [7]. Le s.-e.-v des tenseurs photolastiques structure suivante :(0a 2a) (0b 2b) = (0a 0b) (0a 2b) (2a 0b) (2a 2b) (16)onc au final on aSp((0a 2a) (0b 2b))= 0(2) 1 2(3) 3 4 (17)qui correspond au spectre de la dcomposition harmonique effectue dans [7]. Le mme calcul effectu par lathode de Spencer aurait t beaucoup plus compliqu mener. Considrons prsent le cas de llasticit, onent compte prsent de la grande symtrie : (ij) (kl). Le problme admet des simplifications. La grande symtrieplique de rcrire (16) de la manire suivante :(0a 2a) (0a 2a) = (0a 0a) (0a 2a) (2a 0a) (2a 2a) (18)ec des termes au carr et des termes croiss. On a naturellement pour les termes carres Sp(0a 0a)= 0a et Sp(2a 2a) = 0a 2a 4a (19)r proprit de la dcomposition dun tenseur totalement symtrique. Tandis que pour les termes croiss il est nces-ire de considrer (0a 2a) (2a 0a) comme un sous-espace symtrique et non comme deux sous-espaces. Deit on aSp((0a 2a) (2a 0a))= 2a (20)e qui nous permet de conclure queSp(E(ij) (kl)) = 02 22 4 (21)e qui est bien la structure de le.v. des tenseurs dlasticit tel que obtenus dans [1,2]. Appliquons cette mthodologiela drivation des structures de diffrents e.v. des tenseurs dordre 6.3. Tenseur dordre 6On a immdiatementSp(Aijklmn) = 015 136 240 329 415 55 6 (22)n retrouve bien les 729 coefficients dun tenseurs dordre 6 et on retrouve bien les 15 composantes isotropes djentifies par Suiker et Chang [8]. Pour le.v. des tenseurs dordre 6 possdant les symtries (ij)k (lm)n on obtient :Sp(A(ij)k (lm)n) = 05 14 210 35 45 5 6 (23)hysiquement cet e.v. correspond celui des tenseurs dlasticit du second ordre dans la thorie du second gra-ent [9]. On constate que notre dcomposition concorde avec le modle isotrope de Mindlin car nous retrouvons bienns ce cas les 5 coefficients du modle. Regardons (voir Tableau 1) comment voluent les structures despaces ennction des symtries indicielles.Regardons prsent une utilisation possible de ces rsultats.374 N. Auffray / C. R. Mecanique 336 (2008) 370375TavSyij(ij(ij(ij(ij(ij(ij5.lOdNhaLdepeavElelaccalaposeR[[[[[bleau 1olution les structures despaces en fonction des symtries indiciellesm. 0 1 2 3 4 5 6 Dim.klmn 15 36 40 29 15 5 1 729)k(lm)n 6 12 16 12 8 3 1 324)k (lm)n 5 4 10 5 5 1 1 171)k (lm)n 4 2 7 3 4 1 1 126k)(lmn) 2 2 4 3 3 1 1 100k) (lmn) 2 0 3 1 2 0 1 55klmn) 1 0 1 0 1 0 1 28Synthse et exemple dapplicationConsidrons prsent un cas dapplication concret de cette mthode. On se place dans le cadre de la thorie delasticit du second gradient pour un milieu centro-symtrique [10]. On sintresse llasticit du second-ordre.n a la relation linaire suivante entre le gradient de la dformation K , le tenseur dhypercontrainte S et le tenseurlasticit gnralise AS(ij)k = A(ij)k (lm)nK(lm)n (24)otre tenseur de comportement appartient donc a A(ij)k (lm)n dont nous avons identifi prcdemment le spectrermonique :Sp(A(ij)k (lm)n) = 0(5) 1(4) 2(10) 3(5) 4(5) 5 6 (25)a question est la suivante, dans le cas de lisotropie transverse combien de coefficients sont non nuls dans notre loicomportement ? Comme montr dans [2] si lon considre, H(n) un tenseur harmonique dordre n, alors ce tenseurut, via la dcomposition de Cartan, scrire :H(n) = H(n)0 +nk=1H(n)k (26)ecdim(H(n)k)={1 si k = 02 si k = 0 (27)t comme montr dans [11] si lon considre notre loi de comportement comme tant isotrope transverse, alorss seuls termes non nuls de la dcomposition harmonique sont les composantes paires. De plus les seuls coefficientsisss non nuls dans la dcomposition de Cartan sont ceux de degr 0. De fait on a en pratique, et avec les notations (1),A = H(0,5)0 + H(2,10)0 + H(4,5)0 + H(6,1)0 (28)est--dire que A(ij)k (lm)n possde 21 coefficients non nuls dans le cas de lisotropie transverse. De cette manire lelcul est quasi-immdiat, si on avait eu besoin deffectuer la dcomposition la Spencer le cot en temps aurait trgement suprieur et ceci sans parler du risque derreurs de calculs. De plus il est noter que si lon doit effectuer,ur une raison ou une autre, le calcul explicite de la dcomposition la prsente mthode propose un garde fou en cens que lon connat la structure du rsultat final.frences1] G. Backus, A geometrical picture of anisotropic elastic tensors, Reviews of Geophysics and Space Physics 8 (1970) 633671.2] S. Forte, M. Vianello, Symmetry classes for elasticity tensors, Journal of Elasticity 43 (1996) 81108.3] T. Weller, tude des symtries et modles de plaques en pizolectricit linarise, Thse de doctorat, Universit Montpellier 2, 2004.4] A. Spencer, A note on the decomposition of tensors into traceless symmetric tensors, International Journal of Engineering Science 8 (1970)475481.5] J. Jerphagnon, D. Chemla, R. Bonneville, The description of the physical properties of condensed matter using irreducible tensors, Advancesin Physics 27 (1978) 609650.N. Auffray / C. R. Mecanique 336 (2008) 370375 375[6] J.B. Zuber, Invariances en physique et thorie des groupes, M2/CFP/Parcours de Physique Thorique UPMC (2006).[7] S. Forte, M. Vianello, Symmetry classes and harmonic decomposition for photoelasticity tensors, International Journal of EngineeringScience 35 (1997) 13171326.[8] A.S.J. Suiker, C.S. Chang, Application of higher-order tensor theory for formulating enhanced continuum models, Acta Mechanica 142 (2000)223234.[9] R.D. Mindlin, N.N. Eshel, On first straingradient theories in linear elasticity, International Journal of Solids and Structures 4 (1968) 109124.[10] S. Forest, Milieux continus gnraliss et matriaux htrognes, Les Presses de lEcole des Mines de Paris, 2006.[11] N. Auffray, Dmonstration du thorme dHermann partir de la mthode Forte-Vianello, C. R. Mecanique (2007), soumis pour publication.

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