D~composition spectrale dans des alg~bres munies d'un star-produit (*).

JEAN-]~]~RTRAND ][~]A!~IMEREI~

Summary. - The purpose o/this paper is to study, in intrinsic way, the Moyal' s product, defined in the flat space R ~. This product is defined here with the twisted convolution and the ~ourier transform. The $(R ~) and L2(R~) spaces are ,v.alyebras. Because of this definition, the , -produvt o/ some tempered distributions is defined. .Lvt O~M be the set of multiplication operators in $(R~) . By transposition, the S'(R ~) space is a right-module on O~M . The sup- port of ] ,~ g is different #om the support of f .g; under large enough hypotheses, there is a Taylor's ]orTwala /or the star-product function o/the v variable. The ff~ space of the multipli- cation operators in L~(R ~) is defined here as the space of tempered distributions, the image of which is the set of bounded operators in L~(R ~) by the Weyl map. After the study of 53 ~ space, it is possible to show the spectral resolution of the real elements of ~ or o/O~M, which satisfies a, probably superfluous, hypothesis.

Introduction.

Le produ i t d6form4 ,~ ~ 5t~ d~fini pour ~noncer une formal i sa t ion de 1~ m~c~nique quant ique, qui repose sur 1~ remurque suivante : soit un syst~me dynamique holonome, ~ n degr4s de l ibert5 dont ]es forces uppliquSes d4rivenr d 'une

fonct ion de forces; le m o u v e m e n t de ce systSme est rSgi pur les ~qu~tions d ' H a m i l -

ton: s0it u u n e fouct i0n C i des p~r~m~tres q~ et p~; u est d6termin6e pa r :

d (1) ~ u ( t ) :-: {u(t), H } , ~t(0) ~--

H est l 'h~mil tonien;

i

L'ensemble s des fonctions C ~ sur R 2~ est muni d 'une s t ruc ture d'ulg~bre vis ~ vis du pro4ui t ordinaire et d 'une s t ruc ture d 'alg~bre de Lie vis ~ vis du crochet de Poisso~ [4].

(*) Entrata in Redazione il 24 m~rzo 1984. In4irizzo 4cll'A.: Ecole Centrale des Arts et Manufactures, 92290 Chatenay-Malabry;

Ecole ~ational Sup~rieure 4es Tdldcommunications, 46 rue Barrault, 75013 Paris, France.

216 JEAN-BERTI~Ah~D KAlVIiVLERER: Dgcompos i t ion spectrale~ vtc.

La formalisat ion propos6e est la suivante: eonsid6rons l 'espace vectoriel _~ des fonctions complexes C ~ d6finies sur R ~" et munissons le d 'une s t ruc ture d~alg6bre vis s vis d 'un produi t d6form6 ,~ ct d 'une s t ruc ture d'alg~bre de Lie vis ~ vis du

crochet :

1 (2) [ u , v ] = 2 v ( u , ~ v - - v , ~ u ) , v = - - ~ : ~ 0 .

L~6quation (i) est remplac6e par :

d (3) ~ u(t) = [u(t), H] , u(O)=uo.

Une des propri6t6s ~t tendues de cet te formula t ion est que 18 m6csnique clas- sique apparaisse comme le cas l imite de l~ ln6canique quant ique lorsquc la eonstante de P18nck t end vers 0 (v = is Plusieurs r6sultats sur les choix possibles de la loi ,~, de l '6quation d '6volut ion (3) et de l 'hamil tonien r@onden t s ce t te a t tcn te .

I1 a 6t6 montr6, que 18 seule loi de composit ion qui soit une d6formation du produi t ordinsire d6finie formel lement p~r une s6rie e~ti6re par rappor t ~ v e t qui donne ~ ~Y une s t ruc ture d'algSbre, est d6finie par ]a re la t ion [2]:

(4) ' ~ ~'"Ai,'<..A'i~i~'h, ~u%, ;~v u.,.~v - - u ' v + ~,{u,'v} -i- ~ 2 p ! . . . . . .

8vec: A '~ = 1 si j = i ~- n, - 1 si i = j -~ n, 0 duns les ~utres eas. Cette loi de composi t ion a 6t6 obtenue ps r SYLVEI~ :DE CxROOT d 'une toa t e au t re

mani~re en 6radiant 18 t ransformat ion de W ey l [5]. Cette t rans format ion fair cor- respondre ~ un op6rateur de L'~(R ~) une fonet ion d~finie sur R~"; ~u produi t de deux op6rateurs ne correspond p~s le produi t ordinaire des deux fonctions correspondsntes mais le produi t d6form6 de ces deux fonctions (4).

SYLVEN DE GR00T pr6cise aussi que, si la repr6sent~tion choisic du syst~me est celle d 'Heisenberg, ~ robserv~ble t ~-* A( t ) , qui vsr ie , 8u cours du temps~ suivant la loi:

d A ( t ) = 1 [A(t), HI (5) a-~

correspond une fonct ion t ~+ u(t) , qui v6rifie la re la t ion (3). Enfin, pour que la m6eanique el8ssique soit 1~ l imite lorsque la constante de

P lanck t end vers 0 r de la m6canique quant ique , il suffit que la fonct ion qui cor- respond ~ l~op6ratenr hamil tonien quantiqu% tende vers l 'hamiltonien classique.

L8 loi de composit ion .~ 6rant d6termin6% l '6tude dkm syst~me quant ique se ram~ne ~ la r6solution de l~6quation (3); ce t te r6solution est facilit6e par la con- naisssnce des valeurs propres et des 616ments propres de 18 fonct ion H. Cette re- eherche du spectre des fonctions est l~un des bu ts de cet art icle; elle avai t 6t6 d6j~

JEAN-BERTRAND KAI~LMERER: Ddeomposition speetrale~ etc. 217

abord6e en eonsid6rant le d6veloppement en s6rie de Four ier de la fonet ion t ~-,

~-, exp *~ (itH) [2]. L~ m6thode, utilis6e ici pour 6tudier le produi t ,~, consiste g eonsid6rer d 'abord

nne loi de composit ion des noyaux :

dt R~

puis le produi t de convolut ion d6form6:

v(x) =[u(t)v(x -- t) exp (~tAx) dt U

R2n

et ~ poser [3]:

u ~ v = (2z)-"/"(/~*u ,~ /"*v) .

Le plan est:

1 ~ PARTIE. -- Apr6s l ' in t roduct ion des notat ions (Ch. I) et l '6tabl issement des relations entre ees trois produits~ les espaees veetoricls 8(R ~) et Z~(R ~'~) sont des alggbres pour chaenne de ces lois (Ch. II). Le produi t de convolut ion d6form6 s '6tend aux distributions, qui v6rifient <( la condit ion des supports >> (Ch. I I I ) ; l 'espace veetoriel des transform~es de Fourier des distributions ~ support compact esG par suit% nne ,~ alg6bre et le produi t de deux teIles fonctions s 'expr ime selon la rela-

t ion (4).

2 ~ PAI~TIE. -- Les r6sultats obtenns main tenan t reposent sur la continnit6 de ees trois produits dans 8(R2"). Pa r t ransposit ion, ehacune des lois de composit ion o, .~, ,~ d~finit une application de 8 ' (R 2~) • s~) dans 8'(R2~); &off les espaces de (~ multiplieurs ~> AP~ '~ ~ ~ ~ �9 0 C ( R ) et O~(R ), par une nouvelle extension, 8 ' (R ~) a une s t ructure de module s droite sur ehaeun de ees ensembles~ qui sont des alg6- bres (Oh. IV). Enfin l ' in t roduet ion de topologies sur ees ensembles en fair des espa- ees veetoriels topologiques loealement convexes complets et pe rmet de les earaet6- riser (Oh. V):

= 8(R")6 8'(R-).

Ces r6sultats pe rme t t en t de mont re r que, sous des hypoth6ses assez larges, les p premiers termes de la s&ie de la relat ion (4) fournissent un d6veloppement limit6 l 'ordre p du produi t u ,~ v, lorsque ~ t end vers 0 (Ch. VI) ; l '6tude de lg t ransforma- t ion de Weyl pr6cise les distr ibutions correspondant aux op6rateurs born6s et donne une condit ion sniIisante pour que l 'op6rateur soit hermi t ien (Ch. VII) .

218 JEA~-BEttTRAi'~D KA~VLEttER: D~composition spectrale, etc.

3 ~ PAR~In. - Lu ~ransformation de Weyl condui t ~ consid6rer un espace vec- tor iel .~'(R ~) de distr ibut ions temp6r6es aux quelles correspondent des op6rateurs born6s. L-~ strac~ure d~alg6bre de 5~, vis ~. vis do 1~ loi ,~, r6sulte de ]a eont inui t6 de ce produi t da.ns L~(R ~) et de son prolongement par t ransposi t ion: 8~, est iso-

morphe an duM d e / / ~ = L~(R ~) ,~ L~(R~) . C'est une ~lg6bre de B~nach~ sur la- quelle pen t 4tre d6finie une relat ion d~ordre (Ch. VIII) .

4 ~ PARTIE. -- A pa r t i r des propri6t6s de 33% il est facile de d6finir une famille spee- t ra le d'616ments de 65 ~. La m6thode employ6e par l~iescz et BTagy pour d6montrer 1~ d6compositiou spectrule des op6rateurs hermit iens, s 'applique d~ns 5~: ~ tou t 616meat r6el de ~5, est ~ssoci6e Ulle f~mille spectrale t ~ e ( t ) u n i q u e telle que:

Yh e H , ( / , h } ~ = ft~<c(t), h} , . R

En util is~nt 1~ tr~nsforma~tio~ dc 08yley, il est ~ssoci6, ~ tou t 616meat r6el ] de

0 ;~ te l que ] q - i adme t t e an invers% une f~mille spectr~le, pour l~quelle existe une relat ion analogue (Oh. I X et X).

Enfin~ que M. LICH~EROW~CZ, qui m 'a indiqu4 ce sujet de recherches et m'~ eonseill6, ai~si que M. F~A~O qui m'~ encoura~g6, t rouven t ici Pexpressiou de rues sinc6res remerciemel~ts.

Table des mat i6res .

CI-IAPIT~E

CI-IAPITI~;E

CttAPITR:E

l: Notations et rdsultats 1~vdparatoiTes. 1. Notations. 2. Op6ra~eurs ~ , et 7~. 3. 0p6ra~eUrs ;~1, ~2, ~ e~ ft.

II: Lois de composition o, .$~., ,v" 1. D6finitions. 2. Alg6bres de reactions: 8(R2~), L~(R~). 3. Formulaires.

III: Autres algkbres de reactions; expressions du produit .,~. 1. (5~L~(R2~,), ,~) est une Mg6bre. 2. Premier prol0ngement de I~ loi ~ aux distributions. 3. L'alg6bre (~ ' (R~) , ,~ ) .

O,~ R ~- 0 ~ R2~ I~: Les alg~bre~ 3~;'~ e( ) et ~( ). 1. Produir d'une distribution ~emp6r6e e~ d'une fonc$ion de $(R~'). 2. Espaees veetoriels J~~ f~ ~ Oo(R ) et O~(R~) . 3. Topologies des espaces j~o, O~ e~ O~. 4. 8'(R 2~) est un module $ droite sur A~o, O~" et O~i. 5. 8~(R ~) est un module ~ gauche sur .~o 0~ et O ~ M"

JEAN-BERTRAND KAlVl:M[ERER: D~eomposition spectrale, etc. 219

CHAPXTRE

~HAPITR]~

CHAPIT~E

CHAPITR~E

CHAPITR]~

V: Propridtds et earavtdrisations des espaces ~o, O,eV et 0~.

1. L'espace ~ o est eomplet. 2. Propri6t6s; suites r4gularisantes. 3. Caraet6risations des espaees j~0, 0 ~ et O~.

VI: Expressions du produit a~"

1. Support du produJit / ,~ g. 2. D6veloppement limit4 du produit / ,~ g.

VI I : La trans]ormation de Weyl.

1. D6finition de la transformation de Weyl. 2. Cas born6. 3. Cas 4'une distribution appurtenant ~ O~zn O~.

V I I I : L'alg~bre de Banaeh (~B ~, ,~).

1. Les espaces / / , E et B e. 2. (B;, o) est une algbbre de Banach. 3. L'alg~bre de Banach (:B ~, ,~). 4. Une relation d'ordre duns :Bt 5. Les projections.

IX : ~amille spectrale.

1. Famille spectrale. 2. El6ments de 3V d6finis par une famflle spectr~le. 3. E16ments de LP(R 2~) d6finis par une famille spectrale.

4. E16ments de O ~ OV~ d6finis par une famille spectrale.

X: Ddeomposition spectrale.

1. Valeurs propres; 616ments propres. 2. D6composition spectrale des 614ments r6els ou unitaires de :~ . 3. Ddeomposition spectr~le de eertains 616ments rgels de 0~u. 4. Spectre; ensemble r6solvanL

CHhPITRE I

: N O T A T I O N S E T I~]~SULTATS P R ] ~ P A R A T O I R E S

1. - N o t a t i o n s .

a) L a le t t re v d6signera u n n o m b r e complexe imugina i re pur , diff6rent de 0; n a n en t i e r s t r i c t e m e n t posit if .

b) Soi t x e R ~ . ; posons : x = (x~,xp), x l , = (x~, 0), x l ~ = (O, xp). I1 en sera de m 4 m e p o u r u n mul t i - ind ice ~ e N ~.

220 JEXIN-BERTRAND KAM~LERER: D~composition spectrale, ere.

c) Soit ] u n e fonetion complexe d6fiuie sur R ~ (resp. R~); d6signons par ], ~, ~j, to (resp. ~, p, ~) ~es fo .ct~o.~:

x ~ t ( x ) , t ( - x ) , t ( x - a ) , ] ( a x ) .

x = (x~, ova) ~ t ( - x~, x~), ](x~, - x~), ](x~, x~).

Ces d6finitio~s s~6tendent cl~ssiquement aux distributions.

d) Semi-normes de S(R~): soit ~ 8(R'~); posons [11]:

Vr ~ ~ N ~ , q~,~(~) = Sup Ix ~ D ~ ( x ) ] x ~ R n

Vk, m ~ N , i~l,0,~= Sup su~ I(1 + Ixl~) ~ D~(~) I �9

2. - Op6rateurs ~ et ~3".

a) Pour route fonction complexe ], d6finie dans R2~, posons [6]:

l ~3~](x) = (2l~l)~t~/(xi~- i~x~, x~--i~x~) , (I.2J) ~l(x) = (2I~1) -=~] x~ § x~ x ~ - ~

2 ' ~ - ~ / "

b) Ces ~pplic~tions ~;~ et ~* sont des bijections continues, inverses l'une de l 'autre, de 8(R ~) d~ns h i m4me. Ce sont ~ussi des op6r~teurs unituires de L~(R ~) et des bijections continues, inverses l'une de l 'autre, de 8'(R ~) en pos~nt:

(I .2 .2) V] e 8'(R2~), V~ e 8 ( R ~ ) ,

c) l ~ o R ~ m ~ x n ~ . - V / e 8'(R2~):

~!=~;~l, ~ t = ~ ; t ,

= , < ~ t , q > = <7, ~ > .

v ~ = ~ t = =~*i.

3. - Op6rateurs ~-1, 5~ , 5~ et /~.

a) Soit ] une fonction complexe d6finie sur R2~; posons formellement:

(I.3.1) ~l](x) = (2a)-~/2f](u, x2) exp (-- iux~) du, Rn

~ d ( x ) = (2~)-~l~f](x~, u) exp ( - iux~) au . R n

JEAN-]3ERTRAND KAMMERER: Ddeompos i t i on speetrale~ etc. 221

D6signons par 5* et 5* les op6rateurs obteilus en remplagant i par -- i; il vient : 5 : 5~ 5~. Posoils :

= ~ * = 5 " ~ (1.3.2) P 5 1 5 " , 1 ,,~ �9

b) Les op6rateurs 5x, 5~ sont des bijeetioils continues (resp. des op6rateurs nnitaires) d'inverses 5"~ 5* de 8(R ~) dails lui m6me on de $ '(R 2~) darts lui m6me (resp. de Z~(R~)).

(1.3.3)

, * : ~ 3 " 5 2 5 " t 3 = :t2"~:, ~3~52

.<--.._.>

d) EXE~L~,S. - Soit ~z la distr ibution tcmp6r6e:

<dz, 9> =fg( x, x) dx ,

I1 vient :

(1.3.4) = = 5 1 ~ (2rr) -~/~' exp( - - ixlx~) , : ~ 2 2 3 ~ z

CHAPITRE I I

LOIS DE COMPOSITION o, ,~, ,~

<II.1.2)

il a 6t6 pos6:

1 . - D 6 f i n i t i o n s .

Pour d6finir la loi de composition ,~, utilisoIlS la m&hode pr6conis6e par KUA~G Cm LIu [3]; elle COllsiste {~ poser:

(11.1.1) f ,~ g = (2~ ) - -~ (~*1 ~ ~*g)

Oll iv cst le produi t de convolutionn d6form6 d6fiili par:

~ g(x) : ~]( t )g(x - - t) exp ] (vtAx) dt R2~

t a x = t l x~- - t~x~ .

222 JEAN-BEI~TRAND KA:~EI~ER: D&omposition speetrale, etc.

Enfin l 'dtude de la t ransformat ion de Weyl, conduit ~ considdrer une <( loi de composition des noyanx ~ ddfinie par:

( i i . l . a ) t o g(x) =f](x~, u)g(~, x~) du . R~

I1 est manifeste, que s i f et g sont les noyaux de deux opdratenrs de Hilbert- Sehmidt A e t B, ] o g est le noyau de l 'opdrateur compos6 de A et de B. En con- clusion, la loi de composition des noyuux est ddfinie par lu relat ion (1.3), le produit de convolution ddform6 par (1.2) et enfin le produi t ddform6 par (1.1). Etudions les conditions de ddfinition de ees produits.

2. - Alg~bres de fonetions: 8(R~'), L2(R=").

Le rdsultat fondamenta l est le suivant: Les espaees veetoriels 8(R ~) (resp. L~(R2~)) sont des alg~bres lorsqu'ils sont

munis de l 'une des lois de composition o, ~ , .~. Ces produits sont des applications continues de $(R ~) x $(R 2~) duns 8(R 2~) (resp. de L~(R 2") xL~(R 2~) duns L~(R~))} ces alg~bres sont non-ddgdndrdes:

- ] o ] = 0 on .~ ] = 0 ou / ,~ ] = 0 entraine f = 0 .

Ces algdbres sont isomorphes les unes aux antres; les applications

t i l l \ ~

sont respectivement des isomorphismes de l 'une des alg~bres (., o) snr l'alg~bre eorrespondante (., ,~) on (-, ,~).

En effet, il est facile d'dtablir g l 'aide du formulaire g Palinda 3 a):

,I V~, v' e 8(R=~); Vow, f l e N ~ (11.2.2)

(8(R='), o) et (L=(R="), o) soar done des algSbres; ees alg~bres sont non-ddgdndrdes car:

] = �9

Enfin les lois de composition ~.~ et ,~ sont lides g la loi o par les relations:

( 1 1 . 2 . 3 )

JEAN-BERTRAND KAlV~IEREtr Ddcomposition spectrale, etc. 223

(8(R~"), ~) et (8(R2"), .~) soar donc bien des ~lg~brcs isomorphes ~ l'alg6bre (8(R2n), o). I i e n e s t de m6me pour les Mg6bres d6finies sur L~(R~').

I~E~ARQUE. - Le produit de convolution d6form6 .~ est m~nifcstement d6fini sons d 'autres hypoth6ses:

1) / ~ Ll(R~n), g e L~(R ~) ~ / ~ g ~ L~(R~");

2) / ~ L~(R~), g ~ L~(R ~) => ] r g ~ L2(R 3.) ;

3) ] e L~(R2~), g ~ L~(R ~) => ] ~ g ~ Z~(R~n) .

EXEMPLE. - Soit ~ e 8(B~):

-6 - - - - - )*

1 ~ 9 = (2Z~)n(/~q~)-~ �9

3. - Formulaires .

a) Loi de composition o: - 1) Pour des fonctions f ct g de L~(R~):

(11.3.1)

(11.3.2)

/og=loY, (?og)a=la]nfaoga, exp (iax) ] o g(x) = (exp (ia~xl) ](x)) o (exp (ia2x2)g(x))

%1 o g = (r~ll]) o (r~12g) , 3~(1 o g) -~ (~]) o ( F ' g ) .

~ g o .

2) Pour des fonctions ] et g de 8(R~'):

(II.3.3) { D~ g) - ~ (D~]I]) o (D~12g), ~ e N 2~

3) Enfin, pour [ et g de L2(R ~') et (p E 8(R2n):

(II.3.4) < ] , g o ~ > = < f o g , g>.

b) Loi de composition ;~. - A par t i r de 18 relation (1.2), il vient :

1) Pour des fonctions / ct g de L~(R2~):

(II.3.5) ( / ~ g ) (x - - a) :=- (exp (vaAx)](x)) ~ g(x - - a) ,

exp (iax).] .~g(x) = (rd) .~ ( T - - b g ) ( x ) , b :-i ( a 3 , _ al); ?)

15 - A n n a l i d~ M a t e m a t i c a

224 3EA:N-]3ERTI~A:ND KA~3iEI%EI~: D&omposi tgon speetrale~ ere.

(11.3.6)

(11.3.7)

(II.a.8)

]$~g = g ~ ] ,

1

2) Pour des fonetions ] e t g de $(R2~'):

D~(] .~,, g)(x) = ~ (~ __ fi) !fl ! (x~'(-- x~)a'](x)) ~ D~-B g(x) ,

5) !~ ! ( J r (x ) ) .z~ ( ~ - e g ( x ) ) .

3) Enfin, pour / et g~L~(R~'*), et 9 ~ 8(R~) :

(II.3.9) I (] .~ g, ~} = <](~)g(~), 9(~ + ~) exp (v~A~}

R E ~ B Q ~ . - Quelles que soient ] e t g dans L2(R2~), la fonction ] ,~ g est continue.

e) Loi de composition ,~. - A cause de la premi6re relat ion (3.5)~ 1~ rel~Uon (1.1) d6finissant le produi t d6form6 est 6quivMente g la relation:

(II.3.10)

Les propri4t6s du produi t de convolution d6form6 donnent les relations:

1) Pour 4es fonctions f e t g de L~(R2"):

(II.3.11) ] ,~ g(x).exp (iax) = ](x~--iv~,~ x~ + ivan) ,~ (g(x).exp (iax)) ,

( ] ) .~ ,~ g

(II.3.12) ] ,~ g = g ,~ f ,

(ll.3aa) = ] , v g ,

] ,~o~ g = (?~ , , go)11o , a > o .

J~A~-BE~A:~]) KA~:~Em~: Ddcomposition speetrale, etc. 225

2) Pour des fonctions ] et g de 8(R~):

(11.3.1t)

D~'(f *~ g) = ~, I D~] D~-~g'

x ~" (i ,~ g) (x) =~:~.~ !(~ _ ,~)!(- 1)[~(D~(x)) ,~ ( x ~ - ~ g ( x ) ) .

3) Enfin, pour ] e t g ~ L~(R '~) et ~ a 8(R2~).

(II.3.15) <1, g .~ q~) = (f , , g, q~}.

d) I~EM_A_RQUES. -- :1) Certaines propri6t6s du produit d6form6 sont les mSmes que celles du produi t ordinaire (formule de d6r iwtion, relation (3.15)); par contre d 'autres propri6t6s sont seulement modifi6es; d'anfres enfin sont nouvelles (vis vis de la t ransformat ion de Fourier).

2) A par t i r des relations (3.5) et (3.10), il vient:

1 ~ 1 ~ ~ 21~ ~ (II.3.16) ] ,~ g -- (2z)" ( ~ - ~ ~/~-- (~z~'-(]_~ ~,~ T*g)~/~-- _F(]~ ~ gO ) .

CItAPITI~E I I I

AUTI~ES ALG~]31~ES DE FOI~-CTIONS; UI~E EXPRESSION DU PI~ODUIT ,~

Certaines propri~%s des lois de composition ~ et ,~ ont des consequences simples qui permet tent de dSfinir ces lois dans des ensembles de distributions ou de fonc- tions plus w s t e s que L~(R~).

1 . - (YL~(R~'),,~) est une alg~bre.

a) A part i r de la remarque du paragraphe 2 du chapitre I I ct de la derniSre relation (II.3.5) du formul~ire, il vient: (LI(R~), ~) est une alg~bre et les r~glcs de multiplication de deux fonctions des espaces LI(R~), 5Z~(R 2~) et Z~(R ~) sont les suivantes:

L1 ~L1 L~

L1 LI ~-L 1 L~

L~ ~2 L~ L~

226 JEAN-~EI~TI~AND KAN3IE~EIr Ddeomposit ion speetrale, etc.

b) P a r t r an s fo rm a t i on de Fourier , (~-Lz(R-~'), ,~,) est uric alggbre; les r~gles

de mul t ip l ica t ion se d6duisent de celles du t ab leau pr6c6dent; les appl icat ions sont toujours continues, lorsque ehacun des espaces est muni de sa topologie naturel le:

2"L ~ L ~ L ~

2"L~ 2"L ~ L ~ E~

L~ L ~ 2"L ~ L2

L 2 L~ L 2 L~

I~MA~QUE. -- Le caract~re (~ abso rben t )> de L ~ sera re t rouv6 plus loin; il cor-

respond s une propri6t6 bien connuc des op6rateurs de t t i l be r t -Schmid t pa r r appo r t aux op6rateurs born6s.

2. - P r e m i e r p r o l o n g e m e n t de l a l o i ~ a u x d i s t r i b u t i o n s .

~) La p remiere re la t ion (11.3.9) du formula i re sugg~re de poser:

E t a n t donn6 deux dis t r ibut ions S e t T de ~'(R2~), S 8, T e s t la d is t r ibut ion,

qui, si elle existe, est d6finie pa r la re la t ion:

( I I I .2 .1) V 9 e $ ( R 2") , (S .~, T, ?} = ( S ~ @ / 7 , ?(~ § ~) exp (vSA~)} �9

I1 est mani fes te que 1~ condi t ion des supports , in t rodui te duns l%tude du produi t

de convolut ion, est une condi t ion suffisante d 'exis tenee [11]; cet te d6finition et ee

r6sul ta t s '6 tendent h p dis t r ibut ions. Les suppor ts des dis t r ibut ions sont li6s pa r

lqnclusion:

(111.2.2) Supp (S ~ T) c Supp S + Supp T .

E X E ~ L E .

( I I I 2 . 3 )

PROPOSITION 2.1. - Soit S une dis t r ibut ion, ~ une fonction, telles que: S e e ~ ' ( R ~ ) , ~ e ~ ( R 2~) ou S e ~'(R2'~), ~ e ~(R~); S ~ ~ est une fonct ion de 8(R ~)

d6finie pa r :

S ~ ~(~) = {S t , ~(x - - t) exp (vtAx)) �9

b) PROPOSITION 2.2. - (8'(R2~), ~ ) est une alg~brc d'~16ment unit6 8; quels

que soient S et T duns 6 ' (R~) , S A T est 6gal ~ la somme d 'une s6rie enti~re pa r

JEAN-BERTRAND KA31:MEREI~: Ddcomposition speetrale, etc. 227

rappor t s v, qui converge duns g ' (R~):

~ A ~ A ~ ( x ~ x~ S) , (% ... x~ Y) + (111.2.4) S ~ ~ = S , T + .... + ~ . . . . . . . . . . .

La d6monstrat ion eousiste, darts la relat ion (2.1), ~ d6velopper exp (v~A~) en s6rie enti~re; la convergence est uniforme dans tou t compact .

A~;= 1, si j = i + n; -- 1~ si i = j + n; 0 dans les autres cas.

3. - L'alg~bre (Yg'(R2~), ,~).

A par t i r de la d6finition du produi t ,~ (II . l .1) et de la proposi t ion 2.2 ei-dessus, il v ient par t ransformat ion de Four ier :

PI~OI'0SlTI0~r 3.1. - (~-g'(R~), , .) est une alggbre d'616ment unit6 1; quelles que soient deux fonetions ~ et fl de ~g'(R2~), le produi t ~ , . fl est 6gal ~ la somme d 'une s6rie enti~re par rappor t ~ v, qui converge duns 8 ' (R~) :

<III.3.1) ~P

,~fl = e . p + ... + ~ . I A *~h . . . A ~j~ ~. . .4~e ~j .... J~fi + . . . .

Cette re la t ion est la relat ion (4) de l ' introduetion.

CItAPITI~E I V

LES ALG]~BRES 0V~ '~ 2~ oo (R), %(R ~)

An ehapi t re pr6c6dent, le produi t de convolut ion d6form6 ~ a 6t6 d6fini pour deux ou plusieurs dis tr ibut ions v6rifiant la condit ion des supports; ici la m6thode utilis6e exploite la eontinuit6 duns 8(R 2~) des trois lois o, ~'~, ,~ pour d6finir par t ransposi t ion la eompos6e d 'une dis tr ibut ion temp6r6e et d 'une fonct ion de 8(R~').

1. - Produit d'une distribution temp6r6e et d'une fonction de 8(R2~).

a) D]~FINITION. -- S0it ~ ~ 8~(R~), q)~ 8(R2n); d 'apr~s les relat ions (II.3.4), (II.3.9) et (II.3.16) posons: S o ~, S ~ ~0 et S , ~ 0 sont les dis tr ibut ions temp6r6es d6finies par les relat ions:

<So~,~> ----<S,~0o

228 JEAN-]B:~I%TR:kND KAI~L~IEREI~: Decompos~*o.n speotrale~ etc.

Pour 90 donn6e, lee applications S >+ S o % S ~-~ S e~. 90, et S ~-+ S , , 90 sent continues de 8'(R='0 dane iui mdme.

b) I t est facile de mont re r que, pour une dis t r ibut ion temp6r6s ~ et une fonc- t ion g de 8(R="):

I) le prodnit f o g v6rifie lee relations (II.3.1) st (II.3.3);

2) / ~ g v6rifie (II.3.5), (II.3.7) et (II.3.8);

3) / ,~ g v6rifie (II.3.11), (11.3.13) et (II.3.1~).

De mdme les relations (II.3.16) et (II.2.3) sent v6rifi6es. Un exemple de d6monst ra t ion:

<~ ~ 90, v> = <g .~ 90, ~> = <& ~ .~ ~> = <~, ~ ~ }> = <~, ~ .=,~ ~> = < ~ ~, w>.

EXE~M:PLES. - 1) Suit g ls fonct ion: g ( x ) = exp (iax~x~); a ~ R ; il v ient :

, 1 (F~) (~x/~, ) g ~ 90(x~ = (2=pg(x) 5(90 .g)((a - - iv)x~, (a + iv)x,); ~ ,~90(x) = (2~ivt~) ~

O) PI~0POSITIOX 1.2. - Pour chacune de ses lois o, ,~, ,~, $ ' (R ~) est un mo- dule g droite sur Falg6bre 8(R2~); en par t icul ier :

(iv.~.2) w e 8 ' (R~, , ) , V90, V' ~ 8(R~, ' ) , % o (90 o V) = (,S o 90) o V .

De plus la mullit6 de ls dis t r ibut ion temp6r6e S est 6quivalente g l 'une des propri6t6s :

V90~8(R='5, 8 o 9 0 = 0 , S ~ 9 0 - ~ 0 ~ S , ~ 9 0 = 0 .

Ce{te 4er~libre propri6t6 r6sulte 4u fs i t que si la dis t r ibut ion S o 90 est nulls quells que soft 90 duns 8(R~)~ S prend la valeur 0 sur lee fonctions 90 o ~r il reste g choisir pour 90 et W des produits tensoriels de fonetions de 8(R'5 pea r mon t re r que S est nulls sur 8 ( R ~ ) ~ $(R ~) et par suite sur 8(R~'5.

- oo ( R ) , t o~,(w"). 2. Espaees veetoriels J~~176 '~ 2~

a) D~FI~ITIO~. D6sigaons par 0V~ '~ z" - �9 ) et 0~(R z") respee t ivement lee ensembles de distr ibutions temp6rdes S pour lesquelles lee applications:

90 ~-~ 8o90, 90 ~-~ S ~ 90, 90 ~-~ S ,~ 90,

sent continues de 8(R 2~) dane lui mdme.

JEAN-BEI~TI~AND KA3I:~IEI~ER: Ddeomposition speetrale, etc. 229

Pour abr6ger, ces espaees seront dgsign6s par 2C ~ O~ et 0~. Puisque les rela- tions (II.2.3) sont rgalis6es pour les distributions temp6r6es J e t les fonetion g de 8(R~), les espaees veetoriels 2C", O) sont isomorphes ainsi que 2C" et 0~; les rela- tions (II.2.1) expriment ees deux isomorphismes.

b) I1 est /~ remarquer que l'espaee 8(R2~), l'espaee des fonctions localement sommables ~ dgcroissanee rapide ~ l'infini et l'espaee 8'(R s~) sont eontenus dans 0 ) ; par eontre O's ~ est diffgrent de l'espaee des eonvoleurs 0's [9]; en effet:

' e x p . 1 ~ O~G, 1 e r exp (~x~x~) e Oc, ,

Par transformation de Fourier, il vient: 0;z contient $(Ran), J'gr(R2~); il est diff6- rent de l'espaee des multiplieurs Oz; ~ e 0~; exp (x~x~/v) q! 0~; enfin O -~ eontient le dual de 0e [1].

c) A t'alin6a 1 b), il a 6t6 pr6cis6 quelles relations dn formulMre sont vraies pour J distribution temp6r6e et g fonetion de 8(R~'~); il vient:

1) L'espace vectoriel 5 ,0 est stable par les applications:

2) L'espaee veetoriel 0~ ~ est stable par les applications:

4 - 4

T ~-~ T, T, v~T, exp (lax)T, D:T, x=T, (~T)_~ .

3) L'espaee vectoriel 0~ est stable par les ~pplications:

T ~-~T, T, v;T, exp (iax)T, D~T, x~T, T)il ~ .

~) nes espaees veetoriels O~ ~ et O~ ~, 0~ et O~ sont respeetivement iso- morphes Fun de l 'autre par les applications:

T,

l i i a ~ i 5) Les espaees vectoriels O~ w e t Oc, 0 M e t O~ sont isomorphes lhm de l 'autre par respee~ivement les applications:

T~T~I o et T~T~.

et ~ sont is0morphes 6) Les espaces vectoriels 0s, 0s l'applieati0n:

l'un de l 'autre par

230 JEA~-BE~T]%A~D l ~ A ~ m t ~ : Ddeomposition speetrale, etc.

3. - Topologies des espaces zV ~ O~ ~ et O~.

a) Munissons ces trois espaces de topologies d6finies par des semi-normes; posoas:

1) 8oit T e S O ; x, f l~N" , B nn born6 de 8(R~):

r~,a;~(T) = Sup Sup ]x~ D~IT o 9(x)[ �9 ~eB ~ R ~n

2) Soit T~r o~eN ~, B born6 de 8(R~n):

p k ~ ( r ) = sup Sup I ( x ~ ) ~ ~(x)]. q~eB xeR ~n

3) Soit r e 0~,; a e N 2~, B u n born6 de 8(R2~):

p=;~(T) = Sup Sup I(D=r) ,~ ~(x)]. q~e~ X~R zn

Chacune de ees semi-normes est bien d6finie, ~ cause des r6sultats de l'alin6a 1 b); ces semi-normes sont s6p~,raates (Proposition 1.2). Pour que la famille de semi- normes soit filtrante, il suffit de poser, par exemple:

r~,~;~(T) = Sup r~,z;~(T).

Ch~cune de ces f~milles de semi-normes 46finit une topologie d'E.V.T, locale- mea t convexe s6p~r6 ~ b~se non-d6nombr~ble de voisin~ges.

Pl~oPosI~IO~ 3.1. - Lorsque les esp~ees A ~176 0~ ~ et 0~ sont munis de leurs topo- logies respectives, routes les ~pplic~tions de l'~lin6~ 2 e) sont continnes; les isomor- phismes ulg6briqnes (I1.2.t) sont ~ussi des isomorphismes topologiques.

b) Les injections c~noniques de 8(R ~') d~ns ch~cun des trois esp~ces sont continues et si, B est nn born6 de 8(R~), les ~pplic~tions T ~-~ T o % T ~-~ T ~ ~, T ~-~ T .~ 9 sont un i fonn6ment continues de A e~ 0~ , 0= rcspectivement da.ns 8(R~), lorsque 9 p~rconrt ce born4 B; i] en d6conle:

P~0P0SITION 3.2. - Pour qu'une distr ibution tem_p6r6e T app~rtienne ~ l 'un des esp~ces A~~ 0~, 0~, il f~ut et il suffit que, respectivement, pour route fonc- t ion 9 de $(R~), les distributions (x~ D~ T) o q~, (x~T) ~ % (D ~T) .~ ~ soient des fonc- t ions continues et que routes les semi-normes r ,roB(T), p':e(T), p~;~(T) respecti- vement soient finies.

JEAN-BERTRAND KAIKlVI:EgEI%: D&omposition spectral 6 etc. 231

4. - 8 ' ( R ~ ) est u n m o d u l e ~, droi te sur 2~ ~ 0'o ~ et 0~.

a) Soit S une distribution temp~%e et T u n e distr ibution appurtenant g Fun des espaees A ~~ O~ ~ ou 0~; d~finissons les produits So T, S ~ T et S ,~ T, en posant:

<s o T, ~> = <~, T o~>

De m~me qu'g Falin4a 1 b), il est facile de montrer que pour nne distr ibution temp~r~e ] e t nne dis tr ibut ien g

1) de JV ~ le produit /o g vSrifie les relations (II.3.1) et (II.3.3);

2) de 0~", ]~.~g vSrifie (II.3.5), (II.3.7) et (II.3.8);

3) de 0 ~ , / , ~ g verifie ((II.3.11), (II.3.13) et (II.3.14)).

I1 en est de m~me pour g e 0~, de la relation (II.3.16), et avec l 'hypoth~se con- venable sat g des relations (II.2.3).

b) PRoPosITmN 4.1. - Les couples (A p~ o), (0~, ~) et (0~, ,~) sent den alg~- bres d~unitSs respectivement ~ , ~, 1; ces alg~bres sent uon-d~g~n4r4es. L'espace $ '(R 2") est uu module g droite sur ehacune de ees alg~bres.

En effet, d'apr~s les relations (II.2.3), il suifit de montrer q~ae $'(R 2") eat un module g droite sur Falg~bre j~o. Les propriStes d'assoeiativit4 et de distr ibutivi% se dSmontreut ais~ment; par exemple: g Faide de la relation (1.2), il vient:

VS e $ '(R ~") , / ' e ~V ~ , ~o e 8(R~):

(~o ~)o~ = So(To~)

eerie relation prouve que o est une loi de composition dans 3?~ et montre:

VT~, T~e ~V~ S o (T~ o T~) ---- (8 o/71) o T. etc.

Ces algebres sent non-degenerees ear si par exemple S ,~ S e s t nnl, il vient: V~ e e 8(R~"), S ,~ ~ = 0, en effet :

e) Comme duns le cas des convoleurs et multiplieurs: Les applications (S, T) ~-~ S ~ T de 8' • O~ ~ duns 8' ou de 0'~ • O~ ~ duns O~ ~ sent s~pa%ment eontinnes.

232 JEAI~-BERTI~A:ND KAMlVlEREI~: Dgcomposition speetrale, etc.

I1 e n e s t de mdme pour les lois de composition o et ,~ et les espaces correspondants. Les injections c~noniques de ch~cun des esp~ces 5V ~ O~ ~ et O~ duns 8'(R ~) sont continues.

5. - $'(R ~) est an module h gauche sat" ~C-~, 0~ ~ et O ~ M "

L~ relation (II.3.2) est vraie pour les fonetions de curt6 sommable; or les deux membres sont d6finis lorsque g e t 7 app~rtiennent 5 Ae~ sont-ils 6gaux?

PROPOSlTIO~ 5.1. - Soit S e t T deux distributions; il vient:

(IV.5.1)

+ - - + < - - -

So- u >

VSeO~M, TeO~ S , , T : T ~ S .

En effet, il est facile d>6t~blir:

e 8(m,,) (s 0 )o = (.70 D]o

Ces relations (5.1) permettent de donner ~ 8'(R ~') une structure de module ~ gauche, en poseur: VS e 8'(R 2")

(IV.5.2)

VT~A ~~ f o S : S O T ,

V T e 0 ~ T , ~ S : S ~ T .

CHAPITI~E V

PI~OPRI]~TI~S ET CA~ACTI~I~ISiTIOh-S DES ESPACES Ae~ O~ ~ ET �9

Une premiere caract6risation des distributions qui appartiennent ~ ces espaces a 6t6 donn6e ~ l'alin6a 3 b) du chapitre IV. I1 s'agit ici de montrer que ces espaces sont complets, isomorphes ~ !~espuce s 8(R~) des applications lin6a~ires continues de $(R') duns lui-m6me et que j~o est l'espace 8(R ~) Q $'(R~).

1. - L'espace Aoo est complet.

a) Pt~0POSITION 1.1. -- Checun des E.V.T. loc~lement convexes s6par6s j~o O~x est complet.

D'apr~s les isomorphismes entre ces trois espaces (Prop. 3.1, Ch. IV), il suffit

JEAN-BEI~TI~AND KA~Z2r D&omposition spectrale, etc. 233

de mout re r que 5 ,0 est eomplet. Soit une suite g6n6ralis6e de Cuuchy 2~., 2 e A

Vp, q e N , VB born6 de $(R~), r e > 0 , 3 t e A :

V#> Jt, V v > i , r ~ . ~ ; ~ ( 2 , - 2 , ) < ~ .

Soit, pour ~ fl ( e N ~) et ~o (e 8(R~)) , lu suite W~ '~ de fonctions:

Pour mon t re r que la suite T z est convergcnte duns 5,o, il suffit d 'dtablir:

1) ~0~ ~ est une suite g6n6rMis6e eonvergente duns 8(R2~); elle converge vers nne loner ion ~ uniform6ment lorsque ~o ddcrit nn born6 B.

2) Lu suite g6n6rMisde x~D,T~ converge vers une dis t r ibut ion U ~ duns 8 ' (R~) ; il v ient :

~7 ~e = x ; D~, V ~176 .

3) U ~176 uppurt ient g 5,0 car Y~ e 8(R~"), U ~ o ~ = 0~ ~. Enfin U ~176 est lu limite

de la suite T~.

b) Ce r6sultat s 'obt ient aussi g FMde de l 'upplieation, qui consid@e une distri- bu t ion T de 8 ' (R =~) comme un noyan, et h i ussocie une upplicution lin6Mre % de $(R ~) d.ans 8'(R~). Trois relations seront utiles:

(v.L1)

(V.L2)

(Va.3)

V2 e 8'(R=~), V% ~ e 8(R ~) ,

VS, 2 e 8'(R~), V~ e 8(R2"),

V2 e 5,o V~ e 8(R ~) ,

2 o (~ | w) = u.(~) |

( s | 2) o ~ = 8 | <2, %,>

% ( % J = 2 o ~ �9

l~appcl:

v% ,pe 8(R~), <%(~), v,> = <T, ~ o ~ o > .

PROPOSITIO~ 1.2. -- L 'appl icat ion T ~-. u z est une bi jcct ion bicontinue de 5,0 sur s

L 'espace s est l ' e sp ace des applications lin6uires continues de 8(R') duns lni m4me muni de ]u convergence uniforme sur tou t born6 [10]. Cette topologie est d4finie par lu famille de semi-normes:

Va, fi E N ~, YB born6 de 8(R ~) , s~, z; ~(u) = Sup q~,r . ~eB

234 JEAN-BEI~TI~AND KAN_~EREt%: D&omposition spectrale~ etc.

L'upplicution T ~-+ u r est continue i g l 'aide de la relation (1.1)~ g~,/9 e N ", VB born~ de 8(R~), ~C born ~ de 8(R~):

V2'e ~ ' ~ S~,e;B(UT) = r~,e;c(T ) .

RSciproquement, soit u e s et T le noyuu ussoei6; T appar t ient g jg, o car 1'application ~ ~-~ T o ~ est continue de 8(R ~'~) duns lui mgme; en effet si 0 e 8 (R ' )@ @ 8(R~)~ il vicar:

i = 1 4 = 1

L'applicution 0 ~-~ T o 0 est continue de 8(R '~) G 8(R'*), muni de lu =-topologie, duns 8(R~); clle se prolonge par continuit4 b 8(R ~) et ee prolongemcnt est l 'upplicution ~0 ~+ T o ~ .

Enfin, la continuit4 de l 'upplicution r6ciproque t ient s lu relation (1.3): elle per- met de montrer :

Ye, f l e N ~, VB born6 de 8(R~"), 3C born6 de 8(R"):

2. - Propri~t~s~ suites r~gularisantes.

a) Le premier r6snltut qui permet lu caract6risation de 2~ ~ est le suivant:

PRoPosrno~ 2.1. - L'espuce vectoriel 8(R =) ~ 8'(R ~) est nn sous-espace vectoriel ferm6 de 3~~ su topologic naturelle est indnite par eelle de &so.

La relation (1.2) permet de montrer qne 8(R ~) @ 8'(R ~) est an sous-espace vec- toriel de A~~ sa topologie, puisque les espuces 8(R ~) et 8 '(R ~) sont nnclguires, est lu s-topologie on la x-topologie; ees topologies sont d~finies respectivement par les semi-normcs :

8oit B born6 de 8(R~), B1 born6 de 8'(R~):

( v a . , ) ~oeB, S~B, i = l

en posunt:

i = 1

2' e s(R~)>O 8'(R~).

JEAI~-BEI~TI~• KA~MEI~ER: Ddcomposition speetrale, etc. 235

Soit a, fleN"; B born6 de 8(R"):

(V.2.2) ~,~;~(T) = Inf ~a

T= ~ O~|

q~,a(O,)S,(B) i = 1

en utilisant la notation S(B) = Sup ]<S, 9>]. I1 vient: ,e~

VB born6 de 8(R~),VB1 born6 de 8'(R~), ~ , f l e N ' , C born6 de 8(R~"):

r y e 8(R")| S'(R"), [/~]B,B,< r.,e; c(T).

De m6me: V,, f l e N ~, VC born6 de $(R~), 3D born6 de $(R~):

W e $(R-)| $'(R"), r~,a;c(Y)<~,a~.(/').

L'injeetion e~nonique de 8(R ~) Q 8'(R ~) duns j~o se prolonge, e~r j~?0 est eomplet, en une injection de 8(R ~) @ 8'(R ~) duns 0V ~ L~ topologie induite par j~,o duns eet espace est bien sa topologie.

b) PI~OI'OSlTI0~ 2.2. -- L'applieation (9, S ) ~ 9 o S est une application s6pa- r6ment continue de 8(R ~) • ~) duns 8(R *') @ 8'(R~).

Supposons 9 donn6e; l'ilnage de la restriction de l'~pplic~tion S ~-~9 o S 8 '(R~)@$'(R ") est contenue duns 8(R*)@ 8'(R~), d'apr~s les relations (1.2) et (IV.5.2); la ~-topologie de 8'(R~)@ 8'(R ~) est d6finie put les semi-normes:

Soit A, B deux born6s de 8(R~);

~ , B ( S ) = Inf ~, U~(A) V,(B) . i = 1

S = ~ Ui|

La eontinuit6 de l'applieation r6sulte de l'implieution: Va, f le N ~, VB born6 de 8(R~); 3A born6 de 8(R"):

L'applieation S ~-~9 o S e s t done continne de 8'(R ~) duns 8(R ") @ 8'(R~). D6mon- stration analogue pour l'application 9 ~ 9 o S.

COIr - L e s applications (9, S) ~-* 9 ~ S e t (9, S) ~-. 9 *~ S sont s6pur6- meat continues de 8(R ~') • 2") duns, respectivement '~* ~1~(8(R-) ~ s'(R~)) et ~*V~(8(R~)@ 8'(R~)), qui sont des sous-espaces veetoriels ferm4s respectivement de 0~ ~ et de 0~.

236 JEAN-BEt~TRAND K:A~aZ~VlE~Et~: D&omposition ~peetrale~ etc.

c) Suites rdgularisantes.

R a e ~ . - Une suite r~gularisante est nne suite de fonctions ~ , p ~ N, positives appa r t enan t g ~ ( R ~) telles que:

Vp, 8upp~cB(O,p); f ~(x)&= l. Rn

Si h e s t une fonet ion de earr4 sommabl% la suite e~ , , h converge dans L=(R ~) vers h. !1 v ient aussi:

PR0~os~m~o~ 2.3. - S o i t ~ une suite rdgularisante dgfinie darts R~' ; la suite g, converge vers ~ dans O~ ~.

I1 suffit d '6tablir que tou te semi-norme P*~,Z;B t end vers 0 sur e~-- d. De ee r~snltat et de la eont iuui% du produi t ,~ (alin~a 4 e), Oh. IV)~ il rSsulte:

P~oPosITIo~ 2.4. - Toute dis t r ibut ion terap~rde S est la l imite, dans 8'(R~), d'une suite de distr ibut ions de 0~ ; tou te d is t r ibut ion de 0o ~ est la l imite, dans 0'o ~, d 'une suite de fonctions de 8(R~).

E n effet:

soit S e 8 ' (R ~)

soit T e O~ ~

S = l i m ~ a , S

2)---> r

Application. 4 Fespace 0~.

Soit ~ une suite r5gularis~nte; ~ppellons <~ suite r~gularisante dans 0~ ~> la suite ~ = (2n) ' /va, . 0e t t e suite ~ t end vers 1 dans 0 ~ Toute d is t r ibut ion temp~rSe

M "

est la l imite dans 8'(R2"), d 'une suite de distr ibut ions de 0 r et route dis t r ibut ion M

de O~ est la Iimite d 'une suite de ionetions de 8(R~-).

3. - Caract6risations des espaces ~ o O~j et 0]~.

D'apr~s la proposi t ion 2.1, l 'espaee veetoriel ~-~'7~(8(R~)@ 8'(R~)) est un sous- espace vectoriel lerm~ de 0 ~ et sa topologie est la topologie indui te par celle d ' 0 ~ ; d'apr~s la proposi t ion 2.4, t ou t ~16ment T de 0~" est la l imite de la suite a~ .$~ T, den t les ~l~ments appar t i ennen t g eet espace. Done:

PROPOSITION 3.].. -- Les espaces 2/'~ 0~ ~ et 0~z sent respec t ivement @gaux aux

Seh6mat iquement :

Les injections canoniques ~-> oa t des images denses.

J E ~ - B E ~ KAM:M:ERER: Ddcomposition spectrale, etc. 237

C ~ E VI

EXPiRESSIO~S DU PRODUIT ,~

Au chapitre I I I , il a ~t4 montrd~ que, si deux fonctions sont les transform@es de Fourier de deux distributions ~ support compact, leur produit .~ est 4gal ~ ]a somme d'une s~rie enti~re en

(VI.l .1) ] ,~ g -~ / .g + ~ ~p~(/, g).

En posant:

(w.~.2) P~(], g) = A~,~ ... A ~ ~ . . . . i J" ~j . . . . ~g .

D'apr~s le paragraphe 1 du ehapitre IV, ce r~sultat ne s'~tend pus syst~mati- quement, m~me lorsque les produits figurant dans les coefficients des ~ sour d~finis car les supports, de ] .~ g e t celui du second membre de (1.1) sont cliff@rents, lorsque ] = ($ et g une fonetion de 8(R 2~) par exemple. Le but de ce ehapitre est de donner des r~gles de d~termiuation du support de ] .~ g s partir des supports de / et de g et de montrer: ee d~veloppement en s~rie enti~re p~r rapport ~ ~ a lieu duns certains eas plus g~n~ranx et les premiers termes de la s~rie enti~re iournissent g~n~ralement un dSve]oppement limit~.

1. - Support du produit f , ~ g,

a) Si / et g appartiennent ~ ~ g ' ( R ~ ) , / . ~ g ~ ~g'(R~). Les supports de /, g et ] .~ g sour tous 6gaux ~ R ~.

b) Si / et g e g'(R~), / ,~ g e ~-g'(R2~).

C'est une consSquence de la relation (II.3.16). Par suite le support de ] .~ g est R ~", lorsque les supports de ] et de g sont bornSs; exemple:

c) Si / e 58'(R~), g e 8 ' ( R ~ ) , / . ~ g e g'(R~).

C'est encore une consequence de la relation (II.3.16).

238 JEA.N-BEI%TRA:ND KA3'I2d:ERER: Ddeomposition speetrale~ etc.

2. - D6veloppement limit6 du produit f.~g.

Soit q un ent ier s t r i e t emen t posi t i f :

a) L E ~ m 2.1. - Soient 9 et ~ deux fonct ions de 8(R~'*); posons:

(vI.2.1) q-- I ~,~ ,pq

~ h q �9 ~ ~ = ~ ~ ~ ~ ~ p (9, ~) § ~(~, ~ ) .

La fonct ion h~(9 , ~) a p p a r t i e n t ~ 8(R ~-) et res te duns un born6 de 8(R~'), lorsque

les fonct ions 9 et ~ va r i en t duns des bornds de 8(R ~) et v duns l ' i u t e r w l l e ]0~ re].

Cette re la t ion (2.1) 6tabl i t un ddve loppement l imit6 de 9 *~ ~0 ~ l 'ordre q duns 8(R~').

Ce rdsul ta t s 'd tabl i t s l 'Mde de lu re la t ion ob tenue pa r un rdsult~t d 'anMyse

616mentMre:

q-- 1 ,V~o ,pq

(vi.2.2) ~ r v, = ~,v, + ~=~p~ 7,,-~ Q~(9,. v,) + ~ ~(9, ~o);

~ v e c :

(VL2.3)

(VI.2.4)

Q~(], g) = A ~ ' ... A ~ ( x ~ ... x~j) , (x,~ ... od~g) ,

k~(q~, yz)(x) = f g(t) va(x - t)(t A x) ~ exp (Ovt A x) dt ; Ran

0 < 0 < 1 ~ 0 ddpend de ~, ~ et de x. Lu re la t ion (2.2) p rouve que k~(% ~p) est une

reac t ion de 8(R ~) e t la re la t ion (2.4) qu'el le est bornde sous les hypothSses fMtes

sur 9, ~o et v. Enfin cet~e fonet ion k~(9, yJ) res te duns un born4 de 8(R 2") ear 1~ fonc-

t ion x~'D~k~(% ~p)(~, f i e N ~) s ' exp r ime au m o y e n d 'un po lyndme en v den t les coefficients sent des p rodui t s de convolut ion dd~ormds ou des fonct ions k~ des fonc- t ions ~ et ~ Mnsi que de leurs ddrivdes et de leur p r o d u i t pa r des fonetions puissance

de x. Tou te semi-norme est done bornde sur ces fonctions kq(cf, ~p). I1 v ient :

P~oeos I~ Io~ 2.1. - Soit S e 8 ' (R ~) ; 9 E 8(R ~) ; posons :

(vi .2.5) q--1 ~A p ~q

~ , ~ = ~ ' ~ + ~ l p ~ p (~,9) +~.h~(& 9).

h~(S, 9) est une d is t r ibut ion tempdrde; lorsque ~ pa rcou r t un born6 de 8(R 2~) et v l~iatervMle ]0, re], hq(S~ ~) res te duns un born6 de $ ' (R~') . La re la t ion (2.5) 6tabl i t

done un ddve loppement l imit6 de S .~ 9 g Fordre q duns 8'(R2~).

Jus t i f ica t ion:

JEAN-:BEI~TlCAI~D KAlV~IEI~EIr Ddcomposition spectrale, etc. 239

b) Une dis t r ibut ion temp6r6e seru dire v6rifier l 'hypoth~se H si:

Ha) V~ e N 2~, VB born6 de 8(R2"), Sup p~;~(T) < C < ~- oo. ve]0,v0]

Les fonctions de l 'espuce ~(8 ' (R~')) v6rifient ces hypothgses; par contre lu distribu- t ion de Dirue ne v6rifie que la propri6~6 H2, t~6ciproquement, une distr ibution

sutisfuisunt aux hypothgses H'~) e t H~) v6rifie HI); en effet, soit T une dis t r ibut ion appur tenant ~ 0'~ ~ pour v ~ ]0~ Vo] et v6rifiunt lu condit ion analogue sur les semi- normes p'~;~; soit ~ e 8(R2~); la relution {2.2), 6crite pour q 6gul ~ 1, prouve que ]u fonct ion ind6finiment d6rivable T . 9 uppurt ient ~ $(R~).

LEMI~E 2.2. -- Soit S une dis tr ibut ion tempgr6e v6rifiant l 'hypoth~se H~); 6crivons la relat ion (2.5); h~(S~ ~) est une fonct ion de $(R2"); ee t te fonct ion reste duns un born6 de $(R ~') lorsque 9 varie duns ml born6 de $(R 2") et v duns ]0, v0].

Lu d6momstrution est unulogue ~ eelle du lemme 2.1; elle condui t aux m@mes culeuls.

PROPOSITION 2.2. - Soient S ct T deux distr ibutions temp6r6es; 'supposons que T v6rifie l 'hypoth~se H~) ; posons:

(VI.2.6) q-- 1 ,p~ ,pq

h~(8, T) est une dis t r ibut ion temp6r6e, qni reste duns un born6 de 8 ' (R ~) lorsque v vurie duns ]0~ v0]. La relat ion 2.6 cst done un d6veloppemcnt limit6 de S ~ T l 'ordre q duns 8'(R~').

EXE~eLES. -- Soit ] u n e fonct ion telle que 2 v] u u n support born6.

Soit / ~ 8'(R2"):

] ,~ exp (lax) = ](xx-- ivaz ~ x~ ~- lynx) exp (lax) .

e) Enfin, un calcul facile montre :

16 - . d n n a l i d l M a g e m a t l c a

2~0 JEAN-BERTI~AND KA~r D~eomposition speetrale, ere.

Par suite: Le produit d'uue distribution temp6r6e S e t d'nn polyn6me P e s t donn6 par la relation (1.1). Exemples:

1 (x~ + i) .~ x~ + i - - 1 , l < p < 2 n .

CHAPiTRE VII

LA TRAlqSFOl%3'[ATIOl~I DE WEYL

Le but de ee ehapitre est d'6tudier lu tr~nsformution de Weyl, qui, sous certuines conditions, associe, s nne distribution temp6r6e de R ~, un op6ratenr de Z2(R~). I1 se pose eu p~rticulier les questions: ~u produit / .~ g correspond-il le produit des op6rateurs correspondents ~ f e t ~ g? A quelles conditions l'op6rateur est born6? est hermitien?

1. - D6finltlon de la transformation de Weyl.

a) Pour d6fi~ir l'op6rateur de L~(R ~') ~ssoei6 ~ une distribution temp6r6e ] de R% nous eonsid6rerons:

~) Un noyau K(]) d6fini pal':

(VlI.l.1) K(]) = (4~tvl) -~n 73* 52f .

0ette ~pplic~tion ] ~-~ K(]) est une bijeetion bicontiaue de 8'(R 2~) d~ns lui-mdme.

fl) Au noyan K(]) est ~ssoci6e une ~pplicar lin6aire v(]) de 8(R ~) duns $'(R ~) (th6or6me des noy~ux); r~ppel:

( v i i . ! . 2 ) V% ~ e 8 (R ~) , (v(])~, ~) = (K(]) , ~ 0 @ �9

y) I1 se peu~ que v(]) d6finisse un op6r~teur de L2(R ~) d'ensemble de d6fini- t ioa 8(R'); il est ~lors possible, d~ns certains c~s, de 46finir un prolongement w(]) qui soit ferm6.

b) Propri~tds immddiates.

(VII.1.3) cz) f ~ Z~(R ~) <===> K(]) e f,'~(R ~') <===> v(f) est un op6r~teur de t{.S..

(v I I .1 .4 ) II q/)I[ . .~ . - - ( 4 ~ b' I) - ~ II t H~(~o,,),

JEAN-BEI~TI~AND KA2~IE~ER: .D~composition speetrale, ere. 241

4r-- ' - - -Y

] ] e 8'(R~n), .K(]) = K( ] ) (VII.1.5) ~) / v~, ~ e 8(Rn) <v(])% ~) = <v(t)~, ~ } ,

(VII.1.6) ~) ] e O~ r K0 t) e j~0 ~ v(]) e 2~(8(R-)),

~) Vl e 8'(R~"), Vg e 0 ~ ,

(VII.1.7) K(] ,~ g) = K(D o K(g) , v(l ,~ g) = *(l) v(g) .

I ~ E ~ Q ~ E S . - L'upplieution v(]) est ua op6r~teur de Z~(R ~) duns les deax cas et ~; p~r contre elle ne l 'est pus duns l 'exemple suivant:

1 l(x) = exp , v(l)@) = ~ r

2) Si g ] correspond l'upplicstionv(])~ 5"-~v(])5 - est obtenue u par t i r de /(~{~,{/~).

2. - Cas born@.

De muni6re g pen pr6s 6vidente:

P~oPosI~IO~ 2.1. - Pour que v(]) soit un op6rutenr born6, il faut et il suffit qae ] v6rifie:

Soit ~B ~ l 'espsce vectoriel des distributions temp6r6es de R 2~, qui v6rifient cette condition; outre Z~(R~'~), se t rouvent duns ~B~: L~(R2~), ~ L ~ ( R ~ ) , g'(R ~-) ~ ~/o Pour tou t ] de ~B ~, l 'op6ruteur v(]) se prolonge en un op4r~tear w(]) born6, de m~me norme, d~fini duns tout Z~(R~'). De plus d'uprSs (2.1), f ~ 55 ~, entr~ine ] e :B ~ et d'uprSs (1.5) w(]) est l 'adjoint de w(/).

Cet espaee ~B~ sera 6tudi6 uu ch~pitre suivant; il sera ais6 de montrer :

(Vli.2.2) Y], g e ~ , w(] ,~ g) = w(])w(g) .

3. - Cas d'une distribution appartenant h O~ et h 0~ ;

a) Sapposons que ls distr ibution temp6r6e ] ~ppurtienne ~ O~ uinsi qne la distr ibution ]; g l 'uide de lu relation (1.5), il vient:

L]~cm. - Soit ] e 0~Ch 0~; soit ~ une suite de fonctions de 8(R ~) iconvergeant vers T duns L~(R~); si 1~ suite v( ] )~ est une suite convergente daas Z2(R~), su l imite est v(])~v.

242 JEAm~-BE~A~D K A ~ E ~ E ~ : D~eomposition spectrale~ elc.

Dw(f~ {g: g

Ce r6sultut perme~ de d6finir un op6ruteur w(]) d'ensemble de d6finition:

~ et v(])q% sont convergentes duns L~(R~)} .

~osons:

Vg ~ Dwr , w(/)(g) = lim v(])T ~ .

Ii vien$:

- " 0~, l'op4r~teur w(/) est lerm4; F~djoint w(/)* P~oPoslmlo;~ 3.1. SoR ] ~ O~n ' ~"

est an prolongement de w(/).

b) En suppos~nt: / ~ ~ ' (~ O~x(~ Oj~ et g ~ O ~ n 0~, il vient :

1) w ( / + g) = w(]) + w(g).

(VII.3.I) 2) w(] , ,g ) est un prolongement de w(])w(g).

3) w(g,~ ]) est prolong4 put w(g)w(]).

c) P~oPosImIo~ 3.2. - Soit ] u n e dis tr ibut ion r~e]le ~pp~rtenunt ~ 0~; pour que Fopdr~teur w(]) soit hermRien, il suffit qu'il existe g e t h duns O~ tels que:

(VII.3.2) (] -~ i) ,~ g : _!~ (]-- i) ,~ h : 1 .

D'upr~s 1~ proposition 3.1, l 'opdruteur w(]) est ferm~ et symdtrique (w(])* pro- longe w(])); les opdmteurs w(]) -~ iI, et w ( ] ) - i I ont des inverse born~s; l 'opdr~teur

u = (~.( i)- a)(~(/) + a)-~

est un operuteur isomdtrique (H Uh]l = ]!hH ); pour que w(]) soit hermit ien, il suffit que U soit unitMre [12]; c'est ~ dire qne l'espuce imuge et l 'ensemble de ddfinition soient denses duns L~(R~). Or d'upr~s Fhypoth~se (3.2) et lu relution (1.7), il vient:

V~ e S(R'0, v(/ -~ i)(v(g)~) : ~ , v(]-- i)(v(h)~o) ---- ~o .

Les espuces image de v(] ~ i) et de v(] -- i) sont 4g~ux ~ 8(R') ; ~ fortiori, les esp~ces image de w(])-~ i I et de w ( ] ) - - i I sont denses d~ns Z~(R'); U est donc unitMre

et w(]) hermitien.

JEAN-BEBTBAND KAM~IEEER: Dgcomposition spectrale, etc. 243

CEAPITBE VII I

L'ALG]~BBE DE BANACH (~', ,~)

L'obje~ de ce chapitre est de caract6riser et d'6tudier l'espace ~ des distribu- tions temp6r6es q~li correspondent par la transformation de Weyl anx opgr4e~rs born6s.

1. - Les espaces H, E et B .

g ) NOTATIONS ET B A P P E L S . - - L'espace vectoriel P ( R ~) @ P(R" ) pent 6tre mani des normes s et ~: soit O eP(R~)@P(R'% il vient:

(VIII&l) 110/[~ =o,aaB(O,1) ] s u p (0] ~(~ o')]

(VIll.l.2) [10]l= = Inf 'I ~b<,,~ <~=<Ro) 5a O= ~. ~,~|

B(0 , 1) est la boule unit6 de L=(R~); ees normes v6rifient les in6galit6s:

D6signons par E et H respectivement les compl6t6s Z2(R -) ~ , P(R ~) et P ( R ~) ~ , ~= P(R ~) de l'espace P ( R - ) G Z2(R ~) muni respectivement de la norme e et de la norme z [10].

Soit B l'espace des formes bilin6aires continnes d6finies snr P ( R ~) • B eat muni de lS norme e; i l eat facile de v6rifier qne ies injections mnoniqnes ci- dessons sont continues:

8 ( R "~") ~ H ~ / ? ( R 2-) ~ E ~ B~ ~ 8 ' (R~") .

RE~r_~RQIYE. -- La derni~re injection repose sur une bijection entre forme bilin~aire continue et distribution temp4r~e qni v4rifie la condition:

30 > o: % w e s ( m ) , w>]<

II vient:

PROPOSITION 1.1. -- Les applications T ~-, T~, T~ T, ~, r T, Y~T, ~ T sont des endomorphismes continus de chacun de ces espsces II~ E, B~.

244 JEAN-BERTRAND KAMI~LEI~ER: D@omposition speetrale, etc.

b) ISO~tORPJEIIS~ES. - La restr ict ion de l ' isomorphisnle: entre dis tr ibut ion tem-

p6r6ee de R ~ et applicat ion lin6aire cont inue de 8(R") duns 8'(R~), g B~ permet

d'6erire:

en d6signant par f(r o) la valeur prise par la forme bilin6aire ] sur ~ e t ~. Selon eet te bijeetion, H est isomorphe ~ l 'espaee des op6rateurs mlel6aires, L~(ll ~) aux op6rateurs de t i i lber t -Sehmidt et E aux op6ratcurs compacts [10].

c) DUALITg. - Le dual de E est isomorphe ~ H ; le dual de H est isomorphe B . Cctte dernigre propri6t6 fourni t la relat ion:

(VII1.1.4) V] e B~ IIG = Sup I<i, h>l

2. - ( B , o) est u n e alg~bre de B a n a e h .

a) La loi de composit ion o a 6% d6finie duns L2(R ~) (II.1.3), elle est d6finie duns L2(R~)@L2(R~) et est cont inue pour chacune des normes s e t ~; ce t te loi de

composit ion o s '6tend g E en posant : soient ], g ~ E, i o g est la l imitc de 0~ o G, Ofl 0~ et ~ sont deux suites d'616ments de L2(R~)~ I~2(R~*), qui convergent respee- t i vemen t vers f e t g. Cette d6finition est coh6rcntc avec les d6finitions ant6rieures

( r e 8'(R~'~), g r 0~). I1 vient :

PROPOSITION 2.1. - Les espaees (H, o) et (E, o) sont des Mg6bres de Banach; de

plus: V] e E, Vh e / / , f o h app~rt ient g / 7 et :

(viii.2.1) Tll o ~ L < 111!1~" IIhL

b) Les relations (II.3.1) et (11.8.2) sont vraies pour tou t couple (], g) de E XE.

La re la t ion (11.3.4) dcvient :

(Vlii.2.2) W, g e ~ , w~e/7, <fog, h> = <~, go#>.

Enfin: V], g s E

(VIII.2.3) u, o ~ = %%

(Vlii.2.4) !]]o/fro = i l i / i ~ �9

I~EIV~ARQU~. -- Tout op6rateur aucl6Mre est le eompos6 de deux op6rateurs de t t i lber t -Sehmidt (et r6ciproquement) [8]; P e s p a c e / 7 pen t se d6finir par la relat ion:

JEA~-]3EI~TRAND KAMMEREI~: Dgeomposition speetrale, etc. 2~5

e) P~oI)UIT o PANS B,. - Pour d6finir le produit o duns B , utilisons 19 du&lit6 d e / 7 et de B,; d6finissons, ~ epuse de la re]ation (2.1)~ pour ]eB~, et geE , log p&r 19 relat ion:

(Vlii.2.5) Vh~H, (log, h) -~ (], gob) .

I1 vient : soit ] e B

1) Vg~E; ]ogC~ et II/ogll,<l]]l]~llgL (Vlii .2.6) 2) Vh~/7; toby~7 et ll?ohL<ll/[I,lihll =.

Cette dernigre relation permet de d6finir ] o g pour deux 616ments queleonques de B, , eli pos~ilt:

~-+ 4-4

(VIII.2.7) Vhe/7 , (]og, h} ~-- (], gob}.

PI~01"0SlTI0~I 2.2. - L'esp9ee ( B , o) est une C*-&lg~bre isomorphe ~ s Outre les relations (II.3.1) et (11.3.2), les relutions (2.3) et (2.4) oat lieu pour

tou t couple (/, g) ~ B, •

3. - L 'a lg~bre de B a n a c h ( ,~, ,~).

a) L'esp~ee 2~" ~ 6t6 introdui t uu puI'agruphe (vii.2) comme l 'ensemble des distributions, dont la trunsform6e de Weyl est an op6ruteur born6. I1 vient:

(VIII.3.1) ~ - ~ t~2~3 ~ * B , .

Le produit .~ de eertains 616ments de , ~ est d6j~ d6fini et v6rifie l& relation (11.2.3):

,cx-~ * * , = v ~ : ~ g ) ; # ~ = (4~1~1) --/~

Pour deux 616ments quelconques de ~B ~, eette relation sera prise comme d6finition; uiusi 19 relation (2.3) prouve que 19 relation c9r&ct6ristique de l& truusformution de Weyl (VII.2.2) est r6a]is6e pour deux 616ments quelconques ] e t g de 2~. Cet isomorphisme &lg6brique, entre 33~ et ~(L2(R~)), sugg~re de d6finir une norme duns ~B ~ par 19 relution:

(Vlii.3.3) ][/]r: = fl~ll ~T ~ J L = II~(])ll

Les propri6t6s de B~ entrednent: les espaces 33 ~ et ~:~ sont confondus et les ap- plications

] ~ ] , t ~, I ~, ~ot, exp (iax)t, t(~..~/~), F( t . ) .

246 JEAN-BERTRA?gD KA:~;ERER: Ddcomposition spectral 6 ete.

sont des endomorphismes continus de ~gq 5es relat ions (II.3.11), (II.3.12) et (I1.3.1.3) sour w'aies pour tou t couple (], g)~ :g~, • :gL

* . g v b) L 'espace 3F est l ' image de B par l 'applicat ion 5213~, d6s ignonspa r et E ~ les images de H e t / ~ par ce t te mgme applicat ion; Pespace E ~ sera muni de la mgme norme que ~g~ et H ~ de la norme:

( V l I i . a . 4 ) ]b i]v

I1 es~ possible de rassembler ces r6sultats duns un tableau, off les fl6ches ~-* d6- signent des i~_ajections canoniques continues, et les doubles fl6ches ~-~ des isomor- phismes, d6finis par la ~ransformation de WeyI:

e.v. des op. e.v. des e.v. des op. ~ucl6aires op. de K.S. compacts ~(L2(R~))

$ $ $ $ 8(R ~) ~ H ~ ~ L ~ ( R ~-'~) ~ E ~ ~ ~ ~+ 8 ' ( R ~ ) .

!1 y a lieu de poser, par coh6rence: Vh ~L~(R2"):

~!'V

ainsi la re la t ion (Vl I . l . l ) devient : v(])ms.= ~.//][s Enfin, (~5 ~, ,~) est une C*-alga.bre, car d'apr~s la re la t ion (2.4), il v ient :

( V l i i . a . 5 ) , 'y (ll/H:) ~ , ~ / L -

e) Duatit&; topologie ]aible de :g~. - Puisque H est isomorphe an dual de E et que B e s t isomorphe au dual de H, H ~ est isomorphe au dual de E ~ et :g ~ iso- morphe au dual de HL Pour expr imer la duali% e n t r e / / * et ~5 ~, introduisons le

crochet ( "," }~:

( v i i i . 3 . 6 ) = 5 ~ < ~ ~ J , * ' * ~ ~'2 ;

I1 v ient :

(VIII.3.7)

, II]/Ig--Sup ,

Vie 8'(R"'~), Vha S(R~) ou ], haL~(R , , ) :

<t, h> ~ = ~ < t , h> ou = 9~(/Ih) �9

JEAN-~ERTRAND KA~EREt~: Ddeomposition speetrale, etc. 247

Enfin:

(v ln .3 .s )

I1 est facile de earaet6riser les suites faiblement convergentes duns 3F: pour qu'line suite J,, p = 1, 2, ... ( / ,e ~g') soi~ faiblement convergentc duns 53 ~, il falit et il sliffit qu'elle soit eonvergente duns 8 ' (R ~) et soit born6e duns 8F. Par exemple tolit 616merit / de ~ ' , est la l imite faible de la suite d'616mcnts de 0 ~ ~ ,~/, o/1 est line (( suite r6gularisante duns 0~}~ (alin6a V.2. c)); de mgme / est 1~ limite faible de la suite de fonetions de 8(R ~'~) ( ~ , ~ J ) ~ ; (lla~ll:= 1),

Pt~0I'0SlTIO~ 3.1. - Soit ]~ une sliite d'616ments de g3~; soit w(],) la suite des op6ratears born6s eorrespondant par la t ransformat ion de Weyl ; polir qlle 1~ suite d'op6ratelir w(]~) converge faiblement vers w(]) (resp. for tement ; resp. en norme), il faut et il suffit que la su i te /~ converge faiblement vers J (resp. les sui tes /~ et ]~ ,~/~ convergent f~iblement vers ] et ] ,~/; resp. ]~ converge for tement vers J).

4. - U n e re la t ion d'ordre dans 55L

a) I~E~A~QVES St~ H L - 1) Par d6fiuition, H ~ est l ' image de H par l 'applica- t ion ~2 ~g~, d6signons par l ' image par cet te m~me ~pplie~tion du sous-espaee d e / 7 , des noyaux des op6rateurs positifs; il vient:

if* {h: h e / /~ , ~ h, g~ e L~(R.~), <h, '~*

D'apr~s line propri6t6 6vidente duns H :

(VIII.4.1) Yh e I I ~, 3h~, h~, h3, h4e 'S~: h : h~-- h~ + i(h~-- h~) .

2) D'apr~s la propri6t~: tou t op6ratelir nuel6aire est le produi t de delix op6- r~teurs de Hilber t -Schmidt ; il vient:

{ VhelYF, 3hl, h~eLa(R~"): h : hl,vh2, (VIII.4.2) 'h ~ -- f~ -- ~ ~

En partieulier: si h ~ ff~ h2 = h~; par suite:

(Vlii.4.3) Vhe r Ilhll:= <l, ~>'.

Tolls les 616merits de //~ sent des fonetions continues, comme prodliit ;~ de delix fonetions de earr6 sommable (alin6a 11.3 b)).

248 JEAN-BERTRAND KA]YIMERER: Ddcomposit ion speetrale, etc.

3) Les relat ions (2.6) et cet te derni6re propri6t6 p e rm e t t en t de construire la table de mult ipl ic~tion:

II~ L2(R ~) E~ ~

H v IIv H ~ H ~ H v

L2(R 2~) H ~ H~ L~(R~ ~) L~(R ~)

~ H~ L2(R 2~) E~ E~

r H ~ E~

b) Relat ion d'ordre dans 5~ ~.

D~E~ITIOX. - Soient ] e t g deux 616merits de ~ ; posons:

(VIII.4.4) ] < g r Vh e ~" <], h) ~ < <g, h) '

L'an t i sym6tr ie r6sulte de ~a propri6t6, due ~ 1~ relat ion (4.1): la nullit6 de (], h) ~, Vh e if" entr~ine 1~ nullit6 de ].

EXE~_PLES. -- D'apr6s (4.3), 1 est <<positif~>; pour tou t ] ~ 5~ ~, l'616ment ] , , f est ~ussi ~ positif ~); de m4me, V~ ~ L2(R~), 5~ ~ ~ ~ ~ ~ est (~ positif )~; ces deux derniers exemples i l lustrent que les 616ments (( positifs ~ de 5~ ~ sont surement r6els mais non n6cessairement positifs au sens habi tuel .

e) PROPRI:~T]~S. -- Les propri6t6s bien connues des op6rateurs hermit ieas born6s se r e t rouven t :

PROPOSITION 4.1. -- Soit / un 616ment r6el de 5~v; il existe deux r6els m e t M tels

que:

m < ] < M

m e t M sont respec t ivement les bornes inf6rieure et sup6rieure de l 'ensemble de r6eIs (], h}~ off h e s t un 616ment quelconque de/7~ de norme unit6; il v ient :

Iltll: = Sup (1~1, M).

PROP0SITIO~q 5.2. - Soit une Quite monotone croissante major6e d'616ments r6els de 5~ ~, f~, p ~ N; ce t te suite / , converge fa ib lement dans ~ vers un 616merit ]; la

suite f, ,~ f, converge fa ib lement vers ] ,~ ]; et :

G---> oO

JEA:N-:BEI~TtgAND KA3EKEIgER: Ddcomposition spectrale, etc. 249

La d6monstrat ion de cet te proposi t ion est analogue s eelle donn6e pour 6tablir la convergence des suites d 'op6rateurs monotones croissantes [7]. Ce r6sultat per- met de m o n t r e r de m~me: tou t 616merit << positif >> de :g~ admet une racine earr6e << posit ive >> qui est permutab le avec t o u t 616meat de 33 ~ qui commute avee J . . . .

5. - Les projections.

a) Ds162 - Appellons <<projection >> tou t 616ment / de 55 ~, r6el tel que

t, t=t. Les <<projections >> sont done des 616ments <<positifs }> de ~ .

]~ X]~2dYPLES :

1) 1, ~J(a-- x;), (~J fonct ion 6chelon unit6); a e R .

3) Si J e s t une project ion, 1 - / est aussi nne projection.

I~E~AI~QUE. -- Les (< projecl:ions >> qui appar t iennent $ H ~ (resp. seulement ~ 33 ~) correspondent par la t ransformat ion de Weyl ~ des op6ratenrs dont l 'espace image est de dimension finie (resp. infinie).

b) PRO~UIgTs - I1 vient : soient j e t g deux project ions:

/ ,~ g = g ,~ J ~ J ,~ g est une p ro jec t ion .

/ , , g = 0 ~ g , , J = 0 .

/ , ~ g = g => g , ~ f = g .

/ ,~ g - - g r / - g est une p ro jec t ion .

PEoPosmmIo~r 4.3. - Soient J et g deux project ions; pour que le produi t / ,~ g soit 6gal ~ g, il fau t e t il suffit que / soit << sup6rienre >> ~ g.

Normes d 'une project ion; soit f une project ion diff6rente de 0; ll/l]:= 1; si /eLr ; H/ll;>I.

Ds - Syst6me or thonorm6 to ta l de << project ions )>: Soit ~ , n e N, ane famille de projections telles que:

Vp, ~IeN, p ~ q , ~ , ~ = 0 .

0o oo

Supposons: 1 = ~ ~ ; duns 33 ~ faible; il v ient : VJe33 ~ , / = ~ / , ~ . ~ = 0 ~ = 0

250 JEAN-~Et~TlCAND KAM!VlEI%ER : Dgcompos i t ion spectrale, etc.

CIIAPITI%]~ I~

FAMILLE SPECTI~ALE

La eonnaissance des project ions et de leurs propri6tgs pe rme t de d6finir les fa- milies speetrales dans 55". I1 est alors ais6 de d4finir s pa r t i r d 'une fonct ion cont inue born4e et d 'une famille spectrale des 514ments de ff~'. Enfin, il est int~ressant d'en- visager des cas plus g~n4raux.

1 . - Famille spectrale.

a) D]~FI~ITIO~'. - Une famille speetmle est nne applicat ion de R darts Fen- semblc des project ions telle que:

1) gt~, t 2 ~ l t ; t~< t~ =~ e(t~) < e(t~);

2) t ~-~ e(t) est une applicat ion cont inue ~ droi te darts 55" faible:

g a e R , V h e H ~ , < e ( a ) , h ) ' = l i m <e(t),h}~ ; t--->a t > a

3) lira e(t) = O~ lira e(t) = 1, darts ~ faible. t $ --oo t--> oo

b) Ill v ient :

P~0P0SITION 1.1. - Pou t t ou t a ~ R, l '~pplic~tion t ~-~ e(t) a une l imite faible e (a- - 0), lorsque t t end vers ~ par v~lenrs iuf4rienres; cet te limite e ( a - - 0) est une project ion ainsi que =(a) = e ( a ) - e ( a - - 0) il v icnt :

0 ~(a) ,~ e(t) = ~(a)

s i t < a

si t > ~ a .

Convention: Soit a < b; e(a, b] = e ( b ) - - e(a).

P~oPosITio?r 1.2. - Pour tou t g14ment h de H ", 1~ fonct ion complexe t ~ <e(t), h> ~

est une fonet ion de r@~rt i t ion.

D~FI?CITIO~-. - Soit t ~-+ e(t)~ une famille spectrale; appe]lons spectre de cet te f~mille speetraIe 18 sous-ensemble de R d~fini par :

~(e) = {t: Va > o, 3 t l , t2: t - a < ~ < t < t , < t -5 ~, e(%) ~ e(t,)}

L'ensemble g(e) est ferm6 (son eompl4mentaire est ouvert) ; la. f~mille spectrale ser~ dire born6e si ~r(e) est born4 duns R

JEAn-[BERTRAnD ]~AMlVLERER: Ddeompos i t ion spectrale, etc. 251

2. - E16ments de ~ d@finis par u n e f a m i l l e speetrale .

P~oPosI~IO~ 2.1. - Soit t ~-+e(t) une famille spectrMe; soit g une fonet ion complexe cont inue d6finie sur R ; supposons:

( ix .2 .1) sup I.(t)l = A < + oo. tea(e)

I1 existe un 616merit ] unique de ~ te l que:

(IX.2.2) Vh ~ H ~ , <f, h>" =f . ( t )a<~(t) , h> ~ R

(IX.2.3)

(ix.2.4) Vh ~/ /~ ,

II11]Z = A ,

<] ,~ 1, h> ~ = f l~(t)l~a<e(t), h> ~ R

Vt , e(t) .~ l = 1.~ e(t) ;

Soit h ~ :5 ~ ; vt e R , e(t) , , h = h ,~ e(t) => ] ,~ h = h ,~ ].

Si fl est une autre fonct ion complexe continue d6finie sur R at born6e sur a(e)

et si ~ fl est associ6 l'616ment g de :5 *, il v ient :

(ix.2.5) Vh ~ I I ~ , <t *~ g, h> ~ =fot(t)tS(t)d<e(t), h> ~ �9 R

Puisque ~ est une fonction, presque pa r tou t born6e par A , sur R muni de la mesure d6finie par la fonct ion de r6part i t ion t ~-~ <e(t), h> ~, l ' int6grMe de la relat ion (2.2) existe et son module est major6 par AUh]I:; d 'o~ l 'existenee 4e ] duns ~ et l'in6gMit6 ][/][:<A. La relat ion (2.5) se mont re en remplapant duns (2.2), h par g , , h e t en t enan t compte de la d6finition de g. La relat ion (2.4) est une eons6quence de (2.5); elle pe rmet de mont re r l'6gMit6 (2.3).

RE~A~qUW. - L'516ment ] de ~ d6fini par (2.2) est toujours normal : ] ** ]

= ] , ~ ] ; si [a(t)] = 1, Yt ~ a(e), ] est unitMre. Enfin si la fonct ion ~ est rSelle (resp. positive) ] e s t r6elle (resp. (~ posit ive )>).

3. - E16ments de L2(R 2~) d6finis par u n e f a m i l l e speetrale .

a) Rdsul ta t p rd l im ina&e .

P~o~oslTIO~ 3.1. - Soit t P~ e(t) une famille spectrMe; h u n 614merit de Z~(R~"); une Ionct ion cont inue sur In, hi.

252 JEA~-BEI~TI~AND KAM_2VIEREt~: Ddeomposit ion speetrale~ etc.

I1 existe un 616ment y de Z~(R ~) unique te l que:

(ix.3.1)

(ix.3.2)

Vk e Z~(R~) , (y, k}" = f g ( t ) d ( e ( t ) .~ h, k} ~ In,b]

In,b]

L~ d6monstrat ion consiste ~ coasid6rer une subdivision J de l ' intervalle [a, b] et l'616ment y~. de Z~(R~):

2o

y~ -~ ~_, ~(t~) e(t~_~, t~] ,~ h . i = 1

][1 reste ~ mont re r quc yj est une (r suite ~) convergente ; il v ien t e(a~ b] .~ y = y.

b) D~FI~f~ION. - Soient t ~ e(t) une famille spectral% h e t k deux 616merits de L~(R~)~ o: une fonet ion complexe cont inue sur R. Si l~int6grale, figur~nt an second membre de ls re la t ion (3.1), admet des l imites lorsque a e t b t enden t s6pa- r6ment vers - - c ~ et ~ - ~ , posons:

(IX.3.3) ~ ( t ) d ( e ( t ) ,~ h, lc}~-~ l im I :t(t)d(e(t) ,~ h, k} ~ d J

- - zo b-->+c~ In,hi

I~E~ARqtrE. - Sym6tr iquement , les hypoth6ses de 1~ proposi t ion (3.1) permet- t e n t de mont re r :

In,hi

e) Ces propri6t6s pe rme t t en t de mont re r le r6sult~t:

P~oPosI~IOZ~- 3.2. - Soient t ~ e(t) une f~mille spectr~le, h e 3~(R2~), ~ e C~ il y ~ 6quiv~lenee entre les deux assert ions:

R

fi) Vk ~.L~(R2~), f ~(t)d@(t) .~ h, k ) ~ existe et - - c o

~ : V~ ~ JS~(R~) ,

-{-co

- - r

La d6monstra t ion de ee t te propri6t6 est analogue ~ cello qui 6tabli t 18 conver- gence de l'int~gr~le d 'une famille spectrale d 'op6rateurs projections.

JEAN-BERTRAND KAYZMERER: .D~composition spectrale, etc. 253

])]~FINITION. - Soient t ~ e(t) une famille spectrale, a e C~ Soit D~(a) le sous- ensemble de L~(R2*'):

(!x.3.5) 1)(~) = {h: h,s L~(R~,,):

D~(~) est dense duns L=(R 2") car:

f l~(t)[=d@(t) .~ h, ~>~ < + co} R

VheL~(R~), Va, b e R , e(a, b] ,~heD~(a).

Duns le eus de ]u fonction ~(t) -= t, D~(a) sera d~sign4 par D .

4. - E16ments de 0 ~ n O~ d~;finis par u n e f a m i l l e spectrale .

a) Remarque sur les ealvuls. - Duns ce paragraphe et duns le ehapitre suivunt~ il sera consid~r~ des mon6mes, duns lesquels figurent des 41~ments de O~ et des ~l~ments de :B~; g purtir de la relation:

V f~ 0 ~ , VSe 8'(IR2~), Vcpe 8(R ~) il vient:

il est facile de montrer : Soit / e O~; soit g e ~B*; supposons: ] , , g e :B ~; il vient:

Vg'e 5Y" = g' . , ] *~ (g *~ g') (1 *~ g) *~

D'upr~s les propri~t6s de continuit~ du produit d6form6 (alin6u IV.4 e)), il vient: v / e o~, ~ e s'(R~o), t 'e o;~

(Ix.4.2) ],~(S,~l') = ( / , ~ ) , ~ / ' .

b) Les propositions (2.1) et (3.2) se g6n~ralisent suivant le r6sultat:

PROPOSITION 4.1. - Soit t ~-. e(t) une famille spectrule; soit a e C~ ; Supposons qu'il existe un 515ment ] de O ~ n O~ tel que:

+ c o

(IX.4.3) Vh e D ( a ) , Vk e 8(R2"), <1., h, k> ~ =.fa(t)d<e(t) .~ h, k> ~ . - o o

I1 vient: cet 51~men~ ] e s t unique; la relation 4.3 est vraie pour tou t k de Z~(R*"); de plus:

1) YheD~(a), f .~J~eZ2(R 2-) et:

(IX.4.1) I!!,, hil~,(~,.)= I-(01"a<e(0, ~ , . ; ) " �9

254 JEAN-:BERTI~A:ND KASI:~IERER: Ddcomposition speetrale, etc.

(IXA.5) 2) Ya, b e R , f , ~ e ( a , b ] ~ - e ( a , b ] , ~ ] ~ 3 F ;

3) 8(R 2~) c D,(~).

Soit f l'616ment de 2~ d6fini par une fonet ion ~' (e C~ born6e sur a(e), selon la re la t ion (2.2). I1 v ient

(IXA.6)

( ixA.7)

t , ~ ? ' = t ' , ~ t ,

Vh e D~(~), f ,~ ( f ,~ h) = f' ,~ (] ,~ h); V/r e L~(R ~') :

< f , , (] , , h), k> ~ = f~(t)~'(t)d<e(t) ,~ h, k y . - - o o

Supposons que la fonct ion a' soit seulemeat eoat inue sur R et qu'i l existe un 616- men t ]' de O~(h 0~ te l que la relut ion (4.3) air l ieu (pour s au lieu de a); les rela- t ions (4.6) et (4.'7) soar vraies mais pour des h appur t enan t ~ D , ( s D (~ . s

La d6monstra t ion de ce r6sultat repose pr incipMement sur la proposi t ion (3.2). La relut ion (4.4) est un cas part icul ier de la relat ion: Vh, k ~ D ( a ) :

+ c ~

(IX.4.s) <? ,~ h, ~ ,~ ] y = f l~(t)l~d<e(t), n , , ~ y . - - o o

CIIAP!TI~E X

DECOMPOSITIOIq SPEOTI~ALE

l . - V a i e u r s p r o p r e s ; 6 1 6 m e n t s propres.

a) D~FI~ImlON. - Soit ] un 616ment de 3F ou de 0~(h 0~; a est valeur propre de ] si et seulement s'il existe un 616ment g~ de ~ , diff@ent de 0, te l que:

( X . l n ) ] ,~ g~ = g~ ,~ ] = ag~,

ga est un 61~ment propre associ6 ~ la valeur propre a. Si ] est un 616meat r6el, ~ une valeur propre r6elle a est assoei6 au moins un

616meat propre ga r6el. Si ] appar t ien t ~ ~5 ~, ~ deux valeurs propres a e t b sont associ6s des 616merits

propres, dont le produi t est nul; si en plus ] e s t r6el, les valeurs propres sont r6elles; si ] e s t uni ta i re , (] ,~ ] = ] ,~ f == 1), les valeurs propres de ] sont des nombres com-

plexes de module 6gal ~ 1.

JEAN-BERTRAND K A ~ R E t ~ : D6composition spectrale, ere. 255

l%E~A~QV~. - La d6finition suppose que les 616ments propres appar t iennent ~ ;B~; i 'exemple suivant est exclns:

b) E X E M P L E S .

PROPOSITION 1 . 2 . -- Soit ] un 616merit de 33~ d6fini, d'apr~s la proposi t ion IX.2.1, par une famille spectrale t ~-. e(t) et une fonction ~ continue sur R et born6e sur a(e). Pour que ~(a) soit valeur propre de ], il suffit que la famille spectrale soit discontinue en a e t le saut ~ de cet te famille speetrale cst 616ment propre de ]. Supposons la famille spectrale born6c et ~ ( t ) - t; l'616ment r6el f admet comme r6els m et M (d6finis ~ la proposit ion (VIIIA.1)) les bornes inf6rieure et sup6rieure du spectre a(e).

En offer: L'616ment ] de ~ est d6fini par la re la t ion (IX.2.2); il suffit de rein- placer h par h .~z~ ou par Za *~ h pour d6montrer que le saut z~ de la fonct ion t ~ e(t) est 616merit propre de ] associ6 ~ la w Jeu r propre ~(a).

Lorsquc ~ ( t ) = t, il v ient manifes tement : [m, M] c~(e). L ' i nchs ion oppos6% s 'obt ient en snpposant M str icteraent inf6rieur $ l a borne sup6rieure fi de a(e) et en consid6rant l'616ment e(a, b] .~ h .~ e(a, b] de ff~ (h ~ ff~) avec M < a < b < ft.

I~E~ARQ~E. -- De m@m% si ] e s t un 616merit de 0~(3 0~ v6rifiant la re la t ion (IX.4.3), pour que ~(a) soit valeur propre de ], il suffit que ~ soit diff6rent de 0; ~ est 616merit propre.

PROPOSITION 1.3. -- Soit ] un 616ment r6el de E~; le r6el/~, 6gal ~ eelui des r6els m ct M (Proposit ion VIII.4.1) de plus grande valeur absolue, est valeur propre de ]; il lui est associ6 un 616merit ,de F ~.

E n effet, par d6finition de m e t de M:

3h~, p c N , h~e:F ~, [Ih~[l~= 1, : # = lira <], h~> ~ . 2)---> oo

P u i s q u e / / ' est isomorphe an dual de E ", il existe une suite ex t ra i t e de la suite h~ fa iblement convergente; soit h~ sa limite. Cette limite n 'es t pus nulle car, puisque ] appar t ien t ~ E ~, il v ient :

<], h~> ~ ~u, d 'o6 par suite U ~1]. 1

Cet 616ment h~ appar t ien t ~ if" e t e s t 616merit propre car:

l i ra II1 ,~ h~-- /zh~l ls = O . ~--'-> 0 0

17 - . A n n a l l d i M a t e m a t f v a

256 JEAN-BEI~TI~AND KAlVl:~EI~EI~: D6eompos i t ion spectrale, etc.

2. - D6composlt lons spec~rale des ~l@ments r6els ou unitaires de ~ .

PI~OPOSITIOI~ 2.1. - Soit ] un 616merit r6el de ~5"; il existe une fumille spectrale unique, t ~-~ e(t), tel le que 1~ re la t ion

( x . 2 . n vh e r~ ~ , <?, h> ~ =ft~<~(t), hy R

oat lieu. Pour qu ' un 414ment g de ~B ~ c o m m u t e ~vec ], il f au t e t il snfiit que g c o m m u t e o~vec cheque 616ment e(t).

COgOLLAram. - Pour que le r6el ~ soit vuleur p rop re de f, il f~ut et il sufilt que l~ f~mille spectr~le soit d iscont inue en a. Le snout ~ de l~ fumille spectrale en a est

lu plus gr~nde pro jec t ion 616merit p ropre de [ en a.

Pour un 616ment r6el ] de OF, 1~ d6 te rmina t ion de 1~ f~mille spectr~le t e-~ e(t) pout 6tre effectu6e su ivan t ]u m6thode exposde put /~IESCZ et I~A~u [7] pour 6tabl ir

1~ d6eomposi t ion spectrule d~un op6r~teur he rmi t i en born6. E n effet elle ntil ise 1~ s t ruc ture d ' ensemble ordonn6 des op6rateurs hermi t iens , qui se r e t rouve iei duns

1 'ensemble des 6t6ments r6els de ~B ~ (on p~rt iculier lu proposi t ion VIII .4 .2) . L~ r6-

c iproque de 1~ proposi t ion 1.2, contenue d~ns le corollaire, se d6montre ~ l '~ide de 1~ re la t ion (IX.2.4) qui donne:

Vh e H ~ <(t- , , ( ] - =f(t- n> R

et en pren~mt pour h: g~ .~ h, o~ g~ est uu 616merit p ropre (( posi t i f ~> et h un 616merit

de 0 ~; il v ien t :

(x.2.2) z~ .~ g~ = g~ .~ ~ ---- g~ �9

ce qui 6tubli t le corollaire.

P~OI~OSITIO~ 2.2. - Soit u un 6t6ment de ~B ~ un i ta i re (u , ~ = ~ .~u = 1); il

exis te une f~mille speetr~le t ~-~ e(t) unique, de spectre ~(e) con tenu d~ns [0, 2~],

hal le en O ( e ( 0 ) = 0), tel le que:

Vh ~ / I v <u, h> * : ; e x p (it)d<e(t), h> ~ (x .2 . a ) , *

R

Pour que l"614ment g de ~B ~, c o m m u t e ~vec u, il f au t et il suffit qCi l c o m m u t e ~vec

chaque e($); Pour que exp (in), 0 < a < 2 z soit vuleur p ropre de u, il f au t et il suffit que a soit un point de discontinni t6 de 1~ fumille spectr~le; le s~ut 7~, en a est lu plus gr~nde pro jec t ion 616meat p ropre en a.

JEAN-BEI~TI~AND KAMMEI~EI~: Ddeomposition spectrale, ere. 257

3. - D6composition spectrale de terrains 616ments r6els de 0~ .

a) Soit I u n 616ment r6el de 0 r" soit H l 'hypoth6se:

(~)

~) 3 g e ~ : ( ] d - i ) . ~ g - ~ g , ~ ( ] + i ) = l ;

fi) g . ~ g = g . ~ g ;

7) tou t 616ment de :B ~ qui commute avec f, commute avec g .

I~EMAI~QUE. - Cette hypothgse est v6rifi6e par l ' inverse de f + i, s'il existe, dans l'alggbre O ~ n 0;~.

b) T m ~ O ~ E . - Soit ] u n 616ment r6el de O~ v6rifiant l 'hypothgse (It); il vient :

(x.3.1)

1) I1 existe une famille speetrale t ~-, v(t) unique telle que:

Y h C D , f . ~ h e Z 2 ( R ~) et ] , ~ h est d6fini par:

+ c o

W e L~(R,'~), <] ,~ h, k> ~ = [ta<e(t) h, k>. - - o o

2) Pour qn 'un 616me,at de :B ~ commute avee ], il faut et il suffit qn'il com- mute avee chaque e(t).

RE~A~QUE. -- l~6eiproqnement, si ] e s t un 6!6ment r6el de O~ pour lequel les propri6t6s i et 2 ci-dessns sont v6rifi6es, Mors l'616ment ] remplit l 'hypothbse (H). En effet soit g l'616ment de ~B ~ d6fini par la relation:

(x.s.2) Vh eH , <g, h>" =f(t § i)-ld(e(t), h)~ R

d'apr~s la proposition IXA.1, g v6rifie les propri6t6s H~ et H~; si un 616ment com- mute avec ], il commute avec chacun des e(t) et donc avec g.

c) Le th6or6me s'6tablit ~ l 'aide du r6sultat:

LEmW_E. -- Soit ] un 616ment r6el de O~ v6rifiant l 'hypothgse (H).

1) L'616ment g est unique darts ~B~; s'il existe un inverse de ] d - i darts O~ ou dans O~, cet inverse est 6gal ~ g.

2) ba distr ibution temp6r6e u = ( f - - i ) . ~ g appart ient ~ :B ~ e t e s t unitaire.

258 JEAN-BE~TI~AND KAIVD, IEREI%: Ddeomposition speetrale, etc.

3) Cet ~t6ment u n~admet pus la v~leur propre 1; il v ient :

( X . 3 . 3 ) ( u - - t ) , ~ ( f + i ) = ( ] + i ) , ~ ( u - - 1 ) = - - 2 i ;

f ~- i est 1'unique 51~ment de O~ et de 0~r ~, v~rifier ce t te relation. E n effet: l 'unicit6 de g duns ~ (resp. duns 0~) r~sulte de PhypothSse (It) (resp.

0~ est un module ~ droite sur 8'(R~')). L~ dis t r ibut ion u s'~erit mani fes tement :

u = 1 - - 2ig.

Lu relat ion (3.3) s~obtient en util is~nt (IX.4.1). L 'unici t6 r~sulte encore de l~asso - ciativit~ dfie ~ ce que 0~ est an module ~ droite.

Puisque u est unit~ire~ u admet une d4composit ion spectrale unique:

Vh e//~, (u, h} ~ =fexp (iO) ,~@(0), h } ~ .

R

Vk ~ L~(R ~) ,

I1 est facile de mon t re r :

Posons e(t) = e(O) o~vec t = -- eotg (0/2); t ~ e(t) est une farnille spectr~le car fat)- sence de la vale-or propre 1 ent ra ine la continuit6 de 0 ~-~ e(0) en 2~ [12]. Soit D , 1'ensemble ~ssoci~ ~ cet te famille spectrale par la re la t ion (IX.3.5).

D'apr~s 1~ proposi~iQ n IX.3.2, i! v i e n t : Vh e D , ~ L~(R~ ~) :

k> =fta<e(t) h, k>'.

d'o~:

i(u -- :[) ** fh = (u ~ 1) ,~ h

COgOLLAIgE. -- Pour que le r~el a soi~ valeur propre de ], il faut et il suftit que

la famille spectrale t F-~ e(t) soit discontinue en a; le saut am en a est la plus grande

project ion 6t6ment propre de f e n a. D'apr~s la proposi t ion IX.4.1, la condit ion est sufilsante; m o n t r o n s qu'elle est

n~cessaire; supposons:

3 a a R , g.~ r <~ positif ~>: f ,~go= g . , . f = ag. .

Montrons d ~ b o r d que pour tou t h de L2(R~'), l'~16ment ha, @g~t ~ g~,~h, appar-

t i en t ~ D . I1 vient :

(1 ,~ e(e, d] ) ,~ ho = ae(e, a] ,~ ho.

JEAN-BEtCTI~A~D KAMMEt~EI~: D6composition spectrale, etc. 259

L a re l~ t iOn ( IXA.8 ) p e r m e t d '6r i re :

h ~ ~ ft~d<e(t), h ~ . ~ - ~ ~ d

]c,d].

I1 res te ~ faire t end re e et d v e r s - - ~ et d- ~ ; de la p ropos i t ion IX.4 .1 , il v i en t :

Vh e D

q-oo

< ( l - a) ,, go ~-~ h, ~ ,~ (]-- ~)>~ : f ( t - - a)2d<e(t),~g~, h , ~ h } ~ .

I1 v i e n t :

z~ , , g~ = g~ ,~ z~ = g~ �9

4 . - S p e c t r e ; e n s e m b l e r g s o l v a n t .

a) E~SE~BLn ~ S O L V A ~ . -- Soit ] e ~ on ] e 0]~(~ 0 ~ ; l ' ensemble r4so lvan t

est , p a r d~finition~ l ' ensemble des hombres complexes z p o u r lesquels il exis te u n

~l~ment R(z; ]) de ~5 ~ te l que :

(x.4.1) R ( z ; t) ,~ ( / - z) = ( t - z) ,~ R ( z ; t) = 1 .

Le spec t re de f, 0(]) est le compl4men ta i r e de l ' ensemble r4solvant .

b) P~oPosmmIor 4.1. - Soit ] un 414ment r~el de ~ ou de 0 ~ ; d~signons p a r A

r e n s e m b l e des r~els ~ p o u r lesquels :

3g~, n e N , g~e ~ ~ ~ = , llg.ll~ = 1 , t,.gn g.,~f

lira [] (] - - a) .~ gull;---- 0 . ~--> co

I1 v i en t : A = a(e) = a(]).

E n effet : r e m a r q u o n s d ' a b o r d que a(]) c R ; si z e C ~ R , l '41~ment ]!i de :8 ~ d~fini p a r la r e l a t ion :

Vh eH~, <]', h> ~ : f ( t - - z)-l~<e(t), n>~ R

es t a n 616ment R(z; ]); il v6rifie la re la t ion (4.1); il est u~/ique. Le m4me ra isonne-

m e n t m o n t r e l ' inclus ion a(]) c a(e). Soit m a i n t e n a n t a e r m o n t r o n s : a e A. Soit p~ la sui te :

260 JEAN-~E~TRAND KA)LM_Et~EI~: Ddeomposit ion speetrale, etc.

I1 es t faci le de v6rifier, lorsque J a p p a r t i e n t s 0 ~ , que p~ ,~ h a p p a r t i e n t ~ D, quel que soit h de L~(R~) ; p a r sui te :

d~ofi_ :

( [ l ( f - ~) ,~ (P~ �9 h)ilb(R-~)) ~ = f ( t - a)2d(e(t), h ,,h} ]a-- 1/n, a + l /n]

1

Enfin i si a ~ A , a ~ a(]) car s inoa a ~ ,ppar t icndrai t ~ l ' cnsemble r4solvant , ce qui es t source d ' u n e con t r ad i c t i on .

R~FI~I%ENCES DES NOTATIONS UTILISI~ES

1. Scalaires, vecteurs, ]onctions, distributions.

a) v, x ---- (xl, x2), x]l, x[~, ~; (I.l.a). b) ], 7, ~d, re, 7 ~, 7 ~, 7; (I.l .b). , c) dA, (I.3.d). d) A ~j, (III.2.b); A ~ , (VI.2.a). e) K(]), (VII.l .a). ]) fl~, (VIII.3.a); ( . , . )~ , (VIII.3.e).

2. Applications ou opdrateurs.

a) 2~, ~*; (I.2.a). b) ~ , ~ , ~*, X*, a', y* , H, ~*, (La.a). c) u~, (V.l.b), (VIII.1.3); d) p~, (VI.1.2); h~, (VI.2.a). e) v(]), w(]), (VII.l.a).

3. Lois de compositiou; relation.

a) o, ~.v, ,~, (II.1), (IIL2.a), (IV.t.a), (IV.4.a), (IV.5). b) -~, (VIII.4.b).

4. Ensembles de ]onctions ou de distributions.

a) Les ensembles usuels 8(R2',), 8~(R ~,) . . . . . O~x, O~ n'ont ioas dtd reddfinis; voir [9], [11]. b) W~ O'wR 2~'~ O~(R ~'~) ou W ~ 0 '~ o ~ J, o , 0M, (IV.2.a). c) H, E, B~, (VIII.l .a). d) 3~ ~, (VII.2), (VIII.3.a); IF, E ~, (VIII.3.b); ff~, (VIII.4.a).

5. Semi-hermes:

a) q~,,~, ]. [k,m, ([.1.d) voir [11]. b) r~,~;B, P~;s, P~;s, (IV.3.a). c) l" ]~.~, ~,.~;,. (V.2.a); .~;~, (V.2.b).

JEAN-BElCTICAND KAMlVIERER: D~eomposition speetrale~ etc. 261

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