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Déconvolution Analogique en ImageriePar Ouverture Codée Appliquée à laMédecine NucléaireJ. Brunol a , Y. Fonroget a & S. Lowenthal aa Institut d'Optique, Université de Paris-Sud, Bâtiment 503, 91406Orsay-Cedex, FrancePublished online: 16 Nov 2010.

To cite this article: J. Brunol , Y. Fonroget & S. Lowenthal (1978) Déconvolution Analogique enImagerie Par Ouverture Codée Appliquée à la Médecine Nucléaire, Optica Acta: International Journalof Optics, 25:2, 113-124, DOI: 10.1080/713819738

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OPTICA ACTA, 1978, VOL . 25, NO . 2, 1 1 3-124

Deconvolution analogique en imagerie par ouverture codeeappliquee a la medecine nucleaire

J . BRUNOL, Y. FONROGET et S . LOWENTHAL

Institut d'Optique, Universite de Paris-Sud, Batiment 503,91406 Orsay-Cedex, France

(Manuscrit recu le 1st Aout 1977)

Resume. Une methode de deconvolution analogique appliquee a l'imagerie parouverture codee a ete developpee . Le bruit optique resultant de l'utilisation de1'eclairage coherent peutetre reduit par 1'utilisation d'un correlateur incoherenta deux voies et d'hologrammes calcules par ordinateur . Nous presentons desresultats experimentaux prouvant l'efficacite et les possibilites du traitementanalogique.

1 . IntroductionEn imagerie par ouverture codee appliquee a la medecine nucleaire, l' utili-

sation de methodes de restitution basees sur le principe de l'autocorrelationou de la deconvolution partielle analogique incoherente ou numerique constitueun progres important par rapport aux methodes de restitution coherentes[1-4] . En effet, le probleme du bruit provenant de l'utilisation de 1'eclairagecoherent [5] est reduit dans de grandes proportions .

Au § 2, apres avoir analyse le principe de ces differentes methodes, nousmontrons les avantages de la deconvolution par rapport a l'autocorrelation .

L'etude d'un correlateur incoherent permettant de realiser la deconvolutionest faite au § 3, l'avantage en rapport signal sur bruit provenant de l'utilisationde sources classiques est signale .

La deconvolution necessite des masques representant la partie positive etnegative de l'inverse de convolution approche . Les codes utilises etant asymetrie circulaire (pour eviter des erreurs de positionnement), ils pourrontetre traces sous forme d'hologrammes synthetiques circulaires qui deriventd'un theoreme d'echantillonnage radial [6] analogue au theoreme de Shannon,applicable a ce type de fonctions . L'etude de ces hologrammes est envisageeau § 4, dans lequel est reprise la formulation generale de la methode .

Des resultats experimentaux relatifs a la deconvolution numerique tri-dimensionnelle sont presentes au § 5, ainsi que les premiers resultats analogiques .

2 . Principe des methodes de restitutionPour coder le rayonnement y emis par un organe prealablement injecte

d'un traceur radiopharmaceutique nous interposons entre cet organe et ledetecteur un masque de plomb (dont la transparence peut etre considereecomme binaire) appele code (figure 1) .

En premiere approximation, la luminance O z d'un objet plan d'absisce z,le code C,(M) et 1'eclairement I z sur le detecteur sont lies par la relation deconvolution

Iz(M)=Oz(M)*Cz(M) .

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Par la suite les facteurs d'echelle dependant de z seront sous-entendus saufspecification contraire lorsque nous etudierons 1'effet tomographique c'est-a-dire la capacite de la methode a redonner des images de differents plans decoupe .

2.1 . Principe de la reconstructionPartant de l'image I(M) nous cherchons a restituer O(M) . L'autocorre-

lation et la deconvolution partielle constituent deux methodes possibles pourcette reconstitution .

Figure 1 . Principe du codage .

En effet la relation (1) peut se traduire d'un point de vue purement geome-trique comme exprimant la superposition d'une infinite de codes correctementdecales les uns par rapportaux autres . L'idee de base de l'autocorrelation estd'associer a chacun de ces codes un point dont la position et la luminancesont parfaitement determinee, comme cel a est le cas en reconnaissance de forme .

Par contre en deconvolution partielle nous cherchons a restituer toutes lesfrequences spatiales de l'objet code par filtrage . En effet la relation (1) s'ecritdans l'espace de Fourier :

I(P)=O(P) . C(P)

(2)

expression dans laquelle I(P), O(P), C(P) representent respectivement lestransformees de Fourier de I, 0, C .

Nous voyons donc que chaque frequence P O de 0 est multipliee par unevaleur C(P0 ) . L'objet plan est alors parfaitement retrouve si 1'on multiplie(2) par 1/C(P) .

Il est connu que ceci n'est pas possible exactement, car C(P) possede deszeros. Parmi tous les filtres qui approchent 1 /C(P), le filtre

nw,(P)=C*(P)/( C(P)1 2 +E)

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peut etre choisi . Le parametre a constitue le compromis resolution/rapportsignal sur bruit . En effet lorsque C(P) est superieur a e le filtre amplifie etredresse les frequences de 1'objet alors qu'il les attenue dans le cas contraire .Nous appelerons ce filtre pseudo-filtre de Wiener de par sa ressemblance aveccelui utilise dans la relation de Wiener et Hopf [7] .

Cependant ces deux traitements ne conduisent pas a des resultats identiquesdans la pratique . Nous allons les comparer du point de vue des reponses per-cussionnelles obtenues dans le cas d'une zone de Fresnel et d'un anneau .

2.2 . Comparaison entre l'autocorrelation et la deconvolution

Cette comparaison peut etre faite en s'interessant soit aux fonctions detransfert, soit, dans notre cas, aux reponses percussionnelles (R .P .). La R.P .d'autocorrelation pour une zone de Fresnel est donnee par :

RA( r) = Z(M) * Z(M)

(4)

expression dans laquelle Z(M) represente la transmittance de la zone de Fresnel(figure 2 a) .

La figure 2 (b) represente la meridienne de cette fonction pour une zone deFresnel de 10 anneaux . Nous voyons qu'il existe effectivement un pie important,mais qu'un fond continu vient se superposer a ce pic . De ce fait, si nousn'avions que quelques points a reconnaitre cette methode pourrait s'appliquer,mais pour un objet continu ou le critere de reconstruction est le facteur decontraste, cette reponse percussionnelle n'est pas acceptable car 1'energie estpratiquement toute concentree dans le fond et non dans le pic .

Pour pallier a cet inconvenient la methode a ete perfectionnee en soustrayantde R, (M) la convolution de Z(M) par 1 - Z(M) . La figure 2 (c) represente

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1 1 5

2a

2_c

1

2

2.b

2.d

r..

2

2

Figure 2 . Meridiennes : (a) reseau de Fresnel (ZF) ; (b) autocorrelation de ZF ; (c) partiesoustraite ; (d) reponse percussionnelle definitive .

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cette fonction Z( M)*(1- Z(M)) et 2 (d) la reponse percussionnelle definitiveobtenue par soustraction dans laquelle ce fond continu a disparu . Cette fonctionR(M) s'ecrit R(M) = Z( M)*[2Z( M) - 1] dont l'integrale I a pour valeur :

Io = f Z(M)*[2Z(M)-1]dM= JZ(M)dMf(2Z(M)-1)dM=0 .L'energie contenue dans R(M) etant nulle les difficultes precedentes subsistent,1'energie n'est toujours pas localisee dans le pic malgre un aspect plus proched'une fonction 8 de Dirac que 2 (b) .

La figure 3 represente la reponse percussionnelle de deconvolution pourun facteur E = 10-3 qui est typique de ceux que nous utilisons dans la pratique .L'energie est concentree a 70 pour cent dans le pic de la reponse percussionnellecc qui conditionne, comme 1'a montre Marechal et Francon [8] la qualite de lareconstruction .

10

Figure 3 . Reponse percussionnelle de deconvolution du code 2a : (E-109 3 ) .

70%

Figure 4 . Meridiennes : (a) autocorrelation d'un anneau ; (b) reponse percussionnellede deconvolution du meme anneau .

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Les figures 4 (a) et 4 (b) representent respectivement la meridienne de lareponse percussionnelle d'autocorrelation et de deconvolution pour un anneau .Le pourcentage indique la fraction de 1'energie contenue dans le pie central .Pour ces raisons nous avons utilise la deconvolution partielle. Les premiersresultats ont ete obtenus par voie numerique. Cependant le calcul informatiquepeut etre remplace par un calcul analogique (en optique incoherente) quirealise la deconvolution partielle .

3 . Etude du correlateur incoherentComme l'ont montre Lowenthal et Chavel [5], le gain en rapport signal

sur bruit dans le cas d'un bruit pupillaire atteint un facteur 100 en passantd'un traitement coherent a une restitution incoherente . De ce fait, it etaitpreferable de s'orienter vers des methodes incoherentes pour realiser la decon-volution au lieu d'un filtrage coherent par hologramme synthetique . D'autrepart, le faible nombre de points effectifs en medecine nucleaire (typiquement500-5000) permet l'utilisation d'une reconstruction par balayage .

Nous cherchons a convoluer I(M) par la fonction Dw(M), transformeede Fourier de D,,,(P), conformement a 1'equation suivante :

I(M)*Dw( M) = O( M)*C( M)*D w( M) .

(5)

Cependant, la fonction Dw(M) n'a pas que des valeurs positives. Ellepeut etre ecrite Dw(M) = Dw+(M) - Dw- ( M), oil Dw+ et Dw- sont deux fonctionspositives. Done, pour realiser la convolution representee par 1'expression(5), nous avons mis au point un correlateur par balayage a deux voies, suivid'un dispositif electronique qui realise la soustraction, conformement a lafigure 5 .

P(M) d;,(Po)

Figure 5 . Correlateur a deux voies .

3 .1 . Principe du correlateurNous etudions une voie du correlateur, la seconde voie se deduit de la pre-

miere en changeant D,,+ en D,,- .Comme it est montre dans l'appendice, le flux total recueilli par la cellule,

et done l'intensite qui traverse la resistance en serie, peut s'ecrire :

a +(P0) = fL( M1)dMlf T(P. - M) Dw(M)d M = K {T (M)*Dw+(M) ](P9)

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expression dans laquelleP0 designe le deplacement du cliche code place dans le plan P1 lie au balayage ;T(M) est la transmittance en intensite du cliche code ;D,,,+(M) est la transmittance en intensite de l'inverse de convolution positif .Nous obtenons donc par soustraction realisee a l'aide d'une detection syn-

chrone un signal s(P0) defini par

s(PO) =i+(P0)-z-(P0)=K T(M)*[D,,,+(M)-D .-( M)]

qui est la deconvolution partielle que nous cherchions a realiser .Nous avons suppose dans cette partie qu'il existait deux fonctions D,,,+( M)

et D, -(M) qui pour les codes utilises sont a symetrie circulaire et realisant lesparties positives et negatives de l'inverse de convolution .

Les problemes de linearite lies a la realisation de 2 telles fonctions sousforme de transparence photographique nous ont amene a les realiser sous formed'hologrammes synthetiques circulaires . Ceci est possible car les fonctionsque nous cherchons a representer D,,+ et D,, sont reelles, positives .

4. Echantillonnage circulaireNous allons rappeler dans cc chapitre brievement le theoreme d'echantill-

onnage radial . Nous verrons ensuite comment cc theoreme permet de realiser deshologrammes synthetiques circulaires . Enfin nous montrerons comment ceshologrammes doivent etre utilises dans la deconvolution partielle que nousnous proposons de realiser .

4.1 . TheorOme d'echantillonnage radialConsiderons une fonction a symetrie circulaire f(r) [r = ,/(x2 +y2)] dont

la transformee de Fourier f (p)[p = \/(v2 +µ2)] est a support borne a .Le theoreme d'echantillonnage radial s'exprime alors par les relations (6) et

expressions dans lesquellesJ0(x), J1(x) representent les fonctions de Bessel de premiere espece d'ordre0 et 1 respectivement,Ap les racines de 1'equation J1(u) = 0 .La relation (6) exprime la possibilite de calculer la transformee de Fourier

de f(r) a partir d'echantillons de cette fonction, la fonction calculee n'ayant designification que sur (0, a) .

La relation (7) exprime le theoreme d'echantillonnage proprement dit :c'est- a-dire qu'a partir d'echantillons de la fonction f correctement choisis,on est capable de reconstruire la fonction en tout point .

(7) :

f(p) = Ip=0

J,,(Appl a)Lp7ra)f sip <a,

J1(27rra)

(6)(2

7Ta2J02(Ap)

27ra2J,(Ap)

(27Tr)2.f(r)= 1of(zaa) 2 7rra (7)

(27rr)2- (i\p'\2a

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4.2 . Hologrammes synthetiques circulaires de FourierPartant d'une fonction f(r) dont le spectre f(p) est a support borne a, nous

cherchons a realiser une transparence binaire qui, par diffraction d'un faisceaulaser convergent (figure 6) au point 0, nous redonne, dans une certaine partiede ce plan la fonction f(p) .

Nous allons montrer que ceci est possible par utilisation de 1'equation (6) .Nous devons d'abord calculer les transformees de Fourier d'un disque derayon eo et d'un anneau de rayon R d'epaisseur e .

Figure 6. Reconstruction d'un hologramme synthetique circulaire .

4.3. Transformees de Fourier d'un disque et d'un anneau

Appelons C(r/E o ) la fonction disque (figure 7 a) definie par :

C(r) =1 sir < 1, C(r) = 0 sinon .

Sa transformee de Fourier C(u) a pour valeur

C(P) = 2TTeo2J1(27reop) /(2 rreop) .

(8)

Posons par ailleurs

r

rLR,E(r)

C (R+E/2-C

(R-e/2

qui definit une fonction annulaire (figure 7 b) .La transformee de Fourier de cette fonction est :

2'rP(R e)}LR,E(P)=27r(R+E 2)

Jl{2irp(R+E/2)}-2~r(R-E/2)2J1 {

2

(9)2

2irp(R+E/2)

27rp(R-E/2)

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Figure 7 . Fonctions fondamentales pour 1'echantillonnage radial .

Lorsque E est faible, cette fonction peut etre approximee par

LR , E(p)=2vrERJO(2wpR) .

(10)

Les expressions (8) et (10) nous amenent a penser exactement comme pour leshologrammes de Lohmann et Paris [9] qu'une transparence binaire peut repondrea la question . En effet, par diffraction d'un faisceau laser, une transparencebinaire constituee par un disque et des anneaux concentriques redonne dans leplan de Fourier :

.V

f1(P) = 7rEO2 + j 2TrE jRi JO(2-pRj)i=1

a condition que nous ne nous interessions qu' a un domaine limite de l'espacedes frequences, et que aEO << 1, aEp < 1 .

Dans ce cas, les expressions (6) et (11) peuvent etre identifiees . Il suffitde prendre en effet

'rrE 2 f(0) SOlt E

1/f(O)o

Ira2

O =Ira

'

R_A1i2rra

et

(13)aE '=.f(A1~I 2 rra)/Tra2J02 (gyp) solt E.~=f(A1/2ra)

-rra~1 J a ..0 2( )

Ces relations montrent clairement que la fonction, f dolt etre positive .

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Par diffraction d'un faisceau laser, une fonction qui approche d'autantmieux que les E sont plus petits, et ceci dans le domaine 0 < p < a, la fonctionf (p) . Il est clair qu'un compromis doit titre choisi entre la qualite de la recon-struction et 1'efficacite, ce qui est un sujet en cours d'etude .

4.4 . Digitalisation des inverses de convolutionUne digitalisation des inverses de convolution D,,,+ et D,, est possible

si l'on convient de limiter dans 1'espace des frequences la fonction D w ( P) .En effet, la reponse percussionnelle du systeme optique est alors

R( M) = C( M) * [D v+( M)-D,,,-( M)]

dont la transformee de Fourier R(P) a pour expression :

(P'P) = C(P) [f).+(P) -1)u -( P)] •

La fonction C(M) ayant une frequence de coupure f,, nous voyons dons quesi l'on prend a=ff, dans le paragraphe precedent, nous retrouvons dons unefonctions de transfert 1( P) qui est exactement celle que nous cherchions .Dans la pratique, un filtrage electronique passe-bas limitant la bande passantea la valeur ff permettra d'eliminer le bruit haute frequence dans le cliche codeprovenant tant du bruit photographique que du phenomene poissonniend'emission des sources gamma .

5. Resultats experimentauxNous presentons ici quelques resultats de deconvolution :(a) une thyroide in vivo a ete enregistree (codee) par un code annulaire .

Le decodage est effectue par deconvolution numerique selon 1'equation (3),plan par plan en faisant varier la profondeur z du plan [cf . equation (1)] [10] .

L'ordinateur IBM 360/168 a necessite 1 seconde de calcul par plan de coupe .Ce temps n'est toutefois pas significatif.

La figure 8 presente 3 des 7 plans de coupe obtenus, etages de 3 en 3 mmen profondeur (z), le premier etant le plus profond .

Figure 8 . Reconstruction de 3 plans de coupe d'une thyroide in vivo (a gauche le plan leplus profond) .

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(a)

I

Figure 9 . (a) Partie positive de l'inverse de convolution . (b) Partie negative del' inversede convolution .

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(b) Un resultat de deconvolution analogique par correlateur incoherent ethologrammes circulaires a ete obtenu . Il s'agit d'une R .P. apres deconvolutiond'un code qui est une zone de Fresnel comportant 10 anneaux . Les pseudo-filtres de Wiener correspondant aux parties + et - etaient calcules et realisespour la valeur E =10-4 de la constante entrant dans 1'equation (3) (figures9 a et 9 b) .

La figure 10 represente la rponse percussionnelle de deconvolution obtenuepar soustraction.

Figure 10. Response percussionnelle de deconvolution obtenue a l'aide du correlateura 2 canaux (figure 5) .

6 . ConclusionLes experiences de restitution numerique d'objets in vitro et d'organes prou-

vent la capacite de la methode de deconvolution a redonner des images tridi-mensionnelles. En outre, les premiers resultats analogiques permettent depenser que l'utilisation d'un correlateur par balayage pourra remplacer ladeconvolution numerique . Bien entendu, des problemes pratiques subsistenten deconvolution analogique en ce qui concerne la simplification du dispositifexperimental .

AppendiceNous precisons d'abord les notations, puis nous calculerons successivement

les amplitudes dans les plans designes par les points P 1 , M, P, Q, enfin l'intensitedans le plan Q et le flux total recueilli par la cellule .

1 . Notations (Schema de principe, figure 5 .)

Q designe un point situe dans le plan de la cellule photoelectrique ;S est un point du plan source qui est suppose incoherent ;P(M) designe la fonction transparence de la pupille qui sera prise egale a 1 ;-r( M) est l'amplitude du cliche code qui est proportionnelle au produit deconvolution enregistre ;d,,,+(P) est la transmittance en amplitude de l'inverse de convolution positif ;PO designe la quantite selon laquelle est deplace le cliche code par le systemea balayage, soit -r( M - PO) ;L( M1 ) designe la luminance de la source .

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2. CalculsEn negligeant les termes constants, l'amplitude dans les differents plans

indiques sur la figure 5 s'ecrivent :

a(M) exp(t2d

2)11exp(tkMd12)

C_2dt(M1PI+

MPS)]a(I)T(Po PI)dM1dPI ,

a(Q) -exp (ikQ2) ffffexp Ct2d12)exp

[-2ldt(MIPI+MP1+MP+QP)]

x a(MI)T(P0 - P1)p(M)d,,+(P) dMI dP1 dM dP.

Le flux total recueilli sur la cellule, puisque la source est incoherente, s'ecrit :

~= ffffff L(M1)dM1 exp ( -2dt){M1(P1 - P2) - M'P2+ MP+ M'P'} T(PoP1)

x T*(P 0 - P2)p(M)p*(M1) .dw+(P)dw+*(P')8(P- P') dM dM' dP dP' dP1 dP2

soit encore, en prenant p(M) =p( M') = 1 :

0 = IL(M1 ) dM1 1T(Po - M) 1 2 ~Dw+(M) 12 dM dM1= (I T I2* I Dw+ 1)(Po) •fL(MI)dM1 .

An analogical deconvolution method applied to coded aperture imaging has beendeveloped . The use of an incoherent double-channel correlator and of computer-generatedholograms instead of coherent filtering reduces appreciably optical noise . We also presentexperimental results proving the efficiency and the possibilities of analogue processing .

BIBLIOGRAPHIE

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Congres de Medecine Nucleaire de Langue Francaise, Reims, 9-11 Juin .

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