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P1: JSN/NKD P2: JSN/AKN QC: JSN
THE RAMANUJAN JOURNAL KL643-05-Varouchas September 17, 1998 17:25
THE RAMANUJAN JOURNAL 2, 495–498 (1998)c© 1998 Kluwer Academic Publishers. Manufactured in The Netherlands.
DemonstrationElementaire d’une Identite de Lorenz
JEAN VAROUCHAS [email protected] Henri Poincare-Nancy I, UFR STMIA – Departement de Mathematiques, B.P. 239, 54506 Vandœuvreles Nancy Cedex, France
Received February 6, 1997; Accepted December 30, 1997
Abstract. We give an elementary proof of an identity due to L. Lorenz giving the number of representations ofa positive integer by the quadratic formx2 + 2y2 using Jacobi’s triple product identity.
Key words: triple product identity, quadratic forms,q-series, Lambert series
1991 Mathematics Subject Classification: Primary-05A30, 11B65, 11E25, 33D10
Notation. Si m, N ∈ N∗ et a ∈ Z, on designe pardma (N) le nombre de diviseurs deN
congrusaa (modm).
Le nombre de repr´esentations d’un entier naturelN comme somme de deux carr´esd’entiers est connu depuis Jacobi: c’est 4(d4
1(N) − d43(N)). Une demonstration br`eve
et elegante de ce th´eoreme aete trouvee par Michael D. Hirschhorn en 1985 [5], utili-sant comme seul ingr´edient la celebre identite du triple produit de Jacobi (l’identit´e (2)ci-dessous). A l’aide de cette derni`ere onetablit l’identite (valable pour|q| < 1)(∑
n∈Zqn2
)2
= 1+ 4∞∑
n=0
(−1)nq2n+1
1− q2n+1(0)
ou, pourN ∈ N∗, le coefficient deqN dans le premier membre est le nombre de couples(x, y) ∈ Z2 tels quex2+y2 = N, tandis que celui du second membre est 4 fois la diff´erenced4
1(N)− d43(N)
En 1840, Dirichlet [3] a d´emontre le
Theoreme. Le nombre de representations d’un entier N≥ 1 par la forme quadratiquex2+ 2y2 estegala
2(d8
1(N)+ d83(N)− d8
5(N)− d87(N)
).
Un apercu de l’histoire de ce r´esultat se trouve dans [2, vol. III, pp. 19–29].En 1871, le math´ematicien danois L. Lorenz [7] a d´emontre de mani`ere analytique
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l’identite
∑m,n∈Z
qm2+2n2 = 1+ 2∞∑
n=0
(−1)n(n−1)
2q2n+1
1− q2n+1(1)
que nous appelleronsidentite de Lorenz. Elle equivaut au th´eoreme de Dirichlet, puisque,pour N ∈ N∗, le coefficient deqN dans le premier membre est le nombre de couples(x, y) ∈ Z2 tels quex2+ 2y2 = N, tandis que celui du second membre est ´egala 2(d8
1(N)+ d8
3(N)− d85(N)− d8
7(N)).Une autre d´emonstration de (1) figure aussi dans le livre de N. Fine [4].L’objet de cette note est de donner une nouvelle d´emonstration de l’identit´e de Lorenz,
inspiree de la d´emonstration par Hirschhorn de l’identit´e (0).
Demonstration de l’identite de Lorenz: Nous consid´ererons des expressions qui serontvues, soit comme des fonctions analytiques de(x,q) ∈ C∗ × D, ou D est le disque unit´e,soit comme des s´eries formelles enq a coefficients dans l’anneauZ[x, x−1] des polynômesde Laurent `a coefficients entiers enx.
Nous appliquerons plusieurs fois l’identit´e du triple produit de Jacobi
J(x | q) :=∑n∈Z
xnqn2 =∏n≥1
(1+ xq2n−1)(1+ x−1q2n−1)(1− q2n). (2)
demontree pour la premi`ere fois en [6], dont plusieurs d´emonstrations simples sontdisponibles, comme par exemple en [1, p. 77]. Nous appelleronsJ la fonction de Jacobi.Nous utiliserons la fonction auxiliaire
F(x) = F(x | q) :=∑
m,n∈Zx2m+2n+1q4m2+4n2+m+3n. (3)
Par definition de la fonction de Jacobi,F(x) = xJ(x2q | q4) J(x2q3 | q4), donc
F(x)= x∏n≥1
(1+ x2q8n−3)(1+ x−2q8n−5)(1+ x2q8n−1)(1+ x−2q8n−7)(1−q8n)2 (4)
par l’identite du triple produit. En particulier,
F(1) =∏n≥1
(1+ q2n−1)(1− q8n)2. (5)
La derivation logarithmique de (4) enx = 1 implique
F ′(1)F(1)
= S(q) := 1+ 2∑n≥1
q8n−1
1+ q8n−1+ q8n−3
1+ q8n−3− q8n−5
1+ q8n−5− q8n−7
1+ q8n−7
= 1− 2∑n≥0
(−1)n(n−1)
2q2n+1
1+ q2n+1. (6)
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Par ailleurs, en posantr = m+ n ets= n−m, dans (3), on voit que
F(x) =∑
r≡s(mod 2)
x2r+1q2r 2+2s2+2r+s. (7a)
En rempla¸cantx parx−1 et r par−r − 1 dans (7a), on obtient
F(x−1) =∑
r≡s+1(mod 2)
x2r+1q2r 2+2s2+2r+s (7b)
d’ou, par (7a), (7b) et (4),
F(x)− F(x−1) =∑r,s∈Z
(−1)r+sx2r+1q2r 2+2s2+2r+s = xJ(−x2q2 | q2) J(−q | q2)
= x∏n≥1
(1− x2q4n)(1− x−2q4n−4)(1− q4n−1)(1− q4n−3)(1− q4n)2
= (x − x−1)∏n≥1
(1− x2q4n)(1− x−2q4n)(1− q2n−1)(1− q4n)2. (8)
A l’aide de (5), (6) et (8), on obtient∏n≥1
(1− q4n)4(1− q2n−1) = F(x)− F(x−1)
x − x−1
∣∣∣∣x=1
= F ′(1) = F ′(1)F(1)
F(1)
= S(q)∏n≥1
(1+ q2n−1)(1− q8n)2 (9)
ou S(q) est la serie de Lambert d´efinie en (6). Par cons´equent, on a
S(q) =∏n≥1
(1− q4n)4(1− q2n−1)
(1− q8n)2(1+ q2n−1)=∏n≥1
(1+ q2n)2(1− q2n)2(1− q2n−1)
(1+ q4n)2(1+ q2n−1)
=∏n≥1
(1+ q4n−2)2(1+ qn)2(1− qn)2(1− q2n−1)
1+ q2n−1
=∏n≥1
(1+ q4n−2)2(1+ q2n)(1+ qn)(1− qn)2(1− q2n−1)
=∏n≥1
(1+ q4n−2)2(1+ q2n)(1− q2n)(1− qn)(1− q2n−1)
=∏n≥1
(1+ q4n−2)2(1+ q2n)(1− q2n)2(1− q2n−1)2. (10)
En rempla¸cantq par−q dans (10), on obtient
S(−q) = J(1 | q)J(1 | q2) =∑m∈Z
qm2∑n∈Z
q2n2
ce quiequivauta l’identite de Lorenz. 2
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Commentaire sur la methode: nous avons pu trouver une fonction auxiliaireF(x)= F(x |q)verifiant que:
(i) F(x) est developpable en produit infini par une premi`ere identite (4),(ii) F(x)−F(x−1)
x−x−1 est developpable en produit infini par une seconde identit´e (8).
La premiere identite implique que, d’une partF(1) estegalea un produit infini, d’autrepart F ′(x)
F(x) estegalea la somme d’une s´erie en(x,q), donc F ′(1)F(1) estegalea la somme d’une
serie enq, qui est une s´erie de Lambert. De la seconde identit´e, en faisant tendrex vers 1,on deduit queF ′(1) est aussi ´egalea un produit infini. On en d´eduit une identit´e entreune serie de Lambert et un quotient de deux produits infinis, donc un produit infini, qui setransforme en l’identit´e voulue par des op´erationselementaires.
Le calcul de M.D. Hirschhorn peut être vu comme une application de cette m´ethode avec
F(x) := x J(x4q | q2) =∑n∈Z
x4n+1qn(2n+1) =∑
m≡0(mod 2)
x2m+1qm(m+1)
2
verifie aussi (apr`es regroupement de termes) que
F(x)− F(x−1) = x J(−x2q1/2 | q1/2) = (x − x−1)∏n≥1
(1− x2qn)(1− x−2qn)(1− qn).
Le calcul deF ′(1) de deux fa¸cons differentes implique l’identit´e (0).
References
1. J.M. Borwein and P.B. Borwein,Pi and the AGM, Canadian Mathematical Society Series of Monographs andAdvanced Texts, A Wiley Interscience Publication, John Wiley and Sons, 1987.
2. L.E. Dickson,History of the Theory of Numbers III, Chelsea Publishing Co., New York, 1919.3. P.G.L.-Dirichlet,Werke I, pp. 463–466.4. N.J. Fine, “Basic hypergeometric series and applications,” Mathematical Surveys and Monographs 27,
American Mathematical Society, Providence RI, 1988.5. M.D. Hirschhorn, “A simple proof of Jacobi’s two-square theorem,”American Mathematical Monthly92
(1985), 579–580.6. C.G.J. Jacobi,Fundamenta Nova Theoriœ Functionum Ellipticorum, Gesammelte Werke, Vol. 1, Berlin, 1881–
1891.7. L. Lorenz, “Bidrag til tallenes theori,”Tidsskrift for Mathematik1(3), (1871), 97–114.