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THE RAMANUJAN JOURNAL 2, 495–498 (1998) c 1998 Kluwer Academic Publishers. Manufactured in The Netherlands. emonstration ´ El´ ementaire d’une Identit´ e de Lorenz JEAN VAROUCHAS [email protected] Universit´ e Henri Poincar´ e-Nancy I, UFR STMIA – D´ epartement de Math´ ematiques, B.P. 239, 54506 Vandoeuvre les Nancy Cedex, France Received February 6, 1997; Accepted December 30, 1997 Abstract. We give an elementary proof of an identity due to L. Lorenz giving the number of representations of a positive integer by the quadratic form x 2 + 2 y 2 using Jacobi’s triple product identity. Key words: triple product identity, quadratic forms, q -series, Lambert series 1991 Mathematics Subject Classification: Primary-05A30, 11B65, 11E25, 33D10 Notation. Si m, N N * et a Z, on d´ esigne par d m a ( N ) le nombre de diviseurs de N congrus ` a a (mod m). Le nombre de repr´ esentations d’un entier naturel N comme somme de deux carr´ es d’entiers est connu depuis Jacobi: c’est 4(d 4 1 ( N ) - d 4 3 ( N )). Une d´ emonstration br` eve et ´ el´ egante de ce th´ eor` eme a ´ et´ e trouv´ ee par Michael D. Hirschhorn en 1985 [5], utili- sant comme seul ingr´ edient la c´ el` ebre identit´ e du triple produit de Jacobi (l’identit´ e (2) ci-dessous). A l’aide de cette derni` ere on ´ etablit l’identit´ e (valable pour |q | < 1) ˆ X nZ q n 2 ! 2 = 1 + 4 X n=0 (-1) n q 2n+1 1 - q 2n+1 (0) o` u, pour N N * , le coefficient de q N dans le premier membre est le nombre de couples (x , y ) Z 2 tels que x 2 + y 2 = N , tandis que celui du second membre est 4 fois la diff´ erence d 4 1 ( N ) - d 4 3 ( N ) En 1840, Dirichlet [3] a d´ emontr´ e le Th´ eor` eme. Le nombre de repr´ esentations dun entier N 1 par la forme quadratique x 2 + 2 y 2 est ´ egal ` a 2 ( d 8 1 ( N ) + d 8 3 ( N ) - d 8 5 ( N ) - d 8 7 ( N ) ) . Un aper¸ cu de l’histoire de ce r´ esultat se trouve dans [2, vol. III, pp. 19–29]. En 1871, le math´ ematicien danois L. Lorenz [7] a d´ emontr´ e de mani` ere analytique

Démonstration Élémentaire d'une Identité de Lorenz

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THE RAMANUJAN JOURNAL KL643-05-Varouchas September 17, 1998 17:25

THE RAMANUJAN JOURNAL 2, 495–498 (1998)c© 1998 Kluwer Academic Publishers. Manufactured in The Netherlands.

DemonstrationElementaire d’une Identite de Lorenz

JEAN VAROUCHAS [email protected] Henri Poincare-Nancy I, UFR STMIA – Departement de Mathematiques, B.P. 239, 54506 Vandœuvreles Nancy Cedex, France

Received February 6, 1997; Accepted December 30, 1997

Abstract. We give an elementary proof of an identity due to L. Lorenz giving the number of representations ofa positive integer by the quadratic formx2 + 2y2 using Jacobi’s triple product identity.

Key words: triple product identity, quadratic forms,q-series, Lambert series

1991 Mathematics Subject Classification: Primary-05A30, 11B65, 11E25, 33D10

Notation. Si m, N ∈ N∗ et a ∈ Z, on designe pardma (N) le nombre de diviseurs deN

congrusaa (modm).

Le nombre de repr´esentations d’un entier naturelN comme somme de deux carr´esd’entiers est connu depuis Jacobi: c’est 4(d4

1(N) − d43(N)). Une demonstration br`eve

et elegante de ce th´eoreme aete trouvee par Michael D. Hirschhorn en 1985 [5], utili-sant comme seul ingr´edient la celebre identite du triple produit de Jacobi (l’identit´e (2)ci-dessous). A l’aide de cette derni`ere onetablit l’identite (valable pour|q| < 1)(∑

n∈Zqn2

)2

= 1+ 4∞∑

n=0

(−1)nq2n+1

1− q2n+1(0)

ou, pourN ∈ N∗, le coefficient deqN dans le premier membre est le nombre de couples(x, y) ∈ Z2 tels quex2+y2 = N, tandis que celui du second membre est 4 fois la diff´erenced4

1(N)− d43(N)

En 1840, Dirichlet [3] a d´emontre le

Theoreme. Le nombre de representations d’un entier N≥ 1 par la forme quadratiquex2+ 2y2 estegala

2(d8

1(N)+ d83(N)− d8

5(N)− d87(N)

).

Un apercu de l’histoire de ce r´esultat se trouve dans [2, vol. III, pp. 19–29].En 1871, le math´ematicien danois L. Lorenz [7] a d´emontre de mani`ere analytique

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496 VAROUCHAS

l’identite

∑m,n∈Z

qm2+2n2 = 1+ 2∞∑

n=0

(−1)n(n−1)

2q2n+1

1− q2n+1(1)

que nous appelleronsidentite de Lorenz. Elle equivaut au th´eoreme de Dirichlet, puisque,pour N ∈ N∗, le coefficient deqN dans le premier membre est le nombre de couples(x, y) ∈ Z2 tels quex2+ 2y2 = N, tandis que celui du second membre est ´egala 2(d8

1(N)+ d8

3(N)− d85(N)− d8

7(N)).Une autre d´emonstration de (1) figure aussi dans le livre de N. Fine [4].L’objet de cette note est de donner une nouvelle d´emonstration de l’identit´e de Lorenz,

inspiree de la d´emonstration par Hirschhorn de l’identit´e (0).

Demonstration de l’identite de Lorenz: Nous consid´ererons des expressions qui serontvues, soit comme des fonctions analytiques de(x,q) ∈ C∗ × D, ou D est le disque unit´e,soit comme des s´eries formelles enq a coefficients dans l’anneauZ[x, x−1] des polynômesde Laurent `a coefficients entiers enx.

Nous appliquerons plusieurs fois l’identit´e du triple produit de Jacobi

J(x | q) :=∑n∈Z

xnqn2 =∏n≥1

(1+ xq2n−1)(1+ x−1q2n−1)(1− q2n). (2)

demontree pour la premi`ere fois en [6], dont plusieurs d´emonstrations simples sontdisponibles, comme par exemple en [1, p. 77]. Nous appelleronsJ la fonction de Jacobi.Nous utiliserons la fonction auxiliaire

F(x) = F(x | q) :=∑

m,n∈Zx2m+2n+1q4m2+4n2+m+3n. (3)

Par definition de la fonction de Jacobi,F(x) = xJ(x2q | q4) J(x2q3 | q4), donc

F(x)= x∏n≥1

(1+ x2q8n−3)(1+ x−2q8n−5)(1+ x2q8n−1)(1+ x−2q8n−7)(1−q8n)2 (4)

par l’identite du triple produit. En particulier,

F(1) =∏n≥1

(1+ q2n−1)(1− q8n)2. (5)

La derivation logarithmique de (4) enx = 1 implique

F ′(1)F(1)

= S(q) := 1+ 2∑n≥1

q8n−1

1+ q8n−1+ q8n−3

1+ q8n−3− q8n−5

1+ q8n−5− q8n−7

1+ q8n−7

= 1− 2∑n≥0

(−1)n(n−1)

2q2n+1

1+ q2n+1. (6)

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DEMONSTRATIONELEMENTAIRE 497

Par ailleurs, en posantr = m+ n ets= n−m, dans (3), on voit que

F(x) =∑

r≡s(mod 2)

x2r+1q2r 2+2s2+2r+s. (7a)

En rempla¸cantx parx−1 et r par−r − 1 dans (7a), on obtient

F(x−1) =∑

r≡s+1(mod 2)

x2r+1q2r 2+2s2+2r+s (7b)

d’ou, par (7a), (7b) et (4),

F(x)− F(x−1) =∑r,s∈Z

(−1)r+sx2r+1q2r 2+2s2+2r+s = xJ(−x2q2 | q2) J(−q | q2)

= x∏n≥1

(1− x2q4n)(1− x−2q4n−4)(1− q4n−1)(1− q4n−3)(1− q4n)2

= (x − x−1)∏n≥1

(1− x2q4n)(1− x−2q4n)(1− q2n−1)(1− q4n)2. (8)

A l’aide de (5), (6) et (8), on obtient∏n≥1

(1− q4n)4(1− q2n−1) = F(x)− F(x−1)

x − x−1

∣∣∣∣x=1

= F ′(1) = F ′(1)F(1)

F(1)

= S(q)∏n≥1

(1+ q2n−1)(1− q8n)2 (9)

ou S(q) est la serie de Lambert d´efinie en (6). Par cons´equent, on a

S(q) =∏n≥1

(1− q4n)4(1− q2n−1)

(1− q8n)2(1+ q2n−1)=∏n≥1

(1+ q2n)2(1− q2n)2(1− q2n−1)

(1+ q4n)2(1+ q2n−1)

=∏n≥1

(1+ q4n−2)2(1+ qn)2(1− qn)2(1− q2n−1)

1+ q2n−1

=∏n≥1

(1+ q4n−2)2(1+ q2n)(1+ qn)(1− qn)2(1− q2n−1)

=∏n≥1

(1+ q4n−2)2(1+ q2n)(1− q2n)(1− qn)(1− q2n−1)

=∏n≥1

(1+ q4n−2)2(1+ q2n)(1− q2n)2(1− q2n−1)2. (10)

En rempla¸cantq par−q dans (10), on obtient

S(−q) = J(1 | q)J(1 | q2) =∑m∈Z

qm2∑n∈Z

q2n2

ce quiequivauta l’identite de Lorenz. 2

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498 VAROUCHAS

Commentaire sur la methode: nous avons pu trouver une fonction auxiliaireF(x)= F(x |q)verifiant que:

(i) F(x) est developpable en produit infini par une premi`ere identite (4),(ii) F(x)−F(x−1)

x−x−1 est developpable en produit infini par une seconde identit´e (8).

La premiere identite implique que, d’une partF(1) estegalea un produit infini, d’autrepart F ′(x)

F(x) estegalea la somme d’une s´erie en(x,q), donc F ′(1)F(1) estegalea la somme d’une

serie enq, qui est une s´erie de Lambert. De la seconde identit´e, en faisant tendrex vers 1,on deduit queF ′(1) est aussi ´egalea un produit infini. On en d´eduit une identit´e entreune serie de Lambert et un quotient de deux produits infinis, donc un produit infini, qui setransforme en l’identit´e voulue par des op´erationselementaires.

Le calcul de M.D. Hirschhorn peut être vu comme une application de cette m´ethode avec

F(x) := x J(x4q | q2) =∑n∈Z

x4n+1qn(2n+1) =∑

m≡0(mod 2)

x2m+1qm(m+1)

2

verifie aussi (apr`es regroupement de termes) que

F(x)− F(x−1) = x J(−x2q1/2 | q1/2) = (x − x−1)∏n≥1

(1− x2qn)(1− x−2qn)(1− qn).

Le calcul deF ′(1) de deux fa¸cons differentes implique l’identit´e (0).

References

1. J.M. Borwein and P.B. Borwein,Pi and the AGM, Canadian Mathematical Society Series of Monographs andAdvanced Texts, A Wiley Interscience Publication, John Wiley and Sons, 1987.

2. L.E. Dickson,History of the Theory of Numbers III, Chelsea Publishing Co., New York, 1919.3. P.G.L.-Dirichlet,Werke I, pp. 463–466.4. N.J. Fine, “Basic hypergeometric series and applications,” Mathematical Surveys and Monographs 27,

American Mathematical Society, Providence RI, 1988.5. M.D. Hirschhorn, “A simple proof of Jacobi’s two-square theorem,”American Mathematical Monthly92

(1985), 579–580.6. C.G.J. Jacobi,Fundamenta Nova Theoriœ Functionum Ellipticorum, Gesammelte Werke, Vol. 1, Berlin, 1881–

1891.7. L. Lorenz, “Bidrag til tallenes theori,”Tidsskrift for Mathematik1(3), (1871), 97–114.