C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Skrie I, p. 395-400, 1999 iquations aux dkrivees partielleslPartia/ Differential Equations (ProbNmes mathematiques de la mkaniquelMathemat/ Problems in Mechanics)

Dhrivation par rapport au domaine pour un problhme aux limites avec condition de Signorini

Slim CHhBANE a7b, Mohamed JAOUA b

’ ENIT-LAMSIN, B.P. 37, 1002 Tunis-BBlvtd&e, Tunisie ” FSM, route de Kairouan, 5000 Monastir, Tunisie

Courriel : Mohamed.Jaoua@enit.rnu.tn

(Recu le 6 mars 1998, accept& apres &vision le 4 janvier 1999)

R&urn& On s’interesse dans ce travail 9 un probleme inverse non lineaire d’identification d’une front&e inconnue y par des mesures de surface, les conditions aux limites imposees sur cette front&e y &ant de type Signorini. Le problbme est d’abord transform6 en un problbme d’optimisation de forme, par la definition d’une fonction cotit de type Kohn-Vogelius, dont nous montrons que le seul minimum est la front&e recherchee, et que le gradient dans une direction donnee 6’ ne depend que du seul etat u(‘, et non de sa dCrivCe lagrangienne 1~’ (0). 0 Academic des Sciences/Elsevier, Paris

Derivative with respect to the domain for a Signorini

boundary value problem

Abstract. This work deals with a nonlinear inverse problem of reconstructing an unknown boundary y, the boundary conditions prescribed on y being of Signorini type, by using boundary measurements. The problem is turned into an optimal shape design one, by constructing a Kohn-Vogelius-like cost function, the only minimum of which is proved to be the unknown boundary. Furthermore, we prove that the derivative of this cost,function with respect to a direction 0 depends only on the state u’, and not on its Lagrangian derivative u’ (0). 0 Academic des Sciences/Elsevier, Paris

Abridged English Version

We are interested, in this work, in the study of a geometrical inverse problem, which consists in finding the shape of an unknown part y of the boundary i%2 of a two-dimensional body R, by using thermal measurements on some part M of the boundary. The two extremal points of the unknown boundary y are supposed to be fixed, while Signorini type boundary conditions are prescribed on y.

Most the numerical algorithms developed for identification purposes are based on a least squares approach: a cost function, to be minimized, is defined as the quadratic gap between the measured data, and the corresponding response computed by solving--using the prescribed flux $-a Neumann

Note prbent&e par Philippe G. CIARLET.

0764~4-442/99/03280395 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris 395

S. Chaibane, M. Jaoua

boundary value problem on the domain. The unknown part of the boundary is then updated. Kohn & Vogelius [5] improved this approach by proposing a “variational” cost function, representing the energy gap between the “Neumann” solution UN, and the “Dirichlet” one Uo computed using the measured data f. By setting the boundary conditions in a right way, one can get an expression of the cost function as a sum of two uncoupled compliance functions, the derivatives of which-with respect to the domain-turn out not to depend on the domain derivatives of UN and uo. Such a result is of great interest if one has in mind to use a gradient algorithm to minimize this cost function. This idea was first numerically tested in [4]. It generalizes quite well to several other situations, and many authors have made use of it to implement numerical algorithms.

In nonlinear cases however, both features described above are lost. A coupling term remains in the cost function, generating the presence of the derivatives of ‘Llo and UN in its own derivative. The reason is that there are actually two different partitions of the unknown boundary y into a “Dirichlet part” 70, where the Dirichlet condition u = 0 holds, and a “Neumann part TN, where the Neumann

&A condition - = 0 is fulfilled. The first partition is related to UN, and the second one to Ug.

It seems? ‘erefore natural to force the partition in the associated Dirichlet problem, by replacing its h Signorini boundary condition on y by a mixed Neumann-Dirichlet one, using for that the partition derived from the Neumann solution uh~. Such a trick is actually possible because the Neumann- Signorini solution UK is smooth enough (see [3]), so that TN is an open subset of y, and 70 a closed one, and the mixed boundary conditions on TN and yD make sense.

This idea works quite well, although the two parts of the cost function remain weakly coupled by the way of the y-partition. We first prove that this cost function, defined by:

J(Y) = .I’ puo, - vu;/2,

0-l has a unique minimum, which is the unknown boundary. Then the derivative of this cost function J with respect to the domain in any direction 19, depends only on the states uk and ug, not on their Lagrangian derivatives UL (19) and U& (0).

1. Position du problkme

Soit R = &, un Ouvert de ChSSe C2 de R2, de frontiere 80, = 7 U To U TN. y represente la partie inconnue de cette front&e, que nous supposerons en outre Ctre une partie de courbe de Jordan de classe C’*a, avec /? > 0.

Figure 1. - Le domaine et sa frontitre.

Figure 1. - The domain and its boundary.

396

DCrivee g6omGtrique pour un probkme de Signorini

On considere le probleme direct - dit de Signorini - suivant : Au,=0 darts R,, U

a;; O sur l?~,

dn -4 sur J?N,

dU dU u,~O,~~O,ur~=O sury,

dn dn

(1)

oti 4 designe le flux impose sur l?r\i; 4 E H-~(I’N) et $ $ 0 on I’N. L’inconnue du probleme est la front&e y, que l’on s’efforcera de determiner au moyen de mesures

effectuees sur une partie IM de r N, de mesure positive. Designant par rad l’ensemble des frontieres y admissibles, par-tie de courbes de Jordan de classe C1>‘jl, ,0 > 0, ayant leurs deux extremites fixees, le probleme d’identification peut $tre formule comme suit :

{

trouver y E rad tel que : +, solution de (l), vcrifie ,u-, 1~ = f. (2)

11 a CtC montr6 dans [1] que, sous les hypotheses de regular&e Cnoncees ci-dessus, une seule mesure de front&e (u, = f E Ht (A4)) suffit pour determiner la front&e y de man&e unique (resultat d’identifiabilite). Dans le m&me travail, un resultat de stabilitt locale lipschitzienne, signifiant une dependance continue des frontibres identifiees par rapport aux mesures effectuees, a CtC prouve, permettant ainsi d’envisager la mise en ceuvre d’algorithmes numeriques d’identification.

Dans ce travail, nous modifions la fonctionnelle de Kohn-Vogelius associee a ce probleme inverse afin d’obtenir une nouvelle fonction cot2 J, qui determine la front&e inconnue y et telle que son gradient dans une direction donnee 19 ne depend que de l’etat u”, et non de sa derivee lagrangienne u’(e).

2. Construction de la fonction co%

Dans la suite on supposera que la temperature f a et6 mesuree sur tout le support de 4, et on designera par u,v ‘r la solution du probleme direct de “Neumann” (1). Cette solution definit une partition de la front&e inconnue y en deux parties, l’une notte yn ou la condition de Dirichlet homogene $, = 0 est satisfaite, et l’autre, not&e y,v, ou c’est la condition homogene de Neumann 2 = 0 qui est satisfaite. En realite, nous les definissons comme suit :

70 = {x E 7; u;(x) =: o}, (3)

TN = {x E 7; t&(x) > o}. (4)

yo et TN, ainsi definis, constituent Cvidemment une partition de y. En utilisant des resultats de Khodja- Moussaoui [3] sur la regularit de la solutions du probleme de Signorini (u”, E H’(0) n C’>“(a), ou 0 est un ouvert de f12, verifiant a n dR c y), il est facile de voir que 7N est un ouvert et y. un ferme de y.

11 est d&s lors loisible de definir le probleme auxiliaire suivant :

I

A ug = 0 dans R,, IL; = 0 sur rD , lL”D = f sur SUPP(~),

1 a& - = 0 an sur rN \ Supp(4) , (5)

I a& - = an

0 sur TN(&),

u"D = 0 sur ye (7~;).

397

S. Chaiibane, M. Jaoua

Pour la front&e y solution du probleme inverse, ces deux solutions U% et U; cdincident dans R,. Definissons alors tout naturellement la fonction coQt a minimiser, dans l’ensemble Tad des front&es admissibles, comme l’ecart Cnergetique entre ces deux solutions.

J(Y) = I pu.g - vrr2,j*.

Q,

Cette fonction, a un unique minimum y, qui est la solution du probleme inverse (voir [2]). Dans la suite on s’interesse au calcul de sa derivee par rapport au domaine.

3. Dhivation de la fonction coat

3.1. Derivation lagrangienne

Soit 19 un champ de vecteurs de classe C *, defini dans un voisinage de R, nul dans un voisinage de I’D U IT-T,,, non identiquement nul sur y, et port6 par la normale a y. Pour h > 0, le champ Id + h !3 constituera une cinematique virtuelle dans la direction 0. Designons par Qh = (Id + h d)(!Z), par u~~.v (resp. U/&D) la solution du probleme (1) (resp. (5)) pose dans oh, et par oh (resp. z&) son transport6 sur le domaine d’origine R.

&, = nlLN o (Id + ho) (et de m&me pour &).

3.2. ContinuitC de la partition de y par rapport au domaine

Definissons a present -& := {z E y; Us = 0}, et 7; = {z E 7; ‘u.~~(x) > 0). Le present paragraphe regroupe un certain nombre de resultats techniques necessaires au calcul du gradient de la fonction cofit J. Le principal est la continuite de la partition (&, +&) de la front&e y par rapport au petit parametre h, pour peu que le nombre de composantes connexes de $ (et done celui de 7;) soit borne independamment de h. Nous avons d’abord le resultat suivant :

LEMME 1. - Dtsignons par p la mesure de Lebesgue sur y. Alors :

lim P(& \ 7~) = (4 h-0

(7)

D&nonstration. - Le developpement limit6 au premier ordre de U$ nous donne, pour une constante c > 0, la majoration suivante :

et, putsque uN _ h = 0 sur -&,, on obtient :

ce qui, puisque I& > 0 sur (7; \ ro), permet de conclure que limb,a ~(7; \ yD) = 0. 0 11 n’est toutefois pas possible d’etendre ce raisonnement a la dtrivee normale, pour obtenir un

resultat similaire sur (rh \ 7~) et achever ainsi la preuve de la continuite de la partition. La raison en est double :

398

D&i&e gkomktrique pour un probkme de Signorini

- d’une part, TN ne peut &tre caractkise (y compris a un ensemble de mesure nulle pi-es) comme au;

la partie de y sur laquelle dn s’annule. Dans [l], il est prouve que :

+L)= xEy; 1 Z(x) > o} ; - d’autre part, le transport de oh sur y ne conserve pas la normale, de sorte qu’il est plus pertinent

de s’interesser au developpement de la derivee co-normale de uk,. En se referant a [2] on a :

LEMME 2. - La d&iv&e co-normale f& admet duns H-f(y) le de’veloppement suivant :

at& due - = dn + hO(h), dv

(9)

avec O(h) borne’ duns H-i(y).

Ce dernier lemme nous permet de montrer (voir [2]) un resultat de continuite de la partition (7~~ 7;) que l’on Ctablit dans le theoreme suivant.

TH~ORI~ME. - Dtfsignons par d la distance de Haussdorfs sur y. Alors, si 7;. a un nombre de composantes connexes born&, indkpendant de h, on a :

lim d(r.&, TN) = 0. h-0

(10)

3.3. Expression de la dCrivCe de la fonction coiit

En se basant sur les resultats de continuite des surfaces de contact, Ctablis dans le theoreme 1, nous demontrons dans [2] que si yr a un nombre de composantes connexes borne independamment de h, alors :

J pug, vug = 0. R (11)

Ceci nous donne (voir [2]) le theoreme suivant :

THCORBME 2. - Soit Yh = (Id + h 6) (7). AZ ors, si r!$ a un nombre de composantes connexes borne’ indkpendant de h, on a :

lim J(%) - J(‘-f) h-O+ h

= 2 J 1

(( mm&., vu; ) - ( mvu;, vu; ))

- J divB(/Vu&12 - 1Vu&12), 7 (12)

Si de plus u& E H2(supp(B)), alors :

h’!!!f+ J(‘?h) - J(‘?‘)

h = J,, [(z)’ - (~)‘]h, + J,N [(%)’ - ($$)2)]&&. (13)

cl

399

S. ChaBbane, M. Jaoua

4. Conclusions

La fonction co& que nous avons dkfinie, et les deux expressions calculkes de sa dCrivCe directionnelle par rapport au domaine, nous permettent d’envisager I’application d’un algorithme de gradient pour la r&solution numtrique du probkme inverse de Signorini. Chaque ittration de cet algorithme nkessite la rksolution du problkme non lin&ire, dit de Neumann, et celle du problbme mClC linkaire associC (dit de Dirichlet). La linkarisation du second probEme contribue doublement a la diminution des co&s de calcul : d’une part, chaque itkation de l’algorithme requiert la r&olution d’un probEme linkaire et d’un problkme non linkaire (au lieu de deux problkrnes non linkaires), d’autre part, l’expression du gradient ne fait intervenir que les Ctats dkj& calculk

Les premiers risultats numkriques obtenus sont encourageants, comme le montrent les figures ci-dessous :

L’intCret majeur du present travail nous parait cependant rksider dans la manikre de traiter les difficult& 1iCes 2 la partition de la front&e de Signorini, qui parait susceptible d’Ctre &endue au problkme inverse thermoklastique coup16 (mesures thermiques, conditions de Signorini sur les variables mkcaniques), qui modklise une situation physiquement plus rkaliste.

L..ciuvI....l L..ciuvI....l ,,,- ,,,- 0 0 0.1 0.1 0.2 0.2 il.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.h 0.5 0.h 0.7 0.7 0.8 Il.9 I 0.8 0.9 I n 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.Y 0.8 0.Y

Figure 2. Figure 2. - - Reconstruction Reconstruction I de frontitres inconnues. de frontitres inconnues.

Figure 2. Figure 2. - - Reconstruction Reconstruction I of unknown boundaries. of unknown boundaries.

RCfkrences bibliographiques

[I] Ben Abda A., Chtibane S., El Dabaghi F., Jaoua M., On the identification of unknown boundaries submitted to Signorini boundary conditions: identifiability and stability, Math. Meth. Appl. Sci. 21 (1998) 1379-1398.

[2] Chalbane S., Jaoua M., Un algorithme d’identification de frontieres soumises 1 des conditions aux limites de Signorini, Rapport de recherche INRIA 3453 et UTC 98.03.

[3] Khodja K., Moussaoui M., Regularit des solutions d’un probl&me m618 Dirichlet-Signorini dans un domaine polygonal plan, Commun. Partial Differ. Eq. 17 (1992) 805-826.

[4] Kohn R.V., McKenney A., Numerical implementation of a variational method for electrical impedance tomography, Inverse Problems 6 (1990) 389414.

[5] Kohn R.V., Vogelius M., Relaxation of a variational method for impedance computed tomography, Commun. Pure App]. Math. 40 (1987) 745-777.

[6] Simon J., Differentiation with respect to the domain in boundary value problems, Numer. Funct. Anal. Opt. 2 (1980) 649-687. [7] Sokolowski J., ZolBsio J.-P., Introduction to shape optimization; shape sensitivity analysis, Springer-Verlag, 1992.

400