Détermination des parités de pouvoir d’achat ... · Les parités de pouvoir d’achat ... , l’approche GK produit des estimations des volumes ... Détermination des parités

The African Statistical Journal, Volume 4, May 2007 4�

Détermination des parités de pouvoir d’achat élémentaires dans le cadre du PCI-Afrique: La méthode CPD

Folly A. D. Adjogou et Mathieu B. Djayeola�

Résumé :Les parités de pouvoir d’achat (PPA) sont destinées aux comparaisons

transnationales d’agrégats économiques tels que le Produit intérieur brut ou ses emplois. Si l’ interprétation économique des PPA est relativement simple, leur estimation requiert la maîtrise de procédures plutôt complexes, et le recours à la programmation économétrique dans un environnement informatique. Cet article présente de façon détaillée l’une des méthodes de calcul des PPA appelée méthode du Country Product Dummy (CPD). Trente ans après ses premières ébauches, dans un souci de vulgarisation à grande échelle, cet article expose sous forme matricielle les étapes méthodologiques du CPD afin de faciliter son opérationnalisation.

Mots clés : Parité de pouvoir d’achat, CPD, Programme de comparaison internationale

Summary: Purchasing power parities (PPP) are intended for inter-country comparisons of economic aggregates such as Gross domestic product or its components. While the economic interpretation of the PPPs is relatively easy, their estimate requires mastering rather complex procedures, including econometric modelling in a data-processing environment. This article presents in a detailed way one of the PPP computation methods called Country Product Dummy (CPD) method. Thirty years after its first implementation, this paper shows its various meth-odological stages in a matrix form to facilitate its utilization.

Key words: Parité de pouvoir d’achat, CPD, Programme de comparaison internationale

1IngénieursStatisticiensEconomistesassistantsderechercheàlaBAD:([email protected])et([email protected]).

Le Journal statistique africain, numéro 4, mai 20074�

Folly A. D. Adjogou et Mathieu B. Djayeola

1. Introduction

La méthode Country Product Dummy (CPD), développée en 1973par l’Economiste Robert Summers est une procédure de régressionéconométriqueutiliséepourcalculerdesParitésdepouvoird’achat(PPA).Dansleurformelaplussimple,lesParitésdepouvoird’achatsontdesprixrelatifs, ou autrement dit, des rapports de prix en monnaies nationalesd’unmêmebienou servicedansdifférentspays.LesPPA sontutiliséesessentiellement par les organisations internationales, les instances gou-vernementales, lesuniversités, les institutsderechercheetautresacteurssocio-économiquescommeinstrumentpourlarechercheéconomiqueetl’analysepolitiquedanslescomparaisonsinternationales.DanslecadreduProgrammedecomparaisoninternationalepourl’Afrique(PCI-Afrique)quiestmisenœuvreentantquepartieintégrantedupro-grammeglobalduPCI2003,laméthodeCPDestutiliséepourestimerlesPPAauniveaudespositionsélémentaires2.CepapierexploreuneprésentationmatricielleduCPDtelqu’utiliséparlePCI-Afrique.Lesnotionsexposéesontpermisdedévelopperuneapplica-tionVisualBasicquigénèrelesParitésdepouvoird’achat.

2. Quelques méthodes de calcul de PPA

LaméthodeCPDaétéutiliséedanslespremièresphasesduProgrammede comparaison internationale, principalement comme un outil pourl’agrégationdesdonnéesdeprixendessousduniveaudespositionsélé-mentaires.DansdesphasesplusrécentesdestravauxduPCI,laméthodeElteto-Koves-Szulc(EKS),aremplacélaCPDentantqueprocédurederemplissagedesdonnéesdeprixmanquants.Onnotecependantunregaind’intérêtdanslaméthodeCPDdepuislesrécentstravauxdePrasadaRao(1995)3.UncertainnombredepropriétésdelaméthodeduCPDonteneffetétépasséesenrevueparRao(2001,2002)4enl’occurrence,laCPDpondéréeaétéutiliséepourobteniruncertainnombredeméthodesal-ternativespourlescomparaisonsmultilatérales.Diewert(2002)5montre

2Positionélémentaire:Regroupementhomogènedeproduitsouservicesayantsdescaractéristiquescommunes

3Rao,D.S.Prasada(1995),“OntheEquivalenceoftheGeneralizedCountry-Product-Dummy(CPD)MethodandtheRao-SystemforMultilateralComparisons”

4D.S.Prasada(2001),“WeightedEKSandGeneralisedCPDMethodsforAggregationatBasicHeadingLevelandaboveBasicHeadingLevel”

5HedonicRegressions:AReviewofSomeUnresolvedIssues

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commentdenouvellesspécificationsetdenouvellespondérationspeuventêtre utilisées dans le cadre de la CPD pour tirer des formules connuesd’indices de prix. Diewert (2003, 2004)6 a également examiné les pro-priétés variéesde laméthodeduCPDdans le cadrede la comparaisonentrerégions.

Eneffet,lechoixdelaméthoded’agrégationpourconstruirelesPPAestdébattudepuisdeuxdécennies.Lespremièresétudessurlethèmedescom-paraisonsinternationales,tellesquel’étudepionnièredeKravis,HestonetSummers(1982),ontfourniunlargeéventaildeméthodesd’agrégation.Untravailderéférencede l’OCDEetEurostatacomparé lesméthodesde Geary-Khamis (GK) et de Elteto-Koves-Szulc (EKS). L’agrégations’effectueaprèsqu’onacalculé lamoyennedes indicesdesprixpourlesbiensetservicesdebasepourobtenirdesparitésnonpondéréespourdespetitsgroupesdeproduitshomogènes.Ilfautensuitepondéreretagrégerlesparitésnonpondéréess’appliquantauxgroupesdeproduitspourobte-nirdesPPAetdesvaleurs réellespourchaquecatégoriededépensesenremontant jusqu’au niveau du PIB total. Les deux méthodes diffèrentsensiblement. La méthode EKS considère que les pays sont un ensem-bled’entitésindépendantes:chaquepaysreçoitunpoidsidentique.DanslaméthodeEKS,onobtientlesprixenminimisantlesdifférencesentred’unepart,lesPPAbinairesauniveaumultilatéral,etd’autrepartlesPPAbinairesbilatérales.LesPPAdelaméthodeEKSnesontguèredifférentesdesPPAquiauraientpuêtreobtenuessichaquecoupledepaysavaitétécomparé individuellement.LaméthodeGKconsidèreque lespays fontpartied’ungroupe.ChaquepaysreçoitunepondérationreprésentantsapartdanslePIBtotaletlesprixquisontcalculéssontreprésentatifsplusgénéralementdugroupe.Lesdeuxméthodesprésententdesavantagesetdesinconvénients:• Pour des pays possédant des structures des prix très différentes de

moyenne, l’approcheGKproduitdesestimationsdesvolumes (etduPIBparhabitant)plusélevéesquecellesquiauraientétécalculéessionavaiteurecoursàdesprixplusspécifiquesaupays.Cettesurestimationestparticulièrementimportantelorsqu’oncomparedespaysprésentantde fortes différences de niveau de revenu. Toutefois, les résultats del’approcheGKsatisfontaucritèred’additivité,cequiimpliquequelavaleurréelledesagrégatsestégaleàlasommedelavaleurréelledeses

6Diewert,E.W.(2004)“OntheStochasticApproachtoLinkingRegionsintheICP”

Le Journal statistique africain, numéro 4, mai 20074�


composantes.C’estunatoutdanslaperspectivedescomptesnationaux,carcelapermetdecomparerlesstructuresdeprixetdevolumed’unpaysàl’autre.

• La méthode EKS produit des résultats qui reflètent davantage lescaractéristiquesdesprixdechaquepays.Onobtientainsidesestimationsdu PIB par habitant relativement semblables à celles résultant del’utilisationdeprixspécifiques.Cependant,sesrésultatsnesatisfontpasaucritèred’additivité.

LaméthodeCPDconstitueunealternativeintéressanteauxindicesdeprixstandardutilisésdanslescomparaisonsinternationales.Dufaitqu’ellere-posesurdestechniqueséconométriques,elleconfèreauxutilisateursunecommoditéquileurpermetd’exploiterplusefficacementlesdonnéesdeprixnotammentdansletraitementdesdonnéesmanquantes.Au-delàdecettesuccincteprésentationdelaméthodeCPD,cetravailrevêtuncara-ctèrepurementpédagogique.

L’accentquiestmisicisurlaprésentationmatricielleapourbutd’éluciderlesgrandesétapesdelatechniqueafind’enpermettreunemiseenœuvrerapideetefficace.Eneffet,l’intérêtmajeurdutravailconsisteàmettreàladispositiondesstatisticiensdesprixetorganismesinternationauxainsiqu’auxécolesdeformationdestatisticiensenAfrique,unoutildidactiquesimpleetconcispouvantconduireàdesprogrammationsinformatiquesdelaméthodeCPDselonlelangagedepréférence.

3. La matrice générale des prix

3.1 La matrice initiale des prix

Lamatricegénéraledesprixest constituéedesdonnéesdeprixmoyensannuelsdisponiblespourl’ensembledespaysetpourtouslesproduits.Ils’agitd’unematricequidisposeencolonneslespaysparticipantauPro-grammeetenlignes,touslesproduitsidentifiésparpositionsélémentaires.SoitFlenombretotaldeproduitsetGlenombredepaysparticipantauProgramme.Aprèsl’identificationdupaysdebase,lamatricedesdonnéesPseprésentedelafaçonsuivante:

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1 2

1

2

G

F

P =

...

...

3.2 La matrice des prix renseignés

L’étapesuivanteconsisteàéliminer lesproduitspourlesquelsaucundespaysn’afournideprix.SoitNlenouveaunombredeproduitsrenseignés,doncdelignespourlamatriceP.LanouvellereprésentationmatricielleestindiquéeparlamatriceQsuivante:

1 2

1

2

G

Q

N

=

...

...

4. La matrice des prix par position élémentaire

4.1 La matrice de base des prix par position élémentaire

LamatricegénéraledesprixQprésentelesrelevésdeprixdesNproduitsdanstouslesGpays.Cesproduitssontregroupésendifférentespositionsélémentaires.Soitxunepositionélémentaire.L’ondésigneparn

xlenom-

bredeproduitsappartenantàx.LamatriceP(x)ci-dessousprésentelesdonnéesdeprixrelativesàx.ElleestdéterminantepourlecalculdesPPA

Le Journal statistique africain, numéro 4, mai 2007�0


pourlapositionélémentairex.End’autretermes,chaquepositionélémen-tairexasamatricedeprixP(x).

1 2

1

( ) 2

x

G

P x

n

=

...

...

4.2 La matrice finale des prix renseignés par position élémentaireIlpeutarriverqu’unpays,parmilesGpaysdedépart,nedisposederelevésdeprixpouraucundesproduitsdelapositionélémentairex.Danscecas,cepaysestretirédelasuitedesopérationsmatriciellesafférentesàlaposi-tionélémentairex7.Soitpxlenombredepaysdisposantdedonnéespourlesproduitsrelatifsàx.LamatriceP(x)esttransforméeenunenouvellematriceP*(x)quiseprésentesouslaformesuivante:

1 21

* ( ) 2

x

x

p

P x

n

=

...

...

C’est cette matrice P*(x) qui fera l’objet des prochaines opérationsrelatives à la position élémentaire x. On peut l’appeler “matricerécapitulativedex’’.

7Eneffect,cepaysestmomentanémentexcluetsaPPAparrapportaupaysdebaseseraconsidéréecomme“indisponible”.MaisgrâceàlapropriétédelaméthodeCPDquiestbaséesurunmodèleetprésentéeenSectionVI,cepaysseraréintégréplustardetsaPPApourraêtreestimée

The African Statistical Journal, Volume 4, May 2007 ��


5. Les variables indicatrices ‘Country’ et ‘Product’

Les étapes suivantes conduisent à l’élaborationdes variables indicatricesrelativesauxpaysetauxproduitsdelapositionélémentairex.Cesvariablesindicatricessontdoublementimportantesdanslaprocédurederégression.EllestraduisentlefaitquelaméthodeCPDreposeessentiellementsurleprincipedualPays etProduit et elles serventd’input à la techniqueduSWEEPOPERATOR8.Afindemieuxexploiterlaméthodeparl’analysematricielle,troistypesdevecteurssontnécessaires:Levecteurdesprix,levecteurdespays,levecteurdesproduits.

5.1 Le vecteur des Prix

ConsidéronslamatriceP*(x)indiquéeci-dessus.OnredresselesrelevésdeprixenunematriceunicolonneappeléePrix_x.

SupposonsquelamatriceP*(x)s’écrivesouslaformeP*(x)=(ai,j)aveciallantde1ànx (produit)etjallantde1àpx (pays).(pays).Leredresse-ment en colonne concerne uniquement les termes ai,j pour lesquelsl’emplacementestnonvide.Considéronsl’exemplesuivant:

*

1 2 3

1 (1,1) (1, 2) (1, 3)

2 (2,1) (2, 2) (2, 3)( )

3 (3,1) (3, 2) (3, 3)

4 (4,1) (4, 2) (4, 3)

P x =

Lesélémentsdelamatricequisontsoulignésseréférentàdescellulesvides.Parexemplelepays3nedisposepasderelevédeprixpourlesproduits2et4.Onobtientlevecteurdesprixsuivant:

Pr _1 (1,1)2 (2,1)3 (3,1)

_ 4 (1, 2)5 (2, 2)6 (4, 2)7 (1, 3)8 (3, 3)

ix x

Vecteur prix =

8Voirpage14



Ilfautsignalerqueleredressementencolonneaétéeffectuécolonneparcolonneenparcourantàlasuite,touteslescolonnesdelamatriceP *(x).Sileredressementesteffectuéligneparligne,lastructureduvecteurdesprixserachangéeetl’onobtiendraitlevecteursuivant:

Pr _1 (1,1)2 (1, 2)3 (1, 3)

_ 4 (2,1)5 (2, 2)6 (3,1)7 (3, 3)8 (4, 2)

ix x

Vecteur prix =

Cechangementdanslastructureduvecteurdesprixmodifielesstructuresdu vecteur des pays, du vecteur des produits et de la matrice des indi-catricesqui sontobtenusàpartirde ladispositiondesélémentsdans levecteurdesprix.Maiscecin’aaucunimpactsurlesrésultatsdelarégres-sionetdoncsurl’estimationdesParitésdepouvoird’achat.Eneffet,cechangementdedispositiondesélémentsduvecteurdesprixaurasimple-mentpourconséquencedemodifierlespositionsdesrelevésdeprix.Parexemple,leprixduproduit3danslepays1estconsidérécommele6èmerelevédeprixdanslepremiercasetle3èmedanslesecondcas.Maiscecin’occulteenrienl’informationfondamentalequiest:ceprixestceluidubien3danslepays1etsoncoûtestconnu.

Defaçongénérale,soitfxlenombrederelevésdeprixpourlaposition

élémentaire x, c’est-à-dire le nombre de cellules contenant des prix. Levecteurcolonnedesprixseprésentedelafaçonsuivante:

Pr _

1

_ 2

x

ix x

Vecteur prix

f

=

...



5.2 Le vecteur des pays

Pourchacundesprixdanslacolonnedesprix,onrecherchelepayscor-respondant.OnobtientlamatriceunicolonnePays_x.Defaçongénérale,elleseprésentecommesuit:

P _

1

_ 2

x

ays x

Vecteur pays

f

=

...

L’applicationestfaitesurl’exempleprécédent.Onobtientcommevecteurdespays,levecteursuivant:

P _1 12 13 1

_ 4 25 26 27 38 3

ays x

Vecteur pays =

5.3 Le vecteur des produits

Pourchacundesprixdanslacolonnedesprix,onidentifieleproduitcor-respondant.OnobtientlamatriceunicolonneProduit_x.Laformegéné-raledecettematriceunicolonneestlasuivante:



Pr _1

_ 2

x

oduit x

Vecteur produit

f

=

...Lorsqu’onappliquecettetechniqueàl’exempleprécédent,onobtientlareprésentationsuivante:

Pr _1 12 23 3

_ 4 15 26 47 18 3

oduit x

Vecteur produit =

Lasuitedel’opérationconsisteàconstruireunematricedesvariablesindi-catricesquiopérationnaliseleprocessus.

5.4 La matrice des Indicatrices

Apartirdesmatricesunicolonnes(vecteurs)Pays_xetProduit_xconstru-ites,oncréelesvariablesindicatricesCountry_ietProduct_javeciallantde1àn

xetjallantde1àp

x.



Country_iprendlavaleur1siunprixdonnéaétérelevédanslepaysietprend lavaleur0 sinon.Product_j est égal à1 si leprixenquestioncorrespondauproduitjetestégalà0danslecascontraire(s’ils’agitdetoutautreproduit).Considéronsl’exemplecitéplushaut.Onobtientles“Dummy”variablessuivantes:“c”correspondauxpayset“p”correspondauxproduits.“c1”indiquelepays1et“p1”indiqueleproduit1.

1 2 3 1 2 3 41 1 0 0 1 0 0 02 1 0 0 0 1 0 03 1 0 0 0 0 1 0

_ & 4 0 1 0 1 0 0 05 0 1 0 0 1 0 06 0 1 0 0 0 0 17 0 0 1 1 0 0 08 0 0 1 0 0 1 0

c c c p p p p

Dummies C P =

5.5. La matrice de régression

Aprèsl’étapedecréationdesmatricesunicolonnesetdesvariablesindica-trices,oncréelevecteurcolonnedeslogarithmesnépériensdesprix.Pourl’exempletraitéprécédemment,cevecteurs’écritdelafaçonsuivante:

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]

1 (1,1)2 (2,1)3 (3,1)4 (1, 2)_ (Pr )5 (2, 2)6 (4, 2)7 (1, 3)8 (3, 3)

LnP

Ln

Ln

Ln

LnVecteur Ln ix

Ln

Ln

Ln

Ln

=

NB: Il est bien entendu que les éléments du vecteur des prix sont desréelspositifsnonnuls.Ilestaberrantetabsurdedetrouverunprixnulounégatif.

Le Journal statistique africain, numéro 4, mai 2007��


Cettevariableconstituelavariabled’intérêtpourlemodèled’estimation.Lorsqu’oncombinelesvariablesindicatricesdespaysetproduitsetlacol-onnereprésentantleslogarithmesnépériensdesprix,onobtientlamatriceMsuivante: ...

1 2 1 2 ln

1

2

xx np

x

c c c p p p P

M

f

=

... ... ... ...

......

TouteslescolonnesdelamatriceMneparticiperontpasàlarégressioncar la technique du SWEEP OPERATOR nécessite un format d’inputspécifique.LamatriceMseraprivéedesapremièrecolonne(C

1)quicor-

respondaupaysdebase.Eneffet,cettecolonneseraexcluedesvariablesexplicativesdumodèleafind’éviterunemulticolinéarité.Lacolonnedelavariabled’intérêtestmiseaprèstouteslesautresvariablesafinderespecterlalogiqueduSWEEPOPERATOR.SoitlamatriceX*suivante:

*2 3 1 2 ln

xx npX c c c p p p P= ... ...Posons

2 3 1 2 xx npX c c c p p= ... ...

[ ]lny P=

Onadonc

[ ]* ,X X y=

The African Statistical Journal, Volume 4, May 2007 �7


6. La régression

Laméthoded’estimationutiliséeestleSWEEPOPERATOR.LeSWEEPOPERATOR est un algorithme développé par Beaton en 1964. Il estconçupourdescalculsderégressionéconométrique.Soitunerégressiond’unevariabled’intérêtzsurunematriceAdesvariablesexplicatives.LeSWEEPOPERATORconsisteendestransformationssurdesélémentsdelamatriceS=( A* ´A*)oùA*=[A , z]

Dans lecasduCPD,onprocèdeaucalculde lamatriceS=( X*´X*). IlfautrappelerqueX*=[X , y]oùyestlavariabled’intérêtln_PrixetXreprésentelesvariablesexplicativesdéfiniesparlesvariablesindicatrices“Country”et“Product”.Ilnes’agitpasd’unerégressiondelavariableysurXétantdonnéqu’ilexisteunecolinéaritéentrelesPj.Maisl’onsousentendunmodèlesanstermeconstant.C’estlamatriceSquiconstituelamatriceInputauSWEEPOPERATOR.LamatriceSs’écrit:

' '' '

X X X yS

y X y y=

Après les transformationsmatriciellesduSWEEPOPERATOR,onob-tient lamatriceDdontonrécupère lescoefficientsde la régression.Eneffet,lemodèlederégressionpeuts’écriresouslaforme:

2 1

lnx xp n

i i j ji j

P ac b= =

= +∑ ∑ p

Lescoefficientsaietbjconstituentlesparamètresàestimer.aimesurelelogarithmeespéréduratiodeprixPji/Pj1

.Exp(ai)estdonclaParitédepouvoird’achatestiméedupaysiparrapportaupaysdebase9.Ainsi,lescoefficientsdel’estimationconstituentleslogarithmesnépériensdesPar-itésdepouvoird’achat.Levecteur

1

10ˆ( ' )

ˆX X

DRSSβ

β

−−=

delamatriceDestcomposédesnx+px–1paramètresestimésetses(px –1)termesconstituentlescoef-ficientsderégressionrelatifsauxvariablesindicatrices‘Country’.

1

10ˆ( ' )

ˆX X

DRSSβ

β

−−=

9VoirAnnexe10RSSconstitueleResidualSumofSquareset

1

10ˆ( ' )

ˆX X

DRSSβ

β

−−=

estlamatricedescoefficientsdel’estimation

Le Journal statistique africain, numéro 4, mai 2007��


Cette expression de la matrice D montre que le SWEEP OPERATORprocède, en réalité, à une estimation des paramètres du modèle par laméthode des moindres carrés ordinaires (MCO). L’on suppose que leshypothèsesd’applicationd’uneméthodeMCOsontremplieset surtoutque l’hypothèsedestationnaritépour lavariabledépendantedumodèleestvalide.

La Parité de pouvoir d’achat pour un pays C est obtenue en calculantl’exponentielle du coefficient de régression correspondant à la variableindicatriceexplicativerelativeaupaysC.

6.1 Interprétation économique

La méthode CPD représente une simple approche par la régressionéconométriquepour expliquer lesniveauxdeprixdesbiens et servicesdans différents pays. De façon fondamentale, la méthode postule quele prix observé Pij d’un bien i dans un pays j est le produit de troiscomposantes:• laParitédepouvoird’achatPPAjouleniveaugénéraldesprix(exprimés

enmonnaiesnationales)dupaysjparrapportauxautrespays,• leniveaudeprixP

idubieniparrapportauxautresbienset

• untermed’erreurVij.

Laformuledebasepeutêtreécritesouslaforme:

Pij = P P A j * Pi * Vij

Sousformelogarithmique,laréécrituredonne:

( ) ( ) ( ) ( )ij j i ij

j i ij

Ln P Ln PPA Ln P Ln Vα β μ

= + += + +

oùaj = LnPPAj , Bi = LnPi et µij = LnVij.C’estpourestimerlesparamètresaietBjqu’intervientl’introductiondesvariablesindicatrices‘Country’et‘Product’danslemodèle.

Lesparitésdepouvoird’achat(PPA)sontdestauxpermettantdeconvertirlesprixdansunemonnaiecommunetoutenéliminantlesdifférencesdepouvoird’achatentremonnaies.End’autrestermes,leurutilisationper-metd’éliminerl’effetdesdifférencesdeniveaudesprixentrepayslorsdelaconversion.



6.2 Estimation de données manquantes

LaméthodeCPDaétéconçueàlabasepourtraiterdesdonnéesdeprixmanquantesdanslecadredelacomparaisoninternationale.Letraitementestbasésurlescaractéristiquesdupaysparrapportauxautrespaysoùleprixduproduitestdisponible.Eneffet,enthéorieilexistedeuxniveauxd’estimationdedonnéesmanquantes:1. Estimationdesprixmoyensmanquantsdesproduitsàl’intérieurd’une

positionélémentaire.Elleestfondéesurlemodèleetpossèdel’avantagedefournirdesprixmoyensestimésenphaseaveclaparitéélémentairedéjàobtenue.

2. Estimation des parités élémentaires manquantes dues à l’absence dedonnéespourcertainspaysdanslespositionsélémentaires.

Ladeuxième estimation “relance”dans la comparaisonglobale, lespays“exclus”danslasectionII.2).Surunebasepurementéconométrique,leCPDestutilisépourestimerdesParitésdepouvoird’achatdansunpaysauniveaudepositionsélémentairespourlesquellesl’informationdisponiblen’estpasassezsuffisantepourcalculerdirectementlesPPA.Ainsi,lesPPAdisponibles(parpositionélémentaireetparpays)déterminentlavariabled’intérêtdumodèle.LeprincipefondamentalduCPDquiestladualitéPays-ProduitdevientunedualitéPays-Positionélémentaire.

Laparitédepouvoird’achatmanquanted’unpaysipourunepositionélé-mentairekestobtenuecommeproduitdesexponentiellesdescoefficientsestiméscorrespondantsauxvariablesindicatricesrelativesaupaysietàlapositionk.Lemodèles’écritsouslaforme:

2 1ln

P M

ik i i k ki k

ppa ac b pe= =

= +∑ ∑PdésignelenombredepaysetM,lenombredepositionsélémentaires.cicorrespondaupaysietpekcorrespondàlapositionélémentairek.Pourunpaysietrelativementàlapositionélémentairek,ona:ci=1;pek=1etdonc:Inppaik=ai+bkd’oùppaik=exp(ai+bk)=exp(ai)*exp(bk).

7. Application avec Visual Basic

Dans le cadre du PCI-Afrique, le calcul des Parités de pouvoir d’achatau niveau des positions élémentaires a nécessité la mise au point d’une



applicationutilisantlaméthodeCountryProductDummy.Ils’agitd’unprogramme écrit sous le langage Visual Basic d’Excel et qui parcourtles grandes étapesde laméthodeCPD jusqu’à lagénérationdesParitésde pouvoir d’achat des pays participants au PCI-Afrique. L’interface del’applicationseprésentecommesuit:

Figure 1:Maquettedel’applicationdansVisualBasic

Onconsidèrelamatriceinitialedesprix(P)surlafeuillededémarrage.duclasseurExcelcontenantl’application.Audépart,lacolonneBestlaisséevidesurlafeuille.Leprogrammeestexécutéàpartirdelafeuilledelance-ment.

• L’étape 1 consiste à définir le pays de base pour le calcul des PPA.Lorsqu’unpaysestchoisi,‘sesdonnées’sontautomatiquementreportéesdanslacolonneB.End’autrestermes,lacolonneBcontientdésormaislesdonnées relativesaupaysde référence.Onpasseensuiteà l’étaped’initialisation.

• Auniveau du bouton 2,leprogrammelitlesdonnéessurlesprix,parproduitetparpaysetsupprimeleslignesentièrementvidesparproduit.On obtient donc la matrice des prix renseignés Q sur une nouvellefeuille:‘delta’.Onpasseàl’étapeCPDMETHOD

• Le bouton 7 constitue le cœur du programme. A cette étape, leprogrammeinvitel’opérateuràindiquerlespositionsélémentaires(1à155)dontilsouhaitecalculerlesPPA.Pourchaquepositionélémentairex, le programme retient à partir de la feuille ‘delta’ uniquement les



produits relatifs à cette positionélémentaire. Il recopieensuitecettematriceP(x) surune feuille ‘Posi_x’. Sur cette feuille, leprogrammegénère la matrice P*(x), les vecteurs des prix, pays et produits. Unenouvellefeuille‘Pour_x’estcrééesurlaquelleleprogrammecalculelamatricedesindicatrices,lamatricederégressionetlesvaleursestiméesdesParitésdepouvoird’achat.Onpasseensuiteàl’étapeRESULTS.

• L’étape 4correspondà laprésentationdesrésultats.Eneffet lesPPAsont affichées sur la feuille ‘RESULTS’ du classeur pour toutes lespositionsélémentairesspécifiéesetpourl’ensembledespays.LeboutonEXITpermetdemettrefinauprogramme.

Al’aidedecetteapplication,lesPPApeuventainsiêtredisponiblespourtoutesles155positionsélémentaires.

8. Conclusion

Parmi lesméthodesusuellesd’estimationdesPPA, laméthodeCPDestappréciéepourlefaitqu’ellereposesurdesoutilséconométriques.Ilestd’ailleursrecommandéparleGroupeconsultatiftechniqueduPCIpourlecalculdesPPAauniveaudespositionsélémentaires.

LemodèleélémentaireduCPDpeutêtreétendupourinclured’autresfac-teurscommedescaractéristiquesqualitativesduproduit:parexempleest-ceunproduitreprésentatifounonreprésentatifdanslepaysdelacollecte?Enajoutantlavariabledereprésentativité,lemodèleobtenuestdénomméméthodeCountryProductRepresentativityDummy(CPRD)etpermetégalementdecalculerlesPPAdansunerégiondonnée.

LECPRDfourniraitdemeilleursrésultatsparrapportàlaméthodeCPDlorsque l’information sur la représentativité des produits est disponible,fiableetcomplète.Etmêmedanscecas,ilvautmieuxs’entenirauCPDlorsque,globalementlesproduitssontéqui-caractéristiques.

Références bibliographiques

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5. Noumon, C. N. Maxime (2006). Elaboration d’une méthoded’estimation des prix des enquêtes du Programme de comparaisoninternationalenonrelevésaucoursdupremiersemestre2005.RapportdestageBAD/ENSEA.

6. Rao, D.S. Prasada (2004). The Country-Product-Dummy Method:A Stochastic Approach to the Computation of Purchasing Powerparities in the ICP. Paper presented at the SSHRC Conference onIndexNumbersandProductivityMeasurement,June30-July3,2004,Vancouver,Canada.

7. Schreyer,Paul&Pilat,Dirk.(2001).Mesurer laproductivité.Revueéconomiquedel’OCDEn°33,2001/II.

8. TheICPNewsletter.(Juin2006).Volume3,Numero2.

9. WorldBank(2005),ICPHandbook.Chapter10:TheestimationofPPPsforbasicheadings,Rev1.

Annexe: Quelques notions générales sur la méthode CPD)

LeCPD(CountryDummyProduct)estuneméthoded’estimationpourlecalculdesindicesspatiauxdeprix,etdesParitésdepouvoird’achat(PPA),danslecadreduProgrammedecomparaisoninternationale(PCI).

Lemodèledecetteméthodepeutêtreperçucommelamodélisationd’uncertainnombred’influences:l’influencedespaysquifournissentunees-timationdesPPA,et l’effetdechacundesproduitsqui fournissentuneestimationdesprixinternationauxpourleproduitconcerné.

Soitpncleprixd’unproduitndansunpaysc (n = 1, 2, ...N ; c = 1, 2, ..., C).Lemodèlestatistiquedebaseàl’originedelaCPDpeutêtredécritparl’équation:



pnc=acbn µnc(n=1, 2 ..., N ; c=1, 2, ..., C) [1]

bnestl’effetduproduitn;a

cestl’effetdupaysc,etµ

ncestuneffetrésiduel.

Lemodèlepostulequecesperturbationssontlognormalementdistribuéesavec1n(µ

nc) B(0,σ2).Soussaformelogarithmique, lemodèleest

linéaireets’écrit:

(ln ) ln ln =

nc c n

c n

E p a bα γ

= ++ [2]

Leparamètreacs’interprètecommeleniveaugénéraldesprixdanslepayscrelativementauxprixdanslesautrespaysconcernésparlacomparaison;ilestgénéralementexpriméparrapportàunpaysdebase;acreprésentedanscecas,laPPAdupaysc,exprimantlenombred’unitésmonétairesdupaysc,ayantlemêmepouvoird’achatqu’uneunitémonétairedupaysdebase.DanscecaslaPPAdupayscestdonnéepar:PPAc=exp(ac)

LemodèledebaseduCPDpeutêtreexprimécommeuneéquationderégressionpourchaqueprixobservécorrespondantàunproduitndanslepaysc.Ilestexpriméparl’équation[2]etpeutêtreréécritdelamanièresuivante:

*

1 1ln ln ln

C N

ij ij j j i i ijj i

y p a D b D ε= =

= = + +∑ ∑

*

1 1

C N

j j i i ijj i

D Dα γ ε= =

+ += ∑ ∑ [3]

pijest leprixdu i emeproduitdans le j emepays;*

1 1ln ln ln

C N

ij ij j j i i ijj i

y p a D b D ε= =

= = + +∑ ∑

*

1 1

C N

j j i i ijj i

D Dα γ ε= =

+ += ∑ ∑

estuntermed’erreuraléatoire;(Dj)j =1,....,cet(Di)i =1,....,Nsontdeuxensemblesdevariablesindica-trices.Chaquepaysconcernéparlacomparaison,hormislepaysdebase,est représentéparunevariable indicatriceD,etchaqueproduitrelatifàunepositionélémentaireestreprésentéparunevariableindicatriceD*.L’équation[2]peutsemettresouslaforme:

[4]avec et ;les valeursdes indicatrices étantdéterminéespar les observations ij.Enempilantlesncobservations(pour i = 1, ..., N et j = 1, ..., C),onobtientl’écriturematricielledumodèle:



[5]

Cetteéquationestunmodèlede régressiongénérale avecNCobserva-tionset(N + C − 1)variablesexplicatives.DepluslamatriceXestderangN + C − 1.Sousl’hypothèsequelesperturbationssontidentiquementetindépendammentdistribuées,lemeilleurestimateursansbiaisdeß,etlamatricedecovarianceassociéesontdonnéspar:

Etantdonnécesexpressions,onmontreque:

1

21

1 1 1

21ˆˆ ln ln ou exp( ) et ( )

NNNij

j ij i j j ji i i

pp p a Var

pNαα

= =

= − = = =∑ ∏ ˆN

α σ

Ainsi, en plus de l’estimation des paramètres inconnus, l’approche parla régression fournit également une estimation des écarts types pourtous les coefficients. En utilisant les résidus d’estimation pour chaque

; j = 1, ..., C et i = 1, ..., N) et l’hypothèse selonlaquelleles*

1 1ln ln ln

C N

ij ij j j i i ijj i

y p a D b D ε= =

= = + +∑ ∑

*

1 1

C N

j j i i ijj i

D Dα γ ε= =

+ += ∑ ∑

sontindépendantsetidentiquementdistribuésdemoyennenulleetdevarianceσ2,unestimateurdeσ2estdonnépar:

1 12ˆ( 1)( 1

C N

ijj i

N C

εσ = ==

− −

∑∑)

L’estimateur estunestimateursansbiaisdecetsavarianceestdonnée

par:2 2ˆ ˆ( )jEstVarN

α σ=

Déduction des estimations des PPA:EtantdonnéquelaPPAdupaysc, estune fonctionnon linéairede

cdonnéepar c il est

d’usage, en pratique, de déduire un estimateur de PPAc en utilisant la

formule:

[6]

Puisd’estimersavariancepar:

= [7]



Ilfautnotercependantquel’estimateurdansl’équation[6]n’estpasunestimateursansbiais(ESB),etlavarianceestiméedansl’équation[7]n’estqu’uneapproximation.

UnedeslimitesdelaméthodeCPDestqu’ellen’estplusvalideenprésenced’autocorrélationspatialedanslesrésidus,maisceproblèmeserésoutfac-ilementparl’utilisationd’unematriced’autocorrélation.

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