Mathématiques TES

Exercice 1 10 points

Soit la fonction f définie sur [0 ; 10] par :

€

f (x) = x 3 −10x 2 + 25x .

1. Calculer

€

f '(x) et étudier son signe.

2. Donner le tableau de variation de f.

3. Avec le solveur de la calculatrice, déterminer la solution a de l’équation

€

f (x) =100 à

0,001 près.

4. En déduire le signe de

€

f (x) sur [0 ; 10].

5. f (x) représente le coût total de fabrication de x tonnes d’un produit pharmaceutique en

milliers d’euros. D’après ce qui précède, que peut-on dire du coût marginal de ce produit

lorsque x est compris entre 5 et 10 tonnes ? (le coût marginal est assimilé à la dérivée du coût

total).

Exercice 2 10 points

Soit la fonction B définie sur [0 ; 6] par :

€

B(x) = −x 2 + 6x − 3 .

1. Calculer

€

B'(x) et étudier son signe.

2. Donner le tableau de variation de B.

3. Montrer que l’équation B(x) = 0 admet deux solutions sur [0 ; 6].

4. Déterminer un encadrement de ces deux solutions à 0,01 près (justifier).

5. B(x) désigne le bénéfice en milliers d’euros réalisé par une entreprise pour une production

de x centaines d’objets. En utilisant les questions précédentes, déterminer :

a. Le bénéfice maximal réalisé et la quantité d’objets produite dans ce cas.

b. La plage de production pour laquelle l’entreprise réalise un bénéfice.