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1 Diagnostic Pépite et Conceptions

Diagnostic Pépite et Conceptions

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Diagnostic Pépite et Conceptions. Plan. Profils cognitifs en algèbre Relecture possible en terme de conception Objets de l’algèbre Étude de cas Analyse a priori d’une tâche Tentative d’interprétation des procédures en terme de conception Reformulation en termes de conceptions (essais) - PowerPoint PPT Presentation

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Diagnostic Pépite et Conceptions

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Plan

• Profils cognitifs en algèbre• Relecture possible en terme de conception– Objets de l’algèbre

• Étude de cas– Analyse a priori d’une tâche• Tentative d’interprétation des procédures en terme de

conception

– Reformulation en termes de conceptions (essais)

• Vers une esquisse de conceptions en algèbre

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Le domaine de l’algèbre élémentaireDimension objet

• Objets Expressions, formules, équations, fonctions Statuts des lettres : variable, indéterminée, inconnue

• Systèmes de représentation représentation symbolique algébrique articulation avec d’autres systèmes de représentation

Dimension outil, selon les champs de problèmes• Outil de résolution

via leur mise en équation problèmes (arithmétiques ou non) modélisés sous forme d’équations

via modélisation de problèmes intra ou extra mathématiques modélisés sous forme de relations fonctionnelles entre données et variables de généralisation et de preuve (cadres numérique et géométrique) de calcul (cadres algébrique et fonctionnel)

Modèle de la compétence algébrique à ce niveau scolaire

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Diagnostic

• Déterminer les compétences et les connaissances des élèves en algèbre : • étude des procédures utilisées pour résoudre des

problèmes du domaine algébrique• Diagnostic

– 20 taches diagnostiques et une grille d'analyse multidimensionnelle (dimensions et critères)

– Niveau microscopique : codage des réponses– Niveau macroscopique : Profils cognitifs en algèbre– Caractéristiques personnelles : %, leviers et fragilités– Echelle de compétence

– Stéréotype : 3 dimensions (usage de l'outil algébrique, traduction, calcul algébrique)

os

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UA : Usage de l’outil algébrique • UA4 : Outil algébrique non disponible et conception arithmétique :

– du connu vers l’inconnu– « = » annonce de résultat– lettre étiquette– preuve par l’exemple

• UA3 : Pseudo-algébrique :

– usage de « lettre-objet »

– « pseudo » règles de formation, de traduction

– « = » non équivalence (abréviation)

• UA2 : Algébrique dans un domaine d’application privilégiant un des statuts de la lettre

– erreurs de traduction si reformulation nécessaire • UA1 : Algébrique

– disponibilité de l’outil algébrique et mobilisation adaptée.– adaptabilité du statut des lettres en lien avec les classes de problèmes

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Échelles sur la composanteUsage de l’algèbre (UA)

• Plusieurs conceptions peuvent cohabitées.– UA 4 : démarche arithmétique privilégiée sur les différents types

de problèmes (modélisation, preuve)

– UA 3 : pseudo algébrique dans un domaine majoritaire

– UA 2 : algébrique sur un domaine d’application majoritaire limité à un ou 2 types de problèmes (statut des lettres) et peu complexes (affines, congruents)

– UA 1 : algébrique sur un vaste domaine d’application, problèmes de tous types, congruents ou non

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Composante : calcul algébrique (CA)• CA3 : Cohabitation de plusieurs conceptions dans un ensemble de pbs

(preuve, …) dont pseudo-structurale mettant en jeu des règles de formation et de transformation incorrectes du type concaténation (= « abréviation », lettres-objets non liés à nombre)

• CA2 : Traitement essentiellement syntaxique avec des erreurs récurrentes de transformation privilégiant une conception procédurale des expressions (lettre évaluée, cohabitation = « annonce résultat », équivalence, équivalence expressions non mobilisée, ….)

• CA1: Traitement algébrique prenant en compte les aspects syntaxique et sémantique des expressions s’appuyant sur une adaptabilité dans l’interprétation des expressions selon les usages visés (conception structurale).

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Composante : traduction algébrique

• blabla

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Odile, Jules, Bertille

• Odile :– UA3, TA3, CA2

• Jules– UA3, TA2, CA3

• Bertille– UA2, TA1, CA2

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Relecture possible

• Réinterpréter les règles d’action– Théorèmes en actes, propriétés en actes

– Relativement à des concepts en jeu dans la résolution

• Difficultés– Analyse multidimensionnelle : articuler les conceptions

relatives à plusieurs concepts• Un vs plusieurs concepts

– Cohabitation de plusieurs conceptions

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Preuve et programme de calcul

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Preuve et programme de calcul (1)

Solutions Codes Conceptions

3 + 8 = 1111 × 3 = 3333 - 4 = 2929 + 3 = 3232/4 = 88 + 2 = 1010 - 3 = 7

V3 incorrecteL5 pas de lettresJ2 justification : par l’exempleT2 traduction pas-à-pas séparéeCN1 calcul correct

Preuve : par l’exempleÉgalité : annonce de résultatExpression : processus

x + 8 = 8x8x3 × 8x = 24+3x= 27x27x-4 = 23x23x+x=24x24x/4=6x6x+2=8x8x-x=7

V3 incorrecteL3 lettres et règles faussesJ31 pseudo-formelleT2 traduction pas-à-pas séparéeEA42 assemblage

Preuve : formelleÉgalité : annonce de résultatExpression : processus et résultatEquivalence d’expressions : assemblage

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Preuve et programme de calcul (2)

Solutions Codes Conceptions

5+8 =13 × 3=39-4 =35+5=4040/4=10 10+2=12 12-5= 7

V3 incorrecteL5 pas de lettresJ2 justification par l’exempleT4 traduction pas-à-pas enchainéeCN1 calcul correct

Preuve : par l’exempleÉgalité : annonce de résultat et abréviationExpression : processus

[ x+8] × 3 = 3x+24-4 = 3x+20 = 4x+20 = [4x+20]/4 = x+5 = x+5+2 =x+7 = x+7-x = 7

V3 incorrecteL3 lettres et règles faussesJ31 pseudo-formelleT4 traduction pas-à-pas enchainéeEA 1 calcul correct

Preuve : formelleÉgalité : abréviationExpression : processusEquivalence d’expressions : correcte dans le premier degré ?

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Preuve et programme de calcul (3)Procédure Code Conceptions

(3+8 × 3-4+3)/4+2-332/4+2-38+2-310-3

V3 incorrecteL5 pas de lettresJ2 par l’exempleT3 globale non parenthéséeCN1 : calcul correct

((5+8)×3-4+5)/4+2-5=7 ?((13)×3-4+5)/4+2-5=7 ?(39-4+5)/4+2-5=7 ?10+2-5=7 ?10-3=7 ?7=7 ?

V3 incorrecteL5 pas de lettresJ2 par l’exempleT2 équation, globale parenthèséeEA1 : écriture alg. correcte

((x + 8) × 3 - 4 + x) / 4 + 2 - x=( 3x + 24 - 4 + x)/4 + 2 - x=(4x +20) / 4 + 2 - x=x + 5 + 2 - x=7

V1 correcteL1 nb généraliséJ2 preuve par l’exempleT1 globale, parenthéséeEA1 : écriture alg. correcte

Preuve algébriqueÉgalité : équivalence et identitéExpression : résultat respectant la structure

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Égalité

• Conceptions sous-jacentes aux règles d’action mobilisant l'égalité ?• Caractéristiques :

– Relation d'équivalence

– Conservation de l'égalité par opérations

•Conceptions– Abréviation

• (P) Production d’expressions numériques, (R) Règles de traduction, (L) Symbolique, (Σ) Perceptif

– Annonce de résultat : priorité à l'évaluation du calcul

– Relation d'équivalence

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Conceptions sur l’égalité (1)

Conception AbréviationAnnonce de résultat

Equivalence

Relation d’équivalence

Non Non symétrique oui

Conservation de l’égalité par opération

Non Non oui

UA 3 2/3 1

TA 3 2/3 1

CN 3 2/3 1

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Conceptions sur l’égalité (2)

Conception AbréviationAnnonce de résultat

Equivalence

Ensemble de problèmes

Production d’expressions

Calcul réfléchiProduction d’expressionsRésolution d’équations …

OpérateursRègles de traduction

Règles de traduction, transformation

ReprésentationsSymbolique ou numérique

Contrôle Perceptif Arithmétique

Variables didactiques

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Expressions• Conceptions sous-jacentes aux règles d’action pour

interpréter une expression ?• Caractéristiques

– Écriture symbolique liée à la structure d'expression – Dénotation d'une expression– Adaptabilité dans l'interprétation d'une expression

• Registre des écritures algébriques• En articulation avec d'autres registres

• Type de problèmes– Développement, factorisation – Variables didactiques

• Nature et complexité de l'expression

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Conceptions sur les expressions

ConceptionPseudo structural

Procédural Structural

Exemples d’opérateurs

an + bn = abn

a2 = 2a (a+b)2 =a2+ b2 (a+b)2 =a2+b2 +2ab

Dénotation conservée

Non Non Non

Structural Non Non Procédural/ syntaxique

Distinction résultat / processus

Non Oui Oui

CA3 CA3 CA2

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Équivalence des Expressions

• Conceptions sous-jacentes aux règles d’action pour transformer une expression ?

• Caractéristiques– Conservation de la dénotation par application d’identités– adaptabilité entre aspects procédural / structural,

syntaxique /sémantique – Distinction processus/résultat d’un calcul

• Type de problèmes– Développement, factorisation – Variables didactiques• Nature et complexité de l'expression

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4 conceptions principales• Conception : assemblage

– Contrôle :• Obtenir un résultat sans signe opératoire• Ex : an + bn = abn

• Conception linéarisation– Contrôle :

• via des expressions 1e degré• Ex : x² → 2x ;

• Conception : procéduro-syntaxique– Contrôle :

• Application d’une règle (souvent fausse) sans contrôle de la dénotation• Ex : a2 + b2 = (a + b)2, a2 = 2a

• Conception : identité

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4 conceptions principalesConception Assemblage Linéarisation Syntaxique Identité

Exemples d’opérateurs

an + bn = abn a2 = 2a a2 + b2 = (a+b)2 2ab +a2 + b2 = (a+b)2

Dénotation conservée

Non Non Non Oui

Reconnaissance de la structure

Non Non Non Oui

Distinction résultat/processus

Non Oui Oui Oui

Niveau Calcul algébrique

CA3 CA3 CA2 CA1

Contrôle Résultat sans signe opératoire

Application de règle sans contrôle de dénotation

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Équivalence des expressions (2)Conception Assemblage Linéarisation

Procéduro-Syntaxique

Identité

Ensemble de problèmes

Ex.2,4,9,6,16

Opérateursan + bn = abn a2 = 2a a2 + b2 = (a+b)2 2ab +a2 + b2 =

(a+b)2

Représentations Symbolique Symbolique Symbolique Symbolique

Contrôle Perceptif Perceptif

Application de règle sans contrôle sémantique

Contrôle syntaxique et sémantique, appui sur structure

Variables didactiques

Somme de puissances

PuissancesTransformations usuelles

Idem+ reformulations

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Conceptions Preuve

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Conceptions Traduction

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Conception Jules

Notions Conceptions Domaine

Égalité annonce de résultat 9.2, 20

Expressions Pseudo structural

Équivalence d’expressions 1-Assemblage2-Procéduro-syntaxique

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Traduction

Preuve

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Conception Odile

Notions Conceptions Domaine

Égalité

Expressions

Équivalence d’expressions

Traduction d

Preuve

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Conception Caroline

Notions Conceptions Domaine

Égalité

Expressions

Équivalence d’expressions

Traduction d

Preuve

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Perspectives

• Plusieurs concepts

• C’est quand il y a un décalage qu’on va pouvoir jouer