Distance entre deux points du plan Géométrie plane ... · horizontalement vers le bas donc l’« abscisse » désigne l’axe horizontal d’un repère. L a boucle du o ... Correction

Distance entre deux points du plan – Géométrie / Coordonnées d’un point dans un repère – Exercices corrigés

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1

Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : lire les coordonnées d’un point dans un repère du plan et placer des points dans un repère

Exercice 2 : calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé

Exercice 3 : montrer qu’un triangle est équilatéral

Exercice 4 : montrer qu’un triangle est isocèle en un point

Exercice 5 : montrer qu’un triangle est rectangle en un point et calculer l’aire d’un triangle

Exercice 6 : calculer le périmètre d’un quadrilatère quelconque

Exercice 7 : déterminer les coordonnées du milieu d’un segment et calculer le rayon d’un cercle

Exercice 8 : montrer que trois points sont alignés

Exercice 9 : démontrer le théorème établissant la distance entre deux points

Exercice 10 : trouver la valeur d’un paramètre pour obtenir une distance donnée

Exercice 11 : écrire un algorithme permettant de calculer la distance entre deux points

Exercice 12 : vérifier qu’un point appartient à un cercle ou qu’il se trouve à l’intérieur ou à l’extérieur

Exercice 13 : préciser si un point appartient à la médiatrice d’un segment

Exercice 14 : étudier la distance d’un point à une droite

Exercice 15 : étudier un régionnement du plan

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Distance entre deux points du plan – Géométrie plane

Exercices corrigés

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2

On considère le repère ( ) du plan. Dans cet exercice, on laissera les traits de construction apparents.

1) Comment qualifie-t-on précisément le repère ( ) ?

2) Donner les coordonnées des points , , , et .

3) Placer dans le repère les points ( ) et ( ).

4) Donner les coordonnées des points et , symétriques respectifs des points et par rapport à l’axe

des abscisses.

5) Donner les coordonnées des points et , symétriques respectifs des points et par rapport à l’axe

des ordonnées.

6) Quelles sont les coordonnées des points et , symétriques respectifs de et par la symétrie de

centre ?

1) Montrons que le repère ( ) est un repère particulier du plan.

Comme ( ) ( ), on en déduit tout d’abord que

( ) est un repère orthogonal.

De plus, les unités d’axes sont égales ; en effet,

. ( ) est

donc également un repère normé.

De ces deux affirmations il découle que le repère

( ) est un repère orthonormé.

Rappel : Repère orthonormé du plan

Un repère orthonormé (ou orthonormal) ( )

du plan est un repère orthogonal et normé, c’est-à-

dire tel que :

( ) ( )

unité de longueur commune

Remarque : Dans un repère orthonormé ( ), on appelle unité d’aire (abrégée ) l’unité de mesure des

aires telle que .

Exercice 1 (6 questions) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1 Retour au menu



3

2) Donnons les coordonnées des points , , , et .

Rappel : Coordonnées d’un point dans un repère quelconque

Soit un repère quelconque ( ) (ou ( )) du plan).

Alors tout point du plan est repéré par un unique couple

de réels ( ). Ce couple ( ) est appelé

coordonnées du point .

Par ailleurs, désigne l’abscisse du point et désigne

l’ordonnée du point .

Remarque : On lit l’abscisse sur l’axe des abscisses (très souvent horizontal) et on lit l’ordonnée sur

l’axe des ordonnées (très souvent vertical).

Comme ( ) est le repère du plan, est en définitive l’origine du repère ; par conséquent, a pour

coordonnées ( ).

D’autre part, est l’unité de l’axe des abscisses ; par conséquent, a pour coordonnées ( ).

Enfin, est l’unité de l’axe des ordonnées ; par conséquent, a pour coordonnées ( ).

Le point a pour abscisse et pour ordonnée . Donc a pour coordonnées ( ).

Le point a pour abscisse et pour ordonnée . Donc a pour coordonnées ( ).

Astuce pour ne pas confondre abscisse et ordonnée :

La queue du a (première lettre de « abscisse ») se prolonge

horizontalement vers le bas donc l’« abscisse » désigne l’axe horizontal

d’un repère.

La boucle du o (première lettre de « ordonnée ») se prolonge

verticalement vers le haut donc l’« ordonnée » désigne l’axe vertical d’un

repère.



4

3) Plaçons dans le repère les points ( ) et ( ).

4) Donnons les coordonnées des points et , symétriques respectifs des points et par rapport à l’axe

des abscisses.

Rappel : Coordonnées du symétrique d’un point par rapport à l’axe des abscisses (symétrie axiale)

Soit un repère quelconque ( ) (ou ( )) du plan). Alors tout point ( ) symétrique du

point ( ) par rapport à l’axe des abscisses a la même abscisse que celle et a une ordonnée opposée

à celle de . Autrement dit, et .



5

est le symétrique du point par rapport à l’axe des abscisses donc et .

Finalement, a pour coordonnées ( ).

est le symétrique du point par rapport à l’axe des abscisses donc et .


5) Donnons les coordonnées des points et , symétriques respectifs des points et par rapport à l’axe

des ordonnées.

Rappel : Coordonnées du symétrique d’un point par rapport à l’axe des ordonnées (symétrie axiale)


point ( ) par rapport à l’axe des ordonnées a une abscisse opposée à celle et a la même ordonnée

que celle de . Autrement dit, et .

est le symétrique du point par rapport à l’axe des ordonnées donc et .


est le symétrique du point par rapport à l’axe des ordonnées donc et .


6) Déterminons les coordonnées des points et , symétriques respectifs de et par la symétrie de

centre .

Rappel : Coordonnées du symétrique d’un point par rapport à l’origine du repère (symétrie centrale)


point ( ) par rapport à l’origine du repère a une abscisse opposée à celle et a une ordonnée

opposée à celle de . Autrement dit, et .



6

est le symétrique du point par rapport à l’origine du repère donc et .


est le symétrique du point par la symétrie de centre donc et .




7

Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( ). On donne les points ( ), ( ) et (√ ).

1) Calculer .

2) Calculer la distance entre les points et .

3) Quelle est la mesure du segment [ ] ?

Rappel : Distance entre deux points du plan dans un repère orthonormé

Soit un repère orthonormé du plan et soient ( ) et ( ) deux points du plan. Alors la distance

entre les points et , notée ou , est √( ) ( )

√( ) ( )

.

Remarque importante : Cette égalité n’est valable que dans un repère orthonormé ; elle ne l’est plus dans un

repère quelconque du plan.

Soient les points ( ), ( ) et

(√ ) dans un repère orthonormé ( )

du plan.

1) Calculons .

√( ) ( ) √( ) ( ) √( ) ( ) √ √

( )

Remarque : Sauf indication contraire, toujours privilégier une valeur exacte (ici √ ) à une valeur approchée

(ici ). Dès lors qu’on donne une valeur approchée, en préciser l’approximation (ici à près par défaut).

2) Calculons la distance entre les points et .

Rappel : Identités remarquables

( ) ⏟

⏟

( ) ⏟

⏟

( )( )⏟

⏟





8

√( ) ( )

√(√ ) ( ) √√

√ ( )

√ √ √ √ ( )

3) Calculons la mesure du segment [ ], c’est-à-dire calculons . Utilisons pour ce faire une méthode

quelque peu différente. En effet, calculons dans un premier temps puis déduisons-en .

( ) ( )

(√ ( ))

( ) (√ ) ( )

√ √ √ √

Comme , il vient que √ √ √ ( )



9

Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( ). On donne les points ( ), ( √ √ ) et

( ). Démontrer que le triangle est équilatéral.

√( ) ( ) √( √ ) ( √ )

√( √ )

( √ )

√ √ √ √ ( √ )

√ √ √ √

√ √ √ √ √ √ √

√( ) ( ) √( ) ( ) √ √ √ √

√( ) ( ) √( ( √ ))

( ( √ ))

√( √ ) ( √ )

√( √ )

( √ )

√ √ √ √ ( √ )

√ √ √ √

√ √ √ √

Ainsi, √ donc le triangle

est équilatéral.

Exercice 3 (1 question) Niveau : facile




10

Dans le plan rapporté au repère orthonormé ( ), on considère les points ( ) et ( ). Montrer

que le triangle est isocèle.

D’après la figure, le triangle semble isocèle en . Montrons-le par le calcul.

√( ) ( ) √( ) (

( ))

√ (

)

√ (

)

√ (

)

√

√

√

√

√

√

√

√

√( ) ( )

√( ) (

)

√( ) (

)

√

√

√

√

√

√

√

√

Comme , on en déduit que le triangle est isocèle en .

Vérifions désormais que le triangle n’est pas

équilatéral.

√( ) ( )

√( ) ( ) √ ( )

√ √

Or, √ √

donc le triangle n’est pas

équilatéral mais bien isocèle en .





11

On rapporte le plan à un repère orthonormé ( ), dans lequel on place les points ( ), ( ) et

( ).

1) Construire le triangle .

2) Montrer que ce triangle est rectangle.

3) En déduire son aire.

1) Construisons le triangle .

2) Montrons que le triangle est rectangle.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )

Or, donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle

est rectangle en .

Exercice 5 (3 questions) Niveau : moyen




12

Rappel : Réciproque du théorème de Pythagore

Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des

deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

Autrement dit, si l’égalité suivante est respectée :

( ) ( ) ( )

Alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.

Exemple :

Si , alors d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle est rectangle en

et [ ] désigne l’hypoténuse du triangle.

3) Calculons l’aire du triangle .

Comme le triangle est rectangle en , il vient que :

Or, d’après la question précédente, d’une part, donc √ √ √ √ √ et,

d’autre part, , donc √ √ √ √ √ .

Par conséquent, il vient que :

√ √

√

plus grand côté 1

er autre côté

2e autre côté



13

Dans le plan rapporté au repère orthonormé ( ), on place les points ( ), ( ), ( ) et

( ). Donner la valeur exacte du périmètre du quadrilatère .

Calculons le périmètre du quadrilatère . Alors . Calculons donc la

longueur de chaque côté du quadrilatère.

√( ) ( ) √( ( )) ( ) √( ) √ √

√( ) ( ) √( ) ( ) √ ( ) √ √

√( ) ( )

√( ) ( ) √( ) ( ) √ √

√( ) ( ) √( ) ( ( )) √( ) ( ) √ √

Par conséquent, on obtient que :

√ √ √ √ √





14

On considère le repère orthonormé ( ) du plan. ( ) et ( ) sont deux points du plan.

1) Déterminer les coordonnées du point , milieu de [ ].

2) En déduire la mesure du rayon du cercle de centre et passant par le point .

1) Déterminons les coordonnées du point , milieu de [ ].

Rappel : Coordonnées du milieu d’un segment dans un repère orthonormé du plan

Soit un repère orthonormé du plan et soient ( ) et ( ) deux points du plan.

Alors les coordonnées du milieu du segment [ ] sont (

).

a pour coordonnées ( ) avec

et

.

Or,

( )

Le point a donc pour cordonnées ( ).

2) Calculons la mesure du rayon du cercle de centre et passant par le point . Autrement dit, calculons la

distance .

√( ) ( ) √(

)

( ( )) √(

)

( )

√(

)

( ) √

√

√

√

√

√

Remarque : Il aurait été plus judicieux d’utiliser ici une autre méthode ne faisant pas intervenir les

coordonnées du point car la moindre erreur à la question précédente aurait également induit une erreur à cette

question. Utilisons cette autre méthode.

D’après l’énoncé, le point est le milieu de [ ]. Ainsi, le cercle de centre et passant par le point est aussi

le cercle de diamètre [ ]. Calculons .





15

√( ) ( ) √( ( )) ( ( ))

√( ) ( ) √

√ √

Or, le rayon d’un cercle est égal à la moitié du diamètre de ce cercle donc le rayon recherché est égal à √

.

Suite de la remarque : Néanmoins, la formulation de la deuxième question invitait fortement à employer la

première méthode.



16

On considère les points ( ), ( ) et ( ), placés dans un repère orthonormé ( ) du

plan.

1) Placer les points , et . Quelle conjecture peut-on émettre ?

2) Calculer les distances , et .

3) En déduire l’alignement des points , et .

1) Plaçons les points , et dans un repère orthonormé ( ) du plan.

On peut conjecturer que les points , et sont alignés dans cet ordre.

2) Calculons les distances , et .

√( ) ( ) √( ( )) ( ( ))

√( ) ( ) √

√ √ √ √

√( ) ( ) √( ( )) ( ( ))

√( ) ( ) √

√ √ √ √





17

√( ) ( ) √( ) ( ( )) √ ( ) √ √

√ √ √

3) Montrons que les points , et sont alignés.

On vient de montrer que √ , √ et √ .

Or, √ √ √ , c’est-à-dire . Par conséquent, les points , et sont alignés dans

cet ordre, ce que l’on peut aussi noter [ ].

Remarque : La conjecture émise à la première question est donc vérifiée.



18

Soit ( ) un repère orthonormé du plan et soient ( ) et ( ) deux points distincts du plan.

Montrer que la distance entre les points et , notée , est égale à √( ) ( ) .

Représentons un repère orthonormé ( ) du plan et plaçons-y deux points quelconques et distincts, de

coordonnées respectives ( ) et ( ).

Notons alors le projeté orthogonal de sur l’axe ( ) et le projeté orthogonal de sur l’axe ( ).

Notons par ailleurs le projeté orthogonal de sur l’axe ( ) et le projeté orthogonal de sur l’axe ( ).

Appelons enfin le point d’intersection des droites ( ) et ( ).

Comme le repère ( ) est orthonormé, le triangle est rectangle en . Par conséquent, d’après le

théorème de Pythagore, il résulte que .

Or, d’une part, et, d’autre part, .

Ainsi, ( ) et ( )

.

Finalement, comme , il vient que ( ) ( )

. Chacun des termes de

cette somme étant positif, il découle finalement que √ √( ) ( ) .

Remarque : Trois autres cas de figure sont à envisager, mais qui conduisent à un raisonnement similaire et à un

résultat identique. Les cas à considérer sont précisément lorsque :

1) et (cas étudié ci-dessus)

2) et

3) et

4) et

Exercice 9 (1 question) Niveau : difficile




19

Dans un repère orthonormé ( ) du plan, on donne les points ( ) et ( ).

1) Montrer que, pour tout réel , ( ) .

2) Préciser la(les) valeur(s) du réel pour que la distance entre les points et soit égale à 4.

1) Montrons que, pour tout réel , ( ) .

Pour tout réel,

( )

2) On sait que √( ) ( )

et que, par conséquent, ( ) ( )

.

Or, d’après l’énoncé, on souhaite que . Ainsi, en remplaçant d’une part par 4 et d’autre part les

coordonnées des points par leurs valeurs respectives dans la dernière expression ci-dessus, il vient l’égalité

( ) ( ) . Résolvons cette équation d’inconnue .

Pour tout réel ,

( ) ( ) ( )

( )

Or, d’après la première question, pour tout réel, ( ) . Ainsi, pour tout réel ,

( ) .

Finalement, pour tout réel ,

( ) ( ) ( ) ( ) √

( √ )( √ ) ⏟

√ √ √ √ .

(* En effet, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul.)

On vient de montrer que √ √ . En conclusion, pour que la distance entre les

points et soit égale à 4, doit prendre la valeur √ ou la valeur √ .

En d’autres termes, il existe deux points et d’abscisse 5 tels que la distance qui les sépare du point soit

égale à 4. Ces points ont pour coordonnées respectives ( √ ) et ( √ ).

Exercice 10 (2 questions) Niveau : difficile




20



21

Ecrire un algorithme permettant de calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé du plan.

Ecrivons un algorithme permettant de calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé du plan,

avec le logiciel AlgoBox.

Algorithme écrit avec le logiciel AlgoBox

1 VARIABLES

2 xA EST_DU_TYPE NOMBRE

3 yA EST_DU_TYPE NOMBRE

4 xB EST_DU_TYPE NOMBRE

5 yB EST_DU_TYPE NOMBRE

6 distance EST_DU_TYPE NOMBRE

7 DEBUT_ALGORITHME

8 AFFICHER "Saisir l'abscisse du point A : "

9 LIRE xA

10 AFFICHER xA

11 AFFICHER "Saisir l'ordonnée du point A : "

12 LIRE yA

13 AFFICHER yA

14 AFFICHER "Saisir l'abscisse du point B : "

15 LIRE xB

16 AFFICHER xB

17 AFFICHER "Saisir l'ordonnée du point B : "

18 LIRE yB

19 AFFICHER yB

20 distance PREND_LA_VALEUR sqrt(pow(xB-xA,2)+pow(yB-yA,2))

21 AFFICHER "La distance AB est : "

22 AFFICHER distance

23 FIN_ALGORITHME

Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox

Premier exemple

***Algorithme lancé***

Saisir l'abscisse du point A : 0

Saisir l'ordonnée du point A : -2

Saisir l'abscisse du point B : -3

Saisir l'ordonnée du point B : 0

La distance AB est : 3.6055513

***Algorithme terminé***

Deuxième exemple

***Algorithme lancé***

Saisir l'abscisse du point A : -1

Saisir l'ordonnée du point A : 2

Saisir l'abscisse du point B : 3

Saisir l'ordonnée du point B : -4

La distance AB est : 7.2111026

***Algorithme terminé***

Exercice 11 (1 question) Niveau : moyen


Quelques explications :

Dans la mesure où il est nécessaire de

connaitre les coordonnées de deux points pour

calculer la distance entre ces points, il faut 4

variables ; il s’agit des variables xA, yA, xB et

yB. Bien qu’elle ne soit pas indispensable, la

variable appelée distance est également

introduite pour une meilleure compréhension

de l’algorithme.

sqrt(x) permet de calculer la racine carrée de x

pow(x,n) permet de calculer xn

le résultat retourné en sortie par l’algorithme

est un arrondi.



22

Soit ( ) un repère orthonormal du plan et soit le cercle de centre ( ) et passant par ( ).

1) Montrer que le point appartient au cercle .

2) Montrer que le point ( ) se trouve à l’intérieur du cercle .

3) Montrer que le point ( ) se trouve à l’extérieur du cercle .

On complètera la figure au fur et à mesure de l’exercice.

Tout d’abord, commençons par analyser l’énoncé. Le cercle a pour centre le point ( ) et passe par le

point ( ). Par conséquent, [ ] est un rayon du cercle .

1) Montrons que le point ( ) appartient au cercle . Pour ce faire, montrons que [ ] est aussi un

rayon du cercle , c’est-à-dire que .

Or √( ) ( ) √( ) ( ) √( ) ( ) √ √

√ √ √

Et √( ) ( ) √( ) ( ) √( ) √ √

√ √ √

Finalement, donc le point appartient au cercle .

2) Montrons que le point ( ) se trouve à l’intérieur du cercle , c’est-à-dire montrons que .

D’une part, ( ) ( )

( )

( ) ( )

.

D’autre part, d’après la question précédente, ( √ ) √

.





23

Finalement, , c’est-à-dire (toute distance étant un nombre positif). Le point se trouve

bien à l’intérieur du cercle .

3) Montrons enfin que le point ( ) se trouve à l’extérieur du cercle , c’est-à-dire montrons que

nous avons l’inégalité stricte .

D’une part, ( ) ( )

( ( )) ( ) ( ) ( ) .

D’autre part, nous avons montré que .

Ainsi, et en particulier . Le point se trouve bien à l’extérieur du cercle .

Remarque : On pouvait calculer autrement . En effet, comme les points et ont la même abscisse, à

savoir , la distance est égale à (puisque ), c’est-à-dire à .



24

Soit ( ) un repère orthonormal du plan. On considère les points , et de coordonnées respectives

( ), ( ) et ( ). Le point appartient-il à la médiatrice du segment [ ] ?

Rappel : Médiatrice d’un segment (définition et propriété)

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

Tout point se trouvant sur la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment, et

réciproquement.

Le point appartient à la médiatrice du segment [ ] si et seulement si . Comparons ces deux

distances.

√( ) ( ) √( ( )) ( ) √( ) ( ) √ √

√( ) ( ) √( ) ( ) √ ( ) √ √

donc le point n’appartient pas à la médiatrice du segment [ ].

Remarque : Il était possible de proposer une écriture simplifiée de , à savoir , mais la comparaison

des deux distances aurait été moins immédiate puisqu’il aurait fallu comparer 5 et √ .





25

Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( ). On appelle ( ) la droite d’équation . On

donne ( ) un point quelconque du plan n’appartenant pas à ( ) et ( ) un point de ( ). La distance du

point à la droite ( ) est alors la distance minimale.

1) Exprimer en fonction de .

2) Vérifier que, pour tout réel , ( ) .

3) En déduire les coordonnées du point pour lesquelles est minimale.

4) Conclure quant à la distance du point à la droite ( ).

1) Exprimons en fonction de .

( ) donc les coordonnées du point vérifient l’équation de la droite ( ). Ainsi, a pour coordonnées

( ). Il vient alors que :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2) Vérifions que, pour tout réel , ( ) .

Pour tout réel , ( ) .

3) Déterminons les coordonnées du point pour lesquelles la distance est minimale.

D’après la première question, ( ).

De plus, d’après la deuxième question, ( ) . Ainsi, [( ) ].

Or, est minimale si et seulement si ( ) , c’est-à-dire si et seulement si . De plus, comme

a pour coordonnées ( ), en remplaçant par 1, on trouve que a finalement pour coordonnées

( ).



Distance du point

à la droite ( )



26

4) Calculons enfin la distance du point à la droite ( ). Cette distance est la distance .

D’après la question précédente, [( ) ] d’où, en remplaçant par 1, [( ) ],

c’est-à-dire . En définitive, √ √ . La distance du point à la droite ( ) est égale à

√ .



27

On place dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ) le point ( ). Représenter graphiquement

l’ensemble des points ( ) du plan tels que :

leur abscisse soit positive leur ordonnée soit négative

Les points ( ) du plan tels que leur

abscisse soit positive sont les points situés sur

l’axe des ordonnées et à droite de l’axe des

ordonnées. Ils sont représentés ci-contre en

vert.

Les points ( ) du plan tels que leur

ordonnée soit négative sont les points situés

sur l’axe des abscisses et en-dessous de l’axe

des ordonnées. Ils sont représentés ci-contre

en rouge.

Exercice 15 (1 question) Niveau : moyen




28

Les points ( ) du plan tels que

sont les points situés sur le cercle de centre

et de rayon et à l’intérieur de ce cercle. Ils

sont représentés ci-contre en bleu.

Remarque : On peut également dire que les

points ( ) du plan tels que sont

les points du disque de centre et de rayon .

Par conséquent, l’ensemble des points

( ) recherchés est l’intersection de ces 3

ensembles vert, rouge et bleu. Il s’agit du

domaine noirci ci-contre.

Ensemble des

points ( )

recherchés.

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