C. R. Acad. Sci. Paris, t. 331, Série I, p. 839–844, 2000Problèmes mathématiques de la mécanique/Mathematical Problems in Mechanics

Distribution asymptotique de l’énergie en diffractiond’ondes élastiquesMongi MABROUK a, Zouhair HELALI b

a LMARC, UMR 6608, 24, rue de l’Épitaphe 25030 Besançon, FranceCourriel : mongi.mabrouk@univ-fcomte.fr

b Département de mathématiques, faculté des sciences et techniques de Monastir, 5000 Monastir, Tunisie

(Reçu le 8 juin 2000, accepté le 20 septembre 2000)

Résumé. On étudie le comportement en temps de l’énergie élastique dans un domaine extérieurrempli d’un matériau homogène et isotrope. On montre notamment l’existence d’unedistribution asymptotique de l’énergie, déterminée par la répartition à l’instant initial, eton donne son expression pour différents domaines de l’espace : domaines annulaires,compacts, cônes, plaques infinies. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiqueset médicales Elsevier SAS

Asymptotic distribution of energy in elastic wave scattering

Abstract. We investigate the time behaviour of the elastic energy in an exterior domain filled with anhomogeneous, isotropic material. We show notably the existence of an asymptotic energydistribution determined by the initial conditions, and we give its expression for differentdomains of space: annular domains, compact sets, cones, slabs. 2000 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English version

Let Ω⊂RN ,N = 2,3, be an unbounded open connected set of Korn’s type verifying the so-called ELCproperty (see[4] for definitions and notations), filled with a linear homogeneous and isotropic medium withelastic modulisλ, µ and densityρ= 1. The complementary setΩc =RN rΩ is a bounded open hole withtraction-free boundary, contained in the ball of radiusr0 > 0 centered at the originO ∈ Ωc. In this work,we study the asymptotic behaviour of the energy of the scattered field for large times. This is done by usingresults from the scattering theory developed in [1]. We prove very precise results concerning the asymptoticrepartition of the elastic energy in various remarquable subsets: annular domains, compact sets, cones,slabs. The result is essentially that the asymptotic distribution is determined by the initial data. Keeping thesame notations as in a preceding note [4], let us mention the following results for annular regions.

PROPOSITION 1. –LetB ≡ B(t, τ1(t), τ2(t)) = x : c2(t + τ1(t)) 6 |x| 6 c1(t+ τ2(t)), r0 − c2t 6c2τ1(t) 6 c1τ2(t)6+∞ be an annular region contained inΩrBr0 andE(u,B, t) the elastic energy of

Note présentée par Évariste SANCHEZ -PALENCIA .

S0764-4442(00)01703-1/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 839

M. Mabrouk, Z. Helali

the fieldu contained in it at timet. Let f ∈D(A1/2), g ∈ ~L2(Ω) andu the corresponding solution withfinite energy. Then

(i) E(u,B

(t, τ1(t), τ2(t)

), t)

=2∑j=1

E∞j(u,B

(t, τ1(t), τ2(t)

), t)

+ ot(1),

whereot(1) is independent ofτ1(t), τ2(t), and

E∞1 (u,B, t) = 2

∫ c1τ2(t)

(c2−c1)t+c2τ1(t)

∥∥F01(r, ·)

∥∥2~L2(S2)

dr,

E∞2 (u,B, t) = 2

∫ (c1−c2)t+c1τ2(t)

c2τ1(t)

∥∥F02(r, ·)

∥∥2~L2(S2)

dr,

whereF01, F0

2 are some asymptotic wave profiles associated tou (seethéorème1 below).(ii) Suppose moreover thatlimt→+∞ τ1(t) =−∞, limt→+∞ τ2(t) = +∞. Then

limt→+∞

E(u,B

(t, τ1(t), τ2(t)

), t)

=E(u,Ω,0).

(iii) Let ε > 0. Then there exist constantsτ1 = τ1(f ,g, ε), τ2 = τ2(f ,g, ε), t0 = t0(f ,g, ε) such that

E(u,Ω,0)− ε6E(u,B(t, τ1, τ2), t

)6E(u,Ω,0), ∀ t> t0.

From this we derive easily the local decay of the elastic energy. Other precise results concerning cones,compact sets and infinite slabs are given below in the French part, where the caseN = 3 is presented, thecaseN = 2 requiring only minor modifications.

1. Problème, notations

SoitΩ un ouvert non borné connexe deR3, rempli d’un matériau élastique linéaire, homogène, isotrope,de constantes de Laméλ, µ, de densitéρ normalisée à un et dont le complémentaireΩc =R3 rΩ est unecavité de bord libre∂Ω contenu dans la bouleBr0 de rayonr0 centrée à l’origineO supposée dansΩc. Onconsidère le problème de diffraction pour le champ élastiqueu(t, x) :

(Pe)

∂2tu(t,x)−∆∗u(t,x) = 0 dansR∗+ ×Ω,

u(0,x) = f(x), ut(0,x) = g(x) dansΩ,

T(u,n) = 0 sur∂Ω

où ∆∗ = (λ + 2µ) graddiv−µ rotrot est l’opérateur de Lamé du milieu etT(u,n) = 2µ ∂u∂n + µn ∧

rotu+ λndivu est le vecteur tension élastique.Comme dans une précédente note [4],dont nous reprenons les notations et définitions, nous associonsà ce problème l’opérateur non bornéA : ~L2(Ω)→ ~L2(Ω) de domaineD(A) = ~LN2 (∆∗,Ω) formé deschamps de déplacements vérifiant la condition de Neumann dans un sens faible, et le problème d’évolutionassocié :dudt +Au = 0, u(0) = h = f + iA−1/2g ∈ ~L2(Ω). La solution complexe de cette équation est

V(t) = e−itA1/2

h et la solution (réelle) du problème (Pe) estu(t) = Re(V(t)). Si h est dans~L2(Ω)seulement, la solution qui n’a aucune régularité supplémentaire, est dite solution dansL2. Sih ∈D(A1/2),l’énergie de la solution est finie et on parle de solution à énergie finie. Notre problème consiste à étudierle comportement asymptotique en temps de l’énergie de ces solutions. Pour résoudre ce problème, nousfaisons appel à la théorie du scattering développée dans [1] et dont nous avons rappelé l’essentiel dans lanote sus-mentionnée.

840

Distribution asymptotique

Hypothèse. –Nous supposerons toujours que l’ouvertΩ possède la propriété de compacité locale ELCet qu’il est de Korn.

2. Fonctions d’onde asymptotiques

Commençons d’abord par le cas général des solutionsL2, pour lesquels seule l’hypothèseELC estrequise au demeurant. SoitV(t,x) = e−itA

1/2

h(x), h ∈ ~L2(Ω). L’existence de l’opérateur d’ondeW+

implique l’existence d’une onde libreV+0 (t,x) = e−itA

1/20 h+

0 (x), h+0 = W+h ∈ ~L2(R3), asymptotique-

ment égale àV dans le senslimt→+∞ ‖V(t, ·)−V+0 (t, ·)‖~L2(Ω) = 0. Par ailleurs, l’onde libreV+

0 est elle

même asymptotiquement égale dans~L2(R3) à la fonction d’onde asymptotique complexeV+,∞0 (t,x) =∑2

j=1 V+,∞0,j (t,x), V+,∞

0,j (t,x) = |x|−1Gj(|x|− cjt,x/|x|), x ∈R3r0, t ∈R. La fonctionG(r, θ) =∑2j=1 Gj(r, θ) est appeléeprofil d’onde associé àh+

0 . Elle est donnée par sa transformée de Fourier

Gj(ρ, θ) = (−i ρ)H(ρ)(h+0 )∧j (ρθ), ρ ∈ R, θ = x/|x| ∈ S2 avec (h+

0 )∧j = Φj h+0 = Φj h

+0 = PjΦ

−h,où Φj (resp.Φ−) est une transformée de Fourier partielle (resp. généralisée), etc1 =

√λ+ 2µ, c2 =

õ

sont les vitesses de propagation des ondes longitudinales et transversales. SiV est à énergie finie, on asso-cie de plus aux dérivéesDkV, k = 0,1,2,3, (D0 = ∂/∂t, Dk = ∂/∂xk), les profils d’onde asymptotiquesGk =

∑j=1,2 Gj définis par leurs transformés de Fourier

G0j = cjGj , Gj(ρ, θ) =−ρ2H(ρ)hj(ρθ), (ρ, θ) ∈R× S2,

Gkj =−θk

cjG0j =−θkGj , H étant la fonction d’Heaviside.

On a alors :

THÉORÈME 1. – (i) Soit f ∈ ~L2(Ω), g ∈ D(A−1/2) et h = f + iA−1/2g ∈ ~L2(Ω). On définitu∞(t,x) =

∑2j=1u

∞j (t,x), u∞j (t,x) = |x|−1Fj(|x| − cjt, x/|x|), Fj(r, η) = ReGj(r, η). Alors

limt→+∞ ‖u(t, ·)−u∞(t, ·)‖~L2(Ω) = 0.

(ii) Soientf ∈ D(A1/2), g ∈ ~L2(Ω) et u(t,x) la solution à énergie finie correspondante. On définitu∞,k(t,x) =

∑2j=1u

∞,kj (t,x), avec pourj = 1,2, k = 0,1,2,3,

u∞,kj (t,x) = |x|−1Fkj

(|x| − cjt,

x

|x|

), Fkj (r, θ) = Re

Gkj (r, θ)

. (1)

Alors limt→+∞ ‖Dku(t, ·)−u∞,k(t, ·)‖~L2(Ω) = 0, k = 0,1,2,3.

Remarque1. – D’après les propriétés de la transformation de Fourier généraliséeh→ h−

et l’orthogo-nalité desPj , on obtient facilement :

‖G‖2~L2(R×S2)= ‖ ~G‖2~L2(R×S2)

=2∑j=1

‖ ~Gj‖2~L2(R×S2)=

2∑j=1

‖~h−

j ‖2~L2(R3)= ‖~h

−‖2~L2(R3)

= ‖~h‖2~L2(Ω).

3. Distribution asymptotique de l’énergie élastique

Dans le reste du travail,u est une solution à énergie finie de données initialesf , g. Rappelonsque siK ⊂ Ω est un ensemble mesurable, l’énergie deu dansK à l’instant t est : E(u,K, t) =‖D0u(t, ·)‖2~L2(K)

+ λ‖divu(t, ·)‖2L2(K) + 2µ‖ε(u(t, ·))‖2L2(K). Soit t ∈ R 7→ K(t) ⊂ Ω une famille de

sous-ensembles mesurables deΩ. Si on noteu(t,x) = (ui(t,x))16i63, u∞,k(t, x) = (u∞,ki (t, x))16i63

841

M. Mabrouk, Z. Helali

pourk = 0,1,2,3, nous avons, par le théorème précédent∥∥∥∥∂ui(t, ·)∂xk

∥∥∥∥L2(K(t))

=∥∥u∞,ki (t, ·)

∥∥L2(K(t))

+ ot(1)

pour toutk = 0,1,2,3, i= 1,2,3, oùx0 = t etot(1) est une fonction qui tend vers zéro uniformément pourx∈K(t). Par conséquent, notant‖ · ‖Kt = ‖ · ‖L2(K(t)), on a

E(u,K(t), t

)=∥∥u∞,0∥∥2

Kt+ λ

∥∥∥∥ 3∑i=1

u∞,ii

∥∥∥∥2

Kt

+ 2µ3∑i=1

∥∥u∞,ii

∥∥2

Kt

+ µ∥∥u∞,21 + u∞,12

∥∥2

Kt+∥∥u∞,31 + u∞,13

∥∥2

Kt+∥∥u∞,32 + u∞,23

∥∥2

Kt

+ ot(1).

Nous allons commencer par étudier la distribution asymptotique de l’énergieE∞ dans les régionsannulaires: B ≡B(t, τ1(t), τ2(t)) = x : c2(t+ τ1(t))6 |x|6 c1(t+ τ2(t)), avecr0− c2t6 c2τ1(t)6c1τ2(t)6+∞.CommeR3 rΩ⊂Br0 , on aB(t, τ1(t), τ2(t))⊂ΩrBr0 . On a alors le résultat crucial :

LEMME 1. –Soientτ1(t) et τ2(t) comme ci-dessus. Alors

E(u,B

(t, τ1(t), τ2(t)

), t)

=

2∑j=1

E∞j(u,B

(t, τ1(t), τ2(t)

), t)

+ ot(1)

oùot(1) est indépendante deτ1(t) et τ2(t) et où

E∞1 (u,B, t) = 2

∫ c1τ2(t)

(c2−c1)t+c2τ1(t)

∥∥F01(r, ·)

∥∥2~L2(S2)

dr,

E∞2 (u,B, t) = 2

∫ (c1−c2)t+c1τ2(t)

c2τ1(t)

∥∥F02(r, ·)

∥∥2~L2(S2)

dr.

Idée de la démonstration. –Soit Gj = 1cjGj et Fj(ρ, θ) = ReGj(ρ, θ). On a doncu∞,0j (t,x) =

|x|−1cjFj(|x| − cjt,x/|x|), u∞,kj (t,x) = −|x|−1θkFj(|x| − cjt,x/|x|) avecθ = x/|x| = (θk)16k63.

Les Pj étant des projecteurs orthogonaux, on aθ ∧ F1(r, θ) = 0 et θ · F2(r, θ) = 0. Par l’identité dudouble produit vectoriel, on a :Fj(r, θ) = (Fj · θ)θ − θ ∧ (θ ∧ Fj), d’où |F1(r, θ)| = |F1(r, θ) · θ| et|F2(r, θ)|= |F2(r, θ)∧ θ|.PrenantK(t) =B et notant‖ · ‖B = ‖ · ‖~L2(B(t,τ1(t),τ2(t))), on a alors :

E(u,B, t) =∥∥u∞,01 +u∞,02

∥∥2

B+ λ

∥∥∥∥ 3∑i=1

(u∞,i1,i + u∞,i2,i

)∥∥∥∥2

B

+ 2µ

3∑i=1

∥∥u∞,i1,i + u∞,i2,i

∥∥2

B

+ µ(∥∥u∞,21,1 + u∞,22,1 + u∞,11,2 + u∞,12,2

∥∥2

B+∥∥u∞,31,1 + u∞,32,1 + u∞,11,3 + u∞,12,3

∥∥2

B

+∥∥u∞,31,2 + u∞,32,2 + u∞,21,3 + u∞,22,3

∥∥2

B

)+ ot(1),

et donc

E∞(u,B, t) =∥∥u∞,01 +u∞,02

∥∥2

B+ (λ+ 2µ)

∥∥∥∥ 3∑i=1

(u∞,i1,i + u∞,i2,i

)∥∥∥∥2

B

− 2µ

3∑i,`=1, i6=`

∫B

(u∞,i1,i + u∞,i2,i

)(t,x)

(u∞,i1,i + u∞,i2,i

)(t,x) dx+ µ

∥∥u∞,21,1 + u∞,22,1 + u∞,11,2

842

Distribution asymptotique

+ u∞,12,2

∥∥2

B+∥∥u∞,31,1 + u∞,32,1 + u∞,11,3 + u∞,12,3

∥∥2

B+∥∥u∞,31,2 + u∞,32,2 + u∞,21,3 + u∞,22,3

∥∥2

B

=K + (λ+ 2µ)J + µI,

avecK = ‖~u∞,01 + ~u∞,02 ‖2B, J =∥∥∑3

i=1(u∞,i1,i + u∞,i2,i )∥∥2

Bet

I =∥∥u∞,21,1 + u∞,22,1 + u∞,11,2 + u∞,12,2

∥∥2

B+∥∥u∞,31,1 + u∞,32,1 + u∞,11,3 + u∞,12,3

∥∥2

B

+∥∥u∞,31,2 + u∞,32,2 + u∞,21,3 + u∞,22,3

∥∥2

B− 2

3∑i,`=1, i6=`

∫B

(u∞,i1,i + u∞,i2,i

)(t,x)

(u∞,i1,i + u∞,i2,i

)(t,x) dx.

Les intégralesK , J et I sont données en fonction desFj(r, θ) par le lemme suivant dont la démonstrationest très technique :

LEMME 2. –On a

K = (λ+ 2µ)

∫ c1τ2(t)

(c2−c1)t+c2τ1(t)

∥∥F1(r, ·)∥∥2~L2(S2)

dr+ µ

∫ (c1−c2)t+c1τ2(t)

c2τ1(t)

∥∥F2(r, ·)∥∥2~L2(S2)

dr,

J =

∫ c1τ2(t)

(c2−c1)t+c2τ1(t)

∥∥F1(r, ·)∥∥2~L2(S2)

dr, I =

∫ (c1−c2)t+c1τ2(t)

c2τ1(t)

∥∥F2(r, ·)∥∥2~L2(S2)

dr.

Le lemme 1 en découle alors aisément.Par ailleurs, utilisant la formule de Parseval et le lemme de Fubini, on montre facilement le :

LEMME 3. –Pour toutf ∈D(A1/2) = ~L12(Ω) etg ∈ ~L2(Ω), on aE(u,Ω,0) = 2‖F0‖2~L2(R×S2)

.

Des deux lemmes précédents, on déduit le corollaire :

COROLLAIRE 1. – (i)Supposons qu’on a en plus: limt→+∞ τ1(t) =−∞, limt→+∞ τ2(t) = +∞. Alorslimt→+∞E(u,B(t, τ1(t), τ2(t)), t) =E(u,Ω,0).(ii) Pour tout sous-ensemble mesurable bornéK deΩ, on alimt→+∞E(u,K, t) = 0.

Démonstration. –Le point (i) est une conséquence immédiate des lemmes 1–3. (ii)K étant borné,il existe r > r0 tel queK ⊂ Ωr. Choisissonsτ1(t) = (r − c2t)/c2, τ2(t) = +∞. Alors K ⊂ Ωr ⊂Ω−B(t, τ1(t), τ2(t)) pour toutt. Par conséquent,

06E(u,K, t)6E(u,ΩrB

(t, τ1(t), τ2(t)

), t)

=E(u,Ω,0)−E(u,B, t).

Il suffit alors de faire tendret vers plus l’infini et d’utiliser (i). 2On peut utiliser ce qui précède pour montrer des résultats plus précis sur la concentration asymptotique

des solutions à énergie finie. La nature des ensembles dans lesquelsu(t, x) est concentré pourt assezgrand est déterminée par les conditions initiales via les fonctionsF0

j . Pour préciser cette idée, soientε > 0

etS = S(f ,g, ε)⊂R× S2 un ensemble vérifiant :

2∑j=1

∥∥F0j

∥∥2~L2(R×S2)

− ε

46

2∑j=1

∫S

∣∣F0j (r, θ)

∣∣2 drdθ 62∑j=1

∥∥F0j

∥∥2~L2(R×S2)

. (2)

Un tel ensemble existe. On définit alors les ensembles :

Stj =

(r + cjt, θ); (r, θ) ∈ S⊂R× S2, j = 1,2,

S± = S ∩

(r, θ); ±r> 0, St,+j = Stj ∩

(r + cjt, θ); ±(r+ cjt)> 0

,

Kt =x= rθ; (r, θ) ∈ St,+1

⊂R3.

843

M. Mabrouk, Z. Helali

Alors St2 ⊂ St1,Kt =x= rθ; (r, θ) ∈ S ∩ (r, θ); r >−c1t

et on a :

THÉORÈME 2. –Soientf ∈D(A1/2), g ∈ ~L2(Ω), ε > 0 etS = S(f ,g, ε) un sous-ensemble deR× S2

vérifiant(2). Il existe une constantet0 = t0(f ,g, ε) telle que

E(u,Ω,0)− ε6E(u,Ω∩Kt, t)6E(u,Ω,0), ∀t> t0.

Considérons maintenant un cône de sommet l’origine :C = x = rθ : r > 0, θ ∈ C0, oùC0 est unsous-ensemble mesurable deS2. On a :

THÉORÈME 3. –La distribution asymptotiqueE∞(u,Ω ∩ C) = limt→+∞E(u,Ω ∩ C, t) existe et estdonnée par :

E∞(u,Ω∩C) =

2∑j=1

∫C

|cj |p∣∣f−j (p) + i g−j (p)

∣∣2 dp= 2∥∥F0

∥∥2~L2(R×C0)

=

∫C

∣∣ΦW+(A1/2f + ig

)∣∣2 dp.

Pour un cône quelconqueC+x de sommetx ∈R3 et oùC est un cône de sommet l’origine, on a encoreE∞(u,Ω∩ (C +x)) =E∞(u,Ω∩C).On considère maintenant une plaque infinieΣ = x : d1 6 x ·x6 d2, oùd1, d2 sont des constantes etxest un vecteur unitaire. On a alors comme dans le cas de l’acoustique :E∞(u, S) = 0.

4. Conclusion

Dans ce travail, nous avons réussi à prolonger à l’élasticité, les principaux résultats démontrés parC. Wilcox concernant les fonctions d’onde asymptotiques et la répartition asymptotique de l’énergie dansle cas des ondes acoustiques, se propageant dans l’espace perturbé par un obstacle borné de bord libre. Bienque ces résultats puissent être a priori conjecturés, il était tout de même nécessaire et utile de les prouverrigoureusement. Outre les difficultés techniques sérieuses, il y a lieu de souligner que nous avons été obligésde restreindre la classe d’obstacles admissibles, excluant par là même le cas des fissures par exemple, quiest justement l’un des objectifs essentiels de tout système de détection non destructive de défauts ! Uneextension au cas d’un milieu anisotrope ainsi qu’au système de l’élasticité généralisée (voir [6]) est encours.

Les preuves détaillées de cette Note, ainsi qu’une bibliographie plus complète sont dans [5].

Références bibliographiques

[1] Helali Z., Théorie du scattering de C. Wilcox en élasticité, Thèse no 689, Besançon, 1998.[2] Wilcox C.H., Scattering Theory for the d’Alembert Equation in Exterior Domains, Lect. Notes in Math. 442,

Springer-Verlag, New York, 1975.[3] Wilcox C.H., Asymptotic wave functions and energy distributions for the d’Alembert wave equation, ONR

Technical Summary Rept.# 24, Univ. of Utah, March 1974.[4] Mabrouk M., Helali Z., La théorie du scattering de C. Wilcox en élasticité, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I 330 (2000)

1039–1044.[5] Mabrouk M., Helali Z., Asymptotic profiles and asymptotic distribution of energy in elastic waves scattering,

(submitted).[6] Weck N., Witsch K.J., Generalized linear elasticity, Math. Meth. Appl. Sci. 20 (1997) 1469–1500.

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