Dual Et Quasi-Dual D'Une Algebre de Banach Involutive

Dual Et Quasi-Dual D'Une Algebre de Banach InvolutiveAuthor(s): J. DixmierSource: Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 104, No. 2 (Aug., 1962), pp.278-283Published by: American Mathematical SocietyStable URL: http://www.jstor.org/stable/1993579 .

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DUAL ET QUASI-DUAL D'UNE ALGEBRE DE BANACH INVOLUTIVE

PAR

J. DIXMIER

Le present travail est une suite a un memoire de J. A. Ernest [4]. Pour abreger, nous renvoyons a [4] pour les definitions et les notations principales.

Soit W? une algebre de Banach involutive separable. On considere les representations factorielles de W? dans des espaces hilbertiens separables('); les classes de quasi-equivalence de telles representations forment un ensemble O? qui a ete muni dans [4] d'une structure borelienne; l'espace borelien W? est appele quasi-dual de W?. Par ailleurs soit

'" l'ensemble des classes d'6equiva-

lence de representations irreductibles de W? dans des espaces hilbertiens separables; l'ensemble "? a 'te muni par G. W. Mackey [7] d'une structure borelienne; l'espace borelien "W est appele dual de W.

Deux representations irreductibles de W? sont quasi-equivalentes si et seulement si elles sont equivalentes. D'autre part, une representation fac- torielle i- de W' est quasi-equivalente a une representation irreductible si et seulement si i- est de type I. Par suite, il existe une application bijective evidente 4D de "W sur l'ensemble W,I C* des classes (pour la quasi-equivalence) de representations factorielles de type I de W. Nous montrerons dans ce memoire que *2I est une partie borelienne de *2 et que 4D est un isomorphisme d'espaces boreliens. Des resultats partiels dans cette direction (non publies) avaient deja ete obtenus par J. A. Ernest.

Rappelons qu'on note H1, H2, , * * , H00 les espaces hilbertiens separables types de dimension 1, 2, *, 0; qu'on note W' l'ensemble des representations de cW dans Hn, Wc, la reunion des W', cW' l'ensemble des representations factorielles appartenant a W,C; nous noterons 1Wirr l'ensemble des representations irreductibles appartenant "a W,. L'ensemble WQC est muni d'une structure d'espace borelien standard, et W', WP, cWirr sont des sous-ensembles boreliens de W,,.

Si H est un espace hilbertien, on designera par L(H) 1'ensemble des operateurs lineaires continus dans H.

Dans les Lemmes 1 et 2, nous sommes obliges de reprendre les raisonne- ments de [1, ?6, Lemme 3 et Theoreme 4], avec des hypotheses legerement differentes. Nous adoptons les notations de [1]. Rappelons qu'on appelle crible une suite C= (Cn, Pn)n20 telle que, pour tout n, Cn soit un ensemble

Received by the editors September 11, 1961. (1) Toutes les representations 7r de W que nous considerons sont "non deg6ne'res" en ce

sens que les vecteurs 7r(x)t (x parcourant W et t parcourant 1'espace H de la representation) sont partout denses dans H.

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denombrable et pn. une surjection de C.+1 sur C.. Rappelons aussi qu'on appelle espace polonais un espace separable E dont la topologie peut etre definie par une distance rendant E complet.

LEMME 1. Soit E un espace metrique s6parable. II existe un crible C (C,n Pn)nao et, pour chaque entier n_O, une application On de Cn dans l'ensemble des parties ouvertes non vides de E de diametre <2-n, de maniere que

(a) E soit la reunion des Oo(c) lorsque c parcourt Co; (b) pour tout n, et tout cE Cn, cn(c) soit la reunion des [f5n+l(c')]-, oI c'

parcourt p' (c).

I1 suffit de reprendre le raisonnement de [1, ?6, Lemme 3], en remplaSant les ensembles fermes par des boules ouvertes, et en remarquant que, si B est une boule ouverte de E de rayon a>0, il existe un recouvrement de B par une suite de boules ouvertes Bn de rayon <a/2 et telles que Bn CB.

LEMME 2. Soient E un espace polonais, R une relation d'equivalence dans E. Supposons que les classes d'gquivalence suivant R soient fermges dans E, et que le sature pour R de tout ensemble ouvert soit borelien. Alors il existe un ensemble borelien dans E qui rencontre chaque classe d'equivalence en un point et un seul.

Considerons sur E une distance compatible avec la topologie et pour laquelle E soit complet. Soient C= (Cn, Pn) et (qn) avec les proprietes du Lemme 1. Pour chaque cC Cn, soit gn(c) le sature pour R de l'ensemble ouvert 4n(c); par hypothese, gn(c) est borelien dans E. Exactement comme dans [1, ?6, Theoreme 4], on definit, pour tout n et tout cECn, les hn(c), puis les ensembles decroissants Sn, et S=nn Sn, qui sont encore boreliens. Pour tout entier n > 0 et toute classe d'equivalence H suivant R, il existe un element et un seul cCCn, soit c=cn(H), tel que hn(cn(H)) rencontre H; et l'on a hn(cn(H)) n\H= q5n(Cn(H)) )H, S,nNH= q5n(Cn (H)) nH, S = n nOn(Cn(H)) nH,Pn(cn+l1(HO) =cn(H). (L'argument de [1], purement ensembliste, s'applique mot pour mot.) Comme [cn+l(cn+l(H)) ]_ C 4 n(Cn(H)), on a nn q n(Cn(H)) n H =nn [On(cn(H))]-nH. Or les [4n(cn(H))]7nH sont des ensembles fermes decroissants de diametre _ 2-, donc leur intersection se reduit a un point. Donc SnH se reduit a un point, ce qui prouve le lemme.

LEMME 3. Soient G un groupe topologique polonais, G' un sous-groupe ferme de G. II existe une partie borelienne de G qui rencontre chaque classe L gauche suivant G' en un point et un seul.

En effet, si R est la relation d' equivalence de G dont les classes sont les classes a gauche suivant G', les conditions du Lemme 2 sont evidemment remplies.

Rappelons que, sur l'ensemble des operateurs unitaires d'un espace hilbertien, les topologies faible et forte coincident, et sont compatibles avec la structure de groupe.



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LEMME 4. Soient H un espace hilbertien separable, G le groupe des operateurs unitaires de H. Poutr la topologie forte (ou faible), G est un groupe polonais.

En effet, la boule unite L1(H) de L(H) est compacte separable pour la topologie faible, donc est un espace polonais. I1 suffit [1, ?6, Theoreme 1 ] de montrer que G est intersection denombrable de parties faiblement ouvertes de L1(H). Or, si (xi) est une suite partout dense dans la sphere unite de H, G est l'ensemble des TCL1(H) tels que || TxiIl > 1-1/]j, | T*xiII > 1- 1/j quels que soient i et j. Et chacune de ces inegalites definit une partie faiblement ouverte de L1(H).

Ceci pose, nous revenons aux notations du debut de cet article. Pour n = 1, 2, . . , 00, soit WI. C'VP l'ensemble des representations i- de W telles que i-('W)' soit un facteur de type I.. On a WQIJ= Wirr. Soit 'W la reunion des CWi.. Alors 'WI est 1'ensemble des representations factorielles de type I de W? (dans H1, H2, , H,). Les ensembles WIn sont satures pour l'equivalence unitaire mais pas pour la quasi-equivalence; au contraire, WI est sature pour la quasi-equivalence. Une representation de Wjn est unitairement equivalente a une representation de la forme wrr0 . .*. * r (n termes) avec 7r irreductible. Les ensembles Wln ont tous la meme image QWI dans W.

LEMME 5. Soit B une partie borelienne de CWirr saturee pour l'equivalence unitaire. Soit C l'ensemble des e'lments de 'WI, quasi-equivalents a un element de B. Alors C est borelien dans Wc.

Les ensembles BnlSQ, B(WY , sont boreliens et satures pour l' equivalence unitaire. I1 suffit de raisonner sur chacun de ces ensembles. Autrement dit, nous supposerons desormais que les elements de B operent dans un Hn. Alors les elements de C operent dans H, Nous exposerons la demonstration pour n = p = co (les autres cas se traitent de maniere analogue et un peu plus simple). Posons alors H, = H,= H.

Soit (K1, K2, * - * ) une suite infinie de sous-espaces vectoriels fermes de dimension infinie de H, deux a deux orthogonaux, de somme hilbertienne H. Soit Jn un isomorphisme de H sur K.. Pour tout TCL(H), les operateurs JnTJ,- ' definissent par linearite et continuite un operateur T' dans H, et T-->T' est un isomorphisme de L(H) sur un facteur F de type I,, ensemble des operateurs lineaires continus de H qui laissent stables les Kn et dont les parties induites dans les Kn sont echangees par les isomorphismes Jn J '. Le commutant F' de F est aussi un facteur de type Jo. Soit -r une representation de nW dans H. On notera -r' la representation x-+w(x)' de 'W dans H. Si rGwirr 7r'(W) engendre le facteur F. L'application w-*w' est evidemment injective, et elle est borelienne; car soient t=1+ 2+ * * ? I, n =f1?+f2?+

GH, avec ;i, 'qieKi; on a, pour xC?W,

O'(X() 1 7) = Z (Jnir(X)Jn 'tz I |nn) = Z (7r(X)JnTn I JI11) n21 nal



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et chaque terme (wr(x)Jn', lI J'-'7t,) est une fonction borelienne de r. D'apres [7, Theoreme 3.2 ], l'ensemble B' des rx', oU ir parcourt B, est une partie borelienne de 'c, contenue dans WI,..

L'ensemble C de l'enonce est la reunion des UB'U-1, otu U parcourt le groupe G des operateurs unitaires de H. Autrement dit, C est l'image de GXB' par l'application 0: (U, a)-UU-1 de GXB' dans W-. Sur G, la topologie forte ou faible definit une structure borelienne standard, et 8) est une application borelienne [7, p. 152]. Nous allons montrer que, pour un element U de G, les conditions suivantes sont equivalentes (pourvu que B S0, cas auquel on peut evidemment se limiter):

(1) UFU-I= F; (2) U= VW, avec V, W unitaires, VE F, WE F'; (3) UB' U-1 = B'; (4) il existe 7r,, 7r2CB' tels que U7r1U'-=r2. (4)=>(1): soient ri, ir2GB' avec Uw1U=X=72. Alors Ui1(W)U'U1=w2(W),

donc, en prenant les adherences faibles, UFU-1= F. (1)=>(2): si UFU-' = F, U definit un automorphisme de F. Or tout auto-

morphisme d'un facteur de type I est defini par un operateur unitaire de ce facteur [2, p. 253, Proposition 3] appliquee 'a L(H)). Il existe donc un operateur unitaire V de F tel que W= V-1 U definisse l'automorphisme identique de F, autrement dit appartienne a F'. Et on a U= VW.

(2)=?(3): Soit U= VW, avec V, W unitaires, VE F, WC F'. Soit xEBB. On a Wwx'(x)W-T- r'(x) pour tout xC-W. D'autre part, Vest de la forme T' avec un operateur unitaire T dans H. Alors Vx'(x) V-1 = (T7r(x) T-1)', donc Vir'V-1'= (TirT-)'. Or T7rJ7'EzB puisque B est sature pour lequivalence unitaire. Donc U7r' U-'CB', et finalement UB'U-1=B'.

(3)===(4): e'vident. Les conditions (1)-(4) definissent un sous-groupe G' de G. Sur la condition

(1), il est clair que G' est ferme. D'apres les Lemmes 3 et 4, il existe un sous- ensemble borelien S de G qui rencontre chaque classe 'a gauche de G suivant G' en un point et un seul. Montrons que O(GXB') =- (SXB'). Il est clair que 0 (G X B') D E) (S X B'). Reciproquement, soient UE G, a G B'. On a U = Ui U2 avec U1GS, U2GG'. Alors 0((U,o)= Ui(U2oU;')UT 'C UiB'UT ' C8J(SXB') d'apres la condition (3) ci-dessus, d'oiu l'egalite annoncee. Montrons que la restriction de 0 a SXB' est injective. Soient 7r1, ir2EB', et W1, W2ES, tels que W11WiW1 = W27r2WF1; alors Wi' W, verifie la condition (4) ci-dessus, donc W, et W2 appartiennent a la meme classe a gauche suivant G', donc W1 -W2, et alors lT1=w2. Ceci pose, C=E)(SXB') est borelien dans "Wc d'apres [7, Theoreme 3.2].

THEOREIME 1. Soit n = 1, 2, * * * , ?. L'ensemble W,,, est une partie borelienne de Wc. L'ensemble SW, est une partie borglienne de 'We.

La premiere assertion resulte du Lemme 5 applique a B= = irr. La



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deuxieme assertion resulte de la premiere.

COROLLAIRE 1. Les ensembles WI., WI, munis de la structure borelienne induite par celle de WC, sont des espaces boreliens standard.

COROLLAIRE 2. I est une partie borelienne de w.

Comme on l'a remarque dans l'introduction, l'injection canonique i de Whir dans W'I definit par passage aux quotients une bijection ctl de

'\" sur 5W?I.

THEOREME 2. L'application 4? est un isomorphisme de l'espace borelien W sur l'espace borelien *I.

w irr WI

q I IP A

Soient P: WI--+W, et q: sWirr >W les applications canoniques. Soit S une partie borelienne de *I. Alors p-l(S) est une partie borelienne de W, saturee pour la quasi-equivalence. Donc i-(p-'(S)) = q-1(4-'(S)) est une partie borelienne de Wirr saturee pour l'equivalence unitaire. Donc 4?D1(S) est borelien dans W.

Soit T une partie borelienne de W. Alors q-'(T) est une partie borelienne de eQirr saturee pour l'equivalence. L'ensemble p-1(4?(T)) est le sature de i(q-'(T)) pour la quasi-equivalence. Appliquant le Lemme 5 avec B =q-(T), on voit que cet ensemble est borelien dans WI. Donc 4?(T) est borelien dans W7I.

Le Theoreme 2 permet d'identifier W a un sous-espace borelien de W". Appendice: application du Lemme 2 a un probleme de Mackey. Mackey

a montre [7, Theoreme 8.5] que, s'il existe dans Wirr un ensemble borelien rencontrant chaque classe d'equivalence en un point et un seul, l'espace borelien W. est denombrablement separe. On va voir que la reciproque est vraie:

THEOREME 3. Si l'espace borelien W2 est denombrablement separe', il existe dans Wirr un ensemble borelien rencontrant chaque classe d'equivalence en un point et un seul.

II existe une C*-algebre W' associee a W telle que les representations de 'W dans un espace hilbertien s'identifient a celles de W'; et on voit tout de suite que cette identification est compatible avec la topologie de la convergence simple forte. On peut donc supposer desormais que W est une C*-alge'bre. Alors, l'hypothese que W est denombrablement separe entraine que W est GCR ([3, Theoreme 1] et [6, Theoreme 2]).

Pour n=l1, 2, * * * , 00, soient sSir l'ensemble des repr'sentations irreductibles de W dans H., et "W l'image de W irr dans W. Pour la topologie de



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la convergence simple forte, wirr est un espace polonais [3, Lemme 4]. La topologie quotient de celle de W,rr sur W. est la topologie induite sur W, par la topologie naturelle de W^ [5, Corollaire du Theoreme 3.1]. Comme W' est GCR, cette topologie possede la propriete suivante [3, p. 7]: il existe une famille croissante bien ordonnee (U,),pp de parties ouvertes de ", avec P denombrable, telle que les Vp = U+ - Up forment une partition de "W et soient separes. Chaque Vp est l'intersection d'une partie ouverte et d'une partie fermes de W^. Soit W,irr l'image reciproque de Vp dans Wirr. Alors wirr est dans Wirr l'intersection d'une partie ouverte et d'une partie fermee, donc un Ga; donc p est un espace polonais [1, ?6, TheorZeme 1]. Le sature dans sinrr d'une partie ouverte est ouvert puisque l'equivalence unitaire dans Wc est definie par une groupe d'homeomorphismes. Enfin, comme Vp est separe, les classes d'equivalence sont fermees dans W,,r. On peut donc appli- quer le Lemme 2: il existe une partie borelienne de W"' rencontrant chaque classe de W"' en un point et un seul. Ceci etant vrai pour tout n et tout p, le theoreme est demontre.

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INSTITUT HENRI POINCARP, PARIS, FRANCE



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