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Cours de Maths de 1ère ES

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ECHANTILLONNAGELe principe :On considre par exemple l'exprience suivante consistant lancer plusieurs fois un d et noter si la face suprieure affiche est un 4 ou un autre nombre.

La valeur suppose et thorique de la probabilit d'obtenir un 4 est .

La mise en dfaut ou non de cette exprience, nous permettra d'affirmer s'il est raisonnable de penser que le d est pip ou ne l'est pas.

En ralisant l'exprience un certain nombre de fois (chantillon), on mesure la frquence d'apparition du 4. Si la frquence et la valeur thorique sont trop "loignes" (dpassent un seuil fix) alors on peut rejeter la valeur thorique et considrer que le d est pip. Dans le cas inverse, on considre qu'il ne l'est pas.

I. EchantillonDfinitions : On obtient un chantillon de taille n en prlevant n lments d'une population au hasard, successivement et avec remise.

Un chantillonnage est le prlvement d'un chantillon dans une population.Exemples :

On lance plusieurs fois une pice de monnaie, on note si elle tombe sur "pile" ou "face".

On tire au hasard une boule dans une urne qui ne contient que des boules rouges et des boules blanches. On s'intresse au nombre de boules rouges tires.

Si l'effectif est grand, on peut considrer qu'un prlvement d'un chantillon sans remise est assimil un prlvement avec remise. C'est le cas, par exemple, d'un sondage "sortie des urnes" une lection.

Proprit : On considre une population dont une proportion p des individus possde un caractre donn.

On prlve dans cette population un chantillon de taille n.

La variable alatoire qui associe le nombre d'individus possdant ce caractre suit une loi binomiale de paramtres n et p.

Exemple :

On fait l'hypothse que 55% des lecteurs ont vot pour le candidat A. On interroge au hasard la sortie des urnes 50 personnes.

X est la variable alatoire qui compte le nombre k de personnes qui ont vot pour le candidat A.

La loi de probabilit de X est une loi binomiale de paramtre n = 50 et p = 0,55.On a ainsi :

k1718192021222324252627

P(X=k)0,0010,0030,0060,0120,0210,0340,050,0690,0870,1020,112

k2829303132333435363738

P(X=k)0,1120,1040,0890,070,0510,0340,0210,0120,0060,0030,001

Pour k38, les probabilits sont infrieures 10-3 et peuvent tre considres comme ngligeables.

Avec le tableur :Il est possible d'obtenir la loi de probabilit.

Avec la loi binomiale B(50 ; 0,55):

Pour calculer P(X = 20), il faut saisir: =LOI.BINOMIALE(20;50;0,55;0)Pour calculer P(X ( 20), il faut saisir: =LOI.BINOMIALE(20;50;0,55;1)

II. Intervalle de fluctuationDfinition : On considre une population dont une proportion p des individus possde un caractre donn.

On prlve dans cette population un chantillon de taille n.

Soit X la variable alatoire associe au nombre d'individus possdant ce caractre.

L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % associe la variable alatoire X est : o : - a est le plus petit entier tel que : P(X ( a) > 2,5% - b est le plus petit entier tel que : P(X ( b) ( 97,5%Remarque :

Dire que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est signifie que pour un chantillon de n personnes, il y a au moins 95 % de chance qu'il y ait entre % et % des individus qui possdent le caractre donn.

Exemple :On reprend l'exemple du paragraphe prcdent en cumulant les probabilits :

k1718192021222324252627

P(Xk)0,0020,0050,010,0230,0440,0770,1270,1960,2830,3860,498

( ( (

P(Xa) > 0,025 Le plus petit est a = 21

K2829303132333435363738

P(Xk)0,610,7130,8020,8720,9230,9570,9780,9890,9950,9980,999

( ( (

P(Xb) 0,975

Le plus petit est b = 34.

L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est .

Pour un chantillon de 50 personnes, il y a au moins 95% de chance qu'il y ait entre 42 % et 68 % des lecteurs qui votent pour le candidat A.

Sur le graphique, la plus petite somme des probabilits suprieure ou gale 95 % est reprsente en bleue.

Avec le tableur :

Il est possible d'obtenir les probabilits cumules.

Proprit : Pour un chantillon de taille suprieure 30 l'intervalle est une bonne approximation de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.Exemple :

Dans l'exemple prcdent, on trouve :

III. Prise de dcisionCritre de dcision : Si la frquence observe appartient l'intervalle de fluctuation, on accepte l'hypothse au seuil de 95 %. Dans le cas contraire, on la rejette.

Exemple :

On reprend l'exemple du paragraphe prcdent.

On interroge 50 lecteurs la sortie des urnes. Parmi ceux-l, 22 affirment avoir vot pour le candidat A.

Peut-on accepter l'hypothse que 55% des lecteurs ont vot pour le candidat A ?

L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est .

La frquence observe est gale .

Comme 0,44 appartient l'intervalle de fluctuation, on en dduit qu'on peut accepter l'hypothse.

On ne peut cependant pas affirmer tre certain que l'hypothse est vraie. En effet, la probabilit de se tromper n'est pas nulle mais gale 0,05.Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, mme partielle, autres que celles prvues l'article L 122-5 du code de la proprit intellectuelle, ne peut tre faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.

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Yvan Monka Acadmie de Strasbourg www.maths-et-tiques.fr

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