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Économétrie des Données de Panel Ch 2. Modèles Linéaires Dynamiques

Économétrie des Données de PanelCh 2. Modèles Linéaires Dynamiques

Pr. Philippe Polomé, Université Lumière Lyon 2

M1 APE Analyse des Politiques Économiques

M1 RISE Gouvernance des Risques Environnementaux

2016 – 2017


Introduction

I Le Ch. précédent a présenté des variantes du MRL avecI des EF ou des EA etI des régressuers strictement exogènes

E [eit |ai , xi1, ..., xiT ] = 0, t = 1, ...,T

I Ce Ch. : Modèles linéaires en relaxant cette hyp.I Régresseurs endogènes E [eit |xijt ] 6= 0 pour au moins un j


Plan

I Tous les estimateurs de ce Ch. sont des applications de laMéthode Généralisée des Moments (GMM)

I Cas général linéaireI Rappel en coupe transversaleI Disponibilité des instruments en panel

I 2 applicationsI Hausman-Taylor

I Essayer de récupérer des régresseurs invariants dans le tempsI Arrellano-Bond

I p.e. variable dépendante retardée

I endogène en panel puisque autocorrélation


Théorie GMM en coupes transversales

Sommaire


GMM linéaire en panel

Estimateur Variable Instrumentale

Modèle Hausman–Taylor

Modèle dynamique



Le principe d’analogie

I Les estimateurs GMM sont basés sur le principe d’analogieI On suppose une ou pls conditions sur des moments de la

populationI On trouve des valeurs des paramètres t.q. ces conditions se

réalisent dans l’échantillon



Exemples classiques de MM

Sommaire

Théorie GMM en coupes transversalesExemples classiques de MMGMM




Modèle dynamiqueEstimateurs inconsistants ou inefficientsArellano–Bond




Estimation de la moyenne de la population (espérance)

I lorsque y est iid d’espérance µI Dans la population E [y � µ] = 0 par définition

I Replacer E [·] pour la population par N�1PNi=1 (·) pour

l’échantillon définit le moment empirique correspondant :

1N

NX

i=1

(yi � µ) = 0

I Résoudre pour µ définit l’estimateur MMµMM = N

�1

PNi=1

yi = y

I L’estimateur MM de l’espérance est la moyenne de l’échantillon




Régression linéaire en coupe transversaleI MRL y = x

0� + u

Ix & � sont des vecteurs K ⇥ 1

I Supposons E [u|x ] = 0I Par la loi des espérances itérées (law of iterated expectations)

IK conditions de moment inconditionnel E [xu] = 0

I Donc, quand l’erreur a zéro moyenne conditionnalle / est“exogène” / orthogonale

E

hx

⇣y � x

0�⌘i

= 0

I Estimateur MM de � = solution de ces mêmes conditions dansl’échantillon

1N

NX

i=1

xi

⇣yi � x

0i �⌘= 0

I Ça donne �MM =⇣P

i x0

i xi

⌘�1Pi x

0

i yi




Estimateur Variable Instrumentale (VI) linéaire

I Imaginons qu’il y ait endogénéité : E [u|x ] 6= 0I Si on a des instruments z t.q. E [u|z ] = 0 et

I Que ces instruments sont bons

I fortement corrélés avec les régresseursI Que dim (z) = dim (x) : exactement un instrument par

régresseurI modèle dit “exactement identifié”

I Alors �MM =⇣P

i z0i xi

⌘�1Pi z

0i yi est consistant

I alors que �OLS =⇣P

i x0

i xi

⌘�1Pi x

0

i yi est inconsistantI �MM est l’estimateur Variable Instrumentale VI

I une application du principe MM



GMM

Sommaire








GMM

Conditions de Moments supplémentaires

I Des moments/instruments additionels peuvent améliorerl’efficience

I mais demande une adaptation de MMI Considérons que dim (z) > dim (x)

I plus d’instruments que de régresseursI Quels instruments prend-t-on ? Toute sélection est arbitraire

I soit z1 et z2 deux sous-ensembles de z t.q.dim (z1) = dim (z2) = dim (x)

I Alors, �MM1 =⇣Z

0

1X⌘�1

Z

0

1Y 6=⇣Z

0

2X⌘�1

Z

0

2Y = �MM2



GMM

Définition GMMI Si on écrit les conditions de moment

E

hZ

⇣y � X

0�⌘i

I Donc : plus de conditions que de paramètres à estimerI L’estimateur GMM choisit � de sorte à ce que le vecteur de

conditions de moments dans l’échantillon1N

X

i

zi

⇣yi � x

0i �⌘

soit aussi petit que possible en termes quadratiquesI C’est-à-dire �GMM minimise :

QN (�) =

"1N

X

i

zi

⇣yi � x

0i �⌘#0

WN

"1N

X

i

zi

⇣yi � x

0i �⌘#

où WN est une matrice de poids dépendant de l’application



GMM

Comment choisir WN

?

I Soit dim (z) = r ; WN est r ⇥ r , sdp et ne dépend pas de �I Essentiellement, WN est un choix de pondération des

instrumentsI Pour retrouver k instruments pondérés

I Tout choix de WN définit un estimateur consistantI mais avec différentes variances (quand r > k)

I GMM spécifie le choix optimal de la matrice de poids WN

I selon chaque cas particulier (autocorrélation, hétérocédasticité)I t.q. �GMM a la plus petite variance asymptotique

I 3 cas en panel



Sommaire





Modèle dynamique



Hypothèses PanelI Soit le modèle linéaire en panel

yit = xit� + uit (1)

xit peut contenir des régresseurs invariants dans le temps et unintercept

I Pour le modèle de cette section, simplification :I

pas d’effet individuel ↵iI

xit comprend seulement des variables de la période couranteI Pas de retard

I On peut voir cette simplification comme si les données étaienttransformées

I comme dans le Ch. 1 avec les lestimateurs˜I En gras on empile les T observations pour le i

eme agent

yi = Xi� + ui (2)



EF et EA avec endogénéitéI Temporairement on remet les ↵i

I le modèle (1) yit = xit� + uit devientyit = ↵i + x

0it� + ✏it (3)

I Certains régresseurs dans xit sont supposés endogène, doncE [xit (↵i + ✏it)] 6= 0

I On appelle EA si 9 instruments Zi t.q. EhZ

0

i (↵i + ✏it)i= 0

I Alors on applique GMM selon les formules présentées + loinI On appelle EF s’il est seulement possible de trouver des

instruments t.q. EhZ

0

i ✏iti= 0, mais E

hZ

0

i↵i

i6= 0

I Dans ce cas, il faut éliminer les EF ↵i par différentiationcomme dans le Ch. 1

I et seuls les coefficients des régresseurs variables dans le tempssont identifiés

I C’est la même discussion qu’au Ch. 1



Conditions de moment GMM en panelI On revient au modèle sans les ↵i

I Donc on est soit en EA, soit en EF après élimination des ↵i

I On suppose une matrice T ⇥ r d’instruments ZiI

r � K est le nbr d’instruments / conditions de moment t.q.

E

hZ

0iui

i= 0 (4)

I L’estimateur GMM basé sur ces conditions minimise uneforme quadratique : �PGMM =" X

i

X0iZi

!WN

X

i

Z0iXi

!#�1

X

i

X0iZi

!WN

X

i

Z0iyi

!

I Cet estimateur est consistant pour autant que les conditionsde moment (4) tiennent

I 3 cas



Cas 1. Panel GMM juste identifié

I Dans ce cas r = K , donc dim (z) = dim (x)

I alors �PGMM se simplifie en l’estimateur VI quel que soit WN

�VI =

" X

i

X

0

iZi

!#�1 X

i

Z

0

iyi

!

I On voit bien que c’est la version panel de �VI =⇣X

0Z

⌘�1Z

0Y

I S’il y a des régresseurs exogènesI Ils sont leurs propres instruments

I Si r > K : plus d’instruments que de régresseursI Il faut utiliser la formule avec la matrice de poids WN

I Il y a 2 cas (diapo suivante)



Cas 2 & 3. estimateurs PGMM suridentifiés optimaux

I Hyp. pas d’hétéroscédasticité & pas d’autocorrélation

I �2SLS =

X

0Z

⇣Z

0Z

⌘�1Z

0X

��1

X

0Z

⇣Z

0Z

⌘�1Z

0y

I C’est le cas équivalent à MC en 2 étapes (MC2E / 2SLS)

I Pas de telle hyp. (robust)

I �2SGMM =hX

0ZS

�1Z

0X

i�1X

0ZS

�1Z

0y

I ^

S = 1N

Pi Z

0i ui u

0i Zi est un estimateur robuste de type White

IS est consistant pour la matrice r ⇥ r S = plim

1N

Pi Z

0i uiu

0i Zi

I C’est l’estimateur GMM en 2 étapes (2-Step GMM)I Premier pas est un estimateur consistant de � comme �2SLSI Ensuite on utilise les résidus ui = yi � Xi �2SLS pour calculer ^

S



Panel GMM suridentifiéI Dans beaucoup d’applications Zi est composé de valeurs

retardées des régresseursI endogènes &/ou exogènes

I Imaginons qu’on dispose de r instrumentsI On peut souvent supposer que le premier retard de chaque

régresseur est non-corrélé avec l’erreur couranteI donc xit�1 est disponible comme instrument additionel pour xitI appelé exogénéité faible / instruments prédéterminés

I On peut souvent poursuivre ainsi avec 2 retards, 3 retards...I On perd chaque fois une période d’observation, l’efficience

baisse...I mais on augmente le nombre d’instruments, l’efficience

augmenteI Le modèle est alors très facilement suridentifié

I Cela fait que même si on n’a pas d’endogénéité, panel GMMpeut être plus efficient que MC



Inférence Panel-robuste

I �PGMM est asymptotiquement normalI avec une matrice de var-cov asymptotique compliquée

I Un estimateur consistant de cette matrice existeI conditionnellement à un choix de WN

I et on peut supposer l’indépendance entre i

I Un estimateur robuste de type White existeI Il permet de calculer des et robustes à l’Het. et l’Autoc.I Mais ça n’est pas généralement implémenté dans les logiciels

I Sauf pour des cas particuliers (+ loin)

I Alternativement, Bootstrap est faisableI C’est comme dans le Ch. 1



Sommaire





Modèle dynamique




I Tous les modèles du Ch. 1 peuvent être estimés en ajoutantdes VI

I Les instruments sont spécifiés à la fin de la formuleI Après un signe |I Séparés par des +I Dans la commande plm

I On écrit, si p.e., le modèle est y ~ x1 + x2 + x3I avec x1 & x2 endogène et z1 & z2 des instruments externesI formula=y~x1+x2+x3 | x3+z1+z2I OU bienI formula=y~x1+x2+x3 | .-x1-x2+z1+z2




I Chaque instrument est conceptuellement associé à sonrégresseur spécifique

I Mais en pratique, tous les instruments sont utilisés pour toutesles régresseurs

I Les variables exogènes du modèle sont leurs propresinstruments

I La commande accepte plus d’instrument que de régresseurs,mais n’indique pas comment elle procède

I Deux estimateurs sont disponibles avec l’arg. inst.methodI bvk, Balestra & Varadharajan-Krishnakumar (1987), le défautI baltagi, Baltagi (1981)



Application : déforestation amazonienne

RappelI Le fichier de données est en ligne sur le site du coursI Données de 1988 à 2015 - on laisse tomber 1988 ama3

I États de l’Amazone légale (un état n’a pas 1988)I 9 états du bassin brézilien de l’Amazone

I Modèle CKE

yit = ↵i + �1

PIBhit + �2

PIBh2

it + �xit + ✏it

I On regarde dans x le PPCDAmI Plano para Prevenção e Controle do Desmatamento na

Amazônia legal



PPCDAmI Le Plan est actif à partir de 2004

I On pourrait imaginer le représenter par une dichotomiqueI On a le budget 2004-2015 complet pour 3 états

I Amapá, Mato Grosso, ParáI Parmi lesquels Mato Grosso et Pará sont les 2 gros

déforesteursI On a donc le principalI PP <- c("Amapá"","Mato Grosso","Pará")I ama4 <- ama3[ama3$Etat %in% PP,]

I Ce plan est en réaction à la déforestationI Donc, c’est un régresseur endogèneI On peut imaginer l’instrumenter par sa valeur passée

I Mais il faut tenir compte de la structure panelI On passe ama4 en pama4I

Defor_km2~PIBh2010R+PIBSQR+PPCDAm2010R

|PIBh2010R+PIBSQR+lag(PPCDAm2010R)



Sommaire





Modèle dynamique



Motivation

I Habituellement, en panel, l’endogénéitéI vient de régresseurs corrélés avec les effets individuels ↵i

I amène à l’inconsistance des estimateurs EAI L’estimateur within est consistant

I mais alors les coefficients des régresseurs invariants dans letemps ne peuvent être estimés

I alors qu’il y a beaucoup d’études dont ce serait précisément lebut



SpécificationI Modèle Hausman & Taylor

yit = x01it�1

+ x02it�2

+ w01i�1

+ w02i�2

+ ↵i + ✏it (5)

où x1it & w

1i ne sont pas corrélés avec ↵i mais x2it & w

2i le sontw indique les régresseurs invariants dans le temps

I C’est le modèle panel classiqueI sauf qu’on précise quels régresseurs sont corrélés avec ↵i et

lesquels sont invariantsI Tous les régresseurs sont non-corrélés avec "it

I La transformation Within zit = zit � zi élimine la corrélationavec ↵i

yit = x01it�1

+ x02it�2

+ ✏it

I Mais aussi les régresseurs invariants dans le temps



Estimateur Hausman–Taylor consistant

I x2i corrélé avec ↵iI mais pas avec la transformation within x2it = x2it � x2i

I Puisque la corrélation avec ↵i ne peut être qu’avec la partiede x2it 8t invariante au temps

I Donc x2it peut être utilisé comme instrument pour x2itendogène

I On prend pareillement x1it comme instrument pour x

1itI plutôt que x1it lui-même comme on ferait d’habitude

I Donc, même x1it exogène est instrumentéI car cela sépare x1it de sa partie invariante au temps x1i

I Celle-ci (x1i ) est utilisée comme instrument pour w2i endogèneI pourrait être un instrument faible

Iw

1i exogène est utilisé comme instrument pour lui-même



Estimateur Hausman–Taylor

yit = x01it�1

+ x02it�2

+ w01i�1

+ w02i�2

+ ↵i + ✏it# # # #

x1it x

2it w01i x

1i

I Identification des coef. des régresseurs invariants dans letemps �

I si # régresseurs exogènes variant dans le temps � #régresseurs endogènes invariants dans le temps

I c’est-à-dire si # de x1 � # de w2I C’est-à-dire si # instruments est au moins égal au # de

régresseurs w2

I Inefficient puisque cet estimateur ignore la structure decorrélation panel de (↵i + ✏it)



Exemple : Baltagi and Khanti-Akom (1990)

I 595 obs. d’individus sur 1976–1982I Du Panel Study of Income Dynamics (PSID)

lwage log-salaire, supposé fonction de : y Insted IT années d’éducation w

2

x1

wks VT le temps que la personne a tavaillé pour la firmex

2

x2

exp VT expérience de travailsi la personne (0/1)

smsa VT ... vit dans une grande agglomération

x

1

x1

bluecol VT ... est ouvriersouth VT ... vit dans le sudind VT ... est dans l’industriems VT ... est mariée

x

2

x2

union VT ... est syndiquéesex IT ... est un homme

w

1

w

1

black IT ... est African-American



EndogénéitéI Les IT sex , black sont exogènes : w

1

I Les VT exp, exp2, wks, ms, unionI Peuvent tous être corrélés avec les effets individuels inobservés

I = sont endogènesI Ces variables présentent-elles suffisamment de variation

within-panel pour être leurs propres instruments ?x2it = x2it � x2i

I Il faudrait regarder les variations within / between, mais onmanque d’une commande dans R

I On suppose que les VT bluecol , south, smsa, ind sont toutesexogènes : x

1

Ix1 est utilisé comme instrument pour l’endogène IT ed : w2

I L’instrument pour x1 is x1

I Corrélation suffisante pour identifier le coefficient de ed ?



Régression

I pht(lwage~wks+south+smsa+married+exp+I(exp^2)+bluecol+ind+union+sex+black+ed| sex+black+bluecol+south+smsa+ind, data=Wages,index=595)

I Donc endog : exp exp2 wks ms union edI Décomposition de la varience en �µ et �✏ : 0.975 et 0.025,

respectivementI indiquant qu’une large fraction de la variance totale de l’erreur

est attribuée à µi

I Les variables IT sex et black ne sont pas signif


Modèle dynamique

Sommaire





Modèle dynamique


Modèle dynamique

Dynamique

I Les régresseurs comprennent un retard de la variabledépendante

yit = �yi ,t�1

+ x0it� + ↵i + ✏it , i = 1, . . . ,N, t = 1, . . . ,T (6)

I On suppose |�| < 1I Dans les applications, cela peut être testé en utilisant des tests

de racines unitaires panelI ¬R racine unitaire, alors yit est une marche aléatoire (random

walk)I L’inférence n’est pas valide

I Pas dans ce cours


Modèle dynamique

Corrélation entre yit

& yi ,t�1

I On a à présent une corrélation sérielle dans yit

I directement via yi,t�1I en plus d’indirectement via la persistence donnée par ↵i

I Ces 2 causes amènent à différentes interprétations de lacorrélation dans le temps

I Du modèle précédent (6) avec � = 0I

yit = �yi,t�1 + ↵i + ✏it , on a

Cor [yit , yi ,t�1

] = Cor [�yi ,t�1

+ ↵i + ✏it , yi ,t�1

]= �Cor [yi ,t�1

, yi ,t�1

] + Cor [↵i , yi ,t�1

]

= � +1 � �

1 + (1 � �)�2

✏ / (1 + �)�2

↵

I La 2º égalité suppose Cor [✏it , yi ,t�1

] = 0I La 3º égalité s’obtient dans le cas particulier des EA

I avec ✏it ⇠ iid

⇥0,�2

✏

⇤& ↵it ⇠ iid

⇥0,�2

↵

⇤


Modèle dynamique

2 raisons possible de corrélation entre yit

& yi ,t�1

1. Véritable dépendance à l’état (True state dependence)I Quand la corrélation dans le temps est due au mécanisme

causal que yi,t�1 détermine yitI Cette dépendance est relativement grande si

I l’effet individuel est relativement petit ↵i ' 0I ou lorsque �2

↵ est petit par rapport à �2✏ car alors

Cor [yit , yi,t�1] ' �

2. Corrélation spurieuse entre yit & yi ,t�1

, sans mécanismecausal,

I due à de l’hétérogénéité inobservée ↵i

I donc � = 0I mais �OLS 6= 0 car Cor [yit , yi,t�1] = �2

↵/��2↵ + �2

✏

�comme

dans le Ch. 1I due à des questions de séries temporelles : yit is I(1)

I Pas dans ce cours


Modèle dynamique

Véritable dépendance à l’état vs. hétérogénéité inobservéeI Les 2 cas permettent une corrélation arbitrairement proche de

1 (100%)I parce que soit � ! 1 ou �2

↵/�2✏ ! 0

I Mais ces 2 explications ont des implications politiquesradicalement différentes

I On prend l’exemple des revenus yit

I Explication “Véritable dépendance à l’état”I Les revenus yit sont toujours au-dessus de la moyenne (ou

en-dessous)I même après avoir contrôlé pour les régresseurs xit

I car les revenus futurs sont déterminés par les revenus passésI Expication hétérogénéité inobservée

I � est en réalité petit mais des régresseurs important ont étéomis de xit ,

I ce qui amène à un ↵i élevéI qui fait que �LS semble élevé (facteurs confondants)

Véritable dépendance à l’état vs. hétérogénéité inobservée

I C’est-à-dire, les gens sont-ils pauvres (ou riches) parce queI Ils ont été pauvres (ou riches) ?

I Dans ce cas, il faut traiter la pauvreté en transférant del’argent

I Ou bien ont-ils des caractéristiques individuelles qui font qu’ilssont pauvres ?

I Dans ce cas, la pauvreté pourrait être traitée par exemple enaméliorant l’éducation ou la discrimination, selon lesrégresseurs significatifs


Modèle dynamique

Estimateurs inconsistants ou inefficients

Sommaire







Modèle dynamique


Inconsistance des estimateurs du Ch. 1

I Tous les estimateurs du Ch.1 sont inconsistants lorsqu’oninclut un retard de la variable dependante

I p.e. MCO de yit sur yi ,t�1

et xitI Erreur (↵i + ✏it), corrélée avec yi,t�1 par ↵i

I Estimateur Within : yit � yi sur (yi ,t�1

� yi ) et (xit � xi )avec erreur (✏it � ✏i )

Iyi,t�1 correlée avec ✏i,t�1 et donc avec ✏i

I Inconsistance aussi pour l’estimateur EA du Ch 1I puisqu’il s’agit d’une combinaison linéaire de within et between


Modèle dynamique


Modèle différences premièresI Le modèle dyn. (6) en diff. premières, t = 2, . . . ,T :

yit � yi ,t�1

= � (yi ,t�1

� yi ,t�2

) + (xit � xi ,t�1

)0� + (✏it � ✏i ,t�1

)

I MCO sur ce modèle est inconsistant parce que yi ,t�1

corréléavec ✏i ,t�1

I donc le régresseur (yi,t�1 � yi,t�2) corrélé avec l’erreur(✏it � ✏i,t�1)

I Donc l’estimateur D1 du modèle dyn, est aussi inconsistantI Par contre, on peut utiliser VI

I avec yi,t�2 comme instrument pour (yi,t�1 � yi,t�2)I

yi,t�2 instrument valide puisque non-corrélé avec (✏it � ✏i,t�1)I Ça pourrait encore dépendre de la corrélation sérielle des

erreurs ✏itI

yi,t�2 est un “bon” instrument puisque corrélé à(yi,t�1 � yi,t�2)


Modèle dynamique


Estimation plus efficiente du modèle en différences premières

I L’estimateur VI précédent est juste identifiéI il demande qu’au moins 3 périodes de données soient

disponibles pour chaque individuI Une estimation plus efficiente est possible

I En utilisant des retards supplémentaires de la variabledépendante comme instruments

I L’estimateur devient alors sur-identifié

I estimation par 2SLS ou 2SGMM


Modèle dynamique

Arellano–Bond

Sommaire







Modèle dynamique

Arellano–Bond

Estimateur Arellano–Bond

I L’estimateur panel GMM qui fait ça est appelé

Arellano–Bond �AB =

" NX

i=1

X0iZi

!WN

NX

i=1

Z0i Xi

!#�1

NX

i=1

X0iZi

!WN

NX

i=1

Z0i yi

!

I avecI

Xi est une matrice (T � 2)⇥ (K + 1) avec t

eme ligne⇣�yi,t�1,�x

0

it

⌘, T = 3, . . . ,T

Iyi est un vecteur (T � 2)⇥ 1 avec t

eme ligne �yit

I On est bien dans le modèle différences premièresI

Z est défini à la prochaine diapo


Modèle dynamique

Arellano–Bond


I Zi est une matrice (T � 2)⇥ r d’instruments :

Zi =

2

66664

z0i3 0 · · · 0

0 z0i4

...... . . . 00 · · · 0 z0

iT

3

77775

avec souvent z0it =hyi ,t�2

, yi ,t�3

, . . . , yi1,�x0it

i

I Donc on rajoute un instrument à chaque période


Modèle dynamique

Arellano–Bond


I Des retards de xit ou de �xit peuvent de plus être utilisécomme instruments

I et pour T suffisamment grand, on peut limiter le nombre deretards de yit qui sont utilisés comme instrument

I p.e. pas plus que yi,t�5

I 2SLS (“une” étape) et 2SGMM (“deux” étapes) correspondentà différentes matrices de poids WN

I selon le traitement de l’hétéroscédasticité et del’autocorrélation

I Voir section précédente


Modèle dynamique

Arellano–Bond

Exemple : données Arrellano-Bond

I firm = firm index (index, devrait être un facteur)I year = tI emp = employmentI wage = real wageI capital = gross capitalI output = industry outputI sector de 1 à 9 (devrait être un facteur)


Modèle dynamique

Arellano–Bond

Exemple : Estimateur Arellano-BondI commande pgmm

Ipgmm(log(emp)~lag(log(emp), 1 :2)+lag(log(wage), 0 :1)+log(capital)

+lag(log(output), 0 :1) | lag(log(emp), 2 :99),...)

I lagI Dans une commande plm, lag a une signification panelI lag(log(emp), 1 :2) = les deux 1º lags de log(emp) : empi,t�1

et empi,t�2I Instruments

I Dans gmm estimation, il y a des instruments “normaux” et desinstruments “gmm” instruments

I Les instruments gmm sont indiqués en 2º partie de formuleI lag(log(emp), 2 :99) veut dire que l’estimateur peut utiliser

tous retards de l’endogène – mais 3 :99 ?I Par défaut, toutes les variables du modèles qui ne sont pas des

intruments gmm sont des instruments normaux, avec la mêmestructure de retard

I Des instruments normaux peuvent être rajoutés dans une 3ºpartie de la formule (après un nouveau | )


Modèle dynamique

Arellano–Bond

Exemple : Estimateur Arellano-Bond

I commande pgmmI effect

I Par défaut "twoways", mais peut être aussi "individual" et“null”

I Si "null", le modèle est estimé en niveaux (permet d’estimerune modèle avec des données en différences 1º, sinon onimposerait des trends)

I Si “individual”, le modèle est estimé en différences 1º pouréliminer les ↵i

I Si "twoways", le modèle est estimé en différences 1º et onrajoute des trends

I model peut être "onestep" (défaut 2SLS) ou "twosteps"(2SGMM)

I “2SLS” assume pas autocorrélation & homoscé.

I La sortie est assez claire, vous devez pouvoir l’interpréter

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