Ejercicios Resueltos del Algebra de Baldor. Consultado en la siguiente dirección electrónica http://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm . Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente. Reducción de dos términos semejantes del mismo signo P r o c e d i m i e n t o Parareducirtérminossemejantesconelmismosignosesumanlos coeficientesdetodoslostérminosyseanteponealcoeficientetotalel mismo signo que comparten, y a continuación se escribe la parte literal. Reducir: 1.x + 2x. S o l u c i ó n : El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 1 y 2. La parte literal igual en todos los términos es x. 1 + 2 = 3;→x + 2x = 3x. 2.8a + 9a S o l u c i ó n : El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 8 y 9. La parte literal igual en todos los términos es a. 8 + 9 = 17;→8a + 9a = 17a. 3.11b + 9b S o l u c i ó n : El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 11 y 9. La parte literal igual en todos los términos es b. 11 + 9 = 20;→11b + 9a = 20b. 4.‐b ‐ 5b. Solución: El signo común a todos los términos es el ‐. Los coeficientes de los términos son1 y 5. La parte literal igual en todos los términos esb. 1 + 5 = 6;→ ‐b ‐ 5b = ‐6b. 5.‐8m ‐ m Solución: El signo común a todos los términos es el ‐. Los coeficientes de los términos son8 y 1. La parte literal igual en todos los términos esm. Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] 8 + 1 = 9;→‐8m ‐ m = ‐9m. 6.‐9m ‐ 7m Solución: El signo común a todos los términos es el ‐. Los coeficientes de los términos son9 y 7. La parte literal igual en todos los términos esm. 9 + 7 = 16;→‐9m ‐ 7m = ‐16m. Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Reducción de dos términos semejantes de distinto signo P r o c e d im i e n t o Parareducirdostérminossemejantesdedistintosigno,sehallala diferenciaentreloscoeficientesdelostérminos,colocandoantesdeesta diferencia el signo del coeficiente mayor (en valor absoluto) y a continuación se escribe la parte literal. Nota: dos términos semejantes con igual coeficiente y distinto signo se anulan. Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos Procedimiento Parareducirunpolinomioconmásdedostérminossemejantesyconsignos distintos, se procede así: 1) Se reducen a un solo término todos los positivos. 2)Se reducen a un solo término todos los negativos. 3)Se calcula la diferencia entre los coeficientes de los términos hallados en los dos pasos anteriores. 4) El signo que precederá la diferencia hallada en elpaso anterior será el que tenga el coeficiente mayor en valor absoluto de los términos hallados en los pasos (1) y (2). 5) Por último, se escribe la parte literal. R e d u c i r: Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Reducción de términos semejantes Reducción de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases P r o c e d i m i e n t o 1.Se agrupan los términos semejantes de cada clase en un mismo paréntesis 2.Se reducen los términos semejantes 3.Se da la respuesta, ordenando el polinomio resultante Nota:recordemosquelostérminossemejantessonaquellosquetienenlas mismas letras y afectadas por los mismos exponentes Reducir los polinomios siguientes: Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Productos notables a) Cuadrado de la suma de dos cantidades P r o c e d i m i e n t o 1.Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2."Elcuadradodelasumadedoscantidadesesiguala,elcuadradodela primeracantidad,máseldobleproductodelaprimeracantidadporla segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3.Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2 Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades P r o c e d i m i e n t o 1.Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2."El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3.Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2 Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] c) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades P r o c e d i m i e n t o 1. "Elproductodelasumaporladiferenciadedoscantidadesesigualal cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 2.Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] d) Cubo de un binomio P r o c e d i m i e n t o 1.Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3: 2. "Elcubodelasumadedoscantidadesesigualalcubodelaprimera cantidadmáseltriplodelcuadradodelaprimeraporlasegunda,másel triplodelaprimeraporelcuadradodelasegunda,máselcubodela segunda" 3."El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidadmenoseltriplodelcuadradodelaprimeraporlasegunda,másel triplodelaprimeraporelcuadradodelasegunda,menoselcubodela segunda" 4.Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] e) Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b) P r o c e d i m i e n t o 1.El desarrollo de los paréntesis da un trinomio 2.El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis (igual en ambos) 3.El segundo término será el producto de la suma de los términos independientes por el primer término común de los paréntesis 4.El tercer término será el producto de los términos inde pendientes Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Ejercicios varios. Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],[email protected],[email protected] e) Factor común P r o c e d i m i e n t o 1.Se identifica el factor común 2.Se divide cada término del polinomio por el factor común 3. Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno precedido de su respectivo signo) Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ [email protected],, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, f) Factor común por agrupación de términos P r o c e d i m i e n t o 1.Se agrupan los términos convenientemente, utilizando paréntesis 2.Se saca factor común de cada uno de los paréntesis 3.Se realiza una segunda factorización (el factor común será, en este caso, el paréntesis Factorizar o descomponer en dos factores: Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, g) Trinomio cuadrado perfecto Definición:Unacantidadesuncuadradoperfectocuandoeselresultadodelproductodedos factores iguales. P r o c e d i m i e n t o 1.Se ordena el trinomio 2.Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos 3.Se halla el doble producto de las raíces obtenidas en el paso anterior 4.Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo término del trinomioysielprimeroytercertérminostienenigualsigno,setratadeun trinomio cuadrado perfecto y se Factorizar como tal. 5. Seescribedentrodeunparéntesislasraícescuadradasdelprimery tercertérmino,separadasporelsignodelsegundotérmino,yelparéntesis elevado al cuadrado. Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, h) Diferencia de cuadrados perfectos P r o c e d i m i e n t o 1.Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2.Se abren dos paréntesis 3.En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en el paso 1. Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, i) Diferencia de cuadrados perfectos (caso especial) P r o c e d i m i e n t o 1.Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2.Se abren dos paréntesis 3.En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en el paso 1. 4.Se reduce, si es el caso Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, j)Trinomiocuadradoperfectoydiferenciadecuadradosperfectos(combinacióndeestosdos casos) P r o c e d i m i e n t o 1.Se identifica el trinomio cuadrado perfecto (o los ...) 2.Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto 3.Se factoriza la diferencia de cuadrados resultante 4.Se reduce, si es el caso Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, k) Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción P r o c e d i m i e n t o 1.Se ordena el trinomio 2.Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos 3.Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior 4. Secomparaelresultadoobtenidoenelpasoanteriorconelsegundo término del trinomio 5. Sesumaoresta,segúnelcaso,lacantidadnecesariaparacrearel segundo término del trinomio cuadrado perfecto 6. Serestaosesumalamismacantidadquesesumoorestoenelpaso anterior, para que el valor de la expresión no se altere Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, l) Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Factorizar una suma de dos cuadrados P r o c e d i m i e n t o 1.Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos 2.Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior 3.Se suma y se resta el producto hallado en el paso anterior 4.Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto así formado 5.Se factoriza la diferencia de cuadrados Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, P r o c e d i m i e n t o 1.Se ordena el trinomio 2. Seabrendosparéntesis,encadaunodeloscualesseescribiráun binomio 3.Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 4. Elsignoqueseparealbinomiodelprimerparéntesisseráelsegundo signo del trinomio 5.Seaplicala"leydelossignos"alproductodelossignosdelsegundoy tercertérminosdeltrinomio;ésteseráelsignoquesepareelbinomiodel segundo paréntesis 6. Silossignossoniguales,sebuscandosnúmeroscuyasumaseaigualal coeficientedelsegundotérminodeltrinomioycuyoproductoseaigualal tercer término del trinomio 7.Silossignossondiferentes,sebuscandosnúmeroscuyadiferenciasea igualalcoeficientedelsegundotérminodeltrinomioycuyoproductosea igual al tercer término del trinomio 8. Elmayorde losnúmeroshallados en uno de lospasos anteriores será el segundotérminodelprimerparéntesis,elmenordelosnúmerosseráel segundo término del segundo paréntesis 9. Sieltercertérminoesunnúmeromuygrandesedescomponeensus factoresprimosparafacilitarlabúsquedadelosnúmerosrequeridosenlos pasos 7 y 8 Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Casos especiales Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, P r o c e d i m i e n t o Para Factorizar esta clase de trinomios se lleva a la formay se factoriza 1.Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a 2.Se escribe el trinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c) 3.Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 4. Sesacalaraízcuadradadelprimertérminodeltrinomio,estaraízseráelprimer término de cada uno de los paréntesis 5.El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 6.Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo paréntesis 7Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8 Silossignossondiferentes,sebuscandosnúmeroscuyadiferenciaseaigualal coeficientedelsegundotérminodeltrinomioycuyoproductoseaigualaltercertérmino del trinomio 9. Elmayordelosnúmeroshalladosenunodelospasosanterioresseráelsegundo términodelprimerparéntesis,elmenordelosnúmerosseráelsegundotérminodel segundo paréntesis 10.Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la búsqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8 11. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común 12. Se simplifica Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Factorizar una expresión que es el cubo de un binomio P r o c e d i m i e n t o El desarrollo del cubo de un binomio es: Enestaclasedeejerciciossenosdaunaexpresióncomoelmiembroderechodelas identidades anteriores, es decir un cuadrinomio; y debemos constatar si se trata de un cubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las expresiones anteriores); para lo cual debemos proceder: 1.Se ordena el cuadrinomio en forma descendente o ascendente respecto a una letra 2.Se extrae la raíz cúbica del primero y cuarto términos del cuadrinomio 3. Seobservasitodoslossignossonpositivososisealternanpositivo‐negativo‐ positivo‐negativo 4. Setriplicaelcuadradodelaraízcúbicadelprimertérminoporlaraízcúbicadel cuarto término y se compara con el segundo término del cuadrinomio dado 5. Setriplicalaraízcúbicadelprimertérminoporelcuadradodelaraízcúbicadel cuarto término y se compara con el tercer término del cuadrinomio dado 6. Silasdoscomparacioneshechasenlospasos4y5sonpositivas,setratadel desarrollodel cubode un binomioy se factoriza como tal:dentrode unparéntesis se escribenlas raícescúbicasdel primero y cuarto términosdelcuadrinomioy separadas por el signo más o por el signo menos, según el caso; y se eleva al cubo el paréntesis 7. Silasdoscomparacioneshechasenlospasos4y5sonnegativas,nosetratadel desarrollo del cubo de un binomio y no se puede factorizar como tal Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Suma o diferencia de cubos perfectos P r o c e d i m i e n t o 1.Se abren dos paréntesis 2.En el primer paréntesis se escribe la suma o la diferencia, según el caso, de las raíces cúbicas de los dos términos 3.En el segundo paréntesis se escribe el cuadrado de la primera raíz, menos (si es una suma de cubos) o más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, mas el cuadrado de la segunda raíz Descomponer en dos factores: Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Casos especiales P r o c e d i m i e n t o 1.Se abren dos paréntesis 2.Enelprimerparéntesisseescribelasumaoladiferencia, según elcaso,delas raíces cúbicas de los dos términos 3. En el segundo paréntesis se escribe el cuadrado de la primera raíz, menos (si es una suma de cubos) o más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, mas el cuadrado de la segunda raíz Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Combinación de casos de factores Descomposición de una expresión algebraica en tres factores P r o c e d i m i e n t o 1.Se saca el factor común 2.Se factoriza la expresión resultante, aplicando el método de factorización requeridoporlaformadelpolinomio(estudiadosenlosdiezcasosde factorización: Ejercicios 89 a 110) Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Descomponer en tres factores: Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Descomposición de una expresión algebraica en cuatro factores Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación P r o c e d i m i e n t o Recordemos que "un polinomio entero y racional en x, que se anula para x = a, es divisible por x - a" (Corolario del Teorema del residuo) 1.Sacamos los divisores del término independiente 2.Hallamos el valor del polinomio, P(x), para cada uno de los divisores hallados en el paso anterior 3.Tomamos como correcto el divisor, a,para el cual el polinomio se anula (da cero): hemos hallado uno de los factores del polinomio; este factor es, x - a 4.Buscamos los coeficientes del otro factor por medio de la "División sintética" Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Ejercicios variossobre ladescomposición en factores Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que unpolinomiotienes raíces enteras esencontrar valoresde xnúmerosenterosquealsustituirlos en el polinomio nos da cero. Siunpolinomiode,porejemplo,cuartogrado ݔ ସ ݔ ଷ ݔ ଶ ݔ ,tienecuatroraíces enteras,ݔ ଵ, ݔ ଶ , ݔ ଷ , ݔ ସ, se factoriza ݔ ସ ݔ ଷ ݔ ଶ ݔ ሺݔ ݔ ଵ ሻሺݔ ݔ ଶ ሻሺݔ ݔ ଷ ሻሺݔ ݔ ସሻ Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini Ejemplo: Factorizar ݔ ସ 4ݔ ଷ ݔ ଶ 16ݔ 12 Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, ‐1, 2, ‐2, 3, ‐3, 4, ‐4, 6, ‐6, 12 y –12 Probemos con uno Se copian los coeficientes del polinomio: 1‐4‐116‐12 Y se escribe en una segunda línea el número uno 1 1‐4‐116‐12 El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea 1 1‐4‐116‐12 1 Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en este caso también uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del –4 1 1‐4‐116‐12 1 1 Se suma –4+1=‐3 1 1‐4‐116‐12 1 1‐3 Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, 1‐4‐116‐12 1‐3 Se multiplica –3 por 1=‐3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, ‐1 1 1‐3 Se suma –3‐1=‐4 y así sucesivamente 1 1‐4‐116‐12 1‐3‐412 1‐3‐4120 Comovemoslaúltimasumahadado cero.Esoquieredecirqueunoesunaraízdelpolinomioy que nos sirve para Factorizar. Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12. Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x‐1, y la última suma es el resto de dicha división. Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea que Dividendo=Divisor x Cociente + Resto ݔ ସ 4ݔ ଷ ݔ ଶ 16ݔ 12ሺݔ 1ሻሺݔ ଷ 3ݔ ଶ 4ݔ 12ሻ Dehechoyahemosfactorizadoelpolinomio,peroelsegundofactordetercergradohayque intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini. Aplicando sucesivas veces esta regla queda: 1 1‐4‐116‐12 1‐3‐412 1‐3‐4120 2 2 ‐2 ‐12 1‐1‐60 ‐2 ‐2 6 1‐30 Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x‐3 La factorización final es: ݔ ସ 4ݔ ଷ ݔ ଶ 16ݔ 12ሺݔ 1ሻሺݔ 2ሻሺݔ 2ሻሺݔ 3ሻ Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales. Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades P r o c e d i m i e n t o 1.Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador 2.Simplificamos. Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Cociente dela suma o diferenciadeloscubosdedoscantidadesentrela sumao diferenciade las cantidades P r o c e d i m i e n t o 1. Factorizamosladiferenciaolasuma,segúnelcaso,decubosenel numerador 2.Simplificamos. Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, Dámaso Rojas Noviembre2007 Recopilador: Dámaso Rojas.www.galeon.com/damasorojas/ ,, ESTIMADOESTUDIANTE:ElProyectodeMejoramientoAcadémicobuscaqueustedcompartaunespaciocon compañerosyprofesoresendondesevivencienexperienciasymétodosdeestudioefectivosqueorientenla utilización de su trabajo independiente para que éste se convierta en una disciplinay una actitud interior. En ese sentido, estas guías se constituyen en un APOYO a dicho trabajo. Competencia -Utilizaradecuadamentelasexpresionesalgebraicas,suspropiedadesbásicasyoperacionespararesolversituacionesproblemaen distintos contextos. -Indicadores de logro: Factoriza expresiones con base en los casos desarrollados. Se agradece a los docentes Jorge Agudelo, Elizabeth Bedoya y Francisco Córdoba por sus aportes a esta guía. JUSTIFICACIÓN En muchas situaciones se presentan problemas que conducen al planteamiento de ecuaciones, como movimientoparabólicoenfísica,problemasdeutilidadeneconomía,diseñoyconstruccióndeestructuras ingenieriles,entreotros,paralascualesesnecesarioencontrarraícesosolucionesyuna manera de encontraresas raíces es aplicar procesos de factorización a los polinomios asociados a estas ecuaciones. Igualmentelafactorizaciónpermiterealizarsimplificacionesyreducciónamínimasexpresiones,loquehace menos engorrosas las derivadas y las integrales en cálculo. Enestaguía sepretendequeel estudiante complementeelaprendizajedesarrolladoenelaula declaseen la algebraica. COMPLEMENTO A LAS NOTAS DE CLASE 1.Factor común monomio Resulta cuando el factor común de todos los términos del polinomio es un monomio. Ejemplo: Factorizar: 4ax 3 - 2x 2 = 2x 2 (2ax – 1) Vemos como tanto 2 como x 2 están multiplicando en ambos términos, por lo tanto 2x 2 sale como factor común: 4ax 3 - 2x 2 = 2x 2 (2ax – 1) Recordar y repasar: El término 2x 2 es el Máximo Común Divisor (MCD) de los dos términos 2.Factor común polinomio Resulta cuando el factor común que aparece es un polinomio. Normalmente hay que hacer la agrupación debida para obtenerlo. Ejemplo: Factorizar a(x + 3) + b(x + 3) Vemos como (x + 3) está multiplicando en ambos términos [tanto a a como a b], por lo tanto (x + 3) sale como factor común: a(x + 3) + b(x + 3) = (x + 3)(a + b) Ejemplo: Factorizar:ax + bx + aw + bw Agrupamos (ax + bx) + (aw + bw) Sacamos factor común en cada binomio: x(a + b) + w(a + b) No quedó factor común polinomio: (a + b) x(a + b) + w(a + b) Luego se divide ----------------------- = x + w (a + b) Por lo tanto:ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w) Ejemplo: Factorizar: 2a 2 + 4a – 8b – 4ab Por observación agrupamos: ( 2a 2 – 4ab ) + ( 4a – 8b ) En cada binomio hay factor común: 2a(a – 2b) + 4(a – 2b) Result un factor común polinomio: (a – 2b) 2a(a – 2b) + 4(a – 2b) Luego se divide --------------------------= 2a + 4 (a – 2b) Por lo tanto: 2a 2 – 4ab + 4a – 8a = (a – 2b)(2a + 4) ACTIVIDAD: FACTORIZAR PREGUNTASRESPUESTAS xy 2 - y 2 w= y 2 ( x - w ) 5xy 2 - 15y= 5xy( y - 3 ) 24a 3 b 2 - 12a 3 b 3 = 12a 3 b 2 ( 2 - b ) 4xy - 8xy 2 - 12xy 3 = 4xy( 1 + 2y - 3y 2 ) 16a 4 b 5 - 20a 3 b 2 - 24a 2 b 6 = 4a 2 b 4 ( 4a 2 b - 5a + 6b 2 ) x a + 2 - 3x a + 3 - 5x a = x a (x 2 + 3x 3 + 5) 2x(a - 1) - 3y(a - 1)= (a - 1)(2x - 3y) x(a + 9) - a - 9= (a + 9)(x - 1) - x - y + a(x + y)= (x + y)(a - 1) (a + b - 2)(a 2 + 2) - a 2 - 2= (a 2 + 2)(a + b - 3) a 2 x 2 - 8bx 2 + a 2 y 2 - 8by 2 = (x 2 + y 2 )(a 2 - 8b) 6ax - 2by - 2bx - 12a + 6ay + 4b= (6a - 2b)(x + y - 2) a 2 b 3 - m 5 + a 2 b 3 x 2 - m 5 x 2 - 3a 2 b 3 x + 3m 5 x= (a 2 b 3 - m 5 )(1- 3x + x 2 ) (x + 3)(x + 2)(x + 5) + (x + 2)(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(x + 3) 2 3.Factorizar un Binomio de la forma: x n ± y n . 3.1Factorizarla diferencia de dos cuadrados. Por multiplicación se obtiene: (a + b)(a - b) = a 2 - b 2 . Recíprocamente, se puede escribir: a 2 - b 2 = (a + b)(a - b). Por lo tanto la diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus raíces cuadradas por su diferencia. Ejemplos: Factorizar las expresiones siguientes: 9x 2 –16y 2 = (3x) 2 - (4y) 2 = (3x + 4y)(3x –4y) (7a + 3) 2 - (5a - 4) 2 = (7a + 3 + 5a - 4)(7a + 3 –5a + 4) = (12a - 1)(2a + 7). Hay casos especiales, como polinomios que pueden tomar la forma de diferencia de cuadrados ya sea agrupando debidamente sus términos o agregándoles y restándoles un mismo término: 9x 4 + 11x 2 + 4 9x 4 + 11x 2 + x 2 + 4 - x 2 = 9x 4 + 12x 2 + 4 - x 2 = (3x 2 + 2) 2 - (x) 2 = (3x 2 + 2 + x)(3x 2 + 2 - x) En este ejemplo, se ha adicionado x 2 con el fin de convertir el trinomio en cuadrado perfecto, y se ha restado el mismo término para que la expresión varíe. 3.2Factorizar de la suma de dos cubos.Del producto notable: (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) = a 3 + b 3 , se deduce bilateralmente: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ). La suma de los cubos de dos términos es igual a la suma de las raíces cúbicas de esos términos por el cuadrado imperfecto de la diferencia. Ejemplo. Factorizar: 27x 3 + 8y 3 = (3x) 3 + (2y) 3 = (3x + 2y)(9x 2 - 3x·2y + 4y 2 ) = (3x + 2y)(9x 2 - 6xy + 4y 2 ). 3.3Factorizar de la diferencia de dos cubos.Similar que para la suma de dos cubos, del producto notable: (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 - b 3 se obtiene inversamente: a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ). La diferencia de los cubos de dos términos es igual a la diferencia de las raíces cúbicas de esos términos por el cuadrado imperfecto de la suma. Ejemplo. Factorizar: 125a 3 - b 3 c 3 = (5a) 2 - (bc) 2 = (5a - bc)(25a 2 + 5a·bc +b 2 c 2 ) = (5a - bc)(25a 2 + 5abc + b 2 c 2 ). 3.4Factorizar un binomio de la forma: x n ±y n .Sea factorizar el binomiox 5 + y 5 . Sus divisores, de la formax n ±y n solo pueden serx n + y n , yx n - y n . Al ensayarlos sucesivamente, aplicando la propiedad del residuo de la división,(El residuo de la división de un polinomio entero enx,entre un binomio de la formax ± a, se obtiene sustituyendo, en el dividendo, xpor el simétrico de a.)se obtiene: P(-y) = -y 5 + y 5 = 0. P(y) = y 5 + y 5 = 2y 5 . Por lo tantox 5 + y 5 es divisible entre x + ypero no entrex - y . Al efectuar la división, se halla el otro factor del binomio propuesto, o sea: (x 5 + y 5 ) ÷ (x + y) = x 4 - x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 + y 4 . luego: x 5 + y 5 =(x + y)(x 4 - x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 + y 4 ) . Para factorizar un binomio de la formax n ± y n hay que examinar qué binomio de la formax n ± y n lo divide exactamente,y multiplicar este divisor por el cociente de la división. Cuando el binomio esx n - y n y n es par, es preferible considerar dicho binomio como una diferencia de cuadrados. Ejemplo. Factorizar: x 3 + 1 = (x + 1)(x 3 - x + 1). x 7 - y 7 = (x - y)(x 6 + x 5 y + x 4 y 2 + x 3 y 3 + x 2 y 4 + xy 5 + y 6 ). a 4 - b 4 = (a 2 + b 2 )(a 2 - b 2 ) = (a 2 + b 2 )(a + b)(a - b). 4.Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio en el que dos de sus términos son positivos y son cuadrados perfectos y el tercero corresponde al doble producto de las raíces cuadradas de los términos positivos. ¡Recuerda!Una cantidad es un cuadrado perfecto si corresponde al cuadrado de otra cantidad. Actividad 1 Cuáles de los siguientes trinomios corresponden a un TCP. Para aquellos que no lo sean explique las razones por las cuáles no lo son. 1.q 2 − 4q + 4. 2.q 2 − 5q − 6. 3.3q 2 − 2 6q + 2. 4.4q 2 − 6q + 9. 5.9q 4 + 6 2q + 2. ¿Sabes identificar un TCP? SiNo Continua con la siguiente actividad Revisa nuevamente la teoría o consulta el texto guía ¡El esquema anterior te sugiere que cada que repases la identificación de cualquiera de los trinomios o la regla para factorizarlo, te detengas y analices si debes retomar nuevamente la teoría o puedes continuar avanzando! Regla para factorar un TCP: 1.Se ordena el trinomio por potencias descendentes de la letra principal. 2.Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos del trinomio. 3.Secalculael doble de laprimera raíz porla segunda y se compara conel término de la mitad del trinomio. 4.Si el resultado es igual, los dos términos del binomio se separan por el signo del segundo término y el binomio que se forma se eleva al cuadrado. Ilustración:Factorizar o descomponer en factores Ej. :c 2 ÷ 10c + 25 SoluciónVeamos que esta expresión es un TCP: se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos c 2 = c 25 = 5 Ahora se multiplican estas dos raíces por dos:2 × c × 5 = 10c , dado que este resultado coincide con el segundo término, es posible afirmar que el trinomio es cuadrado perfecto, por lo tanto podemos factorizarlotal y como lo propone la regla, así: c 2 ÷ 10c + 25 = (c ÷ 5) 2 Ej.: x 2 ÷ 4x + 16 4 Solución Usando el procedimiento descrito anteriormente, se obtiene x 2 x = 42 16= 4 2 × = x × 4 = 4x 2 2 2 x 2 | x| ÷ 4x + 16 =÷ 4 | 4 \ 2 . Ej. :÷ 1 + 2a 5 ÷ a 10 Solución Primero debemos organizar la expresión para que los cuadrados perfectos sean positivos, tal y como se expresa en la identificación ÷ 1 + 2a 5 ÷ a 10 = ÷(1 ÷ 2a 5 + a 10 ) Ahora, factoricemos el TCP del paréntesis 1 = 1 a 10 = a 5 2 ×1× a 5 = 2a ÷ 1 + 2a 5 ÷ a 10 = ÷(1 ÷ 2a 5 + a 10 ) = ÷(1 ÷ a 5 ) 2 Actividad 2Descomponer en factores 1.49p 6 − 70qp 3 + 25q 2 p 4 2.q 8 + 18q 4 + 81 3.12q 2 + 36 + q 4 4.−9 + 6p − p 2 5. 9 q 2 + 3 qp + p 1644 5.Trinomio CuadradoPerfecto por Adición y Sustracción Un trinomio ordenado con relación a una letra, corresponde a un TCP por adición y sustracción, si al sumarle un cuadrado perfecto al segundo término del trinomio, éste se convierte en un TCP, por lo cual nos sugiere que inicialmente se debe de verificar si el trinomio dado es cuadrado perfecto. Ilustremos lo anterior con un ejemplo: Ejercicio Identificar si q 4 + q 2 p 2 + p 4 corresponde a un TCP por adición y sustracción Solución Verifiquemos primero si el trinomio es cuadrado perfecto q 4 = q 2 p 4 = p 2 luego2(q 2 )p 2 = 2q 2 p 2 Dado que el segundo término del trinomio no coincide con el resultado obtenido en el paso anterior, podemos afirmar que el trinomio no es cuadrado perfecto, pero ¿será posible adicionarle una cantidad al segundo término del trinomio para que este se convierta en un TCP y que esta cantidad corresponda a un cuadrado perfecto?, sí es posible y dicha cantidad es q 2 p 2 , por lo tanto podemos concluir que el trinomio dado es un TCP por adición y sustracción. Regla para factorar un TCP por adición y sustracciónIlustremos esta regla factorizandio el trinomio dado en el ejercicio anterior Ejemplo 1Factorar q 4 + q 2 p 2 + p 4 Soluciónq 4 + q 2 p 2 + p 4 +q 2 p 2 −q 2 p 2 (paso1) (q 4 + 2q 2 p 2 + p 4 )−q 2 p 2 (paso2) = (q 2 + p 2 ) 2 −q 2 p 2 (paso3) = q 2 + p 2 + qp(q 2 + p 2 − qp) = q 2 + qp + p 2 (q 2 − qp+p 2 ) (paso4) Justificación del procedimiento anterior Paso1. Sumamos q 2 p 2 al segundo término para que eltrinomiose convierta en TCP y restamos la misma cantidad para que éste no varíe. Paso2. Efectuamos suma. Paso 3. Factorizamos el TCP. Paso 4. Factorizamos la diferencia de cuadrados y ordenamos Ejemplo 2Descomponer q 4 − 16q 2 p 2 + 36p 4 Solución Veamos si el trinomio dado es cuadrado perfecto q 4 = q 2 36p 4 = 6p 2 luego2(q 2 )( p 2 ) = 12q 2 p 2 El trinomio dado no es un TCP, pero si le adicionamos 4q 2 p al segundo término se nos convertiría en un TCP, además esta cantidad es un cuadrado perfecto, por lo tanto el trinomio dado es un TCP por adición y sustracción, ahora procedamos a factorizarlo de la misma forma que se efectuó con en el ejemplo anterior q 4 − 16q 2 p 2 + 36p 4 +4q 2 p 2 −4q 2 p 2 (q 4 − 12q 2 p 2 + 36p 4 ) − 4q 2 p 2 = (q 2 − 6p 2 ) 2 −4q 2 p 2 =(q 2 − 6p 2 + 2qp)(q 2 − 6p 2 − 2qp) =(q 2 + 2qp − 6p 2 )(q 2 − 2qp − 6p 2 ) Actividad 3Factorar los siguientes trinomios 1.q 8 + 3q 4 + 4 2.q 4 − 3q 2 p 2 + p 4 3.q 8 − 4q 4 p 4 + 16p 8 4.16q 4 − 25q 2 p 2 + 9p 4 5.4q 4 − 29q 2 + 25 6.Trinomios de la forma��� + p��� + Algunos trinomios de la forma ��� + p��� +pueden ser: 1.q 2 + 5q + 6 2.q 4 − 5q 2 − 50 3.q 6 + 7q 3 − 44 4.a 2 b 2 − ab − 42 5.(5q) 2 − 95x + 8 Cumplen las siguientes condiciones: -El primer término es un cuadrado perfecto en el que aparece la variable. -Elsegundotérminotienecomocoeficienteunnúmerorealcualesquiera,multiplicadoporlaraíz cuadrada del primer término -El tercer término es un término independiente Actividad 4Identifique los trinomios que correspondan a trinomios de la forma ��� + p��� +y para aquellos que no lo sean explique. 1.q 2 − 9q + 18 2.q 2 + q 4 − 12 3.q 4 + q − 12 4.3q 2 + 2q + 8 5.q 6 − 19q 3 − 42 2 Regla para factorar un trinomio de la forma : ��� + p��� + -Organice la expresión de con relación a una letra. -El trinomio se descompone en dos factores binomios. El signo que separa las cantidades del primer factorcorresponde al signo del coeficientedel segundo término y el signo que separalas cantidades del segundo factor corresponde al producto de los signos de los coeficientes del segundo y del tercer término en el trinomio. -Laprimeracantidaddecadafactorcorrespondealaraízcuadradadelprimertérminoylas segundascantidadessondosnúmerosrealestalesquesuproductoseaigualaltercertérminoysu suma,silossignosqueseparanlascantidadesencadafactorsoniguales,osuresta,silossignos que separan las cantidades en cada factor son diferentes, sea igual al coeficiente del segundo término. Actividad 5 Factorice cada uno de los trinomios identificados en la actividad anterior. 7.Trinomios de la forma:q��� + p��� + Observaquelaúnicadiferenciaconrespectoaltrinomiodelaforma ��� +p��� +,esqueelprimer términoesuncuadradoperfectoenelqueaparecelavariable,multiplicadoporunrealcualesquiera diferente de uno. Ilustremos una forma general de factorizar este tipo de trinomio resolviendo el siguiente ejercicio: EjercicioDescomponer en factores 6q 2 − 11q + 10 Solución 6q 2 + 11q − 10 = 66q + 11q − 10 6 Multiplicamos y dividimos todo el trinomio por el coeficiente de q 2 6 2 q 2 + 116q − 60 = 6 (6q) 2 + 116q − 60 Observa que el trinomio tomó la forma ��� + p��� + , = 6 6q + 15(6q − 4) = 6 = 32q +52(3q −2) 6 62q + 5(3q − 2) = 6 por lo tanto procedemos a factorizarlo de acuerdo con la regla dada anteriormente para este tipo de trinomios Finalmente lo que se pretende es eliminar nuevamente el denominador con el producto de los factores comunes del numerador = 2q +(3q − 2)