Enoncé T.P. ME11 – Torsion de poutre circulaire

Titre :ELASTICITE – Torsion de poutre circulaire

Plateforme : Géomécanique Structures Ouvrages

Formation : ENSE3 / 1A + HOE/GHO2

Auteur : Bourgeois Céline Date : 06/04/2012

Révision : Hermant Nicolas Date : 08/03/2014

1- Objectifs

- connaître les principes (mesures et interprétations) des jauges électriques d'extensomé-trie (appelées aussi jauges de déformations) ;

- mettre en évidence le comportement d'une poutre en torsion, en élasticité.

2- Organisation générale de la séance

La séance s’articulera autour de 3 axes :- analyse théorique du banc d'essai et des mesures à effectuer;- mesures sur le banc de torsion et interprétation ;- applications théoriques complémentaires concernant la mesure des déformations sur un

banc de torsion.

Mesures :Il s'agit de mesurer des déformations par des jauges électriques d'extensométrie sur une poutre soumise à de la torsion.Le banc d’essai nécessite une vigilance toute particulière quant aux conditions de sécurité à respecter pendant la mise en place du chargement (afin d'éviter la chutedes masses).

Matériel :- un banc d'essais de torsion pour des poutres circulaires ;- une poutre circulaire pleine instrumentée d'une rosette à 2 jauges (à 90° l'une de

l'autre);- Un système de chargement et des masses ;- Le portique de sécurité placé autour du chargement ;- Un pont de mesure des déformations ;- Un pied à coulisse.

Données :- facteur de jauge de la rosette : K = 2.085 (jauge EA 13-125TW-120)- quelques rappels en annexes

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3- Analyse du banc d'essai

a- Modéliser la poutre droite avec les 2 liaisons adaptées à la technologie en place et les

actions extérieures appliquées. Déterminer le degré d’hyperstaticité du système.

b- Pour résoudre ce problème hyperstatique, on considèrera qu’au niveau de la liaison (⊂

roulement) située à proximité du chargement :

- le couple appliqué est nul ;

- la force appliquée est, compte-tenu de la géométrie du banc d’essai : 1,3*F, F étant le

poids appliqué sur le plateau de chargement.

Avec ces données, l’hyperstaticité étant levée, déterminer les efforts internes dans la

poutre.

c- L'appellation d'une poutre en torsion simple est-elle justifiée?

4- Dépouillement des jauges - Théorie

a- Quelles composantes de la déformation les jauges de la rosette mesurent-elles ?

b- D’après la théorie des poutres, quelles sont les contraintes développées dans la poutre

en ne considérant que l'effet de la torsion?

Au niveau de l’emplacement des jauges, préciser le tenseur des contraintes dans le plan

(x, θ) et représenter l'état de contrainte sur le schéma d'un élément de matière

prismatique (considéré plan).

x = direction longitudinale (ou génératrice) de la poutre

θ = direction orthoradiale de la section droite au niveau du point considéré

c- En supposant le comportement élastique de la poutre, donner le tenseur de déformation

correspondant à l’état de contrainte défini précédemment.

Retrouver la valeur des déformations principales et l’orientation des directions

principales, en diagonalisant le tenseur des déformations en M.

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x

θ

x

θ

M M

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d- Que dire alors de l’orientation des jauges par rapport aux directions principales ?

(l'orientation du collage des jauges sur le ressort correspond typiquement à la configura-

tion d'une mesure de la torsion).

e- Quelles seraient toutes les possibilités de montage des jauges dans le pont de Wheats-

tone?

5- Dépouillement des jauges – Expérience

a- A partir de ce qui a été vu précédemment, effectuer 2 séries de mesures (1 série = 1

chargement + 1 déchargement) pour des masses qui varient entre 0 et 20 kg (avec un

pas approximatif de 5 kg).

Déposer les poids délicatement, sans les lâcher et avec une charge totale maxi de 20 kg en

alternant le côté de la rainure des poids pour rester équilibré (de manière à conserver au

mieux l’horizontalité du plateau de chargement).

b- Interpréter graphiquement ces mesures pour remonter au module de déformation trans-

versal G de la poutre (joindre le graphe au compte-rendu !).

c- Quelle influence peut avoir, sur la mesure, l'orientation des jauges et leur position?

6- Améliorations et évolutions de la manipulation

Dans le cas où une flexion (moment fléchissant et effort tranchant non nuls) de la poutre ne

serait pas négligeable (en plus de la torsion), quel serait le tenseur des contraintes et des

déformations dans le plan classique des poutres au niveau du point de mesure? Quelle in-

fluence cette flexion aura sur les mesures ? Proposer un montage de jauges que leur bran-

chement dans le pont de Wheatstone qui permettraient d'isoler les mesures de déforma-

tions liées à la torsion.

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RAPPELS

Caractéristiques géométriques

IO( S )=∬S

ρ2⋅dS (Section circulaire πΦ4/32)

Contraintes normales dans une section droite de poutre

σ x( y , z )=N (X )

S−

M fz (X )

IGz (S )⋅y+

M fy (X )

IGy ( S )⋅z

! ! Cette relation est exprimée dans le repère local de la section droite considérée ! !

Repère local d’une section droite (G, x, y, z) :G = centre de gravité de la section droite

x = axe tangent à la ligne moyenne (direction longitudinale de la poutre)↔ normal à la section droite

(y,z) = axes centraux d’inertie de la section droite↔ dans la section droite

Contraintes et déplacements de torsion

τxz.dS

dS : élément de surfaceτxy.dS

x

z

yY

X

ZG

M

M(y,z)S(X)∈(y,z)

Sur une section droite circulaire

τ xθ(r )=M t( X )

IG( S)⋅r

Déplacements correspondants : rotation de section droite autour de x telle quedαdX

=M t (X )

G⋅IG( S )

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y

z

Gτ

xθ

r

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Remarques sur le signe des distorsions γij = εij /2

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i

γij = 2.ε

ij > 0

j

γij = 2.ε

ij <0

i

γij = 2.ε

ij < 0 j

γij = 2.ε

ij >0