lments de Calcul Tensoriel I Les Tenseurs II Les Oprateurs Diffrentiels J.C. Charmet 2002.

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Page 1 lments de Calcul Tensoriel I Les Tenseurs II Les Oprateurs Diffrentiels J.C. Charmet 2002 Page 2 I Les Tenseurs I-1 Dfinition des Tenseurs I-2 Oprations sur les Tenseurs I-3 Symtrie et Antisymtrie I-4 Tenseurs Identit et dAntisymtrie I-5 Produits Scalaire et Vectoriel Page 3 I-1 Dfinition des Tenseurs Tenseur : Oprateur liant dans un mme repre deux grandeurs physiques en un mme point dun espace de dimension d M T(M)T(M) = u v v u= Ses composantes dans un repre donn ne dpendent que du M Le Rang dun tenseur caractrise son nombre dindices T (0) Tenseur de Rang 0 : Scalaire d 0 =1 composante T(M)T(M) T (1) Tenseur de Rang 1 : Vecteur d1 d1 composantes Ti(M)Ti(M) T (2) Tenseur de Rang 2 : Matrice d2 d2 composantes T ij (M) T (n) Tenseur de Rang n : Matrice dn dn composantes T ijn (M) Page 4 I-2 Oprations sur les Tenseurs Addition tensorielle (+) : Tenseurs de mme Rang C (n) = A (n) + B (n) C ijn = A ijn + B ijn Produit tensoriel ( ) C (n+m) = A (n) B (m) C ijnn+m = A ijn B ijm Produit Contract () sur lindice k C (n+m-2) = A (n) B (m) C ijn+m-2 = A ijk...n B ijkm k=1 d La contraction peut seffectuer sur plusieurs indices, chaque contraction diminuant de 2 le rang du tenseur contract rsultant Convention des indices muets Un indice de contraction, indice rpt dit muet, implique la sommation sur lensemble des valeurs {1d} prises par cet indice C ij = A ik B kj = A ik B kj = A i1 B 1j + A i2 B 2j + A i2 B 3j C (2) = A (2) B (2) k=1 3 Page 5 I-3 Symtrie et Antisymtrie Symtrie par rapport au couple dindices l,r Les proprits de Symtrie et dAntisymtrie sont intrinsques Elles se conservent par changement de repre C (t) symtrique {l,r} C ijlrt = C ijrl...t C (t) antisymtrique {l,r} C ijlrt = -C ijrl...t Symtrie complte le couple dindices, {1..t} C (t) symtrie complte C ij t = C ij ...t C (t) antisymtrique complte C ij t = (-1) P C ij ...t P tant la parit de la permutation {ij t} {ij t} Exemple : {1.2.5. 9} {1.2.5. 9} Paire P = 0 modulo 2 {1.2.5. 9} {1.2.7. 9} Impaire P = 1 modulo 2 Page 6 I-4 Tenseurs Identit et dAntisymtrie Tenseur Identit 1 ij = 1 si i = j ij = 0 si i j le repre Tenseur dAntisymtrie ijk = 1 si {i,j,k} permutation paire du groupe {1,2,3} ijk = -1 si {i,j,k} permutation impaire du groupe {1,2,3} ijk = 0 si au moins 2 indices gaux a pour composantes : ip iq ir jp jq jr kp kq kr ijkpqr = Det ijkpqr = ip ( jq kr - jr kq )- jp ( iq kr - ir kq )+ kp ( iq jr - ir jq ) Contraction {i,p} ijkiqr = jkqr = ijk iqr = jq kr - jr kq = Det jq jr kq kr Contraction {i,p} {j,q} ijkijr = jkjr = ijk ijr = 2 kr Contraction {i,p} {j,q} {k,r} ijkijk = jkjk = ijk ijk = 2 kk = 6 Det(T (2) ) = ijk pqr T ip T jq T kr 1 6 Page 7 I-5 Produits Scalaire et Vectoriel Produit Tensoriel de deux Vecteurs u1u2u3u1u2u3 u= v1v2v3v1v2v3 v= C u 1 v 1 u 1 v 2 u 1 v 3 u 2 v 1 u 2 v 2 u 2 v 3 u 3 v 1 u 3 v 2 u 3 v 3 uv C ij = u i v j Produit Scalaire de deux Vecteursvu = u k v k = C kk = Tr( ) uv Produit Vectoriel de deux Vecteurs u 2 v 3 u 3 v 2 u 3 v 1 u 1 v 3 u 2 v 1 u 1 v 2 wvu w1w2w3w1w2w3 =w= P 23 P 31 P 21 0 u 1 v 2 -u 2 v 1 u 1 v 3 - u 3 v 1 u 2 v 1 -u 1 v 2 0 u 2 v 3 - u 3 v 2 u 3 v 1 -u 1 v 3 u 3 v 2 -u 2 v 3 0 Produit Extrieur de deux Vecteurs P - = uv uv C t C uv = wvu w i = ijk C jk Page 8 II Les Oprateurs Diffrentiels II-1 Le Gradient II-2 La Divergence II-3 Le Rotationnel dun Vecteur II-4 Les Rotationnels dun Tenseur de Rang 2 II-5 Le Laplacien Page 9 II-1 Le Gradient Gradient dun Scalaire (x) d =Grad dx Grad = x 1 x 2 x 3 u 1 x 1 Grad u = u 3 x 1 u 1 x 2 u 2 x 1 u 2 x 2 u 2 x 3 u 3 x 2 u 1 x 3 u 3 x 2 Gradient dun Vecteuru(x)u(x) du =Gradu dx Gradient dun Tenseur de Rang 2 (x) dT =Grad T dx G ijk = Grad T = T ij x k Page 10 II-2 La Divergence Divergence dun Vecteur u(x) Divergences dun tenseur de Rang 2 (x) Divu = = + + u k x k u 2 x 2 u 3 x 3 u 1 x 1 Div D = = T ij x j T 13 x 3 T 11 x 1 T 12 x 2 ++ T 23 x 3 T 21 x 1 T 22 x 2 ++ T 33 x 3 T 31 x 1 T 32 x 2 ++ Divergences des Vecteurs Ligne Div G = = T ij x i T 31 x 3 T 11 x 1 T 21 x 2 ++ T 32 x 3 T 12 x 1 T 22 x 2 ++ T 33 x 3 T 13 x 1 T 23 x 2 ++ Divergences des Vecteurs Colonne Div D = Div G t Div G = Div D t = t symtrie Div D = Div G Page 11 II-3 Le Rotationnel dun Vecteur Oprateur Nabla = x 1 x 2 x 3 Divergence Div= Tr( )u u=u = Tr( )u Grad t Grad Tenseur Rotationnel u 2 x 3 u 1 x 3 u 3 x 2 u 3 x 1 u 2 x 1 u 1 x 2 u 1 x 2 -- u 1 x 3 - u 2 x 3 u 3 x 2 - u 3 x 1 - - u 2 x 1 0 0 0 u Grad u-Rot=u = Pseudo Vecteur Rotationnel Rot=u u u 3 x 2 - u 2 x 3 u 1 x 3 u 3 x 1 - u 1 x 2 - u 2 x 1 = ijk Rot=u u u Grad = Rotu [ ] i u k x j u1u2u3u1u2u3 u = u u = t Grad u 2 x 3 u 1 x 3 u 3 x 3 u 3 x 2 u 2 x 2 u 3 x 1 u 2 x 1 u 1 x 2 u 1 x 1 = et Gradient Page 12 II-4 Rotationnels dun Tenseur T (2) Pseudo Rotationnels dun tenseur de Rang 2 (x) t Rot D = Rot G t t Rot G = Rot D t = t symtrie Rot D = t Rot G Gradient dun tenseur de Rang 2 (x) F = Grad (3) T (2) F ijk = T ij x k Rotationnels des Vecteurs Ligne [ ] lk Rot D = = T kij T lj x i Rot D = = T T 31 x 3 T 33 x 2 T 22 x 1 T 12 x 1 T 23 x 2 T 11 x 3 T 13 x 1 -- T 11 x 2 - T 21 x 2 T 33 x 1 - T 32 x 3 - - T 22 x 3 T 13 x 2 T 12 x 3 - T 21 x 3 T 23 x 1 - T 32 x 1 T 31 x 2 - Rotationnels des Vecteurs Colonne [ ] kl Rot G = = T kij T jl x i Rot G = = T T 22 x 1 T 21 x 1 T 13 x 3 T 33 x 2 T 11 x 3 T 32 x 2 T 22 x 3 -- T 23 x 3 - T 33 x 1 T 12 x 2 - T 11 x 2 - - T 31 x 1 T 31 x 2 T 21 x 3 - T 12 x 3 T 32 x 1 - T 23 x 1 T 13 x 2 - Page 13 II-4 Le Laplacien u [ ] k Rot = klm u m x l Laplacien dun Vecteur u(x) u = Div D ( ) = Grad = 2 u i x k x k 2 u 1 x 1 2 2 u 1 x 2 2 2 u 1 x 3 2 ++ 2 u 2 x 1 2 2 u 2 x 2 2 2 u 2 x 3 2 ++ 2 u 3 x 1 2 2 u 3 x 2 2 2 u 3 x 3 2 ++ u u [ ] i = ijk =( il jm - im jl ) 2 u m x j x 1 klm u m x l [ ] i Rot (Rot )u x j = - 2 u j x i x j 2 u i x j x j =- Grad(Div ) u Laplacien et Rotationnel (Rot) =uRotu Grad(Div ) - u Laplacien dun Scalaire (x) =Div(Grad ) x k x k =Div(Grad ) = 2 x 1 2 2 x 2 2 2 x 3 2 ++ = 2

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