Éléments de Calcul TensorielÉléments de Calcul Tensoriel

I Les TenseursII Les Opérateurs Différentiels

J.C. Charmet © 2002

II Les Tenseurs Les Tenseurs

I-1 Définition des TenseursI-2 Opérations sur les TenseursI-3 Symétrie et AntisymétrieI-4 Tenseurs Identité et d’AntisymétrieI-5 Produits Scalaire et Vectoriel

I-1I-1 Définition des Tenseurs Définition des TenseursTenseur : Opérateur liant dans un même repère deux grandeurs

physiques en un même point d’un espace de dimension d

M

T(M)=

u

v

vu =

Ses composantes dans un repère donné

ne dépendent que du M

Le Rang d’un tenseur caractérise son nombre d’indices

T(0) Tenseur de Rang 0 : Scalaire à d0 =1 composante T(M)

T(1) Tenseur de Rang 1 : Vecteur à d1 composantes Ti(M)

T(2) Tenseur de Rang 2 : Matrice à d2 composantes Tij(M)

T(n) Tenseur de Rang n : Matrice à dn composantes Tij…n(M)

I-2I-2 Opérations sur les Tenseurs Opérations sur les TenseursAddition tensorielle (+) : Tenseurs de même Rang

C(n) = A(n) + B(n) Cij…n = Aij…n + Bij…n

Produit tensoriel ()

C(n+m) = A(n) B(m) Cij…n…n+m = Aij…n Bij…m

Produit Contracté (·) sur l’indice k

C(n+m-2) = A(n) · B(m) Cij…n+m-2 = Aij…k...n Bij…k…m k=1

d

La contraction peut s’effectuer sur plusieurs indices, chaque contraction diminuant de 2 le rang du tenseur contracté résultant

Convention des indices muets

Un indice de contraction, indice répété dit muet, implique la sommation sur l’ensemble des valeurs {1…d} prises par cet indice

Cij = AikBkj = AikBkj = Ai1B1j + Ai2B2j + Ai2B3j C(2) = A(2) · B(2) k=1

3

I-3I-3 Symétrie et Antisymétrie Symétrie et AntisymétrieSymétrie par rapport au couple d’indices l,r

Les propriétés de Symétrie et d’Antisymétrie sont intrinsèques Elles se conservent par changement de repère

C(t) symétrique {l,r} Cij…l…r…t = Cij…r…l...t

C(t) antisymétrique {l,r} Cij…l…r…t = -Cij…r…l...t

Symétrie complète le couple d’indices , {1..t}

C(t) symétrie complète Cij………t = Cij……...t

C(t) antisymétrique complète Cij………t = (-1)PCij……...t

P étant la parité de la permutation {ij………t} {ij………t}

Exemple : {1.2….5.…9} {1.2….5.…9} Paire P = 0 modulo 2

{1.2….5.…9} {1.2….7.…9} Impaire P = 1 modulo 2

I-4I-4 Tenseurs Identité et d’Antisymétrie Tenseurs Identité et d’AntisymétrieTenseur Identité

1

ij = 1 si i = j

ij = 0 si i j le repère

Tenseur d’Antisymétrie

ijk = 1 si {i,j,k} permutation paire du groupe {1,2,3}

ijk = -1 si {i,j,k} permutation impaire du groupe {1,2,3}

ijk = 0 si au moins 2 indices égaux

a pour composantes :ip iq ir

jp jq jr

kp kq kr

ijkpqr = Det

ijkpqr = ip(jqkr-jrkq)-jp(iqkr-irkq)+kp(iq jr-irjq)

Contraction {i,p} ijkiqr =jkqr = ijkiqr = jqkr-jrkq = Det jq jr

kq kr

Contraction {i,p} {j,q}

ijkijr =jkjr = ijkijr = 2kr

Contraction {i,p} {j,q} {k,r} ijkijk =jkjk = ijkijk = 2kk = 6

Det(T(2)) = ijkpqrTipTjqTkr16

I-5I-5 Produits Scalaire et Vectoriel Produits Scalaire et Vectoriel

Produit Tensoriel de deux Vecteurs

u1

u2 u3

u =

v1

v2

v3

v = Cu1v1 u1v2 u1v3

u2v1 u2v2 u2v3

u3v1 u3v2 u3v3

u v Cij= uivj

Produit Scalaire de deux Vecteurs vu · = ukvk = Ckk = Tr( )u v

Produit Vectoriel de deux Vecteurs

u2v3 – u3v2

u3v1 – u1v3

u2v1 – u1v2

w vu w1

w2 w3

=w =P23

P31 P21

0 u1v2-u2v1 u1v3-u3v1

u2v1-u1v2 0 u2v3-u3v2

u3v1-u1v3 u3v2-u2v3 0

Produit Extérieur de deux Vecteurs

P- =

u v uv CtC

· ·

u v=w vu

wi = ijkCjk

IIII Les Opérateurs Différentiels Les Opérateurs Différentiels

II-1 Le Gradient II-2 La Divergence II-3 Le Rotationnel d’un Vecteur II-4 Les Rotationnels d’un Tenseur de Rang 2 II-5 Le Laplacien

II-1II-1 Le Gradient Le GradientGradient d’un Scalaire (x)

d=Grad·dx

Grad =

x1

x2

x3

u1

x1

Gradu =

u3

x1

u1

x2

u2

x1

u2

x2

u2

x3

u3

x2

u1

x3

u3

x2

Gradient d’un Vecteur u(x)

du=Gradu·dx

Gradient d’un Tenseur de Rang 2 (x) dT=GradT ·dx

Gijk = GradT =

Tij

xk

II-2II-2 La Divergence La Divergence

Divergence d’un Vecteur u(x)

Divergences d’un tenseur de Rang 2 (x)

Divu = = + +uk

xk

u2

x2

u3

x3

u1

x1

DivD = =Tij

xj

T13

x3

T11

x1

T12

x2

+ +

T23

x3

T21

x1

T22

x2

+ +

T33

x3

T31

x1

T32

x2

+ +

Divergences des Vecteurs Ligne

DivG = =Tij

xi

T31

x3

T11

x1

T21

x2

+ +

T32

x3

T12

x1

T22

x2

+ +

T33

x3

T13

x1

T23

x2

+ +

Divergences des Vecteurs Colonne

DivD = DivGt

DivG = DivDt

= t symétrie DivD = DivG

II-3II-3 Le Rotationnel d’un Vecteur Le Rotationnel d’un Vecteur

Opérateur Nabla =

x1

x2x3

Divergence Div = Tr( )u· u= u = Tr( )u Grad

tGrad

Tenseur Rotationnel

u2

x3

u1

x3

u3

x2

u3

x1

u2

x1

u1

x2

u1

x2- -

u1

x3

-u2

x3

u3

x2-

u3

x1-

-u2

x1

0

0

0u Gradu-Rot =u =

Pseudo Vecteur Rotationnel

Rot =u u

u3

x2-u2

x3

u1

x3

u3

x1-

u1

x2-u2

x1

· ·

=

ijk

Rot =u u uGrad

=Rot u[ ]i

uk

xj

u1

u2 u3

u = uu =tGrad

u2

x3

u1

x3

u3

x3

u3

x2

u2

x2

u3

x1

u2

x1

u1

x2

u1

x1

=et Gradient

II-4II-4 Rotationnels d’un Tenseur Rotationnels d’un Tenseur TT(2)(2)

Pseudo Rotationnels d’un tenseur de Rang 2 (x)

tRotD = RotGt

tRotG = RotDt

= t symétrie RotD = tRotG

Gradient d’un tenseur de Rang 2 (x) F = Grad(3)T(2) Fijk =Tij

xk

Rotationnels des Vecteurs Ligne

[ ]lkRotD ==T kij

Tlj

xi

RotD ==T

T31

x3

T33

x2

T22

x1

T12

x1

T23

x2

T11

x3

T13

x1- -

T11

x2

-T21

x2

T33

x1-

T32

x3-

-T22

x3

T13

x2

T12

x3-

T21

x3

T23

x1-

T32

x1

T31

x2-

Rotationnels des Vecteurs Colonne

[ ]klRotG ==T kij

Tjl

xi

RotG ==T

T22

x1

T21

x1

T13

x3

T33

x2

T11

x3

T32

x2

T22

x3- -

T23

x3

-T33

x1

T12

x2-

T11

x2-

-T31

x1

T31

x2

T21

x3-

T12

x3

T32

x1-

T23

x1

T13

x2-

II-4II-4 Le Laplacien Le Laplacien

u[ ]kRot = klm

um

xl

Laplacien d’un Vecteur u(x)

u = DivD( ) =Grad =2ui

xk xk

2u1

x12

2u1

x22

2u1

x32

++

2u2

x12

2u2

x22

2u2

x32

++

2u3

x12

2u3

x22

2u3

x32

++

u

u[ ]i[ ]i=ijk =(iljm-imjl)2um

xjx1

klm

um

xl[ ]iRot (Rot )u

xj= -2uj

xixj

2ui

xjxj

= -Grad(Div )u

Laplacien et Rotationnel

(Rot ) =uRot uGrad(Div ) - u

Laplacien d’un Scalaire (x) =Div(Grad)

xk xk=Div(Grad) =

2x1

2

2x2

2

2x3

2++=

2