Éléments d’épistémologie des mathématiques et de leur

enseignement

Épistémologie des mathématiques

• Qu’est-ce qu’on fait vraiment quand on fait des mathématiques?

• Qu’est-ce qu’un « objet mathématique » ?

• Qu’est-ce qu’un « énoncé vrai » ?

• Quelles formes de raisonnement sont légitimes ?

• Quel rapport entre la pratique des mathématiques et la pratique des autres sciences?

Qu’est-ce que les mathématiques ?

• un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts (nombres, figures, structures, transformations)

• un domaine de recherche visant à développer ces connaissances

• la discipline qui les enseigne

Mathématiques et le réel ?

Réel

Esprit humain

Mathématiques

problèmes pratiques

prob

lèmes

mat

hém

atiqu

es

applications

Mathématiques et le réel ?

• enracinement dans le monde concret, réel• de nature purement intellectuelle, basées sur

– des axiomes déclarés vrais ou sur des postulats provisoirement admis

– des méthodes particulières – démonstrations - pour déterminer qu’un énoncé mathématique (théorème, proposition, lemme, corollaire) est valide

• applications dans d’autres sciences et dans différents domaines techniques

Qu’est-ce que faire des mathématiques ?

• poser et résoudre des problèmes, extra ou intra-mathématiques

• créer des objets, développer des théories, organiser les savoirs…

Recherche en mathématiques

phases heuristiques - intuition, bricolage, expérimentation, induction…

formulation de conjectures, vérification…

recherche de preuve, de démonstration

Expérimentation

• En sciences expérimentales :– Expérimentation

• processus qui conduit à partir de l'émission de l'hypothèse à la réalisation d'une expérience et à l'analyse de ses résultats (Develay, 1989)

• observation provoquée

– Expérience • produit de l'expérimentation, face visible du processus

de l'expérimentation

Expérimentation

• En mathématiques ?– Partie expérimentale

• Exploration de phénomènes mathématiques, par exemple en traitant des cas particuliers d’une question trop difficile pour être abordée directement

– Elle permet de • Chercher des contre-exemples• Comprendre en quoi des arguments utilisés dans un cas

particulier se généralisent ou non• Faire des conjectures sur des situations voisines• Démontrer des théorèmes (ex. théorème des 4 couleurs)

Expérimentation

• En sciences expérimentales

– Observation

– Modèle

– Expérimentation

• En mathématiques

– Expérimentation

– Conjecture

– Preuve / démonstration

Mathématiques et physique ?

• Liens étroits :– en physique, modélisation systématique, en utilisant des

méthodes mathématiques, pour comprendre les résultats de ses expériences :

• cette modélisation peut faire appel à des outils mathématiques déjà développés

• elle encourage les mathématiciens à s'intéresser davantage à telle ou telle structure mathématique pour les besoins de la physique

• elle demande parfois au contraire des outils mathématiques non encore développés et ouvre des nouvelles perspectives mathématiques (ex. calcul différentiel)

• Physique mathématique– développement des méthodes mathématiques à l'usage de

la physique

Épistémologie scolaire

• Les problèmes dans les programmes depuis la contre réforme

Mathématiques modernes BO 29 juillet 1968, appliqué en 69 en classe de 6ème

• Aucune indication sur les problèmes. Les commentaires précisent les notions mathématiques à enseigner.

• « La théorie n’est pas un but en soi, mais un outil pour répondre à des questions que pose la vie : technologie, physique, économie. De ce point de vue l’analyse de situations et la résolution de problèmes jouent un rôle majeur. En particulier l’enseignement de la géométrie est indissociable de la recherche de constructions géométriques. »

Contre réforme : Programme de mars 77 appliqué en septembre 1978 en 6ème

Programme de 81 appliqué en septembre 1982 en 2nde

• « A la base de tout bon apprentissage, il y a le contact avec une pratique sensorielle et concrète, la stimulation de l’activité personnelle de l’élève, l’élaboration de moyens d’investigation aussitôt applicables au monde qui l’entoure. »

• « La classe de mathématiques est, dans son rôle essentiel, un lieu de découverte, d’exploration de situations plus ou moins aisément maîtrisables, de réflexion sur des problèmes résolus. »

Activité mathématique

• « L’activité mathématique ne s’identifie pas au déroulement d’une suite bien ordonnée de théorèmes. Il importe que toute introduction d’une notion ou d’un théorème soit précédée de l’étude d’une situation assez riche pour en attester l’intérêt et qu’elle soit suivie immédiatement d’applications substantielles. » (BO sept 82)

Problèmes

• interviennent surtout en entraînement, réinvestissement

• doivent être nombreux • importance du travail à la maison

• Bilan du programme de 2nde (depuis 3 ans)– Trop d’exposés théoriques, synthétiques– Abus d’exercices mal définis, c’est -à-dire soit abordables

mais coupés de tout contexte et trop techniques, soit trop difficiles

1984 Modification du programme de 2nde

appliqué en septembre 1985

• Diversification des activités

Programmes de 1985 appliqués en 1986 en 6ème

• « Il convient de faire fonctionner, à propos de nouvelles situations et autrement qu’en reprise ayant un caractère de révision, les notions et outils mathématiques antérieurement étudiés.

• Il convient également de préciser à chaque étape de l’apprentissage quelles connaissances sont désormais en place. Il convient enfin de mettre en oeuvre des exercices de synthèse pour coordonner des acquisitions diverses. »

L’activité de chaque élève

• Il est essentiel que les connaissances prennent du sens pour l’élève à partir des questions qu’il se pose…

• L’activité de chaque élève doit être privilégiée, sans délaisser l’objectif d’acquisitions communes. Dès lors, seront choisies des situations créant un problème dont la solution fera intervenir des « outils », c’est-à-dire des techniques ou des notions déjà acquises, afin d’aboutir à la découverte ou à l’assimilation de notions nouvelles. Lorsque celles-ci auront été bien maîtrisées, elles fourniront à leur tour de nouveaux « outils », qui permettront un cheminement vers une connaissance meilleure ou différente.

Caractérisation des activités

• « Les activités choisies doivent :– permettre un démarrage possible pour tous les élèves, donc

ne donner que des consignes très simples et n’exiger que les connaissances solidement acquises par tous ;

– créer rapidement une situation assez riche pour provoquer des conjectures ;

– rendre possible la mise en jeu des outils prévus ;– fournir aux élèves, aussi souvent que possible, des

occasions de contrôle de leurs résultats, tout en favorisant un nouvel enrichissement ; on y parvient, par exemple, en prévoyant divers cheminements qui permettent de fructueuses comparaisons. »

Synthèse

• « Elles nécessitent une synthèse, brève, qui porte non seulement sur les quelques notions, résultats et outils de base que les élèves doivent connaître, mais aussi sur les méthodes de résolution de problèmes qui les mettent en jeu. »

Programmes de 1995

• Reprise de l’introduction• Développer la formation du citoyen• Liens avec école primaire• Liens avec les autres disciplines• TICE

• La pratique d’une démarche scientifique

Activité mathématique

• « à travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et l’apprentissage progressif de la démonstration, les élèves peuvent prendre conscience petit à petit de ce qu’est une véritable activité mathématique : – identifier un problème, – conjecturer un résultat, – expérimenter sur des exemples, – bâtir une argumentation, – mettre en forme une solution, – contrôler les résultats obtenus et évaluer leur pertinence en

fonction du problème étudié. »

Programmes 2005

• 4.1. Une place centrale pour la résolution de problèmes

• Thèmes de convergence• Démarche d’investigation

Programmes 2007 et 2008

• Démarche d’investigation• Socle commun de compétences

Discours institutionnel stable

• 1978– Aspect outil des mathématiques,– Rôle majeur pour la résolution de problèmes

• 1985– Outil pour découvrir– Privilégier l’activité de l’élève– Outil/objet/outil

• 1995– Activité mathématique

• 2005– Démarche d’investigation

Conclusions

• Discours stable depuis 30 ans, repris à chaque nouveau programme (différent de la situation de l’EP)

• Discours influencé par les théories de l’apprentissage, par les théories didactiques

• De l’activité des élèves aux « activités d’introduction » (dans les manuels)

• Difficultés de mise en oeuvre dans les classes :– trouver des activités pertinentes– lien entre activités / institutionnalisation

Démarche d’investigationIntroduction commune à l’ensemble des disciplines scientifiques,

collège, 2005

• S’inscrit dans l’approche constructiviste• Analogies entre son application aux sciences

expérimentales et aux mathématiques– Résolution de problèmes– Formulation d’hypothèses explicatives et de

conjectures

• Spécificités liées à leurs objets d’étude et à leurs méthodes de preuve– Validation par l’expérimentation vs. par la

démonstration

Démarche d’investigation

• Appui sur

– Questionnement des élèves sur le monde réel (sciences expérimentales)

• Observation, expérimentation, action directe par les élèves privilégiés

– Résolution de problèmes (mathématiques)

Démarche d’investigation

• Canevas en 7 moments essentiels – rôle de l’expérience et choix du problème pensés différemment selon la spécificité de chaque discipline1) Choix d’une situation-problème par le professeur

• à partir de l’analyse des savoirs visés, des objectifs à atteindre, des acquis initiaux, des conceptions des élèves

2) Appropriation du problème par l’élève• reformulation, émergence d’éléments de solution suscitant le

questionnement

3) Formulation de conjectures, d’hypothèses explicatives, de protocoles possibles• élaboration d’expériences pour tester ces hypothèses et

conjectures, communication de conjectures, hypothèses et protocoles expérimentaux

Démarche d’investigation

4) Investigation ou résolution du problème conduite par les élèves• débats en groupe, description/réalisation de l’expérience,

exploitation de méthodes et résultats, recherche d’éléments de justification et de preuve

5) Échange argumenté autour des propositions élaborées• confrontation des propositions, débat sur leur validité

6) Acquisition et structuration des connaissances• mise en évidence, avec l’enseignant, de nouveaux éléments

de savoir

7) Opérationnalisation des connaissances• exercices pour automatiser certaines procédures, nouveaux

problèmes de réinvestissement, évaluation