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ENPC – Module BAEP1 – Séance 1 ENPC – Module BAEP1 – Séance 1 ENPC – Module BAEP1 – Séance 1 Béton armé et précontraint I RAPPELS FLEXION SIMPLE / TRANCHANT Jean Marc JAEGER Setec TPI E.N.P.C. module B.A.E.P.1

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Béton armé et précontraint I RAPPELS FLEXION SIMPLE / TRANCHANT

Jean Marc JAEGER Setec TPI

E.N.P.C. module B.A.E.P.1

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TOUR ROTANA – AMAN – JORDANIEACC Entreprise de constructionBéton BHP pour les pieux

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TOUR MAROC TELECOMRabatSGTM Entreprise de constructionPorte à faux de 30m

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TOUR MAJUNGA - LA DEFENSEEIFFAGE Entreprise de construction

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TOUR PHARE – LA DEFENSEArch. MORPHOSISUNIBAIL

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Programme d’enseignement du béton armé

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DOCUMENT DE REFERENCE : NF EN 1992-1-1

Les Eurocodes 2, NF EN 1992 sont les codes européens de calcul des structures en béton. Les Annexes nationales NF EN 1992 / NA établissent les choix nationaux.

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En 1990, le Comité de normalisation (CEN) a entrepris la rédaction des Eurocodes, normes européennes de conception, de dimensionnement et de justification des structures de génie-civil.

Les Eurocodes sont au nombre de neuf chacun vise un aspect spécifique de la conception ou un type particulier de construction, les Eurocodes concernant les structures en béton armé sont:

NF EN 1990 : Eurocodes structuraux - Bases de calcul des structures ,NF EN 1991 : Eurocode 1 : Actions sur les structures : (1) Poids volumiques, poids propre, charges d’exploitation; (2) actions sur les structures exposées au feu, (3) Neige, (4) Vent, (5) Thermique, (6) Actions en cours d’exécution..NF EN 1992-1-1 : Eurocode 2 : calcul des structures en béton. Partie 1.1 : règles générales et règles pour les bâtiments,NF EN 1992-1-2 : Eurocode 2 : calcul des structures en béton. Partie 1.2 : règles générales. Calcul du comportement au feuNF EN 1992-2 : Eurocode 2 : calcul des structures en béton – Partie 2 ponts en béton – Calcul des dispositions constructives.

Les Eurocodes ont le statut de normes volontaires mais sont transposées en normes nationales. Les textes de base EN sont complétés par les annexes nationales NA et par les Recommandations professionnelles pour application de l’EC2.

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• ETATS LIMITESUn état limite est celui pour lequel une condition requise d ’une

construction est strictement satisfaite et cesserait de l ’être en cas de modification défavorable d ’une action

- État limite ultime (E.L.U.)

Sécurité des biens et des personnes

- État limite de service (E.L.S.)

Bon fonctionnement dans les conditions normales d ’exploitation et durabilité.

3. METHODES DE CALCUL DU BETON ARME

Le calcul de béton armé s’effectue aux états limites:

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Les principes du calcul aux états-limites sont définis par la Section 3 de l’Eurocode 0. Deux natures d’états-limites sont à considérer pour toute construction : les Etats-limites ultimes (E.L.U.) qui concernent la sécurité des personnes et/ou la sécurité de la structure et les Etats- limites de service (E.L.S.) qui concernent le bon fonctionnement de la structure ou des éléments structuraux en utilisation normale, le confort des personnes et l’aspect de la construction.

Le calcul d’un élément ou d’une structure en béton armé consiste à vérifier qu’aucun de ces deux états-limites n’est dépassé. La méthode de vérification est définie par la Section 6 de l’Eurocode 0, c’est la méthode des coefficients partiels qui couvre les incertitudes de modèle. Les valeurs de calcul des actions se déduisent des valeurs caractéristiques en les multipliant par un coefficient partiel et les résistances de calcul des matériaux se déduisent de leurs valeurs caractéristiques en les divisant par un coefficient partiel.

En E.L.U. il s’agit de vérifier que les déformations limites de rupture des deux matériaux béton (εc) et acier passif (εs) ne sont pas dépassées et que la déformation de l’un des deux matériaux est à son point limite de rupture (état limite). En E.L.S. les critères concernent la limitation des contraintes de compression du béton, la limitation des ouvertures de fissures et de la déformabilité de la structure. Les matériaux sont en phase élastique.

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Béton : résistance

résistance caractéristique à la compression (5%)sur éprouvettes cylindriques à 28 jours (EN 206-1)

résistance moyenne à la compression: fcm = fck + 8MPa

fck

fcm

fctm(t) résistance moyenne à la traction0,3fck(t)2/3

4. MATERIAUX : Résistance du béton

Module d ’élasticité sécant : 22 (fcm/10)0.3 (Table 3.1) Ecm

Béton : déformations

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Le béton est une sorte de pierre artificielle moulable à l’intérieur de coffrages. C’est un mélange de graviers (5 à 25mm) et de sable (0 à 5mm) liés par une pâte de ciment (200µ) et d’eau. Une quatrième échelle de grain, de la fumée de silice (µ) est ajoutée dans les bétons à hautes performance (BHP) pour en augmenter la compacité. L’ajout d’un superplastifiant permet de disperser le ciment dans la pâte et de réduire l’eau excédentaire par rapport à l’hydratation du ciment. Cette eau excédentaire diminue les performances du béton.

Le matériau béton est caractérisé par sa résistance à la compression, sa résistance à la traction est faible et il peut rompre brutalement en traction. Le rôle des armatures passives est d’équilibrer les efforts de traction que ne peut pas reprendre le béton.

La classe de résistance d’un béton est définie conformément à l’approche statistique de la norme NF EN 206-1 comme le fractile à 5% de la distribution des résistances (sur 100 éprouvette testées seules 5 ne passent pas le test) mesurées sur cylindre fck ou sur cube fck,cube . La classe de résistance est définie par les deux valeurs : ex. C30/37. En France les mesures se font sur cylindre.

Un béton de classe C30/37 est caractérisé par fck = 30 MPa

L’ Eurocode 2 est utilisable de C12/15 à C90/105.

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Bétons de 12 à 90 MPa

BETON : Table 3.1

Section 3.1 Table 3.1

Exemple d’un C30/37

fck = 30 MPafctm= 2,9 MPa

Ecm = 33 000 Mpa

εcu2=3,5‰εc2 =2,0‰

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L’Eurocode 0 définit dans la Section 1 les termes relatifs aux propriétés des matériaux :

o valeurs caractéristiques Xk ayant une probabilité donnée de ne pas être atteinte lors d’une hypothétique série d’essais illimitée, par exemple la résistance caractéristique à la compression fck,o valeurs de calcul Xd obtenues en divisant la valeur caractéristique par un coefficient partiel γm ou γM.

Par exemple dans le cas de la résistance à la compression du béton on associe à la valeur caractéristique une résistance de calcul fcd donnée par l’expression suivante: fcd = αcc fck /γc avec αcc =1 et avec le coefficient partiel du béton γc =1.5 (dans le cas de l’ELU fondamental).

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• Calcul de section : loi σ / ε

fcd = αcc fck / γc

avec γc = 1.5 et αcc= 1

Ou l ’approximation rectangulaire avec un facteur λλλλégal à 0.8 pour fck<50MPa et 0.9-fck/500 pour fck>50 MPa

γc = 1.5

4. MATERIAUX : Relation contrainte déformation du béton

Section 3 §3.1.7

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Relation contrainte-déformation pour le béton compr imé

Dans un premier temps le béton se comporte de façon élastique εc =σc / Ec puis le béton se plastifie: la déformation croît beaucoup plus vite que la contrainte. La rupture se produit quand le raccourcissement atteint sa valeur limite εc u2.

Aux E.L.S la loi contrainte déformation du béton est supposée linéaire et est donc caractérisée par le module de déformation du béton Ec.Aux E.L.U. la loi contrainte déformation du béton est de type parabole rectangle:une variation parabolique entre 0 et εc2 puis un palier horizontal plastique jusqu’à rupture. La Table 3.1 indique que pour les bétons tels que fck ≤ 50MPa le début du palier plastique est caractérisé par εc2 = 2‰ et la rupture par εc u2 = 3,5‰ .

L’Eurocode 2 précise que l’on peut également admettre un diagramme rectangulaire de compression.

Le comportement d’une éprouvette de béton soumise à un chargement axial est caractérisé par la loi reliant la contrainte normale σc appliquée à celle-ci et le raccourcissement élémentaire du béton εc = ∆l / l.

σc

σc

l

∆l

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• Acier HA de classe B (cf annexe C)

Limite d ’élasticité ( fyk = 500 Mpa )

allongement à rupture ( εuk = 5% )

module d ’élasticité ( Es = 200 Gpa )

fyk

εuk

Es

4. MATERIAUX : ACIER HA – Résistance et déformation

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Diamètre nominal (mm) 5 6 8 10 12 14 16 20 25 32 40

1 0,20 0,28 0,50 0,79 1,13 1,54 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57

2 0,39 0,57 1,01 1,57 2,26 3,08 4,02 6,28 9,82 16,08 25,13

3 0,59 0,85 1,51 2,36 3,39 4,62 6,03 9,42 14,73 24,13 37,70

Section (cm²) 4 0,79 1,13 2,01 3,14 4,52 6,16 8,04 12,57 19,63 32,17 50,27

pour un nombre de barres égal à: 5 0,98 1,41 2,51 3,93 5,65 7,70 10,05 15,71 24,54 40,21 62,83

6 1,18 1,70 3,02 4,71 6,79 9,24 12,06 18,85 29,45 48,25 75,40

7 1,37 1,98 3,52 5,50 7,92 10,78 14,07 21,99 34,36 56,30 87,96

8 1,57 2,26 4,02 6,28 9,05 12,32 16,08 25,13 39,27 64,34 100,53

9 1,77 2,54 4,52 7,07 10,18 13,85 18,10 28,27 44,18 72,38 113,10

Diamètre encombrement (mm) 6 7 10 12 14 17 19 24 30 38 48

Poids 0,154 0,222 0,395 0,617 0,888 1,208 1,578 2,466 3,853 6,313 9,865

Caractéristiques des barres HALe tableau ci-dessous donne les caractéristiques des barres d’acier à haute adhérence (HA). Les aciers HA sont de de classe B au sens de l’annexe C de l’EC2. Cette annexe fixe la valeur de l’allongement à rupture de l’acier àεuk = 50‰ et le coefficient k = 1,08.

La valeur moyenne de la masse volumique de l’acier peut être supposée égale à 7 850kg/m3, la valeur de calcul du module d’élasticité de l’acier peut être supposée égale à Es= 200 Gpa.

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• Acier : loi contrainte-déformation

soit une branche horizontale avec εuk non limitésoit une branche inclinée ( k=1.05 ) avec εuk = 5%γs= 1.15

Section 3 §3.2.7

4. MATERIAUX : ACIER – loi contrainte déformation

εud = 0.9 εuk = 4.5%

fyd = fyk / γs

avec γs = 1.15

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Diagramme contrainte-déformation de calcul de l’aci er de béton arméLe diagramme contrainte déformation de l’acier est de type bilinéaire avec une branche initiale représentant le comportement élastique de pente Es puis une branche représentant le comportement plastique de l’acier.Deux hypothèses, concernant cette seconde branche, peuvent être faites pour le calcul courant des sections d’armatures:a) branche inclinée, avec une limite de déformation à εud = 45‰ et une

contrainte maximale kfyk/ γs,b) branche supérieure horizontale sans nécessité de vérifier la limite de

déformation.La limite d’élasticité de calcul de l’acier est donnée par : fyd = fyk/ γs avec une limite caractéristique d’élasticité fyk = 500MPa et un coefficient partiel relatif à l’acier γs = 1.15 (dans le cas de l’ELU fondamental).

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• DEFINITION DES ENROBAGES

6. DURABILITE ET ENROBAGE

- Classe d’exposition : conditions physiques et chimiques

auxquelles la structure est exposée

- Classe structurale : liée à la durée d’utilisation de projet

• CRITERES DE DURABILITE

- Enrobages : qualité et épaisseur de l’enrobage

- Maîtrise de la fissuration : ouverture des fissures

Section 4

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Durabilité« Une structure durable doit satisfaire aux exigences d’aptitude au service, de résistance et de stabilité pendant toute la durée d’utilisation de projet, sans perte significative de fonctionnalité ni maintenance imprévue excessive » : telle est la définition de la durabilité donnée dans la Section 4 de l’EC2.

La durabilité d’une structure en béton armé est principalement liée à la protection du ferraillage contre la corrosion. Cette protection dépend de la compacité, de la qualité et de l’épaisseur de l’enrobage d’une part, de la fissuration d’autre part.La compacité et la qualité de l’enrobage par la maîtrise de la formulation du béton font l’objet de la norme EN 206-1.

Les critères de calcul visant à assurer la durabilité sont l’épaisseur de l’enrobage et la limitation de l’ouverture des fissures. Ces deux éléments sont fixés en fonction des conditions d’exposition physiques et chimiques de chaque parement béton et en fonction de la durée d’utilisation de projet de la structure.

En partant d’une classe structurale recommandée : la classe S4 correspondant à une durée d’utilisation de projet de 50 ans et en fonction d’un classe d’exposition caractérisant les conditions d’environnement la Section 4 de l’EC2 fixe l’épaisseur de l’enrobage et la valeur limite d’ouverture des fissures pour chaque parement.

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6. DURABILITE ET ENROBAGE : Classe d’exposition

• Fonction des conditions d’environnement

Section 4, Tab. 4.1

et Classes XS (chlorures), XF(gel) et XA(chimique)Valeur utilisées par la suite

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Classe d’expositionLa classe d’exposition d’un parement ou d’une surface de béton traduit les conditions physiques et chimiques auquelles ce parement est exposé. Les classes 1 à 3 sont les suivantes:� X0 Aucun risque (0 risque) de corrosion ou d’attaque : béton non armé ou faiblement armé avec un enrobage d’au moins 5 cm ne subissant aucune agression.� XC Corrosion des armatures induite par Carbonatation :

XC1 : sec (faible humidité de l’air ambiant), XC2 : humide, rarement sec (ex. un grand nombre de fondations ; en France cette classe est assimilée à XC1), XC3 : humidité modérée (humidité de l’air ambiant moyenne ou élevée ; en France cette classe est assimilée à XF1), XC4 : alternance d’humidité et de séchage (en France cette classe est assimilée à XF1).

� XD Corrosion induite par les chlorures ayant une origine autre que marine:XD1 : humidité modérée (surfaces de bétons exposées à des chlorures transportés par voies aériennes ; en France cette classe est assimilée à XF1), XD2 : humide, rarement sec (ex. piscines en béton non complètement protégé), XD3 : alternance d’humidité et de séchage (ex. dalles de parc de stationnement de véhicules).

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6. DURABILITE ET ENROBAGE : Classe d’exposition

Section 4, Tab. 4.1

Classe structurale recommandée S4 (durée d’utilisa tion 50ans)

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cnom distance entre la surface de l’armature et le parement

∆∆∆∆cdev marge pour tolérances d’exécution (10mm recommandés)cmin,b enrobage minimal vis-à-vis des exigences d’adhérenc e

(le diamètre de la barre en pratique)cmin,du r enrobage minimal vis-à-vis des conditions d’environ nement

∆cdur,γ marge de sécurité (0 recommandé)∆cdur,s réduction en cas d’acier inoxydable (0 cas courant)∆cdur,a réduction en cas de protection supplémentaire (0 cas courant)

§4.4.1.2 EC2

6. DURABILITE ET ENROBAGE : Enrobage

(Φ isolée)

cnom = cmin + ∆cdev Φcnom

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Enrobage des armaturesL’enrobage est la distance entre la surface de l’armature (épingle, étrier et cadre compris) la plus proche de la surface du béton et cette dernière. L’enrobage nominal cnom doit être spécifié sur les plans, il est égal à un enrobage minimum cmin plus une marge de calcul pour tolérances d’exécution ∆cdev .

L’enrobage minimum cmin doit être supérieur à :• cmin,b enrobage minimal vis-à-vis des conditions d’adhérence des barres correspondant au diamètre de la barre pour une barre isolée et à un diamètre équivalent dans le cas d’un paquet de nb barres (φn= φ√nb);• cmin,dur enrobage minimal vis-à-vis de conditions d’environnement, cette valeur est calculée en fonction de la classe d’exposition et de la classe structurale• 10mm

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6. DURABILITE ET ENROBAGE : Enrobage

• Valeur de c min,dur (mm)

Classe d’exposition XC3Classe structurale S4 :cnom = max (ΦΦΦΦ+10; 35mm)

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GK ACTIONS PERMANENTES

(POIDS PROPRE, CHARGES D’EQUIPEMENT, …ETC)

QK1 ACTION VARIABLE DE BASE

(CHARGES D’EXPLOITATION, VENT, NEIGE, TEMPERATURE,… ETC)

QKi ACTIONS VARIABLES D’ACCOMPAGNEMENT (UNE ACTION VARIABLE DE BASE ET TOUTES LES AUTRES EN ACTIONS

D’ACCOMPAGNEMENT)

Ad ACTION ACCIDENTELLE

(SEISME, CHOC…)

Ψ0, Ψ1, Ψ2 COEFFICIENTS DE COMBINAISON

γ COEFFICIENT DE PONDERATION

7. ACTIONS

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Analyse structurale, actionsL’analyse structurale a pour objet de déterminer la distribution des sollicitations dans la structure ou une partie de la structure. Cette analyse peut être effectuée selon une analyse linéaire basée sur la théorie de l’élasticité aux états-limites de service comme aux états-limites ultimes. Une structure peut généralement être modélisée par un réseau de poutres chargées dans leur plan moyen. La résistance des matériaux (R.D.M) constitue l’outil de base indispensable pour calculer la distribution des sollicitations internes : effort normal N, effort tranchant V et moment de flexion M dans la structure en fonction des actions appliquées.

Il faut dans un premier temps identifier toutes les actions appliquées à la structure en s’appuyant sur l’Eurocode 1. Ces actions sont classifiées en fonction de leur variation dans le temps:• les actions permanentes (G) : par exemple poids propre, charges d’équipements fixes, retrait du béton et tassements différentiels,• les actions variables (Q) : par exemple charges d’exploitations sur les planchers, actions du vent ou charges de neige,• les actions accidentelles (A) : par exemple séisme, explosion, choc de véhicule.

Ces différentes actions sont combinées entre elles en tenant compte des coefficients de la méthode des coefficients partiels pour aboutir aux sollicitations aux états limites ultime et aux états limites de service.

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avec : γG = 1.0 ou 1.35γQ1 = 1.50γQi = 1.50

Exemple1.35 G + 1.50 Q

COMBINAISONS E.L.U.

Σ γGsup Gsup + Σ γGinf Ginf + γQ1 QK1 + Σ γQi Ψ0i QKi

7. COMBINAISONS D’ACTION : E.L.U.

EN 1990 Section 6

ExempleG + Ad + 0.5 Q

COMBINAISONS E.L.U. ACCIDENTELLES

Σ Gsup + Σ Ginf + Ad + Ψ11QK1 + Σ Ψ2i QKi

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Combinaisons E.L.U.Les combinaisons d’actions à considérer aux états-limites ultimes sont définies dans la Section 6 des Eurocodes 0:• Les charges permanentes à caractère défavorable vis-à-vis de l’effet considéré sont multipliées par le coefficient partiel γGsup = 1,35 et celles à caractère favorable par γGinf = 1,00.• Chacune des différentes actions variables est considérée, à tour de rôle, comme action variable de base, les autres étant considérées comme actions variables d’accompagnement. L’action variable de base est multipliée par γQ1 = 1,5 et les actions d’accompagnement par un coefficient Ψ x γQ1 , le coefficient de combinaison Ψ étant précisé dans la Section 6

Combinaisons E.L.U. accidentellesEn situation accidentelle ou sismique les coefficients partiels sont réduits pour tenir compte de la plus faible probabilité d’occurrence.

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Exemple : G + Q

COMBINAISONS E.L.S.

Σ Gsup + Σ Ginf + QK1 + Σ Ψ0i QKi

combinaison caractéristique

combinaison fréquente

combinaison quasi-permanente

Σ Gsup + Σ Ginf + Ψ11 QK1 + Σ Ψ2i QKi

Σ Gsup + Σ Ginf + Σ Ψ2i QKi

7. COMBINAISONS D’ACTION : Combinaison E.L.S.

Exemple : G + 0.3Q

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Combinaisons E.L.S.L’Eurocode considère trois types de combinaisons aux états limites de service classées en fonction de leur probabilité d’occurrence:• La combinaison caractéristique• La combinaison fréquente • La combinaison quasi-permanenteIl faut souligner l’importance de la combinaison quasi-permanente pour laquelle il conviendra de vérifier en particulier l’ouverture des fissures.

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Coefficients ψ

7. COMBINAISONS D’ACTION : Coefficients de combinaison

EN 1990 Section 6

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Coefficients de combinaisonLes coefficients de combinaison sont précisés par le tableau A1.1 de l’annexe 1 de l’Eurocode 0.

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V(x)

P

P/2

M(x)

N(x)=0

P/2P/2

P

Fibre tendue

Méthode des coupures

9. FLEXION SIMPLE : Définition

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Sollicitations, flexion simpleOn considère une poutre simplement posée à ses deux extrémités, distantes de la portée l, sur deux appuis simples. Cette poutre est soumise à l’action d’une charge verticale descendante P appliquée à mi-travée. Cette poutre est isostatique c’est-à-dire que les équations de la statique suffisent à la détermination des réactions d’appui.

Les sollicitations internes dans une section droite Σ : effort normal N, effort tranchant V et moment de flexion M s’obtiennent en imaginant une coupure Σ qui sépare la poutre en deux parties. Le tronçon situé après la coupure est en équilibre sous l’action des forces extérieures qui lui sont directement appliquées et sous l’action du torseur N,V,M s’appliquant en Σ. Ces sollicitations internes s’obtiennent en projetant le torseur résultant de toutes les forces situées à droite de la coupure sur les trois axes portant N, V et M.

Dans le cas précis de notre exemple l’effort normal est nul dans la section Σ, la section est soumise à une flexion simple caractérisée par le moment de flexion M. Sous les actions appliquées la poutre se cambre vers le bas, la fibre inférieure est tendue et la fibre supérieure comprimée. Il est vital en béton armé (le béton ne résistant pas à la traction) de ne pas commettre d’erreur sur la position de la fibre tendue, celle-ci est repérée en résistance des matériaux du Génie-civil par des tirets.

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NM

TVA = pl/2

N(x) = 0T(x) = VA –px = p(l/2-x)M(x) = VA x – px . x/2 = px/2(l-x)

x

p

9. ETUDE D’UNE POUTRE ISOSTATIQUE

• Expression analytique des sollicitations internespx (résultante)

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2

plT =

T

M

8

²plM =

2

plT −=

+pl/2 pl/2

p)

2()(

)(2

)(

xl

pxT

xlpx

xM

−=

−=

Variation des sollicitations – travée simple uniform ément chargéeL’expression des sollicitations V(x) et M(x) s’obtient en projetant le torseur des forces s’exerçant à droite de la section selon des conventions de projection rappelées sur la figure ci-dessus. On obtient une variation parabolique pour le moment de flexion avec un maximum à mi-travée (pl²/8) et une variation linéaire pour l’effort tranchant avec un maximum sur appui (pl/2)

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P

M(x)

0

équilibré par

Nc

Nst

z

Aciers tendus

Béton comprimé

0 = Nc - Nst

M = Nc x z

M : moment de flexionNc : résultante des contraintes de compressionNst : résultante des contraintes de tractionz : bras de levier

9. FLEXION SIMPLE : Equations d’équilibre en béton armé

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Résistance du béton armé à la flexionSoumettons la section droite d’une poutre à un moment de flexion M positif croissant. Ce moment de flexion tend la fibre inférieure de la poutre et comprime la fibre supérieure. Quand la contrainte de traction sur la fibre inférieure atteint sa limite le béton se fissure. Cette limite notée fctm est basse (cf la Table 3.1) et de toute façon considérée comme nulle dans les calculs de flexion.Les aciers longitudinaux inférieurs sont soumis à une contrainte de traction et reprennent les efforts de traction qui ne peuvent pas être équilibrés par le béton fissuré. Les efforts de compression agissant en partie supérieure sont eux équilibrés par le béton comprimé.Le moment de flexion agissant sur la section est in fine équilibré par :• un effort de traction Nst résultante des contraintes de traction σst s’exerçant sur l’ aire des aciers longitudinaux notée A,• un effort de compression Nc résultante des contraintes de compression σc s’exerçant sur une aire de béton comprimée notée B.Les lignes d’action de ces deux résultantes sont distantes d’une valeur notée z et appelée le bras de levier.L’identification des deux torseurs: sollicitations internes et résultantes de contraintes fournit les deux équations de base des calculs en flexion simple:

0 = Nc - Nst

M = Nc x z

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9.1 FLEXION SIMPLE E.L.U.

• HYPOTHESES DU CALCUL ELU:

- les sections planes restent planes

- adhérence parfaite des armatures et du béton

adjacent

- résistance à la traction du béton négligée

- diagrammes contrainte déformation des matériaux

non linéaires

Section 6 §6.1

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Hypothèses du calcul aux état-limites ultimesLes hypothèses du calcul des sections droites de béton armé soumises à une flexion simple ou à une flexion composée sont données dans la Section 6 de l’Eurocode 2:� les sections planes restent planes, on en déduit que le diagramme de déformation est plan sur la hauteur de la section, celui-ci est caractérisé par la déformation en fibre supérieure et par la déformation en fibre inférieure,

� les armatures adhérentes (armatures de béton armé), qu’elles soient tendues ou comprimées, subissent les mêmes déformations que le béton adjacent, on en déduit qu’au niveau d’une fibre donnée εc = εs et que le diagramme de déformation commun peut être caractérisé par le raccourcissement du béton εc en fibre comprimée et l’allongement de l’acier εst en fibre tendue,

� la résistance à la traction du béton est négligée : le béton situé sous l’axe neutre en zone tendue n’est pas pris en compte dans le calcul,

� les contraintes dans le béton comprimé et dans les armatures tendues se déduisent des diagrammes contraintes-déformation de calcul (diagramme parabole rectangle pour le béton et diagramme bilinéaire pour l’acier).

Ces quatre hypothèses déterminent le principe du calcul de section aux E.L.U.

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9.1 DIAGRAMME DE DEFORMATION (BETON et ACIER)H1 + H2 : Le diagramme de déformation est caractérisé par εc le raccourcissement

élémentaire du béton en fibre supérieure et l’allongement εst de l’acier en fibre

inférieure

z

y

G

y

ε(x)

εc

εst

b

dh

αd

h hauteur de la poutreb largeur de la poutred hauteur utile de la poutreαd hauteur de béton comprimé

ddstc

)1( αε

αε

−=

(1-α)d

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9.1 DIAGRAMME DE CONTRAINTESH3 + H4 : Seul le béton comprimé équilibre des efforts, les lois contraintes-déformation

des matériaux béton et acier donnent les états de contraintes

z

y

G

y

ε(x)

εc

εstb

d

αd

y

σ(x)

σst(ε st)

σc2‰

σc contrainte de compression dans le béton : diagramme parabole rectangleσst contrainte de traction dans les aciers tendus : diagramme bilinéaire

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Pivot A : rupture par l’acier

Pivot B : rupture par le béton

- 450/00

3.50/00

A

B

pivot A

pivot B

pivot A

pivot AB

pivot B

9.1 FLEXION SIMPLE ELU : Pivots A et B

xy

y

zG

y

x

Σ section de calcul

fibre raccourcie

fibre allongée

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Pivot A et pivot B Aux E.L.U. la déformation en compression du béton doit être limitée à εcu2et la déformation de l’acier à εud. Pour les bétons courants tels que fck≤50 Mpa ces deux conditions s’expriment par εc ≤3,5‰ et par εst ≤45‰, de plus l’un des deux matériaux doit être à son point limite de rupture.� Pivot A : si l’acier tendu a atteint son point limite de rupture mais pas le béton, on est en pivot A : le diagramme de déformation passe par le point A correspondant à εst =45‰ et on vérifie εc <3,5‰ , � Pivot B : si le béton a atteint son point limite de rupture mais pas les aciers, on est en pivot B : le diagramme de déformation passe par le point B correspondant à εc =3,5‰ et on vérifie εst <45‰,� Pivots AB dans le cas particulier ou les deux matériaux atteignent leur point limite de rupture simultanément : εst =45‰ et εc =3,5‰ .La donnée d’un diagramme de déformation suffit à définir la position de l’axe neutre pour lequel ε=0. En appelant d la distance entre la fibre supérieure et le barycentre des aciers tendu et αd la distance entre la fibre supérieure en l’axe neutre on obtient : α= εc /(εc + εst). La hauteur de béton comprimé est égale à αd.On remarque que αAB = 3.5/(3.5+45)=0,072. Une section soumise à un moment de flexion croissant verra l’effort de compression équilibré par le béton augmenter, la hauteur de béton comprimé augmenter et son diagramme de déformation passer progressivement d’un diagramme Pivot A vers un diagramme Pivots AB puis un diagramme Pivot B.

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b

dααααd

At

Ncu

R

Nst

z = ββββd

fcd

σst(εst)σ

εst

εc

ε

20/00

équilibre0 = Ncu - Nst

Mu = Ncu x z

9.1 FLEXION SIMPLE ELU : Equations d’équilibre

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Calcul de la section d’acier aux états-limites ulti mesOn considère une section droite rectangulaire de hauteur h et de largeur b soumise à un moment de flexion Melu qui tend la fibre inférieure. On recherche la section d’acier A à mettre en place en fibre inférieure. La barycentre de ces aciers est situé à une distance d, dite hauteur utile, de la fibre supérieure.

Le diagramme de déformation est plan sur la hauteur de la section et est caractérisé par la déformation εc de la fibre supérieure (béton comprimé) et par la déformation εst des aciers tendus. La déformation est nulle au droit de l’axe neutre qui sépare béton comprimé et béton tendu. La hauteur du béton comprimé est notée αd avec : α= εc /(εc + εst).

Le béton tendu, situé sous l’axe neutre, est négligé. Le diagramme de contrainte agissant sur le béton comprimé se déduit directement du diagramme de déformation par application de la loi parabole-rectangle. En flexion simple on peut remplacer ce diagramme par un diagramme rectangulaire de hauteur 0,8 αd.

La surface de béton comprimée de largeur b et de hauteur 0,8 αd est soumise à une contrainte uniforme égale à fcd. La résultante de contraintes de compression est égale à : Nc = b. 0,8 αd. fcd , cette résultante est située à une distance 0,4 αd de la fibre supérieure.

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b

dααααd

At

Ncu

R

Nst

z = ββββd

fcd

σst(εst)σ

εst

εc

ε

20/00

approximation rectangulaire

fcd

≈≈≈≈ααααd

fcd

0.8 α0.8 α0.8 α0.8 αd

9.1 FLEXION SIMPLE ELU : Approximation rectangulaire

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Calcul de la section d’acier aux états-limites ulti mesLes aciers, d’aire A, subissent une déformation εst à laquelle correspond une contrainte σst lue sur le diagramme contrainte-déformation bilinéaire des aciers.La résultante des contraintes de traction appliquée aux aciers est égale à : Nst = A .σst (εst ), cette résultante est située à la distance d de la fibre supérieure.

La distance z=βd entre la résultante des compression et la résultante des traction a pour valeur z = d-0,4αd soit β=1-0.4 α. La seconde équation d’équilibre Melu = Nc x z s’écrit alors : M= b. 0,8 αd. fcd . (1-0.4 α)d.En passant dans le premier membre tous les paramètres connus on fait apparaître une valeur sans dimension µ appelée moment réduit, avec µ= Melu/(bd² fcd). L’équation d’équilibre de la section prend alors la forme µ= 0,8 α(1-0.4 α) dont la solution est α=1.25(1-√(1-2 µ)). On remarque que µAB = 0,056, c’est le moment réduit frontière entre pivot A et B.

Connaissant α on en déduit β=1-0.4 α et donc le bras de levier z. L’aire d’acier A est donnée par la seconde équation d’équilibre : Melu = Nst x z = Aσst (εst )xz soit :A= Melu/(zσst ).

Le taux de travail des aciers dépend du mode de rupture:� en Pivot A (rupture par l’acier ) σst = 466MPa soit la contrainte limite à rupture,� en Pivot B (rupture par le béton) cette contrainte dépend de la déformation de l’acier.

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b

d

At

Nu

Nst

z = ββββd

0.8ααααd

fcd

fyk/γγγγs

ααααd

εst = 450/00

εb = 3.50/00

A

B

9.1 FLEXION SIMPLE ELU: Équations d’équilibre

Impossible d’afficher l’image.

)4.01(8.0²

)4.01(8.0²

)4.01(

8.0

ααµ

αααβ

α

−==

−=−==

=

cd

u

cdu

uuu

cdu

fbd

M

fbdM

dNdNM

dbfN

équilibre

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cd

u

fbd

M

²=µ

Moment réduit, pivot A et pivot BLe moment réduit µ est un coefficient sans dimension qui permet de pré dimensionner une poutre vis-à-vis des sollicitations de flexion simple.

En général le moment réduit est compris dans une fourchette allant de 0.19 à 0.30. La borne supérieure est conditionnée par les conditions ELS: critères de flèches et respects des contraintes de compression limites du béton.

Le moment réduit permet également de déterminer le mode de rupture en flexion:µ < 0.056 : la section est en pivot A (rupture par l’acier)µ > 0.056 : la section est en pivot B c’est le cas le plus courant (rupture par le béton)

En adoptant l’hypothèse de la branche horizontale pour le diagramme contrainte-déformation des aciers passifs le pivot A disparaît (en effet la déformation des aciers n’est pas limitée).

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b

d

At

ααααd

εst < 500/00

εc = 3.50/00

B0.8ααααd

fcd

σst(εst)

Ncu

Nst

z = ββββd

µµµµ = 0.8 αααα (1 - 0.4 αααα)

(((( ))))µµµµ−−−−−−−−====αααα 21125.1 ββββ = 1 - 0.4 αααα

A t =Mu

ββββd σst(εst)

εεεεst = (1- αααα)/αααα x 3.5°/ 00 σσσσst(εεεεst)εεεεst < fyk/ Esγγγγs : phase élastique

εεεεst > fyk/ Esγγγγs : phase plastique

9.1 FLEXION SIMPLE ELU : Détermination de At - Pivot B

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b

h d

ααααd

A

hauteur utile : dhauteur de béton comprimé : αdbras de levier : βd

αβµα

µ

4.1

)211(25.1

²

−=−−=

=fcdbd

Mu

st

000

st

1

45

:Apivot

εα

αε

ε

−=

=

c 000

000

st

5.3

3.51

:Bpivot

=

−=

cεα

αε

)( stst

us d

MA

εσβ=

Calcul de l’aire d’acier : synthèse

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10. EFFORT TRANCHANT : Modèle bielle-tirant

θ α z

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Effort tranchant : généralités L’étude de la résistance à l’effort tranchant d’une poutre en béton armé implique d’appréhender le fonctionnement global de la structure aux états limite ultimes et le mode de transmission des efforts par un réseau de bielles de béton comprimé et de tirants formés par les armatures passives. Dans le cas courant où il est nécessaire de disposer des armatures transversales, les modèles classiques de treillis de Mörsh prennent maintenant en compte des bielles d’inclinaison variable et non plus uniquement des bielles à 45°. La résistance à l’effort tranchant est critique dans la mesure où les ruptures d’effort tranchant sont fragiles c'est-à-dire brutales.Modèle bielles-tirantsLe modèle bielles-tirant permet de décrire le cheminement interne des charges appliquées sur une poutre en béton armé, depuis le point d’application jusqu’aux appuis, en tenant compte du mode de mise en place des armatures. Les tirants équilibrent les tractions internes et sont constitués par les armatures inférieures longitudinales et les armatures transversales. L’inclinaison de ces dernières par rapport à l’horizontale est noté α sachant que dans la grande majorité des cas α = 90°pour des raisons pratiques.Les bielles de béton comprimé suivent la trajectoire des contraintes principales de compression dites isostatiques de compression, elles sont inclinées d’un angle θ par rapport à l’horizontale et représentées en pointillés épais sur la figure ci-dessus. En partie supérieure, des bielles horizontales correspondent aux efforts de compression équilibrés par la zone comprimée.

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Essais de poutresen béton armé

JR Robinson etJM Demorieux

Un essai de chargement d’une poutre isostatique en béton armé permet de voir l’évolution de la fissuration au fur et à mesure du chargement de cette poutre.

10. EFFORT TRANCHANT : Généralités

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Principe du calcul des armatures transversalesUn effort appliqué en face supérieure d’une poutre en béton armé descend en partie basse de la poutre par des bielles de compression. Les composantes horizontales de ces bielles sont équilibrées par le tirant inférieur que constituent les armatures longitudinales inférieures de la poutre. Les composantes verticales de ces bielles sont « remontées » en partie haute de la poutre par les tirants que constituent les armatures transversales. De nouvelles bielles se forment successivement jusqu’à la dernière bielle arrivant sur appui nommée bielle d’about. On pourrait considérer qu’une bielle se forme par cours d’armatures transversales. Le rôle des armatures d’effort tranchant est de coudre les deux parties de la poutre séparées par une fissure, ces armatures doivent « remonter » la composante verticale de l’effort véhiculé par la bielle de compression en notant que cette composante est l’effort tranchant. Le principe du calcul des armatures transversales est simple, il s’agit de dénombrer les barres d’acier traversant la fissure et de comparer l’effort résistant développé par ces aciers à l’effort agissant. Il faudra également vérifier que la contrainte de compression dans les bielles est acceptable. Ces vérifications sont faites en E.L.U.

L’angle d’inclinaison des bielles, qui avait traditionnellement pour valeur 45°, est maintenant laissé au choix du projeteur béton armé dans les limites suivantes :

1 ≤ cotg θ ≤ 2,5 ou 21.8°≤ θ ≤45°

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10. EFFORT TRANCHANT

Section 6 §6.2

• Procédure générale (éléments de hauteur constante)

VEd effort tranchant agissant de calculVRd,c effort tranchant résistant en l’absence d’armaturesVRd,s effort tranchant repris par les armatures transversalesVRd,max effort tranchant maximal équilibré par les bielles

VEd ≤ VRd,c : aucune armature transversale (ou ferraillage minimal)VEd > VRd,c : armatures transversales requises

- COMPRESSION DES BIELLES

VEd ≤ VRd,max : limite avant écrasement des bielles de compression

- ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT

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Procédure du calcul à l’effort tranchantL’Eurocode 2 définit dans les procédures générales de vérification (6.2.1) quatre valeurs de calcul. Ces vérifications sont faites exclusivement aux états limites ultimes.

VEd est l’effort tranchant agissant de calcul, VRd,c est l’effort tranchant résistant de calcul en l’absence d’armature d’effort tranchant,VRd,s est l’effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d’effort tranchant,VRd,max est l’effort tranchant de calcul maximal pouvant être repris par l’élément avant écrasement des bielles de compression.

Une première analyse consiste à vérifier si il est nécessaire ou non de disposer des armatures transversales dans l’élément, c’est le cas dès que VEd ≥ VRd,c. Les éléments ne nécessitant pas d’armatures transversales sont rares. Deux vérifications sont ensuite à faire, la première qui consiste à s’assurer que VEd≤ VRd,s permet de dimensionner les armatures d’effort tranchant, la seconde qui consiste à vérifier que VEd≤ VRd,max permet de déterminer l’angle d’inclinaison des bielles θ ou de définir l’équarrissage du béton.

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10. EFFORT TRANCHANT : INCLINAISON DES BIELLES

Section 6 §6.2.3 (2)

• Angle entre la bielle et la fibre moyenne : θθθθ

θθθθ

1,0 ≤ cotg θθθθ ≤ 2,5 21.8° ≤ θθθθ ≤ 45°

• Le choix de l’angle θθθθ conditionne :

- la densité d’armatures tranversales (A sw /s quand θθθθ )

- la contrainte de compression des bielles ( σσσσb quand θθθθ )

- les dispositions sur appui (bielle d’about, sous-t endeur)

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Calcul de la section d’acier aux états-limites ulti mesL’Eurocode intègre le fait que le principe de ferraillage d’une poutre a une influence sur son mode de rupture et sur l’inclinaison des bielles. L’angle d’inclinaison des bielles θ peut être choisi compris dans les limites 1 ≤ cotg θ ≤ 2,5. En adoptant un angle θ = 21.8°on réduira la densité des armatures transversales et on augmentera le taux de compression des bielles d’about (les plus sollicitées), de la même manière un angle θ = 45°permet de limiter le taux de compression des bielles.

Un processus de choix consiste à adopter une valeur de θ, à vérifier que le taux de compression des bielles d’appui est acceptable soit VEd≤ VRd,max puis à calculer les armatures à partir de la condition que VEd≤ VRd,s.Mais le choix de l’angle θ conditionne également toutes les vérifications d’appui ainsi que l’épure d’arrêt des barres longitudinales. Le choix ne peut se faire qu’après une analyse complète de la poutre.

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z.(cot θθθθ+cot αααα)

zVRd,s

s

1,0≤ cot θ ≤ 2,5

ααθααθsin).cot.(cotsin.

)cot.(cot, +=+= ywd

swstsyRd zf

s

AF

s

zV

Cas le plus courant α = π/2 (armatures verticales) :

θθcot...

cot., zf

s

AF

s

zV ywd

swstsyRd ==

θα

Fs

t

α

10. EFFORT TRANCHANT : ARMATURES

• Calcul de V Rd,s

Section 6 §6.2.3 (3)

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Calcul de la section d’acier aux états-limites ulti mesLe calcul de l’effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d’effort tranchant VRd,s consiste à dénombrer les barres d’acier qui traversent une fissure inclinée de θ par rapport à l’horizontale, puis à calculer l’effort résistant de ces barres et à le projeter sur la verticale.

Un cours d’armatures transversale a une section notée Asw et les différents cours sont espacés d’une distance s. L’analyse géométrique considère un triangle de hauteur z dont un coté est parallèle à la fissure inclinée de θ par rapport à l’horizontale et l’autre parallèle aux aciers transversaux inclinés de α par rapport à l’horizontale. Le nombre de cours d’armatures qui traversent la fissure est égal à z(cotgθ+cotgα)/s, chaque cours développe un effort résistant Fst = Asw fywd en notant fywd le taux de travail de ces aciers et est incliné de α sur l’horizontale. En projetant cet effort résistant sur la verticale on obtient l’expression de VRd,s (avec Asw aire de la section d’un cours d’armatures transversales , s espacement entre deux cours successifs, z bras de levier, qui résulte du calcul en flexion ou qui peut être pris égal à 0.9d, fywd limite d’élasticité de calcul des armatures transversales égal à fyk/γs et θ angle d’inclinaison des bielles).

L’inéquation VEd≤ VRd,s permet alors de calculer Asw / s. Le choix de s permet ensuite d’en déduire Asw, l’espacement en zone d’appui est souvent voisin de 10cm, celui-ci augmente au fur et à mesure que l’on se déplace vers la mi-travée tout en étant plafonné à un maximum précisé ci-dessous.

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α

z

V Rd,max

σc

θ

bw

z.(cosθ+cotα.sinθ)

)tan/(cot.. 1max, θθν += cdwRd fzbV

10. EFFORT TRANCHANT : BIELLES

• Contrainte de compression des bielles

Section 6 §6.2.3 (3)

Cas le plus courant α = π/2 (armatures verticales):

cw

cwRd

zb

zbV

σθαθ

θσθαθ

.sin).cot.(cot.

sin.).sin.cot.(cos.2

max,

+=

+=

σc=νfcd

ν1=0,6 pour fck≤60MPa

ν1=0,9-fck/200>0.5 si fck>60MPa

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Vérification de la contrainte de compression des bi elles Le calcul de l’effort tranchant de calcul maximal pouvant être repris par l’élément avant écrasement des bielles de compression est effectué en déterminant l’aire de la section droite de la bielle, en lui associant un taux de compression maximum pour déterminer l’effort de compression maximal dans la bielle et en projetant l’effort obtenu sur la verticale pour le comparer à l’effort trachant.

Le taux de compression maximal du béton qui résulte de l’application de la méthode bielle et tirants est égal à : σc=ν1fcd avec ν1=0,6 pour fck ≤ 60MPa et ν1=0,9-fck/200>0.5 si fck>60MPa.

Dans le cas ou α = 90°l’expression de V Rd,max se simplifie tel qu’indiqué ci-dessus en notant bw la largeur d’âme de la poutre, z le bras de levier qui résulte du calcul en flexion ou qui peut être pris égal à 0.9d, ν1 = 0,6 pour fck ≤ 60MPa et ν1=0,9-fck/200>0.5 si fck>60MPa, fcd la contrainte de calcul du béton et θ angle d’inclinaison des bielles.

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11.1 POUTRE CONTINUE – Présentation de l’exemple

16.2 m

0.60 m

0.60 m

2.00 m

0.80 m

0.15 m

2 appuis 250mm*250mm

8.10 m 8.10 m

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- Charges permanentes y compris poids propre :- Charges d’exploitation

- Coefficients ψ sur l’action variable :

. valeur de combinaison : ψ0

. valeur fréquente : ψ1

. valeur quasi permanente : ψ2

• Charges uniformément réparties

g = 80 KN/mlq = 25KN/ml

ψ0 = 0.7ψ1 = 0.5ψ0 = 0.3

Annexe A1 EC0

11.1 POUTRE CONTINUE – Charges appliquées

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• Moments de flexion enveloppes E.L.U. (MNm)

-1.500

-1.000

-0.500

0.000

0.500

1.000

0.00

0.81

1.62

2.43

3.24

4.05

4.86

5.67

6.48

7.29

8.10

8.91

9.72

10.53

11.34

12.15

12.96

13.77

14.58

15.39

16.20

-1.19MNm

+0.73MNm

11.2 POUTRE CONTINUE – Moments de flexion

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ENPC – Module BAEP1 – Séance 1ENPC – Module BAEP1 – Séance 1ENPC – Module BAEP1 – Séance 1

• Efforts Tranchant enveloppes E.L.U. (MN)

-1.000

-0.800

-0.600

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

0.00

0.81

1.62

2.43

3.24

4.05

4.86

5.67

6.48

7.29

8.10

8.91

9.72

10.53

11.34

12.15

12.96

13.77

14.58

15.39

16.20

0.73 MN

0.46 MN

11.2 POUTRE CONTINUE – Efforts tranchants

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ENPC – Module BAEP1 – Séance 1ENPC – Module BAEP1 – Séance 1ENPC – Module BAEP1 – Séance 1

ΣΣΣΣt ΣΣΣΣa

Section ΣΣΣΣ tMoment de

flexionMNm

Effort tranchant MN

Moment de flexion MNm

Combinaison fondamentale E.L.U. -1.193 0.737 0.730Combinaison caractéristique E.L.S. -0.861 0.532 0.523Combinaison fréquente E.L.S. -0.759 0.445 0.468Combinaison quasi-permanente E.L.S. -0.718 0.414 0.443

Section ΣΣΣΣ a

ΣΣΣΣab

et (VELU)ab= 0.461 MN

11.2 POUTRE CONTINUE – Récapitulatif des sollicitations