Espace de tenseurs et thorie classique des invariants de tenseurs et thorie classique des invariants OLIVE Marca, KOLEV Borisa, ... Les invariants ont en mcanique de nombreuses applications.

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  • 21me Congrs Franais de Mcanique Bordeaux, 26 au 30 aot 2013

    Espace de tenseurs et thorie classique des invariants

    OLIVE Marca, KOLEV Borisa, AUFRRAY Nicolasb

    a. LATP, CNRS & Universit de Provence, 39 Rue F. Joliot-Curie, 13453 Marseille Cedex 13, Franceb. LMSME, Universit Paris-Est, Laboratoire Modlisation et Simulation Multi Echelle,MSME UMR

    8208 CNRS, 5 bd Descartes, 77454 Marne-la-Valle, France

    Rsum :

    Le propos de cet expos est de prsenter les outils ncessaires la recherche de bases dinvariants pour

    laction classique des groupes O(3) et SO(3) sur des espaces de tenseurs qui interviennent naturelle-ment dans les thories de llasticit classique et gnralise. A cet effet, il sera prcis les ides et

    notions mathmatiques importantes permettant daboutir de telles bases. Pour illustrer le propos,

    la base dinvariants des tenseurs dordre 3 compltement symtriques sera calcule pour la premire

    fois. Dun point de vue mcanique ces invariants sont lies au gradient dlongation dans la thorie delhyperlasticit du second-gradient. La connaissance de leur base est ncessaire lcriture de lnergie

    libre dun milieu hyperlastique isotrope du second gradient.

    Abstract :

    The purpose of this presentation is to introduce the main tools used to construct an invariant basis for

    the classical group action of O(3) and SO(3) on tensor spaces that are naturally involved in classicaland generalized elasticity theory. For that end, the main mathematical ideas and notions that lead to

    such invariant bases will be introduced. As an example of the proposed method, the invariant basis for

    completely symmetric 3rd-order tensor will be construct. Such a result finds its application in the field

    of strain-gradient hyperelasticity, as it allows to write a part of the second-order energy potential.

    Mots clefs : 3 maximum : Thorie des invariants ; Hyper-lasticit

    1 Motivations mcaniques

    Les invariants ont en mcanique de nombreuses applications. Les principales tant : 1) La recon-naissance dun objet gomtrique modulo son orientation, et 2) lcriture de lois de comportement engrandes transformations. Le premier thme concerne essentiellement lidentification et la reconstructiondu tenseur dlasticit quand celui-ci est exprim dans une base quelconque, le deuxime est au cur dellasticit en grandes transformations. La mise en vre de ces techniques prsuppose la connaissancedune base complte dinvariants reliant les diffrentes quantits considres dans la modlisation duproblme. Et cest ce point de dpart qui constitue une des difficults de lapproche. Si lon sait driverdes bases dinvariants pour des familles mixtes de tenseurs dordre 1 et 2, partir de lordre 3 lesproblmes se compliquent trs rapidement. Actuellement peu de rsultats sont connus lordre 3 et,comme not par Boehler et al. [1], une base complte dinvariants nest pas connue pour le tenseurdlasticit classique.

    Lapproche dveloppe dans ce papier propose une mthode de construction de ces bases dinvariantsdans certaines situations non triviales. A titre dexemple, et en vue de ltude de llasticit du secondgradient en grande dformation, la base dintgrit dun tenseur dordre trois compltement symtriqueest construite. Un tel tenseur dcrit le gradient dlongation dans la thorie du second gradient.

    Plus prcisment, en lasticit classique on montre, pour des raisons dobjectivit, que lnergie libre I

    ne dpend que du tenseur de dformation de Green-Lagrange E, et on crit I(E(ij)), o la notation(..) indique la symtrie par permutation de i et j. Dans le cadre dun milieu lastique du second

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    gradient [8], lnergie dpend galement du gradient de la dformation, on a alors II(E(ij), E(ij),k),o (E)(ij)k = E(ij),k est le gradient de E. Il peut tre montr que tout tenseur de la forme E(ij),kse dcompose en une partie compltement symtrique et un reste :

    E(ij),k = S(ijk) +1

    3(jklRli + iklRlj)

    La partie compltement symtrique S(ijk) dfinie comme :

    S(ijk) =1

    3(E(ij),k + E(ki),j + E(jk),i)

    correspond au gradient dlongation tandis que la partie restante Rij :

    Rij = ipqE(jp),q

    correspond au gradient de la rotation. Cette dcomposition tant orthogonale, on peut crire :

    II(E(ij), E(ij),k) = II(E(ij), S(ijk), Rij)

    Dans le cas o le gradient de la rotation est ngligeable, on obtient un milieu gradient dlongationdont lnergie dpend alors seulement de E(ij) et de S(ijk). Un corps hyperlastique est isotrope si son

    nergie libre est une fonction isotrope de ses arguments, cest--dire si II(E(ij), S(ijk)) est fonction

    des invariants de E(ij) et de S(ijk).

    Nous driverons, dans cette optique, la base dinvariants de S(ijk), cest--dire des tenseurs dordre 3compltement symtriques. Mais, avant cela, dfinissons le cadre mathmatique gnral de ce problme.

    2 Contexte mathmatique

    La notion de polynmes invariants est issue dune vaste thorie mathmatique appele thorie desinvariants - thorie ne traitant pas uniquement du cas des polynmes. Boehler et al. [1] ont tudi dansun article de 1994 lespace des tenseurs dlasticit (qui apparat via la loi de Hooke en petites dfor-mations). A cet effet, ils ont exploit certains rsultats issus de la thorie classique des invariants.Rappelons que cette thorie, datant du dbut du 19ime sicle, a t initie par Cayley : le problmetait de savoir quand deux courbes donnes taient "quivalentes".

    Dans le cas de la thorie de llasticit, il savre que le mme type de problme intervient. Une foisdonn un tenseur dlasticit, il existe une action naturelle de SO(3) sur ce tenseur : ce mme tenseurpourra donc se prsenter sous une infinit de formes. Ainsi, tout comme dans le cas des courbes duplan, il faut tudier, non pas un lment donn, mais son orbite. La question est donc de savoir dansquel cas deux lments donns sont dans la mme orbite ou non. Une faon daborder ce problme- qui tait la stratgie dominante des mathmaticiens du 19ime sicle - consiste considrer desinvariants polynomiaux. Cependant, il faut avant tout sassurer que cet ensemble de polynmes, quiforme une algbre, est en quelque sorte "finie" : un nombre fini de polynmes invariants doit tresuffisant pour engendrer la totalit de lalgbre. Une telle famille sera appele une base de Hilbert.Dans le domaine de la thorie classique des invariants, Gordan [2], a dmontr en 1868 quune tellebase existait. Dans certains cas plus gnraux, Hilbert [5] a dmontr en 1888 le mme rsultat. Ainsi,dans le cas de laction des groupes SO(3) et O(3) sur des espaces de tenseurs, nous sommes assurs detoujours pouvoir trouver une base de Hilbert.

    Malheureusement, ces rsultats ne donnent pas de mthode effective : il faudra faire, dans chaque casparticulier, de longs calculs pour obtenir une telle base de Hilbert. Boehler et al. [1] ont par exempleutiliss certains rsultats de Shioda [6] afin dobtenir une base de Hilbert associe lespace des tenseursharmoniques dordre 4. Quelques autres rsultats concernant des tenseurs harmoniques dordre 5 ontaussi t obtenus par Popovisciu et Brouwer [4]. Toutefois, en dpit de ces diffrents travaux, une basecomplte dinvariants pour le tenseur dlasticit nest toujours pas connue actuellement.

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    Nous essayerons de donner ici le cadre mathmatiques ncessaire pour obtenir une base de Hilbertdonne. Pour illustrer ce cadre, nous prendrons le cas des polynmes O(3) invariants sur lespace destenseurs 1 H3 H1, sachant que cet espace de tenseurs est isomorphe lespace des tenseurs dordre 3compltement symtrique qui intervient dans la thorie de llasticit gradient.

    3 Lalgbre des polynmes invariants

    Rappelons avant tout le cadre mathmatique et physique dans lequel intervient lide de polynmesinvariants. Dans la thorie de llasticit linaire du second-gradient de nombreux espaces de tenseursinterviennent, leurs ordres allant de 0 6. On notera par la suite Tn := nR3 lespace des tenseursdordre n. Nous savons alors quil existe une action naturelle de O(3) sur un tel espace. Si nous prenonspar exemple un tenseur T dordre 4 et g un lment de O(3), en utilisant les notations dEinstein onpourra noter

    (g T)ijkl = gii1gji2gki3gli4Ti1i2i3i4

    Maintenant, dsignons par V un C-espace vectoriel de dimension n et G un groupe de Lie com-pact agissant sur V . Si nous fixons une base de V on dfinit un polynme sur V comme tant unpolynme multivari dpendant des coordonnes x1, x2, , xn. On notera alors un tel polynmep(v) := p(x1, x2, , xn) et on dsignera par C[V ] lalgbre des polynmes (multivaris) sur V . Nouspouvons alors en dduire une action naturelle de G sur C[V ] : (g p)(v) := p(g1 v). Finalement,on notera C[V ]G lespace des polynmes G-invariants sur V : un tel polynme vrifiera g p = ppour tout lment g de G. Rappelons ici lexemple classique des tenseurs dordre 2 de trace nulle,not H2, sur lequel agit SO(3). On sait alors que sur cet espace de dimension 5, un tenseur A a pourinvariants toutes les traces tr(Ak). En fait, on sait aussi que seules les polynmes tr(A2) et tr(A3)suffisent. Comme prcis plus haut, Hilbert [5] a dmontr dans certains cas assez gnraux quil exis-tera toujours une famille finie de polynmes invariants p1, , pN qui engendre lalgbre C[V ]

    G ; ce quiscrira C[V ]G = C[p1, , pN ]. Cependant, ce rsultat thorique ne donne pas dalgorithme effectifpour dterminer cette base. Il est donc ncessaire de sappuyer sur quelques connaissances thoriquesconcernant lalgbre C[V ]G.

    Afin de comprendre les ides essentielles qui permettent de dcrire une telle algbre, prenons toutdabord lexemple de lalgbre A = C[x, y]. Une telle algbre est facile dcrire : en effet, chaquelment pourra se dcomposer en une somme directe dlments dits homognes :

    p(x, y) = a0 + a1x+ a2y

    degr 1

    + a3x2 + a4xy + a5y

    2

    degr 2

    +

    et nous parlerons alors dans ce cas dalgbre gradue. Thoriquement, cela signifie quon peut crire unedcomposition du type A = A0A1 , o chaque Ai est un C espace vectoriel de dimension finie etAiAj Ai+j . Si nous considrons alors une algbre engendre par des variables libres x1, x2, , xn, onpourra facilement dterminer la dimension de chaque espace homogne Ai : vient alors naturellementla srie dite de Hilbert associe lalgbre gradue A :

    HA(z) :=

    i

    dim(Ai)zi

    Ainsi pour le cas de lalgbre C[x, y] on aura

    H(z) =1

    (1 z)2

    Dans le cas dune algbre dinvariants telle que C[V ]G, la situation est plus problmatique. En effet lesvariables risquent de ne plus tre libres. Ainsi, dans lalgbre C[x2, y2, xy] on pourra remarquer quil

    1. Les espaces Hn sont irrductibles sous laction des groupes SO(3) et O(3). Ces espaces sont de dimension 2n + 1est contiennent les tenseurs compltement symtriques et de trace nulle, galement appels tenseurs harmoniques. Onretrouve lespace des scalaires (n = 0), des vecteurs (n = 1), des dviateurs (n = 2).

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    existe une relation entre les gnrateurs : (xy)2 = x2 y2. Il est toutefois possible de calculer sa sriede Hilbert, ce qui donne :

    H(z) =1 + z2

    (1 z2)2

    Notons ici quil existe un premier rsultat important concernant la thorie des invariants : en effet,dans le cas des groupes O(3) ou bien SO(3), il est possible de calculer explicitement la srie de Hil-bert associe. Cela nous permet dobtenir une premire srie dinformations importantes sur lalgbreconsidre. Insistons cependant sur le fait que ces informations sont loin dtre suffisantes. En effet,lune des difficults associe la srie de Hilbert obtenue est que son criture ne sera pas unique. Onpourra par exemple crire :

    1 + z2

    (1 z2)2=

    1 + 2z2 + z4

    (1 z2)(1 z4)=

    1 z4

    (1 z2)3

    Il y a toutefois un autre rsultat trs important, d a Hochster and Roberts [3]. Ce rsultat concerne lastructure algbrique de lanneau des invariants : en effet, un tel anneau aura une structure dite structurede Cohen-Macaulay. Dans la pratique, cela signifie quil existe une base de Hilbert qui aura deux typesdinvariant : des invariants dits primaires et dautres invariants dits secondaires. Les invariants primairessont, entre autre, des invariants libres (il nexiste aucune relation entre eux), mais cette caractristiquenest pas suffisante, ce qui rend dailleurs leur dtermination dlicate. Les invariants secondaires sontquant eux lis par certaines relations, mais l encore cette caractristique nest pas suffisante. Prenonspar exemple le cas de lalgbre suivante : B = C[I2, I4, J4] C[x, y] avec

    I2 = x2 + y2 ; I4 = x

    2y2 ; J4 = xy3 x3y

    On peut alors dmontrer quon a dans ce cas

    B = C[I2, I4] J4C[I2, I4]

    o la famille I2, I4 forme la famille des invariants primaires, et 1, J4 forme la famille des invariantssecondaires. Remarquons ici la somme directe : cette proprit, difficile tablir en pratique, caractriseen effet les familles de Cohen-Macaulay. Nous concluons donc cette premire partie en proposant lastratgie gnrale suivante, cette stratgie ayant t mise au point pour dterminer une base de Hilbertdes espaces H3 puis H3 H1.

    1. On commence par calculer la srie de Hilbert associe notre algbre dinvariants ;

    2. On cherche dterminer ensuite la famille des invariants dits primaires, au sens de Cohen-Macaulay. Cela suppose que la famille doit tre non seulement libre, mais doit aussi vrifier uneproprit supplmentaire (par exemple de dcomposition en somme directe). Comme soulignplus haut, ce point peut tre trs dlicat sur le plan pratique ;

    3. Une fois dtermine la famille dinvariants primaires, on peut effectuer des calculs de dimensions(sur des espaces de trs grande dimension) jusqu un certain ordre, calculs dont les rsultatsseront contrls par la srie de Hilbert, pour pouvoir conclure ensuite.

    4 Application a des espaces de tenseurs

    Nous allons ici considrer les cas de la reprsentation linaire de O(3) sur les espaces de tenseursharmoniques H3 puis H3 H1. Pour tout espace de tenseurs, nous savons gnrer facilement despolynmes O(3)-invariants : il suffit pour cela de considrer des oprations de traces. Nous emploieronsici une forme graphique pour reprsenter ces oprations de trace. Prenons par exemple un tenseur Ddu troisime ordre, totalement symtrique. En utilisant la notation dEinstein pour les indices rpts,on peut considrer le tenseur contract Tijkl = Diji1Dkli1 qui sera reprsent par le graphique :

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    Si nous considrons alors linvariant = DijkDijk, on peut lui attribuer la reprsentation graphiquesuivante

    Maintenant, il est possible de calculer la srie de Hilbert de lespace C[V ]G avec V = H3 et G = O(3),ce qui donne

    H1(z) =1

    (1 z2)(1 z4)(1 z6)(1 z10)

    Nous obtenons alors trs simplement le premier rsultat suivant :

    Thorme 4.1 Une base de Hilbert de C[H3]O(3) est donne par I2, I4, I6 et I10

    I2 I4 I6 I10

    Lorsque nous considrons lespace V = H3H1, la srie de Hilbert associe est loin dtre aussi simpleque celle de H3. En suivant la stratgie dcrite ci-dessus, et en exploitant, ainsi que lont fait Boehleret al [1], un isomorphisme entre V et un certain espace de formes binaires, nous avons pu obtenir lersultat suivant :

    Thorme 4.2 Une base de Hilbert de C[H3 H1]O(3) est donn par les 13 polynmes invariants I2,J2, I4, J4, K4, L4, I6, J6, K6, L6, M6, I8 et I10

    J2 J4 K4 L4 J6

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    K6 L6 M6

    I8

    5 Conclusions

    Lobjectif de cette prsentation tait de donner la fois le cadre mathmatique intervenant dans desquestions de calculs dinvariants polynomiaux, mais aussi une stratgie mathmatique permettant dob-tenir une base de Hilbert explicite. Cette stratgie a ainsi t mise en uvre dans deux cas despacestensoriels ayant un sens physique. Nous avons aussi tent de prciser quelles taient les difficults essen-tielles rencontres dans la dtermination dune telle base de Hilbert. Lun des points essentiels tait deprciser les connaissances thoriques connues a priori sur lalgbre des invariants, savoir, celle concer-nant la srie de Hilbert et celle concernant la structure de Cohen-Macaulay - cette dernire structurepermettant de considrer une famille dinvariants dits primaires et une autre famille dinvariants ditssecondaires.

    Rfrences

    [1] Boehler J.-P., Kirillov Jr. A.A., Onat E.T., On the polynomial invariants of the elasticity tensor.J. Elasticity, 34, 97110, 1994

    [2] Gordan P., Beweis, dass jede Covariante und Invariante einer binren Form eine ganze Funktionmit numerischen Coeffizienten einer endlichen Anzahl solcher Formen ist. J. Reine Angew. Math.,69, 323354, 1868

    [5] Hilbert D., Ueber die Theorie der algebraischen Formen. Math. Ann., 36, 473534, 1890

    [3] Hochster M., Roberts J.L., Rings of invariants of reductive groups acting on regular rings areCohen-Macaulay. Adv. Math., 13, 115175, 1974

    [8] dellIsola F., Sciarra G. Vidoli S., Generalized Hookes law for isotropic second gradient materials.Proc. R. Soc. A, 465, 21772196, 2009

    [4] Brouwer A.E., Popoviciu M., The invariants of the binary decimic. J. Symbolic Comput., 45, 837843, 2010

    [7] Mindlin R.D., Micro-structure in linear elasticity. Arch. Rational Mech. Anal., 16, 5178, 1964

    [6] Shioda T., On the graded ring of invariants of binary octavics. Amer. J. Math., 89, 10221046,1967

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