pp. 579-584 579

par la Jean-Louis L A C O U M E * Docteur d'dtat en gdophysique

Charaf H A N N A * Docteur 3 �9 cycle

Jean-Louis NICOLAS ** Docteur d'~tat en mathdmatique

Etalonnage m6thode du

de I'analyse spectrale module autor6gressif

A n a l y s e

Dans l'dtude de la densit~ spectrale de puissance d'un bruit blanc additionnd ~ un signal ?t fr6quence pure par la mJthode du modble autordgressif, les auteurs dtablissent une formule gdn~rale permettant d'~talonner cette mdthode d'analyse en fonction de l'ordre du fihre autordgressif et du rapport signal sur bruit d'entrde. L 'article montre que, dans l' analyse de frdquences pures en prdsence de bruit blanc, le pouvoir de rdsolution de la mdthode du modble autor~gressif est caractdrisd par une largeur de bande ddpendant du rapport signal sur bruit d'entr~e et de l'ordre du filtre. Cette largeur de bande est calculde dans le cas g~ndraL

Mots el6s : Analyse spectrale, Signal sinusoidal, Bruit additif, Etalonnage, ModUle autor6gressif, ModUle statistique, Spectre puissance.

A M P L I T U D E CALIBRATION OF T H E A U T O R E G R E S S I V E SPECTRAL

ANALYSIS M E T H O D

A b s t r a c t

The authors give the general formulas for the ampli- tude calibration of the autoregressive spectral analysis method of a pure frequency in additive white noise. These calibrations are given versus the autoregressive filter order and the input signal to noise ratio. They show that this spectral analysis method can be characterized by a bandwidth depending of the autoregressive filter order and the input signal to noise ratio. This bandwidth is calculated in the general case.

Key words : Spectral analysis, Sinusoidal signal, Additive noise, Calibration, Autoregressive model, Statistical model, Power spectrum.

S o m i n a i r e

I. Introduction.

2. Etalonnage de l'analyse spectrale par la mdthode du modOle autordgressif.

3. Introduction d'un filtre ~quivalent dans l'analyse spectrale par la m~thode du modkle autordgressif. 4. Conclusion.

Bibliographie (7 rdf ).

1. I N T R O D U C T I O N

Dans les mesures de densit6 spectrale de puissance, l '&alonnage d6pend de la largeur de bande de bruit 6quivalente de l 'appareil de mesure (Be) et de la Iar- geur de bande du signal analys6 (Bs).

La largeur de bande 6quivalente du signal et celle de l 'appareil de mesure sont d6finies par :

:

a~ = H(v) d , IH( )I dr,

o~ :

- - y=(v) est la densitd spectrale de puissance (dsp) du signal analysd ;

- - H(v) = TF(h(t)) est la transformde de Fourier de la fonction d 'apodisat ion totale (en prenant en

compte les parties lindaires et quadrat iques de l 'apodi- sation) [2].

La bande passante dquivalente du signal Bs est la bande passante du bruit blanc ~t bande passante lirnitde ayant m~me puissance que le signal X(t)

* CEPHAG (Equipe de Recherche Associ6e au CNRS), BP 46, 38402 Saint-Martin-d'H~res. ** UER des Sciences, D~partement de Math6matiques, 123, rue Albert Thomas, 87100 Limoges.

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6tudi6 et dont l 'estimateur de la puissance (calcul6 sur la mSme dur6e) a la m~me variance que l 'estima- teur de la puissance de X(t). Cette << largeur de bande >> permet de caract6riser par une r6f6rence globale simple la pr6cision statistique de la mesure de puis- sance de X(t). La largeur de bande de l 'appareil de mesure Be caractdrise de la m~me fa~on la precision statistique de l 'estimation de la puissance du signal X(t) filtr6 par l 'appareil de mesure. Be est caract6ris- tique de la pr6cision de l 'estimateur de la dsp de X(t). L'expression donn6e ici, h part i r de la fonction d 'apodisat ion utilis6e pour l 'analyse speetrale, est classique. On peut la trouver en partieulier dans [1, p. 256].

Deux cas limites sont g6n6ralement consid6r6s. Dans le premier cas, le signal 6tudi6 est ~t large bande, par rappor t ~t la bande passante de l 'appareil d 'ana- lyse (B, >> Be). La puissance en sortie de l 'appareil de mesure fonct ionnant ~t la fr6quence Vo, est alors :

P1 = B, yx(%).

Dans le second cas, le signal est quasi monochroma- tique, relativement h l 'appareil de mesure, et la puis- sance de sortie est :

P2 : I "Ix(v) dv = puissance totale du signal.

Ces deux relations permettent de calibrer l 'appareil de mesure, selon la situation envisag6e. Par ailleurs, elles d6terminent l 'amplitude relative, en sortie de l 'appareil de mesure, d ' un signal (ou bruit) large bande et des raies pures d 'un signal quasi mono- chromatique. On volt en particulier, que le eontraste entre les fr6quences pures et le bruit large bande, est maximal pour une valeur minimale de la bande passante B~ de l 'appareil de mesure (compatible avec Be > B~).

Ce probl6me de calibration est done tr6s important car il permet d 'une par t de donner un sens quantitatif aux mesures spectrales, et d 'autre par t d '6valuer la capacit6 de d6tection de raies pures par analyse spectrale. Cette question a 6t6 r6solue dans les m&hodes classiques qui se ram6nent h u n filtrage. Par contre, peu d 'auteurs ont envisag6 d '&udier ce probl6me pour des m&hodes param&riques.

Un article r6eent [3] donne un r6sultat asympto- tique pour la m6thode dire du maximum d'entropie. Cette 6tude mont re que l 'ampli tude relative apr6s analyse d 'une fr6quence pure, additionn6e h u n bruit large bande (consid6r6 comme blanc) est li6e au rap- port signal snr bruit avant traitement et ~ l 'ordre du filtre autor6gressif.

Nous pr&entons ici une extension de cette &ude qui condui t h un r6sultat valable dans t o u s l e s eas. Nous mont rons ensuite, que l 'analyse spectrale par la m6thode du mod61e autor6gressif d 'une fr6quence pure additionn6e ~t un bruit blanc se comporte comme une analyse par filtrage r6alis6e avec un filtre dont la largeur de bande d6pend du rappor t signal sur bruit. I1 appalaR que la bande passante du filtre 6quivalent

est d 'autant plus 6troite que le rapport signal sur bruit est grand. Ce r6sultat est h rapprocher des m&hodes d'analyse spectrale, dites << hybrides >> [4] dans les- quelles la finesse d'analyse est accrue par soustraction d 'une partie du << bruit blanc >> et done par acerois- sement du rapport signal sur bruit.

. I~TALONNAGE DE L 'ANALYSE S P EC TR ALE PAR LA METHODE

DU MODULE AUTOR~GRESSIF

2.1. Densit~ speetrale de puissance du module autor~gressiL

Soit {X(n)} une suite eomplexe form6e de N 6chan- tillons d 'un signal stationnaire X(t) pris aux instants nTE (1 ~ n ~< N, TE est le pas d'&hantillonnage).

Soit la matrice de corr61ation R L (de dimension L • L) et le vecteur rL d6finis par :

/ FR(0) R(-- 1) R(--L + 1)] RL = / R ( 1 ) R(0)

L R(L - - 1) R(0)

J R(I)

et r ~ . = .. , ( L < N )

LRiL)A oh R(I) est la vraie valeur de la fonction d 'auto- corr61ation du signal X(t) pour un retard IT~ (dans la pratique nous utiliserons ensuite {X(n)} pour esti- mer R(I), mais nous supposons que la valeur de R(I) est sans erreur).

Soit un filtre autor6gressif (AR) d 'ordre L et de coefficient at L

~L = i �9

La~J En utilisant ce filtre pour pr~dire X(n) ~ partir de X(n - - 1),..., X(n - - L), l 'erreur de pr6diction est :

L e, ---- X(n) - - ~ ~ X(n - - i).

En minimisant l 'erreur quadratique moyenne :

Pn(L) = E{e2},

nous obtenons :

i l l = R ~ L pL

avec une erreur quadratique moyenne :

Pc(L) = R(0) - - r~ + ~L

(r + est le eomplexe conjugu6 transpos6 de r , ) . On sait que la densit6 speetrale de puissance du

mod61e autor6gressif (ou du maximum d'entropie)

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J.-L. LACOUME. - CALIBRATION DE L'ANALYSE SPECTRALE 581

de {X(n)} est [5] :

Vx(V) = P~(L) / IGz(Z)[ 2,

i; 1] OUGL(Z ) = 1 - - ( ~ L ) T ; Z = exp{2=jvAT) , - L

est le gain complexe du filtre autor6gressif.

2.2. Calcul de la dsp dans le cas d'une fr~quence pure additionn~e A du bruit blanc - Rapport signal sur bruit aprbs traitement.

Le signal {X(n)} est form6 d 'une fr6quence pure Vo de puissance P et d ' un bruit blanc 6chantillonn6 de puissance P a .

Dans ce cas :

Posons :

Alors :

R(L) ---- pZLo + PuS(L).

I Zor 1) ]

LZff i

RL = P CL C { + P a l .

�9 matrice identit6, d ' o h l 'on d6duit :

1 P RZ l __ �9 CL C ~ ,

PB PB(PB + PL) et :

FZo7 .L oj etL - - Pa + P L r z -- PB + Z L P L i "

L'erreur quadrat ique moyenne r6siduelle PE(L) et le gain complexe GL(Z) du filtre AR sont alors :

PB(P + PB + PL) P~(L) :

PB + P L

(4) GL(Z) 1 PB + P L , = i

Le rappor t entre les valeurs mesur6es de la dsp de la fr6quence pure (v = Vo) et du bruit blanc (v trSs diff6rent de Vo) est donn6 par :

R1 = [G~(Zo) IGL(Z) I 2 - - 1,

Oh Z e s t calcul6 pour v tr6s 61oigu6 de Vo. L 'expression (1) donne :

GL(Zo) = Pa/ (Pa + PL).

Lorsque Z e s t tr6s diff6rent de Z o , on peut admettre que le second terme de (1) s 'annule par m~lange de phase. Ceci revient h dire que les termes du type ( Z o l Z ) ~ s '6crivent e *t~ avec q~ non voisin de 0 et que les vecteurs de Fresnel qui leur sont associ6s sont en moyenne orient6s duns des directions uni- form6ment r6parties entre 0 et 2 r:. Leur somme est

donc nulle en moyenne. En fait, il reste une par t ie r6siduelle qui se t raduit par de petites oscillations de la dsp (voir Fig. 2). On obt ient doric :

(2) Rx = I PB I + PL 2

PB - - 1 : (1 + crL) 2 - - l. w

En posan t :

P puissance du signal

PB puissance du bruit

----- r appor t signal/bruit avant t ra i tement ,

le calcul pr6c6dent, valable pour un signal complexe, peut ~tre adapt6 au cas d 'un signal r6el. Ce cas cor- respond h la pr6sence de deux signaux complexes de fr6quences oppos6es et duns le calcul de RZ l, il apparaR des termes du type :

L--1

j = y, Zo ~,. m = l

couplant les deux fr~quences. Ces termes sont n6gligeables pour L grand (m61ange

de phase) et l ' on obtient alors :

(3) R2 = (1 + crL/2) 2 - - 1.

Ce dernier r6sultat valable lorsque L est g rand a d6jh 6t6 obtenu duns [3]. L' influence du r ap p o r t signal sur bruit d 'entr6e sur le contraste apr6s trai- tement a 6t6 mis en 6vidence empir iquement duns [7].

Duns l 'analyse spectrale par filtrage, si IV est la bande passante du bruit blanc et Be la bande passante 6quivalente du filtre d 'analyse, le r appor t signal sur bruit apr6s t ra i tement est :

Re = (puissance de la fr6quence pure) / (puissance du bruit b lanc filtr6),

Re = ~ W / B , .

L'6volut ion du rappor t signal sur brui t apr6s trai tement (par filtrage : Re et par la m&hode AR : R~) est indiqu~ sur la figure 1. La m6thode AR donne

R R1

Ca) / (~) / Rx

FIG. 1. - - Evolution du rapport signal sur bruit apr6s traitement pour la m6thode par filtragr et la rn6thode autor6gressive.

Rx : rapport signal sur bruit apr6s traitement (m6thode AR) Rc : rapport signal sur bruit apr~s traitement (m6thode

par filtrage) : rapport signal sur bruit avant traitement.

(a) 2L < W/Be (b) 2L > W/B e

Output signal to noise ratio versus input signal to noise ratio for Fourier and autoregressive spectral analysis methods.

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582 J.-L. LACOUME. -- CALIBRATION DE L'ANALYSE SPECTRALE

u n meilleur r6sultat en pr6sence d ' u n r appor t signal sur brui t d 'en t r6e 41ev6. P o u r un faible r appor t signal sur brui t d 'entr6e, le con t ras te en sortie de la m6thode

p a r filtrage est meilleur si :

W ] B e > 2 L .

2 . 3 . V 6 r i f i c a t i o n e t i l l u s t r a t i o n e x p 6 r i m e n t a l e .

Les dsp obtenues p o u r plusieurs valeurs du rappor t signal sur brui t sont pr6sent6es figure 2, pour un filtre

2 0

o = O, g6 T

i

I

i

0 = 0, I

. - ~ / L . / ' - - v - - 7 . . ~ - - ~ - ~ v ~ - 2 F ( H z )

0=I

0,5 1 2,5 2 F(Hz)

Fzo. 2. -- Estimation par la m6thode du mod61e autor6gressif de la dsp d'une fr6quence pure additionn6e de bruit �9

(rapport signal sur bruit).

Spectral power density estimations o f a pure frequency in additive white noise for different input signal to noise ratio (6).

AR d ' o r d r e 15. On voi t sur cette figure l '6volut ion du r appo r t signal sur bru i t apr6s t ra i tement ainsi que la var ia t ion de la largeur de bande de la fr6-

quence pure estim6e. Ce dernier p o i n t est 6tudi6 en d6tail au pa rag raphe 3.

N o u s avons 6galement 6tudi6 l ' 6volu t ion du r appor t

signal sur brui t apr6s t r a i t ement (R2) en fonct ion du r a p p o r t signal sur bru i t d ' en t r6e (pour un filtre AR d ' o r d r e 15) et de l ' o r d r e dtt filtre (pour diverses valeurs du r appo r t signal sur b ru i t d 'entr6e). Les valeurs th6oriques (issues de (3)) et les r6sultats

exp6r imentaux sont pr6sent6s sur les figures 3 et 4.

La figure 3 nous m o n t r e l ' 6vo lu t ion du r appor t signal sur brui t apr6s t ra i t ement en fonc t ion du r appor t signal sur brui t d ' en t r6e (L = 15). On voit que le cont ras te en sortie var ie p lus r ap idemen t que le r appo r t signal sur brui t d 'ent r6e . La figure 4 pr6sente l ' 6volu t ion du r a p p o r t signal sur bru i t en sortie en fonc t ion de l ' o rd re du filtre : on cons ta te que, comme

l ' i nd iquen t les relat ions (2) et (3), le contraste en sortie crol t avec l ' o r d r e du fiitre.

10 log R J

40-

/ 302

~'// //7z

20 / , / / "

o 0.1 0:5 1 g lb ty

FIG. 3. - - Evolution du rapport signal sur bruit apr6s traitement en fonction du rapport signal sur bruit d'entr6e. - - x - - Valeurs th6oriques - - O - - R6sultats exp6rimentaux

Output signal to noise ratio versus input signal to noise ratio.

10 to~lRT.

40

30-

20-

10-

o/ / ' / / ~- ~o

o'=10

a= 5

cr=l

0 5 10 1'.5 20 25 ~ L

FIG. 4. - - Evolution du rapport signal sur bruit apr6s traitement en fonction de l'ordre du filtre AR pour diff6rentes valeurs

du rapport signal sur bruit d'entr6e. - - • Valeurs th6oriques - - O - - R6sultats exp6rimentaux

Output signal to noise ratio versus autoregressive filter order (L) for different values o f the input signal to noise ratio (6).

ANN. TI~Ls 36, n ~ 11-12, 1981 4/6

J . - L . L A C O U M E . - - C A L I B R A T I O N D E L ' A N A L Y S E S P E C T R A L E 583

3. I N T R O D U C T I O N D ' U N FILTRE ]~QUIVALENT D A N S L ' A N A L Y S E SPECTRALE

PAR LA MI~THODE D U M O D U L E AUTORI~GRESSIF

3.1. Loca l i sa t ion des p61es du filtre autor~gress i f : dans un cas s imple .

G 2 ( z ) ~--- I

soit :

Consid6rons tout d ' a b o r d le cas L = 2, alors les p61es du filtre autor6gressif sont les racines de :

(PB + 2 P ) + = 0,

1 9 ~ • + ~

z = Zo 1 = z~

2 + -

Lorsque le r appor t signal sur bruit ~ varie de 0 l'infini, [es deux racines se d6plaeent sur la droite de pente arg zo �9 Par ailleurs, lorsque le rappor t signal sur bruit tend vers l'infini, l 'une des racines tend vers zo alors que l ' au t re racine tend vers ~ Zo/2. Dans la zone du cercle unit6 voisine de z ----- Zo, en pr6sence d ' un fort r appor t signal sur bruit la dsp obtenue par la m & hode du mod61e autor6gressif se comporte done comme celle que donnerait la fr6quence pure amor t ie associ6e au p61e voisin de Zo. Dans cette situation, la fonction de corr61ation est :

R(I) ----- P z~ f31'l

ofa ~3 est le module de l 'affixe du p6le voisin du cercle unit&

Le ddcr$ment logar i thmique de la fr6quence amort ie est :

1 : - - ~ l o g ts.

Pour un fort r appor t signal sur bruit :

= P B / 3 T E P = 1/3 TE*.

3.2. Bandes passantes ~quivalentes de la raie apr~s traitement.

3.2.1. Bande passante h 3 dB : B a .

1 - - [3 PB 1 B 3 - - - - - -

rc T,~ 3 7r PTE 3 rc TEcr "

Pour un fort r appor t signal sur bruit (PB]P < 1).

3.2.2. Bande passante de bruit ~quivalente ~t la fr~quence pure.

La dsp de la fr6quence pure apr6s traitement &ant yR(V), la bande passante de bruit blanc 6quivalente est [1] :

.q2lS':; L yR(V) yi(v) dr.

En pr6sence d ' un for t r appor t signal sur bruit on obtient :

Bw. = (2/T~) ( P B I P ) = 21T,~ ~.

Les deux expressions pr6c6dentes nous mon t r en t que, pour un filtre autor6gressif d ' o rd re 2, la largeur de bande de la raie apr6s t ra i tement est fonct ion du rappor t signal sur bruit avan t trai tement. Cette bande passante est d ' au tan t plus 6troite que le r appor t signal sur bruit est plus fort. En particulier, la dsp de la raie tend vers une impuls ion de Dirac (Bwn - + 0) lorsque le bruit blanc tend vers 0. Ceci nous mo n t r e pourquoi duns ce type de trai tement, il est utile d ' int roduire (si n6cessaire) du bruit blanc dans les donn6es.

3.3. G~n~ralisation.

Le calcul de la bande passante de la fr6quence pure, apr6s t ra i tement peut &re &endu au cas du filtre autor6gressif d ' o rd r e L.

Dans ce cas pr6cis, en posan t x = Zo[Z, l ' 6qua t ion dormant ]es p6les du filtre autor6gressif est :

L 1 (4) x = ZolZ, ~ x t = L + - .

1 (Y

Pour un r appor t signal sur bruit for t (a >> 1) cette 6quation est voisine de :

L

(5) ~ x' = L 1

et, [es racines &ant des fonct ions continues du second membre , les racines de (4) seront voisines des racines de (5) pour un fort r appor t signal sur bruit.

L '6quat ion (5) a 2 families de racines.

a) La premi6re famille est constitu6e de la racine 6vidente : x = 1 qui sera, c o m m e dans le cas pr6c6- dent, le p6le donnant la fr6quence pure.

b) Les (L - - 1) autres racines v6rifient les condit ions suivantes (*) :

- - elles sont dans la couronne :

(6) L / ( L - 1) < Ix,[ < (2 L)W~,

- - i l y a au moins une racine dans chacun des secteurs :

7~

[ a r g x - - 2 k ~ / L I < L + - - - - - 1 , k = O , 1 . . . . . L - - 1.

Nous donnons A ]a f g u r e 5 les racines de (5) dans le cas L = I0. Les r6sultats 6nonc6s en a) et b) nous mont ren t que , c o m m e sur la figure, Ia famille d e s

(*) Ces r6sultats sont donn6s par Marden (M.) darts [6]. Ils sortt obtenus el1 multipliant et en divisant (5) par x - - 1 puis en appliquant le th6or6me 27-1 de [6], p. 122 ; voir aussi les exemples 2 et 3, p. 137 et p. 165 respectivement.

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584 J.-L. LACOUME. -- CALIBRATION DE L'ANALYSE SPECTRALE

Imx

x 5

x 3 . x 4

\

X 6

x 7

.Xg

�9 X 8

R e x

FIG. 5 . - Localisation dans le plan complexe des racines de l'6quation (5) [L = 10]

Localization in the complex plane o f the roots o f the equation (5) [L = 10].

racines b) se r6parti t uni form6ment A l 'ext6rieur du cerele unit6, A une certaine distance de celui-ci.

Les p61es correspondants : z ~- Zo/X seront done uniform6ment r6partis dans le cercle unit6 et repr6- senteront le brui t blanc. Par ailleurs, le p61e z = Zo, associ6 A la racine x = 1, donnera la fr6quence pure.

Pour obtenir la bande passante de la fr6quence pure, revenons ~t l '6quat ion (4). Dans la mesure oh le r appor t signal sur bruit est assez grand nous savons, d 'apr6s les propri6t6s des raeines d6finies en a) et b) et en utilisant la continuit6 des raeines vis-A-vis du second membre , que :

m la racine a) restera au voisinage du point 1,

- - les racines b) resteront A une certaine distance du cercle unit6.

En mult ipl iant l '6quat ion (4) par x - - I , il vient :

x " ~ + * - x ( L + 1 + 1/~) + L + 1/~ = 0,

qui en 6crivant : x = l + r

et en faisant un d6veloppement en ~2 donne :

: 2 / ~ L ( L + 1)

et pour la bande passante A 3 dB (comme en 3.2.)

2 2PB B 3

7~ TE ~rL(L + 1) rc T E L ( L + 1) P '

et la bande passante 6quivalente de bruit :

12 12 PB awn -~

T E L ( L + 1) ~r L ( L + 1) TE P

Nous notons que, selon la relation (6), les autres p61es zi sont tels que :

Iz, I < l - 1 / z . La racine voisine de 1 sera done dominante dans le spectre, si le r appor t signal sur bruit v6rifie :

> 21(L + 1).

Nous obtenons done le r6sultat suivant. Dans l 'analyse d 'une raie pure additionn6e A du bruit blanc par la m6thode du mod61e autor6gressif, la finesse d 'analyse, earact6ris6e par la bande passante A 3 dB, B3 , ou la bande passante de bruit 6quivalente, Bwn est :

inversement proport ionnel le au carr6 de l 'ordre du filtre,

- - i n v e r s e m e n t proport ionnel le au rappor t signal sur bruit.

Ce r6sultat pe rmet de chiffrer la puissance des m&hodes hybrides (4) dans lesquelles on est conduit A affiner l 'analyse en soustrayant du bruit blanc. Lorsque l ' on cherche A s6parer deux raies 4eart6es de B, il faut at teindre un rappor t signal sur bruit donn6 par :

cr = 2 / r~L(L + 1)BT,~.

4. C O N C L U S I O N

Nous avons donn6 la formule g6n6rale permet tant de calibrer la valeur de la dsp estim6e par la mdthode du mod61e autor6gressif pour un signal form6 d 'une raie pure et de bruit blanc. Ce r6sultat doit pouvoi r ~tre &endu au eas d ' u n signal form6 de raies pures en pr6sence d ' un bruit large bande color6. Par ailleurs, nous avons montr6 que dans le eas de l 'analyse d 'une raie pure en pr6sence de bruit blanc, la finesse d ' ana - lyse par la m6thode du filtre autor6gressif peut ~tre caraet6ris6e par une largeur de bande d6pendant du rappor t signal sur bruit et de l 'ordre du filtre AR. Cette bande passante 6quivalente est h notre avis un param~tre tr6s impor tan t pour chiffrer le pouvoir de r~solution de cette m6thode d 'analyse spectrale. Elle permet 6galement d ' introduire naturellement et de mesurer les performances des m6thodes hybrides utilisant la m6thode en mod61e autor6gressif, apr6s avoir soustrait une part ie du bruit blanc.

Manuscr i t re~u le 21 janvier 1981, accept~ le 4 avril 1981.

B I B L I O G R A P H I E

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