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Etude numerique de la fonction de Green scalaire d'une cavite a l'aide d'une nouvelle equation integrale JACQUES A. IMBEAU~ Ilt;por~tcrt~c~trt 110s scirt~r.c,.s prrros, Ut~ivt,r.sitP d~r Qlrc;hec ii Chicorrtir~ri, Chicoirti~tri(Q~rP.), Cot~trtltr G 7 H 281 ET BYRON T. DARLING Ilc;ptrrtetrrc~t~t tle pl~.vsiclrre.Ut~ir~er..sitP Ltrl~rl, QirPl)ec (QrrP.). Ctrr~crtltr GlK 7P4 Re~u le 12 avril 1978 Nous etudions numeriquement, sur un ordinateur IBM-370, la fonction de Green d'une cavite telle que la solution d'une nouvelle equation integrule (B. T. Darling et J. A. 1mbe;ru. Can. J. Phys. 56,387 (1978)) peut permettre de lacalculer. No~rs employons des sphero'ides allonges dont les excentricitis couvl-ent le domaine complet de zero i un et nous considerons des ondes soumises aux conditions de Dirichlet et de von Neumann sur 121 surfirce. Nous utilisons la quadrature de Gauss-Legendre pour rernplacer I'equation integl-ale par un systeme d'equations algebriques lineaires. Nous obtenons la fonction de Green pic substitution de la solution de ce systeme dans la formule d'Helmholtz que I'on evalue 11 I'aide de la mkme quadl.ature. Nous developpons egalement des criteresde precision de la solution et nous les utilisons pouroptimiser cette procedure. L;I fonction de Green peut itre calculee avec une grande precision excepte au voisinage immediat de la surface de la cavite oh elle subit une discontinuite bien connue. Nous explo~.ons egalement I'utilisation de la formule d'Heln~holtzelle-mtme dzrns le domnine exterieur comme equation integl-ale pour cnlculer la fonction de Green de la cavite. Nous trouvons que la precision obtenue pzrrcette methodeest s~rffisante poul-les applications pratiques mtme sielleest beaucoup moindre que celle obtenue en utilisant I'equation intCgl.ale mentionnee prlcedemment. Tous nos calculs ont fait usage de I'arithmetique B double precision (16 chiffres significzrtifs)de I'IBM-370. We study numerically, with the aid ofan IBM-370computer. the Green's functions of acavity afforded by the solutionsof a new integral equation (B. T. Darling and J. A. Imbeau. Can. J. Phys. 56, 387 (1978)). A numbel. of prolate spheroidal cavities whose eccentricities cover the complete range zero to one are employed, and the solutions are subject to the Dirichlet and von Neumann conditions at the surface. We use the Gauss-Legendre integration formula to replace the integral equation by a set of linear algebraic equations. The Green's function is evaluated by substituting the solution of this set in the formula of Helmholtz, using the same integration formula. Criteria for the optimization of this p~ucedure also are developed and employed. The Green's function can bedetermined to high precision except in the immediate vicinity of the surfaceof the cavity where it suffers a well-known discontinuity. We also explore the use of the Helmholtz formula itself in the exterior region as an integral equation to obtain the Green's function of the cavity. We find that although the precision of the solution is much less than that afforded by the precedingly mentioned integral equation the precision is still within the range of practical application. All calculations used double precision arithmetic (16 significant digits on the IBM-370). Can. J. Phys..57. I'M(1979) 1. Introduction Nous avons simuli sur un ordinateur IBM-370 les oscillations forcies de cavitis dans le cas de la radiation scalaire et en spicifiant les conditions de surface de la cavitC. Pour les ondes sonores, fixer ces conditions revient a specifier I'imptdance acoustique sur la surface. Dans cette publication, nous nous limitons aux cas oh l'imptdance est infinie (condition de von Neumann) et oh la compliance est infinie (condition de Dirichlet). Ces cas sont analogues B ceux d'une ligne de transmission ouverte ou court- circuitte respectivement. 'Cornrne exigence partielle pour le grade de Philosophiae Doctor (Ph. D. (physique)), Universitk Laval, Quebec (Quk.). Si o est la pulsation, il existe pour chacun de ces cas une solution stationnaire que I'on peut reprisen- ter par @(r) cos ot. L'amplitude @(r) doit satisfaire I'iquation d'Helmholtz oh p(r) cos ot sptcifie la densitt de source mono- chromatiqug&; k = o/c reprisente le nombre d'onde avec c la vitesse de la radiation. Evidemment, @(r) doit satisfaire en plus les conditions requises sur la surface de la cavitC. I1 est bien connu que le problZ~ne peut &trerisolu si on connait la fonction de Green IXi.'. r) clui est la ~ , , A solution de l'tquation [I] avec une source ponctuelle 0008-4204/79/020 190-18x0 1.00/0 01979 National Research Council of CanadalConseil national de recherches du Canada Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by University of Sheffield - Sub Librarian on 11/11/14 For personal use only.

Etude numérique de la fonction de Green scalaire d'une cavité à l'aide d'une nouvelle équation intégrale

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Page 1: Etude numérique de la fonction de Green scalaire d'une cavité à l'aide d'une nouvelle équation intégrale

Etude numerique de la fonction de Green scalaire d'une cavite a l'aide d'une nouvelle equation integrale

JACQUES A . I M B E A U ~ Ilt;por~tcrt~c~trt 110s scirt~r.c,.s prrros, Ut~ivt,r.sitP d ~ r Qlrc;hec ii Chicorrtir~ri, Chicoirti~tri(Q~rP.), Cot~trtltr G 7 H 2 8 1

ET

BYRON T. DARLING Ilc;ptrrtetrrc~t~t tle pl~.vsiclrre. Ut~ir~er..sitP L t r l~ r l , QirPl)ec (QrrP.). Ctrr~crtltr G l K 7P4

R e ~ u le 12 avril 1978

Nous etudions numeriquement, sur un ordinateur IBM-370, la fonction de Green d'une cavite telle que la solution d'une nouvelle equation integrule (B. T. Darling et J . A. 1mbe;ru. Can. J . Phys. 56,387 (1978)) peut permettre de lacalculer. No~rs employons des sphero'ides allonges dont les excentricitis couvl-ent le domaine complet de zero i un et nous considerons des ondes soumises aux conditions de Dirichlet et de von Neumann sur 121 surfirce. Nous utilisons la quadrature de Gauss-Legendre pour rernplacer I'equation integl-ale par un systeme d'equations algebriques lineaires. Nous obtenons la fonction de Green pic substitution de la solution de ce systeme dans la formule d'Helmholtz que I'on evalue 11 I'aide de la mkme quadl.ature. Nous developpons egalement des criteresde precision de la solution et nous les utilisons pouroptimiser cette procedure. L;I fonction de Green peut i t re calculee avec une grande precision excepte au voisinage immediat de la surface de la cavite oh elle subit une discontinuite bien connue. Nous explo~.ons egalement I'utilisation de la formule d'Heln~holtzelle-mtme dzrns le domnine exterieur comme equation integl-ale pour cnlculer la fonction de Green de la cavite. Nous trouvons que la precision obtenue pzrrcette methodeest s~rffisante poul-les applications pratiques mtme sielleest beaucoup moindre que celle obtenue en utilisant I'equation intCgl.ale mentionnee prlcedemment. Tous nos calculs ont fait usage de I'arithmetique B double precision (16 chiffres significzrtifs) de I'IBM-370.

We study numerically, with the aid ofan IBM-370computer. the Green's functions of acavity afforded by the solutionsof a new integral equation (B. T. Darling and J . A. Imbeau. Can. J . Phys. 56, 387 (1978)). A numbel. of prolate spheroidal cavities whose eccentricities cover the complete range zero to one are employed, and the solutions are subject to the Dirichlet and von Neumann conditions at the surface. We use the Gauss-Legendre integration formula to replace the integral equation by a set of linear algebraic equations. The Green's function is evaluated by substituting the solution of this set in the formula of Helmholtz, using the same integration formula. Criteria for the optimization of this p~ucedure also are developed and employed. The Green's function can bedetermined to high precision except in the immediate vicinity of the surfaceof the cavity where i t suffers a well-known discontinuity. We also explore the use of the Helmholtz formula itself in the exterior region as an integral equation to obtain the Green's function of the cavity. We find that although the precision of the solution is much less than that afforded by the precedingly mentioned integral equation the precision is still within the range of practical application. All calculations used double precision arithmetic (16 significant digits on the IBM-370).

Can. J . Phys. .57. I'M(1979)

1. Introduction Nous avons simuli sur un ordinateur IBM-370

les oscillations forcies de cavitis dans le cas de la radiation scalaire et en spicifiant les conditions de surface de la cavitC. Pour les ondes sonores, fixer ces conditions revient a specifier I'imptdance acoustique sur la surface. Dans cette publication, nous nous limitons aux cas oh l'imptdance est infinie (condition de von Neumann) et oh la compliance est infinie (condition de Dirichlet). Ces cas sont analogues B ceux d'une ligne de transmission ouverte ou court- circuitte respectivement.

'Cornrne exigence partielle pour le grade de Philosophiae Doctor (Ph. D. (physique)), Universitk Laval, Quebec (Quk.).

Si o est la pulsation, i l existe pour chacun de ces cas une solution stationnaire que I'on peut reprisen- ter par @(r) cos ot. L'amplitude @(r) doit satisfaire I'iquation d'Helmholtz

oh p(r) cos ot sptcifie la densitt de source mono- chromatiqug&; k = o/c reprisente le nombre d'onde avec c la vitesse de la radiation. Evidemment, @ ( r ) doit satisfaire en plus les conditions requises sur la surface de la cavitC.

I1 est bien connu que le problZ~ne peut &tre risolu si on connait la fonction de Green IXi.'. r) clui est la

~ , , A

solution de l'tquation [ I ] avec une source ponctuelle

0008-4204/79/020 190- 18x0 1.00/0 01979 National Research Council of CanadalConseil national de recherches du Canada

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en r (un point que lconq~~e daiis la cavitt) et satis- faisant les coiiditions aux limites requises si r ' repltsente un point sur la surface. Ainsi I- est la rtponse de la cavitt a uiie source excitatrice ponc- tuelle rnonochromatique situCe en un point quel- conque dans la cavite. Si on choisit l'origine A la source ponctuelle et si on represente la foiictioii de Green I-(r', r ) par @,(I-'), on doit avoir

[2] (V')2@T(r') + k2@,(~") = -47tA6(r1)

oh on a represent6 la source ponctuelle d'amplitude constante A en ternie de la fonction delta de Dirac par p(rl) = A6(r1). Nous pouvons expriiner 0, par

A cos kt.' @,(rl) =

1,' + @(rr)

ou le premier terme est caractkristique de la source ponctuelle et le second terme est rigulier partout dans la cavitC et solution de l'equation homogene

La fonctioii @(r) satisfait la coiidition inhoniogene

[5 1 @(r) = -(A cos kr)/r

oh r represeiite un point sur la surface de la cavitC lorsque 0, satisfait la condition de Dirichlet @,(r) = 0 sur la surface. Dans le cas d'une condition aux limites de von Neumaiin (n.V@,(r) = 0 sur la surface), @(r) doit satisfaire la condition

[61 n . V@(r) = -An . V (cos kr)/r

sur la surface. Maintenant, quelle est la liieilleure f a ~ o i i de

calculer 1iumCriquement la fonction de Green? Une inCthode possible consisterait a convertir I'Cquatioii diff6reiitielle [4] en une Cquation aux diffireiices finies et 51 chercher les valeurs de la solution de cette nouvelle Cquation pour un treillis de points dans la cavite. Cependant le nombre eleve de points requis pour une precision raisonnable serait excessif. Si on connaissait les inodes et les frequences caractkris- tiques, la fonction de Green pourrait &tre calculCe i I'aide de la forinule

Cependant, m?me pour des cavitCs r6gulikres comme les sphero'ides allongCs, seul Cliang (1) a calculC un petit iioiiibre de valeurs pour les frkquences carac- teristiques alors que les fonctions caracteristiques n'ont pas encore ete tabulkes.

Dans un recent article (2), nous avons Ctabli une equation inttgrale a laquelle la solution satisfaisant

l'tquation [4] et la condition aux limites [5] ou [GI doit obeir, en l'occurence

06 r repltsente un point sur la surface S de la caviti, I : = 11" - rl, r' represeiitaiit un point d'observation situe n'iniporte oh dans l'espace, tant i I'intCrieur q u ' i l'exttrieur de ou sur la surface S . La derivCe partielle par rapport i 17 indique la dkrivte norinale (direction positive vers I'extCrieur du doinaine). Dans le cas de la coiiditioii de Dirichlet, la coinposante normale du gradient de d) sur la surface coiistitue l'iiiconiiue, alors que dans le cas de la condition de von Neuniaiiii, c'est @ qui est l'inconnue.

Nous avons trait6 iiumtriqueinent cette equation iiitegrale e n . utilisant la formule d'integratioii de Gauss-Legeiidre (3) pour les intkgrales de surface. La solution de 1'Cquatioii integrale est substitute dans la formule d7Helmholtz

( r ' dalls s ) \ - j7 [ a m cOS ku [91 - - --

al l 0

(r ' hors S)

soumise a un traiteiiient 11uinCrique similaire. Ceci constitue une mCthode vraiinent abordable pour trouver la fonction de Green. Sur un ordinateur IBM-370, quelques secoiides suffisent pour risoudre une fois I'Cquation inttgrale et calculer la fonction de Green par [9].

Nous avons calculC la foiictioii de Green par cette mtthode pour une sCrie de spheroi'des allongCs allant de spheroi'des presque sphkriques A des spheroi'des trks excentriques, avec la source a un foyer. De plus, pour une excentricit6 donnte, nous avons calculC (voir notre prochaiii article (12)) une quaiititt rep- resentative de I'Cnergie en fonction de k et de cette f a ~ o n nous avons trouvt des nombres d'onde carac- tkristiques k,,, (proportioniiels aux frique~ices de rCsonaiice f;,, selon la relation f;,, = ck,,,/27t oh c est la vitesse de propagation de la radiation) avec 16 chiffres significatifs exacts (la limite de prkcision de l'ordina- teur) aussi bien,-Jes fonctions caracteristiques a,, correspondantes.

Dans la sect. 2 qui suit, nous explicitons le point d'integration r en coordonnCes sphkriques d'abord, sphCroi'dales allongCes ensuite, dans les equations [8] et [9] pour la fonction de Green. Nous intro- duisons une simplificatioii de ces equations dans le

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cas d'une condition de Dirichlet. Dans la sect. 3 nous specifions les equations [8] et [9] pour le calcul de la fonction de Green d'une cavite sphiroi'dale allongee d'excentricite E avec une source monopolaire a un foyer. Nous utilisons la quadrature de Gauss- Legendre pour transformer I'equation intkgrale en un systeme d'kquations a1gCbriques linCaires dont nous discutons la solution numkrique avec ou sans l'aide d'une mithode de lissage. Nous analysons en detail la precision avec laquelle on peut calculer la fonction de Green en substituant cette solution dans la formule d'tielmholtz que l'on Cvalue a l'aide de la meme quadrature. Nous developpons des critires pour lnesurer cette precision et nous les utilisons pour optimiser le nombre de points dans la quadrature ainsi que le nombre et la position des points d'obser- vation a choisir pour rCsoudre l'iquation intkgrale. Dans la sect. 4, nous proposons l'utilisation de la formule dlHelmholtz elle-meme dans le domaine exterieur coinme equation integrale dont la solution, substituee dans la meme formule, permet de calculer la fonction de Green de la cavite. Enfin, nous presentons les rtsultats de quelques calculs prelimi- naires par cette inethode.

2. Fonction de Green pour une surface quelconque ( A ) Point d'i11tkgt.ation el1 coot~c/ot~t~Pes sphe'riques

Si dans [8] et [9] nous explicitons le point d'inte- gration r en coordonnCes spheriques r = r(r, 0, +), la surface S de la cavitC est reprtsentee par 1'Cquation i. = r,(O, +) et a/an s'kcrit

FIG. I . Norniale n a la surface et coordonnees spheriques.

surface. Pour les composantes de n, on a

n, = cosy cos p, no = sin y cos p, ne = sin p oh y est l'angle entre r et la projection de n dans le plan n contenant l'axe polaire z et le point consider6 P sur la surface (fig. I ) , et P est l'angle entre n et sa projection sur le plan n. Alors

d S = a(O,+) d0 d+ = I

i.,' sin 0 d0 d+ cos y cos p

avec n = (IT,, no, IT+) la normale exterieure B la et par substitution dans [8] et dans [9], on obtient

cos ku ClOl 0 U

+ 2 - a (co:ku)])o --- do dm r , sin 0 a+

sin ku [ I l l 5'. n Sn o { X ( I ) ~ - @ ( I * ) [ n ,:., - ("l:ku) - + !!!&(T) + I , sin 0 a+ ( y ) ] ) o d O d m = 0

L"s: oh ~ ( r ) reprksente la composante normale du gradient de 0.

Pour une condition aux limites de Dirichlet, il est possible et avantageux de reformuler ces equations de telle sorte que les termes contenant des derivCes par rapport A 0 et a + n'y apparaissent plus explicitement. D'abord on intigre par parties sur $ le dernier terme de [ I 11. Le terme intCgrC

neo(O, $1 sin ku $='" J" o ['(I) rs sin 0 T I , = , de

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est nu1 puisque I'intCgrand prend la mEme valeur aux deux limites + = 0, 21s. Ensuite, on integre par parties sur 0 I'avant-dernier terme de [I I]. Le ter~iie intCgrt

ln [@(r) Ig y i., sin 0- u 01=0 sin kul"=n d+

est nu1 puisque sin 0 = 0 h chacune des limites 0 = 0, 1s.

Apres avoir effect& sur les deux derniers termes du menibre de droite de [lo] les mEmes intkgrations par parties que sur [I I], on regroupe les termes non nuls et [ lo] et [I I] deviennent

(r ' dans S) = I J'" J " [F(O, +) cosku C121 0 0 U

( r ' hors S)

sin ku J 2 n J n [ F ( o > ($1 - a(,.)l7r (?)lo do dm = o

0 0 a , ,

Si la condition aux li~nites donnCe est une condi- tion de Dirichlet, les Cquations simplifiCes [I21 et [I31 peuvent Etre utilistes pour calculer @(rl). Cependant, pour une condition aux limites de von Neumann, i l faut utiliser les Cquations [lo] et [I I] car 1'Cquation intCgrale [13] contient alors, en plus de la fonction inconnue @(r), les dCrivees de (D(r) par rapport B 0 et B +. On remarque que si S est une sphere centrCe a I'origine, on a 11, = 1 1 ~ = 0 et [I21 et [13] sont respectivement identiques a [lo] et [I 11.

(B) Point d'inte'grntion en coo~.donntes spl~e'rof~lales ollonge'es

Pour les coordonnees sphCroi'dales allongCes (5, 11, +) nous utilisons les dCfinitions de Flanimer (1, 4). Les relations

dtfinissent les coordonnCes 5 et 11 d'un point P (fig. 2). Ici r , et r, reprCsentent les distances de P a deux points fixes appelCs les foyers du systime et q re- prCsente la demi-distance interfocale. La coordonnte + est l'angle entre les plans xOz et zOP; le sells de rotation est choisi de f a ~ o n a ce que le triidre unitaire a,, ag, a+, soit droit lorsque ces trois vecteurs pointent dans la direction oh les coordonnCes q, 5, + respec- tivement augtnentent. Les surfaces (5 = constante) constituent un systime de sphCro'ides allongCs con- focaux d'excentricitk E = 115 alors que les surfaces (11 = constante) sont des hyperbolo'ides ii deux feuilles (fig. 3). Les domaines de variation des coor- donnCes sont donnts par

/t FIG. 2. Definition des coordonnees sphCroYdales allongees.

FIG. 3. Surfaces de niveau en coordonnees sphCroi'dales allongees.

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194 CAN. J . PHYS. VOL. 57. 1979

k,(q, I$) et a/arz s'Ccrit

a n - a 11 a t7 a ---A_+ - 3-+4!- at1 11, ag , a rl, a+

oQ n = (n,, n,, n,) et I+, / I , , , et h+ solit [es coefiicients de la mttrique (4)

'1 f 2

FIG. 4. Norniale II i la surface et triedre droit en coordon- ( ~ 2 - ,,z) 1'3 likes spheroidales allongees.

h, = q [ ( l - l12j]

1 < k s m ; - I s 1 1 5 I ; o s o s 2 x 11, = q[(C2 - l)(l - T , ~ ) ] ~ ' ~

Les relations de transformation entre ces coordon- ntes et les coordonntes rectangulaires s, y, z D'aprks la fig. 4, on peut tcrire s'Ccrivent

11, = COS CI cos p x = q [(g2 - 1)(1 - 112)]'," cos + n, = sin a cos p

[I61 y = q [(k2 - 1)(1 - q2)]1'2 sin 4 n, = sin p z = qg11 oh les angles a et P sont definis de la meme f a ~ o n que

Dans ces cool-donntes, une surface fer~nCe S est y et p (fig. 1 ) d a i s le cas des coordonnCes sphCriques. representee par une Cquation de la forme 6 = L'ClCment de surface d S est donnC par - --

d S = o(q, +) dq d o = I

q2[(g2 - q2)(k2 - I ) ] ~ ' ~ dq d o cos V. cos p

et par substitution dans [8] et [9] on obtient

@(I.')

= I J:" J-I jX(r) c 171 0 4x I ' \ U

(I.' hors S)

On peut refor~nuler ces Cquations comnie nous venons de le faire dans le cas des coordonnCes sphCriques. D'abord, on intkgre par parties sur 4 le dernier terlne et sur q I'avant-dernier terme de [I 81. Les deux termes intCgrCs sont nuls respectivelnent parce que $ est pCriodique de pCriode 2x et que le facteur (1 - q 2 ) est nu1 B chacune des [imites q = f I . On effectue ces memes operations sur [I71 et aprks regroupement des termes non nuls, [I71 et [I81 deviennent

sin ku n a sin ku J Z n J1 [ E ( ~ , + ) ~ - q r ) c z ((-;-)]o(qi+)dqd+ = o

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I M R E A U ET 1)AKLINC. I

TABLEAU I . Valeurs equivalentes pour E, 5 , et 016

E 50 016

avec

Comme dans le cas des coordonntes sphtriques, pour une condition de Dirichlet 011 enlploie [I91 et [20] alors qu'il faut utiliser [17] et [I81 pour une condition de von Neumann. Si la surface S est un sphtroide allongt dont les foyers coincident avec les foyers du systeme de coordonntes, les angles u et P (fig. 4) sont toujours nuls d'oh ng = 1 et , I , = n4 = 0 ; alors [I91 et [20] sont respective~nent identiques a [I71 et [18]. Sur S , prend la valeur constante 5, = I / E o h E est l'excentricitt du sphtroi'de.

Un sphtroi'de allongt est parfois caracttrist par un troisieme parametre, le rapport a/D de la longueur de son grand axe a celle de son petit axe. Ce rapport est relit a l'excentricitt par a/b = I/(] - E ~ ) ' / ~ . Le tableau 1 prtsente les valeurs correspondantes de ces trois parametres pour quelques sphtroi'des dont ceux tracts sur la fig. 3 ou pour lesquels nous presentons des rtsultats numtriques.

3. Fonction de Green pour un monop6le au foyer d'un sphkroi'de allonge

(A) Expression analytique Pour un monopale situt au foyer f, (fig. 2) d'un sphtroide allonge, r dans [5] se confond avec r , dans la

fig. 2. Si on rtsout [I51 pour I . , , on a r = q(E0 - q) d'ou [5] devient

On obtient alors ~ ( r ) en resolvant l'tquation inttgrale [I 81. La symetrie de rtvolution du systtrne physique permet de conclure que ~ ( r ) ne dtpend pas de + et de placer

le point d'observation dans le plan + = 0 sans rendre la solution moins gtntrale. On dtsigne ce point par les coordonntes (x', z') dont les axes coincident avec x et z de la fig. 3. L'tquation [I81 devient alors

sin ku C23l S2' o 5 - 1 [x(ri)e2(ko2 - q2)"' - u + A(ko2 - 1) 112 COS kq(50 - 11) a

50-11 a50 ofi u est donne par

C241 2 .* 2

u = { q (t;, + 112 - 1) + 7' (z1 - 2qkoq) + s l (x ' - 2q[(502 - I)(] - 112)]1/2 COS +)} ' I 2

I1 faut trouver la fonction ~ ( q ) qui satisfait I'tquation [23] pour s' et z' quelconques. Cependant, par analogie avec le cas du dipale scalaire au centre d'une cavitt sphtrique, oh la symttrie est de m6me type et pour laquelle l'tquation inttgrale a Ctt rtsolue analytiquement (2), OIL^^ supposer qu'il est possible de calculer ~ ( q ) en restreignant la position du point d'observation a 1 'a~e '~de s91nttrie du systime. Cette hypo- these est confirmte par les calculs nulntrlques qui lnontrent qu'au mieux, la solution n'est pas amtliorte si on enlive certains points d'observation sur l'axe pour 1es placer hors de l'axe. Elle n'est pas lnodifite sensible- ment si on glisse simplement le point dans son plan perpendiculaire :d l'axe, c'est-a-dire si on ne change pas sa coordonnte z'. Par contre elle est dtt tr iorte si on transporte le point dans un nouveau plan perpendi- culaire a l'axe qui contient d t j i un point d'observation. Dans ce cas, on ne dtt tr iore pas davantage la solu- tion en enlevant simplernent le point et soilvent m6me on l'ameliore.

Si le point d'observation est situt sur l'axe, l'expression a inttgrer dans [23] est indtpendante de + et il

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faut rtsoudre l'tquation

avec

[261 1' = [q2(to2 + '12 - 1 ) + zJ(z' - 2q~ol-,)]"2

Cette Cquation sera rtsolue numCriquement et nous pourrons calculer Q ( r . ) pour tout point du plan 4 = 0 en substituant la solution d a m

+ A(<,' - 1)'12 cos l;q(to - 11) - d (---) cos ICU *] dl-, d+

o - l-, du 350 oh v est donnt par [24].

( B ) E.uu,rssion alre'brioue - . Pour les calculs numtriques, on pose A = 1 et on exprime toutes les longueurs en unit& du derni grand

axe. Alors q t = 1 et q = E. La valeur numerique de k reprtsente 2. fois le nombre de longueurs d'onde le long du denli grand axe.

Pour evaluer les integrales, i l faut choisir une quadrature c'est-8-dire N couples de nombres (qj, pj) oh q j reprtsente les valeurs (abscisses) de la variable d'intCgration pour lesquelles on Cvalue I'inttgrand et p j reprksente les poids correspondants. Les N valeurs x(qj) de la fonction i n c o n ~ ~ u e CvaluCe aux abscisses de la quadrature constituent autant d'inconnues a trouver. Pour une position donnte zIi du point d'observation sur I'axe, ]'equation integrale [25] est tquivalente h une tquation lintaire

avec

[29 I Ai j = p j (I - ~ ~ 1 1 ~ ~ ) ' ~ ' (sin I;o.)/i:

Bi = -(I - &')'I2 cos k(l - ~ 1 1 ~ ) I d sin ku j I - El-,j

(T)(l - qjzri) j= l

Pour trouver les x(qJ), i l faut un systkme d ' a ~ ~ moins N equations indtpendantes que l'on obtient par un choix judicieux d'autant de points d'observation z', sur l'axe. I1 existe p lus ie~~rs ~nt thodes pour rksoudre ce systkme lintaire et sa solution substitute dans [27] per~net de calculer nurneriquernent @(z'~) sur I'axe par

De prime abord, i l semble que cette ~nkthode per- qui ont t t e mentionnees a maintes reprises (5, 6). rnette de rtsoudre le problkme avec une precision de L'intervalle d'integration est fini et a mesure que plus en plus grande sirnplernent en augmentant le les points aug~nentent en nombre, leur densit6 nombre de points d'inttgration sur la surface. augmente ntcessairement. Les lignes et les colonnes Cependant, on ne peut augmenter ce nornbre indt- adjacentes de la matrice A deviennent de plus en plus finiment sans rencontrer des difficultis specifiques sernblables. I1 s'ensuit que le dtterrninant de A

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diminue graduellenient et que la matrice A s'ap- proche de la singularitk. Fait alors son apparition dans le systcme, une sorte d'instabilitk qui-se mani- feste par le fait que, si N continue d'augmenter, la matrice inverse A - ' se met osciller d'un ClCment ii I'tlCment adjacent avec une amplitude qui prend des proportions Cnormes avec une rapidit6 Ctonnante. En consCquence, la solution perd rapidement toute prCcision avant de se mettre a osciller folle~nent a son tour. A partir de l'exemple d'une Cquation intCgrale dont la solution analytique est connue, Phillips (7) illustre de f a ~ o n dramatique ces oscillations folles de niCme que leur Cliniinatio~ par la mtthode de lissage qu'il propose.

Tout calcul numbrique se limite i un nombre fini ; de chiffres significatifs et le syst6me lineaire obtenu a

partir de 1'Cquation inttgrale constitue nkcessairement une approximation. I1 existe une infinitt de tels sys- t6mes lineaires qui approximent I'tquation intkgrale avec une precision donnCe, par exernple 10 chiffres significatifs. Pour obtenir un systime diffirent, i l suffit de changer le onzi6me chiffre significatif ou un chiffre significatif d'ordre plus tlevC dans un des coefficients. Evideniment, seul un nombre fini de ces approxima- tions est accessible sur un ordinateur qui effectue les calculs avec, disons, 16 chiffres significatifs. En prin- cipe, chacun de cette infinit6 de syst6mes linCaires posside une solution unique et diffbrente. On peut donc affirmer qu'il existe une infinit6 de solutions qui satisfont I'Cquation intCgrale avec une precision donnee.

L'existence de cette infinit6 de solutions ne crCerait aucune difficult6 si le systeme Ctait stable, c'est-A- dire si toutes les solutions q ~ ~ i satisfont 1'Cquation intCgrale avec une prCcision donnCe ttaient Cgales entre elles avec une precisio~i comparable. Mal- heureusenient, tel n'est pas toujours le cas. Ces solutions peuvent &tre totalement diffkrentes comme Booth (8) I'illustre dans un exemple particuli6rement dCmonstratif de deux Cquations 2 deux inconnues

' ou i l montre qu'une excellente approximation de la solution peut Ctre jugbe moilis bonne que certaines "approximations" totalement farfelues si on s'en tient au crit6re de la racine du carri: moyen des rCsidus. Parmi cette infinit6 de solutions, i l faut donc en choisir une qui se rapproche suffisamnient de la solution exacte. C'est la l'objectif des mCthodes de lissage (smoothing) que Phillips (7), Twomey (9), Franklin (10) et Tihonov (1 1) parmi d'autres ont

( C ) Cnlcul nzr~nkrique cle la fo~lct ion cle Greet1 sans lissngc

( a ) Cl lo ix el p~.kcision c/o In quac1ratu1.e Avant de parler plus explicitement de quelques-

unes de ces mCthodes, nous verrons comment i l est

possible de calculer la fonction de Green par [32] aprks avoir rtsolu le syst6me IinCaire [28] sans faire intervenir une mCthode de lissage. ~ d u r ce faire, il faut garder le nombre de points d'inttgration suf- fisalnment petit pour que les oscillations n'apparais- sent pas. Cela nous oblige i minimiser le nombre d'inconnues x(qj) et le choix de la quadrature qui donne le maximum de prCcision avec le minimum de points s'impose. Nous avons essay6 plusieurs for- mules de quadrature et c'est celle de ~ a b s s - ~ e ~ e n d r e (3) qui a donne les resultats de loin les meilleurs. La prCcision obtenue est plus qu'acceptable sauT si la fois E est tres prks de l ' u n i t ~ kt k reste petit. Tous les rCsultats nunieriques que nous presentons ont Ct6 obtenus avec cette forniule de quadrature.

Pour o~ t imise r la ~rCcision de la solution. i l est important de- bien identifier les sources d'erreur et en particulier de connaitre la precision que peut donner la quadrature. On choisit comme inttgrale typique le second terme B de I'Cquation intCgrale [25]. La figure 5 rnontre le nombre N de points qu'il faut A une quadrature de Gauss-Legendre pour Cvaluer Bi par I'expression [30] avec six chiffres significatifs exacts pour differentes valeurs de k et de E lorsque z ' ; est compris dans l'intervalle -3 I z f i I 3.

Pour obtenir un point de cette figure, on fixe d'abord k et E et on porte sur un graphique A,{(N) eg fonction de N selon

r 1 1 1 2

ou N ' est une valeur quelconque telle que N' > N et la sommation porte sur quelques dizaines de points de l'intervalle -3 I z t i 5 3. Le point de la fig. 5 correspond alors i l'intersection de la courbe A,,(N) avec la droite A,(N) = 6. En principe Bi(Nf) est plus pres de la valeur exacte Bi(w) que ne l'est Bi(N) et lorsque la convergence est assez rapide, la dif- fCrence Bi(N) - Bi(N1) est de l'ordre de grandeur de l'erreur sur B,(N).

Pour les faibles valeurs de I<, la fig. 5 montre des paliers de plus en plus ClevCs mesure que E aug- niente. Ces paliers disparaissent completement si, au lieu de calculer B, donnC par [30], on enl6ve au second membreje facteur 1 /(1 - ~ q ) qui devient trks grand au v o i s i h e d e q = + I lorsque E -t 1. Ce facteur indtpendant de k limite la prCcision de la quadrature k n t que k n'est pas suffisamment grand pour que la prtcision soit fixCe par les fonctions oscillantes cos k(l - ~ q ) et sin ku. Lorsque k con- tinue d'augmenter, le nombre de points nCcessaire pour atteindre une prkcision donnCe augmente lineairement avec k. La pente des segments de droite

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FIG. 5. Nombre N de points necessaires dans une qua- drature de Gauss-Legendre pour tvaluer B, avec six chiffres significalifs exacts d a m l'intervalle - 3 5 z ' , I 3.

qui traduit cette relation lineaire augmente avec E, dCi au coefficient (1 - E I ~ ) dans I'argument du cosinus. Si E = 0, ce cosinus est constant sur toute la surface mais il oscille de plus en plus rapidement h mesure que E augmente.

L'ensemble des valeurs nun~Criques obtenues pour Bi par l'expression [30] pour diffirentes valeurs des paramitres, rCvele quelques traits que la fig. 5 ne peut montrer. En particulier, si on fixe k , N e t E < 0.95, la valeur calculCe pour B i est d'autant plus precise que z', est plus pres de zCro. Ce phCnomkne est tres accen- tuC si la cavitC est sphkrique. Pour& > 0.95, la prCcision obtenue pour B, est la mCme quelque soit la valeur de z f i entre - 3 et + 3 et ne commence h diminuer que pour des valeurs de z t i extkrieures h cet intervalle. Ce comportenlent est dCi a la prCsence du facteur sin lcu o h la valeur maximale de l'arguinent augmente avec la distance du centre de la cavitC au point d'observa- tion.

A partir de la fig. 5, il est possible de trouver le nombre N de points nicessaire pour calculer Bi avec un nombre de chiffres significatifs exacts different de six. Pour une valeur donnCe de k et de E dans la rCgion de la fig. 5 o h N augmente linkairement avec k, la prCcision de la quadrature augnlente approxi- mativement de 0.75 chiffre significatif pour chaque ~ o i n t ajoutC et dinlinue approxirnativement de 0.50 chiffre significatif pour Ehaque point enlev6 h la

quadrature h partir du nombre de points qui donne une prCcision de six chiffres significatifs. Cette approximation est exacte it un chiffre significatif pres entre 2 et 15 chiffres significatifs pour la precision de la quadrature. D'autre part, pour une valeur donnee de E, la valeur de N correspondant h un palier sur la fig. 5 augmente linCaireinent avec la prCcision de la quadrature. Pour chaque chiffre significatif d'aug- inentation de cette prkcision, la valeur de N corres- pondant au palier augnlente en moyenne de 2.7 pour E = 0.9, de 3.7 pour E = 0.95, de 6.5 pour E = 0.97, de 8.7 pour E = 0.99 et de 15 pour E = 0.995.

( b ) Clrois ties points ci'obseruation et precision ties resultats

Avant de discuter du choix des points d'observa- tion, il est important de pouvoir mesurer la prkcision des solutions obtenues pour 1'Cquation intkgrale et des valeurs calculCes pour la fonction de Green cD. D'abord il n'est pas possible de comparer une telle solution h la solution exacte qui n'est pas connue. On peut songer alors i verifier par comparaison jusqu'h quel point les valeurs de x(qj) calcultes avec dif- ferentes distributions de points d'observation sont Cgales. Cependant, comme nous le verrons plus loin (tableau 3), i l arrive que des valeurs totalenlent dif- fkrentes pour x(qj) satisfont le systeme linCaire h 15 chiffres significatifs et donnent pour 4 des valeurs qui ont les mCines quelques premiers chiffres signifi- catifs. En plus, la coinparaison des valeurs de x(qj) est difficile si le nolnbre de points dans la quadrature n'est pas le mCme dans les heux cas car les abscisses q i sont alors totalement differentes. Cette compa- raison ne peut donc constituer un bon critkre de la prCcision de la solution de 1'Cquation intkgrale et des valeurs calculCes pour 4.

Par ailleurs, on peut substituer dans 1'Cquation integrale la solution calculCe et Cvaluer cette equation pour un certain nombre de points d'observation z", differents de ceux utilisCs pour la rCsoudre et situks sur l'axe, tant h l'intkrieur qu'h l'extkrieur de la cavitC. (Les points d'observation choisis pour rC- soudre 1'Cquation intkgrale sont notCs z',.) Alors pour chaque valeur de i , le membre de gauche de [28] n'est plus egal h zCro mais h une quantite finie d'autant plus petite en principe que la solution substituke est plus pr&s de la solution exacte. On reprksente cette petite quailti*; 20,(z1',)/(l - de sorte que 0,(z",) est norinalisC coinme l'est cD(z",) donnC par [32].

Ce rapprochement de @,(z"~) et de @(zUi) est justifie par la facon dont l'equation intCgrale [8] est obtenue a partir du thioreme de Kirchhoff. En effet, le me~nbre de gauche de [8] et le men~bre de droite de [9] sont respective~nent les coefficients de sin w t et

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de cos wt dans l'inttgrale de Kirchhoff appliqute a une onde stationnaire en cos wt (2). Cette parentt d'origine jointe B la resemblance for~nelle que ces coefficients manifestent, justifient ce rapprochement.

La quantitt A, dtfinie par

et calculte a partir d'une solution quelconque cons- titue une mesure du nombre de chiffres significatifs avec lequel cette solutio~i satisfait l'tquation inttgrale. Dans [34], les so~n~i ia t ions portent sur quelques

"izaines de points. Comnie critkre de prtcision de la solution, on peut

Cgalement songer B coniparer directe~iient entre elles les valeurs de @(zlli) calcultes a partir de [32] avec plusieurs solutions difftrentes obtenues pour dif- ftrents nombres de points dans la quadrature et difftrentes distributions des points d'observation. Si ces valeurs de @(zUi) sont toutes tgales avec une certaine precision, on peut croire qu'elles sont exactes avec la m&me prtcision. Avant d'tlaborer davantage ce critere, il est inttressant de voir comment A, est d'une utilitt incontestable mais limitte.

C'est a l'inttrieur de la cavitt que I'expression [9] nous per~net de calculer @(r. ' ) . La parentt d'origine de l'expression [9] pour @ et de l'equation inttgrale [8] nous portent naturelle~iient a choisir les points d'observation dans la m&me rtgion pour rtsoudre cette tquation. Cependant, la prtcision de la solu- tion peut &tre augmentte de beaucoup si on choisit des points sur l'axe hors de la cavitk. On peut reprtsenter par I la lo~igueur du demi-intervalle dans lequel sont distributs les points d'observation.

Les calculs numtriques montre~it que pour un nombre donnt N de points dans la quadrature, la prtcision de la solution dtpend surtout de N e t de I et assez peu de la disposition des N points d'observa- tion, pour autant que ceux-ci ne soient pas totale- ment absents d'une rtgion importante de I'intervalle. On obtient une meilleure prtcision si le centre de l'intervalle coi'ncide avec celui de la cavitt. La ~ r t c i - sion est peu affectte si la densitt des points est un peu plus elevte au centre de la cavitk; elle est peine amtliorte si on concentre un peu les points a u voisinage de la surface. Nous sommes done justifits de nous en tenir a une rtpartition uniforme des points d'observation sur I'axe dans un intervalle de demi- longueur I symttrique par rapport a u centre de la cavitt.

L'examen des rksultats numtriques niontre que A, n'est pas indtpendant de la mtthode utiliste pour

rtsoudre le systkme lintaire [28]. Dans ce qui suit et jusqu'a ce qu'on sptcifie le contraire, les rtsultats rapportts sont obteius en rtsolvant I'tquation intt- grale par le calcul explicite de la matrice inverse A- ' et sa multiplication par le vecteur constant Bi (mtthode I). Nous verrons plus loin qile cette mtthode de solution n'est pas celle qui nous permet d'obtenir les meilleurs rbultats.

Si on garde E, k et N constants et si on augmente I graduellenient a partir de I'unitt, A, augmente d'abord rtgulikrement jusqu'a un niaxinii~rn atteint pour I = I , puis fiuctue ltgkrement la baisse autour de ce maximum. La valeur de I , augmente avec N e t diniinue lorsque k augniente (fig. 6). Elle reste B peu pris inchangte dans tout le domai~ie de variation de E que nous avons explort, c'est-a-dire entre 0.7 et 0.99. A niesure que E se rapproche de ztro, I , senible vouloir auginenter ltgkre~nent a partir des valeurs don~ i t e s par les courbes de la fig. 6. Sur cette figure, les traits pleins soiit obtenus a l'aide du critkre A, appliqut aprks solution du systkme lintaire par la ~ n t t h o d e I. Nous parlerons plus tard des courbes hachurtes qui sont obtenues en appliquant un critere difftrent aprks solution du systkme lintaire par une ~i i t thode diRtrente.

Pour des valeurs dountes de k et de E, si o n augniente graduellement N en choisissant B chaque fois la valeur opti~iiale I , , A , reste d'abord a peu pres nu1 puis coliimence brusque~iient B augnienter rapidement pour atteindre une valeur maximale puis diminue tout aussi rapidement jusqu'a ztro (fig. 7). On

FIG. 6. Valeur optirnale I , de I en fonction de N pour quelques valeurs de k.

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La fonction A@(N) dCfinie par

FIG. 7. Valeurs de A, en fonction de N lorsque I = I,, pour E = 0.7, 0.9 et 0.99 et pour li = I0 et 30.

0 k=30.

12 - 1351 A@($) = -log,,

112

lo - [Z (@N(-TUi) - +N.(z"i))2] I

8 - constitue une bonne niesure de la precision de la solution loin de la surface, si on restreint la somma-

6 - tion B des points d'observation de la region centrale de la cavitC. Dans nos calculs, la sommation porte

4 - sur 1 1 valeurs Cquidistantes de zUi dans l'intervalle -0.5 2 zUi I 0.5. Pour que A@(N) soit une rnesure

2 - de la prCcision de @,, il faut que a,, soit au moins

constate cependant que pour les valeur klevkes de E, la valeur la plus klevke que l'on trouve pour A, indique que I'Cquation intkgrale est alors satisfaite avec une precision qui dkpasse parfois de plusieurs chiffres sig- nificatifs la prkcision de la quadrature pour les niEmes valeurs des parametres. En consequence, A, ne peut constituer une rnesure directe de la prkcision de la solution.

Pour niesurer cette prkcision, on peut comparer les valeurs de @(zrfi) calculkes B l'aide de [32] et pour diffkrentes valeurs de N (notkes 0, (zUi)) en prenant I = I, B chaque fois. Cette comparaison peut se faire en formant la quantitk A@,(-T"~) donnke par

0-

oh cI),.(zl',) est une valeur que l'on sait au rnoins aussi prkcise que @,(zUi). La quantitk A(I),(z",) pour E = 0.7, Ir = 10 et N = 12, 20 et 26 est portke en grapliique sur la fig. 8. Les sections de courbes en tiret, indiquent une prkcision au ~iioins Cgale la valeur indiquke. On constate d'abord sur cette figure que la precision diminue de f a ~ o n catastro- phique lorsque zUi s'approche de la surface. Ce phknoni2ne est dCi A la discontinuitk que prksente l'expression exacte @(z) lorsque z traverse la surface, discontinuit6 que ne peut reproduire une quadrature a un nonibre fini de points. Lorsque N augmente, la quadrature converge extremement lenternent au voisi- nage de la surface. Par contre, lorsqu'on s'kloigne de la surface, elle converge B peu pres kgalement par- tout, mEme B I'extkrieur. (Sur la fig. 8, la prkcision est rnoins bonne B I'extkrieur qu'8 l'intkrieur pour N = 12 parce que les points d'observation zIi ont tous CtC choisis 2 I'intCrieur de la cavitk (I, = 1.0).)

v £.= 0.7 aussi prCcis que En gCnCral, on donne d'abord 2

o , e= 0.3 N et N' des valeurs consCcutives croissantes sans x : & = 0.39

chercher B savoir B priori lequel de 0, ou @,, est le I I I

valeurs conskcutives croissantes de N permet de cons- tater si la prkcision augrnente ou diminue avec N. On est alors en mesure de dCcider, pour chaque A@(N), si N' doit etre plus grand ou plus petit que N.

Lorsque N augmente, A@(N) (fig. 9) augmente puis diminue comme A, (fig. 7). Dais les deux cas, ce

4 12 20 28 36 4 4 5 2 ~ - plus prCcis:-La comparaison de A@(N) pour plusieurs

comportement est le rtsultat de deux tendances opposkes. D'une part, lorsque N augmente, la qua- drature devient une meilleure approximation de l'intkgrale; de plus, pour un systemelinkaire carrk, le nombre de points d'observation augmente Cgale- ment, perniettant d'utiliser plus d'information dans la solution de l'kquation intkgrale. Cependant, ce deuxieme facteur senible beaucoup moins important que le premier car dans la rkgion oh la prkcision telle que mesurke par A@(N) (fig. 9) augmente, elle est tres peu infkrieure a la prkcision de la quadrature elle-meme. De plus, le fait de tripler le nombre de points d'observation et de rksoudre le systeme sur- dktermink de 3N kauations Dar la mkthode des moindres carris ne permet qu'une tres faible augmen- tation de la prkcision. D'autre part, mesure que N augmente, l'instabilitk du systeme linkaire [28] aug- mente au point de dominer completement la preci- sion de la solution B partir d'une certaine valeur No de N.

Pour une valeur donnke de N. la ~rkcision de la , . quadrature diminue lorsque E augmente. De plus, I'instabilitk semble croitre avec E. L'effet combine de ces deux facteurs est tel que pour une valeur donnCe de k, la prkcis- maximale qu'il est possible d'at- teindre diminue de f a ~ o n tres importante lorsque E

augmente. Cette valeur maxi~nale est atteinte pour N = No qui augmente lkgerement avec E et qui augmente linkairement avec k lorsque k 2 10 (fig. 9).

Dar~s le cas oh on se restreint a un systeme IinCaire carri, si, au lieu de calculer explicitement la

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FIG. 8. Valeurs de A@,,(:",) pour E = 0.7, k = 10 -e t N = 12, 20 et 26.

4 12 20 28 36 44 52 N

FIG. 9. Valeurs de A d ) ( N ) pour E = 0.7, 0.9, 0.95, 0.97, 0.99 et pour k = 10 et 30.

matrice inverse A-' et de la multiplier par le vecteur constant Bi (mtthode I), on rtsout directement le systkme [28] par la mtthode d'tlimination de Gauss- Jordan (mtthode 11) ou par une intthode de moindres carrts (mtthode III), la precision maximale accessible augmente et est obtenue pour une valeur de No legkrement supirieure (fig. 10). Si on choisit 3N points d'observation et si on resout le systkme par la methode des moindres cari-is (methode IV), on peut encore amtliorer la solution inais trop peu pour

Methodes: I - - - - - -

I1 --- m . . , . . . . . . Ip

FIG. 10. Valeurs calcultes pour A @ et A, par [35] et [34] pour les quatre mithodes de solution du systen~e lineaire.

justifier les calculs suppltlnentaires. Nous avons effectut tous ces calculs ell utilisant les sous-routines de IBM: MINV pour le calcul de la matrice inverse, DGELG pour Ig&$hode d'elimination de Gauss- Jordan et DLLSQ pour la mtthode des moindres carres.

I1 est interessant de noter que pour N < No, AQ(N) est totalement independant de la methode de solution et ne depend que de la prtcision de la qua- drature. Par contre, pour N > No, les courbes de la

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TABLEAU 2. Valeurs de x(qJ) calculees par les quatre rntthodes pour E = 0.95, k = 10, N = 25 et I = 3.6

X(]IJ)

l l ~ Methode I Mtthode I1 Methode 111 Mtthode IV

-0 996 2.81857 2.81837 2.81817 2 81771 -0.977 1 ,72602 1 ,72634 1 ,72658 1.72717 -0.943 0.16490 0.16460 0.16437 0.16379 -0.895 - I . 61889 -1.61864 -1.61843 -1.61792 -0 833 - 3.30099 -3.30122 -3.30139 - 3.301 84 -0.759 -4 32048 - 4.32026 - 4 32011 -4.31973 -0.674 -4.10594 -4 10610 -4.10622 -4 10654 -0.578 - 2.67902 -2 67887 - 2.67878 -2.67851 -0.473 - 1.08994 - 1 ,09008 -1 09015 - 1 ,09039 -0 361 -0 77559 -0.77551 - 0.77545 - 0.77523 -0 244 - 1 ,85884 - 1 ,86896 - 1.85901 - I ,85920 -0.123 -2.32102 - 2.32094 - 2.32090 - 2.32072

0 .0 -0.01029 -0.01038 -0 01041 - 0 01058 0.123 4.13289 4.13299 4:13301 4.13318 0.244 5.97625 5.97618 5 97615 5.97599 0.361 2.31707 2.31717 2.31719 2.31736 0.473 -5.41699 -5.41708 -5.41710 -5.41727 0.578 -12.17864 -12 17856 -12.17854 -12.17836 0.674 -13.60623 -13.60631 - 13 60632 - 13.60652 0.759 -8 94325 -8.94312 -8.94310 - 8.94289 0 833 - 0.96295 -0.96312 -0.96313 -0.96336 0.895 4 97114 4.97128 4.97129 4.97153 0.943 -2.50167 -2 50183 -2.50184 -2 50210 0 977 -50.01278 -50.01262 -50.01261 -50.01236 0.996 -157 09767 -157.09781 -157.09781 -157.09801

fig. 10 pour A@(N) montrent que la solution de [28] le systeme liniaire [28] pour des points d'observation par une methode qui ne fait pas intervenir directe- quelconques sur l'axe. Ce phinoin&ne ne remet pas ment la matrice inverse A-' minimise les effets de en cause I'uniciti de solution de l'iquation intigrale. l'instabiliti. I1 met en ividence l'existence de nombreuses solu-

Par ailleurs, on rernarque que les valeurs calculies tions pour le systeme liniaire [28] lorsqu'il est trait6 pour A, different de f a ~ o n drastique selon que I'on numiriquement avec un nombre fini de chiffres utilise ou non la matrice inverse A - ' pour r6soudre significatifs, comme nous l'avons dija soulignl. [28]. Pour la m6thode I, si N augmente, les valeurs de A, augmentent d'abord avec la pricision de la (c) Conclusion quadrature puis diminuent tout aussi rapidement B I1 est donc possible, en risolvant le systeme mesure que l'instabiliti s'itablit dans le systeme. liniaire [28] sans faire intervenir des methodes de Pour chacune des trois autres mithodes l'instabiliti lissage, de calculer cD partout dans la caviti avec une semble n'avoir aucun effet sur les valeurs de A, qui pricision suffisante pour la plupart des applications, augmentent avec la pricision de la quadrature et cela en dipit de l'instabiliti qui se manifeste dans jusqu'i la limite des 16 chiffres significatifs utilisis la solution numirique d'une iquation intigrale de dans les calculs (double pricision sur IBM-370), premiere espece. Pour obtenir la solution optimale pour se maintenir a cette valeur (fig. 10). accessible, il suffit d'abord de choisir pour la coor-

D'autre part, une comparaison des valeurs de donnie d'intkgration q une quadrature de Gauss- x(qJ) obtenues par les quatre mithodes permet de Legendre a No points avec No donni par les courbes conclure que pour N 5 No, elles sont toutes exactes de la fig. 11. On explicite alors le systkme lineaire avec a peu pres la meme precision (tableau 2). Cepen- [28] par Id&x de No points d'observation dis- dant, pour N plus grand que No, l'instabiliti fait tribuis uniformkment sur l'axe, symitriquement par osciller de plus en plus les valeurs de ~ ( q , ) qui rapport au centre de la caviti, dans un intervalle de rapidement n'ont plus un seul chiffre significatif demi-longueur I, donn6e par les courbes hachuries exact (tableau 3). I1 arrive alors que des valeurs tout de la fig. 6. Ensuite on risout le systeme liniaire par

fait inexactes pour la fonction inconnue x(qj) une mithode ne faisant pas intervenir explicitement satisfont avec une precision de 16 chiffres significatifs la matrice inverse A-' des coefficients et on substitue

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TABLEAU 3. Valeurs de ~ ( 0 ~ ) calculees par les quatre ~nethodes pour E = 0.95, k = 10, N = 30 et I = 4.2

01 MCthode I MCthode I1 MCthode I11 MCthode IV

la solution dans [32] ou dans une expression analogue gtntralisie pour un point d'observation quelconque dans la cavitt. La prtcision que 1'011 obtient alors pour @ est approxirnativernent tgale a la pricision de la quadrature.

Les courbes a traits continus de la fig. 1 1 ont Ctt calcultes en risolvant le systkrne lintaire par la rntthode 111. Ainsi calculte, la valeur optirnale No augrnente avec E si E 5 0.9 et augrnente liniairernent avec k pour k 2 10. Si on rtsout le systerne par la rnithode I au lieu de la rntthode 111, les valeurs de No sont trks ltgkrernent inftrieures (fig. 10) a celles donntes par la fig. 11, et elles dirninuent ltgkrernent avec E, r n h e pour E 2 0.9 (fig. 9). Les courbes hachurtes de la fig. 6 donnent les valeurs optirnales lo de I obtenues en utilisant le critkre [35] pour la prtcision de la solution calculte par la rntthode 111. Pour N = No, ces valeurs de lo solit trks proches de celles (traits pleins) obtenues en sournettant au critkre [34] la solution calculte par la rntthode I.

Pour tracer les courbes traits continus de la fig. 11, nous avons calcule No pour E = 0.7, 0.9,

0.95, 0.97 et 0.99. Les rtsultats que nous avons obtenus lors du calcul nurntrique de l'onde tlectro- rnagnttique stationnaire entretenue dans une sphire rnttallique par un dip6le de Hertz au centre, rtsultats que nous prtsenterons dans une prochaine publica- tion et qui irnpliquent la solution d'iquations inttgrales de rn&rne type que celle qui nous inttresse ici, nous incitent a croire que, pour E tgal 2 ztro, No pourrait se situer au voisinage de la courbe hachurte de la fig. 11 et auginenter graduellernent avec E .

Quant a la fonction inconiiue x(qj) il est difficiie d'appricier la prtcision avec laquelle elie est calculte sans pouvoir cornparer les valeurs obtenues par difftrents noinbres N de points dans la quadrature. Cependant l ' e n ~ ~ e des calculs nurneriques laisse supposer que pour N < No, c'est-a-dire avant que l'instabilitt ne vienne rtduire de facon irnportante la prtcision de @, la fonctioii x(qj) est prtcise a un ou deux chiffres significatifs de inoins que ne l'est 0.

La valeur optirnale lo pour I'intervalle contenant les points d'observation ii'est pas trks critique et on peut s'en tcarter d'autant que 25%, surtout du cat6

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FIG. 11. Valeurs de No en fonction de k pour E = 0.7, 0.9, 0.95, 0.97 et 0.99. Pour E 2 0.9, les valeurs de No sont presque identiques et on a trace la moyenne de ces valeurs. La courbe hachuree est le resultat de calculs qui seront discutes dans une publication ulterieure.

des plus grandes valeurs, sans voir la precision de la solution diminuer de f a ~ o n importante. Par contre, la valeur optimale No pour le nombre de points dans la quadrature est tr is critique et la precision diminue tres rapidemenr lorsqu'on s'eloigne de cette valeur, aussi bien du c6te des plus faibles que des plus grandes valeurs (figures 9 et 10).

Si nous extrapolons nos resultats du c6tC des grandes valeurs de k , nous pouvons conclure qu'en principe, cette mCthode sans lissage permet d'obtenir une solution acceptable pour une valeur arbitraire- ment petite de E ou arbitrairement grande de k B la condition de disposer d'un ordinateur capable de traiter un systeme IinCaire ayant les dimensions nkcessaires. Cependant, si lr diminue etlou si E

augmente, la precision maximale accessible dans le calcul de cl, diminue au point de devenir nulle pour une certaine valeur de k qui augmente avec E. Si cette precision accessible n'est pas suffisante pour nos besoins, on peut songer i choisir pour N une valeur beaucoup plus grande que No et recourir i une mCthode de lissage pour supprimer l'instabilitk qui s'ensuit.

(cJ) Calc~ll t z ~ l t ~ i i r i q ~ ~ ~ de la fotlctiotz de Greerz avec lissagc

Parmi les mCthodes de lissage qui ont Ctk proposkes jusqu'h maintenant, nous nous li~nitons & celle de Phillips (7) telle que modifike par Twomey (9) et celle de Franklin (10). La mCtliode de Phillips consiste essentiellement i mini~iiiser la nioyenne du carre des valeurs de la dCrivCe seconde de la fonction inconnue. Dans ce processus, Phillips introduit un paramitre

arbitraire de lissage dont la valeur doit Ctre ajustle de f a ~ o n B ellminer les oscillatio~ls folles non desirCes tout en perturbant le moins possible les oscillations reelles de la fonction inconnue. Twomey a dkveloppe Line rnodification de la mCthode de Phillips qui est mathtmatiquenient Cquivalente mais ne fait intervenir qu'une seule inversion de matrice au lieu des deux de Phillips. C'est cette modification que nous utilisons pour les calculs numeriques mais nous voudrions noter que m&me si les traitements sont mathCmatiquement kquivalents, 11s lie le seraient pas au cours des calculs numtriques et nous ne savons pas si I'una ou l'autre pourrait donner de meilleurs rCsultats.

La mithode de Franklin, de conception tout 5 fait diffkrente, applique au systiine lineaire les techniques statistiques de la thkorie de I'information, en utilisant les concepts de signal et de bruit. Elle fait intervenir trois paramitres arbitraires (associCs aux propriCtCs du signal et du "bruit") a ajuster au lieu d'un et son utilisation se fait donc avec un peu plus de lourdeur.

En dCpit de leurs facons tres diffkrentes d'aborder le problime, la mithode de Phillips-Twomey et celle de Franklin donnent des resultats comparables. Elles permettent effectivement d'kliminer les oscilla- tions folles de la solution de ]'equation intkgrale. Le tableau 4 montre les valeurs de x(qj) calculkes d'abord par la mtthode I puis par la mkthode de Phillips-Twomey, pour E = 0.7, k = 10, N = 32 et 1 = 4.0. Ce tableau donne kgalement pour com- paraison les valeurs de x(qj) calculees par la mkthode I pour les m@mes valeurs de E et k mais avec N = 22 et I = 3.3, i.e., pour une valeur de N o k I'instabiliti n'affecte pas la solution. On constate que pour N = 32, la mkthode I sans lissage donne pour ~ ( q , ) des valeurs qui oscillent tellement qu'il est absolument impossible d'y soupconner la courbe lisse que forment les valeurs de reference calculCes pour N = 22. Par contre, si on applique au meme systeme linkaire avec N = 32 la mtthode de lissage de Phillips-Twomey, les oscillations indues dis- paraissent compl?tement et les valeurs obtenues se distribuent sur la courbe de rifkrence obtenue avec N = 22. Pour ce qui est des valeurs de @ sur I'axe dans la caviti calculCes avec N = 32, 011 constate que, l o r s q $ ! sont comparies aux valeurs de rkfkrence calcu ies pour N = 22, elles leur sont Cgales avec une prkcision de deux chiffres significa- tifs si les x(qj) obtenus sans lissage sont utilises et sept chithes significatifs si on utilise les ~ ( 1 1 ~ ) obtenus avec lissage (Phillips-Twomey).

Nos calculs indiquent clairement que pour une valeur donlike de E et de k, le domaine des valeurs de N pour lesquelles une solution acceptable est

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TABLEAU 4. Valeurs de ~ ( 1 1 ~ ) calculees avec et sans lissage pour E = 0.7, k = 10, N = 32, 1 = 4.0 et valeurs de reference pour N = 22 et 1 = 3.3

N = 3 2 N = 22 -- --- --

x(rl,)

Phillips- ~(111) lli Methode I Tworney 11 j ivlethode I

-0.997 23.9 44.7739069 -0.994 43.9829073 -0.986 73.0 42.5868013 -0.970 40.4022613 -0.965 I . 6 39.4487926 -0.927 33.3065971 -0.935 74.7 34.7272314 -0.866 22.5420388 -0.896 -11.4 28.0623414 -0.788 9.5858091 -0.849 60.1 19.6180568 -0.694 - 1 ,9852790 -0.794 -27.0 10.4604583 -0.588 -7.8933501 - 0.732 35.0 2.1159874 -0.469 - 6.2953055 -0.663 -32.5 -4.4070882 -0.342 -0.0507733 -0.588 13.8 -8.0819942 -0.208 4.9669238 -0.507 -24.1 - 7.6272794 -0.070 4.7473484 -0.421 3 .2 -3.8140530 0.070 0.2639818 -0.332 1 .5 0.3991873 0.208 -4.2684927 -0.239 - 4 . 6 3.7291876 0.342 -5.3858399 -0.144 24.2 6.1287232 0.469 -2.4871089 -0.048 -23.9 4.34 16349 0.588 2.6081455

0.048 40.7 0 .1 504066 0.694 7.0682492 0.144 -51.7 - 1.3411220 0.788 8.4701039 0.239 56.2 -5.3812020 0.866 5.8994009 0.332 - 78.3 -5.7452279 0.927 0.29046 1 3 0.421 84.7 -3.5352955 0.970 -6.1135186 0.507 - 101.1 -1.0591817 0.994 - 10.7613200 0.588 115.0 2.2782414 0.663 - 121.2 6.1190201 0.732 145.8 8.2583739 0.794 - 139.3 8.1620296 0.849 157.4 6.7508099 0.896 -150.7 3.8259204 0.935 147.1 -0.7847662 0.965 - 142.0 -5.4367556 0.986 106.7 - 8.7530907 0.997 -89.4 -11.4777797

accessible, est considCrablement elargi du cat6 des grandes valeurs si on utilise une mCthode de lissage. Ces mCthodes rendent Cgalement accessible une solution acceptable pour des valeurs de E trop grandes et des valeurs de k trop petites (tendant msme vers zero) pour qu'une solution soit accessible sans lissage.

Par la perturbation qu'elles introduisent nCces- sairement dans le systeme l idai re , ces methodes ne semblent pas permettre de calculer 0 dans la cavitt avec plus de huit chiffres significatifs exacts. Elles ne peuvent donc augmenter la precision accessible que dans les cas oh la precision maximale accessible sans lissage est inferieure a huit chiffres significatifs et pas necessairement dans tous ces cas.

4. La formule d'Helmholtz dans le domaine extbrieur utilisCe comme bquation intbgrale

Avant de terminer, nous desirons proposer une

autre mCthode nouvelle et differente de rksoudre le probleine i valeurs aux limites de 1'Cquation d'Helm- holtz. Nous remarquons d'abord que partout oh il est fait mention de la formule d'Helrnholtz [9] pour le doinaine intkrieur a une surface S, on ne manifeste aucun interst pour le cas oh le point d'observation est situC l'extirieur de S. Si on mentionne que, lorsque le point d'observation est situe l'exterieur de S, le membre de droite de [9] est egal zero, on conclut immkdiatement que ce cas n'est pas interes- sant et on ne s ' y e r d e pas davantage.

Ce point de h e nous a conduit a placer le point d'observation I'intCrieur de la surface pour la solution de notre equation intigrale [8] lors de nos premiers calculs dans le cas d'une source ponctuelle au foyer d'un spheroide allonge. Suite a I'amCliora- tion de nos resultats constcutive a la levee de cette restriction, 1'idCe nous est venue de considkrer la formule d'Helmholtz 191, dans le cas oh le point

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d'observation est a I'extCrieur de S , comme une Cquation intCgrale permettant de trouver ~ ( r ) ou (D(r) sur la surface selon que l'on se donne une con- dition de Dirichlet ou de von Neumann.

Quelques calculs numiriques d'exploration nous o ~ i t confirmi que le probleme pouvait &tre rCsolu de cette fagon. Pour une condition de Dirichlet avec k = 10, E = 0.7 et 0.95, nous avons obtenu pour (D des valeurs qui sont egales, avec respectivement sept et cinq chiffres significatifs, aux valeurs optimales obtenues aprks solution de l'tquation integrale [8] par la methode I11 sans lissage, et ce, dans toute la cavitC sauf pris de la surface (dQ it la discontinuitC du second membre de [9]). Pour ces calculs, nous avons choisi N dans le voisinage des courbes de la fig. 11. Nous avons choisi les points d'observation Cquidis- tants sur l'axe de symttrie du systeme, hors de la cavite et symCtriquement par rapport a son centre.

Nous avons remarque qu'il n'est pas avantageux de choisir des points d'observation trop pr6s de la surface. Pour un espacement donnC entre les points, la prtcision obtenue augmente graduellement jus- qu ' i ce que les points les plus rapprochks de la surface se soient CloignCs a z' = f 1.5. La prCcision semble demeurer stable si on Cloigne ces points les plus rapprochts jusqu'a z' = f 2.5. Si on augmente graduellement l'espacement entre les points d'obser- vation, la prCcision augmente d'abord jusqu'a un maximum puis semble osciller par la suite avec une amplitude qui peut atteindre trois chiffres significatifs ou plus. Nous n'avons pas pousst les calculs assez loin pour vCrifier si la longueur d'onde de ces oscilla- tions pouvait Etre relite a celle de Q, dans la cavitC.

Quoique moins prometteuse que celle qui fait intervenir 1'Cquation intCgrale [8], cette mCthode pour calculer Q, peut donner des rksultats suffisam- ment precis pour un grand nombre d'applications. De plus, le fait que I'on ait pu calculer Q, en rCsolvant deux Cquations intkgrales tout fait diffkrentes et obtenir des valeurs Cgales entre elles avec une si grande precision dans toute la cavitt constitue une preuve supplCmentaire, s'il en est besoin, de I'exacti- tude de nos rksultats.

5. Conclusion Dans une publication prCctdente (2), nous avons

dCduit une Cquation intCgrale de premiere espkce que doit satisfaire toute solution stationnaire de l'tqua- . tion d'onde scalaire, rCguliitre B llintCrieur d'une surface fermCe. Nous avons Cgalement prCsentC des solutions analytiques de cette Cquation integrale dans le cas de sources ponctuelles au centre d'une sphere. Ici, nous appliquons cette Cquation intigrale au calcul numCrique de la fonction de Green dans le cas d'une source ponctuelle au foyer d'un sphCroide

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allonge avec condition de Dirichlet ou de von Neu- mann. Nous utilisons la quadrature de Gauss- Legendre et choisissons un certain nombre de points d'observation pour transformer I'iquation intkgrale en un systtme d'kquations algtbriques IinCaires dont la solution est substituCe dans la formule d'Helm- holtz qui est Cvaluee a l'aide de la m&me quadrature pour donner la fonction de Green.

Notre Cquation intCgrale est de premiere espece et le systeme algibrique lintaire auquel donne naissance son traitement numtrique est le siege d'une insta- bilitC que plusieurs auteurs ont observCe. Lorsque, pour amiliorer la pricision, on augmente la densit6 des points d'intigration et d'observation, les lignes et les colonnes du systeme linCaire deviennent de plus en plus semblables et la solution, telle que calculCe par une mkthode classique comme celle de Gauss- Jordan ou la mkthode des moindres carrCs par exemple, perd rapidement toute ressemblance avec la solution exacte et se met a osciller follement avec une amplitude de plus en plus grande. Devant une telle situation on peut, soit se contenter d'une pricision moindre et Cviter l'apparition de cette instabilitk, soit risoudre le systeme instable a l'aide d'une des quel- ques mithodes de lissage qui ont CtC proposCes au cours des dernieres dkcennies. Nous envisageons suc- cessivement ces deux possibilitCs.

D'abord nous essayons d'Cviter l7instabilitC en choisissant une quadrature qui puisse donner une grande prCcision avec le moins de points possible. La quadrature de Gauss-Legendre s'avere trks efficace a ce sujet, particulikrement pour les cavites peu excentriques. Pour pouvoir optimiser Cgalement le choix des points d'observation, nous elaborons des critires de prkcision de la solution qui n'est pas connue par ailleurs. L'utilisation de ces critires fait apparaitre que la prtcision dCpend principalement de deux parametres soit le nombre N de points d' intb gration dans la quadrature et l'intervalle total 21 sur lequel sont distribuCs les points d'observation sur l'axe. La fac;on dont les points d'observation sont distribuks dans cet intervalle de m&me que le choix de points d'observation hors de l'axe de symCtrie influencent peu la prCcision. I1 est plus simple de distribuer ces points uniformtment dans l'intervalle. Nous prisentons des courbes permettant de trouver les valeurs o p q l e s No et lo de ces parametres pour des sphCroi'&s a ongCs d'excentricitk quelconque et dans l'intervalle 3 I k 1 40. Ces courbes peuvent &tre facilement extrapolCes pour les frkquences ClevCes, un peu moins facilement pour les frCquences plus basses. La prtcision rnaximale accessible de cette fagon est tres Clevee pour les faibles excentri- citCs et les frequences ClevCes. Pour les faibles valeurs de k, elle dirninue rapidement lorsque

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I'excentricitC augmente, tout en restant dans des limites acceptables pour les applications pratiques jusqu'a des valeurs Clevies de l'excentricitt.

I1 est intiressant de noter ici que deux avantages importants de iiotre Cquation integrale, soit la non- singularite du noyau et la libertt du choix des points d'observation partout dans l'espace, sont respon- sables de la possibiliti d'obtenir des solutions aussi precises ou mCnie dans certaiiis cas d'obtenir des solutions tout simplement. Les equations integrales proposCes dans le pas&, diduites de la formule d'Helniholtz en prenant la limite ou le point d'obser- vation atteint lasurface, ont un noyausingulier et le point d'observation y est limit6 a la surface. Avec un iiombre de points donne, la quadrature peut donner une prCcision beaucoup plus grande si le noyau est non-singulier. Par ailleurs, la valeur optiniale de l'intervalle 21 dCborde toujours a I'extCrieur de la cavitC de sorte qu'il est heureux que notre equation intCgrale permette ce dkbordement.

Dans le cas oh la pricision maximale accessible sans lissage est plutbt faible, on peut I1amCliorer en gCnCral en recourant B une mCthode de lissage. Nous montroiis par des exemples de calculs que la mCthode de Phillips (7) telle que modifite par Twomey (9) atteint son objectif d'tliminer les effets de l'instabi- IitC. La mCthode de Franklin (10) donne des rCsultats comparables celle de Phillips-Twomey.

Enfin nous proposons une autre mCthode nouvelle pour risoudre le probltme valeurs aux limites de l'iquation d'tielmholtz soit l'utilisation de la formule d'Helmholtz elle-mCme, mais dans le do- maine extkrieur a la cavitC, comme Cquation intigrale Dour determiner la valeur de la fonction sur la sur- face lorsque sa dCrivCe normale est connue (von Neumann) ou vice-versa (Dirichlet). La fonction de Green de la cavitC est obtenue alors en substituant la solution de I'Cquation intigrale dans la formule d'Helmholtz. Des calculs preliminaires montrent que

cette mCthode peut donner des rCsultats suffisani~nent precis pour les applications pratiques m&nie si elle ne semble pas aussi prolnetteuse que celle qui fait intervenir l'kquation ititigrale [S].

Dans notre prochain article (l2), iious montrerons comment cette rnCthode de calculer la fonction de Green peut nous perlnettre de calculer les modes et frkquences propres d'une cavitC. Nous calculerons effectivement les frCquences propres et les modes symitrie de rCvolution de sphCroldes allongCs et dis- cuterons la possibiliti de calculer les autres modes ainsi que la fonction de Green lorsque la source n'est pas sur l'axe de symktrie.

Remerciements Ce travail a Ctt rendu possible par une subvention

du Conseil n-ational de recherches du Canada. L'un des auteurs (J.A.I.) a de plus bCnCficiC d'une bourse du Ministere de I'Education du Qutbec. Les auteurs dtsirent egalement rendre hommage B leurs Cpouses respectives Constance et Barbara pour leurs en- couragements inlassables.

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