Evaluation des connaissances et des compétences en mathématique

Formation IFC04/02/2004 et 23/04/2004

Evaluation des compétences 1

Evaluation des connaissances et des compétences en mathématique

IREM LIEGE-LUXEMBOURG

A. Coolen - P. De Rijck - R. Marquet - J. Navez - M. Solhosse - P. Stegen - J. Rossi - E. Rouy

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Quelles compétences évaluer ?

3 ou 4 compétences principales du cours de mathématique

• connaître

• appliquer

• résoudre des problèmes, ou/et modéliser

• démontrer

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La compétence « connaître »• restituer

• expliciter des savoirs

• expliciter des procédures

• synthétiser

• généraliser

• comparer

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Expliciter des savoirs (1/2)

Soit la fonction f(x) = m.x + p

Par quoi se représente graphiquement cette fonction ?

Expliquer les rôles de m et p dans cette représentation graphique.

Que peut-on dire si m > 0, si m < 0, si m = 0 ?

Que peut-on dire si p > 0, si p < 0, si p = 0 ?

Pour une droite donnée, que peut-on dire de la valeur de x

y

?

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Expliciter des savoirs (2/2)

Soit une fonction f de domaine de définition A et dont l’ensemble des images est B.

a) Quelle propriété doit vérifier la fonction f pour qu’elle admette une fonction réciproque, notée f -

1 ?(Donner le nom de cette propriété en français ainsi que sa formulation mathématique).

b) Comment peut-on vérifier facilement cette propriété à partir de la représentation graphique de f ?c) Si f -1 existe, quel est son domaine de définition et son ensemble des images ?d) Si y = f(x), quelle relation existe entre x et y par l’intermédiaire de la fonction f -1 ?

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Voici la représentation graphique d’une fonction f.Justifier que f admet une fonction réciproque.Tracer avec précision la représentation graphique de cette réciproque (citer la propriété qui vous permet de construire ce graphique).

Expliciter les procédures

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Synthétiser (1/3)Tracer dans un système d’axes orthonormés les fonctions f(x) = ex et f –1(x) = lnx.Donner les principales caractéristiques de ces deux fonctions (domaine de définition, ensemble des images, limites et asymptotes, tableau de croissance et décroissance, signe).

Donner la classification des fonctions exponentielles de base a (a > 0).Toutes ces fonctions admettent-elles une fonction réciproque ? Justifier.Quel nom porte les fonctions réciproques ? Quel est leur domaine de définition ? Quel est l’ensemble de leurs images ?Donner leur classification.

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Synthétiser (2/3)

En statistique, les paramètres appelés paramètres de « tendance centrale » (le mode, la moyenne et la médiane )

a) sont-ils toujours approximativement au centre de la distribution ?

b) ont-ils toujours approximativement les mêmes valeurs ? Peut-on prévoir s’il en sera ainsi ou pas ?

c) montrer que l’interprétation des trois valeurs obtenues, plutôt que le calcul habituel de la seule moyenne, permet d’enrichir les résultats d’une étude statistique.

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Synthétiser (3/3)

Soit un nuage de points (x,y) à tendance linéaire et une droite modèle ^y=ax+b.

Décrire succinctement la méthode des moindres carrés.

Trouver la somme S(a,b) des carrés des écarts entre les valeurs prévues et les valeurs observées parallèlement à l ’axe Y.

Calculer les dérivées partielles S’(a) et S’(b).

Définir la covariance de deux variables x et y.

Donner l ’équation de la droite modèle.

Donner la définition géométrique du carré du coefficient de corrélation linéaire r.

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Généraliser

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Comparer

Comparer les modèles de capitalisation à intérêt simple et à intérêt composé.

• Le modèle donnant la meilleure valeur acquise est le modèle à intérêt simple si la durée de placement est inférieure à un an, et le modèle à intérêt composé si la durée de placement est supérieure à un an.

• Illustration graphique : modèle à I.S. (linéaire) et modèle à I.C. (exponentiel).

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La compétence « appliquer »

• appliquer des formules

• appliquer des procédures

• appliquer un algorithme

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Appliquer des formules

• calculer la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle

• calculer une dérivée

• calculer la valeur acquise par un capital placé à intérêt composé

• développer la puissance d’une somme de deux termes par le binôme de Newton

•...

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Appliquer des procédures (1/3)• Tracer la droite d’équation x + 2y - 6= 0

• Résoudre l’équation

3)2(loglog.2 22 xx

• Pour les tableaux suivants, précisez si l’ensemble de données suit une loi exponentielle ; si oui, précisez laquelle.

x f (x) x f(x) x f(x)0 1 2 9 3 20961 2 3 18 4 10482 4 4 81 5 5243 8 5 243 6 2624 16 6 486 7 131

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Appliquer des procédures (2/3)Soient 6 observations à tendance croissante :(750, 300) (670, 290) (600, 210) (450, 220) (400, 150) (300, 90).

Etablir le tableau recensé.

Trouver les coordonnées du centre de gravité du nuage.

Calculer var(x), var(y), cov(x,y), r² et r.

Trouver l’équation de la droite modèle et la tracer dans le nuage de points.

Conclure quant à la validité du modèle.

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Appliquer des procédures (3/3)

• Calculer, par parties, la primitive suivante :

dxlnx x².

• Décomposer en somme de fractions rationnelles simples :

2xx

22x4xx2

23

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Appliquer un algorithme

• Etudier la croissance et la décroissance de la fonction

1x²

xf(x)

• Calculer l’aire de la surface comprise entre les courbes d ’équation y = x² et y = 2x - x².

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La compétence « résoudre des problèmes »

L’élève est placé devant un problème nouveau pour lequel il connaît les outils de résolution.

Quelques exemples :

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L’équation de la demande (en quantités) qui s’adresse à une entreprise est

q = 25 000 – 1000 p.

Le coût variable est de 6 UM par article fabriqué et les coûts fixes s’élèvent à 17 000 UM.

a) Trouvez une fonction qui donne la recette.

b) Trouvez la fonction qui donne le coût total C.T.(celui-ci étant la somme des coûts variables C.V., c’est-à-dire ceux qui varient en fonction de la quantité produite, et des coûts fixes C.F., c’est-à-dire ceux qui existent quel que soit le niveau de production).

c) Trouvez la fonction qui donne le résultat, que l’on appelle généralement profit lorsque le résultat est positif et perte lorsque le résultat est négatif ; exprimez-la en fonction du prix p.

d) Pour quelle valeur de p le profit est-il maximum et quelle est la valeur de q à fabriquer ?

e) En adoptant le prix qui assure le profit maximum lorsque tout est vendu, trouvez la quantité q pour laquelle on atteint le seuil de rentabilité et calculez le chiffre d’affaires correspondant.

f) En supposant que C.V. soit une fonction linéaire du C.A. (chiffre d’affaires), réalisez une représentation graphique des fonctions C.V., C.F. et C.T. en fonction de C.A. ; représentez la droite d’équation C.T. = C.A. et déduisez graphiquement le seuil de rentabilité. Déterminez ensuite une formule donnant ce seuil de rentabilité.

Montrer que le seuil de rentabilité ainsi obtenu est identique à celui calculé par l’intermédiaire des formules de comptabilité.

Premier et second degrés

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Dans une entreprise, le volume des ventes de 1986 était de 2,74 millions. On sait que jusqu’en 2002 le taux de croissance annuel du volume des ventes était de 2,8%. Modélisez la fonction qui permet de donner le volume annuel des ventes t années après 1986.(Pour cela, expliquez de manière claire et détaillée comment on détermine le volume des ventes pour l’année 1987, ensuite expliquez comment on détermine le volume des ventes pour l’année 1988,… puis généralisez.)La rédaction de votre réponse doit partir d’un raisonnement exprimé correctement en français avant la déduction des formules mathématiques.

En supposant que l’évolution du volume des ventes se poursuivra suivant le même modèle dans les années futures, quel sera le volume des ventes de l’année 2010 ?

Fonctions exponentielles

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Fonctions exponentielles (avec l’analyse)

• Les responsables d’une entreprise lancent un nouveau produit sur le marché et estiment que le cycle de vie de celui-ci peut être défini par la relation

où f(x) représente la quantité vendue (en milliers) et x le temps exprimé en années.

Etudier cette fonction et déterminer les (quatre) phases classiques de la vie de ce produit pour 0 x 8.

2x9.e4xf(x)

• La diffusion de produits sur le marché est souvent caractérisée par 3 étapes : le démarrage (ou lancement), la croissance et la maturité. Cette évolution classique est caractérisée par une fonction de la forme :

où a,b,c sont des constantes positives, x est le temps exprimé en années et f(x) représente les quantités vendues exprimées en milliers. Etudier cette fonction : pour plus de facilité fixer a=100, b=50 et c=1.

cxb.e1

af(x)

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Une machine doit être remplacée. Deux solutions sont envisageables :• la machine A coûte 1 200 000 UM et a une durée de fonctionnement estimée à 4 ans ;• la machine B coûte 2 000 000 UM et a une durée de fonctionnement estimée à 5 ans.Les recettes espérées suite à l’utilisation de chaque machine sont données dans le tableau suivant :

Années Machine A Machine B1 500 000 UM 700 000 UM2 400 000 UM 600 000 UM3 300 000 UM 500 000 UM4 200 000 UM 400 000 UM5 ------ 300 000 UMOn ne procédera à l’achat que si la rentabilité de l’investissement atteint au minimum 6% l’an.

Quelle est la solution à proposer parmi les trois suivantes :a) l’achat de la machine A,b) l’achat de la machine B,c) aucun investissement mais un placement financier au taux annuel de 6% des fonds prévus pour l’achat.

Mathématiques financières

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La compétence « démontrer »

S’il s’agit de restituer une démonstration élaborée en classe, on teste la compétence « connaître ».

Par contre, si on demande à l ’élève de chercher par lui-même une démonstration nouvelle pour lui, cela s’apparente à une « résolution de problème » puisque l’élève doit trouver par lui-même la démarche à suivre.

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L’enseignement structuré autour de problèmes, décomposés en leurs différents éléments puis enrichi d’exercices spécifiques est un idéal.

Mais on accumule ainsi les difficultés.

La phase d’apprentissage permet de dissocier les deux aspects :

• la modélisation

• la maîtrise des techniques de calculs

Une synthèse est alors nécessaire pour retravailler ensuite cela globalement.

Aide didactique !

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Les critères d ’évaluationCritères stables pour une année scolaire, qui

doivent être communiqués aux élèves :

• vocabulaire précis,

• structure des phrases correcte,

• exactitude des définitions, des énoncés de propriétés et de théorèmes,

• cohérence du raisonnement,

• justification des étapes des démonstrations,

• précision des calculs,

• production d’un plan de résolution,...

Evaluation critériée mais qui doit rester globale

Toutefois, les « barêmes » évoluent souplement au cours de l ’année.

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Association d’une seule compétence à une question ? Pas toujours possible

Exemple :

a) Dans la théorie de l’intérêt simple, il y a deux manières d’actualiser : expliquer chacune d’elles et citer celle utilisée par les organismes financiers pour calculer la valeur actuelle lors d ’une opération d ’escompte d’une créance commerciale

b) Application : Le 15 mars, l’entreprise A livre à l’entreprise B des marchandises pour une somme de 100 000 euros payables le 30 juin. Le 15 mai, l’entreprise A, ayant besoin de liquidités, demande à sa banque d'escompter la créance qu'elle possède sur l’entreprise B. Sachant que le taux d'escompte est de 6 % , combien l’entreprise A va-t-elle recevoir de sa banque (sans tenir compte des autres frais : commission d’endossement…) ?

difficulté supplémentaire pour évaluer

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Association d’une seule compétence à une question ?

Autre exemple :

Supposons que dans un exercice de statistique, on demande de calculer la médiane et d’interpréter le résultat obtenu.

Faut-il scinder la question en deux puisque le calcul de la médiane résulte de la compétence « appliquer » alors que l’interprétation du résultat comporte une dimension supplémentaire plutôt apparentée à la compétence « résolution d ’un problème » ?

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Remarques générales :

Le cours de mathématiques a toujours visé l’acquisition de compétences.

Mais celles-ci n’étaient pas clairement explicitées et n’étaient pas évaluées séparément les unes des autres.

L’évaluation de « maxi-compétences » permettra sans doute une analyse plus détaillée de la situation particulière de chaque élève, et donc l’identification plus précise d’éventuelles lacunes auxquelles il faudra remédier de manière appropriée.

Mais n’oublions pas que les résultats partiels obtenus par l’élève lors de la résolution d’une question vont constamment interagir et qu’il est est donc plus important d’avoir une appréciation d’ensemble que de morceler l’évaluation en fonction de multiples critères.

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La résolution de problèmes est certainement un objectif important sens des mathématiques.

Il convient de résoudre des problèmes dans tous les chapitres où cela est intéressant, mais il ne faut pas construire des situations problèmes artificielles.

L’apprentissage de la résolution de problèmes est difficile ; il doit être réalisé tout au long du cursus scolaire avec un niveau de difficulté progressif.

La résolution de problèmes est d’autant plus nécessaire chez les élèves peu intéressés par les mathématiques car il permet de justifier l’intérêt du cours par la rencontre de situations concrètes.

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Répétition des évaluations

Les grandes compétences devront être testées dans plusieurs cadres : • géométrie,

• algèbre,

• analyse,

• trigonométrie,

• probabilités,…

Toutefois, le niveau de maîtrise des compétences ne sera pas pas nécessairement le même dans les différents cadres.

Dès lors, la cote globale devra être le résultat d’une pondération entre les différents cadres en fonction du volume de matière abordé et du temps consacré à l’apprentissage.

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Maîtrise d’une compétence

Quand peut-on affirmer qu’une compétence est maîtrisée ?

• Si une compétence est maîtrisée tout au long de l’année dans tous les cadres, cela signifie irréfutablement la maîtrise globale de cette compétence.

• Que conclure lorsqu’une compétence est maîtrisée dans un cadre et pas d’autres? Lorsqu’une compétence est maîtrisée en cours d’année lorsqu’on interroge sur des matières limitées et qu’elle ne l’est plus au moment de l’épreuve récapitulative ?

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