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Évolutions et indices

Proportionnalité

Un tableau de deux grandeurs est dit de proportionnalité si l’on obtient chaque nombred’une ligne enmultipliant le nombre correspondant de l’autre ligne par unmême nombre,appelé coefficient de proportionnalité.

� Définition

Dans un supermarché, le prix de nombreux légumes est donné sous la forme «prix au kilo »(sic). Un club de scouts achète plusieurs lots de tomates dont le prix au kilogramme est de3,5 e/kg. Les lots ont pour masse respective 2 kg ; 3,4 kg et 5,6 kg.On peut alors déduire les prix de chaque lot, et on présente les résultats sous le tableausuivant :Masse (kg) 2 3,4 5,6Prix (e) 7 11,9 19,6

. Retrouver les calculs qui ont permis de trouver les nombres de la seconde ligne dutableau.

. Jacques-Henri souhaite payer pour 1 e de tomates. Quelle masse de tomates doit-ilprélever pour y arriver ?

. On a tracé ci-contre un graphe où l’axedes abscisses correspond à la masse(1 kg↔ 1 unité) et l’axe des ordonnées auprix (5 e↔ 1 unité).On a placé les trois points correspondantau tableau précédent ; le point de coordon-nées (2 ;7) signifie ainsi que 2 kg ont coûté7 e.Quelle propriété possèdent les trois pointsreprésentés ?

−1 1 2 3 4 5 6 7

−5

5

10

15

20

25

. Contrôler le résultat obtenu à la question . à l’aide de ce graphe.

↪→ Exemple

Dans un repère, si des points représentent une situation de proportionnalité, alors cespoints sont alignés avec l’origine du repère.Réciproquement, si dans un repère, des points sont alignés avec l’origine du repère, alorsce graphique représente une situation de proportionnalité.

Dans le cas où cette situation se produit, la droite est la droite représentative de la fonc-tion linéaire x 7→ kx où k est le coefficient de proportionnalité pour passer de la grandeurreprésentée sur l’axe des abscisses à celle représentée sur l’axe des ordonnées.

‡ Propriété

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Dans la situation précédente, les points sont alignés sur la droite représentative de la fonc-tion x 7→ 3,5x.

↪→ Exemple

Déterminer si les tableaux suivants correspondent à des situations de proportionnalité ; lecas échéant, déterminer un coefficient de proportionnalité.0 2 3,5 90 10 17,5 45

et12 15 1814 17 20

↪→ Exemple

Évolutions

. Variations absolue et relative

Une grandeur positive évolue d’une valeur VD (Valeur de Départ) à une valeur VA (Valeurd’Arrivée).

• La variation absolue entre ces deux valeurs est la différence (« chronologique »)entre celles-ci, elle vaut donc VA −VD.

• La variation relative entre ces deux valeurs est le nombre t =VA −VD

VD.

Elle correspond à la variation absolue quotientée par la valeur de départ.On appelle aussi cette quantité taux d’évolution de VD vers VA.

� Définition

Remarque : On exprime souvent les variations relatives sous forme de pourcentage.Un volume qui évoluerait de 151 hL à 174 hL aurait

• une variation absolue de 174− 151 = 23 hL ;• une variation relative de 174−151

151 ≈ 0,152 = 15,2 %.On remarquera que la variation absolue possède la même unité que la grandeur, a contrario dela variation relative qui est sans unité.

On donne dans le tableau ci-dessous, le chiffre d’affaires annuel en ke d’une entreprise.Année

C.A. (ke) 2 330 2 415 2 384 2 452 2 463Donner à partir de l’année 2011, la variation absolue et relative entre deux années consé-cutives ; la variation relative sera donnée avec des valeurs approchées à 0,01 %.

↪→ Exemple

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. Coefficient multiplicateur

On a vu que le taux d’évolution d’une grandeur VD à VA est défini par t =VA −VD

VD.

En travaillant sur cette égalité, on a t =VAVD− VDVD

=VAVD− 1, et ainsi

1 + t =VAVD

, qui donne (1+ t)×VD = VA.

Cette relation permet de déduire la valeur d’arrivée VA, connaissant le taux d’évolution t et lavaleur de départ VD.

Un taux d’évolution t est associé à un coefficient multiplicateur, défini par le nombre1+ t.

� Définition

Pour un taux d’évolution t,• si ce taux correspond à une diminution, alors le taux est négatif : t < 0 et le coeffi-cient multiplicateur est compris entre 0 et 1 : 0 6 1+ t < 1 ;

• si ce taux correspond à une augmentation, alors le taux est positif : t > 0 et lecoefficient multiplicateur est plus grand que 1 : 1 + t > 1.

‡ Propriété

En Grèce, le commerçant Zacharie-Euclide, doit augmenter les prix de ses marchandisesde 8,85 % suite au passage de la TVA de 13 % à 23 %. Ses principaux sandwichs coutentrespectivement 2 e ; 4,3 e et 7 e.

. Déterminer leurs nouveaux prix après augmentation et les présenter sous la formed’un tableau (première ligne : ancien prix, seconde ligne : nouveau prix).

. Présenter le tableau précédent sous la forme d’un graphe (abscisse : ancien prix, or-donnée : nouveaux prix). Que constate-t-on?

↪→ Exemple

. Évolution réciproque

Une grandeur évolue d’une valeur VD à une valeur VA. On note t le taux d’évolution deVD vers VA.Le taux d’évolution pour passer de la valeur d’arrivée VA à la valeur de départ VD (dansle sens « anti-chronologique ») est appelé taux d’évolution réciproque. On le note t′.Le coefficient multiplicateur du taux d’évolution réciproque est l’inverse du taux du co-efficient multiplicateur du taux d’évolution direct :

1 + t′ =1

1+ t

‡ Propriété

Remarque : C’est la seule relation qu’il faut utiliser pour connaître le taux d’évolution réci-proque.

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Une action d’une cotation boursière vaut 70 e le août.Le lendemain, sa valeur a augmenté de 10 %.Le coefficient multiplicateur associé à cette hausse est 1 + 10% = 1+ 0,1 = 1,1 ; la nouvellevaleur est donc 70× 1,1 = 77 e.

Diminuons de 10 % la nouvelle valeur : le coefficient multiplicateur associé à une baisse de10 % (et donc une évolution de −10 %) est 1+ (−10%) = 1−0,1 = 0,9. Après diminution, lavaleur vaut ainsi 77× 0,9 = 69,3.La valeur n’est pas revenu à valeur originelle, −10 % n’est donc pas le taux d’évolutionréciproque de 10 %.

On note t′ le taux d’évolution réciproque à 10 %. Par la propriété précédente, on a larelation :1 + t′ =

11+0,1

=11,1

et donc t′ =11,1− 1 ≈ −0,090 9 = −9,09 %.

Le taux d’évolution réciproque de 10 % est −9,09 %.Et on vérifie bien cette fois que 77× (1−0,090 9) = 70,000 7 (erreur commise par l’arrondidu taux réciproque).

↪→ Exemple

. Évolutions successives

Une grandeur de valeur de départ VD évolue vers une valeur intermédiaire VI par un tauxd’évolution t1. La valeur intermédiaire VI évolue vers une valeur d’arrivée VA par un tauxd’évolution t2.Alors VA = (1+ t2)(1 + t1)VD.Comme leur nom l’indique, les coefficients multiplicateurs se multiplient lors d’évolu-tions successives.En outre, si on note T le taux d’évolution de VD à VA (dit « global »), alors1+ T = (1+ t2)(1 + t1)

‡ Propriété

Au er juillet , le prix du baril du pétrole était de 95,83 e. Entre le // et le//, ce prix a baissé de 19,15 %. Entre le // et le //, ce prix aaugmenté de 29,43 %.

On en déduit qu’au er novembre , le prix du baril est de(1 + 0,294 3) × (1− 0,191 5)× 95,83 ≈ 100,28 e.

On peut aussi calculer que le taux d’évolution de juillet à novembre, noté T, est tel que1+T = (1+0,294 3) × (1−0,1915) ≈ 1,046 4 et donc de juillet à novembre, le prix du barila augmenté d’environ 4,64 %.

↪→ Exemple

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Indices en base 100

On étudie de manière chronologique une grandeur.On choisit une date de référence où la grandeur a pour valeur V0.À une autre date, la grandeur vaut V et on note t le taux d’évolution de V0 vers V.L’indice (simple) en base 100

I = 100VV0

= 100(1+ t).

� Définition

Remarque : L’indice est ici qualifié de « simple » car ne porte que sur une seule donnée (acontratio d’indices comme l’indice des prix qui se réfèrent à plusieurs données).

Le tableau ci-dessous donne l’évolution du cours du cuivre pour l’année .Date / / / / / /Valeur 5 390 5 730 5 935 5 692 6 145 5 189

On choisit comme date de référence le //. Donner les indices en base 100 ducours du cuivre pour les autres dates.

↪→ Exemple

Une grandeur vaut V0 à une date choisie comme date de référence.À deux autres instants, la valeur vaut V1 puis V2 ; on note I1 et I2 leurs indices en base 100associés vis à vis de la référence choisie.Le taux d’évolution pour passer de V1 à V2 est le même que pour passer de I1 à I2.

‡ Propriété

Le tableau suivant donne l’indice en base 100 du prix moyen de la baguette en France ; ladate de référence est l’année .Année Indice 89 100 125 136

On peut en déduire que le taux d’évolution du prix de la baguette entre et estde 125−100

100 = 25 % et celui entre et est de 136−8989 ≈ 0,528 = 52,8 %.

↪→ Exemple

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